17 Allgemeine Lösung

Um die allgemeine Lösung zu finden, werden die Maxwellgleichungen zunächst

durch die Einführung der Potenziale Φ und A vereinfacht. Die allgemeine Lösung

besteht aus der allgemeinen homogenen Lösung (Wellenlösungen) und aus einer

partikulären Lösung (retardierte Potenziale).

Die Potenziale Φ und A werden so eingeführt, dass die homogenen Maxwellglei-

chungen

divB(r, t) = 0 (17.1)

rotE(r, t)+ 1

c

∂B(r, t)

∂ t= 0 (17.2)

erfüllt sind. Ein quellfreies Feld, (17.1), kann als Rotationsfeld geschrieben werden:

B(r, t) = rotA(r, t) (17.3)

Aus (17.2) und (17.3) folgt

rot(E + 1

c

∂A

∂ t

)= 0 (17.4)

Ein wirbelfreies Feld kann als Gradientenfeld dargestellt werden, also

E(r, t) = − grad Φ(r, t)− 1c

∂A(r, t)

∂ t(17.5)

Die sechs Felder E und B können damit auf vier Felder reduziert werden, und

zwar auf das skalare Potenzial Φ und das Vektorpotenzial A. Gleichung (17.3) ist

von derselben Form wie in der Magnetostatik. Verglichen mit der Elektrostatik tritt

dagegen in (17.5) ein zusätzlicher Term auf.

Die Feldgleichungen fürΦ undA ergeben sich aus den inhomogenen Maxwell-

gleichungen. Aus divE = 4π� folgt

�Φ + 1

c

∂ (divA)

∂ t= −4π� (17.6)

Aus rotB − E/c = 4π j/c folgt

�A− 1

c2

∂2A

∂ t2− grad

(divA+ 1

c

∂Φ

∂ t

)= − 4π

cj (17.7)

Dabei wurde rot rotA = −�A + grad divA verwendet. Die Gleichungen (17.6)

und (17.7) stellen vier gekoppelte partielle Differenzialgleichungen für die vier Fel-

der Φ und A dar.

156

T. Fließbach, Elektrodynamik, DOI 10.1007/978-3-8274-3036-6_18© Springer-Verlag Berlin Heidelbcrg 2012

Kapitel 17 Allgemeine Lösung 157

Entkopplung durch Lorenzeichung

Die Potenziale Φ und A sind durch die physikalischen Felder E und B nicht ein-

deutig festgelegt. Die Transformation

A(r, t) −→ A(r, t)+ gradΛ(r, t) (17.8)

ändert das B-Feld nicht; der Zusatzterm ist die allgemeine Form eines Terms, des-

sen Rotation verschwindet. Damit auch das E-Feld in (17.5) unverändert bleibt,

muss gleichzeitig das skalare Potenzial mittransformiert werden:

Φ(r, t) −→ Φ(r, t)− 1

c

∂Λ(r, t)

∂ t(17.9)

Die Transformation (17.8) und (17.9) heißt Eichtransformation (englisch: gaugetransformation). Die Felder E und B ändern sich nicht unter einer Eichtransforma-

tion mit einem beliebigen skalaren Feld Λ(r, t).

Wegen der Eichinvarianz können wir eine skalare Bedingung an die Potenziale

stellen, die durch eine geeignete Wahl der skalaren Funktion Λ(r, t) erfüllt wird.

Als Bedingung wählen wir die Lorenzeichung1:

divA+ 1

c

∂Φ

∂ t= 0 Lorenzeichung (17.10)

Für beliebige Felder Φ undAwäre die linke Seite von (17.10) eine skalare Funktion

f (r, t) �= 0. Die Transformation (17.8) und (17.9) fügt den Term �Λ − ∂ 2t Λ/c2

hinzu. Man kann nun Λ so wählen, dass �Λ − ∂ 2t Λ/c2 = −f . Dann erfüllen

die neuen Potenziale die Bedingung (17.10). Praktisch geht man so vor, dass die

Potenziale von vornherein durch (17.10) eingeschränkt werden.

Mit (17.10) werden (17.6) und (17.7) zu

�Φ(r, t)− 1

c2∂2Φ(r, t)

∂ t2= −4π�(r, t) (17.11)

�A(r, t)− 1

c2

∂2A(r, t)

∂ t2= −4π

cj(r, t) (17.12)

Damit haben wir vier entkoppelte Differenzialgleichungen für die FelderΦ, Ax , Ay

und Az erhalten. Die Lorenzeichung hat zur Entkopplung der Gleichungen (17.6)

1Benannt nach Ludwig Valentin Lorenz (1829–1891). Die Lorentztransformationen und ver-

wandte Begriffe (insbesondere Lorentztensoren) sind dagegen nach Hendrik Antoon Lorentz (1853–

1928, Nobelpreis 1902) benannt. Wegen seiner überragenden Bedeutung wird H. A. Lorentz häufig

auch die Eichung (17.10) zugeschrieben. Man findet daher oft die an sich inkorrekte Schreibwei-

se „Lorentzeichung“, zum Beispiel in den früheren Auflagen dieses Buchs. Für einen Hinweis zu

diesem Punkt bedanke ich mich bei Frank Nachtrab.

158 Teil IV Maxwellgleichungen: Grundlagen

und (17.7) geführt, also zu einer wesentlichen Vereinfachung. Die Gleichungen

(17.11) und (17.12) sind, zusammen mit (17.3), (17.5) und (17.10), äquivalent zu

den Maxwellgleichungen. Wegen (17.10) sind nur drei der vier Felder Φ und A

voneinander unabhängig.

Wellengleichungen, die mathematisch äquivalent zu (17.11) oder (17.12) sind,

kommen auch in der Mechanik vor. So werden zum Beispiel Dichtewellen (Schall-

wellen) durch eine Gleichung der Form (17.11) beschrieben. In diesem Fall ist das

skalare Feld Φ = �m(r, t) − �m,0 die Abweichung der Massendichte �m vom

Gleichgewichtswert �m,0, die Konstante c ist die Schallgeschwindigkeit und die

rechte Seite beschreibt eine mögliche äußere Kraftdichte.

Jede Komponente von (17.12) hat dieselbe Struktur wie (17.11). Wir können die

Diskussion der Lösung daher auf (17.11) beschränken. Die allgemeine Lösung der

Differenzialgleichung (17.11) ist von der Form

Φ(r, t) = Φhom +Φpart (17.13)

Dabei ist Φhom die allgemeine Lösung der homogenen Differenzialgleichung, und

Φpart ist eine spezielle Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung.

Lösung der homogenen Gleichung

Wir bestimmen zunächst die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung:

�Φhom −1

c2∂2Φhom

∂ t2= 0 (17.14)

Mit dem Separationsansatz

Φhom(r, t) = X(x) Y (y) Z(z) T (t) (17.15)

wird (17.14) zuX′′

X+ Y ′′

Y+ Z′′

Z− 1

c2

T ′′

T= 0 (17.16)

Jeder einzelne Term muss gleich einer Konstanten sein, da die anderen Terme nicht

von der jeweiligen Koordinate abhängen, also

X′′

X= −k 2x ,

Y ′′

Y= −k 2y ,

Z′′

Z= −k 2z ,

T ′′

T= −ω2 (17.17)

Aus (17.16) folgt für die Separationskonstanten

ω2 = c2k2 = c2(k 2x + k 2y + k 2z

)(17.18)

Wir lösen die Differenzialgleichung für X(x):

d2X

dx2= −k 2x X(x) −→ X(x) = exp(± ikx x) (17.19)

Kapitel 17 Allgemeine Lösung 159

Die Lösungen für Y(y), Z(z) und T (t) sind von der gleichen Form. Damit die Lö-

sungen für ±∞ nicht divergieren, müssen kx , ky , kz und ω reell sein. Im Ortsanteil

nehmen wir nur das positive Vorzeichen in der Exponentialfunktion, lassen dafür

aber auch negative k-Werte zu:

−∞ < kx, ky, kz <∞ (17.20)

Im Zeitanteil berücksichtigen wir zunächst beide Vorzeichen in T = exp(± iωt).Dann können wir uns auf positive Frequenzen ω beschränken:

ω = ω(k) = c |k| = ck = c

√k 2x + k 2y + k 2z (17.21)

Damit hat der Separationsansatz zu den Elementarlösungen

Φkx ky kz = exp(i[k · r ± ω(k) t

])(17.22)

geführt, die von drei beliebigen reellen Parametern kx , ky und kz abhängen. Die

vierte Separationskonstante ω liegt gemäß (17.21) fest. Wegen der Linearität von

(17.14) ist auch eine Überlagerung der Lösungen (17.22) mit verschiedenen k-

Werten wieder Lösung. Da das Potenzial Φ reell ist, nehmen wir den Realteil (Re)

der Überlagerung

Φhom(r, t) = Re∫d3k

(a1(k)+ i a2(k)

)exp

[i(k · r − ωt)

](17.23)

mit den reellen Funktionen a1(k) und a2(k). In Aufgabe 17.1 wird diese Form der

Lösung noch einmal auf einem etwas anderen Weg begründet.

Da (17.14) eine Differenzialgleichung 2. Ordnung in der Zeit ist, wird die Lö-

sung durch die Anfangsbedingungen Φ(r, 0) = G(r) und Φ(r, 0) = H(r) fest-

gelegt. Die Überlagerung (17.23) enthält gerade soviele Integrationskonstanten (die

reellen Funktionen a1(k) und a2(k)), wie durch die Anfangsbedingungen (die reel-

len Funktionen G(r) und H(r)) festzulegen sind. Daher ist (17.23) die allgemeineLösung von (17.14).

Entsprechende Lösungen gelten für die Komponenten Ai,hom des Vektorpoten-

zials; dabei muss (17.10) erfüllt sein. Die Lösungen Φhom und Ahom stellen Wellen

dar, die in Kapitel 20 näher untersucht werden.

Retardierte Potenziale

Für die allgemeine Lösung (17.13) benötigen wir noch eine partikuläre Lösung, also

eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung (17.11). Die partikulären Lösun-

gen für Φ und A, die wir im Folgenden ableiten, heißen „retardierte Potenziale“.

160 Teil IV Maxwellgleichungen: Grundlagen

Wir führen eine Fouriertransformation der Zeitabhängigkeit von Φ(r, t) und

ρ(r, t) durch:

Φ(r, t) = 1√2π

∫ ∞

−∞dω Φω(r) exp(− iωt) (17.24)

�(r, t) = 1√2π

∫ ∞

−∞dω �ω(r) exp(− iωt) (17.25)

Das Vorzeichen in der Exponentialfunktion ist Konvention; in der Rücktransforma-

tion tritt das jeweils andere Vorzeichen auf.

Die transformierten GrößenΦω(r) und �ω(r) sind Funktionen von r und ω. Wir

setzen (17.24) und (17.25) in die Wellengleichung (17.11) ein:∫ ∞

−∞dω

(�+ ω2

c2

)Φω(r) exp(− iωt) = −4π

∫ ∞

−∞dω �ω(r) exp(− iωt)

(17.26)

Die Funktionen exp(− iωt) sind für verschiedene ω voneinander unabhängig. Da-her muss (

�+ ω2

c2

)Φω(r) = −4π�ω(r) (17.27)

gelten. Wir schreiben (3.37) mit k = ω/c an:(�+ ω2

c2

)exp(± iω |r − r ′|/c)

|r − r ′| = −4π δ(r − r ′) (17.28)

Hiermit überprüft man leicht, dass

Φω(r) =∫d3r ′ �ω(r ′)

exp(+ iω |r − r ′|/c)|r − r ′| (17.29)

Lösung von (17.27) ist. Wie in (17.28) könnten wir in der Exponentialfunktion auch

ein Minus- statt des Pluszeichens verwenden; dies führt zu einer anderen Lösung,

die unten diskutiert wird. Wir setzen (17.29) in (17.24) ein:

Φ(r, t) = 1√2π

∫d3r ′

∫ ∞

−∞dω

�ω(r′)

|r − r ′| exp[− iω (t − |r − r ′|/c)︸ ︷︷ ︸

= t ′

]

=∫d3r ′

�(r ′, t ′)|r − r ′| (17.30)

Für eine statische Ladungsverteilung �(r, t) = �(r) reduziert sich dies auf das aus

der Elektrostatik bekannte Integral (6.3). Bei zeitabhängigen Phänomenen genügt

es aber nicht, in (6.3) die Zeit t als zusätzliches Argument einzufügen. Vielmehr ist

in der Ladungsverteilung das frühere Zeitargument

t ′ = t − δt = t − |r − r ′ |c

(17.31)

Kapitel 17 Allgemeine Lösung 161

einzusetzen. Dies hat folgende physikalische Bedeutung: Wenn sich die Ladungs-

verteilung zu einem bestimmten Zeitpunkt t ′ ändert, dann pflanzt sich die dadurchverursachte Änderung des elektromagnetischen Felds mit der Lichtgeschwindigkeit

c fort. In der Entfernung |r − r ′| ändert sich das Feld daher erst zur späteren Zeitt = t ′ + δt . Wegen dieser verspäteten Änderung heißt die Potenziallösung (17.30)

auch retardiert; wir markieren dies im Folgenden mit einem Index „ret“:

Φret(r, t) =∫d3r ′

�(r ′, t − |r − r ′|/c)|r − r ′| (17.32)

Die analoge Lösung für das Vektorpotenzial ist

Aret(r, t) =1

c

∫d3r ′

j(r ′, t − |r − r ′|/c)|r − r ′| (17.33)

Damit haben wir partikuläre Lösungen der Differenzialgleichungen (17.11) und

(17.12) gefunden:

Φpart = Φret , Apart = Aret (17.34)

In (17.29) hätten wir in der Exponentialfunktion auch das andere Vorzeichen wählen

können; wegen (17.28) wäre auch dies Lösung von (17.27). Das andere Vorzeichen

führt zur avancierten Lösung

Φav(r, t) =∫d3r ′

�(r ′, t + |r − r ′|/c)|r − r ′| (17.35)

und zu einem analogen Ausdruck für Aav. Jede Linearkombination

Φpart = a Φret + (1− a)Φav (17.36)

ist ebenfalls eine partikuläre Lösung und ergibt zusammen mit der homogenen Lö-

sung die allgemeine Lösung.

Zur Diskussion der physikalischen Bedeutung der retardierten und avancierten

Lösung betrachten wir die Dipolantenne eines UKW-Senders. Die Abstrahlung der

Antenne (bei r ′) kommt nach der Zeit δt = |r − r ′|/c beim Radiohörer (mit einerEmpfangsantenne bei r) an. Die abgestrahlte Welle wird gerade durch das retardier-

te Potenzial der oszillierenden Ladungsverteilung der Sendeantenne beschrieben.

Die avancierte Lösung ist dagegen aus Kausalitätsgründen auszuschließen; denn in

der avancierten Lösung würde die Wirkung (Empfang beim Radiohörer) vor der

Ursache (Aussenden der Radiowelle) liegen.

In der Empfangsantenne des UKW-Hörers wird (durch die vom Sender aus-

gesandte Welle) eine oszillierende Ladungsverteilung induziert. Bezogen auf diese

oszillierende Ladungsverteilung sind die zu empfangenden UKW-Wellen avancier-

te Wellen: Einer eventuellen Modulation der Welle beim Sender entspricht ja eine

Modulation der Ladungsverteilung zu einer um δt späteren Zeit; die Änderung der

162 Teil IV Maxwellgleichungen: Grundlagen

Ladungsverteilung erfolgt also nach der Änderung des zugehörigen Felds. In die-

sem Fall erfüllt gerade die avancierte Lösung die Kausalitätsforderung.

Im Prinzip sind alle oszillierenden Ladungsverteilungen formal als Quellterme

in den Maxwellgleichungen zu berücksichtigen. Für die Quellen (Sender) sind dann

die retardierten, für die Senken (Empfänger) die avancierten Potenziale anzusetzen.

Im Folgenden, insbesondere in den Kapiteln 23 und 24, werden wir uns auf den

einfachen Fall einer abstrahlenden Quellverteilung und damit auf die retardierten

Lösungen beschränken.

Wenn man nur den Abstrahlungsvorgang betrachtet, dann ist Φret die richtige

Lösung. Nun kann man jede Lösung in Form der allgemeinen Lösung Φallgemein =Φpart + Φhom schreiben. Da Φpart nur irgendeine partikuläre Lösung sein muss,

könnte man hier auch die „falsche“ Lösung Φpart = Φav wählen. Die Versuchs-

oder Randbedingungen würden dann aber Φhom = Φret − Φav erzwingen, so dass

sich Φret als tatsächliche Lösung ergibt.

Aufgaben

17.1 Fouriertransformation der Wellengleichung

Lösen Sie die homogene Wellengleichung(�− 1

c2

∂2

∂t2

)Φ(r, t) = 0

durch eine Fouriertransformation in den Variablen x, y, z und t .

17.2 Lösung der eindimensionalen Wellengleichung

Zeigen Sie, dass die homogene Lösung

Φ(x, t) = Re∫ ∞

−∞dk a(k) exp

(i (kx − ωt)

), (ω = c |k|) (17.37)

der eindimensionalen Wellengleichung(∂ 2x − ∂ 2t /c

2)Φ = 0 von folgender Form

ist:

Φhom(x, t) = f (x − ct)+ g(x + ct) (17.38)

Dabei ist a(k) eine komplexe Funktion, f und g sind beliebige, reelle Funktio-

nen. Überprüfen Sie auch durch direktes Einsetzen in die Wellengleichung, dass

(17.38) eine homogene Lösung ist. Welche Zeitabhängigkeit hat eine solche Welle

für f (x) = f0 exp(−γ x2) und g = 0?