Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 09.02.2007 1 Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I) Vorlesung am 09.02.2007 Fr. 08:30-10:00 Uhr; R. 1603

Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 09.02.2007 1

Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I)

Vorlesung am 09.02.2007

Fr. 08:30-10:00 Uhr; R. 1603 (Hörsaal)

Universität Kassel (UNIK)FB 16 Elektrotechnik / Informatik

FG Fahrzeugsysteme und Grundlagen der Elektrotechnik (FG FSG)FG Theoretische Elektrotechnik (FG TET)

Büro: Wilhelmshöher Allee 71, Raum 2113 / 2115D-34121 Kassel

Dr.-Ing. René Marklein

E-Mail: [email protected].: 0561 804 6426; Fax: 0561 804 6489URL: http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de

URL: http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html

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http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html


4.2 Methoden zur Berechnung von Widerstände 1. Weg

d

dL

A

E sU

RI J A

��

��

lA

l

A

A l

Allgemein gilt natürlich weiterhin

Wenn in kleinen Elementen über die Länge

die Feldstärke, über die Querschnittsfläche

der Strom als konstant angenähert werden können:

mit - Abstand von Potentialflächen

mit

Nähert sich bei inhomogener Strömung bei hinreichend kleiner Unterteilung der Widerstand eines solchen

Elementes dem eines durch beschriebenen Volumens an und

-> Netzwerk aus parallel und in Reihe geschalteten Widerständen:

- Querschnittsfläche eines „Stromfadens“ senkrecht zur Strömungsrichtung

lR R

A

AG G

l

Bild. Stationäres elektrischesStrömungsfeld in eingeschnürterKupferschiene

I

oder

,J E��

(4.7) (4.8)



Bei einfachen Geometrien bildet sich ein Strömungsfeld aus, dessen Äquipotenzialflächen und Stromfäden auf einfach beschreibbare Widerstandselemente führen, so dass sich statt eines Netzwerkes einfache Reihen- oder Parallelschaltungen ergeben, siehe Beispiele 4.1 und 4.2:

Beispiel 4.1 Koaxialkabel

Koaxialkabel mit Radien ρ1, ρ2 und Länge l Dielektrikum besitzt die Leitfähigkeit γ

über elektrostatisches Feld wurde Kapazität der Anordnung berechnet, parallel dazu liegender Leitwert über Strömungsfeld.

Aus Feldberechnung:

C R

Bild 3.25a. Koaxialkabel

Widerstand R inradiale Richtung!

Reihenschaltungvon dünnenZylinderschalenin radialer Richtung!

elektro-statisches

Feld

elektrisches,stationäresStrömungsfeld

1RNR

nR

,J E��

2

1

3



Lösung:

2A l

1d dR

A

Reihenschaltung von dünnen Zylinderschalen in radialer Richtung!


mit der Mantelfläche

Hier gilt für den differentiellen Widerstand

dd

2R

l

folgt

d 1

dR lA

In Abschnitt 1.4, Gl. (1.11) galt 1R l

A und damit für den differentiellen Widerstand

1RNR

nR

,J E��

2

1

3

d



dd

2R

l

2

1

2

1

1 1 1d ln

2 2R

l l

Lösung:

Strom fließt durch Reihenschaltung unendlich vieler Mantelelemente, Rn für n → ∞!

(Daher bietet sich Widerstand als Berechnungsgrundlage an!

Koaxialer Zylindermantel mit Radius ρ und Wandstärke d ρhat den differenziellen Widerstand


1

Für den Widerstand R

2

1

dR R

geht obige Summe in Integral über:

2

1

1ln

2R

l

,J E��

2

3

d


Beispiel 4.2: Stromdurchflossener Bügel

1

2

Gegeben: Stromdurchflossener Bügel mit den Daten

elektrische Leitfähigkeit

Innenradius

Außenradius

Breite b

Lösung:

Strömungslinien werden als Halbkreise angenommen, dann gilt für ein koaxiales Halbzylinderelement mit Radius

AG

l

halber Umfang

d d rechteckiger Querschnitt

l

A b

b1

2

d

I I

Bild 4.4. Stromdurchflossener Bügel(vgl. Bild 4.4. in Clausert & Wiesemann [S. 205, 2005])

1G

2GnG

NG

Parallelschaltungvon dünnenZylinderschalenin radialer Richtung!

I I


Beispiel 4.2: Stromdurchflossener Bügel

=d

d d dd

1d d

l

A

A b bG

l

bG

2

1

2

1

2

1

d

d

ln

G G

b

b

Lösung:

Parallelschaltung aller Elemente führtauf Integral der Leitwerte:

1G

2GnG

NG

Parallelschaltungvon dünnenZylinderschalenin radialer Richtung!

I I

b1

2

d

I I

Bild 4.4. Stromdurchflossener Bügel(vgl. Bild 4.4. in Clausert & Wiesemann [S. 205, 2005])



d d

d d

A Ab b

a a

D A E AQ

CU

E s E s

��

��

d d

d d

b b

a a

A A

E s E sU

RI J A E A

��

�� IIIIIIIIIIIIII

d dd d

d dd d

b b

a aA Ab b

A Aa a

E s E sE A E A

R CE A E A

E s E s

��

��

G

C

Ableitung des elektrischen Widerstands R aus analoger Kapazitätsberechnung C (zulässig, da Feldgleichungen für bzw.

► a und b Punkte auf dem Innen- und Außenleiter

► A die Fläche, durch die der gesamte elektrische Fluss bzw. die elektrische Strömung fließt

► Quellen der Felder sind die el. Ladung Q bzw. der el. Strom I!

oder (4.9)

E��

Multiplikation beider Gleichungen ergibt:

D J��

gleich sind):

1R

C

G C

oder

Widerstandsberechnung über Kapazitätsberechnung



,

RI

Anderer Rechenweg:

► Strom I vorgeben

► Aus Strömungsfeld Potenziale an Endpunkten, d.h. den Elektroden, berechnen

► Siehe nächste Folie: Lösungsmethodik „Widerstandsberechnung“

Weitere Beispiele hierzu siehe nächsten Abschnitt 4.3!

► Kugelerder

► Halbkugelerder

(4.10)


Lösungsmethodik „Widerstandsberechnung“

I

dA

I J A��

B

ABAd d

L

E s E s U ��

Teststrom

J I��

JE

��

E I��

ABU I

ABU IR

I

ABR

I 1

2

IJ

l

Teststrom

1

2

IE

l

2

AB1

ln2

IU

l

2

1

ln

2R

l

Beispiel: Widerstand eines Koaxialkabels (Koaxialleiter)

dA

I J A��

JE

�� B

ABAd d

L

E s E s U ��

ABU IR

I


(4.12)

2

24

d d d 4A A A

r

J r A J r A J r A J r r

��

24 0J r r I 2( )

4

IJ r

r

2

( )( )

4

J r IE r

r

Feldlinie

( ) d

( ) d

L

L

r E r

E r r

��

(Erdoberfläche hinreichend weit weg, homogener Boden)Strom I tritt in die Kugel ein, daher negativ:

Feldlinie

0 0

0 0

1, daFeldlinie

d

d

d

L

LE r

E r

E r E r

E r

��

��

��

1( ) .

4

Ir konst

r

4.3 Anwendung auf Erdungsprobleme: Kugelförmiger Erder

Erdboden Strom: I

J��

Erdboden

r0r

MetallkugelHüllkugel

A

aus Radialsymmetriedes Strömungsfeldes

Bild 4.5. Kugelförmiger Erder; Strom I trifft auf Metallkugel mit Radius r und unendlicher Leitfähigkeit; Erzeugung eines radialsymmetrischen Strömungsfeldes (vgl. Bild 4.5. in Clausert & Wiesemann [2005, S. 206])

d 0A

J r A I ��

dA

J r A I��

(4.11)


(4.13)(4.12)1

( )2

Ir C

r

wie Anordnung links, isolierende Ebene durch Mittelpunkt der Kugel

Halbkugel, d. h. der Strom I führt zur doppeltenStromdichte J (r) , da sich der Strom I anstatt aufeiner Kugel auf einer Halbkugel verteilt

1( )

4

Ir C

r

4.3 Anwendung auf Erdungsprobleme: Halbkugelerder

Erdboden Strom: I

J��

Erdboden

r0r

Metallkugel Hüllkugel

A

Bild 4.6. Halbkugelerder(vgl. Bild 4.6. in Clausert & Wiesemann [2005, S. 207])

Bild 4.5. Kugelerder(vgl. Bild 4.6. in Clausert & Wiesemann [2005, S. 206])

ErdbodenStrom: I

Erdboden

r

Hüllkugel: A

A

J��

Strom: I

0r

Erdboden

P

Metallhalbkugel

2( )

4

IJ r

r

2( )

2

IJ r

r


(4.16)

(4.15)

4.3 Anwendung auf Erdungsprobleme: Berührungsspannung, Schrittspannung, Erdungswiderstand, Erdübergangswiderstand

ErdbodenStrom: I

Erdboden

Hüllkugel: A

A

J��

Strom: I

0r

Erdboden

Metall-halbkugel

r1r

BU

2r 3r

SU

2 3,r r

2 32 3

1 1

2S

IU r r

r r

Schrittspannung zwischen Radien

0 10 1

1 1

2B

IU r r

r r

Berührungsspannung für Person am Ort r1,

die Zuleitung mit Potential wie bei r0, berührt:

0

0

1

2

rUR

I I r

Erdungswiderstand, Erdübergangswiderstand

ist Widerstand zwischen der Erderelektrode und dem unendlich ausgedehnten Erdreich:

Potenzialverlauf entlangder Erdoberfläche

r

(4.14)


210 S/m

3 22 3

2 3 2 3

2

1 1

2 2

2

S

I I r rU r r

r r r r

I r

r

22 2

1000 A m 0,8 m127 V

2 2 10 S 10 mS

I rU

r

22 2

1000 A m 0,8 m32 V

2 2 10 S 20 mS

I rU

r

Bei einem Blitzschlag fließt ein Strom von 1000 A in einen Freileitungsmast, wie groß ist die Schrittspannung in einer Entfernung von 10 m und 20 m bei einer Schrittlänge von 80 cm?

Leitfähigkeit des Erdbodens

Lösung:

Für r = 10 m:

gefährlich, da über 60 V!

Für r = 20 m:

Beispiel 4.3: Schrittspannung


2tJ

1tJ

2J��

1J��

n

Normaleinheitsvektor : , 1n n

Material (2)

Material (1)

1 11 1nn nJ n J J J n ��

2A��

1A��

1 2A A A ��

2

1

2 22 2n n nJ J n J n J ��

0h

Bild 3.35. Zur Herleitung der Stetigkeit der Normalkomponente von D ↔ J(vgl. Bild 3.35. in Clausert & Wiesemann [2005])

4.4 Bedingungen an Grenzflächen – Bedingungen für J und E


d 0A

J A ��

2 1n nJ J

1 1 1 2 2 2; n n n nJ E J E

d 0L

E s ��

2 1t tE E

liefert für einen flachen Zylinder mit

Zusammenhang J, E:

dito

(wie beim elektrostatischen Feld)


1 2

1 1 2 2

n n

n n

J J

E E

12 1

2n nE E

1 1 1 2 2 2; t t t tJ E J E

11 2

2t tJ J

0h

1 2

1 2

1 2

t t

t t

E E

J J

(4.17) (4.18)



n


Material (2)

Material (1)

Bild. Trennfläche zwischen zwei verschieden Materialien unterschiedlicher elektrischer Leitfähigkeit

(stetig)

(unstetig)

(unstetig)

(stetig)

2

1

2 1

11 2

2

n n

t t

J J

J J

12 1

2

2 1

n n

t t

E E

E E


1 1

2 2

tan

tan

1

2

100

Zum Beispiel am Übergang von einem guten auf einen schlechten Leiter

α1 in Grad α2 in Grad

0 0

45 0,6

60 1,0

70 1,6

80 3,2

85 6,5

Brechungsgesetz des elektrischen Strömungsfeldes

4.4 Bedingungen an Grenzflächen - Brechungsgesetz

2tE

1tE

2E��

1E��

Material (2)

Material (1)

1nE

2nE

2

11 2

2

2E��

1E��

Material (2)

Material (1)

2

1

1 2100

2

Tangentialkomponente geht gegen Null (kann schlechteingezeichnet werden!)

(4.19)


4.4 Bedingungen an Grenzflächen - Brechungsgesetz

1

2

100

2E��

1E��

Material (2)

Material (1)

2

1

1 2100

2

Tangentialkomponente geht gegen Null (kann schlechteingezeichnet werden!)

1

2

2 2nE E n��

1 0E ��

Material (2)

Material (1)

2 0

1 90

2

Tangentialkomponente ist Null, damit ist das E-Feld in Material (1) Null.

1

guter elektrischer Leiter idealer elektrischer Leiter (IEL)

Die Feldlinien gehen senkrecht (normal) in einen idealen elektrischen Leiter (IEL)

Oberfläche des ideal elektrisch Leiters

Äquipotenzialfläche

2 0tE


4.4 Bedingungen an Grenzflächen - Randbedingungen

Beispiel: Punktladung angezogen von einer elektrisch geladenen Kugel. Die Ob

http://web.mit.edu/jbelcher/www/att.html

1

2

2 2nE E n��

1 0E ��

Material (2)

Material (1)

2 0

1 90

2

Tangentialkomponente ist Null, damit ist das E-Feld in Material (1) Null.

1

idealer elektrischer Leiter (IEL)

Die Feldlinien gehen senkrecht (normal) in einen idealen elektrischen Leiter (IEL)

Oberfläche des ideal elektrisch Leiters

Äquipotenzialfläche

2 0tE

Material (2) 2 0 Elektrostatik

2

2

0

0t

n E

E

×��

Randbedingungen:

2

2

0

0n

n D

D

��




Zur Anwendung der Theorien der Elektrostatik und des stationären elektrischen Strömungsfeldes bei realen Isolatoren:

4.4 Bedingungen an Grenzflächen Reale Isolatoren

• Elektrostatik (ε ≠ 0; γ = 0): Idealer Isolator in Elektrostatik mit Leitfähigkeit null:

► Kein Leitungsstrom!

•Stationäres elektrisches Strömungsfeld (γ ≠ 0; ε ≠ 0):

In realen Isolatoren im stationären Fall (Frequenz f gleich null: f = 0)

► Stromverteilung (Feldverteilung) entsprechend Strömungsfeld ► Leitungsstrom

•Schnell veränderliches elektromagnetisches Feld (γ ≠ 0; ε ≠ 0): Bei höheren Frequenzen entsprechend dielektrischen Eigenschaften wie Elektrostatik. ► Feldverdrängung im Leiter ► Skin-Effekt : elektromagnetische Energie steckt im elektromagnetischen Feld, also überwiegend im so genannten Verschiebungsstrom und nicht im Leitungsstrom.

0


2 1 0n nJ J

4.4 Bedingungen an Grenzflächen Flächenladung

1 22 1 1 1

2 1n n n nD D D D

1 22 1

2 1

0n nD D

2 12 1

2 1

0n nD D

2 2 1 1 0n nE E

J Eund mit der Materialgleichung

DE

und mit der Materialgleichung

2 1 0n nD D Umgestellt

1 22 1 1

2 1

1n n nD D D

gilt nicht mehr!

sondern,springt umeine elektrischeFlächenladung!

σ : elektrische Flächenladung 2

As

m

2 1n nD D 1 21

2 1

1 nD

mit

mit erweitert!1nD


4.4 Bedingungen an Grenzflächen Flächenladung: Ladung in der Grenzfläche

Im allgemeinen gilt

2 1n nD D

Q A

2

A s,

m

QQ

A A

Elektrische Ladung in der Grenzfläche

Elektrische Flächenladung:

σ : elektrische Flächenladung

0 1 2 1 2 1 1

2 1 2 1 2 2

1 0 1

Für den Fall = keine elektrische Flächenladung

2 12 12 1 2 2 2

1 21 2

1n n n n nD D D D D

2 1n nD D 2 12

1 2

1nD

mit

Oder, wenn man mit erweitert:2nD


3.9. Bedingungen an Grenzflächen

n


Material (2)

Material (1)

Bild. Trennfläche zwischen zwei verschieden Materialien unterschiedlicher Permittivität und elektrischer Leitfähigkeit

(stetig)

(unstetig)

(unstetig)

(stetig)

2 2,

1 1,

2 1

11 2

2

n n

t t

J J

J J

12 1

2

2 1

n n

t t

E E

E E

(unstetig)

(unstetig)

2 1

22 1

1

n n

t t

D D

D D

1 21

2 1

2 12

1 2

1

1

n

n

D

D

mit


2 1n nD D

4.1 Grundgesetze und ihre Entsprechungen im elektrostatischen Feld

e

e

e

d

d 0

d

d

0

A

L

A

L

D A Q

E s

D E

D A

U E s

Q

U

QC U

��

��

��

��

��

d 0

d 0

d

d

0

0

A

L

A

L

J A

E s

J E

I J A

U E s

I

U

I G U

��

��

��

��

��

Elektrostatik Stationäres elektrisches Strömungsfeld

J��

1G

R

ElektrischeStromdichte:

ElektrischeLeitfähigkeit:

Leitwert:

1. Kirchhoffsches Gesetz

2. Kirchhoffsches Gesetz

Ohmsches Gesetz


U

0r

(1)(2)

2 2,

1 1, I

I

1r

2r

Gesucht: 1. Der elektrische Strom I2. Die elektrische Flächenladung σ zwischen den beiden Materialien, also an der Stelle r = r1!

Beispiel 4.4: Kugelkondensator mit leitendem Dielektrikum

Bild 4.8. Kugelkondensator mit geschichtetem, verlustbehaftetem Dielektrikum(vgl. Bild 4.8. in Clausert & Wiesemann [2005, S. 210])

Gegeben: Zwischen zwei vollkommen leitenden, konzentrischen Kugelschalen befinden sich zwei Medien (1) und (2) gemäß Bild 4.8. Über isolierte Drähte sind die beiden Kugelschalen an eine Spannungsquelle U angeschlossen.



1 0 1 2 1 2

= Spezialfall über Gebiet 2= Spezialfall über Gebiet 1

1 1 1 1 1 1

4

IU

r r r r

Lösung:Bestimmung des elektrischen Stromes I über die elektrische Spannung U und denelektrischen Widerstand R berechnen!

Spannung setzt sich aus den Spannungsabfällen an beiden Materialien zusammen:

1 0 1 1 2 1 2 2 02

1201

( ) ( ) ( ) ( )

UU

U r r r r U

1 1 0 11

1( )

4

Ir C r r r

r

2 2 1 22

1( )

4

Ir C r r r

r

Elektrisches Potenzial in Material (1) und (2):

U

0r

(1)(2)

2 2,

1 1, I

I

1r

2r

1 0 1 2 1 2

4

1 1 1 1 1 1

UI

r r r r



1 0 121

1( )

4

IE r r r r

r

2 1 222

1( )

4

IE r r r r

r

Lösung:Flächenladung σ über Grenzflächenbedingung (Übergangsbedingung) für D

2 2 1 1 1 1

2 12 22 1 1 1

( ) ( )

1 1

4 4

n nE r E r

I I

r r

0?

Charakter des Strömungsfeldes überwiegt (siehe Gl. (4.11))! Deswegen keine Epsilon-Anteile!

1 2 1 1 1 ( ) ( )n nr r D r D r

2 2 1 1 1 1( ) ( )n nE r E r U

0r

(1)(2)

2 2,

1 1, I

I

1r

2r

2 1

2 1

2 2

1 1

1 1

2 2

0

Elektrische Feldstärke in Material (1) und (2):

2 12

1 2 14

I

r


Ende der Vorlesung

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