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1 Fachhochschule Leistungsnachweis Prüfer: Offenburg Mathematik I EA, EN, VU Prof. Dr. Erhardt - Ferron SS 2004 Termin: 13. Juli 2004 10.00 - 11.30 Uhr Zugelassene Hilfsmittel: Taschenrechner ohne grafisches Display, Formelsammlung Vorbemerkung: Bitte, stellen Sie die Lösungen mit Zwischenrechnungen deutlich und lesbar dar. Ergebnisse ohne klar erkennbaren Lösungsweg können leider nicht gewertet werden. Wertung: Note 1.0: 100% der Gesamtpunkte Note 4.0: 40% der Gesamtpunkte Aufgabe 1 (15 Punkte) Untersuchen Sie die in Abb. 1 dargestellte Schaltung. Es ist R 1 = 10Ω, R 2 = 5Ω, L 1 =0.1H, L 2 =0.2H, f = 50Hz und ˆ i = 10mA. Wie groß sind Z 1 , Z 2 und Z , u 1 (t), u 2 (t) und u(t)? Abbildung 1: Serienschaltung Stellen Sie alle Spannungen in der Form u(t)=ˆ u sin(ωt + ϕ) dar Aufgabe 2 (8 Punkte) Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mit Hilfe der Cramerschen Regel (α R): x cos α - y sin α = a x sin α + y cos α = b Aufgabe 3 (14 Punkte) Gegeben sei die logaithmische Spirale r(ϕ)= e ϕ . a) Für welche Winkel ϕ wird die Steigung der Spirale dy dx =2? Geben Sie alle Winkel an! b) In welchem Punkt (x 0 ,y 0 ) berührt die Tangente mit der Steigung dy dx =2 im Winkelbereich 0 <ϕ< π 2 die Spirale? c) Wie lautet die Gleichung der dieser Tangente? Aufgabe 4 (12 Punkte) Erstellen Sie eine Schachtel nach Art einer Streichholzschachtel mit einem Minimum an Material (Papier). Vernachlässigen Sie die Papierdicke und den Unterschied zwischen innerem und äußerem Kasten. Sie soll ein Volumen von 364.5 cm 3 haben, und zwischen der größten und der kleinsten Kante soll gelten: a =2b. Wie groß sind die Kanten dieser Schachtel? Aufgabe 5 (31 Punkte) Diskutieren Sie die Funktion f (x)=2 1 x a) Definitionsbereich b) Links- und rechtsseitiger Grenzwert an der Unstetigkeitsstelle c) Verhalten der Funktion für x→ ±∞ d) Die ersten 3 Ableitungen e) Extremwerte, falls vorhanden f) Wendepunkte, falls vorhanden g) Wertebereich h) Skizze Version 6.3 2004 A. Erhardt

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Fachhochschule Leistungsnachweis Prüfer:Offenburg Mathematik I EA, EN, VU Prof. Dr. Erhardt - Ferron

SS 2004

Termin: 13. Juli 2004 10.00 - 11.30 UhrZugelassene Hilfsmittel: Taschenrechner ohne grafisches Display, FormelsammlungVorbemerkung: Bitte, stellen Sie die Lösungenmit Zwischenrechnungendeutlich

und lesbardar. Ergebnisse ohne klar erkennbaren Lösungswegkönnen leider nicht gewertet werden.

Wertung: Note 1.0: 100% der GesamtpunkteNote 4.0: 40% der Gesamtpunkte

Aufgabe 1 (15 Punkte)Untersuchen Sie die in Abb. 1 dargestellte Schaltung. Es istR1 = 10Ω, R2 = 5Ω, L1 = 0.1H,L2 = 0.2H, f = 50Hz und i = 10mA. Wie groß sindZ1, Z2 und Z, u1(t), u2(t) und u(t)?

Abbildung 1: Serienschaltung

Stellen Sie alle Spannungen in der Formu(t) = u sin(ωt + ϕ) dar

Aufgabe 2 (8 Punkte)Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mit Hilfe der Cramerschen Regel (α ∈ R):

x cosα − y sin α = ax sin α + y cosα = b

Aufgabe 3 (14 Punkte)Gegeben sei die logaithmische Spiraler(ϕ) = eϕ.

a) Für welche Winkelϕ wird die Steigung der Spiraledydx

= 2? Geben Sie alle Winkel an!

b) In welchem Punkt(x0, y0) berührt die Tangente mit der Steigungdydx

= 2 im Winkelbereich

0 < ϕ <π

2die Spirale?

c) Wie lautet die Gleichung der dieser Tangente?

Aufgabe 4 (12 Punkte)Erstellen Sie eine Schachtel nach Art einer Streichholzschachtel mit einem Minimum an Material(Papier). Vernachlässigen Sie die Papierdicke und den Unterschied zwischen innerem und äußeremKasten. Sie soll ein Volumen von364.5 cm3 haben, und zwischen der größten und der kleinstenKante soll gelten:a = 2b. Wie groß sind die Kanten dieser Schachtel?

Aufgabe 5 (31 Punkte)Diskutieren Sie die Funktion

f(x) = 21x

a) Definitionsbereich b) Links- und rechtsseitiger Grenzwert an der Unstetigkeitsstellec) Verhalten der Funktion für x→ ±∞ d) Die ersten 3 Ableitungene) Extremwerte, falls vorhanden f) Wendepunkte, falls vorhandeng) Wertebereich h) Skizze

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Lösung 1(Punkte: je fürZ1, Z2,Zges, je für U1,U2, Uges)R1 = 10Ω, R2 = 5Ω, L1 = 0.1H, L2 = 0.2H, f = 50Hz undi = 10mA.

Z1 = R1 + XL1

= R1 + jωL1

= (10 + 31.41j)Ω

Z2 = R2 + XL2

= R2 + jωL2

= (5 + 62.83j)Ω

Z = Z1 + Z2

= (15 + 94.25j)Ω

i(t) = i · ejωt

= 10 · ejωtmA

=u1(t) = Z1 · i(t)

= 32.969e1.26j · 10ejωtmV

= 329.69ej(ωt+1.26)mV

u1(t) = 329.69 sin(ωt + 1.26)mV

=u2(t) = Z2 · i(t)

= 63.03e1.49j · 10ejωtmV

= 630.3ej(ωt+1.49)mV

u2(t) = 630.3 sin(ωt + 1.49)mV

=u(t) = Z · i(t)

= 95.43e1.41j · 10ejωtmV

= 954.3ej(ωt+1.41)mV

u(t) = 954.3 sin(ωt + 1.41)mV

Lösung 2(Punkte: fürD, für D1, für D2)

D =∣∣∣∣

cosα − sin αsinα cos α

∣∣∣∣ = 1

D1 = x =∣∣∣∣

a − sin αb cos α

∣∣∣∣ = a cosα + b sin α

D2 = y =∣∣∣∣

cosα asinα b

∣∣∣∣ = b cosα− a sin α

Lösung 3

a) Ableiten einer Funktion in Polarkoordinaten:y′ =y

x=

r(ϕ) sin ϕ + r(ϕ) cos ϕ

r(ϕ) cos ϕ− r(ϕ) sin ϕ

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r(ϕ) = eϕ

y′ =r(ϕ) sin ϕ + r(ϕ) cos ϕ

r(ϕ) cos ϕ− r(ϕ) sin ϕ

=eϕ sin ϕ + eϕ cosϕ

eϕ cosϕ− eϕ sin ϕ

=sin ϕ + cosϕ

cos ϕ− sinϕ

!= 2

→ sin ϕ + cos ϕ = 2(cos ϕ− sin ϕ)

tan ϕ =13

→ ϕk = arctan(

13

)+ kπ

b) Tangente mit der Steigungdydx

= 2 im Winkelbereich0 < ϕ <π

2: das ist die Tangente bei

ϕ = arctan(

13

)≈ 0.32175 ≈ 180.

Berührpunkt:

x0 = r(ϕ) cos ϕ

= e0.32175 cos 0.32175 = 1.31y0 = r(ϕ) sin ϕ

= e0.32175 sin 0.32175 = 0.44

Der Punkt, in welchem die Tangente mit der Steigungdydx

= 2 im Winkelbereich0 < ϕ <π

2die Spirale berührt ist(x0, y0) = (1.31, 0.44).

c) Geradengleichung in Punkt-Steigungsform:

y − y0

x− x0= m

→ y = fT (x) = 2x− 0.44

Die Tangente hat die GleichungfT (x) = 2x− 0.44.

Skizze siehe Abb. 2 (Zeichnung war nicht verlangt).

Lösung 4(Punkte: für F(a), für Ableitung, für Berechnen der Seiten)Modell siehe Abb. 3

F = 3ac + 2bc + 4ab

V = abc = 364.5a = 2b

a ersetzen:

F = 8b2 + 6bc + 2bc

= 8b2 + 8bc

V = 2b2c → c =V

2b2

F = 8b2 +4V

b

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20 15 10 5 0

Abbildung 2: r(ϕ) = eϕ (rot) und ihre TangentefT (x) = 2x− 2.18 (grün). (Zeichnung war nicht verlangt)

a a

c cb b

b

b b c

Abbildung 3: Schachtel nach Art einer Streichholzschachtel

dFdb

= 16b− 4V

b2

!= 0 → b3 =14V, b =

(14V

) 13

d2 F

db2

[(14V

) 13]

= 16 +8V

b3> 0 → Min.

b =(

14V

) 13

= 4.5 cm

a = 2b = 9 cm

c =V

2b2= 9 cm

Alternativ: b ersetzen:

F = 2a2 + 3ac + ac

= 2a2 + 4ac

V =12a2c → c =

2V

a2

F = 2a2 +8V

a

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dFda

= 4a− 8V

a2

!= 0 → a3 = 2V, a = (2V )13

d2 F

da2

[(2V )

13

]= 4 +

16V

a3> 0 → Min.

a = (2V )13 = 9 cm

b =12(2V )

13 = 4.5 cm

c =2V

a2= 9 cm

Lösung 5Funktion:f(x) = 2

1x

a) Definitionsbereich:< \ 0b) Links- und rechtsseitiger Grenzwert an der Unstetigkeitsstelle:

Unstetigkeitsstelle:x0 = 0

– Rechtsseitiger Grenzwert:

limn→∞

f

(0 +

1n

)= lim

n→∞f

(1n

)= lim

n→∞2n →∞

– Linkssseitiger Grenzwert:

limn→∞

f

(0− 1

n

)= lim

n→∞f

(− 1

n

)= lim

n→∞12n

→ 0

An der Stellex0 = 0 befindet sich eine nicht-hebbare Unstetigkeitsstelle (aber kein Pol)c) Verhalten der Funktion für x→ ±∞

– Verhalten für x→ +∞lim

x→∞f(x) = lim

x→∞2

1x → 20 = 1

Für x→ +∞ nähert sich die Funktion der horizontalen Asymptotey = 1 von obenan.

– Verhalten für x→ −∞lim

x→−∞f(x) = lim

x→−∞2

1x → 1

20= 1

Für x→ −∞ nähert sich die Funktion der horizontalen Asymptotey = 1 von untenan.

d) Die ersten 3 Ableitungen: Logarithmische Ableitung

y = 21x

ln y =1x

ln 2

1yy′ = − ln 2

1x2

y′ = − ln 21x2

21x

y′′ = ln 2[ln 2

1x2

21x · 1

x2+

2x3

21x

]

= 21x ln 2

(2x2

+ln 2x4

)

y′′′ = ln 2[− ln 2

1x2

21x ( 2

x2 + ln 2x4 )+2

1x (− 6

x4− 4 ln 2x5 )

]

= −21x ln 2

[6x4

+6 ln 2x5

+(ln 2)2

x6

]

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e) Extremwerte, falls vorhanden

y′ = − ln 21x2

21x

!= 0

Dieser Ausdruck kann nicht 0 werden, die Funktion hat also keinen Extremwert.f) Wendepunkte, falls vorhanden

y′′ = 21x ln 2

(2x2

+ln 2x4

)!= 0

→ 2x2

+ln 2x4

= 0

2x = ln 2 → x = − ln 22

y′′′(− ln 2

2

)= −2

1x ln 2︸ ︷︷ ︸6=0

[96

(ln 2)4− 192

(ln 2)4+

64(ln 2)4

]6= 0

Die Funktionf(x) = 21x hat an der Stelle(xw; yw) =

(− ln 2

2; 2−

2ln 2

)≈ (−0.347; 0.135)

einen Wendepunkt.g) Wertebereich:(y ∈ <) ∧ (y > 0). y = 1 kommt nur als Grenzwert vor.h) Skizze siehe Abb. 4

f(x)

x

2

4

6

8

10

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Abbildung 4: f(x) = 21x

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