Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 22.12.2006 1 Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I) Vorlesung am 22.12.2006 Fr. 08:30-10:00 Uhr; R. 1603

Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 22.12.2006 1

Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I)

Vorlesung am 22.12.2006

Fr. 08:30-10:00 Uhr; R. 1603 (Hörsaal)

Universität Kassel (UNIK)FB 16 Elektrotechnik / Informatik

FG Fahrzeugsysteme und Grundlagen der Elektrotechnik (FG FSG)FG Theoretische Elektrotechnik (FG TET)

Büro: Wilhelmshöher Allee 71, Raum 2113 / 2115D-34121 Kassel

Dr.-Ing. René Marklein

E-Mail: [email protected].: 0561 804 6426; Fax: 0561 804 6489URL: http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de

URL: http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html

mailto:[email protected]

http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de/

http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html


Kraft - Elektrische Feldstärke

V

meF

Eq

eF r q E r��

eF rE r

q

��

Probeladung

Kraft, die aufdie Probeladungwirk!

ElektrischeFeldstärke, die von der LadungQ erzeugt wird.

Elektrische Feldstärke

Kraft

Einheit der elektrischen Feldstärke

0r r r

Probeladung

x

y

z eF r��

r

q

Ortsvektor

Q


Zusammenhang zwischen elektrischer Feldstärke E und Spannung U (S. 157, …)

elW q U

mech e

q E

W F s

q E s

mech el W W

q E s q U

Wenn man die Ladung q im elektrischen Feld entlang einer Feldlinie bewegt, gilt die folgendeEnergiebilanz

Änderung der elektrischen Energie, in Kap. 1.3 abgeleitet

Änderung der mechanischen Energie, Verschiebung der

Ladung q längs der Feldlinie um Δs

Energieerhaltungssatz

U E s

Durch umstellen der obigen Gleichung gilt weiter

qE��s

Bild 3.8. Probeladung q bewegt sich im Feld um

in Feldrichtung(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 157, 2005])

E��

smit

Dies gilt streng genommen nur, wenn

E und Fe entlang des Weges konstant

sind, bisher differentielle Betrachtung:

0

dlim

ds

U UE

s s

Voraussetzung:

Richtung von Δs bzw. ds und Feldlinie ist gleich!

Spannung ortsabhängig?

Richtung von E?

(3.6)

UE

s

(3.7)

(3.8)


3.2.3 Potenzialfunktion (S. 157-158, CW, 6. Aufl.)

mech e e ecos | | | | cos ,W F s F s F s ��

Kraftvektor in seine Komponenten bezüglich der Richtung des Weges zerlegen:

Wird die Probeladung nicht entlang einer Feldlinie bewegt, darf nur die Kraftkomponente parallel zu Bewegungsrichtung berücksichtigt werden

eingeschlossener Winkel

e ,F s ��

Bild 3.9. Zur Energieänderung bei Bewegung der Probeladung auf beliebigem Weg (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 158, 2005])

eF q E��

qs

Weg

q

s

eF

��

tangential (längs)des Weges

orthogonal (senkrecht) zum Weg


3.2.3 Potenzialfunktion (S. 157-158, CW, 6. Aufl.)

mech e

e

cos

cos ,

W F s

F s F s

��

eF��

s

Dies ist das Skalarprodukt der Vektoren:

Skalarprodukt, Inneres Produkt aus der Vektoranalysis

und

emech

mech

W F s

W q E s

��

��

(gelesen: „F Punkt Delta s“)

eF q E��

q s

Weg

tangential (längs)des Weges

tE s E ��

eF s ��


Kommentar: Schreibweise der Multiplikation und des Skalarproduktes (Einschub)

mech

mech

W F s

F q E

W F s q E s

��

��

��

mech

mech

W F s

F qE

W F s qE s

��

��

��

Punkt für Multiplikationvermeiden

kein Punkt!

Punkt für Skalarprodukt

Punkt für Skalarprodukt

Besser!

Es kann zu Verwechselungenkommen!


3.2.3 Potenzialfunktion (S. 158, CW, 6. Aufl.)

1 21 2mech

k k

k

W q E s q E s

q E s

��

��

Über mehrere kleinere Wegstrecken mit näherungsweise konstanter Feldstärke:

die Grenzwertbildung für differentiell kleine Strecken

überführt die Summe in ein Integral:

mech Wegd

dB

A

W q E s

q E s

��

��

0ks

Weg-, Kurven- oder Linienintegral mit Endpunkten A und B

Bild 3.9. Zur Energieänderung bei Bewegung der Probeladung auf beliebigem Weg (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 158, 2005])

FeldlinienE ��

1E��

2E��

Weg1s

2s

3E��

3s

A

B

(3.9)



Weg 1: Weg 2:

d d 0B A

A B

q E s q E s ��

Linienintegral mit Endpunkten A und B hängt allgemein vom Integrationsweg und den Endpunkten ab!

Da in der Elektrostatik bei der Bewegung der Ladung kein Energieaustausch mit Außenweltstattfindet, ist das Linienintegral in der Elektrostatik vom Integrationsweg unabhängig!

Für einen Umlauf A-B-A aus unterschiedlichem Hin- und Rückweg, also Weg 1 und Weg 2, gilt:

mech dB

AW q E s

��

Weg 1: Weg 2: Weg 3:

d d dB A B

A B A

q E s q E s q E s ��

Das heißt, das Ergebnis der Integration ist wegunabhängig!

Bild 3.10. Zur Wegunabhängigkeit von

(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 158, 2005])

dB

AE s��

Weg 1: Weg 3:

d dB B

A A

q E s q E s ��

(3.10)A

B

Weg 1

Weg 2

A

B

Weg 1

Weg 3

Integrationsgrenzenrumdrehen!

Oder umgestellt:


(3.11)


d 0LE s ��

Ist der Integrationsweg geschlossen

geschlossener Weg Lgeschlossenes Integral

A

BWeg 1

Weg 2

Weg 1: Weg 2:

d d 0B A

A B

q E s q E s ��

(3.10)

schreibt man

geschlossenes Wegintegral:

geschlossenerWeg L

(Umlauf A-B-A)

geschlossener Weg L (Umlauf A-B-A)wie bei der Anwendung der Umlaufanalyse

zur Netzwerkberechnung (siehe auch der Kapitel über

„Stationäre elektrische Strömungsfelder“)


(3.11)


Merke:

Das Linienintegral der elektrischen Feldstärke längs eines beliebigen geschlossenen Weges ist null!

Felder dieses Typs bezeichnet man als wirbelfrei!

In wirbelfreien Feldern ist der Wert des Linienintegrals über die Feldgröße wegunabhängig, er hängt nur von Anfangs- und Endpunkt ab!

d 0LE s ��

Geschlossenes Wegintegral über einen geschlossenen Weg L

Wirbelfreiheit!des elektrostatischen

Feldes!

Beispiel:Elektrische Feldstärke einer Punktladung: -> Radialfeld

Qds

E��

d d 0L

E s E s ��


Φ ist die elektrische Potenzial (Potenzialfunktion)


d d dB B B

AB

A A A

U E s A B ��

dB

A

B E s A ��

d dE s ��

Wegen der Wegunabhängigkeit wird dies Integral durch die Endpunkte bestimmt, d.h. die Werte der Funktion Φ in diesen Punkten:

bzw.

(3.13)

d dU E s

dB

AB

A

U E s

��

(mit der Einschränkung: entlang Feldlinie)

Verallgemeinerung:

d d dU E s U E s ��

Oben galt bisher:

Minuszeichen wurde willkürlich so gewählt, dass positive Ladungen mit einem höheren Potenzial eine größere potenzielle Energie besitzen. Oder anders ausgedrückt: Der Feldstärkevektor ist vom hohen zum niedrigen Potenzial gerichtet!

(3.12)



0

0

0 0

0 0

0 0

d

d d

d d

d d

d d

( ) ( )

B

AB

A

B

A

A B

A B

A B

U E s

E s E s

E s E s

A B

��

��

��

-> Spannung ist Potenzialdifferenz!

( ) ( )ABU A B

0

Integrationsweg: A → 0 → B

0

Ort : ( )A A

Ort : ( )B B

Ort : ( )A A

Ort : ( )B B

0 ( )AU A0

( )BU

B

0 0

0 0

( ) ( )AB

A B

A B

U A B

U U

U U

ABU

0

( )BU

B



6G

3G

4G 5G

2G

BA C

1

A0

U

U

2

B0

U

U

3

C0

U

U

D

Ort : ( )B BOrt : ( )A A Ort : ( )C C

Ort : ( ) 0 VD D

1G

1 A0

2 B0

3 C0

( ) ( ) ( ) 0 V ( )

( ) ( ) ( ) 0 V ( )

( ) ( ) ( ) 0 V ( )

U U A D A A

U U B D B B

U U C D C C

ABU BCU

AB

BC

( ) ( )

( ) ( )

U A B

U B C


Elektrische Spannung U - Größenordnungen

1 V 10 mV

1 nV

1 mV

0,5 V ... 20 V, 100 V 1 kV

1,5 V

6 V 24 V

24 V (maximal)

100 V / 220 V

3 kV ... 25 kV

10 kV ... 500 kV

100 MV

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

Radio / TV Eingangsempfangsspannung

kleinste Messwerte elektronischer Messgeräte

Spannung zwischen Hand und Herz

Halbleiter

Trockenbatterie

Autobatterie

Allgemeine Stromversorgung

Bahnnetz

Hochspannungsversorgung

Blitz

Spielzeug


Ende der Vorlesung

Documents

Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 22.12.2006 1 Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I) Vorlesung am 22.12.2006 Fr. 08:30-10:00 Uhr; R. 1603