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Frank Kameier - Strömungstechnik I und Messdatenerfassung http://ifs.mv.fh-duesseldorf.de Folie VL11/ Nr.1 WS14/15
Frank Kameier
11. Vorlesung
Strömungstechnik I und Messdatenverarbeitung
• Wiederholung: Navier-Stokes-Gleichungen, 3-D Strömungsberechnung, analytisch
• Lösung „Handmade“ Rieselfilm, schiefe Ebene
• Schwankungsgrößen und Mittelwerte
• elektrischer Strom als Beispiel
• laminar/turbulent
• molekulare und turbulente Schubspannung
Frank Kameier - Strömungstechnik I und Messdatenerfassung http://ifs.mv.fh-duesseldorf.de Folie VL11/ Nr.2 WS14/15
Wie sieht die Lösung der Navier-Stokes-Gleichung analytisch aus?
amF
Kraft=Masse * BeschleunigungVektor = Skalar * Vektor [ N ] [Kg] [m/s^2]
Fam Impulserhaltung
cpgradfDt
cD
pgradfDtcD
ohne Reibung: Eulersche Bewegungsgleichung
Wiederholung
Frank Kameier - Strömungstechnik I und Messdatenerfassung http://ifs.mv.fh-duesseldorf.de Folie VL11/ Nr.3 WS14/15
0xc
i
i
4 Gleichungen, 4 Unbekannte c=(c1,c2,c3)=(u,v,w) und p
partielles Differentialgleichungssystem, nicht linear, 2. Ordnung
Koordinatenschreibweise = gültig nur für ein spezielles (kartesisches) Koordinatensystem
2j
i2
ii
j
ij
i
xc
xp1
fxc
ctc
Wiederholung
Frank Kameier - Strömungstechnik I und Messdatenerfassung http://ifs.mv.fh-duesseldorf.de Folie VL11/ Nr.4 WS14/15
0xc
i
i
0xc
xc
xc
3
3
2
2
1
1
0zc
yc
xc 321
0zw
yv
xu
Alle Schreibweisen sind gleichwertig!
Wiederholung
Frank Kameier - Strömungstechnik I und Messdatenerfassung http://ifs.mv.fh-duesseldorf.de Folie VL11/ Nr.5 WS14/15
2j
i2
ii
j
ij
i
xc
xp1
fxc
ctc
23
12
22
12
21
12
11
3
13
2
12
1
11
1
xc
xc
xc
xp1
fxc
cxc
cxc
ctc
für i=1
für i=2
23
22
22
22
21
22
22
3
23
2
22
1
21
2
xc
xc
xc
xp1
fxc
cxc
cxc
ct
c
23
32
22
32
21
32
33
3
33
2
32
1
31
3
xc
xc
xc
xp1
fxc
cxc
cxc
ct
cfür i=3
Wiederholung
Frank Kameier - Strömungstechnik I und Messdatenerfassung http://ifs.mv.fh-duesseldorf.de Folie VL11/ Nr.6 WS14/15
2j
i2
ii
j
ij
i
xc
xp1
fxc
ctc
21
2
21
2
21
2
x1
31
21
11
zc
yc
xc
xp1
fzc
cyc
cxc
ctc
für i=1
für i=2
22
2
22
2
22
2
y2
32
22
12
zc
yc
xc
yp1
fzc
cyc
cxc
ct
c
23
2
23
2
23
2
z3
33
23
13
zc
yc
xc
zp1
fzc
cyc
cxc
ct
cfür i=3
Wiederholung
Frank Kameier - Strömungstechnik I und Messdatenerfassung http://ifs.mv.fh-duesseldorf.de Folie VL11/ Nr.7 WS14/15
2j
i2
ii
j
ij
i
xc
xp1
fxc
ctc
2
2
2
2
2
2
x zu
yu
xu
xp1
fzu
wyu
vxu
utu
für i=1
für i=2
für i=3
2
2
2
2
2
2
y zv
yv
xv
yp1
fzv
wyv
vxv
utv
2
2
2
2
2
2
z zw
yw
xw
zp1
fzw
wyw
vxw
utw
Wiederholung
Frank Kameier - Strömungstechnik I und Messdatenerfassung http://ifs.mv.fh-duesseldorf.de Folie VL11/ Nr.8 WS14/15
2
2
2
2
2
2
x zu
yu
xu
xp1
fzu
wyu
vxu
utu
für i=1
für i=2
für i=3
2
2
2
2
2
2
y zv
yv
xv
yp1
fzv
wyv
vxv
utv
2
2
2
2
2
2
z zw
yw
xw
zp1
fzw
wyw
vxw
utw
0zw
yv
xu
4 Gleichungen und 4 Unbekannte:
u, v, w, pWiederholung
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Frank Kameier - Strömungstechnik I und Messdatenerfassung http://ifs.mv.fh-duesseldorf.de Folie VL11/ Nr.10 WS14/15
Frank Kameier - Strömungstechnik I und Messdatenerfassung http://ifs.mv.fh-duesseldorf.de Folie VL11/ Nr.11 WS14/15
fx
fyg
fx=g*sin()
fy=-g*cos()
gesucht: p(y), c(y) Strömung nur in u-Richtung (Symmetriebetrachtung)
Schritt2
Schritt3
Schritt4
Schritt5
Schritt6
u=u(y) v=0 w=0
Schritt1=problembezogenes Koordinatensystem
)y(fyp
,)ungebeneStröm(0zp
,0xp
mliniegeradeStro
Frank Kameier - Strömungstechnik I und Messdatenerfassung http://ifs.mv.fh-duesseldorf.de Folie VL11/ Nr.12 WS14/15
Massenerhaltung: div c=0
0zw
yv
xu
identisch erfüllt, wegen u=u(y) v=0 w=0
Impulserhaltung: cpgradfDt
cD Durch dividieren und konvektive
Beschleunigung ausschreiben!
2j
i2
ii
j
ij
i
xc
xp1
fxc
ctc
für i=1
21
2
21
2
21
2
x1
31
21
11
zc
yc
xc
xp1
fzc
cyc
cxc
ctc
Frank Kameier - Strömungstechnik I und Messdatenerfassung http://ifs.mv.fh-duesseldorf.de Folie VL11/ Nr.13 WS14/15
für i=2
für i=3
22
2
22
2
22
2
y2
32
22
12
zc
yc
xc
yp1
fzc
cyc
cxc
ct
c
23
2
23
2
23
2
z3
33
23
13
zc
yc
xc
zp1
fzc
cyc
cxc
ct
c
Strömungstationäre0tci
Frank Kameier - Strömungstechnik I und Messdatenerfassung http://ifs.mv.fh-duesseldorf.de Folie VL11/ Nr.14 WS14/15
21
2
21
2
21
2
x1
31
21
1 zc
yc
xc
xp1
fyc
cyc
cxc
c
0wc0vc0uc 321
x-NVS:
2
2
dyud
sing0
22
2
22
2
22
2
y2
32
22
1 zc
yc
xc
yp1
fzc
cyc
cxc
c
y-NVS:dydp1
cosg0
z-NVS: identisch erfüllt
Achtung: und d beachten!
Frank Kameier - Strömungstechnik I und Messdatenerfassung http://ifs.mv.fh-duesseldorf.de Folie VL11/ Nr.15 WS14/15
x-NVS:
2
2
dyud
sing0
Integration
Randbedingungen: u(y=0)=0=B
Aysing
dydu
BAyy2sing
u 2
0dydu
HyHy
keine Haftung an der freien Oberfläche,so auch bei CFD „free slip“
AHsing
0Hy
Hsing
A
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Normierung auf y/H
Hysing
y2sing
u 2
v=0
w=0
2
2
Hy
21
Hy
Hsing
u
Druckverteilung anlog, siehe auch Schade/Kunz
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Warum „durch“ b?
dAcAcV
.uswdy)y(ubdy)y(uzdydz)y(udydz)y(udA)y(udAuV:hierH
0
b
0
H
0
b
0
H
0
z
z
y
y
1
0
1
0
b
Frank Kameier - Strömungstechnik I und Messdatenerfassung http://ifs.mv.fh-duesseldorf.de Folie VL11/ Nr.22 WS14/15
Themawechsel:
laminare und turbulente Strömungen: Rohrströmungsprofile und Moody-Diagramm
Mittelwerte und Schwankungsgrößen
t [s]
b[V]
T
0
dt)t(bT
1:b
bbb
Momentanwert= Mittelwert + Schwankungsgröße [ V ] [VDC] [VAC]
instationäre Aerodynamik zeitliche Schwankungsgrößen
Frank Kameier - Strömungstechnik I und Messdatenerfassung http://ifs.mv.fh-duesseldorf.de Folie VL11/ Nr.23 WS14/15
Beispiel: Strom aus der Steckdose
220 Volt, 50Hz
Warum 311 als Amplitude? Peak und rms – wie hängt das zusammen?
Frank Kameier - Strömungstechnik I und Messdatenerfassung http://ifs.mv.fh-duesseldorf.de Folie VL11/ Nr.24 WS14/15
Da man sich in der Praxis immer für Größen im zeitlichen Mittel interessiert, ist es wichtig, sich die Regeln zum Rechnen mit Mittelwerten zu vergegenwärtigen:
b b Ab a b0 0 0 02 . (2.4)
Der sogenannte Effektiv- oder rms-Wert (rms für root mean square) ist definiert als
fT
f t dtrms
T
1 2
0
( ) . (2.5)
In der Praxis werden neben dem rms Wert noch der peak- oder Scheitelwert und der peak-to-peak oder Spitze-Spitze-Wert verwendet:
0 1 2 3 4 5 6 7-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
b
t[s]
b<pp> b<pk> b<rms>
Frank Kameier - Strömungstechnik I und Messdatenerfassung http://ifs.mv.fh-duesseldorf.de Folie VL11/ Nr.25 WS14/15
Der Zusammenhang von peak, peak-to-peak und rms-Wert läßt sich über den Vergleich elektrischer Leistungen von Gleich- und Wechselströmen herleiten. Für die Leistung P gilt P U I (2.6) mit dem Strom I und der Spannung U, die über das Ohmsche Gesetz U R I (2.7) miteinander verknüpft sind. Für eine Wechselgröße (Wechselspannung) gelte nun folgender harmonischer Ansatz: U U t I I t 0 0sin sin mit den Amplituden U0 und I0. Für die Leistung gilt dann
tsinRItsinIUP 220
200
mit sin cos2 1
21 2 t t
folgt für die zeitlich gemittelte Leistung der Wechselgröße
P I R t I R 02
021
21
1
2cos . (2.8)
Frank Kameier - Strömungstechnik I und Messdatenerfassung http://ifs.mv.fh-duesseldorf.de Folie VL11/ Nr.26 WS14/15
Der Vergleich der Leistung von Gleich- und Wechselspannung ergibt
P PGleich Wechsel. .
U I I R1
2 02
R I I R R2021
2:
I I2021
2
I
Effektivwert
IGleichstrom Wechselstrom
1
2 0 . (2.9)
Der Effektivwert einer periodischen Schwankungsgröße ist gleich 1
22 seiner Amplitude
(Scheitelwert oder peak-Wert) und 24
1 des Spitze-Spitze Wertes (peak-to-peak).
http://ifs.mv.fh-duesseldorf.de/Vorlesung/master_SET/computer_messdaten/skript_computer081014.pdfSeite 9-10
Frank Kameier - Strömungstechnik I und Messdatenerfassung http://ifs.mv.fh-duesseldorf.de Folie VL11/ Nr.27 WS14/15
Reynolds-Gleichungen:
Annährung turbulenter Strömungen möglich
• einsetzen von Mittel- und Schwankungswert
• zeitliche Mittelung
• RANS (Reynolds Averaged Navier Stokes)
2j
i2
2j
i2
iii
j
ij
j
ij
j
ij
j
ij
ii
x
c
x
c
x
p1
x
p1f
x
cc
x
cc
x
cc
x
cc
t
c
t
c
ppp ccc
cpgradfDt
cD
Frank Kameier - Strömungstechnik I und Messdatenerfassung http://ifs.mv.fh-duesseldorf.de Folie VL11/ Nr.28 WS14/15
Reynoldsgleichung
„turbulente“ Zähigkeit Turbulenzmodelle etc.
zeitliche Mittelung der Gleichung
2j
i2
2j
i2
iii
j
ij
j
ij
j
ij
j
ij
ii
x
c
x
c
x
p1
x
p1f
x
cc
x
cc
x
cc
x
cc
t
c
t
c
0 0 0 0 0
2j
i2
ii
j
ij
j
ij
i
x
c
x
p1f
x
cc
x
cc
t
c
Konti-Gl. und Produktregel rückwärts
nicht lineare partielle Differentialgleichung mit Orts- und Zeitabhängigkeit
Frank Kameier - Strömungstechnik I und Messdatenerfassung http://ifs.mv.fh-duesseldorf.de Folie VL11/ Nr.29 WS14/15
Molekulare Schubspannung überwiegt in der Nähe der Wand, da kinetische Energie Zur Wand hin abnimmt (auch Schwankung der Geschwindigkeit), weiter weg von der Wand sind und turbulente und molekulare Schubspannungen fürdie Reibung verantwortlich.
Wand bei y=0
Frank Kameier - Strömungstechnik I und Messdatenerfassung http://ifs.mv.fh-duesseldorf.de Folie VL11/ Nr.30 WS14/15
Begriffe der Grenzschichttheorie
besser: zähe Unterschicht
Frank Kameier - Strömungstechnik I und Messdatenerfassung http://ifs.mv.fh-duesseldorf.de Folie VL11/ Nr.31 WS14/15
Hintergrund - Turbulenzmodellierung
wu LRR=Launder, Reece, Rodi
ASM=Algebraische Spannungsmodell
uy
y
dimensionslose Darstellungen
Linear logarithmisch
Geschwindigkeitsprofil aus Dimensionsanalyse folgt
Frank Kameier - Strömungstechnik I und Messdatenerfassung http://ifs.mv.fh-duesseldorf.de Folie VL11/ Nr.32 WS14/15
laminare Strömung:
… außen schneller als innen …
Frank Kameier - Strömungstechnik I und Messdatenerfassung http://ifs.mv.fh-duesseldorf.de Folie VL11/ Nr.33 WS14/15
turbulente Strömung:
… innen schneller als außen + Ablösung …
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