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Aufgaben und Losungen zur Klausurvorbereitung
”Mathematik fur Studierende der Agrarwissenschaften“
Mathematisches Seminar der Landwirtschaftlichen Fakultat Universitat Bonn
Inhaltsverzeichnis
1 Lineares Optimieren 2
2 Summen- und Produktzeichen 16
3 Finanzmathematik 21
4 Spezielle Funktionen 27
5 Differentialrechnung 33
6 Vektoren und Matrizen 39
7 Lineare Gleichungssysteme 44
8 Mehrere Teilgebiete 48
1 Lineares Optimieren
Aufgabe 1.1:
Ein Landwirt mochte 90 ha Land mit Kartoffeln und Zuckerruben bebauen. Kartoffeln erfordern einenArbeitsaufwand von 3 Tagen je ha und einen Kapitalaufwand von 400 EUR je ha, Zuckerruben erfordern 4Tage je ha und 200 EUR je ha. Wegen der Bodenqualitat mussen mindestens 50 ha Zuckerruben angebautwerden. Fur die Bewirtschaftung der 90 ha stehen maximal 360 Arbeitstage und maximal 24.000 EUR zurVerfugung.
a) Welche Aufteilung des Landes muss gewahlt werden, wenn 1 ha Kartoffeln einen Gewinn (= Rein-ertrag) von 450 EUR und 1 ha Zuckerruben einen Gewinn von 150 EUR bringen und der Gewinnmaximal werden soll?
b) Interpretieren Sie den Maximalpunkt im Hinblick auf die gegebenen Ressourcen.
Losung in drei Schritten:
1. Aufstellung des mathematischen Modells.
2. Bestimmung des Planungspolygons.
3. Ermittlung des Maximalpunktes und des maximalen Gewinns sowie Interpretation im Hinblick aufdie gewahlten Ressourcen.
Losung:
1. Schritt:
x: Anzahl der Hektar Kartoffeln
y: Anzahl der Hektar Zuckerruben
Mathematisches Modell:
a) Nichtnegativitatsbedingung: x ≥ 0 y ≥ 0 (1)/(2)
b) Weitere einschrankende Bedingungen:Land: x + y ≤ 90 (3)Arbeit: 3x + 4y ≤ 360 (4)Kapital: 400x + 200y ≤ 24000 (5)Bodenqualitat: y ≥ 50 (6)Gewinnfunktion: G(x, y) = 450x + 150y (7)
2. Schritt:Die begrenzenden Geraden des Planungspolygons P sind:
x = 0 y = 0 (1’)/(2’)x + y = 90 (3’)
3x + 4y = 360 (4’)400x + 200y = 24000 (5’)
y = 50 (6’)Die Isogewinnfunktion erhalt man, wenn man in (7) G(x, y) konstant setzt und dann nach y auflost. Manerhalt die Gleichung einer Geraden:
y = −3x +G
150(7’)
Das Planungspolygon P ergibt sich als Schnittmenge der 6 Halbebenen (1) − (6). P ist in der Zeichunggrau unterlegt.
2
3. Schritt:In der Skizze wird eine Isogewinngerade eingezeichnet, z.B. (7′) fur G = 9000 EUR. Dann wird dieseGerade parallel so weit nach
”oben“ verschoben, bis sie einen maximalen y-Achsenabschnitt hat, aber
noch mindestens einen Punkt mit dem Planungspolygon P gemeinsam hat. Das ist der Fall, wenn dieIsogewinngerade durch den Punkt M geht (siehe Skizze).
Der Maximalpunkt M ist der Schnittpunkt der Geraden (5′) und (6′).
Aus (6′) liest man ab: ymax = 50.
Dies in (5′) eingesetzt ergibt:
400xmax + 200 · 50 = 24000 ⇐⇒ xmax = 35.
Also: Der Gewinn ist maximal, wenn 35 ha mit Kartoffeln und 50 ha mit Zuckerruben bebautwerden. Der maximale Gewinn ist dann:
Gmax = G(35, 50) = (450 · 35 + 150 · 50)EUR = 23250 EUR.
10
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
130120110100908070605040302010x
y
P
(7') für G = 9000
(5') (3') (4')
(6')
(7') fürmaximales G
M
Interpretation der Koordinaten des Maximalpunktes im Hinblick auf die Ressourcen Arbeit, Kapital undLand:Die Koordinaten xmax = 50, ymax = 35 werden in die linken Seiten von (3), (4), (5) eingesetzt und mitden rechten Seiten verglichen:Land: x + y = 35 + 50 = 85.
Das bedeutet: (90− 85)ha = 5ha liegen brach.Arbeit: 3x + 4y = 3 · 35 + 4 · 50 = 305.
Das bedeutet: (360− 305)Tage = 55 Tage werden nicht benotigt.Kapital: 400x + 200y = 400 · 35 + 200 · 50 = 24000.
Das bedeutet: Das vorhandene Kapital wird voll ausgenutzt.
3
Aufgabe 1.2:
Ein Landwirt hat 50 Morgen fur den Anbau von Braugerste und Zuckerruben zur Verfugung.Fur die Fruhjahrsarbeit sind bei Braugerste 10 Stunden/Morgen, bei Zuckerruben 40 Stunden/Morgenerforderlich. Wahrend dieser Zeit stehen insgesamt 800 Stunden zur Verfugung.Fur die Erntezeit sind bei Braugerste 8 Stunden/Morgen, bei Zuckerruben 20 Stunden/Morgen notwendig.Es stehen fur diese Zeit 460 Stunden zur Verfugung.Wegen des notwendigen Fruchtwechsels durfen nicht mehr als 18 Morgen Zuckerruben angebaut werden.Der Gewinn je Morgen Braugerste betragt a = 200 Euro und je Morgen Zuckerruben b = 600 Euro.
a) Stellen Sie das mathematische Modell auf.
b) Bestimmen Sie fur das mathematische Modell aus Aufgabe 1 den maximalen Gewinn Gmax. Losen Siein folgenden Schritten:
i) Bestimmen Sie das Planungspolygon zeichnerisch, machen Sie es durch Schraffur kenntlich, undinterpretieren Sie es inhaltlich.
ii) Tragen Sie in der Zeichnung aus a) die Steigung der begrenzenden Geraden ein.
iii) Ermitteln Sie den Punkt, in dem die Zielfunktion (der Gewinn) maximal wird.
iv) Bestimmen Sie den maximalen Gewinn.
Losung:
Fruhjahrsarbeit Erntearbeit GewinnBraugerste 10 h/Morgen 8 h/Morgen 200 EUR/MorgenZuckerruben 40 h/Morgen 20 h/Morgen 600 EUR/ MorgenGesamte Arbeitszeit 800 h 460 h
x1 sei die Anzahl der Morgen Land, auf dem Braugerste,x2 sei die Anzahl der Morgen Land, auf dem Zuckerruben angebaut werden.
a) Das mathematische Modell lautet:1.) Nicht-Negativitatsbedingungen: x1 ≥ 0 x2 ≥ 02.) Weitere einschrankende Bedingungen:
Land: x1 + x2 ≤ 50 (1)Fruchtwechsel: x2 ≤ 18 (2)Fruhjahrsarbeit: 10x1 + 40x2 ≤ 800 (3)Erntearbeit: 8x1 + 20x2 ≤ 460 (4)
3.) Zielfunktion: G(x1, x2) = 200x1 + 600x2 (5)ist uber den durch 1. und 2. festgelegten Planungspolygon zu maximieren.
b) i) Zur Bestimmung des Planungspolygons ist es gunstig, die begrenzenden Geraden und deren wich-tigste Parameter entsprechend dem mathematischen Modell festzulegen.
Begrenzende GeradenGegebene Gleichung Achsenabschnittsform Normalform Steigung
x1 + x2 = 50 x1
50+ x2
50= 1 x2 = −x1 + 50 m1 = −1 (1’)
x2 = 18 x2
18= 1 x2 = 18 m2 = 0 (2’)
10x1 + 40x2 = 800 x1
80+ x2
20= 1 x2 = −1
4x1 + 20 m3 = −1
4(3’)
8x1 + 20x2 = 460 x1
57,5+ x2
23= 1 x2 = −2
5x1 + 23 m4 = −2
5(4’)
sowie x1 = 0 und x2 = 0Fur die Punkte mit den Wertepaaren, die einen konstanten vorgegebenen Gewinn G ergeben, gilt:
G = 200x1 + 600x2 (5)
4
Der Graph fur einen festen vorgegebenen Wert G ist eine Gerade, die Isogewinngerade: Fur allePunkte dieser Gerade ist der Gewinn gleich G.So folgt aus (5):
x2 = −1
3x1 +
G
600(6)
Setzt man fur G verschiedene Werte ein, so ist (6) die Gleichung fur eine Schar von paralellenGeraden mit der Steigung −1/3 und dem x2-Achsenabschnitt G
600.
Der Wert G ist dann maximal, wenn der x2−Achsenabschnitt maximal ist. Man erhalt daher denmaximalen Wert der Zielfunktion, indem man aus der Schar der Geraden diejenigen auswahlt,fur die der Achsenabschnitt auf der x2-Achse moglichst groß ist und die noch mindestens einenPunkt mit dem Planungspolygon gemeinsam hat: Siehe die gestrichelte Gerade (6 fur max.).
Die folgende Zeichnung zeigt das Planungspolygon:
-10
0
10
20
30
40
50
60
-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90X1
X2
(6) für=0(6) für max.(1`)
(2`)
(4`)
(3`)
C=Max
E
D
BA
m1= -1
m2= 0
m3= -1/4
m4= -2/5
m6= -1/3
Das Planungspolygon ist schraffiert. Es enthalt alle Punktepaare ( Koordiantenpaare), die die Be-dingungen erfullen.
ii) Die Steigungen sind in der Abbildung eingetragen worden.
iii) In C(20/15) wird die Zielfunktion maximal. C ist der Schnittpunkt der Geraden (4‘) und (3‘).
Aus (4‘) oder (4): x2 = 23− 0, 4x1 (7)Aus (3‘) oder (3): 10x1 − 40x2 = 800 (8)
10x1 + 920− 16x1 = 800,x1 = 20.
Aus (7) folgt: x2 = 15.
iv) Der maximale Gewinn betragt:Gmax = G(20; 15) = (200 · 20 + 600 · 15)EUR = 13000 EUR
5
Aufgabe 1.3:
a) Interpretieren Sie in Aufgabe 1.2 die Koordinaten des Maximalpunktes im Bezug auf das gegebenereale Problem.
b) Welche Ressourcen werden im Maximalpunkt voll ausgenutzt, welche nicht?
c) Bestimmen Sie in Aufgabe 1.2 fur alle Gewinne a und b das jeweilige Produktionsprogramm undgeben Sie es in einer ubersichtlichen tabellarischen Darstellung an.
Losung:
a) So sieht das Produktionsprogramm im Maximalpunkt C(20/15) aus:Nicht-Negativitatsbedingungen und einschrankende Bedingungen werden erfullt:x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1 = 20, x2 = 15Land: x1 + x2 ≤ 50 (1)Land: 20 + 15 = 35 (1max)Fruchtwechsel: x2 ≤ 18 (2)Fruchtwechsel: 15 ≤ 18 (2max)Fruhjahrsarbeit: 10x1 + 40x2 ≤ 800 (3)Fruhjahrsarbeit: 200 + 600 = 800 (3max)Erntearbeit: 8x1 + 20x2 ≤ 460 (4)Erntearbeit: 160 + 300 = 460 (4max)
b) Aus der Tabelle kann man ablesen, dass die zur Verfugung stehenden 50 Morgen Land und die fur denFruchtwechsel maximal moglichen 18 Morgen Land im Maximalpunkt nicht voll ausgenutzt werden,wohl aber die Arbeitzeit fur die Fruhjahrsarbeit und die Erntearbeit.
c) Die Kosten pro angebaute Braugersteflache (Morgen) x1 mogen a EUR und die Kosten pro angebauteZuckerrubenflache (Morgen) x2 mogen b EUR betragen.Dann ist die Zielfunktion:
G(x1, x2) = ax1 + bx2 (9)
setzt man G(x1, x2) = G = const., folgt aus (9)
y = −a
bx1 +
G
bx2 (9∗)
Ist (9∗) parallel zur Achse x2, d.h. sie haben dieselbe Steigung, so ist G(x1/x2) maximal fur allePunkte OAWir stellen die Ergebnisse in folgender Tabelle zusammen:
Preisverhaltnis ab
Steigung m = −ab
der Kostenfunktion Minimalpunkt(e)
ab
> 0 m < 0 Aab
= 0 m = 0 AB0 > a
b> 1
40 < m < −1
4B
ab
= 14
m = −14
BC14
> ab
> 25
−14
< m < −25
Cab
= 25
m = −25
CD25
> ab
> 1 −25
< m < −1 Dab
= 1 m = −1 EDab
> 1 m < −1 E
6
Aufgabe 1.4:
Aus zwei Substanzen S1 und S2 soll ein Vitaminpraparat hergestellt werden. Der Gehalt an den VitaminenA, B, C und D in 1000 I.E. (internationale Einheiten) je g dieser Substanzen, der Mindestbedarf pro Tagin 1000 I.E. in dem herzustellenden Praparat und die Kosten a fur S1 und b fur S2 (in EUR/g) sind:
Gehalt in 1000 I.E. je g Mindestbedarf (probei S1 bei S2 Tag) in 1000 I.E.
Vitamin A 2 1 16Vitamin B 1 0 2Vitamin C 2 3 32Vitamin D 2 5 40Kosten (EUR/g) 10 8
Das Praparat soll durch Mischung von S1 und S2 so hergestellt werden, dass die angegebenen Mindest-mengen darin enthalten sind und die Kosten minimal sind.
a) Wie muss gemischt werden? Wie hoch sind die minimalen Kosten?Losung in folgenden Schritten:
i) Stellen Sie das mathematische Modell auf.
ii) Bestimmen Sie das Planungspolygon zeichnerisch und machen Sie es durch Schraffur kenntlich.Interpretieren Sie es inhaltlich.
iii) Tragen Sie die Steigungen der begrenzenden Geraden ein.
iv) Ermitteln Sie den Punkt, in dem die Zielfunktion (die Kosten) minimal wird, aus der Zeichnung.Bestimmen Sie seine Koordinaten rechnerisch und interpretieren Sie sie inhaltlich.
v) Bestimmen Sie die minimalen Kosten.
b) Interpretieren Sie die Koordinaten des Minimalpunktes in Bezug auf das gegebene Problem. Beiwelchen Vitaminen ist der Mindestbedarf exakt eingehalten, bei welchen wird er im Minimalpunktuberschritten?
c) Bestimmen Sie fur alle Kosten a und b die jeweilige Zusammensetzung der Praparate und geben Siesie in einer ubersichtlichen tabellarischen Darstellung an.
Losung:
S1 sei die Menge der Substanz S1 zur Herstellung eines Vitaminpraparates,S2 sei die Menge der Substanz S2 zur Herstellung eines Vitaminpraparates.
a) Das mathematische Modell lautet:
i) 1) Nicht-Negativitatsbedingungen: S1 ≥ 0, S2 ≥ 02) Weitere einschrankende Bedingungen:
Vitamin A: 2S1 + S2 ≥ 16 (1)Vitamin B: S1 ≥ 2 (2)Vitamin C: 2S1 + 3S2 ≥ 32 (3)Vitamin D: 2S1 + 5S2 ≥ 40 (4)
3) Zielfunktion: G(S1, S2) = 10S1 + 8S2 (5)
soll uber das durch 1. und 2. festgelegte Planungspolygon minimiert werden.
ii) Um das Planungspolygon zu zeichnen ist es empfehlenswert die begrenzenden Geraden festzule-gen.
7
Begrenzende Geraden
gegebene Gleichung Achsenabschnittsform Normalform Steigung
2S1 + S2 = 16 18S1 + 1
16S2=1 S2 = −2S1 + 16 m1 = −2 (1’)
S1 = 2 12S1=1 S1 = 2 m2 = ∞ nicht def. (2’)
2S1 + 3S2 = 32 116
S1 + 332
S2=1 S2 = −23S1 + 32
3m3 = −2
3(3’)
2S1 + 5S2 = 40 120
S1 + 18S2=1 S2 = −2
5S1 + 8 m4 = −2
5(4’)
10S1 + 8S2 = G 10G
S1 + 8GS2=1 S2 = −5
4S1 + G
8m5 = −5
4(5’)
sowie S1 = 0 und S2 = 0
Die folgende Zeichnung zeigt das Planungspolygon:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20S1
S2
(3’)
(4’)
(2’)C
A
(5min’)
(1’)
B=Mmin
Steigungenm1= -2
m2= ∝ [nicht def.]m3= -2/3m4= -2/5m5= -5/4
Das Planungspolygon ist in der Abbildung schraffiert. Der Graph der Zielfunktion fur einen fe-sten, vorgebenen Wert G ist eine Gerade, die Isogewinngerade genannt wird.Die Isogewinngeraden sind paralelle Geraden (gleicher Anstieg m5 = −5
4mit dem S2-Achsenabschnitt
G8.
Der Wert G ist dann minimal, wenn der Achsenabschnitt der S2-Achse minimal ist.Der minimale Wert der Zielfuntion wird erreicht, wenn aus den Isogewinngeraden diejenige aus-gewahlt wird, bei der der Achsenabschnitt am kleinsten ist und diese noch mindestens einengemeinsamen Punkt mit dem Planungspolygon hat. Diese Gerade (5min) ist in der Abbildungeingezeichnet.
iii) Die Steigungen sind aus der Tabelle in der Abbildung eingetragen worden.
iv) Der Punkt Mmin kann aus der Abbildung abgelesen werden. Mmin ist der Schnittpunkt der Ge-raden (1’) und (3’).
8
2S1 = 16− S2 (1’)2S1 = 32− 3S2 (3’)
16− S2 = 32− 3S2
S2 = 82S1 = 16 - 8S1 = 4
Mmin(4/8) ist der gesuchte Punkt, bei dem die Zielfunktion (die Kosten) minimal ist. Aus derSubstanz 1 (S1) mussen 4 g und aus der Substanz 2 ( S2) 8 g zusammengestellt werden um einVitaminpraparat herzustellen, das den taglichen Mindestbedarf der aufgelisteten Vitamine deckt.
v) Mit Hilfe der Koordinaten von Mmin(4/8) konnen auch die minimalen Kosten zur Herstellungeines Vitaminpraparates ermittelt werden.
10S1 + 8S2 = G(S1, S2)
10 · 4 + 8 · 8 = G(4, 8)
40 + 64 = G(4, 8)
G(4, 8) = 104
Die minimalen Kosten zur Herstellung des Vitaminpraparates betragen 104 EUR.
b) Laut der Rechenkontrolle wird im Minimalpunkt der tagliche Mindestbedarf fur jedes Vitamin ge-deckt. Rechenkontrolle:
Vitamin A: 2 · 4 + 8 ≥ 16 (1)16 ≥ 16
Vitamin B: 4 ≥ 2 (2)
Vitamin C: 2 · 4 + 3 · 8 ≥ 32 (3)32 ≥ 32
Vitamin D: 2 · 4 + 5 · 8 ≥ 40 (4)48 ≥ 40
Bei den Vitaminen A und C wird der Mindestbedarf exakt eingehalten, bei den Vitaminen B und Dwird er uberschritten.
c) Die Kosten pro g von S1 mogen a EUR und die Kosten pro g von S2 mogen b EUR betragen. Dannist die Zielfunktion:
G(S1, S2) = aS1 + bS2 (6)
setzt man G(S1, S2) = K = const., folgt aus (6)
y = −a
bS1 +
K
bS2 (6’)
Ist (6’) parallel zu (1’), d.h. (6’) und (1’) haben dieselbe Steigung, so ist K(S1/S2) minimal fur allePunkte AB.Ist (6’) parallel zu (3’), d.h. (6’) und (3’) haben dieselbe Steigung, so ist K(S1/S2) minimal fur allePunkte BC.Ist (6’) parallel zu (4’), d.h. (6’) und (4’) haben dieselbe Steigung, so ist K(S1/S2) minimal fur allePunkte CD.
Steigungen(1’) m1 = −2
(3’) m3 = −23
(4’) m4 = −25
Liegt die Steigung m von (6’) zwischen der Steigung von (1’) und (3’),also zwischen −2 und −2/3, d. h. −2 < m < −2/3, so ergibt sich B alsMinimalpunkt. Ist die Steigung m von (6’) kleiner als die Steigung von(1’), also m < −2; so ist A der Minimalpunkt.
Die gleichen Uberlegungen werden fur die Eckpunkte des Planungspolygons durchgefuhrt.
9
Wir stellen die Ergebnisse in folgender Tabelle zusammen:
Preisverhaltnis ab
Steigung m = −ab
der Gewinnfunktion Maximalpunkt(e)ab
> 2 m < −2 A
ab
= 2 m = −2 AB
2 > ab
> 23
−2 < m < −23
B
ab
= 23
m = −23
BC23
> ab
> 25
−23
< m < −25
C
ab
= 25
m = −25
CDab
> 25
−25
< m < 0 D
Aufgabe 1.5:
Ein Landwirt hat 160 ha Ackerland fur den Anbau von Raps (x1) und Getreide (3x1) zur Verfugung.Getreide wird immer dreimal soviel als Raps angebaut.Die Weinanbauflache (x2) dieses Betriebes ist auf maximal 6 ha begrenzt.Anhand des folgenden mathematischen Modells soll der Landwirt sein Produktionsprogramm und dendabei erzielbaren Gewinn (in Euro) ermitteln:
1.) Nicht-Negativitatsbedingungen: x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 (1)
2.) Weitere einschrankende Bedingungen:Ackerbau: x1 + 3x1≤ 160 (2)
Weinbau: x2≤ 6 (3)
Arbeitszeitbedarf: 9(x1 + 3x1) + 1200x2≤ 8400 (4)
3.) Die Gewinnfunktion: G(x1, x2)=150(x1 + 3x1) + 7200x2 (5)
ist uber das durch (1)-(4) festgelegte Planungspolygon zu maximieren.Losen Sie die Aufgabe in folgenden Schritten:
a) Bestimmen Sie das Planungspolygon zeichnerisch und machen Sie es durch Schraffur kenntlich.
b) Tragen Sie in der Zeichnung aus a) die Steigung der begrenzenden Geraden des Planungspolygonsein.
c) Zeichnen Sie eine Isogewinngerade und tragen Sie ihre Steigung ein.
d) Bestimmen Sie den Punkt M, in dem die Gewinnfunktion (5) maximal wird, zeichnerisch und seineKoordinaten rechnerisch.
e) Bestimmen Sie den maximalen Gewinn. Vergessen Sie bitte die Wahrungseinheit nicht!
Losung:
Begrenzende Geraden:4x1 = 160 (2’)x1 = 40x2 = 6 (3’)
36x1 + 1200x2 = 8400 (4’)
x2 = − 3100
x1 + 7
Gewinnfunktion G(x1, x2) = 600x1 + 7200x2 (5’)
Isogewinngerade: x2 = − 112
x1 + G7200
fur G=14400 x2 = − 112
x1 + 2 (5’∗)
10
a) b) und c) Die folgende Zeichnung enthalt die Losungen.
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
(2’)
Steigungen: m2=∝ [nicht def.] m3=0 m4=-0,03 m5=-1/12
(5’max)
(5’)*
(4’)
(3’)M (40 / 5,8)
Planungspolygon (P)
X1
X2
* Isogewinngerade für G=14400
d) Die Bestimmung der Koordinaten im Punkt M (Schnittpunkt der begrenzenden Geraden 2’ und 4’):x1 = 40
x2 = − 3100· 40 + 7 aus (4’)
x2 = 5,8
Der Maximalpunkt ist M(40/5, 8).
e) Der maximale Gewinn dieses Produktionsprogramms betragt:
Gmax = G(40; 5, 8) = 40 · 600 + 7200 · 5, 8 = 65760 EUR
Aufgabe 1.6:
Ein Problem der linearen Optimierung sei durch folgendes mathematische Modell gegeben:
a) Nicht-Negativitatsbedingungen:x ≥ 0, y ≥ 0 (1)
b) Weitere einschrankende Bedingungen:30x + 20y ≤ 240 (2)
x ≤ 5, 6 (3)
y ≤ 5 (4)
35x + 42y ≥ 147 (5)
c) Zielfunktion:Z1(x, y) = 9x + 3y, (6)
i) Bestimmen Sie das Planungspolygon zeichnerisch.
ii) Ermitteln Sie den Punkt M11, in dem die Zielfunktion maximal wird, und den Punkt M12, in demdie Zielfunktion minimal wird, jeweils zeichnerisch und seine Koordinaten jeweils rechnerisch.
iii) Wie groß ist der maximale bzw. minimale Wert der Zielfunktion?
11
Losung:
i) Um das Planungspolygon zu zeichnen ist es empfehlenswert die begrenzenden Geraden festzulegen.
Begrenzende GeradenAchsenabschnittsform Normalform Steigung
18x + 1
12y=1 y = −3
2x + 12 m2 = −3
2(2’)
15,6
x=1 x = 5, 6 m3 = ∞ nicht def. (3’)
15y=1 y = 5 m4 = 0 (4’)
521
x + 621
y=1 y = −56x + 21
6m5 = −5
6(5’)
9Z1
x + 3Z1
y=1 y = −3x + Z1
3m6 = −3 (6’)
sowie x = 0 und y = 0 (1a’)/(1b’)
Die folgende Zeichnung zeigt das Planungspolygon:
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x
y
(4’)
(2’)
(5’)(6min’) (6max’)
A=M12
F E
D=M11
CB
(3’)
Steigungenm2= -3/2
m3= ∝ [nicht def.]m4= 0m5= -5/6m6min= -3m6max= -3
ii) Z1 ist genau dann maximal/minimal, wenn der y-Achsenabschnitt Z1
3maximal/minimal ist. Die Punk-
te M11 und M12 wurden in der Zeichnung mit Hilfe der jeweiligen Isogewinngeraden (6max und 6min)eingezeichnet. Zur rechnerischen Bestimmung dieser Punkte muss vom Planungspolygon abgelesenwerden, welche begrenzenden Geraden den Schnittpunkt zu den gesuchten Koordinaten geben.
• Der Maximalpunkt M11 ergibt sich aus dem Schnittpunkt der begrenzenden Geraden (2’) und (3’).30x + 20y = 240 (2’)
x = 5, 6 (3’)
x = 5, 6
30 · 5, 6 + 20y = 240
168 + 20y = 240
20y = 72
y = 3, 6Der gesuchte Maximalpunkt, in dem die Zielfunktion maximal wird, ist M11(5, 6/3, 6).
12
• Der Minimalpunkt M12 kann in gleicher Weise aus dem Schnittpunkt der begrenzenden Geraden(1a’) und (5’) bestimmt werden.
x = 0 (1a’)
35x + 42y = 147 (5’)
42y = 147
y = 3,5
Der gesuchte Minimalpunkt, in dem die Zielfunktion minimal wird, ist M12(0/3, 5).
iii) • Der maximale Gewinn der Zielfunktion wird im Maximalpunkt M11(5, 6/3, 6) erreicht:
Z1max(x, y) = 9x + 3y
Z1max = 9 · 5, 6 + 3 · 3, 6Z1max = 50, 4 + 10, 8
Z1max = 61, 2
• Der minimale Gewinn der Zielfunktion wird im Minimalpunkt M12(0/3, 5) erreicht:
Z1min(x, y) = 9x + 3y
Z1min = 9 · 0 + 3 · 3, 5Z1min = 10, 5
Aufgabe 1.7:
Ersetzen Sie in Aufgabe 1.6 die Zielfunktion (6) durch
Z2(x, y) = 40x− 10y + 20 (7)
und losen Sie ii) und iii) entsprechend (Maximalpunkt sei M21, Minimalpunkt M22).
Losung:
i) Das mathematische Modell wurde in der Aufgabenstellung nicht geandert. Das Planungspolygonbleibt auch gultig. Nur die Zielfunktion ist anders.
Begrenzende Geraden
Achsenabschnittsform Normalform Steigung
18x + 1
12y = 1 y = −3
2x + 12 m2 = −3
2(2’)
15,6
x = 1 x = 5, 6 m3 = ∞ nicht def. (3’)15y = 1 y = 5 m4 = 0 (4’)
521
x + 621
y = 1 y = −56x + 21
6m5 = −5
6(5’)
40Z2
x− 10Z2
y + 20Z2
= 1 y = 4x + 2− Z2
10m7 = 4 (7’)
sowie x = 0 und y = 0 (1a’)/(1b’)
ii) Z2 ist genau dann maximal/minimal, wenn der y-Achsenabschnitt 2− Z2
10minimal/maximal ist. Die
Punkte M21 und M22 wurden in der folgenden Zeichnung mit Hilfe der jeweiligen Isogewinngeraden(7max und 7min) eingezeichnet. Zur rechnerischen Bestimmung dieser Punkte muss vom Planungpoly-gon abgelesen werden, welche begrenzenden Geraden den Schnittpunkt zu den gesuchten Koordinatengeben.
13
Die folgende Zeichnung zeigt das Planungspolygon:
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x
y
(3’)
(4’)
(2’)
F
D
E=M21
C
A
(7max’)
(7min’)
(5’)
B=M22
Steigungenm2= -3/2
m3= ∝ [nicht def.]m4= 0m5= -5/6m7min= 4m7max= 4
• Der Maximalpunkt M21 ergibt sich aus dem Schnittpunkt der begrenzenden Geraden (1b’) und (3’).
y = 0 (1b’)x = 5, 6 (3’)
Der gesuchte Maximalpunkt, in dem die Zielfunktion maximal wird, ist M21(5, 6/0).• Der Minimalpunkt M22 kann in gleicher Weise aus dem Schnittpunkt der begrenzenden Geraden
(1a’) und (4’) bestimmt werden.x = 0 (1a’)y = 5 (4’)
Der gesuchte Minimalpunkt, in dem die Zielfunktion minimal wird, ist M22(0/5).
iii) • Der maximale Gewinn der Zielfunktion wird im Maximalpunkt M21(5, 6/0) erreicht:
Z2max(x, y) = 40x− 10y + 20
Z2max = 40 · 5, 6− 10 · 0 + 20
Z2max = 224 + 20
Z2max = 244
• Der minimale Gewinn der Zielfunktion wird im Minimalpunkt M22(0/5) erreicht:
Z2min(x, y) = 40x− 10y + 20
Z2min = 40 · 0− 10 · 5 + 20
Z2min = −30
Aufgabe 1.8:
Fugen Sie in Aufgabe 1.6 in b) als zusatzlich einschrankende Bedingungen einx ∈ N0, y ∈ N0 (8)
a) Bestimmen Sie den Maximalpunkt M31 und den Minimalpunkt M32.
b) Bestimmen Sie das Maximum Zmax und das Minimum Zmin der Zielfunktion Z1.
Bemerkung:Zeichnen Sie die Planungspolygone auf kariertes Papier mit Kastchenbreite 0,5 cm. Wahlen Sie als Einheitzwei Kastchen.
14
Losung:
a) Mit den Zusatzbedingungen x ∈ N0, y ∈ N0 besteht das Planungspolygon jetzt nur noch aus den
”Gitterpunkten“ des Planungspolygons der Aufgabe 1.6, d.h. aus den Punkten, deren Koordinaten
ganzzahlig und großer gleich Null sind.Diese Gitterpunkte, der Maximalpunkt M31 und der Minimalpunkt M32 sind in der Abbildung fetteingezeinet.Die folgende Zeichnung zeigt das Planungspolygon:
0
1
2
3
4
5
6
7
0 1 2 3 4 5 6 7
x
y M31(5/4)M32(0/4)
(6max’), wenn
x N0 und y N0
(6min’), wenn
x N0 und y N0
Der maximale Gewinn der Zielfunktion wird im Maximalpunkt M31(5/4) erreicht:
Z3max(x, y) = 9x + 3y
Z3max = 9 · 5 + 3 · 4Z3max = 45 + 12
Z3max = 57
Der minimale Gewinn der Zielfunktion wird im Minimalpunkt M32(0/4) erreicht:
Z3min(x, y) = 9x + 3y
Z3min = 9 · 0 + 3 · 4Z3min = 12
15
2 Summen- und Produktzeichen
Die nachsten Aufgaben werden mit Hilfe der folgenden Rechenregel fur das Summenzeichen gelost:
Rechenregel fur das Summenzeichen:
Satz 1:n∑
i=1
ai =m∑
i=1
ai +n∑
i=m+1
ai , wenn m < n .
Satz 2:∑n
i=1 bai = b ·n∑
i=1
ai .
Satz 3a:n∑
i=1
(ai + ci) =n∑
i=1
ai +n∑
i=1
ci .
Satz 3b:n∑
i=1
(ai − ci) =n∑
i=1
ai −n∑
i=1
ci .
Satz 4a:n∑
i=1
c = nc .
Satz 4b:s∑
i=r
c = (s− r + 1)c .
Satz 5:n∑
i=1
(α ai + λ ci) =n∑
i=1
α ai +n∑
i=1
λ ci = αn∑
i=1
ai + λn∑
i=1
ci .
Satz 5 ist eigentlich eine Verallgemeinerung von Satz 3 mit Hilfe von Satz 2.
Satz 6:n∑
i=1
(a1j + a2j + a3j + . . . + akj) =n∑
i=1
a1j +n∑
i=1
a2j +n∑
i=1
a3j + . . . +n∑
i=1
akj .
Satz 7:n∑
i=1
(α 1a1j + α 2a2j + α 3a3j + . . . + α kakj) =
= α 1
n∑i=1
a1j + α 2
n∑i=1
a2j + α 3
n∑i=1
a3j + · · ·+ α k
n∑i=1
akj .
Rechenregel fur die Doppelsumme:
Satz 8:k∑
i=1
n∑j=1
xij =n∑
j=1
k∑i=1
xij .
Satz 9:m∑
i=1
n∑j=1
α · aij = α ·m∑
i=1
n∑j=1
aij .
Satz 10a:m∑
i=1
n∑j=1
(aij + bij) =m∑
i=1
n∑j=1
aij +m∑
i=1
n∑j=1
bij .
Satz 10b:m∑
i=1
n∑j=1
(aij − bij) =m∑
i=1
n∑j=1
aij −m∑
i=1
n∑j=1
bij .
Satz 11:m∑
i=1
n∑j=1
(α · aij + β · bij) = α ·m∑
i=1
n∑j=1
aij + β ·m∑
i=1
n∑j=1
bij .
Fur die Satze 2-11 kann auch eine vereinfachte Schreibweise fur das Summenzeichen angewendet werden.In diesen Satzen spielt die Anzahl der Summanden keine Rolle, auch nicht, wie der erste und letzteSummand heißen: Die Satze gelten fur alle Summationsgrenzen; die Summationsgrenzen konnen daherweggelassen werden. Bei dieser vereinfachten Schreibweise wird (stillschweigend) vorausgesetzt, daß beiallen
∑−Zeichen stets die gleiche untere und stets die gleich obere Summationsgrenze verwendet wird,
zum Beispiel: Satz 11*:∑
i
∑j
(α · aij + β · bij) = α ·∑
i
∑j
aij + β ·∑
i
∑j
bij .
16
Aufgabe 2.1:
a) Andern Sie inn∑
j=1
aj den Summationsindex so ab, dass die Summation bei j = 0 (bei j = 2) beginnt.
b) Andern Sie inn∑
j=1
aj den Summationsindex so ab, dass die Summation bei j = n− 2 (bei j = n + 1)
endet.
Losung:
Der Summationsindex zu jeder Aufgabenstellung ist j. Die Summationsgrenzen mussen auf folgende Weisegeandert werden:
a)n∑
j=1
aj =n−1∑j=0
aj+1 =n+1∑j=2
aj−1
b)n∑
j=1
aj =n−2∑
j=−1
aj+2 =n+1∑j=2
aj
Aufgabe 2.2:
Formen Sie mit Hilfe der Rechenregeln fur das Summenzeichen um:
a)m∑
r=1
(ar + c)
b)k∑
j=1
(yj − y) .
Losung:
a) Wenn man die Satze 3a und 4a anwendet, kommt man auf das folgende Ergebnis:m∑
r=1
(ar + c) =m∑
r=1
ar + m · c
Beweis: So ware es ohne Summenzeichen:m∑
r=1
(ar + c) = a1 + c + a2 + c + a3 + . . . + am + c = a1 + a2 + a3 + . . . + am + m · c .
b) Wenn die Satze 3b und 4a angewendet werden, wobei y ein konstanter Summand ist, bekommt mandas folgende Ergebnis:
k∑j=1
(yj − y) =k∑
j=1
yj − k · y
Beweis: So ware es ohne Summenzeichen:k∑
j=1
(yj − y) = y1 − y + y2 − y + y3 − y + . . . + yk − y = y1 + y2 + y3 + . . . + yk + k · y .
17
Aufgabe 2.3:
Fassen Sie unter ein Summenzeichen zusammen:
a) 3n∑
j=1
xi +n∑
j=1
yi
b)n−2∑i=0
ai+1 −n∑
i=2
bi+1 .
Losung:
a) Mit Hilfe der Satze 2 und 3a bekommt man das folgende Ergebnis:
3n∑
j=1
xi +n∑
j=1
yi =n∑
j=1
3xi +n∑
j=1
yi =n∑
j=1
(3xi + yi)
b) Die zwei Summenzeichen haben unterschiedliche Summationsgrenzen, wobei die Anzahl der Summan-den gleich sind. Mit der Anpassung der Summationsgrenzen und -indizes kann die Aufgabe gelostwerden.
n−2∑i=0
ai+1 −n∑
i=2
bi+1 =n−2∑i=0
ai+1 −n−2∑i=0
bi+3 =n−2∑i=0
(ai+1 − bi+3)
odern−2∑i=0
ai+1 −n∑
i=2
bi+1 =n∑
i=2
ai−1 −n∑
i=2
bi+1 =n∑
i=2
(ai−1 − bi+1)
odern−2∑i=0
ai+1 −n∑
i=2
bi+1 =n−1∑i=1
ai −n−1∑i=1
bi+2 =n−1∑i=1
(ai − bi+2) .
Aufgabe 2.4:
Schreiben Sie ohne Summenzeichen:
a)3∑
i=1
5∑k=4
(xik + xi)
b)3∑
i=1
i∑j=1
xiyj .
Losung:
a)3∑
i=1
5∑k=4
(xik + xi) =3∑
i=1
(5∑
k=4
(xik + xi)
)=
3∑i=1
(xi4 + xi + xi5 + xi)
= x14 + x1 + x15 + x1 + x24 + x2 + x25 + x2 + x34 + x3 + x35 + x3
oder, wenn zuerst uber i summiert wird:
3∑i=1
5∑k=4
(xik + xi) =3∑
i=1
(5∑
k=4
(xik + xi)
)=
5∑k=4
(x1k + x1) +5∑
k=4
(x2k + x2) +5∑
k=4
(x3k + x3)
= x14 + x1 + x15 + x1 + x24 + x2 + x25 + x2 + x34 + x3 + x35 + x3
18
b) In dieser Aufgabe beginnen Sie mit der Summation uber i, weil beim zweiten Summenzeichen das ials obere Summationsgrenze vorkommt. Hier ist es nicht moglich, wie z. B. in a) mit der Summationuber j zu beginnen.
3∑i=1
i∑j=1
xiyj =3∑
i=1
(i∑
j=1
xiyj
)=
fur i = 1︷ ︸︸ ︷1∑
j=1
x1yj +
fur i = 2︷ ︸︸ ︷2∑
j=1
x2yj +
fur i = 3︷ ︸︸ ︷3∑
j=1
x3yj
= x1y1 + x2y1 + x2y2 + x3y1 + x3y2 + x3y3
Aufgabe 2.5:
Formen Sie mit Hilfe der Rechenregeln fur die Doppelsumme um:
a)m∑
i=1
k∑j=1
(4xij + 3xi)
b)r∑
i=1
t∑j=1
ai · bij .
Losung:
a) Wenden Sie die Satze 11, 4, 2 in dieser Reihenfolge an:
m∑i=1
k∑j=1
(4xij + 3xi) = 4m∑
i=1
k∑j=1
xij + 3m∑
i=1
k∑j=1
xi = 4m∑
i=1
k∑j=1
xij + 3m∑
i=1
(k∑
j=1
xi
)= 4
m∑i=1
k∑j=1
xij +
3m∑
i=1
k · xi = 4m∑
i=1
k∑j=1
xij + 3km∑
i=1
xi
b) Fur die Summation uber j ist ai ein konstanter Faktor, der nach Satz 2 ausgeklammert werden kann:
r∑i=1
t∑j=1
ai · bij =r∑
i=1
(ai
t∑j=1
bij
)Aufgabe 2.6:
a) Berechnen Sie aus der Tabelleyi 4 5 6 7hi 0,05 0,50 0,25 0,20
der Reihe nach
y =k∑
i=1
hiyi , s21 =
k∑i=1
hi(yi − y)2 , s22 =
k∑i=1
hiy2i − y2
b) Schreiben Sie
τ =k−1∑j=1
k∑i=j+1
sign (yj − yi) · sign (xj − xi)
fur k=3 ohne Summenzeichen und berechnen Sie anschließend fur die drei Wertepaare:(x1, y1) = (2; 7) ,
(x2, y2) = (4; 1) ,
(x3, y3) = (6; 3)
das oben angegebene τ .
19
Losung:
a) y = 0, 05 · 4 + 0, 50 · 5 + 0, 25 · 6 + 0, 20 · 7 = 5, 6
s21 = 0, 05(4− 5, 6)2 + 0, 50(5− 5, 6)2 + 0, 25(6− 5, 6)2 + 0, 20(7− 5, 6)2 = 0, 74
s22 = 0, 05 · 42 + 0, 50 · 52 + 0, 25 · 62 + 0, 20 · 72 − 5, 62 = 0, 74
b) τ =2∑
j=1
3∑i=j+1
sign (yj − yi) · sign (xj − xi)
=3∑
i=2
sign (y1 − yi) · sign (x1 − xi) +3∑
i=3
sign (y2 − yi) · sign (x2 − xi)
= sign (y1 − y2) · sign (x1 − x2) + sign (y1 − y3) · sign (x1 − x3) + sign (y2 − y3) · sign (x2 − x3)
= sign (7− 1) · sign (2− 4) + sign (7− 3) · sign (2− 6) + sign (1− 3) · sign (4− 6)
= 1 · (−1) + 1 · (−1) + (−1) · (−1) = −1− 1 + 1 = −1
Aufgabe 2.7:
a) Schreiben Sie ohne Summenzeichen:3∑
j=1
3aj + 4,2∑
i=0
i∑j=0
aij.
b) Formen Sie mit Hilfe der Rechenregeln fur das Summenzeichen soweit wie moglich um:n+1∑k=0
(bxk − a),n∑
i=1
k∑j=1
(xij − xi).
c) Schreiben Sie n! mit Hilfe des Produktzeichens, wobei n ∈ N sei.
Losung:
a)3∑
j=1
3aj + 4 = 3a1 + 3a2 + 3a3 + 4.
Bemerkung: Beachten Sie, dass sich das Summenzeichen nur auf den ersten Summanden erstreckt.+4 gehort also nicht mehr zum Summenzeichen. Soll +4 noch zum Summenzeichen gehoren, mussen
Klammern gesetzt werden:3∑
j=1
(3aj + 4).
2∑i=0
i∑j=0
aij =0∑
j=0
a0j +1∑
j=0
a1j +2∑
j=0
a2j = a00 + a10 + a11 + a20 + a21 + a22 .
Bei der Doppelsumme liegen gekoppelte Indizes vor. Daher muss zuerst das außere Summenzeichenaufgelost werden.
0∑j=0
a0j erhalt man, wenn man in der Doppelsumme i = 0 setzt;
1∑j=0
a1j erhalt man, wenn man in der Doppelsumme i = 1 setzt;
2∑j=0
a2j erhalt man, wenn man in der Doppelsumme i = 2 setzt.
20
b) Es istn+1∑k=0
(bak − a) =n+1∑k=0
bak −n+1∑k=0
a = b
n+1∑k=0
ak − (n + 2)a ,
n∑i=1
k∑j=1
(xij − xi) =n∑
i=1
k∑j=1
xij −n∑
i=1
k∑j=1
xi
=
(∗)n∑
i=1
k∑j=1
xij −n∑
i=1
kxi =n∑
i=1
k∑j=1
xij − kn∑
i=1
xi .
(∗): Fur die Summation uber j (von j = 1 bis j = k) ist xi ein konstanter Summand, er tritt k-malauf, so dass sich k · xi ergibt.
c) n! = 1 · 2 · 3 · . . . · n =n∏
i=1
i.
3 Finanzmathematik
Aufgabe 3.1:
Eine Schuld (ein Darlehen) von 50.000 EUR am 1.1. eines bestimmten Jahres werde mit einem jahrlichenSchuldzinssatz von 5% verzinst und mit einer jahrlichen Annuitat von 19.000 EUR getilgt. Stellen Sie denTilgungsverlauf (d.h. die jeweilige Restschuld Si im Laufe der Zeit i)
a) tabellarisch
b) graphisch
dar.
Zu a): Die Tabelle soll so angelegt werden, dass der Gedankengang der Losung ersichtlich ist.
Kommentieren und interpretieren Sie die 3. Zeile der Tabelle (das 3. Jahr).
Zu b): Man beachte, dass der Definitionsbereich der Funktion i → Si die Menge R+0 ist.
Bemerkung: Funktionen des Typs wie in b) graphisch dargestellt treten in der Wahrscheinlichkeitsrech-nung auf.
c) Wie hoch ist die Restschuld nach 112
Jahren ?
Losung:
a) Wenn A die konstante Annuitat, Zi die Schuldzinsen des Jahres i und Ti der Tilgungsbetrag desJahres i sind, so gilt: A = Zi + Ti ⇔ Ti = A− Zi.
Die Schuldzinsen des i-ten Jahres werden zur Restschuld S ′i, die zu Beginn des i-ten Jahres besteht,
addiert; der Tilgungsbetrag Ti des i-ten Jahres wird am Ende des i-ten Jahres gezahlt.
Daraus ergibt sich dann in tabellarischer Darstellung folgender Tilgungsverlauf:
Jahri
Restschuld S′i am
Beginn des Jahres i(in EUR)
Schuldzinsen Zi desJahres i (in EUR)
Tilgungsbetrag Ti
des Jahres i(in EUR)
Restschuld Si amEnde des Jahres i(in EUR)
1 50.000 0, 05 · 50.000 =2.500
19.000-2.500 =16.500
50.000-16.500 =33.500
2 33.500 0, 05 · 33.500 =1.675
19.000-1.675 =17.325
33.500-17.325 =16.175
3 16.175 0, 05 · 16.175 =808, 75
19.000-808,75 =18.191,25
16.175-18.191,25= -2.016,25
21
Kommentar zur 3. Zeile (3. Jahr): Setzt man die Anwendung des mathematischen Modells der An-nuitatentilgung, d.h. hier: den Rechenweg der beiden ersten Jahre gemaß Si = S ′
i−(A−Zi) , wie in derobigen Tabelle verwendet, auch im dritten Jahr fort, so erhalt man eine negative Restschuld, namlich-2016,15 EUR (eine Uberzahlung). Da das Darlehen (die Schuld) getilgt ist, wenn der Restbetrag0 EUR betragt, bedeutet das, dass der Tilgungsbetrag des dritten Jahres statt 18.191,25 EUR nurnoch 18.191,25 EUR - 2.016,25 EUR = 16.175 EUR betragt. Oder anders ausgedruckt: 2016,25 EURder Annuitat werden nicht mehr fur die Tilgung benotigt. In der Zeichnung wird naturlich S3 = 0eingetragen.Bemerkung:In der Praxis werden derartige Uberzahlungen, die nach der letzten geleisteten Zahlung entstehen,dem Darlehensnehmer (dem Schuldner) erstattet. Ein bekanntes Beispiel fur eine Annuitatentilgungist die Tilgung eines Bauspardarlehens, bei dem konstante monatliche Zahlungen an die Bausparkassegeleistet werden. Ist die letzte Zahlung hoher als die letzte Darlehensschuld (einschließlich der in derZwischenzeit angefallenen Schuldzinsen), wird der Bausparvertrag abgerechnet (geloscht), der zuvielgezahlte Betrag wird erstattet. Die Tilgung eines Bauspardarlehens verlauft im Prinzip so wie imobigen Beispiel einschließlich der dritten Zeile.
b) Hinweise:Die dargestellte Funktion der Restschuld Si (in EUR) nennt man eine Treppenfunktion. Der ausge-malte Kreis • bedeutet, dass der Punkt zum Intervall gehort; der offene Kreis ◦ bedeutet, dass derPunkt nicht zum Intervall gehort. Untereinanderliegende Punkte •, ◦ durfen nicht durch eine Streckeverbunden werden, weil dann keine eindeutige Zuordung mehr vorliegt. Dem i = 1 wurden dann zumBeispiel alle Werte Si mit 33.500 < Si < 50.000 zugeordnet. Die gestrichelten Linien dienen nur derinhaltlichen Verdeutlichung.
50.000
30.00033.500
10.000
20.000
40.000
16.125
1 32
Zeit i(in Jahren)
Restschuld S in Jahreni
c) Hinweise:Die Restschuld nach 11
2Jahren betragt 33.500 EUR; sie ist genauso hoch wie die Restschuld am Ende
des 1. Jahres, weil die nachste Tilgung erst am Ende des 2. Jahres erfolgt (siehe dazu insbesonderedie Abbildung).
22
Aufgabe 3.2:
Eine Schuld (ein Darlehen) betrage am 1.1 eines bestimmten Jahres 100.000 EUR. Der Schuldzinssatz seip = 10%. Die Tilgung in Form einer Annuitatentilgung erfolge wie ublich am Jahresende. Die Annuitatbetrage A = 25.000 EUR.
a) Stellen Sie in einer Tabelle die Tilgungsbetrage Ti im Laufe der Zeit i fur die ersten drei Jahre dar.Hinweis:Die Tabelle soll so angelegt werden, dass der Gedankengang der Losung aus ihr ersichtlich ist.
b) Stellen Sie die Funktion i → Ti aus a) graphisch dar.Hinweise:
i) Beachten Sie, dass der Definitionsbereich das Intervall [0; 3] ist.
ii) Aus der Zeichnung muss unmissverstandlich hervorgehen, welche Funktionswerte zu den einzelnenWerten von i gehoren.
Losung:
a)Jahri
Rentenschuld Si
am Beginn desJahres i (in EUR)
Schuldzinsen Zi
des Jahres i(in EUR)
Tilgungsbetrag Ti desJahres i(in EUR ):Ti = A− Zi
Rentenschuld Si amEnde des Jahres i(in EUR): Si = S ′
i − Ti
1 100.000 0,1 · 100.000 =10.000
25.000 - 10.000 =15.000
100.000 - 15.000 =85.000
2 85.000 0,1 · 85.000 =8.500
25.000 - 8.500 = 16.500 85.000 - 16.500 =68.500
3 68.500 0,1 · 68.500 =6.850
25.000 - 6.850 = 18.150 68.500 - 18.150 =50.350
b) Es wird nur einmal pro Jahr getilgt (und zwar am Jahresende), d.h. eine Zahlung zur Verringerungder Schuld geleistet.
Bemerkung:
i) Die gepunkteten Linien sind nur zur optischen Verdeutlichung des Funktionsgraphen eingezeich-net.
ii) Alle Ti sind 0, außer fur i = 1, fur i = 2 und fur i = 3.
Zeit i (Jahre)
Tilgungsbetrag T (in DM)i20.000
18.150
16.500
15.000
10.000
Hinweis:Eine Funktion dieses Typs tritt in der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf: Wahrscheinlichkeitsverteilungeiner diskreten Zufallsvariablen: siehe
”Statistik“- Vorlesung im Sommersemester.
23
Aufgabe 3.3:
a) Wie lautet die Zinseszinsformel (in der ublichen Schreibweise)?
b) Geben Sie eine inhaltliche Interpretation der Zinseszinsformel in der Zinseszinsrechnung.
c) Wie ist der durchschnittliche Zinssatz p der Zinssatze p1, p2, . . . , pn inhaltlich definiert?
Hinweis:Es werde eine jahrliche Verzinsung angenommen und die genannten Zinssatze seien Jahreszinssatze.
d) Berechnen Sie den durchschnittlichen Zinssatz der Zinssatze
p1 = 3%, p2 = 3%, p3 = 4%, p4 = 5%, p5 = 7%, p6 = 9% .
Zur”sicheren Seite runden“ und eine Dezimale angeben.
Losung:
a) Kn = K0 · qn mit q = 1 + p100
.
b) Wird ein Kapital K0 n Jahre mit dem konstanten Jahreszinssatz p verzinst, so erhalt man am Endedes n-ten Jahres das Endkapital Kn einschließlich Zinsen und Zinseszinsen.
c) Wird ein Kapital n Jahre lang mit dem konstanten Jahreszinssatz p verzinst, so erhalt man (ein-schließlich Zinsen und Zinseszinsen) das gleiche Endkapital Kn wie bei der Verzinsung von K0 mit p1
im 1. Jahr, mit p2 im 2. Jahr, . . ., mit pn im n-ten Jahr.
d) Man berechne zunachst den durchschnittlichen Zinsfaktor q = 1 + p100
.
Man beachte, dass der durchschnittliche Zinssatz p nicht das arithmetische Mittel der einzelnenZinssatze ist und dass auch der durchschnittliche Zinsfaktor p nicht das arithmetische Mittel dereinzelnen Zinsfaktoren ist. Sondern:Der durchschnittliche Zinsfaktor q ist das geometrische Mittel der einzelnen Zinsfaktoren.
Sei qi der Zinsfaktor des i-ten Jahres. Dann ist:
q1 = 1, 03, q2 = 1, 03, q3 = 1, 04, q4 = 1, 05, q5 = 1, 07, q6 = 1, 09.
Also:q = 6
√1, 03 · 1, 03 · 1, 04 · 1, 05 · 1, 07 · 1, 09 = 6
√1, 351161816 = 1, 05144 . . . .
Wegen q = 1 + p100
folgt: p = 5, 144 . . . ≈ 5, 2.
Der durchschnittliche Zinssatz betragt zur”sicheren“ Seite auf eine Dezimale gerundet: p = 5, 2%.
Bemerkung:
”Runden zur sicheren Seite“ bedeutet hier aufrunden, um sicher zu stellen, dass mindestens das glei-
che Endkapital erreicht wird wie bei der jahrlichen Verzinsung mit den einzelnen (verschiedenen)Jahreszinssatzen.
Rundet man p ab auf p = 5, 1, so erhalt man nur K6 = K0 · 1, 0516 = K0 · 1, 3477 . . . anstelle vonK6 = K0 · 1, 35116 . . . . Bei K0 = 1000 EUR waren das fast 4 EUR zu wenig.
Aufgabe 3.4:
a) Geben Sie zwei Interpretationen der Zinseszinsformel aus zwei anderen Teilgebieten der Finanzma-thematik an.
b) In sechs aufeinander folgenden Jahren betrug das jahrliche Wachstum eines Wirtschaftszweiges Z (in% , gerundet auf jeweils eine Dezimale):
Jahr j 1996 1997 1998 1999 2000 2001Wachstumsrate rj
des j-ten Jahres4,8 2,6 2,2 1,9 1,5 1,1
Bemerkung:Die Wachstumsrate rj (in %) gibt die prozentuale Steigerung (bei rj > 0) des Umsatzes im j- tenJahr gegenuber dem (j − 1)-ten Jahr an.
24
c) i) Wie ist die durchschnittliche jahrliche Wachstumsrate r (in %) der Jahre 1 bis n inhaltlich (d.h.vom Sachproblem her) definiert?Bezeichnen Sie den Umsatz des ersten Jahres mit U1 , den des n- ten Jahres mit Un .
ii) Berechnen Sie aus den oben angegebenen Wachstumsraten die durchschnittliche jahrliche Wachs-tumsrate r der Jahre 1996 bis 2001 auf zwei Dezimalstellen.
iii) Interpretieren Sie den in ii) errechneten Wert von r mit konkretem Bezug auf den Umsatz imJahre 2001, ausgehend vom Umsatz des Jahres 1996.
Losung:
a) Kn = K0 · qn q = 1 + p100
b) Rentenrechnung:Rn = R0(1 + p
100)n
R0 : Barwert einer n-mal zahlbaren jahrlichen Rente
Rn : Endwert dieser Rente
n : Laufzeit (=Anzahl der Jahre) dieser Rente
p : (Jahres-)Zinssatz fur Verzinsung der Rentenzahlungen
oder Abschreibung:
Bn = B0(1 +p
100)n mit p < 0 oder Bn = B0(1−
p
100)n mit p > 0
B0 : Anschaffungswert (zu Beginn des 1. Jahres) eines Gegenstandes
[der geometrisch-degressiv n Jahre lang abgeschrieben wird]
Bn : Buchwert am Ende des n-ten Jahres
n : Anzahl der Jahre, die der Gegenstand abgeschrieben wird
p : (jahrlicher) Abschreibungsprozentsatz bei geometrisch- degressiver Abschreibung
oder Tilgung:
Tn = T1(1 +p
100)n−1 = T0(1 +
p
100)n
T0 : Schulden insgesamt
T1 : Tilgungsbetrag des 1. Jahres
Tn : Tilgungsbetrag des n-ten Jahres
n : Dauer der Tilgung [in Jahren]
p : Schuldzinssatz
c) i) Wenn U1 jedes Jahr um r% wachst, dann erhalt man im n- ten Jahr den gleichen Umsatz Un
wie bei den Wachstumsraten r1 im 1. Jahr, r2 im 2. Jahr usw. rn im n-ten Jahr
ii) geometrisches Mittel der Wachstumsfaktoren:
q = 6√
1, 048 · 1, 026 · 1, 022 · 1, 019 · 1, 015 · 1, 011 = 6√
1, 149081734
q = 1, 023430809 =⇒ q = 1 + r100
r = 2, 34% .
iii) Wenn der Umsatz des Jahres 1996 jedes Jahr um 2,34 % gegenuber dem Umsatz des Vorjahressteigt, so erhalt man 2001 den Umsatz U6 [den man erhalt, wenn der Umsatz des Jahres 1996 um4,8 % steigt, der Umsatz des Jahres 1997 um 2,6 % steigt usw.].
25
Aufgabe 3.5:
a) Berechnen Sie den Endwert R3 einer dreimal zahlbaren jahrlichen nachschussigen Rente r = 10000 EUR,die mit 5% verzinst wird.Machen Sie eine tabellarische Darstellung des Gedankengangs (wie in der Vorlesung).
b) Interpretieren Sie den in a) errechneten Endwert.
c) Berechnen Sie den Barwert R0 der in a) gegebenen Rente.
d) Interpretieren Sie den in c) berechneten Barwert R0 auf zwei Arten.
Losung:
a)Jahr Kontostand Zinsen Zahlung der Rente Kontostand
zu Beginn am Ende am Ende am Endedes Jahres i des Jahres i des Jahres i des Jahres i
[i] [EUR] [EUR] [EUR] [EUR]1 0 0 10.000 10.0002 10.000 500 10.000 20.5003 20.500 1.025 10.000 31.525
b) Der Endwert der Rente (R3) betragt 31.525 EUR. Am Ende der Laufzeit der Rente (in dieser Aufgabe:Ende des dritten Jahres) haben sich aus den Rentezahlungen, den Zinsen und den Zinseszinsen 31.525EUR auf den Konto angesammelt.
c) Barwert der Rente: R0 , Jahreszinssatz: p = 5 % , Anzahl der Jahre: n = 3
Rn = R0 · qn q = 1 + p100
= 1 + 5100
= 1, 05
R0 = R3
qn = 31.5251,053 = 27232, 48 EUR
d) Interpretation 1:Wenn man zu Beginn der Laufzeit der Rente (d.h. zu Beginn des 1. Jahres) 27.232,48 EUR auf einKonto einzahlt und die Betrage auf dem Konto jahrlich mit 5 % verzinst, dann erhalt man am Endeder Laufzeit der Rente (d.h. am Ende des 3. Jahres) einschließlich Zinsen und Zinseszinsen einenKontostand von 31.525 EUR (Endwert).
Interpretation 2:Wenn man zu Beginn der Laufzeit der Rente (d.h. zu Beginn des 1. Jahres) 27.232,48 EUR auf einKonto einzahlt und die Betrage auf dem Konto jahrlich mit 5 % verzinst und wenn man am Endeeines jeden Jahre die Rente von 10.000 EUR vom Konto abhebt, dann ist der Kontostand am Endeder Laufzeit der Rente (d.h. am Ende des 3. Jahres) 0 EUR.
Aufgabe 3.6:
Ein Gegenstand mit einem Anschaffungswert von 10.000 EUR wird
a) linear b) degressiv c) digital
abgeschrieben. Der Abschreibungsbetrag des 1. Jahres sei in allen Fallen 3.000 EUR.Bei der digitalen Abschreibung sei der jahrliche Differenzbetrag 500 EUR. Berechnen Sie durch Anwendungder Definition der linearen, degressiven und digitalen Abschreibung die Buchwerte am Ende des 1., 2., und3. Jahres und stellen sie anschließend in einer Tabelle ubersichtlich zusammen.
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Losung:
3.000 EUR von 10.000 EUR sind 30 %.
a) Bei der linearen Abschreibung werden jedes Jahr 30 % vom Anschaffungswert, also jeweils 3000 EUR,abgeschrieben. Der Buchwert verringert sich um 3000 EUR.
b) Bei der degressiven Abschreibung werden jedes Jahr 30 % vom letzten Buchwert abgeschrieben.Im ersten Jahr also 3000 EUR; der Buchwert ist dann 10.000− 3.000 = 7.000EUR.Im zweiten Jahr werden 30 % von 7.000, das sind 30
100·7.000 = 2.100 EUR, abgeschrieben; der Buchwert
also 7.000− 2.100 = 4.900.Im dritten Jahr werden 30 % von 4.900, das sind 30
100·4.900 = 1.470 EUR, abgeschrieben; der Buchwert
also 4.900− 1.470 = 3.430.
c) bei der digitalen Abschreibung verringert sich der Abschreibungsbetrag jedes Jahr um 500 EUR.Betragt er im ersten Jahr 3.000 EUR, so sind es im zweiten Jahr 2.500 EUR, im dritten 2.000 EUR.
Buchwert (in EUR) Abschreibung
am Ende des linear degressiv digital
1. Jahres 7.000 7.000 7.000
2. Jahres 4.000 4.900 4.500
3. Jahres 1.000 3.430 2.500
4 Spezielle Funktionen
Aufgabe 4.1:
a) Wie ist die Eulersche Zahl e definiert?
b) Zu welcher Teilmenge von R gehort e und was bedeutet dies fur die Darstellung von e als Dezimalzahl?
c) Geben Sie eine inhaltliche Deutung von e in der Zinseszinsrechnung.
d) Nennen Sie ein Beispiel fur einen biologischen Prozess, bei dem die Zahl e eine wesentliche Rollespielt.
e) Geben Sie eine Funktionsgleichung an, mit der dieser biologische Prozess beschrieben werden kannund geben Sie die biologische Bedeutung aller Variablen, die in dieser Funktionsgleichung vorkommen,an.
Losung:
a) limk 7→∞
(1 + 1k)k = e
b) e ∈ I (Menge der irrationalen Zahlen). Die Eulersche Zahl kann nur naherungsweise als Dezimalzahlgeschrieben werden, da es unmoglich ist unendlich viele Dezimalstellen hinzuschreiben (es gibt keinePeriode endlicher Lange).
c) Wird ein Kapital von einer Geldeinheit ein Jahr lang mit einem Jahreszinssatz von 100% stetigverzinst (d.h. in jedem Augenblick), so wachst dieses Kapital auf e Geldeinheiten an.
d) Wachstum einer Population (z. B. einer Bakterienkolonie),
- bei der die Vermehrungsrate konstant ist.- oder: der genugend Raum und Nahrung zur Verfugung steht, bei konstanten außeren Bedingun-
gen, z. B. Feuchtigkeit, Temperatur, Licht usw.
e) y = c · ebx
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x : Zeity : Anzahl der Individuen zum Zeitpunkt xc : Anzahl der Individuen zum Zeitpunkt x = 0 (
”Anfangspopulation“)
b : b = ln ν , wobei ν die Vermehrungsrate (= Vermehrungsfaktor) ist.
Aufgabe 4.2:
a) Nennen Sie einen biologischen Prozess, der durch das mathematische Modell
y(t) = c · ebt mit b, c = const., b, c ∈ R, c > 0
beschrieben werden kann.Es ist dazu erforderlich, die biologische Bedeutung der Variablen y und t sowie die der Parameterb und c anzugeben, sowie auch die Voraussetzungen, unter denen der genannte biologische Prozeßdurch das obige mathematische Modell beschrieben werden kann. Fur b und c begrunden Sie dieangegebene biologische Bedeutung.Hinweise:
i) Formulierungen wie”y beschreibt ...“ oder
”y entspricht ...“ oder
”b beschreibt ...“ sind zu
ungenau. Es muss konkret formuliert werden:”y ist ...“ bzw.
”b ist ...“; entsprechend naturlich
auch bei t und c.ii) Zur biologischen Bedeutung des Parameters b siehe auch Aufgabenteil b).iii) Wenn erforderlich, geben Sie die Einheiten an, in denen y und t gemessen werden.
b) Die Wachstumsrate v12 einer Population zwischen zwei Zeitpunkten t2 und t1 ist definiert als
v12 =y(t2)
y(t1), wobei t2 eine Zeiteinheit nach t1 gewahlt wird.
Berechnen Sie v12 fur das in a) gegebene mathematische Modell und interpretieren Sie das Ergebnis.
c) Welche drei charakteristischen Falle gibt es bei der Wachstumsrate und welche inhaltliche Bedeutung(in Bezug auf die Population) haben sie?Hinweis: Wer diese Falle vergessen hat, kann sie sich uber den Zusammenhang zwischen v12 und berschließen. Bedeutung von b aus dem Funktionsgraphen ablesen!
Losung:
a) Entwicklung (Wachstum) einer Bakterienkultur (im Laufe der Zeit), der genugend Raum und Nahrungzur Verfugung steht, bei konstanten außeren Bedingungen (Temperatur, Licht usw.).
t: Zeit (z.B. gemessen in Stunden oder Tagen);
y(t): Anzahl der Individuen zum Zeitpunkt t;
c: Anzahl der Individuen zum Zeitpunkt t = 0, da y(0) = c · eb·0 = c · 1 = c;
b: naturlicher Logarithmus der Wachstumsrate (siehe Teil b) der Aufgabe.)
Bemerkung:
i) t ist die physikalische Große”Zeit“ und nichts anderes. Falsch sind daher: Zeitraum, Zeitabschnitt,
Zeitintervall, Zeiteinheit.
ii)”Optimale außere Bedingungen“ sind nicht erforderlich. Auch wenn keine optimalen außeren
Bedingungen vorliegen, kann ein exponentielles Wachstum erfolgen, wie es mit dem gegebenenmathematischen Modell beschrieben werden kann. Die Vermehrung zum Beispiel ist tempera-turabhangig. Bei niedriger Temperatur vermehren sich die Bakterien nur langsam. Steigt dieTemperatur, vermehren sich die Bakterien schneller. Die Wachstumsrate (=Vermehrungsrate) istdann großer. Lebensmittel im Kuhlschrank (niedrige Temperatur) halten langer als außerhalb desKuhlschranks (hohere Zimmertemperatur). Entscheidend dafur, dass ein Wachstum exponenti-ell erfolgt, ist (u.a.) eine konstante Temperatur, nicht eine
”optimale“ Temperatur, bei der die
Wachstumsrate maximal ist.
28
b) Da t2 eine Zeiteinheit nach t1 liegt, ist t2 = t1 + 1. Also:
v12 =y(t2)
y(t1)=
y(t1 + 1)
y(t1)=
c · eb(t1+1)
c · ebt1= ebt1+b−bt1 = eb = const.
Interpretation: Die Wachstumsrate ist konstant; sie hangt nicht davon ab, zwischen welchen Zeit-punkten t1 und t1 + 1 die Wachstumsrate berechnet wird. Kurzer sagt man: die Wachstumsrate istzeitunabhangig.
c) Die Wachstumsrate ist stets großer Null: v12 = y(t2)y(t1)
mit t2 > t1. Da y(t2) > 0 und y(t1) > 0, denn
y(t2) und y(t1) sind Anzahlen (hier: Anzahl der Bakterien), ist auch der Quotient großer Null.
v > 1 bedeutet: Die Anzahl der Individuen nimmt zu (die Population wachst). Denn aus v12 > 1 folgty(t2) > y(t1): zum spateren Zeitpunkt t2 gibt es mehr Individuen als zum fruheren Zeitpunkt t1.
v = 1 bedeutet: Die Individuenzahl bleibt konstant (Begrundung analog).
0 < v < 1 bedeutet: Die Individuenzahl sinkt. Die Population nimmt ab.
Aufgabe 4.3:
a) i) Geben Sie den Definitionsbereich D und den Wertebereich W der Funktion y = a ·√
x fur a > 0an. Eine Begrundung wird nicht verlangt.
ii) Zeichnen Sie den Graphen von y = a ·√
x”frei aus der Hand“ fur 0 < a < 1, a = 1, a > 1 in ein
Koordinatensystem. Eine Begrundung wird nicht verlangt.
Hinweis: Bei den Graphen muss die Zuordung zu den Werten des Parameters a eindeutig er-kennbar sein.
b) Untersuchen Sie f(x) = ca+x2 , wobei a, c ∈ R+ seien.
Geben Sie ohne Begrundung an:
i) den Definitionsbereich D,
ii) den Wertebereich W (Hinweis: Ergebnis aus 5.) verwenden !),
iii) Symmetrie-Eigenschaften,
iv) Verhalten fur x →∞ und fur x → −∞,
v) (ab hier: Darstellung des Gedankengangs erforderlich):
Mit Hilfe der Differentialrechnung untersuche man die Funktion auf lokale Extrema,
vi) Skizze des Funktionsgraphen.
Hinweis: Eine Untersuchung auf Wendepunkte soll nicht erfolgen.
Losung:
a) i)√
x ist definiert fur alle nicht-negativen reellen Zahlen, also fur x ≥ 0; daher:
D = R+0 , ausfuhrlicher: {x|x ≥ 0, x ∈ R}.
√x ist nach Definition eine nicht-negative reelle Zahl y ( also y ≥ 0), fur die gilt: y2 = x. Daher:
W = R+0 .
Hinweis: Wurzeln (Definition, Rechenregeln, Eigenschaften) werden behandelt im Skriptum
”Schulmathematik“ im Kapitel III.3.
29
0 < a < 1
a = 1
a > 1
x
y
y = a ·√
x
6
-Bemerkungen:i) Wer vergessen hat, wie der Graph y =
√x aussieht, kann mit Hilfe des Taschenrechners eine
Wertetabelle erstellen und dann zeichnen.ii) Im Punkt O(0/0) ist die y-Achse Tangente an alle drei Kurven. Man uberzeuge sich davon,
indem man die Ableitung der Funktion bildet und darin x gegen 0 konvergieren lasst.iii) Die Aufgabenstellung
”Zeichnen Sie den Graphen fur a > 1“ kann nur so verstanden werden,
dass der Graph fur ein bestimmtes a > 1 gezeichnet wird und keineswegs fur alle a > 1: Eskonnen nicht unendlich viele Graphen gezeichnet werden.
b) i) D = R, denn fur alle x ∈ R gilt x2 ≥ 0, so dass wegen a > 0 auch x2 + a > 0. Daher ist auch derBruch und somit auch die Funktion fur alle x definiert.
ii) Da x2 +a > 0 und auch c > 0, ist der Bruch und somit auch die Funktion f(x) > 0 fur alle x ∈ R.Da das Maximum der Funktion c
aist, (siehe 5.)), folgt f(x) ≤ c
afur alle x ∈ R. Zusammengefaßt:
0 < f(x) ≤ c
a.
Somit ist der Wertebereich W = {y|0 < y ≤ ca}. Kurzer, in der vereinfachten Schreibweise als
Intervall: W = (0, ca].
iii) Der Graph der Funktion f(x) ist symmetrisch bezuglich der y- Achse, wenn f(x) = f(−x) furalle x ∈ D. Diese Bedingung ist erfullt, da wegen (−x)2 = x2 fur alle x ∈ R folgt:
f(−x) =c
a + (−x)2=
c
a + x2= f(x).
Also: der Graph von f(x) ist symmetrisch bezuglich der y-Achse.iv) Sowohl die positive als auch die negative x-Achse sind Asymptoten des Graphen der gegebenen
Funktion.
limx→∞
c
a + x2= 0, denn a + x2 wachst fur x → ∞ uber alle Schranken, so dass
c
a + x2→ 0 ist.
Entsprechend: limx→−∞
c
a + x2= 0.
v) Zur Untersuchung von Funktionseigenschaften mit Hilfe der Ableitungen wird u.a. eine hinrei-chende Bedingung fur lokale Extrema benotigt. Die erste Ableitung der gegebenen Funktionberechnet man am schnellsten mit der Potenz- und Kettenregel:
f(x) = c · (a + x2)−1 ⇒ f ′(x) = c · (−1) · (a + x2)−1−1 · (0 + 2 · x2−1) =−2cx
(a + x2)2. f ′(x) = 0
fur x = 0, denn f ′(0) =−2c · 0
(a + 02)2=
0
a2= 0.
Die 2. Ableitung berechnet man mit der Quotientenregel:
f(x) =u(x)
v(x)hat die Ableitung f ′(x) =
u′(x) · v(x)− u(x) · v′(x)
(v(x))2.
30
Also f ′′(x) =−2c · 1 · (a + x2)2 − (−2cx) · 2 · (a + x2)2−1 · (0 + 2 · x2−1)
(a + x2)4.
Da bei der 2. Ableitung lediglich festgestellt werden muss, ob f ′′(0) großer, kleiner oder gleich 0ist, braucht (a) weder umgeformt noch vereinfacht zu werden:
f ′′(0) =−2c · a2
a4=−2c
a2< 0, da a2 > 0 und − 2c < 0 wegen c > 0.
Die hinreichende Bedingung”Wenn f ′(x1) = 0 und f ′′(x1) < 0, dann hat f(x) an der Stelle x1
ein lokales Maximum“ ist bei der gegebenen Funktion an der Stelle x1 = 0 erfullt: f ′(0) = 0 undf ′′(0) < 0.Das lokale Maximum ist dann
fmax = f(0) =c
a + 02=
c
a
x
y
6
-
f(x) = ca+x2
ca
Bemerkung im Hinblick auf ii): Das lokale Maximum ist zugleich das absolute Maximum, daf(x) fur x →∞ streng monoton fallend ist und ebenso fur x → −∞.
Aufgabe 4.4:
a) Geben Sie den Definitionsbereich D und den Wertebereich W von y =√
x + b, wobei b ∈ R, an. EineBegrundung wird nicht verlangt.
b) Zeichnen Sie den Funktionsgraphen von y =√
x + b fur b = 0, fur ein b mit b > 0 und fur ein b mitb < 0
”frei aus der Hand“ in ein Koordinatensystem.
Hinweis:i) Es heißt im Aufgabentext
”in ein Koordinatensystem“. Es heißt nicht
”in je ein Koordinatensy-
stem“.ii) Aus der Zeichnung muss unmissverstandlich hervorgehen, welcher Graph zu welchem Wert b
gehort.
Losung:
a)√
a ist (im Bereich der reellen Zahlen) nur fur a ≥ 0 definiert. Daher ist√
x + b nur definiert furx + b ≥ 0 ⇔ x ≥ −b.
Also: D = {x |x ≥ −b}, kurzer: D = [−b,∞).Der Wertebereich ist W = {y|y ≥ 0} = R+
0 , nach Definition der Wurzel.
b)
x
y
6
-
y =√
x + b fur b > 0
y =√
x
y =√
x + b fur b < 0
Bemerkung• Die drei Graphen gehen durch Parallel-
verschiebung auseinander hervor.
• Im gemeinsamen Punkt von Graph undx-Achse ist die Kurventangente eineParallele zur y-Achse (bei b < 0 undbei b > 0) bzw. die y-Achse selbst (beib = 0). Man uberzeuge sich davon, in-dem man die Ableitung der Funktiony =
√x + b an der Stelle x = −b un-
tersucht.
31
Aufgabe 4.5:
Ein Bio-Bauer begann 1998 mit der Selbstvermarktung seiner Produkte. Daraus erzielte er im Jahr 1998einen Erlos (=Summe aller Einnahmen aus dem Verkauf der Produkte) von (auf die heutige Wahrungumgerechnet) 125.000 EUR.In den folgenden Jahren ergaben sich folgende prozentuale Steigerungen Si(%) der Erlose (jeweils gegenuberdem Vorjahr):
Jahr i 1999 2000 2001 2002 2003Si 16% 10% 8% 5% 4%
a) Berechnen Sie den Erlos E1999, E2000, E2001, E2002, E2003 in EUR fur die Jahre 1999, 2000, 2001, 2002,2003.Runden Sie auf eine sinnvolle Stellenzahl!
b) Berechnen Sie die durchschnittliche jahrliche Steigerung S(%) der Erlose in Prozent aus den in derTabelle gegebenen Daten.
c) Berechnen Sie die durchschnittliche jahrliche Steigerung S(EUR) der Erlose in EUR.
Hinweise zu b) und c):Vor der Rechnung mussen S(%) und S(EUR) inhaltlich definiert werden. Ohne diese Definition konnenS(%) und S(EUR) nicht berechnet werden.
Losung:
a) E1999=E1998·1, 16=125.000·1, 16=145.000 EURE2000=E1999·1, 10=145.000·1, 10=159.500 EURE2001=E2000·1, 08=159.500·1, 08=172.260 EURE2002=E2001·1, 05=172.260·1, 05=180.873 EURE2003=E2002·1, 04=180.873·1, 04=188.107, 92 EUR
.
Gerundet auf sinnvolle Stellenzahl:E1999=145.000, E2000=159.000, E2001= 172.000, E2002=181.000, E2003=188.000 EUR.
Hinweis:Der Erlos des Jahres 1998 in Hohe von 125.000 EUR ist ein gerundeter Wert, er hat drei
”geltende“
Stellen. Auch die Prozentsatze (Steigerung der Erlose) sind gerundete Werte, gerundet auf volle Pro-zent. Es ist daher unsinnig, die Erlose der folgenden Jahre auf Euro gar auf Cent genau anzugeben.Damit wird eine Genauigkeit der Aussage vorgetauscht, die nicht vorhanden ist. Im Aufgabentextwird ausdrucklich das Runden auf eine sinnvolle Stellenzahl verlangt.Hier: auf 1000 Euro runden. Gerechnet wird aber selbstverstandlich mit den ungerundeten Werten.
b) S(%) ist diejenige Erlossteigerung in (%), die, ausgehend vom 125.000 EUR Erlos im Jahre 1998 jedesJahr auf den jeweiligen Erlos angewendet, im Jahr 2003 einen Erlos vom 188.107,92 EUR ergibt:
125.000 · (1 + S(%)100
)5 = 125.000 · 1, 16 · 1, 10 · 1, 08 · 1, 05 · 1, 04 = 188.107, 92
1 + S(%)100
= 5√·1, 16 · 1, 10 · 1, 08 · 1, 05 · 1, 04 = 1, 08517 . . .
S(%) = 8, 5%
.
c) S(EUR) ist diejenige Erlossteigerung in EUR, die ausgehend von einem Erlos von 125.000 EURim Jahre 1998, jedes Jahr zum vorhandenen Erlos dazu gezahlt fur das Jahr 2003 einen Erlos von188.107,92 EUR ergibt:
E2003 = E1998 + 5 · S(EUR)
S(EUR) =E2003 − E1998
5=
188.107, 92− 125.000
5
S(EUR) = 12621, 584; gerundet; 12.600 EUR.
32
5 Differentialrechnung
Aufgabe 5.1:
Der Abstand der Punkte P (x/y) und Pi(xi/yi) sei gegeben durch
PPi =√
(x− xi)2 + (y − yi)2
(Abstandsbegriff nach dem Satz des Pythagoras)a) Berechnen Sie die Summe S(x, y) der Abstandsquadrate der Punkte
P1(x1/y1) , P2(x2/y2) , · · · , Pk(xk/yk) vom Punkt P (x/y) .
b) Fur welchen Punkt P (x/y) hat die in a) genannte Funktion S(x, y) ein strenges lokales Minimum?
Verwenden Sie folgende Abkurzungen :1
k
k∑i=1
xi = x ,1
k
k∑i=1
yi = y
Hinweis: Fur die Losung von b) benutzen Sie den folgenden in derVorlesung behandelten Satz:
f(x, y) sei zweimal partiell nach x und nach y differenzierbar.Wenn fx(x0, y0) = 0 und fy(x0, y0) = 0 und ∆(x0, y0) = (fxxfyy − fxyfyx)(x0, y0) > 0und fxx(x0, y0) > 0 und fyy(x0, y0) > 0 , dann hat f(x, y) an (x0, y0) ein lokales Minimum.
Losung:
a) Die Summe der Abstandsquadrate mit Hilfe des Abstandes der Punkte:
S(x, y) =k∑
i=1
[(x− xi)
2 + (y − yi)2]
b) Anhand des vorgegebenen Satzes der Aufgabe 1 folgt:
Sx(x, y) =k∑
i=1
2(x− xi) = 0, Sy(x, y) =k∑
i=1
2(y − yi) = 0
Sxx(x, y) =k∑
i=1
2 · 1 = 2k, Sxy(x, y) =k∑
i=1
0 = 0
Syx(x, y) =k∑
i=1
0 = 0, Syy(x, y) =k∑
i=1
2 · 1 = 2k
k∑i=1
2(x− xi) = 0 ⇐⇒k∑
i=1
x−k∑
i=1
xi = 0 ⇐⇒ kx =k∑
i=1
xi ⇐⇒ x =1
k
k∑i=1
xi = x
Analog fur y = y:k∑
i=1
2(y − yi) = 0 ⇐⇒k∑
i=1
y −k∑
i=1
yi = 0 ⇐⇒ ky =k∑
i=1
yi ⇐⇒ y =1
k
k∑i=1
yi = y
∆(x, y) = 2k · 2k − 0 · 0 = 4k2
∆(x, y) = 4k2 > 0, da k ∈ NSxx(x, y) = 2k > 0, da k ∈ NSyy(x, y) = 2k > 0, da k ∈ N
Nach Satz 2.b hat die Funktion S(x, y) im Punkt P (x/y) ein strenges lokales Minimum.
33
Aufgabe 5.2:
Gegeben sei
f(x) =1
a + bx2mit a, b ∈ R+ (also a, b > 0).
a) Geben Sie den Definitionsbereich D an.
b) Geben Sie den Wertebereich W an (Hinweis: Ergebnis aus i) verwenden).
c) Untersuchen Sie auf Symmetrieeigenschaften.
d) Untersuchen Sie das Verhalten fur x →∞ und fur x → −∞.
Hinweis zu a)-d): Jeweils kurze Begrundung.
e) Wie lautet die Quotientenregel?
Hinweis: Mit Regel ist hier nicht der mathematische Satz gemeint, sondern nur die Aussage desmathematischen Satzes als Formel.
f) Geben Sie aus der Differentialrechnung eine hinreichende Bedingung dafur an, dass eine Funktiong(x) an der Stelle x1 ein lokales Extremum hat.
g) Geben Sie aus der Differentialrechnung eine notwendige Bedingung dafur an, dass eine Funktion g(x)an der Stelle x1 ein lokales Extremum hat.
h) Welche Bedingung wird benotigt, um von den Eigenschaften der Ableitung(en) auf Eigenschaften derFunktion zu schließen?
i) Zeigen Sie ohne Verwendung der Differentialrechnung, ausgehend von den bekannten Eigenschaftender Funktion h(x) = x2, dass die oben genannte Funktion f(x) an der Stelle x = 0 ein lokalesMaximum hat.
j) Skizzieren Sie den Graphen von f(x)”frei aus der Hand “.
Losung:
a) D = R, denn: x2 ≥ 0 fur alle x ⇒ a + bx2 > 0 (wegen a > 0, b > 0) fur alle x ⇒ 1a+bx2 (> 0) ist
definiert fur alle x.
b) W = {x|0 < x ≤ 1a} = (0, 1
a] nach a) und i).
c) Der Graph ist symmetrisch bezuglich der y-Achse, da
f(−x) =1
a + b(−x)2=
1
a + bx2= f(x).
d) Es ist, siehe a), a + bx2 > 0 fur alle x. Fur x →∞ wachst daher a + bx2 uber alle Schranken, d.h.
1
a + bx2→ 0, also lim
x→∞
1
a + bx2= 0.
Entsprechend:
limx→−∞
1
a + bx2= 0.
Geometrisch bedeutet dies, dass sowohl die negative als auch die positive x-Achse Asymptoten sind.
Bemerkung:
i)”x wachst uber alle Schranken“ bedeutet, dass x jede noch so große Zahl ubersteigt.
34
ii)”Weil x immer großer wird, wird y immer kleiner“ als Begrundung dafur zu geben, dass die
positive x-Achse Asymptote ist, reicht nicht aus.
Beispiel: Sei a = 1 und b = 1.Bei x1 = 1, 9; x2 = 1, 99; x3 = 1, 999; . . . wird x immer großer. Dann ist
y1 =1
1 + 1, 92, y2 =
1
1 + 1, 992, y3 =
1
1 + 1, 9992, . . .
y wird immer kleiner (uberzeugen Sie sich mit Hilfe des Taschenrechners davon), ohne dass jedochy → 0, sondern es gilt: y → 0, 2.
e)(
uv
)′= u′v−v′u
v2 .
f) g′(x1) = 0 und g′′(x1) 6= 0.
g) g′(x1) = 0.
h) Eine hinreichende Bedingung.
i) Ein Bruch mit konstantem Zahler ist maximal, wenn der Nenner minimal ist.x2 ist minimal fur x = 0, daher (wegen b > 0) auch bx2 und auch a + bx2. Das Maximum ist daher
f(0) =1
a + b · 02=
1
a.
j) Der Graph ist eine”Glockenkurve“.
x
y
6
-
f(x) = 1a+bx2
1a
Aufgabe 5.3:
Untersuchen Sie f(x, y) = 10x2 + 40xy + 5y2 − 20x − 80y + 282 mit Hilfe der folgenden Satze auf lokaleMinima.
Satz 1: f(x, y) sei partiell nach x und y differenzierbar. Wenn f(x, y) an der Stelle (a, b) ein lokalesExtremum hat, dann gilt: fx(a, b) = 0 und fy(a, b) = 0.
Satz 2: f(x, y) sei an der Stelle (a, b) zweimal partiell differentierbar. Es sei∆(x, y) = (fxxfyy − fxyfyx)(x, y). Dann gilt:
a) Wenn fx(a, b) = 0 und fy(a, b) = 0 und ∆(a, b) > 0, dann hat f(x, y) an der Stelle (a, b) ein lokalesExtremum.
b) Wenn fx(a, b) = 0 und fy(a, b) = 0 und ∆(a, b) > 0 und fxx(a, b) > 0 und fyy(a, b) > 0, dann hatf(x, y) an der Stelle (a, b) ein lokales Minimum.
c) Wenn fx(a, b) = 0 und fy(a, b) = 0 und ∆(a, b) > 0 und fxx(a, b) < 0 und fyy(a, b) < 0, dann hatf(x, y) an der Stelle (a, b) ein lokales Maximum.
Satz 3: f(x, y) sei an der Stelle (a, b) zweimal partiell differenzierbar. Es sei∆(x, y) = (fxxfyy − fxyfyx)(x, y). Dann gilt: Wenn ∆(a, b) < 0, dann hat f(x, y) an der Stelle (a, b) keinlokales Extremum.
35
Losung:
Man bildet zunachst die partielle Ableitung nach x und die nach y:
fx(x, y) = 20x + 40y − 20; fy(x, y) = 40x + 10y − 80.
Hier erkennt man, dass alle zweiten partiellen Ableitungen konstant sind, da x und y jeweils nur in derersten Potenz vorkommen. Wenn dann ∆ < 0 ist fur alle x, y, ist Satz 3 anwendbar und man kann sichdie Losung des linearen Gleichungssystems fx(x, y) = 0 und fy(x, y) = 0 sparen.Die zweiten partiellen Ableitungen sind:
fxx(x, y) = 20; fxy(x, y) = 40; fyx(x, y) = 40; fyy(x, y) = 10,
so dass∆(x, y) = (fxx · fyy − fxy · fyx)(x, y) = 20 · 10− 40 · 40 = −1400 < 0 fur alle x, y .
Nach Satz 3 hat daher f(x, y) keine lokalen Extrema und damit auch keine lokalen Minima.
Aufgabe 5.4:a) Berechnen Sie
S(b, c) =3∑
i=1
a2i ,
wobeiai = |yi − (bxi + c)|
der senkrechte Abstand des PunktesPi von der Geraden y = bx + c istund P1(0/4), P2(1/5), P3(5/0), siehenebenstehende Skizze.
b) Untersuchen Sie die in a) ermittelte Funktion S(b, c) auf ein lokales Minimum mit Hilfe des aus derVorlesung bekannten Satzes:
”f(x, y) hat an der Stelle (x0, y0) ein lokales Minimum, wenn fx(x0, y0) = 0 und fy(x0, y0) = 0 und
∆(x0, y0) = (fxxfyy − fxyfyx)(x0, y0) > 0 und fxx(x0, y0) > 0 und fyy(x0, y0) > 0“.Falls S(b, c) ein lokales Minimum hat, geben Sie die Stelle P des lokalen Minimums an.
c) Setzen Sie die fur b und c ermittelten Werte in y = bx + c ein und bringen Sie die Geradengleichungauf die Achsenabschnittsform.
d) Lesen Sie aus der Abbildung des Aufgabentextes die Gleichung der eingezeichneten Geraden in derAchsenabschnittsform ab und vergleichen Sie sie mit dem Ergebnis aus c).
e) Nach der Stelle P des lokalen Minimums bestimmen Sie nun das lokale Minimum Smin der FunktionS(b, c).
Hinweis: In dieser Aufgabe muss erheblich mehr gerechnet werden als in den Aufgaben 1 und 2. Sie solltendaher uberlegen, ob Sie diese Aufgabe als letzte bearbeiten.
Losung:
a) S(b, c) =3∑
i=1
a2i =
3∑i=1
|(yi − (bxi + c))2| = (4− (b · 0 + c))2 + (5− (b · 1 + c))2 + (0− (b · 5 + c))2
= (4−c)2+(5−b−c)2+(−5b−c)2 = 16−8c+c2+25+b2+c2+2bc−10b−10c+25b2+10bc+c2
= 3c2 + 26b2 + 12bc− 10b− 18c + 41
36
b) Sb(b, c) = 52b + 12c− 10 = 0
Sc(b, c) = 12b + 6c− 18 = 0
A = detA = det
(52 1212 6
)=
∣∣∣∣ 52 1212 6
∣∣∣∣ = 312− 144 = 168
Ab = detAb = det
(10 1218 6
)=
∣∣∣∣ 10 1218 6
∣∣∣∣ = 60− 216 = −156
Ac = detAc = det
(52 1012 18
)=
∣∣∣∣ 52 1012 18
∣∣∣∣ = 936− 120 = 816
b =Ab
A=−156
168= −0, 92857 . . . ,
c =Ac
A=
816
168= 4, 85714 . . .
Sbb = 52 Sbc = 12
Scb = 12 Scc = 6
∆(b, c) = 52 · 6− 12 · 12 = 168
∆(−0, 93; 4, 86) = 168 > 0
Sbb(−0, 93; 4, 86) = 52 > 0
Scc(−0, 93; 4, 86) = 6 > 0
Nach dem zitierten Satz folgt:S(b, c) hat im Punkt P (−0, 93/4, 86) ein lokales Minimum.
c) y = −0, 92857x + 4, 85714; gerundet auf zwei Dezimalen.y
4, 85+
x
5, 23= 1
d)y
5+
x
6= 1
Die zwei Gleichungen (aus den Teilaufgaben c) und d)) sind ahnlich, d.h. mit Hilfe der eingezeichnetenGerade ergibt sich eine gute Annaherung fur die Bestimmung von b und c.
e) Smin(b, c) = 3c2 + 26b2 + 12bc− 10b− 18c + 41 = 3 · 4, 857142 + 26 · (−0, 92857)2
+ 12 · 4, 85714 · (−0, 92857)− 10 · (−0, 92857)− 18 · 4, 85714 + 41 = 1, 9239 ≈ 1, 92
Aufgabe 5.5:
a) Untersuchen Sie mit Hilfe der o.g. Satze die Funktion
f(x, y) = 4− (2x− 5y)2
auf lokale Extrema.Wenn Sie lokale Exrema gefunden haben, geben Sie an, ob es lokale Minima oder lokale Maximasind. Geben Sie mit Hilfe der oben genannten Satze auch die Stellen an, an denen die Funktion keinelokalen Extrema hat.Hinweis: Geben Sie bei allen Folgerungen an, auf welchen Satz Sie sich beziehen. Es genugt, dieNummer des Satzes anzugeben.
b) Die lokalen Extrema der in a) gegebenen Funktion konnen Sie ohne Kenntnisse der Differentialrech-nung bestimmen. Geben Sie mit entsprechender Begrundung die Stellen der lokalen Extrema (lokalesMaximum oder lokales Minimum) an. Geben Sie eine geometrische-geographische Interpretation.
37
Fur die Bearbeitung dieser Aufgabe stehen folgende Satze, die Ihnen aus der Vorlesung bekannt sind, zurVerfugung.
Satz 10: f(x, y) sei partiell nach x und nach y differenzierbar.Wenn f(x, y) an (x0, y0) ein lokales Extremum hat, dann gilt: fx(x0, y0) = 0 und fy(x0, y0) = 0.
Satz 11: f(x, y) sei an den Stellen (x0, y0) zweimal partiell differenzierbar. Es sei∆(x, y) = (fxxfyy − fxyfyx)(x, y). Dann gilt:
a) Wenn fx(x0, y0) = 0 und fy(x0, y0) = 0 und ∆(x0, y0) > 0, dann hat f(x, y) an (x0, y0) ein lokalesExtremum.
b) Wenn fx(x0, y0) = 0 und fy(x0, y0) = 0 und ∆(x0, y0) > 0 und fxx(x0, y0) > 0 und fyy(x0, y0) > 0,dann hat f(x, y) an (x0, y0) ein lokales Minimum.
c) Wenn fx(x0, y0) = 0 und fy(x0, y0) = 0 und ∆(x0, y0) > 0 und fxx(x0, y0) < 0 und fyy(x0, y0) < 0,dann hat f(x, y) an (x0, y0) ein lokales Maximum.
Satz 12: Die Voraussetzungen seien wie bei Satz 11. Dann gilt:Wenn fx(x0, y0) = 0 und fy(x0, y0) = 0 und ∆(x0, y0) < 0, dann hat f(x, y) an (x0, y0) kein lokalesExtremum.
Satz 13: f(x, y) sei partiell nach x und nach y differenzierbar. Dann gilt:Wenn fx(x0, y0) 6= 0 oder fy(x0, y0) 6= 0, dann hat f(x, y) an (x0, y0) kein lokales Extremum.
Losung:
a) fx(x, y) = −2(2x− 5y) · 2 = −4(2x− 5y)
fy(x, y) = −2(2x− 5y) · −5 = 10(2x− 5y)
fxx(x, y) = −4(2 · 1− 0) = −8
fxy(x, y) = −4(0− 5 · 1) = 20
fyx(x, y) = 10(2 · 1− 0) = 20
fyy(x, y) = 10(0− 5 · 1) = −50
∆(x, y) = (−8)(−50)− 20 · 20 = 400− 400 = 0
fx = 0 ∧ fy = 0 wenn 2x− 5y = 0 ⇐⇒ y = 0, 4x .
fx = 0 ∧ fy = 0 fur alle (x; 0, 4x).
fx 6= 0 ∧ fy 6= 0 fur alle (x, y), die von (x; 0, 4x) verschieden sind.Nach Satz 13 hat f(x, y) keine lokalen Extrema an den von (x; 0, 4x) verschiedenen Stellen.Satz 11a und Satz 12 sind an den Stellen (x; 0, 4x) nicht anwendbar. Es kann mit den angegebenenSatzen nicht entschieden werden, ob an den Stellen (x; 0, 4x) lokale Extrema vorliegen oder nicht.
b) f(x, y) ist maximal, wenn von 4 der kleinstmogliche Wert von (2x− 5y)2 abgezogen wird; das ist derWert 0, der fur 2x− 5y ⇐⇒ y = 0, 4x angenommen wird.An den Stellen (x; 0, 4x) hat die Funktion lokale Maxima.Geometrisch-geographische Deutung:Fur (x, y) mit y = 0, 4x ist f(x, y) = fmax = 4 .Das lokale Maximum der Funktion ist ein Bergkamm (Berggrat), der langs einer Gerade (y = 0, 4x)die konstante Hohe 4 hat.
38
6 Vektoren und Matrizen
Aufgabe 6.1:
Gegeben seien folgende Matrizen:
A =
(2 0−5 2
), B =
(−3 44 10
), C =
(1 2 34 5 6
),
D =
1 42 53 6
, E =
1 0 00 1 00 0 1
a) Welche Matrix ist (bzw. welche Matrizen sind) symmetrisch? Vergessen Sie nicht Ihre Antwort zu
begrunden!
b) Welche Summen bzw. Produkte sind definiert?Summe N + M
PPPPP 2.Sum.
1.Summ.PPPPP
A B C E
ABCE
Produkt N · MPPPPP 2.Faktor
1.FaktorPPPPP
B C D E
BCDE
Schreiben Sie bitte die Tabellen mit den Losungen auf die Losungsblatter! Tragen Sie j(= ja) in dasbetreffende Feld ein, wenn die Summe bzw. das Produkt definiert ist, andernfalls lassen Sie das Feldfrei.
c) Berechnen Sie das Produkt B ·A.d) Das in c) berechnete B ·A kann mit Hilfe des folgenden Satzes uberpruft werden:
Wenn Nund M quadratische Matrizen sind, dann gilt fur alle Nund M:
det(N ·M) = detN · detM (∗)
i) Wenn das in c) berechnete B ·A die Aussage (∗) erfullt, was bedeutet das fur die Richtigkeit desin c) berechneten B ·A ?Vergessen Sie bitte die Begrundung nicht!
ii) Wenn das in c) berechnete B ·A die Aussage (∗) nicht erfullt, was bedeutet das fur die Falschheitdes in c) berechneten B ·A ?Vergessen Sie bitte die Begrundung nicht!
Losung:
a) B, E sind symmetrisch. Durch Spiegelung an der Hauptdiagonale (”von links oben nach rechts unten
“) ergibt sich wieder dieselbe Matrix: B = B′ und E = E′ .
b) Di folgende Summen bzw. Produkten sind definiert (j):Summe N + M
PPPPP 2.Sum.
1.Summ.PPPPP
A B C E
A j jB j jC jE j
Produkt N · MPPPPP 2.Faktor
1.FaktorPPPPP
B C D E
B j jC j jD j jE j j
c)
B ·A =
(−3 44 10
)·(
2 0−5 2
)=
(−3 · 2 + 4 · (−5) −3 · 0 + 4 · 24 · 2 + 10 · (−5) 4 · 0 + 10 · 2
)=
(−26 8−42 20
)
39
d) i) Nichts. B ·A kann richtig berechnet worden sein; dann ergibt sich in ( *) eine wahre Aussage,wenn bei den Rechnungen in (*) keine Fehler gemacht worden sind. B · A kann auch falschberechnet worden sein. Wenn dann bei den Rechnungen in (*) mindestens ein Fehler gemachtworden ist, kann dieser Fehler so beschaffen sein, daß eine wahre Aussage in (*) entsteht.
ii) Nichts. B · A kann falsch berechnet worden sein. Dann kann sich in (*) eine falsche Aussageergeben, wenn bei den Berechnungen in (*) keine Fehler gemacht werden.
B ·A kann richtig berechnet worden sein; und bei den Berechnungen in (*) ist mindestens einFehler gemacht worden, so daß dadurch in (*) eine falsche Aussage entsteht.
Aufgabe 6.2:
a) SeiA =
(2 −15 7
), B =
(−3 −7
3 5
).
Berechnen Sie A ·B , A + B , A−B , A′.
b) Uberprufen Sie das in a) berechnete Produkt anhand des folgenden Satzes:X und Y seien quadratische Matrizen. Dann gilt :
det(X ·Y) = detX · detY (∗)
Hinweis: Bitte achten Sie auf eine logisch korrekte Darstellung: Wenn man aus einer Aussage A, vonder man nicht weiß, ob sie wahr oder falsch ist, solange Folgerungen zieht, bis eine erkennbar wahreAussage B entsteht, so heißt das nicht, dass A wahr ist.
c) Was bedeutet das Ergebnis aus b) fur die Richtigkeit des in a) berechneten Produkts? KurzeBegrundung der Antwort!
Wenn man das in a) errechnete A · B mit Hilfe von (*) uberpruft, gibt es zwei Moglichkeiten: (*)ist erfullt oder (*) ist nicht erfullt. Beantworten Sie die obige Frage
”Was bedeutet ...“ auch fur den
Fall, der bei Ihnen in b) nicht aufgetreten ist.
Losung:
a) Die Matrizenmultiplikation merke man sich mit dem Schlagwort”Zeile mal Spalte (skalar multipli-
ziert)“.
A ·B =
(2 −15 7
)·(−3 −7
3 5
)=
(2 · (−3) + (−1) · 3 2 · (−7) + (−1) · 55 · (−3) + 7 · 3 5 · (−7) + 7 · 5
)=
(−9 −19
6 0
).
b) Es ist
det (A ·B) =−9 −19
6 0 = (−9) · 0− (−19) · 6) = 114;
det (A) =2 −15 7 = 2 · 7− (−1) · 5) = 19;
det (B) =−3 −7
3 5 = (−3) · 5− (−7) · 3) = 6.
detA · detB = 19 · 6 = +114. Die Aussage (*), hier det(A · B) = detA · detB, wird von demberechneten A ·B erfullt.
40
c) Die Rechenkontrolle (*) ergibt fur das in a) berechnete A ·B eine wahre Aussage. Fur die Richtigkeitdes in a) berechneten A ·B sagt dies gar nichts:
i) Wenn A·B richtig berechnet worden ist, dann wird die Aussage (*) naturlich erfullt, vorausgesetzt,man hat bei der Uberprufung von (*) keinen Fehler gemacht.
Wenn A · B aber nicht richtig berechnet worden ist, dann kann es sein, dass bei (*) ein solcherFehler gemacht worden ist, der den Fehler bei der Berechnung von A ·B gerade aufhebt.
Es kann aber auch sein, dass sich ein solcher Fehler bei der Berechnung von A·B in (*) uberhauptnicht bemerkbar macht, d.h. dass (*) auch erfullt ist, wenn A · B falsch berechnet worden ist.Ein solcher Fall kann im obigen Beispiel eintreten:
Wenn in a) im berechneten A ·B das Element”links oben“ irgendeine beliebige andere Zahl als
−9 ist, dann ist trotzdem det(A ·B) = 114; und die Aussage (*) wird von diesem A ·B erfullt.
ii) Wenn dagegen die Aussage (*) von dem berechneten A ·B nicht erfullt ist, so kann man auchnichts uber die Richtigkeit des berechneten A ·B aussagen:
A ·B kann richtig sein, aber bei der Uberprufung von (*) kann ein Fehler gemacht worden sein,der dazu fuhrt, dass (*) nicht erfullt ist.
A · B kann aber auch falsch berechnet worden sein, was dann zur Folge haben kann, dass dieAussage (*) nicht erfullt ist.
Bemerkung: Man achte auf die gestellte Frage. Die (aufgrund der Formulierungen in der Vor-lesung bzw. Ubung) gegebenen Antworten:
”Wenn (*) erfullt ist, hat man keinen Fehler bei der
Berechnung von A · B feststellen konnen“ und”Wenn (*) nicht erfullt ist, hat man minde-
stens einen Fehler gemacht (bei der Berechnung von A · B oder bei der Uberprufung von (*)oder bei beidem)“ beantworten die gestellte Frage nicht:
”Was bedeutet das Ergebnis aus dem
Aufgabenteil b) fur die Richtigkeit des in a) berechneten A ·B?“
Aufgabe 6.3:
Gegeben seien die Vektoren
y =
(125
), y1 =
(101
), y2 =
(12
).
a) y heißt Linearkombination von y1 und y2, wenn es Zahlen a1 und a2 gibt, so dass y = a1 ·y1 +a2 ·y2.
Stellen Sie y als Linearkombination von y1 und y2 dar:
i) Rechnerische Losung.Das lineare Gleichungssystem lose man mit der Cramerschen Regel.
ii) Zeichnerische Losung.
b) |y| = √y · y heißt Betrag von y.
Berechnen Sie den Betrag des oben genannten Vektors y =
(125
)i) aus der angegebenen Definition,
ii) mit Hilfe der geometrischen Bedeutung von |y| (Satz des Pythagoras anwenden). Skizze!
Losung:
a) i) Aus der im Aufgabentext genannten Definitionsgleichung erhalt man:(125
)= a1 ·
(101
)+ a2 ·
(12
).
41
Nach den Rechenregeln fur Vektoren und der Gleichheit von Vektoren folgt:
12 = a1 · 10 + a2 · 15 = a1 · 1 + a2 · 2
}⇔{
10a1 + a2 = 12a1 + 2a2 = 5
Dies ist ein lineares Gleichungssystem: zwei Gleichungen mit den beiden Unbekannten a1 und a2.Nach der Cramerschen Regel ergibt sich:
a1 =
∣∣∣∣ 12 15 2
∣∣∣∣∣∣∣∣ 10 11 2
∣∣∣∣ =12 · 2− 1 · 510 · 2− 1 · 1
= 1; a2 =
∣∣∣∣ 10 121 5
∣∣∣∣∣∣∣∣ 10 11 2
∣∣∣∣ =10 · 5− 12 · 110 · 2− 1 · 1
= 2.
Also: y = 1 · y1 + 2 · y2.
Aufgabe 6.4:
a) Berechnen Sie mit Hilfe eines der folgenden Satze∣∣∣∣∣∣a11 O
a22 . . .O ann
∣∣∣∣∣∣ =n∏
i=1
aii ,
∣∣∣∣∣∣a11 Oa21 a22...
.... . .
an1 an2 · · · ann
∣∣∣∣∣∣ =n∏
i=1
aii ,
∣∣∣∣∣∣a11 a12 · · · a1n
a22 · · · a2n. . ....
O ann
∣∣∣∣∣∣ =n∏
i=1
aii (Dabei bedeutet O, dass alle
Elemente null sind.)
den Wert der folgenden dreireihigen Determinante
A =
∣∣∣∣∣∣1 1 −22 −1 23 2 −6
∣∣∣∣∣∣ .Bemerkung: Sie mussen A zunachst so umformen, dass einer der drei obigen Satze angewendet werden
kann.
b) Berechnen Sie mit Hilfe der Regel von Sarrus den Wert der in a) gegebenen Determinante.
Bemerkung: Es soll keine Umformung der Determinante vorgenommen werden.
c) Vergleichen Sie die beiden Ergebnisse aus a) und b) und kommentieren Sie sie.
Losung:
a) A =
∣∣∣∣∣∣1 1 −22 −1 23 2 −6
∣∣∣∣∣∣(−2)-faches der 1. Zeile zu 2. Zeile addieren.(−3)-faches der 1. Zeile zu 3. Zeile addieren.
A =
∣∣∣∣∣∣1 1 −20 −3 60 −1 0
∣∣∣∣∣∣ Entweder (−13)-faches der 2. Zeile zu 3. Zeile addieren A =
∣∣∣∣∣∣1 1 −20 −3 60 0 −2
∣∣∣∣∣∣A =
3∏i=1
aii = 1 · (−3) · (−2) = 6,
oder vertauschen von 2. und 3. Spalte. A = −
∣∣∣∣∣∣1 −2 10 6 −30 0 −1
∣∣∣∣∣∣42
A =3∏
i=1
aii = −1 · 6 · (−1) = 6
b) A =
∣∣∣∣∣∣1 1 −22 −1 23 2 −6
∣∣∣∣∣∣ = 1 · (−1) · (−6)+1 · 2 · 3+(−2) · 2 · 2− (−2) · (−1) · 3− 1 · 2 · (−6)− 1 · 2 · 2 =
6 + 6− 8− 6 + 12− 4 = 6
c) Beide Ergebnisse stimmen uberein. Das muss auch so sein, denn der Wert einer Determinante hangtnaturlich nicht davon ab, auf welchem Weg man ihn berechnet.
Aufgabe 6.5:
a) Berechnen Sie das Produkt A ·B =
(2 3−1 4
)·(−3 02 5
).
b) Fuhren Sie fur das in a) berechnete A ·B eine Rechenkontrolle durch mit Hilfe von
det(A ·B) = detA · detB (∗)c) Was bedeutet das Ergebnis Ihrer Rechenkontrolle fur die Richtigkeit des in a) berechneten A ·B?
Vergessen Sie die Begrundung nicht!
d) Weshalb kann man mit der Rechenkontrolle (∗), auch dann, wenn man bei (∗) keinen Fehler macht,nicht jeden Fehler beim berechneten A·B feststellen? Hinweis: Es genugt hier, ein Beispiel anzugeben,bei dem man einen Fehler beim berechneten A·B durch die Rechenkontrolle (∗) nicht feststellen kann.
Losung:
a) A ·B =
(2 3−1 4
)·(−3 02 5
)=
(2 · (−3) + 3 · 2 2 · 0 + 3 · 5
(−1) · (−3) + 4 · 2 (−1) · 0 + 4 · 5
)=
(0 1511 20
).
b) det(A ·B) =
∣∣∣∣ 0 1511 20
∣∣∣∣ = 0 · 20− 15 · 11 = −165
detA =
∣∣∣∣ 2 3−1 4
∣∣∣∣ = 2 · 4− 3 · (−1) = 11
detB =
∣∣∣∣ −3 02 5
∣∣∣∣ = (−3) · 5− 0 · 2 = −15
detA · detB = 11 · (−15) = −165.
Die Aussage (∗) det(A ·B) = detA · detB wird von dem berechneten A ·B erfullt.
c) Nichts. A ·B kann richtig berechnet worden sein. Wenn dann bei (∗) kein Fehler gemacht worden ist,erhalt man in (∗) naturlich eine wahre Aussage.A ·B kann auch falsch berechnet worden sein und ein weiterer Fehler in (∗) kann so beschaffen sein,dass er den Fehler bei der Berechnung von A ·B aufhebt, so dass in (∗) eine wahre Aussage entsteht.[oder] Der Fehler beim berechneten A ·B macht sich in der Rechenkontrolle nicht bemerkbar.
d) Wenn sich ergeben hat A ·B =
(0 1511 a
), wobei a 6= 20, ist A ·B falsch berechnet worden, aber
der Fehler macht sich in der Rechenkontrolle nicht bemerkber, weil
det
(0 1511 a
)= 0 · a− 11 · 15 = −165 fur alle a.
43
7 Lineare Gleichungssysteme
Aufgabe 7.1:
a) Was stellt die Gleichung A · x = b dar, wenn A eine Matrix und b, x Vektoren sind?
b) Bringen Sie das lineare Gleichungssystem
x1 − x2 + x3 = 4− 2x2 + 3x3 = 11
−3x1 + x2 = a( wobei a ∈ R)
mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus auf die untere Halbdiagonalform und beantworten Sie dann dieFragen:
i) Fur welche(s) a ist das Gleichungssystem unlosbar?
ii) Fur welche(s) a ist das Gleichungssystem losbar?
c) Bestimmen Sie die Losungsmenge L1 bei (1.)) und L2 bei ( 2.)).
d) Fuhren Sie bei (2.)) die Probe durch!
e) Wann sagt man”Probe stimmt“, wann sagt man
”Probe stimmt nicht“?
f) Was bedeutet es fur die Richtigkeit der Losungsmenge L2, wenn sich ergibt
i)”Probe stimmt“,
ii)”Probe stimmt nicht“? Jeweils kurze Begrundung!
Hinweis: e), f) konnen auch beantwortet werden, wenn L2 nicht berechnet worden ist.
Losung:
a) A · x = b stellt ein lineares Gleichungssystem dar.
b) Wir schreiben das lineare Gleichungssystem zunachst in der symbolischen Matrixschreibweise.
1. Teilziel des Gaußschen Algorithmus: die Matrix auf die untere Halbdiagonalform bringen. 1 −1 1 40 −2 3 11
−3 1 0 a
(1)(2)(3)
1. Schritt: 3-faches von (1) zu (3) addieren: 1 −1 1 40 −2 3 110 −2 3 a + 12
(1′)(2′)(3′)
2. Schritt (-1)-faches von (2’) zu (3’) addieren: 1 −1 1 40 −2 3 110 0 0 a + 1
(1′′)(2′′)(3′′)
Damit ist die untere Halbdiagonalform erreicht: unterhalb der gestrichelten Hauptdiagonalen sindnur noch Nullen.
44
2. Teilziel des Gaußschen Algorithmus: Bestimmung der Variablen x1, x2, . . . , xn (in diesem Beispielist n=3). Nach dem Gaußschen Algorithmus wird aus der 3. Gleichung die 3. Variable errechnet.(3”) bedeutet in ausfuhrlicher Schreibweise: 0 · x3 = a + 1.
i) Diese Gleichung ist unlosbar, wenn a + 1 6= 0 ⇔ a 6= −1:Es gibt kein x3, das 0 ·x3 6= 0 erfullt. Damit ist auch das lineare Gleichungssystem (1′′)/(2′′)/(3′′)unlosbar. Weil (1′′)/(2′′)/(3′′) durch Aquivalenzumformungen, die die Losungsmenge nicht andern,aus dem linearen Gleichungssystem (1)/(2)/(3) entstanden sind, ist auch dieses unlosbar.
ii) Fur a = −1 erhalt man aus (3”): 0 · x3 = 0. Diese Gleichung ist fur alle x3 ∈ R erfullt.Aus (2”) errechnet man dann x2, aus (1”) danach x1. Das Gleichungssystem (1′′)/(2′′)/(3′′) istlosbar. Und weil (1′′)/(2′′)/(3′′) durch Aquivalenzumformungen aus dem linearen Gleichungssy-stem (1)/(2)/(3) entstanden sind, ist auch dieses losbar.
c) i) Fur a 6= −1 ist L1 = {}. Andere Bezeichnung: L1 = ∅.
ii)
Aus (3”): 0 · x3 = 0 ⇔ x3 = c, c beliebig, c ∈ R. (4)Aus (2”): −2x2 + 3x3 = 11. Hierin x3 aus (4) einsetzen:
−2x2 + 3c = 11 ⇔ x2 = 1, 5c− 5, 5. (5)Aus (1”): x1 − x2 + x3 = 4. Hierin x3 aus (4) und x2 aus (5) einsetzen:
x1 − (1, 5c− 5, 5) + c = 4 ⇔ x1 = 0, 5c− 1, 5. (6)Also:
L2 = {(x1, x2, x3)} = {(0, 5c− 1, 5; 1, 5c− 5, 5; c)|c ∈ R, beliebig}.Bemerkung: Jedes c ergibt eine Losung.
d) Die Probe geschieht dadurch, dass die berechneten Werte fur die Variablen x1, x2, x3 in die gegebenendrei Gleichungen eingesetzt werden. Man vergleicht dann die linke Seite (LS) mit der rechten Seite(RS) bei allen drei Gleichungen:
LS von (1): (0, 5c− 1, 5) −(1, 5c− 5, 5) + c = 4; RS von (1): 4.LS von (2): −2(1, 5c− 5, 5) + 3c = 11; RS von (2): 11.LS von (3): −3(0, 5c− 1, 5) +(1, 5c− 5, 5) = −1; RS von (3): −1.
Bei allen drei Gleichungen stimmen rechte und linke Seite uberein. Oder: Beim Einsetzen der berech-neten Werte x1, x2, x3 ergeben sich bei allen drei Gleichungen wahre Aussagen.
e)”Probe stimmt“ sagt man, wenn sich beim Einsetzen der fur die Variablen x1, x2, x3 errechneten
Werte in die Gleichungen aus allen Gleichungen wahre Aussagen ergeben.
”Probe stimmt nicht“ sagt man, wenn sich beim Einsetzen der fur die Variablen x1, x2, x3 errechneten
Werte in die Gleichungen bei mindestens einer Gleichung eine falsche Aussage ergibt.
f) i) Uber die Richtigkeit von L kann nichts gesagt werden. L kann richtig sein (wenn man bei derProbe keinen Fehler macht, mussen naturlich bei richtigem L lauter wahre Aussagen bei denGleichungen herauskommen). L kann aber auch falsch sein, wenn sich z.B. ein Fehler bei derBerechnung von L und ein Fehler bei der Probe gerade aufheben.
ii) Uber die Richtigkeit von L kann nichts gesagt werden. L kann falsch sein, was zur Folge hat, dassdie Probe nicht stimmt, sofern man bei ihr keinen Fehler gemacht hat. L kann aber auch richtigsein; ein Fehler bei der Probe fuhrt dazu, dass die Probe nicht stimmt.
Bemerkung zu 1.): Nicht jeden Fehler bei der Berechnung von L kann man bei der Probe mer-ken. Wenn man z.B. in (4) nicht x3 = c hat, sondern x3 = 0, so erhalt man als LosungsmengeL = {(−1, 5;−5, 5; 0)}. Das ist eine Teilmenge von L2. Naturlich erfullen die Werte aus L die dreiGleichungen. Die Probe stimmt. Aber die Losungsmenge L ist falsch, obwohl man bei der Probekeinen Fehler gemacht hat.
45
Aufgabe 7.2:Bestimmen Sie die Losungsmenge H des folgenden linearen Gleichungssystems:
2x − 3y + z = 9y + 2z = 4
8x − 2y + 5z = 19−8x − y − 11z = −31.
Hinweise:
1. Verwenden Sie die symbolische Matrixschreibweise.
2. Geben Sie an, welche Umformungen vorgenommen werden.
3. Untere Halbdiagonalform als Ende des ersten Teils des Gaußschen Algorrithmus erreichen.
Losung:
Symbolische Matrixschreibweise des gegebenen lineraren Gleichungssystems:2 −3 10 1 28 −2 5
−8 −1 −11
∣∣∣∣∣∣∣∣94
19−31
(1)(2)(3)(4)
Diese Matrix wird auf die”untere Halbdiagonalform“ gebracht. Unterhalb der gestrichelten Hauptdiago-
nalen werden Nullen erzeugt mit Hilfe von Aquivalenzumformungen.
(−4)-faches von (1) zu (3) addieren; 4-faches von (1) zu (4) addieren:2 −3 10 1 20 10 10 −13 −7
∣∣∣∣∣∣∣∣94
−175
(1′)(2′)(3′)(4′)
(−10)-faches von (2′) zu (3′) addieren; 13-faches von (2′) zu (4′) addieren:2 −3 10 1 20 0 −190 0 19
∣∣∣∣∣∣∣∣94
−5757
(1′′)(2′′)(3′′)(4′′)
1-faches von (3′′) zu (4′′) addieren:2 −3 10 1 20 0 −190 0 0
∣∣∣∣∣∣∣∣94
−570
(1′′′)(2′′′)(3′′′)(4′′′)
Damit ist die untere Halbdiagonalform erreicht. Aus der i-ten Gleichung wird nun die i-te Variable errech-net, beginnend mit dem großten i, hier i = 4. Da es zwar eine 4. Gleichung (4′′′) gibt, aber keine 4. Variable,wird die 4. Gleichung (4′′′) fur sich betrachtet. (4′′′) in ausfuhrlicher Schreibweise: 0·x+0·y+0·z = 0. DieseGleichung ist fur alle x, fur alle y und fur alle z erfullt, also auch fur das z, das sich aus (3′′′) errechnet,fur das y, das sich aus (2′′′) errechnet und fur das x, das sich aus (1′′′) errechnet.
Aus (3′′′) folgt: −19 · z = −57 ⇔ z = 3 (5)Aus (2′′′) folgt: 1 · y + 2 · z = 4. (5) eingesetzt ergibt:
1 · y + 2 · 3 = 4 ⇔ y = −2 (6)Aus (1′′′) folgt: 2 · x− 3 · y + z = 9 (5) und (6) eingesetzt ergibt:
2 · x− 3 · (−2) + 3 = 9 ⇔ x = 0 (7)
46
Aus (5) bis (7) erhalt man die Losungsmenge:
L =
x
yz
=
0−2
3
,
als Zeilenvektor: L = {(x, y, z)} = {(0,−2, 3)}.Bemerkung: Wird die Betrachtung der 4. Gleichung (4′′′) weggelassen, so erhalt man
”nur“ die Losungs-
menge des linearen Gleichungssystems (1′′′)/(2′′′)/(3′′′), die wegen der vorgenommenen Aquivalenzum-formungen gleich ist der Losungsmenge des linearen Gleichungssystems (1)/(2)/(3). Doch von diesemGleichungssystem ist die Losungsmenge nicht gesucht.
Aufgabe 7.3:
a) Bestimmen Sie die Losungsmenge L des folgenden linearen Gleichungssystems mit Hilfe des GaußschenAlgorithmus
−2x1 + 4x2 − 6x3 = 16 (1)−x1 − 6x3 = 26 (2)4x1 − 3x2 = 1 (3)
−3x1 + 2x2 − 2x3 = 8 (4)
.
Hinweise:Achten Sie auf eine vollstandige Darstellung des Gedankengangs. Lassen Sie keine wichtigen gedank-lichen Schritte aus!
b) Das gegebene Gleichungssystem wird auf”Halbdiagonalform“ gebracht. Warum ist die hieraus ermit-
telte Losungsmenge tatsachlich die gesuchte Losungsmenge L?
Losung:
a) Anwendung des Gaußschen Algorithmus:Erst schreiben wir das gegebene lineare Gleichungssystem in der symbolischen Matrixschreibweise.−2 4 −6 16−1 0 −6 26
4 −3 0 1−3 2 −2 8
(1)(2)(3)(4)
.Diese Matrix soll auf die untere Halbdiagonalform gebracht werden.1. Schritt:(−1
2)-faches von (1) zu (2) addieren.2-faches von (1) zu (3) addieren.
(−32)-faches von (1) zu (4) addieren.
−2 4 −6 160 −2 −3 180 5 −12 330 −4 7 −16
(1′)(2′)(3′)(4′)
2. Schritt:52-faches von (2’) zu (3’) addieren.
(-2)-faches von (2’) zu (4’) addieren.−2 4 −6 16
0 −2 −3 180 0 −19, 5 780 0 13 −52
(1′′)(2′′)(3′′)(4′′)
47
3. Schritt:(3”) durch -19,5 dividieren (zur Vereinfachung der weiteren Rechnung)−2 4 −6 16
0 −2 −3 180 0 1 −40 0 13 −52
(1′′′)(2′′′)(3′′′)(4′′′)
(-13)-faches von (3”’) zu (4”’) addieren.−2 4 −6 16
0 −2 −3 180 0 1 −40 0 0 0
(1IV )(2IV )(3IV )(4IV )
Damit ist die”untere Halbdiagonalform“ erreicht.
(4IV ) wird fur alle x1, x2, x3 erfullt, also auch fur das x3, das sich aus (3IV ) ergibt, fur das x2, das sichaus (2IV ) ergibt und fur das x1, das sich dann aus (1IV ) ergibt.Hinweis:Nach dem Gaußschen Algorithmus wird die i−ten Zeile (=Gleichung) des auf die untere Halbdiago-nalform gebrachten linearen Gleichungssystems berechnet; beginnend mit dem großten i, hier i = 4.Da es aber keine vierte Variable gibt, muss die vierte Gleichung fur sich betrachtet werden, wie inder Musterlosung geschehen.Wenn die Gleichung (4IV ) kommentarlos unberucksichtigt bleibt, dannerhalt man die Losungsmenge des linearen Gleichungssystems (1IV )−(3IV ), die wegen der Aquivalen-zumformungen gleich der Losungsmenge des gegebenen linearen Gleichungssystems (1)−(3) ist. DieseLosungsmenge ist aber nicht gesucht. Gesucht ist die Losungsmenge L des linearen Gleichungssystems(1)− (4).
Aus (3IV ) folgt 1 · x3 = −4 ⇐⇒ x3 = −4
Aus (2IV ) folgt −2 · x2 − 3 · (−4) = 18 ⇐⇒ x2 = −3 Losungsmenge L =
−2−3−4
Aus (1IV ) folgt −2 · x1 + 4(−3)− 6(−4) = 16 ⇐⇒ x1 = −2
b) Die Losungsmenge des linearen Gleichungssystems (1IV ) − (1IV ) ist gleich der Losungsmenge desgegebenen linearen Gleichungssystems (1)-(4), weil alle Umformungen beim Gaußschen AlgorithmusAquivalenzumformungen sind, die die Losungsmenge nicht andern.
8 Mehrere Teilgebiete
Aufgabe 8.1:
Sind die folgenden Aussagen richtig?1. Der Durchschnitt (=die Schnittmenge) endlich vieler Halbebenen ist
ein konvexes Polygon oder die leere Menge. ja � nein �2. Das lineare Gleichungssystem (∗) mit a11a22 − a12a21 = detA 6= 0
besitzt eine eindeutige Losung.a11x1 + a12x2 = c1
+a21x1 + a22x2 = c2} (∗)
ja � nein �3. Die Folge k 7→ (1 + 1
k)k ist konvergent fur k 7→ ∞ .
Der Grenzwert ist eine rationale Zahl. ja � nein �
4.4∑
i=1
ai · ai+1 =5∑
i=2
ai−1 · ai ja � nein �
5. Der Wert einer zweireihigen Determinante andert sich nicht, wenn man zwei Zeilen miteinandervertauscht. ja � nein �
48
Losung:
1. Ja.2. Ja.3. Nein. Der Grenzwert ist eine irrationale Zahl.4. Ja.5. Nein. Der Wert einer zweireihigen Determinante andert sein Vorzeichen, wenn man zwei Zeilen mit-
einander vertauscht.
Aufgabe 8.2:
Stimmen Sie ab, ob die folgenden Aussagen richtig sind:a) dz = fx · dx + fy · dy heißt totales Differential von Z = f(x, y). ja � nein �b) Der durchschnittliche Zinsfaktor q der Zinsfaktoren q1, q2, q3, . . . , qn ist das arithmetische Mittel dieser
Zinsfaktoren. ja � nein �c) Der Wert einer Determinante andert sich nicht, wenn man sie transponiert (=sturzt). ja � nein �d) Die Folge der Abschreibungsbetrage der digitalen Abschreibung ist eine streng monoton fallende
arithmetische Folge. ja � nein �e) Jedes lineare Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten hat genau eine Losung.
ja � nein �
Losung:
a) Ja.b) Nein. (Der durchschnittliche Zinsfaktor q der Zinsfaktoren q1, q2, q3, . . . , qn ist das geometrische Mittel
dieser Zinsfaktoren.)c) Ja.d) Ja.e) Nein. (Ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten hat nicht immer
genau eine Losung.)
Aufgabe 8.3:
a) Was ist beim linearen Optimieren das Planungspolygon?b) Was versteht man in der Finanzmathematik unter einer Rente?c) Was ist der Endwert einer Rente?d) Wann nennt man eine Abschreibung degressiv?e) Was versteht man unter der Annuitat in der Tilgungsrechnung?
Losung:
a) Das Planungspolygon ist die Menge aller Punkte, deren Koordinaten die Nichtnegativitatsbedingungenund die weiteren einschrankenden Bedingungen erfullen.Hinweis:Das Planungspolygon braucht keineswegs ein Polygon im Sinne der Geometrie zu sein. Infolgedessenwird das Planungspolygon auch nicht von Geraden begrenzt. Wenn bei zwei Variablen x, y zumBeispiel x ∈ R und y ∈ N oder x ∈ N und y ∈ R, dann ist das Planungspolygon eine Mengeachsenparalleler Strecken. Und wenn x, y ∈ N, dann ist das Planungspolygon eine Menge (diskreter)Gitterpunkte.
b) Eine Rente ist eine regelmaßig wiederkehrende Zahlung konstanter Hohe.Hinweis:Die Zahlungen erfolgen in gleichen Zeitabstanden, keineswegs immer jahrlich. Auch eine monatlicheRente ist eine Rente.
c) Der Endwert einer Rente ist die Summe aller (Renten-) Zahlungen einschießlich Zinsen und Zinses-zinsen am Ende der Laufzeit der Rente [wenn die Zahlungen auf ein Konto erfolgen und sie vom Tagder Zahlung an verzinst werden].
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d) Eine Abschreibung heißt degressiv, wenn die Folge der Abschreibungsbetrage streng monoton fallendist fur die Dauer der Abschreibung [oder: wenn die Abschreibungsbetrage im Laufe der Jahre abneh-men].Hinweis:Wenn der Abschreibungsprozentsatz pi des i−ten Jahres ein konstanter Prozentsatz p des letztenBuchwertes ist, dann erhalt man nur einen Spezialfall einer degressiven Abschreibung, die geometrisch-degressive Abschreibung. Auch die digitale Abschreibung (auch arithmetisch-degressive Abschreibunggenannt) ist eine degressive Abschreibung. Bei ihr ist der Abschreibungsprozentsatz pi nicht konstant.
e) Die Annuitat in der Tilgungsrechnung ist die Summe aus dem jahrlichen Tilgungsbetrag und denjahrlichen Schuldzinsen.
Aufgabe 8.4:
a) Was versteht man unter”Kapitalisierung einer Rente? “
Hinweis: In der Fragestellung ist keine Rede davon, dass die Rente eine endliche Laufzeit hat.b) Was versteht man unter dem
”Barwert einer Rente“?
Hinweis: Aus der Fragestellung geht hervor, dass nicht nach dem Zusammenhang zwischen Barwertund Endwert gefragt ist.Beachten Sie auch, dass es
”Wert einer Rente“ nicht gibt!
c) Wann heißt eine Abschreibungi) linear, ii) degressiv?
Formulieren Sie die Antworten mit Hilfe der jahrlichen Abschreibungsbetrage ai (i = 1, 2, ...).d) Was kann man
i) mit der Cramerschen Regel, ii) mit dem Gaußschen Algorithmus machen?Hinweis: Aus den Antworten muss die unterschiedliche Anwendbarkeit von Cramerscher Regel undGaußschem Algorithmus hervorgehen!
e) Was ist beim linearen Optimiereni) eine Zielfunktion, ii) eine Isozielfunktion?
Formulieren Sie die Antworten fur den Fall zweier Variable x, y.
Losung:
a) Eine Rente kapitalisieren heißt, sie durch eine einmalige Zahlung zu Beginn der Laufzeit der Renteabzulosen (=zu ersetzen).
b) Barwert einer Rente ist der Betrag R0, der zu Beginn der Laufzeit der Rente vorhanden sein muss,sodass von ihm die Rentenzahlungen bestritten werden, und der am Ende der Laufzeit der Renteaufgebraucht ist.
c) Eine Abschreibung heißti) linear, wenn die Folge der Abschreibungsbetrage ai konstant istii) degressiv, wenn die Folge der Abschreibungsbetrage ai streng monoton fallend ist [oder: wenn die
Abschreibungsbetrage im Laufe der Jahre abnehmen]jeweils fur die Dauer der Abschreibung.
d) i) Mit der Cramerschen Regel kann man die Losungsmenge eines linearen Gleichungssystems A·X =B bestimmen, bei dem A quadratisch und detA 6= 0.(oder: Mit der Cramerschen Regel kann man die Losungsmenge eines linearen Gleichungssystemsbestimmen, bei dem die Anzahl der Variablen gleich der Anzahl der Gleichungen ist und bei demdie Koeffizientendeterminante ungleich 0 ist.)
ii) Mit dem Gaußschen Algorithmus kann man die Losungsmenge eines jeden linearen Gleichungs-systems bestimmen.
e) i) Eine Zielfunktion Z ist eine lineare Funktion zweier Variable, Z(x, y) = ax + by, die uber demPlanungspolygon optimiert (d.h. maximiert oder minimiert) werden soll.
ii) Setzt man Z(x, y) = const., so erhalt man eine Isozielfunktion. Alle Paare (x, y) [aus dem Pla-nungspolygon] fuhren zum selben Wert der Zielfunktion.
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