GROSSKREISNAVIGATION

AUSBILDUNGSINHALT

Allgemeines

Elemente des Großkreises und ihre Berechnung

▪ Berechnung der Distanz

▪ Berechnung des Anfangskurses

▪ Berechnung der Scheitelpunktkoordinaten

▪ Berechnung der Zwischenpunkte

Mischsegeln

Die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten auf er als Kugel angenommenen Erde ist der Großkreis.

Schiffe, die sich mit konstantem Kurs bewegen, fahren auf einer Loxodromen. Der Unterschied zwischen

dlox und dort kann in hohen Breiten zwischen A und B und bei großen Entfernungen recht erheblich sein.

Daher wird man hier das Fahren auf dem Großkreis vorziehen (Hochseenavigation). Dabei ist zu beachten:

• Meteorologische und hydrologische Bedingungen

• Hindernisse, wie Land und Eis

• Hindernisse aus den Ozeanhandbüchern

In vielen Fällen wird man das Mischsegeln, eine Kombination zwischen Großkreis- und Loxodromensegeln

anwenden. In der Seekarte lässt sich die Orthodrome nicht als gerade Linie darstellen, so dass man die

Elemente des Großkreises errechnen bzw. auf Spezialkarten darstellen muss. Beim Fahren auf dem

Großkreis ist ständig der Kurs zu ändern. Hier hilft man sich, indem man den Großkreis durch

Zwischenpunkte unterteilt und zwischen diesen Punkten auf der Loxodromen fährt (Annäherung an den

Großkreis durch Loxodromstücke mit Kursänderungen von 001°). Die Berechnung von Zwischenpunkten

ermöglicht den Überblick.

ANWENDUNG

Die Orthodrome (griech. orthos für „gerade“, dromos für „Lauf“) ist die kürzeste

Verbindung zweier Punkte auf einer Kugeloberfläche.

Die Orthodrome ist eine Geodäte für den speziellen Fall auf einer Kugeloberfläche.

Die Orthodrome ist immer ein Teilstück eines Großkreises. In der Mercartorkarte stellt

sich dieses Bogenstück als Kurve dar und kann somit nicht dort gezeichnet werden.

LOXODROME UND ORTHODROME

Eine Loxodrome (gr. loxos „schief“, dromos „Lauf“) ist eine Kurve auf einerKugeloberfläche z. B. der Erdoberfläche, die die Meridiane im GeographischenKoordinatensystem immer unter dem gleichen Winkel schneidet und daher auchKursgleiche, Winkelgleiche oder Kurve konstanten Kurses genannt wird. Beginnend amÄquator endet diese in den Polen als Spirale, auch als logarithmische Spirale bezeichnet.Sie ist somit nicht die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten auf der Kugel.Auf der Mecartorseekarte stellt sich die Loxodrome als gerade Linie da, die alleMeridiane unter dem gleichen Winkel schneidet!

GROSSKREIS AUF DER MECARTORKARTE

Der Großkreis ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten auf der als Kugel angenommenen Erde. Auf

der Mecartorkarte ergibt sich folgende Darstellung, wobei deutlich die Wegeinsparung beim Fahren auf dem

Großkreis erkennbar ist.

Wolfgang Kösling

Kurs und

Distanz

Das wahre

Kursdreieck

in der Ebene

Δφ

Δλ

cb

aC

A

B

αλA

φA

φB

λB

Zählweise

des Kurses

N 135° E

S 45° E

rwK = 135°

Wahres Kursdreieck in der Ebene

Elemente des Großkreises

Abfahrtsort : φA

Bestimmungort: φB

Breitenunterschied: Δφ

Abfahrtsort : λA

Bestimmungsort: λB

Längenunterschied: Δ λ

A

BOrthodrome Distanz zw. A und B dort

Orthodromer Anfangskurs von A rwKA

Scheitelpunkt des Großkreises φS, λS

Zwischenpunkte Zi Koordinaten φi, λi

Wolfgang Kösling

Abfahrtsort

Bestimmungsort

Geographischer

Nordpol der Erde

Distanz vom

Abfahrtsort zum

Bestimmungsort

Geographischer

Längenunterschied

(Δλ)

Kurswinkel

Geographischer

Breitenkomplement

(90° - φ)

Geographischer

Breitenkomplement

(90° - φ)

Paralaktischer

Winkel

Sphärisches Grunddreieck beim Fahren auf Großkreis

Das nautische Grunddreieck für die Großkreisnavigation

Als Winkel im nautischen Grunddreieck bilden sich:

am Punkt A als Abfahrtsort: Anfangskurs (αA)

am Punkt B als Bestimmungsort: Endkurs (βE),

am Punkt C als Pol (P): der Längenunterschied (Δλ),

Als Seiten im nautischen Grunddreieck bilden sich:

Seite a als Δφ‘B (90° - B)

Seite b als Δφ‘A (90° - φA)

Seite c Distanz (dort)

Die Elemente des Großkreises

A

P

B

β

α

Δλ

90° − φA

90° − φB

α = Kurswinkel am Abfahrtsort

Δλ = Längenunterschied

β = Kurswinkel am Bestimmungsort

P = geographischer Pol

A = Abfahrtsort

B = Bestimmungsort

S = Scheitelpunkt des Großkreises

Mit Hilfe des Sinussatzes, des Seitenkosinussatzes und des

Winkelkosinussatzes kann man sämtliche allgemeinen sphärischen

Dreiecke berechnen, sofern drei Stücke eines solchen Dreiecks

gegeben sind. Es werden sechs Fälle der Berechnung der Seiten und

Winkel für die Navigation verwendet.

In der Regel müssen der Kurs und die Distanz sowie der

Scheitelpunkt berechnet werden.

Gegeben:

• φA → Koordinaten des Abfahrtsortes

• φB → Koordinaten des Bestimmungsortes)

• Δλ → aus der algebraischen Summe λA - λB

Gesucht:

• Distanz und Kurswinkel

• Scheitelpunkt S des Großkreises

S

Berechnung der Distanz

Die Distanz zwischen folgenden Orten ist gesucht!

Abfahrtsort: φA = 37° 42‘ N λA = 123° 04‘ W

Zielort: φB = 34° 50‘ N λB = 139° 53‘ E

Δλ = 097° 03‘ W

cos d = sin 37° 42‘ sin 34° 50‘ + cos 37° 42‘ cos 34° 50‘ cos 97° 03‘

d = 74, 36023° = 4461,6 sm

Nach dem Seitenkosinussatz gilt im Dreieck APB:

cos d = cos (90° - φA ) cos (90°- φB ) + sin (90°- φA ) sin (90°- φB ) cos Δλ(Diese Umstellung gilt sinngemäß für alle folgende Formeln)

Daraus folgt:

cos d = sin φA sin φB + cos φA cos φB cos Δλ

Berechnung des Anfangskurses

Unter Verwendung der bereits errechneten Distanz von 74° 21,6‘ ist der Anfangskurs

zu berechnen!

Abfahrtsort: φA = 37° 42‘ N λA = 123° 04‘ W

Zielort: φB = 34° 50‘ N λB = 139° 53‘ E

Δλ = 097° 03‘ W

cos α = (sin 34° 50′− sin 37°42′ cos 74° 21,6′)

cos 37° 42′ : sin 74° 21,6′

α = N 57,772°W rwKA = 302,2°

Soll der Anfangskurs ohne Benutzung der Distanz berechnet werden, so ist die

folgende mathematische Beziehung anzuwenden:

tan 𝛼 =sin Δλ

tan φB cos φA − sin φA cos Δλ

cos α = 𝑠𝑖𝑛𝜑𝐵− 𝑠𝑖𝑛𝜑𝐴 cos 𝑑

cos 𝜑𝐴 sin 𝑑

Merkt Ihr was?

Hier überlaufen wir die

Datumsgrenze

von West nach Ost

Berechnung der Scheitelpunktkoordinaten

Im Scheitelunkt S erreicht der Großkreis seine größte Breite. Der Meridian durch S steht senkrecht auf dem

Großkreis. Es gilt das rechtwinklig sphärisches Dreieck APS. Nach der NERPERSCHEN Regel gilt dann:

cos φS = sin α cos φA und tan ΔλA = 1

sin 𝜑𝐴 tan 𝛼

Die Länge des Scheitelpunktes ergibt sich wie folgt:

λS = λA ± ΔλA

Hinweis:

Man beachte, dass für ΔλA ≤ 180° der gesuchte Scheitelpunkt bei spitzem Winkel α in Richtung des

Anfangskurses und bei stumpfen Winkeln α in entgegengesetzter Richtung liegt!

Berechnung der Scheitelpunktkoordinaten

Scheitelpunktberechnung:

cos φS = sin α cos φA und tan ΔλA = 1

sin 𝜑𝐴 tan 𝛼

Die Länge des Scheitelpunktes:

λS = λA ± ΔλA

Abfahrtsort: φA = 37° 42‘ N λA = 123° 04‘ W

Zielort: φB = 34° 50‘ N λB = 139° 53‘ E

Δλ = 097° 03‘ W

d = 74, 36023° = 4461,6 sm α = N 57,772°W

Ergebnisse:

φS = 47° 59,1‘ N ΔλA = 45° 52,3‘

damit

λA = 123° 04,0‘ W

ΔλA = 045° 52,3‘ W

λS = 168° 56,3‘ W

T-rechner: 37,7 sin x 57,772 tan

= 1/x = shift tan shift DEG

Berechnung von Zwischenpunkten

Mit der Berechnung von Zwischenpunkten kann der Großkreis durch Polygonzug loxodromer Teildistanzen und

zugehöriger Kurse annähernd auf der Mecartorseekarte dargestellt werden. Für die nautische Praxis haben sich zwei

Methoden bewährt:

Erste Methode: Vorgabe der geographischen Länge und Berechnung der entsprechend dazu gehörigen Breiten (lt.

Beispiel):

Abfahrtsort: φA = 37° 42‘ N λA = 123° 04‘ W

Zielort: φB = 34° 50‘ N λB = 139° 53‘ E

Δλ = 097° 03‘ W

rwK A ort = 302,2° d = 4461,6 sm

Wie richtig erkannt, wird dabei die Datumsgrenze von West nach Ost übersegelt!

Als Zwischenpunkte in der Länge lassen sich festlegen:

140° W, 160° W, 180°nach West, 160° E. Danach errechnen sich die Breiten nach der Formel tan φZp = cos ΔλZp tan φS

gemäß dieser Längenvorgabe wie folgt:

Zwischenpunkte:

Zp 1 Zp 2 Zp 3 Zp 4 .

140° 00,0‘ W 160° 00,0‘W 180° 00,0‘W 160° 00,0‘ E festgelegte Länge

44° 10,2‘ N 47° 38,4‘ N 47° 27,0‘ N 43° 33,4‘ N dazu berechnete Breite

Mit der Besteckrechnung können wir dann Kurs und Distanz neu berechnen und mit dem Großkreis abgleichen. Auch können wir diese

Koordinaten in die Seekarte eintragen und somit Kurs und Distanz (Loxodrom) direkt entnehmen!

Berechnung von Zwischenpunkten

Hat man eine Großkreiskarte (siehe Bild) zur Verfügung, kann man durch Einzeichnen des Großkreises die

Zwischenpunkte als Schnittpunkte mit den vorgegebenen Meridianen (λZ) bestimmen und Breiten (φZ) der

Karte entnehmen. Die loxodromen Kurse und Distanzen werden dann durch Übertragung in die Mercatorkarte

bestimmt.

Berechnung von Zwischenpunkten

Zweite Methode: Vorgabe der Kursänderungsrate um je 1° von Zwischenpunkt zu Zwischenpunkt.

Zunächst erfolgt die Berechnung des Scheitelpunktes

cos𝜑𝑍 =cos𝜑𝐴 sin 𝛼

sin 𝛼𝑍

Die αZ werden von einem Anfangspunkt α1 um

jeweils 1° oder allgemein um Δα verändert.

Um ganzgradzahlige Kurse zu erhalten, sollte man bei der Wahl von α1 beachten, dass sich die loxodromen Kurse

aus folgender Beziehung ergeben:

αλZ = αZ ±∆𝛼

2

Richtung der

Orthodrome und

der Loxodrome

Berechnung von Zwischenpunkten

Die geographische Länge der Zwischenpunkte wird mit Hilfe des Längenunterschiedes gegen die

Scheitellänge berechnet:

cos ΔλZ = tan 𝜑𝑧

tan 𝜑𝑆

Damit gilt:

λZ = λS ± ΔλZ

Zur Bestimmung der loxodromen Kurse und Distanzen überträgt man die Koordinaten der Zwischenpunkte

in eine Mercartorkarte oder berechnet diese nach dem Verfahren der Besteckrechnung.

Beispiel:

Abfahrtsort: φA = 37° 42‘ N λA = 123° 04‘ W

Zielort: φB = 34° 50‘ N λB = 139° 53‘ E

Δλ = 097° 03‘ W

rwK A ort = 302,2° d = 4461,6 sm

Scheitelpunkt: φS = 47° 59,1‘ N λS = 168° 56,3‘ W

Berechnung von Zwischenpunkten

Für die ersten Zwischenpunkte entsprechend dem Beispiel erhält man nach den beschriebenen Verfahren

folgende Werte:

Z φZ λZ αZ (°) rwKZ (°) dZ (sm)

A 37°42,0‘N 123°04,0‘W 057,7 058,1 65,9

Z1 38°16,8‘N 124°15,0‘W 058,5 059 87,5

Z2 39°01,8‘N 125°51,1‘W 059,5 060 84,3

Z3 39°44,0‘N 127°25,6‘W 060,5 061 81,7

Z4 40°23,6‘N 128°58,9‘W 061,5 062 79,0

Mischsegeln

Führt der Großkreis der Orte A und B in zu hohe Breiten, die eine unmittelbare Gefahr für das Schiff darstellen

könnte, so wird bei Erreichen der maximalen Breite vom Segeln auf der Orthodrome auf das Segeln auf der

Loxodromen solange übergegangen, bis man wieder orthodrom Segeln kann.

Man legt an dem Breitenparallel, der nicht übersegelt werden soll, zwei Großkreise an, die sich in den Punkten

S1 und S2 berühren. Vom Ort A segelt man bis zum Punkt S1 und von dort aus, dem Breitenparallel folgend

weiter bis zum Punkt S2. Ist S2 erreicht, so segelt man auf dem Großkreis bis zum Ort B.

Mischsegeln

Wolfgang Kösling

Beispiel:

Ein Schiff ist von Wellington (Neuseeland) nach Valparaiso (Chile) bestimmt.

Der Breitengrad von 50° S soll nicht übersegelt werden!

Wellington φA = 42° 00,0‘ S λA = 175° 00,0‘ E

Valparaiso φB = 32° 58,0‘ S λB = 071° 41,0‘ W

Die loxodrome Distanz und der rwK zwischen den Scheitelpunkten S1 und S2 sind zu berechnen!

cos ΔλA = tan φA

tan φ max

cos ΔλB = tan φB

tan φ max

ΔλA = 040° 55,7‘ E ΔλB = 057° 01,7‘ W

λS1 = λA ₋ ΔλA λS2 = λB ₋ ΔλB

= 134° 04,3‘ W = 128° 42,7‘ W

φS1 = 50° 00,0‘ S φS2 = 50° 00,0‘ S

Dlox = (λS2 ₋ λS1) cos φmax

= 592,3 sm rwK = 090°