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Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 09.02.2007 1
Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I)
Vorlesung am 09.02.2007
Fr. 08:30-10:00 Uhr; R. 1603 (Hörsaal)
Universität Kassel (UNIK)FB 16 Elektrotechnik / Informatik
FG Fahrzeugsysteme und Grundlagen der Elektrotechnik (FG FSG)FG Theoretische Elektrotechnik (FG TET)
Büro: Wilhelmshöher Allee 71, Raum 2113 / 2115D-34121 Kassel
Dr.-Ing. René Marklein
E-Mail: marklein@uni-kassel.deTel.: 0561 804 6426; Fax: 0561 804 6489URL: http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de
URL: http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 09.02.2007 2
4.2 Methoden zur Berechnung von Widerstände 1. Weg
d
dL
A
E sU
RI J A
����������������������������
����������������������������
lA
l
A
A l
Allgemein gilt natürlich weiterhin
Wenn in kleinen Elementen über die Länge
die Feldstärke, über die Querschnittsfläche
der Strom als konstant angenähert werden können:
mit - Abstand von Potentialflächen
mit
Nähert sich bei inhomogener Strömung bei hinreichend kleiner Unterteilung der Widerstand eines solchen
Elementes dem eines durch beschriebenen Volumens an und
-> Netzwerk aus parallel und in Reihe geschalteten Widerständen:
- Querschnittsfläche eines „Stromfadens“ senkrecht zur Strömungsrichtung
lR R
A
AG G
l
Bild. Stationäres elektrischesStrömungsfeld in eingeschnürterKupferschiene
I
oder
,J E����������������������������
(4.7) (4.8)
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 09.02.2007 3
4.2 Methoden zur Berechnung von Widerstände 1. Weg
Bei einfachen Geometrien bildet sich ein Strömungsfeld aus, dessen Äquipotenzialflächen und Stromfäden auf einfach beschreibbare Widerstandselemente führen, so dass sich statt eines Netzwerkes einfache Reihen- oder Parallelschaltungen ergeben, siehe Beispiele 4.1 und 4.2:
Beispiel 4.1 Koaxialkabel
Koaxialkabel mit Radien ρ1, ρ2 und Länge l Dielektrikum besitzt die Leitfähigkeit γ
über elektrostatisches Feld wurde Kapazität der Anordnung berechnet, parallel dazu liegender Leitwert über Strömungsfeld.
Aus Feldberechnung:
C R
Bild 3.25a. Koaxialkabel
Widerstand R inradiale Richtung!
Reihenschaltungvon dünnenZylinderschalenin radialer Richtung!
elektro-statisches
Feld
elektrisches,stationäresStrömungsfeld
1RNR
nR
,J E����������������������������
2
1
3
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 09.02.2007 4
Beispiel 4.1 Koaxialkabel
Lösung:
2A l
1d dR
A
Reihenschaltung von dünnen Zylinderschalen in radialer Richtung!
Bild 3.25a. Koaxialkabel
mit der Mantelfläche
Hier gilt für den differentiellen Widerstand
dd
2R
l
folgt
d 1
dR lA
In Abschnitt 1.4, Gl. (1.11) galt 1R l
A und damit für den differentiellen Widerstand
1RNR
nR
,J E����������������������������
2
1
3
d
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 09.02.2007 5
Beispiel 4.1 Koaxialkabel
dd
2R
l
2
1
2
1
1 1 1d ln
2 2R
l l
Lösung:
Strom fließt durch Reihenschaltung unendlich vieler Mantelelemente, Rn für n → ∞!
(Daher bietet sich Widerstand als Berechnungsgrundlage an!
Koaxialer Zylindermantel mit Radius ρ und Wandstärke d ρhat den differenziellen Widerstand
Bild 3.25a. Koaxialkabel
1
Für den Widerstand R
2
1
dR R
geht obige Summe in Integral über:
2
1
1ln
2R
l
,J E����������������������������
2
3
d
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 09.02.2007 6
Beispiel 4.2: Stromdurchflossener Bügel
1
2
Gegeben: Stromdurchflossener Bügel mit den Daten
elektrische Leitfähigkeit
Innenradius
Außenradius
Breite b
Lösung:
Strömungslinien werden als Halbkreise angenommen, dann gilt für ein koaxiales Halbzylinderelement mit Radius
AG
l
halber Umfang
d d rechteckiger Querschnitt
l
A b
b1
2
d
I I
Bild 4.4. Stromdurchflossener Bügel(vgl. Bild 4.4. in Clausert & Wiesemann [S. 205, 2005])
1G
2GnG
NG
Parallelschaltungvon dünnenZylinderschalenin radialer Richtung!
I I
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Beispiel 4.2: Stromdurchflossener Bügel
=d
d d dd
1d d
l
A
A b bG
l
bG
2
1
2
1
2
1
d
d
ln
G G
b
b
Lösung:
Parallelschaltung aller Elemente führtauf Integral der Leitwerte:
1G
2GnG
NG
Parallelschaltungvon dünnenZylinderschalenin radialer Richtung!
I I
b1
2
d
I I
Bild 4.4. Stromdurchflossener Bügel(vgl. Bild 4.4. in Clausert & Wiesemann [S. 205, 2005])
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 09.02.2007 8
4.2 Methoden zur Berechnung von Widerstände 2. Weg
d d
d d
A Ab b
a a
D A E AQ
CU
E s E s
��������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������
d d
d d
b b
a a
A A
E s E sU
RI J A E A
��������������������������������������������������������
������������������������������������������ IIIIIIIIIIIIII
d dd d
d dd d
b b
a aA Ab b
A Aa a
E s E sE A E A
R CE A E A
E s E s
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������
G
C
Ableitung des elektrischen Widerstands R aus analoger Kapazitätsberechnung C (zulässig, da Feldgleichungen für bzw.
► a und b Punkte auf dem Innen- und Außenleiter
► A die Fläche, durch die der gesamte elektrische Fluss bzw. die elektrische Strömung fließt
► Quellen der Felder sind die el. Ladung Q bzw. der el. Strom I!
oder (4.9)
E��������������
Multiplikation beider Gleichungen ergibt:
D J����������������������������
gleich sind):
1R
C
G C
oder
Widerstandsberechnung über Kapazitätsberechnung
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 09.02.2007 9
4.2 Methoden zur Berechnung von Widerstände 3. Weg
,
RI
Anderer Rechenweg:
► Strom I vorgeben
► Aus Strömungsfeld Potenziale an Endpunkten, d.h. den Elektroden, berechnen
► Siehe nächste Folie: Lösungsmethodik „Widerstandsberechnung“
Weitere Beispiele hierzu siehe nächsten Abschnitt 4.3!
► Kugelerder
► Halbkugelerder
(4.10)
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 09.02.2007 10
Lösungsmethodik „Widerstandsberechnung“
I
dA
I J A����������������������������
B
ABAd d
L
E s E s U ��������������������������������������������������������
Teststrom
J I��������������
JE
����������������������������
E I��������������
ABU I
ABU IR
I
ABR
I 1
2
IJ
l
Teststrom
1
2
IE
l
2
AB1
ln2
IU
l
2
1
ln
2R
l
Beispiel: Widerstand eines Koaxialkabels (Koaxialleiter)
dA
I J A����������������������������
JE
���������������������������� B
ABAd d
L
E s E s U ��������������������������������������������������������
ABU IR
I
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 09.02.2007 11
(4.12)
2
24
d d d 4A A A
r
J r A J r A J r A J r r
��������������������������������������������������������
24 0J r r I 2( )
4
IJ r
r
2
( )( )
4
J r IE r
r
Feldlinie
( ) d
( ) d
L
L
r E r
E r r
����������������������������
(Erdoberfläche hinreichend weit weg, homogener Boden)Strom I tritt in die Kugel ein, daher negativ:
Feldlinie
0 0
0 0
1, daFeldlinie
d
d
d
L
LE r
E r
E r E r
E r
�������������� ��������������
����������������������������
����������������������������
1( ) .
4
Ir konst
r
4.3 Anwendung auf Erdungsprobleme: Kugelförmiger Erder
Erdboden Strom: I
J��������������
Erdboden
r0r
MetallkugelHüllkugel
A
aus Radialsymmetriedes Strömungsfeldes
Bild 4.5. Kugelförmiger Erder; Strom I trifft auf Metallkugel mit Radius r und unendlicher Leitfähigkeit; Erzeugung eines radialsymmetrischen Strömungsfeldes (vgl. Bild 4.5. in Clausert & Wiesemann [2005, S. 206])
d 0A
J r A I ����������������������������
dA
J r A I����������������������������
(4.11)
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 09.02.2007 12
(4.13)(4.12)1
( )2
Ir C
r
wie Anordnung links, isolierende Ebene durch Mittelpunkt der Kugel
Halbkugel, d. h. der Strom I führt zur doppeltenStromdichte J (r) , da sich der Strom I anstatt aufeiner Kugel auf einer Halbkugel verteilt
1( )
4
Ir C
r
4.3 Anwendung auf Erdungsprobleme: Halbkugelerder
Erdboden Strom: I
J��������������
Erdboden
r0r
Metallkugel Hüllkugel
A
Bild 4.6. Halbkugelerder(vgl. Bild 4.6. in Clausert & Wiesemann [2005, S. 207])
Bild 4.5. Kugelerder(vgl. Bild 4.6. in Clausert & Wiesemann [2005, S. 206])
ErdbodenStrom: I
Erdboden
r
Hüllkugel: A
A
J��������������
Strom: I
0r
Erdboden
P
Metallhalbkugel
2( )
4
IJ r
r
2( )
2
IJ r
r
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 09.02.2007 13
(4.16)
(4.15)
4.3 Anwendung auf Erdungsprobleme: Berührungsspannung, Schrittspannung, Erdungswiderstand, Erdübergangswiderstand
ErdbodenStrom: I
Erdboden
Hüllkugel: A
A
J��������������
Strom: I
0r
Erdboden
Metall-halbkugel
r1r
BU
2r 3r
SU
2 3,r r
2 32 3
1 1
2S
IU r r
r r
Schrittspannung zwischen Radien
0 10 1
1 1
2B
IU r r
r r
Berührungsspannung für Person am Ort r1,
die Zuleitung mit Potential wie bei r0, berührt:
0
0
1
2
rUR
I I r
Erdungswiderstand, Erdübergangswiderstand
ist Widerstand zwischen der Erderelektrode und dem unendlich ausgedehnten Erdreich:
Potenzialverlauf entlangder Erdoberfläche
r
(4.14)
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 09.02.2007 14
210 S/m
3 22 3
2 3 2 3
2
1 1
2 2
2
S
I I r rU r r
r r r r
I r
r
22 2
1000 A m 0,8 m127 V
2 2 10 S 10 mS
I rU
r
22 2
1000 A m 0,8 m32 V
2 2 10 S 20 mS
I rU
r
Bei einem Blitzschlag fließt ein Strom von 1000 A in einen Freileitungsmast, wie groß ist die Schrittspannung in einer Entfernung von 10 m und 20 m bei einer Schrittlänge von 80 cm?
Leitfähigkeit des Erdbodens
Lösung:
Für r = 10 m:
gefährlich, da über 60 V!
Für r = 20 m:
Beispiel 4.3: Schrittspannung
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 09.02.2007 15
2tJ
1tJ
2J��������������
1J��������������
n
Normaleinheitsvektor : , 1n n
Material (2)
Material (1)
1 11 1nn nJ n J J J n ��������������������������������������� ���
2A��������������
1A��������������
1 2A A A ����������������������������
2
1
2 22 2n n nJ J n J n J ��������������������������������������������������������
0h
Bild 3.35. Zur Herleitung der Stetigkeit der Normalkomponente von D ↔ J(vgl. Bild 3.35. in Clausert & Wiesemann [2005])
4.4 Bedingungen an Grenzflächen – Bedingungen für J und E
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 09.02.2007 16
d 0A
J A ����������������������������
2 1n nJ J
1 1 1 2 2 2; n n n nJ E J E
d 0L
E s ����������������������������
2 1t tE E
liefert für einen flachen Zylinder mit
Zusammenhang J, E:
dito
(wie beim elektrostatischen Feld)
4.4 Bedingungen an Grenzflächen – Bedingungen für J und E
1 2
1 1 2 2
n n
n n
J J
E E
12 1
2n nE E
1 1 1 2 2 2; t t t tJ E J E
11 2
2t tJ J
0h
1 2
1 2
1 2
t t
t t
E E
J J
(4.17) (4.18)
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 09.02.2007 17
4.4 Bedingungen an Grenzflächen – Bedingungen für J und E
n
Normaleinheitsvektor : , 1n n
Material (2)
Material (1)
Bild. Trennfläche zwischen zwei verschieden Materialien unterschiedlicher elektrischer Leitfähigkeit
(stetig)
(unstetig)
(unstetig)
(stetig)
2
1
2 1
11 2
2
n n
t t
J J
J J
12 1
2
2 1
n n
t t
E E
E E
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 09.02.2007 18
1 1
2 2
tan
tan
1
2
100
Zum Beispiel am Übergang von einem guten auf einen schlechten Leiter
α1 in Grad α2 in Grad
0 0
45 0,6
60 1,0
70 1,6
80 3,2
85 6,5
Brechungsgesetz des elektrischen Strömungsfeldes
4.4 Bedingungen an Grenzflächen - Brechungsgesetz
2tE
1tE
2E��������������
1E��������������
Material (2)
Material (1)
1nE
2nE
2
11 2
2
2E��������������
1E��������������
Material (2)
Material (1)
2
1
1 2100
2
Tangentialkomponente geht gegen Null (kann schlechteingezeichnet werden!)
(4.19)
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 09.02.2007 19
4.4 Bedingungen an Grenzflächen - Brechungsgesetz
1
2
100
2E��������������
1E��������������
Material (2)
Material (1)
2
1
1 2100
2
Tangentialkomponente geht gegen Null (kann schlechteingezeichnet werden!)
1
2
2 2nE E n����������������������������
1 0E ����������������������������
Material (2)
Material (1)
2 0
1 90
2
Tangentialkomponente ist Null, damit ist das E-Feld in Material (1) Null.
1
guter elektrischer Leiter idealer elektrischer Leiter (IEL)
Die Feldlinien gehen senkrecht (normal) in einen idealen elektrischen Leiter (IEL)
Oberfläche des ideal elektrisch Leiters
Äquipotenzialfläche
2 0tE
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 09.02.2007 20
4.4 Bedingungen an Grenzflächen - Randbedingungen
Beispiel: Punktladung angezogen von einer elektrisch geladenen Kugel. Die Ob
http://web.mit.edu/jbelcher/www/att.html
1
2
2 2nE E n����������������������������
1 0E ����������������������������
Material (2)
Material (1)
2 0
1 90
2
Tangentialkomponente ist Null, damit ist das E-Feld in Material (1) Null.
1
idealer elektrischer Leiter (IEL)
Die Feldlinien gehen senkrecht (normal) in einen idealen elektrischen Leiter (IEL)
Oberfläche des ideal elektrisch Leiters
Äquipotenzialfläche
2 0tE
Material (2) 2 0 Elektrostatik
2
2
0
0t
n E
E
�������������������������� ��
Randbedingungen:
2
2
0
0n
n D
D
������������� �
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 09.02.2007 21
Zur Anwendung der Theorien der Elektrostatik und des stationären elektrischen Strömungsfeldes bei realen Isolatoren:
4.4 Bedingungen an Grenzflächen Reale Isolatoren
• Elektrostatik (ε ≠ 0; γ = 0): Idealer Isolator in Elektrostatik mit Leitfähigkeit null:
► Kein Leitungsstrom!
•Stationäres elektrisches Strömungsfeld (γ ≠ 0; ε ≠ 0):
In realen Isolatoren im stationären Fall (Frequenz f gleich null: f = 0)
► Stromverteilung (Feldverteilung) entsprechend Strömungsfeld ► Leitungsstrom
•Schnell veränderliches elektromagnetisches Feld (γ ≠ 0; ε ≠ 0): Bei höheren Frequenzen entsprechend dielektrischen Eigenschaften wie Elektrostatik. ► Feldverdrängung im Leiter ► Skin-Effekt : elektromagnetische Energie steckt im elektromagnetischen Feld, also überwiegend im so genannten Verschiebungsstrom und nicht im Leitungsstrom.
0
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 09.02.2007 22
2 1 0n nJ J
4.4 Bedingungen an Grenzflächen Flächenladung
1 22 1 1 1
2 1n n n nD D D D
1 22 1
2 1
0n nD D
2 12 1
2 1
0n nD D
2 2 1 1 0n nE E
J Eund mit der Materialgleichung
DE
und mit der Materialgleichung
2 1 0n nD D Umgestellt
1 22 1 1
2 1
1n n nD D D
gilt nicht mehr!
sondern,springt umeine elektrischeFlächenladung!
σ : elektrische Flächenladung 2
As
m
2 1n nD D 1 21
2 1
1 nD
mit
mit erweitert!1nD
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 09.02.2007 23
4.4 Bedingungen an Grenzflächen Flächenladung: Ladung in der Grenzfläche
Im allgemeinen gilt
2 1n nD D
Q A
2
A s,
m
A A
Elektrische Ladung in der Grenzfläche
Elektrische Flächenladung:
σ : elektrische Flächenladung
0 1 2 1 2 1 1
2 1 2 1 2 2
1 0 1
Für den Fall = keine elektrische Flächenladung
2 12 12 1 2 2 2
1 21 2
1n n n n nD D D D D
2 1n nD D 2 12
1 2
1nD
mit
Oder, wenn man mit erweitert:2nD
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 09.02.2007 24
3.9. Bedingungen an Grenzflächen
n
Normaleinheitsvektor : , 1n n
Material (2)
Material (1)
Bild. Trennfläche zwischen zwei verschieden Materialien unterschiedlicher Permittivität und elektrischer Leitfähigkeit
(stetig)
(unstetig)
(unstetig)
(stetig)
2 2,
1 1,
2 1
11 2
2
n n
t t
J J
J J
12 1
2
2 1
n n
t t
E E
E E
(unstetig)
(unstetig)
2 1
22 1
1
n n
t t
D D
D D
1 21
2 1
2 12
1 2
1
1
n
n
D
D
mit
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 09.02.2007 25
2 1n nD D
4.1 Grundgesetze und ihre Entsprechungen im elektrostatischen Feld
e
e
e
d
d 0
d
d
0
A
L
A
L
D A Q
E s
D E
D A
U E s
Q
U
QC U
����������������������������
����������������������������
����������������������������
����������������������������
����������������������������
d 0
d 0
d
d
0
0
A
L
A
L
J A
E s
J E
I J A
U E s
I
U
I G U
����������������������������
����������������������������
����������������������������
����������������������������
����������������������������
Elektrostatik Stationäres elektrisches Strömungsfeld
J��������������
1G
R
ElektrischeStromdichte:
ElektrischeLeitfähigkeit:
Leitwert:
1. Kirchhoffsches Gesetz
2. Kirchhoffsches Gesetz
Ohmsches Gesetz
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 09.02.2007 26
U
0r
(1)(2)
2 2,
1 1, I
I
1r
2r
Gesucht: 1. Der elektrische Strom I2. Die elektrische Flächenladung σ zwischen den beiden Materialien, also an der Stelle r = r1!
Beispiel 4.4: Kugelkondensator mit leitendem Dielektrikum
Bild 4.8. Kugelkondensator mit geschichtetem, verlustbehaftetem Dielektrikum(vgl. Bild 4.8. in Clausert & Wiesemann [2005, S. 210])
Gegeben: Zwischen zwei vollkommen leitenden, konzentrischen Kugelschalen befinden sich zwei Medien (1) und (2) gemäß Bild 4.8. Über isolierte Drähte sind die beiden Kugelschalen an eine Spannungsquelle U angeschlossen.
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 09.02.2007 27
Beispiel 4.4: Kugelkondensator mit leitendem Dielektrikum
1 0 1 2 1 2
= Spezialfall über Gebiet 2= Spezialfall über Gebiet 1
1 1 1 1 1 1
4
IU
r r r r
Lösung:Bestimmung des elektrischen Stromes I über die elektrische Spannung U und denelektrischen Widerstand R berechnen!
Spannung setzt sich aus den Spannungsabfällen an beiden Materialien zusammen:
1 0 1 1 2 1 2 2 02
1201
( ) ( ) ( ) ( )
UU
U r r r r U
1 1 0 11
1( )
4
Ir C r r r
r
2 2 1 22
1( )
4
Ir C r r r
r
Elektrisches Potenzial in Material (1) und (2):
U
0r
(1)(2)
2 2,
1 1, I
I
1r
2r
1 0 1 2 1 2
4
1 1 1 1 1 1
UI
r r r r
Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 09.02.2007 28
Beispiel 4.4: Kugelkondensator mit leitendem Dielektrikum
1 0 121
1( )
4
IE r r r r
r
2 1 222
1( )
4
IE r r r r
r
Lösung:Flächenladung σ über Grenzflächenbedingung (Übergangsbedingung) für D
2 2 1 1 1 1
2 12 22 1 1 1
( ) ( )
1 1
4 4
n nE r E r
I I
r r
0?
Charakter des Strömungsfeldes überwiegt (siehe Gl. (4.11))! Deswegen keine Epsilon-Anteile!
1 2 1 1 1 ( ) ( )n nr r D r D r
2 2 1 1 1 1( ) ( )n nE r E r U
0r
(1)(2)
2 2,
1 1, I
I
1r
2r
2 1
2 1
2 2
1 1
1 1
2 2
0
Elektrische Feldstärke in Material (1) und (2):
2 12
1 2 14
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Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 09.02.2007 29
Ende der Vorlesung
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