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8. Bemerkurcg #u E, Zw b ers dtlesgzcng der Verx(igerzcrPcgsze4tm be& de$* Fwnkentmttadung 3;

von, 111. v. Lazce.

Einen Apparat, wie den von Z uber beachriebenen, denke man sich in einer groBen Zahl (a) von Exemplaren in Tatig- keit. Die Zeit t messe man fur jeden Apparat vom Zeitpunkt des letzten Funkens an, so da8 man sagen kann: Zur Zeit t = 0 ist in jedem Apparat ein Funken iibergesprungen. Zur Zeit t mag in N - P(t) dieser Apparate noch kein weiterer Funken iibergegangen sein. Die Zahl der Entladungen, welche in letzteren im Zeitraum von t bis t + dt stattfindet, ist dann - N. T'(t)dt, wo T" die Ableitung der Funktion F' darstellt.

Die letzterwiihnten Funken kommen so zustande, da6 sich bei ,9 *N* F(t) dt-Apparaten ein Elektron oder Ion infolge auBerer Einwirkung bildetq, und da6 in einem Teil dieser Apparate, namlich bei p (t' - /? N T(t) dt Exemplaren, die sonstigen Be- dingungen fur die Funkenbildung erfiillt sind. Die Wahrschein- lichkeit p(t) , da6 dies bei einem bestimmten Apparat der Fall ist, betrachten wir als Funktion der seit dem letzten Funken verstrichenen Zeit t; denn jede Eotladung wird den Zustand des Apparates andern, und erst allmirhlich wird sich der Normal- zustand wieder herstellen. Die bei rascher Funkenfolge in Betracht kommende Mt5glichkeit, da6 auch friihere Durchschlage den Zustand beein flussen, lassen wir zuniichst unberucksichtigt.s)

1) Vgl. die unmittelbar vorhergehende Arbeit. 2) Vgl. 0 6 bei H. Zuber. 3) In den folgenden Formeln tritt stets nur das Produkt B p (t)

auf, nicht dessen Faktoren einseln. Die Zerlegung drr Wehracheinlich- keit 6 - p ( t ) in eine nur von ku6eren Eintliissen und eine nur vom Zu- stand der Funhenstrecke abhiingige Wahrscheinlichkeit, deren Berechti- gung bei Znbers Versuchen wohl einleuchtend iat, iat somit fiir die Anwendung dee Folgenden nicht wesentlich.

262 M v. Jaw.

Aus dieser Betrachtung folgt fur die Funktion P(t) die Differentidgleichung :

Ihre Liisung lautet in Riicksicht auf die Nebenbedingung Y(0) = 1 : - P‘(1) = p p ( t ) Y(t).

t

- BJP ( t ) d t V ( t ) = e

Bei allen 1v Apparaten tritt in - NT”(t)dt-Fallen der erste Funken nach der Zeit t = 0 im Zeitraum von t bis t + dt ein. Die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses fiir den ein- zelnen Apparat betriigt somit:

t

- 6s. (0 clt w ( t ) d t = - 7 ’ ( t ) d t = @ p ( t ) . e O dt .

Die Wahrscheinlichkeit, da8 der erste Funken sioh nach der Zeit t bildet, ist, da das obige Integral mit t uber alle Grenzen waohst:

m --B$P(O d t t

(1) ?ztw = j ’ w ( t ) d t = e 0 = V ( t ) . t

Zubers Kurven in Fig. 7 und 10 stellen dar: t

log n t m = - p J p (t) d t . 0

Wiire die Wahrscheinlichkeit p von t unabhiingig, so er- glben sich die von Zuber angefuhrten Gleichungen

~ ( t ) = / l pe -PPt und log n? = - p p t .

Sie sind durch seine Messungen nur dann bestatigt, wenn er durch das in 0 11 beschriebene Zeitrelais den Funkeniibergang nach jedem Durchschlag so lange verhindert, bis sich der Normal- zustand der Apparatur wieder hergestellt hat. Denn dann ist in den letzten Gleichungen die Zeit t von dem Augenblick des Wiederanlegens der vollen Spannung an zu rechnen. Wir kiinnen dasselbe auch dahin ausdriicken, daS bei dieser Anordnung von t P 0, dem Augenblick eines Funkens, bis zur Zeit to des Wiederanlegens der Spannung, die Wahrscheinlichkeit p = 0 ist, wiLhrend sie bei to auf den konstanten Wert p , springt. Dann ergibt sich

Remerkung zu K. Zubers Messung der Yerzogerungsteitcn usto. 8 3

in vollster Ubereinstimmung mit der Kurve von Fig. 10. Die Abweichungen, welche Zu b e r s Versuche anfangs er-

gaben, lassen sich ungezwungen aus der Veranderlichkeit der Funktion p (t) erkliren, die danach bei kleinen Werten von t ver- hiiltnismiiBig klein, wenn nicht ganz Null sein, und dann all- miihlich zu einem konstanten Endwert ansteigen muS (letzteres

haben wir schon oben zu der Aussage verwendet, da6 s p (t) d t

mit wachsendem t uber alle Grenzen steigt). Man kann eogar m e der empirischen Kurve fiir n," den Verlauf von p(t) quan- titativ ermitteln , wobei nur der Faktor /3 unbestimmt bleibt. Denn es ist

t

0

Doch ist diese Deutung nicht die einzig mijgliche. Vielmehr ware denkbar, daB die Funken, welche in der

obigen Betrachtung in den N Apparaten zur Zeit 0 iiber- springen, nicht jeden davon im gleichen Zustand zurucklassen ; sei es, da6 es verschiedene Entladungsarten gibt, sei es, da6 die Vorgeschichte, d. h. Zeit und Art fruherer Entladungen, eine Rolle spielt , oder da6 beides zutrifft. Wir numerieren mittels der Laufzahl n irgendwie die unmittelbar nach t = 0 bei den N Apparaten vorkommenden Znstande und bezeichnen mit N * an die Zahl derjenigen, welche einem davon angeharen. N . an- 7, (1) sei die Zahl der Apparate unter ihnen, welche nach Ablauf der Zeit t noch keinen weiteren Funken erlebt haben. Indem wir die anfangs rtngestellte Betrachtung siif diem he- schranken, finden wir

- Bj'p*a (t) d t V,(t) = e *

(Die Wahrscheinlichkeit des Ansprechens bei einem Apparate dieser Art zur Zeit t , p,(t) , wird sich naturlich von der ent- sprechenden Wahrscheinlichkeit einer anderen Qattung yon

264 M. PI. Laue.

Apparaten unterscheiden.) Die Wahrscheinlichkeit fur Fun ken- bildung in einem dieser Apparate zwischen t und t + dt ist dann

- B f P d 0 d t 00

d t . 0 wn(t)dt = - Va’(t)dt = /3pn(t)e

Greifen wir aber aus der ganzen Zahl N der Apparate einen beliebigen heraus, so ist die entsprechende Wahrscheinlichkeit durch

-s,fPn(O ( I t tu(t)dt = x a n w n ( t ) d t = p d t C a , p , ( t ) e 0

gegeben. Aus einer Kurve fur 1

cn - B/pm (6) d t

(2) ntw = J w ( t ) d t = C a n e 0 t

la6t sich dann im allgemeiuen sehr wenig Uber die verschie- denen Wahrscheinlichkeitsfunktionen p n entnehmen.

Nimmt man jedoch die physikalisch einleuchtende An- nahme hinzu, daS jede der Funktionen p,(t) von einem be- stimmten Wert t an so gut wie konstant ist, 80 zwingt der in Fig. 10 bei Z u b e r aufgedeckte lineare Zusammenhang zwischen log ntO) und t zu deln SchluB, daB alle diese Grenzwerte uberein- stimmen. Sol1 namlich bei konstantem p

sein,

ein e falls aber

t

- sJan (t) d t -- BPt C a n e 0 cz ae

80 folgt durch Differentiation und Elimination von e - hf t

Gleichung, die als Identitat in t durchaus moglich ist, die Funktionen p, ( t ) nicht weiter bekannt sind. Sind sie von eioem bestimmten t-Wert an unveranderlich, 80 folgt

aus ihr notwendig p,, = p. Das bedeutet aber, da6 die Funken- strecke, wenn nur hinreichend lange kein Funken ubergeht, in einen bestimmten von der Vorgeschichte unabhiingigen Normal- zuetand kommt.

Bemerkung zu K, Zubers Hessung der %z$geerungszeiten urn. 265

Z u b e r s Arbeit beweist unseres Eraohtens schlagend, daS 1. beim Zustandekommen einer Entladung in einer Funken- strecke der von ihm benutzten Art der auf der Ungeordnetheit molekularer Vorgange beruhende Zufall die entscheidende Rolle spielt; 2. die Wahrscheinlichkeit, da8 der Funken auf eine An- regung von auBen (Bestrahlung) anspricht, nach Ablauf einer gewissen Zeit (vom letzten E’unken an gerechnet) einen be- stimmten konstanten Wert snnimmt.

(Eingegangen 21. Oktober 1924.)