II

Gegen Unendlich

Folgen (n) = 1, 2, 3, ...

(2n) = 1, 2, 4, 8, ...

0...,51

,41

,31

,21

,11

)n1

( 0)n1

(limn

0...,51

,0,41

,0,31

,0,21

,0,11

Der Kehrwert der Folgenglieder strebt gegen Null.

Der Grenzwert: potentielle Unendlichkeit

1/n wird kleiner als jede vorgegebene Zahl > 0

nn

alim

aber der Grenzwert wird nicht angenommen 1/n > 0

Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855)

1 + 2 + 3 + ... + 100

100 + 99 + 98 + ... + 1

101 + 101 + 101 + ...+ 101 = 10100

1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2

= 5050

Geometrische Reihe: 1 + q + q2 + q3 + ... + qn

- (1 + q + q2 + ... + qn-1 + qn)q

= 1 - qn+1

1 + q + q2 + ... + qn =

Schach: 264 - 1 = 21019 Reiskörner

Erdoberfläche: 51018 cm2

1 + q + q2 + ... = für IqI < 1

unendlich viele Zahlen, endliche Summe:

q1q1 1n

q11

...16

1

8

1

4

1

2

1

1

1)

2

1(

0

n

n

?...81

71

61

51

41

31

21

11

0...16

1,

8

1,

4

1,

2

1,

1

1

2161

81

41

21

11

...

0...,51

,41

,31

,21

,11

....)81

71

61

51

()41

31

()21

(11

Nicole von Oresme (1323 - 1382)

College de Navarre in Paris:

Schüler, Lehrer, Vorsteher

Bischof von Lisieux

Vorahnung der Analysis

Gebrochene Potenzen: 43 = 64 = 82 8 = 43/2

Wieviel Zeit benötigt ein Supercomputer,um die Summe S = 100 zu erreichen?

klg3,2elg/klgkln1lnklndxx1

n1

k

1

k

1n

k = 1000 S 7 k = 106 S 14 k = 109 S 21 k = 1012 S 28

S = 100 k = 1043

....)81

71

61

51

()41

31

()21

(11

Wieviel Zeit benötigt ein Supercomputer,um die Summe S = 100 zu erreichen?

klg3,2elg/klgkln1lnklndxx1

n1

k

1

k

1n

k = 1000 S 7 k = 106 S 14 k = 109 S 21 k = 1012 S 28

?...8

1

7

1

6

1

5

1

4

1

3

1

2

1

1

1

S = 100 k = 1043

bei 106 Additionen in der Sekunde werden 1037 Sekunden gebraucht. Das Alter des Universums beträgt ca. 1017 s.

100.000.000.000.000.000.000 mal das Alter des Universums.

Werden alle Zahlen, die eine Ziffer 9 enthalten,entfernt, so ist die Reihe konvergent. (Frank Irvin, 1916)

3,23...10

1

9

1

8

1

7

1

6

1

5

1

4

1

3

1

2

1

1

14,22

2ln...8

1

7

1

6

1

5

1

4

1

3

1

2

1

1

1

2ln2

1...

8

1

6

1

4

1

2

1

2ln2

3...

4

1

7

1

5

1

2

1

3

1

1

1

Nicht jede Reihe konvergiert absolut:

halbiert

und addiert

Es sind aber dieselben Glieder!

...51

41

31

21

1(21

...51

41

31

*(*...21

43

...15

1

8

1

3

1

)11

(21

1k2k

1k

2k

1k2k

1k1

211

21

2k1k2

1

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716)rechnet bewußt mit der harmonischen Reihe: "... so kann die Differenz zwischen zwei harmonischen Reihen, mögen sie auch unendlich sein, doch eine endliche Größe bilden."

Francois Viète 1540 - 1603) = Vieta

geboren und gestorben als Katholik, zwischendurch Hugenotte1572 Bartholomäusnacht:20000 Hugenotten ermordetAnwalt in Fontenay-le-Comte Parlamentsrat in Rennes und Tours Entschlüsselung des spanischen Geheimcodes (500 Zeichen)größter frz. Mathematiker des 16. Jhds.

Wurzelsätze des Vietasin 2 = 2 sin cos und weitere derartige Formeln

...*2

222*

2

22 *

2

22

erste unendliche Faktorenfolge (1593)

Wallis' Produkt in: Arithmetica Infinitorum (1655):

755331664422

2

2/

0

n

2/

0

2n xdxsin2n

1nxdxsin

John Wallis (1616 - 1703)

11357911

246810xdxsin

1357911246810

xdxsin

224681013579

xdxsin24681013579

xdxsin

2/1

2/11

2/0

2/10

00

00

755331664422

2

2/

0

n

2/

0

2n xdxsin2n

1nxdxsin

James Gregory (1638 - 1675) konnte alle natürlichen Logarithmen positiver Zahlen berechnen,fand die Taylor-Reihe lange vor Taylor,fand 1671 die Reihe von Leibniz,3 Jahre vor Leibniz (1674)

arctan1 = 0

1

21

1

x dx =

0

1

( 1 - x2 + x4 - x 6 +- ... ) dx

3 5 710

x x xarctan1 ( ...)

3 5 7

1 1 11 ...

4 3 5 7

x

Prisma: LichtzerlegungHaarnadelexperimentSpiegelteleskopApfelbaum?1/r2-Gesetz der GravitationMechanik: F = p

Entdeckung der unendlichen Reihen für jede Potenz eines Binoms der Form

(1 + x)p mit IxI < 1

(1 + x)2 = 1 + 2x + x2

2 2 32 2(2 1) 2(2 1)(2 2)(1 x) 1 x + x x

1 1 2 1 2 3

(1 + x)p = 1 + 1

p x +

( 1)

1 2

p p

x2 + ( 1)( 2)

1 2 3

p p p

x3 + ...

Isaac Newton(1642 - 1727)

Trinity College in Cambridge

Jakob Bernoulli (1654 - 1705)

ax = x2 x = a

1696 1/(1+x) = 1 - x + x2 - x3 + x4 -+ ...

½ = 1 - 1 + 1 - 1 + -...

Mönch Grandi: so erfolgte die Schöpfung aus dem Nichts:

½ = 1 - 1 + 1 - 1 + -... = 0 + 0 + 0 +...

Lemniskate

Leonhard Euler (1707 - 1783)

Schüler von Johann BernoulliGrößter Mathematiker des 18. Jhd.Fruchtbarster Mathematiker aller ZeitenSein Werk füllt 70 große Bände

Eulersche Winkel (starrer Körper)Eulersche KreiselgleichungEulersche KnickgleichungEulersche Gleichungen (Hydrodynamik)Mondtheorie, Schiffsbau, ArtillerieBezeichnungen am Dreieckei = cos + isinln(-1) = i + ik2

Friederike von Brandenburg-Schwedt(1745 - 1808)

Populäres Buch: Briefe an eine deutsche Prinzessin. In 7 Sprachen übersetzt.Berlin liegt höher als Magdeburg, weil die Spree in die Havel und diese in die Elbe fließt. - Aber weit unterhalb von Magdeburg!

Zetafunktion

Ausgehend von der Reihe für sin x die Reihe der inversen Quadrate summiert (Leibniz und die Bernoullis hatten es vergeblich versucht)

(2) = 1 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + ... = 2/6

(4) = 1 + 1/24 + 1/34 + 1/44 + ... = 4/90

...

Reihenwerte für ungerade Potenzen: vergeblich gesucht

bislang noch nicht gefunden

(-1) = 1 + 2 + 3 + 4 + ... = -1/12

2 3 11 ...

1x x x

x

2

2

11 2 3 ...

(1 )x x

x

22

11 2 3 ...

(1 )x x

x

1

41 2 3 ...

für alle x mit |x| < 1

für x = 1

11 2 3 4 5 6 ... 2 3 4 5 6 ...

4 1 2 3 4 5

1 2 3 4 5 6 .

..

..

)6 .(

4 8 12 ...

1 2 3 4 ..1

3 ( )4

2 3 4. 1 ...

x32

e...!3

x

!2

x

!1

x1)

x1(

Die Anzahl der Primzahlen p < N ist ungefähr lnlnN

Euler fand die längste Primzahlfolge:

n(n+1) + 41 liefert Primzahlen für n = 0 bis n = 39

41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97 ...Euler hat, wie seine Zeitgenossen, divergente Reihen bedenkenlos eingesetzt, gibt aber erstmals ein Konvergenz-kriterium an: Der Reihenrest nach dem "unendlichsten" Glied muß unendlich klein werden.

Euler schreibt immer das letzte Glied mit hin, meist i für numerus infinitus.

= x0 + x1 + x2 + x3 + ... + xi

= (-1)0 + (-1)1 + (-1)2 + (-1)3 + ...

= 1 - 1 + 1 - 1 + - ... = ½

auch Leibniz und Jakob B. kamen zu diesem Schluß

= 1 + 2 + 4 + 8 + ... = -1

mit Wallis angenommen: 1/3 < 1/2 < 1/1 < 1/0 < 1/-1

x11

)1(11

211

ln(a/b) = lna - lnb

ln2 = ln2 - ln

21

121

...61

51

41

31

21

1

)m(Cmk11m

1k

ln

1...

61

51

41

31

21

1

ln(a/b) = lna - lnb

ln2 = ln2 - ln

-1 - 1/2 - 1/3 - ... - 1/

21

121

...61

51

41

31

21

1

21

121

...61

51

41

31

21

1

)m(Cmk11m

1k

ln

97

2

75

2

53

2

31

21

...5

1

4

1

4

1

3

1

3

1

2

1

2

1

1

11

...9

1

7

1

7

1

5

1

5

1

3

1

3

1

1

11

...54

1

43

1

32

1

21

1

1

1

97

1

75

1

53

1

31

1

2

1