DO01 3-12-773022 001 006 - Klett · DO01_3-12-773022_001_006.indd 2 01.08.2018 18:00:50. Bewegungen 7 (S. 39) Rückblick Hinweise zu den Heimversuchen Schneller Radfahren Messung

Lösungen zu den Übungsaufgaben des Schülerbandes

Ernst Klett VerlagStuttgart · Leipzig

Impulse Physik

11– 13Oberstufe

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Inhalt

Einführungsphase

1 Bewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

2 Ursache von Bewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

3 Erhaltungsgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4 Akustik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5 Optische Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

6 Atom- und Kernphysik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

7 Strahlungsphysik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Qualifikationssphase

Die Inhalte zur Qualifikationsphase folgen.

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Bewegungen 7

(S. 39) Rückblick Hinweise zu den Heimversuchen

Schneller Radfahren Messung mehrerer Zeit-Weg-Koordinatenpaare, dann Näherung der Beschleunigung mit a = Δ v /Δ t oder Regression.

Reaktionszeit messen Für den vom Lineal zurückgelegten Weg gilt: s (t ) = 1⁄ 2 g ∙ t 2 Nach t aufgelöst, lässt sich die Reaktionszeit aus dem Weg bestimmen:

t = √ __

2s _ g

(S. 40) Rückblick Lösungen der Trainingsaufgaben

A1 $ Aus Sicht des Jongleurs handelt es sich um einen senkrechten Wurf.Aus Sicht eines Zuschauers beschreibt der Ball eine parabelförmige Bahn.

A2 0 Beide Bewegungen sind bis zum Zeitpunkt der Ruhe gleichförmig.In einem Fall ist die Geschwindigkeit negativ:

v 1 = − 6,0 m

_ 5,0 s = − 1,2 m _ s

Im anderen Fall ist die Geschwindigkeit positiv:

v 2 = 5,0 m

_ 4,0 s = 1,25 m _ s

Die Abbildung rechts zeigt das t-v-Diagramm.

A3 0 Zur Untersuchung kann ein Diagramm gezeichnet oder die Geschwindigkeit für die einzelnen Intervalle berechnet werden. Es ergibt sich, dass eine gleichförmige Bewegung vorliegt.

s (t ) = 53 m _ s ∙ t

A4 0 Δ s = 11 m, Δ t = 0,4 s. Wir gehen von einer gleichförmigen Bewegung aus, sonst ist die Auf gabe nicht lösbar: v = 99 km/h

A5 $ Zu berechnen ist die erreichte Geschwindigkeit nach 20 m freiem Fall. Die Fallzeit beträgt

t = √ __

2 s _ g = √ _____

2 ∙ 20 m __ 9,81 m _ s 2

= 2,02 s, damit folgt v = g ∙ t = 9,81 m _ s 2 ∙ 2,02 s = 19,81 m _ s = 71,31 km _ h

A6 $ Bei konstanter Beschleunigung muss s _ t 2 konstant sein. Wir erhalten folgende Quotienten:

4,80 m

__ (0,80 s) 2 = 7,50 m _ s 2 43,3 m

__ (2,40 s) 2 = 7,52 m _ s 2 97,5 m

__ (3,60 s) 2 = 7,52 m _ s 2 203 m __ (5,20 s) 2 = 7,51 m _ s 2

Das t-s-Gesetz könnte also lauten: s = 7,51 m _ s 2 ∙ t 2 .

Für das t-v-Gesetz ergibt sich daraus: v = 15,02 m _ s 2 ∙ t.

(S. 9 – 42) 1 Bewegungen

v in ms

–1

1

1 2 3 4 5

t in s

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8 Bewegungen

(S. 40) A7 $ Lkw: s (t ) = 50 km _ h ∙ t = 13,89 m _ s ∙ t

Pkw: Die Beschleunigung beträgt a = Δ v _ Δ t = 100 km _ h

_ 11 s = 27,78 m _ s _ 11 s = 2,53 m _ s 2 . Damit folgt:

s (t ) = 1 _ 2 ∙ 2,53 m _ s 2 ∙ t 2

Beide Gleichungen werden gleichgesetzt und nach t aufgelöst. Es ergibt sich: t = 10,98 s. Dies wird in s (t) eingesetzt: s = 153 m

Die Geschwindigkeit des Pkw beträgt dann: v (t) = a ∙ t = 2,53 m _ s 2 ∙ 10,98 s = 27,78 m _ s ≈ 100 km _ h

A8 0 Im ersten Abschnitt wird von v = 0 m _ s aus konstant beschleunigt.

Im zweiten Abschnitt ist die Bewegung gleichförmig.

Im dritten Abschnitt wird mit konstanter Beschleunigung gebremst.

Im ersten Abschnitt ist a 1 = Δ v _ Δ t = 12 m _ s _ 15 s = 0,80 m _ s 2

Im zweiten Abschnitt ist Δ v = 0 m _ s , also a 2 = 0 m _ s 2

Im dritten Abschnitt ist a 3 = Δ v _ Δ t = −12 m _ s _ 5 s = − 2,4 m _ s 2

Im ersten Abschnitt wird der Weg s 1 = 1 _ 2 a 1 ∙ t 2 = 0,40 m _ s 2 ∙ (15 s) 2 = 90 m zurückgelegt.

Im zweiten Abschnitt wird der Weg s 2 = v ∙ t = 12 m _ s ∙ 10 s = 120 m zurückgelegt.

Im dritten Abschnitt werden noch s 3 = 1,2 m _ s 2 ∙ (5 s) 2 = 30 m zurückgelegt.

Der Gesamtweg ist also s = 240 m.

Im Abschnitt zwischen t 0 = 0 s und t 1 = 10 s wird der Weg

s 4 = 1 _ 2 a 1 ∙ t 2 = 0,40 m _ s 2 ∙ (10 s) 2 = 40 m zurückgelegt.

Somit wird im Abschnitt zwischen t 1 = 10 s und t 3 = 15 s der Weg

s 5 = s 1 − s 4 = 90 m − 40 m = 50 m zurückgelegt. Der Gesamtweg im Intervall zwischen

t 1 = 10 s und t 2 = 25 s beträgt also 170 m.

Die mittlere Geschwindigkeit in dem angegebenen Intervall ist v m = 170 m _ 15 s = 11,3 m _ s .

A9 0 a) Zum Zeitpunkt t = 0 s besitzt der Körper eine Geschwindigkeit von 15 m/s und beschleunigt die nächsten 20 Sekunden gleichmäßig. Er erreicht die Geschwindigkeit v = 30 m/s und bewegt sich nun 20 Sekunden lang gleichförmig mit dieser Geschwindigkeit. Dann wird erneut 20 s lang gleichmäßig beschleunigt bis v = 40 m/s. Dann bremst der Körper die nächsten 20 Sekunden lang gleichmäßig, bis sich die Geschwindigkeit auf 10 m/s verringert hat. Die letzten 40 s bewegt er sich gleichförmig mit dieser Geschwindigkeit.

b) t-s-Diagramm:

s in m

3000

2500

2000

1500

1000

500

0t in s

0 10 12020 30 40 50 60 70 80 90 100 110

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Bewegungen 9

(S. 40) A10 0 a) Es könnte die gleichförmige Bewegung dreier Fahrzeuge I, II, III dargestellt sein. Fahrzeuge I und II starten zur gleichen Zeit an unterschiedlichen Orten mit verschiedenen Geschwindigkeiten und bewegen sich aufeinander zu.Fahrzeug III startet zu einem späteren Zeitpunkt und bewegt sich in dieselbe Richtung wie Fahrzeug II. Dabei hat Fahrzeug III eine größere Geschwindigkeit als Fahrzeug II.Alle drei Fahrzeuge treffen sich zur selben Zeit an einem bestimmten Ort.b) Es handelt sich bei Fahrzeug II und III um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung.Bei Fahrzeug I liegt eine gleichmäßig verzögerte Bewegung vor.Die Beschleunigung von Fahrzeug III ist größer als die von Fahrzeug II.Alle drei Fahrzeuge erreichen zum gleichen Zeitpunkt dieselbe Geschwindigkeit v .

A11 . Gegeben v = 50 km/h = 14 m/s ; Reaktionszeit 0,5 s; Gelbphase 3 s. Unabhängig von der Beschaffenheit der Fahrbahn legt der Wagen während der Reaktions-zeit die Strecke s = 14 m/s ∙ 0,5 s = 7 m zurück.

Trockene Fahrbahn: Bremsweg s = v 2 _ 2 a = (14 m _ s ) 2

__ 2 ∙ 6,5 m _ s 2

= 15 m

Nasse Fahrbahn: Bremsweg s = (14 m _ s ) 2

__ 2 ∙ 2,0 m _ s 2

= 98 m

Bei trockener Fahrbahn kann gebremst werden. Bei feuchter Fahrbahn war die Fahr-geschwindigkeit nicht angepasst; die Bremsung gelingt nicht mehr.

(S. 41) A12 0 a) s = 1 _ 2 ∙ a ∙ t 2 = 1 _ 2 ∙ 2,0 m _ s 2 ∙ (9,0 s) 2 = 81,0 m; v = a ∙ t = 18,0 m _ s

b) v = 100 km _ h = 100 ∙ 1 000 m __ 3 600 s = 27,8 m _ s ; a = v _ t = 27,8 m

_ 10,2 s 2 = 2,73 m _ s 2

s = 1 _ 2 ∙ a ∙ t 2 = 1 _ 2 ∙ 2,73 m _ s 2 ∙ (10,2 s) 2 = 142 m

c) t = v _ a = 12,0

_ 4,0 s = 3,0 s; s = 1 _ 2 ∙ a ∙ t 2 = 1 _ 2 ∙ 4,0 m _ s 2 ∙ (3,0 s) 2 = 18 m

d) t = √ __

2 s _ a = 3,2 s; v = a ∙ t = 5,0 m _ s 2 ∙ 3,2 s = 16 m _ s

A13 $ Gegeben: t 1 = 15 s; t 2 = 30 s; s 3 = 25 m; s 4 = 75 m

s 1 = 2,0 m _ s 2 ∙ (15 s) 2 = 4,5 ∙ 10 2 m; s 2 = 2,0 m _ s 2 ∙ (30 s) 2 = 1,8 ∙ 10 3 m

Zum Zeitpunkt t 1 hat das Fahrzeug 450 m zurückgelegt, zum Zeitpunkt t 2 sind es 1 800 m.

s 3 = 25 m = 2,0 m _ s 2 ∙ t 3 2 ⇒ t 3 = 3,5 s;

s 4 = 75 m = 2,0 m _ s 2 ∙ t 4 2 ⇒ t 4 = 6,1 s

also Δ t = t 4 − t 3 = 2,6 s

Das Fahrzeug gelangt innerhalb von 2,6 s vom Ort s 3 zum Ort s 4 .

A14 $ Daten:

Nr. 0 1 2 3 4 5 6 7 8

t in s 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6

s in cm 0 0,3 1,1 2,5 4,4 6,8 9,2 11,7 14,1

s _ t 2 in cm _ s 2 – 7,5 6,9 6,9 6,9 6,8 6,4 6,0 5,5

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10 Bewegungen

(S. 41) a) Man erhält als t-s-Diagramm:

b) Zwischen t 0 und t 5 ist die Bewegung gleichmäßig beschleunigt, denn der Quotient s/ t 2 ist näherungsweise konstant. Zwischen t 5 und t 8 ist die Bewegung gleichförmig, denn der Graph ist linear.

c) Der Mittelwert für die Werte s/ t 2 beträgt für den ersten Abschnitt ‾ s/ t 2 = 7,0 cm/ s 2 . Somit lautet das Zeit-Weg-Gesetz:

s = 1 _ 2 ∙ 14,0 cm _ s 2 ∙ t 2

Die mittlere Geschwindigkeit zwischen t 5 und t 8 beträgt:

v = s 8 − s 5 _ t 8 − t 5

= 7,3 cm

_ 0,6 s ≈ 12,2 cm _ s

Für den zweiten Abschnitt gilt somit: s = 12,2 cm _ s ∙ t + 6,8 cm

d) Bis zum Zeitpunkt t 5 ist die Bewegung gleichmäßig beschleunigt, d. h.:

v = 2 s _ t . Somit ergibt sich

v 4 = 11,0 cm _ s und v 5 = 13,6 cm _ s

Danach ist v ≈ 12 cm _ s

e) Zugehöriges t-v-Diagramm (rechts):

A15 $ Gegeben: a = 1,2 m; b = 75 cm; Δ a = 0,1 m; Δ b = 1 cm

Für den Umfang u eines Rechtecks gilt: u = 2 a + 2 b = 2 (a + b) = 2 (1,2 m + 0,75 m) = 2 ∙ 1,95 m = 3,9 m.

Abweichung nach „oben“: a o = 1,2 m + Δ a = 1,3 m; b o = 0,75 m + Δ b = 0,76 mdamit: u o = 2 ∙ (1,3 m + 0,76 m) = 2 ∙ 2,06 m = 4,12 m

Abweichung nach „unten“: a u = 1,2 m − Δ a = 1,1 m; b o = 0,75 m − Δ b = 0,74 m damit: u u = 2 ∙ (1,1 m + 0,74 m) = 2 ∙ 1,84 m = 3,68 m.

Aufgrund von Messunsicherheiten liegt der Umfang des Rechtecks zwischen 3,68 m und 4,12 m.Für die Fläche A eines Rechtecks gilt:A = a ∙ b = 1,2 m ∙ 0,75 m = 0,9 m 2 A o = 1,3 m ∙ 0,76 m = 0,988 m 2 A u = 1,1 m ∙ 0,74 m = 0,814 m 2

Die Fläche des Rechtecks liegt aufgrund der Messunsicherheiten zwischen 0,814 m 2 und 0,988 m 2 .

s in cm15

12

9

6

3

0t in s

0 0,5 1,51,0

12

8

4

0t in s

0 0,5 1,51,0

v in ms

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Bewegungen 11

(S. 41) A16 0 Gegeben: s = 1,75 m; t = 30 s _ 50 = 0,6 s.

Bei der Fallstrecke s = 1,75 m beträgt die Fallzeit t = 0,6 s.

Mit s = 1 _ 2 a ∙ t 2 folgt a = 2 s _ t 2 = 2 ∙ 1,75 m

__ (0,6 ) 2 = 9,72 m _ s 2

Die Fallbeschleunigung beträgt a = 9,72 m/ s 2 . Der Wert ist etwas zu klein; das ist stimmig, da die Luftreibung vernachlässigt wurde.

A17 $ a) Freier Fall aus 10 m Höhe: s = 1 _ 2 g ∙ t 2 ⇒ t = √ __

2s _ g ≈ √ _____

2 ∙ 10 m __ 9,81 m _ s 2

= 1,43 s.

Eintauchgeschwindigkeit: v = g ∙ t ; mit t = 1,43 s aus Teilaufgabe a) ergibt sich v = 14 m _ s .

b) Analog: Fallzeit für 7 m Höhe (entspricht Zeitpunkt des Vorbeiflugs am Drei-Meter-Brett):t = 1,19 s; d. h. Fallzeit von Max für die restlichen 3 m: 1,43 s − 1,19 s = 0,24 s

Fallzeit der Schwester für 3 m Höhe: t = √ _____

2 ∙ 3,0 m

__ 9,81 m _ s 2

= 0,78 s.

Somit kommt Max etwa eine halbe Sekunde früher als seine Schwester im Wasser an.

A18 0 Sei v S die Geschwindigkeit des Schiffes und v M die Geschwindigkeit des Maates, so muss gelten:

→ v S = − | → v M | Unter dieser Bedingung ist es möglich, dass der Maat der Frau über eine gewisse Zeit schein-bar gegenübersteht.

A19 $ Gegeben: v F = 0 km _ h ; t = 18 min = 0,3 h; Ostabweichung 15 km.

a) Die obere Skizze in der Randspalte zeigt die Situation:

Die Geschwindigkeitskomponente, die durch den Wind verursacht wurde, ist:

v W = 15 km _ 0,3 h = 50 km _ h

Mit den gewählten Bezeichnungen erhält man

v R = √ _____

v F 2 + v W 2 = √

_____________ ( 300 2 + 50 2 ) ( km _ h )

2 = 304 km _ h

b) Die tatsächlich geflogene Strecke beträgt also s = v R ∙ t = 304 km _ h ∙ 0,3 h = 91,2 km.

c) Aus der unteren Skizze entnimmt man sin α = v W

_ v F = 50 _ 300 = 0,17; α = 9,6° nach Westen.

A20 $ Der Beobachter sieht den Pfeil a) sich über den Abschusspunkt hinaus Richtung Zugende bewegen, b) an der Abschussstelle im freien Fall nach unten fallen,c) sich von der Abschussstelle in Richtung Lokomotive bewegen mit einer geringeren Geschwindigkeit als der Zug.

A21 0 Die Geschwindigkeit ist – wenn man von der Luftreibung absieht – gleich der Geschwindigkeit, die beim freien Fall aus der gegebenen Höhe erreicht werden würde:

s = 1 _ 2 g ∙ t 2 ; v = g ∙ t ; s = v 2 _ 2 g ; v = √ _____

2 s ∙ g ; v = 200 m _ s

vF vR

vW

vF vR

vW

a

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12 Bewegungen

A22 0 Für die Koordinaten der Bahnpunkte gilt:Waagerechter Wurf:

s x,i = v x ∙ i ∙ Δ t ; s y,i = − 1 _ 2 g ∙ (i ∙ Δ t ) 2 (i = 0, 1, 2, 3, …)

(S. 42) A23 $ Gegeben: s x = 1,1 m ; h = 0,60 ma) Berechnung der Austrittsgeschwindigkeit v x :

s x = v x ∙ t ; h = 1 _ 2 g ∙ t 2 ; h = g ∙ s x

2 _

2 v x 2 ⇔ v x

2 = g ∙ s x

2 _ 2 h ⇒ v x = s x ∙ √

__

g _ 2 h

v x = 1,1 m ∙ √

_____

9,81 m _ s 2 __ 2 ∙ 0,6 m = 3,15 m _ s

Die Austrittsgeschwindigkeit beträgt v x = 3,15 m _ s .

b) Berechnung der Auftreffgeschwindigkeit v:

t = s x _ v x

= 1,1 m

_ 3,15 m _ s

= 0,35 s; v y = g ∙ t ; v y = 3,43 m _ s

v = √ _____

v x 2 + v y

2 , v = 4,66 m _ s

Für den Betrag der Auftreffgeschwindigkeit ergibt sich v = 4,66 m _ s

A24 $ Der Abstand s x vom Plattformrand bis zum Beckenrand beträgt 15 m. Mit den Daten im Buch ergibt sich eine Fallzeit von einem 10-m-Turm von 1,4 s, in denen diese 15 m zurück-gelegt werden müssen: v x = 15 m/1,4 s = 10,7 m/s = 38,5 km/h. Dies ist die Geschwindig-keit, die ein Sprinter der Spitzen klasse aus der Ruhe heraus erst nach ca. 3,5 s (also nach rund 25 m) erreicht. Barfuß auf einer nur 5 m langen Plattform ist dies somit für einen Menschen absolut unmöglich.

A25 . Da von der Luftreibung abgesehen werden soll, ist die Bewegung wie ein schiefer Wurf mit α = 25° und v 0 = 22 m/s zu behandeln. Der höchste Punkt der Flugbahn wird bei der halben Wurfzeit erreicht.

s y = ( v 0 ∙ sin α) ∙ t − 1 _ 2 g ∙ t 2 und t W/2 = v 0 ∙ sin α

__ g liefern

s y, max = ( v 0 ∙ sin α) 2

__ g − 1 _ 2 ( v 0 ∙ sin α) 2

__ g = 1 _ 2 ( v 0 ∙ sin α) 2

__ g = 4,41 m

Die Wurfweite ergibt sich zu s x = v x ∙ t W = v 0 ∙ cos α ∙ 2 v 0 ∙ sin α

__ g = 37,8 m

A26 0 Der Minutenzeiger läuft in 60 min 360° bzw. 2 π um. ω = 360°/(60 ∙ 60 s) = 0,1°/s bzw. 0,001 7 s − 1 . Der Stundenzeiger läuft die 360° (2 π) in 12 Stunden = 43 200 s um. Hier gilt ω = 0,008 3 °/s bzw. 0,000 145 s − 1 . Für die Turmuhr gilt dies genauso.

A27 $ Jeder Ort auf der Erde dreht sich mit der gleichen Umlaufdauer von T = 24 h. Deshalb beträgt die Winkelgeschwindigkeit überall

ω = 2 π ∙ 1 _ 24 h = 2 π ∙ 1 __ 86 400 s = 73 ∙ 10 − 6 1 _ s

sy in m0

–5

–10

–15

–20

–25sx in m

0 2 4 6 8 10

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Bewegungen 13

(S. 42) a) Am Äquator ist der Bahnradius der Erdradius r = 6 380 km. Die Bahngeschwindigkeit ist

dort v = 2 π ∙ r _ T = 2 π ∙ 6370 km __ 24 h = 1 670 km _ h .

b) Für z. B. Hannover mit einer geografischen Breite von etwa 52,3° beträgt der Bahnradius r = 6 370 km ∙ cos (52,3°) = 3 895 km. Für die Bahngeschwindigkeit ergibt sich dann

v = 2 π ∙ 3 895 km __ 24 h = 1 019,7 km _ h .

A28 $ Gegeben: a = 9 ∙ 9,81 m _ s 2 = 88,29 m _ s 2 ; v = 2 700 km _ h = 750 m _ s

aus a Z = v 2 _ r folgt für r = v 2 _ a Z =

(750 m _ s ) 2 __

88,29 m _ s 2 = 6 371 m.

Würde dieser Radius verkleinert, so würde die Zentripetalbeschleunigung über den angege-benen Wert steigen.

A29 $ Der mittlere Bahnradius der Mondbahn beträgt r Mond = 3,8 ∙ 10 8 m, die Umlauf dauer des Mondes beträgt t Mond = 2,36 ∙ 10 6 s.

Aus diesen Werten folgt für die Beschleunigung:

a = ω 2 ∙ r = 4 π 2 ∙ f 2 ∙ r = 4 π 2 ∙ 3,8 ∙ 10 8 m

___ (2,36 ∙ 10 6 s) 2 = 0,0027 m _ s 2

Der Mond erfährt auf seiner Bahn um die Erde eine Zentripetalbeschleunigung von a = 0,0027 m/ s 2 .

A30 $ Gegeben: a = 300 · g = 2 943 m _ s 2 ; r = 0,1 m

Aus a = ω 2 ∙ r folgt a = 4 π 2 ∙ f 2 ∙ r und f = 1 _ 2 π ∙ √ __

a _ r ; f = 27,3 1 _ s

A31 $ Für die Bahngeschwindigkeit eines Punktes auf dem Äquator gilt:

v = 2 π ∙ r _ T = 4,01 ∙ 10 7 m

__ 24 ∙ 3 600 s = 464 m _ s

Die Beschleunigung ist dann a = v 2 _ r = (464 m _ s ) 2

__ 6,38 ∙ 10 6 m = 3,4 ∙ 10 −2 m _ s 2

Die Erde soll sich so schnell drehen, dass die Beschleunigung am Äquator den Betrag der Fall beschleunigung hat. Aus

v = 2 π ∙ r _ T und a = v 2 _ r folgt somit T = 2 π ∙ √ __

r _ a = 2 π ∙ √

_______

6,38 ∙ 10 6 m __

9,81 m _ s 2 = 5 067 s

Ein Tag dauerte dann also 5 067 s = 1 h 24 min 27 s. Körper, die am Äquator relativ zum Erd-boden ruhen, hätten dann „kein Gewicht“.

A32 . a) Annahme: Der Mensch ist 1,8 m groß. Man setzt das Verhältnis h _ 1,8 m = 70 cm _ 6 mm an. Damit ergibt sich h zu 210 m!

b) Wir rechnen umgekehrt und nehmen an, die Schaumzikade würde 70 cm frei herunter-fallen und am Ende die gesuchte Geschwindigkeit haben. Mit s (t ) = 1⁄ 2 g ∙ t 2 folgt die Fall-zeit zu

t = √ ___

2 s _ g = 0,38 s. Aus v = g ∙ t folgt dann für v = 3,71 m _ s = 13,34 km _ h .

c) a = Δ v _ Δ t = 3,71 m _ s _ 0,001 s = 3 710 m _ s 2 = 378 ∙ g, also etwas weniger als die angegebene 400-fache

Erdbeschleunigung.

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14 Ursache von Bewegungen


Heben ohne anzufassen Bei gegebener Rotationsgeschwindigkeit steigt die Kugel im Becher so hoch, bis Kräftegleichgewicht herrscht. Dies ist der Fall, wenn gilt:

tan ϑ = m ∙ g

__ m ∙ r ∙ ω 2 = m ∙ g

_ m ∙ r ∙ ( 2 π _ T ) 2

Besonders gut geeignet sind Trinkbecher aus Styropor. Bei einem Innendurchmesser von etwa 5 cm am Boden und etwa 8 cm an der oberen Öffnung muss bei den Rechnungen der Durchmesser der verwendeten Kugel berücksichtigt werden.

Die Kugelrampe Auf der obersten Bahn erfährt die Kugel aufgrund der konstanten Neigung der Bahn auf der gesamten Strecke eine konstante Beschleunigung. Die mittlere Abbildung zeigt eine Bahn, die zunächst steil und dann zunehmend flacher verläuft. Die Kugel erfährt zu Beginn der Bewegung eine große Beschleunigung, die dann abnimmt. Auf der unteren Bahn verläuft die Bahn erst flach, in der Mitte fällt sie steil ab und läuft dann wieder flach aus. Die Beschleunigung ist auf dem Mittelstück also am größten.Vergleicht man die Situationen auf den drei Strecken, ist zu erwarten, dass die Kugel auf der mittleren Bahn am schnellsten unten ankommt, da sie schon zu Beginn eine große Beschleu-nigung erfährt und damit die meiste Zeit mit einer hohen Geschwindigkeit unterwegs ist. Zu berücksichtigen sind allerdings die Unterschiede in den Bahnlängen. Fallen diese nicht zu groß aus, entscheidet die Geschwindigkeit, auf welcher Bahn die Kugel am schnellsten unten ankommt.

Kräftegleichgewicht Die Gewichtskraft des Körpers B liefert die für die Kreisbewegung des Körpers A not wendige Zentripetalkraft. Im Kräftegleichgewicht gilt F Z = F G , unabhängig von der Position von Körper B. Das Kräftegleichgewicht wird also allein durch Ändern von F Z hergestellt. Für F Z gilt: F Z = m ∙ ω 2 ∙ r. Das bedeutet: Wird Körper B gehoben, so wird der Radius r größer und damit muss die Winkelgeschwindigkeit ω kleiner werden, um F Z kons-tant zu halten.


A1 0 Zu Beginn ist der Hammerkopf lose mit dem Stiel verbunden. Hammerkopf und Stiel be wegen sich mit gleicher Geschwindigkeit auf die Unterlage zu.Stößt das Stielende auf die Unterlage, so wird es abrupt abgebremst. Der lose Hammerkopf hingegen bewegt sich aufgrund seiner Trägheit weiter und schiebt sich dabei immer weiter auf den etwas konisch geformten Stiel, bis er fest sitzt.

A2 $ Anfahren: Das Pendel schwingt nach hinten, der flugfähige, z. B. mit Helium gefüllte Luftballon bewegt sich nach vorne.Grund: In diesem beschleunigten Bezugssystem erfahren alle Körper eine Trägheitskraft nach hinten, damit schlägt das Pendel nach hinten aus.Der Luftballon ist leichter als die Luft im Auto, die auch eine Kraft nach hinten erfährt. Die Kraft auf den Luftballon ist wegen der geringeren Masse kleiner als die Kraft auf die um-gebende Luft. Der Luftballon bewegt sich daher nach vorne.

Bremsen: Das Pendel schwingt nach vorne; der Luftballon bewegt sich nach hinten.

Rechtskurve: Das Pendel schwingt nach links; der Luftballon bewegt sich nach rechts.

Linkskurve: Das Pendel schwingt nach rechts; der Luftballon bewegt sich nach links.

(S. 43 – 64) 2 Ursache von Bewegungen

DO01773022_Teil_1_MTV3_20180730.indd 14 01.08.2018 18:23:42

Ursache von Bewegungen 15

(S. 63) A3 $ Bahn eines Tropfens: Auf den Tropfen wirkt beim Austreten aus der Trommel keine Zentripetalkraft mehr. Er fliegt tangential zur Kreisbahn der Trommelwand weg.

Bahn der Wäsche: Auf die Wäsche wirkt die zum Kreismittelpunkt gerichtete Zentripetal-kraft, die von der Trommelwand aufgebracht wird.Die Wäsche vollführt eine Kreisbahn mit dem Kreismittelpunkt M im Zentrum der Trommel.

A4 $ Gegeben:

m 1 = 1 500 kg; m 2 = 1 800 kg; Δ v = 100 km _ h = 27,8 m _ s ; Δ t = 13,8 s

a) F = m ∙ a

a = Δ v _ Δ t = 27,8 m _ s _ 13,8 s = 2,01 m _ s 2

F = 1 500 kg ∙ 2,01 m _ s 2 = 3 015 N = 3,02 kN

b) a = F _ m = 3,02 kN

__ 1800 kg = 1,68 m _ s 2

Die Beschleunigung ist in diesem Fall kleiner, die Endgeschwindigkeit wird nach einer länge-ren Zeit erreicht.

A5 $ Beschleunigung a = F/m = 300 N/90 kg = 3,3 m/ s 2 . Da es sich beim Bremsen um eine Ver zö gerung handelt, wird die Beschleunigung negativ angegeben: a = − 3,3 m/ s 2 .

v 0 = 25 km _ h = 6,9 m _ s

v = a ∙ t + v 0 = − F _ m ∙ t + v 0 Gesucht: Zeitpunkt t mit v = 0.

0 = − F _ m ∙ t + v 0 ⇒ t = v 0 ∙ m

_ F = 2,1 s

Bremsweg s = 1⁄2 ∙ a ∙ t 2 + v 0 ∙ t mit a = −3,3 m _ s 2 und t = 2,1 s aus dem ersten Teil der Aufgabe ergibt sich s = 7,2 m.

A6 $ Gesamtmasse des Zugs: m = 920 t = 920 ∙ 10 3 kg.

a) Beschleunigung a = F _ m = 50 ∙ 10 3 N __ 920 ∙ 10 3 kg = 5,4 ∙ 10 −2 m _ s 2 .

b) v = a ∙ t = 80 km _ h = 22,2 m _ s ergibt t = v _ a = 22,2 m _ s __

5,4 ∙ 10 −2 m _ s 2 = 4,1 ∙ 10 2 s.

c) s = 1 _ 2 ∙ a ∙ t 2 mit a = 5,4 ∙ 10 −2 s und t = 4,1 ∙ 10 2 s erhält man s = 4,5 ∙ 10 3 m = 4,5 km.

(S. 64) A7 . a) Lässt man den Ball unter Wasser los, so wirken auf ihn noch zwei Kräfte: die Auf-triebskraft

→ F A und die Gewichtskraft

→ F G (siehe Grafik). Da

→ F A >

→ F G ist, bewegt sich der Ball nach

oben. Sobald sich der Ball bewegt, wirkt auf ihn zusätzlich noch eine Reibungskraft ⟶

F Reib . Diese ist der Bewegungs richtung des Balles immer entgegengerichtet. Da ihr Betrag mit der Geschwindigkeit wächst, stellt sich nach einer kurzen Beschleunigungsphase ein Kräfte-gleichgewicht zwischen der beschleunigenden Kraft ⎯ → F beschl. = (

→ F A −

→ F G ) und der Reibungs-

kraft ⟶

F Reib ein; der Ball bewegt sich nun mit konstanter Geschwindigkeit nach oben bis er die Wasseroberfläche erreicht.

Sobald der Ball aus dem Wasser kommt, nimmt die Auftriebskraft ab. Wenn der Ball ganz aus dem Wasser ist, wirkt nur noch die Gewichtskraft (und eine Luftreibungskraft, die in guter Näherung vernachlässigt werden kann). Die Situation entspricht in diesem Moment einem senkrechten Wurf nach oben. Der Ball steigt – gebremst durch die Gewichtskraft – bis zu einer Maximalsteighöhe und fällt dann wieder nach unten. Mit dem Eintauchen ins Wasser wirkt wieder die Auftriebs kraft. Da deren Betrag größer ist als der der Gewichtskraft, wird die Abwärtsbewegung gebremst (auch die Reibung bremst die Bewegung des Balles) bis eine maximale Tauchtiefe erreicht wird. Ab da steigt der Ball wieder nach oben und der Vorgang wiederholt sich. Da die Bewegung des Balles unter Wasser immer durch die Reibung ge-bremst wird, werden die maximalen Steig höhen und die maximalen Tauchtiefen des Balles mit jeder Wiederholung des Vorgangs kleiner bis der Ball schließlich an der Wasserober-

T

T

T

WW

W

FA

FG

DO01773022_Teil_1_MTV3_20180730.indd 15 01.08.2018 18:23:43


(S. 64) fläche zur Ruhe kommt. Er taucht dann gerade so weit ins Wasser ein bis Auftriebskraft und Gewichtskraft den gleichen Betrag haben und damit Kräftegleichgewicht herrscht.

b) r 1 = 2 ∙ r 2 ; a 1 = F 1 _ m 1

; a 2 = F 2 _ m 2

; ρ = m _ V

a 1 = F A − F G

_ m 1 =

m W ∙ g − m 1 ∙ g __ m 1

= ρ W ∙ V W ∙ g − m 1 ∙ g

___ m 1 =

ρ W ∙ 4 _ 3 π ∙ r 1 3 ∙ g − m 1 ∙ g

____ m 1

= ρ W ∙ 4 _ 3 π ∙ r 1

3 ∙ g − ρ K ∙ 4 _ 3 π ∙ r 1 3 ∙ g _____

ρ K ∙ 4 _ 3 π ∙ r 1 3 =

4 _ 3 π ∙ r 1 3 ∙ g ∙ ( ρ W − ρ K )

___ 4 _ 3 π ∙ r 1

3 ∙ ρ K =

g ∙ ( ρ W − ρ K ) __ ρ K ist unabhängig von r.

⇒ a 1 = a 2

A8 . Gegeben: d s = 14 cm = 0,14 m; t = 0,39 s; d = 22 cm = 0,22 m; m = 450 g = 0,450 kg; s = 11 ma) Die durchschnittliche Geschwindigkeit des Balls beträgt:

v = s _ t = 11 m _ 0,39 s ≈ 28 m _ s ≈ 100 km _ h

b) Für den Bremsweg x gilt nach dem Satz des Pythagoras:

r 2 = (r − x) 2 + ( d s _ 2 )

2

r 2 = r 2 − 2 r ∙ x + x 2 + ( d s _ 2 )

2

x 2 − 2 r ∙ x + ( d s _ 2 )

2

= 0

x 1, 2 = 2 r ± √

__________ 4 r 2 − 4 ∙ (

d s _ 2 ) 2

___ 2 =

2 ∙ 0,11 m ± √ __________________

4 ∙ (0,11 m) 2 − 4 ∙ (0,07 m) 2 ______ 2

x 1 = 0,195 m; x 2 = 0,0251 m

c) x = 1 _ 2 v ∙ Δ t

a = 0 m _ s − v

_ Δ t Δ t = v _ − a

x = 1 _ 2 ∙ v 2 _ − a ⇒ a = 1 _ 2 ∙ v 2 _ x = − 1 _ 2 ∙ (28 m _ s ) 2

__ 0,0251 m

a = − 15 618 m _ s 2 = − 1,6 ∙ 10 4 m _ s 2

Die Bremsverzögerung beträgt − 1,6 ∙ 1 0 4 m _ s 2 .

d) Die Kraft F beim Aufprall berechnet sich betragsmäßig durch:

F = m ∙ a = 0,450 kg ∙ 1,6 ∙ 10 4 m _ s 2 = 7,2 kN.

A9 $ Der Faktor k berechnet sich nach

k = c W ∙ ρ Luft ∙ A _ 2 m

Für eine Kugel ist c W = 0,4 und die wirksame Querschnittsfläche beträgt A = π ∙ r 2 wobei r der Kugelradius ist.

Dichte der Luft: ρ Luft = 1,293 kg

_ m 3

Masse einer Kugel: m = ρ ∙ V = ρ ∙ 4 _ 3 π ∙ r 3

Damit ergibt sich für k:

k = c W ∙ ρ Luft ∙ π ∙ r 2 __ 2 ρ ∙ 4 π ∙ r 3

__ 3 =

3 c W ∙ ρ Luft __ 8 ρ ∙ r

Damit ergeben sich folgende k-Werte:

Nebeltröpfchen (r = 0,005 mm = 5 ∙ 10 − 6 m; ρ Wasser = 998 kg

_ m 3 ): k = 43, 73 1 _ m

M

x

ds 2

ds

r d

Der Bremsweg ent spricht der schraffierten Dreiecksfläche.

v

t

ðt

DO01773022_Teil_1_MTV3_20180730.indd 16 01.08.2018 18:23:43


(S. 64) Regentropfen (r = 2 mm = 2 ∙ 10 − 3 m; ρ Wasser = 998 kg

_ m 3 ): k = 0,11 1 _ m

Hagelkörner (r = 5 mm = 5 ∙ 10 − 3 m; ρ Eis = 920 kg

_ m 3 ): k = 0,047 1 _ m

Die Grenzgeschwindigkeit ist erreicht, wenn gilt:

| a L | = |k ∙ v grenz 2 | = g = 9,81 m _ s 2 ⇒ v Grenz = √

__

g _ k

Nebeltröpfchen: v Grenz = 0,47 m _ s

Regentropfen: v Grenz = 9,5 m _ s

Hagelkörner: v Grenz = 14,45 m _ s

A10 $ a) Gegeben sind

die Masse des Flugzeugs: m = 1 200 kg

die Bahngeschwindigkeit: v = 40 m _ s

der Radius der Kreisbahn: r = 80 m

die Fallbeschleunigung: g = 9,81 m _ s 2

Berechnung der Kraft F, die auf das Flugzeug wirkt: Das Flugzeug bewegt sich mit dem Piloten auf einer vertikalen Kreisbahn. Für einen mitbewegten Beobachter tritt neben der Gewichts-kraft F G auch die Zentrifugalkraft F Z auf. Im höchsten Punkt des Loopings sind diese beiden Kräfte genau entgegengesetzt zueinander gerichtet, im tiefsten Punkt wirken sie in dieselbe Richtung. Daher erfährt das Flugzeug im tiefsten Punkt des Loopings die größte Kraft.Für ihren Betrag gilt: F = F’ Z + F G mit F’ Z = F Z und F G = m ∙ g erhält man daraus mit den an-gegebenen Werten:

F = m ∙ v 2 _ r + m ∙ g

F = 1 200 kg ∙ (40 m _ s ) 2

___ 80 m + 1 200 kg ∙ 9,81 m _ s 2

F = 35 772 N

Im tiefsten Punkt der Loopingbahn wirkt auf das Flugzeug eine Kraft von 35 772 N.

b) Berechnung der Kraft, mit der der Pilot im höchsten Punkt der Kreisbahn in seinen Sitz gedrückt wird:Die Abbildung zu Teilaufgabe a) zeigt, dass die resultierende Kraft auf den Piloten im höchs-ten Punkt den Betrag

F = F’ Z,P − F G,P

hat, denn die Zentrifugalkraft F’ Z,P und die Gewichtskraft F G,P wirken in entgegengesetzte Richtungen. Daraus folgt:

F _ F G,P = F’ Z,P

_ F G,P − 1

F _ F G,P = m P ∙ v 2

_ r _ m P ∙ g − 1

F _ F G,P = v 2 _ r ∙ g − 1

F _ F G,P = (40 m _ s ) 2

__ 80 m ∙ 9,81 m _ s 2

− 1

F _ F G,P = 1,039

Im höchsten Punkt der Kreisbahn wird der Pilot mit etwa 104 % seiner Gewichtskraft in den Sitz gedrückt.

M

F'Z

FG

FG

FZ

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(S. 64) A11 $ Gegeben sind

die Masse des Körpers: m = 0,200 kg

der Radius der Kreisbahn: r = 1,00 m

die Frequenz der Kreisbewegung: f = 2,00 1 _ s

a) Berechnung der Umlaufdauer T, es gilt:

T = 1 _ f damit ergibt sich: T = 1 _ 2,00 1 _ s

T = 0,500 s

Die Umlaufdauer des Körpers beträgt T = 0,500 s.

b) Berechnung der Kraft, die erforderlich ist, um den Körper auf der Kreisbahn zu halten:Für die Zentripetalkraft F Z gilt: F Z = m ∙ v 2 /rDabei ist v der Betrag der Geschwindigkeit auf der Kreisbahn.Mit v = 2 π ∙ r ∙ f ergibt sich aus den gegebenen Werten

F Z = m · (2 π ∙ r ∙ f ) 2 __ r

F Z = m ∙ 4 π 2 ∙ r ∙ f 2

F Z = 0,200 kg ∙ 4 π 2 ∙ 1,00 m ∙ (2,00 1 _ s ) 2

F Z = 31,6 N

Um den Körper auf der Kreisbahn zu halten, ist eine zum Kreismittelpunkt gerichtete Kraft vom Betrag F Z = 31,6 N erforderlich. Wenn diese Kraft nicht mehr wirken kann, so bewegt sich der Körper tangential vom Kreis weg und führt einen waagerechten Wurf aus.

A12 0 Die Zentripetalkraft wird von der Haftreibungskraft durch den Kontakt Drehscheibe-Münze aufgebracht. Überschreitet der Betrag der für die Kreisbewegung notwendigen Zentri petalkraft den Betrag der maximalen Haftreibungskraft, so beginnt die Münze zu rutschen. Die Zentripetalkraft ist proportional zum Radius, bei schnellerer Rotation wird also die äußere Münze diesen Grenzwert als erste überschreiten.

A13 0 a) F reiß = F Z = m ∙ ω 2 ∙ r . Aufgelöst nach ω, ergibt sich: ω = √

___

F Z _ m ∙ r = √

_____

6,0

kg m _ s 2 __ 0,15 kg ∙ √

_ 1 _ r

Ohne Angabe des Radius lässt sich keine Angabe zur maximalen Winkelgeschwindigkeit machen!b) Die Kugel bewegt sich (wenn man von der Luftreibung und der Fallbewegung nach unten absieht) geradlinig gleichförmig tangential weiter.

A14 $ Auf einen Sitz wirken die Gewichtskraft →

F G des Sitzes (mit Person) und die Seilkraft →

F S . Die Addition dieser beiden Kräfte ergibt als Gesamtkraft die Zentripetalkraft

→ F Z , die den Sitz

auf der Kreisbahn hält. Der Skizze entnimmt man:

tan α = F Z _ F G =

m ∙ v 2 _ r _ m ∙ g = v 2 _ r ∙ g

Der Winkel ist also tatsächlich von der Masse der Körper unabhängig.

A15 $ a) Mit r = 0,25 m, f = 20 1 _ s , somit T = 1 _ f = 1 _ 20 s = 0,05 s ergibt sich

v = 2 π ∙ r _ T = 2 π ∙ 0,25 m

__ 0,05 s = 31,4 m _ s

b) Haltekraft F H = F Z = m ∙ v 2 _ r = 0,001 kg ∙ 985,96 m 2 _ s 2 ___ 0,25 m = 3,94

kg ∙ m _ s 2 = 3,94 N

c) Ist mit „gleich schnell“ die gleiche Bahngeschwindigkeit der Trommelwand gemeint, dann gilt: Der Radius wird halbiert, somit verdoppelt sich die Kraft. Ist die Umlauffrequenz ge-meint, so hat die Trommelwand aufgrund des halbierten Radius’ auch nur die halbe Bahn-geschwindigkeit. Die Kraft halbiert sich.

FG

a

FZ

FS

r

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d) Ist wieder die Bahngeschwindigkeit gemeint, so erübrigt sich die Frage, es gilt Antwort c). Ist die Frequenz gemeint, so ergibt sich:

2 F Z = m ∙ v 2 _ r ⇒ v = √

____

2 F Z ∙ r _ m = 44,4 m _ s

T = 2 π _ v ∙ r = 0,035 s ⇒ f = 1 _ T = 28,6 1 _ s

A16 . Für die Reibungskraft gilt F R = f ∙ F G . Bei den angegebenen Reifendaten ist also bei trockenem Wetter F R, trocken = f H, trocken ∙ F G = f H, trocken ∙ m ∙ g = 0,8 ∙ m ∙ g , bei nassem Wetter F R, nass = f H, nass ∙ F G = f H, nass ∙ m ∙ g = 0,4 ∙ m ∙ g .Beim Durchfahren der Kurve muss die Reibungskraft größer als die Zentripetalkraft sein:

F R ≥ F Z ⇔ f H ∙ m ∙ g ≥ m ∙ v 2 _ r ⇒ v ≤ √ ______

f H ∙ g ∙ r (die Masse spielt also keine Rolle).

Für die trockene Fahrbahn erhält man

v ≤ √ __________

f H, trocken ∙ g ∙ r ⇒ v ≤ √ _____________

0,8 ∙ 9,81 m _ s 2 ∙ 50 m = 19,81 m _ s ≈ 70 km _ h .

Bei nasser Fahrbahn ist

v ≤ √ ________

f H, nass ∙ g ∙ r ⇒ v ≤ √ _____________

0,4 ∙ 9,81 m _ s 2 ∙ 50 m = 14 m _ s ≈ 50 km _ h .

DO01773022_Teil_1_MTV3_20180730.indd 19 01.08.2018 18:23:44

20 Erhaltungsgrößen


Aufziehauto Abhängig vom verwendeten Spielzeugauto.

Münzenschnipsen Die Spannenergie des Lineals wird in Bewegungsenergie der Münzen überführt; diese wird durch Reibung in thermische Energie überführt. Bei gleicher Bewegungs energie hat die Münze mit der kleineren Masse eine höhere Anfangsgeschwin-digkeit. Da die Reibungskraft proportional zur Masse der Münze ist und die Bremsverzöge-rung umgekehrt proportional zur Masse ist, hat die Bremsverzögerung bei beiden Münzen denselben Betrag. Die Münze mit der geringeren Masse rutscht somit weiter.

Sprungkraft Eine Energiebetrachtung gemäß der folgenden Abbildungen ergibt:

Δ E 1 = Δ E 2 ⇒ m ∙ g ∙ h = F Sp ∙ s ⇒ F Sp = m ∙ g ∙ h

__ s

Um die Sprungkraft F Sp abschätzen zu können, muss man demnach die Weglänge s für die Beschleunigung und die nach dem Absprung erreichte maximale Höhe h des Schwerpunktes messen. Beide Größen lassen sich beispielsweise mit Hilfe einer Videoanalyse relativ einfach bestimmen.

Beispiel: m = 75 kg, s = 0,30 m, h = 0,50 m ⇒ F Sp ≈ 1 230 N ≈ 1,7 F G

Jo-Jo Beim Jo-Jo wird ständig Höhenenergie in Bewegungsenergie (Rotations- und Trans-lationsanteile) und wieder zurück überführt. Durch Reibung gibt das Jo-Jo ständig Energie ab. Mit einem kurzen Ruck beim unteren Umkehrpunkt führt man wieder Energie zu.


A1 0 E H = m ∙ g ∙ h, h = 50 m; m = E H

_ h ∙ g

Es ergibt sich für Lea: m = 42 kg; für Ronja: m = 54 kg.

Auf dem Mond hat der Ortsfaktor den Wert g M = 1,61 N/kg.

Gesucht ist diesmal h = E H _ m ∙ g M . Es ergibt sich eine Höhe von ungefähr 305 m.

A2 $ Beim Aufziehen der Uhr werden die Gewichte angehoben. Es wird ihnen somit Höhen energie zu geführt. Beim Laufen der Uhr sinken die Gewichte nach unten. Sie geben ihre Energie nach und nach an das Uhrwerk und die Zeiger ab, die sich dadurch bewegen.

A3 0 Unter der Annahme, dass die Bewegungsenergie vollständig in Höhenenergie über-führt wird, gilt: Δ E = F G ∙ Δ h mit F G = m ∙ g.

Daraus folgt Δ h = Δ E _ m ∙ g = 2000 J __

65 kg ∙ 9,81 N _ kg = 3,1 m.

Um diese Strecke kann der Schwerpunkt gehoben werden; die Sprunghöhe beträgt somit gut 4 m.

(S. 65 – 80) 3 Erhaltungsgrößen

SprungHocke Stand

WeglängefürBeschleu-nigungLage des

Schwer-punktes s

h

s

ðE2 = m · g · hðE1 = FSp · s

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Erhaltungsgrößen 21

(S. 80) A4 0 Es wird Höhenenergie in Bewegungsenergie überführt. E H = E B bzw. m ∙ g ∙ h = 1 _ 2 m ∙ v 2 . Gegeben: h = 5 m, g = 9,81 m/ s 2 . Gesucht: v Umstellen nach v, m kürzt sich heraus:

v = √ _____

2 g ∙ h = 9,9 m _ s

A5 $ E A = E H = m ∙ g ∙ ( h 0 + s ) (mit s > 0)

E B = E S = 1 _ 2 D ∙ s 2

Wenn das System abgeschlossen ist, dann ist die Gesamtenergie im Zustand B genauso groß wie im Zustand A: E B = E A

⇔ 1 _ 2 D ∙ s 2 = m ∙ g ∙ h 0 + m ∙ g ∙ s

⇔ 1 _ 2 D ∙ s 2 − m ∙ g ∙ s − m ∙ g ∙ h 0 = 0 | ∙ 2 _ D

⇔ s 2 − 2 m ∙ g

_ D ∙ s − 2 m ∙ g ∙ h 0 __ D = 0

(Anmerkung: Quadratische Gleichung für die unbekannte Strecke s )

⇔ s 1, 2 = 2 m ∙ g

_ D ± √ _____________

( m ∙ g

_ D ) 2 +

2 m ∙ g ∙ h 0 __ D

s 1, 2 = 2 kg ∙ 9,81 m _ s 2 __

1 200 N _ m ± √

________________________

( 2 kg ∙ 9,81 m _ s 2 __

1 200 N _ m )

2

+ 2 ∙ 2 kg ∙ 9,81 m _ s 2 ∙ 0,2 m

____ 1 200 N _ m

s 1, 2 = 0,016 35 m ± √ ___________________

(0,016 35 m) 2 + 0,006 54 m 2

s 1, 2 = 0,016 35 m ± 0,082 51 m

s 1 = 0,098 86 m; s 2 = − 0,066 16 m

Die Lösung s 2 entfällt, da nach dem Ansatz nur positive Werte für die Strecke s physikalisch sinnvoll sind. Die Feder wird also um die Strecke s = 9,9 cm zusammengedrückt.

A6 0 Das Wasser wird in einen Vorrats-behälter (z. B. Talsperre) gepumpt, der in größerer Höhe liegt. Damit führt man dem Wasser Höhenenergie zu. Wird nun Energie benötigt, so strömt das Wasser aus dem Vorratsbehälter nach unten, die Höhenener-gie wird in Bewegungsenergie überführt. Das Wasser treibt eine Turbine an, wodurch Bewegungsenergie in elektrische Energie überführt wird.

Zustand A Zustand B

h0

EH = 0

m

s

Pumpe

Fallleitung

Turbine

Pumpleitung

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22 Erhaltungsgrößen

(S. 80) A7 $ a) Auf den Körper B wirkt die Kraft F = F G,B − F G,A = 9,81 N nach unten, so dass B eine gleich mäßig beschleunigte Bewegung (nach unten) ausführt. Der Körper A vollführt mit der gleichen Beschleunigung wie B eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung (nach oben).

b) Durch die Kraft F = 9,81 N wird ein Körper der Masse m = m A + m B = 3 kg beschleunigt:

F = m ∙ a ⇔ a = F _ m = 9,81 N

_ 3 kg = 3,27 m _ s 2

Es gelten also die Bewegungsgesetze der gleichmäßig beschleunigten Bewegung:

v = a ∙ t + v 0 (mit v 0 = 0) und s = 1 _ 2 a ∙ t 2 + v 0 ∙ t + s 0 (mit s 0 = 0)

Daraus ergibt sich:

t = v _ a ⇔ s = 1 _ 2 a ∙ ( v _ a ) 2 ⇔ s = 1 _ 2 ∙ v 2 _ a ⇔ v = √ _____

2 s ∙ a

Zum Zeitpunkt t 2 hat jeder Körper die Strecke s = 0,5 m zurückgelegt.Die Geschwindigkeit beträgt dann:

v 2 = √ ____________

2 ∙ 0,5 m ∙ 3,27 m _ s 2 = 1,8 m _ s

c) Die Energie E 1 zum Zeitpunkt t 1 ist die Summe aus den Höhenenergien der Körper A und B, die sich in 0,5 m Höhe über dem Null niveau für die Höhenenergie befinden:

E 1 = 1 kg ∙ 9,81 m _ s 2 ∙ 0,5 m + 2 kg ∙ 9,81 m _ s 2 ∙ 0,5 m

= 14,715 J

Die Energie E 2 zum Zeitpunkt t 2 ist die Sum-me aus den Bewegungsenergien der Körper A und B und der Höhenenergie des Körpers A, der sich nun 1,0 m über dem Nullniveau be findet:

E 2 = 1 _ 2 ∙ 1 kg ∙ v 2 2 + 1 _ 2 ∙ 2 kg ∙ v 2

2 + 1 kg ∙ 9,81 m _ s 2 ∙ 1,0 m = 1,5 kg ∙ v 2 2 + 9,81 J

Nach dem Energieerhaltungssatz sind die Energien gleich:

E 2 = E 1 ⇔ 1,5 kg ∙ v 2 2 + 9,81 J = 14,715 J ⇔ v 2 = √

_________

14,715 J − 9,81 J __ 1,5 kg ⇔ v 2 = 1,8 m _ s

A8 $ Es ist tatsächlich viel Energie überführt worden, jedoch nicht hauptsächlich in Bewe-gungsenergie des Autos, sondern in thermische Energie der Reifen und des Bodens.

A9 $ a) Die Regenmenge hat ein Volumen vonV = A G ∙ h = 120 km 2 ∙ 12 mm = 120 ∙ ( 10 3 m) 2 ∙ 12 ∙ 10 −3 m = 1 440 000 m 3 ;also beträgt die Masse m = 1 440 000 000 kg.

E H = m ∙ g ∙ h 0 = 1 440 000 000 kg ∙ 9,81 m _ s 2 ∙ 600 m = 8,48 ∙ 10 12 J.

b) Die Bewegungsenergie aller auf dem Boden ankommenden Regentropfen beträgt

E B = 1 _ 2 m ∙ v 2 = 1 _ 2 ∙ 1 440 000 000 kg ∙ (6 m _ s ) 2 = 2,59 ∙ 10 10 J

E B

_ E H = 2,59 ∙ 10 10 J

__ 8,48 ∙ 10 12 J = 0,003 = 0,3 %

2 kg 1 kg

2 kg

1 kg

t1 = 0 t2 > 0

A B

A

B

EH = 0

1,0 m 0,5 m

Auto Ech

EB

Etherm

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Erhaltungsgrößen 23

(S. 80) Die Bewegungsenergie beträgt damit etwa 0,3 % der (ursprünglichen) Höhenenergie, der Verlust an mechanischer Energie beträgt also 99,7 %. Dieser Energieanteil ist während des Fallens durch Reibungsarbeit in nichtmechanische Energieformen überführt worden. Das führt u. a. zur Erwärmung der fallenden Regentropfen bzw. der umgebenden Luft.

A10 $ Gegeben:

Masse des Waggons: m = 14 t = 14 000 kg

Geschwindigkeit des Waggons: v = 10 km _ h = 2,78 m _ s

Federkonstante der Pufferfeder: D = 650 kN _ m

Durch den Zusammenprall der Waggons wird die Pufferfeder gestaucht. Die Bewegungs-energie des auffahrenden Güterwaggons wird in Spannenergie der Pufferfeder überführt.

Es gilt: E B = 1 _ 2 m · v 2 ; E S = 1 _ 2 D · s 2

aus E B = E S ergibt sich:

1 _ 2 m · v 2 = 1 _ 2 D · s 2

s = √ ____

m · v 2 _ D = √ ___________

14 000 kg · (2,78 m _ s ) 2

___ 650 · 10 3 N _ m

= 0,41 m

Die Pufferfeder des Waggons wird um 41 cm gestaucht.

A11 . Bewegungsenergie wird in Höhenenergie überführt. Bei dem unter 90° austretenden Wasserstrahl wird die Bewegungsenergie nach dem Austritt vollständig in Höhenenergie überführt. Am höchsten Punkt liegt nur noch Höhenenergie vor, das Wasser kommt kurzfris-tig zum Stillstand (v = 0). Bei einem schräg austretenden Wasserstrahl liegt am höchsten Punkt weiterhin ein Teil der Energie als Bewegungsenergie vor, denn das Wasser bewegt sich in waagerechter Richtung weiter. Daher steht weniger Energie als Höhenenergie zur Verfügung als bei 90° und die erreichte Höhe ist geringer. Bei 45° beträgt die erreichte Höhe genau die Hälfte der bei 90° erreichten Höhe.

A12 $ E B = 1 _ 2 m ∙ v 2 für v 1 = 50 km _ h = 13,89 m _ s und v 2 = 70 km _ h = 19,44 m _ s .

Setze beide Energien ins Verhältnis: 1 _ 2 m ∙ v 2

2 __

1 _ 2 m ∙ v 1 2 = (

v 2 _ v 1 )

2

= 1,96. Die Bewegungs energie ver-doppelt sich nahezu.

A13 0 Gegeben: m = 0,1 kg; D = 150 N _ m ; s = 0,03 m; E S = 1 _ 2 D ∙ s 2 wird in E H = m ∙ g ∙ h überführt. Gesucht: h

h = 1 _ 2 ∙ D ∙ s 2 _ m ∙ g = 0,19 m. Die Feder erreicht eine maximale Höhe von 19 cm.

A14 0 a) Es findet ein unelastischer Stoß statt. Aus dem Impulserhaltungssatz erhält man die gesuchte Geschwindigkeit v der Läuferinnen nach dem Stoß:

m 1 ∙ v 1 + m 2 ∙ v 2 = ( m 1 + m 2 ) ∙ v ⇔ v = m 1 ∙ v 1 + m 2 ∙ v 2 ___ m 1 + m 2

Da v 2 = 0 und die beiden Massen gleich sind, erhält man mit m 1 = m 2 = m:

v = m ∙ v 1 _ 2 ∙ m =

v 1 _ 2 = 5,0 m _ s

b) Es sind zwei Fälle zu unterscheiden:(1) Die Magnete sind so gepolt, dass sie einander anziehen:Kurz vor dem Zusammenstoß wird jeweils ein zusätzlicher Impuls auftreten, so dass sich beide aufeinander zu bewegen. Nach dem Zusammenstoß erfolgt die Bewegung wie unter a), da die Summe der Zusatzimpulse null sein muss.(2) Die Magnete sind so gepolt, dass sie einander abstoßen:Es gibt eine weiche, elastische Wechselwirkung. Es handelt sich also um einen elastischen Stoß zwischen zwei Läuferinnen gleicher Masse. Deshalb bleibt die anlaufende Eisläuferin nach der Wechselwirkung in Ruhe, während die andere sich mit der Geschwindigkeit von 10 m/s bewegt.

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24 Akustik


Eine Panflöte Es ist zwischen offener und halboffener (gedackter) Pfeife zu unterscheiden. Die Länge l der Pfeife bestimmt die Tonhöhe. Bei der offenen Pfeife beträgt die Wellenlänge der Grundschwingung λ 0 = 2 l , bei der gedackten λ 0 = 2 l.Ein Wohlklang (eine Konsonanz) entsteht, wenn die Längenverhältnisse der Strohhalme Ver hältnisse möglichst niedriger ganzer Zahlen sind:Prime 1 : 1 (c’ − c’) Quinte 3 : 2 (c’ − g’) große Sexte 5 : 3 (c’ − a’)Oktave 2 : 1 (c’ − c’’) Quarte 4 : 3 (c’ − f’) große Terz 5 : 4 (c’ − e’)Eine C-Dur-Tonleiter erhält man, wenn man folgende relative Längenverhältnisse einstellt:c’: l = lc’ d’: l = 8/9 lc’ e’: l = 8/9 lc’ f’: l = 3/4 lc’g’: l = 2/3 lc’ a’: l = 3/5 lc’ h’: l = 8/15 lc’ c’’: l = 1/2 lc’Die Halbtonschritte liegen zwischen dem 3. und 4. und zwischen dem 7. und 8. Ton.

Das Schnurtelefon a) Das Schnurtelefon funktioniert nur bei straff gespannter Schnur. b) Hohe Töne sind besser zu hören.


A1 0 440 Perioden pro Sekunde; entspricht dem Kammerton a.

A2 $ f = ( 1 _ T ) ∙ n; mit T = 60 s _ 3 600 = ( 1 _ 60 ) s und n = 40 ergibt sich

f = 60 1 _ s ∙ 40 = 2 400 1 _ s = 2 400 Hz.

A3 $ Die schwingende Luftsäule wird verkürzt. Die Eigenfrequenz ändert sich. Die Luft-säule schwingt dann mit einer höheren Frequenz, die Tonhöhe steigt.

A4 $ a) Sobald der Schall (hier von rechts kommend) das rechte Mikrofon erreicht, startet die Stoppuhr. Der Schall bewegt sich weiter und erreicht das linke Mikrofon, woraufhin die Stoppuhr angehalten wird. Die Stoppuhr misst also die Zeit, die Schall benötigt, um vom rechten Mikrofon zum linken zu gelangen. Man benötigt dann nur noch den Abstand zwischen den beiden Mikrofonen und kann dann die Geschwindigkeit ausrechnen (siehe Teil b)).

b) Gegeben: Für eine Weglänge von s 1 = 1 m benötigt der Schall t 1 = 3,1 ms. Berechnung der Ausbreitungsgeschwindigkeit des Schalls:

v = s 1 _ t 1

= 1 m __ 3,1 · 10 − 3 m _ s

= 322,6 m _ s

In der Zeit t 2 = 1 s legt der Schall damit die Strecke s 2 = v · t 2 = 322,6 m/s zurück.

A5 $ Svenja würde geringfügig schneller starten, da der Knall erst vom Ohr empfangen werden müsste. Dies ist die korrekte Messmethode.

A6 0 Entfernung: s = v ∙ t = 340 m _ s ∙ 5 s = 1 700 m = 1,7 km.

(S. 81 – 96) 4 Akustik

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Akustik 25

(S. 96) A7 .

A8 $ Die Frequenz des Flügelschlags von Schmetterlingen liegt unterhalb von 16 Hz (Kohlweißling 9 – 12 Hz) und damit unterhalb der Hörgrenze des Menschen. Die Flügel-schlagfrequenz einer Mücke liegt bei knapp 300 Hz, einer Biene bei 250 Hz, einer Hummel bei 130 – 250 Hz.

A9 . Aus absorbierenden, „porigen“ Materialien; z. B. Schaumstoff, Styropor, Gewebe/ Fasern usw.

A10 . Handys und Festnetztelefone besitzen eine nahezu punktförmige Schallquelle. Dadurch geben sie den Schall praktisch kugelförmig ab und der Schall wird von Wänden wegen der vergleichsweise hohen Frequenzen gut reflektiert. Dies erschwert die Ortung enorm. Für einen Menschen ist es daher z. B. sehr schwer zu sagen, welches von mehreren Telefonen in einem Büro gerade klingelt, wenn er nicht direkt davor steht.

A11 . Der Schall legt 1 000 m in 3 s zurück, d. h. 333 m in 1 s bzw. rund 33 m in 0,1 s. Beim Echo wird der Schall von einer Wand o. ä. zum Schallsender zurück reflektiert. Die Wand hat dem-nach eine Entfernung von 33 m/2 ≈ 17 m vom Schallsender.

t

s s s

t t

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26 Optische Abbildungen


Münztrick Ist Wasser in der Tasse, gelangen von der Münze ausgehende Lichtbündel ins Auge, die man ohne Wasser nicht sehen würde, denn aus dem Wasser kommende Lichtbündel werden an der Grenzfläche vom Lot weg gebrochen. So kann man den Tassenboden auch ohne gerade Sichtver-bindung sehen.

Brennweite einer Lupe Die Linse wird genau in die Mitte zwischen Kamm und Schirm ge-bracht. Der Abstand Kamm − Schirm wird so verändert, dass das Bild des Kammes so groß ist wie der Kamm selbst. Der Abstand Kamm − Linse bzw. Linse − Schirm ist dann die doppelte Brennweite.

Wasserlupen Zur Bestimmung des Brennpunktes wird die Wasserlinse bei großem Abstand zur Lichtquelle auf den Schirm zu bewegt. Ist der abgebildete Lichtfleck minimal, so ent-spricht der Abstand Linse − Schirm annähernd der Brennweite.

Brillentest Man hält die Brille nahe z. B. über eine Buch- oder Zeitungsseite. Wird die Schrift verkleinert, so handelt es sich um eine Zerstreuungslinse; der Brillenträger ist kurzsichtig. Wird die Schrift vergrößert, so liegt eine Sammellinse vor; der Brillenträger ist weitsichtig.

Ein Vergrößerungsglas Beim Eintauchen des Bechers in das Wasser wird die Oberfläche der Klarsichtfolie konvex gekrümmt; es bildet sich eine Sammellinse aus Wasser. Die Münze wird vergrößert abgebildet.


A1 0 a), d), e) Sammellinsen b), c) Zerstreuungslinsen.

A2 0 Achsennahe Lichtbündel, die parallel zur optischen Achse verlaufen und auf eine Sammellinse treffen, werden von ihr in einen Punkt F auf der optischen Achse gelenkt. Dieser Punkt heißt Brennpunkt.

A3 $ a) Je stärker die Krümmung der Linsenoberfläche, desto kleiner wird die Brennweite der Linse.b) Die Brennweite wird kleiner.

A4 $ Nur bei dünnen Linsen kann man die zweimalige Brechung durch eine an der Mittel-ebene ersetzen (also die Parallelversetzung der Lichtbündel vernachlässigen).

A5 0 Zur einfachen Konstruktion eignen sich– Lichtbündel parallel zur optischen Achse.– Lichtbündel durch den Brennpunkt der Linse.– Lichtbündel durch den Mittelpunkt der Linse.Für diese Lichtbündel kennt man den Lichtweg durch Sammellinsen.

A6 0 a), c), d) Sammellinsen b) Zerstreuungslinse

A7 $ Das Bild wird dunkler, da nur noch Licht von dem äußeren Rand der Linse zur Bildent-stehung beiträgt. Bei dicken Linsen wird das Bild unschärfer, weil Lichtbündel, die weiter von der optischen Achse entfernt sind, anders gebrochen werden.

(S. 97 – 118) 5 Optische Abbildungen

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Optische Abbildungen 27

(S. 118) A8 $ Trifft Licht parallel zur optischen Achse auf eine Sammellinse, so schneiden sich die Lichtbündel hinter der Linse in einem Brennpunkt. Verschiebt man eine punktförmige Licht-quelle entlang der optischen Achse, so findet man einen Punkt, bei dem das Licht die Linse parallel zur optischen Achse verlässt. Kommt nun von der anderen Seite der Linse Licht parallel zur optischen Achse, so wird dies in den Punkt gelenkt, an dem sich vorher die Licht-quelle befand. Dies ist der zweite Brennpunkt. Die entsprechende Formulierung gilt für Zerstreuungs linsen.

A9 . Lichtbündel parallel zur optischen Achse werden nicht alle in einen Punkt gelenkt. Nur Lichtbündel in der Nähe der optischen Achse verlaufen nach der Linse durch den Brenn-punkt ganz rechts im Foto.

A10 $ Durch Veränderung der Linsendicke über den Ringmuskel wird die Brennweite an-gepasst: geringe Entfernung: zusammengezogener Ringmuskel ⇒ Verdickung ⇒ kürzere Brennweite; größere Entfernung: entspannter Ringmuskel ⇒ Abflachung ⇒ längere Brennweite (Stichwort Akkommodation).

A11 $ a), b), c) Siehe Abbildung

A12 $ Der Winkel, den die Lichtbündel einschließen, die von den Endpunkten eines Gegen-standes zur Pupille des Auges verlaufen, heißt Sehwinkel. Das Verhältnis der Bildgröße B L mit Lupe zur Bildgröße B 0 ohne Sehhilfe (erzeugt bei einer Gegenstandsentfernung von 25 cm) gibt die Ver größerung V L an, hier V L = B L / B 0 ≈ 2,2. Vorausgesetzt der Gegenstand befindet sich nahe am Brennpunkt, kann V L auch als Verhältnis der Sehwinkel ( α L / α 0 ) angegeben werden.

A13 . Sie wirkt nun als Zerstreuungslinse, weil das Licht beim Übergang von Wasser in Luft vom Lot weg gebrochen wird statt wie bei der Glaslinse zum Lot hin. Der Zusatz lautet: Der Stoff, aus dem die Sammellinse besteht, muss optisch dichter als die Umgebung sein!

A14 $ Siehe Abbildung

a)

b)

c)

G

FF

F F

G

1 cm

Bild

G

B

BF F

G

FF

Bild

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28 Atom- und Kernphysik


Hinweise auf die Existenz von Atomen Variante des Ölfleckversuchs; vgl. Schülerbuch, S. 121.


A1 0 Aus der Angabe der Massenzahl und der Kernladungszahl ist die Anzahl der Protonen und Neutronen im Atomkern sowie die Elektronenanzahl in der Atomhülle berechenbar.

A2 0

Atomkerne Protonenzahl Neutronenzahl

2 1 H 1 1

4 2 He 2 2

16 8 O 8 8

17 8 O 8 9

60 27 Ni 27 33

60 28 Ni 28 32

207 82 Pb 82 125

208 82 Pb 82 126

235 92 U 92 143

238 92 U 92 146

A3 $ – Die Nebelkammer ist ein abgeschlossenes Gefäß, dessen Atmosphäre mit Wasser bzw.

Alkoholdampf gesättigt ist. Durch eine rasche Ausdehnung (Entspannung des Gummiballs) wird die Luft so weit abgekühlt, dass der Raum mit Dampf übersättigt wird. Eindringende radioaktive Strahlung (α-Strahlung) ionisiert das Gas längs ihrer Spur. An den ionisierten Gasatomen (Kondensationskeimen) setzen sich feine Wassertröpfchen ab, die eine Spur bilden. Die Länge der Spur ist ein Maß für die Energie der Strahlung.

– Das Geiger-Müller-Zählrohr besteht aus einem mit dem Edelgas Argon gefüllten Metall-zylinder als negativer Elektrode und einem darin isoliert verlaufenden Metalldraht als posi-tiver Elektrode. Zwischen den Elektroden legt man eine Spannung U 0 von einigen hundert Volt an. In diesem Stromkreis befindet sich ein hochohmiger Widerstand R mit rund 10 9 Ω. Am Ende des Metallrohres befindet sich ein sehr dünnes Fenster aus Glimmer. Die Teilchen einer radioaktiven Quelle gelangen durch das Glimmerfenster ins Zählrohr und ionisieren dort jeweils einige Argon-Atome. Die entstandenen positiven Argon-Ionen werden im elekt-rischen Feld zur Metallwand, die freien Elektronen zum Draht hin gezogen. Erreichen die Ionen bzw. Elektronen die Elektroden, so entsteht ein Strom, der Ionisationsstrom genannt wird, und mit einem elektronischen Zähl gerät registriert wird.

A4 $ a) – Auswertung einer Nebelkammeraufnahme – Ablenkung im Magnetfeld – Messung der Reichweite b) Ein Plattenkondensator entlädt sich schneller, wenn ein energiereiches radioaktives Mate-rial (α-Strahler) die Luft zwischen den Platten ionisiert.

(S. 119 – 144) 6 Atom- und Kernphysik

Es gilt: A = Z + NIsotope sind Atomkerne, die gleiche Proto-nen-, aber verschiedene Neutronenzahlen auf weisen.Isotope sind: 16 8 O und 17 8 O, 207 82 Pb und 208 82 Pb, 235 92 U und 238 92 U

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Atom- und Kernphysik 29

(S. 143) A5 $ Die Zählrate in einem Zählrohr zeigt eine Abnahme, wenn der Abstand zwischen radioaktiver Quelle und Zählrohr vergrößert wird. Danach hat α-Strahlung eine Reichweite in Luft von wenigen Zentimetern, β − -Strahlung von einigen Metern.

A6 $ Variante A: Bringen Sie die Uhr vor ein betriebsbereites Zählrohr. Entfernen Sie zuvor das Uhrglas. Erhöht sich die Zählrate, so sind die Leuchtziffern radioaktiv. Variante B: Legen Sie das Zifferblatt zwölf Stunden auf einen in Papier eingepackten, noch unbelich teten Filmstreifen. Entwickeln Sie den Film. Bei radioaktiven Ziffern sind Schwärzun-gen zu sehen. Alternativ zum Film kann auch Fotopapier benutzt werden. Variante C: Bringen Sie die Uhr in einen dunklen Raum. Leuchtet das Zifferblatt ständig, so ist es radioaktiv.

A7 $ a) Ein Geiger-Müller-Zählrohr zeigt überall eine schwache radioaktive Strahlung an, auch wenn sich keine radioaktive Strahlungsquelle in der Nähe befindet. Diese Erscheinung heißt „Null effekt“. Die Strahlung stammt aus dem Weltall, aus der Atmosphäre und von radio-aktiven Stoffen in und auf der Erde. b) Sowohl Gesteine als auch Baumaterial können unterschiedliche Konzentrationen von radio aktiven Elementen wie Thorium, Kalium oder Radium enthalten. Zudem ist die radio-aktive Strahlung aus dem All schwankend.

(S. 144) A8 $ Kaliumverbindungen sind radioaktiv (sie enthalten das radioaktive Isotop K-40), wes-halb sie eine deutliche höhere Zählrate aufweisen als beispielsweise Kochsalz oder Seesand, welche in der Größenordnung des Nulleffekts strahlen.

A9 0

Anwendungsverfahren Medizin Technik/Landwirtschaft Geologie/Archäologie

Bestrahlung Zerstörung von schnell wachsenden Zellen (Krebs); Entkeimung von medi-zinischen Instrumenten

Kunststoffveredelung; Abtöten von Bakterien, Sporen und Viren

Markierung Lokalisierung krankhafter Prozesse, z. B. Schild-drüsenerkrankung (Szintigramm)

Verschleißmessungen; Stoffwechsel-untersuchungen bei Pflanzen, Tieren; Leckbestimmung in Rohren

Durchstrahlung zerstörungsfreie Dicken - messung; Material-prüfung (z. B. Gussstücke)

Analyse von Isotopen und Halbwertszeiten

Altersbestimmung von Gesteinsformationen, Fossilien, Sedimenten, Artefakten; Herkunftsbestimmung von Werkstoffen, Sedimenten usw.

A10 0 Die schädigende Wirkung radioaktiver Strahlung hängt von der Dauer der Einwir-kung, der Äquivalentdosis und der Strahlungsart ab, sowie von der Art des betroffenen Gewebes.

Zählrohr

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(S. 144) A11 0 a) – Strahlung weitgehend abschirmen! – Großen Abstand zur Strahlungsquelle halten! – Arbeitszeit mit radioaktiven Quellen so kurz wie möglich halten! – Das Eindringen radioaktiver Strahlung in den Körper verhindern! Begründung: Radioaktive Strahlung ist abschirmbar (z. B. Metallfolien). Die Aktivität nimmt mit dem Quadrat der Entfernung ab. Die Dauer der Strahlenwirkung hat starken Einfluss auf mögliche Strahlenschäden: Zellveränderung durch Ionisierung der Atome. Radioaktive Stoffe können z. B. im Körper lange eingelagert werden und dort als weiter bestehende radioaktive Quellen somatische und genetische Schäden auslösen.

b) – Kosmische Strahlung (Höhenstrahlung) – Terrestrische Strahlung (Gesteine, Böden, Baumaterialien) – Eigenstrahlung des menschlichen Körpers durch die beim Stoffwechsel aufgenommenen

Nuklide, z. B. C-14, K-40, Rn-222.– schwache Röntgenstrahlung von Röhren-Fernsehgeräten und Röhren-Monitoren – ggf. Röntgendiagnostik (besonders Computer-Tomographie CT) und Röntgentherapie

A12 $ a) 227 90 Th A 223 88 Ra + 4 2 α b) Eine Reihe von Folgeprodukten, die beim radioaktiven Zerfall von Uran, Thorium und Nep-tu nium auftreten. Diese Folgeprodukte sind meist wieder radioaktiv und wandeln sich weiter um. Dieser Prozess kommt erst dann zum Ende, wenn ein stabiler (nicht-radioaktiver) Kern entsteht. Man kennt folgende Zerfallsreihen:

Zerfallsreihe Ausgangskern Endkern Halbwertszeit

Uran-Radium-Reihe 238 92 U 206 82 Pb 4,5 ∙ 10 9 a

Uran-Actinium-Reihe 235 92 U 207 82 Pb 7,0 ∙ 10 8 a

Thorium-Reihe 232 90 Th 208 82 Pb 1,4 ∙ 10 10 a

Neptunium-Reihe 237 93 Np 209 83 Bi 2,2 ∙ 10 6 a

c) 216 84 Po A 212 82 Pb + 4 2 α

212 82 Pb A 212 83 Bi + 0 −1 e

212 83 Bi 208 81 Tl + 4 2 α 212 84 Po + 0 −1 e

208 81 Tl A 208 82 Pb + 0 −1 e

212 84 Po A 208 82 Pb + 4 2 α

A13 $ 14 6 C A 14 7 N + 0 − 1 e

A14 $ Siehe Grafik

10 2 3 4 5 6

1000

800

600

400

200

0t in min

Impulse in 1 0 s

T1 2≈2,5 min

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Atom- und Kernphysik 31

(S. 144) A15 $ C-14-Methode (auch Radiocarbon-Analyse): In der oberen Atmosphäre der Erde wandeln ständig energiereiche Protonen der Sonnenstrahlung Stickstoffatome in das radio-aktive Kohlen stoffisotop C-14 um. Kohlenstoffdioxid bildet sich nicht nur mit C-12, sondern zu einem geringen Prozentsatz auch mit C-14. Infolge der Durchmischung der Luft gelangt Kohlenstoffdioxid beider Isotope in verhältnismäßig kurzer Zeit auch in Bodennähe, wo es von den Pflanzen bei der Fotosynthese aufgenommen wird. In diesen verändert sich der Anteil des radioaktiven Isotops und es stellt sich ein festes Verhältnis zwischen C-12 und C-14 ein. Sterben Pflanzen oder Lebewesen, die diese verstoffwechselt haben, oder wird beispiels-weise ein Baum gefällt, wird von diesen auch kein C-14 mehr aufgenommen. Der Anteil des radioaktiven Isotops verändert sich von diesem Zeitpunkt an nach dem radioaktiven Zerfalls-gesetz; die Halbwertszeit des Zerfalls von C-14 zu C-12 beträgt 5 760 Jahre.Für die Altersbestimmung einer Probe wird die Zeit zwischen Entstehen des Isotops und Ende der Fotosynthese bzw. Lebensende der Lebewesen vernachlässigt. Außerdem wird angenommen, dass die Erzeugungsrate von C-14 bis heute konstant geblieben ist; man setzt das natürliche Konzentrationsverhältnis von C-14 zu C-12 mit dem heutigen gleich (tatsäch-lich unterlag der C-14-Gehalt der Atmosphäre Schwankungen, die stärksten wurden durch die Atombombenversuche der 1950er Jahre erzeugt).Das relative Alter der untersuchten organischen Substanz wird anhand des analysierten Mengenverhältnisses von C-12 und C-14 in der Probe (z. B. Holzkohlestücke) gegenüber einer aktuellen Referenzprobe bestimmt.Beispiel: C-14-Anteil der Probe gegenüber heute ein Achtel (1/ 2 3 ) ⇒ drei Halbwerts-zeiten vergangen ⇒ relatives Alter ca. 17 280 Jahre (entspricht je nach Untersuchungs-datum ungefähr 15 280 v. Chr.).Zusätzliche Informationen: Da zum einen der C-14-Gehalt der Proben verfälscht sein kann (s. o. oder auch Aufgabe 16), zum anderen Probenentnahme, Aufbereitung und Messung Fehlern und Ungenauigkeiten unterliegen können (auch zu kleine Probenmengen sind mög-lich), werden die Ergebnisse meist in Intervallen unter Berücksichtigung der Wahrscheinlich-keit der Richtigkeit des Ergebnisses angegeben; z. B. 2 350 +/− 30 Jahre vor heute. Bekannte Schwankungen im C-14-Gehalt der Atmosphäre und systematische Fehler versucht man zu berücksichtigen, die Daten werden kalibriert. Bei Holzproben kann dies u. a. in Kombination mit der Dendrochronologie (Jahrringanalyse) erfolgen. Der Vorteil der C-14-Methode ist, dass sie häufig genauer und „sicherer“ ist als andere archäologische Altersbestimmungen, die häufig nur auf Abfolgen beruhen. Gerade ältere Ergebnisse sind jedoch wegen der mög-lichen Fehlerquellen kritisch zu betrachten und wurden teilweise auch schon korrigiert oder widerrufen.

Die Altersbestimmung von Gesteinen mit der Blei-Methode basiert auf U-238, welches eine sehr hohe Halbwertszeit hat, und sich letztlich in Pb-206 umwandelt. Man bestimmt die Konzentration beider Isotope in dem Gestein, deren Summe ist die Ausgangskonzentration des radioaktiven Isotops. Aus dem Verhältnis der heute vorhandenen Konzentration zur ursprünglichen Konzentration des radioaktiven Isotops lässt sich das (relative; s. o.) Alter berechnen.

A16 . Die Motoren der Verkehrsmittel stoßen Kohlenstoffdioxid aus, dessen Kohlenstoff-atome aus dem Erdöl stammen, also aus sehr altem biologischen Material. Wegen des hohen Alters ist entsprechend weniger C-14 vorhanden.

A17 $ a) Umwandlung von Atomkernen ohne äußere Beeinflussung in andere Atomkerne. Dabei tritt radioaktive Strahlung auf. b)

Kernumwandlungsarten gemeinsame Merkmale unterschiedliche Merkmale

Kernspaltung Veränderungen der Atomkerne Zerlegung schwerer Atomkerne in leichtere mit gleichzeitiger Energiefreisetzung

Kernfusion Verschmelzung leichterer Kerne zu schwe-reren mit gleichzeitiger Energie freisetzung

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(S. 144) A18 . Die freiwerdende Bindungsenergie bei der Kernspaltung wird vorwiegend als Bewegungs energie der Spaltprodukte freigesetzt. Dazu kommt noch die Strahlungsenergie der auftretenden γ-Strahlung. Durch Abbremsen der energiereichen Spaltprodukte und Ab-sorption der Strahlung wird sie in thermische Energie des umgebenden Materials und schließlich des Kühlmittels überführt. Da auf engem Raum eine sehr große Energiemenge überführt wird, muss der Vorgang genau dosiert und kontrolliert werden.

A19 . a) Durch Regelstäbe kann man in einem Kernreaktor die Kettenreaktion steuern. Diese Stäbe bestehen aus einem Material (Bor bzw. Cadmium), das die Eigenschaft besitzt, Neutronen einzufangen. Durch das mehr oder weniger tiefe Einfahren dieser Stäbe wird die Anzahl der Neutronen und damit die Kettenreaktion geregelt. Eine weitere Rolle spielen Moderatoren und Neutronen reflektoren. b) Spaltbar ist nur das Uranisotop U-235, das in natürlich vorkommendem Uranerz nur in geringen Mengen vorhanden ist. Der größte Anteil besteht aus nicht spaltbarem U-238. Des-halb wird zur Herstellung der Brennelemente der Anteil von U-235 durch Anreichern auf etwa 3 % erhöht.

A20 . Kernkraftwerke (vgl. auch Schülerbuch S. 140, A2): – Freisetzen radioaktiver Strahlung bei Gewinnung und Transport der Rohstoffe (Uranerze) – Freisetzen radioaktiver Strahlung im Betrieb: Abgabe von radioaktiven Edelgasen, Iod und

Tritium über die Kamine– Entstehung radioaktiver und hochgiftiger Zwischen-, Neben- und Endprodukte (Spalt-

produkte, Nuklide), auch beim Rückbau kerntechnischer Anlagen– ungeklärte Entsorgung bzw. Endlagerung der Zwischen-, Neben- und Endprodukte

(z. T. extreme Halbwertszeiten)– komplexe, schwierig zu beherrschende Hochtechnologie– Gefahr von Unfällen im Kraftwerksbetrieb sowie bei Transport und Lagerung der Zwischen-,

Neben- und Endprodukte: menschliches oder technisches Versagen, Materialbelastung bzw. Materialsicherheit (auch Anschläge oder Sabotage); entsprechend gravierende Folgen, ins besondere nach Reaktorschmelzen: Freisetzen großer Energiemengen und radioaktiver Stoffe (Gas, Staub, Fallout), dadurch langfristige Verseuchung riesiger Gebiete möglich

– Erwärmung der Umgebung durch Kühlmaßnahmen (Gewässer) Kohlekraftwerke: – Emissionen von Aerosolen (z. B. Staub, insbesondere Feinstaub), Kohlenstoffdioxid,

Schwefel dioxid, Stickstoffoxiden (Treibhausgase); Anreicherung dieser in der Atmosphäre; Gefahr der Klimaveränderung (Er wärmung)

– relativ geringe Effizienz– Abbau und Transport der Rohstoffe und Endprodukte (Schlacken) energieaufwändig und

großteils ebenfalls mit Staub- und Abgasemissionen verbunden– Erwärmung der Umgebung durch Kühlmaßnahmen (Gewässer)

A21 $ S. o., Lösung der Aufgabe Schülerband S. 140, A2 und 144, A20.

A22 . Mit diesen Maßnahmen soll erreicht werden, dass radioaktive Stoffe sich weder auf der Haut absetzen noch in den Körper gelangen können.

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Strahlungsphysik 33


A1 0 Mit λ max = a _ T = 2,9 ∙ 10 −3 m ∙ K

__ T erhält man T = 2,9 ∙ 10 −3 m ∙ K

__ 500 ∙ 10 −9 m = 5,8 ∙ 10 3 K .

A2 0 Es wird angenommen, dass die Temperatur des Körpers unter der Umgebungs-temperatur liegt. Der Körper erwärmt sich so lange, bis die Energieaufnahme und Energie-abgabe im Gleichgewicht sind und die Temperatur sich nicht mehr ändert.

A3 $ a) Die Temperatur der „Sonne“ ist gegeben durch:

T = a _ λ max =

2,9 ∙ 10 −3 m ∙ K __ 400 ∙ 10 −9 m = 7,25 ∙ 10 3 K

Die Strahlungsleistung ergibt sich aus dem Stefan-Boltzmann’schen Gesetz zu:

P = σ ∙ T 4 ∙ A = 5,67 ∙ 10 −8 W _ m 2 K 4 ∙ (7,25 ∙ 10 3 K) 4 ∙ 4 π ∙ (9 ∙ 10 8 m) 2 = 1,594 5 ∙ 10 27 W

b) Der Planet befindet sich im Abstand von r = 10 11 m; die Solarkonstante ist also:

S = 1,594 5 ∙ 10 27 W

___ 4 π ∙ ( 10 11 m) 2 = 12 698 W _ m 2

c) Die gesamte Energie, die der Planet je Sekunde aufnimmt, beträgt also:

P Sonne auf Planet = 12 698 W _ m 2 ∙ π ∙ (5 ∙ 10 6 m) 2 = 9,966 ∙ 10 17 W

Der Planet erwärmt sich so lange, bis er den gleichen Energiebetrag abstrahlt.Für die dazu notwendige Temperatur gilt:

P = σ ∙ A ∙ T 4 = 9,966 ∙ 10 17 W = 5,67 ∙ 10 −8 W _ m 2 · K 4 ∙ 4 π ∙ (5 ∙ 10 6 m) 2 ∙ T 4

⇔ T = 4 √

_____________________

9,966 ∙ 10 17 W ______ 5,67 ∙ 10 −8 W m −2 K −4 ∙ 4 π ∙ (5 ∙ 10 6 m) 2 = 486 K

Das Ergebnis ist unabhängig von der Größe des Planeten, da sowohl der aufgenommene Energiebetrag, als auch der abgestrahlte Energiebetrag proportional zum Quadrat des Planetenradius wachsen.

A4 $ Berechnung der abgestrahlten Leistung eines menschlichen Körpers bei einer Raum-temperatur von 20 °C:Gegeben: Haut- bzw. Oberflächentemperatur des Körpers: ϑ = 33 °C ⇒ T K = 306 KKörperoberfläche: A K = 1,4 m 2

Boltzmann-Konstante: σ = 5,67 ∙ 10 − 8 W _ m 2 ∙ K 4

Nach dem Stefan-Boltzmann’schen Gesetz beträgt die abgestrahlte Leistung P ab :

P ab = A K ∙ σ ∙ T K 4

P ab = 1,4 m 2 ∙ 5,67 ∙ 10 − 8 W _ m 2 ∙ K 4 ∙ (306 K) 4

P ab = 700 W

Der Körper strahlt demnach 700 W ab, allerdings nimmt er auch Strahlung auf, deren Leis-tung von der Umgebungstemperatur abhängt. Da von einem idealen Schwarzen Körper aus-gegangen wird, nimmt man an, dass der Körper diese Strahlung vollständig absorbiert. Für die aufgenommene Leistung gilt mit T U = 293 K:

P auf = A K ∙ σ ∙ T U 4

P auf = 1,4 m 2 ∙ 5,67 ∙ 10 − 8 W _ m 2 ∙ K 4 ∙ (306 K) 4

P auf = 588 W

(S. 145 – 156) 7 Strahlungsphysik

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34 Strahlungsphysik

Die Differenz zwischen abgegebener und aufgenommener Strahlungsleistung beträgt dem-nach

Δ P = P ab − P auf = 700 W − 588 W = 112 W = 112 J _ s

Damit beträgt die vom menschlichen Körper in Δ t = 24 h = 86 400 s abgegebene Energie:

Δ E = Δ P ∙ Δ t = 112 J _ s ∙ 86 400 s = 9 676 800 J = 9,7 ∙ 10 6 J

Der menschliche Körper gibt innerhalb von 24 h durch Wärmestrahlung eine Energiemenge von 9,7 ∙ 10 6 J ab (dies entspricht etwa 2 400 kcal).

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Strahlungsphysik 35

(S. 157) Klausurvorbereitung Lösungen zu den Aufgaben

A1 $ Gegeben:

Straßenbahn 1: l 1 = 26 m; v 1 = 18 km _ h = 5 m _ s

Straßenbahn 2: l 2 = 39 m; v 2 = 36 km _ h = 10 m _ s

a) Berechnung der Zeit, bis die beiden Bahnen aneinander vorbeigefahren sind:Für die gleichförmige Bewegung gilt:

t = s _ v

Der Gesamtweg für die Vorbeifahrt beträgt:

s = l 1 + l 2

Da die Straßenbahnen in entgegengesetzter Richtung fahren, beträgt ihre Relativgeschwin-digkeit:

v = v 1 + v 2

Damit erhält man für die Dauer der Vorbeifahrt:

t = l 1 + l 2 _ v 1 + v 2

= 26 m + 39 m __ 5 m _ s + 10 m _ s

= 65 m _ 15 m _ s

= 4,3 s

Die Vorbeifahrt der Bahnen aneinander dauert 4,3 s.

b) Für einen Fahrgast in Bahn 1 ist die Sicht nur so lange verdeckt, wie die Bahn 2 an ihm vorbeifährt. Damit ergibt sich:

t 1 = l 2 _ v 1 + v 2

= 39 m __ 5 m _ s + 10 m _ s

= 39 m _ 15 m _ s

= 2,6 s

Für einen Fahrgast in Bahn 2 ergibt sich entsprechend:

t 2 = l 1 _ v 1 + v 2

= 26 m _ 15 m _ s

= 1,7 s

Dem Fahrgast in Bahn 1 wird die Sicht also 2,6 s lang versperrt, dem in Bahn 2 wird sie 1,7 s lang versperrt.

(S. 157 – 161) Übungsaufgaben

l2

l1

v1

v2

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36 Strahlungsphysik

(S. 158) c) Für die Fahrstrecke der schnelleren Bahn gilt: s 2 = v 2 ∙ t

Die Zeit t ergibt sich aus der Länge der Bahn 1 (wenn Bahn 2 diesen Weg zurückgelegt hat, dann befinden sich die Spitzen beider Bahnen auf gleicher Höhe) und der Relativgeschwin-digkeit zwischen den beiden Bahnen:

t = l 1 _ v 2 − v 1

= 26 m __ 10 m _ s − 5 m _ s

= 26 m _ 5 m _ s

= 5,2 s

Damit ergibt sich für Bahn 2:

s 2 = 10 m _ s ∙ 5,2 s = 52 m

Entsprechend erhält man für die Bahn 1:

s 1 = v 1 ∙ t = 5 m _ s ∙ 5,2 s = 26 m

Nach einer Fahrstrecke von s 1 = 26 m bzw. s 2 = 52 m befinden sich die Spitzen der beiden Bahnen auf gleicher Höhe.

d) Zum Zeitpunkt t = 0 s betragen die zurückgelegten Wege 26 m für die Bahn 1 und 0 m für die Bahn 2. Die Bezugspunkte sind die Spitzen der Bahnen. Für die Wege gilt dann allgemein:

s 1 = 26 m + 5 m _ s ∙ t

s 2 = 10 m _ s ∙ t

Damit ergibt sich folgendes Zeit-Weg-Diagramm:

Der Schnittpunkt der beiden Graphen gibt an, nach welchem Weg sich die Spitzen der bei-den Bahnen auf gleicher Höhe befinden und welche Zeit bis dahin vergangen ist. In Über-einstimmung mit den Ergebnissen aus Teilaufgabe c) erhält man t ≈ 5,2 s, s 1 ≈ 26 m und s 2 ≈ 52 m.

l2

l1

v1

v2

1

t in s

60

50

40

30

20

10

0

s in m

2 3 4 5 7 0 6

Bahn 1

Bahn 2

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Strahlungsphysik 37

(S. 158) A2 $ a) Ein t-s-Diagramm zeige eine Pa-rallele zur t-Achse: Dieser Kurvenverlauf bedeutet, dass sich der Körper zu jedem gemessenen Zeitpunkt am selben Ort be-findet, d. h., der Körper ist in Ruhe. Zeigt ein t-v-Diagramm eine Parallele zur t-Achse, ist die Geschwindigkeit des Körpers zu allen angegebenen Zeiten gleich. Der Körper bewegt sich mit konstanter Ge-schwindigkeit, also gleichförmig. b) In einem t-s-Diagramm schneiden sich zwei Geraden, von denen keine parallel zu den Koordinatenachsen verläuft. Jeder Punkt dieser Geraden gibt jeweils an, an welchem Ort sich die Körper zu welchem Zeitpunkt befinden. Der Schnittpunkt der beiden Geraden gibt an, dass sich beide Körper zum gleichen Zeitpunkt t 1 am glei-chen Ort s 1 befinden. Ein entsprechender Kurvenverlauf im t-v-Diagramm gibt an, welche Geschwindig-keiten die beiden Körper zu verschiedenen Zeitpunkten besitzen. Der Schnittpunkt be-deutet in diesem Fall, dass sich beide Körper zum gleichen Zeitpunkt t 1 mit derselben Geschwindigkeit v 1 bewegen. Das Diagramm lässt allerdings keine Aussage über die Orte der Körper zu diesem Zeitpunkt zu.

c) Darstellung eines Überholvorgangs in einem t-s- sowie in einem t-v-Diagramm:

Beide Pkw bewegen sich gleichförmig mit den Geschwindigkeiten v 1 bzw. v 2 (wobei v 2 > v 1 ) in die gleiche Richtung. Zum Zeitpunkt t 1 befinden sich beide Pkw auf gleicher Höhe s 1 , Pkw 2 überholt also in diesem Augenblick Pkw 1.

A3 $ a) s (t = 0 s) = 0 m

s (t = gesucht) = 100 m = 1 _ 2 ∙ g ∙ t 2

100 m = 1 _ 2 ∙ 9,81 m _ s 2 ∙ t 2

t = 4,5 s

v (t = 4,5 s) = g ∙ t = 9,81 m _ s 2 ∙ 4,5 s = 44 m _ s

b) Zur Fallzeit von 4,5 s kommt die Zeit dazu, die der Schall benötigt, um nach oben zu kommen.

t gesamt = t + t Schall = 4,5 s + 100 m _ 330 m _ s

= 4,8 s

s in m bzw. v in m/s

t in s

a)

s in m

s1

t in s

t1

v in m/s

v1

t in s

t1

b)

s in m

s1

t in s

t1

v in m/s

v1

t in s

t1

c)

Fahrzeug 2

Fahrzeug 1

v2 Fahrzeug 1

Fahrzeug 2

s in m

s1

t in s

t1

v in m/s

v1

t in s

t1

c)

Fahrzeug 2

Fahrzeug 1

v2 Fahrzeug 1

Fahrzeug 2

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38 Strahlungsphysik

(S. 158) c) Wirft man den Stein mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 15 m _ s in den Brunnen, so er-reicht er den Boden nach kürzerer Zeit und mit einer höheren Geschwindigkeit.

s (t = gesucht) = 100 m = v 0 ∙ t + 1 _ 2 ∙ g ∙ t 2

100 m = 15 m _ s ∙ t + 1 _ 2 ∙ 9,81 m _ s 2 ∙ t 2

Löst man diese quadratische Gleichung nach t auf, so folgt:

t 1 = 3,24 s ( t 2 = − 6,0 s entfällt)

v (t = 3,24 s) = v 0 + g ∙ t = 15 m _ s + 9,81 m _ s 2 ∙ 3,24 s = 46,8 m _ s

A4 $ Berechnung des zeitlichen Abstands Δ t, mit dem die beiden frei fallenden Steine auf die Wasseroberfläche auftreffen.gegeben: Fallhöhen: h 1 = 25 m; h 2 = 35 m

Fallbeschleunigung: g = 9,81 m _ s 2

Das Zeit-Ort-Gesetz für den freien Fall lautet:

s (t) = 1 _ 2 g ∙ t 2

Daraus ergibt sich bei gegebener Fallhöhe für die Fallzeit:

t = √ __

2 s _ g

t 1 = √ _____

2 ∙ 25 m __ 9,81 m _ s 2

t 2 = √ _____

2 ∙ 35 m __ 9,81 m _ s 2

t 1 = 2,26 s t 2 = 2,67 s

Der zeitliche Abstand des Auftreffens ergibt sich aus der Differenz der beiden Fallzeiten zuΔ t = t 2 − t 1 = 2,67 s − 2,26 s = 0,41 sDie beiden Steine treffen in einem zeitlichen Abstand von 0,41 s auf die Wasseroberfläche auf. Da alle Körper beim freien Fall dieselbe Fallbeschleunigung erfahren, hat die Masse der Steine keinen Einfluss auf die Fallzeiten bzw. deren Differenz. Während der Fallbewegung ändert sich der Abstand der Steine von 10 m nicht. Da beide zum gleichen Zeitpunkt los-gelassen wurden, besitzen sie zu jedem Zeitpunkt dieselbe Geschwindigkeit und legen in gleichen Zeiten gleiche Strecken zurück. b) Die Steine werden zeitlich versetzt fallen gelassen. Berechnung des Zeitpunkts, zu dem sich beide Steine auf derselben Höhe befinden: gegeben: Zeitdifferenz: Δ t = 1 sFallhöhen: h 1 = 25 m; h 2 = 35 m

Fallbeschleunigung: g = 9,81 m _ s 2

Für die zurückgelegte Strecke gilt das Zeit-Ort-Gesetz des freien Falls: s (t) = 1 _ 2 g ∙ t 2

für Stein 1: s( t 1 ) = 35 m − 1 _ 2 g ∙ t 1 2

für Stein 2: s( t 2 ) = 25 m − 1 _ 2 g ∙ t 2 2 mit t 2 = t 1 − 1 s

s( t 2 ) = 25 m − 1 _ 2 g ∙ ( t 1 − 1 s) 2

Durch Gleichsetzen erhält man:

35 m − 1 _ 2 g ∙ t 1 2 = 25 m − 1 _ 2 g ∙ ( t 1 − 1 s) 2

10 m − 1 _ 2 g ∙ t 1 2 = − 1 _ 2 g ∙ ( t 1

2 − 2 t 1 ∙ 1 s + 1 s 2 )

10 m = g ∙ t 1 − 1 _ 2 g ∙ 1 s 2

10 m = 9,81 m _ s ∙ t 1 − 4,9 m ⇒ t 1 = 1,52 s

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Strahlungsphysik 39

(S. 158) Der obere Stein holt den unteren nach 1,52 s ein. Für die Geschwindigkeiten der Steine gilt das Zeit-Geschwindigkeit-Gesetz: v (t) = g ∙ tFür ihre Geschwindigkeitsdifferenz Δ v gilt demnach:

Δ v = g ∙ t 1 − g ∙ t 2 = g ∙ t 1 − g ∙ ( t 1 − 1 s)

Δ v = g ∙ 1 s

Δ v = 9,81 m _ s 2 ∙ 1 s = 9,8 m _ s

Im Augenblick des Überholens beträgt die Relativgeschwindigkeit der beiden Steine zu-einander

Δ v = 9,8 m _ s .

Der erste Stein beginnt zum Zeitpunkt t 0 = 0 zu fallen. Der zweite Stein wird in dem Mo-ment losgelassen, in dem der erste die Öffnung passiert. Der erste Stein hat dann also Δ s = 10 m durchfallen. Der Zeitpunkt t 1 , zu dem er die untere Öffnung erreicht, berechnet sich mit

s = 1 _ 2 g ∙ t 2 nach

t 1 = √ ___

2 Δ s _ g

t 1 = √ _____

2 ∙ 10 m __ 9,81 m _ s 2

t 1 = 1,427 s

Zu diesem Zeitpunkt beginnt der zweite Stein zu fallen. Zu berechnen ist nun der Zeitpunkt t 2 , zu dem die beiden Steine den Abstand d = 5 m zueinander haben.Für die durchfallene Strecke von Stein 2 gilt:

s 2 (t) = 1 _ 2 g ∙ (t − t 1 ) 2 = 1 _ 2 g ∙ (t − 1,43 s) 2

während für den Stein aus dem oberen Fenster gilt:

s 1 (t) = 1 _ 2 g ∙ t 2

Zum Zeitpunkt t 2 beträgt der Höhenunterschied also:

Δ s = s 1 ( t 2 ) − ( s 2 ( t 2 ) + 10 m)

Δ s = s 1 ( t 2 ) − s 2 ( t 2 ) − 10 m

Berücksichtigt man die Bedingungen aus der Aufgabenstellung, so ergibt sich:

Δ s = 1 _ 2 g ∙ t 2 2 − 1 _ 2 g ∙ ( t 2 − 1,427 s) 2 − 10 m

5 m = 9,81 m _ s 2 ∙ t 2 ∙ 1,427 s − 1 _ 2 ∙ 9,81 m _ s 2 ∙ (1,427 s) 2 − 10 m

5 m = 9,81 m _ s 2 ∙ t 2 ∙ 1,427 s − 10 m − 10 m

25 m = 14,0 m _ s ∙ t 2

t 2 = 1,785 s

Nach dem Loslassen des oberen Steins vergehen 1,79 s bis die Steine einen Abstand von 5 m haben.

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40 Strahlungsphysik

(S. 158) A5 0 a) Da F konstant ist, liegt eine gleich mäßig beschleunigte Bewegung vor.Aus F = m ∙ a folgt:

a = F _ m = 1,6 ∙ 10 −15 N

__ 9 ∙ 10 −31 s = 1,8 ∙ 10 15 m _ s 2

Die Bewegungsgesetze dieser Bewegung liefern (mit s 0 = 0, v 0 = 0):

v = a ∙ t = 1,8 ∙ 10 15 m _ s 2 ∙ 5 ∙ 10 −9 s = 9 ∙ 10 6 m _ s

s = 1 _ 2 a ∙ t 2 = 1 _ 2 ∙ 1,8 ∙ 10 15 m _ s 2 ∙ ( 5 ∙ 10 −9 ) 2 s 2 = 0,02 m

b) Man geht von einer Kreisbewegung mit konstantem Geschwindigkeitsbetrag aus. Dann gilt:

F z = m ∙ v 2 _ r = 9 ∙ 10 −31 kg ∙ (9 ∙ 10 6 m _ s ) 2

____ 0,048 m = 1,5 ∙ 10 −15 N

A6 $ a) Man spricht von einer gleichförmigen Kreisbewegung eines Körpers, wenn der Betrag v seiner Bahngeschwindigkeit konstant ist. Eine gleichförmige Kreisbewegung ist gleichzeitig immer auch eine beschleunigte Bewegung, weil sich die Richtung der Bahn-geschwindigkeit ständig ändert. Der Geschwindigkeitsvektor weist in jedem Moment in die Richtung der Tangenten an dem Punkt der Kreisbahn, an dem sich der Körper gerade befindet.

b) Ein Körper wird mit Hilfe einer Schnur auf einer Kreisbahn bewegt. Berechnung der maxi-malen Drehzahl, die die Schnur gerade noch aushält, bevor sie reißt:Gegeben: Radius der Kreisbahn: r = 0,6 mMasse des Körpers: m = 100 g = 0,1 kgMaximale Zugkraft der Schnur: F = 15,0 NDie Schnur reißt, wenn die Zentripetalkraft, die den Körper auf der Kreisbahn hält, gleich der maximalen Zugkraft ist. Für die Zentripetalkraft F Z gilt:

F Z = m ∙ v 2 _ r mit v = 2 π ∙ r ∙ f

F Z = m ∙ (2 π ∙ r ∙ f) 2 __ r = 4 m ∙ π 2 ∙ r ∙ f 2

f = √

_______

F Z __ 4 m ∙ π 2 ∙ r = √ ____________

15,0 N ___ 4 ∙ 0,1 kg ∙ π 2 ∙ 0,6 m = 2,5 1 _ s

Die Schnur reißt bei einer Drehfrequenz von 2,5 1/s.

c) Wenn die Schnur reißt, bewegt sich der Körper tangential zur Kreisbahn weiter auf einer Bahn, die einer waagerechten Wurfbewegung entspricht. Das bedeutet, er führt in horizon-taler Richtung eine gleichförmige Bewegung mit einer Geschwindigkeit v t aus, die der Bahn-geschwindigkeit auf der Kreisbahn entspricht:

v t = 2 π ∙ r ∙ f

v t = 2 π ∙ 0,6 m ∙ 2,5 1 _ s

v t = 9,4 m _ s

In vertikaler Richtung erfolgt ein freier Fall, für den gilt:

s (t) = 1 _ 2 g ∙ t 2

Daraus ergibt sich die Fallzeit t F zu

t F = √ __

2 s _ g = √ _____

2 ∙ 1,8 m

__ 9,81 m _ s 2

= 0,61 s

In dieser Zeit bewegt sich der Körper in horizon taler Richtung um

Δ s = v t ∙ t F = 9,4 m _ s ∙ 0,61 s = 5,73 m

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Strahlungsphysik 41

(S. 159) A7 $ Bei beiden Prozessen wird Höhenenergie in Bewegungsenergie überführt, es treten ausschließlich diese zwei Energieformen auf. Die Überführung ist abhängig von der (zeitlich veränderlichen) Höhe, aber nicht abhängig vom Weg. Da beide Körper die gleiche Höhen-differenz überwinden, sind am Ende des Prozesses auch die Bewegungsenergien und damit die Geschwindigkeiten gleich.

A8 0 a) Bei der Fahrt treten zwei mechanische Energieformen auf, die Höhenenergie und die Bewegungsenergie. Da der Waggon im Punkt A mit v = 0 startet, hat er in diesem Punkt keine Bewegungsener-gie. Aufgrund seiner Höhe bzgl. des Punktes B (tiefster Punkt der Achterbahn) hat er Höhen-energie.Beginnt der Waggon nun mit seiner Fahrt, so gewinnt er an Geschwindigkeit und damit an Bewegungsenergie. Die Höhenenergie nimmt ab, bis sie im Punkt B (Bezugsniveau) den Wert Null annimmt. Dort ist, wenn man von einem reibungsfreien System ausgeht, die Bewe-gungsenergie maximal. Bewegt sich der Waggon nun in Richtung des Punktes C, so nimmt seine Geschwindigkeit wieder ab und damit auch die Bewegungsenergie. Die Höhenenergie nimmt zu. Im Punkt C liegen beide Energieformen vor, da der Waggon nicht die Höhe des Punktes A erreicht hat und somit noch nicht die komplette Bewegungsenergie in Höhenenergie überführt wurde.

b) Im Punkt A gilt: E B = 0 und E H ist maximal.

E H = m ∙ g ∙ h A = 400 kg ∙ 9,81 m _ s 2 ∙ (100 m − 20 m) = 313 920 J

Im Punkt B gilt: E H = 0 und E B ist maximal.

E B = 1 _ 2 ∙ m ∙ v B 2 = 313 920 J Aufgelöst nach v B folgt: v B ≈ 40 m _ s = 144 km _ h

Im Punkt C gilt: E B + E H = 313 920 J.

1 _ 2 ∙ m ∙ v C 2 + m ∙ g ∙ h C = 1 _ 2 ∙ 400 kg ∙ v C 2 + 400 kg ∙ 9,81 m _ s ∙ (80 m − 20 m) = 313 920 J

v C ≈ 20 m _ s = 72 km _ h

A9 $ a) Gesteinsbrocken, die beim Ausbruch eines Vulkans hochgeschleudert werden, erreichen eine Höhe von 3 000 m (über dem Kraterrand). Berechnung der Austrittsgeschwin-digkeit, die die Brocken haben müssen.Gegeben:Höhendifferenz: Δ h = 3 000 mFallbeschleunigung: g = 9,81 m _ s 2 Die Austrittsgeschwindigkeit v 0 lässt sich mit einer Energiebetrachtung ermitteln. Wählt man den Kraterrand als Nullniveau für die Höhenenergie, besitzen die Gesteinsbrocken auf dieser Höhe Bewegungsenergie, aber keine Höhenenergie:

E H,0 = 0 E B,0 = 1 _ 2 m ∙ v 0 2

Im oberen Umkehrpunkt bei Δ h = 3 000 m besitzen die Brocken dagegen Höhenenergie, aber keine Bewegungsenergie:

E H,U = m ∙ g ∙ Δ h E B,U = 0

Aufgrund des Energieerhaltungssatzes müssen die beiden Energiebeträge gleich groß sein: E B,0 = E H,U

1 _ 2 m ∙ v 0 2 = m ∙ g ∙ Δ h

v 0 = √ ______

2 g ∙ Δ h = √ _____________

2 ∙ 9,81 m _ s 2 ∙ 3 000 m = 242,6 m _ s

Die maximale Austrittsgeschwindigkeit der Brocken beträgt etwa 243 m/s.

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42 Strahlungsphysik

(S. 159) b) Berechnung der Geschwindigkeit, mit der die am höchsten aufsteigenden Brocken am Fuß des Vulkans auftreffen.Gegeben:durchfallener Höhenunterschied: Δ h = 5 600 mFallbeschleunigung: g = 9,81 m _ s 2

Wieder gilt nach das Prinzip der Energieerhaltung, d. h. die Höhenenergie des Brockens wird in Bewegungsenergie überführt. Allerdings muss in diesem Fall das Nullniveau an den Fuß des Vulkans verlegt werden:

E H,U = E B,F

m ∙ g ∙ Δ h = 1 _ 2 m ∙ v F 2 = √

______ 2 g ∙ Δ h = √

_____________ 2 ∙ 9,81 m _ s 2 ∙ 5 600 m = 331,5 m _ s

Die Masse der Brocken kürzt sich aus der Gleichung heraus und hat damit keinen Einfluss.c) Zunächst nimmt man an, dass es sich um einen Gesteinsbrocken handelt, der die maxi-male Steighöhe erreicht. Nun berechnet man die Bewegungsenergie dieses Gesteins-brockens mit der Masse m 1 = 4,0 kg beim Verlassen des Kraters. Gegeben: Geschwindigkeit des Brockens auf Höhe des Kraterrandes: v 0 = 242,6 m _ s Es gilt für die Bewegungsenergie:

E B,0 = 1 _ 2 m 1 ∙ v 0 2

E B,0 = 1 _ 2 ∙ 4,0 kg ∙ (242,6 m _ s ) 2

E B,0 = 117 418 Nm = 117,4 kJ

Ein Brocken der Masse 4 kg besitzt beim Verlassen des Kraters eine Bewegungsenergie von 117,4 kJ.d) Ein weiterer Brocken, der mit derselben Geschwindigkeit aus dem Krater austritt, soll nur 1/5 der Bewegungsenergie des Brockens aus Teilaufgabe c) besitzen.Wie sich bereits in Teilaufgabe b) gezeigt hat, ist die Steighöhe von der Masse des Brockens unabhängig. Wenn er den Krater mit derselben Geschwindigkeit verlässt wie der schwere Gesteinsbrocken, erreicht er ebenfalls die maximale Höhe. Für die Berechnung der Bewe-gungsenergie ist die Masse allerdings relevant. Da die Geschwindigkeiten in beiden betrach-teten Fällen gleich groß sind, muss der Energieunterschied von der unterschiedlichen Masse der Brocken herrühren, also ist m 2 = 1 _ 5 ∙ m 1 = 0,8 kg.Ausführlicher:

E B,2 = 1 _ 5 ∙ E B,0

1 _ 2 ∙ m 2 ∙ v 0 2 = 1 _ 5 ∙ 1 _ 2 ∙ m 1 ∙ v 0

2

m 2 = 1 _ 5 ∙ m 1 = 1 _ 5 ∙ 4,0 kg = 0,8 kg

Die Masse des Gesteinsbrockens mit der kleineren Bewegungsenergie beträgt also entsprechend m 2 = 0,8 kg.

A10 $ a) Eine Lochsirene besteht aus einer drehbar gelagerten Scheibe aus Metall (oder auch aus einem anderen Material wie Pappe), in die entlang konzentrischer Kreise Löcher gestanzt wurden. Wenn man die Scheibe nun in Drehung versetzt und durch eine Düse einen kräftigen Luftstrom auf die Lochreihe richtet, wird dieser Luftstrom abwechselnd durchgelassen und abgehal-ten. Hinter der Lochscheibe entstehen somit Luftverdichtungen und -verdünnungen, die sich ausbreiten und die von unseren Ohren wahrgenommen werden können.

Luftstrom

rotierendeLochscheibe

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Strahlungsphysik 43

(S. 159) Die Frequenz des entstehenden Tons ist abhängig von der Geschwindigkeit, mit der die Löcher die Düse passieren. Daher gehören also die Drehgeschwindigkeit der Scheibe, der Abstand der Lochreihe von der Drehachse (bzw. die Drehfrequenz der Scheibe) sowie die Anzahl der Löcher zu den Größen, die die Frequenz des Tones bestimmen.b) Eine Lochsirene erzeugt einen Ton mit der Frequenz f T = 1 200 Hz bei einer Drehfrequenz von f D = 40 Hz. Das bedeutet, dass sich die Scheibe in einer Sekunde 40mal dreht. Um einen Ton mit der Frequenz von 1 200 Hz zu erzeugen, muss die Scheibe über n = f T / f D = 1 200 Hz/40 Hz = 30 Löcher verfügen.c) Eine Lochsirene erzeugt den Ton c’’ mit der Frequenz f T = 528 Hz. Die Scheibe, die verwen-det wird, besitzt n = 33 Löcher. Berechnung der Drehfrequenz der Scheibe:

f D = f T _ n = 528 Hz _ 33 = 16 Hz

Die Scheibe muss sich 16mal pro Sekunde drehen, um den angegebenen Ton zu erzeugen.

A11 0 Für die Anzeige unter a) ergibt sich eine Schwingungsdauer von T 1 = 0,1 s; daraus ergibt sich nach f 1 = 1/ T 1 eine Schwingungsfrequenz von 10 Hz, die Amplitude beträgt s 1 = 2 mm. Die unter b) dargestellte Schwingung besitzt eine Periodendauer von T 2 = 0,2 s, entspre-chend beträgt die Schwingungsfrequenz f 2 = 1/ T 2 = 1/0,2 s = 5 Hz. Die Amplitude die-ser Schwingung beträgt s 2 = 2,5 mm.Damit ist der Ton a) höher, da er die höhere Frequenz f 1 besitzt. Der Ton b) ist etwas lauter als Ton a), weil die Amplitude s 2 größer ist.Für einen Ton mit der Frequenz 600 Hz und einer Amplitude von 1,5 cm ergibt sich das Schwingungsbild in der Abbildung rechts.

A12 $ a) Um die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Schalls in Luft zu messen, gibt es ver-schiedene Möglichkeiten. Für eine Methode benötigt man zwei Mikrofone, einen Kurzzeit-messer, einen Meterstab, ein Lineal oder einen Hammer (um durch einen Schlag auf den Tisch ein akustisches Signal zu erzeugen) sowie Kabel zur Verbindung der Mikrofone mit dem Kurzzeitmesser.Die Abbildung zeigt den Versuchsaufbau: Die beiden Mikrofone sind in einem Abstand von Δ s = 2 m in einer Linie mit der Schallquelle aufgestellt und zu dieser hin ausgerichtet. Mikro-fon 1 wird mit den Start-Buchsen, Mikrofon 2 mit den Stopp-Buchsen des Kurzzeitmessers verbunden. Das bedeutet, dass die Zeitmessung startet, wenn das Schallsignal Mikrofon 1 erreicht, und dass sie stoppt, wenn Mikrofon 2 ein Signal registriert. Der Kurzzeitmesser gibt also die Zeit an, die der Schall für die Strecke Δ s benötigt.

Aus dem Abstand Δ s und der benötigten Zeit Δ t lässt sich nach v = Δ s/Δ t die Schall-geschwindigkeit berechnen. In Luft ergibt sich ein Wert im Bereich von v = 340 m/s.

s in cm2

1

t in s

1600

Kurzzeitmesser

Start StoppZeit t in s

Mikrofon 1 Mikrofon 2

s = 2,00 m

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44 Strahlungsphysik

(S. 159) b) Ein Echolot sendet im Wasser ein Signal zum Meeresboden aus, nach einer Zeitspanne von Δ t = 1,80 s registriert das Gerät das reflektierte Signal. Berechnung der Meerestiefe: mit v S,W = 1 480 m/s ergibt sich

Δ s = v S,W ∙ Δ t

Δ s = 1 480 m _ s ∙ 1,80 s

Δ s = 2 664 m

Der gesamte Weg, den das Signal zurücklegt, beträgt Δ s = 2 664 m. Die Entfernung zum Meeresboden entspricht der halben zurückgelegten Strecke, da das Signal ja hin und zurück läuft. Die Meerestiefe an der untersuchten Stelle beträgt also 1 332 m.

(S. 160) A13 $ a) Versuch 1: Man hält eine angeschlagene Stimmgabel in Wasser, dieses wird durch die Bewegung der Stimmgabel aus dem Gefäß gespritzt. Versuch 2: Man bringt eine Schreibspitze an der Zinke einer Stimmgabel an und schlägt letztere an. Indem man die Schreibspitze über eine berußte Glasplatte zieht, kann man eine Wellenlinie erzeugen.Versuch 3: Man hält die Stimmgabel vor ein Mikrofon, das mit einem Oszilloskop verbunden ist. Schlägt man die Stimmgabel an, zeigt sich auf dem Schirm des Oszilloskops eine Schwin-gungskurve. b) Die Angabe 128 Hz bezeichnet die Frequenz des von der Stimmgabel erzeugten Tons bzw. die Schwingungsfrequenz der Stimmgabel. Unter der Frequenz versteht man die Anzahl der vollständigen Hin-und-her-Bewegungen eines schwingenden Körpers pro Sekunde. Im ge-nannten Beispiel führen die Zinken der Stimmgabel 128 vollständige Schwingungen pro Sekunde aus.Die Frequenz eines Tones bestimmt seine Höhe: Je niedriger die Frequenz, desto tiefer klingt der Ton, je größer die Frequenz, desto höher ist der Ton.c)

d) Anzahl der Schwingungen, die die Stimmgabel in 3,20 s ausführt:

n = 128 Hz ∙ 3,20 s = 409,6

Die Stimmgabel führt in der angegebenen Zeit etwa 410 Schwingungen aus.

2,0

1,5

1,0

0,5

0

–0,5

–1,0

–1,5

–2,0

t in 10–3 s

84

s in mm

1 2 3 5 6 7

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Strahlungsphysik 45

(S. 160) Berechnung der Zeitspanne, in der die Stimmgabel eine halbe Schwingung ausführt: Die Periodendauer berechnet sich aus der Schwingungsfrequenz nach

T = 1 _ f = 1 _ 128 Hz = 7,8 ms

Für eine halbe Schwingung benötigt die Stimmgabel die halbe Zeit also

t = 1 _ 2 ∙ 7,8 ms = 3,9 ms

A14 . a) Bei einer Gegenstandsweite von g = 30 cm ergibt sich aus dem Diagramm durch Ablesen für die Bildweite ein Wert von b = 24 cm, das Bild des Gegenstandes liegt also 24 cm von der Linse entfernt. Es ist reell, kopfstehend und seitenvertauscht.Bringt man den Gegenstand 10 cm näher an die Linse (g = 30 cm) nimmt die Bildweite einen Wert von b = 30 cm an, die Bildweite hat um 6 cm zugenommen.b) Die Kurve im Diagramm ergibt sich aus dem Linsengesetz, es lautet:

1 _ f = 1 _ g + 1 _ b

mit f: Brennweite der Linse g: Gegenstandsweite b: Bildweite

Durch Einsetzen eines Wertepaares von Gegenstands- und zugehöriger Bildweite kann man also die Brennweite der Linse berechnen:

Einsetzen des 1. Wertepaares: g 1 = 40 cm; b 1 = 24 cm

1 _ f = 1 _ 40 cm + 1 _ 24 cm

1 _ f = 3 __ 3 ∙ 40 cm + 5 __ 5 ∙ 24 cm

1 _ f = 3 + 5 _ 120 cm ⇒ f = 120 cm _ 8 = 15 cm

Einsetzen des 2. Wertepaares: g 2 = 30 cm; b 2 = 30 cm

1 _ f = 1 _ 30 cm + 1 _ 30 cm

1 _ f = 2 _ 30 cm ⇒ f = 30 cm _ 2 = 15 cm

Die Auswertung ergibt eine Brennweite von f = 15 cm für die Linse.c) Lösung durch Rechnung: Zunächst wird mit Hilfe der Gegenstandsweite g und der Brenn-weite f die Bildweite b berechnet. Es gilt:

1 _ f = 1 _ g + 1 _ b ⇒ 1 _ b = 1 _ f − 1 _ g

1 _ b = 1 _ 15 cm − 1 _ 12 cm

1 _ b = 4 __ 4 ∙ 15 cm − 5 __ 5 ∙ 12 cm

1 _ b = − 1 _ 60 cm

b = − 60 cm

Das negative Vorzeichen der Bildweite bedeutet, dass das Bild des Gegenstandes auf dersel-ben Seite wie der Gegenstand selbst liegt, sein Abstand zur Linse beträgt 60 cm.

b in cm

g in cm

0 10 80

60

50

40

30

20

10

020 30 40 50 60 70

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46 Strahlungsphysik

(S. 160) Die Bildgröße lässt sich aus dem Abbildungsgesetz B/G = |b| /g berechnen:

B _ G = |b| _ g

B = G ∙ |b| _ g

B = 6 cm ∙ 60 cm __ 12 cm

B = 30 cm

Für die Bildgröße ergibt sich ein Wert von B = 30 cm, es handelt sich um ein virtuelles, vergrößertes, aufrechtes Bild des Gegenstandes. Lösung durch Konstruktion:

Die Konstruktion zeigt, dass ein virtuelles Bild entsteht, für das die Bildweite und die Bild-größe die Werte b = − 60 cm und B = 30 cm annehmen.

A15 . Wird ein Gegenstand nahe an den Brennpunkt der Objektivlinse gebracht, so erzeugt diese ein reelles, umgekehrtes, vergrößertes Bild. Dieses Zwischenbild B Z wird durch die Okularlinse wie durch eine Lupe betrachtet. Auf der Netzhaut entsteht ein stark vergrößertes, gegenüber dem Sehen mit bloßem Auge umgekehrtes Bild. Die durch das Objektiv erzielte Vergrößerung V Obj ergibt sich aus dem Verhältnis der Größe des Zwischenbildes zur Gegenstands-größe:

V Obj = B Z _ G

Für Sammellinsen gilt nach dem Abbildungs-gesetz B/G = b/g. Da sich der Gegenstand nahe am Brennpunkt des Objektivs befindet, ist g ≈ f Obj ( f Obj beträgt nur einige mm). Daher folgt mit B = B Z :

B Z = G ∙ b _ g = G ∙ b _ f Obj

Für die Objektivvergrößerung gilt somit:

V Obj = b _ f Obj

Das Okular wirkt als Lupe, sie vergrößert das Zwischenbild nochmals um den Faktor V Oku .

F

B

optische Achse

Linsenebene

FG

gf

b

B

Okular (Lupe)

Zwischenbild

Objektiv

BZ

G

Sehwinkel mit Mikroskop

Sehwinkel ohne Mikroskop

aM

g ≈ fObj

fOku

b

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Strahlungsphysik 47

Diese Vergrößerung lässt sich aus den entsprechenden Sehwinkeln mit und ohne Lupe er-mitteln. Bei der gewählten Anordnung können diese Sehwinkel durch die Quotienten G/ f Oku und G/ f Au ersetzt werden ( f Au bezeichnet die optimale Brennweite der Augenlinse; man geht davon aus, dass sie bei entspanntem Auge etwa 25 cm beträgt):

V Oku = α Oku _ α 0

= f Au _ f Oku

Damit ergibt sich für die Vergrößerung des Mikroskops:

V M = V Obj ∙ V Oku = b _ f Obj ∙

f Au _ f Oku =

b ∙ f Au __ f Obj ∙ f Oku

Nun müssen die angegebenen Werte eingesetzt werden. Dazu wird zunächst b berechnet:

b = 200 mm − f Oku = 192 mm

V M = b ∙ f Au __ f Obj ∙ f Oku

= 19,2 cm ∙ 25 cm

___ 1 cm ∙ 0,8 cm

V M = 600

Das Mikroskop hat eine Vergrößerung von V M = 600.Eine stärkere Vergrößerung lässt sich erzielen, indem man die Gegenstandsweite verkleinert und somit die Bildweite b vergrößert. Dies erfordert allerdings einen größeren Abstand zwi-schen Objektiv und Okular, das Mikroskop wird also länger.

A16 . Die Luftlinse ist von Wasser umge-ben, die Linse besteht also aus einem op-tisch dünneren Stoff als die Umgebung. Ein schmales Lichtbündel, das parallel zur opti-schen Achse auf die Linse fällt, divergiert nach dem Durchgang durch die Linse, da es vom optisch dünneren Stoff Luft in den optisch dichteren Stoff Wasser gebrochen wird. Auf der rechten Wand des Glasgefäßes entsteht dadurch eine Kreisscheibe. Bei Verwendung von weißem Licht, erkennt man am Rand der weißen Kreisscheibe einen blauen Ring, da das blaue Licht stärker gebrochen wird, als die anderen im weißen Licht enthaltenen Farben.

A17 $ a) Wird der Gegenstand vom Auge entfernt, dann wird der Sehwinkel kleiner, da die Lichtbündel von den Rändern des Schriftzuges durch den Linsenmittelpunkt einen kleineren Winkel mit der optischen Achse einschließen. Entsprechend nimmt die Größe des Bildes auf der Netzhaut ab.b) Um das Bild des Schriftzuges auf der Netzhaut zu vergrößern, wird eine Lupe eingesetzt. Dabei handelt es sich um eine Sammellinse, die vor das Auge gehalten wird. Nun bringt man den Gegenstand in den Brennpunkt der Lupe. Alle von einem Gegenstandspunkt ausgehenden Lichtbün-del werden durch die Linse so gebrochen, dass sie nach der Lupe parallel zur optischen Achse verlaufen. Fallen diese parallelen Bündel auf die Augenlinse, kann diese im entspannten Zustand die Bündel auf der Netzhaut zusammenführen, so dass ein scharfer Bildpunkt entsteht. Das Bild ist kopfstehend und seitenvertauscht, es ist größer als das Bild, das ohne Lupe auf der Netzhaut entsteht. Der Sehwinkel, unter dem der Schriftzug erscheint, wird durch die Lupe vergrößert.c) Die Lupe mit der kleineren Brennweite vergrößert stärker, man wird daher die Lupe mit der Brennweite f 2 = 4 cm vorziehen. Die Vergrößerung V L einer Lupe mit der Brennweite f L beträgt im Vergleich zur Betrachtung mit bloßem Auge aus der deutlichen Sehweite 25 cm:

V L = 25 cm _ f L

Die Lupe mit der Brennweite 8 cm vergrößert daher etwa dreifach, die mit der Brennweite 4 cm etwa sechsfach.

WasserLuft

Sehwinkel mit Lupe

Sehwinkel ohne Lupe

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48 Strahlungsphysik

A18 $ a) Die Strahlung ionisiert zunächst einige Atome des Edelgases. Die Elektronen werden zum Draht beschleunigt. Ihre Energie nimmt schnell zu. Sie können weitere Atome ionisieren. Die Anzahl der Ladungsträger wächst lawinenartig an. Die Folge ist ein Stromstoß und damit ein Spannungs impuls am Widerstand. Da die Io-nen wesentlich träger sind, entsteht um den Draht ein Bereich mit positiver Ladung. Das von außen angelegte elektrische Feld wird abgeschirmt. Für eine kurze Zeit (Totzeit) wird die lawinen artige Ladungserzeugung ge-stoppt.b) In der Kammer befindet sich Luft, die bis zur Sätti-gung mit Wasser-Alkohol-Dampf gefüllt ist. Wird der Druck plötzlich (adiabatisch) verringert, kühlt sich die Luft ab. Die Ionen wirken als Kondensationskeime, um die sich Wasser tröpfchen bilden.– Dicke Spuren deuten auf α-Strahlung hin.– Die Strahlung lässt sich durch Papier abschirmen. – Die Strahlung hat eine kurze Reichweite.c) Weitere Nachweisgeräte: Ionisationskammer, Halbleiterdetektor, Szintillationszähler

A19 0 a)

Strahlungsarten α-Strahlung β-Strahlung γ-Strahlung

Strahlung besteht aus positiv geladenen Heliumkernen

Elektronen ( β − ) bzw. Positronen ( β + )

energiereichen Photonen

Energie 3 MeV bis 11 MeV bis etwa 3 MeV 0,001 MeV bis 10 MeV

Reichweite in Luft einige Zentimeter einige Meter sehr groß

Abschirmung durch ein Blatt Papier durch dünnes Aluminiumblech

Schwächung durch dicke Bleiplatten; vollständige Ab-schirmung nicht möglich

b) Ein Teil der Strahlung wird schwach abgelenkt. Die Ablenkungsrichtung zeigt, dass sie aus positiv geladenen Teilchen besteht. Es handelt sich um α-Strahlung. Ein anderer Teil wird stark abgelenkt. Die Richtung deutet auf negativ geladene Körper hin. Es ist die β-Strahlung. Ein dritter Teil durchdringt das Magnetfeld ohne Richtungsänderung. Es ist die γ-Strahlung.c) Die Tabelle gibt einen Überblick:

Verstärker

Lautsprecher

Glimmer-fensterGasfüllungMetall-gehäuseDraht

Zählrohr:

U = 500 V

R C

Sterilität Erbkrankheit Entstehung neuer Arten

Absorption der Strahlung Durchgang der Strahlung

Keine Wirkung

molekulare Veränderungen

Bildung aktiver Radikale aus H2O

Mutationen

somatisch genetisch

mikroskopisch sichtbare Schäden

Zelltod

Organschäden

Tod des Individuums

Organkrebs

Zeit nach der Einwirkung

Jahrzehnte bis Jahrtausende

10–16 s – 10–8 s

10–8 s – 10–5 s

Sekunden bis Stunden

Stunden bis Tage

Tage bis Jahre

Vorgang im Körper und seine Folgen

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Strahlungsphysik 49

A20 $ Das folgende Diagramm zeigt die Aktivität eines radioaktiven 210 83 Bi-Präparates über die Zeit: Die Aktivität ist nach etwa fünf Tagen auf die Hälfte abgeklungen. Daher gilt für die Halbwertszeit:

T 1/2 = 5 d

b) Bei einer Halbwertszeit von 5 Tagen be-trägt die Aktivität nach 15 Tagen nur noch (1/2) 3 = 1/8 des Ausgangswertes. Es sind also noch 12,5 % der Kerne unzerfallen.30 Tage nach Beginn der Messung sind insgesamt sechs Halbwertszeiten verstrichen, die Aktivität ist somit auf (1/2) 6 = 1/64 gesunken, sie hat also bezogen auf den Ausgangswert um 63/64 abgenommen. Dies entspricht einer Abnahme um 98,4 %, d. h. also, dass 98,4 % aller Kerne zerfallen sind.c) Reaktionsgleichung für den β-Zerfall des Präparates:

210 83 Bi A 0 − 1 e + 210 84 Po

d) Ausschnitt aus der Zerfallsreihe, die zu 210 83 Bi führt: Aus 210 82 Pb entsteht durch einen β-Zerfall das Bismut-Isotop 210 83 Bi:

210 82 Pb A 0 − 1 e + 210 83 Bi

Das Bleiisotop 210 82 Pb geht durch einen α-Zerfall aus 214 84 Po hervor:

214 84 Po A 4 2 He + 210 82 Pb

Das Poloniumisotop wiederum entsteht aus 214 83 Bi durch einen β-Zerfall:

214 83 Bi A 0 − 1 e + 214 84 Po

A21 0 a) Ein idealer schwarzer Körper (schwarzer Strahler) absorbiert jede einfallende Strahlung vollständig und emittiert diese im Strahlungsgleichgewicht ohne Wellenlängen-änderung. Sonne, Glühlampe, Bügeleisen, Erde … können in guter Näherung als schwarze Strahler betrachtet werden. Strahlungsquellen, die nur bestimmte Wellenlängen emittieren, wie z. B. Leuchtstoffröhren, sind keine schwarzen Strahler.b) Die Temperatur der Sonne lässt sich mit dem Wien’schen Verschiebungsgesetz aus λ max berechnen, es gilt:

λ max = 2,9 ∙ 10 − 3 m ∙ K _ T ⇒ T Sonne = 2,9 ∙ 10 − 3 m ∙ K _ λ max =

2,9 ∙ 10 − 3 m ∙ K __ 500 ∙ 10 − 9 m = 5 800 K

c) Im Strahlungsgleichgewicht sind die zugeführte Leistung P zu und die abgestrahlte Leis-tung P ab gleich. P zu berechnet man mit Hilfe der Solarkonstanten:

P zu = 0,7 ∙ 1 340 W _ m 2 ∙ A Querschnittsfläche-Erde = 0,7 ∙ 1 340 W _ m 2 ∙ π ∙ r Erde 2

Aus dem Stefan-Boltzmann-Gesetz folgt für die abgestrahlte Leistung:

P ab = σ ∙ T 4 ∙ A Oberfläche-Erde = 5,67 ∙ 10 − 8 W _ m 2 ∙ K 4 ∙ T 4 ∙ 4 π ∙ r Erde 2

Für das Strahlungsgleichgewicht gilt die Bedingung P zu = P ab, daraus ergibt sich die Tempe-ratur der Erde zu:

T = 4 √

___________

0,7 ∙ 1 340 W _ m 2 ___

4 ∙ 5,67 ∙ 10 − 8 W _ m 2 ∙ K 4 = 254 K = − 21 °C

Bei der Berechnung wurde der Einfluss der Erdatmosphäre außer Acht gelassen. Sie wirkt wie die Glasscheibe eines Treibhauses und führt zu einer Temperaturerhöhung, so dass die mittlere Temperatur der Erde bei etwa 15 °C liegt.

454035302520151050

0

z in s–1

t in d

18161412108642

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