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Mathematik für Elektroniker
1. und 2. Lehrjahr
von
Alexander Wenk
© Alexander Wenk
Inhaltsverzeichnis
Textgleichungen __________________________________________________________ 1 Beispiel _________________________________________________________________________ 1 Weitere Aufgaben _________________________________________________________________ 2
Gleichungen mit 2 Unbekannten _______________________________________________ 4 Substitutionsmethode (Einsetzungsmethode) ____________________________________________ 4 Additions- und Subtraktionsmethode __________________________________________________ 4 Gleichsetzungsmethode _____________________________________________________________ 5 Lösbarkeit von Gleichungssystemen ___________________________________________________ 5
Gleichungen mit 3 und mehr Unbekannten _______________________________________ 7
Trigonometrie ____________________________________________________________ 8
Winkel- und Bogenmass ______________________________________________________ 8
Die Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck ________________________________ 10 Die Sinusfunktion sin() ___________________________________________________________ 10 Die Cosinusfunktion cos() ________________________________________________________ 12 Die Tangensfunktion tan() ________________________________________________________ 14 Die Cotangensfunktion cot() _______________________________________________________ 15 Übung zu den Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck _______________________________ 16
Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen ________________________ 17
Funktionenlehre _________________________________________________________ 19
Abbildungen, Relationen und Funktionen _______________________________________ 19 Relationen ______________________________________________________________________ 19 Funktionen ______________________________________________________________________ 20
Funktionstypen _____________________________________________________________ 20
Darstellung von Funktionen __________________________________________________ 21
Darstellungsarten von Funktionen _____________________________________________ 22 Darstellung durch eine Gleichung ____________________________________________________ 22 Darstellung durch Wertetabelle ______________________________________________________ 22 Darstellung im Koordinatensystem (Graph) ____________________________________________ 22 Übungen zu den Funktionen ________________________________________________________ 23
Grundlegende mathematische Funktionen ______________________________________ 25 Die lineare Funktion ______________________________________________________________ 25
Die Bedeutung der Konstanten a __________________________________________________ 25 Die Bedeutung der Konstanten b __________________________________________________ 27 Die Bestimmung der Geradengleichung ____________________________________________ 28 Der Schnittpunkt zweier Geraden _________________________________________________ 30
Die quadratische Funktion __________________________________________________________ 32 Die Bedeutung der Konstanten a __________________________________________________ 32 Die Bedeutung der Konstanten b und c _____________________________________________ 33 Berechnung des Scheitelpunktes __________________________________________________ 34 Bestimmung der Nullstellen einer Parabel (resp. quadratischen Gleichung) _________________ 35 Gleichungen 2. Grades (Quadratische Gleichung) _____________________________________ 37
Die Potenzfunktionen _____________________________________________________________ 40 Die Exponentialfunktion und die logarithmische Funktion _________________________________ 41
Längen-, Flächen- und Volumenberechnungen ________________________________ 46
Berechnungen an Vierecken __________________________________________________ 46
Berechnungen am Dreieck ___________________________________________________ 47
Der Satz des Pythagoras ___________________________________________________________ 48
Der Kreis __________________________________________________________________ 48
Berechnungen an Säulen _____________________________________________________ 49 Der Quader _____________________________________________________________________ 49 Der Zylinder ____________________________________________________________________ 49
Die Kugel __________________________________________________________________ 49
Volumen von Pyramide und Kegel _____________________________________________ 50
Berechnung allgemeines Dreieck ___________________________________________ 54
Der Sinussatz ______________________________________________________________ 55
Der Cosinussatz ____________________________________________________________ 56
Beispiele ___________________________________________________________________ 57
Vektorrechnung _________________________________________________________ 51
Definition eines Vektors ______________________________________________________ 51
Addition von Vektoren ______________________________________________________ 52
Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl oder Skalar ___________________________ 52
Subtraktion von Vektoren ____________________________________________________ 53
Skalarprodukt _____________________________________________________________ 53
Logarithmieren __________________________________________________________ 42
Spezielle Logarithmen _______________________________________________________ 42
Logarithmengesetze _________________________________________________________ 43
Übungen zu Logarithmen ____________________________________________________ 45
Anwendung von Logarithmen ________________________________________________ 54 Kaptitalwachstum - Die Zinseszinsrechnung ___________________________________________ 58 Dezibel - Pegelangaben in der Elektrotechnik ___________________________________________ 59
Das Rechnen mit Potenzen _________________________________________________ 61
Addition und Subtraktion ____________________________________________________ 61
Multiplikation ______________________________________________________________ 61
Division ___________________________________________________________________ 62
Potenzieren von Potenzen ____________________________________________________ 62
Das Rechnen mit Wurzelausdrücken (Radizieren) ________________________________ 63
Alter Stoff: ______________________________________________________________ 65 Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen __________________________________________ 65
Funktionenlehre alter Teil ____________________________________________________ 67
Mathematik Alexander Wenk Seite 1
Textgleichungen
Aufgaben mit textlich formulierten Zusammenhängen lassen sich mit
Gleichungen lösen. Einen allgemein gültigen Lösungsweg in Form einer
Regel gibt es für diese Art von Aufgaben im Allgemeinen nicht. Die Kunst
besteht darin, den Text in die Gleichung überzuführen.
Vom vorgesehenen Sachverhalt her lassen sich jedoch bestimmte Gruppen
von Aufgaben (Mischaufgaben, Bewegungsaufgaben, Behälteraufgaben etc.)
zusammenstellen, für die gemeinsame Gesichtspunkte für das Aufstellen von
Bestimmungsgleichungen gelten.
Die Lösung solcher Aufgaben erfolgt in der Regel in folgenden Schritten:
1. Feststellung, nach welcher Grösse in der Aufgabe gefragt ist.
2. Einführung einer Variablen x für die gesuchte Grösse
3. Aufstellung einer Bestimmungsgleichung entsprechend der Vorgaben.
Dabei darf nur Gleiches gleichgesetzt werden.
Beispiel
Ein Bauer verkauft dem ersten Kunden die Hälfte seiner Melonen und schenkt
ihm noch eine halbe. Dem zweiten Kunden verkauft er die Hälfte der
restlichen Melonen und schenkt ihm ebenfalls eine halbe. Die verbliebene
Melone isst er selbst.
Wieviele Melonen hatte der Bauer ursprünglich?
Lösung:
Mathematik Alexander Wenk Seite 2
Weitere Aufgaben
1. Ein 60 m langer Güterzug fährt mit 72 km/h an einem 120 m langen in
gleicher Richtung fahrenden Personenzug vorbei. Die Begegnung dauert 18
Sekunden.
Welche Geschwindigkeit hat der Personenzug?
36 km/h
2. Zwei Zahlen, deren Differenz 16 beträgt, ergeben zusammen 92. Welches
sind die Zahlen?
x-y = 16; x+y = 92→ x=54; y=38
3. Ein Dreieck hat zwei Winkel 36° und 48°. Berechne den dritten Winkel.
96°
4. Wenn man zur Länge einer Strecke 15.4 m addiert so erhält man 73.8 m.
Wie lang ist die Strecke?
58.4 m
5. Der Weg von A über B nach C beträgt 72 km. B liegt von C fünfmal so weit
entfernt wie B von A. D liegt von C dreimal so weit entfernt wie B von A.
Wie weit ist es von A nach D?
108 km
Mathematik Alexander Wenk Seite 3
6. Zwei Radfahrer A und B fahren von zwei Orten, deren Entfernung 132 km
beträgt, gleichzeitig einander entgegen. A legt in der Stunde 18 km zurück, B
21 km. Nach wie viel Stunden begegnen sie einander? Wie weit sind sie dann
vom Startort des Radfahrers A entfernt?
3h23‘4“ / 60.92 km
7. Addiert man zur Hälfte eines Kapitals 45 Fr., so erhält man das Dreifache
des Kapitals, vermindert um 510 Fr. Wie gross ist das Kapital?
222 Fr.
8. Zwei Wanderer marschieren von A nach B. Der erste legt 80 m/min, der
zweite 72 m/min zurück. Der zweite Wanderer startet 10 min früher. Wie viele
Minuten nach Aufbruch des ersten Wanderers werden sie sich treffen?
90 min
9. Ein Vater ist 40 Jahre, sein Sohn 15 Jahre alt. Nach wie vielen Jahren ist der
Vater doppelt so alt wie sein Sohn?
10 Jahre
Mathematik Alexander Wenk Seite 4
Gleichungen mit 2 Unbekannten Wir sind mittlerweile schon öfters auf Gleichungssysteme gestossen, wo mehr
als eine Variable unbekannt waren. Lasst uns also in diesem Kapitel
betrachten, was für Bedingungen solche Systeme erfüllen müssen und wie wir
systematisch zu einer Lösung kommen.
Welche Regeln gelten beim Lösen solcher Gleichungssysteme?
• Es müssen gleich viele Gleichungen wie Unbekannte
vorhanden sein
• Diese Gleichungen dürfen nicht voneinander abhängig
sein.
Folgendes Gleichungssystem erfüllt diese Bedingungen und wird uns zur
Erklärung der drei Lösungsvarianten dienen:
2x - 11y = -95
x - 3y = 0
Substitutionsmethode (Einsetzungsmethode)
Bei dieser Methode soll eine Unbekannte durch einen Gleichungsausdruck
ersetzt werden. Eine der Gleichungen wird nach der zu ersetzenden
Unbekannten umgeformt und in die zweite Gleichung eingesetzt. Daraus
erhalten wir die Gleichung für eine Unbekannte:
2x - 11y = -95
x - 3y = 0 → x = 3y
23y - 11y = -95
-5y = -95 → y = 19
Die andere Unbekannte erhalten wir, indem wir die Lösung für die eine
Unbekannte in die umgeformte Gleichung einsetzen.
x = 3y = 319 → x = 57
Additions- und Subtraktionsmethode
Da Gleichungen, wie das Wort selbst schon verrät, auf beiden Seiten des
Gleichheitszeichens gleich sind, dürfen wir auch ganze Gleichungen addieren
oder subtrahieren. Machen wir dies auf geschickte Art, so fällt im Ergebnis
eine Unbekannte heraus:
Mathematik Alexander Wenk Seite 5
2x - 11y = -95
x - 3y = 0 | (-2)
2x - 11y = -95
-2x + 6y = 0
-5y = -95 → y = 19 Die 2. Unbekannte erhalten wir durch Wiederholung dieses Verfahrens, indem
wir die Gleichung so umstellen, dass die andere Unbekannte herausfällt, oder
wir setzen das Ergebnis in eine der beiden Grundgleichungen ein:
x - 319 = 0 → x = 319 = 57
Gleichsetzungsmethode
Diese Methode ähnelt der Substitutionsmethode. Hier wird aber auch die
zweite Gleichung nach der zu ersetzenden Unbekannten aufgelöst.
Anschliessend werden die beiden Gleichungen einander gleichgesetzt:
2x - 11y = -95 → x = (-95 + 11y)/2
x - 3y = 0 → x = 3y
3y = (-95 + 11y)/2 | 2
6y = (-95 + 11y) | +95 -6y
95 = 5y →y = 19
Die 2. Unbekannte erhalten wir durch Einsetzen in eine der beiden
Gleichungen: x = 319 = 57
Lösbarkeit von Gleichungssystemen
Nicht jedes Gleichungssystem gibt eine Lösung für die Unbekannten. Zwei
Beispiele sollen dies verdeutlichen:
x + y = 3 x = 3 - y
2x + 2y = 6 2x = 6 - 2y x = 3 - y
3 - y = 3 - y → 0 = 0 Gleichungen sind voneinander
abhängig und machen dieselbe Aussage! Es gibt deshalb
unendlich viele Lösungen.
Mathematik Alexander Wenk Seite 6
x + y = 3 y = 3 - x
x + y = 5 y = 5 - x 3 - x = 5 - x | +x
3 = 5 → Ungleichung bedeutet: Keine Lösung resp. kein
Schnittpunkt der beiden Geraden (Parallelität)
y - x = 1 y = 1 + x
y + x = 3 y = 3 - x
1 + x = 3 – x | +x -1
2x = 2 → x = 1
y = 1 + x → y = 2
Wir konnten eine eindeutige Lösung finden! Dieses System
ist folglich lösbar.
Übungen: Mathematik leicht gemacht S. 287 Nr. 4.28 a, f, i; 4.29 a, d;
4.30 b, i; 4.31 a, f; S. 288 Nr. 4.32 a, b, d
Mathematik Alexander Wenk Seite 7
Gleichungen mit 3 und mehr Unbekannten Es gibt auch Gleichungssysteme mit mehr als 2 Unbekannten. Ein Beispiel
wäre ein verzweigtes Widerstandsnetz: Wir könnten dort als Unbekannte
Spannungen und Ströme suchen. Dies kann leicht ein System mit 10
Unbekannten geben. Nun, überlassen wir das Auflösen von solchen Systemen
Simulationsprogrammen wie Tina, und schauen uns zunächst ein System mit 3
Unbekannten an. Es gilt nach wie vor:
Wir benötigen so viele Gleichungen wie Unbekannte vorhanden sind, um das
System zu lösen.
Das Lösungsverfahren ist gleich wie bei zwei Unbekannten. Nur machen wir
zunächst aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten zwei Gleichungen mit
zwei Unbekannten usw.
Das Verfahren ist natürlich aufwendiger. Schauen wir uns das aber an einem
Beispiel an. (4.33 b)
2x + y – 3z = 9
3x + 2y – z = 24 → z = 3x + 2y - 24
4x – 3y + 3z = 1
Wir nehmen zunächst eine günstige Gleichung aus dem System heraus und
eliminieren damit eine Variable in den anderen beiden:
2x + y – 3z = 9 2x + y – 3(3x + 2y - 24) = 9
4x – 3y + 3z = 1 4x – 3y + 3(3x + 2y - 24) = 1
2x + y – (9x + 6y - 72) = 9 → - 7x – 5y = - 63
4x – 3y + (9x + 6y - 72) = 1 → 13x + 3y = 73
Nun lösen wir das resultierende System mit zwei Unbekannten wie gehabt:
- 7x – 5y = - 63 → y = (63 – 7x)/5
13x + 3y = 73
13x + 3(63 – 7x)/5 = 73
13x + 37.8 – 4.2x = 73 → 8.8x = 35.2 → x = 4
y = 7
z = 2 Übungen: Mathematik leicht gemacht S. 288 Nr. 4.33 c, d; 4.34 b, 4.35 b
Mathematik Alexander Wenk Seite 8
Trigonometrie
Sicher kennt Ihr bereits die Lehre vom Dreieck (Geometrie). In diesem
Fachgebiet habt Ihr gelernt, aus gegebenen Komponenten eines Dreiecks die
fehlenden zeichnerisch zu ermitteln. Dieses Verfahren hat den Vorteil der
Anschaulichkeit, ist aber nur so genau, wie die Zeichnung gemacht wurde.
In diesem Kapitel werden wir die trigonometrischen Funktionen kennen
lernen, um mit deren Hilfe fehlende Grössen von Dreiecken exakt bestimmen
zu können.
Was heisst der Ausdruck Trigonometrie eigentlich? Er kommt aus dem
Griechischen und heisst so etwa Dreiecke (ver)messen.
Winkel- und Bogenmass Meistens messen wir die Grösse eines Winkels in Grad. Ein Vollkreis
(respektive eine ganze Schenkeldrehung) entspricht dabei 360°
In der Trigonometrie wird aber häufig auch das Bogenmass benötigt. Was
dieses Bogenmass genau ist, sehen wir in folgender Skizze:
Das Bogenmass ist die Länge des Bogens, der dem Winkel
im Einheitskreis (Radius r = 1) gegenüberliegt.
Allgemeiner ausgedrückt berechnet sich das Bogenmass aus
x = b / r x = Bogenmass, b = Bogenlänge, r = Kreisradius
Lasst uns das Bogenmass aufgrund dieser Formel noch etwas genauer
untersuchen.
Mathematik Alexander Wenk Seite 9
Der Vollkreiswinkel von 360° entspricht im Bogenmass
x = b / r = 2r / r = 2
Wir sehen, dass sich der Radius r dank unserer Definition für das Bogenmass
herauskürzt, das Bogenmass für einen Vollkreis beträgt also immer 2, was
dem Umfang eines Kreises mit dem Einheitsradius 1 entspricht.
Es ist auch ersichtlich, dass durch das Verhältnis zweier Längen eine
einheitenlose Zahl für das Bogenmass resultiert. Damit ersichtlich wird, dass
es sich um eine Winkelangabe handelt, wird das Bogenmass mit der virtuellen
Einheit rad bezeichnet.
Wie können wir Grad in Radianten umrechnen? Die Antwort finden wir, wenn
wir die beiden Grössen für einen Vollkreis gegenüberstellen und beachten,
dass sich Radianten und Grad proportional verhalten:
Grad [°] rad
Vollkreis 360° 2 = 6.283 Halbkreis 180° = 3.142 Viertelkreis 90° /2 = 1.571
Ein Halbkreis mit einem Winkel von 180° hat nur die Hälfte der Bogenlänge
eines Vollkreises, ein Viertelkreis entsprechend nur ein Viertel.
Verallgemeinern wir diese Umrechnung auf beliebige Winkel so erhalten wir
die Verhältnisgleichung:
/ 360° = x / 2 = Winkel in Grad,
x = Winkel in rad
Übung:
1. Wandle folgende Werte ins Bogenmass um: 45°, 10°, 1°, 270°
45°=0.7854 rad, 10°=0.1745rad, 1°=1.74510-2
270°=4.712rad
2. Wie vielen Grad entspricht 5.236 rad, 1 rad, 2.356 rad, 10 rad?
5.236 rad = 300°, 1 rad = 57.3°, 2.356 rad = 135°
10 rad = 573°
Mathematik Alexander Wenk Seite 10
Die Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck Bevor wir mit der Definition der Winkelfunktionen beginnen, zeichnen wir
zur Repetition ein solches Dreieck mit allen Bezeichungen auf:
Anhand dieses Dreiecks (und des Einheitskreises) werden wir nun in der Lage
sein, alle Winkelfunktionen zu definieren.
Die Sinusfunktion sin()
Aus folgender Skizze finden wir die Definition für den Sinus vom Winkel :
sin() = Gegenkathete / Hypotenuse = GK / H
Aus unserer Skizze können wir bestimmte Extremwerte für den Sinus
herauslesen:
= 0° → sin() = 0 = 180° → sin() = 0
= 30° → sin() = 0.5 = 270° → sin() = -1
= 90° → sin() = 1 = -90° → sin() = -1
Folgerung: Das Ergebnis der Sinusfunktion liegt im Bereich
-1 sin() 1
Mathematik Alexander Wenk Seite 11
Übung:
1. Bestimme den Sinus zu folgenden Winkeln: 60°, 45°, 1 rad, 405°, -30°.
Interpretiere die Resultate auch an der Skizze zur Definition vom Sinus.
Sin(60°) = 0.866, sin(45°) = 0.707, sin(1rad) = 0.841,
sin(405°) = sin(45°), sin(-30°) = -0.5
2. Berechne die fehlende Grösse in den dargestellten Dreiecken:
a) a= 4.1m
b) b=7.42 cm, sin()=0.375, =22°
c) c = 3.55m, a = 3.22m
3. Wie lange muss eine Leiter mindestens sein, damit an einer Hauswand eine
Höhe von 7.6 m erreicht werden kann, wenn die Leiter in einem Winkel von
75° angestellt ist?
l = 7.87 m
Mathematik Alexander Wenk Seite 12
Die Cosinusfunktion cos()
Wie es der Name schon sagt, ist der cos zum sin verwandt. Schauen wir uns
das Ganze wieder in einer Skizze genauer an:
cos() = Ankathete / Hypotenuse = AK / H
Damit sollte die Vermutung der Verwandtschaft zum sin auch geklärt sein.
Beide sind nämlich Verhältnisse von Katheten zur Hypothenuse. Aber
Vorsicht: Die beiden Funktionen dürfen natürlich trotz Verwandtschaft nicht
vertauscht werden!
Aus unserer Skizze können wir bestimmte Extremwerte für den Cosinus
herauslesen:
= 0° → cos() = 1 = 180° → cos() = -1
= 30° → cos() = (3)/2 = 270° → cos() = 0
= 60° → cos() = 0.5 = -90° → cos() = 0
= 90° → cos() = 0 = -60° → cos() = 0.5
Folgerung: Das Ergebnis der Cosinusfunktion liegt im gleichen Bereich wie
das Ergebnis der Sinusfunktion
-1 cos() 1
Mathematik Alexander Wenk Seite 13
Übung:
1. Wie weit muss der Leiterfuss von der Hauswand entfernt sein, damit die 12
m lange Leiter einen Anstellwinkel (Winkel zwischen Boden und Leiter) von
75° hat? Welche Höhe erreiche ich mit der so angestellten Leiter?
d = 3.11 m
h = 11.6 m
2. sin2() + cos2() = ?
3. Berechne die fehlenden Grössen in den dargestellten Dreiecken:
a) a = 10.32 cm; b = 14.74 cm
b) c = 17.43 m; =35°; a = 14.28 m
c) b = 7.25 cm; h = 3.06 cm; (a = 3.381 cm)
Mathematik Alexander Wenk Seite 14
Die Tangensfunktion tan()
Wir haben mittlerweile festgestellt, dass Winkelfunktionen Seitenverhältnisse
im Dreieck sind. Zwei solche Verhältnisse haben wir bereits 'getauft'.
Schauen wir uns nun in einer Skizze an welches Verhältnis den Tangens
ausdrückt:
tan() = GK / AK = Gegenkathete / Ankathete
Folgende Aufstellung zeigt einige spezielle Werte der tan-Funktion.
= 0° → tan() = 0 = 135° → tan() = -1
= 45° → tan() = 1 = -45° → tan() = -1
= 90° → tan() =
Für einen Winkel von 90° ergibt der Tangens ein unendlich grosses Ergebnis.
Was passiert genau, wenn wir diese Grenze vom 1. in den 2. Quadranten
überschreiten?
Schauen wir uns diesen Übergang an, indem wir folgende zwei Grenzwerte
betrachten:
tan(89.9°) = 573 tan(90.1°) = -573
Folgerung: Beim Überschreiten des 90°-Winkels wechselt die tan-Funktion
von + zu -
Das Ergebnis der Tangensfunktion liegt also im Bereich
- tan()
Mathematik Alexander Wenk Seite 15
Übung:
1. Die Steigung von Strassen wird häufig in % (tan()100%) angegeben.
a) Zeichne in einer Skizze, das Dreieck auf und bezeichne die Grössen zur
Steigungsangabe. b) Die Strasse von Kienthal in die Griesalp weist eine
Steigung von 27% auf. Welchem Steigungswinkel entspricht dies?
2. Berechne die fehlenden Grössen folgender Dreiecke:
Die Cotangensfunktion cot()
Wie die Sinus und die Cosinus-Funktion ist auch die Tangens- und
Cotangensfunktion miteinander verwandt. Folgende Skizze gibt Aufschluss
über das Wesen des Cotangens:
cot() = AK / GK = Ankathete / Gegenkathete
Mathematik Alexander Wenk Seite 16
Einige spezielle Werte vom Cotangens finden wir in folgender Tabelle:
= 0° → cot() = = 135° → cot() = -1
= 45° → cot() = 1 = -45° → cot() = -1
= 90° → cot() = 0
Ihr werdet den cot() vergeblich auf dem Taschenrechner suchen. Wie können
wir ihn dann trotzdem berechnen? Folgende Aufstellung gibt Aufschluss über
diese Problematik:
tan() = GK / AK → 1 / tan() = AK / GK = cot()
cot() = 1 / tan()
Die Verwandtschaft von tan und cot wir hier besonders deutlich ersichtlich.
Der Cotangens wird deshalb nur selten gebraucht, da er direkt mit unserer
hergeleiteten Formel berechnet werden kann.
Übung zu den Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck
Berechne die fehlenden Grössen in folgenden Dreiecken:
Mathematik Alexander Wenk Seite 17
Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen
Funktionen Wir haben bereits einige Übung im Umgang mit trigonometrischen
Funktionen bekommen und zum Teil die Umkehrfunktionen bereits
verwendet. Wenn wir z.B. den Sinus eines Winkels berechnen erhalten wir das
Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse für den betreffenden Winkel.
Was sagen dann die Umkehrfunktion vom Sinus eigentlich aus?
Die Umkehrfunktion liefert uns den Winkel, der zum
entsprechenden Sinuswert gehört.
Die Umkehrfunktionen werden folgendermassen bezeichnet:
arcsin, arccos, arctan
was soviel heisst wie 'der zugehörige Bogen zum …'
Auf dem Taschenrechner finden wir auch folgende Kennzeichnungen:
asin oder sin-1 (was aber nicht mit 1/sin verwechselt werden darf)
Im Folgenden betrachten wir stellvertretend für die anderen Funktionen nur
die Sinusfunktion. Während die Sinusfunktion immer einen eindeutigen Wert
für einen Winkel liefern kann ist deren Umkehrfunktion mehrdeutig. Schauen
wir uns das in folgendem Diagramm etwas genauer an:
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 90 180 270 360 450 540
Grad
sin(x)
sin(x)
Mathematik Alexander Wenk Seite 18
Suchen wir z.B. den arcsin von 0.5 → arcsin(0.5) sehen wir, dass der
zugehörige Winkel 30°, 150°, 390° … sein kann. Der Taschenrechner
gibt uns aber nur derjenige Wert am nächsten bei 0° an. Wir müssen uns aber
stets bewusst sein dass der vom Taschenrechner erhaltene Winkel eventuell
nicht der korrekte ist:
Beispiel:
sin(120°) = 0.866
arcsin(0.866) = 60° 120°
Übung:
Gebe alle in Frage kommenden Winkel im Bereich von 0 .. 360° oder
-180° .. 180° für folgende Winkelfunktionen an:
sin() = 0.7 = ?
cos() = 0.65 = ?
tan() = 2 = ?
Tip: Nehme Dir den Einheitskreis zur Lösung dieser Fragen zu Hilfe!
Mathematik Alexander Wenk Seite 19
Funktionenlehre
Funktionen sind ein sehr wichtiger Bestandteil der Naturwissenschaften. Mit
Funktionen können wir Naturgesetze oder das Verhalten technischer Geräte
und Komponenten beschreiben. In diesem Sinne sind wir bereits vielfach mit
Funktionen in Kontakt gekommen, waren uns dieser Tatsache vielleicht aber
nicht so sehr bewusst.
Lasst uns zuerst ein paar Begriffe klären, bevor wir in die Welt der Funktionen
eintauchen
Abbildungen, Relationen und Funktionen Funktionen erzeugen eigentlich ein Abbild von gegebenen Werten. Diese
Eigenschaft haben auch die Relationen. Es gibt aber ein wichtiger Unterschied
zwischen Funktionen und Relationen:
Relationen
Ein Beispiel für Relationen ist unser Klassenverband. Wir können
beispielsweise betrachten, wer welche Hobbys ausübt: Mannschaftssport,
Wandern, Biken, Bücher lesen usw.
Eine Relation weist einer Ausgangs- oder Definitionsmenge
Elemente aus der Zielmenge zu.
Relationen können je nachdem ein Element, mehrere Elemente oder auch gar
keine Elemente zuweisen. Der Begriff Relation prägt auch die relationalen
Datenbanken. Diese sind genau nach diesem Prinzip aufgebaut. Es gibt
Zuweisungstabellen, die Elementen der Definitionsmenge Elemente der
Zielmenge zuordnet. Als Beispiel könnte eine Adressdatenbank unserer Klasse
dienen, die obige Hobbies den Personen zuordnet:
Mathematik Alexander Wenk Seite 20
Funktionen
Auch Funktionen geben ein Abbild einer Definitionsmenge. Der
Funktionsbegriff engt die Zuordnungsmöglichkeit aber ein:
Eine Zuordnung, die jedem Element der Definitionsmenge
eindeutig ein Element der Zielmenge zuordnet, nennen wir
Funktion.
Beispiel:
Wir wollen uns im Folgenden mit den Funktionen beschäftigen.
Funktionstypen Prinzipiell unterscheiden wir zwei Arten von Funktionen:
• Eine Funktion, die aus der praktischen Beobachtung resp. durch eine
Messserie gefunden worden ist, heisst empirische Funktion.
• Ist die Funktion durch eine Formel, d.h. ein rechnerisch auswertbares
Gesetz festgelegt, sprechen wir von einer analytischen Funktion.
Mathematik Alexander Wenk Seite 21
Empirische Funktionen lassen sich nur näherungsweise durch ein Polynom
y = anxn + …. + a3x
3 + a2x2 + a1x
1+ a0 beschreiben. Solche Polynome
werden als Regressionspolynome bezeichnet. Wir wenden diese Technik
manuell an, wenn wir beispielsweise versuchen, Messpunkte in einer Grafik
miteinander zu verbinden.
Der Analytischen Funktion hingegen liegt bereits eine Funktionsgleichung
zugrunde. Mit dieser Funktionsgleichung können wir das Bild der Funktion
erzeugen.
Analytische Funktionen können wir also berechnen, während dem wir
empirische Funktionen nur durch Auswertung von Tabellen oder Diagrammen
nutzen können.
Darstellung von Funktionen Um Funktionen allgemein beschreiben oder darstellen zu können, bezeichnen
wir gewöhnlich eine der Grössen mit x, die andere mit y.
In Elektrotechnik, Physik etc. sind natürlich auch andere Formelzeichen
verwendet. Beispiel: Darstellung der Spannung U in Funktion des Stromes I.
Für die graphische Darstellung wird in der Mathematik meistens das
kartesische Koordinatensystem gewählt: Auf zwei sich rechtwinklig
schneidenden Geraden (Achsen) tragen wir in waagrechter Richtung die x-
Werte, in senkrechter Richtung die y-Werte ab. Beide Achsen zusammen
nennen wir Koordinatenachsen. Der Achsenschnittpunkt erhält die
Bezeichnung Ursprung. Auf der x-Achse werden vom Ursprung aus nach
rechts die positiven Werte, nach links die negativen Werte angetragen. Auf der
y-Achse werden nach oben die positiven und nach unten die negativen Werte
angetragen. Die positive Richtung wird jeweils durch einen Pfeil
gekennzeichnet.
In dem Koordinatensystem wird jedem Zahlenpaar (x | y) (Wichtig: zuerst x,
dann y!) eindeutig ein Punkt der Zeichenebene zugeordnet.
Auf den folgenden Blättern werden wir uns mit einigen Beispielen für
Funktionen beschäftigen.
Mathematik Alexander Wenk Seite 22
Darstellungsarten von Funktionen Funktionen können auf drei Arten dargestellt werden. Je nach Anwendung
bietet die eine oder die andere Vorteile. Die Darstellungsarten sind hier so
aufgelistet, wie wir bei einer analytischen Funktion am besten von der Formel
zum Graphen gelangen. Damit sind schon zwei der drei Darstellungsarten
aufgelistet. ☺
Darstellung durch eine Gleichung
y1 = 2x + 3 y1 = f(x) lineare Gleichung
y2 = x2 - 1 y2 = f(x) quadratische Gleichung
Darstellung durch Wertetabelle
Die Wertetabelle stellt den Definitionsbereich dem Wertebereich gegenüber.
Sie kann je nach Platzverhältnis sowohl horizontal als auch vertikal
augerichtet werden:
x -2 -1 0 1 2 Definitionsbereich
y1 -1 1 3 5 7 Wertebereich lin. Funktion
y2 3 0 -1 0 3 Wertebereich quadr. Funkt.
Definitionsbereich: -2 < x < 2
Wertebereich: -1 < y < 7
Darstellung im Koordinatensystem (Graph)
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
y
x
y=2x+3
y=X^2-1
Mathematik Alexander Wenk Seite 23
Übungen zu den Funktionen
1. Ein 1 k Potentiometer Rp liegt über einen Widerstand Rv = 500 an
einer Gleichspannung Uo = 63.25 V.
Stelle den Leistungsverlauf im Widerstand Rv in Abhängigkeit der
Potentiometerstellung Rp graphisch dar. Pv = f ( Rp )
Lösung:
Mathematik Alexander Wenk Seite 24
2.
Mathematik Alexander Wenk Seite 25
Grundlegende mathematische Funktionen Wir wollen nun einige ganz grundlegende mathematische Funktionen
betrachten. Wir beginnen mit der linearen Funktion, um später zu den
quadratischen und weiteren Funktionen zu schreiten. Wir möchten uns in
diesem Kapitel genauer darauf konzentrieren, wie wir diese Funktionen nach
unseren Wünschen mithilfe von Konstanten oder Parametern modellieren
können.
Eine recht einfache lineare Funktion kennen wir bereits bestens aus der
Elektrotechnik: Das ohmsche Gesetz:
U = R I
Wir wissen bereits wie es zu deuten ist: Wenn der Widerstand konstant bleibt
und der Strom sich verdoppelt, so verdoppelt sich auch die Spannung am
Widerstand. Zeichnen wir diese Funktion wie vorher betrachtet graphisch auf,
so ergibt sich eine Gerade. Die Gerade entspringt dem Nullpunkt des
Koordinatenkreuzes. Wie aber sieht eine allgemeine Geradengleichung aus
und wie kann ich frei bestimmen, wie diese ins Koordinatensystem zu liegen
kommt? Auf diese Fragen wird das kommende Kapitel Antworten liefern.
Die lineare Funktion
In einer linearen Funktion kommt die unabhängige Variable nur in der 1.
Potenz vor. Wir nennen deshalb lineare Funktionen auch Funktionen 1.
Grades. Das Ohmsche Gesetz ist ein Beispiel für eine lineare Funktion.
Allgemein lautet die lineare Funktion:
y = f(x) = ax + b
Die Variablen a und b sind hier Konstanten.
In diesem Kapitel wollen wir Schritt für Schritt die Bedeutung der einzelnen
Elemente dieser Funktion kennen lernen.
Die Bedeutung der Konstanten a
Um den Einfluss der Konstante a herauszufinden setzen wir zunächst die
Konstante b = 0. Unsere lineare Funktion vereinfacht sich zu folgendem
Ausdruck: y = ax
Wir wollen nun die Bedeutung von a mit einer grafischen Darstellung der
Funktion kennen lernen:
Mathematik Alexander Wenk Seite 26
Aufgabe: Stelle die Funktionen y = f(x) = ax mit folgenden Werten für die
Konstante a im Bereich -5 x 5 dar:
1) a = 1
2) a = 2
3) a = 0.5
4) a = -0.5
5) a = -1
Was haben alle
Kurven im
Diagramm
gemeinsam?
• Sie gehen durch den Nullpunkt des Koordinatensystems
• Es sind alles Geraden
Welchen Einfluss hat das Vorzeichen von a?
Ein positives a ergibt eine steigende Gerade,
ein negatives a eine fallende Gerade.
Welchen Einfluss hat die Grösse der Konstante a?
Je grösser die Konstante a, desto steiler ist die Gerade.
Offensichtlich ist also die Konstante a verantwortlich für die
Steigung der Geraden.
Wir können diesen Sachverhalt auch mathematisch analysieren:
y = ax → a = y/x oder allgemein: a = y/x Wir können uns zu diesem Sachverhalt auch folgenden Satz merken:
Wenn x um 1 Einheit zunimmt, nimmt y um a Einheiten zu.
x
y
Mathematik Alexander Wenk Seite 27
Die Bedeutung der Konstanten b
Um den Einfluss von b kennen zu lernen, setzen wir die Steigung a auf 0 oder
auf 1. Es ergeben sich dann die Gleichungen
y = b und y = x + b
Folgende Geradengleichungen zeigen uns die Bedeutung von b, wenn wir die
Funktionen aufzeichnen:
y = 0
y = 1
y = x + 1
y = x + 2
y = x + b
Die Konstante b sagt aus, wo sich die Gerade mit der y-
Achse schneidet: y(x=0) = ax + b = a0 + b = b
Übung: Mathematik leicht gemacht: S. 359 Nr. 5.1 a, b, 5.2 a, i, 5.4 a, b, e
x
y
Mathematik Alexander Wenk Seite 28
Die Bestimmung der Geradengleichung
Von der Geometrie kennen wir die Tatsache, dass eine Gerade durch zwei
Punkte eindeutig definiert ist. Wir könnten sie auch durch einen Punkt und
einen Winkel resp. die Steigung eindeutig festlegen. Beide Varianten führen
zu einem Gleichungssystem mit zwei Unbekannten, mit dem wir die
Konstanten a und b eindeutig bestimmen können. Folgendes Diagramm
verdeutlicht diesen Sachverhalt:
Geradengleichung aus zwei Punkten
Wenn 2 Punkte P1= (x1, y1) und P2 = (x2, y2) gegeben sind, lässt sich folgendes
Gleichungssystem aufstellen:
y1 = ax1 + b
y2 = ax2 + b
Die Unbekannten sind nun a und b. Wir können dieses System mit einer der
uns bereits bekannten Verfahren lösen also z.B.:
b = y1 - ax1 → y2 = ax2 + b = ax2 + y1 - ax1
y2 - y1 = a(x2 - x1) → a = (y2 - y1)/(x2 - x1) = y/x
x
y
Mathematik Alexander Wenk Seite 29
b = y1 - ax1 =y1 - x1(y2 - y1)/(x2 - x1)
y1(x2 - x1) - x1(y2 - y1) x2y1 - x1y2
b = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯
x2 - x1 x2 - x1
Geradengleichung aus einem Punkt und der Steigung
Hier ist die Steigung a (resp. der Steigungswinkel ) und ein Punkt
P1= (x1, y1) gegeben.
Auch hier hilft uns direkt die allgemeine Geradengleichung weiter:
y1 = ax1 + b → b = y1 - ax1
a = tan()
Um unsere Kenntnisse über Geraden noch zu perfektionieren, könnten wir
obiges Ergebnis in die allgemeine Geradengleichung einsetzen:
y(x) = ax + b → y = ax + y1 - ax1
y - y1 = a(x - x1)
Wie können wir dieses erstaunlich einfache Resultat interpretieren? Offenbar
reduziert sich die Geradengleichung auf y' = ax', wenn der Nullpunkt des
neuen Koordinatensystem auf den Punkt P1 verschoben wird wie das folgende
Diagramm verdeutlicht:
Übungen: Cornelsen S.62 Nr. 1 a-c; 2 a-c, 4 a; S. 63 Nr. 1, 2; S. 64, Nr. 4
Mathematik Alexander Wenk Seite 30
Der Schnittpunkt zweier Geraden
Zwei Geraden können sich nur in einem Punkt schneiden, es sei denn sie
liegen genau übereinander. Wir wollen hier lernen, wie der Schnittpunkt
zweier Geraden rechnerisch zu bestimmen ist.
Beispiel: Wo schneiden sich die beiden Geraden g1: y = -0.75x + 3 und
g2: y = 1.5x - 1.5? Wir lösen die Aufgabe zunächst grafisch, indem wir die
beiden Geraden im Koordinatensystem aufzeichnen. (Hilfestellung: Wir
zeichnen die Geraden im Bereich -2 < y < 3 und 0 < x < 4)
Rechnerisch lässt sich der Schnittpunkt mit folgendem Ansatz lösen:
Im Schnittpunkt sind die Werte für x und y für beide
Geraden identisch. Wir können die beiden
Geradengleichungen also gleichsetzen:
y = -0.75x + 3 = 1.5x - 1.5
4.5 = 2.25x → x = 2
Aus Gleichung g1: y = -0.75x + 3 = -0.752 + 3 = 1.5
Aus Gleichung g2: y = 1.5x - 1.5 = 1.52 - 1.5 = 1.5
Der Schnittpunkt ist S(2|1.5)
x
y
Mathematik Alexander Wenk Seite 31
Übung: Mathematik leicht gemacht S. 360 Nr. 5.5 a, b, c, f
Weitere Übungen:
1. Wie lautet die Geradengleichung die durch die gegebenen Punkte geht?
a) x1 = 2, y1 = 5; x2 = 4, y2 = 15
b) x1 = 6, y1 = 6; x2 = 10, y2 = 3
Wo schneiden sich diese Geraden?
a) y = ax+b → a= dy/dx = 10/2 = 5; b = y-ax = 5 – 10 = -5
Kontrolle: b = 15 - 45 = -5
y = 5x - 5
b) a= dy/dx = -3/4; b = y-ax = 6+3/46 = 10.5
Kontrolle: b = 3+30/4 = 10.5
y = -3/4x + 10.5
5x – 5 = y = -3/4x + 10.5
5.75x = 15.5 → x = 314/(2 23) = 62/23 = 2.696
y = 625/23 – 5 = 8.478
y = -362/(423) + 10.5 = 8.478 → S (2.696 ; 8.478)
2. Finde die Geradengleichung für folgende Geraden heraus:
a) Die Gerade geht durch den Punkt x1 = 1, y1 = 2 und hat einen
Steigungswinkel = 30 °
b) Die Gerade geht durch den Punkt x1 = -2, y1 = 2 die Steigung beträgt a = -2
a) a = tan(30°) = 0.5774 b = y – ax = 2 - 0.5774 = 1.423
y = 0.5774x + 1.423 oder y – 2 = 0.5774(x-1)
b) y-2 = -2(x+2) → y = -2x – 2 resp. b = y – ax = 2 - 4 = -2
Mathematik Alexander Wenk Seite 32
Die quadratische Funktion
In einer quadratischen Funktion kommt die unabhängige Variable x in der 1.
und 2. Potenz vor. Sie wird deshalb auch Funktion 2. Grades genannt..
Allgemein lautet die quadratische Funktion:
y = f(x) = ax2 + bx + c
Die Variablen a, b und c sind hier Konstanten.
In diesem Kapitel wollen wir Schritt für Schritt die Bedeutung der einzelnen
Elemente dieser Funktion kennen lernen. Wir werden dabei auch lernen, wie
wir quadratische Gleichungen lösen können.
Die Bedeutung der Konstanten a
Um den Einfluss der Konstante a herauszufinden setzen wir zunächst die
Konstanten b = c = 0. Die quadratischelineare Funktion vereinfacht sich zu
folgendem Ausdruck: y = ax2
Wir wollen nun die Bedeutung von a mit einer grafischen Darstellung der
Funktion kennen lernen:
Aufgabe: Stelle die Funktionen y = f(x) = ax2 mit folgenden Werten für die
Konstante a im
Bereich -3 x 3
dar:
1. a = 1
2. a = 2
3. a = 0.5
4. a = -1
x
y
Mathematik Alexander Wenk Seite 33
Was haben alle Kurven im Diagramm gemeinsam?
• Sie berühren mit dem Scheitelpunkt den Nullpunkt des
Koordinatensystems
• Es sind alles Parabeln
Welchen Einfluss hat das Vorzeichen von a?
Ein positves a ergibt eine nach oben geöffnete Parabel (nur
positive y-Werte), ein negatives a eine nach unten geöffnete
Parabel (nur negative y-Werte).
Welchen Einfluss hat die Grösse der Konstante a?
Je grösser die Konstante a, desto steiler ist die Parabel.
Die Bedeutung der Konstanten b und c
Die Bedeutung dieser beiden Konstanten finden wir, indem wir die Grundform
analog unserer Erkenntnis bei den Geraden etwas anders schreiben:
y - y0 = (x-x0)2 oder y = (x-x0)2 + y0
Dies bedeutet nichts anderes wie eine Verschiebung des Scheitelpunktes im
Koordinatensystem von (0|0) auf (x0|y0).
Übung: Zeichne
folgende Parabeln
im
Koordinatensystem
ein (im Bereich
x = -3 .. +3 und
y = 0..9)
1) y = x2 + 2
2) y = (x - 2)2
3) y = x2 - 4x + 4
4) y = x2 + 4x + 5
x
y
Mathematik Alexander Wenk Seite 34
Was können wir feststellen?
• Kommt nur die Konstante c vor, verschiebt sich der
Scheitelpunkt auf der y-Achse.
• Kommen die Konstante b und c gemeinsam vor, kann der
Scheitelpunkt an einem beliebigen Ort liegen.
Berechnung des Scheitelpunktes
Wir konnten in vorheriger Übung den Scheitelpunkt graphisch ermitteln. Wie
lässt sich dieser nun berechnen?
Dies gelingt uns durch Gegenüberstellung der beiden Gleichungsformen für
die Parabel:
(y - y0) = a(x - x0)2 Ersetzen wir die beiden Klammern durch y' und x',
haben wir eine Parabel mit dem Scheitelpunkt x' = 0
und y' = 0. Daraus ergibt sich in dieser Schreibweise,
dass x' = x-x0 = 0 und y' = y - y0 = 0 ist. Der
Scheitelpunkt ist also bei x = x0 und y=y0 oder anders
gesagt: Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten
S(x0|y0). Diese Gleichungsform nennen wir deshalb
auch Scheitelpunktform.
y = ax2 + bx + c Dies ist die übliche Schreibweise der quadratischen
Funktion. Gelingt es nun, diese Form in die
Scheitelpunktform überzuleiten, können wir also den
Scheitelpunkt bestimmen.
Wir versuchen diese Umformung, indem wir von der Scheitelpunktform her
umwandeln:
(y - y0) = a(x - x0)2 = a(x2 - 2x0x + x0
2)
y = ax2 - 2ax0x + ax02 + y0
Durch Gruppieren der gefundenen Komponenten können wir diese der
allgemeinen Schreibform gegenüberstellen:
y = ax2 + (-2ax0)x + (ax02 + y0)
y = ax2 + ( b )x + c
Wir haben also folgende Beziehungen zur Ermittlung der
Scheitelpunktkoordinaten S (x0|y0) gefunden:
b = -2ax0 → 2a
b- x 0 =
c = ax02 + y0 → 0
a-c y2
0 x= oder eingesetzt a
b
4-c y
2
0 =
Mathematik Alexander Wenk Seite 35
Übung zur Scheitelpunktgleichung: Mathematik leicht gemacht
S. 360 Nr. 5.7 a, b, d, g.
(Nur Berechnung des Scheitelpunktes. Lasse noch Platz für die spätere
Bestimmung der Schnittpunkte von der Parabel mit der Geraden!)
Bestimmung der Nullstellen einer Parabel (resp. quadratischen
Gleichung)
In diesem Abschnitt werden wir lernen, wie wir die Schnittpunkte einer
Parabel mit der x-Achse (= Nullstellen der quadratischen Gleichung)
berechnen können. Diese Schnittpunkte können auch mit einem grafischen
Taschenrechner gefunden werden, solange wir für die Parameter numerische
Zahlen haben.
Wie können wir diese allgemein berechnen? Zur Lösung dieser Frage
betrachten wir zuerst die Scheitelpunktform der Parabel:
(y - y0) = a(x - x0)2 oder y = a(x - x0)
2 + y0
Wie der Name "Nullstellen" bereits vermuten lässt, sind Werte für x gesucht
die y = 0 ergeben:
y = 0 = a(x - x0)2 + y0
Durch Umstellen der Formel finden wir:
-y0 = a(x - x0)2
-y0 / a = (x - x0)2 → x - x0 = (-y0 / a)
x = x0 (-y0 / a)
Die Scheitelpunktkoordinaten x0 und y0 haben wir bereits auf dem
vorhergehenden Blatt aus der allgemeinen Form berechnet:
y = ax2 + bx + c → 2a
b- x 0 = und
a
b
4-c y
2
0 =
Setzen wir diese Beziehungen für x0 und y0 in obige Gleichung ein, erhalten
wir die Lösungsgleichung für die quadratische Gleichung:
Mathematik Alexander Wenk Seite 36
Beispiel: Wir wollen die Funktion y = x2 + x – 6 analysieren.
Erstelle zu ihr eine Wertetabelle im Bereich -5 < x < +5
Zeichne die Funktion grafisch auf.
Wo sind die Nullstellen der Funktion?
Berechne nun die Nullstellen der Funktion mit der vorher hergeleiteten
Formel.
Übung: Mathematik leicht gemacht S. 360 Nr. 5.7 a, b, d, g. Nun sind wir in
der Lage, den Schnittpunkt mit der Geraden zu bestimmen.
Nr. 5.8 a, d, f, h: Scheitelpunkte und Nullstellen berechnen. Lösungen für Nullstellen 5.8 a: x1 = 0, x2 = -2; d: x1 = 0.183, x2 = 1.816; f: keine Nullstellen; h: x1 = 1, x2 = - 1.5
Mathematik Alexander Wenk Seite 37
Gleichungen 2. Grades (Quadratische Gleichung)
Bis jetzt haben wir Gleichungen nach x umgestellt und so eine Lösung
gefunden. Was passiert aber wenn x sowohl quadriert als auch linear
vorkommt?
Beispiel: ax2+bx+c = 0
Wir können diese Funktion zwar umstellen, erhalten aber nicht ohne weiteres
eine Lösung für x = …
ax2+ bx = -c
Ein Spezialfall haben wir wenn c= 0:
ax2+bx = 0
Diese Gleichung können wir mit einem Trick lösen:
x(ax + b) = 0
Das Produkt einer Multiplikation ist dann 0, wenn einer der
Faktoren 0 ist!
Mit diesem Satz finden wir zwei Lösungen für x:
x1=0; x2 =-b/a
Ähnlich funktioniert das Ganze, wenn C 0 ist. Allerdings ist das Ermitteln
der Faktoren etwas schwieriger. Das Stichwort quadratische Ergänzung hilft
uns hier weiter:
y = 0 = (x+p)2 = x2 + 2px + p2
Die Normalform kann ich in eine ähnliche Form umwandeln:
y = 0 = ax2 + bx +c
0 = 𝑥2 +𝑏
𝑎𝑥 +
𝑐
𝑎
0 = 𝑥2 + 2𝑝𝑥 + 𝑝2
2𝑝 =𝑏
𝑎 → 𝑝 =
𝑏
2𝑎
Mathematik Alexander Wenk Seite 38
Die quadratische Ergänzung erweitert die Formel nun so, dass wir ein Binom
in der Form (x+p)2 bilden können:
0 = 𝑥2 + 2𝑝𝑥 + 𝑝2
0 = 𝑥2 + 2𝑏
2𝑎𝑥 + (
𝑏
2𝑎)
2
− (𝑏
2𝑎)
2
+𝑐
𝑎
Damit ich die Formel nicht verfälsche, addiere und subtrahiere ich den Term
nacheinander, denn (𝑏
2𝑎)
2− (
𝑏
2𝑎)
2= 0
Nun bilde ich aus dem markierten Teil der Formel das Binom:
0 = 𝑥2 + 2𝑏
2𝑎𝑥 + (
𝑏
2𝑎)
2
− (𝑏
2𝑎)
2
+𝑐
𝑎
0 = (𝑥 +𝑏
2𝑎)
2
− (𝑏
2𝑎)
2
+𝑐
𝑎
Auf diese Weise ist es uns gelungen, dass x nicht mehr quadratisch vorkommt.
So können wir die Formel jetzt nach x auflösen. Ganz korrekt passiert das mit
dem konvertieren in die 3. binomische Formel: (c+d)(c-d) = c2 – d2
Ergänzen wir unsere Gleichung, damit diese Form entsteht, erhalten wir:
0 = (𝑥 +𝑏
2𝑎)
2
− (𝑏
2𝑎)
2
+𝑐
𝑎
0 = (𝑥 +𝑏
2𝑎)
2
− [(𝑏
2𝑎)
2
−𝑐
𝑎]
0 = (𝑥 +𝑏
2𝑎)
2
− [√(𝑏
2𝑎)
2
−𝑐
𝑎]
2
0 = [𝑥 +𝑏
2𝑎+ √(
𝑏
2𝑎)
2
−𝑐
𝑎] [𝑥 +
𝑏
2𝑎− √(
𝑏
2𝑎)
2
−𝑐
𝑎]
Wir wissen, dass ein Produkt 0 wird, wenn einer der Faktoren 0 ist. Wir
können also der Reihe nach jede Klammer nullsetzen!
0 = [𝑥 +𝑏
2𝑎+ √(
𝑏
2𝑎)
2
−𝑐
𝑎] 𝑠𝑜𝑤𝑖𝑒 0 = [𝑥 +
𝑏
2𝑎− √(
𝑏
2𝑎)
2
−𝑐
𝑎]
Mathematik Alexander Wenk Seite 39
Nach Bearbeitung des Wurzelaudrucks entsteht:
√(b
2a)
2
−c
a= √
b2
4a2−
4ac
4a2= √
b2 − 4ac
4a2=
1
2𝑎 √b2 − 4ac
Aus dieser Umformung entsteht schliesslich die Lösungsformel für
quadratische Gleichungen in der Form:
ax2+bx+c = 0 → 𝑥12 =−𝑏±√b2−4ac
2a
Beispiel: x2-15x+50 = 0
x1= 5, x2 = 10
Übung: Mathe leicht gemacht 4.42 b, c, e, h; 4.48 a, g; 4.51 a; 4.56 a; 4.61 b
Mathematik Alexander Wenk Seite 40
Die Potenzfunktionen
Wir sprechen allgemein von Potenzfunktionen, wenn eine Gleichung in der
Form
y = xn vorliegt. Dieser Ausdruck wird auch Potenzfunktion n-ten Grades genannt.
Um festzustellen, was für einen Einfluss der Exponent n auf das Bild der
Funktion hat, zeichnen wir am besten einige Beispiele auf:
Aufgabe: Zeichne folgende Funktionen im Bereich -2 x +2 und
-8 y +8 auf. Achte speziell darauf dass im Bereich von x = 0.5 .. 1
mindestens 4 Punkte berechnet und gezeichnet werden.
1. y = x
2. y = x2
3. y = x3
4. y = x4
5. y = x5
6. y = x10
Mache zu dieser Aufgabe ein Excel Diagramm und füge es diesen Unterlagen
bei.
Was für Eigenschaften können wir aus diesen Kurven für die Potenzfunktion
feststellen?
• Ist der Exponent eine gerade Zahl, so verläuft die Kurve
achsensymmetrisch zur y-Achse. Wir sprechen
dementsprechend von einer geraden Funktion.
• Ist der Exponent eine ungerade Zahl, so verläuft die Kurve
punktsymmetrisch zum Nullpunkt. Eine solche Funktion
nennen wir eine ungerade Funktion.
Der Nullpunkt wird bei ungeraden Funktionen auch Wendepunkt genannt.
Die Steigung einer Kurve ist im Wendepunkt entweder am flachsten oder
aber am steilsten (Bei der Potenzfunktion ist sie dort immer am flachsten)
• Je grösser der Exponent, desto ausgeprägter ist der "Knick" der
Kurve.
Mathematik Alexander Wenk Seite 41
Die Exponentialfunktion und die logarithmische Funktion
Wenn der Exponent selbst die Veränderliche einer Funktion ist, so sprechen
wir von Exponentialfunktionen. Die Exponentialfunktion hat also die
Gleichung
y = ax wobei a immer positiv sein muss, damit die Funktion graphisch darstellbar ist.
Umgekehrt wissen wir, dass uns die logarithmische Funktion den Exponenten
liefert, der mit der Basis a den Wert y ergibt: y = ax → x = loga(y) oder
x = log(y)/log(a). Vertauschen wir x und y, bekommen wir die logarithmische
Funktion in der Form
y = loga(x)
Wie die Exponential- und die logarihmische Funktion zusammenhängen,
verdeutlicht uns folgende Übung:
Zeichne im Bereich x = -5 .. 10 und y = -5 .. 10 folgende Funktionen auf:
1. y = 2x
2. y = x
3. y = log2(x)
4. y = 10x
5. y = log(x) = log10(x)
Mathematik Alexander Wenk Seite 42
Logarithmieren
Mit dem Logarithmieren wird es möglich, einen unbekannten Exponenten zu
ermitteln:
ax = b → x = loga b
Die einzelnen Elemente des Wurzelausdrucks heissen:
x = Logarithmus
b = Numerus
a = Basis
Der Ausdruck loga b wird folgendermassen ausgesprochen:
Logarithmus von b zur Basis a
Beispiele:
2x = 64 → x = log2 64 = 6, denn 26 = 64
10x = 1'000 → x = log10 1000 = 3, denn 103 = 1'000
Spezielle Logarithmen Auf dem Taschenrechner finden wir zwei Logarithmen, die wir in der Praxis
sehr häufig benutzen werden:
• Den Zehnerlogarithmus log10(b)= lg(b)= log(b)
• Den natürlichen Logarithmus loge(b) = ln(b)
Aufgabe: Wie gross ist die Zahl e? Finde eine Antwort auf diese Frage
mithilfe des Taschenrechners.
Ansatz: ex = e → e1 = e = 2.71828….
Übungen zu diesem Thema:
Mathematik Übung Logarithmen, Aufgabe 1 und 2
Mathematik Alexander Wenk Seite 43
Logarithmengesetze Wie können wir mit den auf dem Taschenrechner vorhandenen Logarithmen
auch Logarithmen mit einer beliebigen Basis berechnen? Folgende Herleitung
gibt Aufschluss über das Vorgehen:
x = loga b b = ax Wir setzen für a = 10v und erhalten:
b = (10v)x = 10vx → vx = log b → x = (log b)/v
Aus a = 10v erhalten wir v = log a
Eingesetzt ergibt sich als Schlussresultat für unser Problem:
x = log b / log a
Wir sind nun imstande, die Aufgaben 3 bis 4 des Übungsblattes zu lösen.
Es existieren weitere Grundgesetze, um das Rechnen mit Logarithmen zu
vereinfachen. Diese sind mit den Potenzgesetzen verwandt und können mit
deren Hilfe hergeleitet werden.
Wir nehmen folgende Zusammenhänge als Grundgleichungen an:
a = 10x x = log a
b = 10y y = log b
Logarithmieren von Produkten
→ ab = 10x10y = 10x+y
log(ab) = x+y weil log(10x+y) = x+y
, eingesetzt in ergibt:
log(ab) = log a + log b
Beispiel: log(103) = log 10 + log 3 = 1 + 0.477 = 1.477
Mathematik Alexander Wenk Seite 44
Logarithmieren von Brüchen
/ → a/b = 10x/10y = 10x-y
log(a/b) = log(10x-y) = x-y
, eingesetzt in ergibt:
log(a/b) = log a - log b
Logarithmieren von Potenzen
Aus folgt a2 = (10x)2 = 102x
Wir logarithmieren beide Seiten und erhalten:
Log(a2) = log(102x) = 2x
eingesetzt in ergibt:
Log(a2) = 2log(a)
Allgemein ausgedrückt ergibt sich analog zu obiger Herleitung:
an = (10x)n = 10nx
Log(an) = log(10nx) = nx
Log(an) = nlog(a)
Beispiel: log(33) = 3log 3 = 30.477 = 1.431
Versuche mit diesem Gesetz die Formel für die Berechnung von x = loga(b)
herzuleiten:
Mathematik Alexander Wenk Seite 45
Übungen zu Logarithmen 1. log 2 256
8 (28=256) 2. log 10 1000000
6 ( 106 = 1‘000‘000) 3. log 7 823‘543
log(823‘545)/log(7) = 7 (77 = 823‘545) 4. log 0,5 0,03125
5 (0.55 = 0.3125) 5. 5bx+3 = 10x
6. 3
181 12
2
=+
+
x
x
x=-4
7. a2x+5 = b
8. ( )22966 −= xx
x=2
Mathematik Alexander Wenk Seite 46
Längen-, Flächen- und Volumenberechnungen
Wir haben in der Physik und Elektrotechnik schon öfters Volumen und
Flächenberechnungen verwendet. In diesem Kapitel wollen wir uns diesen
speziell widmen, und dabei auch Berechnungen von komplizierteren Körpern
durchführen. Die Formeln werden wir falls möglich durch geometrische
Beweisführung herleiten.
Berechnungen an Vierecken Wir gehen von einem Rechteck mit den Seiten a und b aus. Die Fläche des
Rechteckes beträgt A = ab.
Wieviel beträgt der Umfang eines Rechtecks?
U = a + b + a + b = 2(a+b)
Ein spezielles Rechteck ist das Quadrat: Bei ihm sind alle Seiten gleich lang.
Die Fläche vom Quadrat beträgt folglich A = aa = a2
Die Umfangsberechnung vereinfacht sich zu U = 2(a + a) = 4a
Etwas komplizierter wird die Betrachtung am Parallelogramm:
Durch gezeigte Umformung erhalten wir:
A = ah und U = 2(a + b)
A = absin()
Mathematik Alexander Wenk Seite 47
Beim Trapez können die Flächenberechnungen mit folgender Konstruktion
erklärt werden:
Daraus ergibt sich
A = (a+c) h /2
U = a + b + c + d
Berechnungen am Dreieck Das Dreieck ist eine spezielle Form des Trapezes: Die Strecke c vom Trapez
ist 0!
Daraus ergibt sich direkt für die Fläche:
A = ah/2 oder in Worten: Fläche = Grundseite mal Höhe durch
zwei.
U = a + b + c
Die korrekten Dreiecksbezeichnungen sind aus folgender Skizze ersichtlich:
Die Winkel im Dreieck verhalten sich nach folgender Gesetzmässigkeit:
+ + = 180°, wie leicht aus folgender Konstruktion zu sehen ist.
Mathematik Alexander Wenk Seite 48
Der Satz des Pythagoras
Eine Spezialität bei rechtwinkligen Dreiecken ist der Satz des Pythagoras. Wir
brauchen diesen Satz immer wieder in naturwissenschaftlichen Fächern.
Lasst uns dieser Satz also mit Hilfe der nun bekannten Flächenformeln
herleiten. Wir können damit und der folgenden Konstruktion ganz einfach den
Beweis dieses Satzes antreten:
c2 = a2 + b2 Siehe auch https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_des_Pythagoras
Der Kreis Vom Kreis ist die Fläche, der Umfang und die Sektorenfläche von Bedeutung:
A = r2 = (d/2)2 = d2/4
U = 2r = d Ein Kreissektor ist ein Teil vom Vollkreis. Er lässt sich folgendermassen
berechnen:
A = r2/360° = Sektorwinkel in Grad
UB = 2r/360° UB = Länge des Kreissektorbogens
Übung: S.193 Nr. 9 a-d, 10, S.198 Nr 1a, 2a, 5, S. 199 Nr. 1, 4, 6,
S. 202 Nr. 5, 6
Mathematik Alexander Wenk Seite 49
Berechnungen an Säulen Eine Säule hat eine Grundfläche und eine Höhe. Wir können uns die Säule
vorstellen, wie wenn wir viele Scheiben mit derselben Form
übereinanderstapeln.
Säulen können beliebige Grundflächenformen aufweisen (Rechteck, Dreieck,
usw.)
Generell gilt für die Berechnungen von Säulen:
V = Grundfläche Höhe
A = Mantelfläche + 2 Grundfläche
Wir wollen im Folgenden den Quader und den Zylinder genauer betrachten.
Der Quader
Als ersten dreidimensionalen Körper wollen wir den Quader betrachten:
V = a b c
A = 2(ab + ac + bc)
lKante = 4(a+b+c)
Der Zylinder
V = AG h = r2h
A = AM + 2AG
A = dh + d2/2
A = dh + 2r2
Die Kugel Das Volumen und die Oberfläche einer Kugel lässt sich wie folgt berechnen
(ohne Beweis):
V = 4/3 r3 = 4/3 d3/8 = 1/6d3
A = 4r2 = d2 Übung: Cornelsen S. 206 Nr 8a, 9; S. 208 Nr. 5; S. 217 Nr. 9, 12
Mathematik Alexander Wenk Seite 50
Volumen von Pyramide und Kegel Kegel und Pyramide sind keine Säulen, sondern sie velaufen in einen Spitz.
Deshalb gilt die Formel für die Säulenberechnungen nicht mehr. Das Volumen
von Pyramiden und Kegeln ist kleiner als das Volumen der umhüllenden
Säule. Berechnungen ergeben folgenden Sachverhalt:
V = 1/3AGh AG = Grundfläche
Die Grundfläche AG beträgt:
• Bei der Pyramide: AG = ab
• Beim Kegel: AG = r2
Übung zum Thema Pyramide und Kegel:
Cornelsen S. 209 Nr. 2; S. 215 Nr. 4, 7a
Mathematik Alexander Wenk Seite 51
Vektorrechnung
Die Vektorenrechnung findet in vielen technischen Gebieten Anwendung.
Allgemein gesagt rechnen wir dort mit Vektoren, wo nebst dem Zahlenwert
einer Grösse auch deren Richtung von Bedeutung ist. Beispiele hierzu sind:
• Kräfte (Berechnung der resultierenden Kraft aus Teilkräften)
• Elektrotechnik (Rechnen mit Wirk- und Blindwiderständen)
Wir werden in diesem Kapitel nur mit zweidimensionalen Vektoren rechnen.
Die Regeln, die wir hier kennen lernen können aber prinzipiell auch für drei-
und mehrdimensionale Vektoren angewendet werden. Betrachten wir zunächst
einmal, wie ein Vektor definiert wird.
Definition eines Vektors Wie schon erwähnt, hat ein Vektor nicht nur ein Zahlenwert (Betrag) sondern
auch eine Richtung, in die er wirkt. Ein Vektor kann also eindeutig dargestellt
werden wenn wir die x und y Komponenten oder die Koordinaten vom Vektor
kennen. Dies sieht grafisch folgendermassen aus:
Algebraisch können wir einen Vektor
ebenfalls durch seine Koordinaten
angeben:
v = (vx, vy) = (vxex + vyey)
ex, ey: Einheitsvektoren
(Betrag = 1)
Eine andere Möglichkeit, den Vektor eindeutig zu definieren, ist, dessen
Länge (den Betrag) und Richtung (Winkel) anzugeben. Dies lernten wir
bereits bei der Berechnung von Wirk- Blind- und Scheinwiderständen kennen:
Betrag: |a| = a = (ax2 + ay
2)
Richtung: = arctan (ay / ax)
Umgekehrt können wir aus Betrag und Richtung auch die Komponenten ax
und ay berechnen:
ax = acos()
ay = asin()
Mathematik Alexander Wenk Seite 52
Addition von Vektoren In der Wechselstromtechnik haben wir die Addition von Vektoren bereits
durchgeführt. Allerdings waren diese Vektoren stets parallel oder aber
senkrecht zueinander. Wir stellten fest, dass wir die einzelnen Vektorpfeile
grafisch aneinanderreihen können, um zur Resultierenden zu kommen. Dies
können wir auch bei allgemeinen Vektoren anwenden, indem wir die
Komponentenschreibweise von voriger Seite anwenden:
a + b = (axex + ayey) + (bxex + byey)
a + b = ((ax + bx)ex + (ay + by)ey) oder
a + b = (ax + bx, ay + by)
Regel: Zwei Vektoren werden addiert, indem man ihre
entsprechenden Komponenten addiert.
Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl oder Skalar Durch die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar können wir einen
Vektor skalieren. Anders ausgedrückt können wir seine Länge (Betrag)
verändern, nicht aber seine Richtung. Ausnahme: Wenn wir einen Vektor mit
einer negativen Zahl multiplizieren, ändert sich die Wirkungsrichtung um
180°, d.h. der Vektor wirkt in die entgegengesetzte Richtung wie vor der
Multiplikation.
Algebraisch sieht die Multiplikation folgendermassen aus:
za = z(axex + ayey) = zaxex + zayey = (zax, zay)
Regel: Ein Vektor wird mit einem Skalar multipliziert,
indem man seine Komponenten mit dem Skalar multipliziert.
Mathematik Alexander Wenk Seite 53
Subtraktion von Vektoren Die Vektorsubtraktion funktioniert gleich wie die Addition. Beim
abzuziehenden Vektor kehren wir bei allen Komponenten das Vorzeichen.
Skalarprodukt Bei der Multiplikation zweier Vektoren wurden zwei Produkte eingeführt. Das
Kreuz- und das Skalarprodukt. Beim Kreuzprodukt kommt als Resultat
wiederum ein Vektor heraus, zudem funktioniert dieses nur im
dreidimensionalen Raum.
Das Skalarprodukt gibt eine reelle Zahl wieder. Es wird berechnet, indem wir
die beiden Vektoren ausmultiplizieren:
ab = (axex + ayey + azez)(bxex + byey + bzez)
Weiter wird davon ausgegangen, dass exey = exez = eyez = 0. Es bleibt
folglich übrig:
Wenn wir diese Erkenntnis auf zweidimensionale Vektoren beschränken,
können wir ergründen, was wir mit dem Skalarprodukt rechnen können:
Setzen wir zunächst zwei Vektoren in Polarkoordinaten ein:
Mathematik Alexander Wenk Seite 54
Matrizenrechnung zur Lösung von Gleichungssystemen Die Verallgemeinerung vom Skalarprodukt zweier Vektoren ist die
Matrizenmultiplikation. Während ein Vektor jeweils nur eine Dimension hat
(eine Zeile oder eine Spalte), sieht eine Matrix wie eine Tabelle aus.
Prinzipiell können sie eine ungleiche Anzahl Zeilen und Spalten haben.
Wenn wir sie zur Lösung von Gleichungssystemen beiziehen, ist die Anzahl
Zeilen und Spalten gleich gross:
Wie können wir ein Gleichungssystem in Matrizenschreibweise formulieren?
Vereinfacht können wir obige Aufstellung auch formal schreiben:
Ax = y
Wenn wir ein solches Gleichungssystem nach x auflösen wollen, können wir
diese Form umschreiben in
A-1y = x
A-1 nennen wir die inverse Matrix von A. Wenn es uns gelingt, diese mit dem
Taschenrechner zu generieren, können wir ein Gleichungssystem mit Zahlen
ganz einfach per Knopfdruck lösen!
Mathematik Alexander Wenk Seite 55
Berechnung allgemeines Dreieck
Wir haben bereits gesehen, wie wir fehlende Grössen im rechtwinkligen
Dreieck berechnen können. Wir verwendeten dazu die Winkelfunktionen und
den Pythagoras etc.
In der Natur kommen aber meistens Dreiecke ohne rechten Winkel vor. Mit
einem Trick können wir diese ebenfalls berechnen:
Wir zerlegen das allgemeine Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke.
Eigentlich reicht dieser simple Satz bereits, um alle Dreiecke Schritt für
Schritt berechnen zu können.
Um dem Ganzen aber eine gewisse Systematik zu geben, werden wir zwei
prinzipielle Sätze für die Dreiecksberechnung herleiten.
Der Sinussatz Dies ist der einfachere der beiden Sätze. Wir unterteilen das Dreieck mit der
Höhe und berechnen diese mit den beiden gegenüberliegenden Seiten:
Mathematik Alexander Wenk Seite 56
Der Cosinussatz Dieser ist etwas schwieriger herzuleiten, gilt aber als die elegante Erweiterung
vom Satz des Pythagoras:
Mathematik Alexander Wenk Seite 57
Beispiele
Mathematik Alexander Wenk Seite 58
Anwendung von Logarithmen
Nachdem wir nun einige Gesetzmässigkeiten des Logarithmus kennen gelernt
haben, ist es für uns sicher von Interesse, wo wir diese Kenntnisse praktisch
anwenden können. Es folgen in diesem Kapitel einige Anwendungen.
Kaptitalwachstum - Die Zinseszinsrechnung Wer Geld anlegt, bekommt dafür normalerweise auf Ende Jahr einen Zins
ausgezahlt. Lassen wir diesen Zins auf dem Konto, so wird im nächsten Jahr
der Zins für den neuen Kontostand ausgezahlt. Daraus ergibt sich folgende
Beziehung:
Nach 1 Jahr: K1 = K0(1 + p/100)
Nach 2 Jahren: K2 = K1(1 + p/100) = K0(1 + p/100)2
Nach n Jahren: Kn = K0(1 + p/100)n
K0: Startkapital p: Zinssatz in %
Kn: Kapital nach n Jahren n: Laufzeit in Jahren
Wir sind nun imstande, die Aufgabe 6 der Mathe-Übung "Logarithmen" zu
lösen.
Zusatzaufgabe: Der Zehnjährige Kassenzinssatz betrug am 30.08.2002 3.2 %
Wieviel Kapital haben wir nach 10 Jahren, wenn wir 10'000 Fr anlegen
würden?
Mathematik Alexander Wenk Seite 59
Dezibel - Pegelangaben in der Elektrotechnik Wenn wir in der Elektrotechnik die aufgenommene mit der abgegebenen
Leistung eines Übertragungsgliedes vergleichen wollen, können wir das mit
der Pegelangabe in Dezibel [dB] tun. Für den Vergleich von Leistungen gilt
folgende Beziehung:
pp = 10log(P2/P1) [dB]
Dabei bedeuten die Formelzeichen:
pp : Leistungspegel
P1: Eingangsleistung der Schaltung
P2: Ausgangsleistung der Schaltung
Beispiel: Welche Pegel in dB ergeben sich für die folgenden Werte für P2/P1?
P2/P1 = 10 → pp = 10log(10) = 10 dB
P2/P1 = 2 → pp = 10log(2) = 3 dB
P2/P1 = 1 → pp = 10log(1) = 0 dB
P2/P1 = 0.5 → pp = 10log(0.5) = -3 dB
P2/P1 = 0.1 → pp = 10log(0.1) = -10 dB
P2/P1 = 0.01 → pp = 10log(0.01) = -20 dB
Wir sehen aus dieser Gegenüberstellung die Gesetzmässigkeit der
Pegelangaben: Ist die abgegebene Leistung grösser als die aufgenommene, so
liegt eine aktive Schaltung vor, d.h. es ist ein Verstärker vorhanden. Dies
sehen wir an der positiven Pegelangabe. Ist der Pegel negativ, handelt es sich
um eine passive Schaltung.
Formen wir die Formel für die Pegelberechnung um, sehen wir, wie wir auf
den Verstärkungsfaktor v einer Schaltung kommen:
pp = 10log(P2/P1) → pp/10 = log(P2/P1)
P2/P1 = 10Pp/10 = v
Der Verstärkungsfaktor v sagt hier aus, wie gross die Leistung P2 wird, wenn
P1 bekannt ist:
P2/P1 = v → P2 = P1v
Mathematik Alexander Wenk Seite 60
Schauen wir uns eine Verstärkerstrecke mit zwei Übertragungsgliedern an:
Daraus ergibt sich P2 = P1v1 und P3 = P2v2 Die Gesamtverstärkung ergibt sich
aus:
P3 = P1v1v2 = 10(Pp1+Pp2)/10
Folgerung: Der Gesamtpegel ergibt sich durch Addition der Teilpegel, was der
Multiplikation der einzelnen Verstärkungsfaktoren entspricht.
Diese Grundregel, die übrigens nichts anderes als die Multiplikationsregel der
Logarithmen ist, lässt sich auch anwenden, um Pegelwerte aus der
Gegenüberstellung von der vorherigen Seite abzuschätzen. Probieren wir's
gleich mal aus:
Beispiel: Was für ein Verstärkungsfaktor ergibt sich für einen Pegel von
15 dB?
15 dB = 5 3 dB → v = 25 = 32
Übung: Schätze die Verstärkungsfaktoren für folgende Pegel ab.
Vergleiche anschliessend die erhaltenen Werte mit dem exakten Wert.
17 dB = 20 dB - 3 dB → v = 100/2 = 50
5 dB = 20 dB - 53 dB → v = 100/25 = 3.1
42 dB = 30 dB + 43 dB → v = 1'00024 = 16'000
v = 500 = 1000/2 → pp = 30 dB - 3 dB = 27 dB
v = 200 = 1002 → pp = 20 dB + 3 dB = 23 dB
v = 300 1025 → pp =10 dB + 53 dB = 25 dB
Mathematik Alexander Wenk Seite 61
Das Rechnen mit Potenzen
Ein Produkt aus gleichen Zahlen wird als Potenz zusammengefasst
aaa = a3
aaaa…….a = an (n Glieder)
Addition und Subtraktion
Wir können nur Potenzen mit gleicher Basis und gleichen
Exponenten zusammenfassen.
3a2 + 2a2 = 5a2
3a2 + 5a3 = a2(3 + 5a)
Multiplikation Zur Multiplikation von Potenzen gleicher Basis existieren Rechenregeln, die
wir hier zusammen erarbeiten wollen. Schauen wir uns diese anhand eines
Beispiels an:
a3a2 = (aaa)(aa) = a5
Allgemein ausgedrückt ergibt sich hieraus:
aman = am+n
Wie wird ein Produkt von Faktoren potenziert? Folgendes Beispiel zeigt uns
das Vorgehen:
(ab)2 = (ab)(ab) = a2b2
Verallgemeinert ergibt sich (ab)n = anbn
Übungsaufgaben: Hänggi ab S. 45 Nr. 275, 276, 279, 283, 288, 289
Mathematik Alexander Wenk Seite 62
Division Zur Division von Potenzen gleicher Basis existieren ähnliche Rechenregeln
wie bei der Multiplikation, die wir hier zusammen erarbeiten wollen. Schauen
wir uns ein Beispiel an:
a4 : a2 = (aaaa) : (aa) = a2
Allgemein ausgedrückt ergibt sich hieraus:
am : an = am - n
Wenn n > m ist wird der Exponent des Ergebnisses negativ. Betrachten wir
uns diesen Spezialfall etwas genauer
a3 : a4 = (aaa) : (aaaa) = a-1
Die Verallgemeinerung lautet: a-n = 1 / an
Es ist auch möglich dass der Exponent 0 wird:
a2 : a2 = (aa) : (aa) = a0 = 1
Potenzen mit gleichem Exponenten werden dividiert, indem der Quotient der
Basis mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert wird.
an : bn = (a :b)n
Potenzieren von Potenzen Wie kann die Potenz von Potenzen vereinfacht dargestellt werden?
(a3)2 = (aaa)(aaa) = a6
Allgemein gilt: (am)n = amn
Potenzen werden potenziert, indem die Exponenten miteinander multipliziert
werden.
Mathematik Alexander Wenk Seite 63
Übungsaufgaben: Hänggi S. 48 Nr. 292, 295, 297, 299, 300, 302, 304, 310
Das Rechnen mit Wurzelausdrücken (Radizieren) Die Gesetze des Radizierens sind denen des Potenzierens sehr ähnlich. Die
Wurzelausdrücke sind die Umkehrfunktionen der Potenzausdrücke:
bn = a → b = na
Die einzelnen Elemente des Wurzelausdrucks heissen:
b = Wurzelwert
n = Wurzelindex oder Wurzelexponent
a = Radikand
Wir könnten jetzt alle Rechenregeln fürs Radizieren aufschreiben. Wenn es
uns aber gelingt, das Radizieren als spezielle Form des Potenzierens zu sehen,
können wir ganz einfach alle Rechenregeln aus diesem Kapitel anwenden.
Versuchen wir also mit einem Beispiel herauszufinden, was ein
Wurzelausdruck eigentlich ist:
bn = a → b = ?, wenn a gegeben ist.
Wir wissen ja bereits bestens, wie wir Gleichungen umformen können: Wir
müssen beide Seiten gleich behandeln, sonst ist prinzipiell alles erlaubt:
bn = a | 1/n
bn/n = a1/n → bn/n = b1 = b = a1/n
Durch Vergleich mit der Definition des Wurzelausdruckes sehen wir sofort:
b = a1/n = na
Wurzelziehen ist im Grunde genommen nichts anderes als Potenzieren mit
gebrochenen Exponenten!
Übung: Hänggi ab S. 48 Nr. 311, 314, 316, 317, 320, 321, 325, 327, 330, 331,
333, 334, 340
Mathematik Alexander Wenk Seite 64
Mathematik Alexander Wenk Seite 65
Alter Stoff:
Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen
Wir haben es bereits in einer Übungsaufgabe angetönt: Die Winkelfunktionen
sind miteinander verknüpft und können deshalb ineinander umgerechnet
werden. Schauen wir uns diesen Sachverhalt im folgenden rechtwinkligen
Dreieck an:
Um Sinus und Cosinus mit Tangensfunktionen auszudrücken modifizieren wir
unser Dreieck ein wenig:
Mathematik Alexander Wenk Seite 66
Mit dem Einheitskreis lassen sich weitere Beziehungen zwischen den
Winkelfunktionen herausfinden:
Übung: Gebe folgende Ausdrücke unter Anwendung obiger Skizze möglichst
einfach an.
Beispiel:
sin(90° - ) = cos
1. cos(-) = cos
2. sin(-) = - sin
3. sin(90° + ) = cos
4. sin(180° - ) = sin
5. sin(180° + ) = - sin
6. cos(90° - ) = sin
7. cos(90° + ) = - sin
8. tan(180° + ) = tan
9. cos(270° + ) = sin
10. cos(180° + ) = - cos
Mathematik Alexander Wenk Seite 67
Funktionenlehre alter Teil Betrachten wir diese Gleichung als Funktion, so ist die Grösse U abhängig
vom Widerstand und vom Strom, der durch diesen Widerstand fliesst.
Nehmen wir weiter den Widerstand als gegeben an, bleiben als veränderliche
Grössen noch U und I. Wir können nun sagen:
U ist eine Funktion von I: U = f(I)
In der Mathematik verwenden wir für Funktionen häufig die Variablen x und
y. Daraus ergibt sich die allgemeine Funktionsgleichung:
y = f(x) x: Argument, unabhängige Variable
y: abhängige Variable
f: steht für "Funktion"
Prinzipiell unterscheiden wir zwei Arten von Funktionen:
• Eine Funktion, die aus der praktischen Beobachtung resp. durch eine
Messerie gefunden worden ist, heisst empirische Funktion.
• Ist die Funktion durch eine Formel, d.h. ein rechnerisch auswertbares
Gesetz festgelegt, sprechen wir von einer analytischen Funktion.
Analytische Funktionen können wir also berechnen, während dem wir
empirische Funktionen nur durch Auswertung von Tabellen oder Diagrammen
nutzen können.
Mit der Darstellung von Funktionen haben wir uns bereits im Kapitel Fehler!
Verweisquelle konnte nicht gefunden werden. (Seite Fehler! Textmarke
nicht definiert.) beschäftigt.