Anhang

Lösungen der übungen zum Selbsttest

Abschnitt 1.2.2

1. Skalar, Vektor, Skalar, Skalar, Vektor, Skalar, Skalar; -+ -+ -+

4. - (KI + K2 + ... + K6)·

Abschnitt 1.2.6

2. rIl + 721";; [fll + rI21, rrl - Til;;;' Ird - [f21 ; 3. x = 2, y = - 1 ;

4. AB = (2, -6,3), r = 7, COS<PI = 2/7, COS<P2 = - 6/7, COS<P3 = 3/7, <PI = 73,4°, <P2 = 149°, <P3 = 64,6°;

5. 2el + 5e2 - 8e3, 21el - 2e2 - 15e3, ..;rrsr ~ 42,

C = 412 (24 el - 34 C2 - 5 e3) .

Abschnitt 1.3.5

1. 0, - 12, 9; 2.ß, 5, 0, 041', 4;

3. COS <PI = 4/5, d.h. <PI = 37°; cos <P2 = -3/5, d.h. <P2 = 126,8°; cos <P3 = 0, d.h.

<P3 = 90°; cos <Pa = - 1, d.h. <Pa = 1800; cos <Pb = 1/10, d.h. <Pb = 84,25°;

4. 16/y'3O';

5. Z. B. el, e2, C3 bzw .. ~cel + e2) . f2[l (eI -e2) + e31, _1_(el -e2 -e3)' y2 ' V 3 2 ~ YJ

Abschnitt 1.4.5

1. Ja, Drehung von 90° um die I-Achse;

v'2' v'2' 0

2 2

2. -v'2' v'2' 3. (..ji, 0, 0) und (Vf/2, V2'/2, 1) ;

2 2 0

0 0

5. 2.

326 Anhang

Abschnitt 1.5.6

1. t. ~ IrL 0; ~ Du. 0; '( -7 1 - 4)

2. aA + aB, A, 0, -3 12 -16 , ja, -28, 1, -1520; -3 -2 -11

( 22 -48

56) ~_4 56 -16) 4. AB=A, AC= 20 -20 50 , CA= -72 28 - 8 -24 -32 24 -44 31 2

n 11

-!) also AC '* CA, BA = A, A 2 = 14 , Bn=B, -14

ABC = AC, s.o., CBA = CA, s.o.;

5. AB = (0 0) BA = 0 . \1 0 ' , 6. bilde die adjungierte Gleichung von A -1 A = 1;

8. (D E)ij = Dik Ekj, (D E)im (D E)in = Dik Ekm Dil E'n = Bkl Ekm E'n = E,m E'n = 5mn .

Abschnitt 1.6.4

1. a2b2 + ab3 , 0; 2. -12;

6. _X3 + C2X2 -clX + co, wobei C2= Sp A = aii, Co = lAI und Cl = (8na33 - a32a23) + (au a33 - a3l a13) + (all an - a2l a12) ;

7. -1, -1, 3, 7.

Abschnitt 1.7.5

1. -3e2 +Se!, -"t3 , el +e2 +e3, el +e2 +2e3;

2.(-1,4,10), -4(1,-4,10), -2(flX~);

1 3. VTI'7: ~",." (-1,4, 10) ; 4. a2b2sin2a + a2b2 cos2a = a2b2 ;

v 117

S. v=wxr=(2,3,-4), v=wx(f-ä)=(I,I,-I).

Abschnitt 1.8.6

1.-7; 2.0;

4. 21· (b xc) ; 5 . .,-, -, -, (fl ,e2, e3)'

,

Lösunaen 327

Abschnitt 2.2.4

1 12+5x+6x4 6x2 tg(x3 -1) . x(2 + x + 3x4) , cos2 (x3 - 1) ,

2xe- X2

(I + e-X2 )2 '

1 1 "2 v'x(1-x)"

2 h(I+X) cos --(1- x)2 1 - x '

-a e-aXlog (cos x) + e-ax -sin x . In 10 cos x '

2.-12t3 +ge-l, (8t3 -4t+l, -5t4 +4t3 +6t2 -4t-l, -5t4 +1),

(1 - t + t 3)(-1 + 3e) + (t2 -1) 2t + (-1 + t + t2)(1 + 2t)

.J (1 - t + t 3 )2 + (t2 - 1)2 + (-1 + t + t2)2 '

d2 .... ax dJ = 2(-t,l-t,l-t);

4.1. (df x d331); S. v=(-wsinwt,wcoswt,O), 1xv=w(0,0,1);

dt dt

6 ~ -sint( ) 1 2t) ~-sint(. + 2) 2sint 2(1-t2») . e - cos t , -2-' --2 ' e sm t cos t , --3- , 2 2 ' cos t 1 + t cos t (1 + t )

flirt=O also: 1= (1,0,0), :- = (-1,1,0),

::; = (1,0,2), ril=l, /:I=yT, /:~I=~ Abschnitt 2.3.6

1. l(t) = (a sm wt, l-y'P - a2sin2wt; vt) ;

2. die Verbindungsgerade liegt fest, y = ho + (hl - hol x - Xo , die Parabel hat noch XI-XO

ein freies Bestimmungsstück, z.B. den Durchhang oder die Länge der Leitung, i'(x) x-x

= (x, y(x), 0) mit y(x) = ho + (h l - hol ~ + a(x - xo) (x - XI) ; XI Xo

3. :~ = 1+2t2, s(t)=so+t+; t 3 , K=2/(1+2t2 )2=1, t=(1,O,O),

n = (0, 1, 0), b = (0, 0, 1) flir t = 0 ;

328 Anhang

S. s =21{), 1

T=--4

cos ~ (2 + sin2 f) 1 + 5in2 (1{)/2)

n= 1 (. . !L) '. I . 2 iP' Slnl{), COSI{), -Slfi 2 ' vi +sm 2"

b = 1 (-COS3~ sin ~ (1 + cos2:!!....) _sin2 I{)) 2' 2 2' 2' ../1 +sin2~'

2

Abschnitt 3.1.4

1. Äquipotentialflächen sind eben; 2. Feld einer Ladung bzw. zweier (gleichnamiger oder entgegengesetzter) Ladungen; 3. Dipolfeld; S. Wirbelfeid r x e3 ; 6. fortlaufende ebene Wellen, Geschwindigkeit der Ebenen gleicher Phase v = (w/k)ko,

Felder senkrecht aufk bzw. V.

Abschnitt 3.2.4

1. a· b = -3x2y2z2, ä x b = (x2y3z - x2yz3, _ xy2z3 + x3y2z, X3yz2-xy3z2),

il(ä·b) a2(a· b) --- = -uxy2z2 = - 12x2yz, usw., ox ' ay ilz

a(h b) --'---'- = (3x2y2 z - X2Z3, -2Xyz3 + 2x3yz, X3Z2 - 3xy2Z2) usw.; ay

. _ _ . e-af ~ ~ ~ _ 2 e-af

2. all{) - Xl (1 + ar) 3 ' .' 2 + 2 + 2 - a , r ox ay az r

3 -A= - siny yzexyz '- A= -- - 0 y z eXYz a -+ (X ) a2 -+ (l x2 2 2 )

. ilx r " 'ax2 r r3 " ,

usw.;

Lösungen 329

Abschnitt 3.3.6

1. (3x2z3 + 4X3y4, 2yz2 + 4X4 y3, 2y2z + 3X3z2), (0,2, -2), (-17, -68, 3);

2. (sin(yz), XZ COI (yz), xy cos(yz»;

3. (f'(x), f'(y), f'(z», (f'(x) f(y) f(z), f(x) f'(y) f(z), f(x) f(y), f'(z»;

4. nichts, sinnlos; x2 L z2 s. <p(8 .1), <p(r), z.B. <p = x2 + y2 + az, z.B. <p = 2" + 2 + 2"; abc

6. Ir = grad <p /Igrad <pI ;

_ (...!... L. ~);\ x2 .r. ~ 7. Ir - 2' 2' 2 4 + 4 + 4 ' a a b a a b ( I 1 0\ Vt'V2"j'

(I, I, 0N +::: (-1,0: -:)/13 + :: " (0,0, I), (0, -1, 0);

+0. _ 3xyz _ n' _ n' __ n'. 8.a grad<p-. I 2 2 2" V'""~ y 3, Y'""

VX +y +z

9. <p(?) = _1_ 11-11

00

10. L n=O

1+-----+- +- ••• ( ä . 1 1"12 3 (ä .1)2 .)

a a2 2 a2 2 a4

al all 1 7,7 11. - -= --=-- --27=--, f(r)-. al r ai Ji2 2 $3 r3 r

Abschnitt 3.4.4

1. ä . 7/r ; 2. (3 + n) ~;

3. grad <p = cos(lC·1) k, grad \It = - 2 ae-ar" r, div grad <p = - k2sin(k .1) ,

div grad \It = (~r2 - 00) e-az3 ;

4. div ro =~, grad div to = - ~ ; S.3/r4 ; 6. f= a/r3 ; 7. 0.

330 Anhang

Abschnitt 3.5.5

1. - , div Ä = 2, rot Ä = 0, div B = 0, rot B = (0, 0, -2);

2. a = 4, nein; 3. I{) = xyz + 6x2y - 4y2z3 + const ;

4. div Ä = 0, rot Ä = (0, 0, -f' (y»;

5. B . rot Ä - Ä . rot B ; -to -+ ~ ~

6. die i·Komponente lautet: Aidiv B - Bidiv A + B • grad Ai - A • grad Bi'

Abschnitt 3.6.3

1. f· rot Ä; 3. Ä . VI{) = y4 z3 + 2X4yz4 - 3x3y4zS ,

yt ........ H .'V A = (-2xyz, x4y + 3x2yz2, _2xy3z4 + 2x3yz4 - 3x3y3Z2),

Ä x ~I{) = (3X4y2z3 + 2x3y3z6, _X2y4z6 - 3xy4z2, 2xy3z3 _ X3y2Z4),

~ (Ä • B) = (-4x3z2 - 3x2y3z3, 3y2z - 3X3y2z3, y3 - 2x4z _ 3X3y3Z2), .... -. 3 224 ........ 3424232 V • (A x b) = 2x yz - 6x y Z -4xy2, V· (I{) B) = y z - 2x yz + 3x y z ,

t:..1{) = 2xz3 + 6xy2z;

4. f'(~ro ; 6 1/1 I{)' -I{) 1/1' L . . 1/12 r'

7. grad divfO = - 27/r3 ;

8. div grad I{) = t:..1{) = 0, rot grad I{) = ° sowieso, Beispiel I{) = l/r ;

10.0;

11. div A = 0, rot A = grad I{) t:..1/1 - grad 1/1 t:..1{) + (grad 1/1 • V) grad I{) - (grad I{) • V) grad 1/1;

-+ .... -+ -+ -+--+ 12. Quellen: 0, Wirbel: B·'V A - A·V B.

Abschnitt 4.2.3

1. a (b - a) + t (b - a)2, also 1 b2 _1 a2 . 2 2'

b

2. f .J 1 + (f'(x»2 'dx ; a

_ (P(x) dx 3. I{)(r) - J i; -e xl ,e Einheitsvektor in Geradenrichtung, Koordinatennullpunkt

auf der Geraden.

Abschnitt 4.2.6

2. a) 4, b) 0, c) 1, d) 3/8,

e) 0, t) 2, g) e-l, h) 2, i) 1/4 ;

Abschnitt 4.3.3

li_x'. -1 4. w sin (.p + wt) ; 5. -"2 e , 6. b (a + b~)

7. (1 + x) In (1 + x) - x + const;

0: + w e - (am/2w)

9.------0:2 + W 2

1 • 2 • 10.2" [1-e-X -x e- x ];

am+1lna 12. -=---=:::...::...

m+ 1 m ganz, positiv;

13. Io =e-l, In=e-nIn_ 1 für n=I,2, ... ;

14. 1; 15. U~ T (1 _ sin2 T). 2R 2T

AbsChnitt 4.4.5

1. arctan (b + 3) - arctan (a + 3), !!... - arctan 3 2 '

7T,

Lösungen 331

fürm~2;

7T.

2'

332 Anhang

2. b -+ 00 sicher (gern. Kriterium) möglich, falls n > 1,

a -+ 0 sicher (gern. Kriterium) möglich, falls n < 1 ;

b2 -1 3. In -2-· -, sofern

a -1

b2 -1

a> 1, b> 1,

In --2' sofern l-a

o " a < 1 und b> 1, Hauptwertintegral,

existiert nicht als allgemeines uneigentliches Integral:

4. 0, Hauptwertintegral; S. In In b -In In a ;

6. rr/2 ; 7. rr/4, 0, -rr/4 ;

8. Existiert für a > 0 bzw. a> 1; 9.rr/(2e) bzw. 1/2.

Abschnitt 4.S.4

1. l/e;

2. Fo(a) = v: ~, Fn = (- :J n Fo(a) la=l = V; 21n (2n - 1) !! ,

wobei (2n - I)!! = 1 • 3 • 5 ••• (2n - 1) defmiert ist;

3. Fo(a, a) = ~ (1 - e- aa) , Fn(a) = (- a:)" Fo(a, CI) la=l ;

4. ; , 0, -f rur CI> 0, a = 0, a< 0, CI-Ableitung kann nicht unter das

Integral gezogen werden;

S. F 1 (y) =Jf(X, y) dx = 2-X 2' F2(x) = !f(x, y) dy = 2 Y 2' x +y x +y

!F1(y)dy=-arctan ~ ,jF2 (x)dx=arctan ~ ,eskommtaufdie Reihen­

f 0 I g e x -+ 00 bzw. 0 und y -+ 00 bzw. 0 an.

Abschnitt 4.6.S

1. 0; 2. 0 bzw. 1/(1 + :2); 3. 0 bzw. l/e;

Lösungen 333

1 Hauptwert: P x

6. Seii(-oo)=Oundx(-oo)=O,dannx(t)= {~ ~~~: und x(t)= {~ :~~.

Abschnitt 5.1.3

.. ( 1 ).... 1. (-cosa,arctana,2(v'Q sinhv'Q-coshv'Q))+ c; 2. (coshx)al- :ye-'YX 3z + c;

3. v(t) = - gt e3 + V(O), r(t) = -; gt2 + V(O) t + r(O);

4. r(t) =r(O) + v(O) t + (coswt, sinwt, 0), gleichmäßig geradlinige Bewegung, überlagert von Kreisbewegung um die 3-Achse;

t

5. s = J ylVl(O? + V2(0)2 + (V3(O) - gt')2' dt' , o

a)s=-gt2 b)s=-vt 1+ +-ln-+ 1 1[ ~~t v~ (gt 2' 2 0 Vo g Vo RJ)],

fiir kleine t also s "" vot, fiir große t ist s "" + gt2, c) wie b), d) nur asymp-

totisch wie (b), sonst etwas anders aber elementar.

Abschnitt 5.2.8

1. a) einfach, b) einfach, c) zweifach, d) zweifach, e) je nach Lage der Türen, f) einfach, g) 2N -fach, h) einfach;

3. -7/6; 4.303; 5. (8/11,4/5, 1), abhängig von der Kurvenform;

6. (- 27/30, -2/3,7/5), abhängig von der Kurvenform;

7. ja, 11' = y2 z3sin x - x4 z + const;

9. + 200 1T; 10. w1TR2, wir;

11. ja, zufallig ergeben aber beide Wege das Kurvenintegral 1.

Abschnitt 5.3.2.4

334 Anhang

( 3 3 .J'f 3 .../3') 3. (x, y, z) lauten - 4"' -4-' -2 - , (-1,0,0), (0,0, -1), (0; 1,68; I,OB);

rl + r2 4. Summe der Fahrstrahlen zu den Brennpunkten, ~ = 2f ,und Polarwinkel .p

als elliptische Koordinaten. x = a cos.p, y = b sin.p, wobei a = f ~ und b = f ~ die Halbachsen sind und 2f der Brennpunktabstand;

5 . .p = const;

6. Mantel innen (Ro,.p, z), Mantel außen (Ro + d,.p, z), wobei.p E [0, 211'), z E [0, h]; Boden (r,.p, 0), wobei r E [0, Ro + d], .p E [0, 211').

Abschnitt 5.3.3.3

1. 1/10; 2. 1I'R~; 3. 0 und 4RÖ/15.

Abschnitt 5.3.4.4

1. l;Jx2 + y2'; 2. a(x, y)/a CI/!,.p) = f\sinh2 1/! cos2.p + cosh21/! sin2 .p);

4. siehe Formel (5.65) mit (5.60).

Abschnitt 5.3.6

1. 411'R~; 2.3; 3.0,beidemal;

4. hR~ (h/6, h/6, Ro/8); 5. O.

Abschnitt 5.4.6

4.0;

6. a) flir einen Quader mit Koordinatenursprung in der Mitte und Koordinatenachsen senkrecht zu den Seitenflächen ist V zu beschreiben durch -(al2)';;;;x';;;; a/2, -(b/2)';;;; y';;;;b/2,-(c/2)';;;;z ';;;;c/2; seine Masse ist m = Po abc; man ermittelt qll =ma2/12, q22 = mb2 /12, q33 = mc2/ 12. qij = 0 flir i * j; b) flir eine Kugel vom Radius Rund Mittelpunkt im Koordinatenursprungist ql1 = qz2 = q33 = (411'/15)po RS und<lij = 0 sonst; qij hängt von der Wahl des Koordinatensystems ab: q;j = qij + md2 bei ach­senparalleler Verschiebung des Nullpunktes um d; mit m = (411'/3)po R3 folgt ql1 = qz2 = q33 = mR2 /5.

7. (128, -24,384), 768/5.

Abschnitt 6.4

1. 0; 2. 411'cR~, div A = 2c/r, Gesamtladung 411'cR~; 3. a) 0, b) 411'e.

Abschnitt 6.7

1. f dF, also a) 1TR2 n, b) abn, c) F; F

Lösungen 335

dabei ist ii jeweils der Einheitsvektor senkrecht zur Fläche mit Richtung gemäß Umlaufsinn.

2. f(grad <{J x grad 1/1) • dF; 3. alle relevanten Integrale sind O.

Abschnitt 7.1.4

I.r=rer ~(r,O,O); 2. ~ Br sin (l\. 8,[) ~ :::; (0, ~ B r sin (l\. B,f), 0) ;

3. in zylindrischen Koordinaten: (..j2, 0, 2), (0, p, z); in sphärischen Koordinaten: (y'6, 0, 0), (r cos1ß, -r sin ß cos ß, r sin1 ß);

4.(1,0,0);

5. aer/ar=O, a-e./aß=eß, a"lt!o<{J=sinße..,; aeß/ar=O, aeß/aß=-e., aeß/a<{J= cosße..,; ae..,/ar= 0, a-e..,/aß = 0, ae..,/a<{J = -(sin ßer + cos ßeß).

Abschnitt 7.2.4

1. (a cosß, - asinß, 0);

2. (3rlsin2ßcosßS~2<{J, r2(3cos2t'}-I)sinß sin22<{J, r2sinßcosßcos2<{J);

3. (- 2/r2, 0, 0), (0,0, I/r); 4. 2;.J p2 + z2';

5. das Feld in zylindrischen Polarkoordinaten ist (0, wp, 0), seine Rotation (0, 0, 2w).

Abschnitt 8.9

1. a) v(tIO, vo) = (vo + mg/ß)e-flt /m - mg/ß;

b) v(s) = -mg/ß(= v(t -+00));

2. a) Q(t) = Qoe-t/ RC ; b) t 1 / e = RC;

c) 1= Q = -(Qo/RC)e- t/RC und UR = -(Qo/C)e-t/ RC ;

d) 6(t) = (Uo/R) sin (wt)et/ RC ;

e) c(t) = c(O) + (Uo/R)J(t) mit

J(t) = w/[w1 + (RC)-l] + et/RC[(RC)-l sin (wt) - w cos (wt)]/[w2 + (RC)-2];

f) [Q + Uo w ] e- t / RC und o R w2 + (RC)-2

Uo 1 R w2 + (RC)-l [(RC)-l sin(wt) - w cos (wt)];

g) Qoo = UoC/..,fI + (WRC)2 und IX = arctan (wRC); h)-;

336 Anhang

3. a) Li' + Ri + C-II = U(t); b) Wo = l/VfE und r = RlL;

c) XI,2 =-R/2Lb/(R/2L)2 -(LC) 1;

( X2 AIX Xl A2X) 4. y(x)=Yo --e +--e ; X2 -Xl Xl -X2

s. a) (-a~/4 ~); b)X I =X2 =-a/2;, C)Y-(~/2); d) (cI(t»)e-at/2. e)CI(t)=t, ~(t)=1-ta/2;

~(t) ,

1) A ( 1 ) e-at /2 + A ( t )e-at/2. g) Al = I, A2 = a/2 bzw. I -a/2 2 1 - at/2 ' Al = 0, A2 = 1;

6. a) I .. = F./v'(wg - W~)2 + (26w.)2; b) a = arc tan [26wa/(w~ - w;»); c) I .. =F./w~, a=O bzw. I .. =F./w~-+O, a=7r-26/w.-+7r;

d) garnicht; e) w.,m.x = "w~ -262 oder = 0;

1) (I .. /F.)max = 1/26v'wg - 62; g) 6 = wo/V2; h) -;

7. a) Es gibt drei stationäre Lösungen p. = (x~·), x~·), x~·»: Po = (0, 0, 0), PI = (yb(ä=1), yb(ä=1), a -1), P2 = (- y'b(il=1), - yb(ä=1), a - 1), erstere für alle a,letztere beiden nur für a;> 1;

b) (-a a Lo = a -1

o 0 ~ ), LI 2 = (-; -"1 ± v'J)~a - 1»)

-b ' ±v'J)(a-l) ±v'b(a-l) -b

c) X~o) = -b, x~~l = -[(1 + a)/2] (1 ± v'1 - 4a(1 - a)/(1 + a)2), also ist Po für 0 EO;; a < 1 stabil, für 1 < a jedoch instabil (Sattel);

d) X 3 + (1 + b + a)X 2 + b(a + a)X + 2ba(a - 1) = 0;

e) Da alle Koeffizienten positiv, 1 < a;

1) acrlt = a(a + b + 3)/(a - b - 1); der Zahlenwert bei a = 10, b = 8/3 ist acrlt = 470/19 = 24, 736 842, ... ;

8. -.

Kleine Literaturauswahl 337

Kleine Uteratmauawahl

[1] B r 0 n s te i n, I. N.; Sem e n dj aj e w,K. A.: Taschenbuch der Mathematik; 23. Aufl. Zürich-Frankfurt/M. 1987

[2] B 0 u r n e, D. E.; K end all, P. C.: Vektoranalysis. 2. Aufl. Stuttprt 1988 [3] Er w e ,F.: Differential- und Integralrechnung, I, 11. Mannheim 1962/1973. BI­

Hochschultaschenbücher Bd. 30/30a und 31/31a [4] G rau e r t, H.; Fis c her, W.; Li e b, J.: Differential- und Integralrechnung,

1,11, III. Berlin-Heidelberg-New York 1976/1978. Heidelberger Taschenbücher, Bd.26,36,43

[5] Gr ö b n er, W.; Le sk y,P.: Mathematische Methoden derPhysik,I, 11. Mann­heim 1964, BI-Hochschultaschenbücher Bd 89, 90/90a

[6] J 0 0 s, G.; R ich t e r, E.: Höhere Mathematik flir den Praktiker. 12. Aufl. Leipzig 1978

[7] S pie gel, Murray R.: Vector Analysis. New York i959

Numerische Methoden: [1] T ö r n i g, W.; S pell u c c i, P.: Numerische Mathematik flir Ingenieure und

Physiker, I, 11. 2. Aufl. Berlin etc. 1990 [2] S t 0 er, J.; B u 1 i r s c h, R.: Einflihrung in die Numerische Mathematik, I, 11.

Berlin etc. 1980 [3] Pr e s s, W. H.;F 1a n n er y, B.P.; T e u k 0 I s k y, S. A.; V e t t e r1 i n g, W. T.:

Numerical Recipes. Cambridge 1988

Differentialgleichungen:

[1] C 0 11 atz, L.: Differentialgleichungen. 7. Aufl., Stuttgart 1989 [2] Heu s er, H.: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Stuttgart 1989 [3] Kam k e, E.: Differentialgleichungen, Lösungsmethoden und Lösungen I, 11,

10. bzw. 6. Aufl., Stuttgart 1983/1979 [4] Pe y e r i m hof f, A.: Gewöhnliche Differentialgleichungen, I, II.Wiesbaden 1970 [5] Ar n 0 1 d, V. I.: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Berlin 1980

[6] Ar n 0 1 d, V.I.: Geometrical Methods in the Theory of Ordinary Differential Equations. Berlin 1983

[7] B li c k e n s d ö r fe r, A.; E s c h man n, W. G.; Neu n zer t, H.; Sc hel k e s, K.: Analysis 2. Berlin etc. 1982, Kapitel 24

Sachverzeichnis

Ableitung eines Parameterintegrals 156 - nach der oberen Grenze 139, 157 - vektorwertiger Funktionen 85 Adjunktenvektor 66 Algorithmen 287 aperiodischer Grenzfall 275f Äquipotentiallinien 96 äußeres Produkt, Definition 68f - -, Distributivität 70f - -, Eigenschaften 69 - -, Komponentendarstellung 71 Assoziativgesetz 22 Attraktor 280f autokatalytische Reaktion 269

begleitendes Dreibein 91 Berechnung von Kurvenintegralen

172f bestimmtes Integral 134 Bezugssystem 15 Binormale 91 Biot-Savartsches Gesetz 308 Bogenlänge 89

Chaos 262, 281 ff, 285 ff -, deterministisches 287

Darstellbarkeit eines Feldes als Gradientenfeld 177f, 183

Darstellung der o-Funktion 164 Darstellungssatz der Elastodynamik

324 - - Elektrodynamik 324 - - Hydrodynamik 323 D-dimensionaler Gauß scher Satz 234f - Stokesscher Satz 24lff, 247 defekte Matrizen 278, 292 Definitionsbereich von Funktionen 82 DeI-Operator V 125 o-Funktion 161, 163 -, Eigenschaften 165ff

Determinante 42, 59 -, Definition nach Weierstraß 62 -, - von Leibniz 61 Determinanteneigenschaften 62 Determinantenmultiplikation 64 Dichte - Feld 317f Differential, totales 106 Differentialgleichungen 259 ff - entkoppeln 311 ff -, gewöhnliche 259ff -, homogene 262, 271, 273, 276 -, inhomogene 262, 271, 278 -, lineare 271 ff -, nichtlineare 262f - n. Ordnung 259, 271, 273f, 276 -, partielle 259 -, separable 269 -, skalare 31lff, 320ff Differentialoperatoren in

krummlinig-orthogonalen Koordinaten 254

- - Kugelkoordinaten 257 - - Zylinderkoordinaten 256f Differenzengleichungen 293 Diffusionsgleichung 314, 323 Dimension 39 Dirichlet-Problem, Greensehe

Funktion 302 Distributivgesetz 25 Divergenz als Quellstärke 117 ff -, Darstellung in krummlinigen

Koordinaten 255ff - eines Vektorfeldes 115 -,Integraldarstellung 226, 228 Doppelintegral 133, 198f -, uneigentliches 200 Drehbewegung, mathematische

Darstellung 74 Drehmatrix 4lf -, definierende Eigenschaften 44 -, Determinante einer 43

Dreibein 27 -, begleitendes 92 Dreifachintegral 133,216 Druck-Feld 317f dualer Flächentensor 249

Eichung 302, 303, 304, 307 - eines Feldes 188,312 Eigenvektoren 277 Eigenwerte einer Differentialgleichung

274f, 276ff, 278 einfach zusammenhängend 182 Einheitsmatrix 50 Elastodynamik 316f elektrische Feldstärke 311 Elektrodynamik 311 ff, 324 Elektrostatik 312 elliptische Integrale 148 Entkopplung partieller Differential-

gleichungen 311 ff Entwicklung einer Funktion 112 Entwicklungssatz für 3-fache Vektor-

produkte 78f erf(x) 148 Existenzsatz, Peanoscher 287 f -, Picard-Lindelöfscher 287,289 Exponentialansatz 274, 276 ExponentiaIintegral 159

Fehlerfunktion 148 Feld 94ff -, Defmition 95 -, graphische Darstellung 96, 98 -, stationäres 95 -, statisches 95 Feldstärke, elektrische 311 -, magnetische 311 Fläche, analytische Beschreibung 193 -, reguläre 232 Flächenelemente, analytische

Darstellung 197 Flächenintegral133, 19lf Flächenintegrale, Ber-echnung 206

Sachverzeichnis 339

Flächentensor 248f -, dualer 249 Fluß 192 - durch eine Fläche 119 Flüssigkeitsgleichungen 317ff Frenetsche Formeln 92 Funktion, vektorwertig 82 Funktionaldeterminante 202, 219

Gammafunktion 148 Gaußseher Satz 229, 231, 233 - -, allgemeine Form 233

in der Ebene 234 - - - D=4249 - - - Komponenten 233 - -, partielle Integration 235f - -, Voraussetzungen 232 Gebiet, einfaches zusammenhängendes

182 -, reguläres 232 geschlossenes Kurvenintegral 171 - Oberflächenintegral192f Geschwindigkeits-Feld 317f glatt 89 glatte Fläche 191 - Oberflächen 217 gleichmäßige Konvergenz 160 Gradient, Bedeutung 109 -, Darstellung in krummlinigen

Koordinaten 254, 256f -, Defmition 108 - eines SkaIarfeldes 106, 108 -,Integraldarstellung 228 -, Rechenregeln 109 Greensehe Funktion 302 - - im R3 304 - -, skalar 311, 323 - -, Symmetrie 304 - -, vektoriell 311, 323 Greenseher Satz 237 Grenzzyklus 283 Gruppe, Abelsche 24 -, nicht-kommutative 58 Gruppenaxiome 23f

340 Sachverzeichnis

Hauptnormale 89 Hauptsatz der Differential- und

Integralrechnung 140 - - Vektoranalysis 275 Hauptwertintegrall51, 153 Höhenlinien 96 Hyperflächenelemente in D = 4 248

inkompressibel 318, 319 inneres Produkt 33ff - -, Axiome 37 :- -, Komponentendarstellung 36 mtegrabel, integrierbar 135 Integrabilitätsbedingung 183 f Integral 128ff -, iteriertes 199f, 216 -, Methoden zur Berechnung 143 - über vektorwertige Funktionen 168 -, unbestimmtes 139f -, uneigentliches 149f, 153 Integraldarstellung von div 226, 228 - - V 228f, 240 - - rot 238f Integraleigenschaften 136 Integralgleichung 288 Integralsätze 226, 231, 234, 237, 243,

248 Integraltabellen 142 Integrand 135 -, singulärer 152 Integration, numerische 148 -, partielle 145 - von Parameterintegralen 158 Integrationsvariable 135 Intervalleinteilung = Zerlegung 134 Isoklinen 279 isomorph 19 Iterationsmethoden 287ff, 290 iteriertes Integral 199 f, 216

Kennfrequenz 273, 274f Kettenregel 105 - der Vektordifferentiation 87

kleine Größen, Entwicklung 112 K-Modul25 Kommutativgesetz 22 Komponentendarstellung 16 - des Gaußschen Satzes 233 - - Stokesschen Satzes 246 kompressible Strömungen 318f Konvergenz, gleichmäßige 160 Koordinatentransformation 17,40,56 Körper, elastische 316f Kriterium für DarsteIlbarkeit als

Gradientenfeld 183 Kroneckersymbol 36 krummlinige Koordinaten 203, 250ff krummlinig-orthogonale Koordinaten

251 Krümmung 89 - ebener Kurven 92 Krümmungsradius 89 Kugelkoordinaten 196,253,257 Kugeloberfläche, Parameterdarstellung

194 Kurvenintegral13I, 171 -, geschlosenes 171 - über Gradientenfeld 175 - - skalares Feld 185 Kurvenintegral-Darstellung von V 240

Laplace-Gleichung 299 Laplaceoperator 116 - in krummlinigen Koordinaten 255 Leibnizsche Regel 157 lineare Entwicklung 112 linearer Raum 25 Linienelement in krummlinigen

Koordinaten 250f Linienelemente 279 Linienintegral 171 Linksinverses 54 Lipschitz-Stetigkeit 270, 290 lokale Koordinatensysteme 250 longitudinal (Vektorfeld-Komponente)

320f Lorenzgleichungen 283

Lösung, allgemeine 264 -, spezielle 271

magnetische Feldstärke 311 Magnetostatik 312 Majorisierung 152 Matrix, antisymmetrische 20 -, Definition 49, 56 -, inverse 45, 53f -, orthogonale 55 -, reduzible 68 -, singuläre 54 -, symmetrische 21 -, transponierte 50 Matrizen, Rechenregeln 49 Matrizenmultiplikation 51 Maxwellsche Gleichungen 311 ff, 314.

324 Metrik 251, 253 metrische Koeffizienten 253 rn-fach zusammenhängend 192 Minorisierung 152 Mittelwertsatz 138 - der Differentialrechnung 111 - - Integralrechnung 138 Möbiussches Band 192 Modul 24 Modulaxiome 26

n! als Integral 146 V (Nabla) 125 Nabla als Limes von Flächenintegralen

226,228f - - - - Kurvenintegralen 238 - in krummlinigen Koordinaten 254 - - Kugelkoordinaten 257 - - Zylinderkoordinaten 256 Nablaoperator V 125,226 Navier-Stokes-Gleichungen 318 Neumann-Problem, Greensche

Funktion 302 Newtonsches Gesetz 261 Normalenvektor 89 numerische Integration 148

Sachverzeichnis 341

obere Grenze 135 Oberfläche, reguläre 232 Oberflächenintegral133 Ohmsche Ströme 314 orthogonal 35 Orthogonalteil eines Vektors 38 Orthonormalität der Spalten 45 orthonormiert 36 Ortsvektor 19,31

Parabelformel149 Parallelteil eines Vektors 38 Parameterabhängigkeit der oberen

Grenze 158 Parameterdarstellung 83, 85 - der Kugeloberfläche 194 - eines Zylinders 194 - von Flächen 193,201 Parameterintegral156 -, uneigentliches 160 Parametertransformation 201, 218 partielle Ableitung l00ff - -, mehrfach 103 - -, Rechenregeln 102 - -, Vertauschbarkeit 104 - Differentialgleichungen,

Entkopplung 276ff - Integration 145 - - bei Volumenintegralen 236 - - mittels Gaußschem Satz 236 Permutation 60f Phasenraum 279ff Poisson-Gleichung 299,313 Polarkoordinaten 84 -, ebene 195 -, sphärische 196, 219ff Polygonzugverfahren 287f Populationswachstum 260, 266 Potential 178 - einer Quellenverteilung 303 Potential-Vektorträger 320 Produkt, äußeres 68 Produktregeln der Vektordifferentation

87

342 Sachverzeichnis

Projektion eines Vektors auf eine Richtung 29f, 37

Punktquelle 296, 298f

Quellenfeld 99, 115, 117f, 321 quellenfreie Felder 123 - -, Darstellbarkeit als rot-Feld 188 Quellstärke eines Vektorfeldes 117 Quotientenregel 87

Randwertprobleme 294ff, 298ff, 301ff 313

Raumkurve 83, 88, 93 Raumwinkelelement 221 Rayleigh-Benard-Wärmeleitungs-

experiment 283ff Rechteckformel 149 Rechtsinverses 54 rechtsinverses System 15 reguläre Fläche 232 - Oberfläche 232 reguläres Gebiet 232 Reibungskraft 261ff, 266ff Reihenentwicklung 112 reziproke Vektoren 81 Richtungsableitung 106, 108 Richtungscosinus 29, 32 Richtungsfeld 279 Riemann-Integral134 Riemannsumme 135 Ring 53 Rotation, Darstellung in krummlinigen

Koordinaten 256ff -, dreifache 314ff, 319f - eines Vektorfeldes, Definition 120,

122 -,Integraldarstellung 229, 239

Sarrussche Regel 61 Schallgeschwindigkeit 318 Schwarzsehe Ungleichung 36, 38 Selbstähnlichkeit 267 separabel269f

Serienschwingkreis, elektrischer 261 f, 292

Simpsonsche Regel 149 singulärer Integrand 152 Skalar, vorläufige Definition 13 skalare Differentialgleichungen 311 ff skalares Feld 95 Skalarprodukt 34 -, Komponentendarstellung 36 solenoidales Feld 119 Spatprodukt 77 Spur 58 Stammfunktion 141 Stationäre Lösungen (Punkte) 280ff stationäres Feld 95 statisches Feld 95 Stetigkeit eines Feldes 104 - in mehreren Variablen 104 - vektorwertiger Funktionen 83 Stokessehe Gleichungen für

Strömungen 318 Stokesscher Satz 241f - -, allgemeine Form 245 - - in D Dimensionen 246 - - - D =4249 Stromdichte 117 Strömungslinien 99 Substitutionsmethode 143 Subtangentenproblem 265, 266 Summenkonvention 36

Tangenten-Einheitsvektor 89 Taylorentwicklung 111 - für Felder 112 Telegraphengleichung 313, 323 Temperaturfeld 281 Tensor 21,56 - k. Stufe 21 -, total antisymmetrischer 72 Tensor-Transformation 47 Torsion einer Raumkurve 91 totale Ableitung 106 Transformation eines Tensors 47 - - Vektors 44, 46

Transformation von Flächenelementen 203f

- - Volumenelementen 220 Transposition 60f transversal (Vektorfeld-Komponente)

320f Trapezformel 149 Trennung der Variablen 264ff

Überlagerungsprinzip 268, 274 unbestimmtes Integral 139f uneigentliche Integrale 149f, 153 - Parameterintegrale 160 unitärer Raum 39 Unterdeterminante 54, 59 untere Grenze 135

Variablentransformation 20lf, 218f Variation der Konstanten 272, 278 Vektor, Addition 22,30 -, Betrag 26 -, Definition 18 -, Einheits- 26, 31 -, Komponentendarstellung 16, 27f, 32 -, Multiplikation mit Zahlen 25, 31 -, n-Tupell6 -, Subtraktion von 23, 30 -, Transformation 44, 46 -, vorläufige Definition 14 Vektordifferentiale 87 Vektordifferentialgleichungen 311 ff -, inhomogene 312, 322 Vektordifferentiation 87 Vektorfeld 97f vektorielles Flächenintegral193 - Kurvenintegral 186 Vektorintegral 129 Vektorintegration 168 Vektorpotential188,314ff - einer Wirbelverteilung 307, 309 Vektorpotential-Amplitude 320

Sachverzeichnis 343

Vektorpotentialgleichungen, entkoppelt 319

Vektorprodukt 69 Vektorprodukte, mehrfache 77, 79 Vektorraum 19 -, algebraische Definition 39 Vektorträger(-feld) 320ff vektorwertige Funktion 82 Verschiebungsfeld, elastisches 316 Vierervektoren 248 Volumenelement in sphärischen

Polarkoordinaten 220 - - Zylinderkoordinaten 220 Volumenintegral 132,215f -, singuläres 224 -, vektorielles 222

Wegunabhängigkeit von Kurven-integralen 175,244

Wellen, elastische 316 -, elektromagnetische 315 Wellengleichung 314, 323 Wertebereich von Funktionen 82 Windungsradius 91 Winkelgeschwindigkeit, Vektor 76 Wirbelfeld 99, 307ff, 321 - eines Vektorfeldes 120, 122 wirbelfreie Felder 122 Wirbelfreiheit eines Feldes 178 Wirbelstärke 121

Z, Zerlegung = Intervalleinteilung 134 Zerfallsgesetz, radioaktives 260, 266 Zerlegung in Quellenfeld und Wirbel-

feld 310f -, Eindeutigkeit 294, 297 Zirkulation 171, 178 zyklische Vertauschung 72 Zylinderkoordinaten 195,220,253,256 Zylinderoberfläche, Parameter-

darstellung 194

Fischer/Kaul Mathematik für Physiker

Ziel des Werkes ist es, dem Physikstudenten in einer ansprechenden Darstellung und dennoch ausreichend präzise die vielfälti­gen mathematischen Methoden zugänglich zu machen, wie sie in der modernen Physik benötigt werden.

Aus dem Inhalt: Grundlagen: Reelle Zahlen - Elementare Funktionen - Wahrscheinlichkeit - Ebene Geometrie und Vektorrechnung - Kom­plexe Zahlen - Vektorrechnung im IRn

Analysis einer Veränderlichen: Unendliche Reihen - Grenzwerte und Stetigkeit -Taylor- und Potenzreihen - Schwingungs­gleichung - Integralkalkül - Vertauschung von Grenzprozessen - Uneigentliche Integrale - Elementar integrierbare Differentialgleichungen

Lineare Algebra: Vektorräume - Lineare Abbildungen - Matrizen und Koordinaten­transformationen - Lineare Gleichungen -Determinanten - Eigenwerte und Diagonalisierbarkeit - Skalarprodukte und Orthonormalsysteme - Symmetrische Operatoren und quadratische Formen

Analysis mehrerer Variabler: Topologische Grundbegriffe in normierten Räumen -Differentialrechnung im IRn - Implizite Funktionen und Umkehrsatz - Boltzmann­Statistik - Integration über kompakte Quader und offene Mengen

Vektoranalysis: Kurvenintegrale und Potentiale - Oberflächenintegrale -Integralsätze von Stokes, Gauß und Green - Anwendungen auf die Hydrodynamik

Band 1: Grundkurs

Von Dr. Helmut Fischer, Universität Tübingen, und Prof. Dr. Helmut Kaul, Universität Tübingen

2., überarbeitete Auflage. 1990. 584 Seiten mit zahlreichen Bildem, Aufgaben und Beispielen. 13,7 x 20,5 cm. Kart. DM 48,-ISBN 3-519-12079-8

(Teubner Studienbücher)

Preisänderungen vorbehalten.

Einführung in die Funktionentheorie: Die Hauptsätze - Isolierte Singularitäten und Laurent­reihen - Residuensatz mit Anwendungen.

B. G. Teubner Stuttgart