Mathematische Methoden der Physik 1

8/18/2019 Mathematische Methoden der Physik 1

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Mathematische Methoden der Physik ISommersemester 2015

Gebhard Grübl

Institut für Theoretische PhysikUniversit t Innsbruck


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INHALTSVERZEICHNIS ii

1!3!/ Getriebene lineare Sch>in"un"en* "ed m'ft ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 601!3!3 +ine retardierte "ed m'fte Sch>in"un" ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 62

1!3!5 Symmetrien einer $i erential"leichun" ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 6/1!3!. 4$ehnun"ssymmetrie und /! e'lersches Geset- ! ! ! ! ! ! ! ! 661!3!6 4Potential einer homo"en "eladenen u"el ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 61!3! 4Thomson< und Caylei"hstreuun" von ;icht ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 01!3!= 4 lassischer @eemane ekt ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! /1!3!10 ;e"endresche $i erential"leichun" 1 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! .1!3!11 dD(lemberts Ceduktionsverfahren ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! =21!3!12 Methode des Poten-reihenansat-es ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! =31!3!1/ ;e"endresche $i erential"leichun" 2 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! =51!3!13 49ermitesche $i erential"leichun" ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ==

1!3!15 4(irys $i erential"leichun" ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 1031!3!1. +in lineares Cand< und +i"en>ert'roblem ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 101!3!16 4GreenDsche 7unktion eines Cand>ert'roblems ! ! ! ! ! ! ! ! ! 10=

1!5 49armonisch an"ere"te lineare Sch>in"un" ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 1121!5!1 Ebersicht über L0 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 11/1!5!2 Partikul re ;:sun"en y part für harmonische raft ! ! ! ! ! ! ! 11.1!5!/ Fualitatives Cesümee ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 122

1!. Ebun"sbeis'iele ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 122

2 Fourieranalysis 1362!1 7ourierreihen ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 1/6

2!1!1 Tri"onometrische Polynome ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 1/62!1!2 $irichlets ern ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 1312!1!/ Gren-funktionen tri"onometrischer Ceihen ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 1322!1!3 (''ro,imation durch 7ourierreihen ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 1352!1!5 7ourierreihe der Cechtecksch>in"un" ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 1362!1!. 7ouriereihen all"emeiner Periode ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 13=2!1!6 Periodisch "etriebener #s-illator* 7ourierreihenl:sun" ! ! ! ! ! 1512!1! 4$er mechanische 7ourieranalysator 2 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 15/2!1!= (ll"emeine +i"enschaften der 7ourierkoe -ienten ! ! ! ! ! ! ! 1552!1!10 onver"en- der 7ourierreihe ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 156

2!1!11 7ourierreihen eini"er Standardfunktionen ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 1.02!2 7ouriertransformation auf L1 (R) ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 1.12!2!1 on der 7ourierreihe -um 7ourierinte"ral ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 1.12!2!2 $er 9au'tsat- der 7ouriertransformation ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 1.22!2!/ &eis'iele -ur 7ouriertransformation ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 1.62!2!3 47reBuen-messun" an einem harmonischen Si"nal ! ! ! ! ! ! ! 1652!2!5 4St:run" einer Fuantendynamik ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 1662!2!. 4&eu"un" am S'alt und 7ouriertransformation ! ! ! ! ! ! ! ! ! 162!2!6 47altun" und Messun" ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 16=2!2! 47altun" und &ildfehlerkorrektur ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 1 1

2!2!= 4Streuun" von )ellen und 7ouriertransformation ! ! ! ! ! ! ! 1 /2!2!10 4+ini"e /d


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INHALTSVERZEICHNIS iii

2!/ Ebun"sbeis'iele ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 1 6

3 Vektoranalysis 191/!1 $i eren-ieren von Skalarfeldern ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 1=2/!1!1 Cichtun"sableitun" und $i erential ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 1=2/!1!2 &eis'iele -um $i erential ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 1=6/!1!/ Skalar'otential eines Punktdi'ols ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 1==/!1!3 4;ineare Cichtun"sableitun"en ohne $Dbarkeit ! ! ! ! ! ! ! ! ! 200/!1!5 Partielle (bleitun"en ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 201/!1!. &eis'iele -ur 'artiellen (bleitun" ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 201/!1!6 Gradient ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 202/!1! 4 r ftefreie relativistische &e>e"un" ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 203/!1!= 4 onstante relativistische raft ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 206/!1!10 4Celativistischer harmonischer #s-illator ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 20/!1!11 &asisdarstellun" eines Gradienten ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 21./!1!12 7aulen-erre"eln -um Gradienten ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 216/!1!1/ Gradientenfeld des Punktdi'ol'otentials ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 21/!1!13 Gradientenfeld des Polar>inkels ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 21/!1!15 4Gradient -ur Minko>ski"eometrie ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 21=/!1!1. 4Sym'lektischer Gradient < 9amiltons ektorfeld ! ! ! ! ! ! ! 221

/!2 $i eren-ieren von ektorfeldern ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 22//!2!1 $i erential und Cichtun"sableitun" ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 22//!2!2 4;ie'rodukt von ektorfeldern ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 223/!2!/ Trans'ort von Skalar< und Tan"entenvektorfeldern ! ! ! ! ! ! ! 226/!2!3 4;ieableitun" von Skalar< und Tan"entenvektorfeldern ! ! ! ! ! 22/!2!5 4&eschleuni"un" einer Inte"ralkurve von γ̇ = X (t, γ ) ! ! ! ! ! 22=/!2!. )e"inte"rale eines ektorfeldes ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 2/0/!2!6 )e"inte"rale des orte,feldes ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 2/1/!2! 47l cheninhalt und $rehvektorfeld ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 2/1/!2!= onservative ektorfelder und Potentiale ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 2/2/!2!10 4;andvermessun"* )e"abh n"i"e 9:hendi eren-H ! ! ! ! ! ! ! 2/3/!2!11 Poincar s +,isten-sat- für skalare Potentiale ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 2/5/!2!12 $iver"en- eines ektorfeldes ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 2/.

/!2!1/ 7aulen-erre"eln -ur $iver"en- und &eis'iele ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 231/!2!13 ;a'lace


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INHALTSVERZEICHNIS iv

/!2!25 4 ektor'otential des freien orte,feldes ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 2.0/!2!2. 4 ektor'otential des Punktdi'ols ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 2.1

/!2!26 4$as elektroma"netische Lahfeld eines Pulsars ! ! ! ! ! ! ! ! ! 2.1/!2!2 4 ektor'otential eines Punktmono'ols ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 2.//!2!2= 4 om Mono< -um $i'olvektor'otential ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 2.3

/!/ rummlini"e oordinatensysteme ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 2.5/!/!1 ;okale arten von Rn ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 2.5/!/!2 Lavi"ation auf der S'h re ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 2.6/!/!/ artenbasis ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 260/!/!3 ektorfeldkom'onenten -u artenbasen ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 261/!/!5 Polarkoordinaten ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 26//!/!. u"elkoordinaten ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 265

/!/!6 artenabh n"i"keit von 'artiellen (bleitun"en ! ! ! ! ! ! ! ! ! 26./!/! Gesch>indi"keit -erle"t nach artenbasis ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 266/!/!= 4&eschleuni"un" -erle"t nach artenbasis ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 26=/!/!10 4&erechnun" der ?hristo elsymbole einer arte ! ! ! ! ! ! ! ! 2 1/!/!11 4&eschleuni"un" s'h risch -erle"t ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 2 2/!/!12 4&e>e"un" im @entralkraftfeld ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 2 //!/!1/ 4 e'ler'roblem ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 2 ./!/!13 4Cichtun"sableitun" eines ektorfeldes ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 2/!/!15 $iv Cot Grad und ∆ in krummen arten ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 2=0/!/!1. 4Ma"netfeldlinien eines $i'ols 2 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 2=2

/!3 4 artenfreie Mechanik in Galileis Caum-eit ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 2=3/!3!1 ( ne C ume ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 2=5/!3!2 7lache Galilei Caum-eit M ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 2=./!3!/ &e>e"un" und &e-u"ssysteme in M ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 2=/!3!3 Gesch>indi"keit und &eschleuni"un" ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 2==/!3!5 Galilei"ru''e ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! /01/!3!. Gindi"keit und &eschleuni"un" ! ! ! ! ! ! ! /05/!3!6 Le>tons Grund"eset-e der Mechanik ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! /0./!3! $ie +rhaltun"ss t-e ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! /0

/!5 Ebun"sbeis'iele ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! /0=

4 ahrscheinlichkeit 3163!1 +ndliche )ahrscheinlichkeitsr ume ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! /163!1!1 )ahrscheinlichkeit als Men"enfunktion ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! /13!1!2 onstruktion von )ahrscheinlichkeitsr umen ! ! ! ! ! ! ! ! ! /1=3!1!/ &inomialverteilun" ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! /2/3!1!3 4Multinomialverteilun" ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! /233!1!5 49y'er"eometrische erteilun" ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! /233!1!. +r>artun"s>ert und arian- ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! /253!1!6 4 ovarian- und orrelationskoe -ient ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! /23!1! $as Geset- der "ro8en @ahl ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! //0

3!2 (b- hlbar unendliche )


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INHALTSVERZEICHNIS v

3!2!2 Poissonverteilun" ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! /303!/ )ahrscheinlichkeitsma8e auf Rn ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! /32

3!/!1 )ahrscheinlichkeitsma8e auf R mit $ichtefunktion ! ! ! ! ! ! /323!/!2 Gau8Dsche Lormalverteilun" ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! /3/3!/!/ +,'onentialverteilun" ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! /353!/!3 4?auchyverteilun" ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! /363!/!5 +r>artun"s>ert und arian- ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! /363!/!. Gleichverteilun" auf Intervall ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! /33!/!6 )


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Vorwort

Seit eini"en hundert Nahren be"leitet die Mathematik das &emühen der Menschenum ein besseres erstehen der Latur! Gan- besonders in den Theorien der Physikscha en mathematische $enkmuster eine )irklichkeit die vielfach in einer "erade-u

"es'enstisch >eitreichenden (nalo"ie -ur sinnlichen )irklichkeit steht! Mathematik>ird damit materiell erfahrbarO )er an diesem +rleben teilhaben >ill muss sich einerintensiven mathematischen Schulun" unter-iehen! (ls ;ohn der Mühe erschlie8t sichein unersch:' iches kulturelles +rbe auf dem Physik < und manchmal so"ar dieMathematik selbst < dann >eiter >achsen k:nnen!

Traditioneller>eise er" n-en orlesun"en über mathematische Methoden derPhysik die ei"entlichen 'rofessionellen Mathematikvorlesun"en die von den Phy<sikstudien'l nen vor"esehen sind! Sie vermitteln vorran"i" rechnerische 7erti"keitenund brin"en uns >ie Seilbahnen rasch in Ce"ionen die >ir durchstreifen >ollen ohnedass >ir uns durch alle darunterbe%ndlichen @onen hocharbeiten müssen! Latürlich

um den Preis dass >ir >ie Seilbahntouristen auf die n here Um"ebun" der &er"staas in den 9inter"rund! So auch in dieser orlesun"!

$as Manuskri't entstand -u meinen orlesun"en Mathematische Methoden der Physik I der Sommersemester 2002 bis 2015 an der Universit t Innsbruck! +s istum eini"es "enauer und umfassender als der ortra"! +s enth lt eini"e Jmit einemStern "ekenn-eichneteK nicht vor"etra"ene (bschnitte! $iese vertiefen ent>eder die"erade behandelte mathematische Technik oder >enden sie auf ein 'hysikalischesProblem an! Sie sch>eifen aber auch "ele"entlich vom aktuellen ernthema ab um'hysikalisch an"ren-ende Motive in der -uvor dar"ele"ten mathematischen S'ra<che der orlesun" auf-unehmen! ielleicht kann es so die D(%cionadosD der Theorie-u einer ei"enst ndi"en erfesti"un" ihrer enntnisse Buer über verschiedene or<lesun"en hin>e" anre"en! Um ei"ene Gedanken an"ereichert k:nnte der Te,t im

erlauf des >eiteren Physikstudiums -u einer lan"sam vertrauten )erk-eu"kistebreiter +inset-barkeit >erden!

9ans +mbacher Peter Girtler Gerhard irchner und Sabine reidl steuerten ei<ni"e $ia"ramme orrekturen und (nre"un"en bei! Ihnen und allen StudentJinnKendie durch unbeirrt bohrendes 7ra"en der orlesun" -u "r:8erer larheit verhalfendanke ich sehr her-lich!

1.! Se'tember 2015 Gebhard Grübl

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!a"itel 1

GewöhnlicheDifferentialgleichungen

$ie analytische Mechanik fasst die &e>e"un" von aus"edehnter Materie als eine &e<>e"un" von ausdehnun"slosen &austeinen auf die aufeinander auch durch scheinbarleeren Caum mittels 7ernkr ften ein>irken! $iese %ktiven +lemente der Materie hei<8en Massen'unkte! $as ein-i"e variable &estimmun"sstück eines Massen'unkts -ueiner @eit ist sein #rt Jin Le>tons %ktivem absolutem Caum oder relativ -u einem&e-u"ssystemK! $ie Masse oder auch die elektrische ;adun" eines Massen'unktes>erden meist als unver nderlich auf"efasst!

Manchmal erset-t ein ein-i"er Massen'unkt eine riesi"e Materieansammlun" >ieeine anonenku"el einen Planeten einen Stern oder auch eine Gala,ie! L mlichdann >enn die inneren er nderun"en des -um Punkt stilisierten (""re"ats fürseine kollektive &e>e"un" belan"los -u sein scheinen!

$ie &e>e"un" der ein-elnen Massen'unkte eines Systems re"elt die Mechanik in<dem sie die momentane &eschleuni"un" eines Qeden Massen'unktes durch die "leich<-eiti"en #rte und Gesch>indi"keiten aller im System vorhandenen Massen'unk<te mithilfe von raft"eset-en und Massen eindeuti" festle"t! $eshalb scheiden diemeisten naiv vorstellbaren &e>e"un"en als unm:"lich aus und nur "an- bestimmtebleiben übri"! Physikalisch m:"lich sind nur die ;:sun"un"en der für das Qe>eili"eSystem charakteristischen &e>e"un"s"leichun"en! Solche Gleichun"en hei8en unter

noch n her -u erl uternden &e"leitumst nden $i erential"leichun"en und von ihnenhandelt das vorlie"ende a'itel! $as mechanische &eis'iel eines fundamentalen La<tur"eset-es in der 7orm von $i erential"leichun"en hat die Physik "ründlich "e'r "t!$i erential"leichun"en sind heute in Latur>issenschaft und Technik all"e"en> rti"!

1#1 Gleichungen erster $r%nung1#1#1 De&nition un% ein'achste (eis"iele)ie kommt es -u einer $i erential"leichun"H 9ier ein &eis'iel* +in mit )asser "e<

fülltes Gef 8 rinnt durch einen (uslass im &oden aus! $ie Fuerschnitts che desGef 8es in der 9:he h > 0 über dem &oden sei A (h) > 0 und die Fuerschnitts <

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KAPITEL 1. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 2

che des (uslasses sei a > 0. Sinkt der )assers'ie"el in einem kleinen @eitintervall∆ t > 0 von der 9:he h auf die 9:he 0 < h + ∆ h < h ab dann str:mt )as<

ser desselben olumens mit der Gesch>indi"keit v (h) durch den (uslass! $aher"ilt A (h) ·(−∆ h) = a ·v (h) ∆ t + o (∆ t) J olumserhaltun" bei einer inkom'ressiblen7lüssi"keitK! $abei be-eichnet o (∆ t) eine Jim $etail unbekannteK 7unktion die aberfür ∆ t →0 so rasch "e"en 0 "eht dass lim∆ t→0 o (∆ t) / ∆ t = 0 "ilt!$ie 7unktion v (h) l sst sich aus der +ner"ieerhaltun" erschlie8en! $iese besa"tdass die (bnahme der 'otentiellen +ner"ie durch das ersch>inden einer kleinen)assermen"e in der 9:he h, also die +ner"ie ∆ m · g · h der kinetischen +ner"ieder ausstr:menden )assermen"e ∆ m ·v (h)2 / 2 "leicht! +s "ilt also ∆ m ·g ·h =∆ m ·v (h)2 / 2 + o (∆ m) , also v (h) = √ 2gh. J+ner"ieerhaltun"K +inset-en dieses@usammenhan"s ->ischen v und h in die olumsbilan- er"ibt im Gren-über"an"∆ t →0 die &e-iehun" ->ischen der Sink"eschsch>indi"keit des )assers'ie"els undder "erade vorlie"enden 7üllh:he

−dhdt

= aA (h) 2gh. J1!1K

$erarti"e &e-iehun"en >erden in der fol"enden $e%nition 'r -isiert und verall"e<meinert! +in >ichti"es @iel >ird es nun sein -u erlernen >as sich aus Gleichun" J1!1Küber die 7unktion t →h (t) erschlie8en l sst! )ir >erden bald sehen dass sich diese7unktion berechnen l sst >enn der 7üllstand anf n"lich >enn das Gef 8 "e: net>ird bekannt ist!

De&nition 1 )*n'angswert"ro+le,- Sei M = D1 ×D2 ⊂R2, wobei D1 und D2allgemeine reelle Intervalle sind. (Sie können offen, halboffen, geschlossen, uneigent-lich sein.) ine !unktion f : M → R sei gegeben. "u# einem allgemeinen Intervall D ⊂R sei eine !unktion α : D →R gegeben. !alls der $ra%h von α in M enthalten ist, und #&r alle x∈D α ′(x) = f (x, α (x))gilt, dann hei't α eine ösung der (gewöhnlichen) ifferentialgleichung (erster *rd-nung) y′ = f (x, y). !alls α(x0) = y0 gilt, sagt man α sei eine ösung +um "n#angs-wert (x0, y0) ∈ M. !alls +u einer ösung α keine ösung β : D′ → R e istiert, #&r die D echt in D′ enthalten ist und β (x) = α(x) #&r alle x

∈ D gilt, dann hei't die

ösung α ma imal.

(nmerkun"en* 1K $er $e%nitionsbereich D einer ;:sun" α ist ->an"sl u%"Teilmen"e von D1. 2K #ft >ird lose formuliert* +ine $i erential"leichun" ist ei<ne Gleichun" in der eine 7unktion und ihre (bleitun"en vorkommen! $as ist -u>eitl u%" denn "ilt für eine 7unktion α, dass α′(x) = f (x, α (x/ 2)) oder dassα ′(α(x)) = f (x, α (x)) , so sind dies keine $i erential"leichun"en im Sinn der hier -u<"runde "ele"ten $e%nition! /K $ie hier "e> hlte &eschr nkun" auf o ene CechteckeM als $e%nitionsbereiche vonf schlie8t übri"ens auch fol"endes aus* y′ = 1/ (x2−y2)auf

{(x, y)

∈

R2

|x2 = y2

}. $iese &eschr nkun" ist nicht >irklich not>endi" und es

>ürde "enü"en M ⊂ R2 als -usammenh n"end und o en voraus-uset-en! $ie &e


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KAPITEL 1. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN /

De&nition 2 Sei y′ = f (x, y ) eine ifferentialgleichung. Sei M der e nitions-bereich von f. ann hei't V : M → R2, (x, y) → (1, f (x, y)) das ektor#eld von y′ = f (x, y). /edes ektor#eld des 0y%s g ·V mit einer !unktion g : M → R 0hei't 1ichtungs#eld von y′ = f (x, y).1

(bbildun" J1!1K -ei"t ein Cichtun"sfeld der $i erential"leichun" y′ = xy!

210-1-2

2

1

0

-1

-2

x

y

x

y

(bbildun" 1!1* Cichtun"sfeld -u y′ = xy

Ist α ;:sun" von y′ = f (x, y) und ist x0 im $e%nitionsbereich vonα dann stimmtdie Tan"ente des Gra'hen von α in (x0, α (x0)) mit (x0, α (x0)) + R ·V (x0, α (x0))überein! +in Cichtun"sfeld der $i erential"leichun" ist somit in den Punkten desGra'hen einer ;:sun" tan"ential -u diesem! $amit vermittelt ein Cichtun"sfeldeinen Bualitativen +indruck von den ;:sun"en einer $i erentail"leichun"!

(eis"iel 3 Sei f : R2 → R, (x, y) → λy #&r ein λ ∈R. "bbildung 2.3 veranschau-licht ein 1ichtungs#eld #&r λ = 1. ösungen der ifferentialgleichung y′ = λy sind leicht +u erraten4 !&r 5edes ∈ R ist αc : R → R, x → exp(λx ) eine ma imale ösung. "bbildung 2.6 +eigt αc #&r λ = 1 und = ±1, ±2. $ibt es neben den in-schr7nkungen der ösungen αc au# Intervalle weitere ösungen von y′ = λy8 9ein,denn #&r 5ede ösung α gilt in ihrem e nitionsintervall D

(α (x)exp(−λx )) ′ = α′(x)exp(−λx ) + α(x)(exp( −λx )) ′= λα (x)exp(−λx ) −λα (x)exp(−λx ) = 0 .aher ist α (x)exp(−λx ) konstant au# D . (:ier wird davon $ebrauch gemacht, dass D ein Intervall ist.) amit gilt #&r die Menge L aller ma imalen ösungen von y′ =

λy , dass L = {α c | ∈R}. ine ma imale ösung +um "n#angswert (x0, y0) ∈ R2er#&llt y0 = αc(x0) = exp(λx 0). amit #olgt = y0 exp (−λx 0). s e istiert somit genau eine ma imale ösung von y′ = λy +u einem gegebenen "n#angswert. ie naive rwartung, dass die ifferentialgleichung die ma imale ösung determiniert,

1 ielfach >ird auch die ABuivalen-klasse von ektorfeldern

{g

·V

|g : M

→R 0

} als DdasD

Cichtun"sfeld der $i erential"leichun" be-eichnet! Ge-eichnet >ird dann nur ein Ce'r sentantJohne #rientierun"s'feilK meist mit konstanter ; n"e!


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(bbildun" 1!2* Cichtun"sfeld von y′ = y

(bbildun" 1!/* ;:sun"en von y′ = y

wird von diesem ;eis%iel best7tigt. L enth7lt die 9ulllösung α0 = 0. Ihr $ra%h trennt den e nitionsbereich R2 der ifferentialgleichung in die dis5unkten ;ereiche M > := R ×R> 0 und M < := R ×R< 0. !&r > 0 ist der $ra%h von αc (+ur $7n+e)in M > und #&r < 0 in M < enthalten.

+ine $i erential"leichun" mit f : R×D2 → R hei8t autonom falls f konstantim ersten (r"ument ist! Ist α : D → R eine ;:sun" einer autonomen $i "l dannist für Qedes ! ∈R auch ihr Translat2α τ : Dτ := {x∈R | x −! ∈D} →R, x →α(x −! )

2+s "ilt also α τ (x + τ ) = α(x) für alle x∈D !


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eine ;:sun"! )arumH 7ür x∈D τ "ilt

ddx α τ (x) = limε→0

α(x

−! + ")

−α(x

−! )

" = ddx α τ (x)

= ddx

α (x −! ) = f (x −! , α (x −! )) = f (x, α τ (x)) .$ie 7unktion f der $i erential"leichun" von &eis'iel / ist konstant im ersten (r<"ument! 7ür αc ∈ L "ilt (α c)τ = α c exp( −λτ )! $ie Translationen er-eu"en aus α1 alle;:sun"en α c mit > 0 und aus α−1 alle ;:sun"en αc mit < 0! $ie Lulll:sun" isttranslationsinvariant* (α 0)τ = α 0! $ies illustriert die Colle von Symmetrie"ru''en*Symmetrien er-eu"en aus einer ;:sun" andere!

(eis"iel 4 Sei f : R2

→ R, (x, y) → y2. "bbildung 2.< +eigt ein 1ichtungs#eld von y′ = y2. rei ma imale ösungen sind leicht +u erraten4

• α0 : R →R, x →0 (konstante ösung)• α+ : R< 0 →R> 0, x → −1/x• α− : R> 0 →R< 0, x → −1/x

(bbildun" 1!3* Cichtun"sfeld von y′ = y2

*bwohl die ösung α+ ma imal ist, ist sie nur #&r alle x ∈ R< 0 de niert. Ihr $ra%h entschwindet #&r x ↑ 0 ins =nendliche. "naloges gilt #&r α−. a die iffe-rentialgleichung autonom ist, kann durch 0ranslationen daraus die #olgende Menge L ma imaler ösungen gewonnen werden.

L = {α 0}∪{(α+ )τ | ! ∈R}∪{(α−)τ | ! ∈R}.er e nitionsbereich von (α+ )τ ist das Intervall R< 0 + ! = (−∞, ! ), der von (α−)τ ist R> 0 + ! = ( ! , ∞). s gilt

(α+ )τ (x) = 1! −x

#&r x < ! und (α−)τ (x) = 1! −x

#&r x > !.


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KAPITEL 1. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN .

In L gibt es +u 5edem "n#angswert (x0, y0) ∈ R2 genau eine ösung. !&r y0 = 0 ist dies die ösung α0. !&r y0 > 0 ist es die ösung (α+ )τ mit ! = x0 + 1y0 > x 0, was aus y0 = ( α+ )τ (x0) = 1 / (! −x0) #olgt. "nalog ist #&r y0 < 0 die ein+ige ösung in L mit α(x0) = y0 die !unktion (α−)τ mit ! = x0 + 1y0 < x 0. er #olgende Sat+ +ieht nach sich, dass L die Menge aller ma imalen ösungen von y′ = y2 ist.

1#1#2 * ./ 0 istenz un% 0in%eutigkeit$ie 7ra"e ob eine $i erential"leichun" y′ = f (x, y) überhau't ;:sun"en besit-tund in>iefern verschiedene ;:sun"en -um selben (nfan"s>ert sich voneinander un<terscheiden k:nnen ist natürlich für 'hysikalische @>ecke u8erst interessant und: net ein >eites (uf"abenfeld! 7ür die +,isten- von ;:sun"en -u beliebi"em (n<

fan"s>ert reicht die Steti"keit von f. 7ür die +indeuti"keit von lokalen ;:sun"endurch einen Punkt # braucht es Qedoch et>as st rkere (nnahmen an f. 9ier eineini"erma8en >eitreichender Sat- -u beiden 7ra"en! +in &e>eis ist in a'! II R.von 1 aus"eführt!

atz Seien D1 und D2 allgemeine, offene, reelle Intervalle und M := D1 ×D2.ie !unktion f : M → R sei stetig. !&r 5edes # ∈ M e istiere ein offenes 1echteck $ p ⊂M mit #∈M und eine reelle >ahl L p > 0, sodass

|f (x, y1) −f (x, y2)| ≤L p |y1 −y2| J1!2K

#&r alle (x, y1) und (x, y2) in $ p./ ie !unktionen α : D →R und β : D →R seien ösungen von y′ = f (x, y) mit α(x0) = β (x0) #&r ein x0 ∈D. ann gilt α = β. er $ra%h einer ma imalen ösung kommt dem 1and von M beliebig nahe. urch 5eden Punkt von M e istiert genau eine ma imale ösung.

$er Sat- stellt klar dass durch Qeden Punkt von M ;:sun"en von y′ = f (x, y)e,istieren! +ine ;:sun" durch einen Punkt #, deren $e%nitionsintervall nicht mehraus"edehnt >erden kann ist eine ma,imale ;:sun"! Sie ist eindeuti" bestimmt! Nede>eitere ;:sun" durch # ist +inschr nkun" der ma,imalen ;:sun" durch #.

$er Sat- -ei"t überdies dass bei einer (b nderun" der 7unktion f in eine 7unkti<

on g mit g(x, y) = f (x, y) für alle (x, y) in einem CechteckM ′ ⊂M mit (x0, y0)∈M ′die ;:sun" -um (nfan"s>ert (x0, y0) ∈ M innerhalb von M ′ unver ndert bleibt!Man sa"t dass der Sat- ein Lahe>irkun"s'rin-i' -um (usdruck brin"t!7alls es für eine $i erential"leichun" y′ = f (x, y), deren 7unktion f die oraus<

set-un"en des Sat-es erfüllt "elun"en ist -u Qedem (nfan"s>ert inM eine ma,imale;:sun" -u %nden dann sa"t der Sat- dass die Gleichun" keine >eiteren ma,imalen;:sun"en hat!

+ine hinreichende &edin"un" dafür dass f lokal ;i'schit-beschr nkt ist lautet*Ist die steti"e 7unktion f von Sat- 5 nach dem ->eiten (r"ument steti" 'artielldi eren-ierbar dann erfüllt f die lokale ;i'schit-bedin"un" J1!2K! $ie beiden &ei<s'iele / und 3 erfüllen somit die orausset-un"en des Sat-es! $ie für die &eis'iele

/ Man sa"t dass f lokal ;i'schit-beschr nkt ist! Lp hei8t ;i'schit-konstante!


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KAPITEL 1. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

3.752.51.250-1.25-2.5

4

2

0

-2

-4

x

y

x

y

(bbildun" 1!.* +ine ;:sun" von y′ = 2

|y

|;:sun"en! 7ür (nfan"s>erte (x0, 0) e,istieren auch lokal unendlich viele verschie<dene ;:sun"en! $er Unterschied -ur ;:sun"smen"e von &eis'iel 3 ist also docherheblich!

1#1#3 Differentialgleichungen ,it getrennten Varia+lenDe&nition 6 Seien D1 und D2 allgemeine, offene Intervalle und g : D1 → R und h : D2 → R stetig. Sei f : D1 × D2 → R, (x, y) → g(x)h(y). ann hei't die ifferentialgleichung y′ = f (x, y) vom 0y% der getrennten ariablen.

Ist h steti" di eren-ierbar dann ist f lokal ;i'schit-beschr nkt und der +indeu<ti"keitssat- ist somit an>endbar!

atz Sei E ⊂ D2 ein ma imales Intervall, au# dem h keine 9ullstelle hat, und sei hE die inschr7nkung von h au# E . Sei ΦE eine Stamm#unktion der !unktion 1

hE . Sei % eine Stamm#unktion von g. Sei & ⊂ D1 ein allgemeines Intervall und α : & →E so, dass #&r ein reelles und #&r alle x∈& gilt4ΦE (α (x)) = %(x) + .

ann ist α eine ösung der ifferentialgleichung y′ = g(x)h(y) und es gilt #&r alle x∈& α(x) = Φ−1E (%(x) + ) .?ann & #&r #estes nicht vergrö'ert werden, ist α eine ma imale ösung. @eitere ma imale ösungen der ifferentialgleichung sind die konstanten !unktionen

α i : D1 →R, x →yi ,wobei yi eine 9ullstelle von h ist.

$er &e>eis des Sat-es ist in 10 -u %nden! +ine heuristische Merkhilfe "eht so

dyh(y) = g(x)dx.


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KAPITEL 1. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN =

7ür ;i'schit-beschr nktes f ist die Men"e aller ma,imalen 7unktionen α des imSat- J6K an"eführten Ty's >enn alle nullstellenfreien Teilintervalle E ab"earbeitet

>erden die Men"e aller ma,imalen ;:sun"en der $i erential"leichun"!

(eis"iel 1/ y′ = ySei f (x, y) = y auf R2. +s "ilt somit f (x, y) = g (x) h (y) für g (x) = 1 und h(y) =y für alle x, y ∈ R. $ie 7unktion f hat die beiden ma,imalen nullstellenfreienTeilintervalle E 1 := R> 0 und E 2 := R< 0. +ine Stammfunktion ΦE 1 von 1/y auf E 1 ist ln(y) und eine Stammfunktion von g(x) = 1 auf R ist x. Somit ist eine7unktion α(x) > 0 mit ln (α (x)) = x + ;:sun"! $a ln : E 1 →R biQektiv ist kann beliebi" inR "e> hlt und α auf "an- R de%niert >erden! +s fol"t somit α(x) = ' c' xfür alle x

∈ R. $ie 'ositiven ielfachen der +,'onentialfunktion sind somit als

ma,imale ;:sun"en identi%-iert! (uf E 2 hat 1/y die Stammfunktion ln (−y)! Somitist eine 7unktion α(x) < 0 mit ln (−α (x)) = x + ;:sun"! )ie oben fol"t fürbeliebi"es ∈ R, dass −α(x) = ' c ' x für alle x ∈ R. Schlie8lich bleibt die auf "an-R konstante 7unktion α(x) = 0 als ;:sun"! )ir haben somit die fol"ende Men"e Lvon ma,imalen ;:sun"en "efunden* L = {α C : R →R, x →C exp (x) | C ∈R}.Gibt es >eitere ma,imale ;:sun"en die noch nicht in L enthalten sindH @u Qedem(nfan"s>ert (x0, y0) ∈ R2 e,istiert "enau eine 7unktion αC ∈ L mit αC (x0) = y0.+s ist dies die 7unktion αC mit C = y0 ·' −x0 . $a es durch Qeden Punkt (x0, y0)∈R2nach dem +indeuti"keitssat- h:chstens eine ma,imale ;:sun" "ibt ist L aber auchschon die Men"e aller ma,imalen ;:sun"en der $i erential"leichun" y′ = y.

(eis"iel 2Sei f : R2 →R mit f (x, y) = g(x)h(y) >obei g(x) = −2x auf R und

h(y) = y für y > 0y2 für y ≤0 .

$ie ma,imalen nullstellenfreien Teilintervalle von h sind E 1 := R> 0 und E 2 := R< 0!+ine Stammfunktion von g ist %(x) = −x2 auf R. +ine Stammfunktion von 1/h auf E 1 ist ln(y)! Somit ist eine 'ositive 7unktion α mit ln (α(x)) = −x2 + für ∈ Reine ;:sun"! 7ür sie fol"t α(x) = '

c' −

x2

. Ihr ma,imaler $e%nitionsbereich ist fürbeliebi"es ∈R "an- R. Set-e α+ (x) := exp( −x2) für x∈R.+ine Stammfunktion von 1/h auf E 2 ist −1/y. Sie nimmt nur 'ositive )erte an!Somit ist eine 7unktion α c mit )erten in R< 0 und −1/α c(x) = −x2 + für ∈R> 0eine ;:sun"! 7ür sie fol"t α c(x) = 1 / (x2 − ) . Ihr ma,imaler $e%nitionsbereich istdas o ene Intervall (−√ ,√ ) .$ie Men"e L aller so bestimmten ma,imalen ;:sun"en erfüllt alsoL = {C ·α+ |C ≥0}∪{α c | > 0}.

$urch Qeden Punkt (x0, y0)

∈ R2 "eht "enau eine 7unktion aus L. Somit ist L die

Men"e aller ma,imalen ;:sun"en der $i erential"leichun"! (bbildun" J1!6K -ei"tdie Gra'hen von α + , 2α+ , α 1 und α 4.


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52.50-2.5-5

2

1

0

-1

-2

x

y

x

y

(bbildun" 1!6* $ie ;:sun"en α+ , 2α+ , α 1, α 4

(eis"iel 3Sei f : R ×R →R mit f (x, y) = 2xy2. $ie (bbildun" J1! K -ei"t ein Cichtun"sfeldvon y′ = f (x, y). 7ür die 7unktionen g, h : R →R mit g(x) = 2 x und h(y) = y2 "ilt

(bbildun" 1! * Cichtun"sfeld von y′ = 2xy2

f (x, y) = g(x)h(y).$ie ma,imalen nullstellenfreien Teilintervalle von h sindR< 0 und R> 0. $ie 7unk<

tion % mit %(x) = x2 auf R ist eine Stammfunktion von g. $ie 7unktion Φ> mitΦ> (y) = −1/y auf R> 0 ist eine Stammfunktion von 1/h auf R> 0. +ine ;:sun" α > 0erfüllt somit 1/α (x) = −x2 + > 0 für ein ∈ R> 0. 7ür Qedes > 0 ist somit die7unktion

α+c : −√ ,√ →R> 0, x → 1

−x2eine ma,imale ;:sun"!

$ie 7unktion Φ< mit Φ< (y) = −1/y auf R< 0 ist eine Stammfunktion von 1/hauf R< 0. +ine ;:sun" α < 0 erfüllt daher 1/α (x) = −x2 + ′ < 0 für ein ′ ∈R und


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(eis"iel 47ür die autonome $i erential"leichun" y′ = cos y kann g = 1 auf R und h = cosauf R "e> hlt >erden! $ie Lullstellenmen"e von h ist (2( + 1)

π2 |( ∈Z . $iema,imalen nullstellenfreien Teilintervalle des $e%nitionsbereiches von h sind somit

die Intervalle & n = (2( −1) π2 , (2( + 1) π2 .

(bbildun" 1!10* Cichtun"sfeld -u y′ = cos y für −π2 < y < π2)e"en cos(y + )* ) = ( −1)

kcos(y) "enü"t es die ma,imalen ;:sun"en im In


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KAPITEL 1. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 1/

Suche daher die @ahlen + ∈R mit √ 1 + +2 + + = > 0! +s fol"t durch Fuadrieren1 + +2 = ( −+)2 und >eiter 1 = 2 −2 +. ;et-teres "ilt für

+ = 12 −

1.

Tats chlich ist dies eine ;:sun" der (us"an"s"leichun"!Somit fol"t

tan α (x) = ' x+ c −' −(x+ c)

2 = sinh ( x + ) .

$ie Men"e L0 der ma,imalen ;:sun"en mit )erten im Intervall & 0 ist daher dieMen"e aller 7unktionen α c : R →−π2 , π2 mit ∈R und

α c (x) = arctan sinh ( x − ) .

1050-5-10

1

0.5

0

-0.5

-1

x

Alpha

x

Alpha

(bbildun" 1!11* 2π arctan sinh x JrotK und 2π arctan x

7ür die Men"e Ln aller ma,imalen ;:sun"en mit )erten im Intervall & n "ilt

Ln = {(−1)n α c + (* | ∈R}.7i"ur 1!12 -ei"t α0, −α 0 + *, α 0 + 2*, −α 0 − *. $ie ;:sun"en mit )erten in & nstreben für "erades ( bei x → ∞ "e"en den oberen Cand des Intervalls & n und fürun"erades ( "e"en den unteren! $ie konstante ;:sun" yn = (2 ( + 1) */ 2, die auf einer Lullstelle von cos lie"t scheint also für "erades ( die ;:sun"en in den beidenan"ren-enden Intervallen an-u-iehenV und ansonsten ab-usto8enV!5

5In diesem &ild >ird x als @eit inter'retiert!


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(bbildun" 1!12* ;:sun"en von y′ = cos y

1#1#4 78agnet'el%linien eines Di"ols 1$as Ma"netfeld eines ma"netischen $i'ols . der ausdehnun"slos im Punkt 0 desdreidimensionalen #rtsvektorraums mit Skalar'rodukt ·, · und -u"eh:ri"er Lorm|·| ruht ist durch das ektorfeld B : V 0 →V mit

B (v) = D

|v

|3 3

', v

|v

|2 v −' .

"e"eben! $abei "ibt D ∈ R> 0 die St rke und ' ∈ V mit |' | = 1 die Cichtun" desJkonstantenK $i'olmoments an! $as ektorfeld B ist invariant unter $rehun"enum '. $aher "enü"t es sich das ektorfeld B innerhalb einer +bene durch 0, die 'enth lt mittels 7eldlinien -u veranschaulichen!

Ist (' 1, ' 2, ' 3) eine #rthonormalbasis von V mit ' 2 = ', dann "ilt für ektorenv = x' 1 + y' 2 = 0 , also ektoren un"leich 0 in der +bene {v ∈V : v, ' 3 = 0}

B (x' 1 + y' ) = D

(x2 + y2)3/ 23

yx2 + y2

x' 1 + 3 y

x2 + y2y' 2 −' 2

= D

(x2 + y2)3/ 2 3 xy

x2 + y2 ' 1 + 3y2

−(x2 + y2)

x2 + y2 ' 2

= D

(x2 + y2)3/ 23

xyx2 + y2

' 1 + 2y2 −x2

x2 + y2 ' 2 .

7i"ur J1!1/K -ei"t das ektorfeld B/ |B | .+in &lick auf 7i"ur J1!1/K l sst vermuten dass eine 7eldlinie im ersten Fuadran<ten der Gra'h einer 7unktion x → α (x) ist! $er (nstie" einer solchen 7eldliniedurch den Punkt (x, y)∈- = R> 0 ×R> 0 hat im Punkt (x, y) o enbar den )ert

α ′ (x) = 2y2 −x23xy

= 2α (x)2 −x2

3xα (x) .

. (nalo"es "ilt für das elektrische 7eld eines elektrischen $i'ols!


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(bbildun" 1!1/* Cichtun"sverlauf eines $i'olvektorfeldes

$ie 7unktion α ist somit eine ;:sun" der $i erential"leichun"

y′ = f (x, y) mit f : R> 0 ×R> 0 →R und f (x, y) = 2y2 −x2

3xy .

Lun "ilt f (x, y) = 23yx − 13 xy =: g (y/x ) für alle (x, y) ∈ -. $ie 7unktion f istalso homo"en vom Grad 0. Solche $i erential"leichun"en lassen sich auf - durch

einen sim'len Trick in $i erential"leichun"en vom Ty' der se'arierten ariablen

umformen! 7ür α (x) = x · β (x) "ilt Qa α′ (x) = β (x) + x ·β ′ (x) , sodass β eine;:sun" vonβ (x) + x ·β ′ (x) = f (x, α (x)) = g (β (x)) .

Somit "iltβ ′ (x) = g (β (x)) −β (x)

x .

Im "e"en> rti"en 7all erfüllt β somit die $i erential"leichun"

β ′ (x) =23 β (x) − 13β (x)

x −β (x) = − 13x

(β (x) + 1 /β (x)) = − 13x

h (β (x))

mit h : R> 0 → R> 0 und h (y) = y + y−1. $ie 7unktion h ist nullstellenfrei und ihrehr>ert hat die Stammfunktion : R> 0 → R> 0 mit (y) = 12 ln (1 + y2) , da Qa ′ (y) = 12

2y1+ y2 =

1y+ y−1 "ilt!

$amit erfüllt eine ;:sun" β von β ′ = − 13x h (β ) die &e-iehun"12

ln 1 + β (x)2 = −13

ln (x) +

für ein ∈ R und für alle x in einem hinreichend kleinen Intervall! +,'onen-ierendieser &e-iehun" er"ibt1 + β (x)2 = ' c ' −23 ln( x) = ' cx−2/ 3.


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KAPITEL 1. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 1.

$araus fol"t β (x)2 = ' cx−2/ 3−1 = ( C/x )2/ 3−1 für ein C = ' 3c/ 2 > 0. $ie -u"eh:ri"ema,imale ;:sun" β C ist somit die 7unktionβ C : (0, C ) →R> 0 mit β C (x) = (C/x )

2/ 3

−1.$ie -u β C "eh:ri"e 7unktion α C ist die 7unktion αC : (0, C ) →R> 0 mit

α C (x) = x (C/x )2/ 3 −1 = (Cx2)2/ 3 −x2.Man beachte limx→C αC (x) = 0 .$ie Men"e aller 7eldlinien im ersten Fuadranten ist somitdie Men"e der Gra'hen-ur 7unktionenfamilie {αC : C > 0}. $ie 7eldlinie durch einen Punkt (x0, y0)∈- istGra'h der 7unktion αC mit C > 0 so dass αC (x0) = y0. $araus fol"t (y0/x 0)2 +1 =(C/x 0)2/ 3 und somit

C = x0 1 + ( y0/x 0)23/ 2

.

+ine analo"e Eberle"un" -ei"t dass im Fuadranten - ′ = R> 0×R< 0 die 7eldliniendie Gra'hen der 7unktionen −α C sind! +ine "esamte 7eldlinie im &ereich R> 0 ×Rist somit der (bschluss der Men"e {(x, y) : x > 0, |y| = αC (x)} in R> 0 ×R. $urchS'ie"elun" an der +bene y = 0 er"eben sich schlie8lich die Jrichti" orientiertenOK7eldlinien im &ereich x < 0. Im &ereich x < 0 bildet eine 7eldlinie die Men"e

{(x, y) : x < 0, |y| = αC (|x|)}. $ie ein-i"en beiden davon nicht erfassten 7eldliniensind die 9alb"eraden {(0, ±y) : y > 0}, der Gren-fall C = 0. $urch Qeden Punktder +bene Johne 0!) "eht "enau eine 7eldlinie! Nede 7eldlinie kommt dem Cand des$e%nitionsbereiches von B, n mlich dem Punkt 0 beliebi" nahe!

(bbildun" 1!13* 7eldlinien eines $i'ols

.olar%arstellung einer Fel%linie ,it C > 0

+s "ilt x2 + αC (x)2 = C 2/ 3x4/ 3, also x2 + αC (x)2 3 = C 2x4. 7ür Polarkoordinaten( , 0) mit x = cos 0 und y = sin 0 besteht auf einer 7eldlinie somit der @usam<menhan" 6 = C 2 4 cos4 0. $ie 7eldlinie hat daher die Polardarstellun" = C cos2 0.$abei kann 0∈(−*/ 2, */ 2) für eine 7eldlinie im &ereich x > 0 und 0∈(*/ 2, 3*/ 2)für eine 7eldlinie im &ereich x < 0 "e> hlt >erden! ; sst man 0

∈

[0, 2*] -u >erden->ei -ueinander s'ie"el"leiche 7eldlinien in den 9albr umen x > 0 b-> x > 0 -ueiner ein-i"en 7eldlinie durch die Sin"ularit t in 0 hindurch verbunden!


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1#1# 7Die !ettenlinie+ine ette sei an ->ei Punkten A und B auf"eh n"t die nicht direkt übereinanderlie"en! )elche ;inie im Caum bele"t die ruhende ette >enn ihre ; n"e unver<

nderlich ist und die ein-elnen etten"lieder -u Punkten idealisiert >erdenH Imfol"enden >ird die Eberle"un" erl utert die < -umindest "em 8 der $arstellun" in

a'! &!11 von 16 < Nohann &ernoulli 1.=1 -ur ;:sun" des Problems führte!6Nohann &ernoulli scheint Le>tons Mechanik >ie sie 1. 6 in den Prin-i'ia dar<

"ele"t >ar "ekannt und -ur Grundla"e seiner Eberle"un" "emacht -u haben! $enner nimmt an* $ie etteninie γ lie"t in einer Ja nenK +bene des /d euklidischenCaumes! $iese +bene >ird vom ektor der A in B schiebt und dem Cichtun"s<vektor der Sch>erkraft auf"es'annt! J$ies l sst sich be>eisenOK #+d( >ird A = 0"eset-t und in der +bene eine #L& (' 1, ' 2) mit den -u"eh:ri"en oordinaten (x, y)so "e> hlt dass das Sch>erkraftfeld die Cichtun" −' 2 hat und xB = x (B) > 0"ilt! )eiter nimmt er an dass γ der Gra'h einer ->ei mal steti" di eren-ierbaren7unktion von x ist* d!h! es "ibt eine C2obei & das reelleIntervall [0, xB ] ist sodass {(x, y) ( #) | #∈γ }= {(x, α (x)) |x∈& }.Sei nun #∈γ mit x ( #) = x p > 0. $ie @ahl

1 (x p) = xp0 1 + ( α ′)2 (2 )d2 "ibt die ; n"e Qenes Teils der ;inie γ an der ->ischen 0 und # lie"t! Sei 0 (x p) der(nstie"s>inkel von α bei x p. +s "ilt also

α ′ (x p) = tan 0 (x p) mit 0 (x p)∈−*2

, *2

.

(n dem ettenstück ->ischen A und # "reifen drei r fte an*

• Sch>erkraft 3 g = −4g1 (x p) ' 2; hier sind 4 die konstante ettenmasse 'ro; n"eneinheit und g die +rdbeschleuni"un"W• &efesti"un"skraft 3 0 = −|3 0|(cos(0 (0)) ' 1 + sin ( 0 (0)) ' 2) mit |3 0| > 0 in A;

• ettens'annkraft 3 p =

|3 p

|(cos 0 (x p) ' 1 + sin 0 (x p) ' 2) "reift in #.

$ie ettens'annkraft >ird vom ettenstück das ->ischen # und B lie"t aus<"eübt! Sie ist tan"ential -ur ette in # und nach rechts "erichtet! +ine elastische7eder die ->ischen dem etten"lied bei # und dem rechts davon an"ren-enden et<ten"lied ein"ebaut > re >ürde die ettens'annkraft sichtbar machen! $a die ette

6Galilei hatte vermutet dass diese ettenlinie eine Parabel sei! 9uy"ens >iders'rach ->ar schon1.3. also mit 16JOK Nahren dieser ermutun" fand aber erst 1.=1 also mit .2 Nahren die richti"e

urve nachdem Nakob &ernoulli das Problem -ur 9erausforderun" an seine olle"enschaft erkl rthatte! Nakob &ernoullis Problem >urde von seinem Qün"eren &ruder Nohann von ;eibni- 9uy"ensund schlie8lich auch von Nakob &ernoulli selbst "el:st!

$ies ist hier eine +inen"un" des urs'rün"lichen Problems! (uch diese (nnahme kann aber auset>as all"emeineren orausset-un"en ab"eleitet >erden!


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als ruhend voraus"eset-t ist addieren sich alle drei r fte -u 0. +s "ilt somit

0 = |3 p|cos 0 (x p) − |3 0|cos 0 (0) ,4g1 (x p) = |3 p|sin 0 (x p) − |3 0|sin 0 (0) .$iese beiden Gleichun"en sind Buivalent -u

|3 p| = |3 0| cos0 (0)cos 0 (x p)

,

4g1 (x p) = |3 0|[cos0 (0)tan 0 (x p) −sin 0 (0)]$ie ->eite Gleichun" ist Buivalent -u

tan 0 (x p) −tan 0 (0) = 4g|3 0|cos 0 (0) 1(x p) .

+s "ilt also mit ) = ρg|F 0 | cos ϕ(0) > 0 für alle x∈&

α ′ (x) = ) x0 1 + ( α ′)2 (2 )d2 + tan 0 (0) . J1!5K$urch (bleiten von J1!5K nach x er"ibt sich schlie8lich auf "an- & die $i eren<

tial"leichun"α ′′ (x) = ) 1 + ( α ′)2 (x). J1!.K

+s lie"t also die et>as un"e>:hnliche Situation vor dass die $i erential"leichun"über den Parameter ) von der (nfan"sbedin"un" α′ (0) = tan 0 (0) abh n"t!

;:se -un chst die $i erential"leichun" erster #rdnun" für die 7unktion y = α ′

y′ (x) = ) 1 + y2 (x).$iese $i erential"leichun" ist vom Ty' der "etrennten ariablen und kann mitdem Jver"r:8ertenK $e%nitionsbereich (x, y) ∈ R2 versehen >erden! $ie 7unktionh (y) =

1 + y2 hat keine Lullstelle auf R. +ine Stammfunktion von 1/h ist Φ (y) =

sinh−1 (y) . $aher e,istiert ein

∈

R mit

sinh−1 (y (x)) = )x −für alle x ∈ R. $araus fol"t α′ (x) = sinh( )x − ) . Lochmali"e Inte"ration er"ibt>e"en α (0) = 0 für die ettenlinie α

α (x) = 1)

(cosh ()x − ) −cosh ( )) .$ie 7unktion α hat auf R ein "lobales Minimum! +s hat den )ert (1 −cosh( )) /)und >ird nur im Punkt x = /) an"enommen! In diesem Punkt hatα die rümmun"α ′′

ck = ). $er Schmie"ekreis ans Minimum hat daher den Cadius 1/).


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KAPITEL 1. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 1=

$ie Parameter ) und sind durch α (xB ) und die ; n"e L > x2B + α (xB )2 der

ette eindeuti" fest"ele"t! +s "ilt )α (xB ) = cosh( )x B

−)

−cosh ( ) und >e"en

Gleichun" J1!.K

)L = xB0 ) 1 + α ′ (x)2dx = xB0 α ′′ (x) dx= α′ (xB ) −α ′ (0) = sinh ( )x B − ) + sinh ( ) .

7ür die symmetrische Candvor"abe α (xB ) = 0 et>a fol"t dass = )x B / 2 undL2 ) = sinh

xB2 ) . $as Minimum von α >ird in xB / 2 an"enommen! 7ür "ilt also

die &estimmun"s"leichun"L

xB = sinh .

(ls ;:sun" e,istiert >e"en L > x B in R> 0 "enau ein . (us diesem )ert für er"ibtsich ) mit ) = 2 /xB .

&ei symmetrischer Candvor"abe α (xB ) = 0 mit xB = 1 m und L = 10m fol"taus 10 = sinh , dass ≈ , . Somit "ilt ) = 2 /xB ≈ ", 0 m−1. $er &etra" derraft mit der die ette im Punkt A befesti"t ist l sst sich nun auch berechnen! +s"ilt mit M = 4L J ettenmasseK

|3 0| = 4g

) cos 0 (0) =

4g)

1 + tan 2 0 (0) = 4g

)1 + α ′ (0 (0))2

= 4g)

1 + sinh ( )2 = 4gL 1)L2

+ sinh( ))L

2

= Mg 1)L 2 + 12 2 = Mg2 1 + 2L) 2 ≈ Mg2 1 + 1 2.7i"ur 1!15 ver"leicht die Jin symmetrische ;a"e "ebrachteK ettenlinie JrotK der

; n"e L ≈ 2, xB mit der Parabel "leicher ; n"e! &eide urven "ehen durch diePunkte (±xB / 2, 0) . Sie sind sichtbar voneinander verschieden!)elche $i erential"leichun" "ilt für den (nstie"s>inkel der ettenlinieH 7ür die7unktion 0 mit α ′ = tan 0 fol"t auf & eine $i erential"leichun" erster #rdnun" vomTy' der "etrennten ariablen denn einerseits "ilt

α ′′ (x) = tan ′ (0 (x)) 0 ′ (x) = 1cos2 0 (x)

0 ′ (x) ,

und andererseits "ilt >e"en −π2 < 0 (x) < π2

) 1 + ( α ′)2 (x) = ) 1 + tan 2 (0 (x)) = ) cos2 (0 (x)) + sin 2 (0 (x))cos2 (0 (x))=

)cos(0 (x)) .


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10.50-0.5-1

0

-0.5

-1

-1.5

-2

(bbildun" 1!15* ettenlinie JrotK mit Parabel "leicher ; n"e

Somit ist die Gleichun" J1!.K Buivalent -u

0 ′ (x) = ) cos(0 (x)) . J1!6K

7ür die 7unktion 5 : [0, )x B ] → R mit 5 ()x ) = 0 (x) "ilt dann die schon beas er -u sehen bekommt erschrocken >ieder los! )ie lan"edauert der Stur- der +rde in die SonneH

7ür inertiale kartesische +rdbahnkoordinaten xi , (6 = 1, 2, 3) mit Lull'unkt imJbeinahe ruhendenK Sonnen-entrum als 7unktion einer inertialen @eit t "ilt

mẍi(t) = −%mM x i(t)

3(t) J1! K

JLe>tons &e>e"un"s"leichun"enK! % ist Le>tons Gravitationskonstante M dieMasse der Sonne und m die Masse der +rde! $ie 7unktion

:= (x1)2 + ( x2)2 + ( x3)2

"ibt den momentanen (bstand ->ischen +rde und Sonne an! $ie (nfan"sbedin"un"der Stur-be>e"un" ist o!+!d!(!

x1(0) = $, x 2(0) = x3(0) = 0; ẋ1(0) = ẋ2(0) = ẋ3(0) = 0 J1!=K


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mit $ ≈ 1, ·1011 m! )e"en x1(0) = $ > 0 "ibt es ein " > 0 sodass x1(t) > 0 füralle t∈D := [0, ") "ilt!+ine R

3erti"e 7unktion (x

1, x

2, x

3) = ( x, 0, 0) die auf dem Intervall D de%niertist und für die x > 0 "ilt ist "enau dann eine ;:sun" von J1! K und J1!=K >enn die

auf D de%nierte 7unktion x eine ;:sun" des (nfan"s>ert'roblems

ẍ(t) = − γ x(t)2

mit x(0) = $ und ẋ(0) = 0 J1!10K

mit γ := %M > 0 ist! )e"en J1!10K "ilt ẍ(t) = ddt (ẋ(t)) < 0! $ie Gesch>indi"keit ẋist somit für ;:sun"en x > 0 stren" monoton fallend! $aher fol"t aus der "e"ebenen(nfan"sbedin"un" ẋ(0) = 0 die Un"leichun" ẋ(t) < 0 für alle 0 < t < " ! J$ie;:sun" x ist also auf D stren" monoton fallend d!h! die +rde be>e"t sich einmal

aus"elassen ausschlie8lich in Cichtun" SonneK! @usammen mit der Lebenbedin"un"ẋ(t) < 0 Jfür alle 0 < t < " K ist J1!10K Buivalent -u

ẍ(t) · ẋ(t) = − γ x(t)2

ẋ(t)!

$ies >iederum ist >e"en ẍ(t) · ẋ(t) = ddt (ẋ(t ))2

2 und − γ x(t )2 ẋ(t) = ddt γ x(t) Buivalent-uddt

(ẋ(t))2

2 − γ x(t)

= 0 mit ẋ(t) < 0 für alle 0 < t < ". J1!11K

Somit ist eine 7unktion x : (0, ") →R "enau dann +inschr nkun" einer ;:sun" des(nfan"s>ert'roblems J1!10K >enn für alle t∈(0, ") die $i erential"leichun"(ẋ(t))2

2 − γ x(t)

= −γ $

J1!12K

-usammen mit ẋ(t) < 0 und der (nfan"sbedin"un" limt↓0 x(t) = $ "ilt! $ie $i e


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und die (nfan"sbedin"un" ist für die 7unktion 2 durch limτ ↓0 2 (! ) = 1 "e"eben!&eachte dabei ẋ(t) =

2γ/$ ddτ (! ) .

$as Problem der stür-enden +rde ist nun in die fol"ende dimensionsbereini"te7ormX "ebracht! Sei

f : R ×(0, 1) →R, (x, y) → − y−1 −1.Gesucht ist die ma,imale ;:sun" α : (0, x ! ) →R von y′ = f (x, y) mit der (nfan"sindi"keit mit dem &etra" v√ 1 0−1 ≈ 1#$ms−1!

10.80.60.40.2

0

-0.5

-1

-1.5

-2

-2.5

-3

$er Gra'h von g

=+inset-en der Modell'arameter oder siehe die Schlu8bemerkun"!


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21.81.61.41.210.80.60.40.20

1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

x

y

x

y

Cichtun"sfeld -u f

(chtun"* )ird der $e%nitionsbereich von g um den Cand'unkt 1 ver"r:8ertdann hat y′ = f (x, y) = g(y) auch die konstante ;:sun" α(x) = 1 ! $ie -u"eh:ri"e7unktion x(t) = $ erfüllt Qedoch nicht die Le>tonsche &e>e"un"s"leichun"! $iese-us t-liche ;:sun" kommt durch das Multil'li-ieren der Le>tonschen Gleichun" mitẋ -ustande das in die Umformun" von J1!10K in J1!1/K ein"eht!

Lun -ur &estimmun" einer Stammfunktion Φ von 1/g ! +s "ilt für 0 < y < 1

11y −1

= y

y −y2 = −12

1−2y y −y2 − 1

y −y2= −

ddy y −y

2+

12 y −y

2

+ine Stammfunktion von 1/ y −y2 im &ereich (0, 1) ist die 7unktiony → −arcsin (1 −2y) .

$ies fol"t mit der ettenre"el aus arcsin′(x) = 1 / √ 1 −x2 für −1 < x < 1. $ie7unktion arcsin ist die inverse 7unktion der +inschr nkun" der 7unktion sin auf dasIntervall −π2 , π2 . &eachte dass die 7unktion y → −arcsin (1 −2y) das Intervall(0, 1) steti" und stren" monoton stei"end auf

−π2 , π2 abbildet!

$amit ist eine Stamfunktion Φ : (0, 1) →R von 1/g die 7unktionΦ(y) = y −y2 + 12 arcsin (1 −2y) .

Φ ist >e"en Φ′(y) = 1g(y) < 0 stren" monoton fallend! $ie "esuchte ;:sun" α vony′ = f (x, y) erfüllt somit

x + C = Φ (α(x))

für ein festes reelles C ! $ie Inte"rationskonstante C ist durch die Candbedin"un"limx↓0 α(x) = 1 -u

C = limy↑1 Φ(y) = 12 arcsin(−1) = −

*


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bestimmt! $er ma,imale $e%nitionsbereich (0, x ! ) von α er"ibt sich aus der unterenGren-e des $e%nitionsbereichs (0, 1) von Φ! +s "ilt

x! = limy↓0

Φ(y) −C = 12

arcsin (1) + *

= *2

.

7ür den Gra'hen % von α "ilt

% = (x, y)∈R ×(0, 1) | x = y −y2 + 12 arcsin (1 −2y) + * .

$as fol"ende &ild -ei"t % Jmit hori-ontaler y


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verknü'ft sind! )ir ver"leichen die ann hernd kreisf:rmi"e +rdbahn für die 7 1 = 1 &und a1 = $ "ilt mit dem Gren-fall einer-u einer Geraden verkümmerten +lli'se!

7ür die 7all-eit der +rde in die Sonne "ilt dann 7 = 7 2/ 2, da im 7all Qa nur diehalbe +lli'se durchlaufen >ird und a2 = $/ 2, da im Gren-fall die Sonne mit demPerihel der e,trem e,-entrischen +lli'se -ur $eckun" kommt! Somit "ilt

27 1 &

2

=$/ 2$

3

= 123

und daher das oben erhaltene +r"ebnis 7 = 1 &/ √ 2 .Schlie8lich >ird noch der Gra'h der 7unktion y → $ 3/ (2γ )α−1(1 −y) aneite > rmere 9 lfte in nur mehr 10 Ta"en -urück"ele"t >ird!

10.750.50.250

62.5

50

37.5

25

12.5

0

y

t

y

t

Ceise-eit t in Ta"en als 7unktion der -urück"ele"ten Strecke y

1#1# ineare Differentialgleichungen

&ei einer linearen $i erential"leichun" ist die 7unktion f nach einem Muster "ebil


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KAPITEL 1. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 2.

hat erH 9 n"t seine $imension von & abH $er fol"ende Sat- beant>ortet derlei7ra"en und führt die &estimmun" der Men"e L0 aller ma,imalen ;:sun"en auf die

&estimmun" einer Stammfunktion A -urück!atz 9 Sei a : D → R stetig und A : D → R eine Stamm#unktion von a, dh es gilt A′ = a. ie Menge aller ma imalen ösungen von y′ = a (x) · y ist der eindimensionale ektorraum L0 mit

L0 = R · ' % := αC : D →R mit αC (x) = C ·' %(x) |C ∈R .ie Menge aller ösungen mit e nitionsbereich & ⊂D ist der (eben#alls eindimen-sionale) ektorraum R·' %I , wobei A& die inschr7nkung von A au# das 0eilintervall & ⊂D ist.

(eweis# +ine homo"en lineare $i erential"leichun" ist vom Ty' der "etrenntenariablen! )e"en f (x, y) = a (x)·y ist der +indeuti"keitssat- an>endbar! $aher hatder Gra'h einer von der 0


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(eweis# ersuchs>eiser (nsat-* α (x) = C (x) ' %(x) für alle x aus einem noch -ubestimmenden Teilintervall & ⊂D. $ie 7unktion α ist "enau dann eine ;:sun" derinhomo"enen Gleichun" >enn für alle x∈&

C ′ (x) ' %(x) + C (x) a (x) ' %(x) = a (x) C (x) ' %(x) + b(x) .

$ies ist Buivalent -uC ′ (x) = ' −%(x)b(x) .

$iese $i erential"leichun" für C hat die ma,imale ;:sun"

C : D →R mit C (x) = x! ' −%( )b(2 ) d2,für alle x∈D. +s "ilt C (1) = 0 .Nede >eitere ma,imale ;:sun" der inhomo"enen Gleichun" y′ = a (x) y + b(x)ist aus der ;:sun" C durch (ddition einer 7unktion aus L0 -u erhalten!

$ie ariation der onstantenformel J1!15K -ei"t dass Lb = L0 + α p, >obei α p einbeliebi"es fest "e> hltes +lement von Lb ist! $ie Men"e der ma,imalen ;:sun"eneiner inhomo"en linearen $i erential"leichun" ist somit ein eindimensionaler a nerUnterraum von Abb(D : R) .

$ie 'artikul re ;:sun" α 0 -u = 0 h n"t linear von b ab! Sei für x∈D

yb(x) =

x

x0

' %(x)−%( )b(2 )d2.

$ann "ilt yλb1 + b2 (x) = λyb1 (x) + yb2 (x) für λ ∈ R und für b1, b2 ∈ C (D : R) .&enut-un" dieses Sachverhalts ers'art manche Cechnun"!$as Lahe>irkun"s'rin-i' des +indeuti"keitssat-es >ird von der ariation der

onstantenformel deutlich sichtbar "emacht* ) hlt man die Stammfunktion A(x) =

xx0 a(2 )d2 dann ist die ma,imale ;:sun" der Gleichun" y′ = a(x)y + b(x) -um (nennes einen der erne eines ;uftmoleküls tri t und -ertrümmert! (us einem solchenDS'allationsneutronD und einem intakten 148 ern Jeines ;uftmolekülsK kann an<schlie8end in der ;adun"stauschreaktion 147 8 + 10 ( →146 C + 11 # ein ern des instabilenohlensto soto's 14C entstehen! (ndererseits -erf llt 14C mit einer 9alb>erts-eitvon 56/0 Nahren durch den &eta-erfall 146 C →147 8 + ' − + 9 ' .


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(uf diese )eise erbrütet die Sonne in der hohen (tmos'h re laufend neues 14C,das natürlich auch in den reislauf or"anischen Materials +in"an" %ndet und lan"<

sam >ieder -erf llt! Lach &eendi"un" der Sto aufnahme eines ;ebe>esens10

sinktdas on-entrationverh ltnis von 14C -u 12C in dessen Eberresten und erm:"lichteinen Cückschluss auf den Todes-eit'unkt >enn das on-entrationsverh lnis von14C -u 12C -ur @eit des +inbaus bekannt ist!

$ie Intensit t des Sonnen>indes ist nun aber auch >enn sie über mehrere )o<chen und über die "an-e +rdku"el "emittelt >ird -eitlich nicht konstant sodassauch das atmos'h rische on-entrationverh ltnis von 14C -u 12C im ;auf der +rd"e<schichte ver nderlich ist! Sch>ankt beis'iels>eise die mittlere Intensit t des Sonnen<>indes harmonisch um einen Mittel>ert dann "ilt für die Jents'rechend "emittelteK

on-entration 8 (t) von 14C in der +rdatmos'h re -ur @eit t

8̇ (t) = −γ8 (t) + + d ·cos(ωt −: ) . J1!1.K$abei ist γ > 0 die @erfallskonstante von 14C, die @ahl > 0 ein ;an"-eitmittelder Produktions< oder &rutrate und d > 0 die (m'litude der harmonischen #s-illa<tionen des ur--eitmittels der &rutrate! $ie 7reBuen- ω dieser #s-illationen kann'ositiv an"enommen >erden! $a die &rutrate von 14C nicht ne"ativ sein kann "ilt0 ≤ d ≤ . $ie Phase : ∈ [0, 2*) le"t die ;a"e der #s-illationsfunktion auf der@eitskala fest! $uch )ahl eines Lull'unkts in der @eit kann : = 0 erreicht >erden!

)elche Schlüsse k:nnen aus der $i erential"leichun" J1!1.K auf die -eitliche +nt<>icklun" von 8, also auf die 7unktion t → 8 (t) , "e-o"en >erdenH $ie 7unktionα : R

→R mit α (γt ) = 8 (t)

−c

γ erfüllt an der Stelle x = γt die 'arameterredu-ierte

$i erential"leichun"

α ′ (x) = ddx

8 (x/γ )) =8̇ (t)

γ = −8 (t) +

γ

+ dγ ·cos(ωt)

= − 8 (t) − γ

+ dγ ·cos(ωt) = −α (x) +

dγ ·cos

ωγ

x .

α ist also ;:sun" von y′ = f (x, y) mit f : R2 → R und f (x, y) = −y + λ cos()x ) .$abei "ilt ) = ω/γ > 0 und λ = d/γ ≥0.)ir untersuchen nun diese vereinfachte $i erential"leichun" für λ ∈ R. $ie7unktionen a, b : R →

R mit f (x, y) = a (x)·

y + b(x) erfüllen also a (x) = −

1und b(x) = λ cos )x. Im 7all dieser Gleichun" l sst sich eine ma,imale ;:sun" derinhomo"enen Gleichun" leicht über den (nsat- α p (x) = α cos )x + β sin )x für x∈R%nden! $ie 7unktion α p l:st y′ = −y + λ cos )x "enau dann >enn für alle x∈R

) (−α sin )x + β cos )x ) = −α cos )x −β sin )x + λ cos )x.oe -ientenver"leich der 7aktoren vor den linear unabh n"i"en 7unktionen cos und

sin er"ibt das inhomo"en lineare Gleichun"ssystem für α, β ∈Rβ) = −α + λ und α) = β.

10)ie et>a Qenes Mannes der vor ca 5250J

±125K Nahren am 9auslabQoch einem Eber"an"

->ischen Schnals< und Yt-tal sein ;eben verlor und dessen mumi%-ierte Eberreste am Ta" desDma"ischen $atumsD 1=!=!1==1 von &er">anderern entdeckt >urden!


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KAPITEL 1. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 2=

$ieses "ilt "enau dann >ennα = λ/ (1 + ) 2) , β = )λ/ (1 + ) 2) . @u Qeder ma,imalen;:sun" α von y′ = −y + λ cos )x e,istiert somit eine @ahl C ∈ R, sodass α = αC .$abei erfüllt die 7unktion α C : R →R für alle x∈R

αC (x) = λ1 + ) 2

(cos )x + ) sin )x ) + C ·' −x .$ie Men"e L aller ma,imalen ;:sun"en von y′ = −y + λ cos )x ist somit durchL = {αC |C ∈R} "e"eben!Eber'rüfen >ir dieses +r"ebnis mit der ariation der onstantenformel! $ie7unktion A : R → R mit A(x) = −x ist eine Stammfunktion von a. $aher fol"tfür die ma,imale ;:sun" α des (nfan"s>ert'roblems -u x0 = 0 und y0 = 0 an derStelle x∈R, dass

α(x) = ' −x x

0λ cos()2 ) ' d2 = λℜ' −

x

x

0' (1+ ik ) d2

= λℜ' ikx −' −x

1 + 6) =

λ1 + ) 2ℜ

(1 −6)) ' ikx −' −x

= λ1 + ) 2

[cos ()x ) −exp(−x) + ) sin()x )] .7ür α 0 ∈L0 mit α0 (x) = −λ exp( −x)1+ k2 fol"t α = α0 + α p, >obei α p die schon durch(nsat- erhaltene ;:sun" der inhomo"enen Gleichun" ist! 7ür sie "ilt übri"ensα

p(x) =

λ

1 + ) 2 [cos ()x ) + ) sin()x )] =

λ

√ 1 + ) 2cos()x )

√ 1 + ) 2+

) sin()x )

√ 1 + ) 2=

λ√ 1 + ) 2 [cos (: )cos()x ) + sin ( : )sin()x )] =

λ√ 1 + ) 2 cos ()x −: )

mit : = arctan( ) ) ∈0, π2 . $ie ;:sun" α p ist also eine harmonische Sch>in"un"derselben Periode >ie die Inhomo"enit t der Gleichun"! Sie ist Qedoch um : > 0"e"en die Inhomo"enit t Jnach rechtsK verschoben! Ihre (m'litude ist fallend in ) .

7ür Qede >eitere ma,imale ;:sun" α der $i erential"leichun" y′ = −y + λ cos ωxe,istiert ein C ∈ R, sodass

α (x) = α p (x) + C' −x für alle x ∈ R. +s "ilt fol"lichlimx→∞ (α −α p) (x) = 0 , d!h! der +in uss der (nfan"sbedin"un" auf die ;:sun"

α

"eht mit >achsendem x "e"en 0 ohne dass die ;:sun" selbst "e"en 0 konver"iert!$ie ;:sun" α p n hert also das ;an"-eitverhalten Qeder anderen ;:sun"!$ie -ur ;:sun" α p "eh:ri"e 14C < on-entration 8 p erfüllt -ur @eit t

8 p (t) = d

γ 2 + ω2 cos(ωt −: ) + γ

mit : = arctan ωγ ∈

0, *2

.

1#2 yste,e erster $r%nung1#2#1 De&nition un% ,otivieren%e (eis"iele

+in 7luss str:mt ruhi" durch die ;ande! (n manchen #rten schneller >oanderslan"samer! (n einem #rt # der )asserober che - ⊂ R2 und -u einer @eit t ∈ D


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KAPITEL 1. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN /1

53.752.51.250

1

0.75

0.5

0.25

0

x

y

x

y

(bbildun" 1!1.* Sto men"en von A und B in +inheiten von 8 %(0)!

(ls Sto men"en inter'retierbar sind natürlich nur onstante 8 %(0), 8 B (0) ∈R≥0. In diesem 7all fol"t 8 %(t), 8 B (t) ∈ R≥0 für alle t > 0. (bbildun" J1!1.K -ei"tfür λ% = 1 und 8 B (0) = 0 den Gra'hen von 8 %(t)/8 %(0) in sch>ar-! 7ür λB = 2-ei"t sie 8 B (t)/8 %(0) in rot und 8 B (t)/8 %(0) für λB = 1/ 2 in braun! $ie "rüne

urve -ei"t die JrelativeK (ktivit t λA ( A (t )+ λ B ( B (t )λ A ( A (0) für λ% = 1 und λB = 2. Sie stei"tbei 0 kur--eiti" an!11

$ass Qede ;:sun" des Systems die den Fuadranten (R≥0)2 erreicht also et>a

(8 %(0), 8 B (0))∈(R≥0)

2 erfüllt diesen Fuadranten s' ter nicht mehr verl sst fol"t

aus der Gestalt des ektorfeldes! +s ist am Cand des Fuadranten nir"ends ausdiesem heraus"erichtet! (bbildun" 1!16 -ei"t das ektorfeld für λ% = 1 und λB = 2.

(bbildun" 1!16* $as ektorfeld der @erfallskette für λ% = 1 und λB = 2

11&eim @erfall 226 Ra →222 Rn + α et>a ent>eicht das Cadon J CadiumemanationVK der Probeund kann "esammelt >erden! $ie 9)@ von 226 Ra ist 1602 Nahre und 222 Rn -erf llt mit einer 9)@von 3, 8 Ta"en! $ie "esamte (ktivit t einer umschlossenen Cadium Probe ist λA N A + λB N B . $ie

einer belüfteten ist λA N A . $ies hat die +ntr tselun" der or" n"e nicht "erade erleichtert!


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KAPITEL 1. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN //

$araus er"ibt sich mit = a + 6b für den Cealteil der ;:sun" +c

xa,b (t) :=

ℜ

(+c (t)) = a cos(ωt) + bsin(ωt) .

@ur eranschaulichun" der ;:sun" xa,b dient die fol"ende Eberle"un"! Sei (0, 0) =(a, b)∈

R2. $ann e,istiert bekanntlich "enau eine @ahl : ∈[0, 2*) mit(a, b) = √ a2 + b2 (cos :, sin : ) .

$amit fol"t

xa,b (t) = ℜ(a −6b) · ' i)t = ℜ√ a2 + b2 (cos : −6sin : ) · ' i)t= √ a2 + b2ℜ' −i+ · ' i)t = √ a2 + b2 cos(ωt −: ) .

$ie ;:sun" xa,b "eht also aus einer ?osinussch>in"un" der (m'litude √ a2 + b2 undder 7reBuen- ω, durch erschiebun" des @eitar"uments t um : /ω hervor!@>ei reelle Inte"rationskonstantenX a und b stehen -ur (n'assun" der all"e<

meinen ;:sun"X xa,b an eine (nfan"sbedin"un" -ur erfü"un"! +s fol"t et>a dassdie 7unktion xa,b eine ma,imale ;:sun" von J1!16K -ur (nfan"sbedin"un" x(0) = aund ẋ(0) = ωb ist! $ass xa,b durch diese (nfan"sbedin"un" eindeuti" fest"ele"t ist>erden >ir et>as s' ter einem +indeuti"keitssat- für Systeme erster #rdnun" ent<nehmen! $a-u brauchen >ir -uvor eine 'r -ise et>as all"emeinere $e%nition einesSystems von $i erential"leichun"en erster #rdnun"!

De&nition 11 )*n'angswert"ro+le,- Sei V ein endlichdimensionaler ektor-raum &ber R. Sei - ⊂V offen und X : - →V. Sei D ⊂R ein allgemeines Intervall.ine "bbildung γ : D →V hei't eine ösung des autonomen ifferentialgleichungs-systems erster *rdnung γ̇ = X (γ ) , #alls γ (D) ⊂ - und #alls γ̇ (t) = X (γ (t)) #&r alle t ∈ D. !alls γ (t0) = v0 ∈ -, sagt man γ sei ösung +um "n#angswert (t0, v0) ∈ R ×-. !alls keine ösung β : D′ → V e istiert, #&r die D ⊂ D′ (echt enthalten) und γ (t) = β (t) #&r alle t∈D, dann hei't die ösung γ ma imal.1/

Sei γ : D → V eine ;:sun" des Systems γ̇ = X (γ ) und sei ' = ( ' 1,...' n ) eine&asis von V ! Seien γ i : D →R und X i : - ′ ⊂R1×n →R so dass für alle t∈D undfür alle v = n =1 v ' ∈-

γ (t) =n

i=1

γ i(t)' i und X (n

=1

v ' ) =n

i=1

X i(v1,...,v n )' i .

$ie reell>erti"en 7unktionen γ i und X i hei8en die om'onentenfunktionen von γ und X -ur &asis ' ! 7ür sie fol"t durch oe -ientenver"leich

γ̇ 1(t) = X 1 γ 1(t),...,γ n (t) ,!!!

γ̇ n (t) = X n γ 1(t),...,γ n (t) .

1/ In der Fuantentheorie ist die @eitent>icklun" eines @ustands ein JlinearesK System erster #rd<nun" auf einem kom'le,en ektorraum! $ieser 7all kann auf den reellen -urück"eführt >erden!


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$iese 7ormulierun" der Gleichun" γ̇ = X ◦γ rechtferti"t den Lamen System erster#rdnun"V!+ine (bbildun" γ : D →V hei8t eine urve in V ! Ihr &ild γ (D)⊂V hei8t die&ahn der urve! $ie 7eldlinie eines elektrischen oder ma"netischen 7eldes X durch

v ist also einfach die &ahn der ma,imalen ;:sun" von γ̇ = X (γ ) mit γ (0) = v!$er ektor γ̇ (t) hei8t Tan"entenvektor von γ in t! $er Tan"entenvektor γ̇ (t) isttan"ential an das &ild γ (D) im Punkt γ (t)! +ine urve γ : D →V ist somit ;:sun"von γ̇ = X ◦γ falls für alle t∈D die Tan"ente von γ in t mit dem ektor X (γ (t))übereinstimmt! Ist der Punkt γ (t) "e"eben dann le"t X die Tan"ente von γ in tfest! +ine ;:sun" γ schmie"t sich an das "e"ebene ektorfeld!

1#2#2 Fel%linien einer .unktla%ungSei |·| die euklidische Lorm auf R3 und ; = / *" 0 ∈ R> 0. $as elektrische 7eldeiner 'ositiven Punktladun" ist X : R3 0 → R3, v → ;v/ |v|3 . (nsat-* +ine;:sun" γ von γ̇ = X (γ ) mit γ (0) = # >ird von der 7orm γ (t) = α(t) # mit α(0) = 1sein! $a eine ;:sun"skurve den Lull'unkt der au8erhalb des $e%nitionsbereichesvon X lie"t nicht erreichen kann muss α > 0 "elten! $araus fol"t

α̇ (t) = ; | #|−3 ·α(t)−2.$iese Gleichun" ist vom Ty' der se'arierten ariablen y′ = g(x)h(y) mit kon<

stanter 7unktion g(x) = ; ′ := ;/ | #|3 für x∈R und h : R> 0 →R mit h(y) = 1 /y 2.$ie 7unktion h hat keine Lullstelle! +ine Stammfunktion von 1/h ist die 7unktionΦ(y) = y3/ 3. Somit fol"t für eine ;:sun" α, dass α > 0 und α(x)3/ 3 = ; ′·(x + /3)für ein reelles . $er ma,imale $e%nitionsbereich von α ist −c3 , ∞ . $ie (nfan"sbe −(3; ′)−1 = R> 0 · #, ein 9albstrahl in R3. $as istalso die 7eldlinie durch #. Sie be"inntX in der Sin"ularit t des elektrischen 7eldesund endetX im Unendlichen! Ihre +indeuti"keit fol"t aus einem Sat- des n chsten

(bschnitts!

1#2#3 * ./ 0 istenz5 un% 0in%eutigkeit %er ösung+s soll -un chst der &e"ri eines Systems erster #rnun" so verall"emeinert >erdendass auch -eitabh n"i"e ektorfelder erfasst >erden!

De&nition 12 Sei - ⊂R×V offen und sei X : - →V. ine ?urve γ : & →V de-ren $ra%h {(t, γ (t)) | t∈& } in - enthalten ist, hei't eine ösung des Systems erster *rdnung γ̇ = X (t, γ ) , #alls γ̇ (t) = X (t, γ (t)) #&r alle t ∈ &.!alls #&r eine ösung γ (t0) = v gilt, hei't γ ösung +um "n#angswert (t0, v) ∈

-. !alls γ nicht die in-schr7nkung einer weiteren ösung des Systems ist, hei't γ ma imal. ie imension von V wird auch als die imension des Systems erster *rdnung be+eichnet.


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KAPITEL 1. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN /.

De&nition 16 Sei V ein endlichdimensionaler ektorraum &ber = = R oder = =C und & ⊂R sei ein allgemeines Intervall. ie beiden "bbildungen A : & →L (V, V )und b : & →V seien stetig. L (V, V ) ist der = - ektrorraum der linearen "bbildungen von V nach V und das ;ild von v ∈V unter einer linearen "bbildung A(t)∈L (V, V )wird mit A(t)v be+eichnet.13 as System γ̇ (t) = A(t)γ (t) + b(t) hei't inhomogen linear #alls b = 0 und homogen linear #alls b = 0. ;eide !7lle werden als linear be+eichnet.

+in lineares System erfüllt die lokale ;i'schit-bedin"un"! $aher e,istiert durch Qeden (nfan"s>ert (t0, v)∈& ×V "enau eine ma,imale ;:sun"! Eber ihren $e%nierden dabei die 7lussabbildun" alseine $rehbe>e"un" von R2 um 0 mit konstanter )inkel"esch>indi"keit erkennen!

$ie &e>e"un"s"leichun" ẍ + ω2x = 0 ist mit γ 1 = x und γ 2 = ẋ/ω bekanntlichdem System erster #rdnun" γ̇ = −ωLγ auf dem DPhasenraumD V = R2×1 mit demDGesch>indi"keitsvektorfeldD −ωL : V →V mit

L : ab → −ba =

0 −11 0 · ab

Buivalent! ersuchen >ir nun ohne Lut-un" der kom'le,en Sruktur von R2 diema,imalen ;:sun"en des Systems γ̇ = ωL(γ ) -u %nden!

$er Gra'h von L kann dadurch veranschaulicht >erden dass an eini"en Stellenv seines $e%nitionsbereichs der ektor λL(v) ein"e-eichnet >ird! $ie onstanteλ > 0 >ird dabei so "e> hlt dass sich die ektoren nicht überschneiden! $ie so"e-eichneten ektoren sind tan"ential -ur &ahn einer ;:sun" von γ̇ = ωL ◦ γ. Imvorlie"enden &eis'iel "ilt L(v), v = L(v)t ·v = 0. $aher sind als &ahnen ma,imaler;:sun"en reise um 0 -u er>arten!

13$ie Gr:8e A(t)γ (t) ist somit das &ild des )ertes der urve γ -ur @eit t unter der linearen(bbildun" A(t)! $ie systematische aber unübliche Schreib>eise dafür ist A(t, γ (t)) >obei A als(bbildun" von I

×V nach V auf"efasst >ird!


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In (nalo"ie -ur reellen $i erential"leichun" y′ = λy ist -u vermuten dass fürv ∈V die urve γ - : R →V, t →' t)L v eine ;:sun" des Systems γ̇ = ωLγ ist!7ür das +,'onential ' % einer linearen (bbildun" A : V →V "ilt

' % : V →V, v →∞

n =0

1( !

An (v),

>obei die lineare (bbildun" An rekursiv durch A0 = 6d und An +1 (v) = A(An (v))de%niert ist! $ie (bbildun" ' % : V → V ist somit als JunendlicheK Summe linearer(bbildun"en auch linear! J onver"en-fra"en >erden vorl u%" i"noriert!K

Im vorlie"enden &eis'iel "ilt L2 =

−6d. $araus fol"t

' tL =∞

n =0

tn

( !Ln =

∞

n =0

t2n

(2( )!L2n +

∞

n =0

t2n +1

(2( + 1)!L2n +1

=∞

n =0

(−1)n t2n(2( )!

6d+∞

n =0

(−1)n t2n +1(2( + 1)!

L = cos ( t) ·6d+ sin ( t) ·L.

$aher ist ' )tL eine $rehun" von V um den )inkel ωt

' )tL = cos(ωt) −sin(ωt)sin(ωt) cos(ωt) . J1!1 K

$urch (bleiten nach t rechnet man ddt ')tL = ωL' tL nach! 7ol"lich "ilt auch für

γ - : R →V mit γ - (t) = ' )tL v, dass γ̇ - (t) = ωLγ - (t) und γ - (0) = v. $ie urve γ -ist also tats chlich eine ma,imale ;:sun" des homo"en linearen Systems γ̇ - = ωLγ -mit der (nfan"sbedin"un" γ - (0) = v.

Gibt es >eitere ma,imale ;:sun"enH Sei γ : & →V eine solche! $ann fol"tddt

' −)tL γ (t) = ( −ωL) ' −)tL γ (t) + ' −)tL γ̇ (t) = −ωL' −tL + ' −tL ωL γ (t) = 0 .Somit ist t

→ ' −)tL γ (t) konstant! $aher e,istiert ein v

∈ V , sodass ' −)tL γ (t) = v

für alle t ∈ &. Man rechnet an Gleichun" J1!1 K leicht nach dass für x ∈ R die


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KAPITEL 1. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN /

(bbildun" ' −xL invers -u ' xL ist! $aher "ilt γ (t) = ' )tL v für alle t ∈ & . $amit istklar dass {γ - : v ∈V } alle ma,imalen ;:sun"en des Systems γ̇ = ωLγ enth lt!Sei nun γ - : R →V, t →exp(ωtL) v und v = ( a, b)

t

. +s "ilt somit

γ - (t) = a cos(ωt) −bsin(ωt)a sin(ωt) + bcos(ωt) .

$as &ild von γ - ist der reis um 0 durch den Punkt v.@>ei s'e-ielle ;:sun"en γ - er"eben sich fürv = ' 1 = (1 , 0)

t b->! v = ' 2 = (0 , 1)t .+s sind dies die beiden S'alten der Matri, von ' )tL -ur Standardbasis! Nede andereder ;:sun"en γ - ist eine ;inearkombination der beiden ;:sun"en γ ' 1 und γ ' 2 . +s"ilt für v = a' 1 −b' 2 γ - = γ a' 1−b' 2 = aγ ' 1 −bγ ' 2 .

$er erste +intra" der ;:sun"skurve γ - ist die reelle 7unktion x(t) = a cos(ωt) +bsin(ωt) . $ies stimmt mit den schon auf anderem )e" "efundenen ma,imalen;:sun"en der Gleichun" J1!16K überein!

1#3#2 :o,ogen lineare yste,e7ür homo"en lineare Systeme "enü"t es "an- all"emein und nicht nur im obi"en&eis'iel des $rehvektorfeldes L, eine endliche (n-ahl ma,imaler ;:sun"en -u be<rechnen! (lle >eiteren ;:sun"en k:nnen n mlich daraus durch ;inearkombination"e>onnen >erden! Genaueres da-u im fol"enden Sat-!

atz 1; Sei γ̇ (t) = A(t)γ (t) ein homogen lineares System au# einem Intervall & und einem ( -dimensionalen = - 1 V. ann ist die Menge L%,0 aller ma imalen ösun-gen des Systems ein ( -dimensionaler = - 1. !&r γ 1, . . . γ k ∈L%,0 sind 7Cuivalent4

2. γ 1, . . . γ k sind linear unabh7ngig in L%,0,

3. #&r t0 ∈& sind γ 1(t0), . . . γ k(t0) linear unabh7ngig in V.De&nition 19 ine ;asis von L%,0 hei't ein !undamentalsystem des homogen li-nearen Systems γ̇ (t) = A(t)γ (t).

Ist (v1, . . . vn ) eine &asis von V und "ilt für γ 1, . . . γ n ∈L%,0γ 1(t0) = v1, . . . γ n (t0) = vn ,

dann "ilt für die urve γ = ni=1 iγ i die (nfan"sbedin"un" γ (t0) =ni=1

ivi .$ie ma,imale lokale 7lussabbildun" eines homo"en linearen Systems ist daher

für t0 ∈& über die ;:sun"en γ t0 ,- ∈L%,0 mit γ t0 ,- (t0) = v durchΦt 0 : & ×V →V, (t, v) →γ t 0 ,- (t)

auf "an- & × V de%niert! $ie (bbildun" Φt0 ist im ->eiten (r"ument =


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KAPITEL 1. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN /=

ist >e"en Sat- 1 so"ar für Qedes t∈& ein ektorraumisomor'hismus also invertierie schon beim &eis'ieldes $rehvektorfeldes die fol"ende +,'onentialformel!

atz 2< Sei γ̇ (t) = Aγ (t) ein autonomes homogen lineares System au# R und einem ( -dimensionalen = - 1 V mit A : V →V. ann gilt - t,t 0 = - t−t0 ,0 =: - t−t0 und

- t = ' t% : V

→V v

→γ 0,- (t) =

∞

n =0

tn

( !An v.

(eweis# Ist γ - Qene ma,imale ;:sun" des autonomen Systems γ̇ = Aγ, für dieγ - (0) = v. $ann ist auch ihr Translat γ (t) = γ - (t −t0) eine ;:sun"! 7ür sie "iltγ (t0) = v. $araus fol"t - t,t 0 v = γ (t) = γ - (t −t0) = - t−t 0 ,0v für alle v ∈V.Sei ·eine Lorm von V ! +ine Ceihe ∞n =0 vn konver"iert in V "enau dann >enndie @ahlenreihe ∞n =0 vn konver"iert! +s e,istiert ein C > 0 mit Av ≤ C vfür alle v ∈V. $araus fol"t

####

tn

( !An v####≤

tn

( !C n v .

$ie Ceihe ∞n=0 vn mit vn = tn

n! An v ist somit maQorisiert von der konver"enten

Ceihe∞

n =0

tn

( !C n v = v ' tC

und damit selbst konver"ent! )ir rechnen nun nach dass γ t0 ,- das System γ̇ = Aγ l:st!

ddt

γ 0,- (t) = ddt

∞

n=0

tn

( !An v =

∞

n =1

(t n−1( !

An v = A∞

n =1

tn−1(( −1)!

An−1v = A∞

n =0

tn

( !An v.

15$ie Schr:din"er"leichun" i ∂ t Ψt = H Ψt ist von diesem Ty' >enn"leich der ektorraum indem Ψt lie"t meist unendlichdimensional ist!


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Schlie8lich nimmt die Ceihe ∞n =0 tnn ! An v für t = 0 den )ert v an!9ier noch eini"e +i"enschaften des +,'onentials von linearen (bbildun"en! 7ürA : V →V linear und 1, t∈R "ilt ' !% ◦ ' t% = ' (! + t)%, ' % −

1

= ' −% und d't ' % =' p(%) > 0. Man beachte Qedoch dass für lineare (bbildun"en A, B : V → V imall"emeinen ' % ◦ ' B = ' %+ B .+ine e,'li-ite &erechnun" von ' t% ist nur in eini"en >eni"en 7 llen >ie beim$rehvektorfeld L direkt durch (ufsummieren der +,'onentialreihe m:"lich! $en<noch "ibt es >eitere l:sbare 7 lle! 7alls Av = av für ein a ∈ =, dann fol"t JmitCeihe LachrechnenOK ' t%v = ' ta v.

7alls A +i"envektoren v1,...,vn -u +i"en>erten a1,...,a n hat dann fol"t1. ausder ;inearit t von ' t%

' t% n

i=1

ivi =n

i=1

i ' ta i vi .

Ist (v1,...,vn ) eine &asis von V, dann ist damit die Jma,imaleK 7lussabbildun" vonγ̇ = Aγ ermittelt!

1#3#4 3% Drehvektor'el%er un% ihre Flussa++il%ungenSei V ein reeller ektroraum der $imension /! +ines der Skalar'rodukte von V seiaus"e> hlt und mit ·, · be-eichnet! on den beiden Men"en aller "leichsinni" orienird der $rehsinn alsne"ativ be-eichnet!

+ine 'ositive $rehun" $ n (α) um die orientierte (chse R ·( und um den )inkelα er-eu"t aus v′ ∈ (⊥ einen ektor $ n (α) v′ ∈ (⊥ derselben ; n"e >ie v′. $ie1.

$ies ist das ;:sun"sschema für die -eitabh n"i"e Schr:din"er"leichun" mit statischem 9amil


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@erle"un" von $ n (α) v′ nach den beiden 1d ortho"onalen Unterr umen R ·v′ undR ·(( ×v′) er"ibt somit J&ildOK$ n (α) v′ = cos (α) ·v′ + sin ( α) ·(( ×v′) .

$amit fol"t für einen belieben ektor v ∈V, dass$ n (α) v = (, v ( + cos (α) (v − (, v ( ) + sin ( α) (( ×(v − (, v ( ))

= (, v ( + cos (α) (v − (, v ( ) + sin ( α) (( ×v) .$ie (bleitun" der urve γ - : R α → $ n (α ) v an der Stelle α = 0 er"ibt denTan"entenvektor γ̇ - (0) = ( ×v. $amit ist die fol"ende $e%nition motiviert!

De&nition 21 Ist ∈ V, dann hei't die lineare "bbildung LΩ : V → V mit LΩ (v) = ×v rehvektor#eld +um ektor . s ist das $eschwindigkeitsvektor#eld einer (starren) rehung mit dem @inkelgeschwindigkeitsvektor . ie nichtnegative >ahl | | wird als die (skalare) @inkelgeschwindigkeit von LΩ und #&r = 0 wird R · als die (orientierte) rehachse von LΩ be+eichnet.

)inkel"esch>indi"keitsvektoren >erden als (,ialvektoren im Ge"ensat- -u D'o<larenD ektoren be-eichnet! )as ist mit dieser absurd anmutenden Cede "emeint>enn doch alle ektoren in V +lemente ein und desselben Caumes sindH Gibt es daet>a eine lasseneinteilun" von V Lein der Grund ist der fol"ende!

$ie S'ie"elun" * : V

→ V mit * (v) =

−v übertr "t sich auf die Tan"enten<

vektorfelder von V indem für X : V → V das "es'ie"elte ektorfeld *∗X : V → V durch *∗X : x → −X (−x) de%niert >ird! J$ie Ce"el motiviert sich über die Tanindi"keitsvektor eines Systems Jbe-ü"lich 0) "eht bei

S'ie"elun" des Systems Jam Punkt 0) in sich überD! +s ist also die Parametrisierun"der $rehvektorfelder auf V durch +lemente von V, die D'olarD hei8en sollte!

Man veranschauliche sich den Sachverhalt am &eis'iel eines rotierenden &alls!&ei S'ie"elun" an seinem Mittel'unkt "eht der &e>e"un"s-ustand des &alls in sichüber! +in >eiteres &eis'iel liefert die um die Sonne umlaufende +rde! &ei S'ie"elun"an der Sonne bleiben $reh< und Umlaufsinn der +rde erhalten >enn auch Lord


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)e"en L%×B (v) = ( A ×B) ×v = −v ×(A ×B) = −A v, B + B A, v "ilt so 0n v = 0. (n>endun" der +,'oe"un"en starrer :r<'er an! $abei >ird das Gebiet der "e>:hnlichen $i erential"leichun"ssysteme ->arkur- verlassen aber die Ebersichtlichkeit und Trans'aren- der basisfreien ektor<rechnun" kann illustriert >erden!

Sei X = {x1, . . . x n}⊂V die Men"e der #rte der ausdehnun"slosen &estandteileeines :r'ers -ur @eit t = 0. So ein :r'er >ird als starr be-eichnet >enn seine&estandteile C 2< urven γ i : & →V mit γ i (0) = xi durchlaufen für die eine "emein 0. +s ist dies die Men"e aller $rehun"en von V und es fol"t*et A = 1 für alle A∈@ (V ) .

16 Im fol"enden >ird der S'e-ialfall a = 0 fehlendenTranslationsanteils behandelt!

Tra"en die Massen'unkte γ i die Massen mi ∈R> 0, und rotieren sie -ur @eit t = 0mit der )inkel"esch>indi"keit ∈ V um 0 ∈ V, dann hat der DMassen'unktD -ur@eit t = 0 die Gesch>indi"keit vi = $̇ (0) xi = LΩxi mit LΩ = $̇ (0) . $as rotierendeMassen'unktsystem hat in diesem (u"enblick die kinetische +ner"ie

7 kin =n

i=1

m i2 |vi|

2 =n

i=1

m i2 LΩx i , LΩx i =

n

i=1

m i2 ×x i , ×xi .

16$er on%"urationsraum eines starren :r'ers ist somit V

× SO (V ) , eine di eren-ierbare

Manni"falti"keit die kein ektorraum ist! $aher ben:ti"t die Mechanik des starren :r'ers eineerall"emeinerun" der $i erential< und Inte"ralrechnun" auf nichlineare Manni"falti"keiten!


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Mit a ×b, v× = a, v b, −a, b, v für alle a, b, v, ∈V fol"t

7 kin =n

i=1

m i2 | |2 |γ i|2 − , x i 2 = $,

n

i=1

m i2 |xi|2 d0 −xi xi , · %.$ie lineare (bbildun" 1 : V →V mit

1 =n

i=1

m i |xi|2 d0 −xi xi , · J1!1=K

hei8t Tr "heitstensor der Massenverteilun" m : X →R> 0 mit xi →m i be-ü"lich derCotationen um 0. &ei Cotation von m mit der momentanen )inkel"esch>indi"keit hat das System also die kinetische +ner"ie 7 kin = , 1 / 2. (ls 7unktion von ist 7 kin also die -um Tr "heitstensor "eh:ri"e Buadratische 7orm!

$er Tr "heitstensor "1 der dreh"es'ie"elten Massenverteilun" $m : $X →R> 0 mit $x i → mi für ein $ ∈ (V ) h n"t o enbar mit 1 "em 8 "1 =$ 1 $∗ = $ 1 $ −1 -usammen! @u einer beliebi"en @eit t haben >e"en γ i (t) =$ (t) x i die Massen'unkte des :r'ers die Gesch>indi"keiten γ̇ i (t) = $̇ (t) xi =$̇ (t) $ (t)−1 γ i (t) = LΩ(t )γ i (t) mit LΩ(t) = $̇ (t) $ (t)−1 . $ie kinetische +ner"ie des

:r'ers hat daher -ur @eit t den )ert

7 kin (t) = &( t) , " (t )1 ( t)'= &$ (t)−1 ( t) , 1 $ (t)−1 ( t)'.$reht sich ein :r'er im ;auf der @eit mit konstanter )inkel"esch>indi"keit ,dann hat er -ur @eit t die Massenverteilun" mt = $ (t) m mit $ (t) = exp( tL Ω) .

$aher "ilt , 1 t = &' −tL Ω , 1 ' −tL Ω '= , 1 , dh die kinetische +ner"ieist -eitlich konstant!Ist eine Massenverteilun" m unter einer $rehs'ie"elun" $ ∈ (V ) invariant"ilt also $m = m, dann fol"t $ 1 $∗ = "1 = 1 , oder auch $ 1 = 1 $, der

Tr "heitstensor kommutiert mit der Symmetrie $ von m. Ist v ∈V ein +i"envektorvon 1 -um +i"en>ert , dann fol"t daraus 1 ($v ) = $ 1 v = ·($v ) , dh $bildet die +i"enr ume von 1 Qe>eils auf sich ab! Ist ein +i"enraum eindimensionaldann sind seine +lemente v = 0 auch +i"envektoren von $.$ie +i"en>erte von 1 hei8en 9au'ttr "heitsmomente und die +i"enr ume die9au'ttr "heitsachsen von m. $a 1 be-ü"lich ·, · symmetrisch ist e,istiert eine#rthonormalbasis von V aus +i"envektoren von 1 .

Im fol"enden ist m fest "e> hlt sodass die Lotation 1 "efahrlos -u verkür-t>erden kann! $ie Gramsche Matri, der &ilinearform : V ×V →R mit ( v, ) =v, -u einer beliebi"en #rthonormalbasis (' 1, ' 2, ' 3) von V hat

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Mathematische Methoden der Physik 1