Zur Theorie und Praxis der Berechnung der Übertragungsfunktion Optischer Systeme

ZUR THEORIE UND PRAXIS DER BERECHNUNG DER • OPTISCHER SYSTEME*

r o n

WERNER REICHEL

VEB CARL ZEISS JENA, JENA, DDR

(Vorgelegt ron 1�9 B•225 -- Eingegangen 25. VIII. 1964)

Die optische • wird kurz erl~iutert und eine Methode zur Bereeh- nung der Frequenzª (F• fª ein in der geometrisch-optisehen Kor- rektion vorgegebenes System entwiekelt. Die Bedeutung der F ~ F als Gª fiir die optisehe Abbildung und zur Korrektion optiseher Systeme wird diskutiert.

Die geometriseh-optisehen Aberrationen werden auf die 0ffnung normiert und in die Wellenaberrationsbetr/ige dureh graphisehe Integration ª252

Einige eharakteristisehe Zusammenh~inge der versehiedenen Bildfehler mit der F• werden an optischen Systemen aus der Praxis aufgezeigt. Besonderer Wert wurde dabei auf das ausseraxiale Gebiet gelegt.

1. Einleitung

Die Anwendung der • aus der Nachrichtentechnik auf die Optik hat fª ausgedehnte Objektstrukturen ein objektives Mass fª die Abbildungsgª optiseher Systeme bei inkoh~irenter Beleuchtung ergeben, welehes sieh relativ einfaeh bereehnen und messen l~isst. Ein optisehes System wird natª nicht durch eine • sondern dureh eine Sehar solcher Funktionen charakterisiert, deren Anzahl jeweils durch die Objektivparameter wie Blende (0ffnung), Fokussierung, Bildformat und Liehtart bestimmt wird. Es bedeutet jedoeh gegenª der bisherigen Testung einen Fortsehritt, denn fª die Bildgª eines optisehen Systems wurde haupt- s/iehlich das Aufl6sungsvermiigen herangezogen, die F/ihigkeit zwei benaeh- barte Objektelemente (Punkt oder Linien) getrennt wiederzugeben. Eine solehe subjektive Beobachtung l~iuft aber auf eine Sehwellenmessung hinaus und ist daher starken Sehwankungen unterworfen. Ausserdem genª es fª die Abbildungsqualit/it eines Objektives dureh ein optisehes System ira allgemeinen nieht, getrennte Objektelemente wieder als getrennte Bildelemente abzubilden (aufzul6sen), sondern es ist notwendig dieselben mehr oder weniger naeh Phase und Amplitude der Originalfunktion getreu als Bildfunktion wiederzugeben. Die Qualit/it eines optisehen Bildes wird also so definiert dass das Objekt dem Bild m6gliehst /ihnlieh wird.

Una solehe allgemeinen Zusammenh~inge zu kl~iren, ist die optisehe • entwiekelt worden. Sie unterseheidet sich ron der elek-

* Vorgetragen auf der II. Optisehen Konferenz in Budapest, 1963.

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trischen • allein daclurch, dass die dort zeitlich nacheinander zu ª Signale in der Optik durch r/iumliche (ein- oder zweidimensional) nebeneinander ersetzt werden. Es liegt dann nahe, das optische System als • (Filter) von Objekt zum Bild oder umgekehrt aufzufassen. Charakteristische •162 des Systems werden durch die sogenannte • (response) beschrieben. Sie wird im wesen- tlichen durch Restfehler und Beugung voto Objektiv bestimmt, wenn man ron Streulicht, Transparenz u. a. absieht. Sind diesem elementaren Prozess noch weitere Abbildungsschritte wie fotographische Emulsionen, Zwischen- abbildungen, Projektion usw. angeschlossen, dann kann man aus diesen Funk- tionen der Einzelglieder, sofern es sich um lineare Prozesse handelt, durch Produktbildung die Gesamtiibertragungsfunktion berechnen. Das schw/ichste Glied bestimmt in dieser Kette natª die resuhierende Qualit/it, doch soll hier nur der elementare Prozess der eindimensionalen Abbildung voto Objekt zum Bild verfolgt werden.

Grunds~itzlich kann man jede als Objekt vorhandene Lichtverteilung als zweidimensionales Fourierintegral oder als Fouriersumme darstellen. Mit anderen Worten kann durch Superposition ron sinusf6rmigen Helligkeits- verteilungen jede ira Objekt vorhandene Helligkeitsverteilung erreicht werden. Oder umgekehr t 1/isst sich jeder beliebigen Objektsintensit/itsverteilung ein Frequenzspektrum zuordnen.

Bei der Verschiedenartigkeit optischer Bilder, deren Intensit/itsver- teilungen in grossen Grenzen variieren, ist es jedoch nicht m~glich, eine uni- verselle Verteilung bzw. Spektrum anzugeben. Man geht deshalb ron ein- oder zweidimensionalen elementaren periodischen Strukturen mit konstanter Inten- sit~itsverteilung aus, die man in der Frequenz (Gitterkonstante) variiert und ermittelt nacheinander rechnerisch oder experimentell die • schaften. Diese Gitter stellen dann durch Variation in ihren Abmessungen ann/ihernd natª ausgedehnte Objekte dar. Die Frequenzª funktion gibt dann an, wie das gesamte Frequenzspektrum, welches durch das AuflSsungsverm~gen begrenzt wird, in seinen Frequenzen nach Ampli- tude und Phase gegenª dem Objektgitter mit konstanter Amplitude und Phase durch das optische System ª wird. Dabei ist allerdings Voraus- setzung, dass die Grundform des Elementargitters objektseitig im Bild erhalten bleibt. Wegen dieser Voraussetzung hat sich ein Strichgitter mit cosinus- f~rmiger Lichtverteilung, auch kurz oft Sinusgitter genannt, bew~ihrt. Kom- pliziertere Strukturen wie z. B. ein Rechteckgitter, welches wegen seiner leichteren Herstellung zum Messen der • oft benutzt wird, l~isst sich ja bekanntlich auf Sinusgitter zurª252 Welchen charak- teristischen Verlauf solche • fª ein optisches System jeweils besitzen, soll dann sp/iter aro Beispiet er5rtert werden. Der Frequenz- bereich oder die Bandbreite und die Kontrast- bzw. Modulationstiefe werden

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BERECI tNUNG D E R I~BERTRAGUNGSFUNKTION OPTISCHER SYSTEME 235

durch relative 0ffnung und Restfehler bestimmt. Auf Grund ron Bildana- lysen weiss mart bereits, welehe Frequenzen fª die jeweiligen Verwendungs- zwecke durch Steuerung der Aberrationen anzustreben sind. Hierin liegt die praktische Bedeutung der • fª den Objektivkonstrukteur. Der Begriff Frequenz wird hier nieht als zeitabhiingige Grtisse, sondern als reziproke L~inge in Form der Lirtienfrequenz gebraucht.

Obwohl die mathematischen Grundlagen der • fª optische Systeme heute allgemein bekannt sind, sollen kurz die Zusammen- h~inge aufgezeigt werden. Die wesentlichea Gedankeng~inge sind von DUFFIEUX 1946 und sp~ter ron MAR• und H. H. HOPKINS 1951 aufgegriffen und welter entwickelt worden. Der optische Abbildungsprozess kann fª inkoh~ireate Beleuchtung in Forro des Faltungsintegrals beschriebert werden. Allerdings ist hierfª eine wesentliche Voraussetzung, dass die Abbildung isoplanatisch ist, die Abbildung also ein linearer Vorgang ist. Der Ausdruck linear besagt, dass zwisehen Objekt und Bild lineare mathematische Beziehungen bestehen, die sich durch das Faltungsintegral beschreiben lassen. Nun ist die Abbildung bei korrigierten Systemen selten ª die ganze 0ffnung isoplanatisch, sondern nur fª einen kleinen Bereich. Das bedingt allerdings, dass die Objekte so klein sind, dass sie in einen solchen Bereich hineinfallen.

Andererseits ~indern sich die Aberrationen eines korrigierten Systems - - nur solche siad Gegenstand der folgenden Betrachtungen - - und damit auch die Punktbildintensitiit relativ langsam, so dais man, um eine Anderung derselben innerhalb eines Feldes beobachten zu k0nnen, sich um wesentliche Betriige bewegen muss, die gemessen in den Dimensionen des Beugungsbildes betr~ichtlich sind. Demzufolge kann man die Abbildung kleiner Details in einem solchen isoplanatischen Gebiet untersuchen. Die Punktbildintensit/it ist demzufolge voto Ort in diesem Bereich unabhiingig. Die Ausdehnung des Punktbildes wird aber fª ein korrigiertes System praktisch in keinem Falle grO~ser als ca. 1 mm im Durchmesser sein. Ausserhalb kann der Intensit/its- beitrag, wie zahlreiche Punktbildintensitiitsberechnungen fª verschiedene Aberrationstypen zeigten [1], vernachliissigt werden. Streng mathematisch ist natª das Lichtgebirge unendlich ausgedehnt.

2. Theoretische Grundlagen der optischen •

In Bild 1 ist der Abbildungsvorgartg schematisch mit den jeweiligen Koordinatensystemen skizziert. Fª die Objekt- und Bildebene sowie Ein- (EP) und Austrittspupille (AP) werden normierte Koordinaten verwendet. Es liisst sich dann die Bildintensit/itsverteilung B' als Faltungsintegral aus Objektintensit~it B und Punktbildintensit~it (Lichtgebirge) G schreiben

B ' ( u ' , v ' ) -= SY B (u , v) G(u' - - u, v' - - v) du dv . (2.1)

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236 w. REICHEL

Die Punktbildintensit~it wird durch Restaberrationen bestimmt und ist andererseits proportional dem Amplitudenquadrat

G(u', v') ~] F(u' , v')] 2 . (2.2)

U n t e r gewissen Voraussetzungen kann die Amplitude als zweidimensionales Fourierintegral auf Grund der Kirchhoffschen Beugungstheorie geschrieben werden.

F ( u ' , v ' ) = c o n s t J 'J ' f (~ ' , fy ' )exp{2zri(u '~ ' + v ' ~ " ) } d ~ ' d ~ / . (2.3)

Die Funktion f(~' , f ) wird Wellen- oder Pupillenfunktion genannt und ist die inverse Fouriertransformierte der Amplitude F(u' , v'). Fª die Gr6ssen

9

/ /

,~' , v '

Obj'ekt E P A P B/Id

B i ld 1

B', B und G gehen die gleichen mathematischen Beziehungen, die entsprechenden kleinen Buchstaben sind jeweils die inversen Fouriertransformier- ten. Es gilt dann

G(u', v') = Sf g(s', t') exp {2 zr i(s' u' + t' v')} ds' dt', (2.4)

g(s',t') = .[f G(u',v') exp {-- 2 7ti(s'u'-4- t 'v')} du 'dv ' . (2.5)

Setzt man diese Transformationsformeln in G1. (2.1) ein, dann erhiilt man

oder

B'(u' , ,,') = S S g ( s ' , t ' ) b ( s ' , t ' ) e x p { 2 ~ t i ( s ' u ' @ t ' v ' ) } d s ' d t ' (2.6)

b'(s', t ' ) = g(s', t '). b(s', t'). (2.7)

' -- b*ts' t'~ 1) b ( - s , t ' ) = , , ,

' konjugiert komplex

.,'Ida Phys. Hung. Toro. X V I I I . Fase. 3.

(2.8)

Da ]ntensit/iten immer reell sind, muss fª die inversen Fouriertransformatio- nen in G1. (2.7) gelten

BERECHNUNG DER OBERTRAGUNGSFUNKTION OPTISCHER SYSTEME 237

und entsprechend fª

g(-- s ' , - - t') und b'(-- s ' , - - t '). (2.9)

Als • definiert man nun nicht das Lichtgebirge G selbst, sondern seine inverse Fouriertransformierte

g(s', t') - - b'(s ' , t ') , (2.!0) b (s', t')

das Frequenzspektrum der Intensitiiten von G. Man ordnet also ganz analog wie in der elektrischen Nachrichtenª den Orts- oder Original- funktionen B, B ' und G eine gleichwertige Darstellung auf den Frequenz- koordinaten s', t ' mit Hilfe der Fouriertransformation - - in der elektrischert Nachrichtenª ist es die speziellere Laplace-Transformation - - in Form der Frequenz (Spektral)- oder Bildfunktion b, b' und g zu. Es ist das Verdienst ron H. H. Hol'KII~S [2], diese Griissc, die sogenannte Frequenz- ª (frequency response function) g(s' , t'), auch kurz F• genannt, als Mass fª die Bildgª ausgedehnter einfacher Objekte erkannt zu haben, derm dieselbe liisst sich fª inkohiirertte Beleuchtung als Auto- korrelation der Pupillenfunktion ausdrª

Nach DUFFIEUX [3] ergibt sich dann

g(s', t') = .~J" f( , y ) f* (~' -- -- t') d~' dy' (2.11)

Zur Berechnung dieses Ausdruckes ist also nur die aus den Konstruktions- daten des optischen Systems berechenbare Wellenfunktion f(~', y ' ) notwendig, w~hrend man ohne Anwendung der Fouriertransformation aus der Wellen- aberration W(~', 37') das Lichtgebirge G berechnen muss und durch Faltung die Bildintensitiit meistens graphisch gewinnt und erst dann fª die entsprechenden Frequenzen das • nach Amplitude und Phase bestiinmen kann [1].

Es ist nun vorteilhaft, nicht die GrSsse g(s' t ' ) , sondern eine relative Frequenzª D auf die Frequenz Null bezogen, einzufª :

D ( s ' t ') - - g (s ' , t ' ) _ r(s', t') + i ~(s' , t ' ) • T ( s ' , t'). exp {i O(s ' , t')}. (2.12) g(0,0)

Die Funktion D(s ' , t ') t r i t t im allgemeinen komplex auf und kann deshalb nacli Real- und Imaginiirteil oder Betrag (Amplitude) und Phase getrennt werden.

6 Meta Phys. Hung. Toro. X V I I I . Fasc. 3.

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Nach einem Vorschlag ron H. H. HOPKI~S kann man noch aus Sym- metriegrª eine Verschiebung um die Strecke ~' -4- s'12 und ~' + t'12 vor- nehmen, so dass sich die normierte Frequenzª wie folgt ergibt

s"2 - ' s"2 - ' _ D(s',t')= SSf(~'A- / 'Y-4- t '12) f*(~ ' - / , y - - t ' / 2 ) d K d ~ ' S fS If(~',Y')I 2 a~' dy' G

(2.13)

Dieser Ausdruck bedeutet anschaulich nichts anderes als den gemeinsamen Flacheninhalt der um s', t' bezª ihres Koordinatenursprunges versetzten Pupillenfunktion bezogen a u f die Pupillenfl/iche S. Nur im ª Gebiet C (auch Durchschnitt genannt) in Bild 2 ist das Integral ron Null

~~,

/ j / ~

\ \ \

B i ld 2

verschieden. Fª den Spezialfall kreisf5rmiger Pupillenfl/ichen errechnet sich fª ein aberrationsfreies Objektiv

D(s') = zt[2 arc cos (s'/2) -- sin [2 arc cos (s'/2)]]. (2.14)

Fª man noch ein um den Winkel ~b gedrehtes Koordinatensystem K, :~' ein und verwendet ein eindimensionales Strichgitter parallel zur y -Achse ausgerichtet, dann 1/isst sich eine Frequenz ~' 1/ings der K-Achse definieren und die • in Abh/ingigkeit ron Azimut und Frequenz ~' darstellen

1 f f ~'2 ~'" D ( ~ ' , r = --C-- f(~'A- /,y)f*(~'--~'/2,~,')d~'d~,'. (2.15)

Der • zur eindimensionalen Darstellung und Einbeziehung des Azi- mutes vereinfacht sowohl den experimentellen Aufwand zur Ermittlung der • als auch die Rechnung. Ausserdem lassen sich ja die Aberrationen nach Azimuten und Einfallsh6hen klassifizieren.

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BERECHNUNG DER • OPT1SCHER SYSTEME 239

3. Verfahren und Miiglichkeiten zur Ermittlung der l~bertragungsfunkt ionen optischer Sys teme

In den letzten Jahren sind verschiedene Verfahren zur Berechnung der • optischer Systeme naeh der ira Absehnitt 2 gesehilderten Theorie entwickelt worden. Bild 3 gibt als Schema die einzelnen Sehritte und die bestehenden Zusammenh/inge wieder.

1. Optische Konstruktionsdaten

I Strahlenoptische Rechrtung

(axial, ausseraxial) I

normierte Strahlenaberration I

WeUenaberration ] analytisch graphisch

[ . . . . . . . . . . . . . . . .

i

i L

1

[ auto- mat. Kor-

rektion t

Toleranz- Aufspaltung nach Bildfehler geom.- theorie [ opt.

und N~he- tab. Pupillenfunktion rungen Werte I ]

] [ • I ' numerische Rechnung . ~

digital analog

Bild 3

Ausgangspunkt ist ira allgemeinen das optische System, desse~t Kon- struktionsdaten bekannt sind. Das Objektiv sei nach den bekannten geometrisch-optischen Strahldurchrechnungsformeln axial und ausseraxial etwa mit einem Rechenautomatcrt durchgerechnet und die geometrisch-optischen Aberrationen liegen demzufolge in der ª Darstellung vor. Es soll nun entschieden werden, welche Abbildurtgseigenschaften voto System in Form der • zu erwarten sind. Diese Aufgabenstellung ist am gebr/iuchlichsten, da man in der Praxis stets vort einem System ausgeht, welches fª den jeweiligen Zweck welter- oder umkorrigiert wird. Die • tragungsfunktion soll also neben einer Masszahl bzw. Gª haupt- s/ichlich dazu verwendet werden, bestimmte Abbildungseigenschaften durch Variation der Restfehler in einem Objektiv rechnerisch zu ermitteln bzw. einen exakten Zusammenhang zwischen Restfehler und Bildgª zu liefern, der dem Optikkortstrukteur bisher fehlte. Der Optikrechner war bis jetzt nur auf Erfahrungswerte und gewisse Faustformeln angewiesen, die er sich auf

6* Acta Phys. tfung. Tora. X V I I I . Fase. 3.

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Grund der Restfehler und Bildleistung aro sehr sorgf~iltig ausgefª Muster sammeln konnte.

Es w~ire natª auch denkbar, dass man sich die Abbildungseigen- schaften vorgibt und ein System zu berechnen versucht. Solche allgemeinen Ans~itze erfordern gro~sen Rechenaufwand bis man auf die bekannten Objektiv- typen kommt und werden deshalb in der Praxis kaum angewendet; es sei denn, es werden systematische Untersuchungen fª einen speziellen Zweck gefordert.

Um jedoch die • aus den Konstruktionsdaten berechnen zu kSimen, mª die Restfehler in normierter Forro als Wellenaberration vorliegen; diese fª praktisch ausgefª Systeme zu ermitteln, sind verschiedene Wege beschritten worden.

Ei~mal ist es m(iglich, am Muster die Wellenaberration interfero- metrisch mit dem TwYMAr~--GREE~-]nterferometer bzw. KR~c--LAu-Inter- ferometer zu ermitteln, zum anderen rechnerisch durch einen Integrations- prozcss aus den geometrisch-optischen Restfehlern. Fª die rechnerische Gewinnung der Wellenaberration, die hier alleJn betrachtet werden soll, sind analytische Methoden speziell fª Rechenautomaten entwickelt worden, die gleichzeitig eine Potenzreihendarstellung nach Bildfehlern liefern [4], [5], [6], doch sind diese Methoden fª mehrlinsige Systeme recht aufwendig und nur mit grossen programmgesteuerten Rechenautomaten m(iglich. Es soll deshalb im folgenden Abschnitt eine graphische Methode ausfª behandelt werden, die bei relativ wenig Rechenaufwand exakt die Wellenaberration aus den geometrisch-optischer~ Restfehlern zu ermitteln gestattet. Diese so gewon- nene Wellenaberration wird daim anschliessend nach Bildfehlerkoeffizienten mittels der Methode der kleinsten Quadrate aufgespalten [7].

Eine Miiglichkeit, die Berechnur~g der Wellenaberration zu umgehen und direkt aus den Restaberrationen in N~iherung die • zu berechnen, wird im 5. Abschnitt erw~ihnt. Aus Bild 3 ist weiterhin durch die Toleranztheorie ron MAR• und HorxI~s bzw. durch den allgemeinen Zusammenhang zwischen Wellenaberration und • ein exakter Weg aufgezeigt, schon gewisse • aus dem normierten Wellenaberrationskoeffizienten zu erkennen, zumal f ª einige Koeffizientenkombinationen aus der Schule ron H. H. HoPxIr~S tabellierte Werte vorliegen. Es wird so m6glich, in vielen F~illen einige Besonderheiten ah optischen Systemen bereits ah den normierten Wellenaberrationskoef- fizienten zu erkennen, ohne die • im einzelnen mit relativ grossem Rechenaufwand berechnen zu mª Ein Schritt welter wiire nun, die Restfehler so zu veriindern, dass die gesuchten • reali- siert werden. Hierzu mª man durch systematische Variationen auto- matisch die Restfehler in diese Schranken einengen. Als Bewertungsfunktion wird hierfª die F • als sogenannte Merit-Funktion fª die entsprechenden

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BERECI-INUNG DER • OPTISCHER SYSTEME 241

Linienfrequenzen gew~ihlt. Es ist ª die versehiedenen Aberrationsanteile noeh mit entspreehenden Gewiehten zu versehen, da die F • ein integrales Gª des optisehert Systems darstellt und die Betr/ige der Rest- fehleranteile untersehiedlieh eingehen. In einem weiteren Sehritt k5nnte dureh Variation versueht werden, die Konstruktionsparameter des Systems so zu verandern, dass die Restaberrationen in diesen vorgegebenen Sehranken etwa naeh der Methode ron GIRARD--WYNNE [8] oder naeh FIALOVSZKY [9] ein- geengt werden. Doeh sind fª solche Rechenverfahren zun~chst systematische Untersuehungen ª die Zusammenhiinge ,con Aberrationen und Bild- eigensehaften u Erste Erfahrungen mit grSsseren Rechen- automaten babea ah Systemen gezr dass eine sinnvolle automatische Kor- rektion nur durch das grundlegende Verstiindnis der Bildfehlertheorie und die Voraussetzung des Erfahrungssehatzes des Optikkonstrukteurs erreicht werden kann.

Zur numerisehen Bereehnung der 17requenzª fª die einzelnen Linienfrequenzen sind verschiedene Verfahren speziell fª t{eeheItautomaten entwiekelt worden. Eine recht genaue Methode ron HOPKII~S und GOODBODY [10] soll noch detailliert im Absehnitt 5 dieser Arbeit fª die Bereehnung einiger Beispiele benutzt werden. Neben den bekannten numerisehen N~herungsverfahren (SI~~PSO~r, STIaLING), das Integral zu 10sen, hat BARAKAT [5] jetzt mit Hilfe der Gaussschen Quadraturtheorie fª hi~here Ordnungeil in Verbindung mit Legendreseherl Polynomen eine Methode vor- gesehlagen, die geeignet ist, aueh nicht /iquidistante Integrationselemente zu verwenden. Da die bisher gesehilderten u gr6ssere Reehenautomaten erfordern, sei noch erwiihnt, dass mit geringerem Zeitaufwand unter u wendung der exakten mathematisehen Beziehungen ohne Vernachl/issigung die Bereehnung auch auf Analogrechenmasehinen durehgefª wurde. Man hat hier den Vorteil, systematiseh durch Eingeben der Aberratiortskoeffizienten in die Potentiometer relativ sehnell ein System zu optimieren; natª haf- tet diesem Verfahren naturgemiiss eine besehriinkte Genauigkeit an. Welche Verfahrert sieh jemals fª die gesamte praktisehe Objektivberechnung dureh- setzen werden oder ob alle diese • nur gelegentlieh fª Spezial- zweeke angewendet werden - - wo ihre Brauchbarkeit schon erwiesen ist - - kann wohl heute noch nicht entschieden werden, da noch nicht genª Erfahrungen vorliegen.

4. Ermittlung der Wellenaberration in normierter Darstellung aus den geometrisch-optischen Restfehlern durch graphische Integration

Jede Objektivberechnung wird zun~ichst ron der geometrischen Optik ausgehen und erst, wenn die Aberrationen klein sind, einer wellenoptisehen Feinkorrektion bedª denn eine wellenoptisehe Betrachtung ist unum-

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g~inglich, wenn die durch Aberrationen verursachten Abweichungen der Wel- lenfl/iche gegenª der Referenzfl/iche klein sind. Daher erscheint es wichtig, aus der geometrischen Strahldurchrechnung gewo=nene Aberrationert in die Wellenaberration umzurechnen. Dies ist nicht schwierig, da die Strahlen auch nach beliebig vielen Brechungen und Spiegelungen (Satz ,con MALUS) stets senkrecht auf den Wellenfl/ichen stehen und man deshalb dem Strahlen- bª geometrisch eine Wellenfl/ichenschar zuordnen kann. Eine Wellen- fl~iche (Isoeikonalfl/iche) nennt man innerhalb einer Welle jede F1/iche, deren s~imtliche Punkte im betrachteten Zeitpunkt sich in gleicher Phase befinden. Unter der Wellenaberration versteht man nun die Abweichung der durch Aberrationen deformierten Wellerdl/iche lfings eines Strahles ron einer geeig- neten Bezugs- oder Referenzfl/iche (z. B. Kugel), die als optische Wegdifferenz gemessen wird. Die so definierte Wellenaberration wird positiv gez~ihlt, wenn die deformierte Welle innerhalb der Referenzkugel liegt. Legt man das Zentrum der Referenzkugel in die ideale Bildende und die Referenzkugel in die Austrittspupille des aus sph/irischen F1/ichen aufgebauten zentrierten Systems, dann besteht zwischen den optischen Wegdifferenzen und der Ab- weichung des Strahles (Aberration) vom Zentrum der Referenzkugel nach einigen Umformungen und Integration der bekannte Zusammenhang [12]

a"

l~Ÿ = ,[ (~~ sin q5 + ,?Ÿ cos q~) cos a' da', (4.1) 0

wobei allerdings rechtwinkelige Koordinaten (~Ÿ ~~) senkrecht zum Bezugs- oder Referenzstrahl mit der Bildebene in der �91237 ~Ÿ benutzt sind, a' der Winkel zwischen Strahl- und Bezugs(Referenz)strahl und ~ der Azimutwinkel in der Bildebene bedeuten. Man erh/ilt so die Wellenaberration in der ª Schreibweise eines unbestimmten Integrals, die wegen ihrer Wellenl/ingenabh~ingigkeit in Einheiten von 2 ermittelt wird. Dabei ist die Anderung des Zentrums der Referenzkugel um den Betrag AR vom Radius der Referenzkugel R infolge des mit Aberration behafteten Strahles unberª sichtigt geblieben. Da es sich jedoch aber nach Voraussetzung um korrigierte Systeme mit kleinen Aberrationen handelt und die Grfisse AR fª die verschiedenen Strahlen gegenª R klein bleibt, ist dieser Ansatz erlaubt.

Nach G1. (4.1)1/isst sich nunmehr die Wellenaberration aus der Strahl- aberration berechnen, wenn letztere aus der geometrisch-optischen Durch- rechnung bekannt ist. Dies soll in Anlehnung an die geometrische Optik fª das axiale und ausseraxiale Gebiet getrennt erfolgen. In einem zentrierten System tri t t ira axialen Gebiet wegen der Rotationssymmetrie nur der Ab- bildungsfehler der sph~irischen Aberration auf, der voto Azimut q~ unabhiingig ist. Die Bezugsachse ist mit der optischen Achse identisch. G1. (4.1) spezialisiert sich zu

Aaa Phys. Hung. Toro. X V I I I . Fase. 3.

BERECItNUNG DER • OPTISCHER SYSTEME 243

a"

W(a') -~ j" ~'cos a' da', (4.2) 0

da q ) ~ 0 und OW/O~ : 0. Die Gr6Be ~' ist aber als sph~irische Queraber- ration bekannt und ergibt sich sofort aus der bei der Strahldurchrechnung erInittelten sph~irischen L~ingsaberration ( A s ' : ~ ' - - s ' ) *

~' = - - As' t ang6 ' .

c 6' b'o' Bild 4

(4.3)

Dem bisherigen Winkel a' entspricht jetzt der Winkel a' in der technischen Strahlenoptik (Bild 4), der fª kleine Aberrationen As' - - die Winkelaber- ration Aa' ist gegen 6' zu vernachliissigen - - gleich ~' fª die Integration angenommen werden kann und es ergibt sich

v / (~ ' ) = y - Zs' s~. a' a a ' . (4.4) O

Eine negative Schnittweitenaberration As' wird also eine positive Wellen- aberration ergeben. Die Schnittweitenaberrationen sind fª die einzelnen Strahlen aus der Strahldurchrechnung in Millimeter oder kleineren L~ingeneinheiten fª die entsprechende Lichtwellenl/inge bekannt, so dass die Wellen- aberration W in die zugeh6rigen Lichtwellenl~ingeneinheiten leicht umzurechnen ist.

Fª das ausseraxiale Gebiet f~illt nun die Rotationssymmetrie weg, die Wellenaberration wird vom Azimut q~ abh~ingig. Es soll deshalb die Ermitt- lung der Wellenaberration fª q) = 0 und n (Meridionalschnitt) und ~ : n/2 und 3n/2 (Sagittalschnitt) im einzelnen aufgezeigt werden. Dies bedeutet keine grunds~itzliche Beschr~inkung nach G1. (4.1), vielmehr bieten sich diese Ebenen auf Grund der ª geometrischen Durchrechnung eines Systems zwangs- l~iufig an.

* s. hierzu TIEDEKEN, Lehrbuch f. Optikkonstrukteur Bdn. 1. S. 42 (Berlin 1963)

Acta Phys. Hung. Toro. XVI I [ . Fasc. 3.

2 4 4 W. REICHEL

Fª den Meridionalschnitt dient als Referenzstrahl der Bezugs (Haupt)- oder besser Schwerstrahl mit dem Neigungswinkel aŸ gegen die optische Achse und als Zentrum der Referenzebene der Schnit tpunkt 0' voto Bezugs- strahl mit der Gauflschen Bildebene (0£ 0') nach Bild 5. Ira ª gelten die entsprechenden Formeln und Vereinbarungen aus G1. 4.4 auch fª die Queraberration 7'

Wm (aro) ---- .I -- r/' cos a m dato. (4.5) 0

0 o 0 s

y~ p,

o~

Bild 5

Da der Wert der L/ingsaberration 3Sm in der Regel bei der Strahldurch- rechnung nicht anf~llt, 1/isst sich nach dem Sinussatz diese Gr~sse nach r/' wie in Bild 5 angedeutet, umrechnen. Fª den Meridionalschnitt sei darauf hinge- wiesen, dass die Wellenfl~iche in beiden Azimuten ~---- 0 und zt d. h. fª positive und negative Werte ron am selbstverst~indlich gesondert berechnet werden muss und die Begrenzung des oberen und unteren Randstrahles durch Vignettierung bestimmt wird.

Fª den Sagittalschnitt (~-----zt/2 und 3ztŸ reicht aber wegen der Symmetrie zum Meridionalschnitt die H/ilfte der Apertur aus. Nach. G1. 4.1 ergibt sich dann die Wellenaberration Ws, wenn ~' aus der geometrischen Strahldurchrechnung* bekannt ist, zu

W~ (~~) ---- S -- ~' eoza~ da. (4.6) 0

Somit hat man die Wellenaberration auch fª den Sagittalschnitt gewonnen. Es erscheint angebracht, um die Aberrationen fª die verschiedenen Aper- turen miteinander vergleichen zu kSnnen, auf die Randaperturen ~max zu normieren. Es hat sich die folgende Substitution nach Richter fª die verschiedenen Winkel ~' zur erleichterten Integration als vorteilhaft erwiesen:

q,__ p ' _ 1 - - c o ~ J ' ~_~ sin 24' 0 < q ' < l (4.Ÿ

P~nax 1 - - C O S ( ~ Ÿ sin2 Jmax

Die Variable p in G1. 4.7 ist der Pfeilh•he des Meridianbogens der Wellcn-

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B E R E C H N U N G DER O B E R T R A G U N G $ F U N K T I O N OPTISCHER SYSTEME 245

fliiehe proportional und die Entwicklung der Aberrationen nach p ist bis zu beliebig grossen 0ffnungen der Wellenfl/iche brauchbar. Aus diesem Grunde wird auch die jeweilige maximale Apertur mit pmax normiert.

Die neue Variable q', die vom Verfasser [7] schon in einer frª Arbeit benutzt wurde, kennzeicbnet nicht den Raumwinkel, sondern die Apertur und es ergibt sich in guter N/iherung

q, ~ ? , 2 . (4.8)

Fª eine kreisfi~rmige Pupille gilt dann ~,2 ~,o = . -q-97 '2. Die Wellenaberration wird so eine Funktion der normierten Polarkoordinaten r' bzw. q' und q~ fª den jeweiligen Bildwinkel aŸ

Fª man in G1. 4.4, 4.5, 4.6 die neue normierte 0ffnungskoordinate q' ein, dann erh~ilt man die Wellenaberration fª das axiale Gebiet

q' q"

W ( q ' ) = J" - - A s ' Pma, : d q ' - - I" - - -d~ ' d q ' (4.9) O 0

fª den Meridionalschnitt t

q',- eo~ a m , q"~ _ vi d q m I V m ( q ' ~ ) = .t" - - *1 - - p m a ~ d q ' ~ -- .t" - ' ' (4,10) o sin �91 o

und fª den Sagittalsehnitt

q's q "s . . . . E,- , (4.11) Ws(qs)-~.( - -~e tgas 'Pmaxdqs = J" - - ~ a q s .

O 0

Die Integration wird wie erwiihnt, graphisch numerisch in Stufen ron A q ' ~ 0,1 durchgefª An Beispielen in Bild 6 soll die Methode erl/iutert werden.

Im oberen Teil des Bildes ist fª ein Objektiv auf Grund der Strahl- durchrechnung die normierte spMirische Aberration A--s' gegen die 0ffnungs- koordinate q' aufgetragen. Es wurden jeweils 5 Strahlen durch das Objektiv nach den ª trigonometrischen Formeln gerechnet, so dass die Kurve eiudeutig zu zeichnen mi~glich war. Bei entsprechendem Zeichnungsmass- stab lassen sich durch graphische Integration dann in/iquidistanten Schritten zehn Werte der Wellenaberration gewinnen, wie sie irt Wellenliingeneinheiten in Bild 6 links oben aufgetragen sind. Die Integrationsschritte werden dadurch ron den tI/~henabstufungen der Strahlen unabhiingig, w/ihrend die/iquidistante Stufung bei der nachfolgenden Potenzreihenentwicklung sich dagegen sehr gª und vereinfachend auswirkt. Eine analytische Darstellung der Aber- rationskurve (etwa in Form einer Potenzreihe fª die Einfallshi~hen) wª eine weit gr~issere Anzahl ron Strahldurchrechnungen erfordern.

Grundsiitzlich w~ire damit die Wellenaberration fª die verschiedenen Azimute gewonnen und die Berechnung des Frequenzª

* hierzu TIEDEKEN, Lehrbuch f. Optikkonstrukteur Bdn. 1. S. 63 (Berlin 1963 )

Act,, Phys. Hung. Toro. X V I I I . Fasc. 3.

246 w. REICHEL

m5glich. Jedoch hat es sich als nª erwiesen, um allgemeinere Zusam- menh/inge zu erfassen, dieselbe nach den verschiedenen Bildfehlern aufzu- spalten. Dadurch ist man in der Lage, den Einfluss der auftretenden Bild- fehler quanti tat iv einzeln oder kombiniert in ihren Auswirkungen auf dJs Integral der F • zu studieren und Dank der Normierung die verschiedenen

7,0-

0~5.

-7,O

0~5

o ~ ~ ~ ~ _ ~ , - , -~ -~ o ~,--~~~~

1,0- e~. -7 , 0

." �9 zeridionaI.L-'-- ~

-7~0

0,5-

J i i

Bild 6

Objektive untereinander zu vergleichen. Ausserdem lassen sich die Werte der F • fª die einzelnen Bildfehler besser tabellieren und zus/itzlich gewisse Toleranzen in Verbindung mit dem Rayleigh-Kriterium festlegen, wie bei H. H. HOPKINS [13] und MAR• [14] n/iher ausgefª

In Anlehnung an NIJBOER 1/isst sich die Wellenaberration in normierten Polarkoordinaten (~', q~) fª eine kreisf6rmige Pupille schreiben

W(r = ~o r + ~o ~,~ + ~o ~'~ + (~1 ~' + ~1 r + ~1 r + ( ~2 r + ~2 ~'~ + ( ~3 ~'~

+ (

§ ~ 1 ~,,7) cos �9 § W62 ~,e) cos 2 �9 + IV53 ~,5) cos 3 0

W44 r cos 4 �9

Acta Phys. Hung. Toro. XVI I I . Fase. 3.

BERECI~NUNG DER ~BERTRAGUNGSFUNKTION 0PTISCHER SYSTEME 247

Die einzelnen Koeffizienten charakterisieren die folgenden Bildfehler

•20 ~40, W~o, W~o Wll W31, W~I, W71

~42~ ~r W33, W~3

Defokussierung Sph~irischer 0ffnungsfehler Verzeichnung Koma Zwcischa]enfchler (Astigmatismus) Astigmatischer 0ffnungsfehler Dreiblattfehler (trefil) Vierblattfehler (tetrafil)

Die hier gegebene Darstellung berª alle Fehler bis zur 7. Ordnung, doch reicht erfahrungsgem~iss fª rtormale Aufaahme- und Wiedergabe- objektive die Darstellung bis zur 5. Ordnung (in G1. 4.12 eingerahmt) aus. Spezialobjektive und Mikroobjektive verlartgen gelegentlich auch Ent- wicklungen bis zur 7. Ordnung, doch ist damit ein erhiihter Rechenaufwand und Genauigkeit der Ermittiung der Wellenaberration verbunden.

Zu bemerken ist noch, dass in der hier gew~hlten Darstellung fª jeden Bildwinkel aŸ ein neues Koordinatensystem verwendet wurde, so dass der Bildwinkel in die Aberrationsfunktion wie ursprª bei NZZBOER nicht eingeht und die Berechnung der einzelnen Koeffizienten fª jeden Bild- winkel einschliesslich Vignettierung erfolgen kann. Ferner wird fª das ausseraxiale Gebiet der Referenzpunkt in den realen Bildpunkt gelegt, so dass die Verzeichnung nicht in die Aberrationsfunktiort eingeht. Die Verzeichrtung ist ja auch kein Abbildungsfehler, der auf Unvollkommenheiten der Strahlen- vereinigung zurª252 ist, sondern nur die geometrische J~hnlichkeit der Bildfigur verf/ilscht und ist deshalb cinfach zu bewerten. Es gibt allerdings auch Bestrebungen, den Verzeichnungsterm mit in die Phase der komplexen Frequenzª einzubeziehen, hier soll aber aus praktischen Grª davon Abstand genommen werden.

Und nun zur Berechnung der Aberrationskoeffizienten selbst. Durch graphische lntegration wurde die Wellenaberration in ~quidistanten Schritten von q' bzw. ~' gemessen und es kann nun fª den entsprechenden Azimut- winkel ~ der Polynomausdruck aus G1. 4.12 zugeordnet werden. Die Bestim- mung der Koeffizienten wurde nach der Methode der kleirsten Quadrate vor- genommea und es bleiben durch die bereits erfolgte Aufspaltung der Wellen- aberration hSchstens drei Koeffizienten zu bestimmen ª Die Aberrations- koeffizienten werden so bestimmt, dass die Summe der Fehlerquadrate ein MŸ wird. Das wird durch Nullsetzert der partiellen Differentialquotienten erreicht. Man erhiilt dann die sogenannten Normalgleichungen, aus denen sich die Koeffizienten bestimmen lassen. Da die Wellenaberration aber stets in 10

Acta Phys. Hun$. Toro. X V I I L Fasc. 3.

248 W. REICHEL

Tabelle 1

V 1.6/77.5 V 743

w40= 13,13X W6o= --7,95 ),

l

$/)40

MERIDIONALSCHNITT (q~ = 0,zt)

a B = --9,50 --7,75 o --3,200

+w., = 2,42 1,02 ,70

+w 4 = 5,02 7,61 5,41

we0 = --2,08 --4,08 --5,00

+w 3 = 4,68 1,67 4,10

wsl = --4,50 -3 ,25 --2,25

V 1,6/77 V 781

- 19,20�93 W6o = -- 12,155

--9,60 o --7,90 o --3,60 ~

1,60 -- ,21 -- ,11 �93

2,95 6,50 1,89 )t

--1,19 --3,27 --3,16 ,,1.

6,27 3,54 4,68

--2,85 --2,05 --2,00 Ÿ

+ w 2 = w 2 0 + w . , 2 w4=w` w3=w3E ~ wa3

t.0 Ti

J ! I ! I

�91

Bild 7. Sagittalschnitt a - - - - - 7,8 o, ~ = 588 nm

~ iqu id i s t an t en S c h r i t t e n r o n q' e r m i t t e l t w i rd , b e d e u t e t es e ine w e s e n t l i e h e

R e c h e n e r l e i e h t e r u n g , w e n n m a n n u r e i n m a l die v e r s c h i e d e n e a S u m m e n r o n q '

zu b e r e c h n e n h a t . Be i B e n u t z u n g e i n e r v o l l a u t o m a t i s c h e n R e c h e n m a s c h i n e

l a s sen s i eh d a n n d ie K o e f f i z i e a t e n in w e n i g e n M i n u t e n b e s t i m m e n . T a b . 1

ze ig t f ª zwe i V e r s u c h s r e c h n u n g e n den K o r r e k t i o n s z u s t a n d in F o r m n o r m i e r t e r

W e l l e n a b e r r a t i o n s k o e f f i z i e n t e n f ª das ax i a l e G e b i e t u n d den M e r i d i o n a l -

s c h n i t t i n d r e i B i l d f e l d w i n k e l n . W i e m a n so fo r t e r k e a n t , enth~il t de r Meri -

d i o n a l s c h n i t t a l le K o e f f i z i e n t e n d o c h l a s sen s ich b e s t i m m t e K o m b i n a t i o n e n

n u r d u r c h H i n z u n a h m e w e i t e r e r A z i m u t e (z. B. S a g i t t a l s c h a i t t ) a u f s p a l t e n .

Es i s t aus G1. 4.12 a b z u l e s e n , d a s s u m al le K o e f f i z i e n t e n 5. O r d n u n g e inze ln

zu e r f a s sen , e ine S t u f u n g d e r W e l l e n f l ~ c h e m i t ~b ~ 60 ~ e r f o r d e r l i c h i s t .

I n d e r p r a k t i s c h e n O b j e k t i v b e r e c h n u n g b e g n ª m a n s i ch a b e r m e i s t e n s m i t

de r S t u f u n g q~ = 90 ~ (Mer id iona l - u n d S a g i t t a l s c h n i t t ) . Es w i r d sp~iter ins-

.elcta Phys. Hung. Toro. XVI I I . Fasc. 3.

BERECHNUNG DER OBERTRAGUNGSFUNKTION OPT[SCHER SYSTEME 249

besondere ah Bild 7 noch erl/iutert werden, dass die Koeffizientendarstellung fª den Meridionalschnitt bereits wichtige Schlussfolgerungen auf die • tragungseigenschaften zuliisst.

Die Fehler durch die Potenzreihenentwicklung blieben bei zahlreichen Beispielen unter 0,1 Wellenliingen. Diese Genauigkeiten sind fª die Praxis ausreichend, wenn man bedenkt, dass diese Methode mit relativ wenig Auf- wand fª erste systeInatische Untersuchungen ah praktisch ausgefª Systemen angewendet worden ist.

Kª hat BARAKAT [5] eine analytische Methode zur Berechnung der Wellenaberration direkt aus der Strahldurchrechnung ver•ffentlicht und die Aberrationskoeffizienten mit Hilfe Tschebyscheffscher Polynome mit grosser Genauigkeit berechnet. Der Rechenaufwand ist dabei erheblich und Imr mit gro~sen Rechenmaschinen zuniichst fª Spezialfiille zn bewiihigen. Es k5nnen jedoch solche Verfahren in Zukunft bei entsprechender Rechem kapazitiit fª die sogenannte autoInatische Korrektion optischer Systeme ª werden, wobei die Frequenzª als Merit- funktion, wie im vorigen Abschnitt angedeutet, benutzt werden kann. Erste Ans~itze sind bereits vorhanden [15], es 1/isst sich aber noch kein abschliessen- des Urteil darª fª die praktische Optikkonstruktion abgeben.

5. Berechnung der Frequenzª aus der Wellenaberration und einige bemerkenswerte Zusammenh~inge

Die numerische Berechnung der komplexen Frequenzª funktion soll, wie bereits angedeutet, nach eirtem Verfahren ron HOPKI~S und GOODBODY [10], [16] vorgenommen werden. Es wurde speziell fª Rechenautomaten entwickelt und gewinnt nunmehr ah praktischer Bedeutung, da es gelingt, die Restfehler eines aus der Praxis vorliegenden Systems in Forro normierter Wellenaberrationskoeffizienten nach NIJBOER darzustellen, die Ausgangspunkt fª die Berechnung sind.

Die Wellenaberration wird zuniichst in die Pupillenfunktion umgerech- net, die innerhalb der Pupille wie folgt verknª sind

f ( ~ ' , y ) ---- ~(~', y ') ex v {ikw(~',y')}. (5.1)

Die Amplitudendurchl~issigkeit ~ wird bis auf einen unwesentlichen Faktor gleich der tats/ichlichen Amplitude der Welle gesetzt, da die ideale Amplitude ª der gesamten Referenzfl~iche als konstant angenommen und auf Eins normiert werden kann. Es wird hierbei vorausgesetzt, dass die Welle weder durch Absorption noch durch Reflexion oder Streuung geschw/icht ist, mit anderen Worten sei die gesamte Pupille als gleichm~ssig durchl~issig ange-

Acta Pbys. Hung. Toro. X V [ I L Fase. 3.

250 w. REICHEL

nommen. Mit dieser in der Praxis meist erfª Bedingung liisst sieh dann G1. 2.15 mit G1. 5.1 kombinier t schreiben

D(s , q~ ) " = + f f exp{ik[W(.~ ' + k"2, , y )'" -- W(�91 -- s /2, (5.2)

oder unter Einf ª einer zweekm/issigen Abkª

V = 1, [W(:~' + ~'/2,~) -- W(~' - - ~ ' / 2 , ~ ) ] , (5.3) $

ergibt sieh dann

1 D( ~', 4 ) -~ ~7- f f exp { ikk ' V(~ ' , / ' ; k ' )} d~' d i ' . (5.4)

F ª die numerische Integrat ion teilt man zweckm~issig die ~ ' - - ) ~ ' - E b e n e in rechteckf•rmige Elemente mit den L~ingen 2A~' u n d 2Ay' und den Zeigern n, m auf. Die Funkt ion V wird durch eine Taylorentwicklung

1 pvt v ( ~ ' , f ; - ~ ) = v/~,( ,~ ' ,y) + - ;(~'/2)-~ w~, ( ~ ' , f ) + o � 9 1

(5.5) 1 W~, (x ,y ) + . -4- 5.v ( }'/2)4 ' . . . .

im Punk t (~~, y~,) mit den Mit te lpunktskoordinaten ~~ = ( 2 n - - 1 ) z ] ~ ' und ~m ---- ( 2 m - - 1) Z13~' eines solehen Elementes ersetzt, so dass die GI. 5.4 fª das Fl~iehenelement lautet

' y J" D~ m(~', ~b ) -- ~' ex v {ik~' V(s 5 ' )} -d i ' d f f . (5.6) 4A Ai"

~',,-.Ÿ ~" p',,_ ~ p"

Die Beitr~ige der einzelnen Fl~iehenelemente, deren Zerttren innerhalb des Integrat ionsgebietes S liegen, werden summiert , so dass man das Integral , abgesehen ron einem Restglied wie bei GOODBODY [16] n~iher ausgefª als Doppe lsumme sehreiben kann.

D(~', 4 ) -- 1 Nc . ~ 2 TM exp {i 3.,m} sin .~.,m sin ~~,m (5.7)

1 ~( ~' ~b) -- 2 " . ~ COS 3.,m" sinc ~~.m" sine O.,m, (5.8)

Nc n m

' / " W v sind Differentialquotienten. * Die Ausdrª in GI. 5.5 wie W~,, ~~, und ~,


BERECItNUNG DER t~BERTRAGUNGSFUNKTION OPTISCItER SYSTEME 25[

mit

~(~ ' ,~) - 1 Nc ~n ~m sin ~, ,m'sinc ~~,ra'sinc ~~,m, (5.9)

�91 = k �9 ~' V, (5.10)

~n.m = k . r" A~' ~ V, (5.1~)

3~~, m = k . ~'.A~' ~ V. (5.12) ~~'

Nc sei die Anzahl der Fliichenelemente der aufgeteilten Pupillenfliiche C. Diese Aufteilung des Integrationsgebietes in elementare Gebiete ist sehr vorteilhaft, da man beliebig gestaltete Integrationsfl~ichen damit erfassen kann. F'ª die nachfolgenden Beispiele wurden die Pup;llenelemerte 2A~' = 2Ay ~' =- = 0,1 gew/ihlt, so dass fª einen Quadranten einer kreisf6rmigen Pupillen- fl~iche (C) 79 Pupillenelemente zu bestimmen waren. Auf die Einzelheiten der Berechnung und Programmierung sei in dieser Darstellung verzichtet. Die aus der Praxis ausgew~ihlten Beispiele konnten leider nicht auf die tabel- lierten Werte der F• von I-IovxI~S zurª252 werden, so dass die Berech- nung auf der Rechenmaschine ,,Oprema" des VEB Carl Zeiss Jena vorgenommen wurde. Es seien hier einige Bemerkungen ª die geometrisch-optischen N~iherungsmethoden eingeschoben. Nach einem Vorschlag ron HovxxNs [17] kann die Gr6sse V in geometrischer 1N~iherung wie folgt in das • integral eingehen

' " (5.13) v = w z ( ~ , ~ ' ) = ~o~st .L' . �91

Die Gr0sse L' ist als Linienfrequenz in Linien/mm des verwendeten Sinus- gitters mit der normierten Frequenzvariabeln ~' durch die folgende Beziehung verknª

L ' -- - - r 2 2~9 '

wobei 2 die Lichtwellenl~inge und ~9 die wirksame Blendenzahl bedeuten. Die Gr6sse der normierten Queraberration setzt sich aus den verschiedenen Anteilen der normierten Strahlaberration wie folgt zusammen

~' = ~' cos �9 -}- 7' sin q). (5.15)

Diese N/iherung d. h. Vernachl/issigung der h6heren Ableitungen aus G1. 5.5 ist nur fª bestimmte Betr/ige der einzelnen Aberrationskoeffizienten, die sehr unterschiedlich ist und nur fª kleine Linienfrequenzen ~' zul/issig. Mehrere Autoren haben diese N~iherungen untersucht und man findet bei

Act~ Phys. Hung. Toro. X V I I I . 1;'ase. 3.

252 W. REICHEL

MIYAMOTO [19] eine zusaramenfassende Darstellung. Diese Verfahren sind z. B. r o a LUKOSZ [18], ZiiLL~ER, STUTT~R und HXUS~R [20] weiter ausgebaut worden. Der Vorteil solcher Niiherungsmethoden besteht darin, dass man nicht erst die Wellenaberration durch Integration aus der Strahlaberration gewinnen muss, da letztere (Strahlaberrationsbetrag ~') direkt in das • integral eingeht und zusiitzlich das Integrationsglied uaabhiingig ron der Frequevz wird. Natª bedingt das fª die Mittelpunktskoordinaten ~~, ~m, jedes Pupilleneleraentes eine georaetrische Strahldurchrechnung zur Ermitt lung der Queraberration, dass fª koraplizierte optische Systeme rait 5--10 Linsen auch rait Rechenautoraaten einen nicht geringen Rechenaufwand bedeutet. Die in dieser Arbeit benutzte graphische Methode korarat dagegen mit einer sehr viel geringeren Anzahl ron Strahldurchrechnungen aus und 1/isst durch die normierte Aberrationskoeffizientendarstellung bereits eine Bewertung der Bildgª und Tabellierung der F• zu. Will raan dann noch die Pupillenele- mente fª die Integration als Rechenerleiterung iiquidistant wiihlen, dann wird raan die Strahlen in der entsprechend aufgeteilten Eintrittspupille aus- wiihlen und dieselbe anstatt der Austrittspupille auch als Integrations- gebiet verwenden, denn eine gleich abstiindige Aufteilung der Austritts- pupille ist schwierig. Die Voraussetzung, die Eintrittspupille bei der Integration gleich der Austrittspupille setzen zu dª gilt aber nur, wenn die Pupillen aberrationsfrei ineinander abgebildet werden und ist fª die raeistea Objektive auch nur in INiiherung erfª Allerdings eignet sich die graphische Methode zur Erraitt lung der Wellenaberration fª Rechenautomaten wenig, hat aber, wie aufgezeigt, eir~ige andere Vorteile und war auch ursprª nicht dafª bestirarat. Abschliessend sei festgestellt, dass bei Anwendung der geometrischen N/iherungsverfahren jeweils zu ª252 ist, ob diese vereinfachten Annah- raen gerechtfertig sind. Ausserdera ist der rechnerische Aufwand nicht so riel geringer wie gelegentlich behauptet wird. Das schliesst natª nicht aus, dass charakteristische Merkraale der Wellenaberration ira Zusararaenhang rait der • auf die Strahlaberration ª werden kSn- nen unter den obigen Voraussetzungen. Doch ist es besser, prinzipielle • legungen zuniichst mit der Wellenaberration korrekt zu kliiren, wie es in den folgenden Beispielen durchgefª werden soll.

Bild 8 zeigt ira unteren Teil den Korrektionszustand und ira oberen die • fª die gª Einstellebene. Es handelt sich hier ura eine Versuchsrechnung eines Spezialobjektives, welches fª Fernseh- zwecke verwendet werden sollte. Die eingezeichnete Frequenzgrenze 1/isst sehr schiin erkennen, dass fª das Fernsehen nur ein relativ kleiner Frequenzteil beniitigt wird [21], dieser jedoch optimal auskorrigiert sein rauss. Die strich- punktierte Kurve stellt zum Vergleich ein aberrationsfreies Objektiv der gleichen 0ffnung dar. Im Bild 9 ist dagegen selbst fª die gª Einstell- ebene diese Fernsehforderung aur schlecht erfª Der Optikkoastrukteur

.Acta Phys. Hung. Toro. XVI I I . Fasc. 3.

BERECttNUNG DER I~BERTRAGUNGSFUNK.TION OPTISCHER SYSTEME 2 5 3

~0"

~fo} I ~5-

~�91 f�91 mit ~= 7

1,�91

0,5-

I

. . . . . . . V 1/6/77 V74.3

"~~ i",;2

, i i i l 700 200

L ' (L /men/Fn m) , I ,

K'= B'max- Bm,n B ~ t mox + B6in

/ lq' G:O ~

: 588 n m

o ~ '4w-~t

-1,0

-a5

-~ -'2 o ~"s@~m)

BtŸ 8

z,o-l[ ~ .~~�91

\ " " " %o: z4, ª \ ~~-~,22

= 588 nm

o'-- ' ~ " - ' u~m

7,0 -

q'I C,.5 -

- I ,0

�9 0 , 5

Bild 9

Acta Pbys. Hung. Toro. XVII]. Fase. 3.

2 5 4 w . REICHEL

weiss bereits aus der Erfahrung, dass ª Objektive kontrastarm sind. Hier 1/isst sich aber ein quantitativer Vergleich anstellen. Man erkennt diese Zusammenh~inge auch am Verh~iltnis der Aberrationskoeffizienten /~4~ (846 = W40/W60) in Verbindung mit der Toleranztheorie [13]. Ein weiteres Beispiel zeigt Bild 10 ebenfalls fª das axiale Gebiet. Es handelt sich um ein Spezialobjektiv mit geringer 0ffnung und sehr kleinen Restfehlern. Hier macht sich schon die Beugung sehr stark bemerkbar und geometrisch-optische N~ihe- rungsrechnungen wª in diesem Fall schon zu betr~ichtlichen Fehlern fª Durch eine entsprechende Dehnung der Abszisse fª die Linien-

1,0

0,5

AP 9/300 v3= 54f;, T ( nm)

W4~= 2t 6 ~ W~ =-1, 5 9.,1 tlr _1, 8 ~~~~~. ~

0 I I I I ! 20 40 L'(Linien/r¡

~ = 2 , , , , 0 100 200

B i l d 1 0

frequenz kann man sofort auf Systeme mit gr6sserer 0ffnung (z. B. ~ = 2) bei gleicher Korrektion ª

Auch das ausseraxiale Gebiet wurde ah praktischei~ Beispielen untersucht und in Bild 11 ist fª ein Projektionssystem die F• in komplexer Darstellung aufgetragen. In diesem Zusammenha=g sei nochmals kurz auf Bild 7 eingegangen. Die Versuchsrechnung V 743 sollte auf Grund ihrer gª gen axiale= Kontrastverh~iltnisse (vgl. Bild 8) fª Fernsehzwecke Verwendung finden, jedoch genª fª den Rand des Bildformats die Kontrastver- h~iltnisse nicht. Der tiefere Grund lag hierfª in der negativen Komasumme fª den Bildwinkel aŸ -- 7,75 ~ Durch ~nderung der Konstruktionsparameter ist es gelungen, die Komasumme (W 3 A- W51) auch fª den Rand des Fernseh- formats positiv zu bekommen. Allerdings wurde wie aus der Tabelle zu entneh- men ist, die axiale Bildqualit~it wenig verschlechtert, doch ist der Gewinn ira Kontrast fª die Randzone fª den ohnedies etwas schlechteren Sagit- talschnitt gegenª dem Meridionalschnitt erheblich (Bild 7).

Ah einigen Beispielen konnte auch experimentell, nachdem die Wellen- aberration mit einem Interferometer nach KRur ermittelt wurde und mit der Rechnung ª die Kontrastª [7] gemessen werden (Bild 12).


BERECHNUNG DER I~BERTRAGUNGSFUNKTION OPTISCHER SYSTEME 255

Den Optikkonstrukteur interessieren aber in erster Lirde die Berechnung und Zusammenhiinge, wie man zu einer guten Bildqualit/it kommt und erst in zweiter Linie die Best/itigung durch praktische Messung aro ausgefª Typ, deshalb wurde auch in dieser Arbeil ausschliesslich die Berechnung der

ID L -- -Mer/d/onal�91191

o. o,,.i \\~~.o

w57= - 7,6.~ ~ ' " "Yl .,1= 58"~,5nm 6:! 8 ,~0/7�91 750 L~Dn,'en/mmf

. 2" L W ~ o . 6 3

d,5 io ) o - - ' , z ~o'.,e.l,.,.)

B i l d 11

7,0"

K Jj

0,5

~_~ ~ " ' ~ ~ + . ~ . _ .e,+x ,Veppunkfa "n4Azimuten

"W.berechneteKurve wW -7, 95,~ ~ +k/eppun/d:e +'x,,,,,.~ w~-6,28~ ~'-i-~ +~,..,.ffi li-+,

+~... \

7 -48

-0,4

-62

Bi[d 12

F• behandelt und das Experiment nur zur Bestiitigung der Theorie herangezogen.

Diese Beispiele mSgen genª um zu zeigen, dass mit Hilfe der F • speziell in der optischen Rechenpraxis mit dieser entwickelten Methode [22] bereits einige quantitative Schlª ª die Bildleistung ron optischen Systemen m6glich sind.

7* Acta Ph.ys. Hung. Toro. XVII[. Fasc. 3.

~-,~6 W. REICHEL

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0 TEOPHH H HPAKTHI-(E OFIPE~EJ-IEHHFI HEPE~I, ATOqHO~ OYHKIJ, HH OI1THqECI-(HX CHCTEM

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Acta Phys. Hung. Toro. XVI I [ . Fr 3.

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Zur Theorie und Praxis der Berechnung der Übertragungsfunktion Optischer Systeme