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Komplexe Zahlen: Fraktale und Chaos

Oliver RothInstitut für MathematikUniversität Würzburg

Lehrerfortbildung "W- und P-Seminare"Würzburg, 7. Oktober 2009

Grundlagenphase: Komplexe Zahlen

– Möglicher Ausgangspunkt: Mitternachtsformel– Arithmetik komplexer Zahlen– Geometrie komplexer Zahlen– Geometrische Konstruktionen als Abbildungen der komplexen Ebene

(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien,

Möbiustransformationen

)

Vortrags– bzw. Facharbeitsphase: Anwendungen

– Stereographische Projektion– Hyperbolische Geometrie und Kunst– Fraktale und Chaostheorie– Fraktale und Chaostheorie– Möbiustransformationen und Lorentztransformationen– · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

Grundlagenphase: Komplexe Zahlen– Möglicher Ausgangspunkt: Mitternachtsformel– Arithmetik komplexer Zahlen– Geometrie komplexer Zahlen– Geometrische Konstruktionen als Abbildungen der komplexen Ebene

(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien,

Möbiustransformationen

)

Vortrags– bzw. Facharbeitsphase: Anwendungen

– Stereographische Projektion– Hyperbolische Geometrie und Kunst– Fraktale und Chaostheorie– Fraktale und Chaostheorie– Möbiustransformationen und Lorentztransformationen– · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

Grundlagenphase: Komplexe Zahlen– Möglicher Ausgangspunkt: Mitternachtsformel– Arithmetik komplexer Zahlen– Geometrie komplexer Zahlen– Geometrische Konstruktionen als Abbildungen der komplexen Ebene

(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien,

Möbiustransformationen

)

Vortrags– bzw. Facharbeitsphase: Anwendungen

– Stereographische Projektion– Hyperbolische Geometrie und Kunst– Fraktale und Chaostheorie– Fraktale und Chaostheorie– Möbiustransformationen und Lorentztransformationen– · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

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(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien,

Möbiustransformationen

)

P

Vortrags– bzw. Facharbeitsphase: Anwendungen

– Stereographische Projektion– Hyperbolische Geometrie und Kunst– Fraktale und Chaostheorie– Fraktale und Chaostheorie– Möbiustransformationen und Lorentztransformationen– · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

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(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien,

Möbiustransformationen

)

P

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(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien,

Möbiustransformationen

)

P

P ′

|P ′| = 1|P|

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(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien,

Möbiustransformationen

)

P

P ′

|P ′| = 1|P|

z

Mittelpunkt z0Radius r

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– Stereographische Projektion– Hyperbolische Geometrie und Kunst– Fraktale und Chaostheorie– Fraktale und Chaostheorie– Möbiustransformationen und Lorentztransformationen– · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

Grundlagenphase: Komplexe Zahlen– Möglicher Ausgangspunkt: Mitternachtsformel– Arithmetik komplexer Zahlen– Geometrie komplexer Zahlen– Geometrische Konstruktionen als Abbildungen der komplexen Ebene

(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien,

Möbiustransformationen

)

P

P ′

|P ′| = 1|P|

z

Mittelpunkt z0Radius r

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(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien,

Möbiustransformationen

)

P

P ′

|P ′| = 1|P|

z

Mittelpunkt z0Radius r

z ′

Mittelpunkt z0Radius r

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– Stereographische Projektion– Hyperbolische Geometrie und Kunst– Fraktale und Chaostheorie– Fraktale und Chaostheorie– Möbiustransformationen und Lorentztransformationen– · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

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(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien, Möbiustransformationen)

P

P ′

|P ′| = 1|P|

z

Mittelpunkt z0Radius r

z ′

z ′= r2

z−z0+ z0

Mittelpunkt z0Radius r

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(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien, Möbiustransformationen)

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(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien, Möbiustransformationen)

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(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien, Möbiustransformationen)

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Grundlagenphase: Komplexe Zahlen– Möglicher Ausgangspunkt: Mitternachtsformel– Arithmetik komplexer Zahlen– Geometrie komplexer Zahlen– Geometrische Konstruktionen als Abbildungen der komplexen Ebene

(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien, Möbiustransformationen)

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(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien, Möbiustransformationen)

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(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien, Möbiustransformationen)

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(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien, Möbiustransformationen)

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(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien, Möbiustransformationen)

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(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien, Möbiustransformationen)

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(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien, Möbiustransformationen)

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(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien, Möbiustransformationen)

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(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien, Möbiustransformationen)

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(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien, Möbiustransformationen)

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(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien, Möbiustransformationen)

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(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien, Möbiustransformationen)

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(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien, Möbiustransformationen)

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– Stereographische Projektion

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(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien, Möbiustransformationen)

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– Stereographische Projektion– Hyperbolische Geometrie und Kunst

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(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien, Möbiustransformationen)

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– Stereographische Projektion– Hyperbolische Geometrie und Kunst

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(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien, Möbiustransformationen)

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(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien, Möbiustransformationen)

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– Fraktale und Chaostheorie

– Möbiustransformationen und Lorentztransformationen

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(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien, Möbiustransformationen)

Vortrags– bzw. Facharbeitsphase: Anwendungen

– Stereographische Projektion– Hyperbolische Geometrie und Kunst– Fraktale und Chaostheorie

– Fraktale und Chaostheorie

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(Ähnlichkeitstransformationen, Spiegelungen an Geraden bzw.Kreislinien, Möbiustransformationen)

Vortrags– bzw. Facharbeitsphase: Anwendungen

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