Ii und introd-deriv.-int

II unidad

INTRODUCCION

2 4 6 8

2

4

6

x

y

a x

y = f(x)

Se quiere hallar la recta tangente a la curva en el punto (a ; f(a))

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x

y

a x

y = f(x)

(a; f(a))

(x; f(x))

Se quiere hallar la recta tangente a la curva en el punto (a ; f(a))

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x

y

a x

(a; f(a))

(x; f(x))

Se toma un punto arbitrario (x ; f(x)) y se traza la recta secante que pasa por esos dos puntos

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x

y

a x

(a; f(a))

(x; f(x))

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x

y

f(x) - f(a)

x - a

a x

(a; f(a))

(x; f(x))¿Cuál es la pendiente de la recta secante?

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x

y

f(x) - f(a)

x - a

a x

Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”

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x

y

f(x) - f(a)

x - a

a x

Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”

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x

y

f(x) - f(a)

x - a

a x

Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”

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x

y

f(x) - f(a)

x - a

a x

Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”

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x

y

f(x) - f(a)

x - a

a x

Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”

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x

y

f(x) - f(a)

x - a

a x

Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”

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x

y

f(x) - f(a)

x - a

a x

Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”

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x

y

f(x) - f(a)

x - a

a x

Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”

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x

y

f(x) - f(a)

x - a

a x

Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”

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x

y

f(x) - f(a)

x - a

a x

Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”

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x

y

a x

Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”

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x

y

a x

Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”

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x

y

a x

Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”

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x

y

ax

Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”

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x

y

ax

Ahora hagamos que “x” aproxime a “a”

Pendiente de la recta secante que pasa por los puntos (a; f(a)) y (x; f(x))

axafxfPendiente

)()(

axafxflímm

ax

)()(

Pendiente de la recta tangente en el punto (a; f(a))

La siguiente es una forma equivalente:

𝑑𝑦𝑑𝑥=lim

h→ 0

𝑓 (𝑎+h )− 𝑓 (𝑎)h

Donde, , que también se denota como y’ o f’(x) es la primera derivada de y con respecto a x, evaluada en “a” como se observa en la figura.

PENSEMOS EN COMO OBTENER EL ÁREA BAJO LA FUNCIÓN F

f(x)

Sabemos calcular el área de polígonos…

27

PODRÍAMOS …

x0 x1 x

f(x)

x2 x3 x4

Nosotros construiremos rectangulos!!!

n = 3 rectángulos

VEAMOS ESTO GEOMETRICAMENTE…

n = 6 rectángulos

n = 12 rectángulos

n = 24 rectángulos

n = 48 rectángulos

n = 99 rectángulos

La integral definida plantea el límite de una suma de áreas.

b

a

dxxfÁrea )(

INTERPRETACIÓN …