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Results in Mathematics Vol. 12 (1987)
0378- 6218/87/020191-16$1.50+0.20/0 (c) 1987 Birkhauser Verlag, Basel
Bewertungsringe von SchiefkBrpern,
Resuitate und offene Probleme
Martin SchrBder
Einleitung
Aus den folgenden Themenkreisen werden einige Ergebnisse und offe-
ne Probleme aufgezeigt . ~ Die allgemeinen Bewertungsringe vom
Rang 1. Theoretlsch slnd hlervon drei Klassen mBglich; w~hrend man
Beispiele zu den ersten beiden Klassen A und B kennt, 1st bis-
her eln offenes Problem, ob die Xlasse C nicht leer ist.
(Elne von N.I. Dubrovin angegebene Xonstruktion eines Beispiels
1st unvollst~ndig.) ~ FUr einen beliebigen nicht trivial bewerte
ten Schiefk6rper (X,B) wird die durch den Bewertungsring B auf
X erzeugte Topologie TB betrachtet, die hier [im Gegensatz zu
X. Mathiak] definiert ist als grBbste Rlng- Topologie auf X bei
der B (und damit aIle Links- und Rechtsideale) offen ist. Das
ergibt immer elne elndeutig vorhandene Schiefkorpertopologie, -
sie ist aber nlcht immer elne V-Topologie. Offen ist das Problem ,
ob TB stets von Xofinal-Charakter ist.
§ , . Grundiagen
Sei K eln SchlefkBrper. Ein Bewertungsring von K ist ein Teil-
ring B mit vxEX* (xEB v x- 'EB) . Bekanntlich kann man nur im
FaIle der Invarianz von B (Vz€X* zBz -, = B) die durch B auf K
gegebene Bewertungsstruktur durch eine Schilllng- Bewertung
192 Schroder
v: K* 4 r ,r linear geordnete Wertegruppe, beschreiben. -
FUr die grundlegenden E1genschaften von Bewertungsringen verweisen
wir auf [M2]. Wichtig fUr das folgende sind:
Die Bewertungsringe von K entsprechen bijektlv ihren zugeh~ri-
gen Bewertungsidealen p - sowohl eln Bewertungsring B als
auch ein Bewertungsideal p beschreibt jewells elne "Bewertung"
von K. Die trivia Ie Bewertung von Kist durch B = K , P = 0
gegeben. Die ganzen (die gebrochenen) Rechts- bzw. Linksideale
eines Bewertungsringes B von K sind die Tellmengen I von B
(von K) mit Vb€B I·b c I bzw. vb€B b . 1 c I (Additivitat
von I folgt). Abstrakt ist ein allgemeiner Bewertungsring B ein
nuliteilerfreier Kettenring (mit 1), d.h. sowohl die Rechts-
ideale als auch die Linksideale bllden elnen jeweils per InkIu-
sion linear geordneten Verband Vr bzw. VI wobei wir aus
technischen GrUnden das Nuliideal nicht zu Vr bzw. VI rechnen.
FUr nichttriviales B haben Vr und VI kein kleinstes Element.
Ais linear geordnete Mengen ohne klelnstes Element haben Vr und
VI dann je einen bestimmten Koinitialit~tstypus; als wlchtige In
varianten eines nichttrivialen Bewertungsringes B bezeichnen
wlr im folgenden mit Koin ----r bzw. den Koinitialitatstypus
von Vr bzw. VI' (Zum Begriff des Koinitialitatstypus (dual
zum Konfinalitatstypus) einer linear geordneten Menge ohne klein
stes Element vergleiche man [H) : dieser ist stets eine eindeutig
bestimmte regulare Anfangsordinalzahl.) - Von den Bewertungsringen
B,B 1 in K heiSt B1 gr~ber als B, wenn B, = B gilt (ent
sprechend P1 = p fUr die Bewertuogsideale), Dabei bilden die
Vergr~berungen einer festen Bewertung stets eine Kette. Wir sagen
Schroder 193
B hat Rang 1 , wenn B als echte Vergr6berung nur die triviale
Bewertung hat . Dies ist aquivalent dazu, daB unter den Idealen von
B auBer dem Bewertungsideal p nur noch 0 vollprim ist.
§ 2. Rang 1 - Bewertungsringe
In der Gesamtheit der Bewertungsringe vom Rang 1 sind theoretisch
drei Klassen m6glich, wie wir im folgenden sehen.
~l~ll~=~: B ist invariant (mit Rang 1).
Diese B sind bekanntlich durch Schilling-Bewertungen
vB: X* ... r auf eine (angeordnete) Untergruppe r von (IR,+, :ii )
darstellbar. Eine wichtige spezielle Teilklasse von A bilden
die diskreten Bewertungsringe B vom Rang 1. DafUr beweist man
relativ leicht die Xquivalenz
B ist vom Rang 1 mit p2 * P
.. B ist invariant mit Wertegruppe ~ ~ .
Zur Xlassifizierung der Ubrigen Bewertungsringe vom Rang 1 ben6-
tigt man
Lemma 2.1
Sei B ein beliebiger Bewertungsring von X und I ein (zwei
seitiges) Ideal von B. Dann ist n In ein Vollprimideal von nElN
B.
(Vgl. [M2], p. 96.)
Daraus folgt direkt:
194 SehrCider
Lemma 2.2
B habe Rang 1. FUr jedes Ideal I von B mit liP gilt
n In z 0 • n€lN
Zur Kennzeichnung der nicht invarianten B vom Rang 1 hat man
den folgenden
Satz 2 . 3
B habe Rang 1. Dann gilt:
B 1st nicht invariant __ pl: p und unter den zweiseiti-
gen Idealen I von B mit liP existiert ein maximales
Y (e1n "direkter Vorg.!inger" von p) •
Beweis:
"." folgt aus der Beschreibung der invarianten Rang 1 - Bewer-
tungen als Schilling- Bewertungen mit einer Wertegruppe
r .: (lR, +)
Sei B
stiert
nicht invariant, p Bewertungsideal von B • Dann exi-,
z€K· mit zpz i P ; somlt exlstiert x€p' {O} mit
-'1 S i -I •• -zxz p. e u I Wegen der linearen Ordnung der Menge
der zweiseitigen
xiII . - Und es
Denn sonat wAre
Wegen letzterem
I<oB xU
Ideale folgt
existiert kein
I .. B und
Ideal I
-I i p (wegen x€P ,
mit I i I 'f P
x€! , au.6erdem n In - 0 nach Lemma 2.2. n€l.
existierten n1€:N , n2€:N mit n, -,
und I c z P n,
I c 8z (lineare Ordnung der Menge der gebrochenen Rechts- bzw.
Linksideale)
Schroder 195
-1 z x z €p
Widerspruch! []
Falls fUr das in Satz 2.3 beschriebene Ideal I speziell 1=0
gilt, erhalten wir die
~!~~~~=~: B ist fast einfach (nearly simple), d.h. B enth~lt
auBer 0 und dem Bewertungsideal p keine anderen echten
zweiseitigen Ideale.
Die ersten konkreten Beispiele von fast einfachen Bewertungsrin
gen sind von N.I. Dubrovin [01) und unabh~ngig von K. Mathiak
(Ml] konstruiert worden.
In dies en Beispielen von fast einfachen Bewertungsringen haben
die Verb~nde Vr und VI der Rechts- bzw. Linksideale (ohne 0)
- als linear geordnete Mengen ohne kleinstes Element - den
Koinitialit~tstyp Koinr = Koin l = Wo (abz~hlbar). Inzwischen
sind Beispiele bekannt, [52), von solchen fast einfachen Bewer-
tungsringen, wo Koin r = Koin l = wQ
ein bellebig vorgegebener
Koinitlalitatstyp, also eine beliebig vorgegebene regul~re An-
fangsordinalzahl wQ
ist. - Ob aber bei allen fast einfachen Be
wertungsringen die Koinitialit~tstypen Koln r und Koin l immer
gleich sind, ist bisher ein offenes Problem.
Nach Satz 2. 3 bleibt als letztes die
196 Schroder
~.~~~~=~: In B mit Rang(B) = existiert ein zweiseitiges Ideal
- 2 I • P mit o ~ liP als direkter Vorganger von p .
Wie man wegen der I1nearen Ordnung der Menge der zweiseitigen
Ideale von B sleht, 1st das Ideal 1 prim, jedoch wegen
Rang (B) = 1 nicht vollprim.
Bisher 1st nun immer noeh ein offenes Problem, ob diese Klasse C
nicht leer 1st. Elne Konstruktion von N.l. Dubrovin [02] 2U einem
Beispiel der Classe C 1st unvollstandig. Dubrovin benutzt ein
sehr allgemelnes Konstruktionsprinzip fUr Bewertungsringe, das er
in [02] angibt. Jedoch hat der dart gefUhrte Beweis eine LUcke.
Ein exakter Beweis zu dies em allgemeinen Konstruktionsprinzip von
Dubrovin 1st hisher ein offenes Problem.
§ 3. Bewertungstopoloqie
Sei B ein be1iebiger nichttrivia1er Bewertungsring von K mit
8ewertungsidea1 p (8 nicht notwendig vom Rang 1). Wir wollen
dazu eine Topo1ogie T8 auf K de£inieren, die wenigstens stets
eine Ringtopo10gie sein soll und in der 8 und damit auch a11e
Links- und Rechtsidea1e offen sind.
8emerkung: Die im fo1genden beschriebene Topo1ogie T8 unterschei
det sich im a11gemeinen von der von K. Mathiak in [M21, Chapt. 2,
definierten Bewertungstopo10gie, da die 1etztere nicht irnmer eine
Ringtopo1ogie ist, wahrend die obige stets eine Schiefk~rper
topologie von Kist (Satz 3 .1). Desha1b sind auch die Beweise
mancher Aussagen, die in beiden Systemen analog lauten, hier neu
auszufUhren.
Schr oder 197
Aufgrund des nachfolgenden Satzes definieren wir
Te := gr Obste Ringtopologie au f X , in de r B offen ist.
Zur Berechtigung dieser Defini t ion zeigen wir den
Satz 3. 1
D1e Topol og1e Ta ex1st1ert e1ndeut1g, und s1e 1st schon stets
e1ne hausdorff'sche Sch1efk6rpertopologie von K • Eine umgebungs
bas1s der Null bezUglich Ta wird gegeben durch
U P" {aBb I a,b€B ..... {O}} •
Bewe1s:
FUr jede Ringtopologie auf K , in der B offen ist, ist II ein
Teilsystem der offenen Umgebungen der Null . Also ist unser Satz
bewiesen, wenn wir zeigen, daB das angegebene "sparsame" Mengen
system D schon aIle die folgenden Axiome 1. b1s 6. erfUll t
(dabe1 sol I en U, U" .. . , V aus obigem D sein):
2 . n{u I UED} = CO}
3.
4.
YU 3V
YU 3V
v-v c: U
V ' V c: U
Sa. YxEX* YU 3V
Sb. YxEK* YU 3V
xV c: U
Vx c: U
6. YU 3V (1+V)-l c: 1+U
198 Schroder
Zu beachten 1st stets, daB dabei B als nichttrivial vorausge-
setzt wird, also 8 .. K , p*,O •
Zu 1.
Sel "1 • atBb i , 1 • , " . Wir setzen
r' falls a,' e a,. a :'" a, .. a,' " a, • falls
..
wobei die lineare Ordnung der Rechtsideale bzw. der Linksideale
beachtet wird.
_ a,b€S ..... {O} und as = atB '" Bb == Bbt fUr i:;: 1,2 •
fUr i = 1,2 .
Zu 2.
Zunachst 1st OEU fUr aIle UEU klar. - Sei x€K*
3U€U xfu.
1. Fall: Es gilt xfB
Dann gilt xfU;= B = '·8·1
2. Fall: xES.
zu zeigen:
Dann gilt xfU:= x8p mit p€p'{O} (denn wegen Sp c p folgt
l¢ep und x = x·, ¢xBp) .
Zu 3. und 4.
Zu U:::: aShEU setze V:= U .
3. 1st klar, da B Untergruppe von (K,+) 1st;
4. folgt wegen V-V = a(BhaB)b c a.e _b = U
Schroder
Zu Sa.
• Sei U = aBb , xEK
- 1
{
X a z:= 1
falls
"
- zEB ..... {O} -1 zB c: x aB. und
FUr V:= zBbEll wird xV = x·zB· b c: x.x- 1aBob = U .
Zu Sb.: ahnlieh.
Zu 6.
Sei U - aBb€ll (a,b€B ..... {O}) .
Wir set zen V:= apBb mit einem pEp-...{O} und zeigen
-1 (l+V) -1 :: U = aBb wie folgt:
Sei vEV, a l so v = apxb mit xEB . Es folgt vEp und
( Hv )-'EB
- 1 (Hv) -1 =
folgt
Unter Benutzung
-1 - v+v(Hv) v
der Identit.\it
-, -1 (Hv) - 1 = a[ - px+pxb( l +v) apxlb
EaBb. c
AuS der Definition der Topologie TB ergibt sieh leieht
Satz 3.2
1. B und aIle konjugierten Bewertungsringe
- 1 zBz , zEK· , erzeugen dieselbe Topologle .
2. B und aIle nlehttrivlalen grBberen Bewertungsrlnge
B, ~ B erzeugen dieselbe Topologle auf K . D
199
200 Schroder
Elne wlchtlge Klasse von (nichttrivialen) Bewertungsringen B von
K wird durch die folgende Eigenschaft (*) beschrieben:
(*) :-
d.h. der Durchschnitt der - per Inklusion linear
geordneten - Menge der von Null verschiedenen zwei-
seitigen Ideale von B 1st das Nullideal.
Alle invarianten Bewertungsringe erfUllen C*) , auch aIle sub-
invarianten, d.h. die Vergr~berungen von invarianten Bewertungs-
ringen. Von den Rang 1 - Bewertungsringen erfUllen genau dte fast
einfachen nicht (*)
Wie man leicht zeigen kann , gilt fUr B genau dann "nicht (*)",
wenn zu B ein gr8berer Bewertungsring B, = B existiert, wel
cher fast einfach 1st.
Satz 3.3
Erfiliit der (nichttriviale) Bewertungsring B von K die Eigen
schaft (*) , so bildet das System J = {I 10 * 1 <l B} der zwei
seitigen Ideale 1 * 0 eine Umgebungsbasis von 0 bezUglich TB
Beweis:
Zu zeigen: Zu jeder Standardumgebung aBb€U (a,b€B' {O}) exi-
stiert ein I, 1 <2 B mit 0 * 1 c: aBb . -
Wegen ('J existieren zu a und b solche
a¢11 * 0 und b¢12 * O. ~ 11 = aD und 12 c: Db
( lineare Ordnung der Menge der Rechts - bzw. Linksideale).
mit
Schroder 201
Damit ist 1:= 1 112 ein zweiseitiges Ideal von B mit I * a ,
und es gilt I = 1 10 1 2 ~ aS oSb = aSb 0
Q
Die Eigenschaft (*) ist in folgender Hinsicht von Bedeutung.
Eine hausdorff ' sche Ring-Topologie auf einem schiefk~rper K (mit
einer umgebungsbasis U(O) von 0) heiSt nach I. Kaplansky eine
V- Topologie
: _ FUr jede Umgebung U€U(O) ist M = {x- 1 €K* 1 x~u ) eine
(im Sinne der Topologie) beschr~nkte Menge, d . h. es gilt
VUEU(O) 3V ' ,V"€ U(O) : V"M c:: U ,., M.V" cU .
(vgl. [KD], [M2].)
Es gilt: Jede V-Topologie auf Kist lokal beschr~nkt, d.h. es
existiert mindestens eine Umgebung Uo€U(O)
schrankte Menge (im Sinne der Topologie) ist.
Satz 3.4
welche eine be-
Sei a Bewertungsring, p * a zugehBriges aewertungsideal einer
nichttrivialen Bewertung von K und Ta die davon erzeugte To
pologie auf K . ~quivalent sind :
(i) TS ist V- Topologie
(ii) Ta ist lokal beschr~nkte Topologie
(iii) a erfUllt die Eigenschaft (* ) .
Beweis :
(i) ~ (ii) ist klar .
202 Schroder
(ii) .. (iii)
Eine Umgebung U = aSbEU (a,bEB'{O}) sei (links-) beschrankt, es
gelte also
(I) uBv-U c x8y • -
FUr beliebiges cEB'{O} 1st die Existenz eines I mit
o • I <l B und C,I zu zeigen.
Wlr wahlen ein pEp'{O} . Speziell fUr y:= pcb und x:=
folgt aus (1) die Existenz von u,vEB'{O} , so daB
uBv· aBb == Bpcb
uBvaB c Bpe
uvaB c Bpe ..
B·uvaB = a.Bpe = Bpe ..
I := BuvaB 1st ein zweiseitiges Ideal von B mit I * 0 und
I c Bpe ; dafUr gilt C~I
(denn eEl .. 3b,EB : c = b,pc .. 1 b,pEp , Widerspruchl).
(iii) .. (i)
Sei U = aBhEll eine belieblge Umgebung. Zu zeigen 1st:
Zu jedem U,EU existieren V',V"EU , so daB
(2) V'· { x-'EK· I x¢u} = U,
und
(3) {x-lEX· I x¢U}'V" c:: U,
gelten.
Wegen (ili) existieren nach Satz 3.3 zweiseitige Ideale 1,1, 1n
Schr oder 203
B mit 0' 1 c " und o • I, c ", . Wir w.!l.hlen a,c ... 0 mit
an , en,
- Ba } eB } aB
c I c " , Be c I, c ", .
Wegen Ba c U gilt
{x-'EK* 1 x(:u} == {x- 'EK* 1 x(:Ba l = {x-'EK* I xa-' (:Bl '"
{x-'e:K* 1 ax- 'e:p} = a-' "...{Ol , also sieher {x- 'EK* I xtul c a- ' B .
FUr die umgebung
V ' := cBaEU
ergibt sieh nun
also (2) wie verlangt.
Xhnlich ergibt sieh fUr v n : = aBeEU die Beziehung -,
Ba -aBc = Be = U, , also (3). o
Eine wichtige Klasse von uniformen Topologien bilden die mit
Kofinal-Charakter (vgl. [HM]). Diese sind dadureh ausgezeiehnet,
daB jedes Element eine (per Inklusion) linear geordnete Umgebungs-
basis hat . Die wichtigste Eigensehaft einer uniformen Topologie
mit Kofinal-Charakter liegt darin , daB man in ihr Grenzprozesse
statt dureh allgemeine Cauehyfil ter schon durch K- Cauchyfolgen
(K eine Limesordinalzahl) beschreiben kann : das sind cauchyfolgen
(X\l ) \I<K ' die mit Ordinalzahlen \I < K indiziert sind. (Bei den
gewBhnlichen cauchyfolgen ist K '" Wo . ) Wegen Satz 3 .3 erzeugen
204 Schroder
zum Beispiel aIle Bewertungsringe B, fUr die (*) gilt, eine
Topologie Ta mit Rofinal-Charakter. Aber auch fUr aIle hisher
bekannten Belspiele von fast elnfachen Bewertungsringen B 1st
Te von Kofinal-Charakter. Wie man zeigen kann, gilt ganz a11ge
me!n der
Satz 3.5
Te hat genau dann Rofinal-Charakter, wenn Koinr : Kainl
in 8
gilt. c
Offen 1st zur Zeit das Problem, ob Koinr
: Koinl
1n jedem
(nichttrlv .) Bewertungsring B gilt.
Erwahnt sei dazu nur noeh:
Wenn das von N.l. Dubrovin 1n [02) angegebene Konstruktionsprinzip
fUr Bewertungsrlnge in voller Allgemeinheit gilt - was bisher nicht
exakt bewlesen 1st -, so kann man, wie in [51] gezelgt, zu jedem
beliebig vorgegebenen Paar (wa ,wa ) von regularen Anfangsordi, 2
nalzahlen einen Bewertungsring B mit
Koinr = w ", konstruieren.
§ 4. Bemerkung
Koin1
~ w ",
Sei B nichttrivialer Bewertungsring von K. Die von
K. Mathiak in [M1) und [M2], Chapter 2.6, zu B auf K einge-
fUhrte Topologie ist mittels der t-Umgebungen, tEW· , einer zu
B geh5rigen Mathiak-Bewertung I I : K 4 W (vql. [M2], § 2),
mit der linear geordneten wertemenge W definiert und hat als
Schroder
Umqebunqsbasis der Null das System {aB I aES ..... {O}} von Reehts
idealen - ist aber i.a . keine Rinqtopoloqie auf K. Eine zu S
qehoriqe Mathiak-Bewertunq 1' 1 ist eine "Reehtsbewertunq" von
K [d.h. fUr a,b,eEK qilt au6er den Axiomen 1. lal = 0w-'
a: ° und 2. l a+b l ~ Max(!a l , lb l ) fUr die Multiplikation:
3. lal 'I bl ~ Ical' Icb l (vql. [M2], p . 5)].
Oiese stellt nur eine der moqliehen aquivalenten Beschreibunqen
der durch B auf K qeqebenen Bewertunqsstruktur dar. Sie ist
unsymmetrisch: Zu B laBt sieh neben der Mathiak-Bewertunq
("Reehtsbewertunq" weqen 3.) als andere 1:I.quivalente Darstellunq
der durch S auf K qeqebenen Bewertunqsstruktur ganz analog
aueh eine "Linksbewertung" I ' l l von K definieren [an Stelle
von 3. gilt jetzt: lal , ' Ibl , ~ lac l , 'I bc l , fUr a.b.c€K]
205
und dazu entspreehend analog eine Topologie auf K (nLinkstopolo
gie"), diese hat dann das System {Ba I aEB ..... {O}} von Linksidealen
als Umgebungsbasis der Null. Die Mathiak' sehe "Reehtstopologie"
und diese zugehorige "Linkstopologie" sind im allgemeinen keine
Ringtopologien, sie sind aueh im allgemeinen voneinander ver
schieden, was die Unsymmetrie dieser Betri££e unterstreicht.
Wie man zeigen kann, gilt der folgende Zusammenhang mit der von
uns definierten Schie£korpertopologie TB :
Satz 4.1
Die zu B gehorige Mathiak' sche "Reehtstopologie" stimmt mit
T B Uberein
-. B erfUllt die Eigenschaft (.)
206 Schroder
_ Die zu B geh8rige Mathiak 1 sche "Rechtstopologie" und die
zugehorige "Linkstopologie" auf K stimmen Uberein. C
Literatur [01] Dubrovin, N.l.: Chain domains. Moscow Univ. Math. Bull. 36
(1980) , 56 - 60.
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Nachdruck New York: Chelsea Publ. Compo 1965.
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KBrper. J . Algebra 11 (1981), 586-600.
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Springer 1986 .
[51] Schrader, M.: Manuskript, unverBffentl icht (MUnster 1985)
[52) Schrader, M.: Fast einfache Bewertungsringe mit Koinr Koin l = wa . Manuskript (MUnster 1986).
Martin Schrader Mathernatisches Institut der Unlversitat MUnster EinstelnstraBe 62 0-4400 MUnster (west- Germany)
elngegangen am 24 . 3.87
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