Mathematik I - II Kapitel 8: Lineare Algebra - Determinanten...Ein einf uhrendes Beispiel Wir bemerken, dass sich unser Gleichungssystem auch in Matrizenform schreiben l asst, Ax =

Mathematik I - II

Kapitel 8: Lineare Algebra - Determinanten

Prof. Dr. Erich Walter Farkas

http://www.math.ethz.ch/∼farkasHS 2020 - FS 2021

1/45

http://www.math.ethz.ch/~farkas

Inhaltsangabe

1. Ein einführendes Beispiel

2. Determinante einer (2 × 2)-Matrix

Eigenschaften

3. Determinante einer (3 × 3)-Matrix

Berechnung der Determinante einer (3 × 3)-Matrix nach Sarrus

Rechenregeln

Laplacescher Entwicklungssatz

4. Determinante höherer Ordnung

Tipps zur praktischen Berechnung

2/45

Literatur

Lothar Papula

Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 2

Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium

14. Auflage, Springer Verlag

Seiten 23 - 53,

Seiten 148 - 151 (Übungsaufgaben mit Lösungen im Anhang)

3/45

Ein einführendes Beispiel


Bei der Lösung naturwissenschaftlich-technischer Probleme stösst man

immer wieder auf lineare Gleichungssysteme.

Es stellt sich dabei sofort die Frage nach der Lösbarkeit eines solchen

Systems.

1. Ist das vorliegende lineare Gleichungssystem überhaupt lösbar?

2. Falls ja, wie lauten die Lösungen des Systems?

Bei der Beantwortung dieser Fragestellungen erweist sich die sogenannte

Determinante als hilfreich.

4/45


Zur Einführung des Determinantenbegriffes betrachten wir das lineare

Gleichungssystem

a11x1 + a12x2 = c1 ,

a21x1 + a22x2 = c2 ,

wobei a11, a12, a21, a22 ∈ R sowie c1, c2 ∈ R gegeben sind, undx1, x2 ∈ R, die beide Gleichungen erfüllen, gesucht werden.

5/45


Es soll nun untersucht werden, unter welchen Voraussetzungen dieses

Gleichungssystem eindeutig lösbar ist, also genau eine Lösung besitzt.

Dazu eliminieren wir zunächst die Unbekannte x2 in der ersten Gleichung,

und die Unbekannte x1 in der zweiten Gleichung,

(a11a22 − a12a21)x1 = c1a22 − c2a12(a11a22 − a12a21)x2 = c2a11 − c1a21 .

Falls a11a22− a12x21 6= 0 ist, dann besitzt das lineare Gleichungssystem dieeindeutige Lösung

x1 =c1a22 − c2a12a11a22 − a12a21

, x2 =c2a11 − c1a21a11a22 − a12a21

.

6/45


Wir bemerken, dass sich unser Gleichungssystem auch in Matrizenform

schreiben lässt,

Ax =

(a11 a12

a21 a22

)(x1

x2

)=

(c1

c2

)= c .

Die aus den vier Elementen der Koeffizientenmatrix A berechnete Grösse

D = a11a22 − a12a21

ist die Determinante von A. Mit ihr können wir Aussagen über die

eindeutige Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems mit zwei

Gleichungen und zwei Unbekannten machen.

Zur eindeutigen Lösbarkeit des Gleichungssystems muss gelten D 6= 0.

7/45

Determinante einer (2 × 2)-Matrix


Definition. Unter der Determinante einer (2× 2)-Matrix A = (aij)(2,2)versteht man die Zahl

detA = |A| =

∣∣∣∣∣a11 a12a21 a22∣∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21 .

Bemerkung. Determinanten können nur aus quadratischen Matrizen

gebildet werden. Die obige Definition gilt nur für (2× 2)-Matrizen.

8/45

Berechnung der Determinante einer (2 × 2)-Matrix

Der Wert der Determinante einer (2× 2)-Matrix ist gleich dem Produktder beiden Hauptdiagonalelemente minus dem Produkt der beiden

Gegendiagonalelemente.

a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= a11a22 − a12a21

Hauptdiagonale

Gegendiagonale

Beispiel. Betrachten Sie das folgende Beispiel,

3 5

−2 4

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 3 · 4− 5 · (−2) = 22 .

9/45

Eigenschaften der Determinante einer (2 × 2)-Matrix

Regel 1. Der Wert der Determinante ändert sich beim Transponieren der

Matrix nicht,

detA = detAᵀ.

Beweis. Durch direkte Berechnung der Determinante erhalten wir

detA =

∣∣∣∣∣a11 a12a21 a22∣∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21

und

detAᵀ =

∣∣∣∣∣a11 a21a12 a22∣∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21 .

Der Wert der Determinante hat sich dabei nicht geändert.

10/45


Regel 2. Beim Vertauschen der beiden Spalten oder Zeilen ändert die

Determinante ihr Vorzeichen,∣∣∣∣∣a11 a12a21 a22∣∣∣∣∣ = −

∣∣∣∣∣a12 a11a22 a21∣∣∣∣∣ = −

∣∣∣∣∣a21 a22a11 a12∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣a22 a21a12 a11∣∣∣∣∣ .

Beweis. Durch direkte Berechnung der Determinanten erhalten wir∣∣∣∣∣a12 a11a22 a21∣∣∣∣∣ = a12a21 − a11a22 = −(a11a22 − a12a21) = −

∣∣∣∣∣a11 a12a21 a22∣∣∣∣∣ .

Übung. Vertauschen Sie die beiden Zeilen und zeigen Sie, dass auch dann

das Vorzeichen sich ändert.

11/45


Regel 3. Werden die Elemente einer beliebigen Zeile oder Spalte einer

(2× 2)-Matrix mit einem reellen Skalar λ multipliziert, so wird auch dieDeterminante mit λ multipliziert.

Beweis. Sei λ ∈ R. Wir multiplizieren die Elemente der 1. Zeile mit demSkalar λ und berechnen die Determinante,∣∣∣∣∣λa11 λa12a21 a22

∣∣∣∣∣ = (λa11) · a22 − (λa12) · a21 = λ detA .Zum gleichen Ergebnis gelangen wir, wenn wir die Elemente der 2. Zeile

mit λ multiplizieren.

Übung. Zeigen Sie, dass wir zum gleichen Ergebnis kommen, wenn wir

eine Spalte mit λ ∈ R multiplizieren.

12/45


Aus Regel 3 können wir uns zwei weitere Regeln ableiten.

Regel 3a. Eine Determinante wird mit einem reellen Skalar λ

multipliziert, indem man die Elemente einer beliebigen Zeile oder Spalte

der Matrix mit λ multipliziert.

Regel 3b. Besitzen die Elemente einer Zeile oder Spalte der Matrix einen

gemeinsamen Faktor λ, so darf dieser vor die Determinante gezogen

werden.

Beispiel.

det

(−24 7−32 1

)=

∣∣∣∣∣−8 · 3 7−8 · 4 1∣∣∣∣∣ = −8 ·

∣∣∣∣∣3 74 1∣∣∣∣∣

= −8 · (3 · 1− 7 · 4) = −8 · (−25) = 200 .

13/45


Regel 4. Der Wert der Determinante ändert sich nicht, wenn man zu

einer Zeile bzw. Spalte der Matrix ein beliebiges Vielfaches der anderen

Zeile bzw. anderen Spalte addiert.

Beweis. Sei λ ∈ R. Dann gilt∣∣∣∣∣a11 + λa21 a12 + λa22a21 a22∣∣∣∣∣ = (a11 + λa21) · a22 − (a12 + λa22) · a21

= detA .

Das gleiche Ergebnis erhalten wir, wenn wir zur 2. Zeile das λ-fache der

1. Zeile addieren.

Übung. Zeigen Sie, dass das gleiche für Spalten gilt.

14/45


Regel 5. Die Determinante einer (2× 2)-Matrix ist ungleich Null, dannund nur dann, wenn ihre Zeilen oder Spalten linear unabhängig sind. Für

eine (2× 2)-Matrix

A =

(a11 a21

a12 a22

)

bedeutet das, dass aus der Gleichung

c1(a11 a21

)+ c2

(a12 a22

)=(

0 0)

folgt, dass c1 = c2 = 0 sein müssen. Für die Spaltenvektoren erhalten wir

ähnlich,

c1

(a11

a12

)+ c2

(a21

a22

)=

(0

0

)

impliziert c1 = c2 = 0.

15/45


Übung. Wir üben kurz den Begriff der linearen Unabhängigkeit.

1. Zeigen Sie, dass der Nullvektor zu allen Vektoren linear abhängig ist.

2. Entscheiden Sie, ob a1 =(

2 3)

, a2 =(

4 6)

linear unabhängig

sind.

3. Entscheiden Sie, ob b1 =(

1 0)

, b2 =(

0 1)

linear unabhängig

sind.

Bemerkung. Sofern nicht alle Vektoren gleich Nullvektoren sind, ist

unsere Definition linearer Unabhängigkeit äquivalent dazu, dass kein

Vektor als Vielfaches des anderen Vektors geschrieben werden kann.

So sind zum Beispiel a1 und a2 linear abhängig, denn es gilt 2a1 = a2,

aber b1 und b2 sind linear unabhängig, denn es gibt kein c ∈ R, sodasscb1 = b2.

16/45


Beweis zu Regel 5. Wir zeigen die Kontraposition, also dass die

Determinante 0 ist, dann und nur dann, wenn ihre Zeilen beziehungsweise

Spalten linear abhängig sind.

Sei also A =

(a11 a12

a21 a22

).

“⇐” : Wenn a1 =

(a11

a21

)oder a2 =

(a12

a22

)Nullvektoren sind, dann ist

die Determinante von A gleich 0. Seien also a1, a2 6= 0. Da sie linearabhängig sind, gibt es also ein c ∈ R, sodass a1 = c · a2. Durch direkteBerechnung der Determinante sehen wir, dass

detA = a11a22 − a12a21 = ca12a22 − ca12a22 = 0 .

17/45


“⇒” : Sei nun die Determinante gleich 0, also

a11a22 = a12a21 .

Wenn a1 der Nullvektor ist, dann sind a1 und a2 linear abhängig.

Sei also a11 6= 0 (analog kann der Fall a21 6= 0 behandelt werden). Wenna12 = 0, dann muss auch a22 = 0 und a2 ist der Nullvektor.

Wenn a12 6= 0 und a22 = 0, dann muss a21 = 0. In diesem Fall sind a1 unda2 linear abhängig mit c =

a11a22

.

Wenn a12, a22 6= 0, dann gilt auch a21 6= 0. Wir können die Gleichungumschreiben und setzen

c =a11a12

=a21a22

.

Dann gilt a1 = c · a2.

18/45


Regel 6. (Multiplikationstheorem für Determinanten) Für zwei Matrizen

A,B ∈ R2×2 gilt stets

det(AB) = det(A) det(B) ,

das heisst die Determinante des Matrizenprodukts AB ist gleich dem

Produkt der Determinanten von A und B.

19/45


Beweis. Betrachten Sie

A =

(a11 a12

a21 a22

)und B =

(b11 b12

b21 b22

).

Das Produkt berechnen wir als

AB =

(a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22

a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22

).

Die Determinanten sind gegeben durch

detA = a11a22 − a12a21 , detB = b11b22 − b12b21 , unddetAB = (a11b11 + a12b21)(a21b12 + a22b22)

− (a11b12 + a12b22)(a21b11 + a22b21)

Wir multiplizieren aus und sehen, dass detAB = detA detB.

20/45


Regel 7. Die Determinante einer (2× 2)-Dreiecksmatrix A ist gegebendurch

detA = a11a22 .

Das heisst, die Determinante einer Dreiecksmatrix ist gleich dem Produkt

der Hauptdiagonalelemente.

Beweis.

Wir beweisen die Aussage für eine obere Dreiecksmatrix,

detA =

∣∣∣∣∣a11 a120 a22∣∣∣∣∣ = a11a22 − a12 · 0 = a11a22 .

Übung. Beweisen Sie die Aussage für eine untere Dreiecksmatrix.

21/45


Bemerkung. Die Einheitsmatrix I2 und die Nullmatrix 0(2,2) sind als

Diagonalmatrizen Sonderfälle der Dreiecksmatrizen.

Es gilt also

det I2 =

∣∣∣∣∣1 00 1∣∣∣∣∣ = 1 ,

det 0 =

∣∣∣∣∣0 00 0∣∣∣∣∣ = 0 .

22/45

Definition der Determinante einer (3× 3)-Matrix

Auf (3× 3)-Matrizen stösst man beispielsweise bei linearenGleichungssystemen mit drei Gleichungen und drei Unbekannten vom Typ

a11x1 + a12x2 + a13x3 = c1 ,

a21x1 + a22x2 + a23x3 = c2 ,

a31x1 + a32x2 + a33x3 = c3 .

Auch hier lässt es sich in Matrixform schreiben,

Ax =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

x1x2x3

=c1c2c3

= c .

23/45


Wir werden später zeigen, dass ein solches System nur dann genau eine

Lösung besitzt, wenn der aus den Elementen der Koeffizientenmatrix A

gebildete Term

D = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32

− a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33

ungleich Null ist.

24/45


Definition. Unter der Determinante einer (3× 3)-Matrix A versteht mandie Zahl

detA =

∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32

− a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33 .

25/45

Berechnung der Determinante nach Sarrus

Als eine Merkhilfe benutzen wir die Regel von Sarrus. Dabei werden die

Spalten 1 und 2 rechts daneben gesetzt und dann wird addiert

bzw. subtrahiert wie in der Abbildung dargestellt.

– – –

a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32

+ + +

Hauptdiagonalprodukte

Gegendiagonalprodukte

Somit ergibt sich also

detA = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32

−a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33 .26/45

Berechnung der Determinante nach Sarrus

Beispiel. Wir berechnen die Determinante von

A =

1 −2 70 3 25 −1 4

.Wir betrachten unsere Merkhilfe

− − −1 −2 7 1 −20 3 2 0 3

5 −1 4 5 −1+ + +

und erhalten

detA = 1 · 3 · 4 + (−2) · 2 · 5 + 7 · 0 · (−1)− 7 · 3 · 5− 1 · 2 · (−1)− (−2) · 0 · 4 = −111 .

27/45

Rechenregeln für Determinanten von (3 × 3)-Matrizen

Für Determinanten von (3× 3)-Matrizen gelten sinngemäss die gleichenRechenregeln wie für Determinanten von (2× 2)-Matrizen, also Regel 1bis Regel 7.

Beispiel. Zum Beispiel haben wir∣∣∣∣∣∣∣4 2 1

10 5 0

−6 −3 1

∣∣∣∣∣∣∣ = 0 ,da die Spalten 1 und 2 linear abhängig sind, denn es gilt(

4 10 −6)ᵀ− 2

(2 5 −3

)ᵀ= 0 .

Nach Regel 5 ist die Determinante gleich Null.

28/45

Rechenregeln für Determinanten von (3 × 3)-Matrizen

Beispiel. Das Multiplikationstheorem gilt auch. Seien

A =

1 0 −12 5 40 1 5

und B =−3 0 −23 2 1

1 8 1

.Die Determinanten sind detA = 19 und detB = −26. Mit demMultiplikationstheorem können wir die Determinante von AB einfach als

Produkt von detA und detB berechnen. Dies ergibt det(AB) = −494.

Übung. Berechnen Sie AB und überprüfen Sie, dass wirklich

detAB = −494 gilt.

29/45

Entwicklung der Determinante einer (3 × 3)-Matrix

Definition. Die aus einer (3× 3)-Matrix A durch Streichen der i-ten Zeileund j-ten Spalte entstehende (2× 2)-Matrix Ai ,j ist eine Untermatrix vonA. Ein Minor (2. Ordnung) oder eine Unterdeterminante Mij ist die

Bezeichnung der Determinante dieser Untermatrix.

Die Cofaktoren (oder Kofaktoren) einer 3× 3-Matrix āij sind definiertdurch

āij = (−1)i+jMij .

30/45

Untermatrizen, Minoren und Cofaktoren

Beispiel. Wir schreiben alle möglichen Untermatrizen der folgenden

Matrix auf,

A =

1 0 32 −1 −20 3 −1

.Die Untermatrizen sind gegeben durch

A1,1 =

1 0 32 −1 −20 3 −1

= (−1 −23 −1

), A2,1 =

1 0 32 −1 −20 3 −1

= (0 33 −1

),

A3,1 =

1 0 32 −1 −20 3 −1

= ( 0 3−1 −2), A1,2 =

1 0 32 −1 −20 3 −1

= (2 −20 −1

),

31/45


Wir wiederholen dieses Schema und erhalten den Rest der Matrizen,

A2,2 =

(1 3

0 −1

), A3,2 =

(1 3

2 −2

), A1,3 =

(2 −10 3

)

A2,3 =

(1 0

0 3

), A3,3 =

(1 0

2 −1

).

Nun berechnen wir alle Minoren,

detA1,1 = 7 , detA2,1 = −9 , detA3,1 = 3 ,detA1,2 = −2 , detA2,2 = −1 , detA3,2 = −8 ,detA1,3 = 6 , detA2,3 = 3 , detA3,3 = −1 .

32/45


Die Cofaktoren sind demnach gegeben als

ā1,1 = (−1)1+1 detA1,1 = 7 , ā2,1 = (−1)2+1 detA2,1 = 9 ,ā3,1 = (−1)3+1 detA3,1 = 3 ā1,2 = (−1)1+2 detA1,2 = 2 ,ā2,2 = (−1)2+2 detA2,2 = −1 , ā3,2 = (−1)3+2 detA3,2 = 8 ,ā1,3 = (−1)1+3 detA1,3 = 6 , ā2,3 = (−1)2+3 detA2,3 = −3 ,ā3,3 = (−1)3+3 detA3,3 = −1 .

Schön und gut, doch wieso machen wir das?

33/45


Das schöne ist, dass wir Cofaktoren benutzen können, um die

Determinante unserer Matrix A zu berechnen. Dazu müssen wir nicht alle

Kofaktoren berechnen, das war nur eine Übung! Wir brauchen maximal 3

Cofaktoren.

Satz. (Laplacescher Entwicklungssatz) Die Determinante einer

(3× 3)-Matrix lässt sich nach jeder der drei Zeilen oder Spalten wie folgtentwickeln:

B Entwicklung nach der i-ten Zeile.

detA =3∑

j=1

(−1)i+jaij detAij =3∑

j=1

āijaij (i = 1, 2, 3)

B Entwicklung nach der j-ten Spalte.

detA =3∑

i=1

(−1)i+jaij detAij =3∑

i=1

āijaij (j = 1, 2, 3)

34/45


Führen wir unser Beispiel fort.

Zur Überprüfung berechnen wir zuerst die Determinante von

A =

1 0 32 −1 −20 3 −1

auf direktem Weg. Wir erhalten

detA = 1 + 0 + 18− 0− (−6)− 0 = 25 .

Nun entwickeln wir nach einer beliebigen Zeile, sagen wir nach Zeile 1.

Mit unserer Vorarbeit erhalten wir somit

detA =3∑

j=1

āijaij = 7 · 1 + 2 · 0 + 6 · 3 = 25 .

Tatsächlich, die Ergebnisse stimmen überein.

35/45


Übung. Entwickeln Sie die Determinante nach anderen Zeilen und

Spalten.

Bemerkung. Bei (3× 3)-Matrizen ist es oft schneller die Determinantedirekt zu berechnen. Doch wenn wir generelle (n× n)-Matrizen betrachtenist der Laplacescher Entwicklungssatz von grossem Nutzen!

Tipp. Eine gute Wahl der Zeile oder Spalte zur Entwicklung hängt von

der Matrix ab. Im Allgemeinen versuchen wir die Zeile oder Spalte zu

nehmen, in der viele Nullen stehen. Da wir dann mit diesen Nullen

multiplizieren, müssen wir die entsprechenden Cofaktoren nicht berechnen.

36/45

Determinante höherer Ordnung

Definition der Determinante einer (n × n)-Matrix

Definition. Formal ist die Determinante auf dem Raum der quadratischen

reellen Matrizen eine Abbildung det : Rn×n → R die multilinear,alternierend und normiert ist.

Für uns soll das bedeuten, dass die Regeln, die wir für Determinanten von

(2× 2)- und (3× 3)-Matrizen gelernt haben, weiterhin gelten.

Für A ∈ Rn×n schreiben wir weiterhin

detA =

∣∣∣∣∣∣∣a11 · · · a1n

.... . .

...

an1 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣ .

37/45

Definition der Determinante einer (n × n)-Matrix

Definition. Die Determinante einer Matrix A = (aij) ∈ Rn×n kann durchdie Leibniz-Formel definiert werden,

detA =∑σ∈Sn

sgn(σ)n∏

i−1ai ,σ(i) .

Doch einfachheitshalber wollen wir weiterhin den rekursiven Laplaceschen

Entwicklungssatz verwenden.

38/45


Satz. (Laplacescher Entwicklungssatz) Die Determinante einer

(n × n)-Matrix lässt sich nach den Elementen einer beliebigen Zeile oderSpalte wie gewohnt entwickeln:

B Entwicklung nach der i-ten Zeile.

detA =n∑

j=1

(−1)i+jaij detAij =n∑

j=1

āijaij (i = 1, . . . , n)

B Entwicklung nach der j-ten Spalte.

detA =n∑

i=1

(−1)i+jaij detAij =n∑

i=1

āijaij (j = 1, . . . , n)

wobei Aij die (n − 1)× (n − 1)-Untermatrix von A ist, die durch Streichender i-ten Zeile und j-ten Spalte entsteht und āij = (−1)i+j detAij ist derzugehörige Cofaktor.

39/45

Berechnung der Determinante einer (n × n)-Matrix

Bemerkung. Durch rekursive Anwendung der allgemeinen

Entwicklungsformel lässt sich eine Determinante einer (n × n)-Matrix aufDeterminanten von 3× 3-Matrizen zurückführen, deren Berechnung nachder Regel von Sarrus erfolgen kann.

40/45

Berechnung der Determinante einer (n × n)-Matrix

Beispiel. Wir berechnen die Determinante der folgenden (4× 4)-Matrix,

A =

1 0 −5 100 1 2 5

3 0 −6 31 4 3 2

.Wir benutzen hierzu den Laplaceschen Entwicklungssatz und entwickeln

nach der ersten Zeile,

detA = 1 ·

∣∣∣∣∣∣∣1 2 5

0 −6 34 3 2

∣∣∣∣∣∣∣+ (−5) ·∣∣∣∣∣∣∣0 1 5

3 0 3

1 4 2

∣∣∣∣∣∣∣− 10 ·∣∣∣∣∣∣∣0 1 2

3 0 −61 4 3

∣∣∣∣∣∣∣= 1 · 123− 5 · 57− 10 · 9= −252 .

41/45

Rechenregeln für Determinanten von (n × n)-Matrizen

Zur Erinnerung schreiben wir nochmal die geltenden Regeln auf:

Regel 1 Der Wert einer Determinante ändert sich nicht, wenn die Matrix

transponiert wird, detAᵀ = detA.

Regel 2 Bei Vertauschen zweier Zeilen oder Spalten der Matrix ändert

die Determinante ihr Vorzeichen.

Regel 3 Werden die Elemente einer beliebigen Zeile oder Spalte

der Matrix mit einem reellen Skalar λ multipliziert, so

multipliziert sich die Determinante mit λ.

Regel 3a Eine Determinante wird mit einem reellen Skalar λ multipliziert,

indem man die Elemente einer beliebigen Zeile oder Spalte

der Matrix mit λ multipliziert.

Regel 3b Besitzen die Elemente einer Zeile oder Spalte einen

gemeinsamen Faktor λ, so darf dieser vor die Determinante

gezogen werden.

42/45

Rechenregeln für Determinanten von (n × n)-Matrizen

Regel 4 Eine Determinante ist ungleich Null, wenn die

Zeilen oder Spalten der Matrix linear unabhängig sind.

Regel 5 Der Wert einer Determinante ändert sich nicht, wenn man zu

einer Zeile oder Spalte ein beliebiges Vielfaches einer

anderen Zeile bzw. anderen Spalte addiert.

Regel 6 Für zwei Matrizen A,B ∈ Rn×n gilt stetsdet(AB) = detA detB.

Regel 7 Die Determinante einer (n × n)-Dreiecksmatrix A besitztden Wert detA = a11 · a22 · . . . · ann.

43/45

Tipps zur praktischen Berechnung

Die Berechnung der Determinante einer (n × n)-Matrix erfolgt nachfolgendem Schema:

1. Mit Hilfe elementarer Umformungen werden zunächst die Elemente

einer Zeile oder Spalte bis auf eines zu Null gemacht.

2. Dann wird die Determinante nach den Elementen dieser Zeile oder

Spalte entwickelt. Man erhält dann eine

(n − 1)× (n − 1)-Untermatrix und berechnet ihre Determinante.

3. Das unter 1. und 2. beschriebene Verfahren wird nun auf die

(n − 1)× (n − 1)-Matrix angewandt und führt zu einer einzigen(n − 2)× (n − 2)-Untermatrix, und so weiter.

Bemerkung. Wir werden später sehen, wie wir mit dem Gaußschen

Eliminationsverfahren eine Matrix in eine Dreiecksmatrix umformen

können. Dann ist die Determinante einfach das Produkt der

Diagonalelemente.

44/45

Danke für Ihre Aufmerksamkeit!

Ein spezieller Dank geht an Alexander Smirnow, der eine frühere Version

dieser Slides aufgebessert und ergänzt hat.

Bei Fragen und Verbesserungsvorschlägen schreiben Sie bitte an

[email protected].

45/45

mailto:[email protected]

Ein einführendes BeispielDeterminante einer (2 2)-MatrixEigenschaften

Determinante einer (3 3)-MatrixBerechnung der Determinante einer (3 3)-Matrix nach SarrusRechenregelnLaplacescher Entwicklungssatz

Determinante höherer OrdnungTipps zur praktischen Berechnung

Anhang

Documents

Mathematik I - II Kapitel 8: Lineare Algebra - Determinanten...Ein einf uhrendes Beispiel Wir bemerken, dass sich unser Gleichungssystem auch in Matrizenform schreiben l asst, Ax =