Mathematik

5/24/2018 Mathematik

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Kernlehrplanfr die Sekundarstufe II

Gymnasium / Gesamtschulein Nordrhein-Westfalen

Mathematik


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Herausgegeben vomMinisterium fr Schule und Weiterbildung

des Landes Nordrhein-WestfalenVlklinger Strae 49, 40221 Dsseldorf

Telefon 0211-5867-40Telefax 0211-5867-3220

[email protected]

Heft 4720

1. Auflage 2013


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Vorwort

Klare Ergebnisorientierung in Verbindung mit erweiterter Schulautonomie

und konsequenter Rechenschaftslegung begnstigen gute Leistungen.(OECD, 2002)

Vor dem Hintergrund der Ergebnisse internationaler und nationaler Schul-leistungsstudien sowie der mittlerweile durch umfassende Bildungsfor-schung gesttzten Qualittsdiskussion wurde in Nordrhein-Westfalen wiein allen Bundeslndern sukzessive ein umfassendes System der Stan-dardsetzung und Standardberprfung aufgebaut.

Neben den Instrumenten der Standardberprfung wie Vergleichsarbeiten,Zentrale Prfungen am Ende der Klasse 10, Zentralabitur und Qualitts-analyse beinhaltet dieses System als zentrale Steuerungselemente aufder Standardsetzungsseite das Qualittstableau sowie kompetenzorien-tierte Kernlehrplne, die in Nordrhein-Westfalen die Bildungsstandards derKultusministerkonferenz aufgreifen und konkretisieren.

Der Grundgedanke dieser Standardsetzung ist es, in kompetenzorientier-ten Kernlehrplnen die fachlichen Anforderungen als Ergebnisse der schu-lischen Arbeit klar zu definieren. Die curricularen Vorgaben konzentrierensich dabei auf die fachlichen Kerne, ohne die didaktisch-methodischeGestaltung der Lernprozesse regeln zu wollen. Die Umsetzung des Kern-

lehrplans liegt somit in der Gestaltungsfreiheitund der Gestaltungspflichtder Fachkonferenzen sowie der pdagogischen Verantwortung der Leh-rerinnen und Lehrer.

Schulinterne Lehrplne konkretisieren die Kernlehrplanvorgaben und be-rcksichtigen dabei die konkreten Lernbedingungen in der jeweiligenSchule. Sie sind eine wichtige Voraussetzung dafr, dass die Schlerin-nen und Schler die angestrebten Kompetenzen erreichen und sich ihnenverbesserte Lebenschancen erffnen.

Ich bin mir sicher, dass mit den nun vorliegenden Kernlehrplnen fr die

gymnasiale Oberstufe die konkreten staatlichen Ergebnisvorgaben erreichtund dabei die in der Schule nutzbaren Freirume wahrgenommen werdenknnen. Im Zusammenwirken aller Beteiligten sind Erfolge bei der Unter-richts- und Kompetenzentwicklung keine Zufallsprodukte, sondern geplan-tes Ergebnis gemeinsamer Bemhungen.

Bei dieser anspruchsvollen Umsetzung der curricularen Vorgaben und derVerankerung der Kompetenzorientierung im Unterricht bentigen Schulenund Lehrkrfte Untersttzung. Hierfr werden Begleitmaterialien z.B.


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ber den Lehrplannavigator, das Lehrplaninformationssystem des Minis-teriums fr Schule und Weiterbildung sowie Implementations- und Fort-bildungsangebote bereitgestellt.

Ich bin zuversichtlich, dass wir mit dem vorliegenden Kernlehrplan undden genannten Untersttzungsmanahmen die kompetenzorientierteStandardsetzung in Nordrhein-Westfalen strken und sichern werden. Ichbedanke mich bei allen, die an der Entwicklung des Kernlehrplans mitge-arbeitet haben und an seiner Umsetzung in den Schulen des Landes mit-wirken.

Sylvia Lhrmann

Ministerin fr Schule und Weiterbildungdes Landes Nordrhein-Westfalen


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Runderlass

Sekundarstufe IIGymnasiale Oberstufe des Gymnasiums und der Gesamtschule;

Richtlinien und Lehrplne;Kernlehrplne fr die MINT-Fcher

RdErl. d. Ministeriumsfr Schule und Weiterbildung

v. 04.09.2013 - 5326.03.15.06-110656

Fr die gymnasiale Oberstufe des Gymnasiums und der Gesamtschule

werden hiermit Kernlehrplne fr die Fcher Biologie, Chemie, Ernh-rungslehre, Informatik, Mathematik, Physik und Technik gem 29SchulG (BASS 1-1) festgesetzt.

Sie treten zum 1. 8. 2014, beginnend mit der Einfhrungsphase, aufstei-gend in Kraft.

Die Richtlinien fr die gymnasiale Oberstufe des Gymnasiums und derGesamtschule gelten unverndert fort.

Die Verffentlichung der Kernlehrplne erfolgt in der Schriftenreihe "Schu-

le in NRW":

Heft 4722 Kernlehrplan BiologieHeft 4723 Kernlehrplan ChemieHeft 4724 Kernlehrplan ErnhrungslehreHeft 4725 Kernlehrplan InformatikHeft 4720 Kernlehrplan MathematikHeft 4721 Kernlehrplan PhysikHeft 4726 Kernlehrplan Technik

Die bersandten Hefte sind in die Schulbibliothek einzustellen und dort

auch fr die Mitwirkungsberechtigten zur Einsichtnahme bzw. zur Ausleiheverfgbar zu halten.

Zum 31. 7. 2014 treten die nachfolgend genannten Unterrichtsvorgaben,beginnend mit der Einfhrungsphase, auslaufend auer Kraft:

- Lehrplan Biologie, RdErl. vom 3. 3. 1999 (BASS 1531 Nr. 22)- Lehrplan Chemie, RdErl. vom 3. 3. 1999 (BASS 1531 Nr. 23)


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- Lehrplan Ernhrungslehre, RdErl. vom 3. 3. 1999 (BASS 15 31 Nr.24)

- Lehrplan Informatik, RdErl. vom 3. 3. 1999 (BASS 1531 Nr. 25)- Lehrplan Mathematik, RdErl. vom 3. 3. 1999 (BASS 1531 Nr. 20)- Lehrplan Physik, RdErl. vom 3. 3. 1999 (BASS 1531 Nr. 21)- Lehrplan Technik, RdErl. vom 3. 3. 1999 (BASS 1531 Nr. 26)


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InhaltSeite

Vorbemerkungen: Kernlehrplne als kompetenzorientierteUnterrichtsvorgaben 8

1 Aufgaben und Ziele des Faches 10

2 Kompetenzbereiche, Inhaltsfelder undKompetenzerwartungen 13

2.1 Kompetenzbereiche und Inhaltsfelder des Faches 142.2 Kompetenzerwartungen in den prozessbezogenen

Kompetenzbereichen 182.3 Kompetenzerwartungen und inhaltliche Schwerpunkte bis zum

Ende der Einfhrungsphase 232.4 Kompetenzerwartungen und inhaltliche Schwerpunkte bis zum

Ende der Qualifikationsphase 262.4.1 Grundkurs 262.4.2 Leistungskurs 30

3 Lernerfolgsberprfung und Leistungsbewertung 35

4 Abiturprfung 42


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Vorbemerkungen: Kernlehrplne als kompetenzori-entierte Unterrichtsvorgaben

Kompetenzorientierte Kernlehrplne sind ein zentrales Element in einemumfassenden Gesamtkonzept fr die Entwicklung und Sicherung der Qua-litt schulischer Arbeit. Sie bieten allen an Schule Beteiligten Orientierun-gen darber, welche Kompetenzen zu bestimmten Zeitpunkten im Bil-dungsgang verbindlich erreicht werden sollen, und bilden darber hinauseinen Rahmen fr die Reflexion und Beurteilung der erreichten Ergebnis-se.

Kompetenzorientierte Kernlehrplne

sind curriculare Vorgaben, bei denen die erwarteten Lernergebnisse imMittelpunkt stehen, beschreiben die erwarteten Lernergebnisse in Form von fachbezoge-

nen Kompetenzen, die fachdidaktisch begrndeten Kompetenzberei-chen sowie Inhaltsfeldern zugeordnet sind,

zeigen, in welchen Stufungen diese Kompetenzen im Unterricht in derSekundarstufe II erreicht werden knnen, indem sie die erwartetenKompetenzen bis zum Ende der Einfhrungs- und der Qualifikations-phase nher beschreiben,

beschrnken sich dabei auf zentrale kognitive Prozesse sowie die mitihnen verbundenen Gegenstnde, die fr den weiteren Bildungsweg

unverzichtbar sind, bestimmen durch die Ausweisung von verbindlichen Erwartungen die

Bezugspunkte fr die berprfung der Lernergebnisse und Leistungs-stnde in der schulischen Leistungsbewertung und

schaffen so die Voraussetzungen, um definierte Anspruchsniveaus ander Einzelschule sowie im Land zu sichern.

Indem sich Kernlehrplne dieser Generation auf die zentralen fachlichenKompetenzen beschrnken, geben sie den Schulen die Mglichkeit, sichauf diese zu konzentrieren und ihre Beherrschung zu sichern. Die Schulen

knnen dabei entstehende Freirume zur Vertiefung und Erweiterung deraufgefhrten Kompetenzen und damit zu einer schulbezogenen Schwer-punktsetzung nutzen. Die im Kernlehrplan vorgenommene Fokussierungauf rein fachliche und berprfbare Kompetenzen bedeutet in diesem Zu-sammenhang ausdrcklich nicht, dass fachbergreifende und ggf. wenigergut zu beobachtende Kompetenzen insbesondere im Bereich der Per-sonal- und Sozialkompetenzenan Bedeutung verlieren bzw. deren Ent-wicklung nicht mehr zum Bildungs- und Erziehungsauftrag der Schule ge-


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hrt. Aussagen hierzu sind jedoch aufgrund ihrer berfachlichen Bedeu-tung auerhalb fachbezogener Kernlehrplne zu treffen.

Die nun vorgelegten Kernlehrplne fr die gymnasiale Oberstufe lsen diebisherigen Lehrplne aus dem Jahr 1999 ab und vollziehen somit auch frdiese Schulstufe den bereits fr die Sekundarstufe I vollzogenen Para-digmenwechsel von der Input- zur Outputorientierung.

Darber hinaus setzen die neuen Kernlehrplne die inzwischen auf KMK-Ebene vorgenommenen Standardsetzungsprozesse (Bildungsstandardsbzw. Einheitliche Prfungsanforderungen fr das Abitur) fr das LandNordrhein-Westfalen um.

Abschlieend liefern die neuen Kernlehrplne eine landesweit einheitliche

Obligatorik, die die curriculare Grundlage fr die Entwicklung schulinternerLehrplne und damit fr die unterrichtliche Arbeit in Schulen bildet. Mitdiesen landesweit einheitlichen Standards ist eine wichtige Voraussetzungdafr geschaffen, dass Schlerinnen und Schler mit vergleichbaren Vo-raussetzungen die zentralen Prfungen des Abiturs ablegen knnen.


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1 Aufgaben und Ziele des Faches

Gegenstand der Fcher im mathematisch-naturwissenschaftlich-

technischen Aufgabenfeld (III) sind die empirisch erfassbare, die in forma-len Strukturen beschreibbare und die durch Technik gestaltbare Wirklich-keit sowie die Verfahrens- und Erkenntnisweisen, die ihrer Erschlieungund Gestaltung dienen.

Im Rahmen der von allen Fchern zu erfllenden Querschnittsaufgabentragen insbesondere auch die Fcher des mathematisch-naturwissenschaftlich-technischen Aufgabenfeldes im Rahmen der Ent-wicklung von Gestaltungskompetenz zur kritischen Reflexion geschlech-ter- und kulturstereotyper Zuordnungen, zur Werteerziehung, zur Empa-thie und Solidaritt, zum Aufbau sozialer Verantwortung, zur Gestaltungeiner demokratischen Gesellschaft, zur Sicherung der natrlichen Lebens-grundlagen, auch fr kommende Generationen im Sinne einer nachhalti-gen Entwicklung, und zur kulturellen Mitgestaltung bei. Darber hinausleisten sie einen Beitrag zur interkulturellen Verstndigung, zur interdiszip-linren Verknpfung von Kompetenzen, auch mit gesellschaftswissen-schaftlichen und sprachlich-literarisch-knstlerischen Feldern, sowie zurVorbereitung auf Ausbildung, Studium, Arbeit und Beruf.

Der Mathematikunterricht der gymnasialen Oberstufe trgt zu einer erwei-terten Allgemeinbildung und einer allgemeinen Studierfhigkeit der Sch-

lerinnen und Schler bei. Er vermittelt grundlegende mathematischeKompetenzen, die eine fr eine reflektierte Bewltigung des tglichenLebens bedeutsame Grundlage bilden und fr ein Hochschulstudium so-wie eine anspruchsvolle Berufsausbildung notwendig sind.

Dieser Lehrplan setzt die KMK Bildungsstandards fr Nordrhein-Westfalenum und orientiert sich damit am Konzept eines allgemeinbildenden Ma-thematikunterrichts.1Demnach sollen den Schlerinnen und Schlern imMathematikunterricht der gymnasialen Oberstufe insbesondere die folgen-den Grunderfahrungen ermglicht werden:

technische, natrliche, soziale und kulturelle Erscheinungen und Vor-gnge mithilfe der Mathematik wahrnehmen, verstehen, beurteilen undbeeinflussen (Mathematik als Anwendung),

mathematische Gegenstnde und Sachverhalte, reprsentiert in Spra-che, Symbolen und Bildern, als geistige Schpfungen, als eine deduk-

1nach Heinrich Winter, GDM-Mitteilungen, 1995, Heft 61


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tiv geordnete Welt eigener Art erkennen und weiterentwickeln (Mathe-matik als Struktur),

in der Auseinandersetzung mit mathematischen Fragestellungen Krea-tivitt und Problemlsefhigkeit, die ber die Mathematik hinausgehen,erwerben und einsetzen (Mathematik als individuelle und kreative T-tigkeit).

Schlerinnen und Schler erfahren, dass Mathematik eine historisch ge-wachsene Kulturleistung darstellt. Sie erleben Mathematik als intellektuelleHerausforderung und mathematische Kompetenzen als eine Grundlagezur Selbstentfaltung und aktiven gesellschaftlichen Teilhabe.

Die inhaltliche und methodische Gestaltung des Unterrichts ist entschei-dend dafr, dass Schlerinnen und Schler eine solche mathematische

Hintergrundbildung erwerben knnen. Zu erwerbende Kompetenzen undMethoden des Unterrichts sind insofern eng aufeinander bezogen, alsdass Kompetenzen von den Schlerinnen und Schlern nur aktiv erwor-ben werden knnen und die Aufgabe der Lehrkrfte darin besteht, diesenProzess mit Hilfe sinnstiftender und motivierender Lernumgebungen anzu-stoen und zu begleiten. Der Unterricht soll Schlerinnen und Schler beider verstndnisorientierten Auseinandersetzung mit Mathematik unterstt-zen, ihr Interesse an mathematikhaltigen Fragestellungen wecken undihnen positive Erlebnisse im Umgang mit Mathematik ermglichen. Dazuwird eine breite Palette unterschiedlichster Unterrichtsformen genutzt, dievon der Wissensvermittlung durch die Lehrkraft bis hin zur selbststndigenErarbeitung neuer Inhalte durch die Lernenden reicht und der Notwendig-keit individueller Frderung Rechnung trgt. ber die Aneignung und An-wendung von Kalklen und Verfahren hinaus werden im Unterricht entde-ckendes und nacherfindendes Lernen in komplexen Problemkontexten,sowie der Austausch und die Kommunikation ber Prozesse und Ergeb-nisse ermglicht. Dabei sind Fehler immanenter Bestandteil des Lernpro-zesses. Deshalb gilt es, nicht Fehler zu vermeiden, sondern sie als Quellefr neue Erkenntnisse zu nutzen.

Inner- und auermathematische Fragestellungen werden an zentralen ma-thematischen Ideen orientiert miteinander vernetzt. Dabei kann sich dieLehrkraft im Unterricht auf Wesentliches konzentrieren, ausgewhlte Inhal-te vertieft behandeln und nach dem Prinzip der integrierenden Wiederho-lung dafr Sorge tragen, dass bereits erworbene Kenntnisse und Fhigkei-ten gefestigt und vertieft werden. Unterschiedliche, auch geschlechtsspe-zifische Herangehensweisen, Interessen, Vorerfahrungen und fachspezifi-sche Kenntnisse sind angemessen zu bercksichtigen.

In der Einfhrungsphasewerden die in der Sekundarstufe I erworbenenKompetenzen im Zusammenhang mit dem Erwerb tragfhiger fachlicher


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Grundvorstellungen angewendet und vertieft, so dass ein solides undausbaufhiges Fundament fr die Qualifikationsphase entsteht. Unter-schiedliche Eingangsvoraussetzungen werden hier diagnostiziert und im

Sinne individueller Frderung bercksichtigt.

In der Qualifikationsphase erwerben und erweitern die Schlerinnen undSchler in den Grundkursen anknpfend an die Erfahrungen aus derSekundarstufe I und der EinfhrungsphaseKompetenzen, die ihnen dasErkennen und Begrnden mathematischer Zusammenhnge und flexiblesund verstndiges mathematisches Handeln in vielfltigen Situationen er-mglichen. Herleitungen und Begrndungen erfolgen dabei berwiegenddurch heuristische Betrachtungen.

Die Leistungskursefrdern darber hinaus bei grerer fachlicher Breite

vor allem den Erwerb vertiefter Kompetenzen im Zusammenhang mit demVerstndnis mathematischer Begriffe und Zusammenhnge und derenexemplarischer Verwendung fr anspruchsvolle Argumentationen und frBeweise. Verstrktes wissenschaftspropdeutisches Vorgehen dient derVorbereitung auf ein Studium der Mathematik und der Mathematik nahe-stehender Fcher.


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2 Kompetenzbereiche, Inhaltsfelder und Kompe-tenzerwartungen

Die in den allgemeinen Aufgaben und Zielen des Faches beschriebenebergreifende fachliche Kompetenz wird ausdifferenziert, indem fachspezi-fische Kompetenzbereiche und Inhaltsfelder identifiziert und ausgewiesenwerden. Dieses analytische Vorgehen erfolgt, um die Strukturierung derfachrelevanten Prozesse einerseits sowie der Gegenstnde andererseitstransparent zu machen. In konkreten Lern- und Anforderungssituationenwerden beide Seiten miteinander verknpft. Damit wird der TatsacheRechnung getragen, dass der gleichzeitige Einsatz von Knnen und Wis-sen bei der Bewltigung von Anforderungssituationen eine zentrale Rollespielt.

Kompetenzbereiche reprsentieren die Grunddimensionen des fachlichenHandelns. Sie dienen dazu, die einzelnen Teiloperationen entlang derfachlichen Kerne zu strukturieren und den Zugriff fr die am Lehr-/Lern-prozess Beteiligten zu verdeutlichen.

Inhaltsfeldersystematisieren mit ihren jeweiligen inhaltlichen Schwerpunk-ten die im Unterricht der Sekundarstufe II verbindlichen und unverzichtba-ren Gegenstnde und liefern Hinweise fr die inhaltliche Ausrichtung desLehrens und Lernens.

Kompetenzerwartungen beschreiben die fachlichen Anforderungen undintendierten Lernergebnisse, die erreicht werden sollen.

bergreifende fachliche Kompetenz

Kompetenzbereicheprozessbezogene

Kompetenzerwartungen

Inhaltsfelderinhaltsbezogene


Konkrete Lern- und Anforderungssituationen(Zusammenfhrung von Kompetenzbereichen und

Inhaltsfeldern)

Schulinterner Lehrplan/Unterricht


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beziehen sich auf beobachtbare Handlungen und sind auf die Bewlti-

gung von Anforderungssituationen ausgerichtet, stellen im Sinne von Regelstandards die erwarteten Kenntnisse, F-

higkeiten und Fertigkeiten auf einem mittleren Abstraktionsgrad dar,

ermglichen die Darstellung einer Progression vom Anfang bis zumEnde der Sekundarstufe II und zielen auf kumulatives, systematischvernetztes Lernen,

knnen in Aufgabenstellungen umgesetzt und berprft werden.

Konkrete Lern- und Anforderungssituationenverknpfen prozessbezoge-ne und inhaltsbezogene Kompetenzerwartungen. Sie werden von den

Lehrerinnen und Lehrern im Unterricht und im Rahmen der Absprachender Fachkonferenz gestaltet. Prozesse und Gegenstnde werden dort zu-sammengefhrt und die intendierten Lernergebnisse und fachlichen An-forderungen konkretisiert.

Insgesamt ist der Unterricht in der Sekundarstufe II nicht allein auf dasErreichen der aufgefhrten Kompetenzerwartungen beschrnkt, sondernsoll es Schlerinnen und Schlern ermglichen, diese weiter auszubauenund darber hinausgehende Kompetenzen zu erwerben.

2.1 Kompetenzbereiche und Inhaltsfelder des Faches

Der Beitrag des Faches Mathematik zur erweiterten Allgemeinbildung be-schrnkt sich nicht auf die Bearbeitung verbindlicher Inhalte, sondern zieltauf den Erwerb prozess- und inhaltsbezogener mathematischer Kompe-tenzen.

Kompetenzbereiche

Die Kompetenzbereiche Modellieren, Problemlsen und Argumentieren

spiegeln die fr das Fach charakteristischen Prozesse wider. Sie werdenergnzt durch die Kompetenzbereiche Kommunizieren und Werkzeugenutzen, ohne die mathematisches Arbeiten nicht denkbar ist.

Kompetenzbereich Modellieren

Mathematik entwickelt sich im Wechselspiel von Theorie und praktischerAnwendung, sie trgt zum Verstndnis und zur Gestaltung der uns umge-benden Welt bei. Das Modellieren ist der Prozess der Strukturierung vonSachsituationen, der Beschreibung auermathematischer Realitt durch


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mathematische Begriffe und Zusammenhnge (Mathematisierung) sowieder Nutzung mathematischer Zusammenhnge zur Lsung realer Proble-me, der anschlieenden Interpretation des Ergebnisses und der Validie-

rung des Modells.

Kompetenzbereich Problemlsen

Die mathematische Bearbeitung auer- oder innermathematischer Kontex-te fhrt immer wieder zu Problemstellungen, die (zunchst) nicht schema-tisch oder in direkter Anlehnung an bekannte Muster und Verfahren bear-beitet werden knnen. Das Problemlsen ist der Prozess der Bearbeitungsolcher Problemstellungen durch Erkunden, Lsen durch Anwendung heu-ristischer Strategien und Reflektieren von Lsungsanstzen.

Kompetenzbereich Argumentieren

Bei der Auseinandersetzung mit mathematischen Begriffen und Gesetz-migkeiten werden immer wieder weitere Zusammenhnge vermutet o-der entdeckt. Das Argumentieren umfasst das Begrnden und Beweisenvermuteter mathematischer Zusammenhnge durch Rckgriff auf Bekann-tes und die Regeln des mathematischen Schlussfolgerns sowie das Beur-teilen von Argumentationsketten.

Kompetenzbereich Kommunizieren

Die individuelle mathematische Bearbeitung von Fragestellungen bentigtMglichkeiten der verbalen und nicht-verbalen Darstellung von mathema-tischen Begriffen und Zusammenhngen. Im sozialen Austausch mssendiese Darstellungen intersubjektiv nachvollziehbar sein und bestehendeKonventionen bercksichtigen. Das Kommunizieren umfasst die Rezeptionund die Produktion von Dokumentationen fachlicher Bearbeitungen sowiedie Diskussion darber. Fr die Mathematik sind neben der verbalen Dar-stellung insbesondere die ikonische und die symbolische Darstellung vonzentraler Bedeutung.

Kompetenzbereich Werkzeuge nutzen

Bei der mathematischen Bearbeitung komplexer Fragestellungen tretenimmer wieder Routinen auf, die an geeignete digitale und nicht-digitaleWerkzeuge delegiert werden knnen. Dadurch kann die Bearbeitung aufden eigentlichen mathematischen Kern konzentriert werden. Dynamischeund interaktive Werkzeuge untersttzen das Experimentieren, Simulieren,Erkunden von Situationen, Entdecken mathematischer Zusammenhnge,Gewinnen von Vermutungen, Kontrollieren von Ergebnissen, Visualisierenvon Sachverhalten und Prsentieren von Ergebnissen und dienen damit


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der Frderung des Verstndnisses fr mathematische Zusammenhnge.Sie erlauben es, grere Datenmengen zu verarbeiten underweitern dieMglichkeiten komplexe Probleme numerisch, graphisch und algebraisch

zu bearbeiten.

Inhaltsfelder

Die folgenden Inhaltsfelder des Faches Mathematik strukturieren die fach-lichen Gegenstnde, die fr einen allgemeinbildenden Mathematikunter-richt in der gymnasialen Oberstufe relevant sind. Sie werden smtlich an-knpfend an die in der Sekundarstufe I erworbenen Kompetenzen in derEinfhrungsphase grundgelegt und in der Qualifikationsphase spiraligfortgefhrt.

Inhaltsfeld Funktionen und Analysis (A)

In vielfltigen Anwendungssituationen spielt die simultane Betrachtungzweier Gren eine besondere Rolle, wobei eine als von der anderen ab-hngig betrachtet wird. Funktionen sind mathematische Modelle fr solcheZusammenhnge. Im Rahmen der Analysis wird die Beschreibung undUntersuchung funktionaler Zusammenhnge vertieft, indem die jeweilszueinander inversen Fragestellungen der Bestimmung von nderungsra-ten (Ableitung) und der Rekonstruktion des Bestandes aus nderungsra-ten (Integral) bzw. der Bestimmung von Tangenten an Kurven (Ableitung)und die Berechnung von Flcheninhalten unter Kurven (Integral) systema-

tisch bearbeitet werden.

Inhaltsfeld analytische Geometrie und lineare Algebra (G)

Die Geometrie umfasst den quantitativen und den qualitativen Umgang mitebenen und rumlichen Strukturen. Die Idee der Koordinatisierung ermg-licht deren vertiefte Untersuchung mit algebraischen Mitteln im Rahmender analytischen Geometrie. Die Beschreibung mittels Vektoren erlaubtdabei den Rckgriff auf das universelle Handwerkszeug der linearen Al-gebra. Aus der Idee der Parametrisierung ergeben sich Beschreibungenfr geometrische Objekte sowie fr geradlinige Bewegungen im Raum.

Nach der Metrisierung des Raumes mit dem Skalarprodukt lassen sichnicht nur Winkel-, Lngen- und Abstandsmessungen durchfhren, sondernauch die strategischen und rechnerischen Bearbeitungsmglichkeiten frgeometrische Fragestellungen erweitern.

Inhaltsfeld Stochastik (S)

Die Stochastik umfasst die Mathematik der Daten und des Zufalls, diedurch das Auswerten von Stichproben und das Simulieren stochastischer


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Vorgnge verbunden sind. Stochastische Methoden ermglichen es, vieleFragestellungen des Alltags rational quantitativ zu bearbeiten und Ent-scheidungen und Prognosen unter Unsicherheit zu treffen. Zufallsbedingte

Phnomene knnen durch Wahrscheinlichkeitsverteilungen modelliertwerden. Das Testen von Hypothesen ermglicht es, diese Modelle hin-sichtlich der gewhlten Parameter zu beurteilen.

Vernetzung der Inhaltsfelder

Die Inhaltsfelder Analysis, analytische Geometrie und lineare Algebra so-wie Stochastik sind nicht isoliert nebeneinander zu betrachten, vielmehrwerden sie konzeptionell vernetzt (z. B. durch bergreifende Konzepte wiefunktionaler Zusammenhang, Mittelwert, Kumulation, Iteration, Grenzwert).Wo mglich sollten fcherverbindende Aspekte, insbesondere im Zusam-

menhang mit Naturwissenschaften und Technik, aber auch den Sozialwis-senschaften Bercksichtigung finden. Im Mathematikunterricht stehen rea-littsbezogene Anwendungen gleichgewichtig und gleichwertig neben in-nermathematischen Fragestellungen. Schlerinnen und Schler sollenzum Ende der Qualifikationsphase Fachkompetenzen erworben haben,die es ihnen ermglichen, sowohl die Gemeinsamkeiten als auch die Be-sonderheiten der Inhaltsfelder zu identifizieren und die ihnen zu Grundegelegten Konzepte flexibel zu nutzen.

Verknpfung von Kompetenzbereichen und Inhaltsfeldern

Im Sinne erwarteter mathematischer Kompetenz ist prinzipiell jede Ver-knpfung von fachlichen Prozessen und fachlichen Gegenstnden denk-bar und relevant. Dennoch muss der Unterricht nicht jede einzelne Ver-knpfung explizit in den Blick nehmen, da weder einzelne Gegenstndean bestimmte Prozesse noch einzelne Prozesse an bestimmte Gegen-stnde gebunden sind. Es liegt in der Verantwortung der Fachkonferenzenund der Lehrerinnen und Lehrer fachliche Prozesse, fachliche Gegenstn-de und geeignete Kontexte in den schulinternen Lehrplnen und in kon-kreten Lern- und Anforderungssituationen so zu verknpfen, dass denSchlerinnen und Schlern vielfltige Erfahrungen ermglicht werden,

Prozesse (Kapitel 2.2) mit den fachlichen Gegenstnden in den unter-schiedlichen Inhaltsfeldern (Kapitel 2.3 und 2.4) auszuben, so dass einkohrentes Bild fachlichen Handelns entsteht.

Mathematische Kompetenz auf der Grundlage dieses Kernlehrplans meintdie Fhigkeit, mathematische Prozesse mit fachlichen Gegenstnden derdrei Inhaltsfelder ausben zu knnen.


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2.2 Kompetenzerwartungen in den prozessbezogenenKompetenzbereichen

Die prozessbezogenen Kompetenzbereiche reprsentieren den Beitragdes Faches Mathematik in der gymnasialen Oberstufe zur erweiterten All-gemeinbildung und begrnden damit neben ihrem Nutzen fr den Alltagdas Fundament fr die allgemeine Studierfhigkeit der Schlerinnen undSchler ebenso wie fr andere berufliche Werdegnge. Die entsprechen-den Kompetenzen entwickeln sich whrend der Auseinandersetzung mitden verbindlichen mathematischen Inhalten.

In der gymnasialen Oberstufe werden die prozessbezogenen Kompeten-zen, die in der Sekundarstufe I grundgelegt wurden, aufgegriffen, gefestigtund bewusst gemacht. Durch die Verbindung mit neuen Inhaltsfeldern inzunehmend komplexen und kognitiv anspruchsvollen Lernsituationen wer-den diese Kompetenzen weiter vertieft, ausdifferenziert und miteinandervernetzt. Die dabei im Mathematikunterricht der gymnasialen Oberstufe inlerngruppenspezifischen Kontexten und Themen erworbenen bergreifen-den Kompetenzen knnen Schlerinnen und Schler auch in anderen Zu-sammenhngen und Situationen nutzen.

Im Folgenden werden die prozessbezogenen Kompetenzerwartungen frdie gymnasiale Oberstufe insgesamt dargestellt.

Modellieren

Strukturieren

Die Schlerinnen und Schler

erfassen und strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen mitBlick auf eine konkrete Fragestellung,

treffen Annahmen und nehmen begrndet Vereinfachungen einer rea-len Situation vor.

Mathematisieren


bersetzen zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematischeModelle,

erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eineLsung innerhalb des mathematischen Modells,

ordnen einem mathematischen Modell verschiedene passende Sachsi-tuationen zu.


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Validieren


beziehen die erarbeitete Lsung wieder auf die Sachsituation, beurteilen die Angemessenheit aufgestellter (ggf. konkurrierender) Mo-

delle fr die Fragestellung,

verbessern aufgestellte Modelle mit Blick auf die Fragestellung,

reflektieren die Abhngigkeit einer Lsung von den getroffenen An-nahmen.

Problemlsen

Erkunden


recherchieren Informationen,

erkennen und formulieren einfache und komplexe mathematischeProbleme,

finden und stellen Fragen zu einer gegebenen Problemsituation,

analysieren und strukturieren die Problemsituation,

whlen heuristische Hilfsmittel (z.B. Skizze, informative Figur, Tabelle,experimentelle Verfahren) aus, um die Situation zu erfassen,

erkennen Muster und Beziehungen.

Lsen


entwickeln Ideen fr mgliche Lsungswege,

nutzen heuristische Strategien und Prinzipien (z. B. Analogiebetrach-tungen, Schtzen und berschlagen, systematisches Probieren oderAusschlieen, Darstellungswechsel, Zerlegen und Ergnzen, Symmet-rien verwenden, Invarianten finden, Zurckfhren auf Bekanntes, Zer-legen in Teilprobleme, Fallunterscheidungen, Vorwrts- und Rck-wrtsarbeiten, Verallgemeinern),

setzen ausgewhlte Routineverfahren auch hilfsmittelfrei zur Lsungein,

whlen Werkzeuge aus, die den Lsungsweg untersttzen,

whlen geeignete Begriffe, Zusammenhnge und Verfahren zur Prob-lemlsung aus,

bercksichtigen einschrnkende Bedingungen,


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fhren einen Lsungsplan zielgerichtet aus.

Reflektieren


berprfen die Plausibilitt von Ergebnissen,

interpretieren Ergebnisse auf dem Hintergrund der Fragestellung,

vergleichen verschiedene Lsungswege bezglich Unterschieden undGemeinsamkeiten,

beurteilen und optimieren Lsungswege mit Blick auf Richtigkeit undEffizienz,

analysieren und reflektieren Ursachen von Fehlern,

variieren Fragestellungen auf dem Hintergrund einer Lsung.

Argumentieren

Vermuten


stellen Vermutungen auf,

untersttzen Vermutungen beispielgebunden,

przisieren Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berck-sichtigung der logischen Struktur.

Begrnden


stellen Zusammenhnge zwischen Begriffen her (Ober-/ Unterbegriff),

nutzen mathematische Regeln bzw. Stze und sachlogische Argumen-te fr Begrndungen,

verknpfen Argumente zu Argumentationsketten,

nutzen verschiedene Argumentationsstrategien (direktes Schlussfol-

gern, Gegenbeispiele, indirekter Beweis), bercksichtigen vermehrt logische Strukturen (notwendige / hinrei-

chende Bedingung, Folgerungen / quivalenz, Und-/ Oder-Verknp-fungen, Negation, All-und Existenzaussagen),

erklren vorgegebene Argumentationen und mathematische Beweise.

Beurteilen



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erkennenlckenhafteArgumentationsketten und vervollstndigen sie,

erkennenfehlerhafteArgumentationsketten und korrigieren sie,

berprfen, inwiefern Ergebnisse, Begriffe und Regeln verallgemeinertwerden knnen,

beurteilen Argumentationsketten hinsichtlich ihrer Reichweite undbertragbarkeit.

Kommunizieren

Rezipieren


erfassen, strukturieren und formalisieren Informationen aus zuneh-

mend komplexen mathematikhaltigen Texten und Darstellungen, ausauthentischen Texten, mathematischen Fachtexten sowie aus Unter-richtsbeitrgen,

beschreiben Beobachtungen, bekannte Lsungswege und Verfahren,

erlutern mathematische Begriffe in theoretischen und in Sachzusam-menhngen.

Produzieren


formulieren eigene berlegungen und beschreiben eigene Lsungs-wege,

verwenden die Fachsprache und fachspezifische Notation in angemes-senem Umfang,

whlen begrndet eine geeignete Darstellungsform aus,

wechseln flexibel zwischen mathematischen Darstellungsformen,

dokumentieren Arbeitsschritte nachvollziehbar,

erstellen Ausarbeitungen und prsentieren sie.

Diskutieren


greifen Beitrge auf und entwickeln sie weiter,

nehmen zu mathematikhaltigen, auch fehlerbehafteten Aussagen undDarstellungen begrndet und konstruktiv Stellung,

vergleichen und beurteilen ausgearbeitete Lsungen hinsichtlich ihrerVerstndlichkeit und fachsprachlichen Qualitt,


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fhren Entscheidungen auf der Grundlage fachbezogener Diskussio-nen herbei.

Werkzeuge nutzen


nutzen Formelsammlungen, Geodreiecke, Zirkel, geometrische Model-le, grafikfhige Taschenrechner, Tabellenkalkulationen, Funktionen-plotter, Dynamische-Geometrie-Software und gegebenenfalls Compu-ter-Algebra-Systeme,

verwendenverschiedene digitale Werkzeuge zum

Lsen von Gleichungen und Gleichungssystemen,

zielgerichteten Variieren der Parameter von Funktionen,

Darstellen von Funktionen grafisch und als Wertetabelle,

grafischen Messen von Steigungen,

Berechnen der Ableitung einer Funktion an einer Stelle,

Messen von Flcheninhalten zwischen Funktionsgraph und Abszis-se,

Ermitteln des Wertes eines bestimmten Integrales,

Durchfhren von Operationen mit Vektoren und Matrizen,

grafischen Darstellen von Ortsvektoren, Vektorsummen und Gera-

den,Darstellen von Objekten im Raum,

Generieren von Zufallszahlen,

Ermitteln der Kennzahlen statistischer Daten (Mittelwert, Stan-dardabweichung),

Variieren der Parameter von Wahrscheinlichkeitsverteilungen,

Erstellen der Histogramme von Wahrscheinlichkeitsverteilungen,

Berechnen der Kennzahlen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen(Erwartungswert, Standardabweichung),

Berechnen von Wahrscheinlichkeiten bei binomialverteilten und (auferhhtem Anforderungsniveau) normalverteilten Zufallsgren,

nutzen mathematische Hilfsmittel und digitale Werkzeuge zum Erkun-den und Recherchieren, Berechnen und Darstellen,

entscheiden situationsangemessen ber den EinsatzmathematischerHilfsmittel und digitaler Werkzeuge und whlen diese gezielt aus,

reflektierenund begrnden die Mglichkeiten und Grenzen mathemati-scher Hilfsmittel und digitaler Werkzeuge.


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2.3 Kompetenzerwartungen und inhaltliche Schwerpunktebis zum Ende der Einfhrungsphase

Der Unterricht soll es den Schlerinnen und Schlern ermglichen, dasssieaufbauend auf einer heterogenen Kompetenzentwicklung in der Se-kundarstufe I am Ende der Einfhrungsphase ber die in Abschnitt 2.2dargestellten prozessbezogenen Kompetenzen und die im Folgenden ge-nannten inhaltsbezogenen Kompetenzen in den inhaltlichen Schwerpunk-ten, die jeweils zunchst knapp umrissen werden, verfgen.

Funktionen und Analysis (A)

Inhaltliche Schwerpunkte: Grundlegende Eigenschaften von Potenz-, Exponential- und Sinus-

funktionen Grundverstndnis des Ableitungsbegriffs Differentialrechnung ganzrationaler Funktionen

Kompetenzerwartungen:


beschreiben die Eigenschaften von Potenzfunktionen mit ganzzahligenExponenten sowie von quadratischen und kubischen Wurzelfunktio-

nen,

beschreiben Wachstumsprozesse mithilfe linearer Funktionen und Ex-ponentialfunktionen,

wenden einfache Transformationen (Streckung, Verschiebung) aufFunktionen (Sinusfunktion, quadratische Funktionen, Potenzfunktio-nen, Exponentialfunktionen) an und deuten die zugehrigen Parame-ter,

berechnen durchschnittliche und lokale nderungsraten und interpre-

tieren sie im Kontext, erlutern qualitativ auf der Grundlage eines propdeutischen Grenz-

wertbegriffs an Beispielen den bergang von der durchschnittlichenzur lokalen nderungsrate,

deuten die Tangente als Grenzlage einer Folge von Sekanten,

deuten die Ableitung an einer Stelle als lokale nderungsrate/ Tangen-tensteigung,


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beschreiben und interpretieren nderungsraten funktional (Ableitungs-funktion),

leiten Funktionen graphisch ab, begrnden Eigenschaften von Funktionsgraphen (Monotonie, Extrem-

punkte) mit Hilfe der Graphen der Ableitungsfunktionen,

nutzen die Ableitungsregel fr Potenzfunktionen mit natrlichem Expo-nenten,

nennen die Kosinusfunktion als Ableitung der Sinusfunktion,

wenden die Summen- und Faktorregel auf ganzrationale Funktionenan,

lsen Polynomgleichungen, die sich durch einfaches Ausklammernoder Substituieren auf lineare und quadratische Gleichungen zurck-fhren lassen, ohne digitale Hilfsmittel,

verwenden das notwendige Kriterium und das Vorzeichenwechselkrite-rium zur Bestimmung von Extrempunkten,

unterscheiden lokale und globale Extrema im Definitionsbereich,

verwenden am Graphen oder Term einer Funktion ablesbare Eigen-schaften als Argumente beim Lsen von inner- und auermathemati-schen Problemen.

Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G)

Inhaltliche Schwerpunkte:

Koordinatisierungen des Raumes Vektoren und Vektoroperationen



whlen geeignete kartesische Koordinatisierungen fr die Bearbeitungeines geometrischen Sachverhalts in der Ebene und im Raum,

stellen geometrische Objekte in einem rumlichen kartesischen Koor-dinatensystem dar,

deuten Vektoren (in Koordinatendarstellung) als Verschiebungen undkennzeichnen Punkte im Raum durch Ortsvektoren,


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stellen gerichtete Gren (z.B. Geschwindigkeit, Kraft) durch Vektorendar,

berechnen Lngen von Vektoren und Abstnde zwischen Punkten mitHilfe des Satzes des Pythagoras,

addieren Vektoren, multiplizieren Vektoren mit einem Skalar und unter-suchen Vektoren auf Kollinearitt,

weisen Eigenschaften von besonderen Dreiecken und Vierecken mithil-fe von Vektoren nach.

Stochastik (S)

Inhaltliche Schwerpunkte: Mehrstufige Zufallsexperimente Bedingte Wahrscheinlichkeiten



deuten Alltagssituationen als Zufallsexperimente,

simulieren Zufallsexperimente,

verwenden Urnenmodelle zur Beschreibung von Zufallsprozessen,

stellen Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf und fhren Erwartungs-wertbetrachtungen durch,

beschreiben mehrstufige Zufallsexperimente und ermitteln Wahr-scheinlichkeiten mit Hilfe der Pfadregeln,

modellieren Sachverhalte mit Hilfe von Baumdiagrammen und Vier-oder Mehrfeldertafeln,

bestimmen bedingte Wahrscheinlichkeiten,

prfen Teilvorgnge mehrstufiger Zufallsexperimente auf stochastischeUnabhngigkeit,

bearbeiten Problemstellungen im Kontext bedingter Wahrscheinlichkei-ten.


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2.4 Kompetenzerwartungen und inhaltliche Schwerpunktebis zum Ende der Qualifikationsphase

Der Unterricht soll es den Schlerinnen und Schlern ermglichen, dasssieaufbauend auf der Kompetenzentwicklung in der Einfhrungsphaseam Ende der Sekundarstufe II ber die in Abschnitt 2.2 dargestellten pro-zessbezogenen Kompetenzen und die im Folgenden genannten inhalts-bezogenen Kompetenzen in den inhaltlichen Schwerpunkten, die jeweilszunchst knapp umrissen werden, verfgen.

2.4.1 Grundkurs



Funktionen als mathematische Modelle Fortfhrungder Differentialrechnung Grundverstndnis des Integralbegriffs Integralrechnung



fhren Extremalprobleme durch Kombination mit Nebenbedingungenauf Funktionen einer Variablen zurck und lsen diese,

verwenden notwendige Kriterien und Vorzeichenwechselkriterien sowieweitere hinreichende Kriterien zur Bestimmung von Extrem- und Wen-depunkten,

beschreiben das Krmmungsverhalten des Graphen einer Funktion mitHilfe der 2. Ableitung,

interpretieren Parameter von Funktionen im Anwendungszusammen-hang,

bestimmen Parameter einer Funktion mit Hilfe von Bedingungen, diesich aus dem Kontext ergeben (Steckbriefaufgaben),

bilden die Ableitungen weiterer Funktionen:

o Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten,

o natrliche Exponentialfunktion,


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bilden in einfachen Fllen zusammengesetzte Funktionen (Summe,Produkt, Verkettung),

wenden die Kettenregel auf Verknpfungen der natrlichen Exponenti-alfunktion mit linearen Funktionen an,

wenden die Produktregel auf Verknpfungen von ganzrationalen Funk-tionen und Exponentialfunktionen an,

beschreiben die Eigenschaften von Exponentialfunktionen und die be-sondere Eigenschaft der natrlichen Exponentialfunktion,

untersuchen Wachstums- und Zerfallsvorgnge mit Hilfe funktionalerAnstze,

interpretieren Produktsummen im Kontext als Rekonstruktion des Ge-samtbestandes oder Gesamteffektes einer Gre,

deuten die Inhalte von orientierten Flchen im Kontext,

skizzieren zu einer gegebenen Randfunktion die zugehrige Flchen-inhaltsfunktion,

erlutern und vollziehen an geeigneten Beispielen den bergang vonder Produktsumme zum Integral auf der Grundlage eines propdeuti-schen Grenzwertbegriffs,

erlutern geometrisch-anschaulich den Zusammenhang zwischen n-derungsrate und Integralfunktion (Hauptsatz der Differential- und Integ-ralrechnung),

bestimmen Stammfunktionen ganzrationaler Funktionen,

nutzen die Intervalladditivitt und Linearitt von Integralen,

bestimmen Integrale mithilfe von gegebenen Stammfunktionen undnumerisch, auch unter Verwendung digitaler Werkzeuge,

ermitteln den Gesamtbestand oder Gesamteffekt einer Gre aus dernderungsrate,

ermitteln Flcheninhalte mit Hilfe von bestimmten Integralen.


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Analytische Geometrie und lineare Algebra (G)


lineare Gleichungssysteme Darstellung und Untersuchung geometrischer Objekte Lagebeziehungen Skalarprodukt



stellen lineare Gleichungssysteme in Matrix-Vektor-Schreibweise dar,

beschreiben den Gau-Algorithmus als Lsungsverfahren fr lineareGleichungssysteme,

wenden den Gau-Algorithmus ohne digitale Werkzeuge auf Glei-chungssysteme mit maximal drei Unbekannten an, die mit geringemRechenaufwand lsbar sind,

interpretieren die Lsungsmenge von linearen Gleichungssystemen,

stellen Geraden und Strecken in Parameterform dar,

interpretieren den Parameter von Geradengleichungen im Sachkon-

text, stellen Ebenen in Parameterform dar,

untersuchen Lagebeziehungen zwischen zwei Geraden und zwischenGeraden und Ebenen,

berechnen Schnittpunkte von Geraden sowie Durchstopunkte vonGeraden mit Ebenenund deuten sie im Sachkontext,

deuten das Skalarprodukt geometrisch und berechnen es, untersuchen mit Hilfe des Skalarprodukts geometrische Objekte undSituationen im Raum (Orthogonalitt, Winkel- und Lngenberechnung).


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Stochastik (S)


Kenngren von Wahrscheinlichkeitsverteilungen Binomialverteilung Stochastische Prozesse



untersuchen Lage- und Streumae von Stichproben,

erlutern den Begriff der Zufallsgre an geeigneten Beispielen,

bestimmen den Erwartungswert und die Standardabweichung vonZufallsgren und treffen damit prognostische Aussagen,

verwenden Bernoulliketten zur Beschreibung entsprechender Zufalls-experimente,

erklren die Binomialverteilung und berechnen damit Wahrscheinlich-keiten,

beschreiben den Einfluss der Parameter n und p auf Binomialverteilun-gen und ihre graphische Darstellung,

nutzen Binomialverteilungen und ihre Kenngren zur Lsung vonProblemstellungen,

schlieen anhand einer vorgegebenen Entscheidungsregel aus einemStichprobenergebnis auf die Grundgesamtheit,

beschreiben stochastische Prozesse mithilfe von Zustandsvektorenund stochastischen bergangsmatrizen,

verwenden die Matrizenmultiplikation zur Untersuchung stochastischerProzesse (Vorhersage nachfolgender Zustnde, numerisches Bestim-

men sich stabilisierender Zustnde).


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2.4.2 Leistungskurs



Funktionen als mathematische Modelle Fortfhrungder Differentialrechnung Grundverstndnis des Integralbegriffs Integralrechnung



fhren Extremalprobleme durch Kombination mit Nebenbedingungenauf Funktionen einer Variablen zurck und lsen diese,

verwenden notwendige Kriterien und Vorzeichenwechselkriterien sowieweitere hinreichende Kriterien zur Bestimmung von Extrem- und Wen-depunkten,

beschreiben das Krmmungsverhalten des Graphen einer Funktion mitHilfe der 2. Ableitung,

interpretieren Parameter von Funktionen im Kontext und untersuchenihren Einfluss auf Eigenschaften von Funktionenscharen,

bestimmen Parameter einer Funktion mithilfe von Bedingungen, diesich aus dem Kontext ergeben (Steckbriefaufgaben),

bilden die Ableitungen weiterer Funktionen:

oPotenzfunktionen mit rationalen Exponenten,onatrliche Exponentialfunktion,oExponentialfunktionen mit beliebiger Basis,onatrliche Logarithmusfunktion,

deuten die Ableitung mithilfe der Approximation durch lineare Funktio-nen,

fhren Eigenschaften von zusammengesetzten Funktionen (Summe,Produkt, Verkettung) argumentativ auf deren Bestandteile zurck ,

wenden die Produkt- und Kettenregel zum Ableiten von Funktionen an,


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beschreiben die Eigenschaften von Exponentialfunktionen und be-grnden die besondere Eigenschaft der natrlichen Exponentialfunkti-on,

nutzen die natrliche Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion der na-trlichen Exponentialfunktion,

verwenden Exponentialfunktionen zur Beschreibung von Wachstums-und Zerfallsvorgngen und vergleichen die Qualitt der Modellierungexemplarisch mit einem begrenzten Wachstum,

interpretieren Produktsummen im Kontext als Rekonstruktion des Ge-samtbestandes oder Gesamteffektes einer Gre,

deuten die Inhalte von orientierten Flchen im Kontext,

skizzieren zu einer gegebenen Randfunktion die zugehrige Flchen-inhaltsfunktion,

erlutern und vollziehen an geeigneten Beispielen den bergang vonder Produktsumme zum Integral auf der Grundlage eines propdeuti-schen Grenzwertbegriffs,

erlutern den Zusammenhang zwischen nderungsrate und Inte-gralfunktion,

bestimmen Stammfunktionen ganzrationaler Funktionen, nutzen die natrliche Logarithmusfunktion als Stammfunktion der Funk-

tion:

,

nutzen die Intervalladditivitt und Linearitt von Integralen,

begrnden den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung unterVerwendung eines anschaulichen Stetigkeitsbegriffs,

bestimmen Integrale numerisch und mithilfe von gegebenen oderNachschlagewerken entnommenen Stammfunktionen,

ermitteln den Gesamtbestand oder Gesamteffekt einer Gre aus dernderungsrate oder der Randfunktion,

bestimmen Flcheninhalte und Volumina von Krpern, die durch dieRotation um die Abszisse entstehen, mit Hilfe von bestimmten und un-eigentlichen Integralen.


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Analytische Geometrie und lineare Algebra (G)


lineare Gleichungssysteme Darstellung und Untersuchung geometrischer Objekte Lagebeziehungen und Abstnde Skalarprodukt



stellen lineare Gleichungssysteme in Matrix-Vektor-Schreibweise dar,

beschreiben den Gau-Algorithmus als Lsungsverfahren fr lineareGleichungssysteme

wenden den Gau-Algorithmus ohne digitale Werkzeuge auf Glei-chungssysteme mit maximal drei Unbekannten an, die mit geringemRechenaufwand lsbar sind,

interpretieren die Lsungsmenge von linearen Gleichungssystemen,

stellen Geraden in Parameterform dar,

interpretieren den Parameter von Geradengleichungen im Sachkon-

text, stellen Ebenen in Koordinaten- und in Parameterform dar,

stellen geradlinig begrenzte Punktmengen in Parameterform dar,

untersuchen Lagebeziehungen zwischen Geraden und zwischen Ge-raden und Ebenen,

berechnen Schnittpunkte von Geraden sowie Durchstopunkte vonGeraden mit Ebenenund deuten sie im Sachkontext,

deuten das Skalarprodukt geometrisch und berechnen es, untersuchen mit Hilfe des Skalarprodukts geometrische Objekte und

Situationen im Raum (Orthogonalitt, Winkel- und Lngenberechnung),

stellen Ebenen in Normalenform dar und nutzen diese zur Orientierungim Raum,

bestimmen Abstnde zwischen Punkten, Geraden und Ebenen.


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Stochastik (S)


Kenngren von Wahrscheinlichkeitsverteilungen Binomialverteilung und Normalverteilung Testen von Hypothesen Stochastische Prozesse



untersuchen Lage- und Streumae von Stichproben,

erlutern den Begriff der Zufallsgre an geeigneten Beispielen,

bestimmen den Erwartungswert und die Standardabweichung vonZufallsgren und treffen damit prognostische Aussagen,

verwenden Bernoulliketten zur Beschreibung entsprechender Zufalls-experimente,

erklren die Binomialverteilung einschlielich der kombinatorischenBedeutung der Binomialkoeffizienten und berechnen damit Wahr-scheinlichkeiten,

beschreiben den Einfluss der Parameter n und p auf Binomialverteilun-gen und ihre graphische Darstellung,

nutzen die -Regeln fr prognostische Aussagen,

nutzen Binomialverteilungen und ihre Kenngren zur Lsung vonProblemstellungen,

interpretieren Hypothesentests bezogen auf den Sachkontext und dasErkenntnisinteresse,

beschreiben und beurteilen Fehler 1. und 2. Art,

unterscheiden diskrete und stetige Zufallsgren und deuten die Ver-teilungsfunktion als Integralfunktion,

untersuchen stochastische Situationen, die zu annhernd normalver-teilten Zufallsgren fhren,

beschreiben den Einfluss der Parameter und auf die Normalvertei-lung und die graphische Darstellung ihrer Dichtefunktion (GauscheGlockenkurve),


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beschreiben stochastische Prozesse mithilfe von Zustandsvektorenund stochastischen bergangsmatrizen,

verwenden die Matrizenmultiplikation zur Untersuchung stochastischerProzesse (Vorhersage nachfolgender Zustnde, numerisches Bestim-men sich stabilisierender Zustnde).


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3 Lernerfolgsberprfung und Leistungsbewer-tung

Erfolgreiches Lernen ist kumulativ. Entsprechend sind die Kompetenzer-wartungen im Kernlehrplan in der Regel in ansteigender Progression undKomplexitt formuliert. Dies erfordert, dass Lernerfolgsberprfungen da-rauf ausgerichtet sein mssen, Schlerinnen und Schlern Gelegenheit zugeben, Kompetenzen, die sie in den vorangegangenen Jahren erworbenhaben, wiederholt und in wechselnden Zusammenhngen unter Beweis zustellen. Fr Lehrerinnen und Lehrer sind die Ergebnisse der begleitendenDiagnose und Evaluation des Lernprozesses sowie des Kompetenzer-werbs Anlass, die Zielsetzungen und die Methoden ihres Unterrichts zuberprfen und ggf. zu modifizieren. Fr die Schlerinnen und Schlersollen ein den Lernprozess begleitendes Feedback sowie Rckmeldungenzu den erreichten Lernstnden eine Hilfe fr die Selbsteinschtzung sowieeine Ermutigung fr das weitere Lernen darstellen. Die Beurteilung vonLeistungen soll demnach grundstzlich mit der Diagnose des erreichtenLernstandes und Hinweisen zum individuellen Lernfortschritt verknpftsein.

Die Leistungsbewertung ist so anzulegen, dass sie den in den Fachkonfe-renzen gem Schulgesetz beschlossenen Grundstzen entspricht, dassdie Kriterien fr die Notengebung den Schlerinnen und Schlern transpa-

rent sind und die Korrekturen sowie die Kommentierungen den Lernendenauch Erkenntnisse ber die individuelle Lernentwicklung ermglichen. Da-zu gehren neben der Etablierung eines angemessenen Umgangs miteigenen Strken, Entwicklungsnotwendigkeiten und Fehlern insbeson-dere auch Hinweise zu individuell erfolgversprechenden allgemeinen undfachmethodischen Lernstrategien.

Im Sinne der Orientierung an den zuvor formulierten Anforderungen sindgrundstzlich alle in Kapitel 2 des Lehrplans ausgewiesenen Kompetenz-bereiche bei der Leistungsbewertung angemessen zu bercksichtigen.berprfungsformen schriftlicher, mndlicher und ggf. praktischer Art sol-

len deshalb darauf ausgerichtet sein, die Erreichung der dort aufgefhrtenKompetenzerwartungen zu berprfen. Ein isoliertes, lediglich auf Repro-duktion angelegtes Abfragen einzelner Daten und Sachverhalte alleinkann dabei den zuvor formulierten Ansprchen an die Leistungsfeststel-lung nicht gerecht werden.

Die rechtlich verbindlichen Grundstze der Leistungsbewertung sind imSchulgesetz sowie in der Ausbildungs- und Prfungsordnung fr die gym-nasiale Oberstufe (APO-GOSt) dargestellt. Demgem sind bei der Leis-


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tungsbewertung von Schlerinnen und Schlern erbrachte Leistungen inden Beurteilungsbereichen Schriftliche Arbeiten/Klausurensowie Sons-tige Leistungen im Unterricht/Sonstige Mitarbeitentsprechend den in der

APO-GOSt angegebenen Gewichtungen zu bercksichtigen. Dabei be-zieht sich die Leistungsbewertung insgesamt auf die im Zusammenhangmit dem Unterricht erworbenen Kompetenzen und nutzt unterschiedlicheFormen der Lernerfolgsberprfung.

Hinsichtlich der einzelnen Beurteilungsbereiche sind die folgenden Rege-lungen zu beachten:

Beurteilungsbereich Schriftliche Arbeiten/Klausuren

Fr den Einsatz in Klausuren kommen im Wesentlichen berprfungsfor-menggf. auch in Kombinationin Betracht, die im letzten Abschnitt die-ses Kapitels aufgefhrt sind. Die Schlerinnen und Schler mssen mitden berprfungsformen, die im Rahmen von Klausuren eingesetzt wer-den, vertraut sein und rechtzeitig sowie hinreichend Gelegenheit zur An-wendung haben.

ber ihre unmittelbare Funktion als Instrument der Leistungsbewertunghinaus sollen Klausuren im Laufe der gymnasialen Oberstufe auch zu-nehmend auf die inhaltlichen und formalen Anforderungen des schriftli-chen Teils der Abiturprfungen vorbereiten. Dazu gehrt u.a. auch die

Schaffung angemessener Transparenz im Zusammenhang mit einer krite-riengeleiteten Bewertung. Beispiele fr Prfungsaufgaben und Auswer-tungskriterien sowie Konstruktionsvorgaben und Operatorenbersichtenknnen im Internet auf den Seiten des Schulministeriums abgerufen wer-den.

Da in Klausuren neben der Verdeutlichung des fachlichen Verstndnissesauch die Darstellung bedeutsam ist, muss diesem Sachverhalt bei derLeistungsbewertung hinreichend Rechnung getragen werden. GehufteVerste gegen die sprachliche Richtigkeit fhren zu einer Absenkung derNote gem APO-GOSt. Abzge fr Verste gegen die sprachliche Rich-

tigkeit sollen nicht erfolgen, wenn diese bereits bei der Darstellungsleis-tung fachspezifisch bercksichtigt wurden.

In der Qualifikationsphase wird nach Festlegung durch die Schule eineKlausur durch eine Facharbeit ersetzt. Facharbeiten dienen dazu, dieSchlerinnen und Schler mit den Prinzipien und Formen selbststndigen,wissenschaftspropdeutischen Lernens vertraut zu machen. Die Fachar-beit ist eine umfangreichere schriftliche Hausarbeit und selbststndig zuverfassen. Umfang und Schwierigkeitsgrad der Facharbeit sind so zu ge-


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stalten, dass sie ihrer Wertigkeit im Rahmen des BeurteilungsbereichsSchriftliche Arbeiten/Klausuren gerecht wird. Grundstze der Leistungs-bewertung von Facharbeiten regelt die Schule. Die Verpflichtung zur An-

fertigung einer Facharbeit entfllt bei Belegung eines Projektkurses.

Im Fach Mathematik gehrt zu den Kompetenzen der Schlerinnen undSchler, die zum Lsen einzusetzenden Werkzeuge sinnvoll einzusetzen(vgl. Kapitel 2.2). Dies bedeutet auch, einige Problemstellungen ohneHilfsmittel lsen zu knnen. In den schriftlichen Arbeiten/Klausuren solltediese Kompetenz einen entsprechenden Stellenwert erhalten.

In den Klausuren ist auf eine formal und fachsprachlich korrekte Darstel-lung und fachlich vollstndige Argumentation zu achten. Insbesonderebeim Gebrauch digitaler Werkzeuge ist eine nachvollziehbare und voll-

stndige Kommentierung der Arbeitsschritte zwingend erforderlich.

Beurteilungsbereich Sonstige Leistungen im Unterricht/SonstigeMitarbeit

Im Beurteilungsbereich Sonstige Leistungen im Unterricht/Sonstige Mitar-beit knnenneben den nachfolgend aufgefhrten berprfungsformenvielfltige weitere zum Einsatz kommen, fr die kein abschlieender Ka-talog festgesetzt wird. Im Rahmen der Leistungsbewertung gelten auch frdiese die oben ausgefhrten allgemeinen Ansprche der Lernerfolgsber-

prfung und Leistungsbewertung. Im Verlauf der gymnasialen Oberstufeist auch in diesem Beurteilungsbereich sicherzustellen, dass Formen, dieim Rahmen der Abiturprfungen insbesondere in den mndlichen Pr-fungenvon Bedeutung sind, frhzeitig vorbereitet und angewendet wer-den.

Zu den Bestandteilen der Sonstigen Leistungen im Unterricht/SonstigenMitarbeit" zhlen u.a. unterschiedliche Formen der selbststndigen undkooperativen Aufgabenerfllung, Beitrge zum Unterricht, von der Lehr-kraft abgerufene Leistungsnachweise wie z.B. die schriftliche bung, vonder Schlerin oder dem Schler vorbereitete, in abgeschlossener Form

eingebrachte Elemente zur Unterrichtsarbeit, die z.B. in Form von Prsen-tationen, Protokollen, Referaten, Lerntagebchern und Portfolios mglichwerden. Schlerinnen und Schler bekommen durch die Verwendung ei-ner Vielzahl von unterschiedlichen berprfungsformen vielfltige Mg-lichkeiten, ihre eigene Kompetenzentwicklung darzustellen und zu doku-mentieren.

Der Bewertungsbereich Sonstige Leistungen im Unterricht/Sonstige Mit-arbeit erfasst die im Unterrichtsgeschehen durch mndliche, schriftliche


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und ggf. praktische Beitrge sichtbare Kompetenzentwicklung der Schle-rinnen und Schler. Der Stand der Kompetenzentwicklung in der Sonsti-gen Mitarbeit wird sowohl durch Beobachtung whrend des Schuljahres

(Prozess der Kompetenzentwicklung) als auch durch punktuelle berpr-fungen (Stand der Kompetenzentwicklung) festgestellt.

Im Fach Mathematik ist besonders darauf zu achten, dass fehlerhafte Un-terrichtsbeitrge in Erarbeitungs- und bungsphasen nicht zum Anlasspunktueller Abwertung genommen, sondern produktiv fr den individuellenund generellen Lernfortschritt genutzt werden.

berprfungsformen

Die Kompetenzerwartungen des Kernlehrplans ermglichen eine Vielzahlvon berprfungsformen. Im Verlauf der gesamten gymnasialen Oberstu-fe sollauch mit Blick auf die individuelle Frderung ein mglichst brei-tes Spektrum der genannten Formen in schriftlichen oder mndlichen oderpraktischen Kontexten zum Einsatz gebracht werden. Darber hinausknnen weitere berprfungsformen nach Entscheidung der Lehrkrafteingesetzt werden. Wichtig fr die Nutzung der berprfungsformen imRahmen der Leistungsbewertung ist es, dass sich die Schlerinnen undSchler zuvor im Rahmen von Anwendungssituationen hinreichend mitdiesen vertraut machen konnten.

Grundstzlich sind alle in Kapitel 2 des Lehrplans ausgewiesenen pro-zessbezogenen Kompetenzbereiche Modellieren, Problemlsen, Ar-gumentieren, Kommunizieren und Werkzeuge nutzen in Verbindungmit den jeweiligen Inhaltsfeldern Funktionen und Analysis, Lineare Al-gebra und analytische Geometrie und Stochastik bei der Leistungsbe-wertung angemessen zu bercksichtigen.

Im Fach Mathematik ist auf eine formal und fachsprachlich korrekte Dar-stellung, fachlich vollstndige Argumentation sowie auf eine nachvollzieh-bare und vollstndige Kommentierung der Arbeitsschritte zu achten.

Im Folgenden werden mgliche Aufgabentypen beschrieben, welche so-wohl die in Kapitel 2 aufgefhrten prozessbezogenen Kompetenzen alsauch die den Inhaltsfeldern Analysis, Lineare Algebra und analytische Ge-ometrie und Stochastik zugeordneten inhaltsbezogenen Kompetenzenangemessen bercksichtigen. Diese eignen sich zum Einsatz im Unterrichtals Lernaufgaben sowie als berprfungsformen. Die nachfolgende Auf-zhlung ist nicht abschlieend.


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Aufgabentypen zur Leistungs-berprfung und Unterrichtsge-staltung

Beispiele und Anregungen

Aufgabe mit realittsnahem Kontext

Ordnen, Strukturieren, Darstellenrealer Zusammenhnge

Modellierungen, Simulationen, Vari-ation der Ausgangsbedingungenoder von Parametern

Auswhlen, Aufstellen und Begrn-den geeigneter mathematischerModelle

Mglichkeiten und Grenzen von

Modellierungen, Vereinfachung vonAnnahmen, Vergleich funktionalerAnstze

Innermathematische Argumentati-onsaufgabe

Begriffe, Lehrstze und Algorithmenauswhlen und anwenden, Beweiseerlutern oder fhren

Verallgemeinern mathematischerSachverhalte

Zusammenhnge zwischen mathe-matischen Stzen herstellen und

erlutern

Fehler analysieren

Vernetzen von elementargeometri-schen Stzen und analytischen Zu-gngen

Hilfsmittelfrei zu bearbeitende Auf-gabe

Interpretationen, Argumentationen,Beurteilungen aus allen Inhaltsfel-dern

Argumentation anhand von vorge-

geben Graphen und Grafiken

Bei Darstellungswechseln entspre-chende Zuordnungen vornehmen

Definition/unmittelbare Anwendungoder Veranschaulichung fundamen-taler Begriffe, von Regeln, Algorith-men, Lsungsverfahren einfacherGleichungen ohne oder mit gerin-


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gem Rechenaufwand

Einfache Rechnungen,

Offene Aufgabe Kein offensichtlicher LsungswegEntwickeln und Darstellen von L-sungsstrategien

Geschlossene Aufgabe

Erkennbarer oder vorgegebenerLsungsweg

Umkehrung von gegebenen L-sungswegen

Anwenden von Algorithmen

Interpretation vorgegebener Ergeb-nisse

Explorative Aufgabe

Anspruchsvolle und herausfordern-de Lernsituationen mit geeignetenHilfestellungen erforschen

Regelmigkeiten und Zusammen-hnge durch Simulationen, Variatio-nen von Parametern und grafischenDarstellungen entdecken und be-grnden

Auswahlaufgabe

Aufgaben mit mehreren vorgegebe-nen Lsungen, von denen mindes-tens eine richtig ist

Auswahl begrnden, Alternativenwiderlegen

Vernetzende Aufgabe

Inhaltsfeld bergreifende Aufgaben

Optimierung von Abstnden

Analytische Untersuchungen steti-ger Verteilungsfunktionen

Stochastische Prozesse mit analyti-schen Anstzen verknpfen

Prsentationsaufgabe

Prsentationen, Referate, Adressa-tenbezogene Erluterungen

Exposee, Statement

Kurzvortrag zu konkret umrissenerAufgabenstellung


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DokumentationsaufgabePortfolio, Lerntagebcher

Dokumentation von Recherchen


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4 Abiturprfung

Die allgemeinen Regelungen zur schriftlichen und mndlichen Abiturpr-fung, mit denen zugleich die Vereinbarungen der Kultusministerkonferenzumgesetzt werden, basieren auf dem Schulgesetz sowie dem entspre-chenden Teil der Ausbildungs- und Prfungsordnung fr die gymnasialeOberstufe.

Fachlich beziehen sich alle Teile der Abiturprfung auf die in Kapitel 2 die-ses Kernlehrplans fr das Ende der Qualifikationsphase festgelegtenKompetenzerwartungen. Bei der Lsung schriftlicher wie mndlicher Abi-turaufgaben sind generell Kompetenzen nachzuweisen, die im Unterrichtder gesamten Qualifikationsphase erworben wurden und deren Erwerb invielfltigen Zusammenhngen angelegt wurde.

Die jhrlichen Vorgaben zu den unterrichtlichen Voraussetzungen fr dieschriftlichen Prfungen im Abitur in der gymnasialen Oberstufe (Abitur-vorgaben), die auf den Internetseiten des Schulministeriums abrufbar sind,konkretisieren den Kernlehrplan, soweit dies fr die Schaffung landesweiteinheitlicher Bezge fr die zentral gestellten Abiturklausuren erforderlichist. Die Verpflichtung zur Umsetzung des gesamten Kernlehrplans bleibthiervon unberhrt.

Im Hinblick auf die Anforderungen im schriftlichen und mndlichen Teil derAbiturprfungen ist grundstzlich von einer Strukturierung in drei Anforde-rungsbereiche auszugehen, die die Transparenz bezglich des Selbst-stndigkeitsgrades der erbrachten Prfungsleistung erhhen soll.

Anforderungsbereich I umfasst das Wiedergeben von Sachverhaltenund Kenntnissen im gelernten Zusammenhang, die Verstndnissiche-rung sowie das Anwenden und Beschreiben gebter Arbeitstechnikenund Verfahren.

Anforderungsbereich IIumfasst das selbststndige Auswhlen, Anord-

nen, Verarbeiten, Erklren und Darstellen bekannter Sachverhalte un-ter vorgegebenen Gesichtspunkten in einem durch bung bekanntenZusammenhang und das selbststndige bertragen und Anwendendes Gelernten auf vergleichbare neue Zusammenhnge und Sachver-halte.

Anforderungsbereich IIIumfasst das Verarbeiten komplexer Sachver-halte mit dem Ziel, zu selbststndigen Lsungen, Gestaltungen oderDeutungen, Folgerungen, Verallgemeinerungen, Begrndungen und


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Wertungen zu gelangen. Dabei whlen die Schlerinnen und Schlerselbststndig geeignete Arbeitstechniken und Verfahren zur Bewlti-gung der Aufgabe, wenden sie auf eine neue Problemstellung an und

reflektieren das eigene Vorgehen.

Fr alle Fcher gilt, dass die Aufgabenstellungen in schriftlichen undmndlichen Abiturprfungen alle Anforderungsbereiche bercksichtigenmssen, der Anforderungsbereich II aber den Schwerpunkt bildet.

Fachspezifisch ist die Ausgestaltung der Anforderungsbereiche an denKompetenzerwartungen des jeweiligen Kurstyps zu orientieren. Fr dieAufgabenstellungen werden die fr Abiturprfungen geltenden Operatorendes Faches verwendet, die in einem fr die Prflinge nachvollziehbarenZusammenhang mit den Anforderungsbereichen stehen.

Die Bewertung der Prfungsleistung erfolgt jeweils auf einer zuvor festge-legten Grundlage, die im schriftlichen Abitur aus dem zentral vorgegebe-nen kriteriellen Bewertungsraster, im mndlichen Abitur aus dem im Fach-prfungsausschuss abgestimmten Erwartungshorizont besteht. bergrei-fende Bewertungskriterien fr die erbrachten Leistungen sind die Komple-xitt der Gegenstnde, die sachliche Richtigkeit und die Schlssigkeit derAussagen, die Vielfalt der Gesichtspunkte und ihre jeweilige Bedeutsam-keit, die Differenziertheit des Verstehens und Darstellens, das Herstellengeeigneter Zusammenhnge, die Eigenstndigkeit der Auseinanderset-zung mit Sachverhalten und Problemstellungen, die argumentative Be-grndung eigener Urteile, Stellungnahmen und Wertungen, die Selbst-stndigkeit und Klarheit in Aufbau und Sprache, die Sicherheit im Umgangmit Fachsprache und -methoden sowie die Erfllung standardsprachlicherNormen.

Hinsichtlich der einzelnen Prfungsteile sind die folgenden Regelungen zubeachten:

Schriftliche Abiturprfung

Die Aufgaben fr die schriftliche Abiturprfung werden landesweit zentralgestellt. Alle Aufgaben entsprechen den ffentlich zugnglichen Konstruk-tionsvorgaben und nutzen die fachspezifischen Operatoren. Beispiele frAbiturklausuren sind fr die Schulen auf den Internetseiten des Schulmi-nisteriums abrufbar.

Fr die schriftliche Abiturprfung enthalten die aufgabenbezogenen Unter-lagen fr die Lehrkraft jeweils Hinweise zu Aufgabenart und zugelassenenHilfsmitteln, die Aufgabenstellung, die Materialgrundlage, die Bezge zum


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Kernlehrplan und zu den Abiturvorgaben, die Vorgaben fr die Bewertungder Schlerleistungen sowie den Bewertungsbogen zur Prfungsarbeit.Die Anforderungen an die zu erbringenden Klausurleistungen werden

durch das zentral gestellte kriterielle Bewertungsraster definiert.

Die Bewertung erfolgt ber Randkorrekturen sowie das ausgefllte Bewer-tungsraster, mit dem die Gesamtleistung dokumentiert wird. Fr die Be-rcksichtigung gehufter Verste gegen die sprachliche Richtigkeit gel-ten die Regelungen aus Kapitel 3 analog auch fr die schriftliche Abitur-prfung.

Im Fach Mathematik gelten darber hinaus die nachfolgenden Regelun-gen:

Die schriftliche Abiturprfung besteht aus mehreren unabhngig vonei-nander bearbeitbaren Aufgaben. Jede Aufgabe kann in Teilaufgaben ge-gliedert sein, die jedoch nicht beziehungslos nebeneinander stehen sollen.Eine Ausnahme hiervon bilden Hilfsmittel freie Aufgaben. Die Teilaufgabeneiner Aufgabe sollen so unabhngig voneinander sein, dass eine Fehlleis-tung insbesondere am Anfang nicht die weitere Bearbeitung der Auf-gabe stark erschwert. Falls erforderlich, knnen Zwischenergebnisse inder Aufgabenstellung enthalten sein. Auf ein ausgewogenes Verhltniszwischen innermathematischen und realittsnahen Aufgabenstellungen istzu achten. Die Prfungsaufgaben insgesamt knnen alle drei Inhaltsfelderbercksichtigen.

Mndliche Abiturprfung

Die Aufgaben fr die mndliche Abiturprfung werden dezentral durch dieFachprferin bzw. den Fachprfer im Einvernehmen mit dem jeweiligenFachprfungsausschussgestellt. Dabei handelt es sich um jeweils neue,begrenzte Aufgaben, die dem Prfling einschlielich der ggf. notwendigenTexte und Materialien fr den ersten Teil der mndlichen Abiturprfung inschriftlicher Form vorgelegt werden. Die Aufgaben fr die mndliche Abi-turprfung insgesamt sind so zu stellen, dass sie hinreichend breit ange-

legt sind und sich nicht ausschlielich auf den Unterricht eines Kurshalb-jahres beschrnken, umfangreiche Rechnungen sind zu vermeiden. DieBercksichtigung aller Anforderungsbereiche soll eine Beurteilung ermg-lichen, die das gesamte Notenspektrum umfasst. Auswahlmglichkeitenfr die Schlerin bzw. den Schler bestehen nicht. Der Erwartungshorizontist zuvor mit dem Fachprfungsausschuss abzustimmen.

Der Prfling soll in der Prfung, die in der Regel mindestens 20, hchstens30 Minuten dauert, in einem ersten Teil selbststndig die vorbereiteten


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Ergebnisse zur gestellten Aufgabe in zusammenhngendem Vortrag pr-sentieren. In einem zweiten Teil sollen vor allem grere fachliche undfachbergreifende Zusammenhnge in einem Prfungsgesprch ange-

sprochen werden. Es ist nicht zulssig, zusammenhanglose Einzelfragenaneinander zu reihen.

Bei der Bewertung mndlicher Prfungen liegen der im Fachprfungsaus-schuss abgestimmte Erwartungshorizont sowie die eingangs dargestelltenbergreifenden Kriterien zu Grunde. Die Prferin oder der Prfer schlgtdem Fachprfungsausschuss eine Note, ggf. mit Tendenz, vor. Die Mit-glieder des Fachprfungsausschusses stimmen ber diesen Vorschlag ab.

Fachspezifisch gelten darber hinaus die nachfolgenden Regelungen:

Die Prfungsaufgabe bezieht sich auf mindestens zwei der im Kernlehr-plan genannten Inhaltsfelder Funktionen und Analysis, Analytische Ge-ometrie und Lineare Algebra und Stochastik. Absprachen mit dem Prf-ling ber die Inhaltsfelder sind nicht zulssig. Fr den ersten Prfungsteilempfiehlt es sich, dass der Prfling fr seine Ergebnisse bzw. zentraleAspekte seines Vortrages whrend der Vorbereitungszeit eine Vortrags-sttze erstellt. Eingefhrte Hilfsmittel sind grundstzlich zugelassen.

Besondere Lernleistung

Schlerinnen und Schler knnen in die Gesamtqualifikation eine beson-dere Lernleistung einbringen, die im Rahmen oder Umfang eines mindes-tens zwei Halbjahre umfassenden Kurses erbracht wird. Als besondereLernleistung knnen ein umfassender Beitrag aus einem von den Lnderngefrderten Wettbewerb, die Ergebnisse des Projektkurses oder einesumfassenden fachlichen oder fachbergreifenden Projektes gelten.

Die Absicht, eine besondere Lernleistung zu erbringen, muss sptestenszu Beginn des zweiten Jahres der Qualifikationsphase bei der Schule an-gezeigt werden. Die Schulleiterin oder der Schulleiter entscheidet in Ab-stimmung mit der Lehrkraft, die als Korrektor vorgesehen ist, ob die vorge-

sehene Arbeit als besondere Lernleistung zugelassen werden kann. DieArbeit ist sptestens bis zur Zulassung zur Abiturprfung abzugeben, nachden Mastben und dem Verfahren fr die Abiturprfung zu korrigierenund zu bewerten. Ein Rcktritt von der besonderen Lernleistung muss biszur Entscheidung ber die Zulassung zur Abiturprfung erfolgt sein.

In einem Kolloquium von in der Regel 30 Minuten, das im Zusammenhangmit der Abiturprfung nach Festlegung durch die Schulleitung stattfindet,stellt der Prfling vor einem Fachprfungsausschuss die Ergebnisse der


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besonderen Lernleistung dar, erlutert sie und antwortet auf Fragen. DieEndnote wird aufgrund der insgesamt in der besonderen Lernleistung undim Kolloquium erbrachten Leistungen gebildet; eine Gewichtung der Teil-

leistungen findet nicht statt. Bei Arbeiten, an denen mehrere Schlerinnenund Schler beteiligt werden, muss die individuelle Schlerleistung er-kennbar und bewertbar sein.

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