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TFH Berlin Grundlagen der Elektrotechnik I Prof. Dr. Suchaneck

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Grundlagen der Elektrotechnik I

Prof. Dr. Suchaneck

WS 2005/6


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Inhaltsverzeichnis Seite1. Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1 SI-Einheitensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Schreibweise von Größen (DIN 1313) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Gleichungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Grafische Darstellungen, Diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92. Grundbegriffe der Elektrizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1 Das Wesen der Elektrizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Elektrischer Strom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3 Die elektrische Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4 Elektrischer Widerstand, Leitwert, Ohm‘sches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.5 Temperaturabhängigkeit des Widerstandes von Leitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.6 Stark temperaturabhängige Widerstände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.7 Nichtlineare Widerstände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223. Berechnung von Gleichstromkreisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.1 Vorzeichen- und Richtungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2 Einfache nichtverzweigte Stromkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3 Der verzweigte elektrische Stromkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.4 Umrechnung Sternschaltung Dreieckschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.5 Lineare Maschennetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.5.1 Lösung mit allen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.5.2 Das Überlagerungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.5.3 Netzwerkberechnung mit Zweipolen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534. Energie und Leistung; Energieumformung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.1 Energieumformung mech. Energie ] elektrische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.2 Energieumformung elektr. Energie Y thermische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.2.1 Wärmeaufnahme eines Körpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.2.2 Wärmeleitung eines Körpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.2.3 Wärmeübergang (Konvektion) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585. Das elektrische Strömungsfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.1 Feldbilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.2 Stromdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.3 Widerstandsberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.4 Elektrische Feldstärke und Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.5 Geschichtete Materialien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666. Das elektrische Feld in Nichtleitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.1 Nichtleiter im elektrostatischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.2 Elektrische Verschiebungsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.3 Elektrische Kapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.4 Berechnung der Kapazität aus der Geometrie und . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.4.1 Plattenkondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.4.2 Schichtkondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.4.3 Rohrkondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.4.4 Wickelkondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70


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6.4.5 Drehkondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.5 Betriebsfeldstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.6 Grundschaltungen von Kondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.7 Geschichtetes Dielektrikum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.8 Kraftwirkung im elektrostatischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.9 Elektrodynamische Vorgänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.9.1 Energieinhalt eines geladenen Kondensators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.9.2 Zeitliche Änderung der Ladung Q und Verschiebestrom IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737. Das statische elektromagnetische Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777.2 Größen des magnetischen Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777.2.1 Die magnetische Flussdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777.2.2 Der magnetische Fluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787.2.3 Das Durchflutungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787.2.4 Durchflutung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797.2.5 Magnetische Feldstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797.3 Magnetisches Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797.3.1 Magnetisches Feld eines zylindrischen Leiters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797.3.2 Magnetisches Feld eines Rohrleiters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807.3.3 Magnetisches Feld eines Koaxialleiters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 827.3.4 Magnetisches Feld einer Zweidrahtleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 847.3.5 Erweitertes Durchflutungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 847.3.6 Magnetisches Feld in einfachen magnetischen Kreisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.3.7 Einfluss von Material und Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.4 Der magnetische Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867.4.1 Ringkernspule mit Eisenkern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867.4.2 Das Rechnen mit magnetischen Widerständen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887.4.3 Magnetische Materialeigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897.4.4 Magnetisierungskennlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 907.4.5 Verluste durch Ummagnetisieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917.4.6 µFe und µrFe -Bestimmung aus Kennlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917.4.7 Grafisches Verfahren zur AP- und µ-Bestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 927.5 Induktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947.5.1 Selbstinduktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947.5.2 Spulen-Induktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947.5.3 L-Bestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957.6 Kräfte im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 977.6.1 Kraftwirkung auf bewegte Ladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 987.6.2 Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 987.6.3 Kraft zwischen 2 parallelen stromdurchflossenen Leitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997.6.4 Kraft auf frei bewegte Ladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997.6.5 Hall-Generator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1007.7 Energie im Magnetkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101


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7.8 Magnetische Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017.8.1 Selbstinduktionsspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017.8.2 Auf- und Entmagnetisierung von idealen Induktivitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1027.8.3 Auf- und Entmagnetisierung von realen Induktivitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047.8.4 Abschalten von aufmagnetisierten Induktivitäten mit Gegenspannung . . . . . . . . . 1077.8.5 Bewegung eines Leiters (Leiterschleife) im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087.8.6 Rotation einer Leiterschleife im homogenen Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109


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Literatur

1. Grafe/Loose/Kühn 'Grundlagen der E-Technik' Band 1+2 Verlag Technik Berlin, Hüthig Verlag

2. Moeller/Frohne/Löcherer/Müller

'Grundlagen der E-Technik' 'Beispiele zu Grundlagen der E-Technik' Teubner Verlag

3. A. Haug

'Grundzüge der E-Technik' Hanser Verlag

4. Lunze/Wagner

'Einführung in die E-Technik' Arbeitsbuch Hüthig Verlag

5. Lunze

'Einführung in die E-Technik' Lehrbuch Hüthig Verlag

6. G. Hagmann

'Grundlagen der E-Technik' Studienbuch Aula Verlag Wiesbaden

7. G. Hagmann 'Aufgabensammlung zu den Grundlagen der E-Technik' Akademische Verlagsgesellschaft Wiesbaden 8. H. Classnitzer

'Einführung in die E-Technik' Verlag Berliner Union 9. Zastrow

'Grundlagen der E-Technik' Vieweg Verlag

10. H. Lindner

'Elektroaufgaben' Band I + II Fachbuchverlag Leipzig-Köln

11. Führer/Heidemann/Nerreter

'Grundgebiete der Elektrotechnik' Band 1+2 Hanser Verlag

12. Kruschwitz/Müllenborn 'Aufgabensammlung E-Technik' Vieweg Verlag


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13. Wolfschlag/Siemens AG 'Einheiten,Größen und Formelzeichen in der Elektroindustrie' Hanser Verlag

14. Fricke/Vaske

'Grundlagen der E-Technik' Teil 1 Teubner Verlag

15. Benz/Heinks/Starke

'Tabellenbuch Elektronik Nachrichtentechnik' Kohl + Noltemeyer Verlag Frankfurter Fachverlag

16. Friedrich

'Tabellenbuch Elektrotechnik Elektronik' Dümmler Verlag Bonn

17. Lindner/Brauer/Lehmann'Taschenbuch der Elektrotechnik und Elektronik'Fachbuchverlag Leipzig-Köln

18. Kories/Schmidt-Walter'Taschenbuch der Elektrotechnik'Verlag Harri Deutsch


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1. Allgemeines1.1 SI-Einheitensystem

Unterscheidung- Physikalische Größen (U, I, s, t ...)- abgeleitete Größen (P, W, Q, R, 0 ...)- bezogene, spezifische Größen (k, i, :, g ...)

L spezifische Größen sind u.a. Materialkonstanten, Koeffizienten (Beiwerte),Proportionalitätsfaktoren.

Historische Entwicklung von Größen und Einheitensystemen:

1. metrisches System (1799 Frankreich) M K S M K S Weg/Masse/Zeit

2. absolutes System (1832 Gauß/Weber) c g scm, g, s

3. giorgisches System (1921) M K S AM K S A m, kg, sec, el. Strom

4. Technisches Maßsystem bis 1969 M (Weg), kp (Kraft), S (Zeit)

5. Internationales Einheitensystem ab 1960 (11. Generalkonferenz)SI-Einheiten (Systeme International de Unites) SI

Das SI-Einheitensystem gilt seit 1969 als Bundesgesetz. Übergangsfrist endete 1977. AlleStaaten, die das metrische (dekadische) System verwenden, haben das SI-System alsGrundlage der nationalen Normen.

Das Si-System ist kohärent.L Die Basisgrößen und Einheiten sind durch Gleichungen verknüpft, die nur den Zahlen-

faktor 1 haben.

Basisgrößen

Länge Meter m Wellenlänge einer AtomstrahlungMasse Kilogramm kg kg-PrototypZeit Sekunde s Periodendauer einer Atomstrahlungel. Stromstärke Ampere A Kraft zwischen zwei LeiternTemperatur Kelvin K 273,16te Teil des Tripelpunktes von H2OLichtstärke Candela cd Lichtstärke eines schwarzen StrahlersStoffmenge Mol mol Anzahl von Atom- oder Molekülteilen

Nationale Festlegungen in DIN-Normen (Auszug)

DIN 1301 Einheiten, Einheitennamen, EinheitenzeichenDIN 1304 Allgemeine FormelreichenDIN 1305 Masse, Kraft, Gewicht, Last; BegriffeDIN 1306 Dichte; BegriffeDIN 1313 Schreibweise phys. Gleichungen in Naturwissenschaft und TechnikDIN 1314 Druck; Begriffe, Einheiten


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DIN 1315 Winkel; Begriffe, EinheitenDIN 1320 Akustik; GrundbegriffeDIN 1323 Elek. Spannung, Potential, Zweipolquelle, elektromot. Kraft; BegriffeDIN 1324 Elektrisches Feld; BegriffeDIN 1325 Magnetisches Feld; BegriffeDIN 1338 Formelschreibweise und FormelsatzDIN 1339 Einheiten magnetischer GrößenDIN 1341 Wärmeübertragung; Grundbegriffe, Einheiten, KenngrößenDIN 1344 Elektrische Nachrichtentechnik; FormelzeichenDIN 1355 Zeit, Kalender, Wochennumerierung, Tagesdatum, UhrzeitDIN 1357 Einheiten elektrischer GrößenDIN 4890 Inch-Millimeter, Grundlagen für die UmrechnungDIN 4892 Inch-Millimeter, UmrechnungstabellenDIN 4893 Millimeter-Zoll, UmrechnungstabellenDIN5031 Strahlungsphysik im optischen Bereich und LichttechnikDIN 5483 Zeitabhängige Größen; Benennungen der ZeitabhängigkeitDIN 5490 Gebrauch der Wörter bezogen, spezifisch, relativ, normiert und reduziertDIN 6814 Begriffe der radiologischen Technik; AllgemeinesDIN 25404 Kerntechnik; FormelzeichenDIN 40110 WechselstromgrößenDIN 40121 Elektromaschinenbau; FormelzeichenDIN 66035 Kalorie - Joule; Joule - Kalorie; UmrechnungstabellenDIN 66036 Pferdestärke - Kilowatt, Kilowatt - Pferdestärke; UmrechnungstabellenDIN 66037 Kilopond je cm² Bar, Bar - Kilopond je cm²; UmrechnungstabellenDIN 66039 Kilokalorie - Wattstunde, Wattstunde-Kilokalorie; Umrechnungstabellen

Abgeleitete Einheiten

Beispiel: Farad 1 F = 1 C/V 1 C = 1 A s1 V = 1 J/C 1 J = 1 N m 1 N = 1 kg m/s²

Einheiten außerhalb de SI: u.a. Liter, Minute, Stunde, Tonne

Nicht mehr zugelassene Einheiten: u.a. Pond, atm, at, Torr, PS

1.2 Schreibweise von Größen (DIN 1313)

Es gilt:

G = G @ [G] Größe = Zahlenwert @ Einheit

Beispiele:

1. el. Stromstärke von 1,86 Ampere: I = 1,86 A

2. Kraft von 68,5 Newton: F = 68,5 N

(Die kursive Darstellung der Größen kann zur Verdeutlichung angewendet werden.)


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1.3 Gleichungsarten

1.) Größengleichungen

Sie beschreiben die physikalischen Zusammenhänge, gelten unabhängig von Einheiten.

Beispiel: F = m @ aKraft = Masse @ Beschleunigung

L jede Größe wird mit Zahlenwert und Einheit eingesetzt.

2.) Einheitengleichung

Sie beschreiben die Umrechnung der Einheiten.

Beispiel: 1 N = 1 kg @ 1 m/s²[F] = [m] @ [a]

3.) Zugeschnittene Größengleichung

Die einzusetzenden Größen werden durch die zugehörigen oder verlangten Einheiten divi-diert.

Beispiel: F = m @ a N kg m/s²

4.) Zahlenwertgleichungen

Sie gelten nur für bestimmte Einheiten, die angegeben werden müssen.Ohne zusätzliche Angaben sind Zahlenwertgleichungen unbrauchbar.

Beispiel: Blindwiderstand xc = 159 xc in Sf · C f in kHz

C in :F

5.) Dezimale Vielfache und Teile von Einheiten (Vorsätze und Vorsatzzeichen)

101 Deka da 10-1 Dezi d102 Hekto h 10-2 Zenti c103 Kilo k 10-3 Milli m106 Mega M 10-6 Mikro :109 Giga G 10-9 Nano n1012 Tera T 10-12 Piko p

L In der Praxis sollen möglichst 3er-Potenzabstufungen verwendet werden (sog. “wissen-schaftliche“ Schreibweise).

1.4 Grafische Darstellungen, Diagramme

Sie sind besonders wichtig für nichtlineare Funktionen (Kennlinien) nach DIN 461

Beispiel: Diodenkennlinie


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Die Skalenteilung ist linear (mit Null-Punkt) oder logarithmisch (ohne Null-Punkt).

Weitere Möglichkeiten:

Die Einheiten werden als Bruch (z.B. ) oder am Zahlenwert (z.B. 3V) geschrieben.UV

Bildbeschriftung z.B. Durchlasskennlinie Diode 1N4148 möglich.

Wichtig: Unvollständige Diagramme sind bedeutungslos.

2. Grundbegriffe der Elektrizität2.1 Das Wesen der Elektrizität

Elektrische Erscheinungen sind schon seit der Frühgeschichte der Menschheit bekannt.

- Unsichtbares Vorhandensein von el. Ladungen 6 Kräfte (z.B. Anziehen von Haaren)

- Sichtbarer Ausgleich von el. Ladungen 6 Blitzbzw. stille Entladung 6 Elmsfeuer, Nordlicht

Experimentell können Ladungen erzeugt werden, z.B. durch Reiben von Hartgummi, Berns-tein usw.L Beobachtung von anziehenden und abstoßenden KräftenSchlussfolgerung: Es müssen positive und negative Ladungen existieren.Beispiele: klebendes Papierblatt, aufstehende Haare, Staub auf Plexiglas etc.Spontaner Ladungsausgleich ist durch seine Nebenwirkungen wahrnehmbar: Licht (Blitz),Ausdehnung (Donner), Funken (Knistern). Dagegen bleibt der Ladungsausgleich im el.Stromkreis ohne Hilfsmittel verborgen.

4 5 6 UF V

4V 5V 6V U

12345

0,5 1 1,5

IF mA

UF V


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Das Wesen der Elektrizität liegt im Vorhandensein, dem Aufbau und dem Ausgleich vonLadungen.Was ist eine Ladung?Die Atomphysik hat frühzeitig Vorstellungsmodelle entwickelt, welche die Ladung und ihrenTransport (elektrische Strömung) erklären helfen.

Die Ladung

Größe Q = N@e N = Teilchenzahle = Elementarladung

Die Ladung Q besteht aus zählbaren Elementarladungen, deren Träger Bestandteile derAtome oder Moleküle sind (Beweglich oder als Raumladung).

Bestandteile der Atome: Das Bohr'sche Atommodell (1913)

Beispiel: Cu-Atom

Der Kern besteht aus: 29 Protonen 6 pos. Ladungen × Ordnungszahl34 Neutronen 6 ohne el. Ladung

Die Schalen haben 29 Elektronen 6 neg. Ladungen

L Es sind gleichviele pos. und neg. Ladungen vorhanden, d.h. nach außen ist das Cu-Atomelektrisch neutral.

Eigenschaften der Atombestandteile

Elementarteilchen Masse in g Ladung in AsProton 1,67·10-24 +1,6·10-19 +eElektron 9,1 ·10-28 -1,6·10-19 -eNeutron 1,67·10-24 0

L Die Masse des Elektrons ist sehr klein (0,5 Promille des Protons beziehungsweise Neu-trons), dadurch leicht zu beschleunigen (Anwendung: Braun'sche Röhre, Fernsehröhre).

Die äußeren Schalen bestimmen das chemische und physikalische (elektrische) Verhaltender Atome. Äußere Schale L Valenzelektronen, Wertigkeitselektronen (mögliche freie Elektronen)Elemente, die elektrisch interessant sind:

Ordn.- Schalenzahl Element Symbol K L M N O P Bemerkung 13 Aluminium Al 2 8 3 p-Dot./Metall 14 Silizium Si 2 8 4 Halbleiter 15 Phosphor P 2 8 5 n-Dot. 29 Kupfer Cu 2 8 18 1 Metall


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Amm²

31 Gallium Ga 2 8 18 3 p-Dot. 32 Germanium Ge 2 8 18 4 Halbleiter 33 Arsen As 2 8 18 5 n-Dot. 47 Silber Ag 2 8 18 18 1 Metall 79 Gold Au 2 8 18 32 18 1 Metall

Erkenntnisse:

Metalle sind gute elektrische Leiter. (sog. Kupfergruppe: Silber, Gold, Kupfer), erkennbar auch durch 18-1 Anordnung ÷ die 18er Schale bildet mit Nachbaratom Kristall-gitter. Ca. 1023 Elektronen/cm³ (ein Elektron je Atom) sind Leitungselektronen ÷ Ladungsträger mit der Ladung e (freie Elektronen).

Nichtleiter können kaum freie Ladungsträger zur Verfügung stellen z.B. Edelgase, Kunst-stoffe, Glas, reines Wasser. Die Elektronen haben feste Bindungen, vollständige Schalen.Nichtleiter können leitfähig werden, wenn hohe Energien von außen zugeführt werden, z.B. Wärme ÷ Atom-, Molekülschwingungen Strahlung ÷ Elektronenanregung Feldstärke ÷ Feldkräfte reißen Bindungen auf

Halbleiter besitzen im reinsten Zustand fast keine freien Ladungsträger (Eigenleitung) ÷ erhöhte Leitfähigkeit durch Einlagern von Fremdatomen (Dotierung)

höherwertig n-Material niederwertig p-Material (Störstellenleitung)

z.B. Silizium, Germanium, Selen

Ionen Elektronen des neutralen Atom fehlen ÷ positiv geladenes Ion (Kation) zusätzliche Elektronen am neutralen Atom angelagert ÷ negativ geladenes Ion (Anion)

2.2 Elektrischer Strom

Die Größe (Stärke) der elektrischen Strömung ist als elektrische Stromstärke I (oder i) de-finiert.

[I]=A (Ampere)

Der Strom I ist die Ladungsmenge Q, die pro Zeiteinheit den Leiterquerschnitt durchströmt. Vorausgesetzt: Strom zeitlich konstant und gleichmäßig über den Querschnitt verteilt

L Gleichstrom.Sonst muss der Skineffekt beachtet werden (Stromverdrängung).

Stromdichte S A=Leiterquerschnitt

übliche Werte für Kupfer 1... 10 , je nach Wärmeableitung (VDE 0100).

I'Qt

S' IA

[S]' Amm²


13

Q'I@t'1AsQ'N@e N'Anzahl der Elektronen

N'Qe'

1As1,6@10&19As

'6,24@1018 Elektronen

Beispiel:

Wieviele Elektronen bewegen sich in 1 Sekunde durch den Querschnitt eines Leiters, wenn 1 A fließt? Lösung:

Strömungsgeschwindigkeit der Elektronen

Die Strömungs- (Drift) Geschwindigkeit der Elektronen ist gering (.1mm/s).Der Energieimpuls setzt sich aber mit nahezu Lichtgeschwindigkeit (.300·106m/s) fort.1cm³ Cu enthält 0,84·1023 freie Elektronen mit je e=-1,6·10-19As.Dichte ne=0,84·1023 Elek./cm³ (Cu)

Es gilt:

A =Querschnitts =WegS =Stromdichteve =mittlere Strömungsgeschwindigkeitt =Zeit

Beispiel:

Durch einen Cu-Draht mit 1mmi fließt ein Gleichstrom von 10A.a) Wieviele Elektronen fließen je s durch den Querschnitt?b) Wie schnell bewegen sich die Ladungen?c) Wie groß ist die Stromdichte?

a)

b)

c)

Elektronenbeweglichkeit :

: ist ein Maß dafür, wie schnell sich die beweglichen Ladungsträger im Gitterverband bewegen können. : ist eine Materialkonstante.

ve'I

ne@e@A'

10A

0,84@1023 Elek.cm³

@1,6@10&19As @7,85@10&3cm²' 0,095 cm

s

Q'N@e'I@t

6 Nt'

Ie'

10A1,6@10&19As

'6,24@1019 Elek.s

S' IA'

10A0,785mm²

' 12,73 Amm²

ve'S

ne@e

µ've

E

I'Qt

, Q'A@s@ne@e, N'A@s@ne

I'A@s@ne@e

t


14

W12'W1&W2

2.3 Die elektrische Spannung

Zwischen zwei räumlich getrennten Ladungen +Q0 und -Q0 bildet sich ein elektrisches Kraft-feld aus. L Ruhende Ladungen: elektrostatisches Feld. Zwischen den beiden Ladungen und auch auf zwischen Ihnen befindliche Ladungsträgerwirken Kräfte. Ähnlich dem Magnetfeld.Die Hauptkraftrichtung an einem Ort ist durch die Feldstärkelinien (Feldlinien) gegeben.

Kraft auf die Ladung Q in Richtung E: Ist Q positiv: und gleiche Richtung PE PF

Q negativ: : und entgegengesetzte Richtung. PE PF

Wird die Ladung Q im elektrischen Feld vom Punkt 1 zum Punkt 2 bewegt, ist die mecha-nische Arbeit W zu leisten.

oder

(si = kleinste Wegstrecken in Richtung )PF Wenn und in in gleicher Richtung: ÷ Energie wird freigesetztPF Pds

und in entgegengesetzt: ÷ Energie muss aufgewendet werdenPF Pds

= potentielle Energie vor der Bewegung W1

= potentielle Energie nach der Bewegung W2

rE

PFPF

PEPE

PFPF

PEPE

PF'Q@PE

[F]'V@Cm

'N, [Q]'C (Coulomb)

El. Feldstärke PE'PFQ

, [E]' Vm

W12'm2

1

PF Pds W12'jn

i'1Fi @si


15

S=6·E

Das Potential ist n bzw. (Energie bezogen auf die Ladung)

Das elektrische Potential definiert die örtliche Verteilung des Niveaus der pot. Energie imnel. Feld

Der Potentialunterschied heißt elektrische Spannung .n1& n2 U12

Der Index gibt den Bezugspunkt an:

Definition nach DIN 5489:Die Spannung entlang einem Weg von Pkt.1 nach Pkt.2 wird positiv gerechnet, wennU12das Potential im Pkt.1 größer als im Pkt.2 ist.

Einheiten [Energie]= Joule (J), 1J = 1Ws

Beispiel:

Vorhandene Ladung Q=-1As

im Punkt 1: W1=1J

Potential

im Punkt 2: W2=2J

÷

Stromdichte I = ne·e·ve·A : = ElektronenbeweglichkeitS' IA

mit ve=µ·E 6 = spezifische Leitfähigkeit(Proportionalitätsfaktor)

I = ne·e·µ·E·AS= ne·e·µ·E6=ne·e·µ

Die Stromdichte S ist der Feldstärke E proportional.Die Stromstärke I ist der Spannung U proportional.

n1'W1

Q'

1J&1As

'&1 V@A@sAs

'&1V

n2'&2V

W12'W1&W2'1J&2J'&1J

U12'n1&n2'W12

Q'

&1J&1As

'1V

Spannung'EnergieLadung

U12'n1&n2'&U21

U12'W12

Q'n1& n2

[U]'1V' 1Ws1C

'1Ws1As

'1W1A

n1'W1

Qn2'

W2

Q


16

Wo tritt eine Feldstärke bzw. Spannung auf, d.h. Kraftwirkung eines el. Feldes?

1.) Ladungserzeugung durch Kräfte bzw. Energiezufuhr wie Magnetfelder, Strahlung, chemische Wirkung, mechanische Reibung Spannungserzeugung einer sog. EMK (Elektromotorische Kraft, Urspannung U0)

Beispiele: Wärme: Seebeck-EffektMagnetfeld: DynamoStrahlung: SolarzelleChemische Wirkung: Primär-ElementMechanische Reibung: Band-GeneratorMechanische Spannung: Piezo-Effekt

2.) Durch gebremsten (Stau) Ladungsträgerfluss in Leitern (Widerstände etc.)

2.4 Elektrischer Widerstand, Leitwert, Ohm‘sches Gesetz

Wird an einen gleichförmigen Leiter eine Spannung angelegt, so werden infolge der Feld-stärke die freien Ladungsträger bewegt (Strom I). ÷ Die Stromstärke I steigt mit der Feldstärke E, der spezifischen Leitfähigkeit i und dem

Leiterquerschnitt A.

Kehrwert des spezifischen Leitfähigkeit 6 ist der spezifische Widerstand D.

Der Kehrwert von G ist der elektrische Widerstand R.

Ohm‘sches Gesetz

Einheiten

Ohm‘scher Widerstand von Leitern

Einheit S

I'κ@A@ 1R@U κ@A@ 1

R'G' Proportionalitätsfaktor ' Leitwert

I'G@U

R'1G

I' 1R

U U'R@I

[G]'AV'S (Siemens) [R]'V

A'Ω (Ohm)

[ρ]'VAmm'

Ω mm²m

[κ]'S@ mmm²

R'ρ@ RA


17

Rh2'Rh1(1%α1[h2&h1]%β1[h2&h1]2%γ[h2&h1]

3...)

R RA

' = = ⋅l

ρ201

Voraussetzung: A über R konstant,Gleichstrom (Skineffekt bei Wechselstrom!)

6 und D sind temperaturabhängige Materialkonstanten.

6 und D für verschiedene Leitermaterialien bei Raumtemperatur:

Material D20 / 620 / Ω mm²m

S@ mmm²

Aluminium 0,029 34,48

Kupfer 0,0178 56,18

Silber 0,016 62,5

Gold 0,022 45,45

Konstantan 0,5 2

Kohle .100 .0,01

Wolfram 0,055 18,18

Beispiel: Widerstand von Leitern

Widerstand von Leitungen aus Cu und Al.

Welchen Widerstand haben 1m-lange Leitungsabschnitte mit Querschnitten A=0,75, 1,5,2,5, 4 mm² bei h=20°C ?

L auf 1m bezogen: Widerstandsbelag R'

A/mm²

0,75 1,5 2,5 4

Belag Cu R' 0,024 0,012 0,0071 0,0045 S/m

Belag Al R' 0,039 0,019 0,012 0,0073 S/m

100m Cu R 2,4 1,2 0,71 0,45 S

100m Al R 3,9 1,9 1,2 0,73 S

2.5 Temperaturabhängigkeit des Widerstandes von Leitern

Der Widerstand von Leitermaterialien ändert sich mit der Temperatur z.B. nimmt er zu beiMetallen. Die Widerstandsänderung ist nichtlinear und die wahre Kennlinie kann durch ein Polynomangenähert werden.


18

Bis h2 =100 °C wird im allg. nur mit "1 gerechnet.

"1 und $1 gelten nur bezogen auf h1 (z.B. 20°C)

÷ "1 ("20) linearer Temperaturkoeffizient TK Einheit: 1K

÷ $1 quadratischer TK Einheit: 1K 2

Also gilt vereinfacht bis h2=100°C: Rh2 . R20 (1+"20 [h2-h1])

ªh

Rh2 . R20 +"20 R20 ªh

ªR

Rh2 . R20 +"20 R20 ªh ÷ TKα20'ªR

ªh@R20


19

α20 in 1/ K

Beispiele:

1) Temperaturstabile Widerstände (Messwiderstände) haben folgende Angabe desTemperaturkoeffizienten:

TK=50 ppm (z.B.) heißt: α'50@10&6 1K

2) Temperaturmesswiderstand PT100Platinwiderstand mit R=100Ω bei der Temperatur h=0°C.

Koeffizienten: α'3,908@10&3 1K

Nach DIN 43760β'&0,5802@10&6 1K 2

Wie groß ist der Widerstand bei h2=100°C?

R100'100Ω [1%3,908@10&3 1K

100K & 0,5802@10&6 1K 2

(100K)2]

R100'138,5Ω

Beispiele für TK von Leitern/ Widerstandsmaterialien

Material Temperaturbereich

Al 3,77 @ 10-3 -40°C ... 100°C

Cu 3,93 @ 10-3 "

Fe 6,6 @ 10-3 "

Kohle (Widerstand) -1000 @ 10-6 "

Metallfilm " ± 50 @ 10-6 "

Konstantan - 3 @ 10-6 "

Wolfram 4,1 @ 10-3 -40°C ... 2200°C

Platin 3,908 @ 10-3 ("0) -40°C ... 100°C

Berechnung temperaturabhängiger Widerstände

Anwendung: Ermittlung (indirekte Messung) der mittleren Wicklungstemperatur von elektri-schen Maschinen.

Rk Widerstand kalt (vor Erwärmung) hk

Rw Widerstand warm hw = h2

dann gilt: Rh2 = R20 [1 + "20 (h2 - 20°C)]


20

RR

R CR C

CC

w

k

w

k

w

k

M w

M k=

+ − °+ − °

=− ° +− ° +

=++

20 20

20 20

20

20

1 201 20

1 201 20

[ ( )][ ( )]

//

α ϑα ϑ

α ϑα ϑ

ϑ ϑϑ ϑ

ϑαM C= − °1

2020

Materialkenntemperatur

hM = 235°C KupferhM = 245°C Aluminium

2.6 Stark temperaturabhängige Widerstände

1) Heißleiter, NTC-Widerstände

Der Widerstand nimmt bei Erwärmung nichtlinear ab.

Symbol Schaltzeichen nach DIN 40712

Erwärmung infolge Fremderwärmung oder Eigenerwärmung

Fremderwärmung: für Messzwecke, Kompensation S Messheißleiter: Erfassung der Umgebungstemperatur oder eines anderen

Mediums, dabei muss die Eigenerwärmung vernachlässigbar sein.S Kompensationsheißleiter: Kompensation des positiven TK von Metall(film)-

widerständenEigenerwärmung: bei anliegender Spannung

S Anlassheißleiter (Heizfäden, Motoren, Relais etc.)S Regelheißleiter (Spannungsstabilisierung)

wichtig: NTC darf nicht an einer konstanten Spannung, sondern nur über einen Vor-

widerstand betrieben werden, sonst Selbstzerstörungsgefahr!

Selbstzerstörung! 6 zunehmende Verlustleistung führt zur Widerstandsabnahme: dadurch

weitere Zunahme der Verlustleistung

Herstellung: gesinterte Metalloxide (Magnesium, Titan u.a.) ÷ polykristalline Struktur mit Halbleitereigenschaft, keine Sperrschichten,

Eigenleitung ÷ billig, robust, polaritätsunabhängig, Anwendung z.B. in Kfz.


21

α NTC

BT

=−

2

α NTC

KK K

K=−

= − ⋅ = −−4000300

4 4 101

4 4%2 22, $ , /

Kennlinien:

Stationäre Stromspannungskennlinie

Abhängigkeit des Heißleiterwiderstandes von derTemperatur

Temperaturverhalten von Heißleitern

Der Widerstandswert von Heißleitern ändert sich ungefähr exponentiell mit der Temperatur.Mathematisch lässt sich der Widerstandswert als Funktion der Heißleitertemperatur nähe-rungsweise berechnen:

RT1 =Widerstandswert für gegebene TemperaturRT0=Widerstandsnennwert bei Bezugstemperature =2,718...B =Materialkonstante 2000...6000K

(Mischungsverhalten der Oxide)T1 =gegebene Temperatur in KT0 =Bezugstemperatur in K

Der TK "NTC ändert sich stark, daher nur für einen kleinen Temperaturbereich ªT sinnvoll.

für B=4000K und T0=27°C = 300K:

RT1'RT0

@eB( 1

T1&

1T0

)


22

Widerstandsverlauf von PTC-Widerständen

2) Kaltleiter, PTC-Widerstände

Der Widerstand nimmt mit der Erwärmung zu.

Symbol

In bestimmten Temperaturbereichen steigt der Widerstandswert sprungförmig an.Die mathematische Beschreibung des Widerstands-verlaufs ist kompliziert und nur in kleinen Bereich hinreichend genau möglich.

Technologie: gesinterte Oxide (Titanat-Keramik )Wirkung: Halbleitung und Ferroelektrizität bei Curietemperatur bilden sich Sperrschichten aus: hochohmiger (Halbleitung) Wechselstromverhalten: R ist frequenzabhängig

Anwendungen: Steuer-, Regel- und Überwachungsaufga-ben, unerwünscht bei Glühlampen, ca. 3...10facher Überstrom beim Einschalten wegen großem Temperaturbereich. Bei technischen PTC-Widerständen sehr starke Widerstandsänderung.

1.) Messtechnik

S Strömungswächter als Sensoren. Pv wird abgeleitet, dadurch h kleiner als hSprung.Anwendung: Niveau-Überwachung in Tanks

2.) Strombegrenzung

S Überlastschutz von elektrischen Maschinen, Isolierstoffe werden geschützt PTC wird in die Cu-Wicklungen eingewickelt.

S Regelung, Begrenzung der Kühlwassertemperatur von Motoren (PKW) Ersatz: Thermostat ÷ Lüfter-Motor wird eingeschaltet.

S Stabilisierung kleiner Ströme S Entmagnetisierung von Lochmasken der Farbbildröhre hoher Anlaufstrom, danach klei-

ner Reststrom S selbstregelnde Heizelemente

2.7 Nichtlineare Widerstände

Widerstände mit linearem Verlauf der Strom/Spannung-Kennlinie heißen: lineare Ohm'sche Widerstände. ÷ Der Widerstand R wie auch der spezifische Widerstand sind unabhängig von Strom

und Spannung. Voraussetzung: Konstante Temperatur.

Ein Widerstand mit TK = 0 bleibt auch bei Erwärmung linear. Bei Widerständen mit TK =/ 0 ergibt sich ein nichtlinearer Zusammenhang. ÷ indirekte Nichtlinearität.


23

I K U U C I= ⋅ = ⋅α β (1) oder (2)

Echte nichtlineare Widerstände sind auch ohne Temperaturänderung nichtlinear. In be-stimmten Grenzen von I und U folgt die Kennlinie U,I dieser Widerstände in der Regel einemeinfachen Exponentialgesetz.

[K]=S; [C]=S

1: lin. symmetrischer Widerstand 6 Ohm‘scher Widerstand

2: lin. unsymm. Widerstand 6 Ohm‘scher Widerstand mit idealerDiode (Präzisionsgleichrichter)

3: nichtlin. symmetrischer Widerst. 6 VDR-Widerstand,2 Dioden antiparallel

4: nichtlin. unsymm. Widerst. 6 Diode, Z-Diode, Gleichrichter

linear: ProportionalitätskonstanteUI'R'

nichtlinear: R=f(U, I) ÷ keine Konstante

Nichtlineare Widerstände spezieller Art:

Dioden in Durchlassrichtung

unsymmetrische Kennlinie

Die mathematische Beschreibung ist bei Dioden anders als bei anderen nichtlinearen Wider-ständen:

IS = SättigungsstromIF'IS (e

UF

m@UT&1)UT= Temperaturspannung

÷ e-Funktion m = Korrekturwert 1...2

Eine andere Darstellung der e-Funktion ist mit einer Reihenentwicklung möglich:

linearer quadrat. Anteil klein,Teil Teil vernachlässigbar

÷ Es entsteht ein zusammengesetzter Widerstand aus linearen und nichtlinearen Anteilen.

VDR-Widerstände (Varistoren)

Voltage Dependent Resistance

IF'IS(UF

m@UT

%12

[UF

m@UT

]2 %16

[UF

m@UT

]3 % ...)


24

Ersatzschaltbild:symmetrische Kennlinie

Näherung: Durchlassspannung U=n·UF, da polykristalline StrukturMaterial: Silizium-Karbid SiC

Zinkoxid ZnO (SIOV, Handelsname)

Die typischen VDR-Widerstände haben folgende Werte: C.15...104

$.0,03...0,35

Anwendung: - Überspannungsbegrenzer (Telefon, Blitzschutz, Messtechnik)- Kontaktschutz (Funkenlöschung bei induktiven Lasten)- Fernsehschaltungstechnik (Wechselspannungsstabilisierung)

3. Berechnung von Gleichstromkreisen 3.1 Vorzeichen- und Richtungsregeln

(nach DIN 5489)

Willkürliche, teils historische Festlegungen (Konventionen). Erleichterung der Berechnung von Stromkreisen a) konventionelles positives System. 1) Der Zahlenwert des Stromes wird positiv gerechnet. L positive Ladungsträger bewegen sich beim Ladungsausgleich in Richtung des Stromp-feiles (von + nach -).

2) Der Zahlenwert der Spannung (Potentialunterschied) zwischen zwei Punkten (Klem-men) eines Stromkreises wird positiv gerechnet, wenn die Pfeilrichtung zum Punkt mitniedrigem Potential zeigt (-).

3) Bezugssystem Bei komplizierten Netzwerken mit vielen Grundbestandteilen (R's, Quellen) kann keineverbindliche Richtungsangabe gemacht werden.

1) Festlegung eines vorläufigen Bezugssystems. (Danach kann bei negativen Zahlen-ergebnissen die Pfeilrichtung geändert werden).

wichtig

An Verbrauchern (passive Zweipole) haben Strom und Spannung immer die gleichePfeilrichtung.

Verbraucher-Pfeilsystem


25

Daraus resultiert: Bei einer Quelle, die Leistung abgibt sind Strom und Spannung entgegen gesetzt ge-richtet.

Erzeuger- Verbraucher- willkürlich selbst festgelegtesPfeilsystem Pfeilsystem System ÷ Bezugssystem

U und I entgegen U und I gleich

Doppelpfeile haben keine Aussage (vermeiden).

3.2 Einfache nichtverzweigte Stromkreise

Bestandteile eines einfachen Stromkreises sind:

1. Elektrische Quelle: erzeugt getrennte Ladungen 2. Ladungsträger-Leitung: verlustarmer Ladungstransportweg 3. Elektrische Senke: Umformer in andere Energieformen (Verbraucher, Last)

Andere Aufteilung: aktiver Zweipol-Vierpol-passiver Zweipol

Quellen Spannungsquelle:

Schaltbild ideale realeSpannungsquelle Ri=0 Spannungsquelle Ri>0

ideal: U1 = konstant, unabhängig von I Y Ri 60 schwer realisierbar (mit Regler abschnittsweise möglich)

real: U. konstant (“eingeprägte“ Spannung) Y Ri <<Konstantspannungsquelle

I'U0

Ri%RY U1'0 I'IK'

U0

RI

Kurzschlussstrom


26

Y U1'U0&U0@Ri

Ri%R'U0 ( R

Ri%R)

U1'U2 (ideale Leitung)

R = ∞ , U = U , I = 01 0Leerlauf

Kurzschluss

Beispiel: An einer Batterie wird im Leerlauf eine Klemmenspannung von 62 V gemessen. Der Innenwiderstand beträgt 0,2S Welcher Strom fließt bei einem Lastwiderstand von 6S?

Leerlauf

Beispiel: Eine Spannungsquelle mit einer Quellenspannung U0 = 24 V hat einen Innenwiderstand vonR=3S. Es wird ein Lastwiderstand R=10S angeschlossen. Bestimme rechnerisch und gra-fisch die Klemmenspannung und die Stromstärke.

Grafisch: I=1,8AU=18,5V

Rechnerisch:

U0'Ul , I'U0

Ri%R'

62V0,2Ω%6Ω

'10A

IK'U0

Ri

'24V3Ω

'8A

I'U0

Ri%R'

24V3Ω%10Ω

'1,85A

U0'Ui%U1 , U1'U0&Ui'U0&I@Ri

R'0

U'U0R

Ri%R'24V 10Ω

3Ω%10Ω'18,5V


27

Ri'Ul

Ik'

U0

IK

U0'I2@Ri % I2@R2

Ermittlung des Innenwiderstandes Ri einer Spannungsquelle

1) Aus Leerlaufspannung Ul und Kurzschlussstrom IK

(L nicht immer möglich!)

2) Belastung der Quelle nacheinander mit zwei unterschiedlichen Widerständen R1 und R2

Es gilt:

Gleichsetzen ergibt:

Stromquelle Schaltbild

I=konstant

Idealfall Gi 6 0 (Rp 6 4)

Real:I. konstant (“eingeprägter Strom“ )Konstantstromquelle Y klein Gi

U0'I1@Ri % I1@R1

I1@Ri%I1@R1'I2@Ri%I2@R2

I1@Ri&I2@Ri'I2@R2&I1@R1

Ri (I1&I2)'U2&U1

Ri 'ªUªI

Ri 'U2&U1

I1&I2


28

RLtg « Ri

W'U0@I@t'U1@I@t % U2@I@t % U3@I@t %...% UN@I@t

Eigenschaft der Leitung (Hin + Rückleitung )

1) Verlustlose Leitung ÷ Supraleiter 2) Verlustarme Leitung

S bei großen Leistungen nur mit Hochspannung möglich S R so kurz wie möglich,S ρ so klein wie möglich (Kupfer, Aluminium), S A so groß wie möglich.

Eigenschaften der Senke

1) Ohm'scher Verbraucher (linear, nichtlinearer)

2) Energieumformer(E-Motoren, Magnete etc.)

3) Aufladung von Quellen (Akkumulator)

Elektrolyse (chemische Wirkung)

Reihenschaltung linearer Widerstände (Serie, Hintereinander)

Ein realer einfacher Stromkreis besteht bereits aus der Reihenschaltung von Innen-,Leitungs-und Außenwiderstand und einer Spannungsquelle. ÷ Reihenschaltung von n Widerständen

Die Leitungswiderstände RLtg sind in Regel sehr klein.

Ersatzschaltbild mit diskreten Elementen allgemeines Schaltbild

Energie geht nicht verloren: (Energieerhaltungsatz)

÷ Die vom Generator (Quelle) aufgebrachte Energie W= U· I · t muss in den Verbrau-cherwiderständen in Wärme umgesetzten Energie gleich sein.

Wel. 6 Wmech.%Wther.

Wel. 6 Wther.


29

nE ds'0

U0'12V R1'10kΩ R2'2kΩ Ua'?

Un'I@Rn

U4

U0

'U4

j4

1Un

'I@R4

I@j4

1Rn

'R4

j4

1Rn

Ua'R2

R1%R2

@U0'2kΩ

10kΩ%2kΩ@12V'2V

UU

I RI R

RR

1

2

1

2

1

2=

⋅⋅

=

U

U

R

R

RR R

U RR R

U

n n

a2

1

22

1

22

1 22

2

1 20

∑ ∑= =

+⇒ = =

+ U

UR

R RUa =

+⋅2

1 20

oder

Umlaufintegral

2) 2. Kirchhoff'sches Gesetz (Physiker 1824-87)

Mit dem Ohm'schen Gesetz für lineare Widerstände

wird

L Der Gesamtwiderstand ist gleich der Summe der Teilwiderstände

Spannungsteiler-Regel (unbelasteter Spannungsteiler)

oder z.B. bei 4 R‘s

Erkenntnis:

Die Spannungabfälle (Potentialunterschiede) verhalten sich wie die Widerstandwerte.

Rechenbeispiel

U0'I(R1%R2%R3%...%Rn)'I@Rges

Rges

Rges'jn

1Rn'R1%R2%R3%...%Rn

U0'I@R1%I@R2%I@R3%...%I@Rn

U0'U1%U2%U3%...%UN'jn

e'1Ue j

n

e'0Ue'0


30

N'Ri²%2RiRL%RL² Z'U0²@RL

dPL

dRL

'U0²(Ri²%2RiRL%RL²)&(0%2Ri%2RL)@U0²RL

N²'0

P'U@I R2'RL

dPL

dRL

'0 6RLoptimal

⇒ =−

++

=+

PL

i

i L

i L

L

i L

U RR R

R RU R

R R

02

02

2

1( )

( )I

UR RL

i L=

+0

dZN

dRZ N N Z

NL

( ) | |

=⋅ − ⋅

2

Grafische Darstellung eines Spannungsteilers mit variabel R2

Für eine Spannungs- bzw. Stromquelle mit Last gibt es 3 wichtige Betriebsarten

1.) Spannungsanpassung UL . U0 wenn RL » Ri

2.) Stromanpassung IL . I0 wenn RL « Ri

3.) Leistungsanpassung =Maximum PL

Leistungsanpassung

PL'UL@IL'(U0&IL@Ri)IL

mit

PL 'max?

Bestimmung durch Differenzieren:

PL'U0²RL

(Ri%RL)²'U0²

RL

Ri²%2RiRL%RL²

Maximum von kann berechnet werden, wenn die 1. Ableitung Null gesetzt wird:PL

Ableitung von mit Hilfe der Quotientenregel.PL


31

P U IPU

UR U

UR

I

U PI

UR

RU

U

ges Lges

i iK

LL

L i

i

= ⋅ → = =⋅

= =

= = ⋅ =

00

02

0

0

02

0

0

2 212

42

2

IL

P U I P P UR

UR

URi i L ges L

i i i= ⋅ = − = − =0

20

20

2

2 4 4

PLmax'U0²RL

(Ri%RL)²'

U0²4@Ri

P U I I UR Rges L L

i L= ⋅ = =

+00 mit I

⇒ =+

= = P gesi L i

i LU

R RU

Rmit R R0

20

2

2( )

Es genügt wenn der Zähler gleich Null gesetzt wird

U0²(Ri²%2RiRL%RL²)&(2Ri%2RL)@U0²RL'0

(Ri²%2RiRL%RL²)&2RiRL&2RL²'0

Ri²&RL²'0

Ri'RL

Verhältnisse bei Leistungsanpassung: Ri'RL

Es gilt also: PLmax'Pimax

Spannung UL und Strom IL bei Ri = RL

Also: Am Ausgang halbe Leerlauf-spannung und halber Kurzschlussstrom bei Leistungsanpassung

Leistung und Wirkungsgrad bei den Leistungsanpassung (Ri = RL)

PP

UR

RU

PP

Lmax

ges i

i

L

ges

= ⋅ =

⋅ = ⋅ =

02

024

2 12

100% 12

100% 50%

= 50%

=

$

η

Bei Ri = RL wird die max. Leistung übertragen bei einem Wirkungsgrad von 50%.Diese Leistungsanpassung ist wichtig in der Nachrichtentechnik.Beispiel: Verstärkeranpassung an Lautsprecher

Dagegen ist in der Energietechnik der maximale Übertragungswirkungsgrad interessant.Dabei liegt Spannungsanpassung vor, dabei gilt: RL >> Ri

η

η

=+R

R Rüblich

L

i L

: > 95%


32

U U U U U U1 01 4 3 2 02 0− + + + + =

→ =−

=−

+ + +=

−= − = −

I

U UR

V V V A mA

ges

01 02

6 94 12 50 20

386

0 0349 34 9Ω Ω Ω Ω Ω

, ,

U U U U U UI Rges

01 02 1 2 3 4− = + + +

= ⋅

UR

UR

UR

UR

UR

UR R R Rges n n

= + + + + = ⋅ + + + +1 2 3 1 2 3

1 1 1 1... ( ... )

Beispiele zum 2. Kirchhoff'schen Satz

Berechnung mit dem Maschensatz

Vorgehen: 1) Alle Spannungspfeile eintragen (Stromrichtung gegebenenfalls beliebigfestlegen, aber einhalten).

2) Willkürlich einen Umlaufsinn festlegen und an einer beliebigen Stelle mitdem Maschenumlauf beginnen.

Zahlenbeispiel:

U01 = 6V U02 = 9V R1 = 4 SR2 = 12 SR3 = 50 SR4 = 20 S

3.3 Der verzweigte elektrische Stromkreis

Arbeit W U I t U I t U I t U I t U I tges n= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅1 2 3 ...

Knotenregel, 1. Kirchhoff‘sches Gesetz→ = + + + + Iges nI I I I1 2 3 ...→ ∑ = I 0

Mit dem Ohm‘schen Gesetz:


33

R k kk k

k2200 500500 200

333 3=⋅−

=Ω ΩΩ Ω

Ω,

II

RR

GGges

ges

ges

1

1

1= =

Ströme verhalten sich umgekehrt proportional zu denWiderständen und direkt proportional zu den Leitwerten.

R R RR R

R R R R RR R R R R RR R R R R RR R R R R

RR RR R

ges

ges

ges ges

ges ges

ges ges

ges

ges

=⋅+

+ = ⋅

+ = ⋅

− = −

− = −

=⋅

−

1 2

1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

2 1 2 1

2 1 1

21

1

( )

( )

÷1 1 1 1 1

1 2 3R R R R Rges n= + + + +...

oder Gesamtleitwert = EEinzelleitwerteG G G G Gges n= + + + +1 2 3 ...

Allg. Aussage: Rges ist immer kleiner als der kleinste Einzelwiderstand

Parallelschaltung von 2 Widerständen:Praxisformel

R

R R

R RR Rges =

+=

⋅+

11 11 2

1 2

1 2

Beispiele

1. Parallelschaltung von 4 Widerständen 500S ||1,3kS || 22kS ||100kSGesucht: Rges

R

k k k

ges =+ + +

=1

1500

113

122

1100

354 02

Ω Ω Ω Ω

Ω

,

,

2. R1 = 500kS Rges = 200kSR2 = ?

Stromteiler-Regel (analog zum Spannungsteiler)Annahme: U = konstant

U I R I R I Rges ges= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅1 1 2 2

II

RR

GG

1

2

2

1

1

2= =


34

→ = −+

=+

= = =+

I

U

Li

i L

L

i L

L LL i L

I GG G

I GG G

U IG

IG G

0 0

0

1

1 1

( )

I IGL

il l= =0 0, UL I ULl l= =0 0, UL

I ILK = =0 0, ULK I URLK

i= =0 0, ULK

P P IGL i

i= = 0

2

4 R R P URL i L i

i= = =, P 0

2

4

G IL L>> G Ii ⇒ ≈ 0

R UL L>> R Ui ⇒ ≈ 0

∑ == = =

= − = − ⋅

⋅ = =+

II I II I I I U G

R IG

IG G

i L

L i i

gesges

oi L

00

1 1

0

0 0

0

|

U = I0

GR

UR

RG

IGi

i ii

i i= = = =

1 1 10

00 0 ; I ; U

Die Ersatzstromquelle

Ersatzstromquelle = Konstantstromquelle + Gi ÷ eingeprägter Strom

Umrechnung Ersatzstromquelle ] Ersatzspannungsquelle

Zusammenstellung

Ersatzstromquelle Ersatzspannungsquelle

Leerlauf GL = 0

Kurzschluss GL 6 4

Leistungs- anpassung GL =Gi

Spannungs-anpassung

Strom-anpassung

------------------

------------------

GRL

L=

1


35

D

U

I R R+D

I4

I3

I2

I1

RB2

U

I

R||D D

Reihenschaltung von linearem und nichtlinearem Widerstand

Beispiel: Widerstand und Diode in DurchlassrichtungGesucht: Gesamtwiderstand

Lösung: Rechnerisch oder GrafischDie rechnerische Lösung ist schwierig, da dieexakte Diodenkennlinie nur mit großen Aufwandzu ermitteln ist. Üblich ist die empirisch ermittel-te, typische Kennlinie, die grafisch in Datenblät-tern angegeben wird.÷ Daher ist die grafische Lösung zweckmäßig.

Lösungsprinzip:

Addition der Teilspannungen bei konstantemStrom: ÷ ergibt jeweils einen Punkt auf der re-sultierenden Gesamtkennlinie (R+D).

Parallelschaltung von linearem und nichtlinearem Widerstand

Beispiel: Transistoreingang (Basis) mit parallelem Basis-Teilerwiderstand

Gesucht: ÷ Lösung wieder grafisch, da zweckmäßigerR R rges B BE= 2

Lösungsprinzip:

Die Teilströme bei jeweils konstanterSpannung werden addiert:÷ Summe ergibt einen Punkt auf derneuen, gemeinsamen Widerstandskenn-linie (R||D).


36

UU

k k ULL

ll

110 1= = → = ⋅... U

U f U R RL L= ( , , )1

U

kRR

kUL

L

=+ −

⋅1

1 11

( )

Gemischte Stromkreise(Anwendung von Maschen- und Knotenregel)

In einem gemischten Stromkreis kommen Reihen- und Parallelschaltungen von aktiven undpassiven Zweipolen vor.

Der belastete Spannungsteiler (Potentiometer)

def.

Gesucht:

Berechnung mit Parallelschaltung und Spannungsteilerregel

1. Parallelschaltung Reihe

R R k RR k Rp

L

L=

⋅ ⋅+ ⋅

R k RR = − ⋅( )1

2. Spannungsteilerregel

UU

RR R

R k R

R k RR k RR k R

k R

L P

P R

L

LL

L

1 1=

+=

⋅ ⋅

+ ⋅ ⋅⋅ ⋅+ ⋅

+ − ⋅

( ) ( )

[ ]UU

R k R R k RR k R R k R R k R k R

R k RR k R R R k R k

R k R

R k Rk

RR

k

kkk

RR

kk

RR

k

L L L

L L L

L

L L

L

LL

L L

1 1

1

1 1 1

1

1 1 1

11 1

=⋅ ⋅ ⋅ + ⋅

+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ − ⋅

=⋅ ⋅

⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ −

=⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ + +

−

=+ − + −

=+ −

( )( ) ( )( )

( ²)( )

( )

( ) ( )


37

k 0.00010.001, 1.. i 1 4..ri

0110100

a k r,( )1

1k

r 1 k( ).

a k ri,

k0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

R UIL

=⋅

1

5 10...

UU

fL

1= (k) Parameter R

RL

UU

L

1

Grafische Darstellung des Ergebnisses

Wertetabelle

k

RRL

0 0,1 1 10 4

0 0 0 0 0 0

0,2 0,2 0,2 0,17 0,08 0

0,4 0,4 0,39 0,32 0,12 0

0,8 0,8 0,79 0,7 0,31 0

1 1 1 1 1 0 8 8RL=4 RL=0Leerlauf Kurzschluss (mit Mathcad)

Potentiometer: Einstellbare Spannungsteiler

S weites Anwendungsgebiet in Mess-, Regel- und SteuertechnikS feinstufige Einstellung der Ausgangsspannung UL

Vorteile: Einfaches Prinzip, kostengünstigNachteile: Bei Belastung Verluste im Potentiometer verbunden mit nichtlinearem Ver-

halten

Praktische Auslegung: R << RL für akzeptable LinearitätÜblich wird der Querstrom Iq = 5...10 IL gewählt, damit ergibt sichfür R:

Wichtig: Bei ist das Potentiometer durch Überlastung am Schleiferanfang bzw. RRL

≈ 1 Schleiferende gefährdet.

Beispiel

Ein Drahtpotentiometer von R=5kS ist für Pmax=5W ausgelegt.Bei welchem min. Lastwiderstand RL am Abgriff ist das Poti gefährdet? U1=100V


38

33mA

431, Ω

( )U I R I RR

U R

I R UI

U RI R U

V kmA k V

kL

1 1 1

1

11

1

1

1 1

100 5316 5 100

8 62

= =⋅+

→ =⋅

−

=⋅

⋅ −=

⋅⋅ −

=

R RR

R

LL

L

ΩΩ

Ω,

,

66mA

4,57V

75,76Ω

−0 43, V

70,71Ω

Lösung:

Imax des Potis bestimmen P I R Wk

mA= ⋅ → = =² , I = PR

55

316Ω

÷ 31,6mA dürfen an allen Stellen des Widerstandsdrahtes des Potis fließen.

( ) ( )[ ]U I k R R k1 1 1= − + ⋅ RL

÷ Größte Gefahr am Widerstandsanfang: Zur Vereinfachung wird k=1 gesetzt.

BeispielSpannungsteiler für U1=12V, UL=5V, RL=150SDer Querstrom soll Iq=2IL und Iq=8IL betragen.

Gesucht: R1 und R2 für beide Fälle und die Lastspannungsänderung ªUL, wenn RL auf100S abfällt.

8IL 2IL

I UR

V mALL

L= = =

5150

33Ω

I I mA mAq L= ⋅ = ⋅ =8 8 33 264

R UI

VmA

L

q2

5264

18 9= = = , Ω

R U UI I

V VmA mA

L

q L1

1 12 5264 33

23 6=−+

=−+

= , Ω

Lastspannungsänderung für RL=100S:

8IL 2IL

R R RR RP

L

L' ,

,,=

⋅+

=⋅+

=2

2

18 9 10018 9 100

15 9Ω ΩΩ Ω

Ω

U U RR R

V VLP

P' '

',

, ,,=

+=

+=1

112 15 9

23 6 15 94 83Ω

Ω Ω

∆U U U V V VL L L= − = − = −' , ,4 83 5 017

Berechnung einer ErsatzspannungsquelleAnwendung von Kirchhoff I und II ÷ GI=0, GU=0


39

− = − + +U U UR

R I RLL

L02

1 1

U RR

U I RL L1 1

20 1+

= −

U UR

R RI

R RR R

U R

L L

L L i

=+

−⋅+

↓ ↓= − ⋅

02

1 2

1 2

1 2

01

U I

U U I RL L i= − ⋅01

Innenwiderstand eines Spannungsteilers

Eingangsspannung + Teiler = Grundstromkreis mitErsatzspannungsquelle

Beispiel:

Gegeben: U0, R1, R2, RLGesucht: UL=f(IL, U0)

Ansatz mit Kirchhoff

M1: U0 - U1 - UL = 0M2: U2 - UL = 0 ÷ UL = U2K1: I1 - I2 - IL = 0 ÷ I1 = I2 + IL

Ohmsches Gesetz: U1 = I1 @R1

einsetzen in M1 ergibt:I I I UR

ILL

L1 22

= + = + U UR

I R ULL L0

21 0− +

− =

Koeffizientenvergleich

Ergebnis: U01 = Ausgangsspannung des unbelasteten Teilers (IL = 0)R R Ri = 1 2

Probe: R UI

UI

RR R

U RU

R RR R

R Rik

L

Lk= = =

+⋅ =

⋅+

=01 2

1 20

1

0

2 1

1 21 2

l U U RR R

UL012

1 20= =

+l


40

UU

L

0

RR

i

RR

i

UU

L

0

1

0,8

0,6

0,4

0,2

10,80,60,4 0,50,2

0,2

0,1

0,250,3

0,4

0,5

k

R R RR R

Rges =⋅+

+1 2

1 23

R k R k Rk R k R

R k R k R

k R kk

k Rk kk

k R k

i

i

=− ⋅ ⋅− + ⋅

=− ⋅ ⋅

⋅−

+

=−

− += − ⋅

( )( )( ) ( ) ( )

111

1 1

11

1

Beispiel:Bestimmung der Funktion des unbelasteten Potentiometers mit grafischer Dar-R

Rf ki = ( )

stellung.

R R RR Ri =

⋅+

1 2

1 2

R k RR k R

1

2

1= −= ⋅

( )

÷RR

k k k ki = − = −( ) ²1

Wertetabelle

k 0 0,2 0,4 0,5 0,6 0,8 1

RR

i0 0,16 0,24 0,25 0,24 0,16 0

Berechnung gemischter Widerstandschaltungen

÷ Kombination von Reihen- und Parallelschaltungen

Beispiele1.


41

U VRRRRRGesucht I

===

=

=

=

2201200700100300150

1

2

3

4

5

ΩΩ

Ω

Ω

Ω

5

RRR

1

2

3

102015

===

ΩΩΩ

R R R RR R R

Rges =+ ⋅+ +

+( )1 2 3

1 2 34

R R R R R RR R R

UR

mA

II

R R RR R

R R RR R R R R

I I RR R R

mA

I mA

ges

ges

= + ++ ⋅+ +

= + ++

+ +=

= =

=+

+=

++ + +

= ⋅+ +

= ⋅+ +

=

1 24 5 3

3 4 5

5 3 4 5

4 5

3 4 5

3 4 5 4 5

53

3 4 5

5

1200 700 300 150 100100 300 150

1982

111

111 100100 300 150

20 2

( )

( )

( ) ( )( )( )

( ),

I

Ω ΩΩ Ω Ω

Ω Ω ΩΩ

ΩΩ Ω Ω

R R R

R R R R Rges

ges

1 1 2

2 1 2 3 4

=

= +( )

2.

Zahlenbeispiel3.

4.

Welchen Wert muss R4 haben, wenn der Gesamtwiderstand in beiden Schalterstellungengleichbleiben soll?

Ansatz:

math. einfacher ist:


42

UU

RR

U V

UU

RR R R

U V

UU

RR R

U V

UU

VV

I UR

V mA

I UR

V mA

II

mAmA

CD

ges

EF

EF

ges

22

4

2 3 54

7

4

7

6 77

7

77

7

7

14 72

8 79

5 27

5 2724

0 22 22%

5 27120

43 9

2477 61

309 2

43 7309 2

0142 14 2%

= → =

=+ +

→ =

=+

→ =

= = →

= = =

= = =

= = →

,

,

,

, ,

, ,

,,

,,

, ,

Ω

Ω

R

1 1

1 1 1 1 1

1 1 1

11 1

11

201

20 15

46 67

1 2

1 2 1 2 3 4

4 2 2 3

4

2 2 3

R R

R R R R R R

R R R R

R R R

ges ges=

+ = ++

+

= −+

=−

+

=−

+

=

Ω Ω Ω

Ω,

5. Kettenschaltung

R R R R R R R

Wieviel % von U beträgt U ?Wieviel % von I beträgt I ?

1 2 3 4 5 6 7

7

7

= = = = = = ==

30 70 20 160 40 80 12024

Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω, , , , , ,U V

Berechnung

R R R REF CD AB ges→ → = = 77 61, Ω

Spannungsverhältnisse


43

R

R

AC

AC

' = + + =

=

= =

2 1 2 51

6 15

165

56

Ω Ω Ω Ω

ΩΩ

Ω

Beispiel: Widerstandswürfel

Jede Kante eines Würfels habe den Widerstand 1S. Wie groß ist der Widerstand zwischenden gegenüberliegenden Eckpunkten A und C?

Lösung:

Vorstellung: Würfel zwischen A und C auseinandergezogen

Die in A und C zusammenlaufenden Widerstände je 1S in 2 parallele Widerstände je 2Saufspalten: dadurch entstehen 6 parallele Zweige je 5S.

Rechnung:

Jeder Parallelzweig:

Widerstand zwischen A und C:

Eine Lösung ist auch mit der Stern-Dreieckumformung möglich.


44

Stern- und Dreiecksschaltungen

allg. C Anwendung in der DrehstromtechnikC Schaltungsvereinfachung

Stern

T-Schaltung (Vierpol)

Dreieck

π-Schaltung (Vierpol)

3.4 Umrechnung Sternschaltung Dreieckschaltung⇔

Annahme zur Ermittlung der Umrechnungsformeln: Der Widerstand zwischen je 2 Punktenmuss bei beiden Schaltungen gleich sein.

Punkt Y

1- 2 R

2 - 3 R

3 - 1 R

1

2

3

∆

+ = + =+

+ +=

+ = + =+

+ +=

+ = + =+

+ +=

R R R R R R RR R R

R

R R R R R R RR R R

R

R R R R R R RR R R

R

E

E

E

2 12 31 2312 31 23

12 23 3112

3 23 12 3123 12 31

12 23 3123

1 31 23 1231 23 12

12 23 3131

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Umrechnung ∆ → Y

Wenn R12, R23 und R31 gegeben sind, können R1, R2 und R3 berechnet werden.

R R R R R R RE E E1 12 2 2 23 3 3 31 1= − = − = − R R


45

R R RR R R3

31 23

12 23 31=

⋅+ +

⇒ = − + −

= − +

= − +

=+ − − + +

+ +=

+ +

R 2

1 12 23 31 1

1 12 23 31

1 12 23 31

112 31 12 23 23 31 23 12 31 12 31 23

12 23 31

12 31

12 23 31

12

22

2

R R R RR R R R

R R R R

R R R R R R R R R R R R RR R R

R RR R R

E E E

E E E

E E E( )

( ) ( )

(1)R R RR R R1

12 31

12 23 31=

⋅+ +

Durch zyklisches Vertauschen der Indizes:

(2) (3) R R RR R R2

23 12

12 23 31=

⋅+ +

Umrechnung Y → ∆

Dabei sind R1, R2 und R3 gegeben und R12, R23 und R31 können berechnet werden.

Ansatz: Verhältnisbildung mit (1), (2) und (3)

RR

RR

RR

RR

RR

RR

1

2

31

23

2

3

12

31

3

1

23

12= = =

(1) geteilt durch R31

R RRR

RR

RRR

RR

112

12

31

23

31

12

2

3

2

11 1

=+ +

=+ +

nach R12 auflösen ergibt

R R R R RR12 1 21 2

3= + +

⋅

mit zyklischer Vertauschung

R R R R RR23 2 32 3

1= + +

⋅ R R R R RR31 3 13 1

2= + +

⋅


46

Knoten

KnotenMasche Zweig

3.5 Lineare MaschennetzeNetzwerke

Ein allg. Netzwerk ist aus Zweigen, Knoten und Maschen aufgebaut.

Zweig: Kette von Zweipolen innerhalb einesNetzwerkes, von gleichem Stromdurchflossen

Knoten: Verbindungspunkt mehrerer Zweige

Masche: insich geschlossene Kette von Zwei-gen

Muster eines allgemeinen Netzwerkes

z=14 Zweige, d.h. 14 unbekannte Strömem=6 Maschenk=9 Knoten

Beispiel:

÷ Lineares Gleichungssystem mit z Unbekannten und z Gleichungen


47

Aufstellung der zur Lösung erforderlichen Gleichungen

Î Kennzeichnung der Ströme und Spannungen

Quellen: Spannungen von + ÷ - (vorläufiges Bezugssystem)Ströme entgegengesetzt

Widerstände: Spannungen und Ströme gleichgerichtete Pfeil

ã Maschengleichungen

m Gleichnungen nach Kirchhoff, 'U=0

Maschen mit Umlaufsinn bezeichnen,Gleichungen aufschreiben

ä Knotengleichungen

(k-1) Gleichungen 'I=0

Knoten bezeichnenGleichungen aufschreiben: hineinfließende Ströme positiv, herausfließende negativeine Knotengleichung weglassen (streichen)

÷ insgesamt ergeben sich im Beispiel z=m+k-1=6+9-1=14 Gleichungen

Lösung des Gleichungssystems

1. direkte Anwendung der Kirchhoff‘schen Sätze÷ alle Gleichungen verwenden (geeignet für Rechenprogramme)

2. Maschenstromverfahren (wird hier nicht weiter behandelt)Stromquellen werden in Spannungsquellen umgerechnet,die (k-1) Knotengleichen werden eingespart,es wird nur mit Maschen gerechnet. Gearbeitet wird mit Widerständen und Strömen

3. Knotenpotentialverfahren (wird hier nicht weiter behandelt)Spannungsquellen werden in Stromquellen umgerechnet,m Gleichungen werden eingespart, nur die (k-1) Knotengleichungen werden gebraucht.Gearbeitet wird mit Leitwerten und Spannungen.

3.5.1 Lösung mit allen Gleichungen

Zur Lösung (Reduktion) des Gleichungssystems mit allen Gleichungen bieten sich im we-sentlichen folgende Methoden an:

a) Eliminieren durch zweckmäßiges Einsetzen bis unbekannte durch bekannte Größenausgedrückt sind. (Methode des „scharfen Hinsehens“)

b) Gauß‘scher Algorithmus (Additionsmethode)c) Matrizenlösung mit Cramer‘scher Regel


48

R1

RA

R2

U01

IA

U02

U1 U2

UA

I1

I2

M1 M2

K2

K1

BeispielEinfaches Netzwerk mit Quellen und LastwiderständenLösung mit dem Gauß‘schen Algorithmus

m=2 Maschengleichungen k=2 Knoten

÷ k-1=1 Knotengleichungen

Gegeben: U01, U02, R1, R2, RAGesucht: I1, UA, IA

Aufstellung der Gleichungen

M1 I2@R2 -I1@R1 IA@0 = U02-U01

M2 -I2@R2 0 -IA@RA = -U02

K1 I2 I1 -IA = 0

Die Anwendung des Gauß‘schen Algorithmus bedeutet: Gleichungen reduzieren

a11x1 +a12x2 +a13x3 = c1

a21x1 +a22x2 +a23x3 = c2

a31x1 +a32x2 +a33x3 = c3

Prinzip:

Multiplikation der 1. Gleichung mit und Addition zur 2. Gleichung.−aa

21

11

Multiplikation der 1. Gleichung mit und Addition zur 3. Gleichung.−aa

31

11

Multiplikation der 2. Gleichung* mit und Addition zur 3. Gleichung*.−a

a32

22 ** bedeutet modifiziert

Zuerst I1 berechnen ÷ Spalten vertauschen

M1 I2@R2 0 -I1@R1 = U02-U01

M2 -I2@R2 -IA@RA 0 = -U02

K1 I2 -IA I1 = 0


49

I RRA

11

I IRR1 1

1

2+

I I IRR

RRA

1 1 11 1

2+ +

URA

01

−−U U

R02 01

2

UR

U URA

01 02 01

2−

−

M2* 0 -IA =

K1* 0 -IA =

K1** 0 0 =

I IRR1 1

1

2+ −

−U UR

02 01

2

M1 I2@R2 IA@0 -I1@R1 = U02-U01

M2* 0 -IA@RA -I1@R1 = -U01

K1* 0 -IA =

I RR1

1

2

I IRR1 1

1

2+

−−U U

R02 01

2

−−U U

R02 01

2

M1 I2@R2 0 -I1@R1 = U02-U01

M1* -I2 0 =

K1 I2 -IA I1 = 0

K1* 0 -IA =

( )I

I

RR

RR

UR

UR

U UR

R R R R R RR R

U R U U RR R

U R U U R

R R R R R

A A A

A A

A

A

A

A

A

1

1

1

1 1

2

01 01 02 01

2

1 2 1 2

2

01 2 02 01

2

01 2 02 01

1 2 1 2

+ + −−

+ + − −

− −

+ +

=

=

=

( )

( )

( ) I

I2 in M1 und K1 eliminieren

M1 mit multiplizieren und zu M2 addieren, d.h. M1 und M2 addieren.− = −−

=aa

RR

21

11

2

21

M1 I2@R2 0 -I1@R1 = U02-U01

M2 -I2@R2 -IA@RA 0 = -U02

M2* 0 -IA@RA -I1@R1 = -U01

M1 mit multiplizieren und zu K1 addieren.− = −aa R

31

11 2

1

insgesamt:

IA in K1* eliminieren

M2* mit multiplizieren und zu K1* addieren.− = −aa RA

32

22

1


50

I V V V mA1100 10 110 100

10 10 200 10 10244=

⋅ − −⋅ + ⋅

= −Ω Ω

Ω Ω Ω Ω Ω( )200

( )

I R U U I RV V mA

V VV

2 2 02 01 1 1

110 100 244 1010 2 447 56

= − +

= − + − ⋅= −=

( ),

,

Ω

U U I RV V

V

I UR

A

A

AA

A

= −

= −=

= =

02 2 2

110 7 56102 44

0 512

,,

,

Zahlenbeispiel

U01=100V, U02=110VR1=10S, R2=10S, RA=200S

mit M R I R U U1 2 1 1 02 01: I2 ⋅ − ⋅ = −

÷

mit M R U UA2 2 02: - I2 ⋅ − = −

÷

Lösung mit Determinanten, Cramer‘sche Regel

Berechnung von Determinanten, Prinzip:

a aa a

a a a a

a a aa a aa a a

aa aa a

aa aa a

aa aa a

11 12

21 2211 22 21 12

11 12 13

21 22 23

31 32 33

1122 23

32 3312

23 21

33 3113

21 22

31 32

= −

= + +

Ausgangsmatrix (vorheriges Beispiel)

I I IR RR R

U UU

A

A

2 1

2 1

2

02 01

02

00

1 1 1 0

−

− −−

===

−−

Zur Berechnung eines unbekannten Stromes wird in der Ausgangsmatrix die Spalte desunbekannten Stromes durch die Spalte mit den bekannten Größen ersetzt. Diese Matrix mitder ausgetauschten Spalte wird dann durch die Ausgangsmatrix dividiert.


51

I

RR U R

R RR R

R U U U R RR R R R R

I V V

U U

A

A

A

A A1

2

2 02

2 1

2

2 02 02 01 2

2 1 2

1

02 01 0

1 0 10

01 1 1

1 0 1 1 00 1 1 1 0

10 110 10 200 1010 200 10 200 10

=

− − −−

−− −

−

=− − − + − − − − − +

− − + − − − − − +

=⋅ + − −

⋅ + − − −

−

( ( ) ) ( )(( ) ( )( ) ()( ( ) ( )(( ) ( )( ) ()

( )( )( )

Ω Ω ΩΩ Ω Ω Ω Ω

=−+

=−

= −

=

−− −

−− −

−

=+ + − − − − − −

− − + − − − − − +

=⋅ + ⋅

−

1100 21002000 2100

10004100

0 244

01 1 0

00

1 1 1

0 0 00 1 1 1 0

10 110 10

2 1

2 02

2 1

2

2 02 1 02 02 01 2

2 1 2

02 01

V V V

A

I

R RR U

R RR R

R U R U U U RR R R R R

I V

A

U U

A

A A

A

Ω ΩΩ Ω

ΩΩ

Ω Ω

² ² ²,

( ) ( )(( ) )( )( )( ( ) ( )(( ) ( )( ) ()

110 10 104100

21004100

0 512

200 0 512 102 4

V V V A

U R I A VA A A

+ −= =

= ⋅ = ⋅ =

( )² ²

,

, ,

ΩΩ

ΩΩ

Ω

3.5.2 Das Überlagerungsverfahren Überlagerungssatz von Helmholtz (1853)

÷ In einem linearen System kann die Gesamtwirkung aller Ursachen an einer Stelledurch Addition (Zusammenzählen) der Wirkungen der Einzelursachen bestimmt wer-den. (Anwendung auf vielen Gebieten der Physik)

Anwendung bei der Berechnung elektrischer Netzwerke mit linearen Komponenten

Die Ströme in den Zweigen und die Spannungen zwischen den Knotenpunkten eines linea-ren elektrischen Netzwerkes mit mehreren voneinander unabhängigen Quellen für Span-nung und Strom sind gleich der Summe der Teilströme und -spannungen die von den Ein-zelquellen verursacht werden.

Voraussetzungen:

S Lineare Widerstände ÷ Proportionalität zwischen U und I, nichtlineare Widerstände können abschnittsweise linearisiert werdenS unabhängige aktive Zweipole


52

R1RL

R2

U01

IL

U02

I1I2

R1RL

R2

U01

I1/1

R1RL

R2

U02

I1/2

I2/2

I I Ix xU0ii

n

xI ii

m

= += =

∑ ∑1

01

I UR

UR R Rges1 L

1 101 01

1 2/ = =

+

I UR R RL

2 202

2 1/ / /

=+

Mathematische Beziehungen

Verfahrensweise

1. alle Spannungsquellen bis auf eine überbrücken, die Innenwiderstände bleiben bestehen.

2. alle m Stromquellen durch Unterbrechung abschalten 3.1 Teilstrom IxU01 mit U01 berechnen, evtl. mit Stern/Dreieckumformung etc.3.2 wie bis 3.1 aber mit U02 bis U0n4. Alle n Spannungsquellen überbrücken, 5. Alle Stromquellen (m-1) mit bis auf eine (Ik1) durch Unterbrechung abschalten 6.1 Teilstrom IxIk1 mit Ik1 berechnen, evtl. mit Hilfsverfahren 6.2 wie bis 6.1 aber mit Ik2 bis Ikm7. Alle Teilströme zum Gesamtstrom Ix addieren.

Beispiel zum Überlagerungsprinzip

2 Spannungsquellen speisen 1 Verbraucher

Gesucht: I1

1. Schritt: U02=0

2. Schritt: U01=0

Stromteilerregel−

=I

IR R

RL1 2

2 2

1

1

/

/

÷ IR R

RU

R R RL

L1 2

1

1

02

2 1/ = − ⋅

+

3. Schritt: Addition der Teilströme I1=I1/1+I1/2


53

U U U RR R R

U

RUI

R R R R

A

iA

Ak

001 02 3

1 2 3

1 2 3 4

=+

+ +=

= = + +

( )

( )

l

l

I I IAk0 4= =

II

R RR

I U UR R R R

I IU U R R

R R R R R

GR R R R R

ges

ges

ii

4 3 4

4

01 02

1 2 3 4

0 401 02 3 4

4 1 2 3 4

1 2 3 4

1 1

=

=+

+ +

⇒ = =+ ⋅

+ +

= =+ +

( )( )

( )

3.5.3 Netzwerkberechnung mit Zweipolen

Verfahren zur Vereinfachung von Stromkreisen und zur Erleichterung der Berechnung durchReduzierung auf die Schnittstellengrößen IA und UA (Grundstromkreis).

Als bekannt vorausgesetzt:- das Verhalten von Grundstromkreisen mit Quelle, Innenwiderstand, Lastwiderstand,

Strom, Leistung, Widerstandsverhältnisse, Anpassung.

Zweipolberechnung

passiver Zweipol: Netzwerk ohne Quellen aus passiven Schaltungselementenaktiver Zweipol: Netzwerk aus passiven und aktiven Schaltungselementen

÷ Widerstände und Quellen

Beispiel: aktiver Zweipol

| oder

Ersatzspannungsquelle

Ersatzstromquelle


54

U U I R

U RR R

U UR

UR R

L L i

L

L i

LL

i

i L

= − ⋅

= ⋅+

=−

=+

0

0

0

0

(1)

(2)

I (3)

(4)

I (5)

(6)

U (7)

(8)

L L i

L

L i

LL

i

i L

I U G

I GG G

I IG

IG G

= − ⋅

= ⋅+

=−

=+

0

0

0

0

R1=10S R4=20S

R2100S

A

B

U0100V

IL I3R3=10S

R5500S

R4200S

UL

U U UR

R RV

RUI

U RR RUR

R RR R

R R

L

iL

Lk

01 02

1 2

02

1 2

0

1

2 1

1 21 2

90 9

9 09

= = ⋅+

=

= =⋅

+=

⋅+

= =

l

l

,

, Ω

Verfahren zur Stromkreisvereinfachung

1. Festlegung einer Trennstelle (Klemmen) zwischen aktivem und passivem Zweipol ander Stelle der gesuchten Größe IL und UL.

2. Vereinfachung der an den Klemmen angeschlossenen Zweipole (aktiv sowie passiv)zum Grundstromkreis.

3. Berechnung der gesuchten Größen z. B. mit den Formeln für die Grundstromkreise.

Mit Ersatzspannungsquelle mit Ersatzstromquelle

1.Beispiel:

Gesucht: IL=I3

1.1 Berechnung mit Ersatzspannungsquelle

1.Schritt Vereinfachung rechte Seite

R R R R RL = + + = + =3 5 4 6 10 500 220 162 7( ) ,Ω Ω Ω Ω

2.Schritt Vereinfachung linke Seite


55

I IU

R RV mA

Li L

= =+

=+

=

301

90 99 09 162 7

528 9 ,, ,

,Ω Ω

⇒

U U RR R

U k

U U RR R

U k

R R RR R

R k

R R RR R

R k

i

i

01 02

1 20 1

02 04

3 40 2

11 2

1 21 1

23 4

3 43 2

= ⋅+

= ⋅

= ⋅+

= ⋅

=⋅+

= ⋅

=⋅+

= ⋅

Masche

U I R I R I R U

U U RR

RR

U

U U U

RR R R

I U UR R R

i i

i i

i ii i

:

;

( )

( ) ( )

01 5 1 5 5 5 2 02

01 51

5

2

502

501 02

51 2 5

501 02

1 2 5

0

1 0

1

− − − − =

− + + − =

=−

+ +→ =

−+ +

I = UR5

5

5

mit (4)

1.2 Rechnung mit Ersatzstromquelle

1. Schritt GR

mSLL

= =1 6143,

2. Schritt (linke Seite)

I I UR

V A

G IU R

UR

U RR R

R RR R

S

L

iLk

L i

00

1

0

1

02

1 2

1 2

1 2

10010

10

1 0 011

= = = =

= = =⋅

+

=+⋅

=

l

l

Ω

,

3. Schritt mit (6)

I I I GG G

A mSmS S

mALL

L i3 0 10 6 1

6 1 0 11528 9= = ⋅

+=

+=

,, ,

,

2. Beispiel:

BrückenschaltungZerlegung in 2 Quellen und 1 passiver Zweipol, gesucht U5


56

η

η

= =+

= − ⋅

PP

PP P

P P

N

ges

N

N V

V ges

(3)

(4)( )1

∆ ∆ ∆∆∆

∆ ∆W F s m a s m vt

m v dv m v v

mech

v1

v

= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ = −∫

s = m v v (11)

(11a)2

22

12

2( )

∆ ∆ ∆

∆ω∆

∆ϕ∆

W F s m a s m rt

J d J

as

= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ = −∫

r = mr (13)

(13a)

2

Jω∆ω

ω ω ω ωω

ω 12 2

2

1

2

12( )

P m a st

m a v (12)

tv F t

m

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

= → =⋅

∆∆

∆∆

∆∆mit (7) und (11) F v

P Wt

Jt

J a (14)= = ⋅ = ⋅ ⋅∆∆

∆ω∆

ω ω

mit (9) und (13) M = ⋅ → =⋅

=⋅ ⋅

⋅m r

tM t

Jn M t

J2 30∆ω

∆∆ω

∆∆

∆;π

4. Energie und Leistung; Energieumformung (Zusammenfassung)

1) Elektrische Energie ∆ ∆∆

W N q U I t u t i t dtU Q I t

t

t

12 1 2 1

2= − ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

= ⋅∫( ) ( ) ( )

*ϕ ϕ124 34

(1)

2) Elektrische Leistung P Wt

U I= = ⋅ ⋅∆∆ *

; p(t) = u(t) i(t) (2)

* Gleichspannung, Gleichstrom

3) Energieumformung; Wirkungsgrad (in % 6 multiplizieren mit 100%)

PN=NutzleistungPges=GesamtleistungPV=Verlustleistung

4.1 Energieumformung mech. Energie ] elektrische Energie

Gewinnung elektr. Energie ∆ ∆W Wel mech= ⋅η (5)

Abgabe mech. Energie ∆ ∆W Wmech el= ⋅η (6)

Geradlinige Bewegung ∆ ∆W F s (7);mech = ⋅ P Wt

F st

= = ⋅ ⋅∆∆

∆∆

= F v (8)

Drehbewegung ∆ ∆ ∆ϕW F s Mmech = ⋅ = ⋅ (9); P Mt

M n= ⋅ ⋅ =

⋅∆ϕ∆

= M (10)ωπ30

Geradlinige Beschleunigung

Drehbeschleunigung


57

[ ][ ]

[ ] min[ ]

∆∆

W Wst s

nJ kg m

==

=

= ⋅

−1

2

C = Wärmekapazitätc = spezifische Wärmekap.

Umrechnung ω auf n ; [n]=min-1 ωπ

=⋅

=n n2

600 105,

∆W J n n J n n= ⋅ − = ⋅ ⋅ −−12

0 105 5 48 1022

212 3

22

12, ( ) , ( ) (15)

P Wt

Jt

n n= = ⋅ ⋅ −−∆∆ ∆

5 48 10 32

212, ( ) (16)

Energie freier Elektronen

Energie ∆ ∆ ∆W F s q E s q U U= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = − ⋅ ⋅−16 10 19,

Geschwindigkeit (v<<c) m v e U eU

mU v m

s0

2

022 0 594⋅

= ⋅ → = = = v , ; [ ]

Einheiten: Energie 1 1 1 12

2J Ws Nm kg ms

= = =

Leistung 1 1 12

3W Nms

kg ms

= =

4.2 Energieumformung elektr. Energie Y thermische Energie (Wärme)4.2.1 Wärmeaufnahme eines Körpers (Temperaturerhöhung)

∆ ∆ϑ

∆∆

∆ϑ∆

∆ ∆ϑ

W c m c m m C

P Wt

c mt

t c m

mit p t dt c mc m

p t dt

th th

thth

th

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ =

= = ⋅ ⋅ → ⋅ = ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ − → =⋅

+∫ ∫

( )

( ) ( ) ( )

ϑ ϑ

ϑ ϑ ϑ ϑ

2 1

2 11

; c

P

2 1

4.2.2 Wärmeleitung eines Körpers

Wärmefluss von x2(h2) nach x1(h1); ªx=Dicke

P x A

RP

xA

th

thth

⋅ = ⋅ ⋅

= =⋅

∆ ∆ϑ

∆ϑ ∆

λ

λ

λ λ

λ

= =

=

=

⋅

⋅

Wärmeleitzahl

A durchströmte Fläche

Wm K

cuW

m K

; [ ]

372


58

P P A

RP A

th K KF

KF U

thth KF

= = ⋅ ⋅= −

= =⋅

αϑ ϑ

α

∆ϑ∆ϑ

∆ϑ 1

α ==

=

WärmeübergangskoeffizientKF KonvektionsflächeU Umgebung

4.2.3 Wärmeübergang (Konvektion) von festen auf flüssige oder gasförmige Medien

α

α

α

−

=

=⋅

⋅

Werte

Metall Luft

Metall Wasser

MLW

K m

MLW

K m

/

/

10

350

2

2

Vergleich

thermisch elektrisch

Energie Ladung ∆ ∆ ∆ϑW Q P t Cth th th th= = ⋅ = ⋅ Q I t C U= ⋅ = ⋅∆(Wärmemenge)

Wärmestrom Strom P Qtthth=

∆I Q

t=

∆

Temperaturintervall Spannung ∆ϑ = −ϑ ϑ2 1 U = −ϕ ϕ2 1

Wärmekapazität Kapazität C c m W Qth

th th= ⋅ = =∆∆ϑ ∆ϑ

C QU

=

Wärmeleitfähigkeit spez. Leitwert λ κ(Wärmeleitzahl)

Beispiele zum Kapitel 4

1. Zur Spannungsversorgung eines elektrischen Gerätes werden 5 Batterien je 1,5VReihenschaltung) eingesetzt. Die Stromaufnahme beträgt I=50mA.Wieviel kostet 1kWh aus diesen Batterien, wenn die Lebensdauer 80 Stunden und derKaufpreis 0,55 EUR je Batterie beträgt?

W=U@I@t=5@1,5V@0,05A@80h=30Wh=0,03kWh

Kosten kWhkWh

EUR EUR= ⋅ ⋅ =1

0 035 0 55 9170

,, ,

2. Die Leistungsaufnahme eines Elektrowärmegerätes soll verdreifacht werden. Um wie-viel muss die Spannung gesteigert werden? R bleibt konstant.


59

U U U V

R UP

UP

R R

R R RR R

R R R R R RR R R R R

R RR R

U U

PP UP P

V

W WW W

1 2

1

2

12

2

2

2 1

21

1

1 2 2 1

1 2 2 1

2 1

1 2

2 2

1 22

1 22 2

240

1 1

40

40 60 140

160

80

= = =

= =

=

=⋅+

→ ⋅ = ⋅ + ⋅→ − = ⋅

=⋅

−=

−

=−

=

,

( )

( )

( )

R

R

R

R Ω

P P kW kW NmsM P2 1 0 82 0 7 25 14 35 14350= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = =η η , , ,

EinheitenNm Ws

W Nms

P F ht

F m g

g ms

N kg ms

kg

:

,

1 1

1 1

9 81

1 1

1 1

2

2

=

=

=⋅

= ⋅

=

=⋅

= Liter

P P

UR

UR

U U

U U U

2 1

22

12

22

12

2 12

1

3

3

3

3 3

= ⋅

= ⋅

= ⋅

= ⋅ = ⋅

3. Zwei Glühlampen mit den Leistungen P1=40W und P2=60W an jeweils UL=40V werdenin Reihe an U=80V geschaltet. Wie groß muss der parallel zur Lampe 1 geschalteteWiderstand R sein, damit an beiden Lampen 40V liegt?

4. Ein elektrischer Motor mit einer Leistungsaufnahme P1=25kW ist mit einer Förder-pumpe gekoppelt, die aus einem 300m tiefen Schacht Wasser heraufpumpen soll.Zu berechnen ist die pro Minute geförderte Wassermenge.Wirkungsgrad Motor: ηM = 0 82,Wirkungsgrad Motor: ηP = 0 7,

Abgegebene Leistung:


60

P m g ht

F ht

m P tg h

Nms

s

ms

m

m Nsm

kgms

s

mkg

V

2

2

2

2 22

14350 60

9 81 300

292 56 292 56 292 56

292 56

=⋅ ⋅

=

→ =⋅

⋅=

⋅

⋅

= = =

→ =

∆∆

,

, , ,

, Liter pro Minute

5. Ein Strom I=80A fließt für t=1,5s durch ein R=60m langen Alu-Draht mit A=1,5mm²(Masse m=0,243kg).Wie groß ist die Temperaturerhöhung im Leiter? (Wärmeverlust vernachlässigber)

c JkgKAl = 896

P

∆ ∆ϑ

∆ϑ

∆ϑ

∆ϑ

∆ϑ

Ω

W c mt c m

I R t c m

IA

t c m

I tc m A

A mmm

m s

kg JkgK

mmK

th = ⋅ ⋅

⋅ = ⋅ ⋅

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

⋅⋅

⋅ = ⋅ ⋅

→ =⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

=⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅=

2

2

22

2

2

80 0 0278 60 15

0 243 896 1549

ρ

ρ

l

l( ) , ,

, ,

6. Ein Wasserheizgerät mit P=21kW erwärmt 80 Liter Wasser von h1=20°C auf h2=60°C.Welche Zeit wird benötigt, wenn der Wirkungsgrad mit 0=0,8 angenommen wird?

c JkgKW = 4187

c m P t

P c mt

c mt

t c mP

JkgK

kg C C

Ws min

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

→ =⋅ ⋅

⋅=

⋅ ⋅ −⋅

→ =⋅ ⋅ −

⋅=

⋅ ⋅ ° − °

⋅ ⋅= =

∆ϑ∆ϑ

η

ηϑ ϑ

η

ϑ ϑη

( )

( )( )

,, ,

2 1

2 13

4187 80 60 20

21 10 0 8797 5 13 3


61

rS1

r rS S3 1=

5. Das elektrische Strömungsfeld÷ elektrisches Feld in Leitern (siehe DIN 1324)

Bekannt: 1. Was ist elektrischer Strom2. Warum fließt elektrischer Strom3. elektrischer Stromkreis

Bisherige Betrachtung: Strom im linearen Leiter (linear bedeutet: Durchmesser konstant, homogenes Material)

Nun sollen die Verhältnisse im beliebig geformten Leiter untersucht werden.Zur Beschreibung ist die Einführung des Feld-Begriffes zweckmäßig. ÷ Ein Feld ist ein Zustand des Raumes; jedem Raumpunkt einer physikalischen Größe

(Feldgröße) kann ein Wert zugeordnet werden.Unterscheidung:

Vektorfeld: Feldgröße ist ein Vektor z.B. el. FeldSkalarfeld: Feldgröße ist ein Skalar z.B. Temperaturfeld

Ursachen des el. Strömungsfeldes:Auf el. Ladungen werden Kräfte im el. Feld ausgeübt.Q N q N e= ⋅ = ⋅

r rF Q E= ⋅

Hauptrichtung dieser Kräfte ÷ Kraft-Feldlinien.Orte gleichen Potentials ÷ Äquipotentiallinien.

Die Äquipotentiallinien schneiden die Feldlinien rechtwinklig (orthogonal).

Homogene und inhomogene Felder

5.1 Feldbilder

Beispiele

1.) homogenr r

r

S x E FQ

( ) ~ =

Homogenes Feld: Feldvektor hat an jeder Stelle den gleichen Betrag und gleiche Richtung.


62

dI S dA

dI dUR

= ⋅

=

S dA

S dA

S

A

S

A

E A

S E

= dUR

= E dR

A = ER

mit R = ; = spez. Leitfähigkeit

A = E

allg.

∫ ∫⋅

⋅

⋅

⋅⋅

⋅

= ⋅ ⋅

→ = ⋅

l

l

l

l

l

κκ

κ

κ

κ

rS r( , )ϕ

S IA

dI AdA

dI x ydxdyA

= = =→

∆∆ ∆ 0

( ) ( , )

I S A kk

n

≈ ⋅=

∑ ( )r r

∆1

r rS E= ⋅κ

I S= ∫r r

dAA

2.) inhomogenBeispiel: zylindrischer Behälter mit Elektrolyt

Inhomogenes Feld:Feldvektor ist nach Betrag und Richtungortsabhängig.

5.2 Stromdichte

Stromdichte bei homogener Stromverteilung: S IA

= Einheit Amm2

Stromdichte bei inhomogener Stromverteilung:

S f A= ( ) und A = f(x,y)Zusammenhang zwischen der el. Feldstärke und der Stromdichte

rE

Das Flächenintegral des Feldvektors heißt Fluss (hier: Strom I).

exakt


63

rS

AR

m mmm

mm

S IA

A

mm

Amm

=⋅

=⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅=

= = =

l

κ1

2 214

414

16

22

22

ΩΩ

E SA

mmm

R mm

Vm

= =

⋅

=κ

16

28

2

2

[ ]

dR drA

r

drr

R dR drr

drr

r r rr

mmm

m

mmmm

r

r

r

r

r

r

r

ra i

a

i

i

a

i

a

i

a

i

a

=⋅

⋅ ⋅

=⋅ ⋅ ⋅

→ = =⋅ ⋅ ⋅

=⋅ ⋅

=⋅ ⋅

=⋅ ⋅

− =⋅ ⋅

=

⋅⋅ ⋅

=

∫ ∫ ∫

−

κπ

κ π

κ π κ π

κ π κ π κ π

π

A = 2

2

2

2

2 2 2

2

M

l

l

l l

l l l

1

1 1 1

1

10 0 5

3020

12 9114

2

ln (ln ln ) ln

,ln ,

Ω

Ω

5.3 Widerstandsberechnung

Beispiele:

1) Ein Widerstandsdraht mit der Länge R=1m hat ein R=2S und .κ = 2 2mmmΩ

Es fließt ein Strom I=4A.

a) Wie groß ist die Stromdichte im Leiter?b) Wie groß ist die Feldstärke im Leiter?

a) b)

2) Ein galvanisiertes Kunststoffrohr mitri=20mm; ra=30mm; R=50cm

hat eine spez. Leitfähigkeit .κ = −10 142

mmmΩ

Wie groß ist der Widerstand zwischen Innen- und Außenfläche? (Stirnflächen ohne Metall)

3) Gegeben ist ein zylindrischer metallischer Becher, gefüllt mit Elektrolyt. Mittig ist eine Elektrode aus Metall angeordnet.Zu bestimmen ist die Stromdichte in Abhängigkeit vom Radius r bei einer bestimmten Stromstärke I.


64

dAr

r rS E,

~ 1r

E S Ir

m Ar

V mr

Eds I drr

Ir

V mr

r

r rdr

r

r

= ⋅ =⋅

= ⋅ ⋅ =

= =

= − = = −∞

=

∞

∞

∞

∞

∫ ∫

ρρπ

ϕ ϕ

ϕ ϕρπ

ρπ

250 79 58 3978 87

0

2 21 1 3978 87

2 2 2

0

02

Ω , ,

,r r

r

I SdA S h r d S h r d S h r

S Ih r

rA Ar r

= = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

→ =⋅ ⋅

∫ ∫ ∫r

( )ϕ ϕ π

π

π

0

2

2

2

r r r

r rS dA S dA da s

I S dA S dA S r

S Ir

Ar

Ar

Am

A A

⋅ = ⋅

= ⋅ = = ⋅

→ = = =

=

∫ ∫enkrecht auf dA

Halbkugel

Am Erder bei r = 1m: S

2

25002

79 58

79 58

2

2 2 2

2

π

π π,

,

Das Elektrolyt hat eine max. Stromdichte Szul —› ri=rimin ist dadurch festgelegt.

4) Ein Kurzschlussstrom von I=500A tritt von einem halbkugelförmigen Erder in das Erd-reich ein. Zu berechnen ist der Potentialverlauf als Funktion des Abstandradius r vomEintrittspunkt aus. Spez. Widerstand des Erdreichs: D=50Sm

Wie groß ist die Schrittspannung (ªR=1m) im Abstand r=10m und 2m?

n10m=397,89V; n11m=361,72V

ÿ U10/11=36,17V Schrittspannung bei r=10m

ÿ U2/3=663,15V Schrittspannung bei r=2m


65

U V V V V V12 1 2 10 8 8 10 2= − = − = − − =ϕ ϕ ( )

rs

rE

U E12 12= ⋅r r

l

d E dsϕ = − ⋅r r

rE d

ds= −

ϕ

U d d E ds U12 1 22

1

1

2

1

2

21 2 1= − = = − = ⋅ = − = − −∫ ∫ ∫ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕr r

( ).

5.4 Elektrische Feldstärke und Spannung

Aufgrund gilt: r rS E= ⋅κ

Jede Feldlinie des Vektors ist gleichzeitig auch eine Feldlinie des Vektors .rS

rE

Im linearen (homogenen) Leiter gilt: E =−ϕ ϕ1 2

12l

allg. (homogen) E E dd

= =r

l

ϕ

÷ Die el. Feldstärke ist ein Vektor in Richtung des Stromdichtevektors mit dem Betragdes örtlichen Potentialgefälles.

Spannung im homogenen Feld:

Spannung im inhomogenen Feld: ändert sich von Punkt zu Punkt, daher muss der WegrE

in differentielle Wegelemente zerlegt werden. dsr

-Zeichen: zeigt in Richtung des PotentialgefällesrEund ist als Potentialzunahme definiert.dϕ

z.B.

Die Gesamtspannung erhält man durch Integration

für das Beispiel:

allg. gilt:Die el. Spannung zwischen zwei Punkten eines Weges ist gleich dem Linienintegral der el.Feldstärke längs des Weges.

Der Wert des Linienintegrals ist wegunabhängig.U E ds121

2

= ⋅∫r r

Für einen geschlossenen Weg (Umlauf) 1÷2÷1 erhält man stets den Wert 0 für das Lini-enintegral.

Umlaufintegral, siehe Kirchhoff: GU=0r rE ds⋅ =∫ 0


66

2020 20

I=80mA

κ1 κ 2 κ 3

rS

κ

κ

κ

1

2

3

1

2

4

=

=

=

Scm

ScmS

cm

∆ϕ ∆∆

∆ϕ

∆ϕ

∆ϕ

1 11

12

2

3

80 20

110

40400

200100

= ⋅ =⋅

⋅

=⋅

⋅=

=

=

I R IA

mA mmSmm

mmmV

mVmV

l

κ

nach gleicher Rechnung:

E S IA

mAmm

mAmm

E mA mmmm S

mVmm

mVcm

Nach gleicher Rechnung

E mVcm

mVcm

= = = =

→ =⋅

⋅= =

= =

κ ; S

E

8040

2

2 101

20 200

100 50

2 2

1 2

2 3

:

;

5.5 Geschichtete Materialien

Die leitenden Schichten haben unterschiedliche Leitfähigkeiten 6. Dadurch ergibt sich einejeweils verschiedene elektrische Feldstärke mit unterschiedlichem Potentialverlauf.

1mm dick ÷ A=40mm²

Gesucht: Potential- und Feldverlauf


67

6. Das elektrische Feld in NichtleiternElektrostatisches Feld

Eigenschaften 1. Ladungen ruhen ÷ I=02. Feld (-kräfte) wie im Strömungsfeld vorhanden

Es giltr

r

E FQ

=

Ähnlichkeit mit dem Strömungsfeld in Leitern, dort ist ein Material mit spez. Leitfähigkeit 6und eine Stromdichte vorhanden.Beim elektrostatischen Feld geht die Stromdichte zu Null, verschwindet. Das Material zwi-schen den ortsfesten Ladungen ist nichtleitend (Isolator), das sogenannte Dielektrikum.Im elektrischen Strömungsfeld ist der Stromdichtevektor immer in Richtung des Feld-

rS

stärkevektors .rE

Beim Verschwinden der Stromdichte bleibt aber das elektrische Feld mit den Feldlinien von unverändert, ebenso die Äquipotentialflächen.

rE

Vergleich

Strömungsfeld elektrostatisches Feld

Stromdichte Verschiebungsdichter

r

rS IA

=r

rD QA

=

rr

E S=

κ

rr

E D=

ε

6.1 Nichtleiter im elektrostatischen Feld

Wie im vorherigen Vergleich angedeutet hat der Nichtleiter mit der Materialkonstanten geinen Einfluss auf das elektrostatische Feld.Mit folgendem Experiment kann der Einfluss gezeigt werden:Ein Plattenkondensator mit Vakuum als Dielektrikum wird auf U0 aufgeladen. Anschließendwird der Feldraum mit einem Isolierstoff ausgefüllt.Feststellung: Die Spannung an den Platten wird geringer UC<U0. Nach Entfernung des Iso-lierstoffes steigt die Spannung wieder auf den alten Wert an.

Der Faktor heißt Permittivitätszahl oder relative Dielektrizitätskonstante.UUC

r0 1= ≥ε

Genauer Zusammenhang zwischen und Qi im Vakuum:rE

Qi = kleine PrüfladungQ E Ai i= ⋅ ⋅ε0

Ai = Fläche der Prüfladung

= Proportionalitätsfaktor, elektrische Feldkonstanteε0

ε0128 8542 10= ⋅

⋅−, As

V m


68

Q C U= ⋅

C QU

= [ ] [ ][ ]

C QU

AsV

= = = =1 1 1 Farad F

Q U~

6.2 Elektrische Verschiebungsdichte

Die ladungstrennende Wirkung des el. Feldes wird durch den Verschiebungsdichte-Vektor rD

beschrieben.

(für Vakuum)r rD E= ⋅ε0 [ ] [ ] [ ]D E As V

Vm mAsm

= ⋅ =⋅⋅

=ε0 2

Der Vektor hat im Feld die gleiche Richtung wie . rD

rE

D QA

i

i=

Die Verschiebungsdichte ist im gesamten Feldraum vorhanden.

6.3 Elektrische Kapazität

Durch einen Versuch ist feststellbar, dass die Ladung Q eines Plattenkondensators linearmit der angelegten Spannung ansteigt.

Genauer:

C ist ein Proportionalitätsfaktor und heißt Kapazität.

÷ Jede beliebige Anordnung von 2 Leitern, getrennt durch ein Dielektrikum hat eineKapazität. Technische Realisierung in Kondensatoren.Möglicher Kapazitätsbereich: . Neuere Entwicklungen von sog. "Super-10 112− ≈... FCaps" basieren auf speziellen chemischen Verfahren und ermöglichen Kapazitätenvon einigen 1000F, allerdings mit rel. kleinen Betriebsspannungen .

Die Kapazität eines Kondensators ist abhängig von der Geometrie und der Permittivität desDielektrikums. Ein entsprechender Zusammenhang gilt auch für die Feldstärke.

Die relative Dielektrizitätszahl (Permittivitätszahl) eines Dielektrikums ergibt sich mit:

εrEE

= 0

Für Vakuum und annähernd für Luft ist .εr = 1Weitere Materialien (Auswahl):

grPapier (ölgetränkt) 4,3Papier trocken 2Keramik 6...4000Polyäthylen 2,3


69

C Ad

nr=⋅ ⋅

⋅ε ε0

C Ad

r=⋅ ⋅ε ε0

U Eds ;= ∫ E = D ; D = QAε

C QQ

Ads

=

⋅∫ ε

Wichtig: Die el. Verschiebungsdichte bleibt konstant.rD

Permittivitätr rD Er= ⋅ ⋅ε ε0 ε ε ε= ⋅r 0

6.4 Berechnung der Kapazität aus der Geometrie und g

Ansatz: ,C QU

=

Für lineare, homogene Anordnungen:(Block- Kreiswickel- Röhrenkondensatoren etc.)

6.4.1 Plattenkondensator

U Q

Ads

U QA

d

C QU

Q AQ d

Ad

Ad

r

=⋅

=⋅

= =⋅ ⋅

⋅=

⋅=

⋅ ⋅

∫ ε

ε

ε ε ε ε

Konstant

s = d Dicke

0

6.4.2 Schichtkondensator

Schichtung einzelner Plattenkondensatoren

Gesamtfäche Ages=n@A

n=Anzahl der Plattenpaare (Schichten)


70

[ ]

UQ

A ds

UQ

r

UQ Q Q r

r

mit CQU

rr a

ii

a

=⋅

=⋅

=⋅

=⋅

− =⋅

=

∫∫

επ

π ε

π ε π ε π ε

; ds = dr ; A = 2 r

2 dr

2 r 2 r r 2a i

l

l

l l l

1

ln (ln ln ) ln

C r rari

= ε ε π012 l

lnra

ri

R

d

fLC

CL f

C

Af

Anf0 20

2

02 2

12

12

1

1 1

= → = ⋅ +π π

αα

( )

( ) ~ ~

C K CK Kapazität bezogen auf Winkel

Anf= ⋅ +=

αα

C Ad

r Wickel≈ ⋅⋅2 0ε ε

E Ud

UEN

N

N

N

N= → = d Dicke des DielektrikumsN

E ESNzul

zulkVmm= ≈ = ; S 5 (Sicherheit), E 2 15 180... ...

6.4.3 Rohrkondensator

6.4.4 WickelkondensatorIm Prinzip ist der Wickelkondensator ein n-facher Rohrkon-densator. Die exakte Kapazitätsberechnung wäre nur beieinem idealen Wickel sinnvoll. Praktisch wird gerechnet:

AWickel=Fläche des Bandes, Faktor 2 für die doppelte Nutzung der Fläche.

6.4.5 Drehkondensator

Drehkondensatoren werden in verschiedenen Ausführungen als kapazitätsveränderlicheKondensatoren hergestellt.

Üblich sind folgende Arten:

1) Frequenzgerade

Wird durch Plattenform erreicht

2) Kapazitätsgerade

Mit Plattenhalbkreisform

6.5 Betriebsfeldstärke

Nennfeldstärke


71

i i iQ Q Q1 2

1 2

= == = = konstant

U U UQ C U C U

ges1 2

1 1 2 2

+ =

→ = =

Cges =+ + +

11 1 1

1 2C C Cn...

⇒ = + → = =+

U QC

QC

Q

QC C

ges1 2

1 2

1 1 C Q

Ugesges

Cges =⋅+

C CC C

1 2

1 2

UU

CC

1

2

2

1=Kapazitive

Spannungsteilung

C C Cges = +1 2

C QU

QU

QU

Q Q Q U C U C

gesges

ges

11

22

1 2 1 2

= = =

= + = ⋅ + ⋅

; C ; C

C U C CU

C C Cges n=+

= + +( ) ...1 2

1 2

IC

IC

1

1

2

2=

bei 2 Kondensatoren:

6.6 Grundschaltungen von Kondensatoren

a) Parallelschaltung

Weiter gilt:

Kapazitive StromteilungI tC

I tC

1

1

2

2

⋅=

⋅→

∆ ∆

b) Reihenschaltung

1. Ladungsmenge ist gleich:

2.

6.7 Geschichtetes Dielektrikum

a) Wird das Dielektrikum quer zur Fläche A aus zwei Materialien geschichtet , so erge-ben sich rechnerisch zwei Kondensatoren mit der sich jeweils durch die Teilung er-gebenden Fläche A1 und A2, die parallel geschaltet sind.

Dicke d bleibt konstant Parallelschaltung


72

rr

r r r

r r

E Fq

F q E Q E= → = ⋅ = ⋅

positive Ladung: F in Richtung E)(

Cges =⋅+

C CC C

1 2

1 2

D QAKugel

=

rFrE

r rF E Q bzw. E dQ

C dU

dF E C dU Ud

C dU

= ⋅ = ⋅→ = ⋅

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

dF dQ

F dF Cd

U dU Cd

U C Ud

C E dU

= = ⋅ = ⋅ =⋅

=⋅

∫∫0

22 21

2 2 2

mit C = →ε ε0 rAd

F A Er= ε ε02

2

b) Wird das Dielektrikum parallel zur Fläche A aus zwei Materialien geschichtet , so er-geben sich rechnerisch zwei Kondensatoren mit der sich jeweils durch die Teilung er-gebenden Dicken d1 und d2, die in Reihe geschaltet sind.

Fläche A bleibt konstant Reihenschaltung

6.8 Kraftwirkung im elektrostatischen Feld

1. 2 Punktladungen

Für Ladungsträger im el. Feld gilt:

Die Punktladung hat die Verschiebungsdichte Q1

Die Äquipotentialflächen sind Kugeloberflächen.

A r Qr

DrKugel = = = =

⋅4

4 42

112 1

12π

π ε ε π also mit D und E Q1

ergibt die Kraft auf eine zweite Punktladung Q2 im Abstand r von Q1:

Coulomb‘sches Gesetzr rF Q1= ⋅ =

⋅⋅

Q E Qr2 1

224ε π

2. 2 geladene Platten mit Fläche A


73

U I tC

U Ct

=⋅

=⋅ wird I

u tC

i dtC Ct

t

( ) = ∫1

0

1

+K

oder W C

t ti t tC

dtC

i t tdt=⋅

=∫ ∫( ) ( )

2

0

2

0

1

W IC

t I tCC

t

=

=⋅2

2

0

2 212 2

W U C tC t

C UC =

⋅=

⋅2 2 2

2

2

2 2

W E A dC r=

⋅=ε ε

ε0

2

2 2E V 2

Q I t Q I t Qt

t

mit U C

C C C C

C

= ⋅ → = ⋅ → = =

= ⋅ → ⋅

I bzw. i dQdt

Q dQ = du CC

∆ ∆ ∆∆

∆ ∆

( )

i t CdudtC

C( ) =

∆ ∆

∆ ∆

W U I t mit QU

QC

I tC

W I tC

t

C

C

= ⋅ ⋅ = → = =⋅

=⋅

C U

2

6.9 Elektrodynamische Vorgänge

6.9.1 Energieinhalt eines geladenen Kondensators

Allg. gilt:

Für i(t)=I=const. :

mit ÷

Für den Plattenkondensator mit gilt:C Ad

Udr= =ε ε0 ; E

(V=Volumen)

6.9.2 Zeitliche Änderung der Ladung Q und Verschiebestrom IV

Beim Schließen des Schalters wird dem einen Konden-satorbelag positive Ladung zugeführt, dem anderen La-dung entzogen.

Physikalisch: neg. Belag reichert Elektronen an.

Der Ladestrom IC im äußeren Kreis findet seine Fortset-zung im Inneren des Kondensators durch einen schein-baren Ladungsverschiebestrom IV.

÷

a) Zeitliche Darstellung von uC(t) bei konstantem IC

mit für t=t0 ... t1i t C dudtC

C( ) =

÷


74

ImA

L

ts

UV

C

ts

∆

∆

∆

∆ ∆

∆

∆

∆

∆

t t t st st s

U IC

t

A sF

V

U V

U A sF

V

U V

U A sF

V

CL

C12

C

C

C

01 1 0

23

45

01 10

3

6

23

3

6

34

45

3

6

325

3 10 330 10

300

0

6 10 230 10

400

0

1 10 530 10

167

= − =

=

=

=

= ⋅ ⋅⋅

=

=

= − ⋅ ⋅⋅

= −

=

= ⋅ ⋅⋅

=

−

−

−

−

−

−

U u u R i u t

U R C dudt

u t

R C dudt

u t U

R C C C

CC

CC

= + = ⋅ +

= ⋅ +

→ − ⋅ = −

( )

( )

( ) DGL 1.Ordnung

Ist iC konstant:

÷ d.h. es entsteht ein zeitlich linearer Spannungsanstieg.u t I tCC

C( ) =⋅ ∆ +UCt0

In der Regel wird angesetzt: UCt0= 0

Beispiel: C=30µF

b) Auf- und Entladung mit zeitlich veränderlichem Strom

÷ Ladung eines Kondensators über einen Widerstand an konstanter Spannung, Entla-dung über einen Widerstand.

Ansatz: i t C dudtC

C( ) =

Aufladung an konstanter Spannung U

Masche:


75

i t UR

eCC

t

( ) = − ⋅−

0 τ

u t U eC C

t

( ) = ⋅−

0τ

duu t U RC

dt

u t U tRC

t U e e

C

C

C

CK

tRC

Bedingung

( )

( ) )

( )

:

−= −

→ − = − + ⊂

→ − = ⋅

→ −

∫ ∫

⊂ −

1

ln(

u

t = 0 u = 0

K= UC

u t U U e U eC

t t

( ) ( )= − ⋅ = −− −

τ τ1

i t C dudt

C ddt

U U e

C U e

CC

t

t

( ) ( )

( ( ) )

= = ⋅ − ⋅

= − ⋅ − ⋅

−

−

τ

τ

τ 1

i t C dudt

C U eCC

C

t

( ) = = − ⋅ ⋅−

ττ

0

i t CRC

U eC

t

( ) = ⋅ ⋅ ⋅−1 τ

i t UR

eC

t

( ) =−

τ

u t i t R

u t R C dudt

Variablen trennenduu t RC

dt

RCt

u t e e

C C

CC

C

C

C

CK

t

( ) ( )

( )

( )

ln

( )

+ ⋅ =

→ = − ⋅

= −

= − + ⊂

→ = ⋅

∫ ∫

⊂ −

0

1

1 u

τ

Lösung der DGL durch Trennung der Variablen

ZeitkonstanteRC = τ

÷

÷

Entladung

Masche:

Bedingung für t=0: UC(0)=UC0=U

÷

÷


76

uC

t

100%

63%

1J 2J 3J 4J 5J

.99%

iC

t

37%

1J 2J 3J 4J 5J

UR

Kondensatorspannung

Kondensatorstrom

uC

t

100%

1J 2J 3J 4J 5J

.1%

-iC

t

37%

UR

Kondensatorspannung

Kondensatorstrom

37%

Zeitverläufe:

Aufladung

Entladung


77

rH

7. Das statische elektromagnetische Feld

7.1 Grundbegriffe

Magnetismus:

÷ Kraftwirkung eines Magneten der Eisenteile anziehen kann. Natürliche Magnete: Magnetit (Fe3O4) Der Bahnverlauf und die Rotation der Elektronen erzeugen den Magnetismus. Magnetismus entsteht durch die Bewegung von Ladungen.

Neben dem natürlichen Magnetismus existiert der Elektromagnetismus (Oersted 1820) Ein durch einen Leiter fließender Strom I erzeugt im Leiter und außerhalb ein magnetischesKraftfeld mit der Feldstärke , das magnetisches Feld heißt.

rH

Wie im elektrischen Feld sind die Hauptkraftrichtungen in Richtung der Feldlinien. Nachweis z.B. mit der Magnetnadel.

Der Nordpol zeigt in Feldrichtung (Rechtsschraubenregel)

magnetische Feldstärke rH

7.2 Größen des magnetischen Feldes

7.2.1 Die magnetische Flussdichte

Feststellung durch Experiment: Ein stromdurchflossener Leiter übt Kraft F auf einen Magneten aus.

F - I F - R R = Länge des Leiters

Daraus lässt sich die Magnetfeldgröße B, die magnetische Flussdichte, definieren.

homogen B FI

=⋅ l

[ ]B NA m

Vsm

=⋅

= =1 1 12 T (Tesla)

allgemein Vektor rB


78

rB

÷ Die magnetische Flussdichte B ist auch für die Induktionswirkung des Magnetfeldeswichtig: daher der alte Name magnetische Induktion.

Nach DIN 1325 wegen Verwechselungmöglichkeit des Begriffes nicht mehr verwenden.

7.2.2 Der magnetische Fluss

Das Flächenintegral der Flussdichte heißt magnetischer Fluss rB Φ

Φ = ∫r rB dA

A

[ ]Φ = = =1 1 122Vs

mm Vs Wb (Weber)

homogenes Feld: (Magnetfeld senkrecht zu A)Φ = ⋅B A

7.2.3 Das Durchflutungsgesetz

Einfache symmetrische Anordnung:

K = Konstante B K Ir

= ⋅

÷ Strom I erzeugt Flussdichte B !

Da das Feld eine Kreisform hat, ergibt das Integral um den Leiter:

r r r rB B I ds = B 2 r mit B = K I

r ds = K 2⋅ ⋅ → ⋅ ⋅∫ ∫π π

Auch für beliebige nichtkreisförmige Umläufe bleibt

r r123B I ds = K 2⋅ ⋅∫ π

µ

Die Konstante heißt Permeabilität :.K 2⋅ π

Für Vakuum und annähernd Luft ist

:0 = magnetische Feldkonstanteµ = µ = ⋅⋅

= ⋅⋅

− −0

7 64 10 1257 10πVs

A mVs

A m,

Bei anderen Materialien muss zusätzlich die relative Permeabilitätskonstante :r (auchPermeabilitätszahl genannt) berücksichtigt werden.

µ = µ ⋅ µr 0


79

~ 1ra

Hyperbel→

r rr

rB B ds = ds =µ ⋅ →

µ∫ ∫Θ Θ

H Iraa

=2π

Bei beliebiger Leiteranordnung gilt der Zusammenhang zwischen und I :rB

r rB I ds = µ ⋅∫

7.2.4 Durchflutung

Die Summe aller Ströme, die eine Fläche durchsetzen, heißt Durchflutung .Θ

Θ ==

∑Ikk

n

1

[ ]Θ = A

Damit ergibt sich

Zu beachten ist, dass : meist ortsabhängig ist.

7.2.5 Magnetische Feldstärke

rr

H BVs

Am= µ

⋅ ⋅⋅

= [H] = Vs A mm2

÷r rB Hr= µ ⋅ µ ⋅0

Damit kann das Durchflutungsgesetz beschrieben werden

magnetische Umlaufspannung

r r

r r r rH

H I S

ds

ds dAA

=

= =

∫∫∫

Θ

Analog zur elektrischen Spannung: U E12 = ∫r r ds

1

2

Linienintegral r rE ds =∫ 0

7.3 Magnetisches Feld

7.3.1 Magnetisches Feld eines zylindrischen Leiters

1) Außerhalb des Leiters (ra $ rL) ist der gesamte Strom I wirksam.


80

Hraa

~ 1

H IrmaxL

=2π

r rI, S = konst.

II

AA

rr

I rr

r

ges

i

ges

i

Lr ges

i

L

i

i= =

⋅

⋅→ =

π

π

2

2

2

I

HI

ds

Ir

I r

r rI r

ri

r

Umfang

r

i

ges i

i L

i

L

i i= =⋅

=⋅

⋅ ⋅=

⋅

⋅∫ 2 2 2

2

2 2π π π H ri i~

r r r< → =1 0 H (Im Innenraum fließt kein Strom!)

1( )

r r r Ir2 2

< < ∞ → = H (Wie zyl. Leiter)3 ( )π

2) Innerhalb des Leiters (ri # rL) ist nur der umschlossene effektive Restquerschnitt mit

wirksam (Teilstrom).

7.3.2 Magnetisches Feld eines Rohrleiters

a) Innenraum

a) Außenraum


81

H2( ) ( )( )

r I r rr r r

=−

−

212

22

122π

I A r mm r mm

S Amm

Amm

H r H r Ir

Am

Am

H mm A mmm mm

Am

H mm Am

mm Am

H r r Ir

= = =

=−

=

= = =⋅

=

=−

⋅ −=

= =

= = =

−

−

500 5 10500

10 5212

2500

2 10 107958

6 500 6 52 6 10 10 5

1945

7 5 4421 9 6602

22 2

500

1 2

2 2 2 2

2 2 3 22

3

2

2 2 2

3 2 2 2

2 2

3 22

( ),

( ) ( )

( ) ( )( )

( , ) ( )

( )

π

π π

π

π

; H

Am

Am2 20 10

39793π ⋅=

−

c) Rohrwand

Zahlenbeispiel:

r r r r

SdA

ds r

S r rr

I

dA

Ir r

konst

r Ir r

r rr

A r

r

A

1 20

2

212

22

12

22

12

212

1

2

2

2

< < → = =

⋅

=−

= =−

=

=−

⋅−

→

∫

∫

∫∫

∫

H

S r dr d

mit S

H

2

2

( )

( )

( ).

( )( )

( )

α

π

ππ

π

π

π


82

H r I

r rIr

Sr

r r

IA A

Ir r

r Ir

I r rr r r

r

r

Innenleiter Außenleiter

r r

30

22

22

2

32

22

3

22

2

32

22

21

2 22

2 2

2 2

2

3 2

( )( )

( )

( )( )( )

= − + ⋅ = − +⋅ −

= − =−

→ = − +−

−

∫∫−

π π α ππ

π

π

π π

π

S r dr d

mit S

H

2

1 2444 3444

H r I rr

r Ir

Am

Am1

12 1 1

13

1

2 22

2 10318

0 0

( ) ( )

( )

=− ⋅

⋅=

−⋅

=−⋅

= −

=

−π π π H

H

H r Ir

r H r Ir

Am

r Am

Am

2 2 1 1 11

2 2 3

2 2318

22 3 10

106

( ) ( ) ( )

( )

=−

⋅= =

−⋅

= −

=−

⋅ ⋅= −

−

π π

π

H

H

7.3.3 Magnetisches Feld eines Koaxialleiters (Koaxialkabel)

Hin- und Rückleiter koaxial angeordnet

Innen I < 0 HinleiterAußen I > 0 Rückleiter

Diese Zuordnung ist willkürlich festgelegt, auch in umge-kehrter Richtung möglich.

Zahlenwerte als Beispiel: r1=1mm; r2=3mm; r3=3,5mm; I=2A; S1, S2=konstant (Gleichstrom)

1) Feld im Innenleiter H1 (0 # r # r1)

÷ linearer Verlauf

2) Feld im Zwischenraum (Dielektrikum) H2 (r1 # r # r2)

÷ Hyperbel-Verlauf

3) Feld im Außenleiter H3 (r2 # r # r3)Dieses Feld setzt sich aus dem Feld des Innenleiters und des Außenleiters zusammenund wird durch Überlagerung berechnet.


83

H r Ir

I r rr r r

H r Am

H r r Am

A mm m

Am

Am

Am

H

Mitte

3 22

22

22

32

22 2 2

33 2

2 3

2 2 6 2

3 2 2 6 2

3

2 2106

22 3 25 10

2 3 25 3 102 3 25 10 3 25 3 10

97 9 47 1 50 9

( ) ( )( )

( )

( ),

( , ), ( , )

, , ,

(

=−

+−

−= = −

+=

−⋅ ⋅

+− ⋅

⋅ ⋅ − ⋅

= − + =

−

−

− −

π π

π π

0

6 74 84

123

r Am

A mm m3 3

2 2 6 2

3 2 2 6 22

2 3 5 102 3 5 3 10

2 3 5 10 3 5 3 100)

,( , )

, ( , )=

−⋅ ⋅

+− ⋅

⋅ ⋅ − ⋅=

−

−

− −π π

H r4 0( ) =

∑

da die Summe der umschlossenen Ströme 0 ist. I = 0

÷ nichtlinearer Feldverlauf

4) Feld im Außenraum H4 (r3 < r)

Feldbild(Qualitativ)

Wichtige Erkenntnis:Im Außenraum kompensiertsich Feld des Innen- und Au-ßenleiters, d.h. der Außenraum ist feldfrei.

÷ Dies gilt nur für ein idealeskoaxiales Kabel. In der Praxisist durch Kabel-Unsymmetriendie Feldkompensation unvoll-ständig.


84

Θ

∆ ∆

= ⋅ + ⋅ + + ⋅

= = ⋅ + ⋅ +∫N I N I N I

H ds H s H sn n1 1 2 2

1 1 2 2

...

...

H H H H H H N I N IL L1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1 1 2 2⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = = ⋅ + ⋅ −l l l l l l Θ ( )

7.3.4 Magnetisches Feld einer Zweidrahtleitung

Parallelführung von Hin- und Rückleiter(Ohne Berechnung, nur qualitativ.)Aus Moeller/Frohne/Löchener/Müller: ‘Grundlagen der Elektrotechnik‘

Erkenntnis:

Das Feld im Außenraum ist nicht Null.Gegenüber dem Einzelleiterfeld ist dasGesamtfeld außen geschwächt.

7.3.5 Erweitertes Durchflutungsgesetz

Überlagerung mehrerer Durchflutungen

Die gesamte Durchflutung 1 (Magnetische Spannung) ergibt sich aus der Summe der Ein-zeldurchflutungen.

Beispiel: magnetische Kern mit unterschiedlichen Querschnitten und Längen.

Zur Vereinfachung werdendie Inhomogenitäten in denEcken vernachlässigt, es wirdvon der Mitte des Querschnit-tes aus gerechnet.

Es gilt näherungsweise:


85

Θ

Θ

= ⋅ = ⋅ +

≈

→ ≈ ≈ =⋅

∫N I H H ds

H H N I

Sp i a

Sp iSp Sp

l123

l l

0

l Sp

D

7.3.6 Magnetisches Feld in einfachen magnetischen Kreisen

1. Ringkernspule mit ferromagnetischem Kern

Durch die optimale Konzentration des magn. Feldes im ferromagnetischen Ringkern ist dieAnordnung sehr streuarm, d.h. der Feldanteil außerhalb des Kernes ist sehr gering.

rm = mittlerer Feldlinienradius

Re = 2B rm effektive Länge allg. l e ds= ∫Re wird meist in Datenblättern angegeben bzw. durch

Messung ermittelt

Beispiel: I=1A; N=100Wdg.; rm=5cm

Θ

Θ

= ⋅ = ⋅ = = = ⋅

→ = =⋅ ⋅

=

∫−

N I A A H ds H r

rA

mAm

m m

mm

100 1 100 2

2100

2 5 10318 32

π

π π H ,

2. Zylinderspule mit und ohne magn. Kern

Exakte Feldberechnung schwierig, da der äußere Feldanteil Ha inhomogen ist. Da Ha relativklein ist, wird er bei praktischen Berechnungen vernachlässigt.

möglichst groß, damit Ha vernach-lässigbar ist.

7.3.7 Einfluss von Material und Geometrie

Analogie elektrisches und magnetisches Feld (Vertauschung von U]I)

Wie im elektrischen Feld das Dielektrikum hat im magnetischen Feld das Kernmaterialeinen entscheidenden Einfluss auf die Feld-Größen.


86

BA

H H

B

magn

B

B A

r

Vsm

VsAm

r

A

= = µ ⋅ = µ ⋅ µ ⋅

=

µ = ⋅

µ =

= ×= ⋅

=

−

∫

Φ

ΦΦ

Φ

0

06

2

1257 10

0 9

[ ]

. ,

,

Feldkonstante

Permeabilitätszahl ... 100000magnetischer Fluß B Ahomogen A

inhomogen dr r

D QA

E E

D

r

Asm

AsVm

r

= = ⋅ = ⋅ ⋅

=

= ⋅

=

⋅

−

ε ε ε

ε

εψ

0

012

2

8 854 10

1

[ ]

,el. Feldkonstante

Dielektrizitätszahl ... 10000= elektrischer Fluß = Ladung Q

Q = D A

U I R R

RA

R UI

GR

IU

ges

gesges

= +

=⋅

=

= =

( )1 2

1

l

κ

Θ Φ

ΘΦ

ΛΦΘ

Λ

= +

=µ ⋅

=

= =

= Permeanzmagn. Leitwert

( )R R

RA

R

R

m m

m

mges

mges

1 2

1

l

U V

R R

m

m

$ ,$

$

=

==

Θ

Φ I

Elektrisches Feld Magnetisches Feld

Verschiebungs-Flussdichte Magnetische Flussdichte

7.4 Der magnetische Kreis

Analogie zum elektrischen Stromkreis Magnetisches Ersatzschaltbild

elektrisch magnetisch

Beispiele:

7.4.1 Ringkernspule mit Eisenkern

1.) Ohne Luftspalt Index1

:r=:rFe=500 (Eisen)

r=35mm; A=1,2cm²

I=100mA; N=100Wdg.


87

( )

( )

Θ Φ

ΦΘ

Φ

= +

=µ ⋅

=µ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅

=µ ⋅

=⋅

µ ⋅ ⋅= ⋅

→ =+

=+ ⋅

= ⋅

= =⋅

⋅

−

−

−

−−

−

−

2 2

22

04 2

6

0

3

04 2

6

22

66

22

6

4

0 219500 12 10

2 91 10

0 5 1012 10

3 31 10

102 91 3 31 10

161 10

161 1012 10

R R

RA

mm

AVs

RA

mm

AVs

R RA Vs

BA

Vsm

mFe mL

mFeFe

Fe

LL

L

mFe mLAVs

Fe L

l

l

,,

,

,,

,

, ,,

,,,

2 13 4= , mT

H B Am

H B Am

FerFe

Vsm

VsAm

L

VsmVsAm

22

0

3

6

2

0

3

63

13 4 10

1257 10 500214

13 4 10

1257 1010 7 10

2

2

=µ ⋅ µ

=⋅

⋅ ⋅=

=µ

=⋅

⋅= ⋅

−

−

−

−

,

,,

,

,,

Bilanz

Vs 1,6 Vs kleVsm

Vsm

AVs

AVs

Luftspalt ohne mit Tendenz

10A 10A konstant

3,4 10 10 iner

B 28,6 10 13,4 10 kleiner

R 2,9 10 6,2 10 größer

-6 -6

-3

-3

mges6

6

Θ

Φ ⋅ ⋅

⋅ ⋅

⋅ ⋅

2 2

Θ = ⋅ = ⋅ → =⋅

=⋅

=⋅ ⋅

=−

I N H I N Ar

Am

AmFe Fe Fe

Fe1 1 1

13

0 1 1002

102 3 5 10

45 5ll

H ,,

,π π

B H VsAm

Am

Vsm

TFe rFe Fe1 0 16 3

231257 10 500 45 5 28 6 10 28 6 10= µ ⋅ µ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅− − −, , , ,

ΦFe Fe FeB A Vsm

m Vs1 13

24 2 628 6 10 12 10 3 4 10= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅− − −, , ,

R AVs

AVs R

VsA

RA

mm

AVs

mFeFe mFe

mFeFe

Fe

11

66

1

6

11

3

04 2

6

103 4 10

2 9 10 1 0 34 10

2 35 10500 12 10

2 9 10

= =⋅

= ⋅ = = ⋅

=µ ⋅

=⋅ ⋅

µ ⋅ ⋅ ⋅≈ ⋅

−− −

−

−−

ΘΦ

Λ,

, ,

,,

;

andere Rechnung:l π

2.) Mit Luftspalt Index2

Θ

Φ Φ Φ

= ⋅ = ⋅ + ⋅

=µ

=µ

= − = ⋅ ⋅ − ⋅ =

≡ ≡ ≈

− −

I N H H

mit H B B

sowie m m mund der An

A

Fe Fe L L

FeFe

FeL

L

L

Fe Fe L

Fe L Fe L

2 2

22

2 13 3

2

2 35 10 0 5 10 0 219

l l

l l l

und H

nahme d.h. das Streufeld ist vernachlässigbar, A

π , ,


88

HL 'BL,3

µo

'606,4@10&3T

1,257@10&6 VsAm

' 482,4@103 Am

; H1,2,3 'B1,2,3

µo@µr

'606,4@10&3T

1,257@10&6 VsAm

@500' 965 A

m

magn. ErsatzbildΦ Θ

LmgesR

AAVs

Vs,,

,3 5

61 40016 49 10

242 6 10= = ⋅

⋅= ⋅ −

B AVs

mT A BL

L

L

LL,

,

,,

,

,,

, , ;33

3

6

4 23

1 23

1 23

242 6 104 10

606 4 10 2= =⋅

⋅= ⋅ = =

−

−−

Φ Φ B

7.4.2 Das Rechnen mit magnetischen Widerständen

Beispiel: "M"- Kern (M65)

a = 65mm µrFe = 500c = 10mmf = 20mm N = 400Wdg.g = 20mmRL = 0,5mm I = 1A

Gesucht: alle Rm, M, B, H

Streuung vernachlässigt

A1,2 ' c@g '10mm@20mm ' 2@10&4m²; AL ' A3 ' g@f ' 4@10&4m²

R1,2 ' a&2 c2%2

a&2 c2

2' a&c%a&c ' 110mm; R3 ' a& 2c

2&RL ' 54,5mm

Rm1,2 'R1,2

µFe@AFe

'110@10&3m A m

1,257@10&6Vs@500@2@10&4m²' 8,75@105 A

Vs

Rm3 '54,5@10&3m A m

1,257@10&6Vs@500@4@10&4m²' 2,17@105 A

Vs

RmL '0,5@10&3m A m

1,257@10&6Vs@1@4@10&4m²' 9,94@105 A

Vs

Rmges 'Rm1,2

2%Rm3%RmL ' 16,49@105 A

Vs


89

( )BH max max= µ

Bopt

Hopt

7.4.3 Magnetische Materialeigenschaften

Allg. B=:o·:r·H ÷ Stoffe mit :r >1 verstärken die Flussdichte und mit :r <1 schwächen.

Die im magnetischen Kreis eingebrachten Stoffe werden unterschieden:

:r <1 - Diamagnetisch, Flussdichte B wird geschwächt (Blei, Kupfer u.a)

:r >1 - Paramagnetisch, schwache Erhöhung von B (Platin, Wolfram, Aluminiumu.a.)

:r >>1 - Ferromagnetisch, starke bis sehr starke Erhöhung von B (nicht linear) (Ei-sen, Nickel, Kobalt, Legierungen u.a.)

Kristallstruktur wichtig÷ z.B. Chromnickelstahl ist unmagnetisch

Temperatureinfluss: Bei der Curietemperatur (Fe -770°C) geht schlagartig der Ferromagne-tismus in den Paramagnetismus über. Anwendung z.B. Lötspitzen-temperaturregelung.

Schlageinwirkung entmagnetisiert teilweise einen Dauermagneten.

Für magnetische Kreise werden fast immer ferromagnetische Kernmaterialien verwendet.Die Permeabilität : bzw. :r eines ferromagnetischen Stoffes ist nicht konstant, sondern eineFunktion der Feldstärke H, d.h. ist nicht konstant.µ' B

H


90

B

H

+Bmax

-B max

+Hs

-Hs

+Hc

-Hc

-Br

+Br

1

2

Neukurve

Die Permeabilität : hängt ab von:

1. Eisensorte, Legierung: Weicheisen, Dynamoblech etc.2. Feldstärke :=f(H)3. Magnetische Vorgeschichte: Remanenz, Koerzitivkraft4. Temperatur unterhalb der Curietemperatur (z.B. bei Ferrit)

7.4.4 Magnetisierungskennlinien

Die vollständige Kurve B=f(H) heißt Hystereseschleife

±Hc magn. Koerzitivfeldstärke±Br magn. Remanenzflussdichte±Bmax magn. Sättigungsflussdichte±Hs magn. Sättigungsfeldstärke

Je nach Verwendungzweck wird eine zweckmäßige Hysteresekurve durch Werkstoffwahlverwendet.

Zum Beispiel: weichmagnetisch mit einer schlanken Hysteresekurve für Wechselstrom-magnete (-maschinen), hartmagnetisch mit einer breiten Hysteresekurve für Permanent-magnete (Lautsprecher u.a.)


91

µ =⋅ µrFe

Fe/A

Fe/A o

BH

Hartmagnetisch Weichmagnetisch Rechteck-Kurve

Anwendung

Dauermagnete Transformatoren magn. Verstärker Permanentpole el. Maschinen Speicherkerne fürfür elektrische Elektromagnete Digitalrechner (alt)Maschinen Relais

Wichtige Eigenschaften

hohe remanente Remanenz- und Remanenz gleichFlussdichte Br Koerzitivfeldstärke Sättigungsflussdichtehohe Koerzitiv- klein wg. Verluste gutes Schaltverhaltenfeldstärke Hc beim Ummagneti- hohe Spannungsaus-

sieren, Remanenz beute beim Um-÷ "Kleben" schalten

7.4.5 Verluste durch Ummagnetisieren

Das Produkt (Fläche) hat die Einheit VolumenbezogeneHdB∫Am

Vsm

Wsm

⋅ =² ³

Energie (Arbeit)

Ummagnetisierungsverlust je Schleifendurchlauf:

÷ Angabe in DatenblätternW V HdBHyst Kern= ⋅ ∫|

Volumen

7.4.6 :Fe und :rFe -Bestimmung aus Kennlinien

Def. A=Arbeitspunktµ =FeFe/A

Fe/A

BH


92

µ =⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

=−rFemax

Vs m m AVs m A

0 424 4 1257 10

759386,

, , ²

RmL

RmFe

µ = =⋅⋅

= ⋅⋅

−Fe

Fe/A

Fe/A

BH

Vs mm A

Vsm A

0 1250

2 4 10 3,²

,

Beispiele:

1.) Gesucht :Fe und :rFe für Dynamoblech bei HFe/A=50A/m

Aus Kennlinie: BFe/A=0,12T (Arbeitsblatt Dynamoblech)

÷

2.) Gesucht optimaler Arbeitspunkt AP für Permalloy C, :rFemax

Lösung durch Parallelverschiebung der Hilfslinien von :rFe als Tangente an die Mag-netisierungskennlinie (Arbeitsblatt Kennlinien).

÷ B Vsm

H AmFe/A Fe/A= =0 42 4 4,

²; ,

3.) Gesucht :rAnf für Mu-Metall

÷ µ =⋅ µ

=rAnfo

0 010 24

33148,,

7.4.7 Grafisches Verfahren zur AP- und :-Bestimmung

Eisenkreis mit Luftspalt

÷ Luftspalt erhöht die Sättigungsfeldstärke, z.B. bei der Vormagnetisierung durchGleichstrom (Netzteil-Glättungsdrossel).Luftspalt linearisiert Übertragerkennlinie (z.B. Übertrager für Sinusspannungen)

Es gilt

1 = M(RmL+RFe)

= HL · RL + HFe · RFe

Problem: RFe und RmL ist als Funktion B=f(H) als Grafik gegeben.

µ =µµ

=⋅

⋅

⋅ ⋅⋅ ⋅

=−

−rFeFe

o

Vs m AVs m A

2 4 101257 10

1909 33

6,

,,


93

$= RmL$= RFe

$= Rmges

HFeFe

Fe=

Θl

HLL

Fe

' =Θl

H HLL

LL

Fe

L= = ⋅

Θl

l

l'

1.) Ermittlung der Luftspaltgeraden

Bedingung: AFe = AL ; MFe = ML also: BFe = BL und H B BL

L

o

Fe

o=

µ=

µ

1. Leerlauf: BFe = 0 ÷ (H0)HFeFe

0 =Θl

2. Kurzschluss: HFe = 0 ÷ (BK)BFeKo

L=

⋅ µΘl

2.) HFe0 und BFeK ergeben die Luftspaltgerade und der Schnittpunkt der Luftspaltgeraden mit der Magnetisierungskurve ist der Arbeitspunkt AP

Konstruktion der Scherung: (vgl. el. Stromkreis: Kennlinie von Diode mit Vorwiderstandkonstruieren)

S Luftspaltgerade spiegeln, d.h. als linearer Widerstand einzeichnen, 2 Geraden-Punk-te (0/0) und (BK/H0).

S Feldstärken punktweise addieren, es ergeben sich jeweils Punkte der neuen Kenn-linie, der gescherten Kennlinie.


94

d mmmm

h mmmm mm

nH

H Am

N Wdg

a

e

max

=

=

==

=

=

=

=

3420

12 582835000

50

20

2

d

A A

i

e

L

,

.

l

U I B H→ → → → → µ; ; ; ; Q D E ergibt: L =I

ΦΦ

ε

[ ]L VsA

H Henry

RA

mL

= =

= =magn. Leitwert Λ 1

7.5 Induktivität

7.5.1 Selbstinduktivität(Vergleiche: Elektrische Kapazität)Die Selbstinduktivität oder kurz Induktivität eines Leiters ist allg. das Verhältnis aus magn.Fluss und erregendem Strom, d.h. Fluss bezogen auf den Strom.Die Selbstinduktivität ist abhängig von Geometrie und Materialeigenschaften.Analogie zum elektrischen Feld:

C QU

A DE d

A DD d

Ad

= =⋅⋅

=⋅

⋅= ⋅

ε

ε

Vertauschung

7.5.2 Spulen-Induktivität

Gesamtspulenfluss ψ = ⋅N Φ

LI

NI R

N IRmges mges

= =⋅

= =⋅Ψ Φ

ΦΘ mit

L N N II R R

N A

N A

mges mgesL

o r

=⋅ ⋅

⋅⋅ = ⋅

=µ µ ⋅

= N

L

2 1 2

2

l

Beispiel: RingkernspuleRingkern N30 (Werte aus Datenbuch)

Gesucht: L, , , I Be max maxµ

Index e = effektive Werte


95

Θ, ,,

, ,

H und B (Luftspaltgerade) Arbeitspunkt B H

BH

weiter mit , , A

die magn. Widerstände R und R berechnen und

abschließend mit N L = NR

Fe L o K

FeA FeA

rFeFeA

FeArFe L Fe

mFe mL2

mges

l l

l l

→→

=µ ⋅

µ

→

damit o

oµ µ

N Wdg m cm= ⋅ =30 15. ², ,, A = 28,3 10 -6Spl

L NR

N AVs

A mm

mm

o

Sp= =

⋅ µ ⋅=

⋅ ⋅⋅

⋅ ⋅− −² ² , , ²

,l

30² 1257 10 28 3 10

0 015

6 6

= 2,13 Hµ

L N AA

RL Lo e

e me= ⋅ =

µ ⋅=2 1 ; A eff. Werte der Gesamtanordnung

z.B. mit Luftspaltl

A RA

AA

VsA m

m VsA m

IH

N

Am m

A

B H VsA m

Am mT

L N A nH mH

Lmges

o re e

e

L e

e o

maxmax e

max o re max

L

= =µ ⋅ µ ⋅

→ =⋅⋅ µ

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=

=⋅

=⋅ ⋅

=

= µ ⋅ µ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ = ⋅ =

−

− −

−

−

1

82 10

83 10 1257 103930

50 82 1020 0 2

1257 10 3930 50 247

20 5000 2

3

6 2 6

3

6

2 2

l

l

l

µ re

-9

=5000 10

,

,

,

2. Beispiel: Zylindrische Luftspule

Gesucht: L

7.5.3 L-Bestimmung

a) mit -Wert aus DatenbuchAL

b) aus Kennlinien (bei nichtlinearem Zusammenhang)

Mit


96

µ =µ ⋅

=⋅

⋅

=

=µ ⋅ µ ⋅

=⋅

⋅⋅ ⋅ ⋅

= ⋅

=µ ⋅

=⋅

⋅⋅ ⋅

= ⋅

= + = ⋅

= =

−

− −

−

− −

rFeFe/A

o Fe/A

Fe

o rFe

L

o

mges

BH

TVs

A mAm

Am

VsA m

L m

AVs

Am

VsA m

m

AVs

AVs

RnH

L

0 72

1257 10 1703370

0 25

1257 10 3370 5 10118 1 10

10

1257 10 5 10159 2 10

277 3 10

1 3606

6

6 4

3

4

6 4

3

3

,

,

,

, ²,

, ²,

,

R

R

R R R

A

mFe

mL

mges mFe mL

L

l

l

= ⋅ = ⋅ =N A nH HL2 21000 3606 3 6,

Beispiel: Bestimmung von -Wert und L im ArbeitspunktAL

l lFe m m m= ⋅ =− −0 25 5 10 104 2 4, ; ; ; A = N = 1000Wdg.I = 100mA ( 50mA, 25mA, 12,5mA )

L

ΘΘ

Θ

= ⋅ = ⋅ ⋅ =

= = =

= → =⋅ µ

=⋅ ⋅

⋅ =

−

−

−

N I A A (50A,Am

Am

Am

A VsA m

mTo

L

1000 100 10 1001000 25

400

400100 1257 10

10126

3

6

4

25A, 12,5A)

H (200 Am

100 Am

50 Am

bei H B

0

0 K

l

l

,, , )

,,

Mit H0 und BK die Luftspaltgerade einzeichnen ÷ Schnittpunkt ergibt ArbeitspunktAbgelesen: B TFeA FeA

Am= =0 72 170, ; H

Wichtig: Bei anderen Strömen andere , etc.µ rFe, L

Ergebnistabelle:

Θ Lµ rFe

A T A/m A/Vs A/Vs nH H

100 0,72 170 3370 118,1·103 159,2·103 3606 3,6

50 0,34 88,5 3056 130,2·103 " 3460 3,46

25 0,14 53 2101 189,3·103 " 2870 2,87

12,5 0,05 35 1136 350,2·103 " 1960 1,96


97

lL

ΦrHL

A cm

A cmmmm

N WdgI Akeine Streuung

Fe

L

Fe

rFe

=

=

==

µ =

==

1

50 30 22000

10000 24

2

2

l

l

L ,,

.,

r rF E Q EdQ E CdU U

dCdU

U dU Cd

U

CC

C

C C

U

C

C

= ⋅ ⇒ = = ⋅ = ⋅

⇒ ⋅ = ⋅∫

dF

F = Cd

0

212

r r

l

l l

F H Hd H LdI I LdI

I dI L II

= ⋅ ⇒ = = ⋅ = ⋅

⇒ ⋅ = ⋅∫

Φ Φ dF

F = L

0

212

7.6 Kräfte im Magnetfeld

Magnetischer Eisenkreis mit Luftspalt ÷ Elektromagnete, Schaltgeräte etc.

Kraft im Luftspalt

Analogieel. Feld

magn. Feld

Umrechnung auf Feldgrößen

F L II

I H H B A B B AA

L L L L

o

L

o

L

o= ⋅ = ⋅ ⋅ =

⋅=

⋅ ⋅⋅ µ

=⋅

⋅ µ=

⋅ µ ⋅l

2 2 2

2 2 2 2 2 2Φ Φ Φ

Anwendung: Relais für Gleich- und Wechselstrom, Dreheisenmesswerk, wg.entfällt die Vorzeichenabhängigkeit.Φ2 (bzw. I )2

Beispiel: Flachrelais

Gesucht: Anziehungskraft F


98

R

α

rB

rF

Fläche ~ Fr

rl

rB

rF

F I B= ⋅ ⋅ ⋅l sinα

Θ

ΦΘ Φ

Φ

= ⋅ =

= ⋅ = ⋅ → = ⋅

=⋅

= ⋅ = =

=µ

= ⋅ →⋅

= =

−

I N A

R AVs

AVs

AVs

R AVs

VsA

T

H B Am

H Wsm

N

mFe mL mges

mges L

LL

o

L

240

79 5 10 47 7 10 127 2 10

127 2 10189 10 0 38

0 3 102

28 4 28 4

4 4 4

4

4

6

, ; , ,

,, ; ,

, , ,

R R

= 240A B

F =

L

L

7.6.1 Kraftwirkung auf bewegte Ladungen (el. Strom)

÷ Kraft auf el. Leiter und Elektronen: z.B. E-Motor, Stromschienen, Bildröhre (TV, Monitor)

7.6.2 Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld

Kraft immer senkrecht zu denFeldlinien

F ist richtungsabhängig, Polarität von I und B bestimmen Richtung von F.

Technische Stromrichtung beachten.

Eindeutige Angabe der Kraftrichtung mit vektorieller Angabe.

def.rl l= Länge in Richtung von Strom I

r rl

rF I B= ×( ) Kreuzprodukt, Vektorprodukt

| | sinr

lF F I B= = ⋅ ⋅ ⋅ α

d h. . : bei 90 Fmax°

Wichtige Anwendungen: Drehspulmesswerk, Elektromotor u.a.


99

rF1

rF2

rF1

rF2

I1

I1

I2

I2

a

F Ia o1

2

2= ⋅ ⋅ µ

l

π

7.6.3 Kraft zwischen 2 parallelen stromdurchflossenen Leitern

I2 erzeugt das Feld für den Leiter mit dem Strom I1 mit dem Abstand a.

B H Ia

F I B I Ia

mit I I I

o o

o

2 22

1 1 2 1 2

1 2

2

2

= µ ⋅ = µ

= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅µ

= =

π

απ

l lsin

Anwendungen:

L Def. des Ampere: R=1m; a=1m; I=1A —› F=2·10-7 N

L Kraftberechnung bei Stromschienen im Kurzschlussfall

Beispiel: Kurzschlussstrom IK=50·103 A; Abstand der Schienen a=0,25mSchienenlänge 1mWie groß ist die Kraft im Kurzschlussfall?

F Ia

Am

VsAmo= ⋅ ⋅ µ = ⋅ ⋅

⋅⋅ ⋅

⋅

−2 3 2 6

3

250 10 1

2 0 251257 10

2 10

l

π π( )

,, m

= N

7.6.4 Kraft auf frei bewegte Ladung

÷ Elektronenablenkung

Es ist unerheblich, ob eine Ladung im Leiter geführt wird, oder frei im Raum fliegt.Die Kraft ist stets senkrecht zur Bewegungsrichtung und senkrecht zum Magnetfeld!

Bewegte Ladung dQ I dQdt

=


100

rv

rF

rB

K Hallkonstanted = Schichtdicke des HalbleitersI Steuerstrom

Flußdichte senkrecht zum Halbleiter

H

St

=

=

=B

ÆÈÇ→ ⋅ × = × dF = dQ

dt

v = Augenblicksgeschwindig - keit der Ladung dQ

r rl

rrl r

r

( ) ( )d B dQ ddt

B

Die gesamte Kraft F auf die bewegte Ladung Q erhält man durch Integration

Lorentzkraftr r rF Q v B= ×( )

Elektronenablenkung

7.6.5 Hall-Generator

Ausnutzung des Hall-Effektes (E.A. Hall, 1880)

Hall-Generatoren bestehen aus einer polykristallinen Halbleiterschicht aus Indium- oderIridiumverbindungen aber auch aus Silizium oder Germanium.Die Halbleiterschicht hat zwei Steuerstromanschlüsse und zwei Kontakte zum Abgriff derHall-Spannung.Wird der Halbleiter von einem Magnetfeld durchsetzt, so wirkt auf den Steuerstrom die Lorentzkraft, d.h. die Ladungsträger werden von ihrer ursprünglichen Bahn (ohne Magnet-feld) abgelenkt und es entsteht die Hallspannung.

÷ Die Ablenkung von Ladungsträgern im Magnetfeld verursacht deren Trennung, dadurchentsteht eine Potentialdifferenz, d.h. eine el. Spannung.

Die Polarität der Hallspannung ist abhängig von der Art der Ladungsträger (p-Halbleiter odern-Halbleiter).

Hallspannung U Kd

I BHH

St= ⋅ ⋅


101

W Fds L I

F

dsm

Lm

= = ⋅ ⋅∫∫ l124 34

l 2

02

Hallgenerator

Bis zu Steuerstromstärken ISt.500mA und Flussdichten B.1T besteht Proportionalität zwi-schen B und UH. Je nach Halbleiter sind Hallspannungen bis zu 500mV möglich.In Metallen tritt eine sehr kleine, technisch kaum nutzbare Hallspannung auf.

Anwendungen:

• Messung großer Gleich- und Wechselströme mittels Magnetfeld des Leiters (Strom-wandler)

• Messung von Gleichstromleistung (Hall-Generator als Multiplizierer)• kontaktloser Schalter (Geber für Zündzeitpunkt in Otto-Motoren)

Neben dem Hallgenerator kommt zur Messung von magnetischen Flüssen noch die Feld-platte zum Einsatz. Die Feldplatte ist ein passives Bauelement, bei dem sich der el. Wider-stand beim Auftreten eines magnetischen Flusses verändert.

7.7 Energie im Magnetkreis

Allgemeine Definition ‘Energie=Kraft mal Weg‘ gilt auch hier:

= ⋅ = = ⋅ ⋅∫L I ds L I

m

L

m

Lm

m

l ll

l2

0

2

2 2

Energie einer SpuleW L IL=⋅ 2

2

7.8 Magnetische Induktion

7.8.1 Selbstinduktionsspannung

Bekanntlich erzeugt der elektrische Strom in einem Leiter ein Magnetfeld. Jede Änderungdes Stromes hat auch eine Änderung des Magnetfeldes zur Folge.Ein sich änderndes Magnetfeld hat eine Induktionswirkung auf Ladungsträger, d.h. es wer-den Ladungsträger verschoben, getrennt, es wird eine el. Spannung erzeugt.


102

LI

NI

iL= =⋅ ⋅

=Ψ Φ Φ ; I = N

L

ÆÈÇ

u N ddtL = ⋅Φ

i tL

u t iL L L

t

( ) ( )dt ( )= +∫1 0

0

÷ Jede Stromänderung in einem Leiter führt zur Erzeugung einer Spannung, der sog.Selbstinduktionsspannung, die der Ursache entgegen wirkt (Lenz‘sche Regel).

Ein Leiter ist eine Spule mit einer gestreckten Windung, demnach gilt vorhergesagtes auchfür allg. Spulen mit entsprechend größerer Wirkung.

Induktionsgesetz u Ldidti

L= − ⋅didt

L = Stromänderungsgeschwindigkeit

analog zum el. Feld: Vertauschung von i ø u und L ø C ergibt das Induk- i Cdudtc

C= ⋅ tionsgesetz.

Die induzierte Spannung wirkt der äußeren Spannung entgegen, daher das neg. Vorzeichen.Als Summe liegt an der Spule die Spannung

u L didtL

L= ⋅

Durch Integration kann der Spulenstrom berechnet werden:

mit Induktionsgesetz beschrieben mit der Flussänderung

7.8.2 Auf- und Entmagnetisierung von idealen Induktivitäten

Aufmagnetisieren: UL > 0

Entmagnetisieren: UL < 0

Näherung: RL ÷ 0, uR << uL

Auf- und Entmagnetisierung mit konstanter Spannung uL=UL= konst

i tL

U dt i U t tL

iL L Lt

tL

L( ) ( ) ( ) ( )= + =⋅ −

+∫1 0 0

0

1

1 0

∆IL linearer Stromanstieg⇒

∆∆I U t

LL=

⋅


103

i L

uL

t

2A24V

0 1ms 2ms

-24V

u Ldidt

U V

U tI

V msA

mH

LL

L

L

L

= = =

→ =⋅

=⋅

=

24

24 12

12 L ∆∆

Beispiel 1:

a) i t t msL L( ) ? ( ) ;1 10 20= = = == wenn i tt 0 1 ∆

i t U tL

V msH

mALL( )

,11 0 12 20

2 596=

⋅+ =

⋅=

∆

b) ∆t t2 2 0 für vollkommene Entmagnetisierung iL→ =( )

∆∆

∆

t IU

L mAV

H ms

ohne Z ms

L E

L E2

9625

2 5 9 6

240

= ⋅ =−−

⋅ =

=

/

/, ,

( ) - Diode: t2

c) Gespeicherte Energie

W L I H mA mWsLL=

⋅=

⋅=

2 2

22 5 96

2115, ( ) ,

d) Verlustleistung der Dioden beim Entmagnetisieren bei einer Taktfrequenz f=10Hz

P WT

mWsms

mWVL= = =

115100

115,

Beispiel 2:

Wie groß ist die Induktivität L, wenn folgender Stromverlauf vorliegt?


104

Beispiel 3:

Zeichne dem Spannungsverlauf uL(t) entsprechend den gegebenen Stromverlauf bei eineridealen Induktivität L=1mH.

U mH As

V mH As

V mH As

U mH As

V mH As

mH As

V

U mH As

V

L L L

L L L

L L

1 2 3

4 5 6

7 8

1 3400

7 5 1 6200

30 1 0300

0

1 3100

30 1 050

0 1 250

40

1 250

40 0

=µ

= =−

µ= − =

µ=

=µ

= =µ

= =µ

=

=−

µ= − =

, ; ; ;

; ; ;

; ;

U U

U U

U

7.8.3 Auf- und Entmagnetisierung von realen Induktivitäten mit R und L

R R Ri L= + | |Quelle Spulenwiderstand

Masche U L didt

i RLL0 0− − ⋅ =


105

τ =LR

− U0

imax

UR

0

u L didt

U eL EL E

t

//= ⋅ = − ⋅

−

0τ

↓= ∞imax iL ( )

↓uL( )0

↓imax

Rechnung wie bei der Aufladung des Kondensators:

÷ Vertauschung i ø u Zeitkonstante

1. Aufmagnetisierung

i t UR

eL A

t

/ ( ) ( )= −−

0 1 τ

u L didt

L UR

eLL

t

= ⋅ = ⋅ − ⋅ − ⋅−

( ( ) )0 10

ττ

Spannung nimmt abu U eL A

t

/ = ⋅−

0τ

2. Entmagnetisierung

i UR

eL E

t

/ = ⋅−

0 τ

Der Strom fließt im erstenMoment weiter.


106

i t i e

i msi

e e

L L

t

L

L

t msH

( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ,

$

/

= ∞ ⋅ −

→∞

= − = − =

−

− −

1

8 1 1 0 7988

3 600

τ

τ

= 79,8%

Ω

i i e

ii

e

ms

L E L

t

L E

L

t

E

E

/

/

( )

( )ln ,

ln , ,

= ∞ ⋅

→∞

= → = − ⋅

=

−

−

τ

τ τ = 0,1 t

= - 3H600

E 01

01 115Ω

t = - 3H800E(200 )Ω Ω

ln , ,0 1 8 6= ms

RU

R R

R V V

R k V

E SpS

LE

E Sp

E Sp

= → =−

⋅ =

= → = − ⋅ = −

= → = −

0 0 0

200 0 60600 200 20

10 0 1000

U

U

U

( )

( )

( )

Ω Ω Ω

Ω

Beispiel

a) Auf wieviel % von ist die Spule nachiL ( )∞

aufgeladen?t msA = 8b) Wie lange dauert die Entmagnetisierung auf

10% von bei ?iL ( )∞ RE = 0Ω Ω und 200c) Welche max. Spannung USp tritt im Abschaltmo-

ment auf?

a)

b)

c)


107

kRL

UR

RL

UL

U UR

L o

L

L K o K

L1 ⋅ − + = − → =

+( ) k1

k k k k RL

k k k k RL

RL

L

L

L

1 2 1 2

1 2 2 1 2

2

1 0² ⋅ + ⋅ =

= −

= −

k

k → τ =L

RL

7.8.4 Abschalten von aufmagnetisierten Induktivitäten mit Gegenspannung

Schaltung:

u L didt

L iL

o= = ⋅ (1)

Masche

u i R UL L L K+ ⋅ + = 0

÷ (2) Dgl.L i i R Uo

L L L K⋅ + + = 0 i i RL

UL

oL L

L k+ ⋅ =−

Lösungsansatz mit folgender Funktion (3)i t k e kLk t( ) = ⋅ +⋅

1 32

bei t=0 abschalten

1. Bedingung mit (2) (4)i UR

k kLo

L( )t 0= = = ⋅ +1 31

÷ Strom fließt im Abschaltmoment weiter

2. Bedingung U konstdtK = ⇒ =. dUK 0 ⇒ + = iL

oo i

RL

o

LL 0

(5)k k k k RL

L1 2 1 21 0² ⋅ + ⋅ =

3. Bedingung Dgl. (2) für t=0

(6)k k k RL

UL

L K1 2 1 31 0 1⋅ + + ⋅ + = −(k )

aus (5)

(4) ÷ (6)


108

UR

U UR

k UR

UR

UR

UR

o

L

o K

L

o

L

o

L

K

L

K

L=

++ → = − − = −3 k3

+

u1

rB

rv

+ + + +

- - - -

Q

rF

l

rB

rv

l

k1, , k k (3)2 3 →

i t U UR

e URl

o K

L

tL R K

L

L( ) /=+

⋅ −−

u t L didt

L U UR

RL

eLL o K

L

Lt

L RL( ) ( ) /= ⋅ = ⋅+

⋅ − − →−

0 u t U U eL o K

tL RL( ) ( ) /= − + ⋅

−

mit (4)

ergibt:

7.8.5 Bewegung eines Leiters (Leiterschleife) im Magnetfeld

Lineare Bewegung

R = Leiterlängeds = Wegelementv = GeschwindigkeitB = Flussdichte" = Winkel des Weges zu

rB

Induzierte Spannung (1 Schleife):

u ddt

B dAdt

B dsdt

B v1 = − = −⋅ ⋅

= −⋅ ⋅ ⋅

= − ⋅ ⋅ ⋅Φ sin sin sinα α

αl

l

N Leiterschleifen:

u N B vN = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅l sinα


109

B, Φ

u t N u tN( ) $ sin= ⋅ ⋅ ω

Φ( ) cos ( )t B A B A t= ⋅ = ⋅ ⋅r r

α α ω= ⋅ t

u B Au

t1 = ⋅ ⋅ ⋅ω ω$

sin124 34 u t u t1( ) $ sin= ⋅ ω

7.8.6 Rotation einer Leiterschleife im homogenen Magnetfeld

Rotation mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω π= ⋅ ⋅2 f

(Abgriff der induzierten Spannung u über Schleif-ringe)

Annahme: bei t=0 steht die Fläche A der Leiterschleife senkrecht zu B bzw. .ΦAusgangsposition ÷ Winkel "=0 (zwischen A und B)d.h. bei t=0 ist Φmax B A= ⋅

Nach Drehung um "=90°: Vektoriell betrachtet haben zwar zueinander einen Win-r rB und A

kel von 90°, aber der magnetische Fluss, der durch die Flächetritt, ist 0 → = Φ 0

÷ Der magn. Fluss durch die Leiterschleife ändert sich mit dem cos des Drehwinkels ".

Mit berechnet sich die induzierte Spannung:Φ( ) cost B A B A t= ⋅ = ⋅ ⋅r r

ω

u ddt

BA d tdt1 = − = −

Φ cosω

Bei einer Spule mit N Windungen erhält man:

Φ( )t

u t ddt( ) = Φ

Φmax

−π2

π2

π 32

π2π

u t ddti( ) = − Φ

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