30 Erste Anwendungen

Wir diskutieren einige Anwendungen der makroskopischen Maxwellgleichungen.

Um den Fall verschiedener Materialien (zum Beispiel Luft und Glas) behandeln

zu können, leiten wir die Stetigkeitsbedingungen für die Felder an der Grenzfläche

zwischen zwei Medien ab. Danach lösen wir zwei einfache Probleme der makro-

skopischen Elektrostatik.

Stetigkeitsbedingungen

Aus den makroskopischenMaxwellgleichungen (29.14) leiten wir Stetigkeitsbedin-

gungen für die Felder an der Grenzfläche zwischen zwei Medien ab, Abbildung

30.1. Auf der Grenzfläche lassen wir eine Flächenladung σext und einen Ober-

flächenstrom J ext zu. Der Oberflächenstrom ist gleich J ext = σext v, wenn alle

Ladungsträger in σext dieselbe (zur Oberfläche parallele) Geschwindigkeit v haben.

Aus zwei kleinen Flächenelementen a, die parallel zur Grenzfläche liegen, bil-

den wir ein VolumenelementΔV (Abbildung 30.1). Der Abstand zwischen den bei-

den Flächenelementen wird dabei (beliebig) klein gewählt. Wir wenden den Gauß-

schen Satz auf divD = 4π�ext und ΔV an:∮A(ΔV )

dA ·D = an · (D2 −D1) = 4π∫ΔV

d3r �ext = 4πqext (30.1)

Hierbei ist n der in Abbildung 30.1 gezeigte Normalenvektor, und qext ist die inΔV

enthaltene zusätzliche Ladung. Mit der Oberflächenladung σext = qext/a erhalten

wir hieraus

(D2 −D1) · n = 4πσext (30.2)

Eine analoge Anwendung des Gaußschen Satzes auf divB = 0 ergibt

(B2 − B1) · n = 0 (30.3)

Aus zwei kleinen Linienelementen der Länge �, die parallel zur Grenzfläche lie-

gen, bilden wir die Rechteckfläche ΔA (Abbildung 30.1). Der Abstand zwischen

den beiden Linienelementen wird dabei (beliebig) klein gewählt. Für diese Fläche

wenden den Stokesschen Satz auf rotH = (4π/c) j ext + D/c an:∮C

ds ·H = � t · (H 2 −H 1) =1

c

∫ΔA

dA ·(4πj ext +

∂D

∂ t

)= 4π

ciext (30.4)

277

T. Fließbach, Elektrodynamik, DOI 10.1007/978-3-8274-3036-6_3© Springer-Verlag Berlin Heidelbcrg 2012

278 Teil VI Elektrodynamik in Materie

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����

����n

t

ε1, μ1

ε2, μ2

ΔV oder ΔA

Medium 1

Medium 2

R��

ΔA

� t

�a n

ΔV

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Abbildung 30.1 An der Grenzfläche R zwischen zwei homogenen Medien gibt es be-

stimmte Stetigkeitsbedingungen für die Felder. Zu ihrer Ableitung werden ein Volumen-

element ΔV und ein Flächenelement ΔA benutzt, deren Form rechts skizziert ist.

Die Größe ∂D/∂ t sei an der Grenzfläche endlich; dann geht dieser Beitrag mit der

kleinen Seitenlänge von ΔA gegen null. Auf der rechten Seite ist iext der Strom

durch ΔA. Nach Division durch � steht auf der rechten Seite der Oberflächenstrom

Jext = iext/� (Strom/Länge = (Ladung/Fläche) × Geschwindigkeit). Es gibt zwei

unabhängige Tangentenvektoren t und damit zwei Bedingungen der Form (30.4),

die zu

n× (H 2 −H 1) =4π

cJ ext (30.5)

zusammengefasst werden können. Analog dazu führt die Anwendung des Stokes-

schen Satzes auf rotE = −B/c zu

n× (E2 −E1) = 0 (30.6)

Wir fassen die Bedingungen für den Fall zusammen, dass es keine zusätzlichen

Ladungen auf der Grenzfläche gibt:

1. Die Tangentialkomponenten von E sind stetig.

2. Die Normalkomponente vonD ist stetig (σext = 0).3. Die Normalkomponente von B ist stetig.

4. Die Tangentialkomponenten von H sind stetig (J ext = 0).

Elektrostatik

Aus (29.29) erhalten wir im elektrostatischen Fall

div(ε(r)E(r)

) = 4π�ext (30.7)

rotE(r) = 0 (30.8)

Dies sind die Grundgleichungen der Elektrostatik in Materie. Die erste Gleichung

schreiben wir auch in der Form divD = 4π�ext.

Kapitel 30 Erste Anwendungen 279

Im Folgenden betrachten wir speziell einen Vakuumbereich (ε = 1) und einen

von Materie mit ε > 1 ausgefüllten Bereich. Die Materie bezeichnen wir in diesem

Zusammenhang als Dielektrikum; Tabelle 31.1 listet die Dielektrizitätskonstanten εeiniger Stoffe auf. An der Grenzfläche zwischen Vakuum und Dielektrikum gelten

die Stetigkeitsbedingungen (30.2) und (30.6).

Dielektrikum im Kondensator

In einen Plattenkondensator (Plattenfläche AC, Abstand d) befinde sich ein qua-

derförmiges Dielektrikum, Abbildung 30.2. Diese Anordnung sei senkrecht zur z-

Richtung so ausgedehnt, dass wir Randeffekte vernachlässigen können. Wegen der

Symmetrie des Problems gilt dann E = E(z) ez und D = D(z) ez.

Wir betrachten die (dünnen) Kondensatorplatten als Flächen, auf die wir (30.2)

anwenden können. MitD1 = 0 (außerhalb des Kondensators) undD2 = D (inner-

halb), und aus σext = Qext/AC (untere Platte) folgt dann

D = 4π Qext

ACez (mit oder ohne Medium) (30.9)

Nach (30.7) gilt divD = 0 innerhalb des Kondensators. FürD = D(z) ez bedeutet

dies dD(z)/dz = 0, also D(z) = const. Damit gilt das in (30.9) zunächst an der

Grenzfläche bestimmte Feld überall zwischen den Platten (im Vakuum). Das Feld

D ändert sich auch dann nicht, wenn parallel zu den Platten ein Dielektrikum in

den Kondensator gebracht wird (Abbildung 30.2); denn an der Grenzfläche zwi-

schen Vakuum und Dielektrikum ist D stetig (eine Oberflächenladungsdichte σextan diesen Grenzflächen wird ausgeschlossen).

Mit εvak = 1 und εmed = ε können wir die Felder P = (D − E)/4π und

E = D/ε angeben:

E =⎧⎨⎩

D

D

ε

und P =⎧⎨⎩

0 (Vakuum)

ε − 14πε

D (Medium)(30.10)

An der Grenzfläche Dielektrikum-Vakuum werten wir divP = −�ind analog zu(30.1) und (30.2) aus. Dies ergibt (P 2−P 1) ·n = −σind, also die induzierte Ober-flächenladung

σind = ±ε − 1ε

Qext

AC(30.11)

Das Pluszeichen gilt für die obere Grenzfläche des Mediums in Abbildung 30.2, das

Minuszeichen für die untere.

Die Polarisation P des Dielektrikums und die induzierten Oberflächenladungen

σind hängen wie folgt zusammen: Durch das zusätzliche Feld werden die positiven

und negativen Ladungen jeder mikroskopischen Einheit (Atom, Elementarzelle) et-

was gegeneinander verschoben. In der makroskopischen Näherung bilden die posi-

tiven und negativen Ladungen jeweils einen homogen geladenen Quader. Die Po-

larisation bedeutet eine kleine Verschiebung dieser beiden Quader gegeneinander.

280 Teil VI Elektrodynamik in Materie

��

�

VakuumMedium

z

E = D E = D/ε

−Qext

+Qext

+Qind

−Qind

�

�..............

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Abbildung 30.2 Die Ladungen±Qext auf den Kondensatorplatten erzeugen das FeldEext.

In der gegebenen einfachen Geometrie ist D = Eext. In dieses Feld wird ein Stück Materie

gebracht. Die Polarisation dieses Mediums führt zu den induzierten Polarisationsladungen

±Qind an den Grenzflächen; dabei ist Qind = Qext(ε − 1)/ε. Die Ladungen sind Flächen-ladungen; die Angaben beziehen sich jeweils auf dieselbe Fläche. Die induzierten Ladungen

schirmen das E-Feld teilweise ab; für ε > 1 ist das E-Feld im Medium schwächer als im

Vakuum.

Dann heben sich die positiven und negativen Ladungen im Inneren auf; am Rand

entstehen aber die Oberflächenladungen σind. Die Polarisationsladungen sind also

der sichtbare Ausdruck der homogenen Volumenpolarisation.

Die induzierte Ladung Qind auf dem Dielektrikum ist proportional zur Ladung

Qext auf dem Kondensator (jeweils auf dieselbe Fläche bezogen):

Qind =ε − 1ε

Qextε→∞−→ Qext (30.12)

Für ε = 2 ist Qind = Qext/2; das Feld der Kondensatorladungen wird gerade

zur Hälfte abgeschirmt. Die Dielektrizitätskonstante eines Metalls ist unendlich,

(31.30). In diesem Grenzfall ist Qind = Qext. Das Feld der Kondensatorladungen

wird vollständig abgeschirmt, so dass im Metall E = 0 gilt. Nach (30.11) gibt es

einen fließenden Übergang von σind = 0 (Vakuum, ε = 1) zu σind = ±σext fürε→∞ (Metall, vollständige Abschirmung des externen Felds).

Wir betrachten noch die Spannung U des mit ±Qext geladenen Kondensators

(Plattenfläche AC, Abstand d). Ohne Medium ist die Spannung Uvak = Evak d.

Schieben wir nun das Medium ein (es fülle den Platz zwischen den Platten vollstän-

dig aus), so sinkt die Spannung auf Umed = Emed d = Uvak/ε. Aus dem Verhältnis

der Spannungen oder Kapazitäten kann man leicht die Dielektrizitätskonstante ε

bestimmen:

ε = Uvak

Umed= Cmed

Cvak(30.13)

Man kann auch eine Wechselspannung U = U0 cos(ωt) anlegen und die maximale

LadungQ0 mit und ohne Mediummessen. Sofern die quasistatische Näherung (Ka-

pitel 26) zulässig ist, erhält man so die Kapazität C = Q0/U0 und die dielektrische

Funktion ε(ω) = Cmed/Cvak. Im Gültigkeitsbereich der quasistatischen Näherung

wird meist ε(ω) ≈ ε(0) gelten.

Kapitel 30 Erste Anwendungen 281

�x

�q

Vakuum

ε = 1

Dielektrikum

ε > 1

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�

�

x

y, z

�q, q ′′

�q ′

a a��

��

��

)))

)))√a2 + y2 + z2

Abbildung 30.3 Der Bereich x ≥ 0 sei von einem Dielektrikum (punktiert) ausgefüllt.

Eine Punktladung polarisiert das Dielektrikum. Das Feld kann mit Hilfe von Bildladun-

gen, deren Positionen rechts angegeben sind, berechnet werden. Im linken Teil sind einige

Feldlinien skizziert.

Punktladung und Dielektrikum

Der Halbraum x ≥ 0 sei von einem Dielektrikum mit ε > 1 ausgefüllt (Abbildung

30.3). Im Vakuumbereich befinde sich bei −a ex eine Punktladung der Stärke q.

Es soll das elektrostatische Feld im gesamten Raum bestimmt werden. Mit �ext =q δ(r + a ez) lauten die Maxwellgleichungen (30.7, 30.8):

div(ε(r)E(r)

) = 4π q δ(r + a ex) , rotE(r) = 0 (30.14)

Dabei ist

ε(r) ={1 (x < 0)

ε (x > 0)(30.15)

Das Feld der Punktladung q ist gleich Eext = q (r + a ex)/|r + a ex |3. Im ho-

mogenen isotropen Fall (29.20) konnten wir D mit Eext identifizieren. Der jetzige

Fall ist jedoch inhomogen (30.15), und es gilt D �= Eext. Bei der formalen Lösung

bedeutet der Sprung in ε(r), dass die zweite Gleichung in (30.14) zu rotD �= 0

führt (im Gegensatz zu rotEext = 0).Die Gleichungen (30.14) können ersetzt werden durch die entsprechenden Glei-

chungen in den Bereichen x > 0 und x < 0 und die Stetigkeitsbedingungen beix = 0. Wir schreiben (30.14) nach Bereichen getrennt an:

divE(r) = 4πq δ(r + a ex) , rotE = 0 (x < 0)

ε divE(r) = 0 , rotE = 0 (x > 0)(30.16)

Das Problem kann mit Hilfe von Bildladungen gelöst werden. Man überzeugt sich

zunächst davon, dass der Ansatz

E(r) =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩q

r + a ex

|r + a ex|3+ q ′

r − a ex

|r − a ex |3(x < 0)

q ′′r + a ex

|r + a ex |3(x > 0)

(30.17)

282 Teil VI Elektrodynamik in Materie

die Gleichungen (30.16) löst, und zwar für beliebige Werte von q ′ und q ′′. Wiewir gleich sehen werden, können die Stetigkeitsbedingungen dann durch geeignete

Wahl von q ′ und q ′′ erfüllt werden.An der Grenzfläche x = 0 ist σext = 0. Daher ist die Normalkomponente von

D, also Dx , hier stetig. Mit (30.15) und (30.17) erhalten wir daraus

qa

|a2 + y2 + z2|3/2 + q ′−a

|a2 + y2 + z2|3/2 = ε q ′′a

|a2 + y2 + z2|3/2 (30.18)

Außerdem müssen die Tangentialkomponenten von E, also Ey und Ez, bei x = 0

stetig sein. Für Ey bedeutet dies

qy

|a2 + y2 + z2|3/2 + q ′y

|a2 + y2 + z2|3/2 = q ′′y

|a2 + y2 + z2|3/2 (30.19)

Die Stetigkeit von Ez führt zu einer äquivalenten Bedingung. Damit werden alle

Stetigkeitsbedingungen erfüllt, falls q− q ′ = ε q ′′ und q+ q ′ = q ′′. Hieraus folgen

q ′ = −q ε − 1ε + 1 und q ′′ = 2 q

ε + 1 (30.20)

Man überprüft folgende Grenzfälle:

• ε = 1 (überall Vakuum). Dann ist q ′ = 0 und q ′′ = q. Die Lösung E =Eext = q (r + a ex)/|r + a ex |3 gilt im ganzen Raum.

• ε = ∞ (Dielektrikum ist Metall). Dann ist q ′ = −q und q ′′ = 0.Wegen q ′′ =0 verschwindet das Feld im Dielektrikum. Dieses Problem wurde bereits in

Kapitel 8 gelöst.

Kapitel 30 Erste Anwendungen 283

Aufgaben

30.1 Punktladung und Dielektrikum

Bestimmen Sie die induzierte Ladungsdichte �ind für die in Abbildung 30.3 darge-

stellte Anordnung.

30.2 Potenzial aus externer Ladungsdichte und Polarisation

In einem Dielektrikum sind die Ladungsdichte �ext(r) und die Polarisation P (r)

gegeben. Zeigen Sie, dass das elektrostatische Potenzial

Φ(r) = Φext(r)+Φind(r) =∫d3r ′

�ext(r′)

|r − r ′| +∫d3r ′

P (r ′) · (r − r ′)|r − r ′|3 (30.21)

die makroskopische Maxwellgleichung divD = div (E + 4πP ) = 4π�ext löst.

30.3 Homogen polarisierte Kugel

Bestimmen Sie das elektrische Feld E einer homogen polarisierten Kugel (Radius

R, �ext = 0). Skizzieren Sie den Feldverlauf, und berechnen Sie die induzierte

Ladungsdichte. Verwenden Sie (30.21).