Mathematik I - unibw.de · In der Mathematik geht es um beweisbare Aussagen, die im Rahmen einer Theorie g ultig sind. Dar uber hinaus erm oglicht die Mathematik die Modellierung

MATTHIAS GERDTS

Mathematik I

Universitat der Bundeswehr MunchenHerbsttrimester 2017

Addresse des Autors:

Matthias Gerdts

Institut fur Mathematik und Rechneranwendung

Universitat der Bundeswehr Munchen

Werner-Heisenberg-Weg 39

85577 Neubiberg

E-Mail: [email protected]

WWW: www.unibw.de/lrt1/gerdts

Vorlaufige Version: 24. Oktober 2017

Copyright c© 2017 by Matthias Gerdts

Inhaltsverzeichnis

1 Grundlagen 3

1.1 Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Summen- und Produktzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 Das Induktionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4 Binomische Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5 Mengen und Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.6 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2 Vektoren und Matrizen 34

2.1 Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.1.1 Multiplikation mit Skalaren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.1.2 Vektoraddition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.1.3 Lange eines Vektors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.1.4 Ortsvektoren und Verbindungsvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.1.5 Skalarprodukt (Inneres Produkt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.1.6 Kreuzprodukt (Vektorprodukt, Außeres Produkt) . . . . . . . . . . 45

2.1.7 Spatprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.1.8 Vektoren im Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.2 Allgemeine Vektorraume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.3 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.4 Lineare Abbildungen und Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3 Lineare Gleichungssysteme 78

3.1 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.2 Existenz und Eindeutigkeit von Losungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.3 Gauss’sches Eliminationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.3.1 Die allgemeine Vorgehensweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.3.2 Der n-dimensionale Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.4 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4 Eigenwertaufgaben 96

4.1 Eigenwerte und Eigenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.2 Eigenwerte, Krummung, Spur und Determinante . . . . . . . . . . . . . . . 115

ii

4.3 Eigenwertabschatzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5 Funktionen 121

5.1 Affin-lineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

5.2 Quadratische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.3 Polynome und rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

5.4 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5.4.1 Sinus, Cosinus ( sin, cos) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5.4.2 Tangens, Cotangens (tan, cot) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5.5 Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5.6 Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

5.7 Hyperbolische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

Literaturverzeichnis 139

Vorwort

Diese Vorlesung basiert auf Vorlesungen von Prof. Dr. Marti, Prof. Dr. Gwinner, Prof. Dr.

Pesch und Prof. Dr. Apel, welche zuvor an der Universitat der Bundeswehr Munchen und

der Universitat Bayreuth gehalten wurden. Sie vermittelt Grundlagen der linearen Algebra

und richtet sich an Studierende im ersten Trimester in den Bachelor-Studiengangen Luft-

und Raumfahrttechnik (LRT), Bauingenieurwesen und Umweltwissenschaften (BAU) und

Elektrotechnik und Informationstechnik (EIT).

Die Vorlesung baut auf den Mathematikkenntnissen im Abitur auf und hat zum Ziel,

grundlegende Konzepte und Methoden der linearen Algebra zur mathematischen Beschrei-

bung naturwissenschaftlich-technischer Prozesse zu vermitteln und zu eigenstandigem lo-

gischen Denken anzuregen.

Als Erganzung stehen zum Selbststudium folgende Hilfsmittel zur Verfugung, um Wissen

aufzufrischen oder etwaige Wissenslucken zu schließen:

(a) Vorkurs Mathematik: Skript zur Auffrischung von Schulkenntnissen von Prof. Dr.

Gerdts.

(b) Mathematik – Vorwissen und Selbststudium: Skript von Prof. Dr. Apel.

(c) Das Lernsystem Mumie kann zum Uben und Wissensuberprufung verwendet wer-

den:

http://www.mumie.net/ .

Es stellt eine Benutzeroberflache zur Generierung von Aufgaben zur Verfugung, die

automatisch korrigiert werden. Eine Demoversion mit Gastzugangen ist unter

https://www.mumie-hosting.net/demo/public/index.html

verfugbar.

(d) Die Fakultat EIT bietet wochentliche Tutorien fur alle Teilnehmer der Vorlesung

an. Diese finden mittwochs ab 12:00 Uhr in Raum 3125 in Gebaude 41/100 statt.

Eine vorherige Anmeldung per Email ist notwendig.

Die Tutorien bieten die Moglichkeit, sich Inhalte der Vorlesung nochmals erklaren

zu lassen. Nutzen Sie dieses Angebot!

1

2

Allgemeine Tipps und Hinweise:

• Mathematische Inhalte erschließen sich nicht von selbst und in den seltensten Fallen

durch gelegentliches Uberfliegen des Vorlesungsskriptes, sondern sie erfordern ein

aktives Mitarbeiten und viel Ubung.

Arbeiten Sie deshalb die Vorlesungen (und Ubungen) nach!

Auch wenn die wochentlichen Ubungsaufgaben aus Kapazitatsgrunden nicht ein-

gesammelt und korrigiert werden konnen, so ist es zum Verstandnis des Stoffes

sehr wichtig, die Ubungsaufgaben regelmaßig und selbststandig zu bearbeiten.

Spatestens in der Klausur, aber insbesondere auch im weiteren Verlauf des Studi-

ums, ist eine gewisse Routine im Losen von Aufgaben notwendig. Diese erlangt man

nur durch eigenstandiges Losen von Aufgaben.

• Gehen Sie den Vorlesungsstoff und Ubungsaufgaben mit Kommilitonen durch. Er-

klaren und diskutieren Sie Definitionen und Satze in eigenen Worten! Fragen Sie

auch die Ubungsleiter und den Leiter der Veranstaltung bei Unklarheiten.

• Es ist keine gute Idee, sich erst kurz vor der Klausur mit dem Vorlesungsstoff zu

beschaftigen. Dann ist es zu spat und es bleibt nichts hangen. Die Inhalte der Vor-

lesung tauchen an verschiedenen Stellen im Studium immer wieder auf und werden

dann als bekannt vorausgesetzt.

• Wichtige Informationen zur Vorlesung, wie z.B. Ansprechpartner, Ubungsaufgaben

und Zusatzmaterial, finden sich auf der WWW-Seite

http://www.unibw.de/lrt1/gerdts/hm1

Diese Seite wird laufend aktualisiert, so dass sie regelmaßig besucht werden sollte.

• Nutzliche Webseiten mit Material zum Selbststudium sind

– http://www.mathe-online.at/

– http://www.geogebra.org/

– http://www.mumie.net/

c© 2011 by M. Gerdts

Kapitel 1

Grundlagen

Worum geht es in der Mathematik und warum muss ein Ingenieur Mathematikvorlesungen

horen?

In der Mathematik geht es um beweisbare Aussagen, die im Rahmen einer Theorie gultig

sind. Daruber hinaus ermoglicht die Mathematik die Modellierung von Vorgangen, etwa

technische oder naturwissenschaftliche Prozesse. Damit kann das Verhalten der Prozesse

auf Basis der Modellierungsannahmen vorhergesagt (simuliert) oder durch geeignete Wahl

von Modellparametern beeinflusst (optimiert) werden. Die Mathematik beschaftigt sich

auch mit der Analyse von Modellen im Hinblick auf qualitative Eigenschaften wie die

Abhangigkeit von Parametern, Stabilitat, Konvergenz und Grenzwertverhalten.

Beispiele:

• Statikberechnungen fur Gebaude und Brucken basieren auf einem mathematischen

Modell zur Berechnung der Lastkrafte und -momente. Diese Berechnungen sind

unerlasslich bei der Planung neuer Gebaude oder Brucken.

• Raumfahrtmissionen mussen vorab geplant, simuliert und optimiert werden. Hierzu

verwendet man mathematisch-physikalische Modelle der Raumfahrtmechanik, die

eine sehr prazise Vorhersage der Flugbahn erlauben.

3

4 KAPITEL 1. GRUNDLAGEN

• Wettervorhersagen basieren ebenfalls auf mathematischen Modellen und Approxima-

tionsverfahren zur naherungsweisen Losung der Modellgleichungen.

• In der Automobilindustrie werden vor dem realen Bau eines neuen Prototypen be-

reits Fahreigenschaften des zukunftigen Fahrzeugs mithilfe von mathematischen

Modellen und Simulationen untersucht. Grobe Konstruktionsfehler konnen dabei

fruhzeitig vermieden werden, was Geld und Zeit spart.

Eine mathematische Theorie verwendet folgende Bausteine:


5

Aussagen beschreiben einen Sachverhalt und sind entweder wahr oder falsch. Man sollte

allerdings beachten, dass nicht fur alle Aussagen entschieden werden kann, ob sie wahr

oder falsch sind.

Axiome sind grundlegende Annahmen bzw. Aussagen, die als wahr vorausgesetzt wer-

den und nicht bewiesen werden (konnen). Ein Axiomensystem darf keine Widerspruche

enthalten. Eine mathematische Theorie sollte auf moglichst wenigen Axiomen aufbauen.

Definitionen dienen zur exakten (!) Einfuhrung neuer Begriffe. Eine Definition muss

prazise sein und darf keinen Raum fur Zweideutigkeiten oder Interpretationsmoglichkeiten

lassen.

Satze (Theoreme) sind Aussagen, die durch logische Schlussfolgerungen aus Axiomen

hergeleitet werden. Den Vorgang der Herleitung nennt man Beweis. Damit sind Satze,

sobald sie bewiesen sind, fur immer gultig. Die einzelnen Schritte, die zum Beweis des

Satzes notig sind, mussen nachvollzogen werden konnen, allerdings benotigt man hierfur

in der Regel ein umfangreiches Wissen von weiteren Satzen, die im Beweis verwendet

werden.

Eine Folgerung ergibt sich aus einem Satz durch (einfache) logische Schlussfolgerungen.

Ein Lemma bzw. Hilfssatz ist ein Satz, der haufig grundlegende Sachverhalte bzw.

Zwischenresultate enthalt, die beim Beweis eines anderen Satzes verwendet werden.

Eine Vermutung ist eine Aussage, die noch nicht bewiesen oder widerlegt wurde. Es gibt

sehr beruhmte Vermutungen, mit denen man sogar Geld verdienen kann, wenn es gelingt,

sie zu beweisen oder zu widerlegen.

Beispiel 1.0.1 (Fermat’sche Vermutung)

Die beruhmte Fermat’sche Vermutung wurde 1637 vom franzosischen Mathematiker Fer-

mat wie folgt formuliert:

Es ist unmoglich, einen Kubus in zwei Kuben zu zerlegen, oder ein Biquadrat

in zwei Biquadrate, oder allgemein irgendeine Potenz großer als die zweite

in Potenzen gleichen Grades. Ich habe hierfur einen wahrhaft wunderbaren

Beweis gefunden, doch ist der Rand hier zu schmal, um ihn zu fassen.



Mathematisch formuliert lautet die Vermutung:

Fur keine naturliche Zahl n ≥ 3 gibt es naturliche Zahlen a, b, c mit

an + bn = cn.

Diese Vermutung war sehr lange unbewiesen und konnte erst Anfang der 1990er Jahre

von Andrew Wiles und Richard Taylor bewiesen werden.

Beispiel 1.0.2 (Vermutung von Collatz)

Im Jahre 1937 vermutete Lothar Collatz, ein deutscher Mathematiker, der u.a. an der

Universitat Hamburg lehrte, dass die folgenden Zahlenfolgen fur beliebige Startwerte stets

bei 1 enden.

Die Zahlenfolgen werden dabei wie folgt konstruiert:

(i) Wahle eine beliebige naturliche Zahl N und setze a0 := N .

(ii) Definiere die Zahlen a1, a2, . . . solange fur n = 0, 1, 2, . . . durch die Vorschrift

an+1 :=

an2, falls an gerade ist,

3an + 1, falls an ungerade ist,

bis ak = 1 fur einen Index k gilt.

Beispiele:

N = 3 : a0 = 3, a1 = 10, a2 = 5, a3 = 16, a4 = 8, a5 = 4, a6 = 2, a7 = 1

N = 4 : a0 = 4, a1 = 2, a2 = 1,

N = 5 : a0 = 5, a1 = 16, a2 = 8, a3 = 4, a4 = 2, a5 = 1,

N = 6 : a0 = 6, a1 = 3, a2 = 10, a3 = 5, a4 = 16, a5 = 8, a6 = 4, a7 = 2, a8 = 1

Die Vermutung ist bis heute weder widerlegt noch bewiesen und kann auf

http://www.rzbt.haw-hamburg.de/dankert/spezmath/html/collatzproblem.html

getestet werden.

Beispiel 1.0.3 (Millennium Probleme)

Auf der Seite

http://www.claymath.org/millennium/

des Clay Mathematics Institute finden sich weitere Vermutungen, etwa die Riemannsche

Vermutung. Der Beweis oder die Widerlegung jeder dieser Vermutungen ist mit einer

Erfolgspramie von 1 Million Dollar dotiert.

Dieses Kapitel stellt das Handwerkszeug fur die nachfolgenden Kapitel bereit. Grundle-

gend ist dabei die Verwendung von Mengen und die Anwendung typischer Mengenope-


1.1. AUSSAGENLOGIK 7

rationen, wie zum Beispiel Durchschnittsbildung, Vereinigung und Komplementbildung,

worauf wir in Abschnitt 1.5 eingehen.

Spezielle Mengen sind dabei die ublichen Zahlen, also die Menge der naturlichen, ganzen,

rationalen, reellen und komplexen Zahlen, die wir in den Abschnitten 1.5 und 1.6 einfuhren

werden.

Das Fuhren mathematischer Beweise basiert auf logischen Schlussen. Typische Schluss-

weisen werden in Abschnitt 1.1 vorgestellt.

In der Vorlesung werden viele Symbole als Variable verwendet, darunter auch griechische

Buchstaben (weil sie so schon sind und das deutsche Alphabet mitunter nicht ausreicht).

Hier sind die wichtigsten:

α alpha β beta γ,Γ gamma

δ,∆ delta ε, ε epsilon ι iota

µ mu ν nu ζ zeta

ω,Ω omega λ,Λ lambda η eta

κ kappa ξ,Ξ xi θ, ϑ,Θ theta

ρ, % rho σ,Σ sigma χ chi

τ tau

1.1 Aussagenlogik

Mathematische Beweise sind nichts anderes als die Aneinanderreihung von logisch kor-

rekten Schlussweisen. Daher kommt der Logik eine besondere Rolle in der Mathematik

zu.

In der Logik geht es um die Verknupfung von Aussagen. Zur Erinnerung: Aussagen be-

schreiben einen Sachverhalt und sind entweder wahr oder falsch. Man kann Aussagen

durch logische Operatoren miteinander verknupfen.

Die bekanntesten logischen Operatoren sind ∧ (logisches “und”) und ∨ (logisches “oder”).

Die verknupfte Aussage A∧B ist genau dann wahr, wenn sowohl A als auch B wahr sind.

Die verknupfte Aussage A ∨B ist genau dann wahr, wenn mindestens eine der Aussagen

A oder B wahr ist.

Beispiel 1.1.1

Wahre Aussagen:

• 3 ist kleiner als 5.

• Falls x < y ist, so ist x+ c < y + c fur alle Zahlen c.

• Die Gleichung x2 = 1 besitzt die reellen Losungen x = 1 und x = −1.



• 5 ist kleiner als 3 oder 3 ist kleiner als 5.

Falsche Aussagen:

• 5 ist kleiner als 3.

• Aus c · x ≤ c · y folgt stets x ≤ y. (Gegenbeispiel: c = 0, x = 1, y = −1)

• Aus x2 = 1 folgt stets, dass x = 1 ist. (Gegenbeispiel: x = −1)

• 5 ist kleiner als 3 und 3 ist kleiner als 5.

Mochte man ausdrucken, dass aus der Aussage A die Aussage B folgt, so schreibt man

A =⇒ B (sprich: “Aus A folgt B.” bzw. “A impliziert B.”).

Beachte, dass die Aussage “A impliziert B” genau dann falsch ist, wenn A wahr und B

falsch ist. Man kann also aus einer wahren Aussage keine falsche Aussage folgern, wenn

man mathematisch korrekt schließt.

Gilt A =⇒ B, so sagt man auch:

• Die Aussage A ist hinreichend fur die Aussage B.

• Die Aussage B ist notwendig fur die Aussage A.

Die Negation (das Gegenteil) einer Aussage A wird mit ¬A bezeichnet.

Beispiel 1.1.2 (Notwendige und hinreichende Aussagen bei der Bestimmung

von Extrempunkten)

Sei f eine differenzierbare Funktion.

(a) Es gilt die folgende Implikation:

f hat lokales Minimum im Punkt x.︸︷︷︸Aussage A

=⇒ Es gilt f ′(x) = 0.︸︷︷︸Aussage B

Die Aussage “Es gilt f ′(x) = 0.” ist notwendig dafur, dass f in x ein lokales

Minimum besitzt. Die Negation dieser Aussage lautet “Es gilt f ′(x) 6= 0.”.

Aus der Aussage “Es gilt f ′(x) = 0.” kann man aber nicht schließen, dass f in x

ein Minimum besitzt (Gegenbeispiel: f(x) = −x2 und x = 0). Damit ist die Aussage

“Es gilt f ′(x) = 0.” nicht hinreichend dafur, dass f in x ein Minimum besitzt.



(b) Es gilt die folgende Implikation:

Fur x gilt f ′(x) = 0 und f ′′(x) > 0.︸︷︷︸Aussage A

=⇒ f besitzt in x ein lokales Minimum.︸︷︷︸Aussage B

Die Aussage “Fur x gilt f ′(x) = 0 und f ′′(x) > 0.” ist hinreichend dafur, dass f

in x ein lokales Minimum besitzt. Die Negation dieser Aussage lautet “Fur x gilt

f ′(x) 6= 0 oder f ′′(x) ≤ 0.”.

Aus der Aussage “f besitzt in x ein lokales Minimum.” kann man aber nicht schlie-

ßen, dass f ′(x) = 0 und f ′′(x) > 0 gelten (Gegenbeispiel: f(x) = x4 und x =

0).Damit ist die Aussage “f besitzt in x ein lokales Minimum.” nicht hinreichend

dafur, dass f ′(x) = 0 und f ′′(x) > 0 gelten.

Das folgende Beispiel zeigt, dass es sehr wohl moglich ist, aus einer falschen Aussage eine

wahre Aussage zu folgern. Solche Schlussweisen sind aber wertlos, da sie von einer falschen

Pramisse ausgehen.

Beispiel 1.1.3 (Beispiel fur Schlussfolgerung mit falscher Pramisse)

Die Aussage

“Jeden Tag gehen alle Menschen ins Schwimmbad, um zu schwimmen.”

ist falsch, da ich ein Mensch bin und z.B. am 16.7.2013 nicht im Schwimmbad war.

Da ich ein Mensch bin, impliziert diese Aussage jedoch die Aussage

“Ich war am 17.7.2013 im Schwimmbad, um zu schwimmen.”

Diese Aussage kann wahr sein, wenn ich tatsachlich am 17.7. im Schwimmbad war, um

zu schwimmen, oder sie kann falsch sein, wenn ich z.B. gar nicht schwimmen kann oder

am 17.7. nicht im Schwimmbad war, um zu schwimmen.

Mochte man ausdrucken, dass die Aussagen A und B gleichwertig (aquivalent) sind, so

schreibt man

A ⇐⇒ B (sprich: “A ist aquivalent zu B.” bzw. “A gilt genau dann, wenn B gilt.”).

Beachte, dass aquivalente Aussagen A und B entweder beide wahr oder beide falsch sind.

Beispiel 1.1.4



(i) Die Aussage “Es gilt x + y = 1 mit reellen Zahlen x und y.” ist aquivalent zu der

Aussage “Es gilt x = 1−y mit reellen Zahlen x und y.”, da die Gleichungen x+y = 1

und x = 1− y dieselben reellen Losungen besitzen.

(ii) Gemaß der Rechenregeln fur reelle Zahlen sind die Aussagen “Fur c > 0 gilt 3c < 0.”

und “Es gilt 3 < 0.” aquivalent, weil man Ungleichungen immer mit positiven Zahlen

skalieren kann, ohne dass sich die Richtung der Ungleichung andert.

Beide Aussagen sind aber falsch.

Bei der Umformung von Formeln sollte man sich stets klar machen, ob man korrekt

schließt, d.h. ob man aquivalente Umformungen vornimmt oder Implikationen ableitet1.

Ein haufiger Fehler bei Umformungen ist, dass man Sonderfalle ubersieht und somit un-

terschlagt. Beispielsweise ist die Schlussweise

x2 = 1 =⇒ x = 1

nicht korrekt, da auch x = −1 eine Losung von x2 = 1 darstellt. Korrekt musste die

Folgerung

x2 = 1 =⇒ x = 1 oder x = −1

lauten. In diesem Fall sind beide Seiten sogar aquivalent:

x2 = 1 ⇐⇒ x = 1 oder x = −1 .

Die Schlussweise

x = −1 =⇒ x2 = 1

ist hingegen korrekt. Aquivalenz gilt hier aber nicht.

Mithilfe von sogenannten Wahrheitstabellen kann man folgende Aussagen beweisen:

1Im taglichen Leben findet man haufig auch ungerechtfertigte Schlussweisen, etwa wenn man von

Symptomen einer Krankheit auf die Krankheit selbst schließen mochte. Dies ist i.a. nicht gerechtfertigt,

da verschiedene Krankheiten dieselben Symptome haben konnen.



¬ (A =⇒ B) ⇐⇒ A ∧ (¬B)

¬(¬A) ⇐⇒ A

¬(A ∧B) ⇐⇒ (¬A) ∨ (¬B)

¬(A ∨B) ⇐⇒ (¬A) ∧ (¬B)

A =⇒ B ⇐⇒ (¬A) ∨BA =⇒ B ⇐⇒ (¬B) =⇒ (¬A)

A =⇒ B ⇐⇒ (A ∧ (¬B)) =⇒ (¬A) (Widerspruchsbeweis)

Hierin bezeichnen ∧ das logische “und” und ∨ das logische “oder”.

Diese Regeln konnen verwendet werden, um (verbale) Aussagen logisch richtig (!) umzu-

formen. 2

Bei der Formulierung von Aussagen greift man haufig auf die sogenannten Quantoren

zuruck:

Das Symbol ∀ ist eine Abkurzung fur”fur alle“.

Das Symbol ∃ ist eine Abkurzung fur”es existiert ein“.

Beispiel 1.1.5

• Die Aussage “Es gibt ein x ∈ R mit x > 0.” lasst sich mit Quantoren wie folgt

schreiben:

∃x ∈ R : x > 0

• Die Aussage “Fur alle x ∈ R gibt es ein y ∈ R mit x + y = 1.” lasst sich mit

Quantoren wie folgt schreiben:

∀x ∈ R ∃y ∈ R : x+ y = 1

Mochte man das Gegenteil einer Aussage, die Quantoren enthalt, ausdrucken, so ist dies

2Aufgabe: Formuliere die Negation der folgenden Aussage.

Aus |x− y| < δ folgt |f(x)− f(y)| < ε.



einfach dadurch zu erreichen, dass man die Quantoren gegenseitig ausgetauscht und die

Eigenschaft negiert:

Sei E(x, y, z) ein Ausdruck, der von Parametern (x, y, z) abhange. Die Negation der Aus-

sage

∀x > 0 ∃y > 0 ∀z : E(x, y, z)

lautet

∃x > 0 ∀y > 0 ∃z : ¬E(x, y, z).

Mit anderen Worten: Um eine Aussage mit ∀ zu widerlegen, genugt es, ein Gegenbeispiel

zu finden (∃). Um eine Existenzaussage mit ∃ zu widerlegen, muss eine allgemeine Aussage

durch logisches Schließen bewiesen werden (∀) .

1.2 Summen- und Produktzeichen

Zur Summation von Zahlen wird haufig das Symbol Σ verwendet. Analog wird fur Pro-

dukte von Zahlen das Symbol∏

verwendet.

Beispiel 1.2.1 (Summenzeichen)

• Mochte man alle naturlichen Zahlen bis zur Zahl n ∈ N aufsummieren, so lasst sich

das mithilfe des Summenzeichens leicht schreiben als

n∑k=1

k = 1 + 2 + 3 + . . .+ n .

Schon Gauß hat erkannt, dass es fur diese Summe eine Berechnungsformel gibt,

namlichn∑k=1

k =n

2(n+ 1) .

(Begrundung?)

• Fur die Summe der Quadratzahlen

n∑k=1

k2 = 1 + 22 + 32 + . . .+ n2

gibt es ebenfalls eine geschlossene Formel, namlich

n∑k=1

k2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1) .

Diese Formel kann man formal mittels Induktion beweisen (siehe nachster Ab-

schnitt).


1.2. SUMMEN- UND PRODUKTZEICHEN 13

• Die Zahlen ak seien fur k = 1, . . . , 100 definiert als ak = 1k+1

. Deren Summe lautet

dann

a1 + a2 + . . .+ a100 =100∑k=1

ak =100∑k=1

1

k + 1=

1

2+

1

3+ . . .+

1

101.

Beispiel 1.2.2 (Produktzeichen)

• Mochte man alle naturlichen Zahlen bis zur Zahl n ∈ N multiplizieren, so lasst sich

das mithilfe des Produktzeichens leicht schreiben alsn∏k=1

k = 1 · 2 · 3 · · ·n .

Diese Zahl hat einen speziellen Namen, namlich n! (sprich: n-Fakultat).

• Die Zahlen ak seien fur k = 1, . . . , 100 definiert als ak = 1k+1

. Deren Produkt lautet

dann

a1 · a2 · · · a100 =100∏k=1

ak =100∏k=1

1

k + 1=

1

2· 1

3· · · 1

101.

Gegeben seien n Zahlen a1, a2, . . . , an.

• Fur die Summe

a1 + a2 + . . .+ an

der Zahlen schreibt man abkurzend

n∑k=1

ak (= a1 + a2 + . . .+ an) .

Hierin ist k der Summationsindex, welcher von k = 1 bis n lauft.

• Fur das Produkt

a1 · a2 · · · an

der Zahlen schreibt man abkurzend

n∏k=1

ak (= a1 · a2 · · · an) .

Hierin ist k der Produktindex, welcher von k = 1 bis n lauft.



Bemerkung 1.2.3

• Geht aus dem Kontext klar hervor, uber welchen Indexbereich die Summe bzw. das

Produkt gebildet werden soll, so schreibt man haufig auch abkurzend∑ak bzw.

∏ak .

• Naturlich kann man auch nur uber Teile der Zahlen summieren, indem der Bereich

des Summationsindex angepasst wird. Folgende Beschreibungen sind ublich:

n−3∑k=3

ak = a3 + a4 + . . .+ an−4 + an−3,

∑k=j

ak = aj + aj+1 + . . .+ a`−1 + a`, (fur 1 ≤ j ≤ ` ≤ n)

∑k=j

ak := 0, (Definition, falls ` < j)∑k∈4,5,6

ak = a4 + a5 + a6,∑j∈2k | k∈N,k<4

aj = a2 + a4 + a6.

Analog fur die Produktbildung.

1.3 Das Induktionsprinzip

Gegeben sei eine Aussage E(n), die von einer naturlichen Zahl abhangt.

Als Beispiel betrachten wir die Summation von Zahlen:

Aussage E(n) : Fur n ∈ N giltn∑k=1

k =n

2(n+ 1).

Ziel ist es, die Aussage E(n) fur alle n ∈ N (oder eine unendliche Teilmenge davon) zu

beweisen.

Die Aussage E(n) soll mit dem Induktionsprinzip bewiesen werden:

Induktionsprinzip:

• Induktionsanfang: Zeige, dass die Aussage E(n0) fur ein n0 ∈ N gilt (haufig ist

n0 = 1).


1.3. DAS INDUKTIONSPRINZIP 15

• Induktionsschluss: Zeige fur ein beliebiges n ≥ n0, dass die Aussage E(n + 1)

gilt, wenn E(n) als wahr angenommen wird. Die Annahme, dass E(n) gelte, wird

als Induktionsannahme bezeichnet.

Induktionsanfang und Induktionsschluss zusammen zeigen, dass die Aussage E(n) fur

alle n ≥ n0 gilt. Das Induktionsprinzip arbeitet dabei nach dem Dominoprinzip: Der

Induktionsanfang entspricht dem Umkippen des ersten Steins. Der Induktionsschluss sorgt

dafur, dass der nachste Stein fallt, wenn der vorige gefallen ist.

Wir wenden das Induktionsprinzip auf das Beispiel an:

Induktionsanfang: Fur n = n0 = 1 gilt

n∑k=1

k =1∑

k=1

k = 1 =1

2(1 + 1)

√

Damit gilt die Aussage E(1).

Induktionsschluss: Die Aussage E(n) gelte nun fur ein beliebiges n ∈ N, d.h. es gelte

n∑k=1

k =n

2(n+ 1) (Induktionsannahme).

Wir mussen nun zeigen, dass auch E(n+ 1) gilt. Wir erhalten

n+1∑k=1

k = (n+ 1) +n∑j=1

j︸︷︷︸=n

2(n+1) nach Induktionsannahme

= (n+ 1) +n

2(n+ 1)

= (n+ 1)(

1 +n

2

)=

n+ 1

2(n+ 2) .



Damit ist unter Verwendung der Induktionsannahme gezeigt, dass auch E(n+ 1) gilt.

Induktionsanfang und Induktionsschluss liefern zusammen die Behauptung.

1.4 Binomische Formeln

In den Anwendungen treten oft Ausdrucke der Form

(a+ b)2, (a− b)2, (a+ b)3, (a− b)3, (a+ b)4, (a− b)4, . . .

bzw. allgemein der Form

(a+ b)n (n ∈ N, a, b ∈ R)

auf.

Fur n = 2 erhalt man

(a+ b)2 = (a+ b)(a+ b) = a2 + 2ab+ b2 (1. binomische Formel),

(a− b)2 = (a− b)(a− b) = a2 − 2ab+ b2 (2. binomische Formel),

a2 − b2 = (a− b)(a+ b) (3. binomische Formel).

Des Weiteren berechnen sich die Ausdrucke (a+ b)n fur n = 1, 2, . . . , 5 wie folgt:

(a+ b)0 = 1

(a+ b)1 = 1a+ 1b

(a+ b)2 = 1a2 + 2ab+ 1b2

(a+ b)3 = 1a3 + 3a2b+ 3ab2 + 1b3

(a+ b)4 = 1a4 + 4a3b+ 6a2b2 + 4ab3 + 1b4

(a+ b)5 = 1a5 + 5a4b+ 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + 1b5

...

Schaut man sich die Koeffizienten vor den einzelnen Termen an, so kann man ein Mu-

ster erkennen, welches uns die Koeffizienten der Ergebnisse liefert. Es basiert auf dem

Pascal’schen Dreieck in der folgenden Abbildung 1.1:


1.4. BINOMISCHE FORMELN 17

Abbildung 1.1: Pascal’sches Dreieck

In den Außendiagonalen steht immer eine 1. Die inneren Terme werden als Summe der

daruberliegenden Terme gebildet.

Diese Ergebnisse kann man in einer einzigen Formel zusammenfassen. Darin verwendet

man die sogenannten Binomialkoeffizienten:

Definition 1.4.1 (Binomialkoeffizienten)

Fur n, k ∈ N0 mit k ≤ n sind die Binomialkoeffizienten definiert als(n

k

):=

n!

(n− k)!k!(sprich: “n uber k”),

wobei die Konvention 0! = 1 verwendet wird.

Eigenschaften:

•(n

k

)=

n!

(n− k)!k!=

(n− k + 1)(n− k + 2) . . . (n− 2)(n− 1)n

1 · 2 · 3 . . . k

•(n

k

)=

(n

n− k

)

•(

n

k − 1

)+

(n

k

)=

(n+ 1

k

)Beispiel: (

7

4

)=

1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7(1 · 2 · 3 · 4)(1 · 2 · 3)

= 35.

Mithilfe der Binomialkoeffizienten kann man per Induktion den folgenden Satz beweisen:



Satz 1.4.2 (Binomiallehrsatz)

Fur a, b ∈ R und n ∈ N0 gilt

(a+ b)n =n∑k=0

(n

k

)an−kbk

=

(n

0

)an +

(n

1

)an−1b+

(n

2

)an−2b2 + · · ·+

(n

n− 1

)abn−1 +

(n

n

)bn .

Beweis: Wir beweisen den Binomilallehrsatz mittels Induktion nach n.

Induktionsanfang: Fur n = 0 gilt (a+ b)0 = 1 und

0∑k=0

(0

k

)a0−kbk =

(0

0

)a0−0b0 = 1.

Damit stimmt die Behauptung fur n = 0.

Induktionsschritt: Die Aussage gelte fur ein beliebiges n ∈ N0. Damit erhalten wir fur

n+ 1:

(a+ b)n+1 = (a+ b)n(a+ b)

= (a+ b)n∑k=0

(n

k

)an−kbk

=n∑k=0

(n

k

)an−k+1bk +

n∑k=0

(n

k

)an−kbk+1

=n∑k=0

(n

k

)an+1−kbk +

n+1∑k=1

(n

k − 1

)an−(k−1)bk

=

(n

0

)︸︷︷︸=(n+1

0 )

an+1b0 +n∑k=1

((n

k

)+

(n

k − 1

))︸︷︷︸

=(n+1k )

an+1−kbk +

(n

n

)︸︷︷︸=(n+1

n+1)

a0bn+1

=n+1∑k=0

(n+ 1

k

)an+1−kbk.

Damit ist die Behauptung fur n + 1 bewiesen und das Induktionsprinzip liefert die Be-

hauptung.

1.5 Mengen und Zahlen

Mengen sind Grundbausteine der Mathematik. Sie dienen zum”Sammeln“ von Objekten

mit definierten Eigenschaften.


1.5. MENGEN UND ZAHLEN 19

Definition 1.5.1 (Menge, Element)

(a) Eine Menge ist eine Sammlung von (realen oder gedachten) Objekten, ihren Ele-

menten. Dabei kann man fur jedes Objekt entscheiden, ob es zur Menge gehort oder

nicht.

(b) Gehort ein Objekt x zur Menge M , so schreiben wir x ∈M .

Gehort ein Objekt x nicht zur Menge M , so schreiben wir x 6∈M .

(c) Besitzt die Menge M nur endlich viele Elemente, so heißt sie endliche Menge,

andernfalls unendliche Menge.

(d) ∅ ist die leere Menge, sie enthalt kein Element.

Zwei MengenM undN werden als gleich betrachtet, wenn sie dieselben Elemente besitzen,

d.h.

M = N ⇐⇒ (x ∈M ⇔ x ∈ N) .

In diesem Sinne sind die Mengen 1, 2, 3 und 3, 2, 1 gleich, es kommt also nicht auf die

Reihenfolge der Elemente an. Zwei Mengen sind ungleich, wenn sie nicht gleich sind.

Beispiel 1.5.2

(i) −2, 4, 2, 8, 9, 123 ist eine endliche Menge mit 6 Elementen.

(ii) rot, grun, blau ist eine endliche Menge mit 3 Elementen. Sie ist eine Teilmenge

der Menge aller Farben.

(iii) 1, 3, 5, 7, 9, 11, . . . = 2k−1 | k ∈ N ist eine unendliche Menge, die die ungeraden

naturlichen Zahlen enthalt.

Beispiel 1.5.3

• Naturliche Zahlen: Die Menge der naturlichen Zahlen wird mit N bezeichnet und

lautet

N := 1, 2, 3, 4, . . . , n, n+ 1, . . ..



Formal definiert man die Menge dadurch, dass man sagt 1 ist eine naturliche Zahl

und mit n ∈ N folgt, dass auch n+ 1 ∈ N ist.

Mit

N0 := 0, 1, 2, 3, 4, . . . , n, n+ 1, . . .

bezeichnen wir die Menge der naturlichen Zahlen einschließlich der Null.

• Ganze Zahlen: Die Menge der ganzen Zahlen wird mit Z bezeichnet. Sie enthalt

neben den naturlichen Zahlen und der Null auch deren negative Zahlen und lautet

Z := n | n ∈ N0 ∪ −n | n ∈ N= . . . ,−(n+ 1),−n, . . . ,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . , n, n+ 1, . . ..

• Rationale Zahlen: Die Menge der rationalen Zahlen wird mit Q bezeichnet. Sie

enthalt Bruchzahlen und ist definiert durch

Q :=mn

∣∣∣ m ∈ Z, n ∈ N.

Fur eine rationale Zahl q = mn

heißt m Zahler und n Nenner.

Man konnte den Eindruck gewinnen, dass die rationalen Zahlen bereits alle wichtigen

Zahlen enthalten. Dies ist nicht der Fall, da sich z.B.

√2,√

3, π, e

nicht als Bruchzahl darstellen lassen und somit keine rationalen Zahlen sind.

• Reelle Zahlen: Die Menge der reellen Zahlen wird mit R bezeichnet. Die reellen

Zahlen ergeben sich durch sogenannte Vervollstandigung der rationalen Zahlen,

indem”

Lucken“ in den rationalen Zahlen geschlossen werden. Dazu erganzt man

die rationalen Zahlen um Zahlen, die nicht als Bruchzahl dargestellt werden konnen,

also z.B. um√

2,√

3, π, e.

Eine formale Definition der reellen Zahlen lautet wie folgt:

R :=r∣∣∣ es gibt eine Folge von Zahlen rn ∈ Q, n ∈ N, mit lim

n→∞rn = r

.

• Die Mengen

R+ := r ∈ R | r > 0,R− := r ∈ R | r < 0

bezeichnen die Menge der positiven bzw. negativen reellen Zahlen. Die Mengen

R+0 := r ∈ R | r ≥ 0,

R−0 := r ∈ R | r ≤ 0



bezeichnet die Menge der positiven bzw. negativen reellen Zahlen einschließlich der

Null.

• Fur a, b ∈ R mit a < b sind die folgenden Intervalle definiert:

[a, b] := x ∈ R | a ≤ x ≤ b (abgeschlossenes Intervall),

(a, b) := x ∈ R | a < x < b (offenes Intervall),

[a, b) := x ∈ R | a ≤ x < b (halboffenes Intervall),

(a, b] := x ∈ R | a < x ≤ b (halboffenes Intervall).

Um auch unendliche Intervalle abbilden zu konnen, werden die Unendlichsymbole

+∞ und −∞ verwendet, welche aber nicht als reelle Zahlen angesehen werden:

(−∞, b] := x ∈ R | x ≤ b,(−∞, b) := x ∈ R | x < b,

[a,∞) := x ∈ R | a ≤ x,(a,∞) := x ∈ R | a < x,

(−∞,∞) := R.

• Die komplexen Zahlen C werden in Abschnitt 1.6 behandelt.

Den reellen Zahlen kommt eine besondere Bedeutung zu, da innerhalb der Menge der

reellen Zahlen die ublichen Rechenregeln gelten3:

Rechenregeln und Eigenschaften in den reellen Zahlen R:

(i) Die Gleichung

a+ x = b

besitzt stets die reelle Losung x = b− a fur alle a, b ∈ R.

(ii) Fur a, b ∈ R, a 6= 0, besitzt die Gleichung

a · x = b

stets die reelle Losung x = ba. Fur a = 0 besitzt die Gleichung nur dann eine Losung,

wenn b = 0 gilt. Fur a = b = 0 ist jede Zahl x ∈ R eine Losung.

3Aufgabe: Uberprufen Sie, welche der Eigenschaften in den Mengen N, Z, Q gelten bzw. welche Ei-

genschaften nicht gelten.



(iii) Fur alle x, y, z ∈ R gelten die folgenden Rechenregeln fur die vier Grundrechenarten

+, −, ·, /:

Addition, Subtraktion:

A1 : x+ (y + z) = (x+ y) + z (Assoziativgesetz)

A2 : x+ y = y + x (Kommutativgesetz)

A3 : es gibt 0 ∈ R mit x+ 0 = x (Existenz des Nullelements 0)

A4 : zu jedem x ∈ R gibt es (−x) ∈ R (Existenz eines additiv inversen

mit x+ (−x) = 0 Elements)

Multiplikation, Division:

M1 : x · (y · z) = (x · y) · z (Assoziativgesetz)

M2 : x · y = y · x (Kommutativgesetz)

M3 : es gibt 1 ∈ R, 1 6= 0, mit 1 · x = x (Existenz des Einselements 1)

M4 : zu jedem x ∈ R, x 6= 0, gibt es (Existenz eines multiplikativ inversen

x−1 ∈ R mit x · x−1 = 1 Elements)

D : x · (y + z) = x · y + x · z (Distributivgesetz)

(iv) Die reellen Zahlen sind auf der Zahlengeraden angeordnet, d.h. man kann reelle

Zahlen bzgl. ihrer Große miteinander vergleichen. Fur alle a, b ∈ R gilt genau eine

der folgenden Alternativen: a < b, a = b, a > b.

Es gelten folgende Regeln fur a, b, c, d ∈ R:

a < b und b < c =⇒ a < c

a < b =⇒ a+ d < b+ d

a < b und c > 0 =⇒ a · c < b · ca < b und c < 0 =⇒ a · c > b · c

Definition 1.5.4

(a) Die Menge M heißt Teilmenge der Menge N , in Zeichen M ⊆ N , wenn jedes



Element von M auch Element von N ist, d.h. es gilt

x ∈M =⇒ x ∈ N.

Im Fall M ⊆ N und M 6= N heißt die Menge M echte Teilmenge der Menge N ,

in Zeichen M ⊂ N oder M ( N .

(b) Die Menge M heißt (echte) Obermenge der Menge N , wenn N (echte) Teilmenge

von M ist.

Beispiel 1.5.5

(i) Die leere Menge ∅ ist Teilmenge jeder Menge.

(ii) −1, 2, 3 ⊂ −1, 2, 3, 5

(iii) N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

(iv) Die Menge 0, 1, 3 ist weder Teilmenge noch Obermenge von −1, 0, 1.

Ublicherwise werden die Elemente einer Menge durch Angabe von Eigenschaften beschrie-

ben, also etwa in der Form

M1 = x ∈ N | 3 ≤ x ≤ 7 = 3, 4, 5, 6, 7,M2 = x ∈ R | x2 ≥ 1 = x | x ∈ R, x2 ≥ 1,M3 = x ∈ N | es gibt eine Zahl q ∈ N mit x = 2q

= 2x | x ∈ N= 2, 4, 6, 8, 10, . . ..

Die Beispiele zeigen, dass dieselbe Menge unterschiedliche Beschreibungen ihrer Elemente

besitzen kann. Das Zeichen | bedeutet bei der Charakterisierung von Mengen”mit der

Eigenschaft“, d.h.

M = x | E(x)

bezeichnet die Menge aller x mit der Eigenschaft E(x).

Mithilfe von Mengenoperationen kann man mit Mengen rechnen.



Definition 1.5.6

(a) Die Vereinigung zweier Mengen M und N ist definiert als die Menge

M ∪N := x | x ∈M oder x ∈ N.

(b) Der Durchschnitt zweier Mengen M und N ist definiert als die Menge

M ∩N := x | x ∈M und x ∈ N.

Zwei Mengen M und N heißen diskjunkt, wenn ihr Durchschnitt leer ist, d.h.

M ∩N = ∅.

(c) Die Differenz zweier Mengen M und N ist definiert als die Menge

M \N := x | x ∈M und x 6∈ N.

(d) Ist M ⊆ N , so ist das Komplement von M bzgl. N definiert als die Menge

M := N \M (Sprechweise: N ohne M).

(e) Das Produkt zweier Mengen M und N ist definiert als die Menge

M ×N := (x, y) | x ∈M und y ∈ N.

(f) Die Potenzmenge P (M) (oder 2M) der Menge M ist definiert als die Menge aller

Teilmengen von M .

Beispiel 1.5.7

1, 2 ∪ 2, 3, 4 = 1, 2, 3, 41, 2 ∩ 2, 3, 4 = 21, 2 \ 2, 3, 4 = 11, 2 × 2, 3, 4 = (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4)

P (2, 3, 4) = ∅, 2, 3, 4, 2, 3, 2, 4, 3, 4, 2, 3, 4R2 = R× R,

Rn = R× . . .× R (n-mal)


1.6. KOMPLEXE ZAHLEN 25

1.6 Komplexe Zahlen

Die Menge der reellen Zahlen ist schon sehr machtig und umfasst die gesamte Zahlen-

gerade. Allerdings ist die Menge der reellen Zahlen fur bestimmte Aufgaben noch nicht

ausreichend. Mochte man z.B. die Gleichung

x2 + 1 = 0 (1.1)

uber den reellen Zahlen losen, so ist dies nicht moglich, da in R kein solches x existiert.

Solche Probleme treten z.B. bei der Bestimmung von sogenannten Eigenwerten auf, siehe

Kapitel 4 die u.a. bei der Stabilitatsanalyse von technischen Systemen und insbesondere

in der Regelungstechnik sehr wichtig sind.

Um auch Gleichung (1.1) losen zu konnen, fuhren wir eine neue”Zahl“ mit dem Symbol

i ein. Beachte allerdings, dass i keine Zahl im Sinne der reellen Zahlen ist, sondern ein

zusatzliches Objekt.4

Definition 1.6.1 (die imaginare Zahl i)

Die imaginare Zahl i ist definiert als Losung der Gleichung (1.1), d.h. sie erfullt

i2 = −1.

Die komplexen Zahlen erhalten wir nun durch Summen von reellen Zahlen und reellen

Vielfachen der imaginaren Zahl i.

Definition 1.6.2 (komplexe Zahlen)

Die komplexen Zahlen sind definiert als die Menge

C := a+ ib | a ∈ R, b ∈ R.

Fur eine komplexe Zahl z = a + ib heißt a der Realteil von z und b der Imaginarteil

von z. Wir schreiben Re(z) = a und Im(z) = b.

Mit z := a− ib wird die konjugiert komplexe Zahl von z bezeichnet.

Komplexe Zahlen der Form ib mit b ∈ R heißen imaginare Zahlen.

Da die imaginare Zahl i keine reelle Zahl ist, stellen wir uns die komplexen Zahlen in einer

Ebene, der sogenannten Gauss’schen Zahlenebene, vor, siehe Abbildung 1.2.

4Haufig findet man die Schreibweise i :=√−1, woraus allerdings −1 = i · i =

√−1 ·

√−1 =√

(−1) · (−1) =√

1 = 1 folgen wurde. Daher sollte diese Schreibweise vermieden werden.



Im

Re

−ib

ib

a

z = a+ ib

z = a− ib

Abbildung 1.2: Gauss’sche Zahlenebene: Komplexe Zahl z und konjugiert komplexe Zahl

z.

Betrachtet man nur komplexe Zahlen mit Imaginarteil gleich Null, so sind dies gerade die

reellen Zahlen, d.h.

R ( C.

Mithilfe der Gauss’schen Zahlenebene konnen wir die komplexen Zahlen auch als Vektoren

interpretieren. Der Betrag der komplexen Zahl z = a+ ib ist definiert als

|z| :=√a2 + b2,

was gerade der Lange des Vektors vom Nullpunkt zur komplexen Zahl a + ib in der

Gauss’schen Zahlenebene entspricht.

Mit komplexen Zahlen kann man normal rechnen, wenn man i2 = −1 beachtet.

Rechenregeln:

(i) Seien z1 = a1 + ib1 und z2 = a2 + ib2 komplexe Zahlen. Die Summe lautet

z1 + z2 = (a1 + ib1) + (a2 + ib2) = (a1 + a2) + i(b1 + b2).

(geometrische Interpretation: Vektoraddition)

(ii) Seien z = a+ ib und c ∈ R. Die Multiplikation mit c lautet

c · z = c · (a+ ib) = (c · a) + i(c · b).



(iii) Seien z1 = a1 + ib1 und z2 = a2 + ib2 komplexe Zahlen. Das Produkt der beiden

Zahlen lautet

z1 · z2 = (a1 + ib1) · (a2 + ib2)

= a1 · (a2 + ib2) + (ib1) · (a2 + ib2)

= a1a2 + ia1b2 + ib1a2 + i2b1b2

= (a1a2 − b1b2) + i(a1b2 + b1a2).

(iv) Sei z = a+ ib. Dann gilt nach (iii)

z · z = (a+ ib) · (a− ib) = a2 + b2 = |z|2.

(v) Seien z1 = a1 + ib1 und z2 = a2 + ib2 komplexe Zahlen mit z2 6= 0. Die Division der

Zahlen liefert

z1z2

=a1 + ib1a2 + ib2

=a1 + ib1a2 + ib2

· a2 − ib2a2 − ib2

=(a1a2 + b1b2) + i(b1a2 − a1b2)

|z2|2.

Bemerkung 1.6.3

Die komplexen Zahlen versehen mit der ublichen Addition + und der Multiplikation · bil-

den wie die reellen Zahlen wieder einen Korper (C,+, ·), d.h. Assoziativ-, Kommutativ-

und Distributivgesetz, Existenz von Null- und Einselement sowie Existenz von additiven

und multiplikativen inversen Elementen gelten analog.

Ubung: Weise die Regeln A1-A4, M1-M4 und D aus dem Abschnitt uber reelle Zahlen

nach.

Bemerkung 1.6.4

Die komplexen Zahlen sind nicht angeordnet, d.h. es gibt keine Ordnungsrelationen < oder

> zwischen zwei komplexen Zahlen.

Polarkoordinaten

Man kann komplexe Zahlen auch in Polarkoordinaten durch ihre Lange und den Winkel

ϕ ∈ [0, 2π) zwischen der reellen Achse (Realteil) und dem Vektor vom Nullpunkt zur Zahl



z = a+ ib beschreiben, vgl. Abbildung 1.3:

a = |z| cosϕ, b = |z| sinϕ =⇒ z = |z| (cosϕ+ i sinϕ) .

Im

Re

z

ϕ

|z||z|

|z|cos ϕ

sin ϕ

Abbildung 1.3: Gauss’sche Zahlenebene: Komplexe Zahl z und Darstellung in Polarkoor-

dinaten uber Lange und Winkel.

Satz 1.6.5

Jede komplexe Zahl z = a+ ib lasst sich in Polarkoordinatenform

z = r (cosϕ+ i sinϕ)

mit r ≥ 0 und ϕ ∈ [0, 2π) darstellen. Fur z 6= 0 ist die Darstellung eindeutig.

Definition 1.6.6

Der Winkel ϕ in der Polarkoordinatendarstellung von z heißt Argument von z, in

Zeichen: ϕ = Arg(z).

Das Argument von z = a+ ib berechnet sich mithilfe der Beziehung

tanϕ =b

a=⇒ ϕ = arctan

b

a,

wobei berucksichtigt werden muss, in welchem Quadranten z liegt, und der Fall a = 0



muss gesondert betrachtet werden. Es ergibt sich

ϕ =

arctan ba, fur a > 0, b ≥ 0,

π2, fur a = 0, b > 0,

π + arctan ba, fur a < 0,

3π2, fur a = 0, b < 0,

2π + arctan ba, fur a > 0, b < 0.

Fur a = b = 0 ist das Argument nicht eindeutig definiert.

Beispiel 1.6.7

Die Zahl ib, b > 0, lautet in Polarkoordinatendarstellung

ib = b · (cosπ

2+ i sin

π

2).

Die Zahl −1− i lautet in Polarkoordinatendarstellung

−1− i =√

2 · (cos5π

4+ i sin

5π

4).

Mit der von Euler eingefuhrten

komplexen Exponentialfunktion

exp(z) = exp(a+ ib) := ea+ib := exp(a) (cos b+ i sin b) (z = a+ ib ∈ C)

ergibt sich speziell die Beziehung

exp(iϕ) = cosϕ+ i sinϕ.

Damit laßt sich z schreiben als

z = a+ bi = |z| exp(iϕ).

Damit laßt sich die Multiplikation zweier komplexer Zahlen z1 = |z1| exp(iϕ1) und z2 =

|z2| exp(iϕ2) sehr schon geometrisch darstellen. Das Ergebnis lautet (nachrechnen!)

z1 · z2 = |z1| · |z2| · exp(i(ϕ1 + ϕ2)),

d.h. das Produkt zweier komplexer Zahlen ist eine Drehstreckung mit der Lange |z1|·|z2|und dem Winkel ϕ1 + ϕ2, vgl. Abbildung 1.4.



Re

Im

z1z2

|z1||z2|

ϕ1ϕ2

z1 · z2

|z1| · |z2|

ϕ1 + ϕ2

Abbildung 1.4: Gauss’sche Zahlenebene: Multiplikation komplexer Zahlen z1 und z2 als

Drehstreckung.

Mithilfe der Interpretation der Multiplikation zweier komplexer Zahlen als Drehstreckung

ergibt sich sofort der folgende Satz:

Satz 1.6.8 (Euler-Moivre Formel)

Sei z = r(cosϕ+ i sinϕ) gegeben. Dann gilt

zn = rn(cos(nϕ) + i sin(nϕ))

fur n ∈ N.

Die Euler-Moivre Formel ist nutzlich, um Additionstheoreme fur Sinus und Cosinus zu

gewinnen.

Beispiel 1.6.9

Aus z = cosϕ+ i sinϕ ergibt sich durch Ausmultiplizieren

z2 = (cosϕ+ i sinϕ)2 = (cos2 ϕ− sin2 ϕ) + i(2 sinϕ cosϕ).



Die Euler-Moivre Formel liefert

z2 = cos(2ϕ) + i sin(2ϕ).

Vergleich von Real- und Imaginarteil liefert

cos(2ϕ) = cos2 ϕ− sin2 ϕ,

sin(2ϕ) = 2 sinϕ cosϕ.

Polynomnullstellen

Mithilfe der komplexen Zahlen lassen sich die Nullstellen quadratischer Polynome ange-

ben. Betrachte dazu die Polynomgleichung

ax2 + bx+ c = 0 mit a 6= 0.

Die Nullstellen x1 und x2 sind gegeben durch die bekannte Formel

x1,2 =−b±

√b2 − 4ac

2a,

die, wenn man komplexe Zahlen verwendet, auch fur b2 − 4ac < 0 verwendbar ist.

Beispiel 1.6.10

Fur

x2 − 4x+ 5 = 0

liefert die Formel die Nullstellen

x1,2 =4±√

16− 20

2= 2± 1

2

√−4 = 2±

√−1 = 2± i.

Damit besitzt die Gleichung die beiden komplexen Nullstellen 2 + i und dessen konjugiert

komplexe Zahl 2− i.

Es gilt folgender Satz:

Satz 1.6.11

Jedes quadratische Polynom ax2 + bx + c mit Koeffizienten a, b, c ∈ R, a 6= 0, hat genau

zwei Nullstellen x1, x2 ∈ C, die eventuell zusammenfallen. Es gilt ax2 + bx + c = a(x −x1)(x− x2).

Der Satz gilt analog auch fur allgemeine Polynome:



Satz 1.6.12 (Fundamentalsatz der Algebra)

Jedes Polynom vom Grad n

pn(x) = anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a1x+ a0

mit aj ∈ C, j = 0, 1, . . . , n, an 6= 0, besitzt uber C genau n Nullstellen x1, . . . , xn (mehr-

fache Nullstellen werden nach ihrer Vielfachheit gezahlt) und es gilt

pn(x) = an(x− x1) · · · (x− xn) = an

n∏j=1

(x− xj).

Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat ein Polynom n-ten Grades also hochstens n

reelle Nullstellen. Es gibt leider nur in Spezialfallen explizite Formeln zur Bestimmung

der Nullstellen.

Mithilfe der Euler-Moivre Formel konnen die Nullstellen von zn−w = 0 explizit berechnet

werden:

Beispiel 1.6.13

Fur w = `(cosα + i sinα) und n ∈ N betrachte die Gleichung zn = w. Nach dem Fun-

damentalsatz der Algebra gibt es n Losungen zk = rk(cosϕk + i sinϕk), k = 0, . . . , n− 1,

dieser Gleichung. Nach der Euler-Moivre Formel gilt

znk = rnk (cos(nϕk) + i sin(nϕk))

und |znk | = rnk = |w| = `, woraus

rk =n√`, k = 0, . . . , n− 1,

folgt. Somit liegen alle Losungen auf einem Kreis mit Radius n√`. Vergleich der Real- und

Imaginarteile von znk und w fuhren auf die Beziehungen

cosα = cos(nϕk) und sinα = sin(nϕk),

woraus

α + 2πj = nϕk bzw. ϕk =α + 2πj

nmit j ∈ Z folgt. Wahlt man speziell j = k = 0, 1, . . . , n − 1, so erhalt man verschiedene

Losungen

ϕk =α + 2πk

n, k = 0, 1, . . . , n− 1.

Damit haben wir genau n Nullstellen von zn − w = 0 gefunden:

zk =n√`

(cos

(α + 2πk

n

)+ i sin

(α + 2πk

n

)), k = 0, 1, . . . , n− 1.



Zusammenfassend gelten folgende Mengenrelationen fur die besprochenen Zahlensysteme:

N ( N0 ( Z ( Q ( R ( C


Kapitel 2

Vektoren und Matrizen

Das Ziel dieses Kapitels ist es, Vektoren und Matrizen einzufuhren und geometrisch zu

motivieren. Elementare Rechenregeln fur Matrizen und Vektoren werden dargestellt, wel-

che uns spater bei der allgemeineren Definition von Vektorraumen in Kapitel 3 wieder

begegnen werden.

Daruber hinaus werden Konstrukte wie Skalarprodukt, Kreuzprodukt und Spatprodukt

eingefuhrt, die in den Ingenieurwissenschaften haufig Anwendung finden.

2.1 Vektoren

Wir unterscheiden im Folgenden zwischen skalaren Großen und Vektoren. Skalare

Großen sind reelle Zahlen und beschreiben zum Beispiel die Zeit, die Dichte, die Lange,

die Temperatur, die potenzielle oder kinetische Energie eines Objektes. Skalare Großen

lassen sich auf der Zahlengeraden darstellen, sie enthalten jedoch keine Information uber

Richtungen. Damit sind skalare Großen geeignet, um zum Beispiel die Große einer auf

einen Korper einwirkenden Kraft anzugeben, aber sie sind nicht geeignet, um die Richtung

der einwirkenden Kraft anzugeben.

Hier kommen Vektoren ins Spiel, die in der Physik zum Beispiel eine auf einen Korper

wirkende Kraft, ein Drehmoment, eine Stromungsrichtung, eine Geschwindigkeitsrichtung

oder eine Beschleunigungsrichtung darstellen. Vektoren enthalten neben ihrer Lange ins-

besondere eine Richtungsinformation und wir stellen uns Vektoren geometrisch als ge-

richtete Pfeile in einem ebenen oder raumlichen kartesischen Koordinatensystem mit

Ursprung 0 vor, vgl. Abbildung 2.1. Zur geometrischen Veranschaulichung der Begriffe

beschranken wir uns zunachst auf den 2-dimensionalen (ebenen) Fall und verallgemeinern

den Vektorbegriff anschließend auf den n-dimensionalen Fall mit n ∈ N.

34

2.1. VEKTOREN 35

x

y

0 ~e1

~e2

a1

a2~a =

[a1

a2

]

−~a =

[−a1−a2

]

Abbildung 2.1: Geometrische Darstellung von Vektoren: Einheitsvektoren ~e1 und ~e2 sowie

Vektoren ~a und −~a.

Das 2-dimensionale (ebene) Koordinatensystem (bzw. die Ausrichtrung dessen Achsen)

wird durch die beiden senkrecht aufeinander stehenden Einheitsvektoren

~e1 :=

[1

0

]und ~e2 :=

[0

1

]

festgelegt.

Bemerkung 2.1.1

Haufig bezeichnet man ~e1 auch mit ~ex und ~e2 mit ~ey, um die Assoziation mit der x- bzw.

y-Achse herzustellen.

Ein Vektor

~a :=

[a1

a2

]im zweidimensionalen Raum ist definiert durch seine Komponenten oder Koordinaten

a1 ∈ R, die den Anteil in Richtung des Einheitsvektors ~e1 (also in x-Richtung) angibt, und

a2 ∈ R, die den Anteil in Richtung des Einheitsvektors ~e2 (also in y-Richtung) angibt.


36 KAPITEL 2. VEKTOREN UND MATRIZEN

Der Nullvektor ist definiert als ~0 =

[0

0

].

Die komponentenweise Darstellung eines Vektors ~a mit Komponenten a1 ∈ R und a2 ∈ Rbezieht sich dabei immer auf das fest gewahlte Koordinatensystem, das bei uns immer

das bekannte kartesische (d.h. rechtwinklige) Koordinatensystem sein wird, welches durch

die Einheitsvektoren ~e1 und ~e2 aufgespannt wird.

Bemerkung 2.1.2

Durch Parallelverschiebung eines Vektors erhalten wir beliebig viele Vektoren mit derselben

Ausrichtung und derselben Lange, die lediglich in verschiedenen Punkten des Koordinaten-

systems starten. Alle diese Vektoren werden als gleich angesehen. Als Stellvertreter dieser

Klasse von Vektoren wahlt man den vom Ursprung 0 ausgehenden Vektor.

Zwei Vektoren ~a und ~b sind genau dann gleich, wenn ihre Komponenten gleich sind, d.h.[a1

a2

]=

[b1

b2

]⇐⇒ a1 = b1 und a2 = b2.

2.1.1 Multiplikation mit Skalaren

Sei ~a =

[a1

a2

]ein Vektor. Die Multiplikation mit einem Skalar λ ∈ R ist definiert als

λ · ~a = λ

[a1

a2

]:=

[λ · a1λ · a2

].

Geometrisch handelt es sich um eine Skalierung der Lange des Vektors, wobei die Richtung

des resultierenden Vektors im Fall λ > 0 gleich der von ~a und im Fall λ < 0 entgegengesetzt

zu ~a ist.

Satz 2.1.3 (Rechenregeln)

Seien ~a und ~b Vektoren und λ und µ reelle Zahlen. Dann gelten die folgenden Distribu-

tivgesetze:

(a) (λ+ µ)~a = λ~a+ µ~a

(b) λ(~a+~b) = λ~a+ λ~b


2.1. VEKTOREN 37

2.1.2 Vektoraddition

Seien ~a =

[a1

a2

]und ~b =

[b1

b2

]Vektoren. Die Summe von ~a und ~b ist definiert als

~a+~b =

[a1

a2

]+

[b1

b2

]:=

[a1 + b1

a2 + b2

].

Es wird also komponentenweise addiert. Geometrisch ergibt sich die Summe zweier Vek-

toren mit Hilfe einer Parallelverschiebung, vgl. Abbildung 2.2.

x

y

0

~a

~b

~a+~b

Abbildung 2.2: Geometrische Darstellung der Addition von Vektoren durch Parallelver-

schiebung.

Mit Hilfe der Einheitsvektoren ~e1 und ~e2 lasst sich der Vektor

~a =

[a1

a2

]

darstellen als

~a = a1~e1 + a2~e2 =

[a1

0

]+

[0

a2

]=

[a1

a2

].


Seien ~a, ~b und ~c Vektoren. Dann gelten die folgenden Rechenregeln:

(a) Kommutativgesetz: ~a+~b = ~b+ ~a

(b) Assoziativgesetz: (~a+~b) + ~c = ~a+ (~b+ ~c)



2.1.3 Lange eines Vektors

Die (euklidische) Lange des Vektors

~a =

[a1

a2

]

ist nach dem Satz von Pythagoras gegeben durch

‖~a‖ :=√a21 + a22.

Der Operator ‖ · ‖ (genannt Norm) ordnet hierbei jedem Vektor seine euklidische Lange

zu. Ein Vektor mit Lange 1 heißt normiert. Haufig schreibt man auch |~a| anstatt ‖~a‖.

Bemerkung 2.1.5

Man kann die Lange eines Vektors auch anders definieren, etwa durch ‖~a‖1 := |a1|+ |a2|(Manhattan-Abstand) oder durch ‖~a‖∞ := max|a1|, |a2|.


Seien ~a und ~b Vektoren und λ ∈ R. Dann gelten die folgenden Rechenregeln:

(a) Dreiecksungleichung: |‖~a‖ − ‖~b‖| ≤ ‖~a+~b‖ ≤ ‖~a‖+ ‖~b‖

(b) ‖λ~a‖ = |λ|‖~a‖

2.1.4 Ortsvektoren und Verbindungsvektoren

Der Vektor vom Koordinatenursprung zum Punkt P = (p1, p2) heißt Ortsvektor von P

und ist durch

~p =

[p1

p2

]gegeben.

Fur zwei gegebene Punkte P = (p1, p2) mit Ortsvektor ~p und Q = (q1, q2) mit Ortsvektor

~q heißt der Vektor

~q − ~p =

[q1 − p1q2 − p2

]Verbindungsvektor von P nach Q. Er hat die Lange

‖~q − ~p‖ =√

(q1 − p1)2 + (q2 − p2)2


2.1. VEKTOREN 39

und gibt den Abstand der Punkte P und Q an.

Beispiel 2.1.7 (Parameterdarstellung einer Geraden)

Sei P ein gegebener Punkt mit Ortsvektor ~p und ~r 6= ~0 ein Richtungsvektor. Die durch die

Vektoren

~x(t) := ~p+ t~r, t ∈ R,

gegebenen Ortsvektoren liegen alle auf der Geraden

g := ~x(t) | t ∈ R

durch P mit Richtung ~r.

~p

P

~r

g

Abbildung 2.3: Darstellung einer Geraden.

Beispiel 2.1.8 (Parameterdarstellung einer Ebene)

Sei P ein gegebener Punkt mit Ortsvektor ~p und ~r1, ~r2 6= ~0 Richtungsvektoren, die nicht

parallel seien. Die durch die Vektoren

~x(t1, t2) := ~p+ t1~r1 + t2~r2, t1, t2 ∈ R,

gegebenen Ortsvektoren liegen alle auf der Ebene

E := ~x(t1, t2) | t1, t2 ∈ R.



~p

~r1

~r2

E

Abbildung 2.4: Darstellung einer Ebene.

2.1.5 Skalarprodukt (Inneres Produkt)

Wir haben bereits gesehen, wie die Multiplikation eines Skalars mit einem Vektor aus-

sieht. Es stellt sich die Frage, ob auch Vektoren miteinander multipliziert werden konnen.

Dies kann auf verschiedene Arten erfolgen. Wir beginnen mit dem Skalarprodukt zweier

Vektoren und betrachten spater das Kreuzprodukt.

Definition 2.1.9 (Geometrische Definition des Skalarprodukts)

Das Skalarprodukt (auch Inneres Produkt genannt) 〈~a,~b〉 zweier Vektoren ~a und ~b

ist definiert als

〈~a,~b〉 := ‖~a‖ · ‖~b‖ · cosϕ,

wobei ϕ den zwischen ~a und ~b eingeschlossenen Winkel bezeichnet.

Bemerkung 2.1.10

Beachte, dass das Skalarprodukt zweier Vektoren eine reelle Zahl und nicht etwa ein Vektor

ist! Haufig findet man auch die Schreibweise ~a ·~b anstatt 〈~a,~b〉.

Stehen die Vektoren ~a und ~b senkrecht aufeinander, d.h. gilt ϕ = ±90, so gilt cosϕ = 0

und damit auch 〈~a,~b〉 = 0.


2.1. VEKTOREN 41

Definition 2.1.11 (Orthogonalitat, Orthonormalitat, Normalenvektor)

(a) Zwei Vektoren ~a 6= ~0 und ~b 6= ~0 heißen orthogonal (in Zeichen ~a ⊥ ~b), wenn

〈~a,~b〉 = 0 gilt.

(b) Zwei Vektoren ~a 6= ~0 und ~b 6= ~0 heißen orthonormal, wenn 〈~a,~b〉 = 0 und ‖~a‖ =

‖~b‖ = 1 gelten.

(c) Ein Vektor ~n der Lange ‖~n‖ = 1, der senkrecht auf einer Geraden oder einer Ebene

steht, heißt Normalenvektor.


Seien ~a, ~b und ~c Vektoren. Dann gelten die folgenden Rechenregeln:

(a) Kommutativgesetz: 〈~a,~b〉 = 〈~b,~a〉

(b) Distributivgesetz: 〈~a,~b+ ~c〉 = 〈~a,~b〉+ 〈~a,~c〉

(c) Zusammenhang von Lange und Skalarprodukt: 〈~a,~a〉 = ‖~a‖2

Beweis: Teile (a) und (c) ergeben sich sofort aus der Definition.

Fur Teil (b) nutzt man folgende geometrische Betrachtung:

~a ~a

~b~b

b~a = ‖~b‖ cosϕ

ϕ

~c

~b+ ~c

b~a c~a

Im linken Bild ist b~a := ‖~b‖ cosϕ die Lange der Projektion des Vektors ~b auf den Vektor

~a. Fur das Skalarprodukt gilt dann

〈~a,~b〉 = ‖~a‖ · ‖~b‖ · cosϕ = ‖~a‖ · b~a.

Analog gilt fur ~c

〈~a,~c〉 = ‖~a‖ · c~a.



und fur ~b+ ~c

〈~a,~b+ ~c〉 = ‖~a‖ · (b+ c)~a,

wobei (b+ c)~a die Lange der Projektion von ~b+ ~c auf ~a bezeichnet.

Aus dem rechten Bild ist ersichtlich, dass

b~a + c~a = (b+ c)~a

gilt. Damit folgt

〈~a,~b+ ~c〉 = ‖~a‖ · (b+ c)~a

= ‖~a‖ · (b~a + c~a)

= ‖~a‖ · b~a + ‖~a‖ · c~a= 〈~a,~b〉+ 〈~a,~c〉.

Beispiel 2.1.13 (Hesse’sche Normalform einer Geraden)

Sei ~n ∈ R2 ein Vektor mit ‖~n‖ = 1 und c ∈ R eine gegebene Zahl mit c ≥ 0. Die Menge

g = ~x ∈ R2 | 〈~n, ~x〉 = c

beschreibt eine Gerade im R2, welche in der sogenannten Hesse’schen Normalform

dargestellt ist. Die Gerade enthalt den Punkt c~n wegen

〈~n, c~n〉 = c‖~n‖ = c.

Desweiteren verlauft die Gerade g senkrecht zu ~n, denn fur beliebige ~x, ~y ∈ g gilt

〈~n, ~x− ~y〉 = 〈~n, ~x〉 − 〈~n, ~y〉 = c− c = 0.

~n

c~n

~x

~y

~y − ~x

g

Im dreidimensionelen Raum R3 konnen Ebenen in analoger Weise durch die Hesse’sche

Normalform beschrieben werden. Im m-dimensionalen Raum Rm beschreibt die Menge

~x ∈ Rm | 〈~n, ~x〉 = c


2.1. VEKTOREN 43

eine sogenannte Hyperebene.

Das Skalarprodukt zweier Vektoren kann ohne den Cosinus berechnet werden. Seien dazu

~a = a1~e1 + a2~e2 =

[a1

a2

]und ~b = b1~e1 + b2~e2 =

[b1

b2

]

in Koordinatenform gegeben. Mit Hilfe der Einheitsvektoren, des Kommutativgesetzes

und des Distributivgesetzes folgt dann

〈~a,~b〉 = 〈a1~e1 + a2~e2, b1~e1 + b2~e2〉= 〈a1~e1 + a2~e2, b1~e1〉+ 〈a1~e1 + a2~e2, b2~e2〉= (a1b1) 〈~e1, ~e1〉︸︷︷︸

=1

+(a2b1) 〈~e2, ~e1〉︸︷︷︸=0

+(a1b2) 〈~e1, ~e2〉︸︷︷︸=0

+(a2b2) 〈~e2, ~e2〉︸︷︷︸=1

= a1b1 + a2b2.

Damit ist folgender Satz bewiesen, der analog auch fur allgemeine Vektordimensionen gilt:

Satz 2.1.14

Gegeben seien Vektoren

~a =

[a1

a2

]und ~b =

[b1

b2

].

Dann gilt

〈~a,~b〉 = ‖~a‖ · ‖~b‖ · cosϕ = a1b1 + a2b2.

Fur Abschatzungen ist der folgende beruhmte Satz nutzlich, der ebenfalls fur allgemeine

Vektordimensionen gilt:

Satz 2.1.15 (Cauchy-Schwarz’sche Ungleichung)

Fur Vektoren ~a und ~b gilt ∣∣∣〈~a,~b〉∣∣∣ ≤ ‖~a‖ · ‖~b‖bzw. in Koordinatenschreibweise

|a1b1 + a2b2| ≤√a21 + a22 ·

√b21 + b22.



Mit Hilfe von Satz 2.1.14 kann das Skalarprodukt leicht berechnet werden. Definition 2.1.9

kann dann benutzt werden, um den Winkel zwischen zwei Vektoren gemaß

cosϕ =〈~a,~b〉‖~a‖ · ‖~b‖

zu bestimmen.

Beispiel 2.1.16 (Winkel zwischen Vektoren)

(a)

~a =

[1

0

],~b =

[1

1

]=⇒ cosϕ =

1 + 0

1 ·√

2=

1√2, ϕ =

π

4

(b)

~a =

[1

−1

],~b =

[1

1

]=⇒ cosϕ =

1− 1√2 ·√

2= 0, ϕ =

π

2

(c)

~a =

[−1

−1

],~b =

[1

1

]=⇒ cosϕ =

−1− 1√2 ·√

2= −1, ϕ = π

Beispiel 2.1.17 (Winkel zwischen Geraden und Ebenen)

(a) Sind ~r1 und ~r2 Richtungsvektoren von zwei Geraden g1 und g2, so erfullt der Winkel

ϕ zwischen den Geraden die Gleichung

cosϕ =〈~r1, ~r2〉‖~r1‖ · ‖~r2‖

.

(b) Sind ~n1 und ~n2 Normalenvektoren von zwei Ebenen E1 und E2, so erfullt der Winkel

ϕ zwischen den Ebenen die Gleichung

cosϕ =〈 ~n1, ~n2〉‖ ~n1‖ · ‖ ~n2‖

.

(c) Ist ~n ein Normalenvektor der Ebene E und ~r ein Richtungsvektor der Geraden g,

so erfullt der Winkel ϕ zwischen der Ebene und der Geraden die Gleichung

sinϕ = cos(π

2− ϕ

)=〈~n,~r〉‖~n‖ · ‖~r‖

.


2.1. VEKTOREN 45

~n2

~n1ϕ

~r ~n

ϕ

Bei der Umkehrabbildung von cos zur Bestimmung von ϕ ist es in obigen Fallen ublich,

den kleineren Winkel zu wahlen, also ϕ aus [0, π/2] zu wahlen.

2.1.6 Kreuzprodukt (Vektorprodukt, Außeres Produkt)

Das Skalarprodukt ist nicht die einzige Moglichkeit, eine Multiplikation von Vektoren

gleicher Dimension zu definieren. Eine weitere Moglichkeit bietet das sogenannte Kreuz-

produkt zweier Vektoren im R3, welches als Resultat wieder einen Vektor im R3 liefert.

Das Kreuzprodukt wird haufig in der Mechanik zur Beschreibung von Momenten und

Winkelgeschwindigkeiten verwendet.

Definition 2.1.18 (Kreuzprodukt, Vektorprodukt, Außeres Produkt)

Seien

~a =

a1

a2

a3

, ~b =

b1

b2

b3

Vektoren im R3. Das Kreuzprodukt (Vektorprodukt, Außeres Produkt) ~a ×~b ist

definiert als

~a×~b :=

a2b3 − a3b2a3b1 − a1b3a1b2 − a2b1

.

Bemerkung 2.1.19

Spater werden wir Determinanten kennen lernen. Damit lasst sich das Kreuzprodukt for-

mal darstellen als

~a×~b =

∣∣∣∣∣∣∣~e1 ~e2 ~e3

a1 a2 a3

b1 b2 b3

∣∣∣∣∣∣∣ .c© 2011 by M. Gerdts


Satz 2.1.20 (Eigenschaften)

Das Kreuzprodukt ~c = ~a×~b zweier Vektoren ~a,~b ∈ R3 besitzt folgende Eigenschaften:

(a) ~c ist orthogonal zu ~a und ~b, d.h. es gilt 〈~c,~a〉 = 〈~c,~b〉 = 0.

(b) Die Vektoren ~a, ~b und ~c bilden ein Rechtssystem, d.h. wenn Daumen und Zeige-

finger der rechten Hand in Richtung ~a und ~b zeigen, dann zeigt ~c in Richtung des

angewinkelten Mittelfingers.

(c) Es gilt ‖~c‖ = ‖~a‖ ·‖~b‖ · sinϕ, wobei ϕ den zwischen ~a und ~b eingeschlossenen Winkel

bezeichnet. Damit gibt ‖~c‖ gerade den Flacheninhalt des von ~a und ~b aufgespannten

Parallelogramms an.

Beispiel 2.1.21 (Flacheninhalt eines Dreiecks)

Betrachte ein im Raum liegendes Dreieck, dessen Eckpunkte durch die Ortsvektoren ~u,~v, ~w ∈R3 beschrieben werden. Der Flacheninhalt ist dann gegeben durch

F =1

2‖(~u− ~w)× (~v − ~w)‖.

~u

~v

~w

Beispiel 2.1.22 (Drehmoment)

Greift eine Kraft ~F im Punkt ~r (gemessen vom Schwerpunkt des Korpers) an einem

drehbaren, starren Korper an, so ergibt sich das Drehmoment

~M = ~r × ~F ,


2.1. VEKTOREN 47

vgl. Abbildung.

~M

~r ~F

Der Betrag des Drehmoments betragt ‖ ~M‖ = ‖~r‖ · ‖~F‖ · sinϕ, wobei ‖~F‖ · sinϕ gerade die

auf ~r senkrechte Kraftkomponente von ~F ist. Der Vektor ~r bzw. dessen Lange ‖~r‖ wird

auch als Hebelarm bezeichnet.

Beispiel 2.1.23 (Bahngeschwindigkeit)

Die Winkelgeschwindigkeit ~ω ist ein Vektor, der die Drehachse und Geschwindigkeit einer

Rotationsbewegung angibt. Die Richtung von ~ω ist dabei senkrecht zur Rotationsebene.

Bewegt sich ein Teilchen mit konstanter Winkelgeschwindigkeit auf einer Bahn mit Radi-

usvektor ~r, so ergibt sich dessen Bahngeschwindigkeit ~v aus

~v = ~ω × ~r,

siehe Abbildung (Quelle: Wikipedia).

Durch Nachrechnen (bitte machen!) ergeben sich folgende Ergebnisse fur die Einheitsvek-



toren ~e1, ~e2 und ~e3:

~e1 × ~e1 = ~e2 × ~e2 = ~e3 × ~e3 = ~0,

~e1 × ~e2 = −(~e2 × ~e1) = ~e3,

~e1 × ~e3 = −(~e3 × ~e1) = −~e2,~e2 × ~e3 = −(~e3 × ~e2) = ~e1.

Diese Ergebnisse legen die Vermutung nahe, dass das Kreuzprodukt paralleler Vektoren

den Nullvektor ergibt. Desweiteren zeigt sich, dass das Kreuzprodukt nicht kommutativ

ist, sondern dass das Vertauschen der Reihenfolge der Vektoren zum entgegengesetzten

Kreuzprodukt-Vektor fuhrt. Diese Beobachtungen gelten allgemein:

Satz 2.1.24

Seien ~a, ~b und ~c Vektoren im R3. Dann gelten folgende Aussagen:

(a) Sind ~a und ~b parallel, d.h. es gibt λ ∈ R, λ 6= 0, mit ~a = λ~b, so gilt ~a×~b = ~0.

(b) Rechenregeln:

~a×~b = −(~b× ~a),

(λ~a)×~b = ~a× (λ~b) = λ(~a×~b),~a× (~b+ ~c) = ~a×~b+ ~a× ~c,(~a+~b)× ~c = ~a× ~c+~b× ~c.

(c) Das Kreuzprodukt ist nicht assoziativ, d.h. im Allgemeinen gilt

(~a×~b)× ~c 6= ~a× (~b× ~c).

(Finde ein Beispiel hierfur! Finde auch Spezialfalle, fur die Gleichheit gilt!)

Mit Hilfe des Kreuzprodukts kann die Hesse’sche Normalform einer Ebene leicht berechnet

werden.

Beispiel 2.1.25 (Berechnung der Hesse’schen Normalform einer Ebene aus der

Parameterdarstellung)

Gegeben sei ein Ortsvektor ~p ∈ R3 und zwei Richtungsvektoren ~r1, ~r2 ∈ R3, die die Ebene

E aufspannen. Ein Normalenvektor fur die Ebene ist dann durch

~n =~r1 × ~r2‖~r1 × ~r2‖


2.1. VEKTOREN 49

gegeben. Eine Darstellung der Ebene in Hesse’scher Normalform lautet dann

E = ~x ∈ R3 | 〈~n, ~x− ~p〉 = 0,

wobei der Vektor ~n aus Konventionsgrunden noch mit −1 multipliziert werden muss, falls

〈~n, ~p〉 < 0 ist (Beachte, dass mit ~n auch −~n ein Normalenvektor ist!). Insbesondere ist

|〈~n, ~p〉| der Abstand der Ebene zum Ursprung.

Beispiel 2.1.26 (Richtung der Schnittgeraden zweier Ebenen)

Betrachte zwei sich schneidende Ebenen mit Normalenvektoren ~n1, ~n2 ∈ R3. Gesucht ist

die Richtung ~r der Schnittgeraden der Ebenen.

Offenbar ist ~r dann orthogonal zu ~n1 und ~n2, d.h. wir suchen einen Vektor, der senkrecht

auf beiden Normalenvektoren steht. Ein solcher Vektor ist gegeben durch

~r = ~n1 × ~n2.

Jedes Vielfache von ~r ist ebenfalls geeignet.

Beispiel 2.1.27 (Abstand eines Punktes von einer Geraden)

Die Gerade g liege in Parameterform

g = ~x ∈ R3 | ~x = ~p+ t~r, t ∈ R

mit Ortsvektor ~p und Richtungsvektor ~r 6= ~0 vor.

Gesucht ist der Abstand d des Punktes Q mit Ortsvektor ~q zur Gerade g.

Q

P

~q − ~p~r

d

ϕ

Es gilt

d = ‖~q − ~p‖ sinϕ,

‖(~q − ~p)× ~r‖ = ‖~q − ~p‖ · ‖~r‖ · sinϕ = d‖~r‖,

d =‖(~q − ~p)× ~r‖

‖~r‖.



Beispiel 2.1.28 (Abstand windschiefer Geraden)

Gegeben seien die Geraden g1 und g2 in Parameterform

g1 = ~x ∈ R3 | ~x = ~p1 + t~r1, t ∈ R,g2 = ~x ∈ R3 | ~x = ~p2 + t~r2, t ∈ R,

wobei ~r1 und ~r2 nicht parallel seien.

Gesucht ist der Abstand d der Geraden.

E2

E1

~p2 − ~p1

d

ϕ~n

Wir betten die Gerade in parallele Ebenen

E1 = ~x ∈ R3 | ~x = ~p1 + t1~r1 + t2~r2, t1, t2 ∈ R,E2 = ~x ∈ R3 | ~x = ~p2 + t1~r1 + t2~r2, t1, t2 ∈ R

ein und bestimmen den Abstand der Ebenen.

Es gilt

d = ‖~p2 − ~p1‖ cosϕ,

~n = ±(~r1 × ~r2),

cosϕ =〈~p2 − ~p1, ~n〉‖~p2 − ~p1‖ · ‖~n‖

und damit

d =〈~p2 − ~p1, ~n〉‖~n‖

=±〈~p2 − ~p1, ~r1 × ~r2〉‖~r1 × ~r2‖

=|〈~p2 − ~p1, ~r1 × ~r2〉|‖~r1 × ~r2‖

.

Nicht parallele Geraden mit Abstand d > 0 heißen windschief.


2.1. VEKTOREN 51

2.1.7 Spatprodukt

Das Spatprodukt setzt sich aus Kreuz- und Skalarprodukt zusammen.

Definition 2.1.29 (Spatprodukt)

Fur gegebene Vektoren ~a,~b,~c ∈ R3 ist das Spatprodukt [~a,~b,~c] definiert durch

[~a,~b,~c] := 〈~a×~b,~c〉.

Fur

~a =

a1

a2

a3

, ~b =

b1

b2

b3

, ~c =

c1

c2

c3

ergibt sich durch Nachrechnen die Formel

[~a,~b,~c] = (a2b3 − a3b2)c1 + (a3b1 − a1b3)c2 + (a1b2 − a2b1)c3.

Bemerkung 2.1.30

Mit Hilfe der spater behandelten Determinanten kann das Spatprodukt geschrieben werden

als

[~a,~b,~c] =

∣∣∣∣∣∣∣a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

∣∣∣∣∣∣∣ .

Das Spatprodukt ist nutzlich, um Volumina von geometrischen Objekten zu berechnen.

Beispiel 2.1.31 (Volumen eines Parallelepipeds)

Gegeben sei ein durch die Vektoren ~a,~b,~c ∈ R3 aufgespanntes Parallelepiped (Spat), vgl.

Abbildung.

~a

~b

~c

~a×~b

ϕ

~c

h

Gesucht ist das Volumen V des Parallelepipeds. Es gilt

V = ‖~a×~b‖ · h



mit h = ‖~c‖ · | cosϕ|. Mit Hilfe des Skalarprodukts folgt

cosϕ =〈~a×~b,~c〉‖~a×~b‖ · ‖~c‖

=⇒ h =

∣∣∣〈~a×~b,~c〉∣∣∣‖~a×~b‖

und damit

V = ‖~a×~b‖ · h =∣∣∣[~a,~b,~c]∣∣∣ .

Tetraeder spielen eine wichtige Rolle in der Finite Element Methode (FEM) zur numeri-

schen Losung partieller Differentialgleichungen, welche u.a. Stromungsvorgange, Aufhei-

zungsprozesse und Transportprozesse beschreiben.

Beispiel 2.1.32 (Volumen eines Tetraeders)

Gegeben sei ein durch die Vektoren ~a,~b,~c ∈ R3 aufgespannter Tetraeder, vgl. Abbildung.

~a

~b

~c

Das Volumen des Tetraeders betragt dann

V =1

6

∣∣∣[~a,~b,~c]∣∣∣ .


(a) Das Spatprodukt ist genau dann Null, wenn die drei Vektoren in einer Ebene liegen.

(b) Das Spatprodukt [~a,~b,~c] ist großer Null, wenn die ~a, ~b, ~c ein Rechtssystem bilden,

und kleiner Null, wenn sie ein Linkssystem bilden.

(c) Die Vektoren konnen zyklisch vertauscht werden, ohne den Wert des Spatprodukts

zu andern, d.h.

[~a,~b,~c] = [~c,~a,~b] = [~b,~c,~a].

(d) Werden die Vektoren antizyklisch vertauscht, so andert sich das Vorzeichen des

Spatprodukts, d.h.

[~a,~b,~c] = −[~c,~b,~a].


2.1. VEKTOREN 53

2.1.8 Vektoren im Rn

Nachdem wir uns bisher auf den ebenen bzw. raumlichen Fall beschrankt haben, verall-

gemeinern wir den Vektorbegriff nun auf n ∈ N Dimensionen. Fur n > 3 versagt die

geometrische Vorstellungskraft, allerdings spricht mathematisch nichts dagegen, n Zahlen

in einem gemeinsamen Vektor der Dimension n zusammenzufassen und damit zu rechnen.

Definition 2.1.34 (Vektor, Dimension, Komponenten, Nullvektor, Skalar)

(a) Fur n ∈ N und n Zahlen x1, . . . , xn heißt

~x :=

x1

x2...

xn

(Spalten-)Vektor. n bezeichnet die Dimension des Vektors.

(b) Die Zahlen x1, . . . , xn heißen Komponenten des Vektors.

(c) Vektoren der Dimension n = 1 heißen Skalar.

(d) Ein Vektor, dessen Komponenten alle Null sind, heißt Nullvektor und wird mit ~0

bezeichnet.

(e) Werden die Komponenten x1, . . . , xn nebeneinander in der Form[x1 · · · xn

]geschrieben, so spricht man von einem Zeilenvektor.

(f) Die Vektoren

~e1 =

1

0...

0

, ~e2 =

0

1...

0

, . . . , ~en =

0...

0

1

heißen Einheitsvektoren des Rn.



Bemerkung 2.1.35

Im Folgenden verstehen wir unter einem Vektor stets einen Spaltenvektor. Falls nichts an-

deres gesagt wird, sind die Komponenten eines Vektors stets reelle Zahlen. Wir schreiben

~x ∈ Rn fur einen n-dimensionalen Vektor mit reellen Komponenten. Alternative Schreib-

weisen in der Literatur sind x, x oder einfach x.

Zwei Vektoren ~x und ~y sind genau dann gleich, wenn ihre Komponenten gleich sind, d.h. x1...

xn

=

y1...

yn

⇐⇒ xi = yi fur i = 1, . . . , n.

Vektoren unterschiedlicher Dimension sind also niemals gleich!

Die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar und die Addition zweier Vek-

toren gleicher Dimension sind komponentenweise definiert:

λ

x1...

xn

:=

λx1...

λxn

, x1

...

xn

+

y1...

yn

:=

x1 + y1...

xn + yn

.Fur Vektoren unterschiedlicher Dimension ist die Addition nicht definiert!

Durch Nachrechnen ergibt sich


Seien ~a, ~b und ~c Vektoren gleicher Dimension und λ und µ Zahlen. Dann gelten folgende

Rechenregeln:

~a+~b = ~b+ ~a (Kommutativgesetz)

(~a+~b) + ~c = ~a+ (~b+ ~c) (Assoziativgesetz)

~a+~0 = ~a (Neutralitat des Nullvektors bzgl. Addition)

~a+ (−~a) = ~0 (Existenz eines additiv inversen Vektors)

λ(µ~a) = (λµ)~a (Assoziativitat bei Multiplikation mit Skalaren)

λ(~a+~b) = λ~a+ λ~b (Distributivgesetz I)

(λ+ µ)~a = λ~a+ µ~a (Distributivgesetz II).


2.1. VEKTOREN 55

Spater werden wir den Spieß umdrehen und einen Vektorraum (also eine Menge von

Vektoren) dadurch definieren, dass in einem solchen Raum genau die Rechenregeln in

Satz 2.1.36 gelten. Dies kann auf sehr allgemeine Mengen fuhren, deren Elemente formal

als Vektoren bezeichnet werden, die aber nichts mehr mit der ublichen geometrischen

Vorstellung von Vektoren zu tun haben mussen. Dennoch kann man mit diesen Vektoren

wie in Satz 2.1.36 angegeben rechnen.

Die folgende Normdefinition gilt fur reelle und komplexe Vektoren:

Definition 2.1.37 (Norm (Lange) eines Vektors)

Die (euklidische) Norm (Lange) des Vektors

~x =

x1...

xn

ist definiert als

‖~x‖ :=√|x1|2 + . . .+ |xn|2.

Ein Vektor ~x mit ‖~x‖ = 1 heißt normiert.

Fur Vektoren ~x mit reellen Komponenten konnen die Betrage in den Termen |xk|2, k =

1, . . . , n, in Definition 2.1.37 auch weggelassen werden.

Die Normabbildung ‖ · ‖ besitzt folgende Eigenschaften:

Satz 2.1.38 (Normeigenschaften)

Seien ~x und ~y Vektoren gleicher Dimension und λ eine Zahl. Dann gelten:

‖λ~x‖ = |λ| · ‖~x‖‖~x+ ~y‖ ≤ ‖~x‖+ ‖~y‖ (Dreiecksungleichung)

‖~x+ ~y‖ ≥ |‖~x‖ − ‖~y‖|‖~x‖ = 0 ⇐⇒ ~x = ~0

Analog zu Satz 2.1.14 ist das Skalarprodukt auch fur n-dimensionale Vektoren definiert.



Definition 2.1.39 (Skalarprodukt)

Fur reelle Vektoren

~x =

x1...

xn

und ~y =

y1...

yn

ist das Skalarprodukt 〈~x, ~y〉 definiert als

〈~x, ~y〉 :=n∑i=1

xiyi.

Satz 2.1.40 (Cauchy-Schwarz’sche Ungleichung)

Fur alle Vektoren ~x und ~y gleicher Dimension gilt

|〈~x, ~y〉| ≤ ‖~x‖ · ‖~y‖.

Bemerkung 2.1.41

(a) Die geometrische Definition des Skalarprodukts aus Definition 2.1.9 mit

〈~x, ~y〉 = ‖~x‖ · ‖~y‖ · cosϕ

gilt unverandert.

(b) Sind die Komponenten von ~x und ~y komplexe Zahlen, so muss die Definition des

Skalarprodukts modifiziert werden zu

〈~x, ~y〉 :=n∑i=1

xiyi,

um die wichtige Eigenschaft 〈~x, ~x〉 ≥ 0 zu erhalten.

2.2 Allgemeine Vektorraume

Mit Hilfe der Rechenregeln in Satz 2.1.36 lassen sich allgemeine Vektorraume definie-

ren. Deren Elemente – die Vektoren – genugen dann automatisch den Rechenregeln in


2.2. ALLGEMEINE VEKTORRAUME 57

Satz 2.1.36. Die bisher betrachteten n-dimensionalen Vektoren des Rn bilden damit einen

speziellen Vektorraum.

Definition 2.2.1 (Vektorraum, linearer Raum)

Ein Vektorraum (V,+, ·) uber dem Skalarenkorper K = R oder K = C besteht aus einer

Menge V , auf der die Addition zweier Elemente und die Multiplikation mit einem Skalar

aus K mit den folgenden Eigenschaften definiert sind:

(a) Abgeschlossenheit: Mit x, y ∈ V ist auch x + y ∈ V . Mit x ∈ V und λ ∈ K ist

auch λx ∈ V .

(b) Kommutativgesetz: Fur alle x, y ∈ V gilt

x+ y = y + x.

(c) Assoziativgesetz: Fur alle x, y, z ∈ V gilt

x+ (y + z) = (x+ y) + z.

(d) Existenz eines Nullelements: Es existiert 0 ∈ V (Nullelement), so dass fur alle

x ∈ V gilt:

x+ 0 = x.

(e) Existenz eines additiv inversen Elements: Zu jedem x ∈ V gibt es genau ein

Element y ∈ V mit

x+ y = 0.

(f) Neutralitat der 1: Fur alle x ∈ V gilt

1 · x = x.

(g) Multiplikation mit Skalar: Fur alle x, y ∈ V und λ, µ ∈ K gelten

λ(µx) = (λµ)x,

(λ+ µ)x = λx+ µx,

λ(x+ y) = λx+ λy.

Man schreibt haufig V an Stelle von (V,+, ·), wenn klar ist, welche Addition und welche

Multiplikation gemeint ist. Die Elemente des Vektorraums V nennt man Vektoren.



Beispiel 2.2.2

(a) Rn ist ein Vektorraum uber K = R und Cn ist ein Vektorraum uber K = C.

(b) Die Menge aller stetigen Funktionen auf dem Intervall [0, 1] versehen mit der punkt-

weisen Addition und Multiplikation ist ein Vektorraum.

(c) Die Menge aller Polynome vom Hochstgrad n definiert einen Vektorraum uber R(Zeige dies durch Nachprufen der Bedingungen (a)-(f)!).

(d) Die Gerade ~x(t) ∈ R2

∣∣∣ ~x(t) = t

[1

−1

], t ∈ R

definiert einen Vektorraum uber R.

(e) Die Gerade ~x(t) ∈ R2

∣∣∣ ~x(t) =

[1

0

]+ t

[1

−1

], t ∈ R

definiert keinen Vektorraum uber R (Warum nicht?).

Vektorraume konnen also sehr viel abstrakter aussehen als die bisher betrachteten geo-

metrischen Vektorraume, daher schreibt man fur die Elemente eines Vektorraums in der

Regel auch x (ohne Pfeil) anstatt ~x. Mit ~x verbinden wir stets die geometrischen Vek-

toren im Rn. Dennoch gelten stets dieselben Rechenregeln in allen Vektorraumen. Kann

man Aussagen fur allgemeine Vektorraume beweisen, so gelten diese somit auch fur alle

speziellen Vektorraume.

Definition 2.2.3 (Linearkombination)

Seien m ∈ N Vektoren x1, . . . , xm aus einem Vektorraum und Zahlen λ1, . . . , λm gegeben.

Dann heißt

λ1x1 + . . .+ λmxm =m∑i=1

λixi

eine Linearkombination der Vektoren x1, . . . , xm.



Beispiel 2.2.4

Wegen

x1...

xn

= x1

1

0...

0

+ . . .+ xn

0...

0

1

= x1~e1 + . . .+ xn ~en =n∑i=1

xi~ei

lasst sich jeder Vektor ~x ∈ Rn als Linearkombination der Einheitsvektoren darstellen.

Definition 2.2.5 (Lineare Unabhangigkeit, lineare Abhangigkeit)

Seien m ≥ 2 Vektoren x1, . . . , xm aus einem Vektorraum gegeben.

(a) Die Vektoren xk, k = 1, . . . ,m, sind linear unabhangig genau dann, wenn aus

der Darstellung

0 =m∑k=1

λkxk = λ1x1 + . . .+ λmxm

stets folgt

λ1 = . . . = λm = 0.

(b) Die Vektoren xk, k = 1, . . . ,m, sind linear abhangig genau dann, wenn es Zahlen

λk, k = 1, . . . ,m, gibt, die nicht alle Null sind und

0 =m∑k=1

λkxk = λ1x1 + . . .+ λmxm.

erfullen.

Beispiel 2.2.6

(a) Die Einheitsvektoren ~e1, . . . , ~en ∈ Rn sind linear unabhangig.

(b) Die Vektoren 1

1

0

, 1

−1

0

, 1

1

1

sind linear unabhangig.



(c) Die Vektoren 1

1

0

, 0

0

−1

, 1

1

1

sind linear abhangig, denn es gilt

−

1

1

0

+

0

0

−1

+

1

1

1

= ~0.

Sind die Vektoren x1, . . . , xm linear abhangig, so laßt sich stets einer dieser Vektoren als

Linearkombination der ubrigen Vektoren darstellen, da es dann Zahlen λ1, . . . , λm gibt,

die nicht alle Null sind, mit

0 = λ1x1 + . . .+ λmxm.

Ist dann etwa λk 6= 0 fur k ∈ 1, . . . ,m, so folgt

xk = − 1

λk

m∑j=1

j 6=k

λjxj.

Eine solche Darstellung ist nicht moglich, wenn die Vektoren linear unabhangig sind.

Definition 2.2.7 (Basis, Dimension, Unterraum)

Sei V ein Vektorraum.

(a) Die Menge B ⊆ V heißt Basis von V , wenn sich jedes Element aus V eindeutig

als Linearkombination von Elementen aus B darstellen lasst. Die Elemente in B

heißen Basiselemente oder Basisvektoren.

(b) Die Dimension des Vektorraums V ist definiert als die Anzahl der Basiselemente

in B. Ist B endlich, so ist V ein endlichdimensionaler Vektorraum, andernfalls

ein unendlichdimensionaler Vektorraum.

(c) Eine Teilmenge U von V heißt Untervektorraum oder Teilraum von V , wenn

U selbst ein Vektorraum ist.



Beispiel 2.2.8

(a) B = ~e1, . . . , ~en ist eine Basis des Vektorraums Rn. Die Dimension von Rn ist n.

(b) B =

[1

0

],

[1

−1

]ist eine Basis des R2. Die Dimension ist 2.

(c) B =

[1

0

],

[1

−1

],

[0

1

]ist keine Basis des R2.

(d) Die Menge ~x(t) ∈ R2

∣∣∣ ~x(t) = t

[1

−1

], t ∈ R

definiert einen Untervektorraum des R2.

(e) Die Menge der elementaren Polynome

1, x, x2, . . . , xn

ist eine (n+1)-dimensionale Basis des Vektorraums der Polynome mit Hochstgrad

n.

Bemerkung 2.2.9

Die Basiselemente einer Basis B sind stets linear unabhangig im Sinne von Definiti-

on 2.2.5. Andernfalls konnten die Elemente eines Vektorraums durch verschiedene Line-

arkombinationen dargestellt werden, was per Definition einer Basis ausgeschlossen ist.

Da sich die in Vektorraumen gultigen Rechenregeln auf Teilmengen vererben, genugt es,

die Abgeschlossenheit einer Teilmenge zu uberprufen:

Satz 2.2.10

U ⊆ V , U 6= ∅, ist genau dann ein Untervektorraum von V , wenn U abgeschlossen ist,

d.h. wenn

x, y ∈ U =⇒ x+ y ∈ U,x ∈ U, λ ∈ K =⇒ λx ∈ U.



Durch Vorgabe von endlich vielen Vektoren wird ein Vektorraum durch das Bilden aller

Linearkombinationen erzeugt:

Definition 2.2.11

Sei V ein Vektorraum und x1, . . . , xn ∈ V gegebene Vektoren. Dann heißt

U :=

x ∈ V

∣∣∣ x =n∑k=1

λkxk, λk ∈ R, k = 1, . . . , n

der von x1, . . . , xn erzeugte Vektorraum.

Man muss noch nachweisen, dass der von x1, . . . , xn erzeugte Vektorraum tatsachlich ein

Vektorraum ist. Dies gelingt am einfachsten mit Hilfe von Satz 2.2.10 durch Nachrechnen.

Die Dimension des von x1, . . . , xn erzeugten Vektorraums ist gleich der maximalen

Anzahl linear unabhangiger Vektoren in x1, . . . , xn.

Beispiel 2.2.12

Der durch

~a =

1

0

−1

und ~b =

1

1

0

erzeugte Vektorraum lautet

U =

λ1 + λ2

λ2

−λ1

∣∣∣ λ1, λ2 ∈ R

.

Dieser erzeugte Vektorraum ist eine Ebene durch den Ursprung:


2.3. MATRIZEN 63

-2-1.5 -1-0.5 0 0.5 1 1.5 2 -1-0.5

0 0.5

1

-1

-0.5

0

0.5

1

Beachte, dass der Nullvektor ~0 stets im erzeugten Vektorraum enthalten ist. In diesem Bei-

spiel sind die Vektoren ~a und~b linear unabhangig und spannen daher einen 2-dimensionalen

Untervektorraum des R3 auf.

2.3 Matrizen

Eine Matrix ist ein mathematisches Objekt, welches u.a. eine effiziente Schreibweise fur die

in Kapitel 3 behandelten linearen Gleichungssysteme und lineare Abbildungen ermoglicht.

Matrizen entstehen, wenn man mehrere Spaltenvektoren gleicher Dimension hintereinan-

der schreibt und zusammenfasst. Vektoren sind dabei spezielle Matrizen mit nur einer

Spalte.

Definition 2.3.1 (Matrix)

(a) Fur m,n ∈ N und nm Zahlen aij, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n, heißt

A :=

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

.... . .

...

am1 am2 . . . amn

eine m × n-Matrix mit m Zeilen und n Spalten. Man sagt, die Matrix hat die



Dimension m× n. Als abkurzende Schreibweise wird

A = [aij] i=1,...,mj=1,...,n

verwendet.

(b) Die Zahlen aij, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n, heißen Elemente der Matrix A. Sind

alle Elemente reellwertig, so spricht man von einer reellen Matrix und schreibt

A ∈ Rm×n. Sind die Elemente komplexe Zahlen, so spricht man von einer komple-

xen Matrix und schreibt A ∈ Cm×n.

(c) Die m-dimensionalen Spaltenvektorena1j

a2j...

amj

, j = 1, . . . , n,

bezeichnen die Spalten von A und die n-dimensionalen Zeilenvektoren[ai1 ai2 . . . ain

], i = 1, . . . ,m,

bezeichnen die Zeilen von A.

(d) Im Fall m = n heißt die Matrix A quadratisch.

(e) Eine Matrix, deren Elemente alle Null sind, heißt Nullmatrix und wird mit 0

bezeichnet.

(f) Die Matrix

In :=

1. . .

1

∈ Rn×n,

die auf ihrer Hauptdiagonalen lauter Einsen und sonst nur Nullen enthalt, heißt

Einheitsmatrix. Es ist ublich, Nulleintrage wegzulassen.

Matrizen sind sehr nutzlich, um eine Vielzahl von Informationen kompakt zusammenzu-

fassen.

Beispiel 2.3.2 (Matrixspiel)

Gegeben seien zwei Spieler X und Y . Der Spieler X kann aus Zahlen 1, . . . ,m auswahlen


2.3. MATRIZEN 65

und Spieler Y aus den Zahlen 1, . . . , n. Wahlt Spieler X die Zahl i ∈ 1, . . . ,m und

Spieler Y die Zahl j ∈ 1, . . . , n, so zahlt der Spieler Y einen vor Beginn des Spiels

festgelegten Betrag aij ∈ R an Spieler X. Negative Werte von aij bedeuten, dass Spieler

Y von Spieler X den Betrag |aij| bekommt. Dies definiert ein so genanntes Matrixspiel

mit der Auszahlungsmatrix A = [aij] i=1,...,mj=1,...,n

.

Ein konkretes Matrixspiel ist gegeben durch die Auszahlungsmatrix

A =

2 2 3 9

6 5 4 6

7 6 2 1

.Es stellt sich nun die Frage, welche Zeilen- bzw. Spaltenwahl fur Zeilen- und Spaltenspieler

moglichst gut sind. Der Zeilenspieler mochte seinen Gewinn maximieren, wahrend der

Spaltenspieler seinen Verlust minimieren mochte. Hier entsteht offenbar ein Konflikt. Was

soll gewahlt werden?

Was ergibt sich fur die Auszahlungsmatrix

B =

2 2 3 9

6 5 6 6

7 6 2 1

?

Definition 2.3.3

Zwei Matrizen

A = [aij] i=1,...,mj=1,...,n

und B = [bij] i=1,...,mj=1,...,n

gleicher Dimension heißen gleich, wenn ihre Elemente gleich sind, d.h. wenn

aij = bij ∀i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n.

Addition und Multiplikation mit Skalaren ist wie bei Vektoren komponentenweise defi-

niert.

Definition 2.3.4 (Matrixaddition, Multiplikation mit Skalaren)

(a) Die Addition zweier Matrizen

A = [aij] i=1,...,mj=1,...,n

und B = [bij] i=1,...,mj=1,...,n



gleicher Dimension ist definiert als

A+B :=

a11 + b11 · · · a1n + b1n...

. . ....

am1 + bm1 · · · amn + bmn

.Fur Matrizen unterschiedlicher Dimension ist die Matrixaddition nicht definiert.

(b) Die Multiplikation einer Matrix A = [aij] i=1,...,mj=1,...,n

mit einem Skalar λ ist definiert als

λA :=

λa11 · · · λa1n...

. . ....

λam1 · · · λamn

.

Durch Nachrechnen folgt

Satz 2.3.5 (Rechenregeln I)

Seien A, B und C Matrizen gleicher Dimension und λ und µ Zahlen. Dann gelten folgende

Rechenregeln:

A+B = B + A (Kommutativgesetz)

(A+B) + C = A+ (B + C) (Assoziativgesetz)

A+ 0 = A (Neutralitat der Nullmatrix bzgl. Addition)

A+ (−A) = 0 (Existenz einer additiv inversen Matrix)

λ(µA) = (λµ)A (Assoziativitat bei Multiplikation mit Skalaren)

λ(A+B) = λA+ λB (Distributivgesetz I)

(λ+ µ)A = λA+ µA (Distributivgesetz II).

Matrizen konnen miteinander multipliziert werden, wenn ihre Dimensionen passen. Das

Ergebnis ist wieder eine Matrix. Das Element ij des Matrixprodukts berechnet sich nach

dem Prinzip”Zeile i der ersten Matrix multipliziert mit der Spalte j der zweiten Matrix“,

wobei die Multiplikation im Sinne des Skalarprodukts erfolgt. Dieses Skalarprodukt ist

jedoch nur definiert, wenn die Anzahl der Spalten der ersten Matrix mit der Anzahl der

Zeilen der zweiten Matrix ubereinstimmt. Wir definieren diesen Vorgang zunachst formal


2.3. MATRIZEN 67

und veranschaulichen ihn dann an Beispielen.

Definition 2.3.6 (Matrixmultiplikation)

Gegeben seien die m× n-Matrix A und die n× p-Matrix B gemaß

A =

a11 · · · a1n...

. . ....

am1 · · · amn

, B =

b11 · · · b1p...

. . ....

bn1 · · · bnp

.Das Matrixprodukt C = AB ist eine m×p-Matrix, deren Elemente cij fur i = 1, . . . ,m

und j = 1, . . . , p gegeben sind durch

cij =n∑k=1

aikbkj (Zeile i von A mal Spalte j von B).

Schema: “Zeile i mal Spalte j ergibt das Element ij”

...

......

ai1 · · · ain...

......

︸︷︷︸

m×n−Matrix

· · ·· · ·· · ·

b1j...

bnj

· · ·· · ·· · ·

︸︷︷︸

n×p−Matrix

=

...

......

· · ·n∑k=1

aikbkj · · ·

......

...

︸︷︷︸

m×p−Matrix

.

Bemerkung 2.3.7

Mit Hilfe des Skalarprodukts fur Vektoren kann die Matrixmultiplikation fur reelle Ma-

trizen wie folgt dargestellt werden. Bezeichnen ~ai ∈ Rn, i = 1, . . . ,m, die Zeilenvektoren

von A und ~bj ∈ Rn, j = 1, . . . , p, die Spaltenvektoren von B, so ist das Element cij von

C gegeben durch das Skalarprodukt

cij = 〈~ai, ~bj〉.

Beispiel 2.3.8

(a) [2 −1

0 4

][1 −1

2 3

]=

[0 −5

8 12

]



(b) [2 −1

0 4

][1

−1

]=

[3

−4

](c) 5

−3

0

[ 1 −1 2]

=

5 −5 10

−3 3 −6

0 0 0

(d) [

1 −1 2] 5

−3

0

=[

8]

(e) Die Matrizen 5

−3

0

0

und

1 −7

−2 4

0 1

konnen nicht miteinander multipliziert werden.

(f) Wegen 1. . .

1

a11 · · · a1n

.... . .

...

an1 · · · ann

=

a11 · · · a1n...

. . ....

an1 · · · ann

=

a11 · · · a1n...

. . ....

an1 · · · ann

1

. . .

1

gilt fur alle m× n-Matrizen stets

ImA = AIn = A.

Wegen [2 −1

0 4

][1 −1

2 3

]=

[0 −5

8 12

]6=

[2 −5

4 10

]=

[1 −1

2 3

][2 −1

0 4

]ist die Matrixmultiplikation im Allgemeinen nicht kommutativ (!), d.h. es gilt im All-

gemeinen

AB 6= BA.


2.3. MATRIZEN 69

Satz 2.3.9 (Rechenregeln II)

Seien A, B und C Matrizen passender Dimension. Dann gelten folgende Rechenregeln:

(AB)C = A(BC) (Assoziativgesetz)

A(B + C) = AB + AC (Distributivgesetz I)

(A+B)C = AC +BC (Distributivgesetz II).

Durch Spiegeln der Elemente an der Hauptdiagonalen entsteht die sogenannte transpo-

nierte Matrix. Aus der i-ten Zeile wird dann in der transponierten Matrix die i-te Spalte.

Definition 2.3.10 (Transponierte Matrix)

Die zur m× n-Matrix

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

. . ....

am1 am2 · · · amn

transponierte Matrix A> ist definiert als die n×m-Matrix

A> :=

a11 a21 · · · am1

a12 a22 · · · am2

.... . .

...

a1n a2n · · · amn

.

Matrizen mit A> = A heißen symmetrisch. Komplexe Matrizen mit A> = A heißen

hermitesch, wobei A die zu A konjugiert komplexe Matrix bezeichnet.

Beispiel 2.3.11

(a)

[2 −1

0 4

]>=

[2 0

−1 4

]



(b) 5

−3

0

>

=[

5 −3 0]

(c) 1 −7

−2 4

0 1

>

=

[1 −2 0

−7 4 1

]

(d) Die Matrix 1 2 5

2 −3 7

5 7 1

ist symmetrisch.

(e) Die komplexe Matrix [1 4− 2i

4 + 2i 5

]ist hermitesch.

Symmetrische und hermitesche Matrizen haben besondere Eigenschaften in Bezug auf

ihre Eigenwerte. Dies wird in Kapitel 4 deutlich werden.


Seien A und B m× n-Matrizen, C eine n× k-Matrix und λ ein Skalar. Dann gelten die

folgenden Rechenregeln:

(A>)> = A,

(A+B)> = A> +B>,

(λA)> = λA>,

(BC)> = C>B>.

Beweis: Die ersten drei Eigenschaften kann man leicht nachrechnen. Die letzte Eigen-

schaft ergibt sie wie folgt. Zunachst bemerken wir, dass BC eine m×k-Matrix ist. Damit


2.3. MATRIZEN 71

ist (BC)> eine k ×m-Matrix. Die Matrix C> ist eine k × n-Matrix und B> eine n×m-

Matrix. Das Produkt C>B> ist damit eine k×m-Matrix. Wir berechnen nun jeweils das

Element mit dem Index ij von (BC)> und C>B>.

Fur BC ergibt sich das Element

(BC)µν =n∑`=1

bµ`c`ν .

Damit lautet das Element ij von (BC)>

(BC)>ij =n∑`=1

bj`c`i.

Fur das Produkt C>B> ergibt sich das Element ij, indem die i-te Spalte von C mit der

j-ten Zeile von B multipliziert wird, d.h.

(C>B>)ij =n∑`=1

c`ibj`.

Folglich stimmen beide Darstellungen uberein.

Bemerkung 2.3.13

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ~a ∈ Rn und ~b ∈ Rn kann mit der Transposition dar-

gestellt werden als

〈~a,~b〉 = ~a>~b =n∑i=1

aibi.

Beim Losen von linearen Gleichungssystemen spielt die Inverse einer Matrix eine entschei-

dende Rolle.

Definition 2.3.14 (Inverse einer Matrix)

Gegeben sei die n × n-Matrix A. Jede n × n-Matrix X heißt Inverse von A (inverse

Matrix von A) genau dann, wenn

AX = XA = In

gilt. Die Inverse von A wird mit A−1 bezeichnet.

Besitzt A eine inverse Matrix A−1, so heißt sie invertierbar, andernfalls singular.

Beispiel 2.3.15

Die Matrix

A =

[1 −1

1 1

]



besitzt die Inverse

A−1 =

[12

12

−12

12

],

denn

AA−1 =

[1 −1

1 1

][12

12

−12

12

]=

[1 0

0 1

]=

[12

12

−12

12

][1 −1

1 1

]= A−1A.

Satz 2.3.16 (Eindeutigkeit)

Existiert die Inverse einer Matrix, so ist sie eindeutig.

Beweis: Annahme: Die n × n-Matrix A besitzt zwei Inverse X und Y mit X 6= Y .

Dann gilt AX = In = AY . Multiplikation von links mit X liefert

X = XIn = XAX = XAY = InY = Y.

Dies ist ein Widerspruch zur Annahme. Daher ist die Annahme falsch und die Aussage

bewiesen.

Nicht jede Matrix besitzt eine Inverse, wie das folgende Beispiel verdeutlicht.

Beispiel 2.3.17

Die Matrix

A =

[1 0

0 0

]besitzt keine Inverse, da

AX =

[1 0

0 0

][x11 x12

x21 x22

]=

[x11 x12

0 0

]6= I2,

fur alle 2× 2-Matrizen X.

Definition 2.3.18 (Lineares Gleichungssystem)

Seien A eine n× n-Matrix und ~b ein Vektor der Dimension n.

Die Gleichung

A~x = ~b

heißt lineares Gleichungssystem fur den Vektor ~x.

Jeder Vektor ~x mit A~x = ~b heißt Losung des linearen Gleichungssystems.


2.3. MATRIZEN 73

Kennt man die Inverse einer Matrix A, so ist die Losung ~x eines linearen Gleichungssy-

stems A~x = ~b durch

~x = A−1~b

gegeben, da A~x = AA−1~b = In~b = ~b. Leider ist es insbesondere fur hochdimensionale Ma-

trizen sehr aufwandig, die Inverse zu berechnen. Daher wird die Inverse einer Matrix in der

Regel nicht explizit berechnet, sondern es werden andere Techniken (Gauß-Algorithmus,

vgl. Abschnitt 3.1) zur Losung eines linearen Gleichungssystems verwendet. Als theoreti-

sches Hilfsmittel ist die Inverse aber unverzichtbar in der linearen Algebra.

Satz 2.3.19 (Eigenschaften der Inversen)

Seien A und B invertierbar. Dann gelten folgende Rechenregeln:

(A−1)−1 = A,

(AB)−1 = B−1A−1,

(A>)−1 = (A−1)>.

Beweis: Die erste Aussage folgt aus

A−1A = I = AA−1.

Die zweite folgt wegen

(AB)B−1A−1 = A(BB−1)A−1 = AA−1 = I

und

B−1A−1(AB) = B−1(A−1A)B = B−1B = I.

Die dritte Aussage folgt wie folgt. Transposition der Gleichung A−1A = I liefert

I = I> = (A−1A)> = A>(A−1)>

und Transposition der Gleichung AA−1 = I liefert

I = I> = (AA−1)> = (A−1)>A>.

Beide Gleichungen zusammen zeigen die Behauptung.

Definition 2.3.20 (Rang einer Matrix)

Sei A ∈ Rm×n eine Matrix.



(a) Der Zeilenrang der Matrix A ist die maximale Anzahl von linear unabhangigen Zei-

len von A.

(b) Der Spaltenrang der Matrix A ist die maximale Anzahl von linear unabhangigen

Spalten von A.

Beispiel 2.3.21

(a) Die Matrix [1 −1 2 0

0 0 1 0

]hat Zeilenrang 2 und Spaltenrang 2.

(b) Die Matrix 1 −1 2

0 1 1

0 0 1

hat Zeilenrang 3 und Spaltenrang 3.

(c) Die Matrix 1 4 8

0 0 0

0 0 0

hat Zeilenrang 1 und Spaltenrang 1.

Bemerkung 2.3.22

Zeilen- und Spaltenrang einer Matrix A stimmen stets uberein. Daher spricht man auch

nur vom Rang von A und schreibt Rang(A) oder Rg(A).

2.4 Lineare Abbildungen und Matrizen

Im Folgenden wird der Zusammenhang zwischen linearen Abbildungen und Matrizen her-

gestellt.


2.4. LINEARE ABBILDUNGEN UND MATRIZEN 75

Definition 2.4.1 (Lineare Abbildung)

Eine Abbildung T : Rn −→ Rm heißt lineare Abbildung, wenn

T (~x+ ~y) = T (~x) + T (~y),

T (λ~x) = λT (~x)

fur alle ~x, ~y ∈ Rn und alle λ ∈ R gilt.

Beispiel 2.4.2

Sei A ∈ Rm×n. Dann ist durch

T (~x) = A~x

eine lineare Abbildung T : Rn −→ Rm gegeben, denn fur ~x, ~y ∈ Rn und λ ∈ R gilt:

T (~x+ ~y) = A(~x+ ~y) = A~x+ A~y = T (~x) + T (~y),

T (λ~x) = A(λ~x) = λA~x = λT (~x).

Die Umkehrung in Beispiel 2.4.2 gilt ebenfalls: Jede lineare Abbildung kann durch eine

Matrix dargestellt werden:

Satz 2.4.3

Sei T : Rn −→ Rm eine lineare Abbildung. Dann gibt es eine Matrix A ∈ Rm×n mit

T (~x) = A~x fur alle ~x ∈ Rn.

Beweis: Sei

~x =n∑i=1

xi~ei

ein beliebiger Vektor. Aus der Linearitat von T folgt dann

T (~x) = T

(n∑i=1

xi~ei

)=

n∑i=1

xiT (~ei) = A~x,

wobei die Matrix A ∈ Rm×n sich aus den Spalten T (~ei) ∈ Rm, i = 1, . . . , n, zusammen-

setzt:

A :=[T (~e1) · · · T (~en)

].



Definition 2.4.4 (Bild und Kern)

Sei A ∈ Rm×n eine Matrix und T : Rn −→ Rm die zugehorige durch T (~x) := A~x definierte

lineare Abbildung.

(a) Der Nullraum (oder Kern) von A bzw. T ist definiert als

Kern(A) := ~x ∈ Rn | A~x = ~0.

(b) Das Bild (engl. image) von A bzw. T ist definiert als

Bild(A) := ~y ∈ Rm | ~y = A~x, ~x ∈ Rn.

Der Kern von A ∈ Rm×n ist ein Untervektorraum des Rn und das Bild von A ist ein

Untervektorraum des Rm, wie man mit Hilfe von Satz 2.2.10 leicht nachpruft.

Beispiel 2.4.5

Fur

A =

[1 −1

0 0

]ist

Bild(A) =

[t

0

] ∣∣∣ t ∈ R

und Kern(A) =

t

[1

1

] ∣∣∣ t ∈ R

.

Wir fassen noch einige aus der linearen Algebra bekannte Resultate zusammen:

Satz 2.4.6

Sei A ∈ Rm×n. Dann gelten folgende Aussagen:

(a)

n = dim(Kern(A)) + dim(Bild(A))

m = dim(Kern(A>)) + Rang(A)

Kern(A) = Bild(A>)⊥,

Bild(A>) = Kern(A)⊥,

Kern(A) = Kern(A>A),

Bild(A>) = Bild(A>A).


2.4. LINEARE ABBILDUNGEN UND MATRIZEN 77

Hierin bezeichnet V ⊥ = w ∈ Rn | 〈w, v〉 = 0 ∀v ∈ V das orthogonale Komplement

des Unterraums V ⊆ Rn.

(b) Im Fall n = m sind folgende Aussagen aquivalent:

– A ist regular (invertierbar)

– Kern(A) = ~0– Bild(A) = Rn

– Rang(A) = n

– A~x = ~0 ⇐⇒ ~x = ~0

– A~x = ~b hat fur jedes ~b genau eine Losung


Kapitel 3

Lineare Gleichungssysteme

Nachdem wir in Kapitel 2 bereits gerlernt haben, mit Vektoren und Matrizen zu rechnen,

geht es in diesem Kapitel um das Losen von linearen Gleichungssystemen mit dem Gauss-

Algorithmus.

3.1 Lineare Gleichungssysteme

Als Motivation fur dieses Kapitel betrachten wir eine Aufgabe, die in nahezu allen An-

wendungen fruher oder spater auftritt: die Losung eines linearen Gleichungssystems.

Beispiel 3.1.1 (Elektrische Schaltkreise und Kirchhoffsches Gesetz)

Gegeben sei das folgende stationare elektronische Netzwerk mit gegebenen ohmschen Wi-

derstanden R1, . . . , R5 und gegebenem Eingangsstrom I0.

I0 I101 2

3

4

R4R4

R3

R5

R3

R2 R1

R2R1

I1 I8

I3 I9

I2I6

I4

I5

I7

Das erste Kirchhoffsche Gesetz (Knotensatz)

An jedem Knotenpunkt ist die Summe aller zu- (positiven) und abfließenden

(negativen) Strome unter Beachtung der durch die Pfeile angegebenen

Richtungen in jedem Zeitpunkt gleich Null

78

3.1. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 79

liefert die Beziehungen

−I1 + I3 = −I0,I1 − I2 − I4 + I6 = 0,

I2 − I3 − I7 = 0,

I4 − I5 + I8 = 0,

I5 − I6 + I7 − I9 = 0,

−I8 + I9 − I10 = 0.

Aus dem Ohmschen Gesetz

U = R · I

und dem zweiten Kirchhoffschen Gesetz (Maschensatz)

In einer Masche ist die Summe aller Teilspannungen in jedem Zeitpunkt

gleich Null

folgen die Gleichungen

R1 · I1 +R4 · I2 +R2 · I3 = 0,

R2 · I8 +R4 · I5 +R1 · I9 = 0,

R4 · I2 +R5 · I6 +R3 · I7 = 0,

R3 · I4 +R4 · I5 +R5 · I6 = 0.

Diese 10 Gleichungen fur die Strome I1, . . . , I10 konnen als lineares Gleichungssystem

geschrieben werden:

−1 0 1 0 0 0 0 0 0 0

1 −1 0 −1 0 1 0 0 0 0

0 1 −1 0 0 0 −1 0 0 0

0 0 0 1 −1 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 −1 1 0 −1 0

0 0 0 0 0 0 0 −1 1 −1

R1 R4 R2 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 R4 0 0 R2 R1 0

0 R4 0 0 0 R5 R3 0 0 0

0 0 0 R3 R4 R5 0 0 0 0

·

I1

I2

I3

I4

I5

I6

I7

I8

I9

I10

=

−I00

0

0

0

0

0

0

0

0

.

Das Folgende gilt sowohl fur reellwertige als auch fur komplexwertige Vektoren und Ma-

trizen. Wir beschranken uns jedoch auf den reellen Fall.


80 KAPITEL 3. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME

Problem 3.1.2 (Lineares Gleichungssystem)

Gesucht ist die Losung ~x ∈ Rn des linearen Gleichungssystems

a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1,

a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2,...

an1x1 + an2x2 + . . .+ annxn = bn,

(3.1)

wobei aij, i, j = 1, . . . , n, und bi, i = 1, . . . , n, gegebene Zahlen sind. Mit

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

.... . .

...

an1 an2 · · · ann

∈ Rn×n, ~b =

b1

b2...

bn

∈ Rn, ~x =

x1

x2...

xn

∈ Rn (3.2)

lautet das lineare Gleichungssystem in Matrixschreibweise

A~x = ~b. (3.3)

Lineare Gleichungssysteme treten in nahezu allen Anwendungen und Verfahren auf.

Unser Ziel ist es, Verfahren zur Bestimmung einer Losung ~x von (3.3) zu entwickeln und

zu analysieren.

3.2 Existenz und Eindeutigkeit von Losungen

Es stellt sich die Frage, welche Voraussetzungen an A und ~b gestellt werden mussen,

damit das lineare Gleichungssystem (3.3) uberhaupt eine Losung ~x besitzt. Zunachst ist

klar, dass das lineare Gleichungssystem genau eine Losung besitzt, falls die Matrix A

invertierbar (regular) ist. Die eindeutige Losung des Gleichungssystems ist dann durch

~x = A−1~b (3.4)

gegeben. Es kann aber auch der Fall eintreten, dass (3.3) mehrere Losungen oder gar keine

Losung besitzt. Offensichtlich kann die Matrix A dann nicht regular sein.

Beispiel 3.2.1

Das folgende lineare Gleichungssystem besitzt keine Losung:[1 0

0 0

][x1

x2

]=

[1

1

]


3.2. EXISTENZ UND EINDEUTIGKEIT VON LOSUNGEN 81

Das folgende lineare Gleichungssystem besitzt genau eine Losung:[1 0

0 1

][x1

x2

]=

[1

1

]

Das folgende lineare Gleichungssystem besitzt unendlich viele Losungen:[1 0

0 0

][x1

x2

]=

[1

0

]

Es gilt das folgende Kriterium, welches die Frage der Losbarkeit von (3.3) abschließend

beantwortet.

Satz 3.2.2

Das lineare Gleichungssystem (3.3) besitzt genau dann mindestens eine Losung, falls

gilt:

Rang(A) = Rang(A|~b).

Unter (A|~b) wird die um die rechte Seite ~b erweiterte Matrix

(A|~b) =

a11 a12 · · · a1n b1

a21 a22 · · · a2n b2...

.... . .

......

an1 an2 · · · ann bn

verstanden.

Beweis: Offenbar besitzt das lineare Gleichungssystem genau dann eine Losung, wenn~b ∈ Bild(A) gilt.

Sei nun~b ∈ Bild(A). Dann gilt auch Bild(A) = Bild(A|~b) und somit Rang(A) = Rang(A|~b).Gilt nun Rang(A) = Rang(A|~b), so laßt sich ~b als Linearkombination der Spalten von A

schreiben. Also gilt ~b ∈ Bild(A) und somit besitzt das Gleichungssystem eine Losung.

Die Struktur der Losungsmenge eines linearen Gleichungssystems wird im folgenden Satz

behandelt.

Satz 3.2.3

Seien A ∈ Rn×n und ~b ∈ Rn gegeben. Sei ~z eine Losung von A~x = ~b. Die gesamte

Losungsmenge von A~x = ~b ist gegeben durch ~z + Kern(A).



Beweis: Sei ~y ∈ Kern(A), d.h. A~y = ~0. Dann gilt A(~z + ~y) = A~z + A~y = ~b und ~z + ~y

ist Losung.

Sei ~x Losung. Dann gilt A(~x − ~z) = ~b − ~b = ~0 und somit ~x − ~z ∈ Kern(A) bzw. ~x ∈~z + Kern(A).

3.3 Gauss’sches Eliminationsverfahren

Zur Motivation betrachten wir ein System aus 3 linearen Gleichungen in den 3 Unbekann-

ten x, y, z:

6x− 2y + 2z = 12

12x− 8y + 6z = 34

3x− 13y + 9z = 28

⇐⇒

6 −2 2

12 −8 6

3 −13 9

︸︷︷︸

=A∈R3×3

x

y

z

︸︷︷︸=~x∈R3

=

12

34

28

︸︷︷︸=~b∈R3

Gesucht sind Werte fur x, y und z, die diese drei Gleichungen erfullen.

In der Schule geht man ublicherweise so vor, dass man eine der Gleichungen nach ei-

ner der Variablen auflost und letztere dann in den beiden ubrigen Gleichungen ersetzt.

Dieser Vorgang wird solange wiederholt, bis man fur eine Variable einen Wert ausrech-

nen kann und durch Einsetzen erhalt man dann schrittweise alle anderen Variable. Diese

Vorgehensweise fuhrt zwar auf das richtige Ergebnis, aber es ist etwas willkurlich.

Wir wollen einen systematischen Weg zur Losung des linearen Gleichungssystems kennen

lernen – das Gauß’sche Eliminationsverfahren (Gauß-Algorithmus). Die Idee des

Gauß’schen Eliminationsverfahrens besteht darin, die Koeffizienten im Gleichungssystem

durch elementare Zeilenumformungen schrittweise in obere Dreiecksform zu uberfuhren.

Dieses kann dann mittels Ruckwartssubstitution gelost werden. Wichtig ist hierbei, dass

die Losung des Ausgangsproblems mit der des transformierten Problems ubereinstimmt.

Dies ist bei der Verwendung elementarer Zeilenumformungen gewahrleistet. Elemen-

tare Zeilenumformungen sind

• die Multiplikation einer Zeile mit einem Wert ungleich Null,

• die Addition bzw. Subtraktion zweier Zeilen,

• sowie das Vertauschen zweier Zeilen.

Wir wenden den Gauß-Algorithmus auf unser Gleichungssystem

6x− 2y + 2z = 12

12x− 8y + 6z = 34

3x− 13y + 9z = 28

←→

6 −2 2 12

12 −8 6 34

3 −13 9 28


3.3. GAUSS’SCHES ELIMINATIONSVERFAHREN 83

an und gehen schrittweise vor. Auf der rechten Seite fassen wir die Gleichungssysteme in

Kurzform zusammen, in der nur die Koeffizienten dargestellt sind.

Wir lassen die erste Zeile unverandert und subtrahieren das 126

-fache der ersten Zeile von

der zweiten Zeile und das 36-fache der ersten Zeile von der dritten Zeile und erhalten

6x− 2y + 2z = 12

−4y + 2z = 10

−12y + 8z = 22

←→

6 −2 2 12

0 −4 2 10

0 −12 8 22

Nun lassen wir die ersten beiden Zeilen unverandert und subtrahieren das −12−4 -fache der

zweiten Zeile von der dritten Zeile und erhalten

6x− 2y + 2z = 12,

−4y + 2z = 10,

2z = −8.

←→

6 −2 2 12

0 −4 2 10

0 0 2 −8

Dieses Gleichungssystem besitzt dieselbe Losung wie unser Ausgangssystem, da wir nur

elementare Zeilenumformungen verwendet haben. Es hat jedoch den Vorteil, dass es Drei-

ecksgestalt besitzt, so dass wir die letzte Zeile leicht nach z auflosen konnen:

z = −4.

Mit Kenntnis von z konnen wir nun die zweite Gleichung nach y auflosen und erhalten

y = −1

4(10− 2z) = −1

4(10 + 8) = −9

2.

Damit folgt aus der ersten Gleichung

x =1

6(12 + 2y − 2z) =

1

6(12− 9 + 8) =

11

6.

Die Losung des linearen Gleichungssystems lautet also

x =11

6, y = −9

2, z = −4.

3.3.1 Die allgemeine Vorgehensweise

Unser Gleichungssystem steht stellvertretend fur das folgende allgemeine lineare Glei-

chungssystem in den 3 Variablen x, y, z:

a11x+ a12y + a13z = b1

a21x+ a22y + a23z = b2

a31x+ a32y + a33z = b3

⇐⇒

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

︸︷︷︸

=A∈R3×3

x

y

z

︸︷︷︸=~x∈R3

=

b1

b2

b3

︸︷︷︸=~b∈R3

mit gegenenen Koeffizienten aij, i, j = 1, 2, 3, und bi, i = 1, 2, 3.

Wir wiederholen dieselben Schritte wie in unserem konkreten Beispiel.

Schritt 1:



• erste Zeile bleibt unverandert

• subtrahiere das a21a11

-fache der ersten Zeile von der zweiten Zeile, falls a11 6= 0

• subtrahiere das a31a11

-fache der ersten Zeile von der dritten Zeile, falls a11 6= 0

a11x+ a12y + a13z = b1(a22 −

a21a11

a12

)︸︷︷︸

=:a(1)22

y +

(a23 −

a21a11

a13

)︸︷︷︸

=:a(1)23

z = b2 −a21a11

b1︸︷︷︸=:b

(1)2(

a32 −a31a11

a12

)︸︷︷︸

=:a(1)32

y +

(a33 −

a31a11

a13

)︸︷︷︸

=:a(1)33

z = b3 −a31a11

b1︸︷︷︸=:b

(1)3

←→

a11 a12 a13 b1

0 a(1)22 a

(1)23 b

(1)2

0 a(1)32 a

(1)33 b

(1)3

Schritt 2:

• ersten beiden Zeilen bleiben unverandert

• subtrahiere dasa(1)32

a(1)22

-fache der zweiten Zeile von der dritten, falls a(1)22 6= 0

a11x+ a12y + a13z = b1

a(1)22 y + a

(1)23 z = b

(1)2(

a(1)33 −

a(1)32

a(1)22

a(1)23

)︸︷︷︸

=:a(2)33

z = b(1)3 −

a(1)32

a(1)22

b(1)2︸︷︷︸

=:b(2)3

←→

a11 a12 a13 b1

0 a(1)22 a

(1)23 b

(1)2

0 0 a(2)33 b

(2)3

Ruckwartssubstitution: Lose Gleichungssystem schrittweise auf:

z =b(2)3

a(2)33

(falls a(2)33 6= 0),

y =1

a(1)22

(b(1)2 − a

(1)23 z)

(falls a(1)22 6= 0),

x =1

a11(b1 − a12y − a13z) (falls a11 6= 0).

Naturlich funktioniert die obige Vorgehensweise nur, wenn die sogenannten Pivotelemente

a11, a(1)22 und a

(2)33 alle ungleich Null sind. Es kann aber sehr wohl der Fall eintreten, dass ei-

ner dieser Werte gleich Null ist. Was macht man dann? Nun, ublicherweise verwendet man



sogenannte Pivotstrategien bei denen man im einfachsten Fall zwei Zeilen miteinander

vertauscht.

Beispiel 3.3.1 (Pivoting)

Gegeben sei das lineare Gleichungssystem

−2y + 2z = 1

3x− 4y + 6z = 33

3x− 12y + 9z = 27

←→

0 −2 2 1

3 −4 6 33

3 −12 9 27

Rein formal konnen wir das Gauß-Verfahren nicht anwenden, da in der ersten Zeile der

Koeffizient 0 vor dem x steht. Da der Koeffizient in der zweiten Zeile vor x nicht Null

ist, vertauschen wir die erste und die zweite Zeile:

3x− 4y + 6z = 33

−2y + 2z = 1

3x− 12y + 9z = 27

←→

3 −4 6 33

0 −2 2 1

3 −12 9 27

Nun konnen wir das Gauß-Verfahren anwenden. Subtraktion des 3

3-fachen der ersten Zeile

von der dritten Zeile liefert

3x− 4y + 6z = 33

−2y + 2z = 1

−8y + 3z = −6

←→

3 −4 6 33

0 −2 2 1

0 −8 3 −6

Subtraktion des −8−2-fachen der zweiten Zeile von der dritten Zeile liefert

3x− 4y + 6z = 33

−2y + 2z = 1

−5z = −10

←→

3 −4 6 33

0 −2 2 1

0 0 −5 −10

Dieses System hat obere Dreiecksform und wir konnen auflosen:

z = 2,

y = −1

2(1− 2z) =

3

2,

x =1

3(33 + 4y − 6z) = 9.

Trotz Vertauschens zweier Zeilen kann es vorkommen, dass man den Gauß-Algorithmus

nicht fortsetzen kann. In diesem Fall besitzt das lineare Gleichungssystem jedoch keine

oder unendlich viele Losungen. Die Matrix enthalt in diesem Fall linear abhangige Zeilen

oder Spalten und besitzt keinen vollen Rang.



Beispiel 3.3.2

Betrachte fur gegebenes b3 das folgende lineare Gleichungssystem

x− 2y + 2z = 1

3x− 4y + 6z = 33

2x− 2y + 4z = b3

←→

1 −2 2 1

3 −4 6 33

2 −2 4 b3

Anwendung des Gauß-Verfahrens liefert im ersten Schritt:

x− 2y + 2z = 1

2y = 30

2y = b3 − 2

←→

1 −2 2 1

0 2 0 30

0 2 0 b3 − 2

Der nachste Gauß-Schritt liefert

x− 2y + 2z = 1

2y = 30

0 = b3 − 32

←→

1 −2 2 1

0 2 0 30

0 0 0 b3 − 32

Die letzte Gleichung ist nur fur b3 = 32 losbar, andernfalls besitzt das Gleichungssystem

keine Losung.

Fur b3 = 32 ergibt sich aus der zweiten Gleichung y = 15. Die erste Gleichung liefert

dann

x = 1 + 2y − 2z = 31− 2z.

Hierin kann z ∈ R beliebig gewahlt werden, so dass es unendlich viele Losungen gibt.

Der Rang der Matrix ist 2, d.h. sie besitzt nur 2 linear unabhangige Zeilen oder Spalten.

3.3.2 Der n-dimensionale Fall

Die bisherige Vorgehensweise lasst sich leicht auf den n-dimensionalen Fall ubertragen.

Die Idee des Gauss’schen Eliminationsverfahrens besteht nun darin, die Matrix A durch

elementare Zeilenumformungen schrittweise in eine rechte obere Dreiecksmatrix R und

die rechte Seite ~b in einen Vektor ~c zu uberfuhren, so dass ein Gleichungssystem der Form

R~x = ~c (3.5)

fur ~x mit rechter oberer Dreiecksmatrix

R =

r11 r12 r13 · · · r1n

r22 r23 · · · r2n

r33. . .

.... . . rn−1,n

rnn

, rii 6= 0, i = 1, . . . , n,



entsteht. Dann kann man die Gleichungen

r11x1 + r12x2 + . . .+ r1nxn = c1,

r22x2 + . . .+ r2nxn = c2,...

rn−1,n−1xn−1 + rn−1,nxn = cn−1,

rnnxn = cn

beginnend mit der letzten Zeile nach xi, i = n, n− 1, . . . , 1, auflosen:

x1 = 1r11

(c1 − r12x2 − r13x3 − . . .− r1nxn) ,

x2 = 1r22

(c2 − r23x3 − . . .− r2nxn) ,...

xn−1 = 1rn−1,n−1

(cn−1 − rn−1,nxn) ,

xn = cnrnn

Diesen Vorgang nennt man Ruckwartssubstitution.

Schematisch lauft der Gauss’sche Eliminationsalgorithmus wie folgt ab.

Gauss’scher Eliminationsalgorithmus:

(i) Setze A(1) := A und ~b(1) := ~b.

(ii) Beginnend mit A(1)~x = ~b(1) fuhre n− 1 Transformationsschritte durch bis ein aqui-

valentes lineares Gleichungssystem mit oberer Dreiecksstruktur erreicht ist:

A(1)~x = ~b(1) ⇔ A(2)~x = ~b(2) ⇔ . . .⇔ A(n)~x = ~b(n)

(iii) Lose das lineare Gleichungssystem A(n)~x = ~b(n) durch Ruckwartssubstitution.

Beispiel 3.3.3

6 −2 2 4

12 −8 6 10

3 −13 9 3

−6 4 1 −18

︸︷︷︸

=A(1)

x1

x2

x3

x4

=

12

34

27

−38

︸︷︷︸

=~b(1)

Gauss’sche Elimination liefert folgendes Ergebnis:



Start:

[A(1) ~b(1)

]=

6 −2 2 4 12

12 −8 6 10 34

3 −13 9 3 27

−6 4 1 −18 −38

Subtraktion des 2-fachen der 1. Zeile von der 2. Zeile und des 0.5-fachen der 1. Zeile von

der 3. Zeile und des −1-fachen der 1. Zeile von der 4. Zeile liefert:

[A(2) ~b(2)

]=

6 −2 2 4 12

0 −4 2 2 10

0 −12 8 1 21

0 2 3 −14 −26

Subtraktion des 3-fachen der 2. Zeile von der 3. Zeile und des −0.5-fachen der 2. Zeile

von der 4. Zeile liefert:

[A(3) ~b(3)

]=

6 −2 2 4 12

0 −4 2 2 10

0 0 2 −5 −9

0 0 4 −13 −21

Subtraktion des 2-fachen der 3. Zeile von der 4. Zeile liefert:

[A(4) ~b(4)

]=

6 −2 2 4 12

0 −4 2 2 10

0 0 2 −5 −9

0 0 0 −3 −3

Ruckwartssubstitution:

~x =

1

−3

−2

1

.

Im Folgenden wird der Schritt von i 7→ i+ 1 im Detail beschrieben. Der Algorithmus sei



bis zum i-ten Schritt fortgeschritten mit

A(i) =

a(i)11 · · · a

(i)1i . . . a

(i)1n

. . ....

. . ....

a(i)ii . . . a

(i)in

a(i)i+1,i . . . a

(i)i+1,n

.... . .

...

a(i)ni . . . a

(i)nn

, ~b(i) =

b(i)1...

b(i)i

b(i)i+1...

b(i)n

.

Ziel ist es, die Elemente a(i)ji , j = i + 1, . . . , n, durch elementare Zeilenumformungen zu

eliminieren. Es gelte a(i)ii 6= 0 fur das sogenannte Pivotelement. Die Matrix A(i+1) erhalt

man, indem dasa(i)ji

a(i)ii

-fache der i-ten Zeile von den Zeilen j = i+ 1, . . . , n subtrahiert wird:

A(i+1) =

a(i+1)11 · · · a

(i+1)1,i+1 . . . a

(i+1)1n

. . ....

. . ....

a(i+1)i+1,i+1 . . . a

(i+1)i+1,n

a(i+1)i+2,i+1 . . . a

(i+1)i+2,n

.... . .

...

a(i+1)n,i+1 . . . a

(i+1)nn

:=

a(i)11 · · · a

(i)1i . . . a

(i)1n

. . ....

. . ....

a(i)ii . . . a

(i)in

a(i)i+1,i −

a(i)i+1,i

a(i)ii

a(i)ii . . . a

(i)i+1,n −

a(i)i+1,i

a(i)ii

a(i)in

.... . .

...

a(i)ni −

a(i)ni

a(i)ii

a(i)ii . . . a

(i)nn − a

(i)ni

a(i)ii

a(i)in

.

Die Matrix A(i+1) hat formal dieselbe Struktur wie A(i) mit dem Unterschied, dass in A(i+1)

unterhalb der Hauptdiagonalen der i-ten Spalte, die in A(i) noch voll besetzt war, Nullen

erzeugt wurden. Im nachsten Schritt wurden dann die Elemente a(i+1)j,i+1 , j = i + 2, . . . , n

elimiert werden.



Entsprechend muss der Vektor ~b(i) transformiert werden:

~b(i+1) =

b(i+1)1...

b(i+1)i

b(i+1)i+1...

b(i+1)n

:=

b(i)1...

b(i)i

b(i)i+1 −

a(i)i+1,i

a(i)ii

b(i)i

...

b(i)n − a

(i)ni

a(i)ii

b(i)i

.

Bemerkung 3.3.4 (Pivoting)

Der Gauss’sche Eliminationsalgorithmus ist durchfuhrbar, solange die Pivotelemente a(i)ii 6=

0, i = 1, . . . , n− 1, erfullen. Ist dies nicht der Fall, mussen ggf. Zeilen- oder Spaltenver-

tauschungen (Pivoting) durchgefuhrt werden, um den Algorithmus fortsetzen zu konnen.

Ist es trotz aller Zeilen- oder Spaltenvertauschungen nicht moglich, ein Pivotelement un-

gleich Null zu finden, so ist die Matrix A nicht invertierbar und es entsteht eine rechte

obere Dreiecksmatrix der Form

R =

[R ∗0 0

]

mit einer invertierbaren rechten oberen Dreiecksmatrix R der Dimension r× r mit r < n.

Der Rang der Matrix A ist dann gleich r, vgl. Beispiel 3.3.2.

Beispiel 3.3.5 (Berechnung der Inversen A−1)

Die Inverse X = A−1 einer invertierbaren Matrix A erfullt die Gleichung

A ·X = I.

Falls ~x(i) die i-te Spalte von X und ~ei den i-ten Einheitsvektor bezeichnen, mussen wir

zur Bestimmung von X die folgenden n linearen Gleichungssysteme losen:

A~x(i) = ~ei, i = 1, 2, . . . , n.

Dies konnen wir mit dem Gauß’schen Eliminationsverfahren simultan erledigen, indem


3.4. DETERMINANTEN 91

wir die Transformationen auf jeden der Vektoren ~ei, i = 1, 2, . . . , n, anwenden:

A ·X = I ←→

1 2 0 1 0 0

2 4 1 0 1 0

2 1 0 0 0 1

←→

1 2 0 1 0 0

0 0 1 −2 1 0

0 −3 0 −2 0 1

←→

1 2 0 1 0 0

0 −3 0 −2 0 1

0 0 1 −2 1 0

Ruckwartssubstitution fur jede rechte Seite liefert die Inverse Matrix

A−1 = X =

−13

0 23

23

0 −13

−2 1 0

3.4 Determinanten

Determinanten sind nutzliche Hilfsmittel, mit deren Hilfe man z.B. die Invertierbarkeit

einer Matrix charakterisieren kann oder sogar die Losung eines linearen Gleichungssystems

mit Hilfe der Cramer’schen Regel angeben kann. Determinanten werden auch in Kapitel 4

eine wichtige Rolle spielen.

Definition 3.4.1 (Determinante)

Sei A ∈ Rn×n eine Matrix. Die Determinante von A,

detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

.... . .

...


∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣,

ist rekursiv durch die folgenden Vorschriften definiert:

(a) Fur n = 1 mit A = [a] gilt detA = a.

(b) Fur n ≥ 2 gilt

detA = a11 detA11 − a12 detA12 ± . . .+ (−1)1+na1n detA1n

=n∑k=1

(−1)1+ka1k detA1k,



wobei Aij fur 1 ≤ i, j ≤ n diejenige (n− 1)× (n− 1)-Matrix bezeichnet, die sich aus

A durch Streichen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte ergibt.

Beispiel 3.4.2

(a) ∣∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21

Die Determinante einer 2x2-Matrix ist also gerade das Produkt aus den Diagonal-

elementen a11 · a22 minus dem Produkt der Nichtdiagonalelemente a12 · a21.

(b) ∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣ = a11

∣∣∣∣∣ a22 a23

a32 a33

∣∣∣∣∣− a12∣∣∣∣∣ a21 a23

a31 a33

∣∣∣∣∣+ a13

∣∣∣∣∣ a21 a22

a31 a32

∣∣∣∣∣= (a11a22a33 − a11a23a32)− (a12a21a33 − a12a23a31)

+ (a13a21a32 − a13a22a31)= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32

−a31a22a13 − a32a23a11 − a33a21a12.

Die letzte Formel kann man sich leicht mit dem folgenden Schema (Regel von

Sarrus) merken: ∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣a11 a12

a21 a22

a31 a32

Zur Berechnung der Determinante wird diagonal ausmultipliziert, wobei die Produkte

von links oben nach rechts unten (jeweils beginnend mit a11, a12, a13) positiv und

die Produkte von links unten nach rechts oben (jeweils beginnend mit a31, a32, a33)

negativ gewichtet werden.

(c) Die Determinante einer linken unteren Dreiecksmatrix berechnet sich zu∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11

a21 a22...

.... . .


∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= a11

∣∣∣∣∣∣∣a22...

. . .

an2 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣ = . . . = a11a22 · · · ann.



Bemerkung 3.4.3

Wir hatten in Kapitel 2 bereits erwahnt, dass sich das Kreuzprodukt zweier Vektoren

formal darstellen lasst als

~a×~b =

∣∣∣∣∣∣∣~e1 ~e2 ~e3

a1 a2 a3

b1 b2 b3

∣∣∣∣∣∣∣ ,und fur das Spatprodukt dreier Vektoren gilt

[~a,~b,~c] =

∣∣∣∣∣∣∣a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

∣∣∣∣∣∣∣ .

In Definition 3.4.1 (b) haben wir zur rekursiven Definition der Determinante die erste

Zeile der Matrix verwendet. Diese Wahl ist recht willkurlich und wir hatten auch andere

Zeilen oder Spalten verwenden konnen. Es gilt

Satz 3.4.4 (Determinantenentwicklungssatz)

Sei A = [aij]i,j=1,...,n eine n× n-Matrix. Dann gilt:

(a) Entwicklung nach der i-ten Zeile: Fur einen beliebigen, aber fest gewahlten

Zeilenindex i ∈ 1, . . . , n gilt

detA =n∑k=1

(−1)i+kaik detAik.

(b) Entwicklung nach der j-ten Spalte: Fur einen beliebigen, aber fest gewahlten

Spaltenindex j ∈ 1, . . . , n gilt

detA =n∑k=1

(−1)j+kakj detAkj.


Determinanten besitzen folgende Eigenschaften:



(a) Es gilt detA = detA>.

(b) Werden zwei Zeilen in der Matrix A vertauscht, so andert die Determinante ihr

Vorzeichen.

(c) Wird eine Zeile oder Spalte von A mit einem Skalar λ multipliziert, so multipliziert

sich die Determinante mit λ.

(d) Addiert man zu einer Zeile (bzw. Spalte) ein Vielfaches einer anderen Zeile (bzw.

Spalte), so andert sich die Determinante nicht.

(e) Fur n× n-Matrizen A und B gilt

det(AB) = detA · detB.

Auf Grund der Eigenschaften (a), (b), (c) und (d) kann man Determinanten mit dem

Gauss-Algorithmus berechnen, da dieser lediglich Linearkombinationen von Zeilen und

ggf. Spaltenvertauschungen verwendet. Am Ende des Gauss-Algorithmus entsteht eine

rechte obere Dreiecksmatrix, welche dann bis auf das Vorzeichen dieselbe Determinante

wie die ursprungliche Matrix besitzt. Man uberlege sich hierzu, dass die Determinan-

te einer Dreiecksmatrix gegeben ist durch das Produkt ihrer Diagonalelemente. Daruber

hinaus ist die rechte obere Dreiecksmatrix invertierbar genau dann, wenn die ursprungli-

che Matrix invertierbar war. Aus diesem Zusammenhang zwischen Gauss-Verfahren und

Determinanten ergibt sich

Satz 3.4.6

Sei A eine n× n-Matrix. Dann sind folgende Aussagen aquivalent:

(a) detA 6= 0

(b) A ist invertierbar.

Im Umkehrschluss ergibt sich, dass die Determinante einer nicht invertierbaren Matrizen

stets Null ist.

Satz 3.4.7 (Cramer’sche Regel)

Sei A eine invertierbare n × n-Matrix und ~b ein Vektor der Dimension n. Dann besitzt



das lineare Gleichungssystem A~x = ~b die eindeutige Losung

xk =detAkdetA

, k = 1, . . . , n.

Hierbei entsteht die Matrix Ak durch Ersetzen der k-ten Spalte in A durch ~b.

Beweis: Nach Satz 3.4.5 (c), (d) gilt

x1 det(A) =

∣∣∣∣∣∣∣a11x1 + . . .+ a1nxn a12 · · · a1n

......

. . ....

an1x1 + . . .+ annxn an1 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣ = det(A1)

und wegen det(A) 6= 0 folgt

x1 =det(A1)

det(A).

Fur x2, . . . , xn zeigt man die Behauptung analog.

Beispiel 3.4.8

Gegeben seien

A =

[1 2

0 −1

], ~b =

[1

1

].

Es gilt detA = −1 und die Cramer’sche Regel liefert

x1 =

∣∣∣∣∣ 1 2

1 −1

∣∣∣∣∣detA

=−3

−1= 3,

x2 =

∣∣∣∣∣ 1 1

0 1

∣∣∣∣∣detA

=1

−1= −1.

Die Cramer’sche Regel ist in der Regel nur von theoretischem Interesse, numerisch aufwandig

und anfallig fur Rundungsfehler. Zum Losen eines Gleichungssystems sollte stattdessen

die Gauss-Elimination verwendet werden.


Kapitel 4

Eigenwertaufgaben

Eigenwerte spielen in vielen Anwendungen eine wichtige Rolle und geben zum Beispiel

Auskunft uber die Stabilitat von dynamischen Systemen (wichtig bei Reglerentwurf), das

Krummungsverhalten von Funktionen (wichtig in der Optimierung) oder Eigenfrequenzen

und Eigenschwingungen von Bauteilen (wichtig bei der Konstruktion von Bauwerken).

Beispiel 4.0.1

Betrachte fur k = 0, 1, 2, . . . und gegebene Zahlen λ1 und λ2 die folgende diskrete Dynamik:

~zk+1 =

[xk+1

yk+1

]=

[λ1 λ2 − λ10 λ2

][xk

yk

]= A~zk, ~z0 =

[1

1

]. (4.1)

Derartige Modelle werden haufig zur Beschreibung eines zeitabhangigen Vorgangs verwen-

det, wobei der Index k sich auf verschiedene Zeitpunkte bezieht. Der Zustandsvektor ~zk

beschreibt z.B. die Große einer Population mit zwei Spezies xk und yk zum Zeitpunkt k.

Man kann die Matrix A durch Multiplikation mit einer geeignet gewahlten Matrix T und

dessen Inversen T−1 diagonalisieren:

T−1AT =

[λ1

λ2

]=: Λ, T =

[1 1

0 1

], T−1 =

[1 −1

0 1

].

Setzt man diese Beziehung in Gleichung (4.1) ein, so erhalt man

T−1~zk+1 = T−1ATT−1~zk = ΛT−1~zk, k = 0, 1, 2, . . .

Mit der Substitution ~vk := T−1~zk folgt dann

~vk+1 = Λ~vk, k = 0, 1, 2, . . . .

Wiederholte Anwendung dieser Iterationsvorschrift liefert

~vk = Λk~v0, k = 0, 1, 2, . . .

bzw. in Koordinaten[v1kv2k

]=

[λk1

λk2

][v10v20

]=

[λk1v

10

λk2v20

], k = 0, 1, 2, . . . .

96

97

Die Werte λ1 und λ2 sind die sogenannten Eigenwerte der Matrix A. An Hand ihrer Werte

kann man ablesen, wie sich das dynamische System fur k −→ ∞ verhalt: Fur j = 1, 2

folgt

|λj| > 1 =⇒ |vjk| −→ ∞,|λj| < 1 =⇒ vjk −→ 0,

|λj| = 1 =⇒ |vjk| = |vj0|.

Im ersten Fall ist die Dynamik instabil (Teile der Population explodieren), im zweiten

Fall ist die Dynamik asymptotisch stabil (die Population stirbt aus), im dritten Fall ist

die Dynamik stabil. Beachte, dass hier nur Aussagen fur ~vk = T−1~zk getroffen wurden.

Man muss sich noch uberlegen, was dies fur ~zk = T~vk bedeutet.

Beispiel 4.0.2 (Eigenwerte und Schwingungen)

Eigenwertprobleme in einer allgemeineren Form treten auch in der Mechanik im Zusam-

menhang mit Schwingungen auf. Betrachte einen elastischen Balken der Lange L, der am

linken und rechten Rand eingespannt ist und schwingen kann, siehe Abbildung.

L

z

x

Ein Eigenwertproblem fur diesen Balken lautet wie folgt. Finde eine Eigenfrequenz ω

mit

z′′′′(x) = ω2 ρA

EIz(x),

z(0) = 0,

z′(0) = 0,

z(L) = 0,

z′′(L) = 0,

wobei die Massenbelegung ρA und die Biegesteifigkeit EI materialabhangige Konstanten

sind. Die zugehorigen”

Eigenvektoren“ z sind Losungen des Randwertproblems und somit


98 KAPITEL 4. EIGENWERTAUFGABEN

Funktionen. Sie heißen Eigenschwingungen. Interessiert ist man hierbei insbesondere

an nichttrivialen Losungen z 6≡ 0.

Dass die Untersuchung von Eigenschwingungen und Eigenfrequenzen in Bezug auf Re-

sonanz wichtig bei der Konstruktion von z.B. Brucken ist, zeigt der Zusammensturz der

Tacoma Bridge, bei der Wind zur einer Anregung gefuhrt hat, was letztendlich in einem

Aufschaukeln der Anregung endete und zum Einsturz der Brucke fuhrte. Details finden

sich auf der WWW-Seite

http://de.wikipedia.org/wiki/Tacoma-Narrows-Br%C3%BCcke

4.1 Eigenwerte und Eigenvektoren

Die Definition eines Eigenwerts und eines zugehorigen Eigenvektors ist motiviert durch

die Aufgabe, Hauptrichtungen (Eigenvektoren) und Skalierungsfaktoren (Eigenwerte) bei

der Matrixmultiplikation zu finden.

Definition 4.1.1

Sei A ∈ Cn×n.

(a) Die Zahl λ ∈ C heißt Eigenwert der Matrix A, wenn

A~x = λ~x fur ein ~x 6= ~0

gilt. Ein Vektor ~0 6= ~x ∈ Cn mit A~x = λ~x heißt Eigenvektor zum Eigenwert λ.

(b) Die Menge aller Eigenwerte von A heißt Spektrum von A.

(c) Der Spektralradius von A ist definiert als

ρ(A) := max|λ| | λ ist Eigenwert von A.

Aus der Definition des Eigenwerts ergibt sich, dass λ genau dann Eigenwert von A ist,

wenn die Matrix A− λIn singular ist, da das homogene lineare Gleichungssystem

(A− λIn) ~x = ~0

eine nichttriviale Losung ~x 6= ~0 (namlich einen Eigenvektor zum Eigenwert λ) hat. Nach

Satz 3.4.6 ist die Singularitat von A− λIn aber gleichbedeutend mit

det(A− λIn) = 0.


4.1. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 99

Die Eigenwerte einer Matrix A sind also durch die Nullstellen des sogenannten charakte-

ristischen Polynoms gegeben.

Definition 4.1.2 (charakteristisches Polynom)

Sei A ∈ Cn×n. Die Funktion

ϕA(µ) := det(A− µIn)

heißt charakteristisches Polynom von A und die Gleichung

ϕA(µ) = det(A− µIn) = 0

heißt charakteristische Gleichung.

Beispiel 4.1.3

Das charakteristische Polynom der rechten oberen Dreiecksmatrix

A =

a11 · · · a1n. . .

...

ann

lautet

ϕA(µ) = (a11 − µ)(a22 − µ) · · · (ann − µ).

Die Eigenwerte von A sind also gerade die Diagonalelemente aii, i = 1, . . . , n, von A.

Eine analoge Aussage gilt fur linke untere Dreiecksmatrizen.

Hat man einen Eigenwert λ einer Matrix A berechnet, so erhalt man einen zugehorigen

Eigenvektor ~x durch Losen des linearen Gleichungssystems (A− λI)~x = ~0. Hierbei muss

man allerdings berucksichtigen, dass die Matrix A−λI nicht invertierbar ist. Es gibt also

mehrere Losungen des Gleichungssystems.

Beispiel 4.1.4

Gegeben sei die Matrix

A =

[1 2

0 3

].

Das charakteristische Polynom lautet

ϕA(µ) = det(A− µI) =

∣∣∣∣∣ 1− µ 2

0 3− µ

∣∣∣∣∣ = (1− µ)(3− µ).

Die Eigenwerte von A sind gegeben durch die Nullstellen des charakteristischen Polynoms

und lauten

λ1 = 1, λ2 = 3.



Wir bestimmen nun einen Eigenvektor zum Eigenwert λ1 = 1. Dazu mussen wir das

folgende Gleichungssystem losen:

(A− λ1I)~x =

[0 2

0 2

][x1

x2

]=

[0

0

].

Jeder Vektor der Form

~x =

[t

0

], t ∈ R

lost dieses Gleichungssystem und jeder solcher Vektor mit t 6= 0 ist daher auch Eigenvektor

zum Eigenwert λ1 = 1.

Wir bestimmen nun einen Eigenvektor zum Eigenwert λ2 = 3. Dazu mussen wir das

folgende Gleichungssystem losen:

(A− λ2I)~x =

[−2 2

0 0

][x1

x2

]=

[0

0

].

Jeder Vektor der Form

~x = t

[1

1

], t ∈ R

lost dieses Gleichungssystem und jeder solcher Vektor mit t 6= 0 ist daher auch Eigenvektor

zum Eigenwert λ2 = 3.

Mit Hilfe des Determinantenentwicklungssatzes lasst sich allgemein zeigen, dass ϕA ein

Polynom n-ten Grades der Form

ϕA(µ) = (−1)n(µn + αn−1µ

n−1 + . . .+ α0

)ist. Damit besitzt das charakteristische Polynom stets n Nullstellen uber C, die auch

komplex sein konnen, selbst wenn die Matrix A reell war.

Sind λi ∈ C, i = 1, . . . , k, die verschiedenen Nullstellen von ϕA mit Vielfachheit σi,

i = 1, . . . , k, so laßt sich ϕA in der Form

ϕA(µ) = (−1)n(µ− λ1)σ1(µ− λ2)σ2 · · · (µ− λk)σk

darstellen. Die Zahl σi wird auch als algebraische Vielfachheit des Eigenwerts λi

bezeichnet und wir bezeichnen mit σ diejenige Funktion, die einem Eigenwert λi dessen

algebraische Vielfachheit zuordnet, d.h. σ(λi) = σi.

Die Menge der Eigenvektoren (zzgl. des Nullvektors)

L(λ) := ~x ∈ Cn | (A− λIn)~x = ~0 = Kern(A− λIn)



bildet einen Untervektorraum des Cn mit Dimension n − Rang(A − λIn). Dieser Unter-

vektorraum wird Eigenraum zum Eigenwert λ genannt. Insbesondere ist mit ~x und ~y

auch jede Linearkombination c1~x+ c2~y 6= ~0 mit c1, c2 ∈ C ein Eigenvektor zum Eigenwert

λ. Die Zahl %(λ) = dim(L(λ)) = n − Rang(A − λI) heißt geometrische Vielfachheit

des Eigenwerts λ und gibt die maximale Anzahl linear unabhangiger Eigenvektoren

zum Eigenwert λ an.

Im Allgemeinen sind die algebraische und geometrische Vielfachheit zum selben Eigenwert

verschieden.

Beispiel 4.1.5

Betrachte die Matrix (Jordankastchen)

J(λ) =

λ 1

λ. . .. . . 1

λ

∈ Cn×n.

Das charakteristische Polynom lautet ϕJ(λ)(µ) = (λ − µ)n und µ = λ ist der einzige

Eigenwert mit algebraischer Vielfachheit σ(λ) = n. Der Rang von J(λ) − λI ist jedoch

n− 1, so dass die geometrische Vielfachheit %(λ) = n− (n− 1) = 1 betragt.

Satz 4.1.6

Zwischen algebraischer und geometrischer Vielfachheit eines Eigenwerts λ besteht folgen-

der Zusammenhang:

1 ≤ %(λ) ≤ σ(λ) ≤ n.

Es stellt sich die Frage, welche Transformationen einer Matrix die Eigenwerte nicht verandern.

Insbesondere konnen solche Transformationen dann benutzt werden, um Matrizen auf ein-

fache Form zu bringen, ohne dabei die Eigenwerte zu andern. Eine solche Transformation

haben wir bereits in Beispiel 4.0.1 verwendet.

Definition 4.1.7

(a) Zwei Matrizen A,B ∈ Cn×n heißen ahnlich, wenn es eine regulare Matrix T ∈ Cn×n

gibt mit

B = T−1 · A · T.

(b) A heißt diagonalisierbar, wenn A ahnlich ist zu einer Diagonalmatrix.



(c) A heißt normal, wenn A · A∗ = A∗ · A gilt, wobei A∗ := A>.

(d) A heißt hermitesch, wenn A∗ = A gilt.

(e) A heißt unitar, wenn A∗ = A−1 gilt. Ist A eine reelle Matrix, so heißt sie ortho-

gonal, falls A> = A−1 gilt.

Beispiel 4.1.8

(a) Symmetrische und hermitesche Matrizen sind normal. Eine symmetrische reelle Ma-

trix ist hermitesch.

(b) Die Drehmatrix 1 0 0

0 cosα − sinα

0 sinα cosα

ist orthogonal. Sie beschreibt eine Drehung um die x-Achse des R3 um den Winkel

α, wenn sie von links an einen Vektor multipliziert wird.

(c) Die Matrix

A =

[λ1 λ2 − λ10 λ2

]ist diagonalisierbar, denn es gilt

T−1AT =

[λ1

λ2

], T−1 =

[1 −1

0 1

], T =

[1 1

0 1

]

Der folgende Satz fasst zusammen, wie sich ubliche Matrixtransformationen, wie zum

Beispiel Ahnlichkeitstransformationen, Transponierung und Invertierung, auf Eigenwerte

auswirken.

Satz 4.1.9

Seien A,B ∈ Cn×n gegeben.

(a) Ist λ Eigenwert von A, so ist λ auch Eigenwert von A> und λ ist Eigenwert von

A∗.



(b) Seien A und B ahnlich mit B = T−1AT . Dann besitzen A und B dieselben Eigen-

werte.

Ist ~x Eigenvektor von A zum Eigenwert λ, so ist T−1~x Eigenvektor von B zum

Eigenwert λ.

Ist ~y Eigenvektor von B zum Eigenwert λ, so ist T~y Eigenvektor von A zum Eigen-

wert λ.

(c) Ist A invertierbar, λ Eigenwert von A und ~x Eigenvektor von A zum Eigenwert λ,

so ist 1λ

Eigenwert von A−1 und ~x ist Eigenvektor zum Eigenwert 1λ

.

(d) Ist A orthogonal, so sind alle Eigenwerte betragsmaßig gleich eins und der Betrag

der Determinante ist eins. Daruber hinaus sind die Spalten von A paarweise ortho-

normale Vektoren.

Beweis:

(a) Folgt aus

det(A− λI) = det((A− λI)>) = det(A> − λI),

det(A∗ − λI) = det((A− λI)∗) = det (A− λI)> = det(A− λI).

(b) Seien A,B ahnlich, d.h. es gibt T invertierbar mit B = T−1 ·A · T . Sei λ Eigenwert

von A, d.h. A~x = λ~x fur ein ~x 6= 0. Dann gilt fur ~y = T−1~x:

B~y = BT−1~x = T−1ATT−1~x = T−1A~x = λT−1~x = λ~y.

Umgekehrt gilt fur einen Eigenwert λ von B mit zugehorigem Eigenvektor ~y und

~x = T~y:

A~x = AT~y = TBT−1T~y = TB~y = λT~y = λ~x.

(c) Ist A invertierbar, so ist λ 6= 0, da ansonsten A~x = ~0 fur ein ~x 6= ~0 erfullt ware,

woraus die Singularitat von A folgen wurde.

Der Rest folgt aus

A~x = λ~x =⇒ 1

λ~x = A−1~x.

(d) Sei A orthogonal, λ Eigenwert von A und ~x Eigenvektor zum Eigenwert λ. Dann

gilt

‖A~x‖2︸︷︷︸=~x>A>A~x=‖~x‖2

= |λ|2‖~x‖2 =⇒ |λ| = 1.



Desweiteren folgt aus I = A>A, dass

1 = det(I) = det(A>A) = det(A>) det(A) = det(A)2

und somit | det(A)| = 1. Aus I = A>A folgt auch sofort, dass die Spalten von A

paarweise orthonormal sind.

2

Da ahnliche Matrizen dieselben Eigenwerte besitzen, liegt der Versuch nahe, eine Ma-

trix mittels Ahnlichkeitstransformationen auf rechte obere Dreiecksform, linke untere

Dreiecksform oder sogar Diagonalgestalt bringen zu wollen, da die Eigenwerte in die-

sen Fallen auf der Diagonalen stehen und damit leicht abzulesen sind. Wir beginnen mit

der Schur’schen Normalform, welche eine Ahnlichkeitstransformation auf rechte obere

Dreiecksform darstellt.

Satz 4.1.10 (Schur’sche Normalform)

Sei A ∈ Cn×n. Dann gibt es eine unitare Matrix T mit

T−1AT = Λ +R :=

λ1 r12 . . . r1n

. . . . . ....

λn−1 rn−1,n

λn

Insbesondere enthalt Λ := diag(λ1, . . . , λn) die Eigenwerte von A.

Bemerkung 4.1.11

Die Schur’sche Normalform einer Matrix kann numerisch mithilfe von sogenannten House-

holder-Transformationen berechnet werden.

Mit Hilfe der Schur’schen Normalform kann der folgende Satz zur Diagonalisierung von

Matrizen mittels unitarer Transformationen bewiesen werden:

Satz 4.1.12

(a) A ist genau dann normal, wenn es eine unitare Matrix T ∈ Cn×n gibt mit

T−1 · A · T = Λ :=

λ1. . .

λn

∈ Cn×n.

Man nennt diese Transformation auch Hauptachsentransformation.



(b) A ist genau dann hermitesch, wenn es eine unitare Matrix T ∈ Cn×n gibt mit

T−1 · A · T = Λ :=

λ1. . .

λn

∈ Rn×n.

Die Eigenwerte einer hermiteschen Matrix sind insbesondere alle reell.

Satz 4.1.12 besagt, dass es genau die normalen Matrizen sind, die mittels unitarer Matri-

zen diagonalisierbar sind. Beachte, dass Ahnlichkeitstransformationen mit einer unitaren

Matrix T besonders angenehm sind, da T−1 = T ∗ gilt.

Schreibt man die Beziehung T−1AT = Λ in der Form

A · T = T · Λ ⇔ A~ti = λi~ti, i = 1, . . . , n,

wobei ~ti, i = 1, . . . , n, die Spaltenvektoren von

T =[~t1 · · · ~tn

]bezeichnet, so sieht man unmittelbar, dass der i-te Spaltenvektor ~ti gerade ein Eigenvektor

zum Eigenwert λi ist. Da T unitar ist, sind die Eigenvektoren ~t1, . . . ,~tn linear unabhangig

und orthogonal zueinander.

Die Spalten von T definieren also eine Basis des Cn aus orthogonalen Eigenvektoren

zu den Eigenwerten λ1, . . . , λn. Daruber hinaus stimmen geometrische und algebraische

Vielfachheit uberein. Wir fassen zusammen:

Folgerung 4.1.13

Sei A normal. Dann gelten folgende Aussagen:

(a) Alle Eigenwerte von A sind reell, falls A hermitesch ist.

(b) Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal.

(c) Algebraische und geometrische Vielfachheit jedes Eigenwertes sind gleich.

Beispiel 4.1.14

Gegeben sei ein eingespannter elastischer Balken, der sich durch Krafteinwirkung ver-

formt, siehe Abbildung.



Die mechanischen Spannungen an einem bestimmten Punkt des Balkens werden in einem

kartesischen Referenzkoordinatensystem durch den Spannungstensor

S =

σx τxy τxz

τyx σy τyz

τzx τzy σz

beschrieben, wobei σx, σy und σz Spannungen senkrecht zu den Schnittflachen eines sehr

kleinen Volumenelements bezeichnen (Normalspannungen) und τxy, τyx, τxz, τzx, τyz und

τzy Schubspannungen innerhalb der Schnittflachen darstellen, vgl. Abbildung (Quelle: Wi-

kipedia).

Durch eine Haupachsentransformation, d.h. durch Diagonalisierung der (symmetrischen)

Matrix S, kann man den Spannungszustand, der durch die Matrix S beschrieben wird,

in ein Koordinatensystem umrechnen, in dem die Schubspannungen verschwinden und

nur noch Normalspannungen auftreten, vgl. zur Verdeutlichung den ebenen Fall in der

folgenden Abbildung (Quelle: Wikipedia):



Die Hauptspannungen σ1, σ2 (und im dreidimensionalen Fall σ3) sind dabei gerade die

Eigenwerte von S und die Hauptspannungsrichtungen sind durch die zugehorigen Eigen-

vektoren gegeben.

Es stellt sich jetzt noch die Frage, wie eine solche unitare Matrix T mit T−1AT = Λ

konstruiert werden kann? Hierzu beschranken wir uns auf den reellen Fall und gehen wir

wie folgt vor:

Algorithmus 4.1.15 (Bestimmung einer unitaren Matrix)

(0) Gegeben sei eine symmetrische Matrix A ∈ Rn×n.

(1) Berechne die Eigenwerte λ1, . . . , λn der Matrix.

(2) Bestimme linear unabhangige Eigenvektoren ~x1, . . . , ~xn. Treten mehrfache Eigen-

werte auf, so bestimme entsprechend ihrer Vielfachheit linear unabhangige Eigen-

vektoren fur jeden Eigenwert.

(3) Orthonormalisiere die Eigenvektoren ~x1, . . . , ~xn mit Hilfe des Gram-Schmidt’schen

Orthonormalisierungsverfahrens und berechne orthonormale Vektoren ~t1, . . . ,~tn.

(4) Definiere T :=[~t1 · · · ~tn

].

Zu klaren ist, wie die Orthonormalisierung in Schritt (3) erfolgen soll. Fur beliebige linear

unabhangige Vektoren ~x1, . . . , ~xn kann dies beispielsweise durch das Gram-Schmidtsche

Orthogonalisierungsverfahren bzgl. des Skalarprodukts 〈·, ·〉 erfolgen. Zur Konstruk-



tion geht man iterativ wie folgt vor. Zunachst wird ~t1 := ~x1‖~x1‖ gesetzt. Sind dann bereits

orthonormale Vektoren ~t1, . . . ,~tk−1 bestimmt, so wird ~tk uber den Ansatz

~tk = ~xk −k−1∑j=1

αj~tj

mit noch zu bestimmenden Koeffizienten αj, j = 1, . . . , k − 1, gewahlt. Die Koeffizienten

αj, j = 1, . . . , k − 1, sind so zu bestimmen, dass 〈~t`,~tk〉 = 0 fur alle ` = 1, . . . , k − 1 gilt.

Daraus ergibt sich fur ` = 1, . . . , k−1 auf Grund der Orthonormalitat von ~t1, . . . ,~tk−1 die

Bedingung

0 = 〈~t`,~tk〉 = 〈~t`, ~xk〉 −k−1∑j=1

αj〈~t`,~tj〉 = 〈~t`, ~xk〉 − α`〈~t`,~t`〉 = 〈~t`, ~xk〉 − α`

und somit

α` = 〈~t`, ~xk〉, ` = 1, . . . , k − 1.

Normiert man die Vektoren noch, so erhalt man zusammenfassend

Algorithmus 4.1.16 (Gram-Schmidt’sches Orthonormalisierungsverfahren)

(0) Gegeben seien linear unabhangige Vektoren ~x1, . . . , ~xn.

(1) Setze ~t1 := ~x1‖~x1‖ .

(2) Fur k = 2, . . . , n berechne

~sk := ~xk −k−1∑j=1

〈~tj, ~xk〉~tj,

~tk :=~sk‖~sk‖

.

Wir demonstrieren die Konstruktion einer unitaren Ahnlichkeitstransformation an Hand

einer symmetrischen Matrix.

Beispiel 4.1.17

Gegeben sei die symmetrische Matrix

A =

−12

0 12

0 −1 012

0 −12

.c© 2011 by M. Gerdts


Die charakteristische Gleichung lautet

0 = det(A− λI) = (−1− λ)(−1

2− λ)2 − 1

4(−1− λ) = −λ(λ+ 1)2.

Also besitzt A die Eigenwerte λ1 = 0 und λ2 = −1 (doppelt).

Ein Eigenvektor zum Eigenwert λ1 = 0 lautet

~x1 =

1

0

1

.Zum Eigenwert λ2 = −1 gehoren die linear unabhangigen Eigenvektoren

~x2 =

0

1

0

, ~x3 =

1

1

−1

.Orthonormalisierung mit dem Gram-Schmidt-Verfahren liefert:

~t1 =1√2

1

0

1

,~t2 = ~x2 − 〈~t1, ~x2〉~t1 =

0

1

0

,

~s3 = ~x3 − 〈~t1, ~x3〉~t1 − 〈~t2, ~x3〉~t2 =

1

1

−1

− 0

1

0

=

1

0

−1

,~t3 =

1√2

1

0

−1

.Eine orthogonale Transformationsmatrix lautet daher

T =

1√2

0 1√2

0 1 01√2

0 − 1√2

.

Uberprufe, dass T>T = I und T>AT =

0

−1

−1

.

Beispiel 4.1.18

Wir interessieren uns fur sogenannte Quadriken (auch Hyperflachen 2. Ordnung



genannt). Darunter versteht man die Losungen ~x ∈ Rn der quadratischen Gleichung

~x>A~x+ 2~b>~x+ c = 0,

wobei A ∈ Rn×n eine symmetrische Matrix, b ∈ Rn ein Vektor und c ∈ R eine Zahl sind.

Wir beschranken uns auf den zweidimensionalen Fall n = 2 und diskutieren einige Falle

(es gibt noch weitere Falle, die man untersuchen kann):

(a)

A =

[1a2

1b2

], ~b =

[0

0

], ~x =

[x1

x2

].

Die quadratische Gleichung lautet dann

x21a2

+x22b2

= −c.

Fur c > 0 besitzt die Gleichung offenbar keine relle Losung. Fur c ≤ 0 beschreibt sie

eine Ellipse mit Mittelpunkt (0, 0) und Radien |a|√|c| und |b|

√|c| (in der Abbildung

wurde a = 2, b = 1 und c = −1 gewahlt):

(b)

A =

[− 1a2

1b2

], ~b =

[0

0

], ~x =

[x1

x2

].




−x21

a2+x22b2

= −c.

Die Losungen sind hyperbolische Funktionen. Fur a = 2, b = 1 und c = −1 (Abb.

links) bzw. c = 1 (Abb. rechts) erhalt man die folgenden Abbildungen:

(c)

A =

[0

1b2

], ~b =

[0

0

], ~x =

[x1

x2

].


x22b2

= −c.

Sie besitzt nur fur c ≤ 0 eine reelle Losung und man erhalt Geraden:



(d) Ist A keine Diagonalmatrix, so kann man die Form der Losungsmenge nicht di-

rekt ablesen. Aber man kann die Matrix mit Hilfe einer Hauptachsentransformation

diagonalisieren. Sei hierzu

A =

[32−1

2

−12

32

], ~b =

[0

0

], ~x =

[x1

x2

].

Das charakteristische Polynom von A berechnet sich zu

ϕA(λ) = λ2 − 3λ+ 2

und die Eigenwerte von A ergeben sich aus den Nullstellen zu λ1 = 1 und λ2 = 2.

Die Spalten der folgenden orthogonalen Matrix T enthalten zugehorige orthonormale

Eigenvektoren:

T :=

[12

√2 1

2

√2

12

√2 −1

2

√2

].

Es gilt T−1AT = Λ = diag(1, 2). Mit der Substitution ~y = T−1~x transformiert sich

die quadratische Gleichung in diesem Fall zu

0 = ~x>A~x+ c = (T~y)>AT~y+ c = ~y>T>AT~y+ c = ~y>

[1

2

]~y+ c = y21 + 2y22 + c.

Dies definiert wie in (a) eine Ellipse. Macht man die Transformation ~y = T−1~x

ruckgangig, so ergibt sich eine gedrehte Ellipse:



Es gibt jedoch auch Matrizen, die nicht diagonalisierbar sind, z.B.[1 1

0 1

].

Immerhin kann man auch fur solche Matrizen noch eine weitere Normalform erreichen.

Es gilt:

Satz 4.1.19 (Jordan’sche Normalform)

Sei A ∈ Cn×n und λ1, . . . , λk ihre verschiedenen Eigenwerte. λi sei eine σi-fache Nullstelle

des charakteristischen Polynoms mit der geometrischen Vielfachheit %i, i = 1, . . . , k. Zu

jedem λi existieren dann %i eindeutig bestimmte Zahlen

ν(i)n ≥ ν(i)n−1 ≥ . . . ≥ ν

(i)n−%i+1 ∈ N

mitn∑

j=n−%i+1

ν(i)j = σi, i = 1, . . . , k,

sowie eine invertierbare Matrix T mit J = T−1AT , wobei

J =

Jν(1)n

(λ1). . .

Jν(1)n−%1+1

(λ1)

. . .

Jν(k)n

(λk). . .

Jν(k)n−%k+1

(λk)



die Jordanmatrix und

Jν(i)j

(λi) =

λi 1

λi. . .. . . 1

λi

∈ Cν(i)j ×ν

(i)j

die Jordankastchen bezeichnen.

Aus der Jordan’schen Normalform kann man insbesondere ablesen, dass A genau dann

diagonalisierbar ist, wenn geometrische und algebraische Vielfachheit fur jeden Eigenwert

gleich sind.

Fur die Spalten t1, . . . , tν(1)n von T folgt aus T−1(A− λ1I)T = J − λ1I sofort

(A− λ1I)tm = tm−1, m = ν(1)n , ν(1)n − 1, . . . , 2,

und

(A− λ1I)t1 = 0.

Die Spalten tν(1)n , . . . , t1 bilden eine Hauptvektorkette zum Eigenwert λ1, wobei t1 ein

Eigenvektor zum Eigenwert λ1 ist. Die Vektoren tν(1)n , . . . , t2 heißen Hauptvektoren.

Analoge Bezeichnungen gelten fur die ubrigen Jordankastchen, so dass die Spalten von T

aus Eigen- und Hauptvektoren von A bestehen.

Die Schur’sche und Jordan’sche Normalform sind primar von theoretischem Interesse,

da man die Eigenwerte zur Bestimmung der Normalformen bereits kennen muss. Zur

Berechnung von Eigenwerten mussen andere Verfahren verwendet werden.

Verwendet man anstatt orthogonaler Matrizen in T>AT lediglich invertierbare Matrizen,

so bleiben die Eigenwerte in der Regel nicht mehr erhalten, allerdings gilt im reellen Fall

noch folgender

Satz 4.1.20 (Tragheitssatz von Sylvester)

Sei A ∈ Rn×n symmetrisch und T ∈ Rn×n invertierbar. Dann haben A und T>AT dieselbe

Anzahl positiver, negativer und Nulleigenwerte.


4.2. EIGENWERTE, KRUMMUNG, SPUR UND DETERMINANTE 115

4.2 Eigenwerte, Krummung, Spur und Determinante

Definition 4.2.1

Sei A ∈ Cn×n hermitesch.

(a) A heißt positiv semidefinit, falls ~x∗A~x ≥ 0 fur alle ~x ∈ Cn gilt. Analog wird

negative Semidefinitheit definiert.

(b) A heißt positiv definit, falls ~x∗A~x > 0 fur alle ~x ∈ Cn, ~x 6= 0, gilt. Analog wird

negative Definitheit definiert.

(c) A heißt indefinit, falls A weder positiv noch negativ semidefinit ist.

Ist A positiv definit (bzw. positiv semidefinit), so sind die Diagonalelemente von A not-

wendigerweise positiv (bzw. ≥ 0). Desweiteren besteht der folgende Zusammenhang:

Satz 4.2.2

Sei A ∈ Cn×n hermitesch.

(a) A ist positiv semidefinit genau dann, wenn alle Eigenwerte von A großer oder gleich

Null sind. A ist negativ semidefinit genau dann, wenn alle Eigenwerte von A kleiner

oder gleich Null sind.

(b) A ist positiv definit genau dann, wenn alle Eigenwerte von A großer Null sind. A

ist negativ definit genau dann, wenn alle Eigenwerte von A kleiner Null sind.

(c) A ist genau dann positiv definit, wenn alle Hauptminoren von A positiv sind.

Entsprechend ist A negativ definit, falls alle Hauptminoren von −A positiv sind.

Unter den Hauptminoren einer n × n-Matrix A = [aij] versteht man dabei die

Determinanten

a11,

∣∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣∣ ,∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣ , . . . ,∣∣∣∣∣∣∣a11 . . . a1n...

. . ....

an1 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣ .

Beispiel 4.2.3 (Krummung und Eigenwerte)

Eigenwerte geben Auskunft uber das Krummungsverhalten von quadratischen Funktionen.

Wir veranschaulichen mogliche Falle im R2:



• f(x, y) = x2 + y2 =[x y

] [ 1 0

0 1

][x

y

](Matrix ist positiv definit, hat nur

positive Eigenwerte):

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x^2 + y^2

-1 -0.5 0 0.5 1x -1

-0.5 0

0.5 1

y

0 0.5

1 1.5

2

• f(x, y) = −x2 − y2 =[x y

] [ −1 0

0 −1

][x

y

](Matrix ist negativ definit, hat

nur negative Eigenwerte):

-2-1.8-1.6-1.4-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.2 0

-x^2 - y^2

-1 -0.5 0 0.5 1x -1

-0.5 0

0.5 1

y

-2-1.5

-1-0.5

0


4.2. EIGENWERTE, KRUMMUNG, SPUR UND DETERMINANTE 117

• f(x, y) = x2−y2 =[x y

] [ 1 0

0 −1

][x

y

](Matrix ist indefinit, hat positive und

negative Eigenwerte):

-1-0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x^2 - y^2

-1 -0.5 0 0.5 1x -1

-0.5 0

0.5 1

y

-1-0.5

0 0.5

1

Es gibt weitere interessante und uberraschende Zusammenhange mit der Spur einer Ma-

trix. Diese wird haufig in der Topologieoptimierung fur Stabbauwerke verwendet.

Definition 4.2.4 (Spur)

Die Spur (engl. trace) einer n× n-Matrix A ist definiert als die Summe ihrer Hauptdia-

gonalelemente, d.h.

Spur(A) :=n∑k=1

akk = a11 + a22 + . . .+ ann.

Satz 4.2.5

(a) Die Summe aller Eigenwerte einer n× n-Matrix A ist gleich der Spur von A, d.h.

Spur(A) =n∑k=1

λk.



(b) Das Produkt aller Eigenwerte ist gleich der Determinante einer n × n-Matrix A,

d.h.

det(A) =n∏k=1

λk.

(c) Die zu verschiedenen Eigenwerten gehorenden Eigenvektoren sind linear unabhangig.

4.3 Eigenwertabschatzungen

Ziel dieses Abschnitts ist die Abschatzung von Eigenwerten allein mit Hilfe der Matrix

A ∈ Cn×n.

Satz 4.3.1 (Gerschgorin)

Sei A ∈ Cn×n gegeben. Definiere Radien ri gemaß

ri =n∑

j=1,j 6=i

|aij|, i = 1, . . . , n,

und Kreisscheiben (Gerschgorin-Kreise) gemaß

Ki := z ∈ C | |z − aii| ≤ ri, i = 1, . . . , n.

Dann gelten folgende Aussagen.

(a) Fur jeden Eigenwert λ von A gilt

λ ∈n⋃i=1

Ki.

(b) Sei U1 die Vereinigung von m dieser Kreissscheiben und sei U2 die Vereinigung der

verbleibenden n−m Kreissscheiben. Gilt U1∩U2 = ∅, so enthalt U1 m Eigenwerte von

A und U2 n−m Eigenwerte von A (Eigenwerte und Kreisscheiben sind entsprechend

ihrer Vielfachheit zu zahlen.).

Mit Hilfe des Satzes von Gerschgorin erhalt man insbesondere dann einen guten Uberblick

uber die Lage der Eigenwerte, wenn samtliche Kreissscheiben paarweise disjunkt sind,

da dann in jeder Kreisscheibe genau ein Eigenwert liegt. Daruber hinaus konnen durch

Anwendung des Satzes auf A> (A und A> besitzen dieselben Eigenwerte!) mitunter bessere


4.3. EIGENWERTABSCHATZUNGEN 119

Abschatzungen fur einige Eigenwerte erreicht werden. Ein Ansatz zum Erreichen besserer

Abschatzungen besteht darin, eine Ahnlichkeitstransformation D−1AD mit einer geeignet

gewahlten Diagonalmatrix D vor Anwendung des Satzes von Gerschgorin durchzufuhren.

D sollte idealerweise so gewahlt werden, dass die Radien kleiner werden, was haufig aber

nur fur einige Radien erreicht werden kann, wobei sich die ubrigen vergroßern.

Beispiel 4.3.2

Betrachte

A =

1 0.1 −0.1

0 2 0.4

−0.2 0 3

.Die Gerschgorin-Kreise

1 2 3

K1 = z ∈ C | |z − 1| ≤ 0.2,K2 = z ∈ C | |z − 2| ≤ 0.4,K3 = z ∈ C | |z − 3| ≤ 0.2

sind paarweise disjunkt, d.h. in jedem Kreis liegt genau ein Eigenwert von A.

Fur die symmetrische Matrix

B =

1 2 0

2 2 0.4

0 0.4 3

.uberschneiden sich die Gerschgorin-Kreise

1 2 30 4−1



K1 = z ∈ C | |z − 1| ≤ 2,K2 = z ∈ C | |z − 2| ≤ 2.4,K3 = z ∈ C | |z − 3| ≤ 0.4,

so dass man aus dem Satz von Gerschgorin nur die Abschatzung

−1 ≤ λ ≤ 4.4

fur die Eigenwerte λ von B erhalt. Beachte, dass die Eigenwerte von B reell sind, da B

symmetrisch ist.


Kapitel 5

Funktionen

Unter einer Funktion verstehen wir eine Abbildung von einem Definitionsbereich D ⊆R in einen Bildbereich, der bei uns immer R sein wird, d.h. wir betrachten Funktionen

f : D −→ R. Hierbei ordnet f jedem x ∈ D ein eindeutiges Element f(x) ∈ R zu.

Die Menge W := f(x) | x ∈ D bezeichnet den Wertebereich von f , also die Menge

aller Funktionswerte, die f auf dem Definitionsbereich annimmt.

Der Graph von f ist definiert als die Menge G := (x, f(x)) | x ∈ D.

Eine Funktion f : D −→ R ordnet jedem Element x ∈ D ein eindeutiges Element f(x) ∈ Rzu. Wahlt man umgekehrt ein beliebiges Element y ∈ R, so kann man die Urbildmenge

von y unter der Abbildung f

f−1(y) := x ∈ D | y = f(x)

betrachten. Es konnen mehrere Falle auftreten:

(i) Die Urbildmenge f−1(y) enthalt genau ein Element.

(ii) Die Urbildmenge f−1(y) ist leer.

(iii) Die Urbildmenge f−1(y) enthalt mindestens zwei verschiedene Elemente.

(Aufgabe: Uberlegen Sie sich Beispiele fur die drei Falle)

Falls der Fall (i) fur jedes Element y aus dem Wertebereich von f gilt, d.h. jedem y ∈ Wwird das eindeutige Element x = f−1(y) zugeordnet, so heißt die Abbildung f−1 : W −→D Umkehrfunktion oder inverse Funktion. Existiert die Umkehrfunktion f−1 von f ,

so nennt man f auch bijektiv. Die Umkehrfunktion hat die Eigenschaft

f(f−1(y)) = y (∀y ∈ W ) bzw. f−1(f(x)) = x (∀x ∈ D).

Wir stellen haufig vorkommende Funktionen kurz vor.

121

122 KAPITEL 5. FUNKTIONEN

5.1 Affin-lineare Funktionen

Eine Funktion f : R −→ R der Form

f(x) = ax+ b (a, b ∈ R)

nennen wir affin-lineare Funktion.

Definitionsbereich: D = RWertebereich:

W = ax+ b | x ∈ R

=

R, falls a 6= 0,

b, sonst.

Im Fall a 6= 0 existiert die Umkehrfunk-

tion

f−1(y) =y − ba

.

α− ba

b

Abbildung 5.1: Graph einer affin-

linearen Funktion f(x) = ax+ b.

Beispiel 5.1.1

• Bewegung eines Objektes mit konstanter Geschwindigkeit:

s(t) = vt (t=Zeit, v=Geschwindigkeit, s(t)=zuruckgelegte Strecke)

• Gleichmaßig beschleunigte Bewegung eines Objektes:

v(t) = v0 + at (t=Zeit, a=Beschleunigung, v0=Anfangsgeschw., v(t)=Geschw.)


5.2. QUADRATISCHE FUNKTIONEN 123

Eigenschaften affin-linearer Funktionen1 (vgl. Abbildung 5.1):

• Der Graph von f ist eine Gerade.

• Die Gerade schneidet die y-Achse im Punkt (0, b).

• a gibt die Steigung der Geraden an:

– Im Fall a > 0 wachst die Gerade nach rechts an.

– Im Fall a < 0 fallt die Gerade nach rechts ab.

– Im Fall a = 0 verlauft die Gerade parallel zur x-Achse (f ist konstant).

• Fur a 6= 0 hat die Gerade genau eine Nullstelle im Punkt x = − ba.

• Der Neigungswinkel α der Geraden (=Winkel zwischen Gerade und x-Achse) erfullt

tanα = a.

5.2 Quadratische Funktionen

Eine Funktion f : R −→ R der Form

f(x) = ax2 + bx+ c (a, b, c ∈ R)

nennen wir quadratische Funktion

oder Parabel.

Definitionsbereich: D = RWertebereich:

– W = [fs,+∞), falls a > 0,

– W = (−∞, fs], falls a < 0.

xs = − b2a

fs = 4ac−b24a

x1 x2 x

y = f(x)

f(x) = ax2 + bx+ c

Abbildung 5.2: Graph einer quadrati-

schen Funktion f(x) = ax2 +bx+c (hier

a > 0, b2 − 4ac > 0).

Eigenschaften quadratischer Funktionen (vgl. Abbildung 5.2):

• Der Graph von f ist eine Parabel, die fur a > 0 nach oben und fur a < 0 nach unten

geoffnet ist.

1Haufig lasst man das Wort “affin” einfach weg. Streng genommen ist f nur im Fall b = 0 eine lineare

Funktion. Fur b 6= 0 erhalten wir eine verschobene lineare Funktion, daher der Name “affin-linear”. Eine

lineare Funktion erfullt f(x+ y) = f(x) + f(y) und f(cx) = cf(x) fur alle x, y, c ∈ R.



• Fur a 6= 0 ist die x-Koordinate (Abszisse) des Scheitelpunkts von f gegeben durch

xs = − b2a

und die y-Koordinate (Ordinate) des Scheitelpunkts von f durch fs =4ac−b2

4a.

• Die Nullstellen x1 und x2 von f sind gegeben durch die quadratische Gleichung

ax2 + bx+ c = 0, welche die Losungen

x1,2 =−b±

√b2 − 4ac

2a“Mitternachtsformel”

besitzt. Abhangig vom Vorzeichen der Diskriminante D = b2−4ac ergeben sich zwei

Nullstellen (D > 0), eine doppelte Nullstelle (D = 0) oder keine reelle Nullstelle

(D < 0).

5.3 Polynome und rationale Funktionen

Affin-lineare und quadratische Funktionen sind spezielle Polynome, die wie folgt definiert

sind.

Eine Funktion p : R −→ R der Form

p(x) = anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a1x+ a0

=n∑k=0

akxk mit an 6= 0

heißt Polynom n-ten Grades mit den Ko-

effizienten a0, a1, . . . , an.

Die Polynome 1, x, x2, x3, . . . , xn, . . . heißen

Basispolynome oder Elementarpolyno-

me.

Definitionsbereich: D = RBeispiele:

• n = 0: konstante Funktionen

• n = 1: affin-lineare Funktionen

• n = 2: quadratische Funktionen

Basispolynome fur n = 0, 1, 2, 3, 5:

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

-1 -0.5 0 0.5 1

1

x

x**2

x**3

x**5

Sind p, q : R −→ R Polynome, so bezeichnet man die Funktion

f(x) =p(x)

q(x)


5.3. POLYNOME UND RATIONALE FUNKTIONEN 125

als rationale Funktion.

Rationale Funktionen sind i.a. nicht fur alle reellen Argumente x definiert und konnen

Polstellen besitzen, namlich dort, wo q Nullstellen besitzt. Da q nur endlich viele Null-

stellen besitzt, gibt es auch nur endlich viele Polstellen.

Eine Polstelle xs von f zeichnet sich dadurch aus, dass die Funktion f bei Annaherung

an xs gegen +∞ oder gegen −∞ strebt.

Man spricht von einer hebbaren Polstelle, wenn xs Nullstelle von p mit Vielfachheit

mp und Nullstelle von q mit Vielfachheit mq ≤ mp ist. In diesem Fall kann man die zur

Nullstelle gehorenden Linearfaktoren kurzen, z.B.

f(x) =x3 + x2 − x− 1

x+ 1=

(x− 1)(x+ 1)2

x+ 1= (x− 1)(x+ 1) = x2 − 1.

Hier ist xs = −1 eine doppelte Nullstelle des Zahlers und einer einfache Nullstelle des

Nenners, so dass man den Term x+1 kurzen kann. Damit entfallt die potenzielle Polstelle

xs = −1.

Treten keine hebbaren Polstellen auf oder wurde bereits gekurzt, so ist die Ordnung der

Polstelle xs gegeben durch die Vielfachheit der Nullstelle xs in q. Ist die Ordnung gerade,

so liegt eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel vor. Ist die Ordnung ungerade, so liegt

eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor.

Beispiel 5.3.1

(i) Die rationale Funktion f(x) = 1x2

besitzt in x = 0 eine Polstelle 2. Ordnung (ohne

Vorzeichenwechsel).

(ii) Die rationale Funktion f(x) = 1(x−2)3 besitzt in x = 2 eine Polstelle 3. Ordnung (mit

Vorzeichenwechsel).

(iii) Die rationale Funktion

f(x) =x+ 2

x3 + x2 − x− 1=

x+ 2

(x+ 1)2(x− 1)

besitzt in x = −1 eine Polstelle 2. Ordnung (ohne Vorzeichenwechsel) und in x = 1

eine Polstelle 1. Ordnung (mit Vorzeichenwechsel).

(iv) Die rationale Funktion

f(x) =x2 + 3x+ 2

x3 + x2 − x− 1=

(x+ 2)(x+ 1)

(x+ 1)2(x− 1)=

(x+ 2)

(x+ 1)(x− 1)

besitzt in x = −1 eine Polstelle 1. Ordnung (mit Vorzeichenwechsel) und in x = 1

eine Polstelle 1. Ordnung (mit Vorzeichenwechsel).



0

200

400

600

800

1000

-1 -0.5 0 0.5 1

1/x**2

-10000

-5000

0

5000

10000

1 1.5 2 2.5 3

1/(x-2)**3

-100

-50

0

50

100

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

(x+2)/(x**3+x**2-x-1)

-100

-50

0

50

100

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

(x**2+3*x+2)/(x**3+x**2-x-1)

Rationale Funktionen sind durch die Division von zwei Polynomen definiert und es stellt

sich die Frage, ob man bei dieser Division wie bei der Division zweier ganzer Zahlen vor-

gehen kann, um z.B. den Rest der Division zu berechnen. Tatsachlich kann die Division

zweier Polynome vollig analog zur schriftlichen Division zweier ganzer Zahlen vorgenom-

men werden. Als Ergebnis erhalt man die folgende Darstellung der rationalen Funktion

f :

f(x) =p(x)

q(x)= h(x) +

r(x)

q(x), (5.1)

wobei p ein Polynom n-ten Grades, q ein Polynom m-ten Grades mit m ≤ n, h ein

Polynom (n−m)-ten Grades und der “Rest” r ein Polynom vom Hochstgrad m− 1 sind.

Beispiel 5.3.2 (Polynomdivision)

Gegeben seien p(x) = 4x5 − 4x4 − 5x3 + 4x2 − x+ 1 und q(x) = 2x3 − 3x2 + 5x− 2. Wir

fuhren die Division mit Rest von p durch q durch:


5.3. POLYNOME UND RATIONALE FUNKTIONEN 127

(4x5 −4x4 −5x3 +4x2 −x +1) : (2x3 − 3x2 + 5x− 2) = 2x2 + x− 6︸︷︷︸=h(x)

−(4x5 −6x4 +10x3 −4x2)

2x4 −15x3 +8x2 −x +1

−(2x4 −3x3 +5x2 −2x)

−12x3 +3x2 +x +1

−(−12x3 +18x2 −30x +12)

−15x2 +31x −11

︸︷︷︸=r(x)

Die Polynomdivision ist nutzlich, wenn man z.B. durch scharfes Hinsehen eine Nullstelle x1

des Polynoms p vom Grad n entdeckt hat und nun weitere Nullstellen berechnen mochte.

Dazu teilt man das Polynom p durch x − x1 und fuhrt eine Polynomdivision durch. Da

x1 eine Nullstelle ist, bleibt kein Rest ubrig und das Polynom h in der Darstellung (5.1)

besitzt den um eins reduzierten Polynomgrad n− 1, d.h. man erhalt die Darstellung

p(x)

x− x1= h(x) bzw. p(x) = (x− x1)h(x).

Fuhrt man dieses Prinzip fur h fort, so sieht man, dass ein Polynom n-ten Grades

hochstens n verschiedene reelle Nullstellen besitzen kann.

Beispiel 5.3.3

Betrachte das Polynom p(x) = x3 + x2 − x − 1. Durch hinsehen sieht man, dass x = 1

eine Nullstelle ist. Polynomdivision liefert:

(x3 +x2 −x −1) : (x− 1) = x2 + 2x+ 1

−(x3 −x2)2x2 −x −1

−(2x2 −2x )

x −1

−(x −1)

0

Man kann p also darstellen als p(x) = (x− 1)(x2 + 2x+ 1). Schaut man sich den zweiten

Faktor an und erkennt, dass x = −1 eine Nullstelle ist, so kann man fur x2 + 2x + 1



erneut die Polynomdivision durchfuhren:

(x2 +2x +1) : (x+ 1) = x+ 1

−(x2 +x)

x +1

−(x +1)

0

Somit gilt x2 + 2x + 1 = (x + 1)(x + 1) = (x + 1)2 und man kann p schreiben als

p(x) = (x− 1)(x+ 1)2.

5.4 Trigonometrische Funktionen

Wir untersuchen die wichtigsten trigonometrischen Funktion, u.a. Sinus, Cosinus, Tan-

gens. Diese Funktionen spielen eine wichtige Rolle bei der Beschreibung von periodischen

Vorgangen.

Definition 5.4.1 (periodische Funktion)

Eine Funktion f : R −→ R heißt periodisch mit Periode T > 0, falls

f(x+ T ) = f(x) fur alle x ∈ R

gilt.

Wegen der Periodizitat genugt es, eine periodische Funktion mit Periode T nur auf einem

Intervall der Lange T zu definieren.

5.4.1 Sinus, Cosinus (sin, cos)

Sinus und Kosinus konnen geometrisch oder analytisch definiert werden. Wir wahlen

zunachst die ubliche geometrische Definition mithilfe des Einheitskreises, vgl. Abbil-

dung 5.3. Dazu wahlen wir einen Punkt P auf dem Einheitskreis und bezeichnen den

Winkel zwischen der Verbindungslinie vom Ursprung zum Punkt P und der x-Achse

mit α. Der Sinus von α ist dann definiert als die y-Komponente des Punktes P (Ordina-

te) und der Cosinus von α ist definiert als die x-Komponente des Punktes P (Absizze),

also P = (cos(α), sin(α)).


5.4. TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN 129

1

α

cos(α)

sin(α)

P

x

y

Abbildung 5.3: Definition des Sinus und Cosinus am Einheitskreis mithilfe des Winkels.

Alternativ konnen Sinus und Cosinus auch uber die Bogenlange definiert werden. Hierzu

tragt man fur x ∈ R ausgehend vom Punkt (1, 0) auf dem Einheitskreis einen Bogen der

Lange |x| ab, wobei man fur x ≥ 0 im mathematisch positiven Sinne (also entgegen des

Uhrzeigersinns) und fur x < 0 im mathematisch negativen Sinne (also im Uhrzeigersinn)

entlang des Einheitskreises lauft. Dadurch wird ein Punkt Px auf dem Einheitskreis defi-

niert. Der Sinus von x ist dann definiert als die y-Komponente des Punktes Px (Ordinate)

und der Cosinus von x ist definiert als die x-Komponente des Punktes Px (Abszizze), also

Px = (cos(x), sin(x)), vgl. Abbildung 5.4.

In dieser Definition von sin und cos hat die Variable x die Bedeutung einer Bogenlange

auf dem Einheitskreis. Man sagt, x ist im Bogenmaß angegeben. Definiert man sin und

cos uber den Winkel α, so ist α im Gradmaß angegeben. Der Zusammenhang zwischen

den beiden Variablen x und α ist wie folgt:

x

2π=

α

360=⇒ x =

α

180· π bzw. α =

x

π· 180

Beispiel:

α = 30 =⇒ x =30

180· π =

π

6.



1

cos(x)sin(x)

Px

x ≥ 0

x < 0

Abbildung 5.4: Definition des Sinus und Cosinus am Einheitskreis mithilfe der Bogenlange.

Die Graphen der trigonometrischen Funktionen sin, cos sind in Abbildung 5.5 abgebildet.

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-6.28319 -4.71239 -3.14159 -1.5708 0 1.5708 3.14159 4.71239 6.28319

sin(x)cos(x)

−2π −3π2−π −π

2π2

π 3π2

2π

Abbildung 5.5: Sinus und Cosinus.

Eigenschaften von sin und cos:

• Der Definitionsbereich von sin und cos ist R, der Wertebereich ist [−1, 1].


5.4. TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN 131

• sin und cos sind periodisch mit Periode 2π.

• sin ist eine ungerade Funktion, d.h. es gilt sin(−x) = − sinx fur alle x ∈ R.

• cos ist eine gerade Funktion, d.h. es gilt cos(−x) = cos x fur alle x ∈ R.

• Es gilt sin(nπ) = 0 fur n = 0,±1,±2, ....

• Es gilt cos(π2

+ nπ)

= 0 fur n = 0,±1,±2, ....

• Es gilt sin(x+ π) = − sinx fur alle x ∈ R.

• Es gilt cos(x+ π) = − cosx fur alle x ∈ R.

• Es gilt sin(x+ π

2

)= cosx fur alle x ∈ R. Daraus folgt cos

(x− π

2

)= sinx.

• Es gilt cos(x+ π

2

)= − sinx fur alle x ∈ R.

• Es gilt sin2 x+ cos2 x = 1 fur alle x ∈ R.

5.4.2 Tangens, Cotangens (tan, cot)

Tangens und Cotanges sind wie folgt definiert:

tanx :=sinx

cosxfur x 6= π

2+ nπ, n = 0,±1,±2, ...,

cotx :=1

tanxfur x 6= nπ, n = 0,±1,±2, ...,

vgl. Abbildung 5.6.

-10

-5

0

5

10

-6.28319 -4.71239 -3.14159 -1.5708 0 1.5708 3.14159 4.71239 6.28319

tan(x)

-10

-5

0

5

10

-6.28319 -4.71239 -3.14159 -1.5708 0 1.5708 3.14159 4.71239 6.28319

1/tan(x)

−2π −3π2 −π −

π2

π2 π 3π

2 2π −2π−3π2 −π −

π2

π2 π 3π

2 2π

Abbildung 5.6: Tangens (links) und Cotangens (rechts).

Eigenschaften:

• tan ist ungerade und hat die Periode π.



• cot ist ungerade und hat die Periode π.

• Es gelten

tan(π

2− x)

=sin(π2− x)

cos(π2− x) =

cosx

sinx= cotx

und

cot(π

2− x)

= tanx.

Von manchen Winkeln kennen wir die exakten Sinus-(bzw. Kosinus-)werte, z.B.

x = 0 x = π/6 x = π/4 x = π/3 x = π/2

(0) (30) (45) (60) (90)

sin(x) 0 12

12

√2 1

2

√3 1

cos(x) 1 12

√3 1

2

√2 1

20

tan(x) 0 13

√3 1

√3 ∞

Satz 5.4.2 (Additionstheoreme)

Fur beliebige α, β ∈ R gelten

sin(α± β) = sinα cos β ± cosα sin β,

cos(α± β) = cosα cos β ∓ sinα sin β

5.5 Exponentialfunktion

Fur das Produkt

a · a · ... · a︸︷︷︸n mal

(a 6= 0)

schreibt man abgekurzt an. Speziell ist

a0 = 1, a1 = a, a2 = a · a.

Man nennt a die Basis und n den Exponenten. Beachte, dass der Ausdruck 00 nicht

definiert ist!

Rechengesetze: (m,n ∈ N0, a ∈ R, a 6= 0)

• am · an = am+n (laßt sich leicht unter Verwendung der Definition zeigen)

• a−n = a0 · a−n = 1an

• am · bm = (ab)m


5.5. EXPONENTIALFUNKTION 133

• (am)n = am·n = (an)m

• am

an= am · a−n = am−n

• am

bm=(ab

)mFur m ∈ N und a ∈ R betrachten wir die Gleichung

xm = a

und definieren die Losung dieser Gleichung (falls existent) als

x := a1m = m

√a “m−te Wurzel aus a”.

Beispiel 5.5.1

Es gilt184(a2b)2

273(2a√ab)2

=(9 · 2)4(a2)2b2

(9 · 3)3 · 22a2(√a)2b2

=94 · 24a4b2

93 · 33 · 22a2a12·2b2

=4

3a.

Definition 5.5.2 (Exponentialfunktion)

Fur ein beliebiges a > 0, a 6= 1, heißt die Funktion f(x) = ax, x ∈ R, die Exponential-

funktion mit der Basis a.

0

2

4

6

8

10

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

exp(x)(1.0/3.0)**x(1.0/2.0)**x

2**x3**x1**x

Abbildung 5.7: Exponentialfunktionen.



Die Exponentialfunktion f(x) = ax hat folgende Eigenschaften, vgl. Abbildung 5.7:

• f ist uberall definiert, d.h. der Definitionsbereich ist D = R.

• f nimmt nur positive Werte an, und zwar alle positive Werte, d.h. der Wertebereich

ist W = (0,∞).

• Wegen a0 = 1 hat jede solche Funktion an der Stelle x = 0 den Wert 1.

• Fur a > 1 ist f streng monoton steigend und nahert sich mit x→ −∞ asymptotisch

der x−Achse.

Fur 0 < a < 1 ist f streng monoton fallend und nahert sich mit x→∞ asymptotisch

der x−Achse.

• Vergleicht man zwei Exponentialfunktionen f1(x) = ax und f2(x) = bx mit a < b

miteinander, so stellt man fest:

Fur x > 0 gilt f1(x) < f2(x) und fur x < 0 gilt f1(x) > f2(x).

• Betrachte die Funktionen f1(x) = ax und f2(x) =(1a

)x. Wegen

f1(−x) = a−x = (a−1)x =

(1

a

)x= f2(x)

sind die Funktionen f1 und f2 an der y-Achse gespiegelt.

• Aus f(x1) = ax1 = ax2 = f(x2) folgt x1 = x2.

• Es gelten die Beziehungen

f(x+ y) = ax+y = ax · ay = f(x) · f(y),

f(x · y) = axy = (ax)y = f(x)y,

sowie

(ab)x = axbx.

In vielen technischen und wissenschaftlichen Anwendungen tritt eine ganz bestimmte Ex-

ponentialfunktion auf. Diese hat die Basis e, wobei e ≈ 2, 7182818284590 . . . die Euler-

sche Zahl bezeichnet. Diese spezielle Exponentialfunktion wird e-Funktion (oder auch

einfach Exponentialfunktion) genannt und man schreibt

f(x) = ex oder f(x) = exp(x).

Beispiel 5.5.3 (Anwendungen der e-Funktion)

Folgende Naturprozesse lassen sich durch diese Funktion modellieren:


5.6. LOGARITHMUS 135

• Organisches Wachstum:

g(t) = g0 eλt

(g0 − Anfangsgroße,λ−Wachstumskonstante)

(der Zuwachs ist proportional dem vorhandenden Bestand)

• Zerfallsprozesse:

m(t) = m0 e−λt

(m0 − Anfangsgroße, λ− Zerfallskonstante)

• Gedampfte Schwingungen:

f(t) = e−Rt sin(ωt+ ϕ)

• Wahrscheinlichkeitsdichte:

f(x) =1

σ√

2πexp

(−1

2

(x− µσ

)2)

(“Gaußsche Glockenkurve”)

beschreibt die Wahrscheinlichkeitsdichte einer normalverteilten Zufallsvariablen X

mit Erwartungswert µ und Varianz σ2. Die Wahrscheinlichkeit, dass X im Bereich

[a, b] liegt, lautet dann

P (a ≤ X ≤ b) =

∫ b

a

f(x)dx.

5.6 Logarithmus

Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion heißt Logarithmus.

Definition 5.6.1 (Logarithmus)

Sei a > 0 gegeben. Fur x ∈ R, x > 0, heißt y ∈ R der Logarithmus von x zur Basis

a, wenn

ay = x

gilt. Man schreibt y = loga(x).

Die Funktion loga : R+ −→ R gemaß x 7→ loga(x) heißt Logarithmusfunktion zur

Basis a oder einfach Logarithmus zur Basis a.



Per Definition ist der Logarithmus zur Basis a gerade die Umkehrfunktion der Exponen-

tialfunktion ax, d.h. es gilt

aloga(x) = x.

-10

-5

0

5

10

0 1 2 3 4 5

ln(x)log_1/3(x)log_1/2(x)

log_2(x)log_3(x)

Abbildung 5.8: Logarithmusfunktionen.

Der Logarithmus hat folgende Eigenschaften, vgl. Abbildung 5.8.

• Die Logarithmusfunktion existiert auf dem Intervall (0,∞), besitzt also den Defini-

tionsbereich D = (0,∞).

• Die Logarithmusfunktion hat den Wertebereich W = (−∞,∞).

• Die Kurve von f(x) = loga(x) ist das Spiegelbild von ax an der Geraden y = x.

• Fur alle a > 0 gilt loga(1) = 0.

• loga ist streng monoton wachsend fur a > 1 und streng monoton fallend fur 0 < a <

1.

Rechenregeln:

• loga(xy) = loga x+ loga y

• loga

(xy

)= loga(x)− loga(y)

• loga(xb) = b loga(x)


5.7. HYPERBOLISCHE FUNKTIONEN 137

• logb(x) = loga(x)loga(b)

Haufig verwendet man die Basen a = e und a = 10:

log10(x) = lg(x) = log(x) (dekadischer Logarithmus)

loge(x) = ln x (naturlicher Logarithmus).

5.7 Hyperbolische Funktionen

Sinus Hyperbolicus, Cosinus Hyperbolicus, Tangens Hyperbolicus und Cotangens Hyper-

bolicus sind definiert durch

sinhx :=1

2(exp(x)− exp(−x)) ,

coshx :=1

2(exp(x) + exp(−x)) ,

tanhx :=sinhx

coshx,

cothx :=1

tanhx,

siehe Abbildung 5.9.

Die Umkehrfunktionen werden mit arcsinh, arccosh, arctanh und arccoth bezeichnet.

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

sinh(x) cosh(x) tanh(x)

Abbildung 5.9: Hyperbolische Funktionen.



Eigenschaften:

• cosh2 x− sinh2 x = 1

• Additionstheoreme:

sinh(x± y) = sinh(x) cosh(y)± cosh(x) sinh(y),

cosh(x± y) = cosh(x) cosh(y)± sinh(x) sinh(y).

• Umkehrfunktionen:

arcsinh(x) = ln(x+√x2 + 1),

arccosh(x) = ln(x+√x2 − 1).


Literaturverzeichnis

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Lineare Algebra. Teubner, Stuttgart, 1987/2007.

[BS89] Bronstein, I. and Semendjaev, K. A., editors. Taschenbuch der Mathematik .

Verlag Harri Deutsch, Thun, 24th edition, 1989.

[MV93] Meyberg, K. and Vachenauer, P. Hohere Mathematik I-II . Springer, Berlin-

Heidelberg-New York, 2nd edition, 1993.

[Pap08] Papula, L. Mathematik fur Ingenieure und Naturwissenschaftler. Band 1-2 .

Vieweg+Teubner, Wiesbaden, 2008.

[Pap14] Papula, L. Mathematische Formelsammlung: Fr Ingenieure und Naturwissen-

schaftler . Springer Vieweg, Wiesbaden, 2014.

139

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