Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 17.11.2006 1 Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I) Vorlesung am 17.11.2006 Fr. 08:30-10:00 Uhr; R. 1603 (Hörsaal)

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 17.11.2006 1

Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I)

Vorlesung am 17.11.2006

Fr. 08:30-10:00 Uhr; R. 1603 (Hörsaal)

Universität Kassel (UNIK)FB 16 Elektrotechnik / Informatik

FG Fahrzeugsysteme und Grundlagen der Elektrotechnik (FG FSG)FG Theoretische Elektrotechnik (FG TET)

Büro: Wilhelmshöher Allee 71, Raum 2113 / 2115D-34121 Kassel

Dr.-Ing. René Marklein

E-Mail: [email protected].: 0561 804 6426; Fax: 0561 804 6489URL: http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de

URL: http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html

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http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html


2.4.4 Quellen-Ersatzzweipole2.4.4.1 Die Ersatzspannungsquelle

Beliebiges lineares Netzwerk irgendwo aufgetrennt:

1 2( )U U I K K I (2.54)

Bild 2.36. Linearer Zweipol(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 57, 2005])

U

I A

B

Bild 2.37. Die Klemmenspannung an einem linearer Quellenzweig (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 57, 2005])

1K

2

KI

K

I

UQ 1U K

LinearerZweipol

möglicherLast-

widerstand

Da das Netzwerk linear ist, muss gelten:

1 2( )U I K K I Leerlauf

Entspricht: Klemmen A-

B offen!

KurzschlussEntsprcht: Klemmen a-b kurzgeschlossen!

0I

0U


2.4.4 Quellen-Ersatzzweipole2.4.4.1 Die Ersatzspannungsquelle

1 2U K K I

0I L 10I U KU

0U K0U II

1 2 00 UK K I

1K0

2U

KII

K 1 L2

K K

K UK

I I

Beliebiges lineares Netzwerk irgendwo aufgetrennt:Da Netzwerk linear, muss gelten:

(2.54)

Leerlaufversuch: ergibt

Kurzschlussversuch: ergibt

Eingesetzt in Gl. (2.54):

Bild 2.36. Linearer Zweipol(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 57, 2005])

U

I A

B

LL

K

IR

UU U I

I

Zusammengesetzt ergibt das für Gl. (2.54):

d.h. für den Innenwiderstand:

1K

2

KI

K I

U

Q 1U K

LI

K

UR

I

1 200

I K K IU

Eingesetzt in Gl. (2.54):

1 LK U

L IU U R I

LinearerZweipol

möglicherLast-

widerstand

(2.55)

(2.56)

(2.57)Leerlauf

Entspricht: Klemmen A-

B offen!

KurzschlussEntsprcht: Klemmen a-b kurzgeschlossen!

0I

0U


2.4.4.1 Die Ersatzspannungsquelle

U f I

Der Zusammenhang

kann durch die Schaltung beschrieben werden – unabhängig davon, wie der ursprüngliche Zweipol im Innern aufgebaut ist, solange er linear ist!

Bild 2.38. Ersatzspannungsquelle für einen beliebigen linearen Zweipol mit der Leerlaufspannung U1 und dem

Kurzschlussstrom IK (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 57, 2005])

AI

Q LU U

B

LI

K

UR

I

U

Vorgehensweise zur Bestimmung der Ersatzspannungsquelle nach Helmholtz/Thévenin:

► Bestimme die Leerlaufspannung UL

► Bestimme den Kurzschlussstrom IK

► Bestimme den Innenwiderstand über den Quotient Leerlaufspannung zu Kurzschlussstrom:

LI

K

UR

I


Beispiel 2.15: Berechnung von Leerlaufspannung und Innenwiderstand einer Ersatzspannungsquelle

► Bestimmung der Leerlaufspannung:

Lösung:

Bild 2.39. Linearer Zweipol (Spannungsteiler) (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 58, 2005])

U

I A

B

Q1U 1R2R

Gegeben:

Linearer Zweipol (Spannungsteiler)nach Bild 2.39.

Gesucht:

Ersatzspannungsquelle?

I A

B

Q1U 1R2R LU U

L 2

Q1 Q1 1 2

U U R

U U R R

Spannungsteiler (unbelastet):

(2.59)2

L Q11 2

RU U

R R

Leerlaufspannung



► Bestimmung des Kurzschlussstromes

KI I A

B

Q1U 1R2R

KI I A

B

Q1U 1R2R

Q1K

1

UI

R

Kurzschlussstrom:

(2.58)

Kurzschluss

Kurzschluss über dem Widerstand R2

20RU

2

2

2

0RR

UI

R Widerstand R2

kann heraus-genommen werden!

► Bestimmung des Innenwiderstandes

2Q1

L 2 1 1 21 2I Q1

Q1K 1 2 Q1 1 2

1

RU

U R R R RR RR U

UI R R U R RR

L 1 2I

K 1 2

U R RR

I R R

Innenwiderstand

(2.60)



Q1K

1

UI

R

L 1 2I

K 1 2

U R RR

I R R

Kurzschlussstrom:

Innenwiderstand

Lösung:


Bild 2.40. Ersatzspannungsquelle eines Spannungsteilers (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 59, 2005])

1 2I

1 2

R RR

R R

2

Q L Q11 2

RU U U

R R

U

I

U

I A

B

Q1U 1R2R

(2.58)

(2.60)

Ersatzspannungsquelle:

Gegeben:


Gesucht:

Ersatzspannungsquelle?

(2.59)2

Q L Q11 2

RU U U

R R

Leerlaufspannung:


2.4.4.2 Die Ersatzstromquelle

Q I KU R I

Q I

I K I

U U R I

R I R I

K

I

UI I

R

Bei der Spannungsquelle galt nach Gl. (2.47):

Aus der Gl. (2.44) für ihre Klemmenspannung wird damit

KI I

II

1R

G 1

RG

II

U

A

BBild 2.41a. Ersatzspannungsquelle(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 59, 2005])

Bild 2.41b. Abhängigkeit des Klemmenstromes I von der Klemmenspannung I bei einer linearen Stromquelle(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 59, 2005])

(2.61)

K II I I

(2.62)I

KI

I II

UI G U

R

I f U

U

I GU

QU

QK

I

UI

R

Q IU U R I (2.44)

(2.47)

0U

0I Leerlauf Entspricht: Klemmen A-B offen!

KurzschlussEntspricht:

Klemmen a-b kurzgeschlossen!


Beispiel 2.16: Berechnung des Quellenstromes und Innenwiderstandes einer Ersatzstromquelle analog Beispiel 2.15

Q1K

1

UI

R

2L Q1

1 2

RU U

R R

L 1 2I

K 1 2

U R RR

I R R

Lösung:

Kurzschlussfall

Leerlaufspannung

Innenwiderstand

I

UI

1 2

1 2

R

R R

R R

Q K

Q1 1 /

I I

U R

Bild 2.42. Ersatzstromquelle für einen Spannungsteiler (Bild 2.39)(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 60, 2005])

Ersatzstromquelle


U

I A

B

Q1U 1R2R

Gegeben:


Gesucht:

Ersatzstromquelle?


Bestimmung des Innenwiderstands allgemein:

Innenwiderstand RI lässt sich wie folgt aus der Ursprungsschaltung berechnen:

► Alle inneren Spannungsquellen kurzschließen (kurzgeschlossener Zweig)

► Alle inneren Stromquellen öffnen (offener Zweig)

► Widerstand des resultierenden (inneren) Netzwerkes ermitteln = Innenwiderstand!




► Alle inneren Spannungsquellen kurzschließen (kurzgeschlossener Zweig)

Q1U

I1R

Spannungs-quelle kurz-schließen

Stromquelleöffnen

► Alle inneren Stromquellen öffnen (offener Zweig)


AQ2I

B

I2G U

A

B

U

A

B

U

A

B

U

I I

I I

I1R

Q2I

I2G

I1R

Q2I

I2G

I1R

I2G





I1I1

1R

G

A

B

I2

I2

1

G

R

U

II

I1 I2

I1 I2

I1 I2

1

1

RG

G G

R R

R R

Dies ist der resultierende Innenleitwert oder Innenwiderstand, den man von außen von den beiden Klemmen sieht,

d.h. durch Strom- und Spannungsmessungbestimmen würde.

IA

B

U

I

IR



K 0I

II

U U

I RR I

Strom und Spannung am Zweipol ohne innere Energiequelle werden durch den Innenwiderstand bestimmt; dieser lässt sich also aus dem Ersatzwiderstand des Zweipols, wie von außen von den beiden Klemmen gesehen, berechnen)

Dies lässt sich erklären durch Verallgemeinerung des Falles

q1U

i1R

Aq2I

B

i2G U

I

K 0I

Keine Quelle:

i1i1

1R

G

A

B

i2

i2

1

G

R

U

IA

B

U

I

A

B

U

I

IR


Beispiel 2.17: Parallelschaltung von drei Spannungsquellen

NM ?U

Gesucht: RR

SR

TR

RI

SI

TI

RU

SU

TU

M NNMU

MR

I

Bild 2.43. Parallelschaltung dreier Spannungsquellen(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 61, 2005])

Gesucht:

Gegeben ist die nebenstehende Parallelschaltung.

Spannung an dem KlemmenpaarN und M:



K R S T

R S T

R S T

I I I I

U U U

R R R

Lösung:

Kurzschlussstrom

RR

SR

TR

RI

SI

TI

RU

SU

TU

NMU

MR

R S TI I I I M N

Kurzschluss

KI

I

I I1/G R

M NMR

NMU

Bild 2.44. Ersatzstromquelle zum Zweipol in Bild 2.43(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 61, 2005])

Ersatzstromquelle


(2.64)


II R S T

1 1 1 1G

R R R R

MM

1G

R

MI

KNM

I M1 1 1 1

R S T

R S T

R S T M

GG

U U U

I R R RU

G GR R R R

Mit

für die Klemmenspannung:

KR S T

R S T

U U UI

R R R

Lösung:

Kurzschlussstrom

KI

I

I I1/G R

M NMR

NMU

RR

IR

SR

TR

M N

Bild 2.44. Ersatzstromquelle zum Zweipol in Bild 2.43(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 61, 2005])

Bild 2.45. Zur Bestimmung des Innenwiderstandes eines Zweipols (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 61, 2005])

Innenwiderstand

aus Bild 2.44 folgt


2.4.4.3 Äquivalenz von Zweipolen

Beispiel 2.18:Vergleich äquivalenter Zweipole

Lösung:

Trotz gleicher Leerlaufspannungen und Kurzschlussströme sind alle Schaltungen im Innern vor allem bezüglich der umgesetzten Leistungen ungleich!

Leerlauf

Kurzschluss

ges 10 WP ges 90 WP ges 0 WP ges 90 WP

ges 100 WP ges 180 WP ges 90 WP ges 0 WP

20 V 10 V

20 V 10 V

Bild 2.46. Vier äquivalente Quellenzweipole(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 66, 2005])

5 Ω 5 Ω

15 V

1A

30 V

15 V 15 V

6 A

5 Ω 3 A

5 Ω 15 V

5 Ω 5 Ω

4 A 2 A 5 Ω 2,5 Ω

5 Ω

15 V

30 V

15 V6 A 6 A 6 A

15 V

6 A 6 A 2,5 Ω

2,5 Ω

2,5 Ω

6 A

AZwei parallel geschaltete

Spannungsquellen

BSpannungsteiler

CErsatz-

Spannungsquelle

DErsatz-

Stromquelle


2.4.5 Leistung an Zweipolen2.4.5.1 Wirkungsgrad

NW

G

genutzte Energie Nutzenergie

gesamte aufgewendete Energie Gesamtenergie

W

W

NP

G

genutzte Leistung Nutzleistung

gesamte aufgewendete Leistung Gesamtleistung

P

P

d

d

WP

t

W P

P

Energie-Wirkungsgrad:

Leistungs-Wirkungsgrad:

Da

ist

solange bzw. der Quotient der Leistungen zeitlich konstant sind!

NW

G

W

W

NP

G

P

P

(2.66)

(2.67)


(2.70)

2.4.5.1 Wirkungsgrad

QI

RU U

R R

NP U I

G QP I U

QI

Q Q Q IP

RU

U I U RR R

U I U U R R

Nutzleistung:

Gesamtleistung aus der Quelle Q

Also

Belastete Spannungsquelle mit Lastwiderstand R:

Ausgangsspannung

A

B

I

U

QU

IR

R

(2.68)

(2.69)

IP

R

R R

(2.71)


Beispiel 2.19: Wirkungsgrade bei Belastung einer Auto-Batterie

Q 12 VU

I 20 mΩR

Anlass 40 mΩR

Betrieb 2 ΩR

AnlassP-Anlass

Anlass I

BetriebP-Betrieb

Betrieb I

40 mΩ0,666

40 mΩ 20 mΩ

2 Ω 0,99

2 Ω 20 mΩ

R

R R

R

R R

Spannung:

Innenwiderstand

Anlassvorgang über 30 s mit Lastwiderstand

Danach für 10 min Betrieb mit Betriebswiderstand

Lösung:

Leistungswirkungsgrad beim Anlassen und im Betrieb

A

B

I

U

QU

I

20mΩ

R

AnlassR BetriebR

Spannungsquelle (Auto-Batterie):

Belastungszustände


Beispiel 2.19: Wirkungsgrade bei Belastung einer Auto-Batterie

22Q

G-BetriebBetrieb I

N-Betrieb P-Betrieb G-Betrieb

G-Betrieb G-Betrieb Betrieb

N-Betrieb N-Betrieb Betrieb

12 V 71,29 W

2 Ω 20 mΩ

0,99 71,29 W 70,58 W

71,29 W 600 s 42,77 kWs

70,58 kW

UP

R R

P P

W P t

W P t

600 42,35 kWs s

N N-Anlass N-BetriebWAnlass+Betrieb

G G-Anlass G-Betrieb

48 42,35 90,350,787

72 42,77 114,77

W W W

W W W

Energiebeträge im Betrieb

Energiewirkungsgrad im gesamten Zyklus

22Q

G-AnlassAnlass I

N-Anlass P-Anlass G-Anlass

G-Anlass G-Anlass Anlass

N-Anlass N-Anlass Anlass

12 V 2,4 kW

40 mΩ 20 mΩ

0,666 2,4 kW 1,6 kW

2,4 kW 0,5 min 72 kWs

1,6 kW 0,5 min 48 kWs

UP

R R

P P

W P t

W P t

Energiebeträge beim Anlassen

W-Anlass W-Anlass+Betrieb W-Betrieb

0,666 0,787 0,99

N-AnlassW-Anlass

G-Anlass

48 kWs0,666

72 kWs

W

W

N-AnlassP-Anlass

G-Anlass

1,6 kW0,666

2,4 kW

P

P

N-BetriebP-Betrieb

G-Betrieb

70,58 W0,99

71,29 W

P

P

N-BetriebW-Betrieb

G-Betrieb

42,35 kWs0,99

42,77 kWs

W

W


Beispiel 2.20: Leistungs-Wirkungsgrad einer Taschenlampe

Glühlampe mit Nenndaten (N):

Zwei Kohle-Zink Batterien in Serie mit je

Gegeben:

Gesucht:

a) Welchen Leistungs-Wirkungsgrad hat die Schaltung?

b) Es stehen vier Batterien (mit ebenfalls je 1,5 V und 1,25 Ω) zur Verfügung. Welche Betriebsspannung U und welchen Betriebswiderstand R (Verbraucher) müsste eine Glühlampe haben, die bei Anschluss an die vier hintereinander geschalteten Batterien ebenfalls 0,5 W aufnehmen soll? Welcher Leistungs-Wirkungsgrad ergibt sich nun?

N

N

Nennspannung: 2,5 V

Nennleistung: 0,5 W

U

P

q1,2

i1,2

Quellenspannung: 1,5 V

Innenwiderstand: 1,25 Ω

U

R

A

B

I

Uq1 1,5 VU

q2 1,5 VU

N

N

2,5 V

0,5 W

U

P

q1 1,25 ΩR

q2 1,25 ΩR



22Q

N

6 V72 Ω

0,5 W

U

P

2

IR R R

Mit der Abkürzung

wird daraus

22N

2,5 V12,5 Ω

0,5 W

UR

P

PI

12,5 Ω0,833

12,5 Ω 2 1,25 Ω

R

R R

Zuerst Leistungswirkungsgrad

Lösung:

a) Widerstand der Glühlampe

N 0,5 WP

I 4 1,25 Ω 5 ΩR Q 4 1,5 V 6 VU

22Q

2

I

UUP R

R R R

2

2 QI

UR R R

P

b) Dimensionierung einer Lampe mit für Betrieb an 4 Batterien:

Widerstand R der neuen Lampe?



1P1

1 I

2P2

2 I

61,6 0,925

61,6 5

0,4060,075

0,406 5

R

R R

R

R R

Damit folgende die beiden Wirkungsgrade:

2 2I I2 0

2R R R R

Auflösung der quadratischen Gleichung

1,2 I I2 4

36 Ω 36 Ω 72 18 5 Ω

31 Ω 72 18 5 Ω

31 Ω 6 26 Ω

R R R

1

2

61,6 Ω

0,406 Ω

R

R

liefert

I 5 Ω

72 Ω

R

Mit

(quasi Kurzschluss)

B

I

Uq1

1,5 V

U

q2

1,5 V

U

1

N

N

61,6 Ω

5,55 V

0,5 W

R

U

P

q1

1,25 Ω

R

q2

1,25 Ω

R

q3

1,5 V

U

q4

1,5 V

U

q3

1,25 Ω

R

q4

1,25 Ω

R

A

I

(sehr schlechter Wirkungsgrad)

2N N

N N 0,5W 61,6 Ω

0,5VA 61,6 V/A 30,8 V

5,55 V

U P R

U P R

Betriebsspannung


(2.73)

2.4.5.2 Leistungsanpassung

22Qlim lim 0

R R

UUP

R R

2 2K

0lim 0 0R

P I R I

Leerlauf

Kurzschluss

Die gesamte Leistung wird im Innenwiderstand der Quelleumgesetzt!

Wir suchen Verhältnis bei dem Leistung am Verbraucher

maximal wird:

Allgemein gilt für die umgesetzte Leistung am Lastwiderstand R:

2Q

2I 1

UP P

R

QK

P

P

I/R R Bild 2.48. Verbraucherleistung in Abhängigkeit vom Widerstandsverhältnis (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 67, 2005])

I

R

R

:R

0 :R

2Q2

2

I

UP I R R

R R

(2.72)

2Q I

2I

I

1

RU R

PR R

R


LeistungsanpassungIR R


2Q

QKI

UP

R

QK 21

P P

2

QK 4

QK 3

1 2 1d

d 1

1

1

0

PP

P

max1 0 1

1 1

2

2 2

1

1 2 1

f x f x

f x f x

I

1 R

R

Weitere Hilfsgröße

ist Leistung umgesetzt am RI

der Quelle im Kurzschluss (K)

ist erfüllt für

Analysis – Differenzialrechnung –Quotientenregel:

Hier

da

2

122

2

2

4

1 1 2 1

1

1 2 1

1

fx

f

Extremwert (Maximum) = erste Ableitung Null setzen

1 2 1 212

2 2

2 1 1 21

22 2

Schreibweise mit dem Differenziationsstrich:

Schreibweise mit dem Differenziationsoperator: d/d

d dd d dd

f x f x f x f xfx

f f x

x

f x f x f x f xf x x xx f x f x

(2.75)

(2.76)



P

I P

II P

I I

I P

P

0 Kurzschluss 0

Unteranpassung 0 0,5

Leistungsanpassung, dann 0,52

Überanpassung 0,5 1

Leerlauf 1

R

R R

R RR R

R R R

R R

R

I/R R

QK

P

P

Leistungsanpassung

Unter-anpassung

Über-anpassung

Bild 2.48. Verbraucherleistung in Abhängigkeit vom Widerstandsverhältnis (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 67, 2005])

Spannungs-anpassung

Kurzschluss

Strom-anpassung

Leerlauf


2.4.5.2 LeistungsanpassungSpannungs-, Leistungs- und StromanpassungMan unterscheidet drei sog. "Anpassungen" von Spannungs- bzw. Stromquelle und Verbraucher:

Spannungsanpassung: Die Spannungsanpassung ist die am häufigsten vorkommende Art des Verhältnisses von Quellenwiderstand Ri und Lastwiderstand Ra. Die Quelle kommt einer idealen

Spannungsquelle (Ri = 0) nahe, weil Ri << Ra (Mindestbedingung: Ra = 10 Ri). Die Spannung ist also annähernd konstant und im Allgemeinen von der Last unabhängig. Die Leistung wird praktisch ausschließlich an der Last und nur zu einem sehr geringen Teil am Innenwiderstand umgesetzt. Spannungsanpassung liegt der Energietechnik vor und in der Übertragung von Signalen bei Audiosignalen (Niederfrequenz!) Spannungsanpassung in der Nähe der Leistungsanpassung heißt Überanpassung.

Leistungsanpassung: Die Leistungsanpassung ermöglicht es, einer Quelle die maximale Leistung zu entnehmen. Innenwiderstand und Last sind gleich groß: Ri = 10 Ra. Leistungsanpassung stellt zwar die maximale Leistungsübertragung von der Quelle an die Last sicher, doch wird dieselbe Leistung auch am Ri in der Quelle umgesetzt. Das heißt 50 % der Quellenleistung werden an die Last übertragen. Daher findet die Leistungsanpassung vor allem in der Nachrichten- bzw. Hochfrequenztechnik Anwendung. Hier werden die Impedanzen von Quelle und Last leistungsangepasst, um Reflexionen zu vermeiden. Das ist der Grund warum Antennenleitungen (für haushaltsüblichen Rundfunk Impedanz 75 Ω) nicht mit einer einfachen Klemme parallel geschaltet werden dürfen.

Stromanpassung: Die Stromanpassung kommt relativ selten vor. Die Quelle kommt einer idealen Stromquelle (Ri → ∞) nahe, weil Ri >> Ra (Mindestbedingung: Ri = 10 Ra). Der Strom ist also annähernd konstant und im Allgemeinen von der Last unabhängig. Der größte Teil der Leistung wird am Innenwiderstand der Quelle umgesetzt. Stromanpassung wird beim Laden von Akkumulatoren (NiCd, NiMH, aber nicht bei Bleiakkus!) und in der Messtechnik verwendet. Stromanpassung in der Nähe der Leistungsanpassung heißt Unteranpassung.


Ende der Vorlesung

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