PHYS3100 Grundkurs IIIb f˜ur Physiker · PHYS3100 Grundkurs IIIb f˜ur Physiker Othmar Marti Experimentelle Physik Universit˜at Ulm [email protected] Vorlesung nach

PHYS3100 Grundkurs IIIb fur Physiker

Othmar MartiExperimentelle Physik

Universitat [email protected]

Vorlesung nach Tipler, Gerthsen, Alonso-Finn, HallidaySkript: http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2004-2005

Ubungsblatter und Losungen:http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2004-2005/ueb/ue#

9. Dezember 2004

Universitat Ulm, Experimentelle Physik

http://wwwex.physik.uni-ulm.de/Lehre/gk3b-2004-2005 9. Dezember 2004

Bewegung von Ionen I

Wir betrachten die Bewegung von Ionen (< v >≈ 100m/s) in einerUmgebung von nicht ionisierten Molekulen

Bahnkurven ohne und mit elektrischem Feld.

Universitat Ulm, Experimentelle Physik 1


Bewegung von Ionen II

Der mittlere Impuls ist

M 〈~v〉 =1N

N∑

j=1

[M~v

(k)j + q ~Etj

]

〈~v〉 ist die mittlere Driftgeschwindigkeit, ~v(k)j die Geschwindigkeit nach dem

letzten Stoss.

Sind die Geschwindigkeiten ~v(k)j isotrop verteilt, mittelt sich der erste

Summand zu null.



Bewegung von Ionen III

Unter dieser Annahme ist

M 〈~v〉 = q ~E1N

∑tj = qE 〈t〉

wobei 〈t〉 die mittlere Zeit zwischen den Zusammenstossen ist. Also ist

〈~v〉 =q < t >

M~E

und

~i = nq2 < t >

M~E

Das Ohmsche Gesetz gilt, wenn τ und nk unabhangig von ~E sind,



Homogener Ohmscher Leiter

Bei einem homogenen Ohmschen Leiter mit einer stationaren Stromver-teilung ist ρ = 0 im Inneren. Dies folgt aus

1. Ohmsches Gesetz ~i (x, y, z) = σ ~E (x, y, z)

2. Kontinuitatsgleichung ~∇·~i = 0, also ~∇·(σ ~E

)= 0 und damit ~∇· ~E = 0

3. das Gaussche Gesetz sagt ~∇ · ~E = ρelε0

4. damit folgt die Behauptung, dass ρel = 0.



Homogener Ohmscher Leiter II

Aus der Eigenschaft

~E = −~∇ϕ = −~∇U

erhalten wir im Inneren eines Leiters

~∇ · ~E = ~∇ · ~∇ϕ = ∆ϕ = 0

Dies bedeutet, dass ϕ im Inneren eines homogenen Ohmschen Leitersein Potentialfeld ist.



Homogener Ohmscher Leiter III

Die Losung von∆ϕ = 0

ist durch die Randbedingungen

1. U = const an den Elektrodenflachen (Anschlusse an den Draht)

2. ~i⊥ = 0 sonst (z.B. Drahtseiten ohne Anschlusse)

gegeben.



Inhomogener Ohmscher Leiter

~∇ ·~i = ~∇ ·[σ (x, y, z) ~E (x, y, z)

]= 0

Wir ersetzen nun ~E und erhalten

~∇ ·[σ (x, y, z) ~∇U (x, y, z)

]= 0

Bei einem homogenen Leiter konnte σ (x, y, z) vor die Divergenz gezogenwerden.



Inhomogener Ohmscher Leiter II

Berechnung des Widerstandes bei einem inhomogenen Leiter



Inhomogener Ohmscher Leiter III

Im statischen Falle ist ~E(x, y, z) = 0 im

inneren eines Leiters. Bei einem stromdurch-

flossenen Leiter liefert die Batterie die not-

wendige Energie, um das elektrische Feld im

Inneren des Leiters aufrecht zu erhalten.



Elektromotorische Kraft

Ladungstrans-port in einemmit einem Wi-derstand Rkurzgeschlossenenvan de Graaff-Generator.



Elektromotorische Kraft II

Die elektromotorische Kraft einer Stromquel-

le ist die Quelle der Energie (Arbeit), die

einen konstanten Stromfluss in einem Strom-

kreis aufrecht erhalt. Neben der elektromo-

torischen Kraft konnen auch magnetische

Krafte und andere Quellen einen Stromfluss

in einem Leiter aufrecht erhalten.



RC-Stromkreis I

Aufladen und entladen eines Kondensators uber einen Wider-stand.



RC-Stromkreise VI

UR(t) = I(t) ·R= Q(t) ·R= Ue−t/(RC)

0

2

4

6

8

10

-0.002 0 0.002 0.004 0.006 0.008

U

t

Laden eines Kondensators

Einschalten

UC(x)UR(x)

Werte: U = 10V und R · C = 0.001s.



RC-Stromkreise VIa

0

2

4

6

8

10

-0.002 0 0.002 0.004 0.006 0.008

U

t

Laden eines Kondensators

Einschalten

UC(x)UR(x)



RC-Stromkreise IX

-10

-5

0

5

10

-0.002 0 0.002 0.004 0.006 0.008

U

t

Entladen eines Kondensators

Ausschalten

UC(x)UR(x)

Entladekurven am Kondensator Die verwen-deten Werte sind U = 10V und R·C = 0.001s.



RC-Stromkreise IXa

-10

-5

0

5

10

-0.002 0 0.002 0.004 0.006 0.008

U

t

Entladen eines Kondensators

Ausschalten

UC(x)UR(x)



RC-Stromkreise X: Leistungsbetrachtung

U · I· = R · I2 +d

dt

(Q2

2C

)(1)

oder

U · dQ

dt= R ·

(dQ

dt

)2

+1C·Q · dQ

dt(2)

und damit

U = R · dQ

dt+

1C·Q (3)



Magnetfeld und Lorentzkraft

Strom in zwei parallelen Leitern. Die Leiter haben die Lange` und sind im Abstand r. Sie sind von den Stromen I1 und I2

durchflossen.

FM = const · ` · I1 · I2

r(4)



Magentfeld und Lorentzkraft II

Die Kraft FM ist nicht eine elektrostati-

sche Kraft, da eine geerdete Metallplatte

die Kraft, anders als bei der Coulomb-Kraft,

nicht abschirmt.

Die Kraft FM wirkt auf beweg-te Ladungen!



Ladungsinvarianz bewegter Ladungen

Metallischer Gastank mit Ausstromoffnung.



Relativistische Rechnung

Berechnung der magnetischen Kraft. Links: im Bezugssystem S undrechts:im Bezugssystem S′, in dem q in Ruhe ist. Beachte: wir wissenzwar nicht, wie gross der Strom I gemessen im Bezugssystem S imBezugssystem S′ ist. Die Ladung ist jedoch invariant.



Relativistische Felder

Das ~E-Feld hangt vomBezugssystem ab, ist alsonicht relativistisch invari-ant!




Fz(r) =q · v · I2πε0 · c2 ·

1r




Die magnetische Kraft Fm im Labor-system S ist die relativistisch trans-formierte elektrostatische Kraft aufdie Ladung q in deren RuhesystemS ′. Die magnetische Kraft kann alsrelativistische Korrektur zur elektro-statischen Kraft verstanden werden.



Lorentz-Kraft

~FL = q · ~v × ~B (5)



Induktionskonstante

Die Induktionskonstante

µ0 =1

ε0c2(6)

ermoglicht es zu schreiben

B(r) =µ0

2π· Ir

(7)

µ0

4π= 10−7 N

A2(8)



Magnetisches Feld um einen Leiter



Magnetisches Feld um einen Leiter II

Die magnetische Induktion ~B bildet eine Rechtsschraube umden Strom I (Daumen in Stromrichtung, Finger zeigen in dieRichtung der magnetischen Induktion).

Die magnetische Induktion eines geraden, unendlich ausgedehn-ten Stromes bildet Feldlinien, die kreisformig in einer Ebenesenkrecht zum Strom liegen. Der Mittelpunkt der kreisformigenFeldlinien ist der Strom.



Einheit der magnetischen Induktion

[B] = Tesla = T =N · sC ·m =

N

Am=

V · sm2

(9)



Biot-Savart-Kraft

Berechnung der Kraft auf ein Leiterelement.



d~F = I · d~× ~B (10)



Beispiele Biot-Savart-Kraft

Das Drehmoment auf eine Leiterschlaufe in einem homogenen Magnet-feld kann durch summieren der Kraftanteile auf die vier Segmente berechnetwerden.

Drehmoment auf eine Leiterschleife im homogenen Magnetfeld



Amperesches Durchflutungsgesetz

Amperesches Durchflutungsge-setz∮

S

~B · d~s = µ0

∫

A(S)

∫~i · d~a (11)



Amperesches Durchflutungsgesetz II



Amperesches Durchflutungsgesetz: parallele Strome

Magnetfeld einer homogenen Stromverteilung in einer dunnenPlatte. Links: die Geometrie zur Berechnung, Mitte: das Magnet-feld eines homogenen Stromflusses und Rechts: das Magnetfeldzweier antiparallel von Strom durchflossener Platten.



Quellenfreiheit

Integrationsflache zur Analyse der Quellenfreiheit des Magnet-feldes



Quellenfreiheit II

Integration uber die Mantelflache.



Hall-Effekt


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