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Die Ausbreitung r~iumlicher Stosswellen in ein ruhendes Medium V o n W . SCHNEIDER, D e u t s c h e V e r s u c h s a n s t a l t f i i r L u f t - u n d R a u m f a h r t , I n s t i t u t I t i r

Theoretische Gasdynamik, Aachen, Deutschland

1. E i n l e i t u n g

Auf dem Gebiet hyperbolischer Differentialgleichungen der Gasdynamik wurden in den letzten Jahren einige Fortschritte mit einer neuen Methode erzielt. K. OSWA- TITSC~ ~1~ 1) ver6ffentlichte 1962 ein analytisches Verfahren, mit dem sich isentrope Kugel- und Zylinderwellen endlicher Amplitude berechnen lassen. Eine Verallge- meinerung der Theorie auf drei unabh~ngige Ver~tnderliche gab OSWATITSCI-I in E21, wobei wieder das instation~re Problem behandelt wurde. Das Verfahren wurde in den Arbeiten [3j und E41 auf station~re i3bersclaallstr6mungen fbertragen. Auch instatio- n~ire schallnahe Str6mungen wurden untersucht E5~, E61, ET~. Asymptotische L6sungen ffr Kugel- und Zylinderwellen werden in E81 angegeben.

Wesentlich ftir die Methode yon OSWATITSCH i s t , dass sie mit charakteristischen Koordinaten aIs unabh~ngige Ver~tnderliche arbeitet. Str6mungsgr6ssen und ,,physikalische Koordinaten" (Ortskoordinaten und Zeit) werden als abh~ingig ver- ~tnderlich betrachtet und nach einem kleinen St6rparameter entwickelt. Unter ge- wissen Bedingungen erh~lt man beim 1Jbergang vom charakteristischen Koordinaten- system zum physikalischen Koordinatensystem dreifach fberdeckte Bereiche. Sie lassen sieh physikalisch nur dutch einen schwachen Verdichtungsstoss ersetzen.

Die angeffhrten Ver6ffentlichungen behandeln das ganze Str6mungsfeld einheit- lich. An den St6ssen sind aber wesentliche Vereinfachungen des Rechenverfahrens m6glich. Diese Vereinfachungen wurden bisher erst bei den einzelnen Rechenbeispie- len verwendet. Der Stoss wurde ermittelt, nachdem das ganze Str6mungsfeld bekannt war. Ausserdem beschr~nkte man sich bei den Str6mungen mit drei unabh~ngigen VerXnderlichen auf die Untersuchung der Verh~ltnisse in Symmetrie-Ebenen E4~, E67 oder in Achsenn~ihe E6~. Probleme mit mehr als drei unabh~ngigen Ver~nderlichen (instation~re rXumliche Str6mungen) wurden mit der neuen Methode noch nicht bearbeitet. Die vorliegende Arbeit befasst sich mit schwachen r~iumlichen Stosswellen, die in ein ruhendes Medium hineinlaufen. Das fbrige Str6mungsfeld, also das Gebiet mit stetigen Zustands~nderungen im physikalischen Koordinatensystem, wird ausser acht gelassen. Diese Problemstellung hat in vielen Fiillen praktische Bedeutung, bei- spielsweise bei Untersuchungen iiber Explosionswellen oder fiber die Knallbel~stigung durch Geschftze. Die Methode yon OSWATITSCtt I~sst sich in der Umgebung der St6sse so stark vereinfachen, dass allgemeine L6sungen, unabhAngig von speziellen Randbedingungen oder Symmetrie-Annahmen, m6glich sind.

x) Die Ziffelxa in eekigen Klammern verweisen auf alas Literaturverzeichnis, Seite 77.

Vol. 18, 1967 Die Ausbreitung r/iumlicher Stossweilen in ein ruhendes Medium 67

2. Ausgangsgleichungen

Wir nehmen ein ruhendes, isotropes, homogenes und reibungsfreies Medium an, das sich stets im thermodynamischen Gleichgewicht befindet. In dem Medium brei- ten sich Druck- und Geschwindigkeitsst6rungen aus. Die St6rungen sollen klein sein, aber endliche Amplituden haben. Sie k6nnen nur zu schwachen Verdichtungsst6ssen fiihren, die sich nahezu mit der Sehallgeschwindigkeit des ruhenden Mediums fort- pflanzen. Fiir ein isotropes Medium ist die Ruheschallgeschwindigkeit yon der Rich- tung unabh~ingig. Daher hat ein schwacher Stoss, der yon einem punktf6rmigen St6r- zentrum in ein isotropes Medium hineinl~iuft, in jedem Zeitpunkt nahezu die Form einer Kugel. Das heisst abet ~r dass es sich deshalb um einen kugelsymmetrische~ Stoss (Stoss einer ,,Kugelwelle") handeln muss, bei dem die Zust~inde hinter dem Stoss nur Funktionen der Entfernung vom St6rzentrum sind. Nur die Stossfront ist eine Kugel, wir werden einen solchen Stoss deshalb ,,kugelf6rmigen Stoss" nennen. Es ist selbstverst~indlich, dass ein kugelsymmetrischer Stoss stets auch kugelf6rmig ist.

Es wird sich als praktisch erweisen, in Kugelkoordinaten r, 0, Z zu rechnen, wobei r den Abstand vom St6rzentrum bedeutet nnd die Winkel 0 und Z wie tiblich die Richtung eines Strahles durch den Ursprung festlegen. Wit bezeichnen m i t t das Produkt aus Zeit und Ruheschallgeschwindigkeit ; u, v und w sollen die Verh~iltnisse der Geschwindigkeitskomponenten in r-, 0- und z-Richtung zur (konstanten) Ruhe- schallgeschwindigkeit bedeuten (Figur 1).

/ / U

/ / V

/ /

[

I

I

? Figur 1

Koordinatensysteme und Geschwindigkeitskomponenten.

Bei der Berechnung eines Stosses (Drucksprung, Dichtesprung usw.) kommt es immer nur auf die Geschwindigkeitskomponente normal zur Stossfront an. Ffir einen kugelf6rmigen Stoss ist das abet die Gesehwindigkeitskomponente in Radialrichtung, die wir in ihrer dimensionslosen Form mit u bezeichnet haben. Die beiden anderen Geschwindigkeitskomponenten v und zv haben in erster N~hernng keinen Einfluss auf den Stoss. Daraus ziehen wir die wichtige Schlnssfolgerung: Ein vom punktf6rmigen StOrzentrum auslaufender schwacher Stoss kann fiir jeden einzelnen Strahl durch

6 8 W . SCHNEIDER ZAI~IP

das Zentrum wie ein kugelsymmetrischer Stoss berechnet werden, wobei fiir die Zu- standsgr6ssen (Druck, Dichte, Geschwindigkeit, usw.) die yon Strahl zu Strahl ver- schiedenen - also nicht kugelsymmetrischen - Werte einzusetzen sind. Riiumliehe (nicht-kugelsymmetrische) kugelf6rmige St6sse lassen sieh daher mit der yon K. OSWATITSCH in der Arbeit ~1] dargestellten Methode berechnen, die flit kugelsym- metrische, zylindersymmetrische und ebene Wellen giiltig ist. Einschr/inkend muss jedoch angemerkt werden, dass kurzwellige Abweichungen der Stossfront yon der Kugelform mit dieser Rechnung nicht richtig erfasst werden k6nnen. Als ,,kurzwellig" in diesem Sinn sind Abweichungen anzusehen, deren Wellen]~inge nicht wesentlich gr6sser als ihre Amplitude ist.

In der Theorie von OSWATITSCH werden die Machschen Linien (Charakteristiken) als unabh~ingige Ver~inderliche verwendet und als charakteristische Koordinaten und ~7 bezeichnet. Zur Berechnung riiumlicher StSsse fiihren wit fiir jeden Strahi (0, Z) ein solches charakteristisches Koordinatensystem ein. Die Zustandsgr6ssen (u, v, w, Schallgeschwindigkeit c, usw.) und die ,,physikalischen" Koordinaten r, t werden als Funktionen yon $ und ~7 betrachtet. Die Winkel 0 und Z hingegen fassen wit - den obigen ~berlegungen entsprechend - als Parameter auf. Fo]gende St6r- ans~tze sollen flit die abh/ingige Ver~inder]ichen gelten:

U = ~ 1 --~ U2 -iF , , . ; V = 731 ~- U2 ~- . - - ; W = W l -~- ~f72 ~- , . . ; C = 1 -~ Cl ~- C 2 - ~ , . . ;

(1)

r = r o + r i + r 2 + . . . ; t = t o + t l + t 2 + . . . . (2)

Ansteigender Index bedeutet abnehmende Gr6ssenordnung der Ausdriicke. Wit wollen uns auf die erste N~lherung beschr~nken, in der alle Glieder mit Indizes i ~ 1 vernachl~issigt werden.

Wenn man die St6rans/itze (1) und (2) in die bekannten Richtungsbedingungen der Charakteristiken einsetzt und Glieder gleicher Gr6ssenordnung zusammenfasst, erh~ilt man ffir die St6rgr6ssen der physikalischen Koordinaten partielle Differential- gleichungen, die wit der Arbeit [1] entnehlnen (dort wird x stat t r u n d w start u ge- schrieben) :

0% Ot o 0% Oto = 0 . - - + = 0 " (3) o ~ - o--~- ' on ~-~ '

Or 1 Ot 1 Oto . Ori Oti Oto o~ 0~ (ul+cl) 0~' 0n + ~ = ( u ~ - c ~ ) 0n" (4)

Die allgemeine L6sung yon G]. (3) l~isst sich leicht finden. Wit wihlen in ~jTberein- stimmung mit [1] die spezielle L6sung

- n . ~ + ~ �9 (5) r~ -- 2 ' to 2

Die St6rungen sollen im Zentrum zur Zeit t = 0 (t o = 0) beginnen. Ffir die aus dem Zentrum in das ungest6rte Medium hineinlaufel]de Welle ist der Rand des StOrge- bietes dutch r o = to, also durch N = 0 gegeben. Mit der Randbedingung

= 0 : u 1 - - c i = 0 ; r i = t i = 0 (6)

Vol. 18, 1967 Die Ausbre i tung r~tumlicher Stosswellen ill ein ruhendes Medium 69

fordern wir stetigen Anschluss der Charakteristiken des gest6rten Feldes an diejenigen des ungest6rten Feldes. Die Gleichnngen (4) fiir rl und tl enthalten u s und c 1. Die Integration der Gleichungen (4) werden wir deshalb erst im Abschnitt 4 vornehmen, wenn fiir u: und c: einfache Ausdrticke zur Verfiigung stehen.

Um die Zustandsgr6ssen ul, v 1, w:, c: usw. zu bestimmen, denken wir uns ein Sy- stem yon Grundgleichungen ftir die Zustandsgr6ssen vorgegeben, das die physikali- schen Koordinaten (t, r, 0, Z) als unabh~ingige Ver~inderliehe entMlt. Fiir reibungs- freie Str6mung sind das beispielsweise die Kontinuit~ttsgleichung und die Eulerschen Bewegungsgleichungen. Mit Hilfe der Kettenregel ftir partielle Differentiation k6nnen wit gem~iss Gt. (2) von den unabh~ingigen Ver/inderlichen t und r auf t o und r 0 iiber- gehen :

0 = [ 1 + at: + ~ 0 + [Ox~ + ~ a . Oto \ 0770 ""] " " ! Ox -bT ~ Oto '

0 = [1 + Ox: 0 ( 0t: 0 (7) 0~o ~ ~-2 + ' ) + + ) 7F"

Denkt man sich G1. (7) und die St6ransXtze (1) in die Grundgleichungen eingetragen und beracksichtigt man nur Ausdriicke 1. Ordnung (Indexsumme 1), so erkennt man sofort, dass man daraus die in tiblieher Weise linearisierte Form der Grundgleichungen erhalten wtirde, jedoch m i t t o und r 0 als unabMngige Ver~tnderliche anstelle von t und r. Man erh~lt also die Zustandsgr6ssen 1. Ordnung als Funktionen der charakteristi- schen Koordinaten rezeptm~ssig einfach dadurch, dass man in den L6sungen der linearisierten Grundgleichungen (beispielsweise der linearen Wellengleichung) die Ortskoordinate r dutch r 0 = (~ -- *7)/2 und die Zeit t durch to = (~ + ~])/2 ersetzt.

An der Kopfwelle muss die Bedingung der Stosspolaren far schwache St6sse er- ft~llt sein; sie lautet far kalorisch ideale Gase:

c l - 2 u:. (8)

bedeutet das VerNiltnis der spezifischen W~rmen bei konstantem Druck und kon- s tantem Volumen.

Die Stossfront halbiert nach der Pfriemschen Formel den Winkel zwischen den gleichlaufenden Charakteristiken vor und hinter dem Stoss. Daraus ergibt sich nach einigen Zwischenrechnungen [1] die Differentialgleichung der Stossfront im charak- teristischen Koordinatensystem:

d~ g + 1 u: d~- 8 : + 2 (Ot:/0.~) " (9)

3. G e s c h w i n d i g k e i t s p o t e n t i a l u n d Z u s t a n d s g r 6 s s e n

Da die Str6mung drehungsfrei ist, existiert ein Geschwindigkeitspotential 9 (to, r o, 0, Z), aus dem sich die Zustandsst6rgr6ssen ableiten lassen:

- 1 0 ~ . O~o . 1 0 ~ . 1 O~o (10) cl 2 Ot ~ , u l - - 3r o, v~-- % 0 0 ' w : - - rosinO O•"

7 0 W . SCHNEIDER ZAMP

Nach den Uberlegungen im Anschluss an G1. (7) muss das Potential der linearen (,,akustischen") Wellengleichung geniigen; sie hat in Kugelkoordinaten die Form

2 0~o ctg0 Oqo 02~0 0 ~ 1 02~0 1 02~~ + 7o -b/~ + - 0 (11) Or~ + r2o 003 + r~osin S0 OZ 2 r2o O0 Ot~ "

Es sei nochmals betont, dass die hier gew~ihlte Darstellung, bei der 0 und Z als Para- meter aufgefasst werden, nur in der Umgebung des Stosses brauehbar ist. Wollte man das ganze r~tumliche StrSmungsfetd berechnen, so mtisste man 0 und Z analog zu r und t in Reihen entwickeln und in den Gleichungen (10) und (11) 0 durch 0 o und Z durch Zo ersetzen.

Als eine singullire LSsung der linearen Wellengleichung (n ) ist das Potential einer kugelsymmetrischen Quelle bekannt :

1 (t o r~ ) (12) p Q = r - .

~(t 0 - r0) bedeutet eine frei w~ihlbare Funktion, die den Anfangs- oder Ausstrahlungs- bedingungen anzupassen ist.

Wir legen in das St6rzentrum eine Quelle und beliebig viele andere Singularit/iten, die aus der Quellsingularit/it durch Differentiationen nach verschiedenen Richtungen hervorgehen (Dipol, Quadrupol und Multipole h6herer Ordnung). Durch r dieser Singularit~iten k6nnen wir sehr viele Str6mungsformen idealisieren; in hin- reichend grosser Entfernung vom St6rzentrum l~sst sieh damit sogar jede Str6mung darstellen, deren St6rungen von einem endlichen Raumbereich ausgehen. Die iJber- lagerung der Singulariffiten entspricht einer Fourier-Entwicklung der Zustands- gr6ssen beziiglich 0 und Z-

Wir behaupten nun, dass das Potential der Summe aller Singularit~iten, die sieh durch (n - 1)malige Differentiation nach beliebigen Richtungen aus dem Quellpoten- tjal (12) bilden lassen, die Form

n 1 P = - - ~ T ~ i ( ~ ] ,O,z) mit r ] = t 0 - r 0 (13)

i = l Y n 0

hat. Den Beweis ftihren wir dureh vollsttindige Induktion. Zun~ichst nehmen wir an, G1. (13) sei ftir n = m richtig, und differenzieren einmal nach einer beliebigen Rich- tung x. Man findet die Ableitnng nach bekannten Regeln der Feldtheorie, indem man die Projektion des Vektors grad p auf die Richtung x ermittelt. Die Richtung x wird in Kugelkoordinaten dnrch zwei konstante Winkel 01 und Zl festgelegt. Der Vektor grad 9) hat in Kugelkoordinaten die Komponenten Opo/Or o, 1/r o Op/O0 und 1/r o sin0 Op/OZ. Durch Projektion von grad p auf x erh~ilt man formal

m + l 1 O~Ox - i ~ ~ ~ (~' O, %) . (1.4)

Dieses Ergebnis entspricht aber v611ig G1. (13) ffir 1~ = m + 1. Unter der Annahme, G1. (13) sei ftir n = m giiltig, erweist sich die Gleichung also auch far ~r = m + 1 als richtig. F i i r n = 1 (keine einzige Differentiation) haben wir natiirlich das Potential der Quelle selbst, das entsprechend G1. (12) ebenfalls die Form von G1. (13) aufweist

Vol. 18, 1967 Die Ausbre i tung r&umlicher Stosswellen in ein ruhendes Medium 71

und die einzige kugelsymmetrische LOsung darstellt. Ausgehend von n = m = 1 k6n- nen wir somit G1. (13) schrittweise fiir beliebig grosse n beweisen.

Aus G1. (13) Iolgt mit G1. (10):

~ - i [ 1 ~ i ] . a 2 4 +Z2-G , (15)

i=2 o

i n i n

wobei 6{~ die partielle Ableitung yon 6i nach ~7 bedeutet . Die Zustandsgr6ssen u 1 und c i miissen der Randbedingung G1. (6) gentigen. Damit folgt aus G1. (15) und (16), dass die Funkt ionen 6i und ihre Ableitungen 6i~ auf der Charakterist ik ~7 = 0 ver- schwinden miissen, also 6i (0, O, %) = 6i~ (0, O, Z) = 0. Das ist le tzten Endes eine Randbedingung far das Potential , vgl. Gt. (13). Wir werden bei unserem Rechenbei- spiel im letzten Abschnit t darauf zurtickkommen.

Wir benOtigen hier nur eine LOsung, die in der Umgebung des Stosses gt~Itig ist. Dutch Vergleich von G1. (15) und (16) mit der Stossbedingung G1. (8) erkennt man, dass am Stoss nur jeweils der erste Summand in G1. (15) und (16) massgebend sein kann, die folgenden Ausdriicke miissen vernachl/issigbar klein sein. Es kommt also bei der Berechnung des Stosses nur auf das erste Glied der Summe in G1. (13) an:

1 = - 7 o 61 (~, O, Z) + " ; (17)

2 1 u l - - o , z ) + . . . . (18)

i r 0

Im Stoss wird das Medium verdichtet , folglich ist unmit te lbar hinter dem Stoss c 1 positiv .G1. (18) zeigt, dass unmit te lbar hinter dem Stoss 61 ~ positiv sein muss. Wegen 61 (0, 0, Z) = 0 und r] > 0 1/isst sich daraus schliessen, dass auch 61 hinter dem Stoss pos i t iv is t .

Die Gleiehungen (16) und (18) gelten fiir beliebige n. Setzt man speziell n = 1, so folgt aus einem Vergleich yon G1. (16) mit G1. (18)

~ @1~ (19)

Beachte t man, dass 61 yon der Gr6ssenordnung ~ 61 ~ oder gr6sser ist, und setzt man fiir r 0 noch G1. (5) ein, so erh~tlt man aus (19) fiir die Stossfront die Bedingung

1 (20)

Demnach liegt die Stossfront im charakterist ischen Koordinatensystem sehr nahe bei der Charakterist ik ~1 = 0. Fi ihrt man G1. (5) und (20) in die Gleichungen (17) und (18) ein, so ergeben sich schliesslich fiir die Umgebung des Stosses die Entwicklungen

1 ~ ~ 1 " q) = -- ~- 61('7, O, Z) " (21)

2 1 ~ ~ 1 : qA~l - - ~4 -- 1 C1 = T 6i~(~1' 0, Z) . (22)

72 W. SCHNEIDER Z A M P

4. O r t u n d St~ irke d e s S t o s s e s

Nach Einsetzen yon G1. (22) und G1. (5) in die Gleichungen (4) lassen sich diese Richtungsbedingungen sofort integrieren:

r~ 4 1 . r l _ t l _ ~ + 1 ~@(V) 3 - - ~ ~1 ~- 4 ~31~ In ; rl + tl -- ~ $ + ~7o(~) �9 (23)

Durch die Randbedingung (6) wird die Integrationsfunktion ~o(~) festgelegt, ausser- dem erkennt man auch hier wieder, dass ~1 v (0, 0, Z) = 0 sein muss. Die zweite freie Funktion ~o(~) w~thlen wir einfach zu ~o = 7. Beachten wit noeh die Bedingung (19), so erhalten wir aus G1. (23) ffir die St6rkoordinaten r 1 und t 1 in der Umgebung des Stosses:

r/ ~ 1 : rl = _ t l _ z + 1 ~- 8 r I n ~ . (24) r/

Mit G1. (24) und G1. (22) ergibt sich aus G1. (9) die Differentialgleiehung der Stoss- front

dr/ ~ + 1 q)l~ (25)

4 ~

die durch die Substitution ~ = In ~/~1 in eine lineare Differentialgleichung 1. Ordnung tibergeffihrt werden kann. Die allgemeine L6sung

in ~ - - 1 ,~)~ r/ (G~) ~ ~ + d~ + C (26)

wird der Randbedingung angepasst, dass ffir kegelige St6rungen (St6rungen nur ab- h~ingig von ~1/~) auch der Stoss "kegelig" sein soll (~/~ = konst.). Darnit lautet die Gleichung der Stossfront im eharakteristischen Koordinatensystem:

mit der Abkiirzung

F - - - - 8 / [G~(g, o, z)P dg. + 4 (v, o, z) + 0

[ \ ,28j

r = ~ - ~ +

t = ~ + 2

~ + 1 F 8 ~1~ - r(~, 0, Z) ; (29)

~ + 1 F 8 ~ - t(~, 0, Z) �9

Auf einem vorgegebenen Strahl (0, Z) l~sst sich aus G1. (29) zu jeder Zeit t die Ent- fernung r des Stosses vom St6rzentrum angeben. Ffir die Zustandsgr6ssen unmittel- bar hinter dem Stoss findet man aus G1. (22) mit G1. (27) eine Formel, die ebenso wie

Durch Einsetzen yon G1. (27) in die Gleichungen (5), (24) und (2) erNilt man ftir die Stossfront im physikalischen Koordinatensystem (r, t) die Parameterdarstellung

Vol. 18, 1967 Die Ausbreitung r/iumlicher Stosswellen in ein ruhendes Medium 73

G1. (29) ~ als Pa rame te r en tMl t :

ul - cl = r ~j exp - . (30) 1 T (G~) ~

Dami t k6nnen ftir alle Strahlen die Zustands~tndernngen am Stoss zur Zeit t oder in der En t fe rnung r berechnet werden. H~iufig interessiert auch der Drucksprung am Stoss, der sich aus der Stosspolaren zu

Pl - p - Po Po - ~ ul (31) ergibt.

Bisher wurde vorausgesetzt , dass die St6rungen in der Umgebung des Stosses klein sind. In vielen F~illen ha t man abet kleine St6rungen im ganzen Str6mungsfeld, ausgenommen das S t6rzent rum und seine unmi t te lbare Umgebung (ro/t o ~ 1). Ers t dadurch werden ja Rechnungen mi t der l inearen Wellengleichung im ganzen Str6- mungsfeld gerechtfert igt . Wenn man also zus~itzlich zu den bisher getroffenen An- nahmen voraussetzen kann, dass

r0 = 0(1) (32) u I ~ 1 ffir 70 ~

so fiihrt alas wegen G1. (16) und (5) zu der Bedingung

r ~2 < 1 . (33)

Demnach darf in GI. (28) das In tegra l gegen den ersten Summanden vernachl~issigt werden,

8 F - G(,7, o, z ) + . . . ~ + 1

und man erh~ilt aus GI. (27)

in 6: _ 8 ~1 z + 1 ( ~ l n ) ~

(34)

+ . . . >~ 1 . (35)

Mit G1. (34) anstelle yon G1. (28) vereinfacht sich die Berechnung der Stossfront nach G1. (29) und der Zustandsgr6ssen nach GI. (30).

5. A b k l i n g e n des S t o s s e s in g r o s s e r E n t f e r n u n g v o m S t 6 r z e n t r u m

Aus G1. (27) erkennt man, dass fiir q~l,z § 0 die Koordina te ~ + 0o geht, also nach G1. (5) und (2) bei Beach tung yon (20) auch r --> oo w~tchst. Den kleinsten posi t iven Wer t yon ~7, ftir den r ~ verschwindet , bezeichnen wir mi t ~1~ und nennen die zugeh6- rige Charakter is t ik , ,neutrale lVfachlinie", weil die Maehlinien ~ > ~/~ die Kopfwelle nicht mehr beeinflussen k6nnen. Es gilt also:

~ 1 - - ~ ] , > 0 : (31~(~1, 0, Z) - -~0 " ~ - + o o ; r--->oo ;

4~(~, o, z) - > G ( ~ , o, z) - & ; F(,7 ,o, z) -~ F(,7~, O, z) - F~. (36)

~7, ist im allgemeinen von 0 und Z abhtingig. Zur Bes t immung der Zustands~inderun- gen im Stoss in grosset En t fe rnung vom St6rzen t rum gehen wir von G1. (22) aus und

74 W. SCHNEIDER ZAMP

setzen fiir r nach G1. (27) ein. Entwiekeln wir dann an der Stelle ~ -= "q,~ in eine Taylorsche Reihe, so ergibt sich

2 F(7) u~ - ~ln(~/7)

{1+ 0 ( 7 - (r 7 - (371 *~ln(+/G) , 7, ln(~lG)) + 0 t k ~ - - a , + ' " } "

Um die Gr6ssenordnung von (~/-- *],)ill, abzusch~ttzen, entwickeln wir auch r an der Stelle ~ = ~/, in eine Taylorsche Reihe, wobei wir G1. (36) beachten:

41,(~) = 41,,(~,) + (~ - ~o) 41,,(~.) + . . . . (7 - ~.) 41,~(~.) + ' " �9 (38)

Wieder kann fiir r ~ aus G1. (27) eingesetzt werden. Damit liefert G1. (38) die Ab- sch/itzung

7 7~ _ 0 \ 7 , (39) 'qn r I / In (~/7,,) / "

Entsprechend den Gteichungen (2), (5) und der Bedingung (20) kann man ~ in erster N~therung ersetzen durch

= 2 r 0 + . . . . 2 r + ... , (40) oder auch

= 2 t o + . . . . 2 t + . . . . (41)

G1. (39) zeigt daher, dass fiir sehr grosse Entfernungen r vom St6rzentrum (7 - ~,)/~/~ sehr klein wird. Dann reduziert sich G1. (37) in erster N~iherung auf den Ausdruck vor der geschwungenen Klammer. Fiir Entfernungen r = ~/2 + - . . , die hinreichend gross sind, dass die Bedingung

G~1~(7.) Vln(~/%) ] ~ 1 (42)

erfiillt ist, gilt die einfaehe Formel ftir die Zustands~nderungen im Stoss:

2 ~ ~ 1/ ~ qA~l - - ~4 -- 1 Cl = --g P l = ~ i / i n (~/~]n) " (43)

F, hat darin den Gleichungen (28) und (36) entsprechend die Bedeutung

F , - 8 / (#1~)~ d~ (44) ~ + 1 r ~ �9

0

Aus G1. (43) und G1. (40) erkennt man einen wichtigen Zusammenhang zwischen Stol3st~irke (Druck- und Geschwindigkeitssprung) und Enffernung vom St6rzentrum : Die StoBsffirke ~indert sich umgekehrt proportional zu

,p;nn 7n

Wenn die St6rungen im ganzen Feld, ausgenommen das St6rzentrum, hinreichend klein sind, dass sie der Bedingung (32) gentigen, so kann G1. (28) durch die einfachere

Vol. 18, 1967 Die Ausbreitung rttumlicher Stosswellen in ein ruhendes Medium 75

G1. (34) ersetzt werden, und man e rMl t aus G1. (43) fa r die Zustands~inderungen im Stoss:

2 1 2 1L 2 Ul- - ~ 1 C l=- -~ P l = ~- ~/ ( ~ + 1) ln($/~n) " (45)

Cl. (36) zeigt, dass q~l~ den Maximalwert von q~ fiir einen bes t immten Strahl (0, Z) bedeutet . Nach G1. (45) h~ingt daher die Stol3st~trke in sehr grosser En t fe rnung vom Zen t rum nur vom lV[aximalwert von r ab, wenn Geschwindigkeits- (oder Druck-)- St6rungen im ganzen Feld - mi t Ausnahme des St6rzentrums und seiner unmit te l - baren Umgebung - klein sind. Der Verlauf yon $1 ist in diesem Fall bedeutungslos.

Von einigem Interesse ist die En t fe rnnng r des Stosses vom St6rzent rum zur Zeit t. I m vorigen Abschni t t wurden ftir den allgemeinen Fall die Gleichungen (29) ange- geben, die hier fiir grosse ze i ten t (oder, was dasselbe ist, fiir grosse Ent fernungen r) vereinfacht werden sollen. Aus den Gleichungen (29) f indet man durch Subt rakt ion

r - t - ~ + 1 F (46) 4 #~n ~] "

Durch El iminat ion yon ~1~ mit tels G1. (27) und Taylorentwicklung an der Stelle ~? = ~ ergibt sich aus G1. (46)

r -- t -- z +4 1 I' - l / -F ' ln ~ , (47) 7/n

wobei die En t fe rnung (oder Zeit) hinreichend gross sein muss, dass die Bedingung (42) gilt. I s t zus~itzlich auch die Voraussetzung (32) erfiillt, so kann wie bei den Zustands- ~inderungen F, durch 8 q~l,/(~ + 1) ersetzt werden.

Wenn man G1. (41) in G1. (47) einsetzt, erh~ilt man die Enf fe rnung r des Stosses vom St6rzent rum als Funkt ion der Laufzei t t; verwendet man andererseits G1. (40), so ergibt GI. (47) die Abh~ingigkeit der Laufzei t t yon der En t fe rnung r. In beiden F~illen handel t es sich um explizite Gleichungen, die eine einfache Auswertung erm6g- lichen. U m I r r t i imer bei der Anwendung yon G1. (47) vorzubeugen, sei daran erinnert, dass m i t t nicht die Zeit selbst, sondern das P roduk t ans Zeit und kons tan ter Ruhe- schallgeschwindigkeit bezeichnet wird.

6. Beispiel: Quelle, Dipol und Quadrupol (instationiir)

Wir legen in den Koord ina tensprung (r = 0) eine Quelle, einen Dipol und einen Quadrupol . Die St~irke der drei Singularit/tten sei zeitabh~ingig. Die Gerade 0 = 0 sei die Dipolachse, die Achsen des Quadrupols sollen die Richtungen 0 ~ ~/2, Z = 0 und 0 = 7t/2, Z = ~/2 haben. Das Potent ia l 9 der aus dem Zen t rum lanfenden Welle ist durch

1 [ 1 1 ]

(48) [ 3 3 , 1 sin~ c o s 2 Z + hO?) + ( h (n) + E-

gegeben. Die Quellst~irke ist propor t ional zu f, die Dipolst~irke proport ional zu g' und die St/irke des Quadrupols proport ional zu h". Diese freien Funkt ionen w~ihlen wir so,

76 w. SCHNEIDER ZAMP

dass die Singularit~tten ihre T~itigkeit im Zentrum (r = r o = 0, ~ = F = to) zur Zeit t = t o = 0 beginnen und zur Zeit t o = 1 gleichzeitig die Maxima ihrer Sffirken errei- chen. Ausserdem muss die Randbedingung (6) erftillt sein. Wir setzen

f = A F 2 ( 3 - 2 ~ 7 ) ; g ' = B n 3 ( 4 - 3 ~ 7 ) ; h"=CFB(4-3~7). (49)

Die positiven Konstanten A, B und C sind den Maximalwerten der Quell-, Dipol- und Quadrupolst~irke proportional. Vergleicht man G1. (48) mit G1. (13), so findet man

~1 = f + g' COS 0 + h l/sin ~ 0 cos 2 Z (50) und mit G1. (49)

r 2 1 3 - 2 r / + K r / ( 4 - 3 r ] ) ] ; q ~ l ~ = 6 A r l ( 1 - r ] ) ( I + 2 K r ] ) , (51)

wobei zur Abktirzung B cos 0 + C sin ~ 0 cos 2 Z (52) K A

eingeftihrt wurde. G1. (28) liefert mit den Gleichungen (51):

8A F - ~7 ~ [ 3 - 2 r 1 + K ~ / ( 4 - 3 rl) ] u + l

+ 3 A 2F2 [ 6 - 8 ( 1 - 2 K ) F + 3 ( 1 - 8 K + 4 K 2) F2

+ 48 K (15-- 2 K) rl a + 8 K ~ r/4]

(53) I Unter Verwendung von G1. (51) und Gl. (53) kann aus G1. (29) zu jeder Entfernung r die charakteristische Koordinate ~] und die Laufzeit t berechnet werden und schliess- lich lassen sich aus den Gleichungen (30) und (31) die Zustands~tnderungen am Stoss bestimmen.

Die neutrale Machlinie ist durch die kleinste positive Nullstelle yon ~1 ~ gegeben. Aus der zweiten Gleichung (51) ergibt sich

1 ~ n = l fiir 2 K ~ - l " ~n 2 K ffir 2 K ~ < - 1 . (54)

Damit erMlt man aus der ersten Gleichung (51)

q ~ I ~ = A ( I + K ) ftir 2 K ~ - l ; ~b I ~ = ~ T I + T ~ -

und aus G1. (52) oder auch aus G1. (44) folgt

ftir 2 K ~ - - l ,

(55)

Fn - 8A(l+K)x~_l +T3A2 ( 5 + 8 K + 4 K 2) ftir 2 K > - - 1 " ~ ,

Fn = A ( I + 4 K ) 3A~ ( l + 8 K + 2 0 K e) ftir 2 K < - - 1 2 (~+ 1) K3 + ~ = "

(56)

Mit Hilfe der Gleichungen (54), (56), (40) und (41) sind durch G1. (43) die Zustands- ~inderungen am Stoss in grossen Entfernungen oder flit grosse Laufzeiten explizit

Vol. 18, 1967 Die Ausbreitung r~umlicher Stosswellen in ein ruhendes Medium 77

bes t immt . Man erkennt , dass die Beitr/ ige yon Quelle, Dipol und Quadrupo l zur Stoss- st~trke in gleicher Weise abkl ingen; Abweichungen des Stosses yon der Kuge l sym- metr ie in e inem Anfangszus tand gleichen sich also auch nach grossen Laufzei ten nicht aus. Den Zusammenhang zwischen Laufzei t und En t fe rnung des Stosses yore Zen t rum gibt Gleichung (47). Diese Vereinfachungen der Rechnung gegentiber der Auswer tung yon G1. (30) und (31) haben nur Ifir En t fe rnungen oder Laufzei ten Bereeht igung, die so gross sind, dass die Bedingung (42) erffillt ist. Die F igu r 2 zeigt numerische Ergeb- nisse ftir den Drucksprung im Stoss in einer En t fe rnung r = 100 vom Zent rum. Die K o n s t a n t e n wurden zu A = 5, B = 10 und C --~ 15 gew~thlt.

=0 o

= f

Figur 2 Abh~ngigkeit der Druck~inderung im Stoss yon der Ausbreitungsrichtung. Quelle mit A = 5, Dipol mit

B = 10, Quadrupol mit C ~ 15; Entfernung r = 100.

Abschl iessend sei noch der in den Abschn i t t en 4 und 5 erw/ihnte Sonderfal l ange- nommen, dass die St6rungen im ganzen Fe ld (ausgenommen St6rzentrum) klein sind, und nicht nur - wie b isher vorausgese tz t - h in te r dem Stoss. Dann muss A < 1 sein. Aus GI. (53) oder (56) e rkennt man deutl ieh, dass diejenigen Glieder, die A 2 als F a k t o r en tha l ten , vernachl / iss igt werden k6nnen. Die fibrig b le ibenden Ausdrf icke s t immen mi t den al lgemeinen Gleiehungen (34) und (45) iiberein.

H e r r n Prof. Dr. K. Oswat i t sch bin ich ftir seine kri t ische S te l lungnahme und ftir Verbesserungsvorschl/ ige zu dieser Arbe i t sehr zu Dank verpf l ichte t .

LITERATURVERZEICHNIS

[1] I4. OSWATITSCH: DaS Ausbreiten yon Wellen endlicher Amplitude. Z. f. Flugwiss. 70 (1962), 130-138.

[2J K. OSWATITSCH: Die Wellenausbreitung in der Ebene bei kleinen Stdrungen. Archivum Mechaniki Stosowanej (Warschau), 74 (1962), 621-637.

E3] W. SCHNEIDER: 2t nalytische Berechnung achsensymmetrischer •berschallstr6mungen mit Stdssen. Deutsche Versuchsanstalt ftir Luft- und Raumfahrt , Bericht Nr. 275 (1963) ; oder Dissertation TH Wien 1963.

[4] E. Y. C. SuN: Nicht-angestellte s mit Unterschall- und SchalIvorderkanten. Journal de M6canique 3 (1964), 141-163.

[51 K. OSWATITSCI-I: Quellen in schaIlnaher Strdmung. Beitr/ige zum Symposium Trans- sonicum, herausg, yon K. OSWATITBCH, Springer-Verlag, Berlin 1964.

[6] E, LEiTER: Ein Beitrag zur Charakteristikentheorie tier Strdmungen im Raume. Dissertation TH Wien 1965.

E7] IR. STuFf: Der Stosswellenknall in grosset Ent#rnung von beschleunigten oder verzdger- ten Rotationskdrpern. (In Arbeit).

[8~ H. IROTI~MANIq: Das asymptotische Verhalten yon Kugel- und Zylinderwellen. ]?;rseheint demn~tehst als DLR-Forschungsbericht.

Summary

The propagation of weak three-dimensional shock waves through an isotropic medium at rest is investigated. The shock strength may depend on the time and on the direction of propagation. Analytic solutions are given for the change of the flow quantities across the shock and for the distance of the shock from the centre. The application of the results is illustrated in an example.

(Eingegangen: 12. Mai 1966.)

Unsteady Discharge of Ideal Fluids from Vertical, Constant Cross-Section Reservoirs

By J. SEST~:, J. JE~EK, M. JIRS~,K, Prague, Czechoslovakia 1)

1. I n t r o d u c t i o n

The physical process which occurs in the emptying of tanks or vessels has at tracted the interest of many investigators in the past, and it is very difficult to decide who was the first to at tack this fundamental problem of hydrodynamics. I t is the opinion of the present authors that the most general analysis performed so far belongs to KozENY [1~ ~), who integrated the unsteady macroscopic mechanical energy balance for the case of reservoirs possessing axial symmetry and arbitrary form of tile curve formed by meridian-plane cuts. The final step of this investigation, i. e. the calculation of the velocity and efflux time, has been performed with the simplifying assumption that acceleration effects are negligible. SZAB6 E2] integrated the macroscopic mechani- cal energy balance for tanks formed by a paraboloid of revolution, neglecting ac- celeration effects as well. He used an approximate way of estimating the error oc- curing due to this neglection. JURA [3] solved analytically the general equation to obtain the dependency of the velocity upon the level height and repeated thus in a certain sense the work of Kozeny. In Bird's well-known textbook [41 the solution of the general equation tor the efflux time from constant cross-section vertical tanks is given in the form of a definite integral, The exact knowledge of the error introduced by neglecting acceleration effects in calculating the efflux time is of practical as well as of academic importance. The present authors solved this and some related problems by using a combination of analytical and analogue computer techniques.

2) CvuT, Faculty of Mechanical Engineering, Technickg 1902, CSSR. 2) Numbers in square brackets refer to References, page 85.