Algebra Lineares Gleichungssytem - Aufgaben und Lösungen · Einsetzverfahren (2) 1 Einsetzverfahren (2) I a1·x+b1·y = c1 II a2·x+b2·y = c2 • Gleichung I oder II nach x oder

Algebra - Lineares GleichungssytemAufgaben und Lösungen

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©Klemens Fersch

10. November 2019

Inhaltsverzeichnis1 Einsetzverfahren (2) 2

1.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Gleichsetzungsverfahren (2) 172.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Additionsverfahren (2) 333.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4 Determinantenverfahren (2) 474.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5 Determinantenverfahren (3) 575.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.2 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

1

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Einsetzverfahren (2)

1 Einsetzverfahren (2)

I a1 · x+ b1 · y = c1

II a2 · x+ b2 · y = c2

• Gleichung I oder II nach x oder y auflösen• Term in die andere Gleichung einsetzen• Gleichung nach der Unbekannten auflösen• zweite Unbekannte berechnen

I 3x+ 5y = 19II 7x+ 5y = 31I nach x auflösen3x+ 5y = 193x+ 5y = 19 /− 5y3x = 19− 5y / : 3x = 6 1

3− 1 2

3y

I in II7(6 1

3− 1 2

3y) + 5y = 31

44 13− 11 2

3y + 5y = 31 /− 44 1

3

−11 23y + 5y = 31− 44 1

3

−6 23y = −13 1

3/ :

(−6 2

3

)y =

−13 13

−6 23

y = 2x = 6 1

3− 1 2

3y

x = 6 13− 1 2

3· 2

x = 3L = {3/2}

I 3x+ 5y = 19II 7x+ 5y = 31I nach y auflösen3x+ 5y = 193x+ 5y = 19 /− 3x5y = 19− 3x / : 5y = 3 4

5− 3

5x

I in II7x+ 5(3 4

5− 3

5x) = 31

19− 3x+ 5x = 31 /− 19−3x+ 5x = 31− 194x = 12 / : 4x = 12

4

x = 3y = 3 4

5− 3

5x

y = 3 45− 3

5· 3

y = 2L = {3/2}

1.1 AufgabenUm eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue RechnungGegeben:a1 · x+ b1 · y = c1a2 · x+ b2 · y = c2

Gesucht:x und y

(1) 3x+ 5y = 197x+ 5y = 31

(2) 1x+ 1y = 101x− 1y = 4

(3) 9x− 2y = 55x− 2y = 1

(4) 9x− 2y = 1−3x− 3y = −7

(5) 1x+ 3y = 93x− 2y = −6

(6) 7x+ 1 12y = 1

2x− 5y = 22

(7) 4x− 5y = 43−3x− 7y = 0

(8) 8x− 3y = 1012x− 5y = 24

(9) − 12x+ 1y = 2

12x− 3y = −3

(10) −1x+ 1y = 312x− 4y = 5

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Einsetzverfahren (2) Aufgaben

(11) 1 15x− 1 1

3y = 5 13

2 12x− 1

4y = 12 38

(12)23x− 5

7y = 23

1x+ 1y = 10 23

(13) 1 12x− 2y = 9

25x+ 1

3y = 5

(14) 2x+ 3y = 413x− 1

5y = 12

(15) 1x+ 2y = −4−1x+ 2y = 5

(16) 2x+ 4y = 4− 1

2x+ 3y = 3

(17) − 12x+ 4y = 6

−2x− 8y = 2

(18) 1x+ 1y = 12x+ 2y = 2

(19) 1x+ 1y = 23x+ 3y = 3

(20) −1 45x+ 1 1

3y = −1− 2

3x+ 19y = 9

(21) 2x− 7y = −87x− 1y = −9

(22) −7x+ 9y = −35x− 6y = −4

(23) 2x+ 2y = 1 710

3x+ 6y = 3

(24) 3x+ 5y = 89x+ 0y = 7

(25) 3x+ 6y = 89x+ 0y = 9

(26) 3x+ 6y = 89x+ 0y = 9


Einsetzverfahren (2) Lösungen

1.2 LösungenAufgabe (1)


3 − 1 23y

I in II7(6 1

3 − 1 23y) + 5y = 31

44 13 − 11 2

3y + 5y = 31 /− 44 13

−11 23y + 5y = 31− 44 1

3−6 2

3y = −13 13 / :

(−6 2

3

)y =

−13 13

−6 23

y = 2x = 6 1

3 − 1 23y

x = 6 13 − 1 2

3 · 2x = 3L = {3/2}


5 − 35x

I in II7x+ 5(3 4

5 − 35x) = 31

19− 3x+ 5x = 31 /− 19−3x+ 5x = 31− 194x = 12 / : 4x = 12

4x = 3y = 3 4

5 − 35x

y = 3 45 − 3

5 · 3y = 2L = {3/2}

Aufgabe (2)

I 1x+ 1y = 10II 1x− 1y = 4I nach x auflösen1x+ 1y = 101x+ 1y = 10 /− 1y1x = 10− 1y / : 1x = 10− 1yI in II1(10− 1y) +−1y = 410− 1y − 1y = 4 /− 10−1y − 1y = 4− 10−2y = −6 / : (−2)y = −6

−2

y = 3x = 10− 1yx = 10− 1 · 3x = 7L = {7/3}

I 1x+ 1y = 10II 1x− 1y = 4I nach y auflösen1x+ 1y = 101x+ 1y = 10 /− 1x1y = 10− 1x / : 1y = 10− 1xI in II1x+−1(10− 1x) = 4−10 + 1x− 1x = 4 /− (−10)+1x− 1x = 4− (−10)2x = 14 / : 2x = 14

2x = 7y = 10− 1xy = 10− 1 · 7y = 3L = {7/3}

Aufgabe (3)



I 9x− 2y = 5II 5x− 2y = 1I nach x auflösen9x− 2y = 59x− 2y = 5 / + 2y9x = 5 + 2y / : 9x = 5

9 + 29y

I in II5( 59 + 2

9y) +−2y = 12 79 + 1 1

9y − 2y = 1 /− 2 79

+1 19y − 2y = 1− 2 7

9− 8

9y = −1 79 / :

(− 8

9

)y =

−1 79

− 89

y = 2x = 5

9 + 29y

x = 59 + 2

9 · 2x = 1L = {1/2}

I 9x− 2y = 5II 5x− 2y = 1I nach y auflösen9x− 2y = 59x− 2y = 5 /− 9x−2y = 5− 9x / : (−2)y = −2 1

2 + 4 12x

I in II5x+−2(−2 1

2 + 4 12x) = 1

5− 9x− 2x = 1 /− 5−9x− 2x = 1− 5−4x = −4 / : (−4)x = −4

−4

x = 1y = −2 1

2 + 4 12x

y = −2 12 + 4 1

2 · 1y = 2L = {1/2}

Aufgabe (4)

I 9x− 2y = 1II − 3x− 3y = −7I nach x auflösen9x− 2y = 19x− 2y = 1 / + 2y9x = 1 + 2y / : 9x = 1

9 + 29y

I in II−3( 19 + 2

9y) +−3y = −7− 1

3 − 23y − 3y = −7 /−

(− 1

3

)− 2

3y − 3y = −7−(− 1

3

)−3 2

3y = −6 23 / :

(−3 2

3

)y =

−6 23

−3 23

y = 1 911

x = 19 + 2

9yx = 1

9 + 29 · 1 9

11x = 17

33L = { 17

33/1911}

I 9x− 2y = 1II − 3x− 3y = −7I nach y auflösen9x− 2y = 19x− 2y = 1 /− 9x−2y = 1− 9x / : (−2)y = − 1

2 + 4 12x

I in II−3x+−3(− 1

2 + 4 12x) = −7

1 12 − 13 1

2x− 3x = −7 /− 1 12

−13 12x− 3x = −7− 1 1

2−16 1

2x = −8 12 / :

(−16 1

2

)x =

−8 12

−16 12

x = 1733

y = − 12 + 4 1

2xy = − 1

2 + 4 12 · 17

33y = 1 9

11L = { 17

33/1911}

Aufgabe (5)



I 1x+ 3y = 9II 3x− 2y = −6I nach x auflösen1x+ 3y = 91x+ 3y = 9 /− 3y1x = 9− 3y / : 1x = 9− 3yI in II3(9− 3y) +−2y = −627− 9y − 2y = −6 /− 27−9y − 2y = −6− 27−11y = −33 / : (−11)y = −33

−11

y = 3x = 9− 3yx = 9− 3 · 3x = 0L = {0/3}

I 1x+ 3y = 9II 3x− 2y = −6I nach y auflösen1x+ 3y = 91x+ 3y = 9 /− 1x3y = 9− 1x / : 3y = 3− 1

3xI in II3x+−2(3− 1

3x) = −6−6 + 2

3x− 2x = −6 /− (−6)+ 2

3x− 2x = −6− (−6)3 23x = 0 / : 3 2

3x = 0

3 23

x = 0y = 3− 1

3xy = 3− 1

3 · 0y = 3L = {0/3}

Aufgabe (6)

I 7x+ 1 12y = 1

II 2x− 5y = 22I nach x auflösen7x+ 1 1

2y = 17x+ 1 1

2y = 1 /− 1 12y

7x = 1− 1 12y / : 7

x = 17 − 3

14yI in II2( 17 − 3

14y) +−5y = 2227 − 3

7y − 5y = 22 /− 27

− 37y − 5y = 22− 2

7−5 3

7y = 21 57 / :

(−5 3

7

)y =

21 57

−5 37

y = −4x = 1

7 − 314y

x = 17 − 3

14 · (−4)x = 1L = {1/− 4}

I 7x+ 1 12y = 1

II 2x− 5y = 22I nach y auflösen7x+ 1 1

2y = 17x+ 1 1

2y = 1 /− 7x1 12y = 1− 7x / : 1 1

2y = 2

3 − 4 23x

I in II2x+−5( 23 − 4 2

3x) = 22−3 1

3 + 23 13x− 5x = 22 /−

(−3 1

3

)+23 1

3x− 5x = 22−(−3 1

3

)25 1

3x = 25 13 / : 25 1

3

x =25 1

3

25 13

x = 1y = 2

3 − 4 23x

y = 23 − 4 2

3 · 1y = −4L = {1/− 4}

Aufgabe (7)



I 4x− 5y = 43II − 3x− 7y = 0I nach x auflösen4x− 5y = 434x− 5y = 43 / + 5y4x = 43 + 5y / : 4x = 10 3

4 + 1 14y

I in II−3(10 3

4 + 1 14y) +−7y = 0

−32 14 − 3 3

4y − 7y = 0 /−(−32 1

4

)−3 3

4y − 7y = 0−(−32 1

4

)−10 3

4y = 32 14 / :

(−10 3

4

)y =

32 14

−10 34

y = −3x = 10 3

4 + 1 14y

x = 10 34 + 1 1

4 · (−3)x = 7L = {7/− 3}

I 4x− 5y = 43II − 3x− 7y = 0I nach y auflösen4x− 5y = 434x− 5y = 43 /− 4x−5y = 43− 4x / : (−5)y = −8 3

5 + 45x

I in II−3x+−7(−8 3

5 + 45x) = 0

60 15 − 5 3

5x− 7x = 0 /− 60 15

−5 35x− 7x = 0− 60 1

5−8 3

5x = −60 15 / :

(−8 3

5

)x =

−60 15

−8 35

x = 7y = −8 3

5 + 45x

y = −8 35 + 4

5 · 7y = −3L = {7/− 3}

Aufgabe (8)

I 8x− 3y = 10II 12x− 5y = 24I nach x auflösen8x− 3y = 108x− 3y = 10 / + 3y8x = 10 + 3y / : 8x = 1 1

4 + 38y

I in II12(1 1

4 + 38y) +−5y = 24

15 + 4 12y − 5y = 24 /− 15

+4 12y − 5y = 24− 15

− 12y = 9 / :

(− 1

2

)y = 9

− 12

y = −18x = 1 1

4 + 38y

x = 1 14 + 3

8 · (−18)x = −5 1

2L = {−5 1

2/− 18}


3 + 2 23x

I in II12x+−5(−3 1

3 + 2 23x) = 24

16 23 − 13 1

3x− 5x = 24 /− 16 23

−13 13x− 5x = 24− 16 2

3−1 1

3x = 7 13 / :

(−1 1

3

)x =

7 13

−1 13

x = −5 12

y = −3 13 + 2 2

3xy = −3 1

3 + 2 23 ·

(−5 1

2

)y = −18L = {−5 1

2/− 18}

Aufgabe (9)



I − 12x+ 1y = 2

II 12x− 3y = −3

I nach x auflösen− 1

2x+ 1y = 2− 1

2x+ 1y = 2 /− 1y− 1

2x = 2− 1y / :(− 1

2

)x = −4 + 2yI in II12 (−4 + 2y) +−3y = −3−2 + 1y − 3y = −3 /− (−2)+1y − 3y = −3− (−2)−2y = −1 / : (−2)y = −1

−2

y = 12

x = −4 + 2yx = −4 + 2 · 1

2x = −3L = {−3/ 1

2}

I − 12x+ 1y = 2

II 12x− 3y = −3

I nach y auflösen− 1

2x+ 1y = 2− 1

2x+ 1y = 2 / + 12x

1y = 2 + 12x / : 1

y = 2 + 12x

I in II12x+−3(2 + 1

2x) = −3−6− 1 1

2x− 3x = −3 /− (−6)−1 1

2x− 3x = −3− (−6)−1x = 3 / : (−1)x = 3

−1

x = −3y = 2 + 1

2xy = 2 + 1

2 · (−3)y = 1

2L = {−3/ 1

2}

Aufgabe (10)

I − 1x+ 1y = 3II 1

2x− 4y = 5I nach x auflösen−1x+ 1y = 3−1x+ 1y = 3 /− 1y−1x = 3− 1y / : (−1)x = −3 + 1yI in II12 (−3 + 1y) +−4y = 5−1 1

2 + 12y − 4y = 5 /−

(−1 1

2

)+ 1

2y − 4y = 5−(−1 1

2

)−3 1

2y = 6 12 / :

(−3 1

2

)y =

6 12

−3 12

y = −1 67

x = −3 + 1yx = −3 + 1 ·

(−1 6

7

)x = −4 6

7L = {−4 6

7/− 1 67}

I − 1x+ 1y = 3II 1

2x− 4y = 5I nach y auflösen−1x+ 1y = 3−1x+ 1y = 3 / + 1x1y = 3 + 1x / : 1y = 3 + 1xI in II12x+−4(3 + 1x) = 5−12− 4x− 4x = 5 /− (−12)−4x− 4x = 5− (−12)−3 1

2x = 17 / :(−3 1

2

)x = 17

−3 12

x = −4 67

y = 3 + 1xy = 3 + 1 ·

(−4 6

7

)y = −1 6

7L = {−4 6

7/− 1 67}

Aufgabe (11)



I 1 15x− 1 1

3y = 5 13

II 2 12x− 1

4y = 12 38

I nach x auflösen1 15x− 1 1

3y = 5 13

1 15x− 1 1

3y = 5 13 / + 1 1

3y1 15x = 5 1

3 + 1 13y / : 1 1

5x = 4 4

9 + 1 19y

I in II2 12 (4

49 + 1 1

9y) +− 14y = 12 3

811 1

9 + 2 79y −

14y = 12 3

8 /− 11 19

+2 79y −

14y = 12 3

8 − 11 19

2 1936y = 1 19

72 / : 2 1936

y =1 19

72

2 1936

y = 12

x = 4 49 + 1 1

9yx = 4 4

9 + 1 19 · 1

2x = 5L = {5/ 1

2}

I 1 15x− 1 1

3y = 5 13

II 2 12x− 1

4y = 12 38

I nach y auflösen1 15x− 1 1

3y = 5 13

1 15x− 1 1

3y = 5 13 /− 1 1

5x−1 1

3y = 5 13 − 1 1

5x / :(−1 1

3

)y = −4 + 9

10xI in II2 12x+− 1

4 (−4 + 910x) = 12 3

81− 9

40x− 14x = 12 3

8 /− 1− 9

40x− 14x = 12 3

8 − 12 1140x = 11 3

8 / : 2 1140

x =11 3

8

2 1140

x = 5y = −4 + 9

10xy = −4 + 9

10 · 5y = 1

2L = {5/ 1

2}

Aufgabe (12)

I 23x− 5

7y = 23

II 1x+ 1y = 10 23

I nach x auflösen23x− 5

7y = 23

23x− 5

7y = 23 / + 5

7y23x = 2

3 + 57y / : 2

3x = 1 + 1 1

14yI in II1(1 + 1 1

14y) + 1y = 10 23

1 + 1 114y + 1y = 10 2

3 /− 1+1 1

14y + 1y = 10 23 − 1

2 114y = 9 2

3 / : 2 114

y =9 2

3

2 114

y = 4 23

x = 1 + 1 114y

x = 1 + 1 114 · 4 2

3x = 6L = {6/4 2

3}

I 23x− 5

7y = 23

II 1x+ 1y = 10 23

I nach y auflösen23x− 5

7y = 23

23x− 5

7y = 23 /− 2

3x− 5

7y = 23 − 2

3x / :(− 5

7

)y = − 14

15 + 1415x

I in II1x+ 1(− 14

15 + 1415x) = 10 2

3− 14

15 + 1415x+ 1x = 10 2

3 /−(− 14

15

)+ 14

15x+ 1x = 10 23 −

(− 14

15

)1 1415x = 11 3

5 / : 1 1415

x =11 3

5

1 1415

x = 6y = − 14

15 + 1415x

y = − 1415 + 14

15 · 6y = 4 2

3L = {6/4 2

3}

Aufgabe (13)



I 1 12x− 2y = 9

II 25x+ 1

3y = 5I nach x auflösen1 12x− 2y = 9

1 12x− 2y = 9 / + 2y

1 12x = 9 + 2y / : 1 1

2x = 6 + 1 1

3yI in II25 (6 + 1 1

3y) +13y = 5

2 25 + 8

15y +13y = 5 /− 2 2

5+ 8

15y +13y = 5− 2 2

51315y = 2 3

5 / : 1315

y =2 3

51315

y = 3x = 6 + 1 1

3yx = 6 + 1 1

3 · 3x = 10L = {10/3}

I 1 12x− 2y = 9

II 25x+ 1

3y = 5I nach y auflösen1 12x− 2y = 9

1 12x− 2y = 9 /− 1 1

2x−2y = 9− 1 1

2x / : (−2)y = −4 1

2 + 34x

I in II25x+ 1

3 (−4 12 + 3

4x) = 5−1 1

2 + 14x+ 1

3x = 5 /−(−1 1

2

)+ 1

4x+ 13x = 5−

(−1 1

2

)1320x = 6 1

2 / : 1320

x =6 1

21320

x = 10y = −4 1

2 + 34x

y = −4 12 + 3

4 · 10y = 3L = {10/3}

Aufgabe (14)

I 2x+ 3y = 4II 1

3x− 15y = 12

I nach x auflösen2x+ 3y = 42x+ 3y = 4 /− 3y2x = 4− 3y / : 2x = 2− 1 1

2yI in II13 (2− 1 1

2y) +− 15y = 12

23 − 1

2y −15y = 12 /− 2

3− 1

2y −15y = 12− 2

3− 7

10y = 11 13 / :

(− 7

10

)y =

11 13

− 710

y = −16 421

x = 2− 1 12y

x = 2− 1 12 ·

(−16 4

21

)x = 26 2

7L = {26 2

7/− 16 421}

I 2x+ 3y = 4II 1

3x− 15y = 12

I nach y auflösen2x+ 3y = 42x+ 3y = 4 /− 2x3y = 4− 2x / : 3y = 1 1

3 − 23x

I in II13x+− 1

5 (113 − 2

3x) = 12− 4

15 + 215x− 1

5x = 12 /−(− 4

15

)+ 2

15x− 15x = 12−

(− 4

15

)715x = 12 4

15 / : 715

x =12 4

15715

x = 26 27

y = 1 13 − 2

3xy = 1 1

3 − 23 · 26 2

7y = −16 4

21L = {26 2

7/− 16 421}

Aufgabe (15)



I 1x+ 2y = −4II − 1x+ 2y = 5I nach x auflösen1x+ 2y = −41x+ 2y = −4 /− 2y1x = −4− 2y / : 1x = −4− 2yI in II−1(−4− 2y) + 2y = 54 + 2y + 2y = 5 /− 4+2y + 2y = 5− 44y = 1 / : 4y = 1

4y = 1

4x = −4− 2yx = −4− 2 · 1

4x = −4 1

2L = {−4 1

2/14}

I 1x+ 2y = −4II − 1x+ 2y = 5I nach y auflösen1x+ 2y = −41x+ 2y = −4 /− 1x2y = −4− 1x / : 2y = −2− 1

2xI in II−1x+ 2(−2− 1

2x) = 5−4− 1x+ 2x = 5 /− (−4)−1x+ 2x = 5− (−4)−2x = 9 / : (−2)x = 9

−2

x = −4 12

y = −2− 12x

y = −2− 12 ·

(−4 1

2

)y = 1

4L = {−4 1

2/14}

Aufgabe (16)

I 2x+ 4y = 4II − 1

2x+ 3y = 3I nach x auflösen2x+ 4y = 42x+ 4y = 4 /− 4y2x = 4− 4y / : 2x = 2− 2yI in II− 1

2 (2− 2y) + 3y = 3−1 + 1y + 3y = 3 /− (−1)+1y + 3y = 3− (−1)4y = 4 / : 4y = 4

4y = 1x = 2− 2yx = 2− 2 · 1x = 0L = {0/1}

I 2x+ 4y = 4II − 1

2x+ 3y = 3I nach y auflösen2x+ 4y = 42x+ 4y = 4 /− 2x4y = 4− 2x / : 4y = 1− 1

2xI in II− 1

2x+ 3(1− 12x) = 3

3− 1 12x+ 3x = 3 /− 3

−1 12x+ 3x = 3− 3

−2x = 0 / : (−2)x = 0

−2

x = 0y = 1− 1

2xy = 1− 1

2 · 0y = 1L = {0/1}

Aufgabe (17)



I − 12x+ 4y = 6

II − 2x− 8y = 2I nach x auflösen− 1

2x+ 4y = 6− 1

2x+ 4y = 6 /− 4y− 1

2x = 6− 4y / :(− 1

2

)x = −12 + 8yI in II−2(−12 + 8y) +−8y = 224− 16y − 8y = 2 /− 24−16y − 8y = 2− 24−24y = −22 / : (−24)y = −22

−24

y = 1112

x = −12 + 8yx = −12 + 8 · 11

12x = −4 2

3L = {−4 2

3/1112}

I − 12x+ 4y = 6

II − 2x− 8y = 2I nach y auflösen− 1

2x+ 4y = 6− 1

2x+ 4y = 6 / + 12x

4y = 6 + 12x / : 4

y = 1 12 + 1

8xI in II−2x+−8(1 1

2 + 18x) = 2

−12− 1x− 8x = 2 /− (−12)−1x− 8x = 2− (−12)−3x = 14 / : (−3)x = 14

−3

x = −4 23

y = 1 12 + 1

8xy = 1 1

2 + 18 ·

(−4 2

3

)y = 11

12L = {−4 2

3/1112}

Aufgabe (18)

I 1x+ 1y = 1II 2x+ 2y = 2I nach x auflösen1x+ 1y = 11x+ 1y = 1 /− 1y1x = 1− 1y / : 1x = 1− 1yI in II2(1− 1y) + 2y = 22− 2y + 2y = 2 /− 2−2y + 2y = 2− 2

L = unendlich

I 1x+ 1y = 1II 2x+ 2y = 2I nach y auflösen1x+ 1y = 11x+ 1y = 1 /− 1x1y = 1− 1x / : 1y = 1− 1xI in II2x+ 2(1− 1x) = 22− 2x+ 2x = 2 /− 2−2x+ 2x = 2− 2

L = unendlich

Aufgabe (19)

I 1x+ 1y = 2II 3x+ 3y = 3I nach x auflösen1x+ 1y = 21x+ 1y = 2 /− 1y1x = 2− 1y / : 1x = 2− 1yI in II3(2− 1y) + 3y = 36− 3y + 3y = 3 /− 6−3y + 3y = 3− 6

L = {}

I 1x+ 1y = 2II 3x+ 3y = 3I nach y auflösen1x+ 1y = 21x+ 1y = 2 /− 1x1y = 2− 1x / : 1y = 2− 1xI in II3x+ 3(2− 1x) = 36− 3x+ 3x = 3 /− 6−3x+ 3x = 3− 6

L = {}

Aufgabe (20)



I − 1 45x+ 1 1

3y = −1II − 2

3x+ 19y = 9

I nach x auflösen−1 4

5x+ 1 13y = −1

−1 45x+ 1 1

3y = −1 /− 1 13y

−1 45x = −1− 1 1

3y / :(−1 4

5

)x = 5

9 + 2027y

I in II− 2

3 (59 + 20

27y) +19y = 9

− 1027 − 40

81y +19y = 9 /−

(− 10

27

)− 40

81y +19y = 9−

(− 10

27

)− 31

81y = 9 1027 / :

(− 31

81

)y =

9 1027

− 3181

y = −24 1531

x = 59 + 20

27yx = 5

9 + 2027 ·

(−24 15

31

)x = −17 18

31L = {−17 18

31/− 24 1531}

I − 1 45x+ 1 1

3y = −1II − 2

3x+ 19y = 9

I nach y auflösen−1 4

5x+ 1 13y = −1

−1 45x+ 1 1

3y = −1 / + 1 45x

1 13y = −1 + 1 4

5x / : 1 13

y = − 34 + 1 7

20xI in II− 2

3x+ 19 (−

34 + 1 7

20x) = 9− 1

12 + 320x+ 1

9x = 9 /−(− 1

12

)+ 3

20x+ 19x = 9−

(− 1

12

)− 31

60x = 9 112 / :

(− 31

60

)x =

9 112

− 3160

x = −17 1831

y = − 34 + 1 7

20xy = − 3

4 + 1 720 ·

(−17 18

31

)y = −24 15

31L = {−17 18

31/− 24 1531}

Aufgabe (21)

I 2x− 7y = −8II 7x− 1y = −9I nach x auflösen2x− 7y = −82x− 7y = −8 / + 7y2x = −8 + 7y / : 2x = −4 + 3 1

2yI in II7(−4 + 3 1

2y) +−1y = −9−28 + 24 1

2y − 1y = −9 /− (−28)+24 1

2y − 1y = −9− (−28)23 1

2y = 19 / : 23 12

y = 1923 1

2

y = 3847

x = −4 + 3 12y

x = −4 + 3 12 · 38

47x = −1 8

47L = {−1 8

47/3847}

I 2x− 7y = −8II 7x− 1y = −9I nach y auflösen2x− 7y = −82x− 7y = −8 /− 2x−7y = −8− 2x / : (−7)y = 1 1

7 + 27x

I in II7x+−1(1 1

7 + 27x) = −9

−1 17 − 2

7x− 1x = −9 /−(−1 1

7

)− 2

7x− 1x = −9−(−1 1

7

)6 57x = −7 6

7 / : 6 57

x =−7 6

7

6 57

x = −1 847

y = 1 17 + 2

7xy = 1 1

7 + 27 ·

(−1 8

47

)y = 38

47L = {−1 8

47/3847}

Aufgabe (22)



I − 7x+ 9y = −3II 5x− 6y = −4I nach x auflösen−7x+ 9y = −3−7x+ 9y = −3 /− 9y−7x = −3− 9y / : (−7)x = 3

7 + 1 27y

I in II5( 37 + 1 2

7y) +−6y = −42 17 + 6 3

7y − 6y = −4 /− 2 17

+6 37y − 6y = −4− 2 1

737y = −6 1

7 / : 37

y =−6 1

737

y = −14 13

x = 37 + 1 2

7yx = 3

7 + 1 27 ·

(−14 1

3

)x = −18L = {−18/− 14 1

3}

I − 7x+ 9y = −3II 5x− 6y = −4I nach y auflösen−7x+ 9y = −3−7x+ 9y = −3 / + 7x9y = −3 + 7x / : 9y = − 1

3 + 79x

I in II5x+−6(− 1

3 + 79x) = −4

2− 4 23x− 6x = −4 /− 2

−4 23x− 6x = −4− 2

13x = −6 / : 1

3x = −6

13

x = −18y = − 1

3 + 79x

y = − 13 + 7

9 · (−18)y = −14 1

3L = {−18/− 14 1

3}

Aufgabe (23)

I 2x+ 2y = 1 710

II 3x+ 6y = 3I nach x auflösen2x+ 2y = 1 7

102x+ 2y = 1 7

10 /− 2y2x = 1 7

10 − 2y / : 2x = 17

20 − 1yI in II3( 1720 − 1y) + 6y = 32 1120 − 3y + 6y = 3 /− 2 11

20−3y + 6y = 3− 2 11

203y = 9

20 / : 3

y =920

3y = 3

20x = 17

20 − 1yx = 17

20 − 1 · 320

x = 710

L = { 710/

320}

I 2x+ 2y = 1 710

II 3x+ 6y = 3I nach y auflösen2x+ 2y = 1 7

102x+ 2y = 1 7

10 /− 2x2y = 1 7

10 − 2x / : 2y = 17

20 − 1xI in II3x+ 6( 1720 − 1x) = 35 110 − 6x+ 6x = 3 /− 5 1

10−6x+ 6x = 3− 5 1

10−3x = −2 1

10 / : (−3)

x =−2 1

10

−3

x = 710

y = 1720 − 1x

y = 1720 − 1 · 7

10y = 3

20L = { 7

10/320}

Aufgabe (24)




3 − 1 23y

I in II9(2 2

3 − 1 23y) + 0y = 7

24− 15y + 0y = 7 /− 24−15y + 0y = 7− 24−15y = −17 / : (−15)y = −17

−15

y = 1 215

x = 2 23 − 1 2

3yx = 2 2

3 − 1 23 · 1 2

15x = 7

9L = { 7

9/1215}


5 − 35x

I in II9x+ 0(1 3

5 − 35x) = 7

0− 0x+ 0x = 7 /− 0−0x+ 0x = 7− 09x = 7 / : 9x = 7

9x = 7

9y = 1 3

5 − 35x

y = 1 35 − 3

5 · 79

y = 1 215

L = { 79/1

215}

Aufgabe (25)


3 − 2yI in II9(2 2

3 − 2y) + 0y = 924− 18y + 0y = 9 /− 24−18y + 0y = 9− 24−18y = −15 / : (−18)y = −15

−18

y = 56

x = 2 23 − 2y

x = 2 23 − 2 · 5

6x = 1L = {1/ 5

6}


3 − 12x

I in II9x+ 0(1 1

3 − 12x) = 9

0− 0x+ 0x = 9 /− 0−0x+ 0x = 9− 09x = 9 / : 9x = 9

9x = 1y = 1 1

3 − 12x

y = 1 13 − 1

2 · 1y = 5

6L = {1/ 5

6}

Aufgabe (26)




3 − 2yI in II9(2 2

3 − 2y) + 0y = 924− 18y + 0y = 9 /− 24−18y + 0y = 9− 24−18y = −15 / : (−18)y = −15

−18

y = 56

x = 2 23 − 2y

x = 2 23 − 2 · 5

6x = 1L = {1/ 5

6}


3 − 12x

I in II9x+ 0(1 1

3 − 12x) = 9

0− 0x+ 0x = 9 /− 0−0x+ 0x = 9− 09x = 9 / : 9x = 9

9x = 1y = 1 1

3 − 12x

y = 1 13 − 1

2 · 1y = 5

6L = {1/ 5

6}


Gleichsetzungsverfahren (2)

2 Gleichsetzungsverfahren (2)

I a1 · x+ b1 · y = c1

II a2 · x+ b2 · y = c2

• beide Gleichungen nach x oder y auflösen• Terme gleichsetzen• Gleichung nach der Unbekannten auflösen• zweite Unbekannte berechnen


5− 3

5x

II nach y auflösen7x+ 5y = 317x+ 5y = 31 /− 7x5y = 31− 7x / : 5y = 6 1

5− 1 2

5x

I = II3 45− 3

5x = 6 1

5− 1 2

5x / + 3

5x

3 45= 6 1

5− 4

5x /− 6 1

5

−2 25= − 4

5x / :

(− 4

5

)x = 3x in Iy = 3 4

5− 3

53

y = 2L = {3/2}


3− 1 2

3y

II nach x auflösen7x+ 5y = 317x+ 5y = 31 /− 5y7x = 31− 5y / : 7x = 4 3

7− 5

7y

I = II6 13− 1 2

3y = 4 3

7− 5

7y / + 1 2

3y

6 13= 4 3

7+ 20

21y /− 4 3

7

1 1921

= 2021y / : 20

21

y = 2y in Ix = 6 1

3− 1 2

32

x = 3L = {3/2}


Gesucht:x und y

(1) 3x+ 5y = 197x+ 5y = 31

(2) 1x+ 1y = 101x− 1y = 4

(3) 9x− 2y = 55x− 2y = 1

(4) 9x− 2y = 1−3x− 3y = −7

(5) 1x+ 3y = 93x− 2y = −6

(6) 7x+ 1 12y = 1

2x− 5y = 22

(7) 4x− 5y = 43−3x− 7y = 0

(8) 8x− 3y = 1012x− 5y = 24

(9) − 12x+ 1y = 2

12x− 3y = −3

(10) −1x+ 1y = 312x− 4y = 5


https://fersch.de/vorlage.cshtml?nr=linearessystem2gleich&nrform=Alglinearessystem2gleich

Gleichsetzungsverfahren (2) Aufgaben

(11) 1 15x− 1 1

3y = 5 13

2 12x− 1

4y = 12 38

(12)23x− 5

7y = 23

1x+ 1y = 10 23

(13) 1 12x− 2y = 9

25x+ 1

3y = 5

(14) 2x+ 3y = 413x− 1

5y = 12

(15) 1x+ 2y = −4−1x+ 2y = 5

(16) 2x+ 4y = 4− 1

2x+ 3y = 3

(17) − 12x+ 4y = 6

−2x− 8y = 2

(18) 1x+ 1y = 12x+ 2y = 2

(19) 1x+ 1y = 23x+ 3y = 3

(20) −1 45x+ 1 1

3y = −1− 2

3x+ 19y = 9

(21) 2x− 7y = −87x− 1y = −9

(22) −7x+ 9y = −35x− 6y = −4

(23) 2x+ 2y = 1 710

3x+ 6y = 3

(24) 34x+ 5y = 77x+ 9y = 8

(25) 34x+ 5y = 77x+ 9y = 8

(26) 34x+ 5y = 77x+ 9y = 8

(27) 2x+ 5y = 7−4x+ 2y = −6

(28) 2x+ 5y = 7−4x+ 2y = −6


Gleichsetzungsverfahren (2) Lösungen



5 − 35x

II nach y auflösen7x+ 5y = 317x+ 5y = 31 /− 7x5y = 31− 7x / : 5y = 6 1

5 − 1 25x

I = II3 45 − 3

5x = 6 15 − 1 2

5x / + 35x/− 6 1

53 45 − 6 1

5 = −1 25x+ 3

5x−2 2

5 = − 45x / :

(− 4

5

)x = 3x in Iy = 3 4

5 − 35 · 3

y = 2L = {3/2}


3 − 1 23y


7 − 57y

I = II6 13 − 1 2

3y = 4 37 − 5

7y / + 1 23y/− 4 3

76 13 − 4 3

7 = − 57y + 1 2

3y1 1921 = 20

21y / : 2021

y = 2y in Ix = 6 1

3 − 1 23 · 2

x = 3L = {3/2}

Aufgabe (2)

I 1x+ 1y = 10II 1x− 1y = 4I nach y auflösen1x+ 1y = 101x+ 1y = 10 /− 1x1y = 10− 1x / : 1y = 10− 1xII nach y auflösen1x− 1y = 41x− 1y = 4 /− 1x−1y = 4− 1x / : (−1)y = −4 + 1xI = II10− 1x = −4 + 1x / + 1x/ + 410 + 4 = 1x+ 1x14 = 2x / : 2x = 7x in Iy = 10− 1 · 7y = 3L = {7/3}

I 1x+ 1y = 10II 1x− 1y = 4I nach x auflösen1x+ 1y = 101x+ 1y = 10 /− 1y1x = 10− 1y / : 1x = 10− 1yII nach x auflösen1x− 1y = 41x− 1y = 4 / + 1y1x = 4 + 1y / : 1x = 4 + 1yI = II10− 1y = 4 + 1y / + 1y/− 410− 4 = 1y + 1y6 = 2y / : 2y = 3y in Ix = 10− 1 · 3x = 7L = {7/3}

Aufgabe (3)




2 + 4 12x

II nach y auflösen5x− 2y = 15x− 2y = 1 /− 5x−2y = 1− 5x / : (−2)y = − 1

2 + 2 12x

I = II−2 1

2 + 4 12x = − 1

2 + 2 12x /− 4 1

2x/ +12

−2 12 + 1

2 = 2 12x− 4 1

2x−2 = −2x / : (−2)x = 1x in Iy = −2 1

2 + 4 12 · 1

y = 2L = {1/2}

I 9x− 2y = 5II 5x− 2y = 1I nach x auflösen9x− 2y = 59x− 2y = 5 / + 2y9x = 5 + 2y / : 9x = 5

9 + 29y

II nach x auflösen5x− 2y = 15x− 2y = 1 / + 2y5x = 1 + 2y / : 5x = 1

5 + 25y

I = II59 + 2

9y = 15 + 2

5y /− 29y/−

15

59 − 1

5 = 25y −

29y

1645 = 8

45y / : 845

y = 2y in Ix = 5

9 + 29 · 2

x = 1L = {1/2}

Aufgabe (4)

I 9x− 2y = 1II − 3x− 3y = −7I nach y auflösen9x− 2y = 19x− 2y = 1 /− 9x−2y = 1− 9x / : (−2)y = − 1

2 + 4 12x

II nach y auflösen−3x− 3y = −7−3x− 3y = −7 / + 3x−3y = −7 + 3x / : (−3)y = 2 1

3 − 1xI = II− 1

2 + 4 12x = 2 1

3 − 1x /− 4 12x/− 2 1

3− 1

2 − 2 13 = −1x− 4 1

2x−2 5

6 = −5 12x / :

(−5 1

2

)x = 17

33x in Iy = − 1

2 + 4 12 · 17

33y = 1 9

11L = { 17

33/1911}

I 9x− 2y = 1II − 3x− 3y = −7I nach x auflösen9x− 2y = 19x− 2y = 1 / + 2y9x = 1 + 2y / : 9x = 1

9 + 29y

II nach x auflösen−3x− 3y = −7−3x− 3y = −7 / + 3y−3x = −7 + 3y / : (−3)x = 2 1

3 − 1yI = II19 + 2

9y = 2 13 − 1y /− 2

9y/− 2 13

19 − 2 1

3 = −1y − 29y

−2 29 = −1 2

9y / :(−1 2

9

)y = 1 9

11y in Ix = 1

9 + 29 · 1 9

11x = 17

33L = { 17

33/1911}

Aufgabe (5)



I 1x+ 3y = 9II 3x− 2y = −6I nach y auflösen1x+ 3y = 91x+ 3y = 9 /− 1x3y = 9− 1x / : 3y = 3− 1

3xII nach y auflösen3x− 2y = −63x− 2y = −6 /− 3x−2y = −6− 3x / : (−2)y = 3 + 1 1

2xI = II3− 1

3x = 3 + 1 12x / + 1

3x/− 33− 3 = 1 1

2x+ 13x

0 = 1 56x / : 1 5

6x = 0x in Iy = 3− 1

3 · 0y = 3L = {0/3}

I 1x+ 3y = 9II 3x− 2y = −6I nach x auflösen1x+ 3y = 91x+ 3y = 9 /− 3y1x = 9− 3y / : 1x = 9− 3yII nach x auflösen3x− 2y = −63x− 2y = −6 / + 2y3x = −6 + 2y / : 3x = −2 + 2

3yI = II9− 3y = −2 + 2

3y / + 3y/ + 29 + 2 = 2

3y + 3y11 = 3 2

3y / : 3 23

y = 3y in Ix = 9− 3 · 3x = 7, 11 · 10−15

L = {7, 11 · 10−15/3}

Aufgabe (6)

I 7x+ 1 12y = 1

II 2x− 5y = 22I nach y auflösen7x+ 1 1

2y = 17x+ 1 1

2y = 1 /− 7x1 12y = 1− 7x / : 1 1

2y = 2

3 − 4 23x

II nach y auflösen2x− 5y = 222x− 5y = 22 /− 2x−5y = 22− 2x / : (−5)y = −4 2

5 + 25x

I = II23 − 4 2

3x = −4 25 + 2

5x / + 4 23x/ + 4 2

523 + 4 2

5 = 25x+ 4 2

3x5 115 = 5 1

15x / : 5 115

x = 1x in Iy = 2

3 − 4 23 · 1

y = −4L = {1/− 4}

I 7x+ 1 12y = 1

II 2x− 5y = 22I nach x auflösen7x+ 1 1

2y = 17x+ 1 1

2y = 1 /− 1 12y

7x = 1− 1 12y / : 7

x = 17 − 3

14yII nach x auflösen2x− 5y = 222x− 5y = 22 / + 5y2x = 22 + 5y / : 2x = 11 + 2 1

2yI = II17 − 3

14y = 11 + 2 12y / + 3

14y/− 1117 − 11 = 2 1

2y +314y

−10 67 = 2 5

7y / : 2 57

y = −4y in Ix = 1

7 − 314 · −4

x = 1L = {1/− 4}

Aufgabe (7)



I 4x− 5y = 43II − 3x− 7y = 0I nach y auflösen4x− 5y = 434x− 5y = 43 /− 4x−5y = 43− 4x / : (−5)y = −8 3

5 + 45x

II nach y auflösen−3x− 7y = 0−3x− 7y = 0 / + 3x−7y = 0 + 3x / : (−7)y = 0− 3

7xI = II−8 3

5 + 45x = 0− 3

7x /− 45x/− 0

−8 35 − 0 = − 3

7x− 45x

−8 35 = −1 8

35x / :(−1 8

35

)x = 7x in Iy = −8 3

5 + 45 · 7

y = −3L = {7/− 3}

I 4x− 5y = 43II − 3x− 7y = 0I nach x auflösen4x− 5y = 434x− 5y = 43 / + 5y4x = 43 + 5y / : 4x = 10 3

4 + 1 14y

II nach x auflösen−3x− 7y = 0−3x− 7y = 0 / + 7y−3x = 0 + 7y / : (−3)x = 0− 2 1

3yI = II10 3

4 + 1 14y = 0− 2 1

3y /− 1 14y/− 0

10 34 − 0 = −2 1

3y − 1 14y

10 34 = −3 7

12y / :(−3 7

12

)y = −3y in Ix = 10 3

4 + 1 14 · −3

x = 7L = {7/− 3}

Aufgabe (8)


3 + 2 23x

II nach y auflösen12x− 5y = 2412x− 5y = 24 /− 12x−5y = 24− 12x / : (−5)y = −4 4

5 + 2 25x

I = II−3 1

3 + 2 23x = −4 4

5 + 2 25x /− 2 2

3x/ + 4 45

−3 13 + 4 4

5 = 2 25x− 2 2

3x1 715 = − 4

15x / :(− 4

15

)x = −5 1

2x in Iy = −3 1

3 + 2 23 · −5 1

2y = −18L = {−5 1

2/− 18}

I 8x− 3y = 10II 12x− 5y = 24I nach x auflösen8x− 3y = 108x− 3y = 10 / + 3y8x = 10 + 3y / : 8x = 1 1

4 + 38y

II nach x auflösen12x− 5y = 2412x− 5y = 24 / + 5y12x = 24 + 5y / : 12x = 2 + 5

12yI = II1 14 + 3

8y = 2 + 512y /− 3

8y/− 21 14 − 2 = 5

12y −38y

− 34 = 1

24y / : 124

y = −18y in Ix = 1 1

4 + 38 · −18

x = −5 12

L = {−5 12/− 18}

Aufgabe (9)



I − 12x+ 1y = 2

II 12x− 3y = −3

I nach y auflösen− 1

2x+ 1y = 2− 1

2x+ 1y = 2 / + 12x

1y = 2 + 12x / : 1

y = 2 + 12x

II nach y auflösen12x− 3y = −312x− 3y = −3 /− 1

2x−3y = −3− 1

2x / : (−3)y = 1 + 1

6xI = II2 + 1

2x = 1 + 16x /− 1

2x/− 12− 1 = 1

6x− 12x

1 = − 13x / :

(− 1

3

)x = −3x in Iy = 2 + 1

2 · −3y = 1

2L = {−3/ 1

2}

I − 12x+ 1y = 2

II 12x− 3y = −3

I nach x auflösen− 1

2x+ 1y = 2− 1

2x+ 1y = 2 /− 1y− 1

2x = 2− 1y / :(− 1

2

)x = −4 + 2yII nach x auflösen12x− 3y = −312x− 3y = −3 / + 3y12x = −3 + 3y / : 1

2x = −6 + 6yI = II−4 + 2y = −6 + 6y /− 2y/ + 6−4 + 6 = 6y − 2y2 = 4y / : 4y = 1

2y in Ix = −4 + 2 · 1

2x = −3L = {−3/ 1

2}

Aufgabe (10)

I − 1x+ 1y = 3II 1

2x− 4y = 5I nach y auflösen−1x+ 1y = 3−1x+ 1y = 3 / + 1x1y = 3 + 1x / : 1y = 3 + 1xII nach y auflösen12x− 4y = 512x− 4y = 5 /− 1

2x−4y = 5− 1

2x / : (−4)y = −1 1

4 + 18x

I = II3 + 1x = −1 1

4 + 18x /− 1x/ + 1 1

43 + 1 1

4 = 18x− 1x

4 14 = − 7

8x / :(− 7

8

)x = −4 6

7x in Iy = 3 + 1 · −4 6

7y = −1 6

7L = {−4 6

7/− 1 67}

I − 1x+ 1y = 3II 1

2x− 4y = 5I nach x auflösen−1x+ 1y = 3−1x+ 1y = 3 /− 1y−1x = 3− 1y / : (−1)x = −3 + 1yII nach x auflösen12x− 4y = 512x− 4y = 5 / + 4y12x = 5 + 4y / : 1

2x = 10 + 8yI = II−3 + 1y = 10 + 8y /− 1y/− 10−3− 10 = 8y − 1y−13 = 7y / : 7y = −1 6

7y in Ix = −3 + 1 · −1 6

7x = −4 6

7L = {−4 6

7/− 1 67}

Aufgabe (11)



I 1 15x− 1 1

3y = 5 13

II 2 12x− 1

4y = 12 38

I nach y auflösen1 15x− 1 1

3y = 5 13

1 15x− 1 1

3y = 5 13 /− 1 1

5x−1 1

3y = 5 13 − 1 1

5x / :(−1 1

3

)y = −4 + 9

10xII nach y auflösen2 12x− 1

4y = 12 38

2 12x− 1

4y = 12 38 /− 2 1

2x− 1

4y = 12 38 − 2 1

2x / :(− 1

4

)y = −49 1

2 + 10xI = II−4 + 9

10x = −49 12 + 10x /− 9

10x/ + 49 12

−4 + 49 12 = 10x− 9

10x45 1

2 = 9 110x / : 9 1

10x = 5x in Iy = −4 + 9

10 · 5y = 1

2L = {5/ 1

2}

I 1 15x− 1 1

3y = 5 13

II 2 12x− 1

4y = 12 38

I nach x auflösen1 15x− 1 1

3y = 5 13

1 15x− 1 1

3y = 5 13 / + 1 1

3y1 15x = 5 1

3 + 1 13y / : 1 1

5x = 4 4

9 + 1 19y

II nach x auflösen2 12x− 1

4y = 12 38

2 12x− 1

4y = 12 38 / + 1

4y2 12x = 12 3

8 + 14y / : 2 1

2x = 4 19

20 + 110y

I = II4 49 + 1 1

9y = 4 1920 + 1

10y /− 1 19y/− 4 19

204 49 − 4 19

20 = 110y − 1 1

9y−0, 506 = −1 1

90y / :(−1 1

90

)y = 1

2y in Ix = 4 4

9 + 1 19 · 1

2x = 5L = {5/ 1

2}

Aufgabe (12)

I 23x− 5

7y = 23

II 1x+ 1y = 10 23

I nach y auflösen23x− 5

7y = 23

23x− 5

7y = 23 /− 2

3x− 5

7y = 23 − 2

3x / :(− 5

7

)y = − 14

15 + 1415x

II nach y auflösen1x+ 1y = 10 2

31x+ 1y = 10 2

3 /− 1x1y = 10 2

3 − 1x / : 1y = 10 2

3 − 1xI = II− 14

15 + 1415x = 10 2

3 − 1x /− 1415x/− 10 2

3− 14

15 − 10 23 = −1x− 14

15x−11 3

5 = −1 1415x / :

(−1 14

15

)x = 6x in Iy = − 14

15 + 1415 · 6

y = 4 23

L = {6/4 23}

I 23x− 5

7y = 23

II 1x+ 1y = 10 23

I nach x auflösen23x− 5

7y = 23

23x− 5

7y = 23 / + 5

7y23x = 2

3 + 57y / : 2

3x = 1 + 1 1

14yII nach x auflösen1x+ 1y = 10 2

31x+ 1y = 10 2

3 /− 1y1x = 10 2

3 − 1y / : 1x = 10 2

3 − 1yI = II1 + 1 1

14y = 10 23 − 1y /− 1 1

14y/− 10 23

1− 10 23 = −1y − 1 1

14y−9 2

3 = −2 114y / :

(−2 1

14

)y = 4 2

3y in Ix = 1 + 1 1

14 · 4 23

x = 6L = {6/4 2

3}

Aufgabe (13)



I 1 12x− 2y = 9

II 25x+ 1

3y = 5I nach y auflösen1 12x− 2y = 9

1 12x− 2y = 9 /− 1 1

2x−2y = 9− 1 1

2x / : (−2)y = −4 1

2 + 34x

II nach y auflösen25x+ 1

3y = 525x+ 1

3y = 5 /− 25x

13y = 5− 2

5x / : 13

y = 15− 1 15x

I = II−4 1

2 + 34x = 15− 1 1

5x /− 34x/− 15

−4 12 − 15 = −1 1

5x− 34x

−19 12 = −1 19

20x / :(−1 19

20

)x = 10x in Iy = −4 1

2 + 34 · 10

y = 3L = {10/3}

I 1 12x− 2y = 9

II 25x+ 1

3y = 5I nach x auflösen1 12x− 2y = 9

1 12x− 2y = 9 / + 2y

1 12x = 9 + 2y / : 1 1

2x = 6 + 1 1

3yII nach x auflösen25x+ 1

3y = 525x+ 1

3y = 5 /− 13y

25x = 5− 1

3y / : 25

x = 12 12 − 5

6yI = II6 + 1 1

3y = 12 12 − 5

6y /− 1 13y/− 12 1

26− 12 1

2 = − 56y − 1 1

3y−6 1

2 = −2 16y / :

(−2 1

6

)y = 3y in Ix = 6 + 1 1

3 · 3x = 10L = {10/3}

Aufgabe (14)

I 2x+ 3y = 4II 1

3x− 15y = 12

I nach y auflösen2x+ 3y = 42x+ 3y = 4 /− 2x3y = 4− 2x / : 3y = 1 1

3 − 23x

II nach y auflösen13x− 1

5y = 1213x− 1

5y = 12 /− 13x

− 15y = 12− 1

3x / :(− 1

5

)y = −60 + 1 2

3xI = II1 13 − 2

3x = −60 + 1 23x / + 2

3x/ + 601 13 + 60 = 1 2

3x+ 23x

61 13 = 2 1

3x / : 2 13

x = 26 27

x in Iy = 1 1

3 − 23 · 26 2

7y = −16 4

21L = {26 2

7/− 16 421}

I 2x+ 3y = 4II 1

3x− 15y = 12

I nach x auflösen2x+ 3y = 42x+ 3y = 4 /− 3y2x = 4− 3y / : 2x = 2− 1 1

2yII nach x auflösen13x− 1

5y = 1213x− 1

5y = 12 / + 15y

13x = 12 + 1

5y / : 13

x = 36 + 35y

I = II2− 1 1

2y = 36 + 35y / + 1 1

2y/− 362− 36 = 3

5y + 1 12y

−34 = 2 110y / : 2 1

10y = −16 4

21y in Ix = 2− 1 1

2 · −16 421

x = 26 27

L = {26 27/− 16 4

21}

Aufgabe (15)



I 1x+ 2y = −4II − 1x+ 2y = 5I nach y auflösen1x+ 2y = −41x+ 2y = −4 /− 1x2y = −4− 1x / : 2y = −2− 1

2xII nach y auflösen−1x+ 2y = 5−1x+ 2y = 5 / + 1x2y = 5 + 1x / : 2y = 2 1

2 + 12x

I = II−2− 1

2x = 2 12 + 1

2x / + 12x/− 2 1

2−2− 2 1

2 = 12x+ 1

2x−4 1

2 = 1x / : 1x = −4 1

2x in Iy = −2− 1

2 · −4 12

y = 14

L = {−4 12/

14}

I 1x+ 2y = −4II − 1x+ 2y = 5I nach x auflösen1x+ 2y = −41x+ 2y = −4 /− 2y1x = −4− 2y / : 1x = −4− 2yII nach x auflösen−1x+ 2y = 5−1x+ 2y = 5 /− 2y−1x = 5− 2y / : (−1)x = −5 + 2yI = II−4− 2y = −5 + 2y / + 2y/ + 5−4 + 5 = 2y + 2y1 = 4y / : 4y = 1

4y in Ix = −4− 2 · 1

4x = −4 1

2L = {−4 1

2/14}

Aufgabe (16)

I 2x+ 4y = 4II − 1

2x+ 3y = 3I nach y auflösen2x+ 4y = 42x+ 4y = 4 /− 2x4y = 4− 2x / : 4y = 1− 1

2xII nach y auflösen− 1

2x+ 3y = 3− 1

2x+ 3y = 3 / + 12x

3y = 3 + 12x / : 3

y = 1 + 16x

I = II1− 1

2x = 1 + 16x / + 1

2x/− 11− 1 = 1

6x+ 12x

0 = 23x / : 2

3x = 0x in Iy = 1− 1

2 · 0y = 1L = {0/1}

I 2x+ 4y = 4II − 1

2x+ 3y = 3I nach x auflösen2x+ 4y = 42x+ 4y = 4 /− 4y2x = 4− 4y / : 2x = 2− 2yII nach x auflösen− 1

2x+ 3y = 3− 1

2x+ 3y = 3 /− 3y− 1

2x = 3− 3y / :(− 1

2

)x = −6 + 6yI = II2− 2y = −6 + 6y / + 2y/ + 62 + 6 = 6y + 2y8 = 8y / : 8y = 1y in Ix = 2− 2 · 1x = 0L = {0/1}

Aufgabe (17)



I − 12x+ 4y = 6

II − 2x− 8y = 2I nach y auflösen− 1

2x+ 4y = 6− 1

2x+ 4y = 6 / + 12x

4y = 6 + 12x / : 4

y = 1 12 + 1

8xII nach y auflösen−2x− 8y = 2−2x− 8y = 2 / + 2x−8y = 2 + 2x / : (−8)y = − 1

4 − 14x

I = II1 12 + 1

8x = − 14 − 1

4x /− 18x/ +

14

1 12 + 1

4 = − 14x− 1

8x1 34 = − 3

8x / :(− 3

8

)x = −4 2

3x in Iy = 1 1

2 + 18 · −4 2

3y = 11

12L = {−4 2

3/1112}

I − 12x+ 4y = 6

II − 2x− 8y = 2I nach x auflösen− 1

2x+ 4y = 6− 1

2x+ 4y = 6 /− 4y− 1

2x = 6− 4y / :(− 1

2

)x = −12 + 8yII nach x auflösen−2x− 8y = 2−2x− 8y = 2 / + 8y−2x = 2 + 8y / : (−2)x = −1− 4yI = II−12 + 8y = −1− 4y /− 8y/ + 1−12 + 1 = −4y − 8y−11 = −12y / : (−12)y = 11

12y in Ix = −12 + 8 · 11

12x = −4 2

3L = {−4 2

3/1112}

Aufgabe (18)

I 1x+ 1y = 1II 2x+ 2y = 2I nach y auflösen1x+ 1y = 11x+ 1y = 1 /− 1x1y = 1− 1x / : 1y = 1− 1xII nach y auflösen2x+ 2y = 22x+ 2y = 2 /− 2x2y = 2− 2x / : 2y = 1− 1xI = II1− 1x = 1− 1x / + 1x/− 11− 1 = −1x+ 1x

L = unendlich

I 1x+ 1y = 1II 2x+ 2y = 2I nach x auflösen1x+ 1y = 11x+ 1y = 1 /− 1y1x = 1− 1y / : 1x = 1− 1yII nach x auflösen2x+ 2y = 22x+ 2y = 2 /− 2y2x = 2− 2y / : 2x = 1− 1yI = II1− 1y = 1− 1y / + 1y/− 11− 1 = −1y + 1y

L = unendlich

Aufgabe (19)



I 1x+ 1y = 2II 3x+ 3y = 3I nach y auflösen1x+ 1y = 21x+ 1y = 2 /− 1x1y = 2− 1x / : 1y = 2− 1xII nach y auflösen3x+ 3y = 33x+ 3y = 3 /− 3x3y = 3− 3x / : 3y = 1− 1xI = II2− 1x = 1− 1x / + 1x/− 12− 1 = −1x+ 1x

L = {}

I 1x+ 1y = 2II 3x+ 3y = 3I nach x auflösen1x+ 1y = 21x+ 1y = 2 /− 1y1x = 2− 1y / : 1x = 2− 1yII nach x auflösen3x+ 3y = 33x+ 3y = 3 /− 3y3x = 3− 3y / : 3x = 1− 1yI = II2− 1y = 1− 1y / + 1y/− 12− 1 = −1y + 1y

L = {}

Aufgabe (20)

I − 1 45x+ 1 1

3y = −1II − 2

3x+ 19y = 9

I nach y auflösen−1 4

5x+ 1 13y = −1

−1 45x+ 1 1

3y = −1 / + 1 45x

1 13y = −1 + 1 4

5x / : 1 13

y = − 34 + 1 7

20xII nach y auflösen− 2

3x+ 19y = 9

− 23x+ 1

9y = 9 / + 23x

19y = 9 + 2

3x / : 19

y = 81 + 6xI = II− 3

4 + 1 720x = 81 + 6x /− 1 7

20x/− 81− 3

4 − 81 = 6x− 1 720x

−81 34 = 4 13

20x / : 4 1320

x = −17 1831

x in Iy = − 3

4 + 1 720 · −17 18

31y = −24 15

31L = {−17 18

31/− 24 1531}

I − 1 45x+ 1 1

3y = −1II − 2

3x+ 19y = 9

I nach x auflösen−1 4

5x+ 1 13y = −1

−1 45x+ 1 1

3y = −1 /− 1 13y

−1 45x = −1− 1 1

3y / :(−1 4

5

)x = 5

9 + 2027y

II nach x auflösen− 2

3x+ 19y = 9

− 23x+ 1

9y = 9 /− 19y

− 23x = 9− 1

9y / :(− 2

3

)x = −13 1

2 + 16y

I = II59 + 20

27y = −13 12 + 1

6y /− 2027y/ + 13 1

259 + 13 1

2 = 16y −

2027y

14 118 = − 31

54y / :(− 31

54

)y = −24 15

31y in Ix = 5

9 + 2027 · −24 15

31x = −17 18

31L = {−17 18

31/− 24 1531}

Aufgabe (21)



I 2x− 7y = −8II 7x− 1y = −9I nach y auflösen2x− 7y = −82x− 7y = −8 /− 2x−7y = −8− 2x / : (−7)y = 1 1

7 + 27x

II nach y auflösen7x− 1y = −97x− 1y = −9 /− 7x−1y = −9− 7x / : (−1)y = 9 + 7xI = II1 17 + 2

7x = 9 + 7x /− 27x/− 9

1 17 − 9 = 7x− 2

7x−7 6

7 = 6 57x / : 6 5

7x = −1 8

47x in Iy = 1 1

7 + 27 · −1 8

47y = 38

47L = {−1 8

47/3847}

I 2x− 7y = −8II 7x− 1y = −9I nach x auflösen2x− 7y = −82x− 7y = −8 / + 7y2x = −8 + 7y / : 2x = −4 + 3 1

2yII nach x auflösen7x− 1y = −97x− 1y = −9 / + 1y7x = −9 + 1y / : 7x = −1 2

7 + 17y

I = II−4 + 3 1

2y = −1 27 + 1

7y /− 3 12y/ + 1 2

7−4 + 1 2

7 = 17y − 3 1

2y−2 5

7 = −3 514y / :

(−3 5

14

)y = 38

47y in Ix = −4 + 3 1

2 · 3847

x = −1 847

L = {−1 847/

3847}

Aufgabe (22)

I − 7x+ 9y = −3II 5x− 6y = −4I nach y auflösen−7x+ 9y = −3−7x+ 9y = −3 / + 7x9y = −3 + 7x / : 9y = − 1

3 + 79x

II nach y auflösen5x− 6y = −45x− 6y = −4 /− 5x−6y = −4− 5x / : (−6)y = 2

3 + 56x

I = II− 1

3 + 79x = 2

3 + 56x /− 7

9x/−23

− 13 − 2

3 = 56x− 7

9x−1 = 1

18x / : 118

x = −18x in Iy = − 1

3 + 79 · −18

y = −14 13

L = {−18/− 14 13}

I − 7x+ 9y = −3II 5x− 6y = −4I nach x auflösen−7x+ 9y = −3−7x+ 9y = −3 /− 9y−7x = −3− 9y / : (−7)x = 3

7 + 1 27y

II nach x auflösen5x− 6y = −45x− 6y = −4 / + 6y5x = −4 + 6y / : 5x = − 4

5 + 1 15y

I = II37 + 1 2

7y = − 45 + 1 1

5y /− 1 27y/ +

45

37 + 4

5 = 1 15y − 1 2

7y1 835 = − 3

35y / :(− 3

35

)y = −14 1

3y in Ix = 3

7 + 1 27 · −14 1

3x = −18L = {−18/− 14 1

3}

Aufgabe (23)



I 2x+ 2y = 1 710

II 3x+ 6y = 3I nach y auflösen2x+ 2y = 1 7

102x+ 2y = 1 7

10 /− 2x2y = 1 7

10 − 2x / : 2y = 17

20 − 1xII nach y auflösen3x+ 6y = 33x+ 6y = 3 /− 3x6y = 3− 3x / : 6y = 1

2 − 12x

I = II1720 − 1x = 1

2 − 12x / + 1x/− 1

21720 − 1

2 = − 12x+ 1x

720 = 1

2x / : 12

x = 710

x in Iy = 17

20 − 1 · 710

y = 320

L = { 710/

320}

I 2x+ 2y = 1 710

II 3x+ 6y = 3I nach x auflösen2x+ 2y = 1 7

102x+ 2y = 1 7

10 /− 2y2x = 1 7

10 − 2y / : 2x = 17

20 − 1yII nach x auflösen3x+ 6y = 33x+ 6y = 3 /− 6y3x = 3− 6y / : 3x = 1− 2yI = II1720 − 1y = 1− 2y / + 1y/− 11720 − 1 = −2y + 1y− 3

20 = −1y / : (−1)y = 3

20y in Ix = 17

20 − 1 · 320

x = 710

L = { 710/

320}

Aufgabe (24)


5 − 6 45x

II nach y auflösen7x+ 9y = 87x+ 9y = 8 /− 7x9y = 8− 7x / : 9y = 8

9 − 79x

I = II1 25 − 6 4

5x = 89 − 7

9x / + 6 45x/−

89

1 25 − 8

9 = − 79x+ 6 4

5x2345 = 6 1

45x / : 6 145

x = 0, 0849x in Iy = 1 2

5 − 6 45 · 0, 0849

y = 0, 823L = {0, 0849/0, 823}

I 34x+ 5y = 7II 7x+ 9y = 8I nach x auflösen34x+ 5y = 734x+ 5y = 7 /− 5y34x = 7− 5y / : 34x = 7

34 − 534y


7 − 1 27y

I = II734 − 5

34y = 1 17 − 1 2

7y / + 534y/− 1 1

7734 − 1 1

7 = −1 27y +

534y

−0, 937 = −1, 14y / : (−1, 14)y = 0, 823y in Ix = 7

34 − 534 · 0, 823

x = 0, 0849L = {0, 0849/0, 823}

Aufgabe (25)




5 − 6 45x


9 − 79x

I = II1 25 − 6 4

5x = 89 − 7

9x / + 6 45x/−

89

1 25 − 8

9 = − 79x+ 6 4

5x2345 = 6 1

45x / : 6 145

x = 0, 0849x in Iy = 1 2

5 − 6 45 · 0, 0849

y = 0, 823L = {0, 0849/0, 823}


34 − 534y


7 − 1 27y

I = II734 − 5

34y = 1 17 − 1 2

7y / + 534y/− 1 1

7734 − 1 1

7 = −1 27y +

534y

−0, 937 = −1, 14y / : (−1, 14)y = 0, 823y in Ix = 7

34 − 534 · 0, 823

x = 0, 0849L = {0, 0849/0, 823}

Aufgabe (26)


5 − 6 45x


9 − 79x

I = II1 25 − 6 4

5x = 89 − 7

9x / + 6 45x/−

89

1 25 − 8

9 = − 79x+ 6 4

5x2345 = 6 1

45x / : 6 145

x = 0, 0849x in Iy = 1 2

5 − 6 45 · 0, 0849

y = 0, 823L = {0, 0849/0, 823}


34 − 534y


7 − 1 27y

I = II734 − 5

34y = 1 17 − 1 2

7y / + 534y/− 1 1

7734 − 1 1

7 = −1 27y +

534y

−0, 937 = −1, 14y / : (−1, 14)y = 0, 823y in Ix = 7

34 − 534 · 0, 823

x = 0, 0849L = {0, 0849/0, 823}

Aufgabe (27)



I 2x+ 5y = 7II − 4x+ 2y = −6I nach y auflösen2x+ 5y = 72x+ 5y = 7 /− 2x5y = 7− 2x / : 5y = 1 2

5 − 25x

II nach y auflösen−4x+ 2y = −6−4x+ 2y = −6 / + 4x2y = −6 + 4x / : 2y = −3 + 2xI = II1 25 − 2

5x = −3 + 2x / + 25x/ + 3

1 25 + 3 = 2x+ 2

5x4 25 = 2 2

5x / : 2 25

x = 1 56

x in Iy = 1 2

5 − 25 · 1 5

6y = 2

3L = {1 5

6/23}

I 2x+ 5y = 7II − 4x+ 2y = −6I nach x auflösen2x+ 5y = 72x+ 5y = 7 /− 5y2x = 7− 5y / : 2x = 3 1

2 − 2 12y

II nach x auflösen−4x+ 2y = −6−4x+ 2y = −6 /− 2y−4x = −6− 2y / : (−4)x = 1 1

2 + 12y

I = II3 12 − 2 1

2y = 1 12 + 1

2y / + 2 12y/− 1 1

23 12 − 1 1

2 = 12y + 2 1

2y2 = 3y / : 3y = 2

3y in Ix = 3 1

2 − 2 12 · 2

3x = 1 5

6L = {1 5

6/23}

Aufgabe (28)

I 2x+ 5y = 7II − 4x+ 2y = −6I nach y auflösen2x+ 5y = 72x+ 5y = 7 /− 2x5y = 7− 2x / : 5y = 1 2

5 − 25x

II nach y auflösen−4x+ 2y = −6−4x+ 2y = −6 / + 4x2y = −6 + 4x / : 2y = −3 + 2xI = II1 25 − 2

5x = −3 + 2x / + 25x/ + 3

1 25 + 3 = 2x+ 2

5x4 25 = 2 2

5x / : 2 25

x = 1 56

x in Iy = 1 2

5 − 25 · 1 5

6y = 2

3L = {1 5

6/23}

I 2x+ 5y = 7II − 4x+ 2y = −6I nach x auflösen2x+ 5y = 72x+ 5y = 7 /− 5y2x = 7− 5y / : 2x = 3 1

2 − 2 12y

II nach x auflösen−4x+ 2y = −6−4x+ 2y = −6 /− 2y−4x = −6− 2y / : (−4)x = 1 1

2 + 12y

I = II3 12 − 2 1

2y = 1 12 + 1

2y / + 2 12y/− 1 1

23 12 − 1 1

2 = 12y + 2 1

2y2 = 3y / : 3y = 2

3y in Ix = 3 1

2 − 2 12 · 2

3x = 1 5

6L = {1 5

6/23}


Additionsverfahren (2)

3 Additionsverfahren (2)

I a1 · x+ b1 · y = c1

II a2 · x+ b2 · y = c2• Terme mit x und y müssen untereinander stehen• Gleichungen multiplizieren, so dass die Variablenbeim spaltenweisen addieren herausfallen• Gleichung nach der Unbekannten auflösen• zweite Unbekannte berechnen

I 3x+ 5y = 19II 7x+ 5y = 31I 3x+ 5y = 19 / · 7II 7x+ 5y = 31 / · (−3)I 21x+ 35y = 133II − 21x− 15y = −93I + II21x− 21x+ 35y − 15y = 133− 9320y = 40 / : 20y = 40

20

y = 2y in II 3x+ 5 · 2 = 193x+ 10 = 19 /− 103x = 19− 103x = 9 / : 3x = 9

3

x = 3L = {3/2}

I 3x+ 5y = 19II 7x+ 5y = 31I 3x+ 5y = 19 / · 1II 7x+ 5y = 31 / · (−1)I 3x+ 5y = 19II − 7x− 5y = −31I + II3x− 7x+ 5y − 5y = 19− 31−4x = −12 / : (−4)x = −12

−4

x = 3x in II 3 · 3 + 5y = 195y + 9 = 19 /− 95y = 19− 95y = 10 / : 5y = 10

5

y = 2L = {3/2}


Gesucht:x und y

(1) 3x+ 5y = 197x+ 5y = 31

(2) 1x+ 1y = 101x− 1y = 4

(3) 9x− 2y = 55x− 2y = 1

(4) 9x− 2y = 1−3x− 3y = −7

(5) 1x+ 3y = 93x− 2y = −6

(6) 7x+ 1 12y = 1

2x− 5y = 22

(7) 4x− 5y = 43−3x− 7y = 0

(8) 8x− 3y = 1012x− 5y = 24

(9) − 12x+ 1y = 2

12x− 3y = −3

(10) −1x+ 1y = 312x− 4y = 5


https://fersch.de/vorlage.cshtml?nr=linearessystem2add&nrform=Alglinearessystem2add

Additionsverfahren (2) Aufgaben

(11) 1 15x− 1 1

3y = 5 13

2 12x− 1

4y = 12 38

(12)23x− 5

7y = 23

1x+ 1y = 10 23

(13) 1 12x− 2y = 9

25x+ 1

3y = 5

(14) 2x+ 3y = 413x− 1

5y = 12

(15) 1x+ 2y = −4−1x+ 2y = 5

(16) 2x+ 4y = 4− 1

2x+ 3y = 3

(17) − 12x+ 4y = 6

−2x− 8y = 2

(18) 1x+ 1y = 12x+ 2y = 2

(19) 1x+ 1y = 23x+ 3y = 3

(20) −1 45x+ 1 1

3y = −1− 2

3x+ 19y = 9

(21) 2x− 7y = −87x− 1y = −9

(22) −7x+ 9y = −35x− 6y = −4

(23) 2x+ 2y = 1 710

3x+ 6y = 3

(24) 5x+ 6y = 74x+ 6y = 4

(25) 12x+ 6y = 716x+ 6y = 4


Additionsverfahren (2) Lösungen


I 3x+ 5y = 19II 7x+ 5y = 31I 3x+ 5y = 19 / · 7II 7x+ 5y = 31 / · (−3)I 21x+ 35y = 133II − 21x− 15y = −93I + III 21x− 21x+ 35y − 15y = 133− 9320y = 40 / : 20y = 40

20y = 2y in II 3x+ 5 · 2 = 193x+ 10 = 19 /− 103x = 19− 103x = 9 / : 3x = 9

3x = 3L = {3/2}

I 3x+ 5y = 19II 7x+ 5y = 31I 3x+ 5y = 19 / · 1II 7x+ 5y = 31 / · (−1)I 3x+ 5y = 19II − 7x− 5y = −31I + III 3x− 7x+ 5y − 5y = 19− 31−4x = −12 / : (−4)x = −12

−4

x = 3x in II 3 · 3 + 5y = 195y + 9 = 19 /− 95y = 19− 95y = 10 / : 5y = 10

5y = 2L = {3/2}

Aufgabe (2)

I 1x+ 1y = 10II 1x− 1y = 4I 1x+ 1y = 10 / · 1II 1x− 1y = 4 / · (−1)I 1x+ 1y = 10II − 1x+ 1y = −4I + III 1x− 1x+ 1y + 1y = 10− 42y = 6 / : 2y = 6

2y = 3y in II 1x+ 1 · 3 = 101x+ 3 = 10 /− 31x = 10− 31x = 7 / : 1x = 7

1x = 7L = {7/3}

I 1x+ 1y = 10II 1x− 1y = 4I 1x+ 1y = 10 / · (−1)II 1x− 1y = 4 / · (−1)I − 1x− 1y = −10II − 1x+ 1y = −4I + III − 1x− 1x− 1y + 1y = −10− 4−2x = −14 / : (−2)x = −14

−2

x = 7x in II 1 · 7 + 1y = 101y + 7 = 10 /− 71y = 10− 71y = 3 / : 1y = 3

1y = 3L = {7/3}

Aufgabe (3)



I 9x− 2y = 5II 5x− 2y = 1I 9x− 2y = 5 / · 5II 5x− 2y = 1 / · (−9)I 45x− 10y = 25II − 45x+ 18y = −9I + III 45x− 45x− 10y + 18y = 25− 98y = 16 / : 8y = 16

8y = 2y in II 9x− 2 · 2 = 59x− 4 = 5 / + 49x = 5 + 49x = 9 / : 9x = 9

9x = 1L = {1/2}

I 9x− 2y = 5II 5x− 2y = 1I 9x− 2y = 5 / · (−1)II 5x− 2y = 1 / · 1I − 9x+ 2y = −5II 5x− 2y = 1I + III − 9x+ 5x+ 2y − 2y = −5 + 1−4x = −4 / : (−4)x = −4

−4

x = 1x in II 9 · 1− 2y = 5−2y + 9 = 5 /− 9−2y = 5− 9−2y = −4 / : (−2)y = −4

−2

y = 2L = {1/2}

Aufgabe (4)

I 9x− 2y = 1II − 3x− 3y = −7I 9x− 2y = 1 / · (−1)II − 3x− 3y = −7 / · (−3)I − 9x+ 2y = −1II 9x+ 9y = 21I + III − 9x+ 9x+ 2y + 9y = −1 + 2111y = 20 / : 11y = 20

11y = 1 9

11y in II 9x− 2 · 1 9

11 = 19x− 3 7

11 = 1 / + 3 711

9x = 1 + 3 711

9x = 4 711 / : 9

x =4 7

11

9x = 17

33L = { 17

33/1911}

I 9x− 2y = 1II − 3x− 3y = −7I 9x− 2y = 1 / · (−3)II − 3x− 3y = −7 / · 2I − 27x+ 6y = −3II − 6x− 6y = −14I + III − 27x− 6x+ 6y − 6y = −3− 14−33x = −17 / : (−33)x = −17

−33

x = 1733

x in II 9 · 17

33 − 2y = 1−2y + 4 7

11 = 1 /− 4 711

−2y = 1− 4 711

−2y = −3 711 / : (−2)

y =−3 7

11

−2

y = 1 911

L = { 1733/1

911}

Aufgabe (5)



I 1x+ 3y = 9II 3x− 2y = −6I 1x+ 3y = 9 / · 3II 3x− 2y = −6 / · (−1)I 3x+ 9y = 27II − 3x+ 2y = 6I + III 3x− 3x+ 9y + 2y = 27 + 611y = 33 / : 11y = 33

11y = 3y in II 1x+ 3 · 3 = 91x+ 9 = 9 /− 91x = 9− 91x = 0 / : 1x = 0

1x = 0L = {0/3}

I 1x+ 3y = 9II 3x− 2y = −6I 1x+ 3y = 9 / · (−2)II 3x− 2y = −6 / · (−3)I − 2x− 6y = −18II − 9x+ 6y = 18I + III − 2x− 9x− 6y + 6y = −18 + 18−11x = 0 / : (−11)x = 0

−11

x = 0x in II 1 · 0 + 3y = 93y + 0 = 9 /− 03y = 9− 03y = 9 / : 3y = 9

3y = 3L = {0/3}

Aufgabe (6)

I 7x+ 1 12y = 1

II 2x− 5y = 22I 7x+ 1 1

2y = 1 / · 2II 2x− 5y = 22 / · (−7)I 14x+ 3y = 2II − 14x+ 35y = −154I + III 14x− 14x+ 3y + 35y = 2− 15438y = −152 / : 38y = −152

38y = −4y in II 7x+ 1 1

2 · (−4) = 17x− 6 = 1 / + 67x = 1 + 67x = 7 / : 7x = 7

7x = 1L = {1/− 4}

I 7x+ 1 12y = 1

II 2x− 5y = 22I 7x+ 1 1

2y = 1 / · 5II 2x− 5y = 22 / · 1 1

2I 35x+ 7 1

2y = 5II 3x− 7 1

2y = 33I + III 35x+ 3x+ 7 1

2y − 7 12y = 5 + 33

38x = 38 / : 38x = 38

38x = 1x in II 7 · 1 + 1 1

2y = 11 12y + 7 = 1 /− 7

1 12y = 1− 7

1 12y = −6 / : 1 1

2y = −6

1 12

y = −4L = {1/− 4}

Aufgabe (7)



I 4x− 5y = 43II − 3x− 7y = 0I 4x− 5y = 43 / · (−3)II − 3x− 7y = 0 / · (−4)I − 12x+ 15y = −129II 12x+ 28y = 0I + III − 12x+ 12x+ 15y + 28y = −129 + 043y = −129 / : 43y = −129

43y = −3y in II 4x− 5 · (−3) = 434x+ 15 = 43 /− 154x = 43− 154x = 28 / : 4x = 28

4x = 7L = {7/− 3}

I 4x− 5y = 43II − 3x− 7y = 0I 4x− 5y = 43 / · (−7)II − 3x− 7y = 0 / · 5I − 28x+ 35y = −301II − 15x− 35y = 0I + III − 28x− 15x+ 35y − 35y = −301 + 0−43x = −301 / : (−43)x = −301

−43

x = 7x in II 4 · 7− 5y = 43−5y + 28 = 43 /− 28−5y = 43− 28−5y = 15 / : (−5)y = 15

−5

y = −3L = {7/− 3}

Aufgabe (8)

I 8x− 3y = 10II 12x− 5y = 24I 8x− 3y = 10 / · 3II 12x− 5y = 24 / · (−2)I 24x− 9y = 30II − 24x+ 10y = −48I + III 24x− 24x− 9y + 10y = 30− 481y = −18 / : 1y = −18

1y = −18y in II 8x− 3 · (−18) = 108x+ 54 = 10 /− 548x = 10− 548x = −44 / : 8x = −44

8x = −5 1

2L = {−5 1

2/− 18}

I 8x− 3y = 10II 12x− 5y = 24I 8x− 3y = 10 / · (−5)II 12x− 5y = 24 / · 3I − 40x+ 15y = −50II 36x− 15y = 72I + III − 40x+ 36x+ 15y − 15y = −50 + 72−4x = 22 / : (−4)x = 22

−4

x = −5 12

x in II 8 ·

(−5 1

2

)− 3y = 10

−3y − 44 = 10 / + 44−3y = 10 + 44−3y = 54 / : (−3)y = 54

−3

y = −18L = {−5 1

2/− 18}

Aufgabe (9)



I − 12x+ 1y = 2

II 12x− 3y = −3

I − 12x+ 1y = 2 / ·

(− 1

2

)II 1

2x− 3y = −3 / ·(− 1

2

)I 1

4x− 12y = −1

II − 14x+ 1 1

2y = 1 12

I + III 1

4x− 14x− 1

2y + 1 12y = −1 + 1 1

21y = 1

2 / : 1

y =12

1y = 1

2y in II − 1

2x+ 1 · 12 = 2

− 12x+ 1

2 = 2 /− 12

− 12x = 2− 1

2− 1

2x = 1 12 / :

(− 1

2

)x =

1 12

− 12

x = −3L = {−3/ 1

2}

I − 12x+ 1y = 2

II 12x− 3y = −3

I − 12x+ 1y = 2 / · (−3)

II 12x− 3y = −3 / · (−1)

I 1 12x− 3y = −6

II − 12x+ 3y = 3

I + III 1 1

2x− 12x− 3y + 3y = −6 + 3

1x = −3 / : 1x = −3

1x = −3x in II − 1

2 · (−3) + 1y = 21y + 1 1

2 = 2 /− 1 12

1y = 2− 1 12

1y = 12 / : 1

y =12

1y = 1

2L = {−3/ 1

2}

Aufgabe (10)

I − 1x+ 1y = 3II 1

2x− 4y = 5I − 1x+ 1y = 3 / ·

(− 1

2

)II 1

2x− 4y = 5 / · (−1)I 1

2x− 12y = −1 1

2II − 1

2x+ 4y = −5I + III 1

2x− 12x− 1

2y + 4y = −1 12 − 5

3 12y = −6 1

2 / : 3 12

y =−6 1

2

3 12

y = −1 67

y in II − 1x+ 1 ·

(−1 6

7

)= 3

−1x− 1 67 = 3 / + 1 6

7−1x = 3 + 1 6

7−1x = 4 6

7 / : (−1)

x =4 6

7

−1

x = −4 67

L = {−4 67/− 1 6

7}

I − 1x+ 1y = 3II 1

2x− 4y = 5I − 1x+ 1y = 3 / · (−4)II 1

2x− 4y = 5 / · (−1)I 4x− 4y = −12II − 1

2x+ 4y = −5I + III 4x− 1

2x− 4y + 4y = −12− 53 12x = −17 / : 3 1

2x = −17

3 12

x = −4 67

x in II − 1 ·

(−4 6

7

)+ 1y = 3

1y + 4 67 = 3 /− 4 6

71y = 3− 4 6

71y = −1 6

7 / : 1

y =−1 6

7

1y = −1 6

7L = {−4 6

7/− 1 67}

Aufgabe (11)



I 1 15x− 1 1

3y = 5 13

II 2 12x− 1

4y = 12 38

I 1 15x− 1 1

3y = 5 13 / · 2 1

2II 2 1

2x− 14y = 12 3

8 / ·(−1 1

5

)I 3x− 3 1

3y = 13 13

II − 3x+ 310y = −14 17

20I + III 3x− 3x− 3 1

3y +310y = 13 1

3 − 14 1720

−3 130y = −1 31

60 / :(−3 1

30

)y =

−1 3160

−3 130

y = 12

y in II 1 1

5x− 1 13 · 1

2 = 5 13

1 15x− 2

3 = 5 13 / + 2

31 15x = 5 1

3 + 23

1 15x = 6 / : 1 1

5x = 6

1 15

x = 5L = {5/ 1

2}

I 1 15x− 1 1

3y = 5 13

II 2 12x− 1

4y = 12 38

I 1 15x− 1 1

3y = 5 13 / ·

(− 1

4

)II 2 1

2x− 14y = 12 3

8 / · 1 13

I − 310x+ 1

3y = −1 13

II 3 13x− 1

3y = 16 12

I + III − 3

10x+ 3 13x+ 1

3y −13y = −1 1

3 + 16 12

3 130x = 15 1

6 / : 3 130

x =15 1

6

3 130

x = 5x in II 1 1

5 · 5− 1 13y = 5 1

3−1 1

3y + 6 = 5 13 /− 6

−1 13y = 5 1

3 − 6−1 1

3y = − 23 / :

(−1 1

3

)y =

− 23

−1 13

y = 12

L = {5/ 12}

Aufgabe (12)

I 23x− 5

7y = 23

II 1x+ 1y = 10 23

I 23x− 5

7y = 23 / · 1

II 1x+ 1y = 10 23 / ·

(− 2

3

)I 2

3x− 57y = 2

3II − 2

3x− 23y = −7 1

9I + III 2

3x− 23x− 5

7y −23y = 2

3 − 7 19

−1 821y = −6 4

9 / :(−1 8

21

)y =

−6 49

−1 821

y = 4 23

y in II 2

3x− 57 · 4 2

3 = 23

23x− 3 1

3 = 23 / + 3 1

323x = 2

3 + 3 13

23x = 4 / : 2

3x = 4

23

x = 6L = {6/4 2

3}

I 23x− 5

7y = 23

II 1x+ 1y = 10 23

I 23x− 5

7y = 23 / · (−1)

II 1x+ 1y = 10 23 / ·

(− 5

7

)I − 2

3x+ 57y = − 2

3II − 5

7x− 57y = −7 13

21I + III − 2

3x− 57x+ 5

7y −57y = − 2

3 − 7 1321

−1 821x = −8 2

7 / :(−1 8

21

)x =

−8 27

−1 821

x = 6x in II 2

3 · 6− 57y = 2

3− 5

7y + 4 = 23 /− 4

− 57y = 2

3 − 4− 5

7y = −3 13 / :

(− 5

7

)y =

−3 13

− 57

y = 4 23

L = {6/4 23}

Aufgabe (13)



I 1 12x− 2y = 9

II 25x+ 1

3y = 5I 1 1

2x− 2y = 9 / · 25

II 25x+ 1

3y = 5 / ·(−1 1

2

)I 3

5x− 45y = 3 3

5II − 3

5x− 12y = −7 1

2I + III 3

5x− 35x− 4

5y −12y = 3 3

5 − 7 12

−1 310y = −3 9

10 / :(−1 3

10

)y =

−3 910

−1 310

y = 3y in II 1 1

2x− 2 · 3 = 91 12x− 6 = 9 / + 6

1 12x = 9 + 6

1 12x = 15 / : 1 1

2x = 15

1 12

x = 10L = {10/3}

I 1 12x− 2y = 9

II 25x+ 1

3y = 5I 1 1

2x− 2y = 9 / ·(− 1

3

)II 2

5x+ 13y = 5 / · (−2)

I − 12x+ 2

3y = −3II − 4

5x− 23y = −10

I + III − 1

2x− 45x+ 2

3y −23y = −3− 10

−1 310x = −13 / :

(−1 3

10

)x = −13

−1 310

x = 10x in II 1 1

2 · 10− 2y = 9−2y + 15 = 9 /− 15−2y = 9− 15−2y = −6 / : (−2)y = −6

−2

y = 3L = {10/3}

Aufgabe (14)

I 2x+ 3y = 4II 1

3x− 15y = 12

I 2x+ 3y = 4 / · 13

II 13x− 1

5y = 12 / · (−2)I 2

3x+ 1y = 1 13

II − 23x+ 2

5y = −24I + III 2

3x− 23x+ 1y + 2

5y = 1 13 − 24

1 25y = −22 2

3 / : 1 25

y =−22 2

3

1 25

y = −16 421

y in II 2x+ 3 ·

(−16 4

21

)= 4

2x− 48 47 = 4 / + 48 4

72x = 4 + 48 4

72x = 52 4

7 / : 2

x =52 4

7

2x = 26 2

7L = {26 2

7/− 16 421}

I 2x+ 3y = 4II 1

3x− 15y = 12

I 2x+ 3y = 4 / · 15

II 13x− 1

5y = 12 / · 3I 2

5x+ 35y = 4

5II 1x− 3

5y = 36I + III 2

5x+ 1x+ 35y −

35y = 4

5 + 361 25x = 36 4

5 / : 1 25

x =36 4

5

1 25

x = 26 27

x in II 2 · 26 2

7 + 3y = 43y + 52 4

7 = 4 /− 52 47

3y = 4− 52 47

3y = −48 47 / : 3

y =−48 4

7

3y = −16 4

21L = {26 2

7/− 16 421}

Aufgabe (15)



I 1x+ 2y = −4II − 1x+ 2y = 5I 1x+ 2y = −4 / · (−1)II − 1x+ 2y = 5 / · (−1)I − 1x− 2y = 4II 1x− 2y = −5I + III − 1x+ 1x− 2y − 2y = 4− 5−4y = −1 / : (−4)y = −1

−4

y = 14

y in II 1x+ 2 · 1

4 = −41x+ 1

2 = −4 /− 12

1x = −4− 12

1x = −4 12 / : 1

x =−4 1

2

1x = −4 1

2L = {−4 1

2/14}

I 1x+ 2y = −4II − 1x+ 2y = 5I 1x+ 2y = −4 / · 1II − 1x+ 2y = 5 / · (−1)I 1x+ 2y = −4II 1x− 2y = −5I + III 1x+ 1x+ 2y − 2y = −4− 52x = −9 / : 2x = −9

2x = −4 1

2x in II 1 ·

(−4 1

2

)+ 2y = −4

2y − 4 12 = −4 / + 4 1

22y = −4 + 4 1

22y = 1

2 / : 2

y =12

2y = 1

4L = {−4 1

2/14}

Aufgabe (16)

I 2x+ 4y = 4II − 1

2x+ 3y = 3I 2x+ 4y = 4 / · 1

2II − 1

2x+ 3y = 3 / · 2I 1x+ 2y = 2II − 1x+ 6y = 6I + III 1x− 1x+ 2y + 6y = 2 + 68y = 8 / : 8y = 8

8y = 1y in II 2x+ 4 · 1 = 42x+ 4 = 4 /− 42x = 4− 42x = 0 / : 2x = 0

2x = 0L = {0/1}

I 2x+ 4y = 4II − 1

2x+ 3y = 3I 2x+ 4y = 4 / · 3II − 1

2x+ 3y = 3 / · (−4)I 6x+ 12y = 12II 2x− 12y = −12I + III 6x+ 2x+ 12y − 12y = 12− 128x = 0 / : 8x = 0

8x = 0x in II 2 · 0 + 4y = 44y + 0 = 4 /− 04y = 4− 04y = 4 / : 4y = 4

4y = 1L = {0/1}

Aufgabe (17)



I − 12x+ 4y = 6

II − 2x− 8y = 2I − 1

2x+ 4y = 6 / · (−2)II − 2x− 8y = 2 / · 1

2I 1x− 8y = −12II − 1x− 4y = 1I + III 1x− 1x− 8y − 4y = −12 + 1−12y = −11 / : (−12)y = −11

−12

y = 1112

y in II − 1

2x+ 4 · 1112 = 6

− 12x+ 3 2

3 = 6 /− 3 23

− 12x = 6− 3 2

3− 1

2x = 2 13 / :

(− 1

2

)x =

2 13

− 12

x = −4 23

L = {−4 23/

1112}

I − 12x+ 4y = 6

II − 2x− 8y = 2I − 1

2x+ 4y = 6 / · (−2)II − 2x− 8y = 2 / · (−1)I 1x− 8y = −12II 2x+ 8y = −2I + III 1x+ 2x− 8y + 8y = −12− 23x = −14 / : 3x = −14

3x = −4 2

3x in II − 1

2 ·(−4 2

3

)+ 4y = 6

4y + 2 13 = 6 /− 2 1

34y = 6− 2 1

34y = 3 2

3 / : 4

y =3 2

3

4y = 11

12L = {−4 2

3/1112}

Aufgabe (18)

I 1x+ 1y = 1II 2x+ 2y = 2I 1x+ 1y = 1 / · 2II 2x+ 2y = 2 / · (−1)I 2x+ 2y = 2II − 2x− 2y = −2I + III 2x− 2x+ 2y − 2y = 2− 2

L = unendlich


L = unendlich

Aufgabe (19)


L = {}


L = {}

Aufgabe (20)



I − 1 45x+ 1 1

3y = −1II − 2

3x+ 19y = 9

I − 1 45x+ 1 1

3y = −1 / ·(− 2

3

)II − 2

3x+ 19y = 9 / · 1 4

5I 1 1

5x− 89y = 2

3II − 1 1

5x+ 15y = 16 1

5I + III 1 1

5x− 1 15x− 8

9y +15y = 2

3 + 16 15

− 3145y = 16 13

15 / :(− 31

45

)y =

16 1315

− 3145

y = −24 1531

y in II − 1 4

5x+ 1 13 ·

(−24 15

31

)= −1

−1 45x− 32 20

31 = −1 / + 32 2031

−1 45x = −1 + 32 20

31−1 4

5x = 31 2031 / :

(−1 4

5

)x =

31 2031

−1 45

x = −17 1831

L = {−17 1831/− 24 15

31}

I − 1 45x+ 1 1

3y = −1II − 2

3x+ 19y = 9

I − 1 45x+ 1 1

3y = −1 / · 19

II − 23x+ 1

9y = 9 / ·(−1 1

3

)I − 1

5x+ 427y = − 1

9II 8

9x− 427y = −12

I + III − 1

5x+ 89x+ 4

27y −427y = − 1

9 − 123145x = −12 1

9 / : 3145

x =−12 1

93145

x = −17 1831

x in II − 1 4

5 ·(−17 18

31

)+ 1 1

3y = −11 13y + 31 20

31 = −1 /− 31 2031

1 13y = −1− 31 20

311 13y = −32 20

31 / : 1 13

y =−32 20

31

1 13

y = −24 1531

L = {−17 1831/− 24 15

31}

Aufgabe (21)

I 2x− 7y = −8II 7x− 1y = −9I 2x− 7y = −8 / · 7II 7x− 1y = −9 / · (−2)I 14x− 49y = −56II − 14x+ 2y = 18I + III 14x− 14x− 49y + 2y = −56 + 18−47y = −38 / : (−47)y = −38

−47

y = 3847

y in II 2x− 7 · 38

47 = −82x− 5 31

47 = −8 / + 5 3147

2x = −8 + 5 3147

2x = −2 1647 / : 2

x =−2 16

47

2x = −1 8

47L = {−1 8

47/3847}

I 2x− 7y = −8II 7x− 1y = −9I 2x− 7y = −8 / · (−1)II 7x− 1y = −9 / · 7I − 2x+ 7y = 8II 49x− 7y = −63I + III − 2x+ 49x+ 7y − 7y = 8− 6347x = −55 / : 47x = −55

47x = −1 8

47x in II 2 ·

(−1 8

47

)− 7y = −8

−7y − 2 1647 = −8 / + 2 16

47−7y = −8 + 2 16

47−7y = −5 31

47 / : (−7)

y =−5 31

47

−7

y = 3847

L = {−1 847/

3847}

Aufgabe (22)



I − 7x+ 9y = −3II 5x− 6y = −4I − 7x+ 9y = −3 / · 5II 5x− 6y = −4 / · 7I − 35x+ 45y = −15II 35x− 42y = −28I + III − 35x+ 35x+ 45y − 42y = −15− 283y = −43 / : 3y = −43

3y = −14 1

3y in II − 7x+ 9 ·

(−14 1

3

)= −3

−7x− 129 = −3 / + 129−7x = −3 + 129−7x = 126 / : (−7)x = 126

−7

x = −18L = {−18/− 14 1

3}

I − 7x+ 9y = −3II 5x− 6y = −4I − 7x+ 9y = −3 / · (−2)II 5x− 6y = −4 / · (−3)I 14x− 18y = 6II − 15x+ 18y = 12I + III 14x− 15x− 18y + 18y = 6 + 12−1x = 18 / : (−1)x = 18

−1

x = −18x in II − 7 · (−18) + 9y = −39y + 126 = −3 /− 1269y = −3− 1269y = −129 / : 9y = −129

9y = −14 1

3L = {−18/− 14 1

3}

Aufgabe (23)

I 2x+ 2y = 1 710

II 3x+ 6y = 3I 2x+ 2y = 1 7

10 / · 3II 3x+ 6y = 3 / · (−2)I 6x+ 6y = 5 1

10II − 6x− 12y = −6I + III 6x− 6x+ 6y − 12y = 5 1

10 − 6−6y = − 9

10 / : (−6)

y =− 9

10

−6

y = 320

y in II 2x+ 2 · 3

20 = 1 710

2x+ 310 = 1 7

10 /− 310

2x = 1 710 − 3

102x = 1 2

5 / : 2

x =1 2

5

2x = 7

10L = { 7

10/320}

I 2x+ 2y = 1 710

II 3x+ 6y = 3I 2x+ 2y = 1 7

10 / · 3II 3x+ 6y = 3 / · (−1)I 6x+ 6y = 5 1

10II − 3x− 6y = −3I + III 6x− 3x+ 6y − 6y = 5 1

10 − 33x = 2 1

10 / : 3

x =2 1

10

3x = 7

10x in II 2 · 7

10 + 2y = 1 710

2y + 1 25 = 1 7

10 /− 1 25

2y = 1 710 − 1 2

52y = 3

10 / : 2

y =310

2y = 3

20L = { 7

10/320}

Aufgabe (24)



I 5x+ 6y = 7II 4x+ 6y = 4I 5x+ 6y = 7 / · 4II 4x+ 6y = 4 / · (−5)I 20x+ 24y = 28II − 20x− 30y = −20I + III 20x− 20x+ 24y − 30y = 28− 20−6y = 8 / : (−6)y = 8

−6

y = −1 13

y in II 5x+ 6 ·

(−1 1

3

)= 7

5x− 8 = 7 / + 85x = 7 + 85x = 15 / : 5x = 15

5x = 3L = {3/− 1 1

3}

I 5x+ 6y = 7II 4x+ 6y = 4I 5x+ 6y = 7 / · 1II 4x+ 6y = 4 / · (−1)I 5x+ 6y = 7II − 4x− 6y = −4I + III 5x− 4x+ 6y − 6y = 7− 41x = 3 / : 1x = 3

1x = 3x in II 5 · 3 + 6y = 76y + 15 = 7 /− 156y = 7− 156y = −8 / : 6y = −8

6y = −1 1

3L = {3/− 1 1

3}

Aufgabe (25)

I 12x+ 6y = 7II 16x+ 6y = 4I 12x+ 6y = 7 / · 4II 16x+ 6y = 4 / · (−3)I 48x+ 24y = 28II − 48x− 18y = −12I + III 48x− 48x+ 24y − 18y = 28− 126y = 16 / : 6y = 16

6y = 2 2

3y in II 12x+ 6 · 2 2

3 = 712x+ 16 = 7 /− 1612x = 7− 1612x = −9 / : 12x = −9

12x = − 3

4L = {− 3

4/223}

I 12x+ 6y = 7II 16x+ 6y = 4I 12x+ 6y = 7 / · 1II 16x+ 6y = 4 / · (−1)I 12x+ 6y = 7II − 16x− 6y = −4I + III 12x− 16x+ 6y − 6y = 7− 4−4x = 3 / : (−4)x = 3

−4

x = − 34

x in II 12 ·

(− 3

4

)+ 6y = 7

6y − 9 = 7 / + 96y = 7 + 96y = 16 / : 6y = 16

6y = 2 2

3L = {− 3

4/223}


Determinantenverfahren (2)

4 Determinantenverfahren (2)

I a1 · x+ b1 · y = c1

II a2 · x+ b2 · y = c2

Dh =a1 b1

a2 b2= a1 · b2− b1 · a2

Dx =c1 b1

c2 b2= c1 · b2− b1 · c2

Dy =a1 c1

a2 c2= a1 · c2− c1 · a2

• Eindeutige Lösung Dh ̸= 0

x = Dx

Dh

y =Dy

Dh

• Keine Lösung Dh = 0

Dx ̸= 0 oder Dy ̸= 0

• Unendlich viele LösungenDh = Dx = Dy = 0

I 3x+ 5y = 19II 7x+ 5y = 31

Dh =3 57 5

= 3 · 5− 5 · 7 = −20

Dx =19 531 5

= 19 · 5− 5 · 31 = −60

Dy =3 197 31

= 3 · 31− 19 · 7 = −40

x = −60−20

x = 3y = −40

−20

y = 2L = {3/2}

4.1 AufgabenUm eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue RechnungDh =

a1 b1a2 b2

= a1 · b2− b1 · a2

Dx =c1 b1c2 b2

= c1 · b2− b1 · c2

Dy =a1 c1a2 c2

= a1 · c2− c1 · a2

x = Dx

Dh

y =Dy

Dh

(1) 3x+ 5y = 197x+ 5y = 31

(2) 1x+ 1y = 101x− 1y = 4

(3) 9x− 2y = 55x− 2y = 1

(4) 9x− 2y = 1−3x− 3y = −7

(5) 1x+ 3y = 93x− 2y = −6

(6) 7x+ 1 12y = 1

2x− 5y = 22


https://fersch.de/vorlage.cshtml?nr=linearessystem2det&nrform=Alglinearessystem2det

Determinantenverfahren (2) Aufgaben

(7) 4x− 5y = 43−3x− 7y = 0

(8) 8x− 3y = 1012x− 5y = 24

(9) − 12x+ 1y = 2

12x− 3y = −3

(10) −1x+ 1y = 312x− 4y = 5

(11) 1 15x− 1 1

3y = 5 13

2 12x− 1

4y = 12 38

(12)23x− 5

7y = 23

1x+ 1y = 10 23

(13) 1 12x− 2y = 9

25x+ 1

3y = 5

(14) 2x+ 3y = 413x− 1

5y = 12

(15) 1x+ 2y = −4−1x+ 2y = 5

(16) 2x+ 4y = 4− 1

2x+ 3y = 3

(17) − 12x+ 4y = 6

−2x− 8y = 2

(18) 1x+ 1y = 12x+ 2y = 2

(19) 1x+ 1y = 23x+ 3y = 3

(20) −1 45x+ 1 1

3y = −1− 2

3x+ 19y = 9

(21) 2x− 7y = −87x− 1y = −9

(22) −7x+ 9y = −35x− 6y = −4

(23) 2x+ 2y = 1 710

3x+ 6y = 3

(24) 4x+ 6y = 75x+ 6y = 5


Determinantenverfahren (2) Lösungen


Dh =3 57 5

= 3 · 5− 5 · 7 = −20

Dx =19 531 5

= 19 · 5− 5 · 31 = −60

Dy =3 197 31

= 3 · 31− 19 · 7 = −40

x = −60−20

x = 3y = −40

−20y = 2L = {3/2}

Aufgabe (2)

Dh =1 11 −1

= 1 · (−1)− 1 · 1 = −2

Dx =10 14 −1

= 10 · (−1)− 1 · 4 = −14

Dy =1 101 4

= 1 · 4− 10 · 1 = −6

x = −14−2

x = 7y = −6

−2y = 3L = {7/3}

Aufgabe (3)

Dh =9 −25 −2

= 9 · (−2)− (−2) · 5 = −8

Dx =5 −21 −2

= 5 · (−2)− (−2) · 1 = −8

Dy =9 55 1

= 9 · 1− 5 · 5 = −16

x = −8−8

x = 1y = −16

−8y = 2L = {1/2}

Aufgabe (4)

Dh =9 −2−3 −3

= 9 · (−3)− (−2) · (−3) = −33



Dx =1 −2−7 −3

= 1 · (−3)− (−2) · (−7) = −17

Dy =9 1−3 −7

= 9 · (−7)− 1 · (−3) = −60

x = −17−33

x = 1733

y = −60−33

y = 1 911

L = { 1733/1

911}

Aufgabe (5)

Dh =1 33 −2

= 1 · (−2)− 3 · 3 = −11

Dx =9 3−6 −2

= 9 · (−2)− 3 · (−6) = 0

Dy =1 93 −6

= 1 · (−6)− 9 · 3 = −33

x = 0−11

x = 0y = −33

−11y = 3L = {0/3}

Aufgabe (6)

Dh =7 1 1

22 −5

= 7 · (−5)− 1 12 · 2 = −38

Dx =1 1 1

222 −5

= 1 · (−5)− 1 12 · 22 = −38

Dy =7 12 22

= 7 · 22− 1 · 2 = 152

x = −38−38

x = 1y = 152

−38y = −4L = {1/− 4}

Aufgabe (7)

Dh =4 −5−3 −7

= 4 · (−7)− (−5) · (−3) = −43

Dx =43 −50 −7

= 43 · (−7)− (−5) · 0 = −301

Dy =4 43−3 0

= 4 · 0− 43 · (−3) = 129

x = −301−43



x = 7y = 129

−43y = −3L = {7/− 3}

Aufgabe (8)

Dh =8 −312 −5

= 8 · (−5)− (−3) · 12 = −4

Dx =10 −324 −5

= 10 · (−5)− (−3) · 24 = 22

Dy =8 1012 24

= 8 · 24− 10 · 12 = 72

x = 22−4

x = −5 12

y = 72−4

y = −18L = {−5 1

2/− 18}

Aufgabe (9)

Dh =− 1

2 112 −3

= − 12 · (−3)− 1 · 1

2 = 1

Dx =2 1−3 −3

= 2 · (−3)− 1 · (−3) = −3

Dy =− 1

2 212 −3

= − 12 · (−3)− 2 · 1

2 = 12

x = −31

x = −3

y =12

1y = 1

2L = {−3/ 1

2}

Aufgabe (10)

Dh =−1 112 −4

= −1 · (−4)− 1 · 12 = 3 1

2

Dx =3 15 −4

= 3 · (−4)− 1 · 5 = −17

Dy =−1 312 5

= −1 · 5− 3 · 12 = −6 1

2

x = −173 1

2

x = −4 67

y =−6 1

2

3 12

y = −1 67

L = {−4 67/− 1 6

7}



Aufgabe (11)

Dh =1 15 −1 1

32 12 − 1

4

= 1 15 ·

(− 1

4

)−(−1 1

3

)· 2 1

2 = 3 130

Dx =5 13 −1 1

312 3

8 − 14

= 5 13 ·

(− 1

4

)−

(−1 1

3

)· 12 3

8 = 15 16

Dy =1 15 5 1

32 12 12 3

8

= 1 15 · 12 3

8 − 5 13 · 2 1

2 = 1 3160

x =15 1

6

3 130

x = 5y =

1 3160

3 130

y = 12

L = {5/ 12}

Aufgabe (12)

Dh =23 − 5

71 1

= 23 · 1−

(− 5

7

)· 1 = 1 8

21

Dx =23 − 5

710 2

3 1= 2

3 · 1−(− 5

7

)· 10 2

3 = 8 27

Dy =23

23

1 10 23

= 23 · 10 2

3 − 23 · 1 = 6 4

9

x =8 2

7

1 821

x = 6y =

6 49

1 821

y = 4 23

L = {6/4 23}

Aufgabe (13)

Dh =1 12 −225

13

= 1 12 · 1

3 − (−2) · 25 = 1 3

10

Dx =9 −25 1

3

= 9 · 13 − (−2) · 5 = 13

Dy =1 12 925 5

= 1 12 · 5− 9 · 2

5 = 3 910

x = 131 3

10

x = 10y =

3 910

1 310

y = 3L = {10/3}



Aufgabe (14)

Dh =2 313 − 1

5

= 2 ·(− 1

5

)− 3 · 1

3 = −1 25

Dx =4 312 − 1

5

= 4 ·(− 1

5

)− 3 · 12 = −36 4

5

Dy =2 413 12

= 2 · 12− 4 · 13 = 22 2

3

x =−36 4

5

−1 25

x = 26 27

y =22 2

3

−1 25

y = −16 421

L = {26 27/− 16 4

21}

Aufgabe (15)

Dh =1 2−1 2

= 1 · 2− 2 · (−1) = 4

Dx =−4 25 2

= −4 · 2− 2 · 5 = −18

Dy =1 −4−1 5

= 1 · 5− (−4) · (−1) = 1

x = −184

x = −4 12

y = 14

y = 14

L = {−4 12/

14}

Aufgabe (16)

Dh =2 4− 1

2 3= 2 · 3− 4 ·

(− 1

2

)= 8

Dx =4 43 3

= 4 · 3− 4 · 3 = 0

Dy =2 4− 1

2 3= 2 · 3− 4 ·

(− 1

2

)= 8

x = 08

x = 0y = 8

8y = 1L = {0/1}

Aufgabe (17)

Dh =− 1

2 4−2 −8

= − 12 · (−8)− 4 · (−2) = 12



Dx =6 42 −8

= 6 · (−8)− 4 · 2 = −56

Dy =− 1

2 6−2 2

= − 12 · 2− 6 · (−2) = 11

x = −5612

x = −4 23

y = 1112

y = 1112

L = {−4 23/

1112}

Aufgabe (18)

Dh =1 12 2

= 1 · 2− 1 · 2 = 0

Dx =1 12 2

= 1 · 2− 1 · 2 = 0

Dy =1 12 2

= 1 · 2− 1 · 2 = 0

L = {unendlich}

Aufgabe (19)

Dh =1 13 3

= 1 · 3− 1 · 3 = 0

Dx =2 13 3

= 2 · 3− 1 · 3 = 3

Dy =1 23 3

= 1 · 3− 2 · 3 = −3

L = {}

Aufgabe (20)

Dh =−1 4

5 1 13

− 23

19

= −1 45 · 1

9 − 1 13 ·

(− 2

3

)= 31

45

Dx =−1 1 1

39 1

9

= −1 · 19 − 1 1

3 · 9 = −12 19

Dy =−1 4

5 −1− 2

3 9= −1 4

5 · 9− (−1) ·(− 2

3

)= −16 13

15

x =−12 1

93145

x = −17 1831

y =−16 13

153145

y = −24 1531

L = {−17 1831/− 24 15

31}

Aufgabe (21)



Dh =2 −77 −1

= 2 · (−1)− (−7) · 7 = 47

Dx =−8 −7−9 −1

= −8 · (−1)− (−7) · (−9) = −55

Dy =2 −87 −9

= 2 · (−9)− (−8) · 7 = 38

x = −5547

x = −1 847

y = 3847

y = 3847

L = {−1 847/

3847}

Aufgabe (22)

Dh =−7 95 −6

= −7 · (−6)− 9 · 5 = −3

Dx =−3 9−4 −6

= −3 · (−6)− 9 · (−4) = 54

Dy =−7 −35 −4

= −7 · (−4)− (−3) · 5 = 43

x = 54−3

x = −18y = 43

−3

y = −14 13

L = {−18/− 14 13}

Aufgabe (23)

Dh =2 23 6

= 2 · 6− 2 · 3 = 6

Dx =1 710 23 6

= 1 710 · 6− 2 · 3 = 4 1

5

Dy =2 1 7

103 3

= 2 · 3− 1 710 · 3 = 9

10

x =4 1

5

6x = 7

10

y =910

6y = 3

20L = { 7

10/320}

Aufgabe (24)

Dh =4 65 6

= 4 · 6− 6 · 5 = −6

Dx =7 65 6

= 7 · 6− 6 · 5 = 12



Dy =4 75 5

= 4 · 5− 7 · 5 = −15

x = 12−6

x = −2y = −15

−6

y = 2 12

L = {−2/2 12}


Determinantenverfahren (3)

5 Determinantenverfahren (3)a1x+ b1y + c1z = d1

a2x+ b2y + c2z = d2

a3x+ b3y + c3z = d3

Dh =

∣∣∣∣∣∣∣a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

∣∣∣∣∣∣∣a1 b1

a2 b2

a3 b3Dh = a1 · b2 · c3 + b1 · c2 · a3 + c1 · a2 · b3− c1 · b2 · a3− a1 · c2 · b3− b1 · a2 · c3

Dx =

∣∣∣∣∣∣∣d1 b1 c1

d2 b2 c2

d3 b3 c3

∣∣∣∣∣∣∣d1 b1

d2 b2

d3 b3Dx = d1 · b2 · c3 + b1 · c2 · d3 + c1 · d2 · b3− c1 · b2 · d3− d1 · c2 · b3− b1 · d2 · c3

Dy =

∣∣∣∣∣∣∣a1 d1 c1

a2 d2 c2

a3 d3 c3

∣∣∣∣∣∣∣a1 d1

a2 d2

a3 d3Dy = a1 · d2 · c3 + d1 · c2 · a3 + c1 · a2 · d3− c1 · d2 · a3− a1 · c2 · d3− d1 · a2 · c3

Dz =

∣∣∣∣∣∣∣a1 b1 d1

a2 b2 d2

a3 b3 d3

∣∣∣∣∣∣∣a1 b1

a2 b2

a3 b3Dz = a1 · b2 · d3 + b1 · d2 · a3 + d1 · a2 · b3− d1 · b2 · a3− a1 · d2 · b3− b1 · a2 · d3 = 0

• Eindeutige Lösung Dh ̸= 0

x = Dx

Dh

y =Dy

Dh

z = Dz

Dh

• Keine Lösung Dh = 0

Dx ̸= 0 oder Dy ̸= 0 oder Dz ̸= 0

• Unendlich viele LösungenDh = Dx = Dy = Dz = 0

11x+ 13y + 4z = 3712x+ 14y + 5z = 409x+ 3y + 3z = 15

Dh =

∣∣∣∣∣∣11 13 412 14 59 3 3

∣∣∣∣∣∣11 1312 149 3

Dh = 11 · 14 · 3 + 13 · 5 · 9 + 4 · 12 · 3−4 · 14 · 9− 11 · 5 · 3− 13 · 12 · 3 = 54

Dx =

∣∣∣∣∣∣37 13 440 14 515 3 3

∣∣∣∣∣∣37 1340 1415 3

Dx = 37 · 14 · 3 + 13 · 5 · 15 + 4 · 40 · 3−4 · 14 · 15− 37 · 5 · 3− 13 · 40 · 3 = 54

Dy =

∣∣∣∣∣∣11 37 412 40 59 15 3

∣∣∣∣∣∣11 3712 409 15

Dy = 11 · 40 · 3 + 37 · 5 · 9 + 4 · 12 · 15−4 · 40 · 9− 11 · 5 · 15− 37 · 12 · 3 = 108

Dz =

∣∣∣∣∣∣11 13 3712 14 409 3 15

∣∣∣∣∣∣11 1312 149 3

Dz = 11 · 14 · 15 + 13 · 40 · 9 + 37 · 12 · 3−37 · 14 · 9− 11 · 40 · 3− 13 · 12 · 15 = 0x = 54

54

x = 1y = 108

54

y = 2z = 0

54

z = 0L = {1/2/0}

5.1 AufgabenUm eigene Aufgaben zu lösen, klicken Sie hier: Neue RechnungGegeben:a1 · x+ b1 · y + c1 · z = d1a2 · x+ b2 · y + c2 · z = d2a3 · x+ b3 · y + c3 · z = d3

Gesucht:x,y,z


https://fersch.de/vorlage.cshtml?nr=linearessystem3det&nrform=Alglinearessystem3det

Determinantenverfahren (3) Aufgaben

(1)11x+ 13 + 4z = 3712x+ 14y + 5z = 409x+ 3y + 3z = 15

(2)9x+ 5 + 4z = 136x+ 3y +−5z = 173x− 10y + 6z = 23

(3)4x− 3 + 2z = 105x+ 6y +−7z = 410x+ 2y +−3z = 7

(4)2x+ 3 +−4z = 164x+ 9y +−1z = 581x+ 6y + 2z = 34

(5)1x+ 2 + 3z = 42x+ 3y + 2z = 60x+ 2y + 6z = 0

(6)−2x− 8 + 0z = 11x+ 4y + 0z = − 1

28x− 2y +−1z = 8

(7)−2x+ 2 + 4z = 04x− 1

2y + 2z = 54x− 2y +−1z = 8

(8)2x+ 3 +−4z = 164x+ 9y +−1z = 581x+ 6y + 2z = 34

(9)4x− 3 + 2z = 105x+ 6y +−7z = 410x− 2y +−3z = 7

(10)9x+ 5 + 4z = 136x+ 3y +−5z = 173x− 10y + 6z = 23

(11)11x+ 13 + 4z = 3712x+ 14y + 5z = 409x+ 3y + 3z = 15

(12)2x+ 3 + 4z = 1754x+ 6y + 5z = 2873x+ 2y + 8z = 257

(13)6x+ 4 + 9z = 325x+ 7y + 10z = 174x+ 8y + 5z = 100

(14)1x+ 1 + 0z = 11x+ 0y + 1z = 60x+ 1y +−1z = 5

(15)1x− 2 + 3z = 93x+ 8y + 9z = 52x+ 3y + 6z = 7

(16)6x+ 4 + 5z = 84x+ 2y + 3z = 75x+ 3y + 4z = 9

(17)1x+ 3 +−2z = 33x+ 2y + 1z = 20x+ 1y + 3z = 5




11x+ 13y + 4z = 3712x+ 14y + 5z = 409x+ 3y + 3z = 15

Dh =

∣∣∣∣∣∣11 13 412 14 59 3 3

∣∣∣∣∣∣11 1312 149 3

Dh = 11 · 14 · 3 + 13 · 5 · 9 + 4 · 12 · 3− 4 · 14 · 9− 11 · 5 · 3− 13 · 12 · 3 = 54

Dx =

∣∣∣∣∣∣37 13 440 14 515 3 3

∣∣∣∣∣∣37 1340 1415 3

Dx = 37 · 14 · 3 + 13 · 5 · 15 + 4 · 40 · 3− 4 · 14 · 15− 37 · 5 · 3− 13 · 40 · 3 = 54

Dy =

∣∣∣∣∣∣11 37 412 40 59 15 3

∣∣∣∣∣∣11 3712 409 15

Dy = 11 · 40 · 3 + 37 · 5 · 9 + 4 · 12 · 15− 4 · 40 · 9− 11 · 5 · 15− 37 · 12 · 3 = 108

Dz =

∣∣∣∣∣∣11 13 3712 14 409 3 15

∣∣∣∣∣∣11 1312 149 3

Dz = 11 · 14 · 15 + 13 · 40 · 9 + 37 · 12 · 3− 37 · 14 · 9− 11 · 40 · 3− 13 · 12 · 15 = 0x = 54

54x = 1y = 108

54y = 2z = 0

54z = 0L = {1/2/0}

Aufgabe (2)

9x+ 5y + 4z = 136x+ 3y − 5z = 173x− 10y + 6z = 23

Dh =

∣∣∣∣∣∣9 5 46 3 −53 −10 6

∣∣∣∣∣∣9 56 33 −10

Dh = 9 · 3 · 6 + 5 · (−5) · 3 + 4 · 6 · (−10)− 4 · 3 · 3− 9 · (−5) · (−10)− 5 · 6 · 6 = −819

Dx =

∣∣∣∣∣∣13 5 417 3 −523 −10 6

∣∣∣∣∣∣13 517 323 −10

Dx = 13 · 3 · 6 + 5 · (−5) · 23 + 4 · 17 · (−10)− 4 · 3 · 23− 13 · (−5) · (−10)− 5 · 17 · 6 = −2, 46 · 103

Dy =

∣∣∣∣∣∣9 13 46 17 −53 23 6

∣∣∣∣∣∣9 136 173 23

Dy = 9 · 17 · 6 + 13 · (−5) · 3 + 4 · 6 · 23− 4 · 17 · 3− 9 · (−5) · 23− 13 · 6 · 6 = 1, 64 · 103

Dz =

∣∣∣∣∣∣9 5 136 3 173 −10 23

∣∣∣∣∣∣9 56 33 −10

Dz = 9 · 3 · 23 + 5 · 17 · 3 + 13 · 6 · (−10)− 13 · 3 · 3− 9 · 17 · (−10)− 5 · 6 · 23 = 819

x = −2,46·103−819

x = 3



y = 1,64·103−819

y = −2z = 819

−819z = −1L = {3/− 2/− 1}

Aufgabe (3)

4x+−3y + 2z = 105x+ 6y − 7z = 410x+ 2y − 3z = 7

Dh =

∣∣∣∣∣∣4 −3 25 6 −710 2 −3

∣∣∣∣∣∣4 −35 610 2

Dh = 4 · 6 · (−3) + (−3) · (−7) · 10 + 2 · 5 · 2− 2 · 6 · 10− 4 · (−7) · 2− (−3) · 5 · (−3) = 49

Dx =

∣∣∣∣∣∣10 −3 24 6 −77 2 −3

∣∣∣∣∣∣10 −34 67 2

Dx = 10 · 6 · (−3) + (−3) · (−7) · 7 + 2 · 4 · 2− 2 · 6 · 7− 10 · (−7) · 2− (−3) · 4 · (−3) = 3

Dy =

∣∣∣∣∣∣4 10 25 4 −710 7 −3

∣∣∣∣∣∣4 105 410 7

Dy = 4 · 4 · (−3) + 10 · (−7) · 10 + 2 · 5 · 7− 2 · 4 · 10− 4 · (−7) · 7− 10 · 5 · (−3) = −412

Dz =

∣∣∣∣∣∣4 −3 105 6 410 2 7

∣∣∣∣∣∣4 −35 610 2

Dz = 4 · 6 · 7 + (−3) · 4 · 10 + 10 · 5 · 2− 10 · 6 · 10− 4 · 4 · 2− (−3) · 5 · 7 = −379x = 3

49x = 3

49y = −412

49y = −8 20

49z = −379

49z = −7 36

49L = { 3

49/− 8 2049/− 7 36

49}

Aufgabe (4)

2x+ 3y +−4z = 164x+ 9y − 1z = 581x+ 6y + 2z = 34

Dh =

∣∣∣∣∣∣2 3 −44 9 −11 6 2

∣∣∣∣∣∣2 34 91 6

Dh = 2 · 9 · 2 + 3 · (−1) · 1 + (−4) · 4 · 6− (−4) · 9 · 1− 2 · (−1) · 6− 3 · 4 · 2 = −39

Dx =

∣∣∣∣∣∣16 3 −458 9 −134 6 2

∣∣∣∣∣∣16 358 934 6

Dx = 16 · 9 · 2 + 3 · (−1) · 34 + (−4) · 58 · 6− (−4) · 9 · 34− 16 · (−1) · 6− 3 · 58 · 2 = −234

Dy =

∣∣∣∣∣∣2 16 −44 58 −11 34 2

∣∣∣∣∣∣2 164 581 34

Dy = 2 · 58 · 2 + 16 · (−1) · 1 + (−4) · 4 · 34− (−4) · 58 · 1− 2 · (−1) · 34− 16 · 4 · 2 = −156



Dz =

∣∣∣∣∣∣2 3 164 9 581 6 34

∣∣∣∣∣∣2 34 91 6

Dz = 2 · 9 · 34 + 3 · 58 · 1 + 16 · 4 · 6− 16 · 9 · 1− 2 · 58 · 6− 3 · 4 · 34 = −78x = −234

−39x = 6y = −156

−39y = 4z = −78

−39z = 2L = {6/4/2}

Aufgabe (5)

1x+ 2y + 3z = 42x+ 3y + 2z = 60x+ 2y + 6z = 0

Dh =

∣∣∣∣∣∣1 2 32 3 20 2 6

∣∣∣∣∣∣1 22 30 2

Dh = 1 · 3 · 6 + 2 · 2 · 0 + 3 · 2 · 2− 3 · 3 · 0− 1 · 2 · 2− 2 · 2 · 6 = 2

Dx =

∣∣∣∣∣∣4 2 36 3 20 2 6

∣∣∣∣∣∣4 26 30 2

Dx = 4 · 3 · 6 + 2 · 2 · 0 + 3 · 6 · 2− 3 · 3 · 0− 4 · 2 · 2− 2 · 6 · 6 = 20

Dy =

∣∣∣∣∣∣1 4 32 6 20 0 6

∣∣∣∣∣∣1 42 60 0

Dy = 1 · 6 · 6 + 4 · 2 · 0 + 3 · 2 · 0− 3 · 6 · 0− 1 · 2 · 0− 4 · 2 · 6 = −12

Dz =

∣∣∣∣∣∣1 2 42 3 60 2 0

∣∣∣∣∣∣1 22 30 2

Dz = 1 · 3 · 0 + 2 · 6 · 0 + 4 · 2 · 2− 4 · 3 · 0− 1 · 6 · 2− 2 · 2 · 0 = 4x = 20

2x = 10y = −12

2y = −6z = 4

2z = 2L = {10/− 6/2}

Aufgabe (6)

− 2x+−8y + 0z = 11x+ 4y + 0z = − 1

28x− 2y − 1z = 8

Dh =

∣∣∣∣∣∣−2 −8 01 4 08 −2 −1

∣∣∣∣∣∣−2 −81 48 −2

Dh = (−2) · 4 · (−1) + (−8) · 0 · 8 + 0 · 1 · (−2)− 0 · 4 · 8− (−2) · 0 · (−2)− (−8) · 1 · (−1) = 0

Dx =

∣∣∣∣∣∣1 −8 0− 1

2 4 08 −2 −1

∣∣∣∣∣∣1 −8− 1

2 48 −2



Dx = 1 · 4 · (−1) + (−8) · 0 · 8 + 0 ·(− 1

2

)· (−2)− 0 · 4 · 8− 1 · 0 · (−2)− (−8) ·

(− 1

2

)· (−1) = 0

Dy =

∣∣∣∣∣∣−2 1 01 − 1

2 08 8 −1

∣∣∣∣∣∣−2 11 − 1

28 8

Dy = (−2) ·(− 1

2

)· (−1) + 1 · 0 · 8 + 0 · 1 · 8− 0 ·

(− 1

2

)· 8− (−2) · 0 · 8− 1 · 1 · (−1) = 0

Dz =

∣∣∣∣∣∣−2 −8 11 4 − 1

28 −2 8

∣∣∣∣∣∣−2 −81 48 −2

Dz = (−2) · 4 · 8 + (−8) ·(− 1

2

)· 8 + 1 · 1 · (−2)− 1 · 4 · 8− (−2) ·

(− 1

2

)· (−2)− (−8) · 1 · 8 = 0

L = unendlich

Aufgabe (7)

− 2x+ 2y + 4z = 04x− 1

2y + 2z = 54x− 2y − 1z = 8

Dh =

∣∣∣∣∣∣−2 2 44 − 1

2 24 −2 −1

∣∣∣∣∣∣−2 24 − 1

24 −2

Dh = (−2) ·(− 1

2

)· (−1) + 2 · 2 · 4 + 4 · 4 · (−2)− 4 ·

(− 1

2

)· 4− (−2) · 2 · (−2)− 2 · 4 · (−1) = −9

Dx =

∣∣∣∣∣∣0 2 45 − 1

2 28 −2 −1

∣∣∣∣∣∣0 25 − 1

28 −2

Dx = 0 ·(− 1

2

)· (−1) + 2 · 2 · 8 + 4 · 5 · (−2)− 4 ·

(− 1

2

)· 8− 0 · 2 · (−2)− 2 · 5 · (−1) = 18

Dy =

∣∣∣∣∣∣−2 0 44 5 24 8 −1

∣∣∣∣∣∣−2 04 54 8

Dy = (−2) · 5 · (−1) + 0 · 2 · 4 + 4 · 4 · 8− 4 · 5 · 4− (−2) · 2 · 8− 0 · 4 · (−1) = 90

Dz =

∣∣∣∣∣∣−2 2 04 − 1

2 54 −2 8

∣∣∣∣∣∣−2 24 − 1

24 −2

Dz = (−2) ·(− 1

2

)· 8 + 2 · 5 · 4 + 0 · 4 · (−2)− 0 ·

(− 1

2

)· 4− (−2) · 5 · (−2)− 2 · 4 · 8 = −36

x = 18−9

x = −2y = 90

−9y = −10z = −36

−9z = 4L = {−2/− 10/4}

Aufgabe (8)

2x+ 3y +−4z = 164x+ 9y − 1z = 581x+ 6y + 2z = 34

Dh =

∣∣∣∣∣∣2 3 −44 9 −11 6 2

∣∣∣∣∣∣2 34 91 6

Dh = 2 · 9 · 2 + 3 · (−1) · 1 + (−4) · 4 · 6− (−4) · 9 · 1− 2 · (−1) · 6− 3 · 4 · 2 = −39

Dx =

∣∣∣∣∣∣16 3 −458 9 −134 6 2

∣∣∣∣∣∣16 358 934 6



Dx = 16 · 9 · 2 + 3 · (−1) · 34 + (−4) · 58 · 6− (−4) · 9 · 34− 16 · (−1) · 6− 3 · 58 · 2 = −234

Dy =

∣∣∣∣∣∣2 16 −44 58 −11 34 2

∣∣∣∣∣∣2 164 581 34

Dy = 2 · 58 · 2 + 16 · (−1) · 1 + (−4) · 4 · 34− (−4) · 58 · 1− 2 · (−1) · 34− 16 · 4 · 2 = −156

Dz =

∣∣∣∣∣∣2 3 164 9 581 6 34

∣∣∣∣∣∣2 34 91 6

Dz = 2 · 9 · 34 + 3 · 58 · 1 + 16 · 4 · 6− 16 · 9 · 1− 2 · 58 · 6− 3 · 4 · 34 = −78x = −234

−39x = 6y = −156

−39y = 4z = −78

−39z = 2L = {6/4/2}

Aufgabe (9)

4x+−3y + 2z = 105x+ 6y − 7z = 410x− 2y − 3z = 7

Dh =

∣∣∣∣∣∣4 −3 25 6 −710 −2 −3

∣∣∣∣∣∣4 −35 610 −2

Dh = 4 · 6 · (−3) + (−3) · (−7) · 10 + 2 · 5 · (−2)− 2 · 6 · 10− 4 · (−7) · (−2)− (−3) · 5 · (−3) = −103

Dx =

∣∣∣∣∣∣10 −3 24 6 −77 −2 −3

∣∣∣∣∣∣10 −34 67 −2

Dx = 10 · 6 · (−3) + (−3) · (−7) · 7 + 2 · 4 · (−2)− 2 · 6 · 7− 10 · (−7) · (−2)− (−3) · 4 · (−3) = −309

Dy =

∣∣∣∣∣∣4 10 25 4 −710 7 −3

∣∣∣∣∣∣4 105 410 7

Dy = 4 · 4 · (−3) + 10 · (−7) · 10 + 2 · 5 · 7− 2 · 4 · 10− 4 · (−7) · 7− 10 · 5 · (−3) = −412

Dz =

∣∣∣∣∣∣4 −3 105 6 410 −2 7

∣∣∣∣∣∣4 −35 610 −2

Dz = 4 · 6 · 7 + (−3) · 4 · 10 + 10 · 5 · (−2)− 10 · 6 · 10− 4 · 4 · (−2)− (−3) · 5 · 7 = −515x = −309

−103x = 3y = −412

−103y = 4z = −515

−103z = 5L = {3/4/5}

Aufgabe (10)

9x+ 5y + 4z = 136x+ 3y − 5z = 173x− 10y + 6z = 23



Dh =

∣∣∣∣∣∣9 5 46 3 −53 −10 6

∣∣∣∣∣∣9 56 33 −10

Dh = 9 · 3 · 6 + 5 · (−5) · 3 + 4 · 6 · (−10)− 4 · 3 · 3− 9 · (−5) · (−10)− 5 · 6 · 6 = −819

Dx =

∣∣∣∣∣∣13 5 417 3 −523 −10 6

∣∣∣∣∣∣13 517 323 −10

Dx = 13 · 3 · 6 + 5 · (−5) · 23 + 4 · 17 · (−10)− 4 · 3 · 23− 13 · (−5) · (−10)− 5 · 17 · 6 = −2, 46 · 103

Dy =

∣∣∣∣∣∣9 13 46 17 −53 23 6

∣∣∣∣∣∣9 136 173 23

Dy = 9 · 17 · 6 + 13 · (−5) · 3 + 4 · 6 · 23− 4 · 17 · 3− 9 · (−5) · 23− 13 · 6 · 6 = 1, 64 · 103

Dz =

∣∣∣∣∣∣9 5 136 3 173 −10 23

∣∣∣∣∣∣9 56 33 −10

Dz = 9 · 3 · 23 + 5 · 17 · 3 + 13 · 6 · (−10)− 13 · 3 · 3− 9 · 17 · (−10)− 5 · 6 · 23 = 819

x = −2,46·103−819

x = 3y = 1,64·103

−819y = −2z = 819

−819z = −1L = {3/− 2/− 1}

Aufgabe (11)

11x+ 13y + 4z = 3712x+ 14y + 5z = 409x+ 3y + 3z = 15

Dh =

∣∣∣∣∣∣11 13 412 14 59 3 3

∣∣∣∣∣∣11 1312 149 3

Dh = 11 · 14 · 3 + 13 · 5 · 9 + 4 · 12 · 3− 4 · 14 · 9− 11 · 5 · 3− 13 · 12 · 3 = 54

Dx =

∣∣∣∣∣∣37 13 440 14 515 3 3

∣∣∣∣∣∣37 1340 1415 3

Dx = 37 · 14 · 3 + 13 · 5 · 15 + 4 · 40 · 3− 4 · 14 · 15− 37 · 5 · 3− 13 · 40 · 3 = 54

Dy =

∣∣∣∣∣∣11 37 412 40 59 15 3

∣∣∣∣∣∣11 3712 409 15

Dy = 11 · 40 · 3 + 37 · 5 · 9 + 4 · 12 · 15− 4 · 40 · 9− 11 · 5 · 15− 37 · 12 · 3 = 108

Dz =

∣∣∣∣∣∣11 13 3712 14 409 3 15

∣∣∣∣∣∣11 1312 149 3

Dz = 11 · 14 · 15 + 13 · 40 · 9 + 37 · 12 · 3− 37 · 14 · 9− 11 · 40 · 3− 13 · 12 · 15 = 0x = 54

54x = 1y = 108

54y = 2z = 0

54z = 0L = {1/2/0}

Aufgabe (12)



2x+ 3y + 4z = 1754x+ 6y + 5z = 2873x+ 2y + 8z = 257

Dh =

∣∣∣∣∣∣2 3 44 6 53 2 8

∣∣∣∣∣∣2 34 63 2

Dh = 2 · 6 · 8 + 3 · 5 · 3 + 4 · 4 · 2− 4 · 6 · 3− 2 · 5 · 2− 3 · 4 · 8 = −15

Dx =

∣∣∣∣∣∣175 3 4287 6 5257 2 8

∣∣∣∣∣∣175 3287 6257 2

Dx = 175 · 6 · 8 + 3 · 5 · 257 + 4 · 287 · 2− 4 · 6 · 257− 175 · 5 · 2− 3 · 287 · 8 = −255

Dy =

∣∣∣∣∣∣2 175 44 287 53 257 8

∣∣∣∣∣∣2 1754 2873 257

Dy = 2 · 287 · 8 + 175 · 5 · 3 + 4 · 4 · 257− 4 · 287 · 3− 2 · 5 · 257− 175 · 4 · 8 = −285

Dz =

∣∣∣∣∣∣2 3 1754 6 2873 2 257

∣∣∣∣∣∣2 34 63 2

Dz = 2 · 6 · 257 + 3 · 287 · 3 + 175 · 4 · 2− 175 · 6 · 3− 2 · 287 · 2− 3 · 4 · 257 = −315x = −255

−15x = 17y = −285

−15y = 19z = −315

−15z = 21L = {17/19/21}

Aufgabe (13)

6x+ 4y + 9z = 325x+ 7y + 10z = 174x+ 8y + 5z = 100

Dh =

∣∣∣∣∣∣6 4 95 7 104 8 5

∣∣∣∣∣∣6 45 74 8

Dh = 6 · 7 · 5 + 4 · 10 · 4 + 9 · 5 · 8− 9 · 7 · 4− 6 · 10 · 8− 4 · 5 · 5 = −102

Dx =

∣∣∣∣∣∣32 4 917 7 10100 8 5

∣∣∣∣∣∣32 417 7100 8

Dx = 32 · 7 · 5 + 4 · 10 · 100 + 9 · 17 · 8− 9 · 7 · 100− 32 · 10 · 8− 4 · 17 · 5 = −2, 86 · 103

Dy =

∣∣∣∣∣∣6 32 95 17 104 100 5

∣∣∣∣∣∣6 325 174 100

Dy = 6 · 17 · 5 + 32 · 10 · 4 + 9 · 5 · 100− 9 · 17 · 4− 6 · 10 · 100− 32 · 5 · 5 = −1, 12 · 103

Dz =

∣∣∣∣∣∣6 4 325 7 174 8 100

∣∣∣∣∣∣6 45 74 8

Dz = 6 · 7 · 100 + 4 · 17 · 4 + 32 · 5 · 8− 32 · 7 · 4− 6 · 17 · 8− 4 · 5 · 100 = 2, 04 · 103

x = −2,86·103−102

x = 28y = −1,12·103

−102y = 11

z = 2,04·103−102

z = −20



L = {28/11/− 20}

Aufgabe (14)

1x+ 1y + 0z = 11x+ 0y + 1z = 60x+ 1y − 1z = 5

Dh =

∣∣∣∣∣∣1 1 01 0 10 1 −1

∣∣∣∣∣∣1 11 00 1

Dh = 1 · 0 · (−1) + 1 · 1 · 0 + 0 · 1 · 1− 0 · 0 · 0− 1 · 1 · 1− 1 · 1 · (−1) = 0

Dx =

∣∣∣∣∣∣1 1 06 0 15 1 −1

∣∣∣∣∣∣1 16 05 1

Dx = 1 · 0 · (−1) + 1 · 1 · 5 + 0 · 6 · 1− 0 · 0 · 5− 1 · 1 · 1− 1 · 6 · (−1) = 10

Dy =

∣∣∣∣∣∣1 1 01 6 10 5 −1

∣∣∣∣∣∣1 11 60 5

Dy = 1 · 6 · (−1) + 1 · 1 · 0 + 0 · 1 · 5− 0 · 6 · 0− 1 · 1 · 5− 1 · 1 · (−1) = −10

Dz =

∣∣∣∣∣∣1 1 11 0 60 1 5

∣∣∣∣∣∣1 11 00 1

Dz = 1 · 0 · 5 + 1 · 6 · 0 + 1 · 1 · 1− 1 · 0 · 0− 1 · 6 · 1− 1 · 1 · 5 = −10

L = {}

Aufgabe (15)

1x+−2y + 3z = 93x+ 8y + 9z = 52x+ 3y + 6z = 7

Dh =

∣∣∣∣∣∣1 −2 33 8 92 3 6

∣∣∣∣∣∣1 −23 82 3

Dh = 1 · 8 · 6 + (−2) · 9 · 2 + 3 · 3 · 3− 3 · 8 · 2− 1 · 9 · 3− (−2) · 3 · 6 = 0

Dx =

∣∣∣∣∣∣9 −2 35 8 97 3 6

∣∣∣∣∣∣9 −25 87 3

Dx = 9 · 8 · 6 + (−2) · 9 · 7 + 3 · 5 · 3− 3 · 8 · 7− 9 · 9 · 3− (−2) · 5 · 6 = 0

Dy =

∣∣∣∣∣∣1 9 33 5 92 7 6

∣∣∣∣∣∣1 93 52 7

Dy = 1 · 5 · 6 + 9 · 9 · 2 + 3 · 3 · 7− 3 · 5 · 2− 1 · 9 · 7− 9 · 3 · 6 = 0

Dz =

∣∣∣∣∣∣1 −2 93 8 52 3 7

∣∣∣∣∣∣1 −23 82 3

Dz = 1 · 8 · 7 + (−2) · 5 · 2 + 9 · 3 · 3− 9 · 8 · 2− 1 · 5 · 3− (−2) · 3 · 7 = 0

L = unendlich

Aufgabe (16)



6x+ 4y + 5z = 84x+ 2y + 3z = 75x+ 3y + 4z = 9

Dh =

∣∣∣∣∣∣6 4 54 2 35 3 4

∣∣∣∣∣∣6 44 25 3

Dh = 6 · 2 · 4 + 4 · 3 · 5 + 5 · 4 · 3− 5 · 2 · 5− 6 · 3 · 3− 4 · 4 · 4 = 0

Dx =

∣∣∣∣∣∣8 4 57 2 39 3 4

∣∣∣∣∣∣8 47 29 3

Dx = 8 · 2 · 4 + 4 · 3 · 9 + 5 · 7 · 3− 5 · 2 · 9− 8 · 3 · 3− 4 · 7 · 4 = 3

Dy =

∣∣∣∣∣∣6 8 54 7 35 9 4

∣∣∣∣∣∣6 84 75 9

Dy = 6 · 7 · 4 + 8 · 3 · 5 + 5 · 4 · 9− 5 · 7 · 5− 6 · 3 · 9− 8 · 4 · 4 = 3

Dz =

∣∣∣∣∣∣6 4 84 2 75 3 9

∣∣∣∣∣∣6 44 25 3

Dz = 6 · 2 · 9 + 4 · 7 · 5 + 8 · 4 · 3− 8 · 2 · 5− 6 · 7 · 3− 4 · 4 · 9 = −6

L = {}

Aufgabe (17)

1x+ 3y +−2z = 33x+ 2y + 1z = 20x+ 1y + 3z = 5

Dh =

∣∣∣∣∣∣1 3 −23 2 10 1 3

∣∣∣∣∣∣1 33 20 1

Dh = 1 · 2 · 3 + 3 · 1 · 0 + (−2) · 3 · 1− (−2) · 2 · 0− 1 · 1 · 1− 3 · 3 · 3 = −28

Dx =

∣∣∣∣∣∣3 3 −22 2 15 1 3

∣∣∣∣∣∣3 32 25 1

Dx = 3 · 2 · 3 + 3 · 1 · 5 + (−2) · 2 · 1− (−2) · 2 · 5− 3 · 1 · 1− 3 · 2 · 3 = 28

Dy =

∣∣∣∣∣∣1 3 −23 2 10 5 3

∣∣∣∣∣∣1 33 20 5

Dy = 1 · 2 · 3 + 3 · 1 · 0 + (−2) · 3 · 5− (−2) · 2 · 0− 1 · 1 · 5− 3 · 3 · 3 = −56

Dz =

∣∣∣∣∣∣1 3 33 2 20 1 5

∣∣∣∣∣∣1 33 20 1

Dz = 1 · 2 · 5 + 3 · 2 · 0 + 3 · 3 · 1− 3 · 2 · 0− 1 · 2 · 1− 3 · 3 · 5 = −28x = 28

−28x = −1y = −56

−28y = 2z = −28

−28z = 1L = {−1/2/1}


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Algebra Lineares Gleichungssytem - Aufgaben und Lösungen · Einsetzverfahren (2) 1 Einsetzverfahren (2) I a1·x+b1·y = c1 II a2·x+b2·y = c2 • Gleichung I oder II nach x oder