252

4. B e d e Sdt t e reche Welt; vm M. 9. Lazce und Ndkhdl l ramjan Sen.

Die kugelsymmetrischen Losungen der Gravitations- gleichungen fiir beliebige Tensorkomponenten sind in einer friiheren Arbeit, die in dieser Zeitschrift erschienen ist'), ge- geben, und abs diesen Losungen und den allgemeinen Unstetig- keitabedingungen ist das Schwerefeld einer Kngelschale (mit einer Flachenbelegung von Materie) abgeleitet worden. Dabei ist aber das I-Glied vollstandig vernachliissigt. Die vorliegende Arbeit will eine Bemerkung iiber die de Sit tersche Welt liefern, die sich aus der Hinzuftigung des I-Gliedes ergibt.

Die kngelsymmetrischen Losungen der Qravitations- gleichungen (mit dem I-Qlied) im Felde sind bekanntlich

1 a 1 a 1 I - - - -Lrs r S

, 9, = p (1 - 7 - -w), 3 91 - wobei cx nnd /I zwei Konstanten sind und g1 und 9, die fol- gende YaSbestimmung

dsa = g , d t s - g l d r 2 - r 4 d O P - r a 0 i n 2 8 d ~ 2 defieren.

einer Kugelschale vom Radius a an: Jetzt nehmen wir folgende Formel fur das Schwerefeld

dr' 1

1 --Ar4 3

dt2 - -- - 1'2dOa - r2 sin2 @ dx2

far r < a , a 1 drs dse= p(1 - - -Ira) dt2 - 3 (1 - T - Q ~ r 9 a 1

- r 2 d 0 2 - r a s i n a O d ~ a f ir r > a ,

1) N. Sen, a e r die Grenzbedingungen des Schwerefeldes an Un- statiikeitaflllchen. Ann. d. Phye. 75. 5. 865. 1924.

Die de Sittmsche Welt. 263

nnd benutzen die zwei Unetetigkeitebedingungen *) an der Flilche r = a:

(+) - (+)'= - ( 9 4 ) - CsJ= 0 s

urn die Konstanten a und @ zu beetimmen. Hier ist unter p der Limes

lim x Td4dr .9=0 a-a 7'

zu verstehen. Dieses orgibt die MaSbeetimmung

rtdQs - re sinf 8 d y e , ds*= ( l - - L r s ) d t a - - - - 1 dr' 1

(r < a) 3 l -TLrl

- - ra d@' - ra a h a @ dya dr' pa' 1

fir das Schwerefeld einer Kugelschale vom Radius a.

- -- 1 ----Arm

7 . 8 (r > 4

Nehmen wir jetzt folgende Transformation vor:

1---1ra= 3 1 c o s s 9 . oder r = E s i n 8 , ( O < r < i F )

so haben wir in dem h u m innerhalb der Schale ( r < a ) 3 dsz= cos29. d P - T(d9 .a+ s h ' 8 dOaf sina$ eha@dya) ,

was mit der MaSbeatimmung der de Sitterschen Welt voll- stiindig tibereinstimmt. Denken wir jetzt an eine Kugelechsle

fat mit der Kugelschale r = 6 die Aquatbrebene 9. - zneammen; auf der Schale verechwindet die Lichtgeechwindig- keit nnd das Schwerefeld innerhalb der Hohlkugel stimmt mit dem Felde der de Sitterschen Welt tiberein.

n

1) a. a. 0. Diese Bedingungen gelten atets, ob man in den DiEe- rentdgleichungen dea Feldee das l-Glied berficksichtigt oder nicht.

AUIUI~II dsr Phydk, 1V. Folge. 74. 18

254 M. v. Jaw u. N. Sen. Die de rsittCrschs Welt.

Was geschieht nun aderhalb der Schale? Dort ist das Quadrat der Lichtgeschwindigkeit proportional dem Ausdrucke

1 l--Aa* _.

r

1 Nun iet 1 - b aa = 0, und die Lichtgeschwindigkeit wird iiberdl in dem AnSenraum verschwinden, wenn wir daffir sorgen, da6

ist. Folglich wird die MaSbestimmnng in jedem Pnnkte auI3er- halb der Kngel singuliir, innerhalb deren aber hemcht dsrr Gravitationsfeld der de Sit terschen Welt. Der sogenannte ,, Massenhorizont6' erscheint a l e eine Fliichenbelegung auf der Kugelschale.

Man kann somit die de Sittersche Welt auffassen ala Grenzfall des Schwerefeldes im Inneren einer Kugelschale, wenn man deren ,,Halbmesser" a = fi werden 1LBt. Dabei ist ee gleichgliltig, welchen Wert man der Massendichte auf der Kngelfliiche gibt, wenn man nur irgendeinen poeitiven Betrag dafiir feetsetzt. Es ist also such unmiiglich, dem Massenhorizont eine beatimmte Gesamtmasae zuznschreiben.

P * O

(Eingegangen 18. Jannar 1924.)