Problemorientierung als eine zentrale Idee - nicht nur für den Mathematikunterricht?

Problemorientierung als eine zentrale Idee - nicht nur fr den Mathematikunterricht?RingvorlesungFSU Jena WS 2000/2001Bernd Zimmermann

Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Problemorientierung - Vortrag Ringvorlesung FSU Jena WS 2000/2001

GliederungNeu(est)er AnlaMgliche KonsequenzenWas? Durch Beispiele: Was und wie? Wozu? Warum? Ausblick


Lsen eines Problems nach Plya


Neu(est)er Anla:


TIMSS - aktuell!!Henkel: TIMSS-Ergebnis ist "Schande fr unser Land (Die Welt; 24.11.2000)Strken der deutschen Schler liegen der Studie zufolge im Bearbeiten von standardisierten Routineaufgaben. Die Methodik in Mathe und den Naturwissenschaften sei zu stark auf Rezeption und Wiederholung angelegt, das eigenstndige Entdecken von Gesetzmigkeiten komme zu kurz. Zu selten wrden die Schler ber ihre Fhigkeiten hinaus gefordert. Die Unterrichtspraxis bleibe deutlich hinter den Vorgaben der Lehrplne zurck. Dringend verbessert werden msse das didaktische Konzept der Grundkurse, die hufig nur ein verkrztes Programm der Leistungskurse bten. Als Konsequenz drngen die Forscher darauf, die Lehrerausbildung zu verbessern. Die Stimmung an den Schulen ist hingegen besser als erwartet. Von Lustlosigkeit, zu hohem Leistungsdruck und Konkurrenzkampf kann der Studie zufolge keine Rede sein. Drei Viertel der Oberstufenschler seien gut motiviert.


TIMSS - aktuell!!Auch zehn Jahre nach der deutschen Einheit zeigen sich zudem weiter deutliche Unterschiede zwischen Ost- und Westdeutschland. In der ehemaligen DDR sind Mathematik und Naturwissenschaften noch immer fester verankert. (B. Schubert, Tagesspiegel 23.11.2000)


TIMSS/III - aktuell!!Thema verfehlt, Sechs! Schlechte Noten fr Deutschlands Schulpolitiker. Von Thomas Kerstan (Die ZEIT; 48/2000, 23.11.2000; im Internet unter http://www.zeit.de/2000/48/Hochschule/200048_2._leiter.html)Neues aus der Schule. Die Bildungsstudie TIMSS rumt mit Vorurteilen ber die Oberstufe auf. Von Thomas Kerstan (Die ZEIT; 48/2000, S. 92, 23.11.2000) Deutsche Schler im unteren Mittelfeld. Deutscher Abschlussbericht der internationalen mathematisch-naturwissenschaftlichen Vergleichsstudie TIMSS (Frankfurter Allgemeine; 273/47, 23.11.2000)


Vergleich der jeweils besten 10% im TIMSS-Mathematiktest am Ende der S II(aus: Baumert/Boos/Lehmann: TIMSS/III Bd. 2, Opladen 2000, S. 150


Fhigkeitsniveau

Deutsch

Frankreich

Slowenien

Schweden

Schweiz

elementares Rechnen

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

Anwendg. einfa. Konzepte/Regeln

25,7

0,0

0,0

12,0

11,0

Anwendung von Lerninhal. d. SII

63,0

69,8

30,7

65,6

60,4

selbststndiges Problemlsen

11,3

30,2

69,3

22,4

28,6

Insgesamt

100,0

100,0

100,0

100,0

100,0

TIMSS - aktuell!!Thema verfehlt, Sechs! Schlechte Noten fr Deutschlands Schulpolitiker. Von Thomas Kerstan (Die ZEIT; 48/2000, 23.11.2000):Jetzt kommt der zweite Schock. Empirisch gut gesichert, methodisch ber alle Zweifel erhaben, weisen die Berliner Wissenschaftler nach, woran es fehlt. Das Problem ist nicht, nirgends, die Schulform, es ist der Unterricht in allen Schulformen. .... Mathematik pauken sie (die Lehrer) ihren Schlern als ein starres Regelwerk ein, als Gebrauchsanweisung zur mechanischen und verstndnislosen Lsung von Klausuraufgaben. Dass man ber unterschiedliche Lsungswege diskutieren kann, dass Mathematik eine mchtige Sprache ist, in der sich die Welt beschreiben und verndern lsst - Deutschlands Abiturienten haben davon nie gehrt. hnlich sieht es in der Physik aus: Schler, die zur Elite des 21. Jahrhunderts gehren sollen, wachsen mit dem mechanistischen Weltbild des 19. Jahrhunderts auf. Kreative Spitzenleistungen wird man von ihnen kaum erwarten knnen. Da auch die Bildungspolitiker dieses Landes durch ihre eigene harte Schule gegangen sind, bedarf der Rat, sie mgen doch bitte, bitte diese wichtige neue Studie lesen, einer kleinen Ergnzung: lesen - nicht auswendig lernen. Und dann ber unterschiedliche Lsungswege diskutieren.


Konsequenz:mehr Problemorientierung!


Problemorientierung Was ist das und wie kann man das unterrichten?


Wissenstransfergem lteren Vorstellungen:


Hufige Wirkungsweise:


Mgliches Lernergebnis (am Beispiel der Bruchrechnung):Der deutsche Osthandel erlebte in diesem Jahr einen krftigen Schub. Nach Schtzung des Ost- und Mitteleuropa Vereins (OMV) wird der Osthandel erstmals ein Zehntel des gesamten deutschen Auenhandels ausmachen, nachdem er jahrelang nicht ber ein Fnftel hinauskam.(aus der Sddeutschen Zeitung)


Mgliche Alternativendichter bei 1 alsOrdne folgende Brche der Gre nach:


Beispiel 2: Das KuchenproblemFr die Gste einer Geburtstagspartie sollen 10 Stck Kuchen eingekauftwerden. Dafr stehen 21 Eurozur Verfgung. Man kann zweiverschiedene Kuchensorten kaufen; ein Stck Bienenstich kostet 2 Euro, ein Stck Torte 2,3 Euro.Es sollen mglichst viele Stcke Torte eingekauft werden. Wie viele sind das?


Aki (8te Klasse):Torte BienenstichSummeStck Kosten Stck Kosten 10 230023 9 20,7012 22,70 ................................ 4 9,206 12 21,20 3 6,907 14 20,90


Dieter (8te Klasse):x 2,30 + (10 x) 2 21x 0,30 1 x = 3


Clara (4. Klasse):Zunchst 10 Bienenstich kaufen. Dann habe ich noch einen Euro ber.Tausche Torte gegen Bienenstich, kostet 30 Cent mehr. Die passen in den einen Euro 3 mal rein, 4 mal liegt schon drber. Also: von den 10 Bienenstich 3 Stck gegen 3 Tortenstcke eintauschen und fertig!


Das Problem des kleinen Gauss:1 +2 +3 +4 +5 +6=?+6 1+2+3+4+5+6+....+99+100=???1+2+3+4+5+6+....+99+100=?1+2+3+4+5 10150


Das Problem des kleinen Gauss:


Sortierspiel


Sortierspiel1+21+2+3+4


FolgenfortsetzenBei einem immer wieder verwendeten Typ wird ein Folgenanfang - etwa 1 , 2 , 4 , 7 - vorgegeben und dann gefragt: Wie sieht das nchste Glied aus ? Erwartet wrde hier, da " +1 , +2 , +3 " gesehen, da mit "+4" fortgesetzt und dann 11 als nchstes Glied genannt wird.Innerhalb unseres "Hamburger Modells" kme es fr das Erkennen besonderer mathematischer Begabung oder bei der Frderung im Gegensatz dazu darauf an, mglichst viele Gesetzmigkeiten fr eine Fortsetzung zu finden. Z. B. knnte man oben 2" anstelle von "+2" setzen und mit "4" die Zahl 28 als nchstes Glied finden. Es gibt aber noch mathematisch viel "schnere" Fortsetzungsmglichkeiten: 1 = 2 und 2+1 Primzahl , 2 = 2^1 und 2^1+1 Primzahl, ... 7 = 2^3- 1 und 2^3+1 keine Primzahl - also: 16 das nchste Glied, da 17 Primzahl.Und der routinierte Mathematiker kann sogar beliebig fortsetzen, denn f(n) = 1 + (n-1).n / 2 + (n-1).(n-2).(n-3).(n-4). (k-11)/24 liefert 1 , 2 , 4 , 7 fr n = 1, 2, 3, 4 und k fr n = 5, also jede Zahl k als nchstes Glied. (K. Kiewetter)


Problemorientierung - Wozu?


Forderungen von Wolfgang Klafki (1985)

Schler sollten von den ersten Schuljahren an in gestuften Schwierigkeitsgraden (u. a.) lernenFragen zu stellen, ... diese schrittweise zu differenzieren und zu przisieren,...sich Wege, Verfahren auszudenken und sie auszuprobieren, ...Lsungen darzustellen und zu kommunizierenihren Lsungsproze reflektieren...


Fcherbergreifende Schlsselqualifikationen u. a.:Umgang mit offenen ProblemenUmgang mit komplexen SituationenVernetzendes Denken(vgl. auch Klafki, W.: Neue Studien...; PISA=Programme for International Student Assessment)


Menschenbild!


Problemorientierung - Warum?


Problemorientierung und Mathematik/Informatik


AnwendenBerechnenKonstruierenOrdnenBegrndenFindenSpielenBewertenProblemorientierung und Geschichte der Mathematik


Problemorientierung und PsychologieWertheimer/Duncker 1935Newell/Simon 1970Klix/Krause 1970Drner 1976Minsky 1986McClelland/Rumelhart 1986Roth 1996


Problemorientierung und Philosophie


Ich hre, und ich vergesse,ich sehe, und ich erinnere mich,ich tue, und ich verstehe!Konfuzius, (551- 479 v.Chr.)Aus der Geschichte der Philosophie


Wohin? Vergleich von Wertesystemen


Auf der Suche nach einer ostasiatischen Identitt in der Mathematikdidaktik(Leung, Hong Kong; China; ICME Tokyo 2000)Inhalt versus ProzessAuswendiglernen versus bedeutungsvolles LernenHart Arbeiten versus Spa beim LernenExtrinsische versus intrinsische MotivationLernen durch Nachahmung der Lehrerrolle versus individualisiertes LernenFachkompetenz versus pdagogische Kompetenz


JUKU-Paukschule in Japan


Zukunft!


Wird bei uns noch ins Netz gestellt.Stichworte: KonfuziusNeu(ST!)er Anla: TIMSS; Konsequenzen: u. a. mehr ProblemorientierungWas ist POMU? Konventionell: Trichter; Lenni; 4 Beispiele Wozu? Pdagogik; Klafki Aktuelle Probleme; LebenstchtigkeitWarum? Mathe/Informatik: Plya/Halmos Grundlage; Historie; sodann Psychologie (Drner: Problemlsen in komplexen Konstellationen), Minsky, Roth; Konstruktivismus (Forschungsdesiderata in der M D + I D: Heinrich und Fritzlar) Popper; Ausblick: andere Wertesysteme

Die TIMS-Studie hat in manchen Bildungs-, Wissenschafts- und Kultusministerien wie eine Bombe eingeschlagen. Gerade letzten Mittwoch wurden auf einer Pressekonferenz des Max-Planck-Institutes fr Bildungsforschung die neuesten (nationalen) Ergebnisse der TIMS-Studie ber die gymnasiale Oberstufe mitgeteilt:Im Vergleich zu Nachbarlndern erreichen nur sehr wenige der besten deutschen Schler das hchste Leistungsniveau (selbstndiges Problemlsen)Die Frankfurter Allgemeine berichtet nur ber die Pressekonferenz und gibt keine Bewertungen ab.Problem: es gibt eine Barriere, eine Lcke, kein Routineverfahren zur Lsung; knnen auch offen sein; im Gegensatz dazu: Aufgaben.Problemorientierung ist umfassender als Problemlsen: nicht nur Lsen, auch Finden und Verndern von Problemen gehrt dazu. Problemorientierung beinhaltet insbesondere auch eine eigene Unterrichtsmethodologie.Zunchst einmal zu altbekannten Lehrmethoden:Der Nrnberger Trichter war lange Zeit tatschlich ein gngiges Modell zur Wissensvermittlung, und nicht nur eine Karikatur von alten Lehrmethoden - wie in diesem Bild.Durch TIMSS wird besttigt, dass die meisten noch praktizierten Methoden doch leider keinen Anlass geben, diese Karikatur vollstndig vergessen zu machen. Der Effekt ist oft dann der, der in diesem Bild und dem danebenstehenden finnischen Sprichwort verdeutlicht werden soll:Wissen, das man wie Wasser in den Kopf eines Kindes einflen mchte, prallt von diesem in der Regel so ab wie das Wasser vom Rcken einer Gans.Ein mgliches Ergebnis derartiger Bemhungen wird etwa durch das folgende Beispiel verdeutlicht (vorlesen):

Sollte uns das nicht zu denken geben? Manch Trger der neueren deutschen Leid-Kultur aus der Bldelszene wrde vielleicht sagen: ich denke nein.

Das ist fr uns natrlich nicht akzeptabel! Wie knnen mgliche Alternativen aussehen?

Z. B. so:.......(Text vorlesen)Wie berlegen Sie? Wer hat mittels Hauptnennerbildung gearbeitet?Das ist dann wohl auch fr die Schler gut.Die machen das sowieso so, wenn sie nicht zuvor durch Schule verbildet wurdenProblem aus Japan von der TIMSS-Video-Studie, in der Unterricht aus Japan/USA/Deutschland verglichen wurde

Hierzu etliche Lsungen

zunchst eine originale:Aki nhert sich vorsichtig der Lsung, indem sie zunchst zu viel Stck Torte nimmt und dann schrittweise deren Zahl verringert und jeweils durch einen Bienenstich ersetzt, bis das Geld schlielich fr insgesamt 10 Stck reicht. Dieter (in der Wirklichkeit auch ein Japaner) ist ein Formelfreak und bedient das Lernziel Aufstellen und Lsen einer Ungleichung, allgemeiner: Mathematik ist, wenn mit mglichst viel Formeln operiert wird, am besten.

Clara ging in eine Jenenser Grundschule und hat diese Lsung aufgeschrieben. Sehr elegant!Vom japanischen Lehrer wird die zuvor vorgestellte algebraische Lsung als die beste bezeichnet, was mir ein bichen problematisch erscheint: sie ist zwar von grter Reichweite, aber nicht die eleganteste und einfachste fr diese Aufgabe.Da gefllt mir Claras Lsung am besten.Viele erinnern sich vielleicht noch an die Geschichte mit dem kleinen Gauss, dem berhmten Mathematiker aus Braunschweig. Dieser bekam als Grundschler von seinem Lehrer zusammen mit seinen Klassenkameraden die Aufgabe, die Zahlen von 1 bis 100 zusammenzuaddieren. Der Lehrer glaubte, seine Klasse damit fr eine Schulstunde beschftigt zu haben. Um so erstaunter war er, als Gauss schon nach 2 Minuten mit der Lsung zu ihm kam! (1+100; 2+99; 3+98; ....)Ich habe als Lehrer Gelegenheit in meinem Unterricht gehabt, diese Situation in gewisser Weise nachzuerleben. Einer meiner Schler lste das Problem wie folgt:Noch einfacher geht es so:

(n+1)*n/2 ist also die gesuchte Gesamtzahl.Bubble-Sort:Wie viele Zge bentige ich mindestens, um die Plttchenreihe in der angegebenen Weise zu ordnen?

schon in der Grundschule einsetzbar;fundamentale Idee der Informatik: Algorithmen; hier SortieralgorithmusAlso bei n Plttchen von jeder Farben(n-1)/2 Zge mindestensMoral: Anschauung und verschiedene Darstellungsweisen untersttzen. Nicht zu frh und zu viel Formalismus!Die Zielrichtung ist letztlich wesentlich. Wohin soll die Reise gehen? Natrlich soll dabei nicht alles Bewhrte vergessen und abgelegt werden. Ich komme am Ende noch einmal darauf zurck.Gerade im Bereich der Pdagogik gilt problemlsendes Denken seit geraumer Zeit als unverzichtbarer Bestandteil einer fcherbergreifenden Allgemeinbildung.Dieses belegen auch neuere Verffentlichungen

(s.o.)

Anhand ausgewhlter Probleme, die entweder aus dem Erfahrungs- und Interessenkreis der Schler stammen oder deren Bedeutsamkeit ihnen verstndlich gemacht werden kann, sollten junge Menschen von den ersten Schuljahren an in grndlichen, nicht durch Stofflle belasteten Lernprozessen elementare Grundformen der Auseinandersetzung mit Fragen und Problemen erlernen...Forschungsprojekte von Heinrich: Schaltstellen und Wendestellen im Problemlseproze Fritzlar: Problemorientierter Mathematikunterricht als Problemlsen in komplexen KonstellationenSensibilisierung dafr

Wesentliche Beitrge der Erziehungswissenschaft hierzu:Menschenbild von zentraler Bedeutung ganzheitliche Sicht der Erziehung, des Lehrens und Lernens, wesentliche von Klafki hervorgehobene Werte und Ziele sind z. B.

SelbstbestimmungsfhigkeitMitbestimmungsfhigkeitSolidarittsfhigkeitWie lt sich nun ein problemorientiertes Unterrichtskonzept wissenschaftlich begrnden?

Hier gibt es fr einen Fachdidaktiker wie blich mehrere Quellen:Die Pdagogik habe ich schon genannt. Weitere sind die folgenden:

An den Fachwissenschaften Mathematik und Informatik fhrt natrlich kein Weg vorbei. Zunchst mu man sich klarmachen, dass auch diese keineswegs monolithische Bereich sind. Fr unseren Ansatz ist das Verstndnis von Mathematik, wie es wesentlich mit von G. Plya mit konstituiert wurde, von entscheidender Bedeutung. Es gibt wohl niemanden auf der Welt, dessen Namen so mit mathematischem Problemlsen verbunden ist.Die Geschichte des Faches macht noch deutlicher, dass eigentlich der bestimmte Artikel so nicht haltbar ist: Der Gang in die Geschichte zeigt den ungeheuren Reichtum und die Vielfalt mathematischen Tuns. Schaut man nach, welche Ttigkeiten innerhalb der letzten 5000 Jahren immer wieder neue Ergebnisse hervorgebracht haben, so kann man z. B. zu folgenden Ttigkeiten kommen:........Da diese Ttigkeiten nachweislich besonders erfolgreich waren, ist es sicher auch angebracht, diese bei der Zielsetzung fr MU mit zu bercksichtigen.Auch von Psychologen wurden hervorragende Arbeiten bei der Erforschung menschlichen Problemlsens erbracht, die auch fr den MU wichtig sind.Zu nennen sind u. a. (siehe Folie) und vor allem:

Konstruktivismus!! (siehe Bild)

Fr den Philosophen Karl Popper war Leben nie etwas anderes als Problemlsen. Falsifikationismus: Nur durch Widerlegbarkeit kommt man zur Erkenntnis, zur Sicherheit; WahrheitEinstein:Die Stze der Mathematik sind sicher, insofern sie sich nicht auf die Wirklichkeit beziehen, und insofern sie sich auf die Wirklichkeit beziehen, sind sie unsicher. Auch frher wurde schon die Ttigkeit als ein wesentlicher Weg zum Verstndnis erkannt.Besuch eines internationalen Kongresses in Japan (ICME 2000) frderte Nachdenken ber Wertesysteme:

LernenLeistungMotivationAnstrengungGemeinschaftVerantwortungBeeindruckend und nachdenklich stimmend war ein Vortrag von Herrn Leung auf dem ICME 2000 in Tokyo: Ostasiatische Wertesysteme unterscheiden sich deutlich von westlichen, insbesondere im Erziehungsbereich. In Japan war weniger - wie z. B. in Deutschland - eine entweder oder Philosophie (z. B. entweder eher offener Unterricht oder eher geschlossener Paukunterricht) zu beobachten, sonder eher eine sowohl-als-auch Synthese westlicher und eigener Philosophien.Der Besuch einer JUKU-Paukschule in Tokyo anlsslich des ICME 2000 war ausserordentlich beeindruckend: habe noch nie erlebt, dass ein Lehrer im Dreiminutentakt Aufgaben (Vektorrechnung) vorturnte und dabei in den 45 Minuten die Schler keinen einzigen Ton sagten!

(Besonders leistungsfhige Schler der elften Klasse, die sich auf die Eingangsexamina der Eliteuniversitten vorbereiteten) Kinder bedeuten Zukunft!Auch ber diesen eigentlich banalen Satz noch einmal anders nachzudenken gaben mir meine letzten Erfahrungen in Japan:alle Ausstellung und Museen waren voll von Grundschulkindern mit ihren ElternWie schaut bei uns die Erstprgung der Kinder aus, wie entwickelt sich diese in der Zukunft?Mit diesen Fragen und einem Ausblick auch auf unsere nchste Vorlesung, in der es u. a. um Physikdidaktik geht, mchte ich schlieen.

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