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Beispiel zur Minimalkostenkombination

Gegeben sei die Produktionsfunktion

x = − (r1 − 5)2 − (r2 − 5)2 + 12 ,

Die Faktorpreise q1, q2 der Produktionsfaktoren lauten q1 = 4 , q2 = 6 (GE/ME).

a) Bestimmen Sie die Grenzen des ökonomischen Bereichs (Ridge Lines).

b) Bestimmen Sie die Minimalkostenkombination für eine Produktionsmenge von x = 8 ME algebraisch und weisen Sie ihre Optimalität nach. Wie groß sind in die-sem Fall die Kosten und der Lagrangesche Multiplikator?

c) Welche Produktmenge kann maximal bei einem Kostenbudget von K = 30 herge-stellt werden?

a) Bestimmung der Ridge Lines:

seinmussrhdrrrx 5..;50102 1111

≤=⇒=+−=δδ

seinmussrhdrrrx 5..;50102 2222

≤=⇒=+−=δδ

b) Algebraische Lösung:

L (r1 , r2 , λ) = 4 ⋅ r1 + 6 ⋅ r2 + λ ⋅ (8 – x )

0)102(4)1( 11

=−⋅+= rrL λ

δδ

0)102(6)2( 22

=−⋅+= rrL λ

δδ

012)5()5(8)3( 22

21 =−−+−+= rrL

δλδ

25

236012408

1026

1024

121221

−=⇒−=−⇒−

−=−

− rrrrrr

eingesetzt in (3):

012)525

23()5(8 2

12

1 =−−−+−+ rr

04

3092

654

131

21 =+− rr

8906,31 =r 578,358028,1336,32 === Kr λ

c) Algebraische Lösung:

L (r1 , r2 , λ) = − (r1 − 5)2 − (r2 − 5)2 + 12 – λ ⋅ (4 ⋅ r1 + 6 ⋅ r2 – 8 )

04)102()1( 11

=⋅−+−= λδδ r

rL

06)102()2( 22

=⋅−+−= λδδ rrL

03064)3( 21 =+−−= rrLδλδ

25

236012408

102102

64

12122

1 −=⇒+−=+−⇒+−+−= rrrr

rr

eingesetzt in (3):

030)25

23(64 11 =+−⋅−⋅− rr

769,0,31,41335

1345 04513 211 ==⇒=⇒=⇒=+⋅− λxrrr