Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 03.11.2006 1 Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I) Vorlesung am 03.11.2006 Fr. 8:30-10:00 Uhr; R. 1603 (Hörsaal)

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 03.11.2006 1

Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I)

Vorlesung am 03.11.2006

Fr. 8:30-10:00 Uhr; R. 1603 (Hörsaal)

Universität Kassel (UNIK)FB 16 Elektrotechnik / Informatik

FG Fahrzeugsysteme und Grundlagen der Elektrotechnik (FG FSG)FG Theoretische Elektrotechnik (FG TET)

Büro: Wilhelmshöher Allee 71, Raum 2113 / 2115D-34121 Kassel

Dr.-Ing. René Marklein

E-Mail: [email protected].: 0561 804 6426; Fax: 0561 804 6489URL: http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de

URL: http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html

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1.5 Energie und Leistung

W Q U

1 2 1 1 2 2 ... k kk

W W W U Q U Q U Q

k k kQ I t

1 1 1 2 2 2 ... k k kk

W U I t U I t U I t

0kt

2

1

0lim ( ) ( ) d

k

t

k k kt

k t t

W U I t u t i t t

Bewegung einer Ladung ist nach Gl (1.7) mit dem

1 2, , ...t t Sind Ladung und Spannung zeitlich veränderlich, erhält man mit der Näherung mit konstanten Werten in den Intervallen

Ist der Strom bekannt, wird daraus

Gleichung ist nur exakt, wenn Uk, Ik während Zeitintervall konstant!

Genau mit Grenzübergang , überführt Summe in Integral

(1.12)

(1.14)

verbunden (W positiv -> Abnahme potentielle Energie).

Energieumsatz

mit

A B ABAB

W W WU

q q

Gl. (1.7) lautete:

1t2t 3t 4t

U

u t

t

t

(1.13)



W U I t

1 V 1 A 1s 1 Ws 1 JW U I t

61 kWh 3,6 10 Ws

1 Ws 0,102 mkp

0,239 cal

1 kWh 860 kcal

Sonderfall Gleichstrom: u = const. = U und i = const. = I ergibt

( W positiv -> I in Bewegungsrichtung der Ladungen -> Energie wird vom Stromkreis an Umgebung abgegeben )

Ws ist oftmals als Maßeinheit zu klein, deswegen wird oft die Maßeinheit Kilowattstunde benutzt:

(1.15)

Einheit der Energie:

Umrechnung zu anderen gebräuchlichen Einheiten:

(siehe Abschnitt 0.1.3)



m

WP

t

0

d( ) lim

dt

W Wp t

t t

Bei einer zeitlich veränderlichen Leistung, p( t ), kommt man über die Mittelwertbildung in kleinen Intervallen

zum Augenblickswert der Leistung durch Differenzieren

(1.17)

U I tP

tU I

(1.16)

Leistung ist definiert als

P U I

W U I tMit Gl. (1.15) folgt

Damit folgt für die Leistung

Leistung Arbeit pro ZeitW

Pt


Beispiel: Wiederaufladbare Nickel-Cadmium-Kleinakkumulatoren (NiCd-Akkus)

Bezeichnung Kapazität Nennspannung Ladestrom

Block 9 V 0,11 Ah 8,40 V 11 mA

Lady 0,15 Ah 1,25 V 15 mA

Micro 0,18 Ah 1,25 V 18 mA

Mignon 0,50 Ah 1,25 V 50 mA

Baby 2,2 Ah 1,25 V 220 mA

Mono 4,0 Ah 1,25 V 400 mA

Bei Lieferung enthalten die NiCd-Akkus eine Restladung und müssen vor Benutzung mit dem angegeben Dauerstrom aufgeladen werden. Der Innenwiderstand der Zellen ist klein und sie müssen mit einem konstantem Gleichstrom aufgeladen werden. Dafür stehen spezielle Akkuladegeräte zur Verfügung.

a) Wie groß ist die theoretische Aufladezeit für alle Kleinakkutypen gemäß Tabelle?

0,11 Ah 0,15 Ah 0,18 Ah 0,50 Ah 2,2 Ah 4,00 Ah10 h

11 mA 15 mA 18 mA 50 mA 220 mA 400 mA

Qt

I

b) Welche el. Ladung in Coulomb (1 C = 1 As) hat ein Block 9 V gespeichert, der voll aufgeladen ist?

1 h

0,11 Ah 0,11 A 3600 s 396 AsQ

(Die übliche Ladezeit

beträgt 14 h!)

Tabelle Technische Angaben

c) Wieviel el. Arbeit in Ws (1 Ws = 1 V 1 C) könnte eine voll aufgeladene Mignonzelle verrichten, wenn sie ihre gesamte gespeicherte Energie abgeben würde?

1,25 V 0,5 Ah 0,625 WhW U Q


GET I - Übersicht

0. Einheiten und Gleichungen (S. 13, CW, Band I, 9. Aufl.)

1. Grundlegende Begriffe (S. 17, CW, Band I, 9. Aufl.)

2. Berechnung von Strömen und Spannungen in elektrischen

Netzen (S. 26, CW, Band I, 9. Aufl.)

3. Elektrostatische Felder (S. 153, CW, Band I, 9. Aufl.)

4. Stationäre elektrische Strömungsfelder (S. 201, CW, Band I, 9. Aufl.)

5. Stationäre Magnetfelder (S. 211, CW, Band I, 9. Aufl.)


2. Berechnung von Strömen und Spannungen in elektrischen Netzen2.1 Grundgesetze2.1.1 Das Ohmsche Gesetz

I U (2.1)

U

I

U

U

U f I

I

R

Bild 2.1. Stromkreis aus Batterie und Widerstand(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 26, 2005])

Bild 2.2. Kennlinie U = f(I) eines Ohmschen Widerstandes (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 26, 2005])

(mit = konst.)RU R I

Ohmsches Gesetz:

(2.2a)

UI

R

UR

I

Kraftwirkung auf die Leitungselektronen des Widerstandes R

Stromfluss I

größer wird wächst, wenn

kleiner wird

UI

R

(2.2b)

(2.2c)


2.1.1 Das Ohmsche Gesetz

1G

R

Kehrwert des Widerstandes ist der Leitwert

IU

GI G U

IG

U

(2.4b)

Ohmsches Gesetz mit dem Leitwert

Formel-zeichen

SI-Einheit deutsche Bezeichnung englische Bezeichnung

Q As elektrische Ladung electric charge

I A elektrischer Strom electric current

U V elektrische Spannung electric voltage

R Ω elektrischer Widerstandelektrische Widerstandswert

electric resistorelectric resistance

G S = 1/Ω elektrische Leitwert electric conductance

(2.3)

(2.4a)

(2.4c)



Temperaturabhängigkeit des spezifischen Widerstandes ρ:

Metalle:

► nicht stromabhängig

► aber temperaturabhängig!

► spezifischer Widerstand nimmt mit der

Temperatur zu

Legierungen:

►zeigen ein anders geartetes Verhalten,

►z. B. Manganin (86 % Cu, 12 % Mn, 2 % Ni)

Abnahme ρ zwischen 35 ... 200 oC

Manganin wird häufig als Meßdraht eingesetzt, da seine elektrische Leitfähigkeit weitgehend temperatur- unabhängig ist. Elektrische Ströme können dadurch über weite Bereiche sehr genau erfasst werden.

Bild 2.3. Temperaturabhängigkeit spezifischer Widerstände(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 27, 2005])

2mmmΩ

m

Temperatur / C

Manganin

Blei

Eisen

Aluminium

Kupfer

I U Ohmsches GesetzNur wenn Temperatur T = konstant ist! Lineares Verhalten!



22

20 20 20o o1 20 K 20 K ...

C CR R

o o1 K

C CT T

TR R

und für eine Näherung bis zum quadratischen Term einer Potenzreihennäherung

Näherung durch linearen Term (Geradengleichung)

20 20 o1 20 K

CR R

Bei T = 20 °C gilt für die Näherung durch einen linearen Term (Geradengleichung)

: el. Widerstand

: el. Widerstand bei einer Temperatur von in °C

: linearer Temperaturbeiwert

: Temperatur in °C

: Bezugstemperatur in °C

T

T

R

R T

T

20

20

: el. Widerstand

: el. Widerstand bei einer Temperatur von 20 °C

: linearer Temperaturbeiwert in 1/K

: Temperatur in °C

R

R T

20

20

220

: el. Widerstand

: el. Widerstand bei einer Temperatur von 20 °C

: linearer Temperaturbeiwert in 1/K

: quadratischer Temperaturbeiwert in 1/K

: Temperatur in °C

R

R T

mit

mit mit



22

20 20 20o o1 20 K 20 K ...

C CR R

Temperaturabhängigkeit des Widerstands durch Potenzreihenentwicklung

Spezifischer Widerstand und Temperaturbeiwerte verschiedener Materialien



Spezifischer Widerstand und Temperaturbeiwerte verschiedener Materialien


Beispiel 2.1: Temperaturabhängigkeit eines Widerstandes

Ω20 kR o15 Ck

20R

20 20 o1 20 K 20 Ω

Ck

kR R

28 ΩwR

20 20 o1 20 K 28 Ω

Cw

wR R

Gegeben:Spule aus Kupferdraht hat bei ϑk = 15 oC den Widerstandswert Rk = 20 Ω und betriebswarm den Rw = 28 Ω.

Gesucht:Welche Temperatur ϑw hat die betriebswarme Spule?

Lösung:Zwischen dem Wert des Spulenwiderstandes bei und dem Wert

(Widerstand bei 20 oC) gilt die Beziehung

und bei

20 o

20 o

1 20 KC

1 20 KC

k

k

w w

R

R

Die Unbekannte R20 kann über die Division eliminiert werden

o oo o

20 20

C/K C/K20 C 20 Cw

w kk

R

R

Umstellen


Beispiel 2.1: Temperaturabhängigkeit eines Widerstandes

320

14 10

K

o oo o

20 20

3 o 3 oo o o

C/K C/K20 C 20 C

10 C 10 C20 C 1,4 15 C 20 C

4 4

ww k

k

R

R

Bekannt (s. Tabelle) ist der Temperaturbeiwert von Kupfer

o113 Cw


Beispiel: Solarthermie – Temperaturfühler im Kollektor: Pt 1000

TFK

P1

2TFS

1TFS

Temperaturfühler Kollektor

20 0 01R R

Temperaturabhängigkeit des Widerstands durch Potenzreihenentwicklung

0

30

7 20

: el. Widerstand

: el. Widerstand bei 0 °C

3,9083 10 1/°C

5,775 10 1/°C

: Temperatur in °C

R

R

Pt 1000: Platin-Temperaturfühler mit 0 1000 ΩR

-10 960,86

0 1000,00

10 1039,03

20 1077,94

30 1116,73

40 1155,41

50 1193,97

60 1232,42

70 1270,75

80 1308,97

90 1347,07

100 1385,06

R

Temperaturfühler Speicher


2.1.2 Knotengleichung (1. Kirchhoffsches Gesetz)

1 2 3 4 5I I I I I

zu abI I

Bild 2.4a:

Summe der

► zufließenden Ströme I1, I2, I3

► abfließenden Ströme I4, I5

Allgemein gilt

1 2 3 4 5 0I I I I I

Bild 2.4b:

Alle Zählpfeile (Stromrichtungen) gleich zum Knoten orientieren

ergibt

1I2I

3I4I5I

Bild 2.4a. Knoten mit 3 zufließenden und 2 abfließenden Strömen Bild 2.4b. Knoten mit 5 abfließenden Strömen(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 30, 2005])

a) b)

1I2I

3I4I5I


2.1.2 Knotengleichung (1. Kirchhoffsches Gesetz)

Knotengleichung 1. Kirchhoffsche Gesetz1

0n

I

(2.5)

1. Kirchhoffsche Gesetz gilt für das gesamte Netzwerk! (siehe Beispiel)

(lies: Die Summe über alle Ströme in einem Knoten ist gleich Null!

1I 2I

InI

Bild 2.5. Knoten mit n abfließenden Strömen (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 31, 2005])

Gustav Robert Kirchhoff (* 12.03.1824 in Königsberg (heute Kaliningrad), Ostpreußen; † 17.10.1887 in Berlin) war ein deutscher Physiker, der sich insbesondere um die Erforschung der Elektrizität verdient gemacht hat.Kirchhoff ist bekannt für seine Regeln der elektrischen Stromkreise, die die Abhängigkeit der elektrischen Spannung, elektrischen Stroms und des elektrischen Widerstands angeben und die fundamental für Aufbau und Analyse elektrischer Schaltungen und die Elektrotechnik sind (Kirchhoffsche Regeln)


Beispiel 2.2: Zweimaschiges Netz als Großknoten

0A B CI I I I

Netz nach Bild 2.6 aus Ohmschen Widerständen.

(► alternativ mit anderen Strompfeilrichtungen durchrechnen!

► andere Knotenabgrenzung / Hülle durch Netzwerk führt zu weiteren Strömen in der Gleichung )

Summe aller abfließenden Ströme

Bild 2.6. Zusammenfassung von vier Knoten zu einem Großknoten(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 31, 2005])

5 AAI

1 ACI 4 ABI

D

A

BC

1 A

0 A 3 A

3 A

3 R

R R

6 R1 A


2.1.3 Umlaufgleichung (2. Kirchhoffsches Gesetz)

0U

U U U

(2.6)

qU U

I

RU UR

Bild 2.1. Stromkreis aus Batterie und Widerstand(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 26, 2005])

Betrachte: Stromkreis aus Batterie (Erzeuger) und Widerstand (Verbraucher)

Erzeugerspannung= Batteriespannung= Quellenspannung

Verbraucherspannung= Spannungsabfall

Für diesen "einfachen" geschlossen Stromkreis ist die Erzeugerspannung = der Verbraucherspannung

q RU U U


Beispiel 2.3: Umlaufgleichungen in einem zweimaschigen Netz

1 1

2 1 2 3

3 2 3

M : 0

M : 0

M : 0

q

q

U U

U U U

U U U

linke Masche

rechte Masche

große Masche außen

Anstelle der einfachen Schaltung in Bild 2.1 soll nun eine verzweigte Schaltung nach Bild 2.7 betrachtet werden.

Lösung: (Umläufe im Uhrzeigersinn)

3 Umläufe sind möglich, für jeden gilt Gl. (2.6)

0U

qU

I 2I

1I

1R

2R

3R1U

2U

3U2M

Bild 2.7. Netz mit 3 Zweigen (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 32, 2005])

3M

1M



0U

ab qP I U

auf 1 1 2 2 2 3P I U I U I U

ab aufP P

ab auf

1 1 2 2 3

q

P P

I U I U I U U

Alternativ kann Gl. 2.6

aus einer Leistungsbetrachtung abgeleitet werden!

Widerstände nehmen auf:

Leistungsbilanz

also

Abgegebene elektrische Leistung der Batterie:qU

I 2I

1I

1R

2R

3R1U

2U

3U



qU

I 2I

1I

1R

2R

3R1U

2U

3U



1 1 2 2 31 2 qU I U I U UI I

1 2I I I

1. Kirchhoffsches Gesetz am Knoten

1 1 2 2 3qI U I U I U U

Leistungsbilanz

1 2 1 1 2 2 3q qI U I U I U I U U



2

3

R

R

1qU U

Daher muss sie auch gelten, wenn

R2 oder R3 unendlich

I1 kürzen

qU

I 2 0I

1I

1R

2R

3R 1U

2U

3U

1 2 1 1 2 2 3q qI U I U I U I U U

qU

I 2 0I

1I

1R

2R

3R 1U

2U

3U

1 1 1qI U I U

d. h. I2 = 0:



2 2 2 3qI U I U U

2 3qU U U

Wenn R1 unendlich,

I2 kürzen

qU

I 2I

1 0I

1R

2R

3R1U

2U

3Ud.h. I1=0:

1R

1 2 1 1 2 2 3q qI U I U I U I U U

qU

I 2I

1I

1R

2R

3R1U

2U

3U




Allgemeingültig für jeden beliebigen vollständigen Umlauf in einem Netzwerk

1

0n

U

(gilt NICHT bei Induktionswirkungen (siehe Kapitel 6.1 Induktionswirkungen), d.h. wenn zeitlich veränderliches magnetisches Feld durch die vom Umlauf berandete Fläche tritt!)

Umlauf- oder Maschengleichung2. Kirchhoffsche Gesetz

(2.7)

(lies: Die Summe über alle Spannungen in einem Netzwerkumlauf oder einer Netzwerkmasche ist gleich Null!)


Knotengleichung und Umlauf- oder Maschengleichung=1. und 2. Kirchhoffsches Gesetz

(lies: Die Summe über alle Spannungen in einem Netzwerkumlauf oder einer Netzwerkmasche ist gleich Null!)

1

0n

U

Umlauf- oder Maschengleichung2. Kirchhoffsche Gesetz

Knotengleichung 1. Kirchhoffsche Gesetz1

0n

I

(lies: Die Summe über alle Ströme in einemNetzwerkknoten ist gleich Null!

Gustav Robert Kirchhoff (* 12.03.1824 in Königsberg (heute Kaliningrad), Ostpreußen; † 17.10.1887 in Berlin) war ein deutscher Physiker, der sich insbesondere um die Erforschung der Elektrizität verdient gemacht hat.Kirchhoff ist bekannt für seine Regeln der elektrischen Stromkreise, die die Abhängigkeit der elektrischen Spannung, elektrischen Stroms und des elektrischen Widerstands angeben und die fundamental für Aufbau und Analyse elektrischer Schaltungen und die Elektrotechnik sind (Kirchhoffsche Regeln)

qU

I 2I

1I

1R

2R

3R1U

2U

3U


K1

1M


Ende der Vorlesung

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