E. Ketteler. 83

Physiknlische Hegrunduug der &setre der Totalreflesion. - Desgl. der Metallreflexion ; Theorie des Hnuptwinkels. - Reflexion an nbsor- birenden Krystallen. - l'ebergang des Lichtes zwischen beliebigen nbsorbirenden Nitteln. - Das belvegte absorbirende Mittel. - Der vcrschwindende Strahl ( t r e e n's; die Constitution der Grenzschichten nnd die tiesetze der elliptischeu Polarisation der durcllsichtigen

Mittel. so lange die theore t id ie Optik die Schwingungen der Kiirpertheilchen ignorirte und niit einem homogenen Aether auszukommen vermeinte, legte sie demselben die Fahigkeit bei . gleichzeitig in longitudinale und transversale Schwin- gungen versetzt werden und beide Arten \-on Bewegung fortpflanzen zu kijnnen. Auch jetzt noch, seit insbesondere die Erscheinungen cler anomalen Dispersion auf ein Zu- sammenschwingen der Aether- und Korpertheilchen hin- gewiesen haben ! spielt die sogenannte hydrodynamische Dilatation selbst in den hrbei ten mancher Vertreter dieser Xnschauung , so der Herren B o u s s i n e s (1, S t r u t t und W e r n i c k e ihre fruhere Rolle fort. Und doch erscheint es 1)ei der Annahme eines einzigen, iiberall gleich constituir- ten Aethers, in welchem die Erfahrung nur Transversal- wellen nachwies und das Princip der Erhaltung der Kraf t keine anderen zulasst. naturlich. die erwahnte Rolle den Xmplituden der Kijrperschwingungen zu iiberweisen.

Was insbesondere die Gesetze der Spiegelung und Brechung betrifft, so beschranken sich auch F r e s n e 1 und N ~ u m a n n auf Transversalwellen, und wenn F r e s n e l die Gesetze der Totalreflexion mittelst seiner Interpretation riner fur sich genommenen complexen Grijsse (Amplitude) gewonnen hatte, so vervollstandigte C a u c h v diese Er- klirung, sofern er dieselbe auf den variablen Ychwingungs- ausschlag ubertrug. Spater liaben dann C n u c h y und

ti*

a4 E. Ketteler.

G r e e n iiberhaupt je eine longitudinale gespiegelte und gebrochene Welle zu den bisherigen transversalen binzu- genommen. C a u c h y lasst dieselben ,,absorbirtLL werden, und G r e e n gibt ihnen eine ,,unendlich grosse Fortpflan- zungsgeschwindigkeit." 1)

Die von Cauchy ohne specielle Begrundung ver- offentlichten Formeln sind bald nachher von B e e r und Ei s e n 1 o h r in ganzlich verschiedener Weise abgeleitet worden. Da die Behandlungsweise Beer ' s etwas urnstand- lich, die E i s e n l o h r ' s dagegen moglichst concis ausfiel, so hat seitdem die Mehrzahl der Physiker sich auch mit dem von E i s e n l o h r eingehaltenen Standpunkte, d. h. mit einfacher Complexsetzung ursprunglich in reeller Form vorliegender Grossen begniigt, ohne sich mit B e e r die weitere Frage vorzulegen, wie denn die betreffenden Aus- driicke ohne Hinzuziehung des Complesen direct aus den allgemein zullssigen Pramissen und insbesondere den Uebergangsbedingungen abgeleitet werden konnen. Ande- rerseits sind auch die Beer'schen Arbeiten keineswegs ganz befriedigend. In der Absicht, C a u c h y 's Formeln, die er fiir unangreifbar hielt, einfach theoretisch zu re- produciren, nahm er gewisse Aufstellungen desselben, hei- spielsmeise die von C a u c h y 'behaupteten Werthe der Extinctionsindices , unvermittelt in seine Rechnungen hiniiber und benahm ihnen dadurch die Einheit und Strenge. Ebenso sincl seine Annnhmen in Bezug auf die Lichtbe- wegung in Metallen nicht durchweg richtig. Charakteri- stisch ist die Beer'sche Auffassung der verschwindenden Strnhlen Cauchy ' s und Green 's . Beer definirt dieselben als Strahlen, deren Rolle darin bestehe, als Hiilfsbewegnng die Bewegnng des ersten Mittels in die des zweiten zu vermitteln a) , und nimmt sie daher consequenter Weise sowohl fiir einfallende Schwingungen senkrecht als parallel

1) So L u n d q u i s t (Pogg. Ann. CLII. p. 195) uod die meisten

2) Pogg Ann. SCII. p. 405. ubrigen Autoren mit Ansnnhme Beer's.

E. K e t t e h . 85

zur Einfallsebene in Anspruch. Erst in einem spiiteren Aufsatz werden dieselben ftir den ersteren Fall als uber- flussig bei Seite gelasaen, und damit schrumpfen denn die verschwindenden Strahlen zu blossen longitudinalen zu- sammen.

Wahrend B e e r seitens der absorbirten Wellen neben dem Moment des Abnehmens der Amplitude hei Entfernung yon der Trennungsfliche auch das andere nicht minder wichtige der longitudinal-elliptischen Schwingungsbewegung heworhebt, hat man sich zur Zeit wohl ganz daran ge- wijhnt. die mit der Abnahme der Amplitude gleichzeitig erfolgende ungleiche Phasenilnderung der Schwingungs- componenten neben jener z u iibersehen oder gar eine Be- megung in longitudinalen Ellipsen als mit der Incompres- sibilitllt des Aethers unvereinbar zu erachten. Und doch besteht zwischen transversalen und longitudinalen Schwin- gringen der namliche charakteristische Unterschied , mag ninn ihnen einen reellen oder complexen Brechungsexpo- nenten zulegen, resp. sie als linear oder als longitudinal- elliptisch nehmen, der niimlich, dass f i r die ersteren die Dilatation:

d - d E 23-22

fiir die letzteren die Winkelverschiebung:

verschwindet. Dabei ist bemerkenawerth, dass gerade der Green'sche venchwindende Strahl den Uebergang bildet von der einen zur anderen Form, sofern niimlich fur ihn vorstehende Ausdriicke b e i d e zu Null werden.

Auch der Verfasser dieses Aufsatzes hat sich bisher mit dem Cauchy-Eisenlohr'schen Standpunkte insofern be- gniigt. als es ihm filr absorbirende Mittel nicht gelingen wollte: den (11) Hauptfall parallel zur Einfallsebene ein- fallender Schwingungen ohne Zuhtilfeziehen des Complexen

8G E. Ketteler.

zu erledigen. Derselbe mochte jetzt seine friihere Arbeit I)

in dieser Richtung vervollstlindigen und dadurch etwa .ent- standene Missverstlindnisse beseitigen.

Wenn wir zu dem Ende die Gesetze der Total- und Metallrefleuion direct entwickeln und sodann zur Theorie beliebiger innerer Reflexionen in absorbirenden Mitteln sowie zur Refiexion nn Krystallen fortzuschreiten suchen, so beharren wir unverriickt bei unserer bisherigen An- nahme der Incompressibilitiit des Aethers. Auch halten wir aus Griinden, die weiter unten (Abschnitt VI) be- sprochen werden sollen, die Hinzuziehung der an sich zu- llissigen Green'schen Strahlen fur mindestens iiberfliissig.

Dies vorausgesetzt, haben wir bei Beibehaltung des friiheren Coordinatensystems (die positive Z-Axe sei das liussere Einfallsloth) , sowie der bisherigen Bezeich- nungen zuntlchst die drei Grenzgleichungen der Drehnngs- componenten (Deformationen):

Die letzte derselben setzen wir an die Stelle der friiheren Continuitatsgleichung des I. Hauptfalles. So gute Dienste nlimlich das Continuitatsprincip auch in allen bisher behandelten Fallen geleistet hat, so sind wir trotz- dem zu der Ansicht gelangt, d a s s d a s s e l b e n i c h t als a l l g e m e i n g i l l t i g e r G r u n d s a t z b e t r a c h t e t w e r d e n d a r f (vgl. unter Abschn. IV). I n Uebereinstimmung hier- mit schreiben wir fortan die nothwendige vierte Gleichung :

1) Wied. Ann. I. p. 225. 2) 1. c. p. 206. Streng genommen sollten hier wie vorhin die

beiden Glieder derselben Seite mit entgegengesetzten Voneichen ge- nommen werdeo. Ihre bisherige Benennung ,,Deformation" ist daher zweideutig. Vergl. z. B. Kirchhoff . Math. Physik p. 108 - X l e i n . Elasticitat, Akustik nnd Optik p. 160.

E. Ketteler. 87

sofern wir statt der Ausschlage E die beziigliche lineare dE Dilatation einfiihren. I)

tat des Aethers miissen dann die beiden Beziehungen: Vermoge unserer Voraussetzung der Incompressibili-

zii identischen Resultaten fihren, sie lassen sich folglich zur Ermittelung dcr Attribute der longitudinal-elliptischen Schwingungsbewegung verwerthen.

Ein ganz ahnliches, mit einander vertriigliches System von Bedingungen ist schliesslich das folgende:

1) Schreibt man die Gleichnngen der von mir sogenannten vir- tuellen Bewegung in doppeltbrechenden Yitteln:

t z p + x s i n e + - - 1 .

!]'= A$ cos 2n 1 p \

. & = A , cosan 1 - t + zp+*s ine ) __ T 2 / '

wo p = ncos t * , sine = nsin I* und v den Brechungswinkel der Nor-

ma!en bedeutet. rind worin endlich

A; = A cos EI = A (COY r cos 4 + tg d sin P)

..1 = A' cos V = - A sin SI.

A ; = A' c o s W = - A (sin zco8 4- tg A eos g.),

90 gilt offenbar nuch fur diese Nittel mit gleichem Rechte:

9

Dies zur Berichtigung der dort p. '713 gehusserten Meinuug.

88 E. Ketteler.

in welchem namlich die Deformationsgleichung mit der aus unserem Princip der Gleichheit der Kraft senkrecht zur Oberfliiche l) resultirenden combinirt ist. Auch diese letzteren Beziehungen dienen ebenso zur gegenseitigen Controle.

Fortan stellen mir den bisherigen zweiten Hauptfall, sofern er zu umfassenderen Schlussen berechtigt , dem anderen voran.

I. Die Tota lre f l ex ion .

W i r nehmen an, das Licht falle im Innern eines ponderablen Mittels tinter einem Einfallswinkel, welcher grosser ist als der Grenzwinkel sin e > i), auf die Tren-

nungsflache von Mittel und Weltather. A. F u r Schmingungen parallel der Einfallsebene

supponiren wir dann die folgenden Ausschlage: resp. Ans- schlagscomponenten :

(

Die gebrochene Welle wurde sich sonach als ein eigeu- thumlicher Schwingungszustand darstellen welcher der

1) 1. c. p. 211.

E. Ketteler. 89

spiegelnden Flache parallel, periodisch ist in Bezug auf eine Strecke I. fur die offenbar I =

1 s ine n sine Pa) I A ' = - A '

und welcher bei Entfernung von der Trennungsflache verrnage dee noch zu bestimmenden Extinctionscoefficienten K mehr oder minder rasch abnimmt. D e n Bewei s d e r M o g l i c h k e i t s o l c h e r S c h w i n g u n g e n merden w i r w e i t e r u n t e n e r b r i n g e n .

Setzt man diese Werthe zuniichst in die Grenzglei- chungen (2), so kommt fur z = 0 :

1.' also:

-=--

Die Grenzgleichung (3 a) gibt :

sin q - ,J1 sin (cp -xR) = D, sin e sin (v -zz) - 0%; cos (cp -zZ) und Grenzgleichung (3 b) :

x:

Da diese Gleichungen fur beliebige t udd 2, also fur beliebige Q erfullt sind, so darf man in allen oder auch in einzelnen cp durch rp - 90°, d. h. cos rp durch sin rp und sin cp durch - cos rp ersetzen.

In Rucksicht hierauf werden dieselben zu je zweien identisch, sobald die gemeinschaftliche Bedingungsgleichung erfiillt ist:

0, n sine cos (cp - x,) = 0, k sin (cp - 1,). Dieselbe zerfallt in die beiden folgenden:

tgz,= = - ctgx: . .y, = x, - 900.

D, n sine = D, k . (6b)

so ist demnach Da die Phasendifferenz x. - x s = 2 , IT

90 E. Ketteler.

die entstehende longitudinal - elliptische Bewegung eine solche, da5S die Axen der Ellipsen in die Richtung der Coordinatenaxen fallen. Vermochte man diese Bewegung zu restauriren, d. h. durch Zufugung eines neuen Phasen- unterschiedes in lineare Schwingungen uberzufuhren, so hiitte man fiir die Amplitude D und das Azimuth t der restaurirten Schwingung:

D, = D s inu , D, = D COST, folglich :

M sin e t g r = T - ,

Das Quadrat dieser Amplitude B misst zugleich die lebendige Kraf t , welche mahrend der Zeiteinheit in einem der Trennungsflache unmittelbar anliegenden, unendlich klein gedachten Aethervolum fur die elliptische Bewegung beansprucht wird.

Setzt man vorstehende Werthe in die Uebergangs- bedingungen ein, so schreiben sich dieselben beispielsweise auch so:

llnd wenn man sie multiplicirt, so reprasentirt das Produkt:

diejenige lebendige Kraft , welche in jedem Augenblicke seitens eines unendlich kleinen Lquivalenten Volumens im ersten Mittel der TrennungsflBche zugefuhrt mird.. Bei Integration derselben in Beziehung auf t und fiir die Zeit- einheit erhiilt man:

(8) 1 - %Z = 0,

E. Ketteler. 91

d. h. die totale lebendige Kraft der gebrochenen Welle ist Null, folglich die der reflectirten der der einfallenden gleich. Es wird daher wilhrend einer gewissen Zeit, wiih- rend welcher die augenblickliche lebendige Kraft der ein- fallenden Welle die der gespiegelten iibertrifft, den Aether- theilchen des zweiten Mittels Energie zugefuhrt , aber wahrend der ubrigen Zeit wieder entzogen, urn den mitt- lerweile entstandenen negativen Ueberschuss zum Aus- gleich zu bringen.

Noch eriibrigt die Ermittelung dea Extinctionsco&ffi- cienten k . Zu dem Ende hat man auf die fiir den Aether geltende nllgemeine Differentialgleichung:

ziuiickzugelien und darin die Integralausdrucke :

zii substituiren. So erhiilt man als Bedingungsgleichung :

Dieselbe verlangt offenbar das Verschwinden des ersten (el - Factors, rind daher wird wegen v 2 - m:

III.

Hiernach werden die beiden Grenzgleichungen f7 ) , wenn man darin noch abkurzungsweise :

= Do a ~ ? , t ? jinze - 1

- _ _ _ _ _ ~ a,

1/F + ia2 sinzc .____ - -

~

1 ) Es ist die von uns entwickelte Fundalnentalgleichung (8s) Pogg. Ann. Ergb. VIII. p. 453), wenn dnrin die Korpermasse m' = 0 ge- setzt wird.

92 E. Ketteler.

setzt , ubergehen in :

sincp + '8 sin(rp - zR) = - case f n * sinae- 1 cos(cp -xJ,

DO sin rp - 8 sin (cp - xR) = 1, sin (cp - xJ.

Do

Um schliesslich die 8, Do, za, xz berechnen zu kon- nen, hat man aus ihnen cp zu eliminiren und gewinnt dann die vier ausreichenden Beziehungen:

~- via* sin*, - 1

cos e 1 + % cos)'* = - -- Do sin)', ?

___- yjiz sin*, - 1

cos e % sin zR = + -__ - ~ - Do cos x, . 1

(9) 1 - % C O S X ~ = y Do C O S ~ ~ .

1 n

- 8 sin xR = - Do sin x, . Diese letzteren lassen sich zu je zweien noch ruck-

warts in die syinbolischen Formen zusammenfassen:

r- 1 1 - 8 (cos xR+ v x sin zR) = Do (cos x, + Y - 1 sinXJ ;

oder kurzer, wenn man zugleich statt des absoluten Brechungsindex n den reciproken relativen n = Ir einfiihrt

und - = s inr schreibt:

1

sin e n

Wir haben so also mit den Fresnel'schen Grenzglei- chungen zugleich den Beweis der Richtigkeit seiner Regeln gewonnen.

B. Stehen die einfallenden Schwingungen senkrecht auf der Einfallsebene: so sind die drei in Betracht kom- menden Schwingungen folgende :

E. Ketteler. 93

Demnach erhlilt man mittelst der beiden letzten der Deformationsbedingungen 1 fiir z = 0:

sin 'p + 8 sin ( y ~ - xR) = D, sin ('p - xJ.

Multiplicirt man dieselben , so hat man wieder den bald positiven, bald negativen l ieberschss der augenblick- lichen lebendigen Kraft der einfallenden Wellenbewegung uber die der reflectirten. Das auf die Zeiteinbeit ws- gedehnte Integral desselben liefert daher auch hier die Beziehung:

l - g p = O .

Urn den Extinctionscogfficienten k zu erhalten, geniigt, es, den Ausdruck fur in die einfache Gleichung:

IV.

einzusetzen. Es kommt dann nnmitteibar: ~

k = ~ ' n z sin'e - I. Hiernach eriibrigt wieder nur aus den 01. (12) zu

eliminiren. Man erhalt so :

1 + % ~ 0 s ~ ~ = D, ( ' ( J S ~ , 9

!Jl sin xI: = D,, sin z!, .

94 E. Iletteler . oder kurzer in der Fresnel'schen Form:

(14) 1 + % = 0 l-%Ft=D-. n COSC

cos e

F u r den allgemeineren Fall endlich, dass das Schwin- gungeazimuth der einfallenden Welle ein belbbiges ist, treten insbesondere fur die gebrochene streifende Welle die drei Coordinaten g D , q j D , CD gleichzeitig auf und con- stituiren zusammen eine im Raume vor sich gehende Be- wegung, auf deren nahere Untersuchung hier indess ver- zichtet werden soll.

Wurde bisher der Weltather als zweites Mittel an- genommen, so werden die gewonnenen Beziehungen auch dnnn noch gelten , wenn die Constitution des zweiten Mittels der des ersten ahnlich ist. Xur ist alsdann der Absorptionscoefficient k' desselben besonders zu bestimmen. Begniigt man sich mit den einfachen Verhaltnissen des I. Hauptfalles, so fuhren die Gleichungen :

2n - k z [ (k s t e ) ] r l , = 8 , e i cos 2 n - + x - - x , ,

VI.

in welchen k e i n Phasenunterschied zwischen Aether- und Korpertheilchen vorausgesetzt ist, sofort zum Ziele. Man erhiilt n h l i c h , wenn man das absolute Brechungsverhalt- niss des zweiten Mittels mit np bezeichneti

k' = fniz sin2e - nZ2.

Setzt man schliesslicli k'= n, k und das relative Brechungsverhaltniss 3 = R, so wird der Exponential- factor des streifenden Straliles:

%

E. Ketteler. 95

VII.

wo 4 die Wellenlange im zweiten Mittel bedeutet. D i e s e h i e r zum e r s t e n M a l e g e g e b e n e A b l e i -

t u n g d e s Cauchy’schen Extinctionscoeff ic ienten b e s t i i t i g t s o i n u b e r r a s c h e n d e r W e i s e d i e R i c h - t i g k e i t u n s e r e s d a z u b e n u t z t e n I. d i o p t r i s c h e n Gr u n cl g e s e t z e s.

11. Die Metallref lexion.

Wir behandeln hier zunachst die Vorgknge an der Vor- derflache eines im Weltather befindlichen sbsorbirenden Mittels.

A. Bei Schwingungen parallel der Einfallsebene gelten die Gleichungen :

2)

I COB e + s siu e

V

- z cos e + x sin e

/

Z n

) - Xz]l [ 2; ( z p + G sin e I: - D - - D,e-Tqzcos - t f - -

(16)

? R - ¶= z p + x sin e tD = D, e cos [ $ ( t + ) - x.] 7

wo wie friiher: y = v cosr. sine = v sinr bedeutet, so dnss: v2 = p 2 + sin2e.

Die Grenzgleichungen (2) geben dann :

[ I ) 3in (cp - x , ) - 4 cos (a - x , ) I.

x, = x , + P t

- 0, - 7- sin e cos e

Und setzt man:

sowie zur Abkurzung dingungsgleichung :

- x, = cp‘, so schreibt sich die Be-

96 E. Ketteler.

D, sin e sin (q'- p) = D, ( p sin cp'- p cos q').

Man leitet daraus ab: sin e

D, = D,-===== yp-d + 92

so dass man der friiheren Bezeichnung zufolge hat:

p = i + 11 = arc tg 2. P

Die beiden Grenzgleichungen (3) endlich erhalten die Form :

sin cp - % sin (cp - xR) = D, sine sin (rp - x , ) + Da- cp sin ( y - z J - 'I c""(cp--x)] 7

D, COST -% cos (cp -~~)= zn; b2-p2+ sin cos(w--%;) +2pp sin(y -x,)].

Sie werden mit einsnder identisch, sobnld man in der zweiten 'p durch cp - 90" ersetzt uiid entsprechend den Beziehungen (1 6) die Werthe :

sin e D, = D,- VPa+ 92'

9 cos p = -5- v p= + q= sin p = -: -= v PZ + p?

in dieselben einfiihrt. Die Aethertheilchen der gebrochenen Welle beschrei-

ben sonach vermiige cler Phasendifferenz X , - X , = p ihrer Componenten longitudinale Ellipsen. Denkt man sich die- selben zu linearen Schwingungen restaurirt, so wiirden diese letzteren unter einem Azimuth 1: eine Amplitude 22 erhalten, fur welche man hat:

D, = rb cosr D, = FD s inr !

E. Ketteler. 97

Bei Einfiihrung dieser Werthe schreiben sich dann die Componenten der Ausschliige :

In z p + x sin e\ [2g( v , , -&] sine - cD = D =e * q'cos - t + ____

v v z + 4%

Und addirt man die Quadrate ihrer beiden Amplituden,

so bildet folglich We'* '* das Maass fur die wahrend der Zeiteinheit in der unendlich kleinen Volumeneinheit ent- wickelte Energie.

Auch in den Grenzgleichungen lasst sich jetzt alles i n 54) und x . ausdrucken. Man erhalt znnachst das System:

3

4?7

sin y -%sin (y -xx) = -=== - [ P i n ( c p - X : ) - P C O S ( ~ - X ; ) ]

(20) 1..Z+q%ose

s i n y + % s i n ( y - ~ , ) = T - ~ s) [(u2-bba) sin(TP-X,)-2adco~(gp-j(~)], v v z + q2

irof'ern niimlich wie friiher gesetzt wird: (21 \ p 2 - - y 2 + sinze = a 2 - b 2 , p q = u b .

Schreibt man ferner:

so gewinnt man die kiirzere Form

a2 + b? sin q - % sin (rp - xR) = 13, --_- sin (q -xz - 2 E ) . 1 A,? +

Am. d Phy3. u. Chem. N. F. 111. I

98 E. at te ler .

Wir wollen darin: x , + a = X

setzen und zur Gewinnung der Gleichung der nugenblick- lichen lebendigen Krafte ihr Product bilden. Schreibt man die rechte Seite desselben so:

W (a2 + bz) I;pz + 1 2 - case $+p-

,- sin (cp - X - u) sin (cp- A--u -(a - t i ) )

und beachtet man noch, dass vermiige der Beziehungen (16), (21) und (22):

n p - p l d t gu = tg[(a + Z l ) - & ] = _- = - ccpfpL c

so erhiilt die bezugliche Gleichung die Gestalt: sin2cp --%? sin2 (cp -xR) =

Oder auch, sofern : x, = X - a = x, - a - 24: folglich :

ist, und ausserdem die aquivalenten Volumina : X x = X + u

1cf: MD = sin e cos e : sin r cos r

eingefiihrt werden : M [sin2 'p - S2 sin2 (cp - xR)] =

(24) MDDzua[sinz(rp-xz) - tg (x,c-x,) cos 2 ts in ( i - x , ) cos (q-x,)].

Analog dem Vorgange bei der Totalreflexion ist hier der Ueberschuss der augenblicklichen lebendigen Kraft der einfdlenden Welle uber die der reflectirten nicht hlos yon einem nach T, sondern auch yon einem nach T periodischen Gliede abhhgig. Integrirt man daher fur die Zeiteinheit nach t, so fillt dieses letztere hernus, und so bleibt:

E. Ketteler. 99

(25)

Hier reprasentirt der Zlhler der rechten Seite die ge- sammte, auf die Aether- und Korpertheilchen ubergeleitete Energie, wilhrend wir vorhin 5Dz als die totale Aether- energie der Volumeneinheit kennen gelernt haben. Wie bei den durchsichtigen Mitteln wird sich daher setzen lnssen :

wo M b und DT2 die zugehijrige Mnsse und Energie der Kijrpertheilchen bedeuten.

Kommen wir zum .Zwecke der Berechnung der Am- plituden und Pliasen nochmals auf die Grenzgleichungen (20) zuriick. Wir wollen nuch in ihnen x , = 1- E setzen. ferner stntt D einen neiien durch die Bekehung:

chnrLLkterisirten Coefficienten Do einfiihren und abkurzungs- weise schreiben :

Xlsdann erhalten dieselben die Gestalt :

sin F-% sin (cp -xR) = Do [u sin(y- ,7i) -Ccos((p--_7i)] ( t ’ o C J n

sin cp+%sin (tp-zRj = ~~i.sin(rF-,k3-dcos(cp--].

Dies sind aber die namlichen Gleichungen (32), welche wir im friiheren Aufsatze 1) mittelst des complexen Index (1 i b ) / 3 abgeleitet haben. Auf die weiteren sich daran anknupfenden Entwickelungen dnrf daher einfach ver- wiesen werden. Dieselben bedorfen jedoch in eiiiem Pnnkte der Rectification.

Es hat namlich in Gleichung (33a) der oben definirten physikalischen Amplitude 3 gegenuber der Coefficient

1) Wied. Ann. 1. p. 234. ;*

100 E. Kettekr.

aD (= Do) nur die Bedeutung einer Hulfsgrosse, eine Ver- muthung, die ich schon in einer alteren Arbeit ausge- sprochen habe, damals aber nicht , beweisen konnte. Dem entsprechend tritt jetzt in den Ausdrucken (40 a), (40 b) (auf p. 239) W an die Stelle von q, so dass die Energie der Aethertheilchen wird :

Sodann treten zu der einen dortigen Verzogerung xD (= X), deren Bedeutung weiter unten z u i Sprache kommt, deren zwei nach den Axen verschisdene, x, und x , , auf. F u r dieselben hat man: (2% x , = X+?(, x, = X-&, und mit Benutzung des Ausdruckes (40c):

F u r senkrechte Incidenz fallt tgz, mit dem entsprechen- den fur Schwingungen senkrecht zur Einfallsebene er- haltenen Ausdruck (36 c) zusammen, und fur streifende Incidenz wird x, = 0.

Andererseits fallt tg x, , welches fur e = 0, bei welchem Incidenzwinkel die zugehijrige Amplitude von ver- schwindet, den Werth erhalt :

fur e = 90° mit dem fur senkrechte Schwingungen gelten- den Werthe: tg X S = - 2 zusammen.

man die Winkel E, u einfuhrt. Es wird dam:

P Elegantere Formen erhalt man fur X, x,, x , , wenn

E. Ketteler. 101 _-

vp8 + q'siu u + cos e ((12 + V) 3in 6 tg .u;= - -- ypa + qa coy t I + C O ~ c ((~a + az) cos a _-

(31) tg x , = V p % + pasin (e + u) + cone (a2 + bz) sin 2 e pa + 2% cos (e + u ) + coae (as + bz) c o s X

cos e (a2 + 62) sin ( 8 - u) t g x z = - - __ --

V p z+ + cos e (a2 + bz) cos (e - u)

Recht bemerkenswerthe Folgerungen ergeben sich schliesslich fur die Definition des Haupteinfallswinkels E und des Hauptazimuthes H. Vermoge der Beziehungen (1. c. 44b) wird.

pi + yi. = s idE tgz E ~2 + /I' = tg? E

L E

und cldier zufolge (13) und (29) dieser Abhandlung:

(x,-zx,) = 2 H .

3u da5s die Schwingungscomponenten die Form erlialten:

Man hat daher die folgenden Satze : U n t e r s c h e i d e t m a n a l l g e m e i n nebei i den1 B r e -

c h u n g s w i n k e l r u n d B r e c h u n g s v e r h a l t n i s s Y = J

d e r W e l l e n n o r m a l e e i n e n B r e c h u n g s w i n k e l r u n d

e i n B r e c h u n g s v e r h a l t n i s s n = 2L - - l/T+T d e r

r e s t a u r i r t e n l i n e s r e n S c h w i n g u n g . s o s t e h t i n s - b e s o n d e r e fu r d ie H a u p t i n c i d e n z :

1) d i e w i e d e r h e r g e s t e l l t e g e b r o c h e n e S c h w i n -

0

D

102 .E. h'etteler.

g u n g s e n k r e c h t a u f d e r r e f l e c t i r t e h S c h w i n g u n g , i s t a l s o :

2) d a s B r e c h u n g s v e r h a l t n i s s n d e r s e l b e n g l e i ch d e r t r i g o n o m e t r i s c h e n T a n g e n t e d e s H a u p t e i n - f n l l s w i n k e l s u n d i s t :

3) d i e d n r c h d i e g e d a c h t e R e s t n u r a t i o n zu be- s e i t i g e n d e P h a s e n v e r s c h i e b u n g z w i s c h e n d en C o m - p o n e n t e n g l e i c h d e m d o p p e l t e n H a u p t a z i m u t h .

B. Stehen die Schwingungen senkrecht nut' der Ein- fallsebene, so hat man l) neben der einfallenden und re- flectirten Schmingung die gebrochene:

und claher meiter zufolge der Uehergnngsbedingangen (1) :

sin cp + 8 sin (q -zR) = D,, sin (y - x,) D

(33) sinr/-%sin(rp--%,) = - - J - [ ~ ~ s i n ( r p - ~ ) - q c o s ( r p - ~ ) ] cod e 9 I

Endlich nach Integration der letztereii

Fur gegenwartigen I. Hanptfall gelten die 1. c. p. 237 bis 238 entwickelteii Ausdrucke ohne alle Einschrankung. Insbesondere fur zJ (1. c. Gleichung 36c) , das hinfort a h X8 bezeichnet werden moge, schreibt sich bei Einfuhrnng von E uncl u :

C. Bei einem Azimuth des einfallenden Lichtes von 46O treten in Consequenz der obigen Aenderung an die Stelle der fruheren Ausdriicke (43a, 13b) die beiden folgenden:

1) Vgl. 1. c. y. "33.

E. Ketteler. 103

Dahingegen bediirfen die beiden anderen (43 c, 43 d) fir dD = X, - S, noch einer Erlauterung, welche indess erst spiiter gegeben werden kann. Auedruck (43 C) schreibt sich in c und IC nuch so:

i I l . D i e Ret'lexion a n absorb irenden Krys ta l l cn .

Bei cler eben durchgefihrten Untersuchung mncliten sic11 insbesondere die Relationen (21) niclit wls physikn- lische Gesetze geltend, sondern sie brachten nur die Grijssen p, y, sin e in einen fur die Rechnung bequemen Zusammen- hang mit zwei anderen Grossen a, b , welche durch sie blos mathematisch definirt sind. Diese Grossen Q, b sind aber unseren fruheren Arbeiten zufolge als durch das Xniplitudenverhiiltniss und den Phasenunterschied der Kijrper- uncl Aethertheilchen ein fiir allemnl gegebene, von der Incidenz unnbhhgige constante Grijssen; sie bil- den die sogenannte Charakteristik des Nittels. Sofern iibrigens der theoretische Beweis dieses Satzes bisher niir fiir linenre Schwingungen der Aethertheilchen I ) gefuhrt ist. so hleibt er jetzt fiir elliptische nachzuholen.

Dss vorausgesetzte Mittel sei der Allgemeinheit wegen anisotrop. Man hat nlsdsnn die Differentialgleichung (die f'riihere Gleichung (13)) :

I ) In absorbirenden isotropen Mitteln echwingen senkrecht zur 'iinfallsebene die Korpertheilchen wie die Aethertheilchen linear, in sbsorbirenden anieotropen Mitteln achwingen bei normsler Incidenz die Korpertheilchen im allgemeioen elliptisch , die Bethertheilchen linear (Pogg. Ann. Egbd. VIII. y. 4ti2-4t;S!.

104 E. Ketteler.

wo wieder blos zur Abkurzung die dritte Coordinate fort- gelassen ist. Als ihre Integrale setzen wir jetzt anstatt der friiheren zu speciellen Ausdrucke (28) die rtllgemeineren :

an tf = VG e TI' cos [2;( - t + z p ' f z s i n e --) -Xi-

IX.

1 ) -z,- All

an - 2 2 [";( z p + zsinc

7' = Wy e h cos - t + c c, g = . . . , . .. 5 = . . . . . .

und haben darin q, v ( = t) die gleiche Bedeutung wie dort q, n. Setzt man diese Werthe ein, so kommt zunachst:

rn%:cos(cp--J +Zm"?lI:acos(cp--XE- AJ --%:[(vZ-qa) cos(y-xJ + 2pqsin(cp-xJ]

+ m%;cos(rp-xJ + 2'm'Wyacos(rp-xq-A,J - m [(vt - q? cos (cp - 2,) + 2 p q sin (cp - xJ3 = 0.

Z u einer erheblichen Vereinfachung dieser Form ge- langte man. sobald sich &igen liesse, dass man schreiben darf:

cos (cp - XJ + 3; cos (9 - x,) = 912 COR ( y - x ) a;2cos (cp-x,-A,) + cos (y-X,]-dJ = 91'2 cos (9-%-A)

%fsin(cp-,yXE) +3;sin(y--J ='U2sin(cp-x), unter 91: W, x! . A vier neue Coefficienten verstanden. I n

E. Ketteler. 105

der That , eliminirt man au8 der ersten oder dritten dieser Beziehungen cp ? so dass dieselben in die beiden folgenden zerfallen :

er; cosxc + a; cosx, = w c o s x ,

PI: sin xs + sin x,, = 8 2 s inx ,

und 1 bestimmt durch die Ausdriicke: so finden sich

~ I ' = 2 ~ + 8 ( : + 2 a : ~ : c o s ( x l - X , ) ,

'112 s i n l g + PlS sin x Y 'I

VI: coaxS + ple cos I,,

Dieselben sind aber stets in eindeutiger und reeller Weise zu erfullen, welche Werthe man such den rechts stelienden Amplituden und .Anomalien zulegen mag. Das Gleiche gilt von den zugeordneten Grbssen :

Xil. tg x = - x _ _ _ _ _ -__.

!I

2r4=?1;?+w;"22e(;2a,* cos [(x,-x,)+(Jg-A,)] Xi). 9l;t siu ( x E + dF) + WY? sin (lq + A,,)

tg kfd) = rn ,zCOS (q + LIE) +-%a COJ (x , + A,, ) *

Und setzt man jetzt noch zur Abkurzung: cp - x = y', so erhtilt die allgemeine Bewegungsgleichung die bekannte Gestalt:

m212 cosy ' + Xm'W a cos( cp ' -A) = ni W[ (v2-qa) cosy' + 2pq sincp'] .

Ihre Glieder sind nur mehr abhangig von der im namlichen Augenblick den Aether- und Korpertheilchen zukommenden Energie und von der Phasendifferenz zwi- schen beiden. Sie charakterisirt daher die betreffende Richtung des Krystalles in absoluter Weise. Man folgert nunmehr :

XI. 2m' are COB J = "2 - Qs - 1 = - p - 1

in 'W

21m' %'2 sin J = p ' I =

Sschdem wir so unser dioptrisches Grundgesetz in all- gemeinster Form erwiesen haben, wenden wir una jetzt zur

106 E. Ketteler.

Intensitatvbestimmung des an absorbireden Yrystallen gespiegelten und gebrochenen Lichtes.

In Anbetracht der grossen Verwicklung der beziig- lichen Verliiiiltnisse beginnen wir rnit dem denkbar einfach- sten Falle, class die optische Axe eines einaxigen Krystalles auf der Trennungsflache senkrecht steht, und dass nur die aussergewijhnliche Brechung zu Stande kommt l). Sammt- liche Schmingungen liegen dann in der Einfallsebene.

Von den fiir isotrope Mittel aufgestellten Uebergangs- bedingungen acceptiren wir sofort die beiden Gleichungen (3), sowie die daraus abgeleitete zweite des Systems (20), (20b): (20c) und die daher ebenfalls zutrelYende Form der 5-Componente der G1. (19). Was dann meiter die zweite nothmendige Grenzgleichung bet.rifft., so geben wir ihr die Form :

(37)

verstehen dilrin linter der linken Seite die Dilatation des ersten Nittels und geben beziiglich der rechten folgende Erliiiuteiung. Wir diirfen niimlich in Einklang rnit unse- ren friiheren Entwickelungen 2, annehmen, dass wir es auch hier mit einem ahnlichen Begriff zu thun haben, freilich nicht mit der wirklichen Pilatation des vorausgesetzten anisotropen Xittels, sondern mit der aquivalenten eines isotrop constitnirten Mittels von bestimmter, . aber vor- Iaufig noch unbekannter Extinction und Fortpflanzungs- geschmincligkeit. Wir coordiniren daher der thntsachlichen Schmingnngscomponente :

die in gewisser Beziehung stellvertretende, nuf die nlm- liche aussere Welle bezogene:

1) Die aiiswhliessliche gewohnliehe Breehnng bei dieser Lsge ist

2) Vgl. z. B. Wed. Ann. I. p. 221. mit den isotropen Mitteln erledigt.

E. Ketteler. 107

2n , - i - q z 271 ' zp '+ r s i o e 5' = 'u; e cos 1- t + - ] Iri und bestimmen deren Unbekannte %;, &; p', 4; a', b' aus drei, jetzt der Reihe. nnch zu besprechenden 'Bedin- gungen.

Zunhchst muss die Porderung erfiillt sein, dass bei jeder Verschiebung parallel der X-Axe seitens der Aus- schlage 6 und t' eine gleiche Spannung entwickelt wird. Man hat daher die auf z = 0 zu beziehende Bedingungs- gleichung :

Setzt man darin obige Werthe ein, so wird dieselbe in Riicksicht auf die fur heide Seiten geltenden Be- zieliungen 21 :

i?l; [ ( ~ ' z - b ' ~ ) cos (rp-x,) + 2n'b'sin (q - x l ) ] = '21r [ ( u Z - bS) cos (Q -1.~1 + 2 a b sin ( y - x,)] .

Sie zerfallt in die beiden folgenden: 8 ; [ c o s ~ : ( n ' ~ - b ' ~ ) - sinx1,2n'b'] = %,[cosxz(n'-hd?) - sinl,2nb]

8; [sinxi ( ~ ' 2 - b ' a ) + cos~L2a'i,'] = %?I,[sin~L((a~-b3) + c o s ~ , 2 n b ]

und gibt fur die Attribute des Hulfsstrahls die Werthe:

[ 1 n? + bz - 2t;sin~,:= o't+h" ~I,cos~I:sin2(~-~')+'U12siny,cos2(~--EI)

wo e , e ' die nlmliche Bedeutung haben mie oben. Sa- nach erhiilt man fiir die Componente selbst:

2.7

g = e " - y'z an+@ cos[rp-~,-2(&-&')] . n'S+ b,a

Was ferner -die zweite und dritte Bedingung betrifft, so muss hei senkrechter Incidenz, bei welcher allgemein

108 E. fitteler.

die Aetherschwingungen geradlinig werden und zudem fur den vorausgesetzten Specialfall 'die ge'brochene Welle durch die Richtung der Axe hindurchgeht, mit dem beziig- lichen. 6 der ordinliren Welle identisch werden. Ent- sprechen daher der Richtung der h e die Bestimmungs- stucke: 9, b a , ea, so wird man zu setzen haben:

a'= %, # = b a y & ' = & a ,

denn dann wird in der That fur e = 0:

Andererseits muss bei jeder beliebigen Incidenz mit dem 8 der isotropen Mittel zusammenfallen, sobald man setzt: E = e2.

Mit Rucksicht hierauf stellen wir nun fiir die in die Grenzgleichungen unseres anisotropen Mittels einzuhhren- den Schwingungen die beiden Ausdriicke auf :

Dieselben erlangen dadurch die Form:

Und integrht man ihr Product, die Gleichung der augen- blicklichen lebendigen Krafte, fur die Zeiteinheit, so kommt :

E. Ketteler. 109

oder nach bekannter Umformung :

Bevor wir weiter die Amplituden und Phasenverschie- hungen der gespiegelten und gebrochenen Welle selbst be- rechnen, wollen wir den Weg andeuten, auf welchem man mit Benutzung des Complexen zum niimlichen Ziele ge- langt.

Zufolge unserer fruheren Arbeit uber die Grenzbe- dingungen durchsichtiger anisotroper Mittel hat man fiir Schwinpngen parallel der Einfallsebene ’) :

1 - R = DIt n 1 + R = GE (cos r cos I? - sin r tg S),

wo 19. den Azimuthwinkel der Schwingungsebene und 6 den Winkel zwischen Strahl und Normale bedeutet. Fur letzteren hat man die Beziehungen:

w2= wl2sin2yi + O ~ ~ C O S ~ I I ’ .

unter t p die Neigung der Wellennormale ziir Axe ver- standen.

I n unserem Specialfalle ist nun 9 = 0 , yf=r, so dass sich schreibt:

cos r - sin r tg S = cos r (1 - tg r tg 8)

Infolge dessen werden die Grenzgleichungen:

l - R = D n (41) cos I - 9

cos e n: 1 + R = D - - -.

Und geht man zu complexen Brechungsverhaltnissen iiber: - ~ _ _

1) Wied. Ann. I. p. 220. tileirhungen 13a u. 13b.

110 E. Ketteler.

Diese letztere Beziehung ist aber materiel1 die nam- liche . die wir oben mittelst der Bedingungsgleichung fur den Hulfsstrahl formulirten. Tra t dort das Walten be- stimmter Elasticitatsgesetze mehr direct in den Vorder- grund, so hat das jetzige Verfshren den Vorzug griisserer Bequemlichkeit. Wir wollen es dalier auch zur Bereck- nnng der Amplituden und Phasen veraenden.

Bei Einhaltung des gleichen Ganges wie in der frii- heren Abhsndlung l) erhalt man:

sin e cos T - nzZ cos e sin v R = - sin e co8 7 + TQ cos e sin 1'

p - COB e (%a - be*) + 1 . ' r l ( p - 2 a? b? cos e) . p + (a??- &a) cos e + 1 - 1 (p + 2 a1 b, cos e)

- .~ - - Folglicli :

Dieselben gehen sofort in die Cauchy'schen Ausdrticke

Ebenso fur dss gebrochene Licht: iiber. wenn man den Index 2 in a?, b, fallen lasst.

2 uj? ctg e sin 2,-

= siu e cos 1. + cos e sin r

- - - 1 2 COJ G (a?' -r b?? + 1 T 2 02 b2) - a + b 1 p + ( @ - b,2) cos e + l'x (q + 2a2 be cose)

Hier fuhrt wieder, analog Z ~ I fluher: die einfache Fres- nel'sche Regel zum Quadrate eines Coefficienten Do, dessen

1) Wed. Aun. I. p. 233.

E. Ketteler. 111

Bezieliung zu SD in G1. (26) ausgesprochen ist. Man erhalt daher fiir das Quadrat von D:

Wenn schon das uns beschkftigende Problem selbst fur den behnndelten einfachsten Fall der doppeltbrechen- den Mittel eine umstindliche Durclifiihrung verlangte und ziemlich verwickelte Formeln gab, so wird das in noch hiiherem Maasse der Fall sein, wenn die optische Axe, die nacli wie vor in der Einfallsebene bleiben inoge, mit dey Richtung des Lothes einen beliebigen Winkel 2 macht.

\Vir mollen uns liier hlos auf die Hervorhebung be- schriinken, dass d e r G r u n d s n t z d e r G l e i c h h e i t d e r D i l a t a t i o n a l lgemein au f e i n s o l c h e s nux i l i i i r e s i s n t r o p e s M i t t e l zu b e z i e h e n is t , we lches rnit d e m g e g e b e n e n a n i s o t r o p e n l a n g s d e r X - A x e d ie g l e i - c h e S p r t n n k r a f t en twicke l t . Z u den endgiiltigen For- meln gelangt man am leichtesten mittelst Benutzung des Complexen, und zwar ist hier in den Gleichungen (41) fiir y der Werth q = r - 2 einzusetzen. Die beiden Schain- gungs-Componenten werden so :

(45

iUsinrcosrcos22 - sin2cos2(Vcoser- Fr'sinzr)]::

wo z u r Abkiirzung gesetzt ist:

Yn z p ' + I sin e'

112 E. Ketteler.

und wo wieder q den sich zu p’ zuordnenden Absorptions- coetlicienten des Htilfsstrahls bedeutet.

Ich schliesse diesen Abschnitt mit einem nochmaligen Hinweis auf die beiden bemerkenswerthen Winkel, die man den Polsrisationswinkel und den Hauptwinkel nennt. Erscheint ersterer von jeher sowohl theoretisch wie expe- rimentell an den zweiten Hanptfall, d. h. an Schwingungen parallel zur Einfallsebene gebunden, so ist letzterer zuerst von C a u c h y aus dem Zusammenwirken yon Schwingungen senkrecht und parallel zur Einfallsebene abgeleitet , und ebenso vermag man seine Lage nur mit Beihulfe beider aufzufinden. Die p. 101 gegebene Deduction kniipft nun diesen Haupteinfallswinkel gleichfalls an Scliwingungen, die in der Einfallsebene liegen.

Beide Winkel haben ihre Bedeutung sow0111 fiir an- isotrope wie fiir isotrope Mittel, fiir erstere indess begreif- licher Weise nur d a m , wenn die Einfallsebene mit einer der drei sogenannten Hauptebenen zusammenfallt l).

Was nun ihre pracise Definition betrifft, so dtirfte es sich empfehlen, den P o l a r i s a t i o n s w i n k e l durch die G l e i c h h e i t d e r a q u i v a l e n t e n V o l i m i n a auf dem g e s p i e g e l t e n u n d g e b r o c h e n e n S t r a h l e (M, = M,)? den H a u p t w i n k e l dagegen durch die S e n k r e c h t h e i t d e r S c h m i n g u n g e n b e i d e r zu charakterisiren. Die

1) Das Neumann-Seebeck‘sche Theorem iiber die Lage des Pola- ris~tionswinkels der ertraordiniiren Welle eines einarigen Kryetalles spricht sich aus durch die Gleichung:

1 - (d12 1 - (#I)?? sin2e = __- sin2 2 + ~- COS? P. 1 - ( d ] 0 2 1 - q? Id22

Ueber dessen Ableitung vergl. 2. B. Astr. Undnlationsth. p. 237, Radicke ’ s Optik. I. p. 257.

E. Lommel. 113

erstere Bedingung, die sich fur durcheichtige anisotrope Mittel durch die Gleichungen ausspricht :

acosr'= vcose m(1- Ra- 0 4 = m ' D 2 ,

unter r' und f = n' den Brechungswinkel und Brechungs-

index des ,,Strahles" verstanden, schliesst zugleich ein voll- * standiges Verschwinden (fur absorbirende Mittel eine blosse

ScliwBchung) der Intensitat des reflektirten Strahles in sich ein. Die letztere dagegen ist identisch mit dem Brewster- scheii Gesetz, d. h. mit der Gleichung:

n = tge.

unter I t den Brechungsindex der ,,Wellennormale'* ver- standen.

Beide Definitionen fallen fiir durchsichtige isotrope Mittel in eine zusammen.

(Fortsetznng folgt im nachaten Heft.)

VII. Uelrer Plworescenx; u r n E. Lnmmel. (Sitmnysber. der physik.-medic. Societiit zu Erlangen. 23. Juli 1857,

vom Herrn Verf. mitgetheilt.)

I[, der Sitzung der Erlanger Societat vom 17. Juli vorigen Jahres ') habe ich einige bis dahin noch nicht untersuchte fluorescirende Substanzen beschrieben, welche mit dem Naph- thalinroth und Chlorophyll die Eigenschnft theilen, dass bei ihnen auch brechbarere Strahlen ihres Fluorescenzlichtes durch weniger brechbare des erregenden Lichtes hervorge- rufen werden. Nachdem ich bei dieser Untersuchung die Ueberzeugung gewonnen hatte, dass die bisherige Verkennung dieses namentlich beim Naphthalinroth so schlagend her-

1) P o g y . Ann. CLIS. p. >14. .\nn. d. Phyr u. Chem. ZT. F. 111. Ei