Mareike Kunter, Alexander Jordan Die Untersuchung des ... · ma“ (siehe z.B. Bromme, 1992, 1997; für eine differenziertere Aufteilung siehe Borich & Klinzing, 1987). Aus dem folgenden

223

Journal fuumlr Mathematik-Didaktik (JMD 29 (2008) H 34 S 223-258)

Stefan Krauss Michael Neubrand Werner Blum Juumlrgen Baumert Martin Brunner Mareike Kunter Alexander Jordan

Die Untersuchung des professionellen Wissens deutscher Mathematik-Lehrerinnen und -Lehrer im

Rahmen der COACTIV-Studie

Zusammenfassung

In der COACTIV-Studie wurden die Mathematiklehrkraumlfte der PISA-Klassen 200304 befragt und getestet Zentraler Bestandteil von COACTIV sind die Tests zum fachdidaktischen Wissen und zum Fachwissen von Mathematiklehrkraumlften der Sekundarstufe Die vorliegende Publikation stellt Konzeptualisierung und Operationalisierung der beiden Wissensbereiche erstmals umfassend vor und beschreibt die Testkonstruktion ausfuumlhrlich wobei zur Illustration auch auf bislang noch un-veroumlffentlichtes Itemmaterial zuruumlckgegriffen wird Unter anderem die folgenden wichtigen Fra-gen werden mit den Tests untersucht Welche Unterschiede gibt es hinsichtlich der Schulformen Wie haumlngen fachdidaktisches Wissen und Fachwissen mit der Berufserfahrung zusammen Wel-che Zusammenhaumlnge bestehen zwischen den beiden Wissensbereichen und subjektiven Uumlberzeu-gungen der Lehrkraumlfte sowie Aspekten des Unterrichts Inwieweit traumlgt das professionelle Wissen einer Mathematiklehrkraft zum Lernfortschritt der Schuumllerinnen und Schuumller bei

Abstract

The COACTIV study surveyed and tested the mathematics teachers of the classes sampled for PISA 200304 in Germany The studyrsquos key components were newly developed tests of teachersrsquo pedagogical content knowledge and content knowledge This article gives a comprehensive report of the conceptualization and operationalization of both domains of knowledge and describes the construction of the COACTIV tests in detail presenting previously unpublished items as illustra-tive examples Findings from the tests are used to address questions including the following What differences are there across school types How are pedagogical content knowledge and content knowledge related to teaching experience How are the two domains of knowledge related to teachersrsquo subjective beliefs on the one hand and to aspects of their instruction on the other To what extent does teacherrsquos professional knowledge contribute to studentsrsquo learning gains

0 Einleitung

Mathematische Kompetenz wird ndash im Gegensatz etwa zur Lesekompetenz ndash vornehm-lich im Mathematikunterricht erworben Mathematiklehrkraumlfte spielen dabei als Vermitt-ler und Moderatoren von Lernprozessen offensichtlich eine zentrale Rolle (Lipowsky 2006 Baumert amp Kunter 2006) In Deutschland wurden seit den Ergebnissen der ersten PISA-Studie auf unterschiedlichsten Ebenen zahlreiche Initiativen ausgeloumlst beispiels-weise auf der Ebene von Schulstrukturen (zB Ganztagsschulen) durch Leistungsset-zungen (zB Bildungsstandards) durch Unterrichtsentwicklungsprogramme (zB SINUS) oder durch direkte bildungspolitische Steuerung der Lerninhalte (zB uumlber

224 Stefan Krauss et al

Lehrplaumlne) Da sich die PISA-Studien aber in erster Linie mit den Leistungen von Schuuml-lerinnen und Schuumllern und nicht mit den Lehrkraumlften befassen fehlt weiterreichenden Interventionsvorschlaumlgen auf der Ebene von Lehrkraumlften zB bezuumlglich deren Aus- und Weiterbildung bislang eine solide empirische Grundlage (Baumert Blum amp Neubrand 2004) Bisherige qualitative und quantitative Studien uumlber ausgewaumlhlte Kompetenzas-pekte von Lehrkraumlften liefern zwar wertvolle Ansatzpunkte (fuumlr einen Uumlberblick siehe zB Baumert amp Kunter 2006) wuumlnschenswert waumlre jedoch auch eine systematische Un-tersuchung die ndash als bdquoLarge Scale Assessmentldquo wie zB PISA ndash ein breites Spektrum an Lehrerkompetenzen simultan erfasst und in Zusammenhang zu Unterrichtsaspekten und zur Leistung der Schuumller stellt

Die COACTIV-Studie in der die Mathematiklehrkraumlfte der Klassen aus der PISA-Laumlngsschnittkomponente 2003-2004 ausfuumlhrlich befragt und getestet wurden bot die einmalige Gelegenheit im Verbund mit PISA ein breites Spektrum sowohl von Schuumller- als auch von Lehrerdaten zu erheben und diese gemeinsam zu analysieren In diesem Ar-tikel soll ein zentrales Instrument dieser Studie herausgegriffen und ausfuumlhrlich be-schrieben werden das von besonderer fachdidaktischer Relevanz ist naumlmlich die im Rahmen von COACTIV entwickelten Tests zum fachdidaktischen Wissen und zum Fachwissen von Mathematiklehrkraumlften

Der Artikel beginnt mit einem kurzen historischen Uumlberblick uumlber die Suche nach dem bdquoguten Lehrerldquo der die Beschaumlftigung mit dem professionellen Wissen von Lehr-kraumlften motiviert Im zweiten Teil des Artikels werden nun spezifiziert fuumlr das Unter-richtsfach Mathematik die theoretische Konzeptualisierung und die Operationalisierung fuumlr das fachdidaktische Wissen und fuumlr das Fachwissen im Rahmen von COACTIV aus-fuumlhrlich dargestellt Im dritten Teil werden zentrale Ergebnisse der Durchfuumlhrung dieser Tests mit deutschen Mathematiklehrkraumlften berichtet und kurz diskutiert

1 Das professionelle Wissen von Lehrkraumlften

Die bisherige wissenschaftliche Suche nach dem bdquoguten Lehrerldquo wird heute uumlblicherwei-se in drei historisch aufeinander folgende Forschungsstroumlmungen eingeordnet Das bdquoPer-soumlnlichkeits-Paradigmaldquo das bdquoProzess-Produkt-Paradigmaldquo und das bdquoExpertenparadig-maldquo (siehe zB Bromme 1992 1997 fuumlr eine differenziertere Aufteilung siehe Borich amp Klinzing 1987) Aus dem folgenden kurzen Uumlberblick uumlber diese Forschungspara-digmen (11) soll deutlich werden dass sich die Untersuchung des Professionswissens von Lehrkraumlften auf geradezu natuumlrliche Weise aus der Logik des derzeit aktuellen Ex-pertenparadigmas ergibt Nachdem das Wissen als zentraler Baustein der Expertise von Lehrkraumlften identifiziert wurde soll der taxonomische Ansatz von Shulman (1986 1987) vorgestellt werden (12) der dieses Professionswissen theoretisch strukturiert und der das theoretische Geruumlst fuumlr die COACTIV-Testkonstruktion bildet

11 Auf der Suche nach dem guten Lehrer

Bis in die 1960-er Jahre konzentrierte sich die Wissenschaft vor allem auf die Suche nach allgemeinen Personeneigenschaften von Lehrkraumlften (bdquoPersoumlnlichkeitsparadigmaldquo) Da sich der Erklaumlrungsabstand zwischen Personenmerkmalen und Zielkriterien (zB

Untersuchung professionellen Wissens 225

Schuumllerleistung) jedoch als sehr groszlig herausstellte gilt dieser Ansatz heute im Wesentli-chen als gescheitert und der Beginn der modernen Lehrerforschung wird oftmals erst im historisch folgenden bdquoProzess-Produkt Paradigmaldquo gesehen (vgl Bromme 1997) Etwa ab 1970 fand unter dem Einfluss des Behaviorismus ein Wechsel der wissenschaftlichen Aufmerksamkeit von Persoumlnlichkeitsattributen zum konkreten Lehrerhandeln im Unter-richt statt Die Methodik des Prozess-Produkt-Paradigmas besteht aus der empirischen Erfassung bestimmter Aspekte des Unterrichtsverhaltens (sogenannte bdquoProzesseldquo zB Bestimmung der Anzahl anspruchsvoller Lehrerfragen pro Zeiteinheit) der Erfassung von Zielkriterien des Unterrichts (sogenannte bdquoProdukteldquo zB des Lernzuwachses) und der Berechnung von Zusammenhangsmaszligen (zB Korrelationen) zwischen den unter-suchten Prozessen und Produkten Das Prozess-Produkt-Paradigma in dessen Rahmen zentrale Aspekte von gutem Unterricht empirisch erhaumlrtet werden konnten (zB Brophy amp Good 1986 Gruehn 2000) gilt heute noch als aktuell vor allem in der Form der Er-weiterung zum Prozess-Mediations-Produkt Modell das die individuellen Informations-verarbeitungsprozesse der Schuumller (Mediation) als Schluumlsselmerkmale des Lernens mit-beruumlcksichtigt (zB Helmke 2003)

In Anlehnung an Erkenntnisse aus der allgemeinen Expertiseforschung ruumlckt in juumln-gerer Zeit wieder die Person der Lehrkraft in den Mittelpunkt des Interesses doch dies-mal stehen dabei nicht Charaktermerkmale sondern vielmehr Wissen und Fertigkeiten im Vordergrund (bdquoExpertenparadigmaldquo)1 Die kognitionspsychologische Expertisefor-schung hat ihre Urspruumlnge in der Domaumlne Schach (Simon amp Chase 1973) seitdem wur-den Experten verschiedenster Gebiete untersucht (zB Physiker Mediziner Piloten fuumlr einen Uumlberblick siehe zB Feltovich Ford amp Hoffman 1997) Eine gaumlngige Untersu-chungsmethode der Expertiseforschung ist das sogenannte bdquoExperten-Novizen-Paradigmaldquo bei dem bestimmte fuumlr die Domaumlne repraumlsentative Aufgaben sowohl Exper-ten als auch Novizen (Anfaumlngern) gestellt und Verhaltensunterschiede beim Problemlouml-sen zwischen beiden Gruppen systematisch untersucht werden (Ericsson amp Smith 1991) Ein wichtiges Ergebnis der allgemeinen Expertiseforschung ist dass das domaumlnenspezi-fische Wissen von Experten wiederholt als der erklaumlrungsmaumlchtigste Faktor von Exper-tenleistungen identifiziert wurde (Gruber amp Mandl 1996) In vielen untersuchten Gebie-ten sind Experten vor allem deswegen besser weil sie mehr wissen und dieses Wissen gut vernetzt parat haben

In der Mitte der 1980er Jahre schlugen vor allem Gaea Leinhardt und David C Be-rliner vor die Methoden der Expertiseforschung auch auf Lehrkraumlfte anzuwenden (zB Leinhardt amp Greeno 1986) Seitdem wurden zahlreiche Studien durchgefuumlhrt (vor allem

1 Bromme (1993) weist darauf hin dass es in Deutschland alltagssprachlich unuumlblich ist Lehrkraumlf-te als bdquoExpertenldquo zu bezeichnen und stellt eine Studie vor die belegt dass nur 40 einer Stich-probe von Lehramtsstudenten diese Bezeichnung fuumlr Mitglieder ihrer Profession fuumlr angemessen halten In der wissenschaftlichen Diskussion uumlber bdquogute Lehrerldquo sind die Fachbegriffe bdquoExperteldquo und bdquoExpertiseldquo mittlerweile jedoch uumlblich (Bromme 1992 Lipowsky 2006 Berliner 2001) Es muss jedoch auf eine sprachliche Ambiguitaumlt hingewiesen werden Im deutschsprachigen Exper-tenansatz (Bromme 1992) werden oft alle Mitglieder einer Profession als Experten bezeichnet (Abgrenzung der Profession nach auszligen zum Laien) Wird dagegen im Sinne des angloamerikani-schen Experten-Novizen-Ansatzes vom expert teacher gesprochen ist damit eine besonders gute Lehrkraft gemeint (Abgrenzung innerhalb der Profession)


im Rahmen von Experten-Novizen Paradigmen) die den Schluss zulassen dass das Pro-fessionswissen von Lehrkraumlften fuumlr bdquoguten Unterrichtldquo von entscheidender Bedeutung ist (fuumlr einen Uumlberblick uumlber die Lehrer-Expertiseforschung siehe Bromme 1992 Berliner 2001 Palmer et al 2005)

Es muss jedoch betont werden dass gewoumlhnlich in Experten-Novizen Paradigmen nur eng umrissene Aspekte der Expertise von Lehrkraumlften thematisiert werden Das do-maumlnenspezifische Professionswissen wird zwar oftmals als zentraler Baustein dieser Ex-pertise identifiziert aber es wird in der Regel nicht der Versuch gemacht dieses Wissen als Ganzes systematisch zu beschreiben und strukturell zu ordnen Die Unterteilung des Lehrerwissens in theoretisch abgeleitete Bereiche und damit die Identifikation von Wis-senskategorien deren Struktur und Inhalt wird in taxonomischen Ansaumltzen verfolgt

12 Taxonomien des Lehrerwissens

Heute herrscht wohl Einigkeit dass dem Wissen von Lehrkraumlften eine zentrale Bedeu-tung zur Steuerung von Lehr- und Lernprozessen zukommt (Bromme 1992 Lipowsky 2006 Baumert amp Kunter 2006) Ein mittlerweile beruumlhmtes Zitat von Elbaz lautet ldquoThe single factor which seems to have the greatest power to carry forward our understanding of the teacherrsquos role is the phenomenon teachersrsquo knowledgerdquo Elbaz (1983 S 45) ldquoWissenldquo darf dabei jedoch nicht im umgangssprachlichen Sinne mit deklarativem Fak-tenwissen gleichgesetzt werden vielmehr zaumlhlt dazu auch prozedurales Wissen dh Fertigkeiten Faumlhigkeiten Koumlnnen und Handlungsroutinen zu allen Aspekten des Unter-richtens (vgl Weinert Schrader amp Helmke 1990) Taxonomischen Ansaumltzen liegt stets die Idee einer Strukturierung von Lehrerwissen in unterscheidbare Kategorien zugrunde Statt auf spezifische Aspekte des Wissens zu fokussieren die Experten von Novizen un-terscheiden koumlnnten zielen Taxonomien darauf ab auf theoretischem Wege die Dimen-sionen des Professionswissens moumlglichst vollstaumlndig zu erfassen

Eine der einflussreichsten Wissenstaxonomien fuumlr Lehrkraumlfte ist die von Shulman (1986 1987) Shulman fuumlhrte die Begriffe pedagogical knowledge content knowledge und pedagogical content knowledge ein also Paumldagogisches Wissen Fachwissen und Fachdidaktisches Wissen2 Diese drei Kategorien bilden aus heutiger Sicht die allgemein akzeptierten Kernkategorien des Professionswissens von Lehrkraumlften und es besteht kein Zweifel dass allen dreien eine zentrale Bedeutung bei den professionellen Aufgaben der Lehrerinnen und Lehrer zukommt (siehe auch Grossman 1990 Lipowsky 2006 fuumlr ei-ne Diskussion weiterer Kategorien siehe zB Bromme 1992 Shulman 1987 Brunner et al 2006a) Shulman hat dabei die prinzipielle Bedeutung die die Fachinhalte fuumlr jegli-che Studien uumlber Lehren und Lernen haben herausgearbeitet bdquoIn their necessary simplification of the complexities of classroom teaching investigators ignored

2 In deutschen Arbeiten wurde pedagogical content knowledge mitunter auch als sbquofachspezifisches paumldagogisches Inhaltswissenrsquo bezeichnet (zB Bromme 1992) Mittlerweile hat sich aber die ndash viel klarere ndash Uumlbersetzung sbquofachdidaktisches Wissenrsquo durchgesetzt (siehe auch Lipowsky 2006 Baumert amp Kunter 2006 Bloumlmeke Kaiser amp Lehmann 2008)


one central aspect of classroom life the subject matter This omission also characterized most other research paradigms in the study of teaching Occasionally subject matter entered into the re-search as a context variable ndash a control characteristic for subdividing data sets by content catego-ries (eg lsquoWhen teaching 5th grade mathematics the following teacher behaviors were correlated with outcomes When teaching 5th grade reading lsquo) But no one focused on the subject matter content itself [hellip] Why this sharp distinction between content and pedagogical processrdquo (Shul-man 1986 S 6) Von Shulman ausgehend eroumlffnet sich somit direkt der Anschluss an fachdidaktische Denkweisen selbst wenn seine Aussagen in dieser Unbedingtheit wohl eher auf die Si-tuation in den USA zugeschnitten sind Dass naumlmlich dem Fach fuumlr das Lehren und Ler-nen eine entscheidende Rolle zukommt ist eine Grundlage mathematikdidaktischen Ar-beitens gerade dann wenn man den Bezug zu paumldagogisch-psychologischen Problem-stellungen sucht (zB Wittmann 1989) Dies ist zunaumlchst unabhaumlngig von einer Unter-scheidung zwischen fachlichem und fachdidaktischem Wissen Wenn wie bei COACTIV die kognitive Aktivierung von Schuumllerinnen und Schuumllern und die Gestal-tung fachlich gehaltvoller Lernumgebungen (Blum 2001) der zentrale Focus ist muss man das fachdidaktische Wissen als entscheidend ansehen und davon ausgehen dass Fachwissen eine Voraussetzung dafuumlr ist Darauf weisen zahlreiche Studien allgemeiner Art hin (Baumert amp Kunter 2006) aber auch mathematikdidaktische Studien etwa zum Problemkreis bdquoMathematical Knowledge for Teachingldquo (Ball Lubienski amp Mewborn 2001) Im vorliegenden Artikel konzentrieren wir uns daher auf die beiden Wissenskate-gorien die vom mathematikdidaktischen Standpunkt aus die entscheidenden Beitraumlge liefern sollten das fachdidaktische Wissen (in 121) und das Fachwissen (in 122) Die-se Fokussierung steht im Einklang mit Forderungen nach einer staumlrkeren Untersuchung fachspezifischer Aspekte in der Unterrichtsforschung die selbst von paumldagogisch-psychologischer Seite erhoben werden (Helmke 2003 Mayer 2004)

Das paumldagogische Wissen wird fuumlr die Gestaltung fachlich anspruchsvoller Lernge-legenheiten eher den allgemeinen Rahmen abgeben denn nur bei effektiver und schuumller-orientierter Klassenfuumlhrung kann fachdidaktisches Wissen im Unterricht auch effizient umgesetzt und von Schuumllerseite verstaumlndnisvoll genutzt werden Uumlberblicksarbeiten zum paumldagogischen Wissen finden sich bei Carter (1990) Fennema und Franke (1992) oder Putnam und Borko (2000) Ergebnisse zu Aspekten des paumldagogischen Professionswis-sens der COACTIV-Lehrkraumlfte werden in Kunter et al (2006) und in Brunner et al (2006a) vorgestellt

121 Das fachdidaktische Wissen nach Shulman

Im Folgenden stellen wir Shulmans (1986) Charakterisierung des bdquofachdidaktischen Wissensldquo vor die die Grundlage fuumlr die spaumltere Testkonstruktion bildet Kurz gesagt versteht Shulman unter pedagogical content knowledge Wissen uumlber das bdquoVerstaumlndlich-machen von Inhaltenldquo (bdquomaking comprehensibleldquo) In diesem Sinne bezieht sich das fachdidaktische Wissen auf die inhaltsbezogenen (nicht allgemein-methodischen) unter-richtlichen Aufgaben (fuumlr eine breitere Konzeption des Fachdidaktikbegriffs die sogar uumlber den Unterricht hinausgeht siehe zB Gesellschaft fuumlr Fachdidaktik e V 2005) Die Bedeutung des fachdidaktischen Wissens kann am besten durch Shulmans Original-beschreibung wiedergegeben werden


bdquoWithin the category of pedagogical content knowledge I include for the most regularly taught topics in onersquos subject area the most useful forms of representation of those ideas the most po-werful analogies illustrations examples explanations and demonstrations ndash in a word the ways of representing and formulating the subject that make it comprehensible to others Since there are no single most powerful forms of representation the teacher must have at hand a veritable arma-mentarium of alternative forms of representation some of which derive from research whereas others originate in the wisdom of practice Pedagogical content knowledge also includes an un-derstanding of what makes the learning of specific topics easy or difficult the conceptions and preconceptions that students of different ages and backgrounds bring with them to the learning of those most frequently taught topics and lessons If those preconceptions are misconceptions which they so often are teachers need knowledge of the strategies most likely to be fruitful in reorganiz-ing the understanding of learners because those learners are unlikely to appear before them as blank slatesrdquo (Shulman 1986 S 9-10) Auch mit dieser Charakterisierung betont Shulman Kategorien die in der Mathematikdi-daktik immer wieder hervorgehoben werden Es geht beim fachdidaktischen Wissen stets um die grundlegenden Moumlglichkeiten wie in einem Fach die Gegenstaumlnde struktu-riert dargestellt erklaumlrt und vernetzt werden koumlnnen Unter dieser allgemeinen Praumlmisse hebt er zwei Teilaspekte des fachdidaktischen Wissens hervor das Wissen uumlber Erklaumlren und Darstellen (bdquothe ways of representing and formulating the subject that make it comp-rehensible to othersldquo) und die Bedeutung des Wissens uumlber fachbezogene Schuumllerkogni-tionen (bdquoconceptionsldquo bdquopreconceptionsldquo bdquomisconceptionsldquo) Der erstgenannte Aspekt wurde spaumlter von Grossman (1990) zu bdquoknowledge of instructional strategiesldquo zusam-mengefasst den zweiten subsumiert Grossmann (1990) unter bdquoknowledge of studentsrsquo understandingldquo

Es ist zu beachten dass Shulmans Beschreibungen allgemein zutreffend sind Lehr-kraumlfte aller Fachrichtungen sollten faumlhig sein Inhalte ihres Faches adaumlquat zu repraumlsen-tieren und sich typischer Schuumllerfehlkonzeptionen bewusst sein Shulman ist sich aber der Notwendigkeit der Spezifizierung je nach Fach offenbar bewusst Was zB bdquouseful forms of representationldquo oder bdquotypical misconceptionsldquo sein koumlnnten wird man nur fach-spezifisch einschaumltzen und begruumlnden koumlnnen In Bezug auf das Unterrichtsfach Mathe-matik ist Shulmans Ansatz vollstaumlndig kompatibel mit der deutschen stoffdidaktischen Tradition (zum Selbstverstaumlndnis der Mathematikdidaktik siehe zB Griesel 1975 exemplarisch zu mathematischen Fehlvorstellungen siehe Malle 1993 Heinze 2004 zum Erklaumlren Hefendehl-Hebeker 1996 bzw zu Repraumlsentationen Fischer amp Malle 1985) Im Abschnitt uumlber die COACTIV-Testkonstruktion (231) wird beschrieben wie Shulmans Ansatz fuumlr das Fach Mathematik bdquomit Leben gefuumllltldquo wird

122 Das Fachwissen nach Shulman

Offensichtlich sind Lehrkraumlfte nur dann in der Lage Lernprozesse zu steuern wenn sie sich selbst sicher in der Domaumlne ihres Unterrichtsfaches bewegen koumlnnen (zB Ball Lu-bienski amp Mewborn 2001 Terhart 2002) Fachwissen wird gemeinhin als notwendige aber nicht hinreichende Voraussetzung fuumlr fachdidaktisches Wissen gesehen bdquoFachwis-sen ist die Grundlage auf der fachdidaktische Beweglichkeit entstehen kannldquo (Baumert amp Kunter 2006 S27) Dennoch ist auch bdquoFachwissenldquo ein Konzept das jeweils fach-spezifisch zu hinterfragen ist Shulman bestimmt es so


bdquoTo think properly about content knowledge requires going beyond knowledge of the facts or con-cepts of a domain It requires understanding the structures of the subject matter [hellip] For Schwab (1978) the structures of a subject include both the substantive and syntactic structure The subs-tantive structures are the variety of ways in which the basic concepts and principles of the discip-line are organized to incorporate its facts The syntactic structure of a discipline is the set of ways in which truth or falsehood validity or invalidity are established [hellip] The teacher need not only to understand that something is so the teacher must further understand why it is so on what grounds its warrant can be asserted and under what circumstances our belief in its justification can be weakened and even deniedrdquo (Shulman 1986 S 9) Lehrerinnen und Lehrer sollten also neben Faktenwissen vor allem auch uumlber Argumen-tations- und Begruumlndungskompetenz fuumlr Zusammenhaumlnge innerhalb des Faches verfuuml-gen bdquoSubstantive structureldquo (nach Schwab) meint sogar noch mehr naumlmlich die spezifi-schen Vorgehensweisen eines Faches sein Wissen zu organisieren Das ist ein Aspekt der offenbar auch stoffdidaktische Implikationen hat Shulmans Beschreibung laumlsst je-doch offen uumlber welche stoffliche Basis eine Lehrkraft im Einzelnen verfuumlgen sollte Sind ausschlieszliglich Stoffinhalte des Schulcurriculums gemeint oder ist es ebenso wich-tig uumlber eine groszlige Wissensbasis an universitaumlrem Fachwissen zu verfuumlgen

Bevor wir im zweiten Abschnitt beschreiben wie wir im Rahmen von COACTIV zum Zwecke der Testkonstruktion Shulmans Beschreibungen von fachdidaktischem Wissen und von Fachwissen naumlher spezifiziert und bdquomit Mathematik gefuumllltldquo haben soll auf empirische Forschungsdesiderate bezuumlglich der beiden Wissensbereiche hingewiesen werden

123 Forschungsdesiderate zum fachdidaktischen Wissen und zum Fach-wissen

Wie unterscheiden sich Lehrkraumlfte verschiedener Schulformen bezuumlglich dieser beiden Wissensbereiche Wann werden fachdidaktisches Wissen und Fachwissen erworben (vor allem im ersten bzw zweiten Ausbildungsabschnitt oder eher waumlhrend der Berufspra-xis) In welchem Zusammenhang stehen beide Wissensbereiche zueinander und in wel-chem Zusammenhang stehen sie zu Aspekten des paumldagogischen Wissens Vor allem aber Wie beeinflussen fachdidaktisches Wissen und Fachwissen die Unterrichtsgestal-tung und wie den Lernfortschritt der Schuumllerinnen und Schuumller

Eine empirisch fundierte Beantwortung der gestellten Fragen erfordert es beide Wis-sensbereiche messbar zu machen Es gab im deutschsprachigen Raum lange keine er-probten Instrumente zur reliablen und validen Erfassung der beiden fachspezifischen Wissensbereiche von Lehrkraumlften eine direkte Testung des Professionswissens von Lehrkraumlften bildete vielmehr eine Forschungsluumlcke Auch in der internationalen empiri-schen Literatur wurden das fachdidaktische Wissen und das Fachwissen von Lehrkraumlften lange oft nur durch distale Merkmale approximiert (zB durch die Anzahl belegter Uni-versitaumltskurse oder durch Examensabschlussnoten) In juumlngster Zeit gibt es parallel zu COACTIV zwei beachtenswerte Ansaumltze Die Arbeitsgruppe um Deborah Ball in Michi-gan hat Tests zum mathematischen Wissen von US-Grundschullehrkraumlften konstruiert (Hill Schilling amp Ball 2004) Diese Arbeitsgruppe ist relativ weit vorangeschritten so liegen zB bereits Analysen zum Zusammenhang dieses Wissens mit dem Lernfort-schritt der Schuumller (nicht aber mit Unterrichtsaspekten siehe zB Hill Rowan amp Ball


2005) sowie erste Konstruktvalidierungsstudien vor (zB Hill Dean amp Goffney 2007) Kuumlrzlich hat Hill (2007) auch einen entsprechenden Test fuumlr den Sekundarbereich vor-gestellt (unter teilweisem Ruumlckgriff auf Items des Grundschultests)3 In der MT21-Studie (einer Vorlaumluferstudie der von der IEA initiierten TEDS-Studie Tatto et al 2008) wur-den ebenfalls Tests zum fachdidaktischen Wissen und zum Fachwissen konstruiert das Vorgehen dieser Arbeitsgruppe weist zahlreiche Parallelen zu COACTIV auf allerdings hat dieses Projekt das Ziel angehende Mathematiklehrkraumlfte der Sekundarstufe (Studen-ten und Referendare) zu untersuchen (fuumlr erste Ergebnisse siehe Bloumlmeke Kaiser amp Lehmann 2008) In Krauss Baumert und Blum (im Druck) findet sich ein Vergleich der Herangehensweisen dieser drei Arbeitsgruppen

Nur mit Hilfe normativ verankerter Wissenstests lassen sich sowohl die Annahmen von Wissenstaxonomien (zB uumlber die relative Unabhaumlngigkeit von Wissenskategorien) als auch die Annahmen zur regulativen Funktion dieses Wissens fuumlr den Unterricht und damit auch fuumlr den Lernzuwachs der Schuumller empirisch beantworten Die Konzeptuali-sierung und Operationalisierung des fachdidaktischen Wissens und des Fachwissens fuumlr spezifische Unterrichtsfaumlcher im Folgenden fuumlr die Mathematik mit dem Ziel einer theoretisch fundierten Testkonstruktion war deshalb fuumlr lange Zeit ein immer wieder ge-fordertes Forschungsdesiderat (zB Barnes 1985 Lanahan Scotchmer amp McLaughlin 2004)

2 Die Wissenstests zum fachdidaktischen Wissen und zum Fachwissen von Mathematiklehrkraumlften

21 Der Rahmen der COACTIV-Studie

Die COACTIV-Studie (Cognitive Activation in the Classroom The Orchestration of Learning Opportunities for the Enhancement of Insightful Learning in Mathematics Pro-fessionswissen von Lehrkraumlften kognitiv aktivierender Mathematikunterricht und die Entwicklung mathematischer Kompetenz) die im Rahmen des DFG Schwerpunktprog-ramms BiQua gefoumlrdert wurde (2002-2006 Projektleiter Juumlrgen Baumert Berlin Wer-ner Blum Kassel Michael Neubrand Oldenburg) zielt auf die Untersuchung und Tes-tung der Mathematiklehrkraumlfte der PISA-Klassen (siehe auch httpwwwmpib-berlinmpgdecoactivindexhtm) Die PISA-Studie 2003 deren Hauptfokus das Unter-richtsfach Mathematik war bot sich fuumlr den Anschluss einer solchen Lehrerstudie an Die internationale PISA-Studie 2003 wurde auf nationaler Ebene zu einer Laumlngsschnitt-studie erweitert indem die fuumlr PISA gezogenen 9 Klassen in Deutschland ein Jahr spauml-ter als 10 Klassen erneut untersucht wurden (ohne die Hauptschulklassen) Anknuumlpfend an diese Rahmenbedingungen untersuchte die COACTIV-Studie die Mathematiklehr-kraumlfte dieser 9 und 10 Klassen parallel zu den beiden PISA-Messzeitpunkten (April

3 In den USA gibt es fuumlr den Sekundarbereich (middle school) auszligerdem die Praxis Test Series (Educational Testing Service 2006) Diese Tests dienen aber in der Regel als Qualifikationsnach-weis zur Einstellung von Lehrkraumlften und zielen nicht darauf ab Lehrkraumlfte die bereits uumlber lang-jaumlhrige Unterrichtserfahrung verfuumlgen im Verbund mit deren Klassen zu untersuchen


2003 und April 2004 somit bdquoCOACTIV 200304ldquo) Pro Messzeitpunkt arbeiteten die Lehrkraumlfte grob 6 Stunden an den COACTIV-Materialien (an den Frageboumlgen jeweils zuhause und an den Tests in Einzelsitzungen mit Testleiter)

Anhand der Daten der COACTIV-Studie kann nicht nur ein Bild von den Kompeten-zen und dem Berufserleben von deutschen Mathematiklehrkraumlften der Sekundarstufe gewonnen werden sondern es ist aufgrund der Verzahnung mit PISA auch moumlglich sol-che Lehrermerkmale zu identifizieren die fuumlr den Lernforschritt der Schuumller (bzw fuumlr andere Zielkriterien des Mathematikunterrichts) von Bedeutung sind Im Rahmen von COACTIV wurden zahlreiche Instrumente fuumlr Lehrkraumlfte in Hinblick auf den Mathema-tikunterricht adaptiert bzw neu entwickelt vor allem zum fachlichen und zum fachdi-daktischen Wissen aber auch zur Messung von motivationalen Orientierungen Uumlber-zeugungen und Werthaltungen Aspekten des Berufserlebens usw (insgesamt liegen im Datensatz fuumlr jede Lehrkraft uumlber 1000 Variablen vor) Im folgenden Absatz soll ein kurzer Uumlberblick uumlber die wichtigsten bisherigen Publikationen der COACTIV-Arbeitsgruppe gegeben werden

Baumert Blum und Neubrand (2004) bzw Baumert und Kunter (2006) thematisieren die Bedeutung der Lehrerprofessionalitaumlt im Kontext der Bildungsforschung Einen Uumlberblick uumlber die verwendeten Instrumente der COACTIV-Studie geben Krauss et al (2004) Das Professionswissen von Lehrerinnen und Lehrern wird dort theoretisch ein-geordnet in ein uumlbergeordnetes Modell der Handlungskompetenzen (nach Weinert 1999) Eine erste Zwischenbilanz wichtiger Ergebnisse der Studie ziehen Brunner et al (2006a) bzw Kunter et al (2007) weitere ausgewaumlhlte Resultate berichtet Neubrand (2006) Spezifische Ergebnisse zu Aspekten des Mathematikunterrichts in den PISA-Klassen aus Lehrer- und aus Schuumllersicht werden von Baumert Kunter Brunner et al (2004) und Kunter et al (2005 2006) referiert Weitere Ergebnisse werden berichtet von Klusmann et al (2006 zum Belastungserleben und burn out) Kunter et al (im Druck zum Enthusiasmus der Lehrkraumlfte) Dubberke et al (im Druck zu Uumlberzeugungen und Werthaltungen) Jordan et al (2008 zu den in den PISA-Klassen verwendeten Mathe-matikaufgaben) und Krauss und Brunner (eingereicht zur Kompetenz des raschen Rea-gierens auf fachinhaltliche Schuumlleraumluszligerungen)

22 Lehrerstichprobe und Administration der Tests

Die Tests zum fachdidaktischen Wissen und zum Fachwissen wurden zum zweiten COACTIV-Messzeitpunkt 2004 unter Aufsicht eines geschulten Testleiters in der Regel am Nachmittag des PISA-Testtages in einem ruhigen Raum der Schule in Einzelsitzun-gen durchgefuumlhrt Die Lehrkraumlfte durften ohne Zeitlimit an den Testaufgaben arbeiten (bdquoPower-Testldquo) Die durchschnittliche Bearbeitungsdauer des Fachdidaktiktests betrug 70 Minuten (22 Items) die des Fachwissenstests 50 Minuten (13 Items) der Gebrauch von Taschenrechnern war den Lehrkraumlften nicht erlaubt Die Lehrkraumlfte erhielten eine Aufwandsentschaumldigung von 60 Euro fuumlr ihre freiwillige Teilnahme neben den ca 2 Stunden Aufwand fuumlr die beiden Tests waren im Rahmen von COACTIV 2004 noch einmal ca 2 Stunden fuumlr weitere Frageboumlgen aufzubringen zusaumltzlich hatten die Lehr-kraumlfte zuhause einen umfangreichen demografischen Fragebogen auszufuumlllen und zum Testtag mitzubringen


Von insgesamt 280 von COACTIV 04 angefragten Lehrkraumlften nahmen 229 an der Untersuchung teil (81) Von diesen 229 Lehrkraumlften waren 181 schon im Vorjahr Teil-nehmer bei COACTIV 03 (dh sie unterrichteten ihre 10 PISA-Klasse bereits 2003 in der 9 Klasse diese Lehrkraumlfte kommen fuumlr unsere Laumlngsschnittsanalysen in Frage) 48 Lehrkraumlfte kamen 2004 neu hinzu Von den 229 Lehrkraumlften bearbeiteten 198 vollstaumln-dig die Tests zum fachdidaktischen Wissen und zum Fachwissen (19 Lehrkraumlfte bearbei-teten nur einen der beiden Testteile und 12 Lehrkraumlfte bearbeiteten nur Frageboumlgen aber keine Tests) Diese 198 Lehrkraumlfte bilden die Grundlage fuumlr die folgenden Analysen

Von den 198 Lehrkraumlften waren 85 (43) weiblich Das Durchschnittsalter der teil-nehmenden Lehrkraumlfte war 472 (SD = 85 Altersspanne 28 ndash 65) 85 Lehrkraumlfte unter-richteten Mathematik am Gymnasium 70 an der Realschule 21 an einer Gesamtschule und 22 an Mittel- Sekundar- oder Regelschulen Da sich die vorliegende Stichprobe aus Mathematiklehrkraumlften von 10 Klassen rekrutiert befinden sich keine reinen Haupt-schullehrkraumlfte in der Stichprobe

23 Die Konzeptualisierung und Operationalisierung von ma-thematischem fachdidaktischen Wissen und Fachwissen

Im Folgenden sollen die fachspezifischen Umsetzungen der beiden Konstrukte bdquofachdi-daktisches Wissenldquo und bdquoFachwissenldquo im Rahmen der COACTIV-Studie vorgestellt werden Vom fachdidaktischen Standpunkt aus ist entscheidend beide Wissensbereiche so zu konzeptualisieren dass die Spezifika des jeweiligen Faches ndash hier der Mathematik ndash hinreichend breit und authentisch eingebracht werden koumlnnen Die zugrunde liegende Annahme war dass dieses Professionswissen das Unterrichtshandeln einer Lehrkraft we-sentlich mit reguliert Fachdidaktisches Wissen und Fachwissen sollten also einen mess-baren Einfluss auf den Unterricht haben (und dieser wiederum einen messbaren Einfluss auf das Lernen der Schuumller siehe dazu 33 und 34)

231 Fachdidaktisches Wissen (Mathematik)

COACTIV geht von einer grundlegenden Orientierung aus Schuumllerinnen und Schuumller sollen im Fachunterricht im Kontext von fachlich gehaltvollen Lernumgebungen bdquokogni-tiv aktiviertldquo werden (Baumert amp Koumlller 2000) Somit soll der Unterricht verstaumlndnis-orientiert angelegt sein und Lehrerinnen und Lehrer sollen die Voraussetzungen und Moumlglichkeiten fuumlr eine solche Gestaltung des Unterrichts haben Damit ist die COACTIV-Testkonstruktion spezifisch zugeschnitten Wissen nur uumlber das methodische Repertoire fuumlr den Unterricht interessiert weniger als die auf die Mathematik selbst be-zogenen Ansaumltze im Unterricht Es geht also um Fragen wie Welche Voraussetzungen sind noumltig um mathematische Taumltigkeiten der Schuumllerinnen und Schuumller anzuregen und zu erkennen Welche Kenntnisse und Einsichten braucht man fuumlr bdquounverfaumllschtes Ver-einfachen und Zugaumlnglich-Machenldquo (Kirsch 1977) mathematischer Inhalte

Unter diesem Fokus der kognitiven Aktivierung soll bdquofachdidaktisches Wissenldquo im zu entwerfenden Test hinreichend breit abgebildet werden Shulmans (fachunabhaumlngi-ger) Konzeptualisierung folgend (vgl 121) geht es dabei einerseits darum spezifische Repraumlsentationsformen und Erklaumlrungsansaumltze des mathematischen Wissens zur Verfuuml-gung zu haben Andererseits muss ndash ebenso Shulman folgend ndash fachdidaktisches Wissen


auch Kenntnisse uumlber Denkweisen der Schuumllerinnen und Schuumller einschlieszligen Neben diesen beiden Eckpunkten eines didaktischen Dreiecks (fachbezogene Darstellungsakti-vitaumlten und Interventionsmoumlglichkeiten seitens der Lehrerinnen und Lehrer sowie die fachbezogene Vorstellungswelt der Schuumllerinnen und Schuumller) sollte schlieszliglich auch die dritte Ecke adaumlquat im COACTIV-Fachdidaktiktest abgebildet werden naumlmlich das kognitive Potential der Inhalte selbst Es geht dabei um die Erschlieszligung mathematischer Taumltigkeiten im Mathematikunterricht Dies sollte in einen dritten Baustein des Tests zum mathematikdidaktischen Wissen muumlnden

Waumlhrend die Testkonstruktion zu den ersten beiden Bereichen im Wesentlichen Shulmans Konzeptualisierung folgen kann (die bdquonurldquo noch mit Fachinhalt gefuumlllt werden muss) bedarf die dritte Facette fachdidaktischen Wissens (die von Shulman zwar als Praumlmisse genannt aber nicht ausdifferenziert wurde) noch konzeptioneller Vorarbeit Welche Form kann genuin mathematikdidaktisches Wissen uumlber Inhalte annehmen

Ein (test-)praktisch handhabbarer und zugleich inhaltlich aussagekraumlftiger Zugang laumlsst sich finden indem man auf die unterschiedlichen Funktionen von Aufgaben als zentrale Elemente des Mathematikunterrichts zuruumlckgreift Dies ist inhaltlich gerechtfer-tigt weil die Aufgaben im Unterricht haumlufig Traumlger mathematischen Wissens und Aus-gangspunkt des Lehrerhandelns gleichermaszligen sind (Christiansen amp Walther 1986 Bromme 1992 Bromme Seeger amp Steinbring 1990 Buumlchter amp Leuders 2005) Aufga-ben aufgefasst als bdquoAufforderung zur gezielten Bearbeitung eines eingegrenzten mathe-matischen Themasldquo (J Neubrand 2002 S 16) definieren jedenfalls die Grundlinien po-tentieller Lerngelegenheiten im Mathematikunterricht Forschungsmethodisch hat sich dementsprechend gezeigt dass mathematikdidaktisch orientierte Aufgabenanalysen in der Lage sind die Makro-Strukturen des Unterrichts auf inhaltlicher Basis nachzuzeich-nen Dies hat die TIMS-Video-Studie gezeigt indem Aufgabenanalysen internationale Unterschiede in den Lerngelegenheiten offenbarten (J Neubrand 2002 2006) diese Art der Aufgabenanalyse erlaubte es auch bei PISA mathematische Leistung differenzierter darzustellen indem bestimmte Aufgabenklassen unterschieden wurden (Neubrand amp Neubrand 2004)

In der COACTIV-Studie wurden Aufgaben in doppelter Hinsicht genutzt Einerseits wurden von den teilnehmenden Lehrkraumlften Mathematik-Aufgaben eingesammelt die diese tatsaumlchlich in ihren PISA-Klassen fuumlr Klassenarbeiten fuumlr Hausaufgaben oder im Unterricht verwendeten Aufgaben wurden so als Instrumente verwendet die Einsicht in die Grundstrukturen des Unterrichts gewaumlhren koumlnnen4 (zu ersten Ergebnissen siehe Jor-dan et al 2008) Andererseits und dieser Aspekt ist fuumlr die folgende Testkonstruktion von Interesse war die Frage inwieweit Lehrerinnen und Lehrern uumlber Wissen uumlber das Potential von Aufgaben als Gestaltungsmittel fuumlr den Mathematikunterricht verfuumlgen Mit bdquoWissen uumlber Aufgabenldquo ist hier also nicht die Faumlhigkeit gemeint die Aufgaben zu loumlsen sondern Wissen daruumlber was eine Aufgabe potentiell zur erfolgreichen Wissens-konstruktion von Schuumllerinnen und Schuumllern beitragen kann

4 Um anhand der eingesammelten Aufgaben (insgesamt uumlber 40000 Stuumlck) Ruumlckschluumlsse auf die von den Lehrerinnen und Lehrern realisierten Unterrichtkonzeptionen zu erhalten wurde ein Auf-gabenkategorisierungsinstrument entwickelt (Jordan et al 2006) Dort finden sich auch vertiefen-de theoretische Analysen zur Rolle von Aufgaben im Mathematikunterricht


Zusammenfassend ergibt sich Fachdidaktisches Wissen fuumlr das Unterrichtsfach Ma-thematik wird bei COACTIV durch die folgenden drei zentralen Wissenskomponenten konzeptualisiert

Wissen uumlber das Verstaumlndlichmachen von mathematischen Inhalten Wissen uumlber mathematikbezogene Schuumllerkognitionen Wissen uumlber das kognitive Potential von Mathematikaufgaben

Wie sollen diese drei Wissenskomponenten zur Unterstuumltzung verstaumlndnisvollen Lernens erfasst werden Es bietet sich an (skizzenhaft) Unterrichtsszenarien zu entwer-fen die diese Art der Expertise von Lehrkraumlften herausfordern Lehrkraumlfte sollen sich gegenuumlber diesen Unterrichtssituationen didaktisch professionell verhalten Durch die Formulierung entsprechender Items (Testaufgaben) fuumlr Lehrkraumlfte knuumlpfen wir sowohl an Herangehensweisen der allgemeinen Expertiseforschung (Ericsson amp Smith 1991) als auch an zu COACTIV analoge Vorlaumluferstudien zum Lehrerwissen im Grundschul-bereich (zB Hill Schilling amp Ball 2004) an

Im Folgenden stellen wir die in COACTIV fuumlr die Testkonstruktion vorgenommenen Operationalisierungen dieser Wissensaspekte sowie Beispielitems fuumlr die daraus resultie-renden drei Subtests fachdidaktischen Wissens vor Verstaumlndlichmachen von mathematischen Inhalten Operationalisierung als Wissen uumlber Erklaumlren und Repraumlsentieren

Die Wissenskonstruktion der Schuumller kann oft nur mit instruktionaler Anleitung gelin-gen Mathematiklehrkraumlfte sollten in der Lage sein mathematische Sachverhalte auf ge-eignete Weise zu erklaumlren und zu repraumlsentieren (zB Fischer amp Malle 1985 Hefen-dehl-Hebeker 1996) Zur Operationalisierung des didaktischen Wissens uumlber das Ver-staumlndlichmachen von mathematischen Inhalten wurden 11 Situationen aus dem Mathe-matikunterricht konstruiert in denen die unmittelbare Unterstuumltzung lokaler Verstaumlnd-nisprozesse erforderlich war (siehe Beispielitem bdquoMinus mal minusldquo in Abbildung 1 Loumlsungsvorschlaumlge fuumlr alle Items befinden sich im Anhang) Da profundes Wissen uumlber Repraumlsentationsmoumlglichkeiten mathematischer Inhalte die Verfuumlgbarkeit eines groszligen Repertoires zum Erklaumlren mathematischer Sachverhalte bedeutet wurde dabei ein Schwerpunkt auf Wissen uumlber Repraumlsentationen gesetzt (siehe zB Beispielitem bdquoTra-pezldquo in Abbildung 1) Mathematikbezogene Schuumllerkognitionen Operationalisierung als Wissen uumlber typische Schuumllerfehler und -schwierigkeiten

Um Unterricht adaptiv gestalten zu koumlnnen muss eine Lehrkraft uumlber Kenntnisse zu ty-pischen inhaltlichen Schuumllerkognitionen verfuumlgen Vor allem Probleme und Fehler of-fenbaren das implizite Wissen des Problemloumlsers und machen kognitive Prozesse so oftmals uumlberhaupt erst erkennbar (zB Matz 1982 Malle 1993) Um Schuumllerfehler und typische Schwierigkeiten als eine didaktische Chance fuumlr verstaumlndnisvolles Lernen nutz-bar zu machen muss eine Mathematiklehrkraft Schuumllerfehler erkennen konzeptuell ei-nordnen und analysieren koumlnnen Zur Operationalisierung des didaktischen Wissens uumlber


Schuumllerkognitionen wurden 7 Unterrichtssituationen konstruiert in denen Schuumllerfehler oder Schwierigkeiten vorhergesagt erkannt undoder analysiert werden mussten (siehe Beispielitems bdquoParallelogrammldquo und bdquoGleichungldquo in Abbildung 1)

Abbildung 1 Beispielitems aus den COACTIV-Tests zu fachdidaktischen Wissen und zum Fach-wissen von Mathematiklehrkraumlften (Musterloumlsungen finden sich im Anhang)

Kategorie Beispielitems

Fach-didaktisches

Wissen

bdquoErklaumlren und Repraumlsen-

tierenldquo

bdquoMinus 1 mal minus 1ldquo Eine Schuumllerin sagt Ich verstehe nicht warum

111

ist

Bitte skizzieren Sie kurz moumlglichst viele ver-schiedene Wege mit denen Sie der Schuumllerin diesen Sachverhalt klar machen koumlnnten

bdquoTrapezldquo

Die folgenden Formeln liefern alle den Flaumlcheninhalt eines Trapezes

2)( 21

hgg

2221 hghg

2

)( 21 hgg h

gg

2

)( 21

Welchen didaktischen Nutzen kann die Be-trachtung dieser einzelnen Formeln haben Bitte begruumlnden sie ihre Antwort

Fach-didaktisches

Wissen

bdquoSchuumller-kognitionenldquo

bdquoParallelogrammldquo

Die Flaumlche eines Parallelogramms laumlsst sich be-rechnen aus Laumlnge der Grundlinie mal Laumlnge der Houmlhe

Geben Sie bitte ein Beispiel eines Parallelog-ramms (anhand einer Skizze) an dem Schuumller bei dem Versuch diese Formel anzuwenden eventuell scheitern koumlnnten

bdquoGleichungldquo

Bitte stellen Sie sich folgende Situation vor Eine Schuumllerin berechnet fuumlr die Gleichung

(x ndash 3) (x ndash 4) = 2 die Loumlsungen

x = 5 oder x = 6 Was hat diese Schuumllerin vermutlich gerech-net

Fach-didaktisches

Wissen

bdquoAufgabenldquo

bdquoQuadratldquo

Wie aumlndert sich der Flaumlcheninhalt eines Quad-rats wenn man die Seitenlaumlnge verdreifacht Begruumlnde deine Antwort

Bitte schreiben Sie moumlglichst viele verschiedene Loumlsungsmoumlglichkeiten (Begruumlndungen) zu die-ser Aufgabe kurz auf

bdquoNachbarzahlenldquo

Luca behauptet bdquoDas Quadrat einer natuumlrli-chen Zahl ist immer um 1 groumlszliger als das Produkt ihre beiden Nachbarzahlenldquo

Stimmt Lucas Behauptung

Bitte schreiben Sie moumlglichst viele verschie-dene Loumlsungsmoumlglichkeiten zu dieser Auf-gabe kurz auf

Fachwissen

bdquoPrimzahlldquo

bdquoIst 21024 ndash 1 eine Primzahlldquo

(Dieses Item wurde der Testpilotierungsphase entnommen)

bdquoUnendlicher Dezimalbruchldquo

Gilt 0999999 = 1

Bitte begruumlnden Sie


Potential von Mathematikaufgaben Operationalisierung als Wissen uumlber das Potential fuumlr multiple Loumlsungsansaumltze von Mathematikaufgaben

Die Operationalisierung dieser Wissenskomponente greift auf einen durchaus wichtigen und verhaumlltnismaumlszligig leicht erfassbaren Aspekt des Wissens uumlber das Potential einer Auf-gabe zu Der Vergleich qualitativ unterschiedlicher Loumlsungswege von Aufgaben im Ma-thematikunterricht kann in besonderer Weise kognitive Aktivierung und mathematisches Verstaumlndnis entfalten Das ist theoretisch begruumlndbar (Neubrand amp Neubrand 1999) und insofern auch ein Schluumlssel zur Weiterentwicklung der Aufgabenkultur (BLK-Expertise 1997) Fuumlr die lernfoumlrderliche Wirkung der Betrachtung multipler Loumlsungswege gibt es mittlerweile auch empirische Evidenzen (Groszlige 2005 Silver et al 2005) Um diese im Unterricht zu erschlieszligen muss eine Mathematiklehrkraft das Potential von Aufgaben fuumlr multiple auf unterschiedliche Repraumlsentationsmoumlglichkeiten zugreifende Loumlsbarkeit erkennen und wissen welche strukturellen Unterschiede verschiedene Loumlsungswege aufweisen Zur Operationalisierung des didaktischen Wissens uumlber das Potential von Mathematikaufgaben wurden 4 (auch fuumlr Schuumller geeignete) Mathematikaufgaben ge-waumlhlt jeweils mit der Aufforderung an die Lehrkraft moumlglichst viele substantiell ver-schiedene Loumlsungswege anzugeben (siehe Beispielitems bdquoQuadratldquo und bdquoNachbarzah-lenldquo in Abbildung 1)

Der Fachdidaktiktest in COACTIV besteht somit aus den drei Subtests Wissen uumlber Erklaumlren und Repraumlsentieren (11 Items) Wissen uumlber Schuumllerfehler und Schuumllerschwie-rigkeiten (7 Items) und Wissen uumlber das multiple Loumlsbarkeitspotential von Aufgaben (4 Items) Insgesamt wird das fachdidaktische Wissen somit mit 22 Items getestet Die Bei-spielitems machen deutlich dass die Konzeptualisierung sehr fachnah umgesetzt wurde (und somit ganz in der Tradition der deutschsprachigen bdquoStoffdidaktikldquo steht zB Grie-sel 1975 Vollrath 2001 Blum amp Henn 2003) Dies unterstreicht die Intention von COACTIV uumlber traditionelle paumldagogisch-psychologische Herangehensweisen hinaus-zugehen

Diese Konzeptualisierung (inklusive den entsprechenden Operationalisierungen) laumlsst sich gut in ein Unterrichtsmodell einbetten Mathematikunterricht kann ndash in der knappest moumlglichen Formulierung und unter Beruumlcksichtigung einer konstruktivistischen Sicht-weise ndash als bdquoZugaumlnglichmachen mathematischer Inhalte fuumlr Schuumllerldquo aufgefasst werden Die beschriebenen Subfacetten des COACTIV-Fachdidaktiktests decken somit alle drei Eckpfeiler des Mathematikunterrichts (bdquodidaktisches Dreieckldquo Zugaumlnglichmachen Schuumller Inhalt) durch je eine Wissenskomponente ab Die vorliegende Konzeptualisie-rung kann natuumlrlich keine vollstaumlndige Erfassung des fachdidaktischen Wissens darstel-len (so fehlen beispielsweise dem Charakter unseres Tests entsprechend naumlher am Un-terrichtshandeln liegende Facetten wie zB das schnelle Reagieren in bdquofachlich kriti-schenldquo Unterrichtssituationen im Klassenzimmer siehe hierzu aber Krauss amp Brunner eingereicht) sondern ist vielmehr als der Versuch zu sehen in distinkten Aspekten der Unterrichtsrealitaumlt jeweils eine zentrale didaktische Wissensfacette zu erfassen Eine sol-che Fokussierung auf eine kleine Zahl von Subfacetten ist schon aus pragmatischen Gruumlnden erforderlich (zB im Hinblick auf eine Obergrenze maximal zumutbarer Test-zeit) Ebenso sind die drei Subfacetten selbst durch die Items natuumlrlich nur fragmenta-risch abgedeckt so waumlren zur Subfacette bdquoSchuumllerkognitionenldquo beispielsweise auch


Items denkbar die nach der Haumlufigkeit bestimmter Schuumllerfehler fragen und zu einer mathematikbezogenen Aufgabenkompetenz gehoumlrt beispielsweise auch Wissen uumlber die optimale Auswahl sowie die Anordnung von Aufgaben

232 Fachwissen (Mathematik)

Niemand wird bezweifeln dass ein profundes Fachwissen eine unabdingbare Grundvor-aussetzung fuumlr gelingenden Unterricht darstellt Dennoch ist nicht von vornherein klar was unter bdquoFachwissen fuumlr Lehrerinnen und Lehrerldquo in einem Test wie COACTIV zu verstehen sein soll Wir wollen die Differenz zwischen fachdidaktischem und fachlichem Wissen bestehen lassen und daher nicht alles was (zu Recht) als bdquoMathematical Know-ledge for Teachingldquo bezeichnet werden kann als Fachwissen bezeichnen5 Neuweg (2005) weist darauf hin dass dieses bdquoreineldquo Fachwissen obschon dessen Vermittlung viel Raum in der Universitaumltsausbildung einnimmt im Zusammenhang mit den Anforde-rungen an Lehrkraumlfte in der Forschungsliteratur weniger ausfuumlhrlich diskutiert wird als das fachdidaktische Wissen (siehe dazu auch Baumert amp Kunter 2006)

Um mathematisches Fachwissen in Richtung auf die Konstruktion eines Fachwis-senstests zu konzeptualisieren haben wir in COACTIV versucht die grundsaumltzlichen und fachunabhaumlngigen Aspekte die Shulman (1986) genannt hat inhaltlich zu spezifi-zieren Wir praumlsentieren im Folgenden einen moumlglichen Ansatz der als Ausgangspunkt fuumlr weitere Uumlberlegungen zu diesem Thema verstanden werden soll Der Begriff bdquoma-thematisches Fachwissenldquo kann sich zunaumlchst auf verschiedene Ebenen beziehen insbe-sondere kann man zwischen folgenden vier Ebenen unterscheiden

Ebene 1 Mathematisches Alltagswissen uumlber das grundsaumltzlich alle Erwachsene verfuumlgen sollten

Ebene 2 Beherrschung des Schulstoffs so wie es von einem durchschnittlichen bis guten Schuumller der jeweiligen Klassenstufe erwartet wird

Ebene 3 Tieferes Verstaumlndnis der Fachinhalte des Curriculums der Sekundarstu-fe (zB auch bdquoElementarmathematik vom houmlheren Standpunkt ausldquo wie sie an der Universitaumlt gelehrt wird)

Ebene 4 Reines Universitaumltswissen das vom Curriculum der Schule losgeloumlst ist (zB Galoistheorie Funktionalanalysis)

Wir haben ins in COACTIV entschieden Fachwissen auf Ebene 3 zu erheben Dies hat folgende Gruumlnde Nicht nur um mathematisch herausfordernden Unterrichtssituatio-nen fachlich jederzeit gewachsen zu sein sollten Lehrkraumlfte den von ihnen unterrichteten Stoff auf einem Niveau durchdringen das in seiner Qualitaumlt uumlber dem im Unterricht uumlb-lichen Bearbeitungsniveau liegt Vielmehr sollte ndash wir schlieszligen damit wiederum an

5 Die Michigan Forschungsgruppe subsumiert Fachwissen und Fachdidaktisches Wissen unter Ma-thematical Knowledge for Teaching (bdquoMKTldquo) und grenzen dieses insgesamt vom paumldagogischen Wissen ab So stellen etwa Bass und Ball (2004) einen Katalog von bdquocore tasks and problems of teachingldquo auf der zB ldquoanalyzing and evaluating student responsesrdquo aber auch bdquoevaluating a text-books approach to a topicrdquo umfasst um dann zu konstatieren bdquoAnd it is knowledge of mathemat-ics not knowledge of pedagogy or of cognitive psychologyldquo


Shulman an ndash ein fundiertes Fachwissen auch sicherstellen dass Argumentationsweisen und das Herstellen von Zusammenhaumlngen mithin das Sichern von begrifflichem Wissen derart erfolgen kann dass es an die typischen Wissensbildungsprozesse des Faches hier der Mathematik anschlieszligen kann Mehr Fachwissen kann also fuumlr Lehrerinnen und Lehrer nicht nur bedeuten ihren Schuumllerinnen und Schuumllern curricular bdquovorausldquo zu sein Fachwissen muss vielmehr ein tieferes Verstaumlndnis der Inhalte des mathematischen Schulcurriculums einschlieszligen wie es auch in Fachvorlesungen des Haupt- und Real-schullehrerstudiums und in Anfaumlngervorlesungen des Gymnasiallehrerstudiums angest-rebt wird Zur bdquoElementarmathematik vom houmlheren Standpunktldquo (Klein 1933) womit bestimmte Strukturen des Schulwissens in allgemeinere mathematische Begriffe ein-geordnet werden sollen kommt hinzu Arbeitsweisen der Mathematik in elementaren Gegenstaumlnden zu erkennen Dies sollte moumlglichst fachnah umgesetzt werden (vgl hierzu die Grundideen von Kirsch 1987) Da sich Ebene 3 stofflich immer auf das Schulcurri-culum bezieht koumlnnen Items dieser Ebene zumindest prinzipiell auch von sehr guten Schuumllern geloumlst werden Die Items der Fachdidaktiksubfacette bdquomultiple Loumlsbarkeit von Aufgabenldquo dagegen waumlren in obiger Klassifizierung auf Ebene 2 anzusiedeln da sie ndash zumindest wenn nur eine Loumlsung verlangt waumlre ndash nicht uumlber die Anforderungen hinaus-gehen die auch an Schuumller gestellt werden

Items der Ebene 4 dagegen wuumlrden notwendigerweise Elemente eines Mathematik-studiums erfordern Der Einfluss der bdquoreinen Universitaumltsmathematikldquo auf den schuli-schen Unterricht ist im Vergleich zu Ebene 3 jedoch nur schwer einzuschaumltzen Im Fach-studium der Universitaumlt wird ja oftmals keine stoffbezogene Ruumlcksicht mehr auf die in der Schule behandelten Stoffe genommen moumlglicherweise aber werden Einblicke in ma-thematische Denkweisen vertieft Diese Ebene wurde daher bei der Testkonstruktion (zumindest fuumlr diese erste Testversion) ausgeklammert Folglich laumlsst der COACTIV-Fachwissenstest keine unmittelbaren Aussagen uumlber die Wirkungen zu die die typische houmlhere universitaumlre Ausbildung in Mathematik auf die Unterrichtsqualitaumlt ausuumlbt

Operationalisiert wurde der COACTIV-Fachwissenstest durch insgesamt 13 Aufga-ben Der Bogen spannt sich dabei von Aufgaben zum Mittelstufenstoff (zB einfache Beweise aus der Elementargeometrie oder der elementaren Algebra) bis hin zu Aufga-ben die ein vertieftes inhaltliches Verstaumlndnis von infinitesimalen Begriffen erfordern Fuumlr das Fachwissen werden theoretisch keine Subfacetten postuliert6 Zwei Beispielauf-gaben fuumlr den Fachwissenstest sind Abbildung 1 (untere Zeile) zu entnehmen

24 Testkonstruktion

Da es sich bei der Konstruktion von Tests dieser Art im Wesentlichen um Forschungs-neuland handelt sollen im Folgenden das Vorgehen (und die sich dabei stellenden Prob-leme) sowie psychometrische Eigenschaften der Tests (zB Testguumltekriterien) ausfuumlhrli-cher beschrieben werden 6 Denkbar waumlre zB eine Dimensionierung nach stofflichen Kategorien (zB Algebra Geometrie) oder nach prozeduralem vs deklarativem Wissen Obschon eine exploratorische Faktorenanalyse mit den COACTIV-Fachwissensitems keine interpretierbaren Subdimensionen ergab (Krauss Brunner Kunter et al 2008) laumlsst die relativ geringe Itemzahl hier kein abschlieszligendes Urteil zu (siehe dazu zB Bloumlmeke Kaiser amp Lehmann 2008)


Woher stammen die Items Ca die Haumllfte dieser Items wurde mithilfe von Literatur-recherchen etwa durch Inspektion und Weiterentwicklung von Aufgaben aus den inter-nationalen Vergleichstests und aufgrund zahlreicher Mathematiklehrerbefragungen zu-sammengestellt Die andere Haumllfte der Items stammt sozusagen aus der bdquomathematikdi-daktischen muumlndlichen Tradierungldquo Ein Teil dieser Items wurde beispielsweise in spe-ziell einberufenen bdquoItemkonstruktionssitzungenldquo bei mathematikdidaktischen Kongres-sen zusammengetragen und kritisch weiterentwickelt7 In Ermangelung von Vorlaumlufer-studien war dabei zuerst einmal unklar welches Kompetenzniveau bei Lehrkraumlften der verschiedenen Sekundarschulformen uumlberhaupt angenommen werden konnte Da Items die von fast allen bzw von kaum einer Lehrkraft geloumlst werden koumlnnen testtheoretisch wertlos sind war das erste Problem Items mit geeignetem Schwierigkeitsgrad zu finden

Ausgehend von ca 80 Items konnten mithilfe mehrerer Pilotierungsrunden mit Berli-ner Lehrkraumlften 35 Items (22 Fachdidaktik- und 13 Fachwissensitems) identifiziert wer-den die (1) prinzipiell fuumlr Lehrkraumlfte aller Schulformen loumlsbar waren und die (2) eine hohe bdquoface-validityldquo aufwiesen dh von denen auch die Lehrkraumlfte selbst der Meinung waren dass berufsrelevantes fachliches bzw fachdidaktisches Wissen getestet wird (ein Lehrer bemerkte bdquoIch weiszlig dass ich das koumlnnen sollteldquo) Diese Items wurden entspre-chend der theoretischen Konzeptualisierung den Skalen zugeordnet und in die COACTIV-Tests implementiert Alle 35 Items haben ein offenes Antwortformat

Ein weiteres Problem war dass es fuumlr fachdidaktische Items oft keine eindeutig nor-mativ richtige Antwort gibt Welche Analyse eines Schuumllerfehlers zB ist bdquorichtigldquo Welche Erklaumlrung eines mathematischen Sachverhalts ist bdquodidaktisch geeignetldquo Unter Einbeziehung von Fachdidaktikern und von Mathematiklehrkraumlften wurde in der COACTIV-Arbeitsgruppe ein umfassendes Kodierschema fuumlr alle Items entwickelt (sie-he auch Krauss et al 2006) Kriterien fuumlr eine bdquodidaktisch geeignete Lehrerantwortldquo waren beispielsweise eine sehr hohe Uumlbereinstimmung unter den Testkonstrukteuren bzw eine durch die Literatur abgesicherte empirische Bestaumltigung einer bdquodidaktisch an-gemessenenldquo Erklaumlrung Es wurden insgesamt 8 Rater (Mathematik-Lehramtsstudentinnen der Universitaumlt Kassel mit herausragenden Studienleistungen) mit dem Kodierschema geschult Alle Lehrerantworten wurden dann von je zwei Ratern unabhaumlngig kodiert (wobei stets volle Punkte vergeben wurden) Die Uumlbereinstimmung der Rater war dabei als befriedigend bis gut zu bezeichnen da die Werte fuumlr den Genera-lisierbarkeitskoeffizient ρ (Shavelson amp Webb 1991) im Mittel uumlber 80 lagen Falls die beiden Kodierer nicht miteinander uumlbereinstimmten diskutierten sie die jeweilige Leh-rerantwort und einigten sich auf einen Score

Eine hohe Rateruumlbereinstimmung (Auswertungsobjektivitaumlt) ist ein wichtiges psy-chometrisches Kriterium fuumlr die Guumlte eines Tests Ein weiteres Testguumltekriterium ist die Reliabilitaumlt (oder Zuverlaumlssigkeit bzw Genauigkeit) Die Reliabilitaumlt wird uumlblicherweise mit Cronbachrsquos α einem Maszlig fuumlr die interne Konsistenz einer Skala angegeben (wuumln-schenswert ist α gt 70 zB Nunally amp Bernstein 1994) In Tabelle 1 befinden sich die Reliabilitaumlten fuumlr die beiden Gesamtskalen fachdidaktisches Wissen und Fachwissen so-wie fuumlr die drei Subskalen des fachdidaktischen Wissens Auszligerdem sind die Mittelwerte (Standardabweichungen) die empirischen Maxima (dh die jeweils houmlchsten erzielten

7 Stellvertretend danken wir an dieser Stelle Alexander Wynands und Regina Bruder


Punktzahlen) und die Interkorrelationen dieser Skalen fuumlr die Stichprobe der 198 COACTIV-Lehrkraumlfte angegeben Aus der Tabelle ist zu entnehmen dass beide Ge-samtskalen fachdidaktisches Wissen und Fachwissen gute Reliabilitaumlten aufweisen aus psychometrischen Gesichtspunkten ist also eine erfolgreiche Testkonstruktion fuumlr beide Wissensbereiche gegluumlckt Die Subskalen des fachdidaktischen Wissens sind dagegen nur mit Vorsicht zu interpretieren (insbesondere auch wegen der relativ geringen Ite-manzahlen fuumlr diese drei Subfacetten) Fuumlr die folgenden Analysen (31-34) beziehen wir uns deshalb wenn nicht anders gesagt immer auf die beiden Gesamtskalen Tabelle 1 Reliabilitaumlt (Cronbachs α) Mittelwerte (Standardabweichungen) empirische Maxima und Interkorrelationen der Skalen der COACTIV-Tests Stichprobe N = 198 Lehrkraumlfte Alle Korrelationen sind signifikant auf dem 01-Niveau

Reliabilitaumlt

Cronbachs α MW (SD)

N = 198 emp Max

Korrelationen

Fach-wissen

Erklaumlren und Reprauml-sentieren

Schuumller-kogni-tionen

Aufga-ben

Fachwissen 83 59 (34) 13

Fachdid Wissen 77 199 (62) 37 60

Erklaumlren und Repraumlsentieren

63 81 (34) 17 54

Schuumllerkognitionen 54 49 (20) 11 52 56

Aufgaben 51 67 (22) 12 37 44 43

Tabelle 1 zeigt weiterhin dass Fachwissen und fachdidaktisches Wissen hoch korre-

lieren (60) und dass auch die 3 Subfacetten des fachdidaktischen Wissens stark mitei-nander zusammenhaumlngen Da es sich bei allen untersuchten Bereichen um fachbezogene Wissensaspekte handelt sind diese Korrelationen erwartungskonform8 (zB erfordert ei-ne gute mathematische Erklaumlrung neben entsprechendem Fachwissen auch Wissen uumlber diesbezuumlgliche Schuumllerkognitionen usw) Die Tatsache dass die Korrelationen sich aber dennoch deutlich von 1 unterscheiden ist ein erster Hinweis auf die diskriminante Validitaumlt der Tests dh trotz des starken Zusammenhangs scheinen die verschiedenen Tests (bzw die Subfacetten des fachdidaktischen Wissens) auch tatsaumlchlich etwas ver-schiedenes zu messen Mit Hilfe der grau unterlegten Zellen in der Korrelationstabelle

8 In der Tat ist zB die Trennschaumlrfe (das ist ein Maszlig dafuumlr wie gut ein Item bdquozu einer Skala passtldquo) des Items bdquoUnendlicher Dezimalbruchldquo auf der Fachdidaktikskala vergleichbar mit der Trennschaumlrfe dieses Items auf der Fachwissensskala Dieser Befund kann damit erklaumlrt werden dass zB die von uns im Anhang gegebene Loumlsung einerseits den Beweis fuumlr die Summe der geo-metrische Reihe reproduziert (Fachwissen) aber andererseits eine auch fuumlr Schuumller geeignete Be-gruumlndung darstellt (fachdidaktisches Wissen Erklaumlren und Repraumlsentieren) Anders jedoch als Bass und Ball (2004) die grundsaumltzlich bezweifeln ob sich fachdidaktisches Wissen und Fachwis-sen uumlberhaupt trennen lassen zeigt eine Uumlberpruumlfung unserer Daten dass sich beide Wissensberei-che ndash trotz betraumlchtlicher Uumlberlappungen ndash empirisch trennen lassen (siehe hierzu auch 31)


laumlsst sich beantworten welche der drei Subfacetten bdquoam naumlhesten am Fachwissen liegtldquo Ein theoretisch wichtiges Ergebnis ist dass die Subskala bdquoAufgabenldquo keine versteckte Fachwissensskala ist (was aufgrund der Instruktion die Aufgaben zu loumlsen vermutet werden koumlnnte) Diese Subskala weist sogar die niedrigste Korrelation mit dem Fachwis-sen auf

Ein Spezifikum des Fachdidaktiktests soll noch erwaumlhnt werden Waumlhrend im Fach-wissenstest bei allen Items ein Punkt fuumlr die richtige Antwort vergeben wurde (die ma-ximal zu erreichende Punktzahl war also 13) waren bei 9 der 22 Items des Fachdidaktik-tests multiple Antworten erlaubt (und sogar erwuumlnscht siehe die Beispiele in Abbildung 1) Bei der Subfacette bdquoErklaumlren und Repraumlsentierenldquo war das bei 3 von 11 Items der Fall bei bdquoSchuumllerkognitionenldquo bei 2 von 7 Items und bei bdquoAufgabenldquo bei allen 4 Items (die Kodierer waren dabei angewiesen von den richtigen Antworten jeweils nur die substantiell verschiedenen zu werten) Es gibt deshalb kein theoretisches Maximum fuumlr das fachdidaktische Wissen sondern ein empirisches Die 37 Punkte die laut Tabelle 1 im COACTIV-Fachdidaktiktest von einer Lehrkraft erreicht wurden bedeuten in diesem Fall dass alle Items mit einem zu erreichenden Punkt richtig geloumlst wurden und dass bei den multiplen Aufgaben im Schnitt 2-3 richtige Alternativen angeboten wurden Dies ist eine erstaunliche Leistung die gleichzeitig auf den Spielraum hinweist der bezuumlglich des durchschnittlichen fachdidaktischen Wissens der COACTIV-Lehrkraumlfte (199 Punk-te) nach oben moumlglich ist

3 Ergebnisse der Testdurchfuumlhrung

Es soll an dieser Stelle noch einmal daran erinnert werden dass sich die im Folgenden berichteten Resultate jeweils auf die in COACTIV gewaumlhlte (fachnahe) Konzeptionali-sierung und Operationalisierung von fachdidaktischem Wissen und auf die (curriculum-nahe) Konzeptualisierung und Operationalisierung von Fachwissen beziehen

Als erstes werden Schulformunterschiede bezuumlglich der beiden Wissensbereiche bei Mathematiklehrkraumlften analysiert (31)9 Dann soll der Zusammenhang der beiden Wis-sensbereiche mit der Berufserfahrung diskutiert werden (32) Im Anschluss daran wird der Zusammenhang der beiden Wissensbereiche mit professionellen Uumlberzeugungen der Lehrkraumlfte und mit Aspekten der Unterrichtsqualitaumlt untersucht (33) Als letztes soll die Frage gestellt werden die als die Nagelprobe fuumlr das fachdidaktische Wissen gesehen werden kann Traumlgt hohes fachdidaktisches Wissen einer Mathematiklehrkraft zum Lernfortschritt ihrer Schuumller bei (34)

31 Schulformunterschiede

In Anbetracht des uumlblicherweise sehr fachintensiven Studiums von Gymnasiallehrkraumlften und des hohen fachlichen Niveaus in dieser Schulform ist zu erwarten dass Lehrkraumlfte

9 Im Folgenden wird auch auf wichtige bereits veroumlffentlichte Analysen zuruumlckgegriffen zu 31 und 32 ist dies im Wesentlichen Brunner et al (2006b) und fuumlr 33 vor allem Kunter et al (2006) und Dubberke et al (im Druck) Waumlhrend in 31-33 aber auch zahlreiche neue Ergebnisse berich-tet werden stellt 34 einen Kurzbericht von Baumert et al (eingereicht) dar


des Gymnasiums uumlber deutlich mehr Fachwissen verfuumlgen als ihre Kollegen von anderen Sekundarschulformen (Realschule Sekundarschule Gesamtschule etc) Aufgrund der vergleichsweise geringen Fallzahlen werden im Folgenden die nicht-gymnasialen Schulformen gemeinsam betrachtet (vgl Brunner et al 2006b Krauss Brunner Kunter et al 2008)

Eine a priori offene Frage ist ob Lehrkraumlfte des Gymnasiums uumlber mehr oder uumlber weniger fachdidaktisches Wissen als ihre Kollegen aus anderen Schulformen verfuumlgen Zwei Aspekte legen hier sogar gegenlaumlufige Hypothesen nahe Einerseits werden in der gymnasialen Universitaumltsausbildung in der Regel weniger Didaktikanteile (sowie Paumlda-gogik- und Psychologieanteile) angeboten was zu der Annahme fuumlhren koumlnnte dass Gymnasiallehrkraumlfte uumlber weniger didaktisches Wissen verfuumlgen Andererseits macht die bisherige Forschungslage wiederholt die enge Verknuumlpfung der beiden Wissensbereiche deutlich (zB Hill Schilling amp Ball 2004) Dies koumlnnte die Vermutung nahe legen dass sich fachdidaktisches Wissen ndash zumindest teilweise ndash auch aus vertieftem Fachwissen bdquospeistldquo Tabelle 2 zeigt die Ergebnisse fuumlr die COACTIV-Lehrkraumlfte bezuumlglich beider Wissensbereiche Tabelle 2 Schulformunterschiede Mittelwerte (Standardabweichungen) und empirische Maxima in beiden Gruppen (GY = Gymnasium NGY = Nicht-Gymnasium) Die Effektstaumlrke d berechnet sich aus der Mittelwertsdifferenz beider Gruppen dividiert durch die gepoolte Standardabwei-chung Nach Cohen (1992) entspricht eine Effektstaumlrke von d = 20 einem kleinen Effekt d = 50 einem mittleren Effekt und d = 80 einem groszligen Effekt Alle Schulformunterschiede sind signifikant auf dem 01-Niveau

Schulformunterschiede MW (SD)

GY (N = 85)

MW (SD) NGY

(N = 113)

Effektstaumlrke d GY vs NGY

emp Max GY

emp Max NGY

Fachwissen (13 Items) 85 (23) 40 (28) 173 13 12

Fachdid Wissen (22 Items) 226 (59) 18 (56) 080 37 29

Erklaumlren und Repraumlsentieren (11 Items)

93 (34) 71 (32) 067 17 15

Schuumllerkognitionen (7 Items) 58 (23) 43 (19) 071 11 9

Aufgaben (4 Items) 75 (18) 66 (2) 047 12 10

Wie erwartet zeigt sich der deutlichste Unterschied zwischen gymnasialen und nicht-

gymnasialen Lehrkraumlften10 beim Fachwissen (d = 173 das Effektstaumlrkenmaszlig d wird in der Legende von Tabelle 2 erklaumlrt) Dieser erwartungskonforme Leistungsunterschied ist

10 Aufgrund der kleinen Stichprobenzahlen fuumlr Mittel- Sekundar- und Regelschullehrkraumlfte (N = 22) und Gesamtschullehrkraumlfte (N = 21 darunter drei mit gymnasialer Lehrzugangsberechtigung) koumlnnen fuumlr diese Subpopulationen keine allgemeinguumlltigen Aussagen abgeleitet werden Waumlhrend beim Fachwissen jedoch alle nicht-gymnasialen Lehrkraumlfte in etwa vergleichbar abschneiden wird deutlich dass die Realschullehrkraumlfte (N = 70) die anderen beiden Gruppen im fachdidaktischen Wissen tendenziell uumlbertreffen


Nicht-Gymnasium Gymnasium

0 4 8 12

Fachwissen

10

20

30

Fac

hdid

aktis

ches

Wis

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0 4 8 12

Fachwissen

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A

ein Hinweis fuumlr die diskriminante Validitaumlt des COACTIV-Fachwissenstests Aber auch beim fachdidaktischen Wissen erzielen die gymnasialen Lehrkraumlfte durchschnittlich mehr Punkte (d = 80) was vor allem auf eine houmlhere Kompetenz bei Schuumllerfehlern und beim Erklaumlren und Repraumlsentieren zuruumlckzufuumlhren ist (siehe Tabelle 2) Kontrolliert man jedoch statistisch fuumlr Fachwissen (dh vergleicht man nur Lehrkraumlfte mit gleichem Fachwissen) haben die Lehrkraumlfte nicht-gymnasialer Schulformen beim fachdidakti-schen Wissen einen leichten Vorsprung (siehe dazu auch 32 bzw Brunner et al 2006b)

Abbildung 2 beleuchtet personenbezogen den Zusammenhang zwischen Fachwissen und fachdidaktischem Wissen differenziert nach Schulform Man sieht nun zB dass die Lehrkraft mit dem maximalen Wert im Fachdidaktiktest (37) auch im Fachwissens-test die maximale Punktzahl (13) erreicht (siehe Scatterplot der gymnasialen Lehrkraumlfte oben rechts)

Abbildung 2 Scatterplots fuumlr die Korrelation zwischen fachdidaktischem Wissen und Fachwissen getrennt fuumlr nicht-gymnasiale Lehrkraumlfte (links) und fuumlr Lehrkraumlfte des Gymnasiums (rechts)

Die Korrelation zwischen den Wissenskategorien ist in der Gruppe der Gymnasial-lehrkraumlfte straffer (Krauss Brunner Kunter et al 2008 zeigen dass unter Zuhilfenahme von Strukturgleichungsmodellen die latente ndash mithin messfehlerbereinigte ndash Korrelation beider Wissenskategorien fuumlr die Gymnasiallehrkraumlfte statistisch nicht mehr von 1 unter-scheidbar ist Die latenten Korrelationen in diesen Analysen sind 64 fuumlr die Gruppe der nicht-gymnasialen Lehrkraumlfte und 94 fuumlr die Gruppe der Gymnasiallehrkraumlfte) Die Gymnasiallehrkraumlfte verfuumlgen also ndash neben deutlich mehr Fachwissen ndash durchschnittlich auch uumlber mehr fachdidaktisches Wissen aber ihr fachdidaktisches Wissensniveau ist staumlrker von ihrem Fachwissen determiniert als bei Lehrkraumlften anderer Schulformen


Diese staumlrkere Vernetzung verschiedener Wissensarten bei den spezialisierteren Exper-ten ist auch konform mit der Expertisetheorie (zB Ericsson amp Smith 1991)11

Weiterhin legt Abbildung 2 das auf den ersten Blick uumlberraschende Ergebnis nahe dass auch mit sehr niedrigem Fachwissen (lt 4) ein uumlberdurchschnittliches fachdidakti-sches Wissensniveau (gt 20) moumlglich ist Dies trifft ausschlieszliglich fuumlr eine kleine Gruppe nicht-gymnasialer Lehrkraumlfte zu Erstaunlicherweise kann bei den nicht-gymnasialen Lehrkraumlften dieses fachdidaktische Wissensniveau auch durch hohes Fachwissen nicht mehr gesteigert werden Hohes Fachwissen bdquoschuumltztldquo jedoch gewissermaszligen vor einem niedrigen fachdidaktischen Wissensniveau (siehe Abb 2) Waumlhrend also fuumlr die nicht-gymnasialen Lehrkraumlfte uumlberdurchschnittliches fachdidaktisches Wissen auf allen Ni-veaus des Fachwissens moumlglich ist geht niedriges fachdidaktisches Wissen immer mit niedrigem Fachwissen einher

Wodurch entstehen diese differentiellen Befunde Sind sie auf die unterschiedliche Ausbildung beider Lehrergruppen zuruumlckzufuumlhren oder entstehen diese Unterschiede erst durch die langjaumlhrige Unterrichtspraxis in unterschiedlichen Schultypen

32 Wissen und Berufserfahrung

Wann wird fachdidaktisches Wissen und Fachwissen erworben Die Frage nach der Pro-fessionalisierung im Allgemeinen und dem Wissenserwerb von Lehrkraumlften im Speziel-len ist von zentraler Bedeutung fuumlr die Gestaltung der Lehrerausbildung Zum Zeitpunkt und zum Prozess des Erwerbs von professionellem Lehrerwissen gibt es widerstreitende Theorien die zu unterschiedlichen Hypothesen bezuumlglich der COACTIV-Lehrkraumlfte fuumlh-ren Auf der einen Seite stehen Theorien die annehmen dass berufsrelevantes Hand-lungswissen vor allem durch Unterrichtspraxis erworben wird (Hashweh 2005 Hiebert Gallimore amp Stigler 2002) Auf der anderen Seite steht die bdquodeliberate-practiceldquo-Theorie von Ericsson Krampe und Tesch-Roumlmer (1993) die postuliert dass domaumlnen-spezifische Expertise nur durch hartes permanentes Arbeiten an eigenen Schwachstellen am besten unterstuumltzt durch staumlndiges Expertenfeedback vergroumlszligert werden kann Diese allgemein-psychologische Theorie die in zahlreichen Bereichen belegt ist (Sport Musik Schach etc) besagt also dass durch die bloszlige wiederholte Ausuumlbung einer Taumltigkeit Expertise kaum gesteigert werden kann Bestaumlndiges Arbeiten an eigenen Schwaumlchen mit permanenten feedback-Schleifen und mit dem Ziel der Verbesserung der eigenen Leistung ist aber wohl eher Teil der Lehrerausbildung als Teil der taumlglichen Unterrichts-routine

Die Frage ob durch die taumlgliche Unterrichtspraxis Fachwissen und fachdidaktisches Wissen hinzu gewonnen wird wird durch die COACTIV-Daten fuumlr Mathematiklehrkraumlf-te hinreichend klar beantwortet Statistische Analysen die an Brunner et al (2006b) an-gelehnt sind ergeben keinerlei positiven Zusammenhang zwischen Unterrichtserfahrung (operationalisiert als Anzahl der bislang unterrichteten Jahre) und Fachwissen bzw fachdidaktischem Wissen Es ergeben sich im Gegenteil sogar leicht negative Korrela- 11 Wir danken einem Reviewer fuumlr den Hinweis dass die geringere Korrelation bei den nicht-gymnasialen Lehrkraumlften zum Teil auch dadurch erklaumlrt werden koumlnnte dass der Fachwissenstest in dieser Stichprobe nicht hinreichend zwischen den Lehrkraumlften mit geringem Fachwissen diffe-renziert


tionen naumlmlich ndash16 fuumlr das Fachwissen und ndash15 fuumlr das fachdidaktische Wissen Eine genauere Analyse der Daten zeigt dass diese negativen Korrelationen auf Lehrkraumlfte aus den neuen Bundeslaumlndern zuruumlckgefuumlhrt werden koumlnnen Es kann spekuliert werden dass dabei Kohorteneffekte eine Rolle spielen die durch systematische Veraumlnderungen in der Lehramtsausbildung in der ehemaligen DDR in den 1980-er Jahren erklaumlrt werden koumlnnen (siehe auch Brunner et al 2006b)

Dieses Ergebnis (das also im Einklang mit der deliberate-practice-Theorie steht) legt die Vermutung nahe dass das Wissen von Mathematiklehrkraumlften bezuumlglich dieser bei-den Wissenskategorien im Wesentlichen in der Ausbildung erworben wurde Unter die-sem Gesichtspunkt lohnt sich ein erneuter Blick auf die Ergebnisse von 31 Zwei poten-tielle Quellen von fachdidaktischem Wissen koumlnnen nun identifiziert werden Einerseits bedeuten die Ergebnisse der nicht-gymnasialen Lehrkraumlfte (siehe zB die statistische Kontrolle des Fachwissens) dass eine staumlrkere didaktisch-paumldagogische Ausrichtung der Lehrerausbildung ein Regulator fuumlr den Erwerb von fachdidaktischem Wissen ist (und nicht etwa die didaktischen Anforderungen des nicht-gymnasialen Berufsalltags) Ande-rerseits ist wie vor allem die Ergebnisse der Gymnasiallehrkraumlfte zeigen hohes fachdi-daktisches Wissen auch zu einem nicht unerheblichen Anteil vom Fachwissen determi-niert (das offenbar ebenfalls primaumlr bereits in der Ausbildung erworben wurde)

Neben institutionellen Unterschieden stellt sich auch die Frage nach der praumldiktiven Validitaumlt von Schul- bzw Studienerfolg Tabelle 3 gibt einen Uumlberblick uumlber wichtige Indikatoren (bei den Noten handelt es sich jeweils um Gesamtnoten) die von den COACTIV-Lehrkraumlften erhoben wurden (man beachte dass aufgrund der groszligen Hete-rogenitaumlt zwischen den verschiedenen Bundeslaumlndern sowohl bei Abitur als auch bei Lehramtspruumlfungen die folgenden Korrelationen nur als grobe Anhaltspunkte zu verste-hen sind) Tabelle 3 Zusammenhang von Professionswissen und Indikatoren des Schul- bzw Studienerfolges (Korrelationen wurden mit der full information maximum likelihood-Prozedur geschaumltzt da eini-ge Lehrkraumlfte fehlende Werte bei einer oder mehreren Variablen hatten) Stichprobe N = 198 Lehrkraumlfte fett signifikant auf 05-level

Abiturnote Note 1 Staatsexamen Note 2 Staatsexamen

Fachdidaktisches Wissen ndash06 ndash31 02

Fachwissen ndash21 ndash35 ndash02

Waumlhrend der Erfolg im Ersten Staatsexamen also indikativ fuumlr das spaumltere Professions-wissen ist (aufgrund der deutschen Notenskala bedeuten negative Korrelationen in Ta-belle 3 einen positiven Zusammenhang) ist dies fuumlr den Erfolg in der zweiten Staatspruuml-fung nicht der Fall Der Erfolg in der (rein fachlichen) Abiturpruumlfung zeigt differentielle Effekte Es gibt einen signifikanten Zusammenhang zum spaumlteren Fachwissensniveau aber nicht zum spaumlteren fachdidaktischen Wissen einer Lehrkraft

Die Abiturnote wird in der Bildungsforschung oft als eine grobe Approximation der generellen kognitiven Grundfaumlhigkeit (IQ) verwendet (zB Baron-Boldt Schuler Funke 1988) Eine interessante Frage ist nun ob die Unterschiede im Professionswissen zwi-


schen GY und NGY-Lehrkraumlften eventuell teilweise durch generelle Unterschiede in der kognitiven Leistungsfaumlhigkeit zwischen den beiden Lehrergruppen determiniert sind (dh bereits vor Beginn der Professionalisierung partiell bdquovorbestimmtldquo sind) Krauss Brunner Kunter et al (2008) zeigen dass sich die Abiturnoten in beiden Gruppen tat-saumlchlich unterscheiden (GY-Lehrkraumlfte haben signifikant bessere Abiturnoten) dass aber auch nach statistischer Kontrolle dieser Abiturnote die Schulformunterschiede in beiden Wissensbereichen nahezu unveraumlndert bleiben Bei gleicher Abiturnote entscheidet also tatsaumlchlich im Wesentlichen die Art der Professionalisierung uumlber das spaumltere Niveau des Professionswissens der Eingangsselektivitaumlt kommt hierbei eine vergleichsweise unbe-deutende Rolle zu

Es bleibt jedoch hervorzuheben dass in der COACTIV-Studie weder Lehramtsstu-denten noch Referendare untersucht wurden und dass die bisherigen Analysen deswegen nur indirekte Aussagen uumlber die Rolle der Ausbildung fuumlr den Erwerb von Fachwissen und fachdidaktischem Wissen erlauben Um der Frage nach der differentiellen Rolle der beiden in Deutschland institutionalisierten Ausbildungsabschnitte (Universitaumlt und Refe-rendariat) nachzugehen laufen derzeit Folge-Studien in der Referendare zu Beginn und gegen Ende ihrer Ausbildung (bdquoCOACTIV-Rldquo siehe hierzu httpwwwmpib-berlinmpgdedeforschungeubprojektecoactiv_rhtml) bzw Mathematiklehramtsstu-denten (bdquoCOACTIV-KVldquo)12 mit unseren Instrumenten untersucht werden Wichtige Aufschluumlsse hierzu sind auch von der TEDS-Studie zu erwarten in der ebenfalls Auszu-bildende in beiden Wissensbereichen untersucht werden (Tatto et al 2008) fuumlr Ergeb-nisse der entsprechenden Vorstudie MT21 siehe Bloumlmeke Kaiser und Lehmann (2008)

33 Wissen subjektive Theorien und Unterrichtsmerkmale Jede Lehrerin und jeder Lehrer bringt ein breites Buumlndel an persoumlnlichen Vorstellungen und Uumlberzeugungen (bdquosubjektive Theorienldquo) mit in den Unterricht (Handal 2003 Staub amp Stern 2002 Dubberke et al im Druck) Fuumlr Vollrath (2001) sind diese Uumlberzeugun-gen ndash neben fachlichen und fachdidaktischen Kompetenzen ndash ein zentraler Baustein der bdquoLehrkompetenzenldquo eines Mathematiklehrers Zum Beispiel kann eine Lehrkraft die Vorstellung haben dass Mathematik vornehmlich eine Sammlung von Rezepten und Verfahren ist Mathematik betreiben wuumlrde nach dieser Sichtweise vor allem bedeuten gelernte Definitionen und Formeln zu erinnern und direkt anzuwenden (sogenannte bdquoToolboxldquo-Sichtweise von Mathematik siehe zB Grigutsch Raatz amp Toumlrner 1998)

Waumlhrend die Toolbox-Sichtweise eine moumlgliche subjektive Theorie uumlber das Fach Mathematik selbst ist koumlnnte eine moumlgliche Vorstellung uumlber das Lernen von Mathematik beispielsweise konstruktivistischer Natur sein Konstruktivistische Lerntheorien stellen die Verstaumlndnisorientierung und im Besonderen auch die Eigeninitiative von Schuumllerinnen und Schuumllern als Schluumlsselmerkmale erfolgreichen Lernens in den Vordergrund Demgegenuumlber sind Befuumlrworter einer rezeptiven

12 bdquoKVldquo steht dabei fuumlr Konstruktvalidierung Neben Mathematiklehramtsstudenten wurden auch Diplommathematikstudenten Mathematik-Leistungskursschuumller sowie Biologie und Chemie- Lehrkraumlfte mit den beiden COACTIV-Tests untersucht (zu Hintergrund und Ergebnissen dieser Konstruktvalidierungsstudie siehe Krauss Baumert amp Blum im Druck)


Lerntheorie der Meinung dass man Mathematik am besten durch aufmerksames Zuhoumlren erlernen kann (fuumlr einen Uumlberblick uumlber Vorstellungen vom Lehren und Lernen siehe zB Reinmann-Rothmeier amp Mandl 2001) Inwieweit die Lehrkraumlfte diese subjektiven Theorien vertraten wurde mit den drei Skalen bdquoMathematik als Toolboxldquo bdquokonstruktivistische Lerntheorieldquo und bdquorezeptive Lerntheorieldquo erfasst (siehe Skalen 2a-c in Tabelle 4) Die Analysen aus Tabelle 4 sind an Kunter et al (2006) angelehnt (dort wird die entscheidende konzeptuelle und analytische Arbeit zu subjektiven Uumlberzeugungen und zu vielen Unterrichtsmerkmalen im Rahmen der COACTIV-Studie geleistet) Geringfuumlgig abweichende Resultate sind darauf zuruumlckzufuumlhren dass fuumlr den vorliegenden Artikel nur mit den 198 Lehrkraumlften gerechnet wurde die auch an beiden Tests teilgenommen haben (siehe 22)

Tabelle 4 enthaumllt weiterhin drei Lehrerselbstberichtsskalen zu Unterrichtsmerkmalen Diese Skalen geben Auskunft daruumlber in welchem Maszlige die Lehrkraft im Unterricht auf Erklaumlrungen und Begruumlndungen Wert legt (3a) inwieweit sie eine kleinschrittige Anlei-tung ihrer Schuumllerinnen und Schuumller propagiert (3b) und wie sie selbst die Disziplin in ihrer Klasse einschaumltzt (3c) Die Anzahl der Items und die Reliabilitaumlten (Cronbachrsquos α) der Skalen sind ebenfalls Tabelle 4 zu entnehmen Itembeispiele sowie die theoretische Einordnung dieser Skalen finden sich im Skalenhandbuch zu COACTIV (Baumert et al in Vorbereitung) das auch einen vollstaumlndigen Uumlberblick uumlber alle bei COACTIV einge-setzten Schuumller- und Lehrerselbstberichtsskalen gibt Tabelle 4 Korrelationen und Partialkorrelationen zwischen Professionswissen (1a-b) subjektiven Theorien (2a-c) und Unterrichtsmerkmalen (3a-c) Unter der Diagonalen stehen Korrelationen uumlber der Diagonalen stehen Partialkorrelationen (bei Kontrolle der Schulform) (Korrelationen und Partialkorrelationen wurden mit der full information maximum likelihood-Prozedur geschaumltzt da einige Lehrkraumlfte fehlende Werte bei einer oder mehreren Variablen hatten) Stichprobe N = 198 Lehrkraumlfte fett signifikant auf 05-level

Skala (Itemanzahl) α 1a 1b 2a 2b 2c 3a 3b 3c

1 Professionswissen

a Fachdidaktisch Wissen (22) 78 50 ndash31 27 ndash30 01 ndash14 15

b Fachwissen (13) 83 60 ndash19 19 ndash22 23 ndash14 07

2 Subjektive Theorien

a Mathematik ist bdquoToolboxldquo (5) 75 ndash37 ndash33 ndash17 51 ndash03 29 ndash04

b Konstrukt Lerntheorie (12) 88 30 21 ndash19 ndash48 34 ndash11 06

c Rezeptive Lerntheorie (12) 87 ndash34 ndash27 53 ndash49 ndash20 36 03

3 Unterrichtsmerkmale

a Insistieren auf Erklaumlrung und Begruumlndung (4)

73 12 35 ndash12 36 ndash24 02 ndash03

b Kleinschrittige Anleitung (6) 70 ndash24 ndash31 36 ndash14 39 ndash07 ndash09

c Disziplin (8) 93 16 09 ndash06 07 02 ndash02 ndash10


In Tabelle 4 stehen die wechselseitigen Korrelationen aller betrachteten 8 Skalen die bivariaten Korrelationen erster Ordnung stehen dabei unter der Diagonale uumlber der Dia-gonale stehen die entsprechenden Partialkorrelationen nach Kontrolle der Schulform Die Schulform wurde kontrolliert da sie vermutlich erheblichen Einfluss auf die Aus-praumlgungen der Konstrukte aus Tabelle 4 hat (die Partialkorrelationen sind von diesem Einfluss bdquobereinigtldquo)

Im Sinne von Sternberg und Horvath (1995) laumlsst sich nach der COACTIV-Daten-lage der Prototyp einer bdquoExpertenlehrkraftldquo (expert teacher) tendenziell wie folgt charak-terisieren Die Expertenlehrkraft verfuumlgt uumlber viel fachdidaktisches Wissen und viel Fachwissen sie hat eine konstruktivistische Sichtweise von Lernen und berichtet von angemessener Disziplin in der eigenen Klasse Sie ist weder der Meinung Mathematik sei hauptsaumlchlich eine Sammlung von Rezepten die man nur erinnern und anwenden muss noch glaubt sie dass Mathematik am besten durch Zuhoumlren gelernt werden kann Sie vertritt ebenfalls nicht die Auffassung dass Schuumller jederzeit kleinschrittig angeleitet werden muumlssen

Aufgrund der hohen Korrelation zwischen fachdidaktischem Wissen und Fachwissen fallen die Korrelationen der Skalen 2a-c und 3a-c zu den beiden Wissensbereichen je-weils aumlhnlich aus Differentiell ist vor allem der Befund zu Skala 3a Das Insistieren auf Erklaumlren und Begruumlnden findet sich vor allem im Unterricht bei Lehrkraumlften mit hohem Fachwissen die (nicht-signifikante) Korrelation mit dem fachdidaktischen Wissen dage-gen verschwindet bei Kontrolle der Schulform fast vollstaumlndig Die Kontrolle der Schul-form zeigt allgemein dass ein Teil des Zusammenhangs zwischen Professionswissen und subjektiven Theorien auch darauf zuruumlckzufuumlhren ist dass Lehrkraumlfte am Gymna-sium im Vergleich zu Lehrkraumlften anderer Schulformen prinzipiell eher einer konstruk-tivistischen Lerntheorie nahestehen und sowohl der Toolbox-Sichtweise von Mathematik als auch rezeptiven Lerntheorien eher ablehnend gegenuumlberstehen

Mittlerweile sind auch einige Strukturgleichungsmodelle zu den COACTIV-Daten veroumlffentlicht in denen kausale Beziehungen zwischen subjektiven Theorien Unter-richtsmerkmalen und Schuumllerleistung analysiert werden Waumlhrend in Kunter et al (2006) Unterrichtsmerkmale (wie zB Klassenfuumlhrung) mit der Schuumllerleistung in Zusammen-hang gestellt werden analysieren Dubberke et al (im Druck) wie sich subjektive Theo-rien mediiert durch konstruktivistische Unterstuumltzung und kognitive Aktivierung im Un-terricht auf den Lernzuwachs der Schuumller auswirken Im naumlchsten Abschnitt wird ein Modell vorgestellt das die Auswirkung der beiden untersuchten Wissensbereiche insbe-sondere des fachdidaktischen Wissens auf die Schuumllerleistung analysiert

34 Wissen und Schuumllerleistung

Eine der entscheidenden Fragen fuumlr COACTIV ist natuumlrlich ob sich das fachdidaktische Wissen einer Lehrkraft ndash vermittelt uumlber die Unterrichtsgestaltung ndash auch tatsaumlchlich als ein Praumldiktor des Lernzuwachses der Schuumllerinnen und Schuumller nachweisen laumlsst (ein Li-teraturuumlberblick zur bisherigen Befundlage siehe Baumert und Kunter 2006) Um dieser Frage nachzugehen haben Baumert et al (eingereicht) das in Abbildung 3 wiedergege-bene Mediationsmodell entwickelt In diesem Modell wird postuliert dass fachdidakti-sches Wissen vermittelt uumlber die kognitive Herausforderung des Unterrichts die adapti-


ve Unterstuumltzung bei Verstaumlndnisproblemen und eine effektive Klassenfuumlhrung ver-staumlndnisvolle mathematische Lernprozesse (zur Vereinfachung wurde in Abbildung 3 auf eine Darstellung von Aspekten der Schuumllermediation verzichtet) und somit den Leis-tungszuwachs der Lernenden unterstuumltzt

Aufgrund der guumlnstigen Situation dass fuumlr jede COACTIV-Lehrkraft die PISA-Daten ihrer Schuumllerinnen und Schuumller vorlagen koumlnnen solche Modelle die gleichzeitig auf Lehrer- wie auf Schuumllerdaten zuruumlckgreifen analysiert werden In die Analysen des Mo-dells aus Abbildung 3 gingen 181 Klassen des PISA-Laumlngsschnittes 20032004 mit ein die keinen Lehrerwechsel zwischen Klasse 9 und 10 in Mathematik zu verzeichnen hat-ten (die Lehrkraft zwischen den beiden PISA-Messzeitpunkten war fuumlr diese Klassen al-so bdquokonstantldquo) Dabei wurden in einem mehrebenenanalytischen Ansatz auf der Indivi-dualebene der Schuumllerinnen und Schuumller mathematisches Vorwissen Lesekompetenz Intelligenz Beruf der Eltern soziooumlkonomischer Status und Migrationshintergrund kont-rolliert

Abbildung 3 Modell zum Beitrag des fachdidaktischen Wissens zum Leistungszuwachs der Schuuml-ler (Baumert et al eingereicht)

Im Modell in Abbildung 3 wurde die kognitive Herausforderung uumlber das Anre-

gungspotential der von der Lehrkraft verwendeten Aufgaben eingeschaumltzt die adaptive Unterstuumltzung wurde ua mit Skalen zur Geduld und zum konstruktiven Umgang mit Schuumllerfehlern gemessen (Schuumllerskalen) und die Klassenfuumlhrung im Wesentlichen durch Skalen zur Disziplin (sowohl aus Schuumller- wie auch aus Lehrersicht) Der Lern-zuwachs der Schuumller wurde anhand der PISA-Tests 2003 und 2004 ermittelt Fuumlr Details zur Operationalisierung der Konstrukte aus Abbildung 3 siehe Baumert et al (einge-reicht) bzw Kunter et al (2006)

Die Analysen zeigen theoriekonform dass fachdidaktisches Wissen einen signifi-kanten Einfluss auf die kognitive Herausforderung der Schuumllerinnen und Schuumller im Un-

Kognitive Herausforderung

Adaptive Unterstuumltzung

Effektive Klassenfuumlhrung

Fach-didaktisches

Wissen der Lehr-

kraft

Leistungs-zuwachs der

Schuumller


terricht und auf die Lernunterstuumltzung hat nicht aber auf die Klassenfuumlhrung Klassen-fuumlhrung und kognitive Herausforderung wiederum haben einen signifikanten Einfluss auf die Leistung der Schuumller in Klasse 10 unter gleichzeitiger Kontrolle aller individuel-len Voraussetzungen Das Mediationsmodell kann knapp 40 der Leistungsvarianz zwi-schen den Klassen am Ende der Jahrgangsstufe 10 erklaumlren Berechnet man ein Alterna-tivmodell ohne Mediatoren ein sogenanntes Black-Box-Modell wird uumlber den direkten Zusammenhang von fachdidaktischem Wissen und Schuumllerleistung ein vergleichbarer Anteil der Variabilitaumlt der Schuumllerleistungen auf Klassenebene erklaumlrt Es kann also konstatiert werden Das fachdidaktische Wissen einer Lehrkraft ist eine entscheidende Groumlszlige fuumlr das Lernen der Schuumller

Da der Einfluss des fachdidaktischen Wissens vollstaumlndig mediiert wird (vergleich-bare Groumlszligenordnungen aufgeklaumlrter Varianz im Mediationsmodell und im Black-Box-Modell) kann Abbildung 3 auch einen moumlglichen Wirkungsmechanismus des fachdidak-tischen Wissens aufzeigen Entscheidend ist hier auch dass sich trotz der hohen Korrela-tion von Fachwissen und fachdidaktischem Wissen keine vergleichbaren Resultate zei-gen wenn in Modell 3 fachdidaktisches Wissen durch Fachwissen ersetzt wird die di-rekte Wirkung des Professionswissens auf Unterricht und Schuumllerleistung geht also pri-maumlr vom fachdidaktischen Wissen aus Details hierzu werden in Baumert et al (einge-reicht) zu finden sein

4 Zusammenfassung und Diskussion

Im Vergleich zu den umfangreichen Large Scale Assessments von Schuumllerinnen und Schuumllern (TIMSS PISA) ist uumlber die Kompetenzen von deutschen Lehrkraumlften noch re-lativ wenig bekannt Anknuumlpfend an die guumlnstigen Rahmenbedingungen von PISA 200304 hat COACTIV es sich zur Aufgabe gemacht das fachdidaktische Wissen und das Fachwissen fuumlr das Unterrichtsfach Mathematik zu spezifizieren und zu operationali-sieren Dabei wurden paumldagogisch-psychologische Theorien uumlber Lehrkraumlfte (Expertise Taxonomien) genauso beruumlcksichtigt wie mathematik-didaktische Vorarbeiten (zB Vollrath 2001) Der vorliegende Artikel beschreibt wie im Rahmen der COACTIV-Studie direkte Tests zum fachdidaktischen Wissen und zum Fachwissen von Mathema-tiklehrkraumlften konstruiert implementiert und analysiert wurden Er gibt weiterhin Auf-schluss uumlber die Beziehung zwischen diesem Wissen und externen Kriterien wie Univer-sitaumltsabschlussnoten subjektiven Uumlberzeugungen Berufserfahrung und Leistungszu-wachs von Schuumllern (diese Kriterien werden oftmals auch als Expertiseindikatoren fuumlr Lehrkraumlfte vorgeschlagen siehe Palmer et al 2005) und traumlgt somit zur Validierung der untersuchten Konstrukte bei

In Anlehnung an die Auffassung von Mathematikunterricht als das bdquoZugaumlnglichma-chen mathematischer Inhalte fuumlr Schuumllerldquo wurde das fachdidaktische Wissen in COAC-TIV als Wissen uumlber Erklaumlren und Repraumlsentieren (Instruktionsaspekt) als Wissen uumlber das multiple Loumlsungspotential von Aufgaben (Inhaltsaspekt) und als Wissen uumlber Schuuml-lerfehler und Schuumllerschwierigkeiten (Schuumlleraspekt) konzeptualisiert und operationali-siert Im Vordergrund stand dabei die kognitive Aktivierung von Schuumllerinnen und Schuuml-lern mit dem Ziel des verstaumlndnisvollen Lernens Zu beachten ist dass diese Konzeption sich auf unterrichtliche Aspekte beschraumlnkt diesbezuumlglich aber einem breiten Verstaumlnd-


nis der Fachdidaktik folgt (vgl ua Griesel 1975 Winter 1995 Vollrath 2001) Sie geht uumlber ein rein methodisches oder rein inhaltsdidaktisch orientiertes Verstaumlndnis hi-naus welches den Fokus auf einzelne mathematische Inhalte bzw die Aufbereitung die-ser Inhalte legt Bezuumlglich des Fachwissenstests muss noch einmal betont werden dass sich aufgrund der gewaumlhlten curriculum-fokussierten Konzeptualisierung (vertieftes Hin-tergrundwissen uumlber den Schulstoff) mit diesem Test keine empirisch begruumlndeten Aus-sagen uumlber die Rolle des rein universitaumlren Fachwissens zur Gestaltung von schulischem Unterricht ableiten lassen Um die Bedeutung dieses universitaumltsspezifischen Fachwis-sens fuumlr die spaumltere Unterrichtsqualitaumlt einer Lehrkraft abschaumltzen zu koumlnnen waumlre eine neue dieser Fragestellung angemessene Testkonstruktion erforderlich

Die Hauptergebnisse des Artikels lassen sich wie folgt zusammenfassen Fachdidak-tisches Wissen und Fachwissen konnten reliabel und objektiv erhoben werden Die mit diesen Tests gewonnenen inhaltlichen Erkenntnisse sind Fachdidaktisches Wissen und Fachwissen (so wie es in COACTIV konzeptualisiert wurde) wird primaumlr bereits waumlh-rend der Ausbildung erworben Die groumlszligte Varianzquelle bei beiden Tests ist die Schul-formzugehoumlrigkeit Lehrkraumlfte am Gymnasium verfuumlgen uumlber deutlich mehr Fachwissen (was die Validitaumlt dieses Tests unterstreicht) Die bemerkenswerte Tatsache dass gym-nasiale Lehrkraumlfte auch uumlber mehr fachdidaktisches Wissen verfuumlgen kann als ein Hin-weis auf die Rolle gesehen werden die das Fachwissen bei der Entwicklung von fachdi-daktischem Wissen spielt Andererseits zeigt eine kleine Gruppe nicht-gymnasialer Lehrkraumlfte dass auch mit niedrigem Fachwissensniveau ein relativ hohes fachdidakti-sches Wissensniveau erreicht werden kann (jedoch keine fachdidaktischen Spitzenleis-tungen) Demnach scheint es neben dem Fachwissen noch eine andere Quelle von fach-didaktischem Wissen zu geben deren genauere Identifikation aber den Rahmen der COACTIV-Studie uumlbersteigt

Aufgrund der Verzahnung mit PISA besteht fuumlr COACTIV die guumlnstige Gelegenheit Merkmale der Lehrkraumlfte mit Daten zum Unterricht und sogar mit Leistungsdaten der Schuumller in Verbindung zu bringen Ein zentrales Ergebnis ist der Befund zur praumldiktiven Validitaumlt des fachdidaktischen Wissens das auf Klassenebene knapp 40 der Varianz der PISA-Mathematikleistung in Klasse 10 erklaumlren kann wobei Unterrichtsaspekte im verwendeten Modell als Mediatoren fungieren In diesem Modell kann also nicht nur das fachdidaktische Wissen als zentraler Baustein der Expertise von Mathematiklehrkraumlften identifiziert werden sondern koumlnnen auch theoretisch plausible Annahmen zur Wir-kungsweise des Professionswissens im Unterricht verifiziert werden (fuumlr Details siehe Baumert et al eingereicht)

Die Grenzen der Studie weisen auf Ansatzpunkte fuumlr zukuumlnftige Forschung hin Wir wissen bislang wenig uumlber die Generalisierbarkeit der Ergebnisse Replikationen mit weiteren Lehrerstichproben sind hier erforderlich (zB andere Jahrgangsstufen andere Laumlnder oder auch andere Unterrichtsfaumlcher wie zB Physik) Auch die Konstruktvalidi-taumlt von bdquofachdidaktischem Wissenldquo und bdquoFachwissenldquo muss verstaumlrkt untersucht werden (fuumlr einen Ansatz siehe Krauss Baumert amp Blum im Druck) beispielsweise ist fraglich ob sich beide Bereiche noch trennen lassen wenn es um konkretes Unterrichtshandeln geht In jedem Fall ist unsere Hoffnung dass durch den vorliegenden Artikel eine fruch-tbare Diskussion uumlber Expertise und Professionswissen von Mathematiklehrkraumlften in Gang gesetzt wird


Danksagung Wir moumlchten den Lehrkraumlften der PISA-Klassen 200304 fuumlr ihre freiwillige Teilnahme und ihre uumlberwiegend positive Akzeptanz danken Ohne die professionelle Einstellung der Mathematik-lehrkraumlfte zur eigenen Selbstevaluation (ein weiterer Baustein der professionellen Lehrerexpertise) waumlre die COACTIV-Studie nicht moumlglich gewesen Schlussbemerkung Aufgrund des Wunsches des Herausgebers und der Gutachter denen wir ausdruumlcklich fuumlr ihre zahlreichen wertvollen Hinweise danken moumlchten resuumlmieren wir hier noch einmal die neuen Er-kenntnisse des Beitrags In der vorliegenden Publikation wird zum ersten Mal ausfuumlhrlich die Testkonstruktion vorgestellt (inklusive zweier bislang noch unveroumlffentlichter Items Trapez und Gleichung) Erstmals werden dabei auch Ergebnisse zu den drei didaktisch relevanten Subskalen fachdidaktischen Wissens berichtet Zentrale und neu berichtete Ergebnisse sind auszligerdem das bemerkenswerte Resultat der nicht-gymnasialen Lehrkraumlfte mit dem hohen fachdidaktischen Wis-sen (und wenig Fachwissen) der Zusammenhang des Professionswissens mit der Abiturnote und mit dem 2 Staatsexamen sowie die Zusammenhaumlnge mit weiteren Lehrermerkmalen unter Kont-rolle der Schulform Erstmalig berichtet wird hier auszligerdem der entscheidende Zusammenhang von fachdidaktischem Wissen und Schuumllerleistung

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Adressen der Autoren

Stefan Krauss und Werner Blum Mareike Kunter und Juumlrgen Baumert Universitaumlt Kassel Max Planck Institut fuumlr Bildungsforschung FB 17 Mathematik FB fuumlr Erz-wissenschaft und Bildungssysteme 34109 Kassel Lentzealle 94 14195 Berlin skraussmathematikuni-kasselde kuntermpib-berlinmpgde wblummathematikuni-kasselde sekbaumertmpib-berlinmpgde Michael Neubrand Alexander Jordan Carl-von-Ossietzky-Universitaumlt Universitaumlt Bielefeld Institut fuumlr Mathematik Institut fuumlr Mathematikdidaktik 26111 Oldenburg Universitaumltsstraszlige 25 neubrandmathematikuni-oldenburgde 33615 Bielefeld

jordanmathuni-bielefeldde Martin Brunner Universiteacute du Luxembourg Faculteacute LSHASE ndash EMACS L-7220 Walferdange martinbrunnerunilu


Anhang Exemplarische Musterloumlsungen (Auswahl) zu den Beispielitems aus den COACTIV-Tests zum fachdidaktischen Wissen und zum Fachwissen von Mathematiklehrkraumlften (vgl Abb 1)

Kategorie Musterloumlsungen zu den Beispielitems aus Abbildung 1

Fach-didaktisches

Wissen


tierenldquo

bdquoMinus 1 mal minus 1ldquo

Auch wenn die Permanenzreihe die Aussage nicht beweist kann ihr Einsatz hier konzeptuel-les Verstaumlndnis foumlrdern und Verbindungen von Sachzusammenhaumlngen herstellen

2 (-1) = ndash2

1 (-1) = ndash1

0 (-1) = 0

(-1) (-1) = 1

bdquoTrapezldquo

Die 4 Formeln entsprechen 4 verschiedenen Varianten die Trapezflaumlche herzuleiten

(g1 = Unterseite g2 = Oberseite h = Houmlhe)

2)( 21

hgg

2221 hghg

2

)( 21 hgg h

gg

2

)( 21

Fach-didaktisches

Wissen



Eine moumlgliche Lehrerantwort koumlnnte hier zB thematisieren dass Schuumller Schwierigkeiten be-kommen koumlnnten wenn die Houmlhenfuszligpunkte auszligerhalb der Parallelograms liegen

bdquoGleichungldquo

Die Schuumllerin uumlbergeneralisiert vermutlich ein (nur fuumlr die Zahl 0 richtiges) Schema Sie glaubt faumllschlicherweise dass allgemein fuumlr alle k ge-lten wuumlrde

Aus (x ndash a) (x ndash b) = k

folgt x ndash a = k oder x ndash b = k

Fach-didaktisches

Wissen

bdquoAufgabenldquo

bdquoQuadratldquo

Algebraisch Flaumlcheninhalt des Ursprungsquadrats asup2 Flaumlcheninhalt des bdquoneuenldquo Quadrats (3a)sup2= 9asup2 also 9mal so viel Geometrisch Neunmal das Ursprungquadrat


Algebraisch

Sei n eine beliebige natuumlrliche Zahl (n ndash 1) middot (n + 1) = nsup2 ndash 1 das ist um 1 kleiner als nsup2 Geometrisch

Fachwissen

bdquoPrimzahlldquo

Nein denn es gilt a2ndash b2 = (a ndash b)(a + b)

Demnach laumlsst sich 21024 ndash 1 zerlegen in

)12)(12( 512512


Sei 0999hellip = a

Dann ist 10a = 999hellip und deshalb gilt

10a ndash a = 999hellip ndash 0999hellip

9a 9

Also ist 09999999 hellip = 1

n

n

n - 1

+ 1

+1-1 I II III IV

a 3a

n+1


Lehrplaumlne) Da sich die PISA-Studien aber in erster Linie mit den Leistungen von Schuuml-lerinnen und Schuumllern und nicht mit den Lehrkraumlften befassen fehlt weiterreichenden Interventionsvorschlaumlgen auf der Ebene von Lehrkraumlften zB bezuumlglich deren Aus- und Weiterbildung bislang eine solide empirische Grundlage (Baumert Blum amp Neubrand 2004) Bisherige qualitative und quantitative Studien uumlber ausgewaumlhlte Kompetenzas-pekte von Lehrkraumlften liefern zwar wertvolle Ansatzpunkte (fuumlr einen Uumlberblick siehe zB Baumert amp Kunter 2006) wuumlnschenswert waumlre jedoch auch eine systematische Un-tersuchung die ndash als bdquoLarge Scale Assessmentldquo wie zB PISA ndash ein breites Spektrum an Lehrerkompetenzen simultan erfasst und in Zusammenhang zu Unterrichtsaspekten und zur Leistung der Schuumller stellt

Die COACTIV-Studie in der die Mathematiklehrkraumlfte der Klassen aus der PISA-Laumlngsschnittkomponente 2003-2004 ausfuumlhrlich befragt und getestet wurden bot die einmalige Gelegenheit im Verbund mit PISA ein breites Spektrum sowohl von Schuumller- als auch von Lehrerdaten zu erheben und diese gemeinsam zu analysieren In diesem Ar-tikel soll ein zentrales Instrument dieser Studie herausgegriffen und ausfuumlhrlich be-schrieben werden das von besonderer fachdidaktischer Relevanz ist naumlmlich die im Rahmen von COACTIV entwickelten Tests zum fachdidaktischen Wissen und zum Fachwissen von Mathematiklehrkraumlften

Der Artikel beginnt mit einem kurzen historischen Uumlberblick uumlber die Suche nach dem bdquoguten Lehrerldquo der die Beschaumlftigung mit dem professionellen Wissen von Lehr-kraumlften motiviert Im zweiten Teil des Artikels werden nun spezifiziert fuumlr das Unter-richtsfach Mathematik die theoretische Konzeptualisierung und die Operationalisierung fuumlr das fachdidaktische Wissen und fuumlr das Fachwissen im Rahmen von COACTIV aus-fuumlhrlich dargestellt Im dritten Teil werden zentrale Ergebnisse der Durchfuumlhrung dieser Tests mit deutschen Mathematiklehrkraumlften berichtet und kurz diskutiert

1 Das professionelle Wissen von Lehrkraumlften

Die bisherige wissenschaftliche Suche nach dem bdquoguten Lehrerldquo wird heute uumlblicherwei-se in drei historisch aufeinander folgende Forschungsstroumlmungen eingeordnet Das bdquoPer-soumlnlichkeits-Paradigmaldquo das bdquoProzess-Produkt-Paradigmaldquo und das bdquoExpertenparadig-maldquo (siehe zB Bromme 1992 1997 fuumlr eine differenziertere Aufteilung siehe Borich amp Klinzing 1987) Aus dem folgenden kurzen Uumlberblick uumlber diese Forschungspara-digmen (11) soll deutlich werden dass sich die Untersuchung des Professionswissens von Lehrkraumlften auf geradezu natuumlrliche Weise aus der Logik des derzeit aktuellen Ex-pertenparadigmas ergibt Nachdem das Wissen als zentraler Baustein der Expertise von Lehrkraumlften identifiziert wurde soll der taxonomische Ansatz von Shulman (1986 1987) vorgestellt werden (12) der dieses Professionswissen theoretisch strukturiert und der das theoretische Geruumlst fuumlr die COACTIV-Testkonstruktion bildet

11 Auf der Suche nach dem guten Lehrer

Bis in die 1960-er Jahre konzentrierte sich die Wissenschaft vor allem auf die Suche nach allgemeinen Personeneigenschaften von Lehrkraumlften (bdquoPersoumlnlichkeitsparadigmaldquo) Da sich der Erklaumlrungsabstand zwischen Personenmerkmalen und Zielkriterien (zB



































































Fach-didaktisches

Wissen


tierenldquo


111

ist


bdquoTrapezldquo


2)( 21

hgg

2221 hghg

2

)( 21 hgg h

gg

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)( 21


Fach-didaktisches

Wissen





bdquoGleichungldquo




Fach-didaktisches

Wissen

bdquoAufgabenldquo

bdquoQuadratldquo







Fachwissen

bdquoPrimzahlldquo




Gilt 0999999 = 1






















24 Testkonstruktion










Reliabilitaumlt


N = 198 emp Max

Korrelationen

Fach-wissen



Aufga-ben




63 81 (34) 17 54


Aufgaben 51 67 (22) 12 37 44 43

















GY (N = 85)

MW (SD) NGY

(N = 113)


emp Max GY

emp Max NGY




93 (34) 71 (32) 067 17 15


Aufgaben (4 Items) 75 (18) 66 (2) 047 12 10






0 4 8 12

Fachwissen

10

20

30

Fac

hdid

aktis

ches

Wis

sen

A

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0 4 8 12

Fachwissen

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A































1 Professionswissen





























Fach-didaktisches

Wissen der Lehr-

kraft


Schuumller














5 Literatur













































































































Fach-didaktisches

Wissen


tierenldquo



2 (-1) = ndash2

1 (-1) = ndash1

0 (-1) = 0

(-1) (-1) = 1

bdquoTrapezldquo



2)( 21

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2221 hghg

2

)( 21 hgg h

gg

2

)( 21

Fach-didaktisches

Wissen




bdquoGleichungldquo




Fach-didaktisches

Wissen

bdquoAufgabenldquo

bdquoQuadratldquo



Algebraisch


Fachwissen

bdquoPrimzahlldquo



)12)(12( 512512


Sei 0999hellip = a



9a 9


n

n

n - 1

+ 1

+1-1 I II III IV

a 3a

n+1



































































Fach-didaktisches

Wissen


tierenldquo


111

ist


bdquoTrapezldquo


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)( 21 hgg h

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)( 21


Fach-didaktisches

Wissen





bdquoGleichungldquo




Fach-didaktisches

Wissen

bdquoAufgabenldquo

bdquoQuadratldquo







Fachwissen

bdquoPrimzahlldquo




Gilt 0999999 = 1






















24 Testkonstruktion










Reliabilitaumlt


N = 198 emp Max

Korrelationen

Fach-wissen



Aufga-ben




63 81 (34) 17 54


Aufgaben 51 67 (22) 12 37 44 43

















GY (N = 85)

MW (SD) NGY

(N = 113)


emp Max GY

emp Max NGY




93 (34) 71 (32) 067 17 15


Aufgaben (4 Items) 75 (18) 66 (2) 047 12 10






0 4 8 12

Fachwissen

10

20

30

Fac

hdid

aktis

ches

Wis

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Fachwissen

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1 Professionswissen





























Fach-didaktisches

Wissen der Lehr-

kraft


Schuumller














5 Literatur













































































































Fach-didaktisches

Wissen


tierenldquo



2 (-1) = ndash2

1 (-1) = ndash1

0 (-1) = 0

(-1) (-1) = 1

bdquoTrapezldquo



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)( 21 hgg h

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)( 21

Fach-didaktisches

Wissen




bdquoGleichungldquo




Fach-didaktisches

Wissen

bdquoAufgabenldquo

bdquoQuadratldquo



Algebraisch


Fachwissen

bdquoPrimzahlldquo



)12)(12( 512512


Sei 0999hellip = a



9a 9


n

n

n - 1

+ 1

+1-1 I II III IV

a 3a

n+1






























































Fach-didaktisches

Wissen


tierenldquo


111

ist


bdquoTrapezldquo


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)( 21 hgg h

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)( 21


Fach-didaktisches

Wissen





bdquoGleichungldquo




Fach-didaktisches

Wissen

bdquoAufgabenldquo

bdquoQuadratldquo







Fachwissen

bdquoPrimzahlldquo




Gilt 0999999 = 1






















24 Testkonstruktion










Reliabilitaumlt


N = 198 emp Max

Korrelationen

Fach-wissen



Aufga-ben




63 81 (34) 17 54


Aufgaben 51 67 (22) 12 37 44 43

















GY (N = 85)

MW (SD) NGY

(N = 113)


emp Max GY

emp Max NGY




93 (34) 71 (32) 067 17 15


Aufgaben (4 Items) 75 (18) 66 (2) 047 12 10






0 4 8 12

Fachwissen

10

20

30

Fac

hdid

aktis

ches

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Fachwissen

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1 Professionswissen





























Fach-didaktisches

Wissen der Lehr-

kraft


Schuumller














5 Literatur













































































































Fach-didaktisches

Wissen


tierenldquo



2 (-1) = ndash2

1 (-1) = ndash1

0 (-1) = 0

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bdquoTrapezldquo



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Fach-didaktisches

Wissen




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Fach-didaktisches

Wissen

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Algebraisch


Fachwissen

bdquoPrimzahlldquo



)12)(12( 512512


Sei 0999hellip = a



9a 9


n

n

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+ 1

+1-1 I II III IV

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Fach-didaktisches

Wissen


tierenldquo


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Fach-didaktisches

Wissen





bdquoGleichungldquo




Fach-didaktisches

Wissen

bdquoAufgabenldquo

bdquoQuadratldquo







Fachwissen

bdquoPrimzahlldquo




Gilt 0999999 = 1






















24 Testkonstruktion










Reliabilitaumlt


N = 198 emp Max

Korrelationen

Fach-wissen



Aufga-ben




63 81 (34) 17 54


Aufgaben 51 67 (22) 12 37 44 43

















GY (N = 85)

MW (SD) NGY

(N = 113)


emp Max GY

emp Max NGY




93 (34) 71 (32) 067 17 15


Aufgaben (4 Items) 75 (18) 66 (2) 047 12 10






0 4 8 12

Fachwissen

10

20

30

Fac

hdid

aktis

ches

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0 4 8 12

Fachwissen

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Fach-didaktisches

Wissen der Lehr-

kraft


Schuumller














5 Literatur













































































































Fach-didaktisches

Wissen


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2 (-1) = ndash2

1 (-1) = ndash1

0 (-1) = 0

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bdquoTrapezldquo



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Fach-didaktisches

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Fach-didaktisches

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Algebraisch


Fachwissen

bdquoPrimzahlldquo



)12)(12( 512512


Sei 0999hellip = a



9a 9


n

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+1-1 I II III IV

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Fach-didaktisches

Wissen


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Fach-didaktisches

Wissen





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Fach-didaktisches

Wissen

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bdquoPrimzahlldquo




Gilt 0999999 = 1






















24 Testkonstruktion










Reliabilitaumlt


N = 198 emp Max

Korrelationen

Fach-wissen



Aufga-ben




63 81 (34) 17 54


Aufgaben 51 67 (22) 12 37 44 43

















GY (N = 85)

MW (SD) NGY

(N = 113)


emp Max GY

emp Max NGY




93 (34) 71 (32) 067 17 15


Aufgaben (4 Items) 75 (18) 66 (2) 047 12 10






0 4 8 12

Fachwissen

10

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Fac

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aktis

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0 4 8 12

Fachwissen

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1 Professionswissen





























Fach-didaktisches

Wissen der Lehr-

kraft


Schuumller














5 Literatur













































































































Fach-didaktisches

Wissen


tierenldquo



2 (-1) = ndash2

1 (-1) = ndash1

0 (-1) = 0

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Fach-didaktisches

Wissen




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Fach-didaktisches

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Fachwissen

bdquoPrimzahlldquo



)12)(12( 512512


Sei 0999hellip = a



9a 9


n

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n - 1

+ 1

+1-1 I II III IV

a 3a

n+1













































Fach-didaktisches

Wissen


tierenldquo


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ist


bdquoTrapezldquo


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Fach-didaktisches

Wissen





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Fach-didaktisches

Wissen

bdquoAufgabenldquo

bdquoQuadratldquo







Fachwissen

bdquoPrimzahlldquo




Gilt 0999999 = 1






















24 Testkonstruktion










Reliabilitaumlt


N = 198 emp Max

Korrelationen

Fach-wissen



Aufga-ben




63 81 (34) 17 54


Aufgaben 51 67 (22) 12 37 44 43

















GY (N = 85)

MW (SD) NGY

(N = 113)


emp Max GY

emp Max NGY




93 (34) 71 (32) 067 17 15


Aufgaben (4 Items) 75 (18) 66 (2) 047 12 10






0 4 8 12

Fachwissen

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Fac

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Wissen der Lehr-

kraft


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5 Literatur













































































































Fach-didaktisches

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2 (-1) = ndash2

1 (-1) = ndash1

0 (-1) = 0

(-1) (-1) = 1

bdquoTrapezldquo



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Fach-didaktisches

Wissen




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Fach-didaktisches

Wissen

bdquoAufgabenldquo

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Algebraisch


Fachwissen

bdquoPrimzahlldquo



)12)(12( 512512


Sei 0999hellip = a



9a 9


n

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n - 1

+ 1

+1-1 I II III IV

a 3a

n+1







































Fach-didaktisches

Wissen


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111

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Fach-didaktisches

Wissen





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Fach-didaktisches

Wissen

bdquoAufgabenldquo

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Fachwissen

bdquoPrimzahlldquo




Gilt 0999999 = 1






















24 Testkonstruktion










Reliabilitaumlt


N = 198 emp Max

Korrelationen

Fach-wissen



Aufga-ben




63 81 (34) 17 54


Aufgaben 51 67 (22) 12 37 44 43

















GY (N = 85)

MW (SD) NGY

(N = 113)


emp Max GY

emp Max NGY




93 (34) 71 (32) 067 17 15


Aufgaben (4 Items) 75 (18) 66 (2) 047 12 10






0 4 8 12

Fachwissen

10

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0 4 8 12

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A































1 Professionswissen





























Fach-didaktisches

Wissen der Lehr-

kraft


Schuumller














5 Literatur













































































































Fach-didaktisches

Wissen


tierenldquo



2 (-1) = ndash2

1 (-1) = ndash1

0 (-1) = 0

(-1) (-1) = 1

bdquoTrapezldquo



2)( 21

hgg

2221 hghg

2

)( 21 hgg h

gg

2

)( 21

Fach-didaktisches

Wissen




bdquoGleichungldquo




Fach-didaktisches

Wissen

bdquoAufgabenldquo

bdquoQuadratldquo



Algebraisch


Fachwissen

bdquoPrimzahlldquo



)12)(12( 512512


Sei 0999hellip = a



9a 9


n

n

n - 1

+ 1

+1-1 I II III IV

a 3a

n+1
































Fach-didaktisches

Wissen


tierenldquo


111

ist


bdquoTrapezldquo


2)( 21

hgg

2221 hghg

2

)( 21 hgg h

gg

2

)( 21


Fach-didaktisches

Wissen





bdquoGleichungldquo




Fach-didaktisches

Wissen

bdquoAufgabenldquo

bdquoQuadratldquo







Fachwissen

bdquoPrimzahlldquo




Gilt 0999999 = 1






















24 Testkonstruktion










Reliabilitaumlt


N = 198 emp Max

Korrelationen

Fach-wissen



Aufga-ben




63 81 (34) 17 54


Aufgaben 51 67 (22) 12 37 44 43

















GY (N = 85)

MW (SD) NGY

(N = 113)


emp Max GY

emp Max NGY




93 (34) 71 (32) 067 17 15


Aufgaben (4 Items) 75 (18) 66 (2) 047 12 10






0 4 8 12

Fachwissen

10

20

30

Fac

hdid

aktis

ches

Wis

sen

A

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0 4 8 12

Fachwissen

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1 Professionswissen





























Fach-didaktisches

Wissen der Lehr-

kraft


Schuumller














5 Literatur













































































































Fach-didaktisches

Wissen


tierenldquo



2 (-1) = ndash2

1 (-1) = ndash1

0 (-1) = 0

(-1) (-1) = 1

bdquoTrapezldquo



2)( 21

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2221 hghg

2

)( 21 hgg h

gg

2

)( 21

Fach-didaktisches

Wissen




bdquoGleichungldquo




Fach-didaktisches

Wissen

bdquoAufgabenldquo

bdquoQuadratldquo



Algebraisch


Fachwissen

bdquoPrimzahlldquo



)12)(12( 512512


Sei 0999hellip = a



9a 9


n

n

n - 1

+ 1

+1-1 I II III IV

a 3a

n+1


























Fach-didaktisches

Wissen


tierenldquo


111

ist


bdquoTrapezldquo


2)( 21

hgg

2221 hghg

2

)( 21 hgg h

gg

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)( 21


Fach-didaktisches

Wissen





bdquoGleichungldquo




Fach-didaktisches

Wissen

bdquoAufgabenldquo

bdquoQuadratldquo







Fachwissen

bdquoPrimzahlldquo




Gilt 0999999 = 1






















24 Testkonstruktion










Reliabilitaumlt


N = 198 emp Max

Korrelationen

Fach-wissen



Aufga-ben




63 81 (34) 17 54


Aufgaben 51 67 (22) 12 37 44 43

















GY (N = 85)

MW (SD) NGY

(N = 113)


emp Max GY

emp Max NGY




93 (34) 71 (32) 067 17 15


Aufgaben (4 Items) 75 (18) 66 (2) 047 12 10






0 4 8 12

Fachwissen

10

20

30

Fac

hdid

aktis

ches

Wis

sen

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0 4 8 12

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1 Professionswissen





























Fach-didaktisches

Wissen der Lehr-

kraft


Schuumller














5 Literatur













































































































Fach-didaktisches

Wissen


tierenldquo



2 (-1) = ndash2

1 (-1) = ndash1

0 (-1) = 0

(-1) (-1) = 1

bdquoTrapezldquo



2)( 21

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2221 hghg

2

)( 21 hgg h

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Fach-didaktisches

Wissen




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Fach-didaktisches

Wissen

bdquoAufgabenldquo

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Algebraisch


Fachwissen

bdquoPrimzahlldquo



)12)(12( 512512


Sei 0999hellip = a



9a 9


n

n

n - 1

+ 1

+1-1 I II III IV

a 3a

n+1


















Fach-didaktisches

Wissen


tierenldquo


111

ist


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2)( 21

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)( 21 hgg h

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Fach-didaktisches

Wissen





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Fach-didaktisches

Wissen

bdquoAufgabenldquo

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Fachwissen

bdquoPrimzahlldquo




Gilt 0999999 = 1






















24 Testkonstruktion










Reliabilitaumlt


N = 198 emp Max

Korrelationen

Fach-wissen



Aufga-ben




63 81 (34) 17 54


Aufgaben 51 67 (22) 12 37 44 43

















GY (N = 85)

MW (SD) NGY

(N = 113)


emp Max GY

emp Max NGY




93 (34) 71 (32) 067 17 15


Aufgaben (4 Items) 75 (18) 66 (2) 047 12 10






0 4 8 12

Fachwissen

10

20

30

Fac

hdid

aktis

ches

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A

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0 4 8 12

Fachwissen

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A































1 Professionswissen





























Fach-didaktisches

Wissen der Lehr-

kraft


Schuumller














5 Literatur













































































































Fach-didaktisches

Wissen


tierenldquo



2 (-1) = ndash2

1 (-1) = ndash1

0 (-1) = 0

(-1) (-1) = 1

bdquoTrapezldquo



2)( 21

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2221 hghg

2

)( 21 hgg h

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Fach-didaktisches

Wissen




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Fach-didaktisches

Wissen

bdquoAufgabenldquo

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Algebraisch


Fachwissen

bdquoPrimzahlldquo



)12)(12( 512512


Sei 0999hellip = a



9a 9


n

n

n - 1

+ 1

+1-1 I II III IV

a 3a

n+1












Fach-didaktisches

Wissen


tierenldquo


111

ist


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2)( 21

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Fach-didaktisches

Wissen





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Fach-didaktisches

Wissen

bdquoAufgabenldquo

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Fachwissen

bdquoPrimzahlldquo




Gilt 0999999 = 1






















24 Testkonstruktion










Reliabilitaumlt


N = 198 emp Max

Korrelationen

Fach-wissen



Aufga-ben




63 81 (34) 17 54


Aufgaben 51 67 (22) 12 37 44 43

















GY (N = 85)

MW (SD) NGY

(N = 113)


emp Max GY

emp Max NGY




93 (34) 71 (32) 067 17 15


Aufgaben (4 Items) 75 (18) 66 (2) 047 12 10






0 4 8 12

Fachwissen

10

20

30

Fac

hdid

aktis

ches

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A

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0 4 8 12

Fachwissen

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1 Professionswissen





























Fach-didaktisches

Wissen der Lehr-

kraft


Schuumller














5 Literatur













































































































Fach-didaktisches

Wissen


tierenldquo



2 (-1) = ndash2

1 (-1) = ndash1

0 (-1) = 0

(-1) (-1) = 1

bdquoTrapezldquo



2)( 21

hgg

2221 hghg

2

)( 21 hgg h

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)( 21

Fach-didaktisches

Wissen




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Fach-didaktisches

Wissen

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Algebraisch


Fachwissen

bdquoPrimzahlldquo



)12)(12( 512512


Sei 0999hellip = a



9a 9


n

n

n - 1

+ 1

+1-1 I II III IV

a 3a

n+1





Fach-didaktisches

Wissen


tierenldquo


111

ist


bdquoTrapezldquo


2)( 21

hgg

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)( 21 hgg h

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2

)( 21


Fach-didaktisches

Wissen





bdquoGleichungldquo




Fach-didaktisches

Wissen

bdquoAufgabenldquo

bdquoQuadratldquo







Fachwissen

bdquoPrimzahlldquo




Gilt 0999999 = 1






















24 Testkonstruktion










Reliabilitaumlt


N = 198 emp Max

Korrelationen

Fach-wissen



Aufga-ben




63 81 (34) 17 54


Aufgaben 51 67 (22) 12 37 44 43

















GY (N = 85)

MW (SD) NGY

(N = 113)


emp Max GY

emp Max NGY




93 (34) 71 (32) 067 17 15


Aufgaben (4 Items) 75 (18) 66 (2) 047 12 10






0 4 8 12

Fachwissen

10

20

30

Fac

hdid

aktis

ches

Wis

sen

A

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1 Professionswissen





























Fach-didaktisches

Wissen der Lehr-

kraft


Schuumller














5 Literatur













































































































Fach-didaktisches

Wissen


tierenldquo



2 (-1) = ndash2

1 (-1) = ndash1

0 (-1) = 0

(-1) (-1) = 1

bdquoTrapezldquo



2)( 21

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Fach-didaktisches

Wissen




bdquoGleichungldquo




Fach-didaktisches

Wissen

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Algebraisch


Fachwissen

bdquoPrimzahlldquo



)12)(12( 512512


Sei 0999hellip = a



9a 9


n

n

n - 1

+ 1

+1-1 I II III IV

a 3a

n+1





















24 Testkonstruktion










Reliabilitaumlt


N = 198 emp Max

Korrelationen

Fach-wissen



Aufga-ben




63 81 (34) 17 54


Aufgaben 51 67 (22) 12 37 44 43

















GY (N = 85)

MW (SD) NGY

(N = 113)


emp Max GY

emp Max NGY




93 (34) 71 (32) 067 17 15


Aufgaben (4 Items) 75 (18) 66 (2) 047 12 10






0 4 8 12

Fachwissen

10

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Fac

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1 Professionswissen





























Fach-didaktisches

Wissen der Lehr-

kraft


Schuumller














5 Literatur













































































































Fach-didaktisches

Wissen


tierenldquo



2 (-1) = ndash2

1 (-1) = ndash1

0 (-1) = 0

(-1) (-1) = 1

bdquoTrapezldquo



2)( 21

hgg

2221 hghg

2

)( 21 hgg h

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Fach-didaktisches

Wissen




bdquoGleichungldquo




Fach-didaktisches

Wissen

bdquoAufgabenldquo

bdquoQuadratldquo



Algebraisch


Fachwissen

bdquoPrimzahlldquo



)12)(12( 512512


Sei 0999hellip = a



9a 9


n

n

n - 1

+ 1

+1-1 I II III IV

a 3a

n+1
















24 Testkonstruktion










Reliabilitaumlt


N = 198 emp Max

Korrelationen

Fach-wissen



Aufga-ben




63 81 (34) 17 54


Aufgaben 51 67 (22) 12 37 44 43

















GY (N = 85)

MW (SD) NGY

(N = 113)


emp Max GY

emp Max NGY




93 (34) 71 (32) 067 17 15


Aufgaben (4 Items) 75 (18) 66 (2) 047 12 10






0 4 8 12

Fachwissen

10

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30

Fac

hdid

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AA

AA

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A

A

A































1 Professionswissen





























Fach-didaktisches

Wissen der Lehr-

kraft


Schuumller














5 Literatur













































































































Fach-didaktisches

Wissen


tierenldquo



2 (-1) = ndash2

1 (-1) = ndash1

0 (-1) = 0

(-1) (-1) = 1

bdquoTrapezldquo



2)( 21

hgg

2221 hghg

2

)( 21 hgg h

gg

2

)( 21

Fach-didaktisches

Wissen




bdquoGleichungldquo




Fach-didaktisches

Wissen

bdquoAufgabenldquo

bdquoQuadratldquo



Algebraisch


Fachwissen

bdquoPrimzahlldquo



)12)(12( 512512


Sei 0999hellip = a



9a 9


n

n

n - 1

+ 1

+1-1 I II III IV

a 3a

n+1





24 Testkonstruktion










Reliabilitaumlt


N = 198 emp Max

Korrelationen

Fach-wissen



Aufga-ben




63 81 (34) 17 54


Aufgaben 51 67 (22) 12 37 44 43

















GY (N = 85)

MW (SD) NGY

(N = 113)


emp Max GY

emp Max NGY




93 (34) 71 (32) 067 17 15


Aufgaben (4 Items) 75 (18) 66 (2) 047 12 10






0 4 8 12

Fachwissen

10

20

30

Fac

hdid

aktis

ches

Wis

sen

A

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AA

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A

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A

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0 4 8 12

Fachwissen

A

AA

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AA

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A

A

A

A

A

A

A































1 Professionswissen





























Fach-didaktisches

Wissen der Lehr-

kraft


Schuumller














5 Literatur













































































































Fach-didaktisches

Wissen


tierenldquo



2 (-1) = ndash2

1 (-1) = ndash1

0 (-1) = 0

(-1) (-1) = 1

bdquoTrapezldquo



2)( 21

hgg

2221 hghg

2

)( 21 hgg h

gg

2

)( 21

Fach-didaktisches

Wissen




bdquoGleichungldquo




Fach-didaktisches

Wissen

bdquoAufgabenldquo

bdquoQuadratldquo



Algebraisch


Fachwissen

bdquoPrimzahlldquo



)12)(12( 512512


Sei 0999hellip = a



9a 9


n

n

n - 1

+ 1

+1-1 I II III IV

a 3a

n+1









Reliabilitaumlt


N = 198 emp Max

Korrelationen

Fach-wissen



Aufga-ben




63 81 (34) 17 54


Aufgaben 51 67 (22) 12 37 44 43

















GY (N = 85)

MW (SD) NGY

(N = 113)


emp Max GY

emp Max NGY




93 (34) 71 (32) 067 17 15


Aufgaben (4 Items) 75 (18) 66 (2) 047 12 10






0 4 8 12

Fachwissen

10

20

30

Fac

hdid

aktis

ches

Wis

sen

A

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A

A

A

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0 4 8 12

Fachwissen

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A

A































1 Professionswissen





























Fach-didaktisches

Wissen der Lehr-

kraft


Schuumller














5 Literatur













































































































Fach-didaktisches

Wissen


tierenldquo



2 (-1) = ndash2

1 (-1) = ndash1

0 (-1) = 0

(-1) (-1) = 1

bdquoTrapezldquo



2)( 21

hgg

2221 hghg

2

)( 21 hgg h

gg

2

)( 21

Fach-didaktisches

Wissen




bdquoGleichungldquo




Fach-didaktisches

Wissen

bdquoAufgabenldquo

bdquoQuadratldquo



Algebraisch


Fachwissen

bdquoPrimzahlldquo



)12)(12( 512512


Sei 0999hellip = a



9a 9


n

n

n - 1

+ 1

+1-1 I II III IV

a 3a

n+1



Reliabilitaumlt


N = 198 emp Max

Korrelationen

Fach-wissen



Aufga-ben




63 81 (34) 17 54


Aufgaben 51 67 (22) 12 37 44 43

















GY (N = 85)

MW (SD) NGY

(N = 113)


emp Max GY

emp Max NGY




93 (34) 71 (32) 067 17 15


Aufgaben (4 Items) 75 (18) 66 (2) 047 12 10






0 4 8 12

Fachwissen

10

20

30

Fac

hdid

aktis

ches

Wis

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A

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0 4 8 12

Fachwissen

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1 Professionswissen





























Fach-didaktisches

Wissen der Lehr-

kraft


Schuumller














5 Literatur













































































































Fach-didaktisches

Wissen


tierenldquo



2 (-1) = ndash2

1 (-1) = ndash1

0 (-1) = 0

(-1) (-1) = 1

bdquoTrapezldquo



2)( 21

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2221 hghg

2

)( 21 hgg h

gg

2

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Fach-didaktisches

Wissen




bdquoGleichungldquo




Fach-didaktisches

Wissen

bdquoAufgabenldquo

bdquoQuadratldquo



Algebraisch


Fachwissen

bdquoPrimzahlldquo



)12)(12( 512512


Sei 0999hellip = a



9a 9


n

n

n - 1

+ 1

+1-1 I II III IV

a 3a

n+1














GY (N = 85)

MW (SD) NGY

(N = 113)


emp Max GY

emp Max NGY




93 (34) 71 (32) 067 17 15


Aufgaben (4 Items) 75 (18) 66 (2) 047 12 10






0 4 8 12

Fachwissen

10

20

30

Fac

hdid

aktis

ches

Wis

sen

A

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0 4 8 12

Fachwissen

A

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A

A































1 Professionswissen





























Fach-didaktisches

Wissen der Lehr-

kraft


Schuumller














5 Literatur













































































































Fach-didaktisches

Wissen


tierenldquo



2 (-1) = ndash2

1 (-1) = ndash1

0 (-1) = 0

(-1) (-1) = 1

bdquoTrapezldquo



2)( 21

hgg

2221 hghg

2

)( 21 hgg h

gg

2

)( 21

Fach-didaktisches

Wissen




bdquoGleichungldquo




Fach-didaktisches

Wissen

bdquoAufgabenldquo

bdquoQuadratldquo



Algebraisch


Fachwissen

bdquoPrimzahlldquo



)12)(12( 512512


Sei 0999hellip = a



9a 9


n

n

n - 1

+ 1

+1-1 I II III IV

a 3a

n+1





GY (N = 85)

MW (SD) NGY

(N = 113)


emp Max GY

emp Max NGY




93 (34) 71 (32) 067 17 15


Aufgaben (4 Items) 75 (18) 66 (2) 047 12 10






0 4 8 12

Fachwissen

10

20

30

Fac

hdid

aktis

ches

Wis

sen

A

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0 4 8 12

Fachwissen

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A































1 Professionswissen





























Fach-didaktisches

Wissen der Lehr-

kraft


Schuumller














5 Literatur













































































































Fach-didaktisches

Wissen


tierenldquo



2 (-1) = ndash2

1 (-1) = ndash1

0 (-1) = 0

(-1) (-1) = 1

bdquoTrapezldquo



2)( 21

hgg

2221 hghg

2

)( 21 hgg h

gg

2

)( 21

Fach-didaktisches

Wissen




bdquoGleichungldquo




Fach-didaktisches

Wissen

bdquoAufgabenldquo

bdquoQuadratldquo



Algebraisch


Fachwissen

bdquoPrimzahlldquo



)12)(12( 512512


Sei 0999hellip = a



9a 9


n

n

n - 1

+ 1

+1-1 I II III IV

a 3a

n+1



0 4 8 12

Fachwissen

10

20

30

Fac

hdid

aktis

ches

Wis

sen

A

A

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0 4 8 12

Fachwissen

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1 Professionswissen





























Fach-didaktisches

Wissen der Lehr-

kraft


Schuumller














5 Literatur













































































































Fach-didaktisches

Wissen


tierenldquo



2 (-1) = ndash2

1 (-1) = ndash1

0 (-1) = 0

(-1) (-1) = 1

bdquoTrapezldquo



2)( 21

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2

)( 21 hgg h

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2

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Fach-didaktisches

Wissen




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Fach-didaktisches

Wissen

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Algebraisch


Fachwissen

bdquoPrimzahlldquo



)12)(12( 512512


Sei 0999hellip = a



9a 9


n

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+ 1

+1-1 I II III IV

a 3a

n+1



























1 Professionswissen





























Fach-didaktisches

Wissen der Lehr-

kraft


Schuumller














5 Literatur













































































































Fach-didaktisches

Wissen


tierenldquo



2 (-1) = ndash2

1 (-1) = ndash1

0 (-1) = 0

(-1) (-1) = 1

bdquoTrapezldquo



2)( 21

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2221 hghg

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)( 21 hgg h

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Fach-didaktisches

Wissen




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Fach-didaktisches

Wissen

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Algebraisch


Fachwissen

bdquoPrimzahlldquo



)12)(12( 512512


Sei 0999hellip = a



9a 9


n

n

n - 1

+ 1

+1-1 I II III IV

a 3a

n+1




















1 Professionswissen





























Fach-didaktisches

Wissen der Lehr-

kraft


Schuumller














5 Literatur













































































































Fach-didaktisches

Wissen


tierenldquo



2 (-1) = ndash2

1 (-1) = ndash1

0 (-1) = 0

(-1) (-1) = 1

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2)( 21

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2

)( 21 hgg h

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Fach-didaktisches

Wissen




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Fach-didaktisches

Wissen

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Fachwissen

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9a 9


n

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+ 1

+1-1 I II III IV

a 3a

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1 Professionswissen





























Fach-didaktisches

Wissen der Lehr-

kraft


Schuumller














5 Literatur













































































































Fach-didaktisches

Wissen


tierenldquo



2 (-1) = ndash2

1 (-1) = ndash1

0 (-1) = 0

(-1) (-1) = 1

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2)( 21

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Fach-didaktisches

Wissen




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Fach-didaktisches

Wissen

bdquoAufgabenldquo

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Algebraisch


Fachwissen

bdquoPrimzahlldquo



)12)(12( 512512


Sei 0999hellip = a



9a 9


n

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n - 1

+ 1

+1-1 I II III IV

a 3a

n+1





1 Professionswissen





























Fach-didaktisches

Wissen der Lehr-

kraft


Schuumller














5 Literatur













































































































Fach-didaktisches

Wissen


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2 (-1) = ndash2

1 (-1) = ndash1

0 (-1) = 0

(-1) (-1) = 1

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Fach-didaktisches

Wissen




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Fach-didaktisches

Wissen

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Fachwissen

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)12)(12( 512512


Sei 0999hellip = a



9a 9


n

n

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+ 1

+1-1 I II III IV

a 3a

n+1


















Fach-didaktisches

Wissen der Lehr-

kraft


Schuumller














5 Literatur













































































































Fach-didaktisches

Wissen


tierenldquo



2 (-1) = ndash2

1 (-1) = ndash1

0 (-1) = 0

(-1) (-1) = 1

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Fach-didaktisches

Wissen




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Fach-didaktisches

Wissen

bdquoAufgabenldquo

bdquoQuadratldquo



Algebraisch


Fachwissen

bdquoPrimzahlldquo



)12)(12( 512512


Sei 0999hellip = a



9a 9


n

n

n - 1

+ 1

+1-1 I II III IV

a 3a

n+1











Fach-didaktisches

Wissen der Lehr-

kraft


Schuumller














5 Literatur













































































































Fach-didaktisches

Wissen


tierenldquo



2 (-1) = ndash2

1 (-1) = ndash1

0 (-1) = 0

(-1) (-1) = 1

bdquoTrapezldquo



2)( 21

hgg

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2

)( 21 hgg h

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2

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Fach-didaktisches

Wissen




bdquoGleichungldquo




Fach-didaktisches

Wissen

bdquoAufgabenldquo

bdquoQuadratldquo



Algebraisch


Fachwissen

bdquoPrimzahlldquo



)12)(12( 512512


Sei 0999hellip = a



9a 9


n

n

n - 1

+ 1

+1-1 I II III IV

a 3a

n+1














5 Literatur













































































































Fach-didaktisches

Wissen


tierenldquo



2 (-1) = ndash2

1 (-1) = ndash1

0 (-1) = 0

(-1) (-1) = 1

bdquoTrapezldquo



2)( 21

hgg

2221 hghg

2

)( 21 hgg h

gg

2

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Fach-didaktisches

Wissen




bdquoGleichungldquo




Fach-didaktisches

Wissen

bdquoAufgabenldquo

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Algebraisch


Fachwissen

bdquoPrimzahlldquo



)12)(12( 512512


Sei 0999hellip = a



9a 9


n

n

n - 1

+ 1

+1-1 I II III IV

a 3a

n+1








5 Literatur













































































































Fach-didaktisches

Wissen


tierenldquo



2 (-1) = ndash2

1 (-1) = ndash1

0 (-1) = 0

(-1) (-1) = 1

bdquoTrapezldquo



2)( 21

hgg

2221 hghg

2

)( 21 hgg h

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)( 21

Fach-didaktisches

Wissen




bdquoGleichungldquo




Fach-didaktisches

Wissen

bdquoAufgabenldquo

bdquoQuadratldquo



Algebraisch


Fachwissen

bdquoPrimzahlldquo



)12)(12( 512512


Sei 0999hellip = a



9a 9


n

n

n - 1

+ 1

+1-1 I II III IV

a 3a

n+1



5 Literatur













































































































Fach-didaktisches

Wissen


tierenldquo



2 (-1) = ndash2

1 (-1) = ndash1

0 (-1) = 0

(-1) (-1) = 1

bdquoTrapezldquo



2)( 21

hgg

2221 hghg

2

)( 21 hgg h

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2

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Fach-didaktisches

Wissen




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Fach-didaktisches

Wissen

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Algebraisch


Fachwissen

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Sei 0999hellip = a



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n

n

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Fach-didaktisches

Wissen


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2

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Fach-didaktisches

Wissen




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Fach-didaktisches

Wissen

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Algebraisch


Fachwissen

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Fach-didaktisches

Wissen


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Fach-didaktisches

Wissen




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Fach-didaktisches

Wissen

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Fach-didaktisches

Wissen


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Fach-didaktisches

Wissen




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Fach-didaktisches

Wissen

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Fach-didaktisches

Wissen


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Fach-didaktisches

Wissen




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Fach-didaktisches

Wissen

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Fach-didaktisches

Wissen


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Fach-didaktisches

Wissen




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Fach-didaktisches

Wissen

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Algebraisch


Fachwissen

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)12)(12( 512512


Sei 0999hellip = a



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n

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+1-1 I II III IV

a 3a

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Fach-didaktisches

Wissen


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2 (-1) = ndash2

1 (-1) = ndash1

0 (-1) = 0

(-1) (-1) = 1

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Fach-didaktisches

Wissen




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Fach-didaktisches

Wissen

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Algebraisch


Fachwissen

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)12)(12( 512512


Sei 0999hellip = a



9a 9


n

n

n - 1

+ 1

+1-1 I II III IV

a 3a

n+1

Documents

Mareike Kunter, Alexander Jordan Die Untersuchung des ... · ma“ (siehe z.B. Bromme, 1992, 1997; für eine differenziertere Aufteilung siehe Borich & Klinzing, 1987). Aus dem folgenden