laminare Grenzschichten Wofür Grenzschichttheorie? mit der ... · laminare Grenzschichten Wofür Grenzschichttheorie? • mit der Potentialtheorie können nur Druckverteilungen berechnet

laminare Grenzschichten

Wofür Grenzschichttheorie?

• mit der Potentialtheorie können nur Druckverteilungen berechnetwerden→ Auftriebskraft

• Die Widerstandskräfte können nicht berechnet werden. Reibungs-kräfte müssen berücksichtigt werden

Die Druckverteilung an schlanken Körpern stimmt gut mit der theo-retischen Verteilung aus der Potentialtheorie überein, wenn Re ≫ 1.Der Einfluss der Reibungskräfte ist auf einen sehr dünnen Bereichin der Nähe der Wand beschränkt → Grenzschicht

1

laminare Grenzschichten

Beispiel

au

ua

0.99 u

δ

aGrenzschichtrand

Haftbedingung

2

Grenzschichttheorie

• Die Aufteilung der Strömung in 2 Teile (die reibungsfreie Außen-strömung und die Grenzschicht) erlaubt eine komplette Beschrei-bung des Strömungsfeldes.

• Die Grenzschichttheorie gilt nicht in der Nasenregion!

��

��

3

Grenzschichttheorie

• Durch die Verzögerung in der Grenzschicht werden die Stromli-nien von der Wand abgedrängt. Sie sind nicht mehr parallel zurWand

��

��

• Die Linie δ(x), die den Rand der Grenzschicht (Grenzschicht-dicke) ist keine Stromlinie. Sie kennzeichnet die Linie, bei der dieGeschwindigkeit einen bestimmten Anteil der Außengeschwin-digkeit erreicht, normalerweise 99 %.

u(y)

ua= 0.99 willkürlich

4

Grenzschichtdicke

In der Grenzschicht:

O(Trägheit) ≈ O(Reibungskräfte)

ρu∂u

∂x≈ η

∂2u

∂y2

dimensionslose Werte → O(1)

u =u

u∞x =

x

Ly =

y

δ

→ ρu∞u∞L

≈ ηu∞δ2

→ δ ∼ L√

u∞ρLη

=L

√

ReL

δ ∼√

L

5

Grenzschichtdicke

Einführen dimensionsloser Werte in die Navier-Stokes-Gleichungenfür 2-d, stationäre, inkompresible Strömungen. Dimensionslose Va-riablen sind O(1).

Vernachlässigung aller Terme mit dem Faktor1

Reoder kleiner.

→ Grenzschichtgleichungen gelten für Re ≫ 1 ohne starke Krüm-mung.

6

Konti:∂u

∂x+

∂v

∂y= 0

x-Impuls: ρu∂u

∂x+ ρv

∂u

∂y= − ∂p

∂x︸︷︷︸

=dp

dx

+η∂2u

∂y2

y-Impuls:∂p

∂y= 0

y-Imp.: Der Druck ist senkrecht zur Hauptströmungsrich-tung konstant. Er wird von der reibungsfreien Au-ßenströmung aufgeprägt

7

Grenzschichtrand für die ebene Platte (y = δ)

u = U → ∂u

∂y= 0 → ∂2u

∂y2= 0 reibungsfreies äußeres Srömungsfeld

x-Imp: ρU∂U

∂x= −∂p

∂xEulergleichung für y = δ

8

3 Fälle abhängig vom Druckgradienten

1∂p

∂x= 0 → ∂U

∂x= 0 → U = konst

ebene Platte, Grenzschicht (Blasius)

U= konst

9

2∂p

∂x< 0 → ∂U

∂x> 0

∧= beschleunigte Strömung

konvergenter Kanal (Düse)

1 2

U1< U

2

10

3∂p

∂x> 0 → ∂U

∂x< 0

∧= verzögerte Strömung

divergenter Kanal (Diffusor)

1 2

U1 2> U

Separation

11

An der Wand (y = 0)

Haftbedingung: u = v = 0

→ x-Imp.:∂p

∂x= η

∂2u

∂y2|y=0 τw = η

∂u

∂y

→ ∂p

∂x=

∂τ

∂y|y=0 =

ebene Platte:∂p

∂x= 0 (kein Druckgradient, U = konst.)

∂2u

∂y2|y=0 = 0 (

∂u

∂y|y=0 = konst)

→ keine Krümmung an der Wand

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Verdrängungs-/Impulsverlustdicke

δ1 (Verdrängungsdicke): charakteristisches Maß für die Auslenkungeiner ungestörten Stromlinie

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y

uU

δ

δ1 δ 1

y

u

U

Flaechen sind gleichMassenstrom = konstBreite

13


δ1

δ

δ1 aus m = konst.

U(δ − δ1) =

δ∫

0

u dy →δ∫

0

U − u dy = Uδ1

→ δ1 =

δ∫

0

(1 − u(y)

U) dy

in dimensionsloser Formδ1

δ=

1∫

0

(1 − u(y)

U) d

y

δ(δ, δ1 6= f (y))

14


Durch die Reibung entstehen Verluste gegenüber der ungestörtenStrömung

Aus einer Impulsbilanz

δ2 =

∞∫

0

u

U(1 − u

U) dy

δ2

δ=

1∫

0

u

U(1 − u

U) d

y

δ

Um den Widerstand zu berechnen werden diese beiden Maße +die von Kàrmàn-Integral-Beziehung verwendet.

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Integration der x-Impulsgleichung

d

dx(U2δ2) + δ1U

dU

dx=

τwρ

oderdδ2

dx+

1

U

dU

dx(2δ2 + δ1) =

τwρU2

• Annehmen einer Funktion (Polynom, . . . ) für die Geschwindigkeit

• Verwendung der Randbedingungen um die Koeffizienten zu be-rechnen

• Berechnung von δ1 und δ2

• Verwendung der von Kàrmàn-Integral-Gleichung zur Berechnungvon τw(x) oder δ(x).

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Ansatz: Polynom für die Geschwindigkeitsprofile

u(x, y)

U(x)=

n∑

i=0

ai

(y

δ

)i= f (x,

y

δ)

selbstähnliches Profil ai(x), δ(x)

Randbedingung

1. Haftbedingung (Stokes) füry

δ= 0 → u = v = 0 (uB = uw)

2. Grenzschichtrandy

δ= 1 → u = U

17

3. aus x-Impuls

η∂2u

∂y2|y=0 =

∂p

∂x(= 0 für die ebene Platte)

∂p

∂xaus Eulergleichung (Bernoullli)

Nur: Wenn der Grad des Polynoms > 2, werden andereRandbedinungen nötig

18

aus der Stetigkeit am Grenzschichtrand

4.y

δ> 1 → ∂u

∂y= 0

kontinuierlicher Übergang von der Grenzschicht zur äußeren Strö-mung

5.y

δ= 1 → ∂2u

∂y2= 0

reibungsfreie Strömung

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Beispiel

20

Beispiel

Bemerkung: ua = Ua = U = ue = . . . verschiedene Schreibwei-sen

1) a0, a1 = ?

Haftbedingung u(y = 0) = 0 → a0 = 0

am Grenzschichtrand:u

U| yδ0

=1 = 1 → a1 = 1

→ u(x, y)

U(x)=

y

δ0

21

Beispiel

2) Verdrängungsdicke:δ1

δ0=

1∫

0

(1 − u(y)

U) d

y

δ

=

[

y

δ0− 1

2

(y

δ0

)2]1

0

=1

2→ δ1 =

1

2δ0

Impulsverlustdicke:δ2

δ0=

1∫

0

u

U(1 − u

U) d

y

δ

=1

2

(y

δ0

)2

− 1

3

(y

δ0

)3∣∣∣∣∣

1

0

=1

6→ δ2 =

1

6δ0

22

Beispiel

→ ∂δ2

∂δ0=

1

6= konst → ∂δ2

∂x= 0

Wandschubspannung: τw = η∂u

∂y

∣∣∣∣y/δ=0

→ τw = ηU

δ0

∂(uU )

∂( yδ0

)= η

U

δ0

23

Beispiel

von Kàrmàn-Integral-Beziehung

dU

dx= U

1

ρU2η

U

δ20

(

1

216 + 1

2

)

=η

ρδ20

6

5

U(x) =η

ρδ20

6

5x (üblich δ = δ(x))

3) F =

L∫

0

τ (x) B dx =6

5

η

ρδ20

η

δ0B

L∫

0

x dx

F =3

5

η2

ρ

BL2

δ30

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