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Fachhochschule Leistungsnachweis Prüfer:Offenburg Mathematik I EA, EN, VU Prof. Dr. Erhardt - Ferron
SS 2004
Termin: 13. Juli 2004 10.00 - 11.30 UhrZugelassene Hilfsmittel: Taschenrechner ohne grafisches Display, FormelsammlungVorbemerkung: Bitte, stellen Sie die Lösungenmit Zwischenrechnungendeutlich
und lesbardar. Ergebnisse ohne klar erkennbaren Lösungswegkönnen leider nicht gewertet werden.
Wertung: Note 1.0: 100% der GesamtpunkteNote 4.0: 40% der Gesamtpunkte
Aufgabe 1 (15 Punkte)Untersuchen Sie die in Abb. 1 dargestellte Schaltung. Es istR1 = 10Ω, R2 = 5Ω, L1 = 0.1H,L2 = 0.2H, f = 50Hz und i = 10mA. Wie groß sindZ1, Z2 und Z, u1(t), u2(t) und u(t)?
Abbildung 1: Serienschaltung
Stellen Sie alle Spannungen in der Formu(t) = u sin(ωt + ϕ) dar
Aufgabe 2 (8 Punkte)Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mit Hilfe der Cramerschen Regel (α ∈ R):
x cosα − y sin α = ax sin α + y cosα = b
Aufgabe 3 (14 Punkte)Gegeben sei die logaithmische Spiraler(ϕ) = eϕ.
a) Für welche Winkelϕ wird die Steigung der Spiraledydx
= 2? Geben Sie alle Winkel an!
b) In welchem Punkt(x0, y0) berührt die Tangente mit der Steigungdydx
= 2 im Winkelbereich
0 < ϕ <π
2die Spirale?
c) Wie lautet die Gleichung der dieser Tangente?
Aufgabe 4 (12 Punkte)Erstellen Sie eine Schachtel nach Art einer Streichholzschachtel mit einem Minimum an Material(Papier). Vernachlässigen Sie die Papierdicke und den Unterschied zwischen innerem und äußeremKasten. Sie soll ein Volumen von364.5 cm3 haben, und zwischen der größten und der kleinstenKante soll gelten:a = 2b. Wie groß sind die Kanten dieser Schachtel?
Aufgabe 5 (31 Punkte)Diskutieren Sie die Funktion
f(x) = 21x
a) Definitionsbereich b) Links- und rechtsseitiger Grenzwert an der Unstetigkeitsstellec) Verhalten der Funktion für x→ ±∞ d) Die ersten 3 Ableitungene) Extremwerte, falls vorhanden f) Wendepunkte, falls vorhandeng) Wertebereich h) Skizze
Version 6.3 2004 A. Erhardt
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Lösung 1(Punkte: je fürZ1, Z2,Zges, je für U1,U2, Uges)R1 = 10Ω, R2 = 5Ω, L1 = 0.1H, L2 = 0.2H, f = 50Hz undi = 10mA.
Z1 = R1 + XL1
= R1 + jωL1
= (10 + 31.41j)Ω
Z2 = R2 + XL2
= R2 + jωL2
= (5 + 62.83j)Ω
Z = Z1 + Z2
= (15 + 94.25j)Ω
i(t) = i · ejωt
= 10 · ejωtmA
=u1(t) = Z1 · i(t)
= 32.969e1.26j · 10ejωtmV
= 329.69ej(ωt+1.26)mV
u1(t) = 329.69 sin(ωt + 1.26)mV
=u2(t) = Z2 · i(t)
= 63.03e1.49j · 10ejωtmV
= 630.3ej(ωt+1.49)mV
u2(t) = 630.3 sin(ωt + 1.49)mV
=u(t) = Z · i(t)
= 95.43e1.41j · 10ejωtmV
= 954.3ej(ωt+1.41)mV
u(t) = 954.3 sin(ωt + 1.41)mV
Lösung 2(Punkte: fürD, für D1, für D2)
D =∣∣∣∣
cosα − sin αsinα cos α
∣∣∣∣ = 1
D1 = x =∣∣∣∣
a − sin αb cos α
∣∣∣∣ = a cosα + b sin α
D2 = y =∣∣∣∣
cosα asinα b
∣∣∣∣ = b cosα− a sin α
Lösung 3
a) Ableiten einer Funktion in Polarkoordinaten:y′ =y
x=
r(ϕ) sin ϕ + r(ϕ) cos ϕ
r(ϕ) cos ϕ− r(ϕ) sin ϕ
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r(ϕ) = eϕ
y′ =r(ϕ) sin ϕ + r(ϕ) cos ϕ
r(ϕ) cos ϕ− r(ϕ) sin ϕ
=eϕ sin ϕ + eϕ cosϕ
eϕ cosϕ− eϕ sin ϕ
=sin ϕ + cosϕ
cos ϕ− sinϕ
!= 2
→ sin ϕ + cos ϕ = 2(cos ϕ− sin ϕ)
tan ϕ =13
→ ϕk = arctan(
13
)+ kπ
b) Tangente mit der Steigungdydx
= 2 im Winkelbereich0 < ϕ <π
2: das ist die Tangente bei
ϕ = arctan(
13
)≈ 0.32175 ≈ 180.
Berührpunkt:
x0 = r(ϕ) cos ϕ
= e0.32175 cos 0.32175 = 1.31y0 = r(ϕ) sin ϕ
= e0.32175 sin 0.32175 = 0.44
Der Punkt, in welchem die Tangente mit der Steigungdydx
= 2 im Winkelbereich0 < ϕ <π
2die Spirale berührt ist(x0, y0) = (1.31, 0.44).
c) Geradengleichung in Punkt-Steigungsform:
y − y0
x− x0= m
→ y = fT (x) = 2x− 0.44
Die Tangente hat die GleichungfT (x) = 2x− 0.44.
Skizze siehe Abb. 2 (Zeichnung war nicht verlangt).
Lösung 4(Punkte: für F(a), für Ableitung, für Berechnen der Seiten)Modell siehe Abb. 3
F = 3ac + 2bc + 4ab
V = abc = 364.5a = 2b
a ersetzen:
F = 8b2 + 6bc + 2bc
= 8b2 + 8bc
V = 2b2c → c =V
2b2
F = 8b2 +4V
b
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20 15 10 5 0
Abbildung 2: r(ϕ) = eϕ (rot) und ihre TangentefT (x) = 2x− 2.18 (grün). (Zeichnung war nicht verlangt)
a a
c cb b
b
b b c
Abbildung 3: Schachtel nach Art einer Streichholzschachtel
dFdb
= 16b− 4V
b2
!= 0 → b3 =14V, b =
(14V
) 13
d2 F
db2
[(14V
) 13]
= 16 +8V
b3> 0 → Min.
b =(
14V
) 13
= 4.5 cm
a = 2b = 9 cm
c =V
2b2= 9 cm
Alternativ: b ersetzen:
F = 2a2 + 3ac + ac
= 2a2 + 4ac
V =12a2c → c =
2V
a2
F = 2a2 +8V
a
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dFda
= 4a− 8V
a2
!= 0 → a3 = 2V, a = (2V )13
d2 F
da2
[(2V )
13
]= 4 +
16V
a3> 0 → Min.
a = (2V )13 = 9 cm
b =12(2V )
13 = 4.5 cm
c =2V
a2= 9 cm
Lösung 5Funktion:f(x) = 2
1x
a) Definitionsbereich:< \ 0b) Links- und rechtsseitiger Grenzwert an der Unstetigkeitsstelle:
Unstetigkeitsstelle:x0 = 0
– Rechtsseitiger Grenzwert:
limn→∞
f
(0 +
1n
)= lim
n→∞f
(1n
)= lim
n→∞2n →∞
– Linkssseitiger Grenzwert:
limn→∞
f
(0− 1
n
)= lim
n→∞f
(− 1
n
)= lim
n→∞12n
→ 0
An der Stellex0 = 0 befindet sich eine nicht-hebbare Unstetigkeitsstelle (aber kein Pol)c) Verhalten der Funktion für x→ ±∞
– Verhalten für x→ +∞lim
x→∞f(x) = lim
x→∞2
1x → 20 = 1
Für x→ +∞ nähert sich die Funktion der horizontalen Asymptotey = 1 von obenan.
– Verhalten für x→ −∞lim
x→−∞f(x) = lim
x→−∞2
1x → 1
20= 1
Für x→ −∞ nähert sich die Funktion der horizontalen Asymptotey = 1 von untenan.
d) Die ersten 3 Ableitungen: Logarithmische Ableitung
y = 21x
ln y =1x
ln 2
1yy′ = − ln 2
1x2
y′ = − ln 21x2
21x
y′′ = ln 2[ln 2
1x2
21x · 1
x2+
2x3
21x
]
= 21x ln 2
(2x2
+ln 2x4
)
y′′′ = ln 2[− ln 2
1x2
21x ( 2
x2 + ln 2x4 )+2
1x (− 6
x4− 4 ln 2x5 )
]
= −21x ln 2
[6x4
+6 ln 2x5
+(ln 2)2
x6
]
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e) Extremwerte, falls vorhanden
y′ = − ln 21x2
21x
!= 0
Dieser Ausdruck kann nicht 0 werden, die Funktion hat also keinen Extremwert.f) Wendepunkte, falls vorhanden
y′′ = 21x ln 2
(2x2
+ln 2x4
)!= 0
→ 2x2
+ln 2x4
= 0
2x = ln 2 → x = − ln 22
y′′′(− ln 2
2
)= −2
1x ln 2︸ ︷︷ ︸6=0
[96
(ln 2)4− 192
(ln 2)4+
64(ln 2)4
]6= 0
Die Funktionf(x) = 21x hat an der Stelle(xw; yw) =
(− ln 2
2; 2−
2ln 2
)≈ (−0.347; 0.135)
einen Wendepunkt.g) Wertebereich:(y ∈ <) ∧ (y > 0). y = 1 kommt nur als Grenzwert vor.h) Skizze siehe Abb. 4
f(x)
x
2
4
6
8
10
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Abbildung 4: f(x) = 21x
Version 6.3 2004 A. Erhardt
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