SBeinlich amp RGarreis Inhaltsverzeichnis

Torsions - Oszillator

Anfaumlngerpraktikum WS 1213

Simeon Beinlich und Rebekka Garreis

10122012 Universtitaumlt Konstanz

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 2

2 Grundlagen 2

3 Versuchsaufbau 6

4 Versuchsdurchfuumlhrung 7

41 Versuchsteil 1 742 Versuchsteil 2 743 Versuchsteil 3 8

5 Auswertung 8

51 Versuchsteil 1 852 Versuchsteil 2 1053 Versuchsteil 3 14

6 Fragen 16

7 Anhang 16

1

SBeinlich amp RGarreis 2 GRUNDLAGEN

1 Einleitung

Sei es der Schall der durch die angeregte schwingende Saite eines Musikinstrumentes durch unsereStimmbaumlnder oder durch Lautsprechermembrane entsteht sei es das Auto welches sich ohne Stoyuml-daumlmpfer bei unebenem Strayumlenbelag gefaumlhrlich aufschwingen wuumlrde oder Bruumlcken die durch Resonanzzum Einsturz gebracht werden seien es Atome die selbst schwingen oder zu Schwingungen angeregtwerden Mechanische Schwingungen sind uumlberall ob im Alltag oder im Physiklabor Deshalb ist esumso wichtiger mechanische Schwingungen und Phaumlnomene wie Resonanz und Daumlmpfung die mitjeder praktischen Schwingung verbunden sind zu verstehenDer Versuch Torsions- Oszillator ermoumlglicht diese Phaumlnomene genauer zu beobachten und zu beschrei-ben Es koumlnnen sowohl freie (von auyumlen nicht kontinuierlich angeregte) als auch erzwungene Schwin-gungen erzeugt und vermessen werden Die dabei gemachten quantitativen Beobachtungen werden mitden theoretisch uumlber die im Grundlagenteil aufgefuumlhreten Formeln verglichen

2 Grundlagen

In diesem Teil sollen die fuumlr mechanische Schwingungen und den Versuch relevanten physikalischenGroumlyumlen und deren mathematische Beziehungen erlaumlutert werden

Traumlgheitsmoment

Die Rotation eines ausgedehnten Koumlrpers haumlngt von seiner raumlumlichen Verteilung seiner Gesamtmasseab Die Traumlgheit die der Koumlrper einer Drehimpusaumlnderung entgegensetzt wird durch das Taumlgheitsmo-ment Θ beschrieben Die Massenverteilung des Koumlrpers um die Rotationsachse ist von entscheidenderBedeutung Betrachtet man einzelne Massenpunkte so hat jeder Massenpunkt mi einen Abstand rizur Rotationsachse Dadurch ergibt sich fuumlr Θ

Θ =nsumi=0

mir2i rdquo (1)

(aus [1]) Im Torsions- Oszillator der Firma TEACHSPINN kommen in der von uns gewaumlhlten VarianteHohlzylinderviertel aus Vollmessing zum Einsatz Deren Traumlgheitsmoment kann uumlber die Formel

Θ =

intr2dV (2)

(hierbei ist die Dichte des Koumlrpers) die sich aus (1)ergibt hergeleitet werden

ΘHohlzylinder =

int rauszligen

rinnen

int 2π

0

int h

0r2dz middot rdϕ middot dr (3)

=1

2mZylinder middot (r2

innen + r2auszligen) (4)

Drehimpuls und Drehmoment

Der Drehimpuls ~L kann als der Schwung den eine Rotationsbewegung besitzt beschrieben werdenPhysikalisch betrachtet gilt fuumlr diesen (mit Masse m Bahngeschwindigkeit v Radius r und Impuls p

~L = m middot (~r times ~v) = ~r times ~p (5)

2

SBeinlich amp RGarreis 2 GRUNDLAGEN

Das Drehmoment ~D ist als die zeitliche Aumlnderung des Drehimpulses deniert und ist gleich einer Kraft~F die auf einen Hebel ~r wirkt

~D = ~L = ~r times ~p = ~r times ~F (6)

Torsionsmoment und -konstante

Im Versuch wird keine Schneckenfeder verwendet wie im Versuch Traumlgheitsmoment aus Drehschwin-

gungen sondern ein Torsionsfaden der wenn er verdrillt wird ein Torsionsmoment bewirkt welchesein ruumlcktreibendes Drehmoment auf den Oszillator ausuumlbt Hier wird wenn das Torsionsmoment linearzum ausgelenkten Winkel ϕ ist der Proportionalitaumltsfaktor als Torsionskonstante D bezeichnet Es giltsomit

~D = minusDϕ (7)

Harmonische Schwingung

Wirkt auf einen aus seiner Ruhelage ausgelenkten Koumlrper eine zur Auslenkung proportionale ruumlck-treibende Kraft nennt man diese periodische Bewegung eine harmonische Schwingung mit der Bewe-gungsgleichung

Θϕ+ Dϕ = 0 (8)

Wobei Θ das Traumlhgeitsmoment des Oszillators ϕ dessen Auslenkung und D die Torsionskonstante istTritt Reibung auf so kommt noch der Term kϕ hinzu

Θϕ+ kϕ+ Dϕ = 0 (9)

Wird nun die `Daumlmpfungskonstante β uumlber 2β = kΘ und die Eigenfrequenz ω0 uumlber ω2

0 = DΘ deniert

so ergibt sich

ϕ+ 2βϕ+ ω20ϕ = 0 (10)

Mit der allgemeine Loumlsung einer linearen homogenen DGL zweiter Ordnung

ϕ(t) = A middot eλ1t +B middot eλ2t (11)

Die Konstanten AB λ1 λ2 isin C werden aus den Anfangsbedingungen bestimmt

Die Eigenfrequenz ist die Frequenz mit der der Oszillator schwingt wenn er nicht von auyumlen kon-tinuierlich angeregt wird sondern nur einmal ausgelenkt und dann frei schwingen gelassen wird dieDaumlmpfung ist eine der Bewegungsrichtung entgegengesetzte Kraft welche kinetische Energie aus demSystem abfuumlhrt (zB als Waumlrme) In diesem Versuch wird die Daumlmpfung durch eineWirbelstrombremse

realisiert welche ein Phaumlnomen ausnutzt welches aus der Wechselwirkung zwischen elektrischen undmagnetischen Feldern ensteht Permanentmagnete induzieren in eine elektrisch leitfaumlhige Scheibe ausAluminium die mit dem Oszillator mitschwingt Wirbelstroumlme welche nach der Lenzschen Regel

ein entgegengesetztes also bremsendes Magnetfeld erzeugen Die Reibungskraft ist dabei linear zurGeschwindigkeitBei freier Schwingung (ohne kontinuierliche aumluyumlere Anregung wie im Versuchsteil 2) lautet die Loumlsungfuumlr die Variablen λ12 = minusβ plusmn

radicβ2 minus ω2

0 Es faumlllt auf dass fuumlr λ12im Falle β lt ω0 gilt λ12 komplexim Falle β = ω0 gilt λ1 = λ2 = minusβ reell undim Falle β gt ω0 gilt λ12 reellDie fuumlhrt zu folgender Fallunterscheidung

3

SBeinlich amp RGarreis 2 GRUNDLAGEN

Schwingfall

Es gilt β lt ω0 gilt λ12 isin CAnschaulich bedeutet das dass bei schwacher Daumlmpfung die Daumlmpfungskonstante β kleiner als dieEigenfrequenz ω0 ist Die Loumlsung ergibt sich durch Einsetzen von λ12 in die Dierentialgleichung 10und den Anfangsbedingungen ϕ(0) = ϕ0 und ϕ(0) = ϕ1 Der die Bewegung beschreibende Realteil derLoumlsung lautet somit

ϕ(t) =

(ϕ0cos(ωt) +

ϕ1 + βϕ0

ωsin(ωt)

)eminusβt (12)

mit ω =radicβ2 minus ω2

0 An der Formel wird ersichtlich dass es sich um eine periodische Schwingunghandelt mit der Winkelgeschwindigkeit ω welche von einer Einhuumlllenden eminusβt begrenzt wird undsomit fuumlr groumlyumler werdende t immer kleiner wird (Da Exponentialfunktion mit eax rarr 0 fuumlr a lt 0 undxrarr 0) Die Amplitude ϕ nimmt also mit jeder Schwingung (mit Schwingungsdauer T = 2π

ω ) ab AlsMayuml fuumlr diese Abnahme wird das logarithmische Dekrement Λ wie folgt eingefuumlhrt

Λ = minusln(ϕn+1

ϕn

)= minusln

(eminusβ(t+T )

eminusβt

)= βT (13)

Fuumlr die Frequenz f = 1T der Schwingung gilt also

f =β

Λ (14)

Je groumlyumler das logarithmische Dekrement ist desto groumlyumler ist also auch die Daumlmpfungskonstante unddesto schneller wird die Amplitude der Schwingung immer kleiner Zur Veranschaulichung dient Grak(1)

Aperiodischer Grenzfall

Wenn gilt β = ω0 also λ1 = λ2 = minusβ isin R lautet die dann ebenfalls reelle Loumlsung

ϕ(t) = (ϕ0 + (ϕ1 + ϕβ)t)eminusβt (15)

Es handelt sich also um eine rein exponentielle Funktion welche je nach Anfangsbedingungen keinenoder einen (ϕ ≶ 0minusβϕ0 ≶ ϕ1) Nulldurchgang besitztAuyumlerdem faumlllt auf dass dies der Fall ist bei dem sich die Schwingung am schnellsten gegen Nullbewegt Da die Daumlmpfungskonstante gleich der Eigenfrequenz sein muss und diese sich zB bei einemFederpendel mit der Masse aumlndert wird bei einem Auto mit fester Daumlmpfungskonstante und ungleicherBeladung das Daumlmpfungsverhalten nur in einem Fall optimal sein Ansonsten schwingt es entweder(groyumle Masse) oder der Kriechfall (folgender Fall) tritt ein Zur Veranschaulichung Grak (1)

Kriechfall

Hierbei gilt β gt ω0 also λ12 isin R Es uumlberlagern sich hierbei zwei exponentielle Funktionen Mit denAnfangsbedingungen wie oben und Θ =

radicβ2 minus ω2

0 ergibt sich nach ([2])

ϕ(t) =

((Θ + β)ϕ0 + ϕ1

2ΘeΘt +

(Θminus β)ϕ0 minus ϕ1

2ΘeminusΘt

)eminusβt (16)

Auch hier ist wieder houmlchstens ein Nulldurchgang moumlglich wenn die Anfangsbedingungen entsprechendgewaumlhlt werden Zur Veranschaulichung Grak (1)

4

SBeinlich amp RGarreis 2 GRUNDLAGEN

Abbildung 1 Freie ungedaumlmpfte schwach bzw stark gedaumlmpfte Schwingung und aperiodischer Grenz-fall (ohne Nulldurchgang) aus ([4])

Erzwungene Schwingungen

Bisher wurde nur die homogene Dierentialgleichung (10) betrachtet Wirkt jedoch eine externe Kraftbzw ein externes Drehmoment (hier eine harmonisch anregende) so wird aus der homogenen Die-rentialgleichung eine inhomogene

Θϕ(t) + kϕ(t) + Dϕ(t) = M(t) = M0cos(ωet) (17)

bzw

ϕ(t) + 2βϕ(t) + ω20ϕ(t) =

M0

Θcos(ωet) (18)

Mit den zusaumltzlichen Variablen M0 als maximale Auslenkung (Amplitude) des anregenden Drehmo-ments und dessen Kreisfrequenz ωe Da die homogene Loumlsung bekannt ist (so) muss nur noch einepartikulaumlre Loumlsung gefunden werden Durch Komplexizierung von M(t) erhaumllt man als Realteil derLoumlsung fuumlr groyumle Zeiten (nachdem der Einschwingvorgang abgeschlossen also saumlmtliche homogenenLoumlsungen zerfallen sind)

ϕ(t) = A(ωe) middot cos(ωet+ δ(ωe)) (19)

mit der Amplitude A(ωe) und der Phasenverschiebung δ(ωe)

A(ωe) =M0Θradic

(ω20 minus ω2

e)2 + (2βωe)2

(20)

δ(ωe) = tanminus1

(2βωeω2

0 minus ω2e

)(21)

Im Falle AR(ωe) = max(A(ωe)) welcher bei ωR =radicω2

0 minus 2β2 erreicht wird spricht man von ResonanzDiese ist je nach Daumlmpfung kleiner oder gleich ( iF von keiner Daumlmpfung) der Eigenfrequenz desgedaumlmpften bzw ungedaumlmpften freien Oszillators Zur Veranschaulichung die Graphen von AmplitudeA(ωe) und der Phasenverschiebung δ(ωe) in Abhaumlngigkeit von ωe

5

SBeinlich amp RGarreis 3 VERSUCHSAUFBAU

Abbildung 2 Amplitude A(ωe) in Abhaumlngigkeit von ωe aus ([3])

Abbildung 3 Phasenverschiebung δ(ωe) in Abhaumlngigkeit von ωe aus ([3])

3 Versuchsaufbau

In diesem Versuch wird der Torsions-Oszillator der Firma TeachSpin verwendet Er besteht im wesent-lichen aus einer Kupferscheibe mit radialer Skalierung die an einem sogenannten Torsionsfaden oderauch Torsinsfeder aufgehaumlngt ist Dieser Torsinsfaden kann um ca plusmn90 verdreht werden sodass einein Drehmoment auf die Scheibe wirkt es handelt sich also um einen harmonischen OszillatorDes weiteren koumlnnen bis zu acht Zusatzgewichte auf der Scheibe befestigt werden sodass diese ein houml-heres Traumlgheitsmoment bekommt Seitlich sind zwei verstellbare Permanentmagneten mit denen dieSchwingung der Scheibe unterschiedlich stark gedaumlmpft werden kann Die Magnete wirken dabei alsWirbelstrombremseAn den Torsions-Oszillator kann weiter ein Sinusgenerator angeschlossen werden sodass der Oszillatoruumlber sogenannte Helmholtzspulen zu Schwingungen anderer Frequenzen angeregt wird Durch dieHelmholtzspulen wird ein weiterer Permanentmagnet und eine daran befestigte Welle welche wiederummit der Kupferplatte verbunden ist ausgelenkt Ist der Sinusgenerator nicht angeschlossen so wird inden Helmholtzspulen eine Spannung induziert diese kann mittels eines anschlieyumlbaren Speicheroszil-lators hier der Firma Rigol gemessen und aufgezeichnet werden sodass zB die Periodendauer der

6

SBeinlich amp RGarreis 4 VERSUCHSDURCHFUumlHRUNG

Schwingung bestimmt werden kann

Abbildung 4 Aufbau des Torsions-Oszillators der Firma TeachSpin ([2])

4 Versuchsdurchfuumlhrung

Waumlhrend des gesamten Versuchs musste darauf geachtet werden dass die Schwungscheibe nicht mehrals 15 rad ausgelenkt wurde da dies zu beschaumldigungen des Torsionsfadens fuumlhren kann Des weiterenist sonst auch die harmonische Schwingung nicht mehr garantiertAuyumlerdem musste zu Beginn sichergestellt werden dass die Ruhelage tatsaumlchlich bei 0V eingestellt ist

41 Versuchsteil 1

In diesem Versuchsteil wird die Torsionskonstante dynamisch bestimmt Dazu wurde zuerst das Oszil-loskop angeschlossen und ein paar Schwingungen aufgezeichnet damit wir mit der Funktionsweise desOszilloskops vertraut sindAnschlieyumlend wurden die Zusatzgewichte nacheinander auf die Platte gesteckt sodass sich das Traumlg-heitsmoment mit jedem Gewicht vergroumlyumlert Wir haben jeweils die Summe aller Massen auf der Schei-be gemessen Mittels des Oszilloskops wurden dann die Periodendauern der einzelnen Schwingungenbestimmt Des Weiteren wurde der Innen- und Auyumlenradius des Holzylinders der sich um den Torsi-onsfaden ergibt wenn die Zusatzgewichte auf die Kupferscheibe gesteckt werden gemessen Die Mes-sergebnisse sind dem Messprotokoll zu entnehmen

42 Versuchsteil 2

Im zweiten Teil des Versuchs werden verschiedene gedaumlmpfte Schwingungen untersucht Hierzu wer-den die Zusatzgewichte entfernt und die Magnete der Wirbelstrombremse so eingestellt dass nochein deutlicher Schwingungsvorgang zu sehen ist Von dieser Schwingung werden die Frequenz und dieaufeinanderfolgenden Maxima und Minima der Amplituden mittels des Oszilloskopes bestimmt DesWeiteren werden die Daten der Schwingung zusaumltzlich auf einem USB-Stick gespeichertDieser Vorgang wird fuumlr zwei weitere Schwingungen mit unterschiedlicher Daumlmpfung wiederholt Als

7

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

letztes sollte noch die szligchwingungeumliner sehr hohen Daumlmpfung betrachtet werden Die genauen Mess-ergebnisse sind dem Messprotokoll zu entnehmen

43 Versuchsteil 3

Im letzten Versuchsteil wird der Torsions-Oszillator uumlber einen Sinusgenerator zu einer ErzwungenenSchwingung angeregt Dazu sollte die Daumlmpfung so eingestellt werden dass eine Schwingung zwargut moumlglich ist ein Resonanzkatastrophe aber ausgeschlossen Anschlieyumlend wurde zwischen 0 und2Hz nach der Resonanzfrequenz des Systems gesucht In 10 weiteren Messungen sollte fuumlr jeweils fuumlnfFrequenzen unter und und fuumlnf Frequenzen uumlber der Resonanzfrequenz die Amplitude der erzwungenenSchwingung und die Phasenverschiebung der Erregerschwingung und der erzwungenen Schwingungbestimmt werden

5 Auswertung

51 Versuchsteil 1

Zuerst soll das Traumlgheitsmoment Θ0 der Schwungscheibe berechnet werden Dieses setzt sich aus demTraumlgheitsmoment der Schwungscheibe und dem der Welle zusammen Bei beidem handelt es sich umeinen Hohlzylinder dessen Drehachse entlang der Haupttraumlgheitsachse laumluft Das Traumlgheitsmomentkann also jeweils mit der Formel ΘHZ = 1

2m middot (r2i + r2

a) (Siehe auch Gleichung (4)) berechnet werden

Kupferscheibe Welleriinm 001295 000485

rainm 00285 00127m in kg 0962 plusmn 0002 0283

Θ in kg middotm2 0001981 plusmn 0000004 0000026

Tabelle 1 Berechnung von ΘKupferscheibe und ΘWelle

Das Gesamttraumlgheitsmoment ergibt sich uumlber die Summe

Θ0 = ΘKupferscheibe + ΘWelle = 0002007plusmn 0000004 kg middotm2

Die Daten fuumlr die Radien und die Massen sind der Versuchsbeschreibung ([2]) entnommen Da allerdingsnur eine Messungenauigkeit angegeben war ist der tatsaumlchliche Fehler von Θ0 vermutlich groumlyumler Hierwurde fuumlr die Fehlerrechnung folgende Formel aus ([5]) verwendet

B middot (mplusmn u(m)) = (B middotm)plusmn (B middot u(m)) (22)

Legt man zusaumltzliche Massestuumlcke auf die Schwungscheibe so erhoumlht dies das Traumlgheitsmoment Dieaufgelegten Massestuumlcke ergeben einen Hohlzylinder sodass sich das Traumlgheitsmoment ∆Θ uumlber Formel(4)berechnet werden kann Die Gesamtmasse aller acht Zylinderstuumlcke wurde gemessen und betraumlgtmges = 17120plusmn 000005kg der Fehler kommt hierbei von der Anzeigegenauigkeit der Waage Darausergibt sich die gemittelte Masse eines Massestuumlckes mit m = 02140plusmn 625 middot 10minus6 (Fehlerrechnung uumlberFormel 22) Verwendet man die Daten aus dem Messprotokoll ergibt sich also∆Θ = 28950 middot 10minus6plusmn 560 middot 10minus9 kg lowastm2

Ein Protokoll zur Fehlerrechnung bendet sich im Anhang

8

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

n (T(2π))2 in s2

0 0034084plusmn 0000034

1 0038948plusmn 0000036

2 0042808plusmn 0000038

3 0047542plusmn 0000040

4 0053257plusmn 0000042

5 0057756plusmn 0000044

6 0062437plusmn 0000046

7 0066477plusmn 0000047

8 0071492plusmn 0000049

Tabelle 2 (T(2π))2 fuumlr die Anzahl der Zylinderstuumlcke

Unter der Annahme dass alle Massestuumlckchen gleich schwer sind und die gleichen Mayumle haben gilt fuumlrdas Traumlgheitsmoment des Gesamtsystems Θges = Θ0 + n middot∆Θ Dadurch ist n Proportional zu

(T2π

)2

was auch in Abbildung (5) zu sehen istDie Fehler wurden mit Formel (22) und

(T plusmn u(T ))2 = T 2 middot(

1 + 2 middot u(T )

T

)berechnet ([5]) Der urspruumlngliche Fehler von T ergab sich uumlber die Anzeigegenauigkeit des Oszilloskops

Abbildung 5 Gerade uumlber(T2π

)2in Abhaumlngigkeigt von n

9

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

Messung 1 Messung 2 Messung 3C in (Vrad) 1519plusmn 0003 15475plusmn 00016 minus04783plusmn 00014

β in sminus1 0272plusmn 0001 01894plusmn 00006 05766plusmn 00013

ωg in sminus1 541091plusmn 000010 54085plusmn 00005 53841plusmn 00012

α minus4730plusmn 0002 minus47321plusmn 00010 minus14203plusmn 0003

Tabelle 3 Werte der getteten Funktion uumlber die Messwerte

Mit Hilfe von QTI Plot wurde die Steigung a = 000471 plusmn 000007 und der y-Achsenabschnit mitb = 00340plusmn 00004 ermitteltAus

T = 2π middotradic

Θ0

˜Ddyn

(23)

folgt

a =∆Θ˜Ddyn

(24)

˜Ddyn =∆Θ

a(25)

= 00615plusmn 00010Nm

rad(26)

Des weiteren gilt

Θ0 =

(T

2π

)2

middot ˜Ddyn = b middot ˜Ddyn (27)

= 0002091plusmn 0000042 kg middotm2 (28)

Die Fehlerrechunung wurde jeweils mit GUM Workbench durchgefuumlhrt das Protokoll bendet sich imAnhangDer theoretisch errechnetete Wert von Θ0 unterscheidet sich um 0000084 von dem experimentellerrechneten Wert Diese Ungenauigkeit ist auf die Messungenauigkeit zuruumlckzufuumlhren Des weiterenist die Naumlherung dass alle Massestuumlcke exakt die selbe Masse und die selben Mayumle haben nicht miteinberechnet worden

52 Versuchsteil 2

Damit das logarithmische Dekrement bestimmt werden kann muumlssen zunaumlchst die Daumlmpfung β undω bestimmt werden Dazu fuumlrt man eine nichlineare Regression uumlber die ermittelten Messwerte durchDie Messwerte sind in ein einer zu ϕ(t) proportionalen Groumlyumle mit der Einheit 1V angegeben Es kannalso die Theoriefunktion

ϕlowast(t) = C middot eminusβt cos(ωgtminus α) +A

als Fitfunktion verwendet werden Allerdings beschreibt A die Verschiebung in y-Achsen-Richtungund damit gilt A = 0 da das Nullniveau des Oszillators zu Beginn des Versuchs dem Nullniveau desTorsions-Oszillators angepasst wurde Mittels QTIPlot ergeben sich die Werte in Tabelle (3)

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SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

Messung 1 Messung 2 Messung 3Λ 03158plusmn 00012 02200plusmn 00014 06729plusmn 00030

fg in Hz 08929plusmn 000005 08621plusmn 000005 08264plusmn 000005

Tabelle 4 Logarithmisches Dekrement und Frequenz

Dadurch laumlsst sich das logarithmische Dekrement wie folgt berechnen wobei p =(

2πωg

)eine Periode

der Schwingung beschreibt

Λ = ln

C middot eminusβt cos(ωgtminus α)

C middot eminusβ(t+ 2π

ωg

)cos(ωg

(t+ 2π

ωg

)minus α

) (29)

= ln

(eminusβt

eminusβ

(t+ 2π

ωg

))

(30)

= minusβt+ β

(2π

ωg

)(31)

= 2π middot βωg

(32)

Daruumlber ergibt sich Tabelle (4)(Der Fehler von Λ wurde mit Hilfe von GUM Workbench berechnetund ein Protokoll bendet sich im Anhang der Fehler von fg beruht auf der Anzeigegenauigkeit desOszilloskops)Die Diagramme (6) (7) und(8) zeigen die Messwerte und die geplotteten Funktionen fuumlr die unter-schiedlichen Messungen

Abbildung 6 Schwingfall mit Daumlmpfungdgrad 1

11

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

Abbildung 7 Schwingfall mit Daumlmpfungdgrad 2

Abbildung 8 Schwingfall mit Daumlmpfungdgrad 3

Durch die hohe Anzahl der Messwerte ist die gettete Theoriefunktion relativ genau dies Zeigt sichauch in den kleinen FehlernUm den Zusammenhang zwischen Λ und fg zu erkennen muss man die Funktion fg(Λ) herleiten Dazu

12

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

verwendet man Formel (32) und ωg =radicw2

0 minus β2

Λ = 2π middot βωg

(33)

= 2π middot

radicω2

0 minus ω2g

ωg(34)

= 2π middotradic

(2πf0)2 minus (2πfg)2

2πfg(35)

= 2π middot

radicf2

0 minus f2g

fg(36)

hArr fg =

radic4π2 middot f2

0

1 + Λ2(37)

Im folgenden Diagramm (9) sind die uumlber die Messung errechneten Werte von Λ und die dazu getteteFunktion (37) dargestellt

Abbildung 9 Zusammenhang zwischen Λ und fg

Auallend ist hierbei dass die Messwerte nicht sehr nahe an der getteten Funktion liegen Der Fehlerliegt vermutlich bei den Werten von Λ Vergleicht man die getteten ωg-Werte mit den Abbildungen(6) (7) und(8) so ist schnell zu sehen dass diese nicht uumlbereinstimmen koumlnnen Der Fehler liegt alsobei den getteten Funktionen insbesondere von Messung 1 und Messung 2 Dadurch stimmt auch daserechnete Λ nicht mehrBetrachtet man auyumlerdem das Messprotokoll faumlllt auf das auch hier etwas nicht stimmen kann daauch hier die vom Oszillator abgelesenen Werte nicht mit den Abbildungen uumlbereinstimmen kann dazwar die abgelesenen Maxima und Minima gleich sind aber auch hier die Frequenz abnimmt obwohlauch die Daumlmpfung abnimmt

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SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

Frequenz in Hz(plusmn0 0005) ∆Phase in rad

0700 2815plusmn 0025

0730 2844plusmn 0027

0765 2596plusmn 0028

0800 2463plusmn 0029

0830 2295plusmn 0030

0860 1567plusmn 0031

0890 0783plusmn 0032

0920 0578plusmn 0033

0950 0382plusmn 0034

0980 0345plusmn 0036

Tabelle 5 Erregerfrequenz und ∆Phase Φ

53 Versuchsteil 3

Die in Tabelle (5) dargestellten Werte wurden immer erst nach ca einer Minute nach veraumlndern derErregerfrequenz gemessen da erst da sicher davon ausgegangen werden kann dass fg = ferr = f undωg = ωerr = ω gilt Des weiteren wurde die Phasenverschiebung in Sekunden gemessen und kann mit

Φ = 2π middot∆t middot f

umgerechnet werdenDer Fehler wird dabei mit den Formeln (22) und

(f plusmn u(f)) middot (∆tplusmn u(∆t)) = (f middot∆t)(

1plusmn(u(f)

f+u(∆t)

∆t

))aus [5] berechnetEs ist zu erkennen dass die Steigung um die Resonanzfrequenz (fResonanz = 0856 plusmn 0002Hz) amgroumlyumlten ist und nach rechts und links abnimmt Es scheint als gaumlbe es eine minimale und eine maximalePhasenverschiebung In einem Diagramm dargestellt ergibt sich Abbildung (10) Als Fitfuktion wurdefolgende Funktion verwendet

A2 + (A1minusA2)(1 + exp((xminus x0)dx))

Hierbei ist die Fitfunktion um die Resonanzfrequenz relativ ungenau da hier nur ein Messwert vorliegtDafuumlr ist der y-Achsenabschnitt umso genauer da hier mehrere Messwerte relativ nah bei einanderliegenBetrachtet man die Amplitude im Vergleich zur Frequenz so sieht man dass sie bei der Resonanz-frequenz ein Maximum aufweiyumlt Zudem nimmt die Steigung der Zunahme unterhalb der Resonanz-frequenz bis zu einem gewissen Punkt zu und dann wieder ab bis die Resonanzfrequenz erreicht istOberhalb dieser Frequenz nimmt die Abnahme erst zu und auch dann wieder ab Es ist des weiterenzu vermuten dass die Amplitude rechts und links der Resonanzfrequenz gegen einen Grenzwert laumluftIn Abbildung (11) ist dies graphisch dargestellt

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SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

Abbildung 10 ∆Phase Φ uumlber Erregerfrequenz mit Boltzmann-Fit

Abbildung 11 Doppelte Amplitude uumlber Erregerfrequenz mit Gauyuml-Fit

Da in Versuchsteil 2 ein Fehler unterlaufen ist koumlnnen wir die Eigenfrequenz ω0 nicht uumlber die Fitfunk-tion aus Abbildung (9 bestimmen Da aber zu Beginn des Versuches einige Schwingungen aufgezeichnet

15

SBeinlich amp RGarreis Literatur

wurden und die alle die Periodendauer T0 = 1160plusmn 00005s hatten kann daraus die Eigenfrequenz

f0 =1

T0= 08621plusmn 000041s

berechnet werden(Fehlerrechnung mit GUM Workbench ein Protokoll bendet sich im Anhang)Diese ist minimal groumlyumler als die ermittelte Resonanzfrequenz von fResonanz = 0856plusmn0002 (Der Fehlerwurde abgeschaumltzt) Da die Schwingung in diesem Versuchsteil leicht gedaumlmpft wurde damit eineResonanzkatastrophe verhindert wird diese Daumlmpfung aber nicht miteinberechnet wurde erfuumlllt dieAbweichung nur die Erwartung

6 Fragen

1 Von welchen Materialeigenschaften haumlngt die Torsionskonstante D ab

Die Torsionskonstante D haumlngt von der Festigkeit bzw Elastizitaumlt des verwendeten Materials abwelche als der Widerstand deniert ist welche das Material einer plastischen Verformung oderTrennung entgegensetzt

2 Was geschieht bei sehr starker Daumlmpfung Wie heiyumlt hierzu der Fachbegri

Das Pendel kriecht in die Ruhelage zuruumlck weshalb dieser Fall Kriechfall genannt wird SieheGrundlagen (16) Es kommt houmlchstens ein Nulldurchgang zustande wenn das pendel entspre-chend angeschubst wird

3 Wie kann man ein schwingungsfaumlhiges System noch daumlmpfen

Anstelle der hier verwendeten Wirbelstrombremsen die eine zur Geschwindigkeit proportionaleReibungskraft erzeugen kann auch viskose Reibung auch Stokessche Reibung genannt wiezB in Autostoyumldaumlmpfern verwendet werden oder Luftreibung (wie zB beim Schall) wobei diesesich meist proportional zum Geschwindigkeitsquadrat verhaumllt

4 Warum beobachtet man Resonanz im daumlmpfungsfreien Fall gerade bei einer Phasenverscheibung

von 90Ist dies der Fall so ist die anregende Kraft gerade proportional zur Geschwindigkeit des PendelsDh dass die Geschwindigkeit immer weiter verstaumlrkt wird also immer groumlyumler wird (Resonanz-fall) Mathematisch kann die Phasenverschiebung aus Formel (21) berechnet werden Fuumlr den

Fall β = 0 ist ωR = ω0 und der Betrag von tanminus1(

2βωRω2

0minusω2R

=infin)gerade π2 also 90

5 Wieso ist die Berechnung von ∆Θ genauer als die von Θ0 Die Berechnung von ∆Θ ist genauerda hier bei der Berechnung acht verschiedene Messwerte gemittelt wurden Siehe dazu auchKapitel 51

7 Anhang

Literatur

[1] Rebekka Garreis und Simeon Beinlich AP - Praktikumsbericht Traumlgheitsmoment aus Dreh-schwingungen 2012

[2] Runge Bernd-Uwe Physikalisches Anfaumlngerpraktikum der Universitaumlt Konstanz Torsions-

Oszillator (fuumlr Studiengang Physik) httpsapphysikunikonstanzdeAP-public

AnleitungenTorsions-Oszillator_Phypdf entnommen am 19122012

16

SBeinlich amp RGarreis 2 GRUNDLAGEN

1 Einleitung

Sei es der Schall der durch die angeregte schwingende Saite eines Musikinstrumentes durch unsereStimmbaumlnder oder durch Lautsprechermembrane entsteht sei es das Auto welches sich ohne Stoyuml-daumlmpfer bei unebenem Strayumlenbelag gefaumlhrlich aufschwingen wuumlrde oder Bruumlcken die durch Resonanzzum Einsturz gebracht werden seien es Atome die selbst schwingen oder zu Schwingungen angeregtwerden Mechanische Schwingungen sind uumlberall ob im Alltag oder im Physiklabor Deshalb ist esumso wichtiger mechanische Schwingungen und Phaumlnomene wie Resonanz und Daumlmpfung die mitjeder praktischen Schwingung verbunden sind zu verstehenDer Versuch Torsions- Oszillator ermoumlglicht diese Phaumlnomene genauer zu beobachten und zu beschrei-ben Es koumlnnen sowohl freie (von auyumlen nicht kontinuierlich angeregte) als auch erzwungene Schwin-gungen erzeugt und vermessen werden Die dabei gemachten quantitativen Beobachtungen werden mitden theoretisch uumlber die im Grundlagenteil aufgefuumlhreten Formeln verglichen

2 Grundlagen

In diesem Teil sollen die fuumlr mechanische Schwingungen und den Versuch relevanten physikalischenGroumlyumlen und deren mathematische Beziehungen erlaumlutert werden

Traumlgheitsmoment

Die Rotation eines ausgedehnten Koumlrpers haumlngt von seiner raumlumlichen Verteilung seiner Gesamtmasseab Die Traumlgheit die der Koumlrper einer Drehimpusaumlnderung entgegensetzt wird durch das Taumlgheitsmo-ment Θ beschrieben Die Massenverteilung des Koumlrpers um die Rotationsachse ist von entscheidenderBedeutung Betrachtet man einzelne Massenpunkte so hat jeder Massenpunkt mi einen Abstand rizur Rotationsachse Dadurch ergibt sich fuumlr Θ

Θ =nsumi=0

mir2i rdquo (1)

(aus [1]) Im Torsions- Oszillator der Firma TEACHSPINN kommen in der von uns gewaumlhlten VarianteHohlzylinderviertel aus Vollmessing zum Einsatz Deren Traumlgheitsmoment kann uumlber die Formel

Θ =

intr2dV (2)

(hierbei ist die Dichte des Koumlrpers) die sich aus (1)ergibt hergeleitet werden

ΘHohlzylinder =

int rauszligen

rinnen

int 2π

0

int h

0r2dz middot rdϕ middot dr (3)

=1

2mZylinder middot (r2

innen + r2auszligen) (4)

Drehimpuls und Drehmoment

Der Drehimpuls ~L kann als der Schwung den eine Rotationsbewegung besitzt beschrieben werdenPhysikalisch betrachtet gilt fuumlr diesen (mit Masse m Bahngeschwindigkeit v Radius r und Impuls p

~L = m middot (~r times ~v) = ~r times ~p (5)

2

SBeinlich amp RGarreis 2 GRUNDLAGEN

Das Drehmoment ~D ist als die zeitliche Aumlnderung des Drehimpulses deniert und ist gleich einer Kraft~F die auf einen Hebel ~r wirkt

~D = ~L = ~r times ~p = ~r times ~F (6)

Torsionsmoment und -konstante

Im Versuch wird keine Schneckenfeder verwendet wie im Versuch Traumlgheitsmoment aus Drehschwin-

gungen sondern ein Torsionsfaden der wenn er verdrillt wird ein Torsionsmoment bewirkt welchesein ruumlcktreibendes Drehmoment auf den Oszillator ausuumlbt Hier wird wenn das Torsionsmoment linearzum ausgelenkten Winkel ϕ ist der Proportionalitaumltsfaktor als Torsionskonstante D bezeichnet Es giltsomit

~D = minusDϕ (7)

Harmonische Schwingung

Wirkt auf einen aus seiner Ruhelage ausgelenkten Koumlrper eine zur Auslenkung proportionale ruumlck-treibende Kraft nennt man diese periodische Bewegung eine harmonische Schwingung mit der Bewe-gungsgleichung

Θϕ+ Dϕ = 0 (8)

Wobei Θ das Traumlhgeitsmoment des Oszillators ϕ dessen Auslenkung und D die Torsionskonstante istTritt Reibung auf so kommt noch der Term kϕ hinzu

Θϕ+ kϕ+ Dϕ = 0 (9)

Wird nun die `Daumlmpfungskonstante β uumlber 2β = kΘ und die Eigenfrequenz ω0 uumlber ω2

0 = DΘ deniert

so ergibt sich

ϕ+ 2βϕ+ ω20ϕ = 0 (10)

Mit der allgemeine Loumlsung einer linearen homogenen DGL zweiter Ordnung

ϕ(t) = A middot eλ1t +B middot eλ2t (11)

Die Konstanten AB λ1 λ2 isin C werden aus den Anfangsbedingungen bestimmt

Die Eigenfrequenz ist die Frequenz mit der der Oszillator schwingt wenn er nicht von auyumlen kon-tinuierlich angeregt wird sondern nur einmal ausgelenkt und dann frei schwingen gelassen wird dieDaumlmpfung ist eine der Bewegungsrichtung entgegengesetzte Kraft welche kinetische Energie aus demSystem abfuumlhrt (zB als Waumlrme) In diesem Versuch wird die Daumlmpfung durch eineWirbelstrombremse

realisiert welche ein Phaumlnomen ausnutzt welches aus der Wechselwirkung zwischen elektrischen undmagnetischen Feldern ensteht Permanentmagnete induzieren in eine elektrisch leitfaumlhige Scheibe ausAluminium die mit dem Oszillator mitschwingt Wirbelstroumlme welche nach der Lenzschen Regel

ein entgegengesetztes also bremsendes Magnetfeld erzeugen Die Reibungskraft ist dabei linear zurGeschwindigkeitBei freier Schwingung (ohne kontinuierliche aumluyumlere Anregung wie im Versuchsteil 2) lautet die Loumlsungfuumlr die Variablen λ12 = minusβ plusmn

radicβ2 minus ω2

0 Es faumlllt auf dass fuumlr λ12im Falle β lt ω0 gilt λ12 komplexim Falle β = ω0 gilt λ1 = λ2 = minusβ reell undim Falle β gt ω0 gilt λ12 reellDie fuumlhrt zu folgender Fallunterscheidung

3

SBeinlich amp RGarreis 2 GRUNDLAGEN

Schwingfall

Es gilt β lt ω0 gilt λ12 isin CAnschaulich bedeutet das dass bei schwacher Daumlmpfung die Daumlmpfungskonstante β kleiner als dieEigenfrequenz ω0 ist Die Loumlsung ergibt sich durch Einsetzen von λ12 in die Dierentialgleichung 10und den Anfangsbedingungen ϕ(0) = ϕ0 und ϕ(0) = ϕ1 Der die Bewegung beschreibende Realteil derLoumlsung lautet somit

ϕ(t) =

(ϕ0cos(ωt) +

ϕ1 + βϕ0

ωsin(ωt)

)eminusβt (12)

mit ω =radicβ2 minus ω2

0 An der Formel wird ersichtlich dass es sich um eine periodische Schwingunghandelt mit der Winkelgeschwindigkeit ω welche von einer Einhuumlllenden eminusβt begrenzt wird undsomit fuumlr groumlyumler werdende t immer kleiner wird (Da Exponentialfunktion mit eax rarr 0 fuumlr a lt 0 undxrarr 0) Die Amplitude ϕ nimmt also mit jeder Schwingung (mit Schwingungsdauer T = 2π

ω ) ab AlsMayuml fuumlr diese Abnahme wird das logarithmische Dekrement Λ wie folgt eingefuumlhrt

Λ = minusln(ϕn+1

ϕn

)= minusln

(eminusβ(t+T )

eminusβt

)= βT (13)

Fuumlr die Frequenz f = 1T der Schwingung gilt also

f =β

Λ (14)

Je groumlyumler das logarithmische Dekrement ist desto groumlyumler ist also auch die Daumlmpfungskonstante unddesto schneller wird die Amplitude der Schwingung immer kleiner Zur Veranschaulichung dient Grak(1)

Aperiodischer Grenzfall

Wenn gilt β = ω0 also λ1 = λ2 = minusβ isin R lautet die dann ebenfalls reelle Loumlsung

ϕ(t) = (ϕ0 + (ϕ1 + ϕβ)t)eminusβt (15)

Es handelt sich also um eine rein exponentielle Funktion welche je nach Anfangsbedingungen keinenoder einen (ϕ ≶ 0minusβϕ0 ≶ ϕ1) Nulldurchgang besitztAuyumlerdem faumlllt auf dass dies der Fall ist bei dem sich die Schwingung am schnellsten gegen Nullbewegt Da die Daumlmpfungskonstante gleich der Eigenfrequenz sein muss und diese sich zB bei einemFederpendel mit der Masse aumlndert wird bei einem Auto mit fester Daumlmpfungskonstante und ungleicherBeladung das Daumlmpfungsverhalten nur in einem Fall optimal sein Ansonsten schwingt es entweder(groyumle Masse) oder der Kriechfall (folgender Fall) tritt ein Zur Veranschaulichung Grak (1)

Kriechfall

Hierbei gilt β gt ω0 also λ12 isin R Es uumlberlagern sich hierbei zwei exponentielle Funktionen Mit denAnfangsbedingungen wie oben und Θ =

radicβ2 minus ω2

0 ergibt sich nach ([2])

ϕ(t) =

((Θ + β)ϕ0 + ϕ1

2ΘeΘt +

(Θminus β)ϕ0 minus ϕ1

2ΘeminusΘt

)eminusβt (16)

Auch hier ist wieder houmlchstens ein Nulldurchgang moumlglich wenn die Anfangsbedingungen entsprechendgewaumlhlt werden Zur Veranschaulichung Grak (1)

4

SBeinlich amp RGarreis 2 GRUNDLAGEN

Abbildung 1 Freie ungedaumlmpfte schwach bzw stark gedaumlmpfte Schwingung und aperiodischer Grenz-fall (ohne Nulldurchgang) aus ([4])

Erzwungene Schwingungen

Bisher wurde nur die homogene Dierentialgleichung (10) betrachtet Wirkt jedoch eine externe Kraftbzw ein externes Drehmoment (hier eine harmonisch anregende) so wird aus der homogenen Die-rentialgleichung eine inhomogene

Θϕ(t) + kϕ(t) + Dϕ(t) = M(t) = M0cos(ωet) (17)

bzw

ϕ(t) + 2βϕ(t) + ω20ϕ(t) =

M0

Θcos(ωet) (18)

Mit den zusaumltzlichen Variablen M0 als maximale Auslenkung (Amplitude) des anregenden Drehmo-ments und dessen Kreisfrequenz ωe Da die homogene Loumlsung bekannt ist (so) muss nur noch einepartikulaumlre Loumlsung gefunden werden Durch Komplexizierung von M(t) erhaumllt man als Realteil derLoumlsung fuumlr groyumle Zeiten (nachdem der Einschwingvorgang abgeschlossen also saumlmtliche homogenenLoumlsungen zerfallen sind)

ϕ(t) = A(ωe) middot cos(ωet+ δ(ωe)) (19)

mit der Amplitude A(ωe) und der Phasenverschiebung δ(ωe)

A(ωe) =M0Θradic

(ω20 minus ω2

e)2 + (2βωe)2

(20)

δ(ωe) = tanminus1

(2βωeω2

0 minus ω2e

)(21)

Im Falle AR(ωe) = max(A(ωe)) welcher bei ωR =radicω2

0 minus 2β2 erreicht wird spricht man von ResonanzDiese ist je nach Daumlmpfung kleiner oder gleich ( iF von keiner Daumlmpfung) der Eigenfrequenz desgedaumlmpften bzw ungedaumlmpften freien Oszillators Zur Veranschaulichung die Graphen von AmplitudeA(ωe) und der Phasenverschiebung δ(ωe) in Abhaumlngigkeit von ωe

5

SBeinlich amp RGarreis 3 VERSUCHSAUFBAU

Abbildung 2 Amplitude A(ωe) in Abhaumlngigkeit von ωe aus ([3])

Abbildung 3 Phasenverschiebung δ(ωe) in Abhaumlngigkeit von ωe aus ([3])

3 Versuchsaufbau

In diesem Versuch wird der Torsions-Oszillator der Firma TeachSpin verwendet Er besteht im wesent-lichen aus einer Kupferscheibe mit radialer Skalierung die an einem sogenannten Torsionsfaden oderauch Torsinsfeder aufgehaumlngt ist Dieser Torsinsfaden kann um ca plusmn90 verdreht werden sodass einein Drehmoment auf die Scheibe wirkt es handelt sich also um einen harmonischen OszillatorDes weiteren koumlnnen bis zu acht Zusatzgewichte auf der Scheibe befestigt werden sodass diese ein houml-heres Traumlgheitsmoment bekommt Seitlich sind zwei verstellbare Permanentmagneten mit denen dieSchwingung der Scheibe unterschiedlich stark gedaumlmpft werden kann Die Magnete wirken dabei alsWirbelstrombremseAn den Torsions-Oszillator kann weiter ein Sinusgenerator angeschlossen werden sodass der Oszillatoruumlber sogenannte Helmholtzspulen zu Schwingungen anderer Frequenzen angeregt wird Durch dieHelmholtzspulen wird ein weiterer Permanentmagnet und eine daran befestigte Welle welche wiederummit der Kupferplatte verbunden ist ausgelenkt Ist der Sinusgenerator nicht angeschlossen so wird inden Helmholtzspulen eine Spannung induziert diese kann mittels eines anschlieyumlbaren Speicheroszil-lators hier der Firma Rigol gemessen und aufgezeichnet werden sodass zB die Periodendauer der

6

SBeinlich amp RGarreis 4 VERSUCHSDURCHFUumlHRUNG

Schwingung bestimmt werden kann

Abbildung 4 Aufbau des Torsions-Oszillators der Firma TeachSpin ([2])

4 Versuchsdurchfuumlhrung

Waumlhrend des gesamten Versuchs musste darauf geachtet werden dass die Schwungscheibe nicht mehrals 15 rad ausgelenkt wurde da dies zu beschaumldigungen des Torsionsfadens fuumlhren kann Des weiterenist sonst auch die harmonische Schwingung nicht mehr garantiertAuyumlerdem musste zu Beginn sichergestellt werden dass die Ruhelage tatsaumlchlich bei 0V eingestellt ist

41 Versuchsteil 1

In diesem Versuchsteil wird die Torsionskonstante dynamisch bestimmt Dazu wurde zuerst das Oszil-loskop angeschlossen und ein paar Schwingungen aufgezeichnet damit wir mit der Funktionsweise desOszilloskops vertraut sindAnschlieyumlend wurden die Zusatzgewichte nacheinander auf die Platte gesteckt sodass sich das Traumlg-heitsmoment mit jedem Gewicht vergroumlyumlert Wir haben jeweils die Summe aller Massen auf der Schei-be gemessen Mittels des Oszilloskops wurden dann die Periodendauern der einzelnen Schwingungenbestimmt Des Weiteren wurde der Innen- und Auyumlenradius des Holzylinders der sich um den Torsi-onsfaden ergibt wenn die Zusatzgewichte auf die Kupferscheibe gesteckt werden gemessen Die Mes-sergebnisse sind dem Messprotokoll zu entnehmen

42 Versuchsteil 2

Im zweiten Teil des Versuchs werden verschiedene gedaumlmpfte Schwingungen untersucht Hierzu wer-den die Zusatzgewichte entfernt und die Magnete der Wirbelstrombremse so eingestellt dass nochein deutlicher Schwingungsvorgang zu sehen ist Von dieser Schwingung werden die Frequenz und dieaufeinanderfolgenden Maxima und Minima der Amplituden mittels des Oszilloskopes bestimmt DesWeiteren werden die Daten der Schwingung zusaumltzlich auf einem USB-Stick gespeichertDieser Vorgang wird fuumlr zwei weitere Schwingungen mit unterschiedlicher Daumlmpfung wiederholt Als

7

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

letztes sollte noch die szligchwingungeumliner sehr hohen Daumlmpfung betrachtet werden Die genauen Mess-ergebnisse sind dem Messprotokoll zu entnehmen

43 Versuchsteil 3

Im letzten Versuchsteil wird der Torsions-Oszillator uumlber einen Sinusgenerator zu einer ErzwungenenSchwingung angeregt Dazu sollte die Daumlmpfung so eingestellt werden dass eine Schwingung zwargut moumlglich ist ein Resonanzkatastrophe aber ausgeschlossen Anschlieyumlend wurde zwischen 0 und2Hz nach der Resonanzfrequenz des Systems gesucht In 10 weiteren Messungen sollte fuumlr jeweils fuumlnfFrequenzen unter und und fuumlnf Frequenzen uumlber der Resonanzfrequenz die Amplitude der erzwungenenSchwingung und die Phasenverschiebung der Erregerschwingung und der erzwungenen Schwingungbestimmt werden

5 Auswertung

51 Versuchsteil 1

Zuerst soll das Traumlgheitsmoment Θ0 der Schwungscheibe berechnet werden Dieses setzt sich aus demTraumlgheitsmoment der Schwungscheibe und dem der Welle zusammen Bei beidem handelt es sich umeinen Hohlzylinder dessen Drehachse entlang der Haupttraumlgheitsachse laumluft Das Traumlgheitsmomentkann also jeweils mit der Formel ΘHZ = 1

2m middot (r2i + r2

a) (Siehe auch Gleichung (4)) berechnet werden

Kupferscheibe Welleriinm 001295 000485

rainm 00285 00127m in kg 0962 plusmn 0002 0283

Θ in kg middotm2 0001981 plusmn 0000004 0000026

Tabelle 1 Berechnung von ΘKupferscheibe und ΘWelle

Das Gesamttraumlgheitsmoment ergibt sich uumlber die Summe

Θ0 = ΘKupferscheibe + ΘWelle = 0002007plusmn 0000004 kg middotm2

Die Daten fuumlr die Radien und die Massen sind der Versuchsbeschreibung ([2]) entnommen Da allerdingsnur eine Messungenauigkeit angegeben war ist der tatsaumlchliche Fehler von Θ0 vermutlich groumlyumler Hierwurde fuumlr die Fehlerrechnung folgende Formel aus ([5]) verwendet

B middot (mplusmn u(m)) = (B middotm)plusmn (B middot u(m)) (22)

Legt man zusaumltzliche Massestuumlcke auf die Schwungscheibe so erhoumlht dies das Traumlgheitsmoment Dieaufgelegten Massestuumlcke ergeben einen Hohlzylinder sodass sich das Traumlgheitsmoment ∆Θ uumlber Formel(4)berechnet werden kann Die Gesamtmasse aller acht Zylinderstuumlcke wurde gemessen und betraumlgtmges = 17120plusmn 000005kg der Fehler kommt hierbei von der Anzeigegenauigkeit der Waage Darausergibt sich die gemittelte Masse eines Massestuumlckes mit m = 02140plusmn 625 middot 10minus6 (Fehlerrechnung uumlberFormel 22) Verwendet man die Daten aus dem Messprotokoll ergibt sich also∆Θ = 28950 middot 10minus6plusmn 560 middot 10minus9 kg lowastm2

Ein Protokoll zur Fehlerrechnung bendet sich im Anhang

8

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

n (T(2π))2 in s2

0 0034084plusmn 0000034

1 0038948plusmn 0000036

2 0042808plusmn 0000038

3 0047542plusmn 0000040

4 0053257plusmn 0000042

5 0057756plusmn 0000044

6 0062437plusmn 0000046

7 0066477plusmn 0000047

8 0071492plusmn 0000049

Tabelle 2 (T(2π))2 fuumlr die Anzahl der Zylinderstuumlcke

Unter der Annahme dass alle Massestuumlckchen gleich schwer sind und die gleichen Mayumle haben gilt fuumlrdas Traumlgheitsmoment des Gesamtsystems Θges = Θ0 + n middot∆Θ Dadurch ist n Proportional zu

(T2π

)2

was auch in Abbildung (5) zu sehen istDie Fehler wurden mit Formel (22) und

(T plusmn u(T ))2 = T 2 middot(

1 + 2 middot u(T )

T

)berechnet ([5]) Der urspruumlngliche Fehler von T ergab sich uumlber die Anzeigegenauigkeit des Oszilloskops

Abbildung 5 Gerade uumlber(T2π

)2in Abhaumlngigkeigt von n

9

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

Messung 1 Messung 2 Messung 3C in (Vrad) 1519plusmn 0003 15475plusmn 00016 minus04783plusmn 00014

β in sminus1 0272plusmn 0001 01894plusmn 00006 05766plusmn 00013

ωg in sminus1 541091plusmn 000010 54085plusmn 00005 53841plusmn 00012

α minus4730plusmn 0002 minus47321plusmn 00010 minus14203plusmn 0003

Tabelle 3 Werte der getteten Funktion uumlber die Messwerte

Mit Hilfe von QTI Plot wurde die Steigung a = 000471 plusmn 000007 und der y-Achsenabschnit mitb = 00340plusmn 00004 ermitteltAus

T = 2π middotradic

Θ0

˜Ddyn

(23)

folgt

a =∆Θ˜Ddyn

(24)

˜Ddyn =∆Θ

a(25)

= 00615plusmn 00010Nm

rad(26)

Des weiteren gilt

Θ0 =

(T

2π

)2

middot ˜Ddyn = b middot ˜Ddyn (27)

= 0002091plusmn 0000042 kg middotm2 (28)

Die Fehlerrechunung wurde jeweils mit GUM Workbench durchgefuumlhrt das Protokoll bendet sich imAnhangDer theoretisch errechnetete Wert von Θ0 unterscheidet sich um 0000084 von dem experimentellerrechneten Wert Diese Ungenauigkeit ist auf die Messungenauigkeit zuruumlckzufuumlhren Des weiterenist die Naumlherung dass alle Massestuumlcke exakt die selbe Masse und die selben Mayumle haben nicht miteinberechnet worden

52 Versuchsteil 2

Damit das logarithmische Dekrement bestimmt werden kann muumlssen zunaumlchst die Daumlmpfung β undω bestimmt werden Dazu fuumlrt man eine nichlineare Regression uumlber die ermittelten Messwerte durchDie Messwerte sind in ein einer zu ϕ(t) proportionalen Groumlyumle mit der Einheit 1V angegeben Es kannalso die Theoriefunktion

ϕlowast(t) = C middot eminusβt cos(ωgtminus α) +A

als Fitfunktion verwendet werden Allerdings beschreibt A die Verschiebung in y-Achsen-Richtungund damit gilt A = 0 da das Nullniveau des Oszillators zu Beginn des Versuchs dem Nullniveau desTorsions-Oszillators angepasst wurde Mittels QTIPlot ergeben sich die Werte in Tabelle (3)

10

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

Messung 1 Messung 2 Messung 3Λ 03158plusmn 00012 02200plusmn 00014 06729plusmn 00030

fg in Hz 08929plusmn 000005 08621plusmn 000005 08264plusmn 000005

Tabelle 4 Logarithmisches Dekrement und Frequenz

Dadurch laumlsst sich das logarithmische Dekrement wie folgt berechnen wobei p =(

2πωg

)eine Periode

der Schwingung beschreibt

Λ = ln

C middot eminusβt cos(ωgtminus α)

C middot eminusβ(t+ 2π

ωg

)cos(ωg

(t+ 2π

ωg

)minus α

) (29)

= ln

(eminusβt

eminusβ

(t+ 2π

ωg

))

(30)

= minusβt+ β

(2π

ωg

)(31)

= 2π middot βωg

(32)

Daruumlber ergibt sich Tabelle (4)(Der Fehler von Λ wurde mit Hilfe von GUM Workbench berechnetund ein Protokoll bendet sich im Anhang der Fehler von fg beruht auf der Anzeigegenauigkeit desOszilloskops)Die Diagramme (6) (7) und(8) zeigen die Messwerte und die geplotteten Funktionen fuumlr die unter-schiedlichen Messungen

Abbildung 6 Schwingfall mit Daumlmpfungdgrad 1

11

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

Abbildung 7 Schwingfall mit Daumlmpfungdgrad 2

Abbildung 8 Schwingfall mit Daumlmpfungdgrad 3

Durch die hohe Anzahl der Messwerte ist die gettete Theoriefunktion relativ genau dies Zeigt sichauch in den kleinen FehlernUm den Zusammenhang zwischen Λ und fg zu erkennen muss man die Funktion fg(Λ) herleiten Dazu

12

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

verwendet man Formel (32) und ωg =radicw2

0 minus β2

Λ = 2π middot βωg

(33)

= 2π middot

radicω2

0 minus ω2g

ωg(34)

= 2π middotradic

(2πf0)2 minus (2πfg)2

2πfg(35)

= 2π middot

radicf2

0 minus f2g

fg(36)

hArr fg =

radic4π2 middot f2

0

1 + Λ2(37)

Im folgenden Diagramm (9) sind die uumlber die Messung errechneten Werte von Λ und die dazu getteteFunktion (37) dargestellt

Abbildung 9 Zusammenhang zwischen Λ und fg

Auallend ist hierbei dass die Messwerte nicht sehr nahe an der getteten Funktion liegen Der Fehlerliegt vermutlich bei den Werten von Λ Vergleicht man die getteten ωg-Werte mit den Abbildungen(6) (7) und(8) so ist schnell zu sehen dass diese nicht uumlbereinstimmen koumlnnen Der Fehler liegt alsobei den getteten Funktionen insbesondere von Messung 1 und Messung 2 Dadurch stimmt auch daserechnete Λ nicht mehrBetrachtet man auyumlerdem das Messprotokoll faumlllt auf das auch hier etwas nicht stimmen kann daauch hier die vom Oszillator abgelesenen Werte nicht mit den Abbildungen uumlbereinstimmen kann dazwar die abgelesenen Maxima und Minima gleich sind aber auch hier die Frequenz abnimmt obwohlauch die Daumlmpfung abnimmt

13

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

Frequenz in Hz(plusmn0 0005) ∆Phase in rad

0700 2815plusmn 0025

0730 2844plusmn 0027

0765 2596plusmn 0028

0800 2463plusmn 0029

0830 2295plusmn 0030

0860 1567plusmn 0031

0890 0783plusmn 0032

0920 0578plusmn 0033

0950 0382plusmn 0034

0980 0345plusmn 0036

Tabelle 5 Erregerfrequenz und ∆Phase Φ

53 Versuchsteil 3

Die in Tabelle (5) dargestellten Werte wurden immer erst nach ca einer Minute nach veraumlndern derErregerfrequenz gemessen da erst da sicher davon ausgegangen werden kann dass fg = ferr = f undωg = ωerr = ω gilt Des weiteren wurde die Phasenverschiebung in Sekunden gemessen und kann mit

Φ = 2π middot∆t middot f

umgerechnet werdenDer Fehler wird dabei mit den Formeln (22) und

(f plusmn u(f)) middot (∆tplusmn u(∆t)) = (f middot∆t)(

1plusmn(u(f)

f+u(∆t)

∆t

))aus [5] berechnetEs ist zu erkennen dass die Steigung um die Resonanzfrequenz (fResonanz = 0856 plusmn 0002Hz) amgroumlyumlten ist und nach rechts und links abnimmt Es scheint als gaumlbe es eine minimale und eine maximalePhasenverschiebung In einem Diagramm dargestellt ergibt sich Abbildung (10) Als Fitfuktion wurdefolgende Funktion verwendet

A2 + (A1minusA2)(1 + exp((xminus x0)dx))

Hierbei ist die Fitfunktion um die Resonanzfrequenz relativ ungenau da hier nur ein Messwert vorliegtDafuumlr ist der y-Achsenabschnitt umso genauer da hier mehrere Messwerte relativ nah bei einanderliegenBetrachtet man die Amplitude im Vergleich zur Frequenz so sieht man dass sie bei der Resonanz-frequenz ein Maximum aufweiyumlt Zudem nimmt die Steigung der Zunahme unterhalb der Resonanz-frequenz bis zu einem gewissen Punkt zu und dann wieder ab bis die Resonanzfrequenz erreicht istOberhalb dieser Frequenz nimmt die Abnahme erst zu und auch dann wieder ab Es ist des weiterenzu vermuten dass die Amplitude rechts und links der Resonanzfrequenz gegen einen Grenzwert laumluftIn Abbildung (11) ist dies graphisch dargestellt

14

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

Abbildung 10 ∆Phase Φ uumlber Erregerfrequenz mit Boltzmann-Fit

Abbildung 11 Doppelte Amplitude uumlber Erregerfrequenz mit Gauyuml-Fit

Da in Versuchsteil 2 ein Fehler unterlaufen ist koumlnnen wir die Eigenfrequenz ω0 nicht uumlber die Fitfunk-tion aus Abbildung (9 bestimmen Da aber zu Beginn des Versuches einige Schwingungen aufgezeichnet

15

SBeinlich amp RGarreis Literatur

wurden und die alle die Periodendauer T0 = 1160plusmn 00005s hatten kann daraus die Eigenfrequenz

f0 =1

T0= 08621plusmn 000041s

berechnet werden(Fehlerrechnung mit GUM Workbench ein Protokoll bendet sich im Anhang)Diese ist minimal groumlyumler als die ermittelte Resonanzfrequenz von fResonanz = 0856plusmn0002 (Der Fehlerwurde abgeschaumltzt) Da die Schwingung in diesem Versuchsteil leicht gedaumlmpft wurde damit eineResonanzkatastrophe verhindert wird diese Daumlmpfung aber nicht miteinberechnet wurde erfuumlllt dieAbweichung nur die Erwartung

6 Fragen

1 Von welchen Materialeigenschaften haumlngt die Torsionskonstante D ab

Die Torsionskonstante D haumlngt von der Festigkeit bzw Elastizitaumlt des verwendeten Materials abwelche als der Widerstand deniert ist welche das Material einer plastischen Verformung oderTrennung entgegensetzt

2 Was geschieht bei sehr starker Daumlmpfung Wie heiyumlt hierzu der Fachbegri

Das Pendel kriecht in die Ruhelage zuruumlck weshalb dieser Fall Kriechfall genannt wird SieheGrundlagen (16) Es kommt houmlchstens ein Nulldurchgang zustande wenn das pendel entspre-chend angeschubst wird

3 Wie kann man ein schwingungsfaumlhiges System noch daumlmpfen

Anstelle der hier verwendeten Wirbelstrombremsen die eine zur Geschwindigkeit proportionaleReibungskraft erzeugen kann auch viskose Reibung auch Stokessche Reibung genannt wiezB in Autostoyumldaumlmpfern verwendet werden oder Luftreibung (wie zB beim Schall) wobei diesesich meist proportional zum Geschwindigkeitsquadrat verhaumllt

4 Warum beobachtet man Resonanz im daumlmpfungsfreien Fall gerade bei einer Phasenverscheibung

von 90Ist dies der Fall so ist die anregende Kraft gerade proportional zur Geschwindigkeit des PendelsDh dass die Geschwindigkeit immer weiter verstaumlrkt wird also immer groumlyumler wird (Resonanz-fall) Mathematisch kann die Phasenverschiebung aus Formel (21) berechnet werden Fuumlr den

Fall β = 0 ist ωR = ω0 und der Betrag von tanminus1(

2βωRω2

0minusω2R

=infin)gerade π2 also 90

5 Wieso ist die Berechnung von ∆Θ genauer als die von Θ0 Die Berechnung von ∆Θ ist genauerda hier bei der Berechnung acht verschiedene Messwerte gemittelt wurden Siehe dazu auchKapitel 51

7 Anhang

Literatur

[1] Rebekka Garreis und Simeon Beinlich AP - Praktikumsbericht Traumlgheitsmoment aus Dreh-schwingungen 2012

[2] Runge Bernd-Uwe Physikalisches Anfaumlngerpraktikum der Universitaumlt Konstanz Torsions-

Oszillator (fuumlr Studiengang Physik) httpsapphysikunikonstanzdeAP-public

AnleitungenTorsions-Oszillator_Phypdf entnommen am 19122012

16

SBeinlich amp RGarreis 2 GRUNDLAGEN

Das Drehmoment ~D ist als die zeitliche Aumlnderung des Drehimpulses deniert und ist gleich einer Kraft~F die auf einen Hebel ~r wirkt

~D = ~L = ~r times ~p = ~r times ~F (6)

Torsionsmoment und -konstante

Im Versuch wird keine Schneckenfeder verwendet wie im Versuch Traumlgheitsmoment aus Drehschwin-

gungen sondern ein Torsionsfaden der wenn er verdrillt wird ein Torsionsmoment bewirkt welchesein ruumlcktreibendes Drehmoment auf den Oszillator ausuumlbt Hier wird wenn das Torsionsmoment linearzum ausgelenkten Winkel ϕ ist der Proportionalitaumltsfaktor als Torsionskonstante D bezeichnet Es giltsomit

~D = minusDϕ (7)

Harmonische Schwingung

Wirkt auf einen aus seiner Ruhelage ausgelenkten Koumlrper eine zur Auslenkung proportionale ruumlck-treibende Kraft nennt man diese periodische Bewegung eine harmonische Schwingung mit der Bewe-gungsgleichung

Θϕ+ Dϕ = 0 (8)

Wobei Θ das Traumlhgeitsmoment des Oszillators ϕ dessen Auslenkung und D die Torsionskonstante istTritt Reibung auf so kommt noch der Term kϕ hinzu

Θϕ+ kϕ+ Dϕ = 0 (9)

Wird nun die `Daumlmpfungskonstante β uumlber 2β = kΘ und die Eigenfrequenz ω0 uumlber ω2

0 = DΘ deniert

so ergibt sich

ϕ+ 2βϕ+ ω20ϕ = 0 (10)

Mit der allgemeine Loumlsung einer linearen homogenen DGL zweiter Ordnung

ϕ(t) = A middot eλ1t +B middot eλ2t (11)

Die Konstanten AB λ1 λ2 isin C werden aus den Anfangsbedingungen bestimmt

Die Eigenfrequenz ist die Frequenz mit der der Oszillator schwingt wenn er nicht von auyumlen kon-tinuierlich angeregt wird sondern nur einmal ausgelenkt und dann frei schwingen gelassen wird dieDaumlmpfung ist eine der Bewegungsrichtung entgegengesetzte Kraft welche kinetische Energie aus demSystem abfuumlhrt (zB als Waumlrme) In diesem Versuch wird die Daumlmpfung durch eineWirbelstrombremse

realisiert welche ein Phaumlnomen ausnutzt welches aus der Wechselwirkung zwischen elektrischen undmagnetischen Feldern ensteht Permanentmagnete induzieren in eine elektrisch leitfaumlhige Scheibe ausAluminium die mit dem Oszillator mitschwingt Wirbelstroumlme welche nach der Lenzschen Regel

ein entgegengesetztes also bremsendes Magnetfeld erzeugen Die Reibungskraft ist dabei linear zurGeschwindigkeitBei freier Schwingung (ohne kontinuierliche aumluyumlere Anregung wie im Versuchsteil 2) lautet die Loumlsungfuumlr die Variablen λ12 = minusβ plusmn

radicβ2 minus ω2

0 Es faumlllt auf dass fuumlr λ12im Falle β lt ω0 gilt λ12 komplexim Falle β = ω0 gilt λ1 = λ2 = minusβ reell undim Falle β gt ω0 gilt λ12 reellDie fuumlhrt zu folgender Fallunterscheidung

3

SBeinlich amp RGarreis 2 GRUNDLAGEN

Schwingfall

Es gilt β lt ω0 gilt λ12 isin CAnschaulich bedeutet das dass bei schwacher Daumlmpfung die Daumlmpfungskonstante β kleiner als dieEigenfrequenz ω0 ist Die Loumlsung ergibt sich durch Einsetzen von λ12 in die Dierentialgleichung 10und den Anfangsbedingungen ϕ(0) = ϕ0 und ϕ(0) = ϕ1 Der die Bewegung beschreibende Realteil derLoumlsung lautet somit

ϕ(t) =

(ϕ0cos(ωt) +

ϕ1 + βϕ0

ωsin(ωt)

)eminusβt (12)

mit ω =radicβ2 minus ω2

0 An der Formel wird ersichtlich dass es sich um eine periodische Schwingunghandelt mit der Winkelgeschwindigkeit ω welche von einer Einhuumlllenden eminusβt begrenzt wird undsomit fuumlr groumlyumler werdende t immer kleiner wird (Da Exponentialfunktion mit eax rarr 0 fuumlr a lt 0 undxrarr 0) Die Amplitude ϕ nimmt also mit jeder Schwingung (mit Schwingungsdauer T = 2π

ω ) ab AlsMayuml fuumlr diese Abnahme wird das logarithmische Dekrement Λ wie folgt eingefuumlhrt

Λ = minusln(ϕn+1

ϕn

)= minusln

(eminusβ(t+T )

eminusβt

)= βT (13)

Fuumlr die Frequenz f = 1T der Schwingung gilt also

f =β

Λ (14)

Je groumlyumler das logarithmische Dekrement ist desto groumlyumler ist also auch die Daumlmpfungskonstante unddesto schneller wird die Amplitude der Schwingung immer kleiner Zur Veranschaulichung dient Grak(1)

Aperiodischer Grenzfall

Wenn gilt β = ω0 also λ1 = λ2 = minusβ isin R lautet die dann ebenfalls reelle Loumlsung

ϕ(t) = (ϕ0 + (ϕ1 + ϕβ)t)eminusβt (15)

Es handelt sich also um eine rein exponentielle Funktion welche je nach Anfangsbedingungen keinenoder einen (ϕ ≶ 0minusβϕ0 ≶ ϕ1) Nulldurchgang besitztAuyumlerdem faumlllt auf dass dies der Fall ist bei dem sich die Schwingung am schnellsten gegen Nullbewegt Da die Daumlmpfungskonstante gleich der Eigenfrequenz sein muss und diese sich zB bei einemFederpendel mit der Masse aumlndert wird bei einem Auto mit fester Daumlmpfungskonstante und ungleicherBeladung das Daumlmpfungsverhalten nur in einem Fall optimal sein Ansonsten schwingt es entweder(groyumle Masse) oder der Kriechfall (folgender Fall) tritt ein Zur Veranschaulichung Grak (1)

Kriechfall

Hierbei gilt β gt ω0 also λ12 isin R Es uumlberlagern sich hierbei zwei exponentielle Funktionen Mit denAnfangsbedingungen wie oben und Θ =

radicβ2 minus ω2

0 ergibt sich nach ([2])

ϕ(t) =

((Θ + β)ϕ0 + ϕ1

2ΘeΘt +

(Θminus β)ϕ0 minus ϕ1

2ΘeminusΘt

)eminusβt (16)

Auch hier ist wieder houmlchstens ein Nulldurchgang moumlglich wenn die Anfangsbedingungen entsprechendgewaumlhlt werden Zur Veranschaulichung Grak (1)

4

SBeinlich amp RGarreis 2 GRUNDLAGEN

Abbildung 1 Freie ungedaumlmpfte schwach bzw stark gedaumlmpfte Schwingung und aperiodischer Grenz-fall (ohne Nulldurchgang) aus ([4])

Erzwungene Schwingungen

Bisher wurde nur die homogene Dierentialgleichung (10) betrachtet Wirkt jedoch eine externe Kraftbzw ein externes Drehmoment (hier eine harmonisch anregende) so wird aus der homogenen Die-rentialgleichung eine inhomogene

Θϕ(t) + kϕ(t) + Dϕ(t) = M(t) = M0cos(ωet) (17)

bzw

ϕ(t) + 2βϕ(t) + ω20ϕ(t) =

M0

Θcos(ωet) (18)

Mit den zusaumltzlichen Variablen M0 als maximale Auslenkung (Amplitude) des anregenden Drehmo-ments und dessen Kreisfrequenz ωe Da die homogene Loumlsung bekannt ist (so) muss nur noch einepartikulaumlre Loumlsung gefunden werden Durch Komplexizierung von M(t) erhaumllt man als Realteil derLoumlsung fuumlr groyumle Zeiten (nachdem der Einschwingvorgang abgeschlossen also saumlmtliche homogenenLoumlsungen zerfallen sind)

ϕ(t) = A(ωe) middot cos(ωet+ δ(ωe)) (19)

mit der Amplitude A(ωe) und der Phasenverschiebung δ(ωe)

A(ωe) =M0Θradic

(ω20 minus ω2

e)2 + (2βωe)2

(20)

δ(ωe) = tanminus1

(2βωeω2

0 minus ω2e

)(21)

Im Falle AR(ωe) = max(A(ωe)) welcher bei ωR =radicω2

0 minus 2β2 erreicht wird spricht man von ResonanzDiese ist je nach Daumlmpfung kleiner oder gleich ( iF von keiner Daumlmpfung) der Eigenfrequenz desgedaumlmpften bzw ungedaumlmpften freien Oszillators Zur Veranschaulichung die Graphen von AmplitudeA(ωe) und der Phasenverschiebung δ(ωe) in Abhaumlngigkeit von ωe

5

SBeinlich amp RGarreis 3 VERSUCHSAUFBAU

Abbildung 2 Amplitude A(ωe) in Abhaumlngigkeit von ωe aus ([3])

Abbildung 3 Phasenverschiebung δ(ωe) in Abhaumlngigkeit von ωe aus ([3])

3 Versuchsaufbau

In diesem Versuch wird der Torsions-Oszillator der Firma TeachSpin verwendet Er besteht im wesent-lichen aus einer Kupferscheibe mit radialer Skalierung die an einem sogenannten Torsionsfaden oderauch Torsinsfeder aufgehaumlngt ist Dieser Torsinsfaden kann um ca plusmn90 verdreht werden sodass einein Drehmoment auf die Scheibe wirkt es handelt sich also um einen harmonischen OszillatorDes weiteren koumlnnen bis zu acht Zusatzgewichte auf der Scheibe befestigt werden sodass diese ein houml-heres Traumlgheitsmoment bekommt Seitlich sind zwei verstellbare Permanentmagneten mit denen dieSchwingung der Scheibe unterschiedlich stark gedaumlmpft werden kann Die Magnete wirken dabei alsWirbelstrombremseAn den Torsions-Oszillator kann weiter ein Sinusgenerator angeschlossen werden sodass der Oszillatoruumlber sogenannte Helmholtzspulen zu Schwingungen anderer Frequenzen angeregt wird Durch dieHelmholtzspulen wird ein weiterer Permanentmagnet und eine daran befestigte Welle welche wiederummit der Kupferplatte verbunden ist ausgelenkt Ist der Sinusgenerator nicht angeschlossen so wird inden Helmholtzspulen eine Spannung induziert diese kann mittels eines anschlieyumlbaren Speicheroszil-lators hier der Firma Rigol gemessen und aufgezeichnet werden sodass zB die Periodendauer der

6

SBeinlich amp RGarreis 4 VERSUCHSDURCHFUumlHRUNG

Schwingung bestimmt werden kann

Abbildung 4 Aufbau des Torsions-Oszillators der Firma TeachSpin ([2])

4 Versuchsdurchfuumlhrung

Waumlhrend des gesamten Versuchs musste darauf geachtet werden dass die Schwungscheibe nicht mehrals 15 rad ausgelenkt wurde da dies zu beschaumldigungen des Torsionsfadens fuumlhren kann Des weiterenist sonst auch die harmonische Schwingung nicht mehr garantiertAuyumlerdem musste zu Beginn sichergestellt werden dass die Ruhelage tatsaumlchlich bei 0V eingestellt ist

41 Versuchsteil 1

In diesem Versuchsteil wird die Torsionskonstante dynamisch bestimmt Dazu wurde zuerst das Oszil-loskop angeschlossen und ein paar Schwingungen aufgezeichnet damit wir mit der Funktionsweise desOszilloskops vertraut sindAnschlieyumlend wurden die Zusatzgewichte nacheinander auf die Platte gesteckt sodass sich das Traumlg-heitsmoment mit jedem Gewicht vergroumlyumlert Wir haben jeweils die Summe aller Massen auf der Schei-be gemessen Mittels des Oszilloskops wurden dann die Periodendauern der einzelnen Schwingungenbestimmt Des Weiteren wurde der Innen- und Auyumlenradius des Holzylinders der sich um den Torsi-onsfaden ergibt wenn die Zusatzgewichte auf die Kupferscheibe gesteckt werden gemessen Die Mes-sergebnisse sind dem Messprotokoll zu entnehmen

42 Versuchsteil 2

Im zweiten Teil des Versuchs werden verschiedene gedaumlmpfte Schwingungen untersucht Hierzu wer-den die Zusatzgewichte entfernt und die Magnete der Wirbelstrombremse so eingestellt dass nochein deutlicher Schwingungsvorgang zu sehen ist Von dieser Schwingung werden die Frequenz und dieaufeinanderfolgenden Maxima und Minima der Amplituden mittels des Oszilloskopes bestimmt DesWeiteren werden die Daten der Schwingung zusaumltzlich auf einem USB-Stick gespeichertDieser Vorgang wird fuumlr zwei weitere Schwingungen mit unterschiedlicher Daumlmpfung wiederholt Als

7

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

letztes sollte noch die szligchwingungeumliner sehr hohen Daumlmpfung betrachtet werden Die genauen Mess-ergebnisse sind dem Messprotokoll zu entnehmen

43 Versuchsteil 3

Im letzten Versuchsteil wird der Torsions-Oszillator uumlber einen Sinusgenerator zu einer ErzwungenenSchwingung angeregt Dazu sollte die Daumlmpfung so eingestellt werden dass eine Schwingung zwargut moumlglich ist ein Resonanzkatastrophe aber ausgeschlossen Anschlieyumlend wurde zwischen 0 und2Hz nach der Resonanzfrequenz des Systems gesucht In 10 weiteren Messungen sollte fuumlr jeweils fuumlnfFrequenzen unter und und fuumlnf Frequenzen uumlber der Resonanzfrequenz die Amplitude der erzwungenenSchwingung und die Phasenverschiebung der Erregerschwingung und der erzwungenen Schwingungbestimmt werden

5 Auswertung

51 Versuchsteil 1

Zuerst soll das Traumlgheitsmoment Θ0 der Schwungscheibe berechnet werden Dieses setzt sich aus demTraumlgheitsmoment der Schwungscheibe und dem der Welle zusammen Bei beidem handelt es sich umeinen Hohlzylinder dessen Drehachse entlang der Haupttraumlgheitsachse laumluft Das Traumlgheitsmomentkann also jeweils mit der Formel ΘHZ = 1

2m middot (r2i + r2

a) (Siehe auch Gleichung (4)) berechnet werden

Kupferscheibe Welleriinm 001295 000485

rainm 00285 00127m in kg 0962 plusmn 0002 0283

Θ in kg middotm2 0001981 plusmn 0000004 0000026

Tabelle 1 Berechnung von ΘKupferscheibe und ΘWelle

Das Gesamttraumlgheitsmoment ergibt sich uumlber die Summe

Θ0 = ΘKupferscheibe + ΘWelle = 0002007plusmn 0000004 kg middotm2

Die Daten fuumlr die Radien und die Massen sind der Versuchsbeschreibung ([2]) entnommen Da allerdingsnur eine Messungenauigkeit angegeben war ist der tatsaumlchliche Fehler von Θ0 vermutlich groumlyumler Hierwurde fuumlr die Fehlerrechnung folgende Formel aus ([5]) verwendet

B middot (mplusmn u(m)) = (B middotm)plusmn (B middot u(m)) (22)

Legt man zusaumltzliche Massestuumlcke auf die Schwungscheibe so erhoumlht dies das Traumlgheitsmoment Dieaufgelegten Massestuumlcke ergeben einen Hohlzylinder sodass sich das Traumlgheitsmoment ∆Θ uumlber Formel(4)berechnet werden kann Die Gesamtmasse aller acht Zylinderstuumlcke wurde gemessen und betraumlgtmges = 17120plusmn 000005kg der Fehler kommt hierbei von der Anzeigegenauigkeit der Waage Darausergibt sich die gemittelte Masse eines Massestuumlckes mit m = 02140plusmn 625 middot 10minus6 (Fehlerrechnung uumlberFormel 22) Verwendet man die Daten aus dem Messprotokoll ergibt sich also∆Θ = 28950 middot 10minus6plusmn 560 middot 10minus9 kg lowastm2

Ein Protokoll zur Fehlerrechnung bendet sich im Anhang

8

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

n (T(2π))2 in s2

0 0034084plusmn 0000034

1 0038948plusmn 0000036

2 0042808plusmn 0000038

3 0047542plusmn 0000040

4 0053257plusmn 0000042

5 0057756plusmn 0000044

6 0062437plusmn 0000046

7 0066477plusmn 0000047

8 0071492plusmn 0000049

Tabelle 2 (T(2π))2 fuumlr die Anzahl der Zylinderstuumlcke

Unter der Annahme dass alle Massestuumlckchen gleich schwer sind und die gleichen Mayumle haben gilt fuumlrdas Traumlgheitsmoment des Gesamtsystems Θges = Θ0 + n middot∆Θ Dadurch ist n Proportional zu

(T2π

)2

was auch in Abbildung (5) zu sehen istDie Fehler wurden mit Formel (22) und

(T plusmn u(T ))2 = T 2 middot(

1 + 2 middot u(T )

T

)berechnet ([5]) Der urspruumlngliche Fehler von T ergab sich uumlber die Anzeigegenauigkeit des Oszilloskops

Abbildung 5 Gerade uumlber(T2π

)2in Abhaumlngigkeigt von n

9

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

Messung 1 Messung 2 Messung 3C in (Vrad) 1519plusmn 0003 15475plusmn 00016 minus04783plusmn 00014

β in sminus1 0272plusmn 0001 01894plusmn 00006 05766plusmn 00013

ωg in sminus1 541091plusmn 000010 54085plusmn 00005 53841plusmn 00012

α minus4730plusmn 0002 minus47321plusmn 00010 minus14203plusmn 0003

Tabelle 3 Werte der getteten Funktion uumlber die Messwerte

Mit Hilfe von QTI Plot wurde die Steigung a = 000471 plusmn 000007 und der y-Achsenabschnit mitb = 00340plusmn 00004 ermitteltAus

T = 2π middotradic

Θ0

˜Ddyn

(23)

folgt

a =∆Θ˜Ddyn

(24)

˜Ddyn =∆Θ

a(25)

= 00615plusmn 00010Nm

rad(26)

Des weiteren gilt

Θ0 =

(T

2π

)2

middot ˜Ddyn = b middot ˜Ddyn (27)

= 0002091plusmn 0000042 kg middotm2 (28)

Die Fehlerrechunung wurde jeweils mit GUM Workbench durchgefuumlhrt das Protokoll bendet sich imAnhangDer theoretisch errechnetete Wert von Θ0 unterscheidet sich um 0000084 von dem experimentellerrechneten Wert Diese Ungenauigkeit ist auf die Messungenauigkeit zuruumlckzufuumlhren Des weiterenist die Naumlherung dass alle Massestuumlcke exakt die selbe Masse und die selben Mayumle haben nicht miteinberechnet worden

52 Versuchsteil 2

Damit das logarithmische Dekrement bestimmt werden kann muumlssen zunaumlchst die Daumlmpfung β undω bestimmt werden Dazu fuumlrt man eine nichlineare Regression uumlber die ermittelten Messwerte durchDie Messwerte sind in ein einer zu ϕ(t) proportionalen Groumlyumle mit der Einheit 1V angegeben Es kannalso die Theoriefunktion

ϕlowast(t) = C middot eminusβt cos(ωgtminus α) +A

als Fitfunktion verwendet werden Allerdings beschreibt A die Verschiebung in y-Achsen-Richtungund damit gilt A = 0 da das Nullniveau des Oszillators zu Beginn des Versuchs dem Nullniveau desTorsions-Oszillators angepasst wurde Mittels QTIPlot ergeben sich die Werte in Tabelle (3)

10

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

Messung 1 Messung 2 Messung 3Λ 03158plusmn 00012 02200plusmn 00014 06729plusmn 00030

fg in Hz 08929plusmn 000005 08621plusmn 000005 08264plusmn 000005

Tabelle 4 Logarithmisches Dekrement und Frequenz

Dadurch laumlsst sich das logarithmische Dekrement wie folgt berechnen wobei p =(

2πωg

)eine Periode

der Schwingung beschreibt

Λ = ln

C middot eminusβt cos(ωgtminus α)

C middot eminusβ(t+ 2π

ωg

)cos(ωg

(t+ 2π

ωg

)minus α

) (29)

= ln

(eminusβt

eminusβ

(t+ 2π

ωg

))

(30)

= minusβt+ β

(2π

ωg

)(31)

= 2π middot βωg

(32)

Daruumlber ergibt sich Tabelle (4)(Der Fehler von Λ wurde mit Hilfe von GUM Workbench berechnetund ein Protokoll bendet sich im Anhang der Fehler von fg beruht auf der Anzeigegenauigkeit desOszilloskops)Die Diagramme (6) (7) und(8) zeigen die Messwerte und die geplotteten Funktionen fuumlr die unter-schiedlichen Messungen

Abbildung 6 Schwingfall mit Daumlmpfungdgrad 1

11

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

Abbildung 7 Schwingfall mit Daumlmpfungdgrad 2

Abbildung 8 Schwingfall mit Daumlmpfungdgrad 3

Durch die hohe Anzahl der Messwerte ist die gettete Theoriefunktion relativ genau dies Zeigt sichauch in den kleinen FehlernUm den Zusammenhang zwischen Λ und fg zu erkennen muss man die Funktion fg(Λ) herleiten Dazu

12

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

verwendet man Formel (32) und ωg =radicw2

0 minus β2

Λ = 2π middot βωg

(33)

= 2π middot

radicω2

0 minus ω2g

ωg(34)

= 2π middotradic

(2πf0)2 minus (2πfg)2

2πfg(35)

= 2π middot

radicf2

0 minus f2g

fg(36)

hArr fg =

radic4π2 middot f2

0

1 + Λ2(37)

Im folgenden Diagramm (9) sind die uumlber die Messung errechneten Werte von Λ und die dazu getteteFunktion (37) dargestellt

Abbildung 9 Zusammenhang zwischen Λ und fg

Auallend ist hierbei dass die Messwerte nicht sehr nahe an der getteten Funktion liegen Der Fehlerliegt vermutlich bei den Werten von Λ Vergleicht man die getteten ωg-Werte mit den Abbildungen(6) (7) und(8) so ist schnell zu sehen dass diese nicht uumlbereinstimmen koumlnnen Der Fehler liegt alsobei den getteten Funktionen insbesondere von Messung 1 und Messung 2 Dadurch stimmt auch daserechnete Λ nicht mehrBetrachtet man auyumlerdem das Messprotokoll faumlllt auf das auch hier etwas nicht stimmen kann daauch hier die vom Oszillator abgelesenen Werte nicht mit den Abbildungen uumlbereinstimmen kann dazwar die abgelesenen Maxima und Minima gleich sind aber auch hier die Frequenz abnimmt obwohlauch die Daumlmpfung abnimmt

13

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

Frequenz in Hz(plusmn0 0005) ∆Phase in rad

0700 2815plusmn 0025

0730 2844plusmn 0027

0765 2596plusmn 0028

0800 2463plusmn 0029

0830 2295plusmn 0030

0860 1567plusmn 0031

0890 0783plusmn 0032

0920 0578plusmn 0033

0950 0382plusmn 0034

0980 0345plusmn 0036

Tabelle 5 Erregerfrequenz und ∆Phase Φ

53 Versuchsteil 3

Die in Tabelle (5) dargestellten Werte wurden immer erst nach ca einer Minute nach veraumlndern derErregerfrequenz gemessen da erst da sicher davon ausgegangen werden kann dass fg = ferr = f undωg = ωerr = ω gilt Des weiteren wurde die Phasenverschiebung in Sekunden gemessen und kann mit

Φ = 2π middot∆t middot f

umgerechnet werdenDer Fehler wird dabei mit den Formeln (22) und

(f plusmn u(f)) middot (∆tplusmn u(∆t)) = (f middot∆t)(

1plusmn(u(f)

f+u(∆t)

∆t

))aus [5] berechnetEs ist zu erkennen dass die Steigung um die Resonanzfrequenz (fResonanz = 0856 plusmn 0002Hz) amgroumlyumlten ist und nach rechts und links abnimmt Es scheint als gaumlbe es eine minimale und eine maximalePhasenverschiebung In einem Diagramm dargestellt ergibt sich Abbildung (10) Als Fitfuktion wurdefolgende Funktion verwendet

A2 + (A1minusA2)(1 + exp((xminus x0)dx))

Hierbei ist die Fitfunktion um die Resonanzfrequenz relativ ungenau da hier nur ein Messwert vorliegtDafuumlr ist der y-Achsenabschnitt umso genauer da hier mehrere Messwerte relativ nah bei einanderliegenBetrachtet man die Amplitude im Vergleich zur Frequenz so sieht man dass sie bei der Resonanz-frequenz ein Maximum aufweiyumlt Zudem nimmt die Steigung der Zunahme unterhalb der Resonanz-frequenz bis zu einem gewissen Punkt zu und dann wieder ab bis die Resonanzfrequenz erreicht istOberhalb dieser Frequenz nimmt die Abnahme erst zu und auch dann wieder ab Es ist des weiterenzu vermuten dass die Amplitude rechts und links der Resonanzfrequenz gegen einen Grenzwert laumluftIn Abbildung (11) ist dies graphisch dargestellt

14

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

Abbildung 10 ∆Phase Φ uumlber Erregerfrequenz mit Boltzmann-Fit

Abbildung 11 Doppelte Amplitude uumlber Erregerfrequenz mit Gauyuml-Fit

Da in Versuchsteil 2 ein Fehler unterlaufen ist koumlnnen wir die Eigenfrequenz ω0 nicht uumlber die Fitfunk-tion aus Abbildung (9 bestimmen Da aber zu Beginn des Versuches einige Schwingungen aufgezeichnet

15

SBeinlich amp RGarreis Literatur

wurden und die alle die Periodendauer T0 = 1160plusmn 00005s hatten kann daraus die Eigenfrequenz

f0 =1

T0= 08621plusmn 000041s

berechnet werden(Fehlerrechnung mit GUM Workbench ein Protokoll bendet sich im Anhang)Diese ist minimal groumlyumler als die ermittelte Resonanzfrequenz von fResonanz = 0856plusmn0002 (Der Fehlerwurde abgeschaumltzt) Da die Schwingung in diesem Versuchsteil leicht gedaumlmpft wurde damit eineResonanzkatastrophe verhindert wird diese Daumlmpfung aber nicht miteinberechnet wurde erfuumlllt dieAbweichung nur die Erwartung

6 Fragen

1 Von welchen Materialeigenschaften haumlngt die Torsionskonstante D ab

Die Torsionskonstante D haumlngt von der Festigkeit bzw Elastizitaumlt des verwendeten Materials abwelche als der Widerstand deniert ist welche das Material einer plastischen Verformung oderTrennung entgegensetzt

2 Was geschieht bei sehr starker Daumlmpfung Wie heiyumlt hierzu der Fachbegri

Das Pendel kriecht in die Ruhelage zuruumlck weshalb dieser Fall Kriechfall genannt wird SieheGrundlagen (16) Es kommt houmlchstens ein Nulldurchgang zustande wenn das pendel entspre-chend angeschubst wird

3 Wie kann man ein schwingungsfaumlhiges System noch daumlmpfen

Anstelle der hier verwendeten Wirbelstrombremsen die eine zur Geschwindigkeit proportionaleReibungskraft erzeugen kann auch viskose Reibung auch Stokessche Reibung genannt wiezB in Autostoyumldaumlmpfern verwendet werden oder Luftreibung (wie zB beim Schall) wobei diesesich meist proportional zum Geschwindigkeitsquadrat verhaumllt

4 Warum beobachtet man Resonanz im daumlmpfungsfreien Fall gerade bei einer Phasenverscheibung

von 90Ist dies der Fall so ist die anregende Kraft gerade proportional zur Geschwindigkeit des PendelsDh dass die Geschwindigkeit immer weiter verstaumlrkt wird also immer groumlyumler wird (Resonanz-fall) Mathematisch kann die Phasenverschiebung aus Formel (21) berechnet werden Fuumlr den

Fall β = 0 ist ωR = ω0 und der Betrag von tanminus1(

2βωRω2

0minusω2R

=infin)gerade π2 also 90

5 Wieso ist die Berechnung von ∆Θ genauer als die von Θ0 Die Berechnung von ∆Θ ist genauerda hier bei der Berechnung acht verschiedene Messwerte gemittelt wurden Siehe dazu auchKapitel 51

7 Anhang

Literatur

[1] Rebekka Garreis und Simeon Beinlich AP - Praktikumsbericht Traumlgheitsmoment aus Dreh-schwingungen 2012

[2] Runge Bernd-Uwe Physikalisches Anfaumlngerpraktikum der Universitaumlt Konstanz Torsions-

Oszillator (fuumlr Studiengang Physik) httpsapphysikunikonstanzdeAP-public

AnleitungenTorsions-Oszillator_Phypdf entnommen am 19122012

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SBeinlich amp RGarreis 2 GRUNDLAGEN

Schwingfall

Es gilt β lt ω0 gilt λ12 isin CAnschaulich bedeutet das dass bei schwacher Daumlmpfung die Daumlmpfungskonstante β kleiner als dieEigenfrequenz ω0 ist Die Loumlsung ergibt sich durch Einsetzen von λ12 in die Dierentialgleichung 10und den Anfangsbedingungen ϕ(0) = ϕ0 und ϕ(0) = ϕ1 Der die Bewegung beschreibende Realteil derLoumlsung lautet somit

ϕ(t) =

(ϕ0cos(ωt) +

ϕ1 + βϕ0

ωsin(ωt)

)eminusβt (12)

mit ω =radicβ2 minus ω2

0 An der Formel wird ersichtlich dass es sich um eine periodische Schwingunghandelt mit der Winkelgeschwindigkeit ω welche von einer Einhuumlllenden eminusβt begrenzt wird undsomit fuumlr groumlyumler werdende t immer kleiner wird (Da Exponentialfunktion mit eax rarr 0 fuumlr a lt 0 undxrarr 0) Die Amplitude ϕ nimmt also mit jeder Schwingung (mit Schwingungsdauer T = 2π

ω ) ab AlsMayuml fuumlr diese Abnahme wird das logarithmische Dekrement Λ wie folgt eingefuumlhrt

Λ = minusln(ϕn+1

ϕn

)= minusln

(eminusβ(t+T )

eminusβt

)= βT (13)

Fuumlr die Frequenz f = 1T der Schwingung gilt also

f =β

Λ (14)

Je groumlyumler das logarithmische Dekrement ist desto groumlyumler ist also auch die Daumlmpfungskonstante unddesto schneller wird die Amplitude der Schwingung immer kleiner Zur Veranschaulichung dient Grak(1)

Aperiodischer Grenzfall

Wenn gilt β = ω0 also λ1 = λ2 = minusβ isin R lautet die dann ebenfalls reelle Loumlsung

ϕ(t) = (ϕ0 + (ϕ1 + ϕβ)t)eminusβt (15)

Es handelt sich also um eine rein exponentielle Funktion welche je nach Anfangsbedingungen keinenoder einen (ϕ ≶ 0minusβϕ0 ≶ ϕ1) Nulldurchgang besitztAuyumlerdem faumlllt auf dass dies der Fall ist bei dem sich die Schwingung am schnellsten gegen Nullbewegt Da die Daumlmpfungskonstante gleich der Eigenfrequenz sein muss und diese sich zB bei einemFederpendel mit der Masse aumlndert wird bei einem Auto mit fester Daumlmpfungskonstante und ungleicherBeladung das Daumlmpfungsverhalten nur in einem Fall optimal sein Ansonsten schwingt es entweder(groyumle Masse) oder der Kriechfall (folgender Fall) tritt ein Zur Veranschaulichung Grak (1)

Kriechfall

Hierbei gilt β gt ω0 also λ12 isin R Es uumlberlagern sich hierbei zwei exponentielle Funktionen Mit denAnfangsbedingungen wie oben und Θ =

radicβ2 minus ω2

0 ergibt sich nach ([2])

ϕ(t) =

((Θ + β)ϕ0 + ϕ1

2ΘeΘt +

(Θminus β)ϕ0 minus ϕ1

2ΘeminusΘt

)eminusβt (16)

Auch hier ist wieder houmlchstens ein Nulldurchgang moumlglich wenn die Anfangsbedingungen entsprechendgewaumlhlt werden Zur Veranschaulichung Grak (1)

4

SBeinlich amp RGarreis 2 GRUNDLAGEN

Abbildung 1 Freie ungedaumlmpfte schwach bzw stark gedaumlmpfte Schwingung und aperiodischer Grenz-fall (ohne Nulldurchgang) aus ([4])

Erzwungene Schwingungen

Bisher wurde nur die homogene Dierentialgleichung (10) betrachtet Wirkt jedoch eine externe Kraftbzw ein externes Drehmoment (hier eine harmonisch anregende) so wird aus der homogenen Die-rentialgleichung eine inhomogene

Θϕ(t) + kϕ(t) + Dϕ(t) = M(t) = M0cos(ωet) (17)

bzw

ϕ(t) + 2βϕ(t) + ω20ϕ(t) =

M0

Θcos(ωet) (18)

Mit den zusaumltzlichen Variablen M0 als maximale Auslenkung (Amplitude) des anregenden Drehmo-ments und dessen Kreisfrequenz ωe Da die homogene Loumlsung bekannt ist (so) muss nur noch einepartikulaumlre Loumlsung gefunden werden Durch Komplexizierung von M(t) erhaumllt man als Realteil derLoumlsung fuumlr groyumle Zeiten (nachdem der Einschwingvorgang abgeschlossen also saumlmtliche homogenenLoumlsungen zerfallen sind)

ϕ(t) = A(ωe) middot cos(ωet+ δ(ωe)) (19)

mit der Amplitude A(ωe) und der Phasenverschiebung δ(ωe)

A(ωe) =M0Θradic

(ω20 minus ω2

e)2 + (2βωe)2

(20)

δ(ωe) = tanminus1

(2βωeω2

0 minus ω2e

)(21)

Im Falle AR(ωe) = max(A(ωe)) welcher bei ωR =radicω2

0 minus 2β2 erreicht wird spricht man von ResonanzDiese ist je nach Daumlmpfung kleiner oder gleich ( iF von keiner Daumlmpfung) der Eigenfrequenz desgedaumlmpften bzw ungedaumlmpften freien Oszillators Zur Veranschaulichung die Graphen von AmplitudeA(ωe) und der Phasenverschiebung δ(ωe) in Abhaumlngigkeit von ωe

5

SBeinlich amp RGarreis 3 VERSUCHSAUFBAU

Abbildung 2 Amplitude A(ωe) in Abhaumlngigkeit von ωe aus ([3])

Abbildung 3 Phasenverschiebung δ(ωe) in Abhaumlngigkeit von ωe aus ([3])

3 Versuchsaufbau

In diesem Versuch wird der Torsions-Oszillator der Firma TeachSpin verwendet Er besteht im wesent-lichen aus einer Kupferscheibe mit radialer Skalierung die an einem sogenannten Torsionsfaden oderauch Torsinsfeder aufgehaumlngt ist Dieser Torsinsfaden kann um ca plusmn90 verdreht werden sodass einein Drehmoment auf die Scheibe wirkt es handelt sich also um einen harmonischen OszillatorDes weiteren koumlnnen bis zu acht Zusatzgewichte auf der Scheibe befestigt werden sodass diese ein houml-heres Traumlgheitsmoment bekommt Seitlich sind zwei verstellbare Permanentmagneten mit denen dieSchwingung der Scheibe unterschiedlich stark gedaumlmpft werden kann Die Magnete wirken dabei alsWirbelstrombremseAn den Torsions-Oszillator kann weiter ein Sinusgenerator angeschlossen werden sodass der Oszillatoruumlber sogenannte Helmholtzspulen zu Schwingungen anderer Frequenzen angeregt wird Durch dieHelmholtzspulen wird ein weiterer Permanentmagnet und eine daran befestigte Welle welche wiederummit der Kupferplatte verbunden ist ausgelenkt Ist der Sinusgenerator nicht angeschlossen so wird inden Helmholtzspulen eine Spannung induziert diese kann mittels eines anschlieyumlbaren Speicheroszil-lators hier der Firma Rigol gemessen und aufgezeichnet werden sodass zB die Periodendauer der

6

SBeinlich amp RGarreis 4 VERSUCHSDURCHFUumlHRUNG

Schwingung bestimmt werden kann

Abbildung 4 Aufbau des Torsions-Oszillators der Firma TeachSpin ([2])

4 Versuchsdurchfuumlhrung

Waumlhrend des gesamten Versuchs musste darauf geachtet werden dass die Schwungscheibe nicht mehrals 15 rad ausgelenkt wurde da dies zu beschaumldigungen des Torsionsfadens fuumlhren kann Des weiterenist sonst auch die harmonische Schwingung nicht mehr garantiertAuyumlerdem musste zu Beginn sichergestellt werden dass die Ruhelage tatsaumlchlich bei 0V eingestellt ist

41 Versuchsteil 1

In diesem Versuchsteil wird die Torsionskonstante dynamisch bestimmt Dazu wurde zuerst das Oszil-loskop angeschlossen und ein paar Schwingungen aufgezeichnet damit wir mit der Funktionsweise desOszilloskops vertraut sindAnschlieyumlend wurden die Zusatzgewichte nacheinander auf die Platte gesteckt sodass sich das Traumlg-heitsmoment mit jedem Gewicht vergroumlyumlert Wir haben jeweils die Summe aller Massen auf der Schei-be gemessen Mittels des Oszilloskops wurden dann die Periodendauern der einzelnen Schwingungenbestimmt Des Weiteren wurde der Innen- und Auyumlenradius des Holzylinders der sich um den Torsi-onsfaden ergibt wenn die Zusatzgewichte auf die Kupferscheibe gesteckt werden gemessen Die Mes-sergebnisse sind dem Messprotokoll zu entnehmen

42 Versuchsteil 2

Im zweiten Teil des Versuchs werden verschiedene gedaumlmpfte Schwingungen untersucht Hierzu wer-den die Zusatzgewichte entfernt und die Magnete der Wirbelstrombremse so eingestellt dass nochein deutlicher Schwingungsvorgang zu sehen ist Von dieser Schwingung werden die Frequenz und dieaufeinanderfolgenden Maxima und Minima der Amplituden mittels des Oszilloskopes bestimmt DesWeiteren werden die Daten der Schwingung zusaumltzlich auf einem USB-Stick gespeichertDieser Vorgang wird fuumlr zwei weitere Schwingungen mit unterschiedlicher Daumlmpfung wiederholt Als

7

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

letztes sollte noch die szligchwingungeumliner sehr hohen Daumlmpfung betrachtet werden Die genauen Mess-ergebnisse sind dem Messprotokoll zu entnehmen

43 Versuchsteil 3

Im letzten Versuchsteil wird der Torsions-Oszillator uumlber einen Sinusgenerator zu einer ErzwungenenSchwingung angeregt Dazu sollte die Daumlmpfung so eingestellt werden dass eine Schwingung zwargut moumlglich ist ein Resonanzkatastrophe aber ausgeschlossen Anschlieyumlend wurde zwischen 0 und2Hz nach der Resonanzfrequenz des Systems gesucht In 10 weiteren Messungen sollte fuumlr jeweils fuumlnfFrequenzen unter und und fuumlnf Frequenzen uumlber der Resonanzfrequenz die Amplitude der erzwungenenSchwingung und die Phasenverschiebung der Erregerschwingung und der erzwungenen Schwingungbestimmt werden

5 Auswertung

51 Versuchsteil 1

Zuerst soll das Traumlgheitsmoment Θ0 der Schwungscheibe berechnet werden Dieses setzt sich aus demTraumlgheitsmoment der Schwungscheibe und dem der Welle zusammen Bei beidem handelt es sich umeinen Hohlzylinder dessen Drehachse entlang der Haupttraumlgheitsachse laumluft Das Traumlgheitsmomentkann also jeweils mit der Formel ΘHZ = 1

2m middot (r2i + r2

a) (Siehe auch Gleichung (4)) berechnet werden

Kupferscheibe Welleriinm 001295 000485

rainm 00285 00127m in kg 0962 plusmn 0002 0283

Θ in kg middotm2 0001981 plusmn 0000004 0000026

Tabelle 1 Berechnung von ΘKupferscheibe und ΘWelle

Das Gesamttraumlgheitsmoment ergibt sich uumlber die Summe

Θ0 = ΘKupferscheibe + ΘWelle = 0002007plusmn 0000004 kg middotm2

Die Daten fuumlr die Radien und die Massen sind der Versuchsbeschreibung ([2]) entnommen Da allerdingsnur eine Messungenauigkeit angegeben war ist der tatsaumlchliche Fehler von Θ0 vermutlich groumlyumler Hierwurde fuumlr die Fehlerrechnung folgende Formel aus ([5]) verwendet

B middot (mplusmn u(m)) = (B middotm)plusmn (B middot u(m)) (22)

Legt man zusaumltzliche Massestuumlcke auf die Schwungscheibe so erhoumlht dies das Traumlgheitsmoment Dieaufgelegten Massestuumlcke ergeben einen Hohlzylinder sodass sich das Traumlgheitsmoment ∆Θ uumlber Formel(4)berechnet werden kann Die Gesamtmasse aller acht Zylinderstuumlcke wurde gemessen und betraumlgtmges = 17120plusmn 000005kg der Fehler kommt hierbei von der Anzeigegenauigkeit der Waage Darausergibt sich die gemittelte Masse eines Massestuumlckes mit m = 02140plusmn 625 middot 10minus6 (Fehlerrechnung uumlberFormel 22) Verwendet man die Daten aus dem Messprotokoll ergibt sich also∆Θ = 28950 middot 10minus6plusmn 560 middot 10minus9 kg lowastm2

Ein Protokoll zur Fehlerrechnung bendet sich im Anhang

8

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

n (T(2π))2 in s2

0 0034084plusmn 0000034

1 0038948plusmn 0000036

2 0042808plusmn 0000038

3 0047542plusmn 0000040

4 0053257plusmn 0000042

5 0057756plusmn 0000044

6 0062437plusmn 0000046

7 0066477plusmn 0000047

8 0071492plusmn 0000049

Tabelle 2 (T(2π))2 fuumlr die Anzahl der Zylinderstuumlcke

Unter der Annahme dass alle Massestuumlckchen gleich schwer sind und die gleichen Mayumle haben gilt fuumlrdas Traumlgheitsmoment des Gesamtsystems Θges = Θ0 + n middot∆Θ Dadurch ist n Proportional zu

(T2π

)2

was auch in Abbildung (5) zu sehen istDie Fehler wurden mit Formel (22) und

(T plusmn u(T ))2 = T 2 middot(

1 + 2 middot u(T )

T

)berechnet ([5]) Der urspruumlngliche Fehler von T ergab sich uumlber die Anzeigegenauigkeit des Oszilloskops

Abbildung 5 Gerade uumlber(T2π

)2in Abhaumlngigkeigt von n

9

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

Messung 1 Messung 2 Messung 3C in (Vrad) 1519plusmn 0003 15475plusmn 00016 minus04783plusmn 00014

β in sminus1 0272plusmn 0001 01894plusmn 00006 05766plusmn 00013

ωg in sminus1 541091plusmn 000010 54085plusmn 00005 53841plusmn 00012

α minus4730plusmn 0002 minus47321plusmn 00010 minus14203plusmn 0003

Tabelle 3 Werte der getteten Funktion uumlber die Messwerte

Mit Hilfe von QTI Plot wurde die Steigung a = 000471 plusmn 000007 und der y-Achsenabschnit mitb = 00340plusmn 00004 ermitteltAus

T = 2π middotradic

Θ0

˜Ddyn

(23)

folgt

a =∆Θ˜Ddyn

(24)

˜Ddyn =∆Θ

a(25)

= 00615plusmn 00010Nm

rad(26)

Des weiteren gilt

Θ0 =

(T

2π

)2

middot ˜Ddyn = b middot ˜Ddyn (27)

= 0002091plusmn 0000042 kg middotm2 (28)

Die Fehlerrechunung wurde jeweils mit GUM Workbench durchgefuumlhrt das Protokoll bendet sich imAnhangDer theoretisch errechnetete Wert von Θ0 unterscheidet sich um 0000084 von dem experimentellerrechneten Wert Diese Ungenauigkeit ist auf die Messungenauigkeit zuruumlckzufuumlhren Des weiterenist die Naumlherung dass alle Massestuumlcke exakt die selbe Masse und die selben Mayumle haben nicht miteinberechnet worden

52 Versuchsteil 2

Damit das logarithmische Dekrement bestimmt werden kann muumlssen zunaumlchst die Daumlmpfung β undω bestimmt werden Dazu fuumlrt man eine nichlineare Regression uumlber die ermittelten Messwerte durchDie Messwerte sind in ein einer zu ϕ(t) proportionalen Groumlyumle mit der Einheit 1V angegeben Es kannalso die Theoriefunktion

ϕlowast(t) = C middot eminusβt cos(ωgtminus α) +A

als Fitfunktion verwendet werden Allerdings beschreibt A die Verschiebung in y-Achsen-Richtungund damit gilt A = 0 da das Nullniveau des Oszillators zu Beginn des Versuchs dem Nullniveau desTorsions-Oszillators angepasst wurde Mittels QTIPlot ergeben sich die Werte in Tabelle (3)

10

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

Messung 1 Messung 2 Messung 3Λ 03158plusmn 00012 02200plusmn 00014 06729plusmn 00030

fg in Hz 08929plusmn 000005 08621plusmn 000005 08264plusmn 000005

Tabelle 4 Logarithmisches Dekrement und Frequenz

Dadurch laumlsst sich das logarithmische Dekrement wie folgt berechnen wobei p =(

2πωg

)eine Periode

der Schwingung beschreibt

Λ = ln

C middot eminusβt cos(ωgtminus α)

C middot eminusβ(t+ 2π

ωg

)cos(ωg

(t+ 2π

ωg

)minus α

) (29)

= ln

(eminusβt

eminusβ

(t+ 2π

ωg

))

(30)

= minusβt+ β

(2π

ωg

)(31)

= 2π middot βωg

(32)

Daruumlber ergibt sich Tabelle (4)(Der Fehler von Λ wurde mit Hilfe von GUM Workbench berechnetund ein Protokoll bendet sich im Anhang der Fehler von fg beruht auf der Anzeigegenauigkeit desOszilloskops)Die Diagramme (6) (7) und(8) zeigen die Messwerte und die geplotteten Funktionen fuumlr die unter-schiedlichen Messungen

Abbildung 6 Schwingfall mit Daumlmpfungdgrad 1

11

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

Abbildung 7 Schwingfall mit Daumlmpfungdgrad 2

Abbildung 8 Schwingfall mit Daumlmpfungdgrad 3

Durch die hohe Anzahl der Messwerte ist die gettete Theoriefunktion relativ genau dies Zeigt sichauch in den kleinen FehlernUm den Zusammenhang zwischen Λ und fg zu erkennen muss man die Funktion fg(Λ) herleiten Dazu

12

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

verwendet man Formel (32) und ωg =radicw2

0 minus β2

Λ = 2π middot βωg

(33)

= 2π middot

radicω2

0 minus ω2g

ωg(34)

= 2π middotradic

(2πf0)2 minus (2πfg)2

2πfg(35)

= 2π middot

radicf2

0 minus f2g

fg(36)

hArr fg =

radic4π2 middot f2

0

1 + Λ2(37)

Im folgenden Diagramm (9) sind die uumlber die Messung errechneten Werte von Λ und die dazu getteteFunktion (37) dargestellt

Abbildung 9 Zusammenhang zwischen Λ und fg

Auallend ist hierbei dass die Messwerte nicht sehr nahe an der getteten Funktion liegen Der Fehlerliegt vermutlich bei den Werten von Λ Vergleicht man die getteten ωg-Werte mit den Abbildungen(6) (7) und(8) so ist schnell zu sehen dass diese nicht uumlbereinstimmen koumlnnen Der Fehler liegt alsobei den getteten Funktionen insbesondere von Messung 1 und Messung 2 Dadurch stimmt auch daserechnete Λ nicht mehrBetrachtet man auyumlerdem das Messprotokoll faumlllt auf das auch hier etwas nicht stimmen kann daauch hier die vom Oszillator abgelesenen Werte nicht mit den Abbildungen uumlbereinstimmen kann dazwar die abgelesenen Maxima und Minima gleich sind aber auch hier die Frequenz abnimmt obwohlauch die Daumlmpfung abnimmt

13

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

Frequenz in Hz(plusmn0 0005) ∆Phase in rad

0700 2815plusmn 0025

0730 2844plusmn 0027

0765 2596plusmn 0028

0800 2463plusmn 0029

0830 2295plusmn 0030

0860 1567plusmn 0031

0890 0783plusmn 0032

0920 0578plusmn 0033

0950 0382plusmn 0034

0980 0345plusmn 0036

Tabelle 5 Erregerfrequenz und ∆Phase Φ

53 Versuchsteil 3

Die in Tabelle (5) dargestellten Werte wurden immer erst nach ca einer Minute nach veraumlndern derErregerfrequenz gemessen da erst da sicher davon ausgegangen werden kann dass fg = ferr = f undωg = ωerr = ω gilt Des weiteren wurde die Phasenverschiebung in Sekunden gemessen und kann mit

Φ = 2π middot∆t middot f

umgerechnet werdenDer Fehler wird dabei mit den Formeln (22) und

(f plusmn u(f)) middot (∆tplusmn u(∆t)) = (f middot∆t)(

1plusmn(u(f)

f+u(∆t)

∆t

))aus [5] berechnetEs ist zu erkennen dass die Steigung um die Resonanzfrequenz (fResonanz = 0856 plusmn 0002Hz) amgroumlyumlten ist und nach rechts und links abnimmt Es scheint als gaumlbe es eine minimale und eine maximalePhasenverschiebung In einem Diagramm dargestellt ergibt sich Abbildung (10) Als Fitfuktion wurdefolgende Funktion verwendet

A2 + (A1minusA2)(1 + exp((xminus x0)dx))

Hierbei ist die Fitfunktion um die Resonanzfrequenz relativ ungenau da hier nur ein Messwert vorliegtDafuumlr ist der y-Achsenabschnitt umso genauer da hier mehrere Messwerte relativ nah bei einanderliegenBetrachtet man die Amplitude im Vergleich zur Frequenz so sieht man dass sie bei der Resonanz-frequenz ein Maximum aufweiyumlt Zudem nimmt die Steigung der Zunahme unterhalb der Resonanz-frequenz bis zu einem gewissen Punkt zu und dann wieder ab bis die Resonanzfrequenz erreicht istOberhalb dieser Frequenz nimmt die Abnahme erst zu und auch dann wieder ab Es ist des weiterenzu vermuten dass die Amplitude rechts und links der Resonanzfrequenz gegen einen Grenzwert laumluftIn Abbildung (11) ist dies graphisch dargestellt

14

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

Abbildung 10 ∆Phase Φ uumlber Erregerfrequenz mit Boltzmann-Fit

Abbildung 11 Doppelte Amplitude uumlber Erregerfrequenz mit Gauyuml-Fit

Da in Versuchsteil 2 ein Fehler unterlaufen ist koumlnnen wir die Eigenfrequenz ω0 nicht uumlber die Fitfunk-tion aus Abbildung (9 bestimmen Da aber zu Beginn des Versuches einige Schwingungen aufgezeichnet

15

SBeinlich amp RGarreis Literatur

wurden und die alle die Periodendauer T0 = 1160plusmn 00005s hatten kann daraus die Eigenfrequenz

f0 =1

T0= 08621plusmn 000041s

berechnet werden(Fehlerrechnung mit GUM Workbench ein Protokoll bendet sich im Anhang)Diese ist minimal groumlyumler als die ermittelte Resonanzfrequenz von fResonanz = 0856plusmn0002 (Der Fehlerwurde abgeschaumltzt) Da die Schwingung in diesem Versuchsteil leicht gedaumlmpft wurde damit eineResonanzkatastrophe verhindert wird diese Daumlmpfung aber nicht miteinberechnet wurde erfuumlllt dieAbweichung nur die Erwartung

6 Fragen

1 Von welchen Materialeigenschaften haumlngt die Torsionskonstante D ab

Die Torsionskonstante D haumlngt von der Festigkeit bzw Elastizitaumlt des verwendeten Materials abwelche als der Widerstand deniert ist welche das Material einer plastischen Verformung oderTrennung entgegensetzt

2 Was geschieht bei sehr starker Daumlmpfung Wie heiyumlt hierzu der Fachbegri

Das Pendel kriecht in die Ruhelage zuruumlck weshalb dieser Fall Kriechfall genannt wird SieheGrundlagen (16) Es kommt houmlchstens ein Nulldurchgang zustande wenn das pendel entspre-chend angeschubst wird

3 Wie kann man ein schwingungsfaumlhiges System noch daumlmpfen

Anstelle der hier verwendeten Wirbelstrombremsen die eine zur Geschwindigkeit proportionaleReibungskraft erzeugen kann auch viskose Reibung auch Stokessche Reibung genannt wiezB in Autostoyumldaumlmpfern verwendet werden oder Luftreibung (wie zB beim Schall) wobei diesesich meist proportional zum Geschwindigkeitsquadrat verhaumllt

4 Warum beobachtet man Resonanz im daumlmpfungsfreien Fall gerade bei einer Phasenverscheibung

von 90Ist dies der Fall so ist die anregende Kraft gerade proportional zur Geschwindigkeit des PendelsDh dass die Geschwindigkeit immer weiter verstaumlrkt wird also immer groumlyumler wird (Resonanz-fall) Mathematisch kann die Phasenverschiebung aus Formel (21) berechnet werden Fuumlr den

Fall β = 0 ist ωR = ω0 und der Betrag von tanminus1(

2βωRω2

0minusω2R

=infin)gerade π2 also 90

5 Wieso ist die Berechnung von ∆Θ genauer als die von Θ0 Die Berechnung von ∆Θ ist genauerda hier bei der Berechnung acht verschiedene Messwerte gemittelt wurden Siehe dazu auchKapitel 51

7 Anhang

Literatur

[1] Rebekka Garreis und Simeon Beinlich AP - Praktikumsbericht Traumlgheitsmoment aus Dreh-schwingungen 2012

[2] Runge Bernd-Uwe Physikalisches Anfaumlngerpraktikum der Universitaumlt Konstanz Torsions-

Oszillator (fuumlr Studiengang Physik) httpsapphysikunikonstanzdeAP-public

AnleitungenTorsions-Oszillator_Phypdf entnommen am 19122012

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SBeinlich amp RGarreis 2 GRUNDLAGEN

Abbildung 1 Freie ungedaumlmpfte schwach bzw stark gedaumlmpfte Schwingung und aperiodischer Grenz-fall (ohne Nulldurchgang) aus ([4])

Erzwungene Schwingungen

Bisher wurde nur die homogene Dierentialgleichung (10) betrachtet Wirkt jedoch eine externe Kraftbzw ein externes Drehmoment (hier eine harmonisch anregende) so wird aus der homogenen Die-rentialgleichung eine inhomogene

Θϕ(t) + kϕ(t) + Dϕ(t) = M(t) = M0cos(ωet) (17)

bzw

ϕ(t) + 2βϕ(t) + ω20ϕ(t) =

M0

Θcos(ωet) (18)

Mit den zusaumltzlichen Variablen M0 als maximale Auslenkung (Amplitude) des anregenden Drehmo-ments und dessen Kreisfrequenz ωe Da die homogene Loumlsung bekannt ist (so) muss nur noch einepartikulaumlre Loumlsung gefunden werden Durch Komplexizierung von M(t) erhaumllt man als Realteil derLoumlsung fuumlr groyumle Zeiten (nachdem der Einschwingvorgang abgeschlossen also saumlmtliche homogenenLoumlsungen zerfallen sind)

ϕ(t) = A(ωe) middot cos(ωet+ δ(ωe)) (19)

mit der Amplitude A(ωe) und der Phasenverschiebung δ(ωe)

A(ωe) =M0Θradic

(ω20 minus ω2

e)2 + (2βωe)2

(20)

δ(ωe) = tanminus1

(2βωeω2

0 minus ω2e

)(21)

Im Falle AR(ωe) = max(A(ωe)) welcher bei ωR =radicω2

0 minus 2β2 erreicht wird spricht man von ResonanzDiese ist je nach Daumlmpfung kleiner oder gleich ( iF von keiner Daumlmpfung) der Eigenfrequenz desgedaumlmpften bzw ungedaumlmpften freien Oszillators Zur Veranschaulichung die Graphen von AmplitudeA(ωe) und der Phasenverschiebung δ(ωe) in Abhaumlngigkeit von ωe

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SBeinlich amp RGarreis 3 VERSUCHSAUFBAU

Abbildung 2 Amplitude A(ωe) in Abhaumlngigkeit von ωe aus ([3])

Abbildung 3 Phasenverschiebung δ(ωe) in Abhaumlngigkeit von ωe aus ([3])

3 Versuchsaufbau

In diesem Versuch wird der Torsions-Oszillator der Firma TeachSpin verwendet Er besteht im wesent-lichen aus einer Kupferscheibe mit radialer Skalierung die an einem sogenannten Torsionsfaden oderauch Torsinsfeder aufgehaumlngt ist Dieser Torsinsfaden kann um ca plusmn90 verdreht werden sodass einein Drehmoment auf die Scheibe wirkt es handelt sich also um einen harmonischen OszillatorDes weiteren koumlnnen bis zu acht Zusatzgewichte auf der Scheibe befestigt werden sodass diese ein houml-heres Traumlgheitsmoment bekommt Seitlich sind zwei verstellbare Permanentmagneten mit denen dieSchwingung der Scheibe unterschiedlich stark gedaumlmpft werden kann Die Magnete wirken dabei alsWirbelstrombremseAn den Torsions-Oszillator kann weiter ein Sinusgenerator angeschlossen werden sodass der Oszillatoruumlber sogenannte Helmholtzspulen zu Schwingungen anderer Frequenzen angeregt wird Durch dieHelmholtzspulen wird ein weiterer Permanentmagnet und eine daran befestigte Welle welche wiederummit der Kupferplatte verbunden ist ausgelenkt Ist der Sinusgenerator nicht angeschlossen so wird inden Helmholtzspulen eine Spannung induziert diese kann mittels eines anschlieyumlbaren Speicheroszil-lators hier der Firma Rigol gemessen und aufgezeichnet werden sodass zB die Periodendauer der

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SBeinlich amp RGarreis 4 VERSUCHSDURCHFUumlHRUNG

Schwingung bestimmt werden kann

Abbildung 4 Aufbau des Torsions-Oszillators der Firma TeachSpin ([2])

4 Versuchsdurchfuumlhrung

Waumlhrend des gesamten Versuchs musste darauf geachtet werden dass die Schwungscheibe nicht mehrals 15 rad ausgelenkt wurde da dies zu beschaumldigungen des Torsionsfadens fuumlhren kann Des weiterenist sonst auch die harmonische Schwingung nicht mehr garantiertAuyumlerdem musste zu Beginn sichergestellt werden dass die Ruhelage tatsaumlchlich bei 0V eingestellt ist

41 Versuchsteil 1

In diesem Versuchsteil wird die Torsionskonstante dynamisch bestimmt Dazu wurde zuerst das Oszil-loskop angeschlossen und ein paar Schwingungen aufgezeichnet damit wir mit der Funktionsweise desOszilloskops vertraut sindAnschlieyumlend wurden die Zusatzgewichte nacheinander auf die Platte gesteckt sodass sich das Traumlg-heitsmoment mit jedem Gewicht vergroumlyumlert Wir haben jeweils die Summe aller Massen auf der Schei-be gemessen Mittels des Oszilloskops wurden dann die Periodendauern der einzelnen Schwingungenbestimmt Des Weiteren wurde der Innen- und Auyumlenradius des Holzylinders der sich um den Torsi-onsfaden ergibt wenn die Zusatzgewichte auf die Kupferscheibe gesteckt werden gemessen Die Mes-sergebnisse sind dem Messprotokoll zu entnehmen

42 Versuchsteil 2

Im zweiten Teil des Versuchs werden verschiedene gedaumlmpfte Schwingungen untersucht Hierzu wer-den die Zusatzgewichte entfernt und die Magnete der Wirbelstrombremse so eingestellt dass nochein deutlicher Schwingungsvorgang zu sehen ist Von dieser Schwingung werden die Frequenz und dieaufeinanderfolgenden Maxima und Minima der Amplituden mittels des Oszilloskopes bestimmt DesWeiteren werden die Daten der Schwingung zusaumltzlich auf einem USB-Stick gespeichertDieser Vorgang wird fuumlr zwei weitere Schwingungen mit unterschiedlicher Daumlmpfung wiederholt Als

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SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

letztes sollte noch die szligchwingungeumliner sehr hohen Daumlmpfung betrachtet werden Die genauen Mess-ergebnisse sind dem Messprotokoll zu entnehmen

43 Versuchsteil 3

Im letzten Versuchsteil wird der Torsions-Oszillator uumlber einen Sinusgenerator zu einer ErzwungenenSchwingung angeregt Dazu sollte die Daumlmpfung so eingestellt werden dass eine Schwingung zwargut moumlglich ist ein Resonanzkatastrophe aber ausgeschlossen Anschlieyumlend wurde zwischen 0 und2Hz nach der Resonanzfrequenz des Systems gesucht In 10 weiteren Messungen sollte fuumlr jeweils fuumlnfFrequenzen unter und und fuumlnf Frequenzen uumlber der Resonanzfrequenz die Amplitude der erzwungenenSchwingung und die Phasenverschiebung der Erregerschwingung und der erzwungenen Schwingungbestimmt werden

5 Auswertung

51 Versuchsteil 1

Zuerst soll das Traumlgheitsmoment Θ0 der Schwungscheibe berechnet werden Dieses setzt sich aus demTraumlgheitsmoment der Schwungscheibe und dem der Welle zusammen Bei beidem handelt es sich umeinen Hohlzylinder dessen Drehachse entlang der Haupttraumlgheitsachse laumluft Das Traumlgheitsmomentkann also jeweils mit der Formel ΘHZ = 1

2m middot (r2i + r2

a) (Siehe auch Gleichung (4)) berechnet werden

Kupferscheibe Welleriinm 001295 000485

rainm 00285 00127m in kg 0962 plusmn 0002 0283

Θ in kg middotm2 0001981 plusmn 0000004 0000026

Tabelle 1 Berechnung von ΘKupferscheibe und ΘWelle

Das Gesamttraumlgheitsmoment ergibt sich uumlber die Summe

Θ0 = ΘKupferscheibe + ΘWelle = 0002007plusmn 0000004 kg middotm2

Die Daten fuumlr die Radien und die Massen sind der Versuchsbeschreibung ([2]) entnommen Da allerdingsnur eine Messungenauigkeit angegeben war ist der tatsaumlchliche Fehler von Θ0 vermutlich groumlyumler Hierwurde fuumlr die Fehlerrechnung folgende Formel aus ([5]) verwendet

B middot (mplusmn u(m)) = (B middotm)plusmn (B middot u(m)) (22)

Legt man zusaumltzliche Massestuumlcke auf die Schwungscheibe so erhoumlht dies das Traumlgheitsmoment Dieaufgelegten Massestuumlcke ergeben einen Hohlzylinder sodass sich das Traumlgheitsmoment ∆Θ uumlber Formel(4)berechnet werden kann Die Gesamtmasse aller acht Zylinderstuumlcke wurde gemessen und betraumlgtmges = 17120plusmn 000005kg der Fehler kommt hierbei von der Anzeigegenauigkeit der Waage Darausergibt sich die gemittelte Masse eines Massestuumlckes mit m = 02140plusmn 625 middot 10minus6 (Fehlerrechnung uumlberFormel 22) Verwendet man die Daten aus dem Messprotokoll ergibt sich also∆Θ = 28950 middot 10minus6plusmn 560 middot 10minus9 kg lowastm2

Ein Protokoll zur Fehlerrechnung bendet sich im Anhang

8

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

n (T(2π))2 in s2

0 0034084plusmn 0000034

1 0038948plusmn 0000036

2 0042808plusmn 0000038

3 0047542plusmn 0000040

4 0053257plusmn 0000042

5 0057756plusmn 0000044

6 0062437plusmn 0000046

7 0066477plusmn 0000047

8 0071492plusmn 0000049

Tabelle 2 (T(2π))2 fuumlr die Anzahl der Zylinderstuumlcke

Unter der Annahme dass alle Massestuumlckchen gleich schwer sind und die gleichen Mayumle haben gilt fuumlrdas Traumlgheitsmoment des Gesamtsystems Θges = Θ0 + n middot∆Θ Dadurch ist n Proportional zu

(T2π

)2

was auch in Abbildung (5) zu sehen istDie Fehler wurden mit Formel (22) und

(T plusmn u(T ))2 = T 2 middot(

1 + 2 middot u(T )

T

)berechnet ([5]) Der urspruumlngliche Fehler von T ergab sich uumlber die Anzeigegenauigkeit des Oszilloskops

Abbildung 5 Gerade uumlber(T2π

)2in Abhaumlngigkeigt von n

9

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

Messung 1 Messung 2 Messung 3C in (Vrad) 1519plusmn 0003 15475plusmn 00016 minus04783plusmn 00014

β in sminus1 0272plusmn 0001 01894plusmn 00006 05766plusmn 00013

ωg in sminus1 541091plusmn 000010 54085plusmn 00005 53841plusmn 00012

α minus4730plusmn 0002 minus47321plusmn 00010 minus14203plusmn 0003

Tabelle 3 Werte der getteten Funktion uumlber die Messwerte

Mit Hilfe von QTI Plot wurde die Steigung a = 000471 plusmn 000007 und der y-Achsenabschnit mitb = 00340plusmn 00004 ermitteltAus

T = 2π middotradic

Θ0

˜Ddyn

(23)

folgt

a =∆Θ˜Ddyn

(24)

˜Ddyn =∆Θ

a(25)

= 00615plusmn 00010Nm

rad(26)

Des weiteren gilt

Θ0 =

(T

2π

)2

middot ˜Ddyn = b middot ˜Ddyn (27)

= 0002091plusmn 0000042 kg middotm2 (28)

Die Fehlerrechunung wurde jeweils mit GUM Workbench durchgefuumlhrt das Protokoll bendet sich imAnhangDer theoretisch errechnetete Wert von Θ0 unterscheidet sich um 0000084 von dem experimentellerrechneten Wert Diese Ungenauigkeit ist auf die Messungenauigkeit zuruumlckzufuumlhren Des weiterenist die Naumlherung dass alle Massestuumlcke exakt die selbe Masse und die selben Mayumle haben nicht miteinberechnet worden

52 Versuchsteil 2

Damit das logarithmische Dekrement bestimmt werden kann muumlssen zunaumlchst die Daumlmpfung β undω bestimmt werden Dazu fuumlrt man eine nichlineare Regression uumlber die ermittelten Messwerte durchDie Messwerte sind in ein einer zu ϕ(t) proportionalen Groumlyumle mit der Einheit 1V angegeben Es kannalso die Theoriefunktion

ϕlowast(t) = C middot eminusβt cos(ωgtminus α) +A

als Fitfunktion verwendet werden Allerdings beschreibt A die Verschiebung in y-Achsen-Richtungund damit gilt A = 0 da das Nullniveau des Oszillators zu Beginn des Versuchs dem Nullniveau desTorsions-Oszillators angepasst wurde Mittels QTIPlot ergeben sich die Werte in Tabelle (3)

10

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

Messung 1 Messung 2 Messung 3Λ 03158plusmn 00012 02200plusmn 00014 06729plusmn 00030

fg in Hz 08929plusmn 000005 08621plusmn 000005 08264plusmn 000005

Tabelle 4 Logarithmisches Dekrement und Frequenz

Dadurch laumlsst sich das logarithmische Dekrement wie folgt berechnen wobei p =(

2πωg

)eine Periode

der Schwingung beschreibt

Λ = ln

C middot eminusβt cos(ωgtminus α)

C middot eminusβ(t+ 2π

ωg

)cos(ωg

(t+ 2π

ωg

)minus α

) (29)

= ln

(eminusβt

eminusβ

(t+ 2π

ωg

))

(30)

= minusβt+ β

(2π

ωg

)(31)

= 2π middot βωg

(32)

Daruumlber ergibt sich Tabelle (4)(Der Fehler von Λ wurde mit Hilfe von GUM Workbench berechnetund ein Protokoll bendet sich im Anhang der Fehler von fg beruht auf der Anzeigegenauigkeit desOszilloskops)Die Diagramme (6) (7) und(8) zeigen die Messwerte und die geplotteten Funktionen fuumlr die unter-schiedlichen Messungen

Abbildung 6 Schwingfall mit Daumlmpfungdgrad 1

11

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

Abbildung 7 Schwingfall mit Daumlmpfungdgrad 2

Abbildung 8 Schwingfall mit Daumlmpfungdgrad 3

Durch die hohe Anzahl der Messwerte ist die gettete Theoriefunktion relativ genau dies Zeigt sichauch in den kleinen FehlernUm den Zusammenhang zwischen Λ und fg zu erkennen muss man die Funktion fg(Λ) herleiten Dazu

12

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

verwendet man Formel (32) und ωg =radicw2

0 minus β2

Λ = 2π middot βωg

(33)

= 2π middot

radicω2

0 minus ω2g

ωg(34)

= 2π middotradic

(2πf0)2 minus (2πfg)2

2πfg(35)

= 2π middot

radicf2

0 minus f2g

fg(36)

hArr fg =

radic4π2 middot f2

0

1 + Λ2(37)

Im folgenden Diagramm (9) sind die uumlber die Messung errechneten Werte von Λ und die dazu getteteFunktion (37) dargestellt

Abbildung 9 Zusammenhang zwischen Λ und fg

Auallend ist hierbei dass die Messwerte nicht sehr nahe an der getteten Funktion liegen Der Fehlerliegt vermutlich bei den Werten von Λ Vergleicht man die getteten ωg-Werte mit den Abbildungen(6) (7) und(8) so ist schnell zu sehen dass diese nicht uumlbereinstimmen koumlnnen Der Fehler liegt alsobei den getteten Funktionen insbesondere von Messung 1 und Messung 2 Dadurch stimmt auch daserechnete Λ nicht mehrBetrachtet man auyumlerdem das Messprotokoll faumlllt auf das auch hier etwas nicht stimmen kann daauch hier die vom Oszillator abgelesenen Werte nicht mit den Abbildungen uumlbereinstimmen kann dazwar die abgelesenen Maxima und Minima gleich sind aber auch hier die Frequenz abnimmt obwohlauch die Daumlmpfung abnimmt

13

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

Frequenz in Hz(plusmn0 0005) ∆Phase in rad

0700 2815plusmn 0025

0730 2844plusmn 0027

0765 2596plusmn 0028

0800 2463plusmn 0029

0830 2295plusmn 0030

0860 1567plusmn 0031

0890 0783plusmn 0032

0920 0578plusmn 0033

0950 0382plusmn 0034

0980 0345plusmn 0036

Tabelle 5 Erregerfrequenz und ∆Phase Φ

53 Versuchsteil 3

Die in Tabelle (5) dargestellten Werte wurden immer erst nach ca einer Minute nach veraumlndern derErregerfrequenz gemessen da erst da sicher davon ausgegangen werden kann dass fg = ferr = f undωg = ωerr = ω gilt Des weiteren wurde die Phasenverschiebung in Sekunden gemessen und kann mit

Φ = 2π middot∆t middot f

umgerechnet werdenDer Fehler wird dabei mit den Formeln (22) und

(f plusmn u(f)) middot (∆tplusmn u(∆t)) = (f middot∆t)(

1plusmn(u(f)

f+u(∆t)

∆t

))aus [5] berechnetEs ist zu erkennen dass die Steigung um die Resonanzfrequenz (fResonanz = 0856 plusmn 0002Hz) amgroumlyumlten ist und nach rechts und links abnimmt Es scheint als gaumlbe es eine minimale und eine maximalePhasenverschiebung In einem Diagramm dargestellt ergibt sich Abbildung (10) Als Fitfuktion wurdefolgende Funktion verwendet

A2 + (A1minusA2)(1 + exp((xminus x0)dx))

Hierbei ist die Fitfunktion um die Resonanzfrequenz relativ ungenau da hier nur ein Messwert vorliegtDafuumlr ist der y-Achsenabschnitt umso genauer da hier mehrere Messwerte relativ nah bei einanderliegenBetrachtet man die Amplitude im Vergleich zur Frequenz so sieht man dass sie bei der Resonanz-frequenz ein Maximum aufweiyumlt Zudem nimmt die Steigung der Zunahme unterhalb der Resonanz-frequenz bis zu einem gewissen Punkt zu und dann wieder ab bis die Resonanzfrequenz erreicht istOberhalb dieser Frequenz nimmt die Abnahme erst zu und auch dann wieder ab Es ist des weiterenzu vermuten dass die Amplitude rechts und links der Resonanzfrequenz gegen einen Grenzwert laumluftIn Abbildung (11) ist dies graphisch dargestellt

14

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

Abbildung 10 ∆Phase Φ uumlber Erregerfrequenz mit Boltzmann-Fit

Abbildung 11 Doppelte Amplitude uumlber Erregerfrequenz mit Gauyuml-Fit

Da in Versuchsteil 2 ein Fehler unterlaufen ist koumlnnen wir die Eigenfrequenz ω0 nicht uumlber die Fitfunk-tion aus Abbildung (9 bestimmen Da aber zu Beginn des Versuches einige Schwingungen aufgezeichnet

15

SBeinlich amp RGarreis Literatur

wurden und die alle die Periodendauer T0 = 1160plusmn 00005s hatten kann daraus die Eigenfrequenz

f0 =1

T0= 08621plusmn 000041s

berechnet werden(Fehlerrechnung mit GUM Workbench ein Protokoll bendet sich im Anhang)Diese ist minimal groumlyumler als die ermittelte Resonanzfrequenz von fResonanz = 0856plusmn0002 (Der Fehlerwurde abgeschaumltzt) Da die Schwingung in diesem Versuchsteil leicht gedaumlmpft wurde damit eineResonanzkatastrophe verhindert wird diese Daumlmpfung aber nicht miteinberechnet wurde erfuumlllt dieAbweichung nur die Erwartung

6 Fragen

1 Von welchen Materialeigenschaften haumlngt die Torsionskonstante D ab

Die Torsionskonstante D haumlngt von der Festigkeit bzw Elastizitaumlt des verwendeten Materials abwelche als der Widerstand deniert ist welche das Material einer plastischen Verformung oderTrennung entgegensetzt

2 Was geschieht bei sehr starker Daumlmpfung Wie heiyumlt hierzu der Fachbegri

Das Pendel kriecht in die Ruhelage zuruumlck weshalb dieser Fall Kriechfall genannt wird SieheGrundlagen (16) Es kommt houmlchstens ein Nulldurchgang zustande wenn das pendel entspre-chend angeschubst wird

3 Wie kann man ein schwingungsfaumlhiges System noch daumlmpfen

Anstelle der hier verwendeten Wirbelstrombremsen die eine zur Geschwindigkeit proportionaleReibungskraft erzeugen kann auch viskose Reibung auch Stokessche Reibung genannt wiezB in Autostoyumldaumlmpfern verwendet werden oder Luftreibung (wie zB beim Schall) wobei diesesich meist proportional zum Geschwindigkeitsquadrat verhaumllt

4 Warum beobachtet man Resonanz im daumlmpfungsfreien Fall gerade bei einer Phasenverscheibung

von 90Ist dies der Fall so ist die anregende Kraft gerade proportional zur Geschwindigkeit des PendelsDh dass die Geschwindigkeit immer weiter verstaumlrkt wird also immer groumlyumler wird (Resonanz-fall) Mathematisch kann die Phasenverschiebung aus Formel (21) berechnet werden Fuumlr den

Fall β = 0 ist ωR = ω0 und der Betrag von tanminus1(

2βωRω2

0minusω2R

=infin)gerade π2 also 90

5 Wieso ist die Berechnung von ∆Θ genauer als die von Θ0 Die Berechnung von ∆Θ ist genauerda hier bei der Berechnung acht verschiedene Messwerte gemittelt wurden Siehe dazu auchKapitel 51

7 Anhang

Literatur

[1] Rebekka Garreis und Simeon Beinlich AP - Praktikumsbericht Traumlgheitsmoment aus Dreh-schwingungen 2012

[2] Runge Bernd-Uwe Physikalisches Anfaumlngerpraktikum der Universitaumlt Konstanz Torsions-

Oszillator (fuumlr Studiengang Physik) httpsapphysikunikonstanzdeAP-public

AnleitungenTorsions-Oszillator_Phypdf entnommen am 19122012

16

SBeinlich amp RGarreis 3 VERSUCHSAUFBAU

Abbildung 2 Amplitude A(ωe) in Abhaumlngigkeit von ωe aus ([3])

Abbildung 3 Phasenverschiebung δ(ωe) in Abhaumlngigkeit von ωe aus ([3])

3 Versuchsaufbau

In diesem Versuch wird der Torsions-Oszillator der Firma TeachSpin verwendet Er besteht im wesent-lichen aus einer Kupferscheibe mit radialer Skalierung die an einem sogenannten Torsionsfaden oderauch Torsinsfeder aufgehaumlngt ist Dieser Torsinsfaden kann um ca plusmn90 verdreht werden sodass einein Drehmoment auf die Scheibe wirkt es handelt sich also um einen harmonischen OszillatorDes weiteren koumlnnen bis zu acht Zusatzgewichte auf der Scheibe befestigt werden sodass diese ein houml-heres Traumlgheitsmoment bekommt Seitlich sind zwei verstellbare Permanentmagneten mit denen dieSchwingung der Scheibe unterschiedlich stark gedaumlmpft werden kann Die Magnete wirken dabei alsWirbelstrombremseAn den Torsions-Oszillator kann weiter ein Sinusgenerator angeschlossen werden sodass der Oszillatoruumlber sogenannte Helmholtzspulen zu Schwingungen anderer Frequenzen angeregt wird Durch dieHelmholtzspulen wird ein weiterer Permanentmagnet und eine daran befestigte Welle welche wiederummit der Kupferplatte verbunden ist ausgelenkt Ist der Sinusgenerator nicht angeschlossen so wird inden Helmholtzspulen eine Spannung induziert diese kann mittels eines anschlieyumlbaren Speicheroszil-lators hier der Firma Rigol gemessen und aufgezeichnet werden sodass zB die Periodendauer der

6

SBeinlich amp RGarreis 4 VERSUCHSDURCHFUumlHRUNG

Schwingung bestimmt werden kann

Abbildung 4 Aufbau des Torsions-Oszillators der Firma TeachSpin ([2])

4 Versuchsdurchfuumlhrung

Waumlhrend des gesamten Versuchs musste darauf geachtet werden dass die Schwungscheibe nicht mehrals 15 rad ausgelenkt wurde da dies zu beschaumldigungen des Torsionsfadens fuumlhren kann Des weiterenist sonst auch die harmonische Schwingung nicht mehr garantiertAuyumlerdem musste zu Beginn sichergestellt werden dass die Ruhelage tatsaumlchlich bei 0V eingestellt ist

41 Versuchsteil 1

In diesem Versuchsteil wird die Torsionskonstante dynamisch bestimmt Dazu wurde zuerst das Oszil-loskop angeschlossen und ein paar Schwingungen aufgezeichnet damit wir mit der Funktionsweise desOszilloskops vertraut sindAnschlieyumlend wurden die Zusatzgewichte nacheinander auf die Platte gesteckt sodass sich das Traumlg-heitsmoment mit jedem Gewicht vergroumlyumlert Wir haben jeweils die Summe aller Massen auf der Schei-be gemessen Mittels des Oszilloskops wurden dann die Periodendauern der einzelnen Schwingungenbestimmt Des Weiteren wurde der Innen- und Auyumlenradius des Holzylinders der sich um den Torsi-onsfaden ergibt wenn die Zusatzgewichte auf die Kupferscheibe gesteckt werden gemessen Die Mes-sergebnisse sind dem Messprotokoll zu entnehmen

42 Versuchsteil 2

Im zweiten Teil des Versuchs werden verschiedene gedaumlmpfte Schwingungen untersucht Hierzu wer-den die Zusatzgewichte entfernt und die Magnete der Wirbelstrombremse so eingestellt dass nochein deutlicher Schwingungsvorgang zu sehen ist Von dieser Schwingung werden die Frequenz und dieaufeinanderfolgenden Maxima und Minima der Amplituden mittels des Oszilloskopes bestimmt DesWeiteren werden die Daten der Schwingung zusaumltzlich auf einem USB-Stick gespeichertDieser Vorgang wird fuumlr zwei weitere Schwingungen mit unterschiedlicher Daumlmpfung wiederholt Als

7

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

letztes sollte noch die szligchwingungeumliner sehr hohen Daumlmpfung betrachtet werden Die genauen Mess-ergebnisse sind dem Messprotokoll zu entnehmen

43 Versuchsteil 3

Im letzten Versuchsteil wird der Torsions-Oszillator uumlber einen Sinusgenerator zu einer ErzwungenenSchwingung angeregt Dazu sollte die Daumlmpfung so eingestellt werden dass eine Schwingung zwargut moumlglich ist ein Resonanzkatastrophe aber ausgeschlossen Anschlieyumlend wurde zwischen 0 und2Hz nach der Resonanzfrequenz des Systems gesucht In 10 weiteren Messungen sollte fuumlr jeweils fuumlnfFrequenzen unter und und fuumlnf Frequenzen uumlber der Resonanzfrequenz die Amplitude der erzwungenenSchwingung und die Phasenverschiebung der Erregerschwingung und der erzwungenen Schwingungbestimmt werden

5 Auswertung

51 Versuchsteil 1

Zuerst soll das Traumlgheitsmoment Θ0 der Schwungscheibe berechnet werden Dieses setzt sich aus demTraumlgheitsmoment der Schwungscheibe und dem der Welle zusammen Bei beidem handelt es sich umeinen Hohlzylinder dessen Drehachse entlang der Haupttraumlgheitsachse laumluft Das Traumlgheitsmomentkann also jeweils mit der Formel ΘHZ = 1

2m middot (r2i + r2

a) (Siehe auch Gleichung (4)) berechnet werden

Kupferscheibe Welleriinm 001295 000485

rainm 00285 00127m in kg 0962 plusmn 0002 0283

Θ in kg middotm2 0001981 plusmn 0000004 0000026

Tabelle 1 Berechnung von ΘKupferscheibe und ΘWelle

Das Gesamttraumlgheitsmoment ergibt sich uumlber die Summe

Θ0 = ΘKupferscheibe + ΘWelle = 0002007plusmn 0000004 kg middotm2

Die Daten fuumlr die Radien und die Massen sind der Versuchsbeschreibung ([2]) entnommen Da allerdingsnur eine Messungenauigkeit angegeben war ist der tatsaumlchliche Fehler von Θ0 vermutlich groumlyumler Hierwurde fuumlr die Fehlerrechnung folgende Formel aus ([5]) verwendet

B middot (mplusmn u(m)) = (B middotm)plusmn (B middot u(m)) (22)

Legt man zusaumltzliche Massestuumlcke auf die Schwungscheibe so erhoumlht dies das Traumlgheitsmoment Dieaufgelegten Massestuumlcke ergeben einen Hohlzylinder sodass sich das Traumlgheitsmoment ∆Θ uumlber Formel(4)berechnet werden kann Die Gesamtmasse aller acht Zylinderstuumlcke wurde gemessen und betraumlgtmges = 17120plusmn 000005kg der Fehler kommt hierbei von der Anzeigegenauigkeit der Waage Darausergibt sich die gemittelte Masse eines Massestuumlckes mit m = 02140plusmn 625 middot 10minus6 (Fehlerrechnung uumlberFormel 22) Verwendet man die Daten aus dem Messprotokoll ergibt sich also∆Θ = 28950 middot 10minus6plusmn 560 middot 10minus9 kg lowastm2

Ein Protokoll zur Fehlerrechnung bendet sich im Anhang

8

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

n (T(2π))2 in s2

0 0034084plusmn 0000034

1 0038948plusmn 0000036

2 0042808plusmn 0000038

3 0047542plusmn 0000040

4 0053257plusmn 0000042

5 0057756plusmn 0000044

6 0062437plusmn 0000046

7 0066477plusmn 0000047

8 0071492plusmn 0000049

Tabelle 2 (T(2π))2 fuumlr die Anzahl der Zylinderstuumlcke

Unter der Annahme dass alle Massestuumlckchen gleich schwer sind und die gleichen Mayumle haben gilt fuumlrdas Traumlgheitsmoment des Gesamtsystems Θges = Θ0 + n middot∆Θ Dadurch ist n Proportional zu

(T2π

)2

was auch in Abbildung (5) zu sehen istDie Fehler wurden mit Formel (22) und

(T plusmn u(T ))2 = T 2 middot(

1 + 2 middot u(T )

T

)berechnet ([5]) Der urspruumlngliche Fehler von T ergab sich uumlber die Anzeigegenauigkeit des Oszilloskops

Abbildung 5 Gerade uumlber(T2π

)2in Abhaumlngigkeigt von n

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SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

Messung 1 Messung 2 Messung 3C in (Vrad) 1519plusmn 0003 15475plusmn 00016 minus04783plusmn 00014

β in sminus1 0272plusmn 0001 01894plusmn 00006 05766plusmn 00013

ωg in sminus1 541091plusmn 000010 54085plusmn 00005 53841plusmn 00012

α minus4730plusmn 0002 minus47321plusmn 00010 minus14203plusmn 0003

Tabelle 3 Werte der getteten Funktion uumlber die Messwerte

Mit Hilfe von QTI Plot wurde die Steigung a = 000471 plusmn 000007 und der y-Achsenabschnit mitb = 00340plusmn 00004 ermitteltAus

T = 2π middotradic

Θ0

˜Ddyn

(23)

folgt

a =∆Θ˜Ddyn

(24)

˜Ddyn =∆Θ

a(25)

= 00615plusmn 00010Nm

rad(26)

Des weiteren gilt

Θ0 =

(T

2π

)2

middot ˜Ddyn = b middot ˜Ddyn (27)

= 0002091plusmn 0000042 kg middotm2 (28)

Die Fehlerrechunung wurde jeweils mit GUM Workbench durchgefuumlhrt das Protokoll bendet sich imAnhangDer theoretisch errechnetete Wert von Θ0 unterscheidet sich um 0000084 von dem experimentellerrechneten Wert Diese Ungenauigkeit ist auf die Messungenauigkeit zuruumlckzufuumlhren Des weiterenist die Naumlherung dass alle Massestuumlcke exakt die selbe Masse und die selben Mayumle haben nicht miteinberechnet worden

52 Versuchsteil 2

Damit das logarithmische Dekrement bestimmt werden kann muumlssen zunaumlchst die Daumlmpfung β undω bestimmt werden Dazu fuumlrt man eine nichlineare Regression uumlber die ermittelten Messwerte durchDie Messwerte sind in ein einer zu ϕ(t) proportionalen Groumlyumle mit der Einheit 1V angegeben Es kannalso die Theoriefunktion

ϕlowast(t) = C middot eminusβt cos(ωgtminus α) +A

als Fitfunktion verwendet werden Allerdings beschreibt A die Verschiebung in y-Achsen-Richtungund damit gilt A = 0 da das Nullniveau des Oszillators zu Beginn des Versuchs dem Nullniveau desTorsions-Oszillators angepasst wurde Mittels QTIPlot ergeben sich die Werte in Tabelle (3)

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SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

Messung 1 Messung 2 Messung 3Λ 03158plusmn 00012 02200plusmn 00014 06729plusmn 00030

fg in Hz 08929plusmn 000005 08621plusmn 000005 08264plusmn 000005

Tabelle 4 Logarithmisches Dekrement und Frequenz

Dadurch laumlsst sich das logarithmische Dekrement wie folgt berechnen wobei p =(

2πωg

)eine Periode

der Schwingung beschreibt

Λ = ln

C middot eminusβt cos(ωgtminus α)

C middot eminusβ(t+ 2π

ωg

)cos(ωg

(t+ 2π

ωg

)minus α

) (29)

= ln

(eminusβt

eminusβ

(t+ 2π

ωg

))

(30)

= minusβt+ β

(2π

ωg

)(31)

= 2π middot βωg

(32)

Daruumlber ergibt sich Tabelle (4)(Der Fehler von Λ wurde mit Hilfe von GUM Workbench berechnetund ein Protokoll bendet sich im Anhang der Fehler von fg beruht auf der Anzeigegenauigkeit desOszilloskops)Die Diagramme (6) (7) und(8) zeigen die Messwerte und die geplotteten Funktionen fuumlr die unter-schiedlichen Messungen

Abbildung 6 Schwingfall mit Daumlmpfungdgrad 1

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SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

Abbildung 7 Schwingfall mit Daumlmpfungdgrad 2

Abbildung 8 Schwingfall mit Daumlmpfungdgrad 3

Durch die hohe Anzahl der Messwerte ist die gettete Theoriefunktion relativ genau dies Zeigt sichauch in den kleinen FehlernUm den Zusammenhang zwischen Λ und fg zu erkennen muss man die Funktion fg(Λ) herleiten Dazu

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SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

verwendet man Formel (32) und ωg =radicw2

0 minus β2

Λ = 2π middot βωg

(33)

= 2π middot

radicω2

0 minus ω2g

ωg(34)

= 2π middotradic

(2πf0)2 minus (2πfg)2

2πfg(35)

= 2π middot

radicf2

0 minus f2g

fg(36)

hArr fg =

radic4π2 middot f2

0

1 + Λ2(37)

Im folgenden Diagramm (9) sind die uumlber die Messung errechneten Werte von Λ und die dazu getteteFunktion (37) dargestellt

Abbildung 9 Zusammenhang zwischen Λ und fg

Auallend ist hierbei dass die Messwerte nicht sehr nahe an der getteten Funktion liegen Der Fehlerliegt vermutlich bei den Werten von Λ Vergleicht man die getteten ωg-Werte mit den Abbildungen(6) (7) und(8) so ist schnell zu sehen dass diese nicht uumlbereinstimmen koumlnnen Der Fehler liegt alsobei den getteten Funktionen insbesondere von Messung 1 und Messung 2 Dadurch stimmt auch daserechnete Λ nicht mehrBetrachtet man auyumlerdem das Messprotokoll faumlllt auf das auch hier etwas nicht stimmen kann daauch hier die vom Oszillator abgelesenen Werte nicht mit den Abbildungen uumlbereinstimmen kann dazwar die abgelesenen Maxima und Minima gleich sind aber auch hier die Frequenz abnimmt obwohlauch die Daumlmpfung abnimmt

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SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

Frequenz in Hz(plusmn0 0005) ∆Phase in rad

0700 2815plusmn 0025

0730 2844plusmn 0027

0765 2596plusmn 0028

0800 2463plusmn 0029

0830 2295plusmn 0030

0860 1567plusmn 0031

0890 0783plusmn 0032

0920 0578plusmn 0033

0950 0382plusmn 0034

0980 0345plusmn 0036

Tabelle 5 Erregerfrequenz und ∆Phase Φ

53 Versuchsteil 3

Die in Tabelle (5) dargestellten Werte wurden immer erst nach ca einer Minute nach veraumlndern derErregerfrequenz gemessen da erst da sicher davon ausgegangen werden kann dass fg = ferr = f undωg = ωerr = ω gilt Des weiteren wurde die Phasenverschiebung in Sekunden gemessen und kann mit

Φ = 2π middot∆t middot f

umgerechnet werdenDer Fehler wird dabei mit den Formeln (22) und

(f plusmn u(f)) middot (∆tplusmn u(∆t)) = (f middot∆t)(

1plusmn(u(f)

f+u(∆t)

∆t

))aus [5] berechnetEs ist zu erkennen dass die Steigung um die Resonanzfrequenz (fResonanz = 0856 plusmn 0002Hz) amgroumlyumlten ist und nach rechts und links abnimmt Es scheint als gaumlbe es eine minimale und eine maximalePhasenverschiebung In einem Diagramm dargestellt ergibt sich Abbildung (10) Als Fitfuktion wurdefolgende Funktion verwendet

A2 + (A1minusA2)(1 + exp((xminus x0)dx))

Hierbei ist die Fitfunktion um die Resonanzfrequenz relativ ungenau da hier nur ein Messwert vorliegtDafuumlr ist der y-Achsenabschnitt umso genauer da hier mehrere Messwerte relativ nah bei einanderliegenBetrachtet man die Amplitude im Vergleich zur Frequenz so sieht man dass sie bei der Resonanz-frequenz ein Maximum aufweiyumlt Zudem nimmt die Steigung der Zunahme unterhalb der Resonanz-frequenz bis zu einem gewissen Punkt zu und dann wieder ab bis die Resonanzfrequenz erreicht istOberhalb dieser Frequenz nimmt die Abnahme erst zu und auch dann wieder ab Es ist des weiterenzu vermuten dass die Amplitude rechts und links der Resonanzfrequenz gegen einen Grenzwert laumluftIn Abbildung (11) ist dies graphisch dargestellt

14

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

Abbildung 10 ∆Phase Φ uumlber Erregerfrequenz mit Boltzmann-Fit

Abbildung 11 Doppelte Amplitude uumlber Erregerfrequenz mit Gauyuml-Fit

Da in Versuchsteil 2 ein Fehler unterlaufen ist koumlnnen wir die Eigenfrequenz ω0 nicht uumlber die Fitfunk-tion aus Abbildung (9 bestimmen Da aber zu Beginn des Versuches einige Schwingungen aufgezeichnet

15

SBeinlich amp RGarreis Literatur

wurden und die alle die Periodendauer T0 = 1160plusmn 00005s hatten kann daraus die Eigenfrequenz

f0 =1

T0= 08621plusmn 000041s

berechnet werden(Fehlerrechnung mit GUM Workbench ein Protokoll bendet sich im Anhang)Diese ist minimal groumlyumler als die ermittelte Resonanzfrequenz von fResonanz = 0856plusmn0002 (Der Fehlerwurde abgeschaumltzt) Da die Schwingung in diesem Versuchsteil leicht gedaumlmpft wurde damit eineResonanzkatastrophe verhindert wird diese Daumlmpfung aber nicht miteinberechnet wurde erfuumlllt dieAbweichung nur die Erwartung

6 Fragen

1 Von welchen Materialeigenschaften haumlngt die Torsionskonstante D ab

Die Torsionskonstante D haumlngt von der Festigkeit bzw Elastizitaumlt des verwendeten Materials abwelche als der Widerstand deniert ist welche das Material einer plastischen Verformung oderTrennung entgegensetzt

2 Was geschieht bei sehr starker Daumlmpfung Wie heiyumlt hierzu der Fachbegri

Das Pendel kriecht in die Ruhelage zuruumlck weshalb dieser Fall Kriechfall genannt wird SieheGrundlagen (16) Es kommt houmlchstens ein Nulldurchgang zustande wenn das pendel entspre-chend angeschubst wird

3 Wie kann man ein schwingungsfaumlhiges System noch daumlmpfen

Anstelle der hier verwendeten Wirbelstrombremsen die eine zur Geschwindigkeit proportionaleReibungskraft erzeugen kann auch viskose Reibung auch Stokessche Reibung genannt wiezB in Autostoyumldaumlmpfern verwendet werden oder Luftreibung (wie zB beim Schall) wobei diesesich meist proportional zum Geschwindigkeitsquadrat verhaumllt

4 Warum beobachtet man Resonanz im daumlmpfungsfreien Fall gerade bei einer Phasenverscheibung

von 90Ist dies der Fall so ist die anregende Kraft gerade proportional zur Geschwindigkeit des PendelsDh dass die Geschwindigkeit immer weiter verstaumlrkt wird also immer groumlyumler wird (Resonanz-fall) Mathematisch kann die Phasenverschiebung aus Formel (21) berechnet werden Fuumlr den

Fall β = 0 ist ωR = ω0 und der Betrag von tanminus1(

2βωRω2

0minusω2R

=infin)gerade π2 also 90

5 Wieso ist die Berechnung von ∆Θ genauer als die von Θ0 Die Berechnung von ∆Θ ist genauerda hier bei der Berechnung acht verschiedene Messwerte gemittelt wurden Siehe dazu auchKapitel 51

7 Anhang

Literatur

[1] Rebekka Garreis und Simeon Beinlich AP - Praktikumsbericht Traumlgheitsmoment aus Dreh-schwingungen 2012

[2] Runge Bernd-Uwe Physikalisches Anfaumlngerpraktikum der Universitaumlt Konstanz Torsions-

Oszillator (fuumlr Studiengang Physik) httpsapphysikunikonstanzdeAP-public

AnleitungenTorsions-Oszillator_Phypdf entnommen am 19122012

16

SBeinlich amp RGarreis 4 VERSUCHSDURCHFUumlHRUNG

Schwingung bestimmt werden kann

Abbildung 4 Aufbau des Torsions-Oszillators der Firma TeachSpin ([2])

4 Versuchsdurchfuumlhrung

Waumlhrend des gesamten Versuchs musste darauf geachtet werden dass die Schwungscheibe nicht mehrals 15 rad ausgelenkt wurde da dies zu beschaumldigungen des Torsionsfadens fuumlhren kann Des weiterenist sonst auch die harmonische Schwingung nicht mehr garantiertAuyumlerdem musste zu Beginn sichergestellt werden dass die Ruhelage tatsaumlchlich bei 0V eingestellt ist

41 Versuchsteil 1

In diesem Versuchsteil wird die Torsionskonstante dynamisch bestimmt Dazu wurde zuerst das Oszil-loskop angeschlossen und ein paar Schwingungen aufgezeichnet damit wir mit der Funktionsweise desOszilloskops vertraut sindAnschlieyumlend wurden die Zusatzgewichte nacheinander auf die Platte gesteckt sodass sich das Traumlg-heitsmoment mit jedem Gewicht vergroumlyumlert Wir haben jeweils die Summe aller Massen auf der Schei-be gemessen Mittels des Oszilloskops wurden dann die Periodendauern der einzelnen Schwingungenbestimmt Des Weiteren wurde der Innen- und Auyumlenradius des Holzylinders der sich um den Torsi-onsfaden ergibt wenn die Zusatzgewichte auf die Kupferscheibe gesteckt werden gemessen Die Mes-sergebnisse sind dem Messprotokoll zu entnehmen

42 Versuchsteil 2

Im zweiten Teil des Versuchs werden verschiedene gedaumlmpfte Schwingungen untersucht Hierzu wer-den die Zusatzgewichte entfernt und die Magnete der Wirbelstrombremse so eingestellt dass nochein deutlicher Schwingungsvorgang zu sehen ist Von dieser Schwingung werden die Frequenz und dieaufeinanderfolgenden Maxima und Minima der Amplituden mittels des Oszilloskopes bestimmt DesWeiteren werden die Daten der Schwingung zusaumltzlich auf einem USB-Stick gespeichertDieser Vorgang wird fuumlr zwei weitere Schwingungen mit unterschiedlicher Daumlmpfung wiederholt Als

7

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

letztes sollte noch die szligchwingungeumliner sehr hohen Daumlmpfung betrachtet werden Die genauen Mess-ergebnisse sind dem Messprotokoll zu entnehmen

43 Versuchsteil 3

Im letzten Versuchsteil wird der Torsions-Oszillator uumlber einen Sinusgenerator zu einer ErzwungenenSchwingung angeregt Dazu sollte die Daumlmpfung so eingestellt werden dass eine Schwingung zwargut moumlglich ist ein Resonanzkatastrophe aber ausgeschlossen Anschlieyumlend wurde zwischen 0 und2Hz nach der Resonanzfrequenz des Systems gesucht In 10 weiteren Messungen sollte fuumlr jeweils fuumlnfFrequenzen unter und und fuumlnf Frequenzen uumlber der Resonanzfrequenz die Amplitude der erzwungenenSchwingung und die Phasenverschiebung der Erregerschwingung und der erzwungenen Schwingungbestimmt werden

5 Auswertung

51 Versuchsteil 1

Zuerst soll das Traumlgheitsmoment Θ0 der Schwungscheibe berechnet werden Dieses setzt sich aus demTraumlgheitsmoment der Schwungscheibe und dem der Welle zusammen Bei beidem handelt es sich umeinen Hohlzylinder dessen Drehachse entlang der Haupttraumlgheitsachse laumluft Das Traumlgheitsmomentkann also jeweils mit der Formel ΘHZ = 1

2m middot (r2i + r2

a) (Siehe auch Gleichung (4)) berechnet werden

Kupferscheibe Welleriinm 001295 000485

rainm 00285 00127m in kg 0962 plusmn 0002 0283

Θ in kg middotm2 0001981 plusmn 0000004 0000026

Tabelle 1 Berechnung von ΘKupferscheibe und ΘWelle

Das Gesamttraumlgheitsmoment ergibt sich uumlber die Summe

Θ0 = ΘKupferscheibe + ΘWelle = 0002007plusmn 0000004 kg middotm2

Die Daten fuumlr die Radien und die Massen sind der Versuchsbeschreibung ([2]) entnommen Da allerdingsnur eine Messungenauigkeit angegeben war ist der tatsaumlchliche Fehler von Θ0 vermutlich groumlyumler Hierwurde fuumlr die Fehlerrechnung folgende Formel aus ([5]) verwendet

B middot (mplusmn u(m)) = (B middotm)plusmn (B middot u(m)) (22)

Legt man zusaumltzliche Massestuumlcke auf die Schwungscheibe so erhoumlht dies das Traumlgheitsmoment Dieaufgelegten Massestuumlcke ergeben einen Hohlzylinder sodass sich das Traumlgheitsmoment ∆Θ uumlber Formel(4)berechnet werden kann Die Gesamtmasse aller acht Zylinderstuumlcke wurde gemessen und betraumlgtmges = 17120plusmn 000005kg der Fehler kommt hierbei von der Anzeigegenauigkeit der Waage Darausergibt sich die gemittelte Masse eines Massestuumlckes mit m = 02140plusmn 625 middot 10minus6 (Fehlerrechnung uumlberFormel 22) Verwendet man die Daten aus dem Messprotokoll ergibt sich also∆Θ = 28950 middot 10minus6plusmn 560 middot 10minus9 kg lowastm2

Ein Protokoll zur Fehlerrechnung bendet sich im Anhang

8

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

n (T(2π))2 in s2

0 0034084plusmn 0000034

1 0038948plusmn 0000036

2 0042808plusmn 0000038

3 0047542plusmn 0000040

4 0053257plusmn 0000042

5 0057756plusmn 0000044

6 0062437plusmn 0000046

7 0066477plusmn 0000047

8 0071492plusmn 0000049

Tabelle 2 (T(2π))2 fuumlr die Anzahl der Zylinderstuumlcke

Unter der Annahme dass alle Massestuumlckchen gleich schwer sind und die gleichen Mayumle haben gilt fuumlrdas Traumlgheitsmoment des Gesamtsystems Θges = Θ0 + n middot∆Θ Dadurch ist n Proportional zu

(T2π

)2

was auch in Abbildung (5) zu sehen istDie Fehler wurden mit Formel (22) und

(T plusmn u(T ))2 = T 2 middot(

1 + 2 middot u(T )

T

)berechnet ([5]) Der urspruumlngliche Fehler von T ergab sich uumlber die Anzeigegenauigkeit des Oszilloskops

Abbildung 5 Gerade uumlber(T2π

)2in Abhaumlngigkeigt von n

9

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

Messung 1 Messung 2 Messung 3C in (Vrad) 1519plusmn 0003 15475plusmn 00016 minus04783plusmn 00014

β in sminus1 0272plusmn 0001 01894plusmn 00006 05766plusmn 00013

ωg in sminus1 541091plusmn 000010 54085plusmn 00005 53841plusmn 00012

α minus4730plusmn 0002 minus47321plusmn 00010 minus14203plusmn 0003

Tabelle 3 Werte der getteten Funktion uumlber die Messwerte

Mit Hilfe von QTI Plot wurde die Steigung a = 000471 plusmn 000007 und der y-Achsenabschnit mitb = 00340plusmn 00004 ermitteltAus

T = 2π middotradic

Θ0

˜Ddyn

(23)

folgt

a =∆Θ˜Ddyn

(24)

˜Ddyn =∆Θ

a(25)

= 00615plusmn 00010Nm

rad(26)

Des weiteren gilt

Θ0 =

(T

2π

)2

middot ˜Ddyn = b middot ˜Ddyn (27)

= 0002091plusmn 0000042 kg middotm2 (28)

Die Fehlerrechunung wurde jeweils mit GUM Workbench durchgefuumlhrt das Protokoll bendet sich imAnhangDer theoretisch errechnetete Wert von Θ0 unterscheidet sich um 0000084 von dem experimentellerrechneten Wert Diese Ungenauigkeit ist auf die Messungenauigkeit zuruumlckzufuumlhren Des weiterenist die Naumlherung dass alle Massestuumlcke exakt die selbe Masse und die selben Mayumle haben nicht miteinberechnet worden

52 Versuchsteil 2

Damit das logarithmische Dekrement bestimmt werden kann muumlssen zunaumlchst die Daumlmpfung β undω bestimmt werden Dazu fuumlrt man eine nichlineare Regression uumlber die ermittelten Messwerte durchDie Messwerte sind in ein einer zu ϕ(t) proportionalen Groumlyumle mit der Einheit 1V angegeben Es kannalso die Theoriefunktion

ϕlowast(t) = C middot eminusβt cos(ωgtminus α) +A

als Fitfunktion verwendet werden Allerdings beschreibt A die Verschiebung in y-Achsen-Richtungund damit gilt A = 0 da das Nullniveau des Oszillators zu Beginn des Versuchs dem Nullniveau desTorsions-Oszillators angepasst wurde Mittels QTIPlot ergeben sich die Werte in Tabelle (3)

10

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

Messung 1 Messung 2 Messung 3Λ 03158plusmn 00012 02200plusmn 00014 06729plusmn 00030

fg in Hz 08929plusmn 000005 08621plusmn 000005 08264plusmn 000005

Tabelle 4 Logarithmisches Dekrement und Frequenz

Dadurch laumlsst sich das logarithmische Dekrement wie folgt berechnen wobei p =(

2πωg

)eine Periode

der Schwingung beschreibt

Λ = ln

C middot eminusβt cos(ωgtminus α)

C middot eminusβ(t+ 2π

ωg

)cos(ωg

(t+ 2π

ωg

)minus α

) (29)

= ln

(eminusβt

eminusβ

(t+ 2π

ωg

))

(30)

= minusβt+ β

(2π

ωg

)(31)

= 2π middot βωg

(32)

Daruumlber ergibt sich Tabelle (4)(Der Fehler von Λ wurde mit Hilfe von GUM Workbench berechnetund ein Protokoll bendet sich im Anhang der Fehler von fg beruht auf der Anzeigegenauigkeit desOszilloskops)Die Diagramme (6) (7) und(8) zeigen die Messwerte und die geplotteten Funktionen fuumlr die unter-schiedlichen Messungen

Abbildung 6 Schwingfall mit Daumlmpfungdgrad 1

11

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

Abbildung 7 Schwingfall mit Daumlmpfungdgrad 2

Abbildung 8 Schwingfall mit Daumlmpfungdgrad 3

Durch die hohe Anzahl der Messwerte ist die gettete Theoriefunktion relativ genau dies Zeigt sichauch in den kleinen FehlernUm den Zusammenhang zwischen Λ und fg zu erkennen muss man die Funktion fg(Λ) herleiten Dazu

12

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

verwendet man Formel (32) und ωg =radicw2

0 minus β2

Λ = 2π middot βωg

(33)

= 2π middot

radicω2

0 minus ω2g

ωg(34)

= 2π middotradic

(2πf0)2 minus (2πfg)2

2πfg(35)

= 2π middot

radicf2

0 minus f2g

fg(36)

hArr fg =

radic4π2 middot f2

0

1 + Λ2(37)

Im folgenden Diagramm (9) sind die uumlber die Messung errechneten Werte von Λ und die dazu getteteFunktion (37) dargestellt

Abbildung 9 Zusammenhang zwischen Λ und fg

Auallend ist hierbei dass die Messwerte nicht sehr nahe an der getteten Funktion liegen Der Fehlerliegt vermutlich bei den Werten von Λ Vergleicht man die getteten ωg-Werte mit den Abbildungen(6) (7) und(8) so ist schnell zu sehen dass diese nicht uumlbereinstimmen koumlnnen Der Fehler liegt alsobei den getteten Funktionen insbesondere von Messung 1 und Messung 2 Dadurch stimmt auch daserechnete Λ nicht mehrBetrachtet man auyumlerdem das Messprotokoll faumlllt auf das auch hier etwas nicht stimmen kann daauch hier die vom Oszillator abgelesenen Werte nicht mit den Abbildungen uumlbereinstimmen kann dazwar die abgelesenen Maxima und Minima gleich sind aber auch hier die Frequenz abnimmt obwohlauch die Daumlmpfung abnimmt

13

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

Frequenz in Hz(plusmn0 0005) ∆Phase in rad

0700 2815plusmn 0025

0730 2844plusmn 0027

0765 2596plusmn 0028

0800 2463plusmn 0029

0830 2295plusmn 0030

0860 1567plusmn 0031

0890 0783plusmn 0032

0920 0578plusmn 0033

0950 0382plusmn 0034

0980 0345plusmn 0036

Tabelle 5 Erregerfrequenz und ∆Phase Φ

53 Versuchsteil 3

Die in Tabelle (5) dargestellten Werte wurden immer erst nach ca einer Minute nach veraumlndern derErregerfrequenz gemessen da erst da sicher davon ausgegangen werden kann dass fg = ferr = f undωg = ωerr = ω gilt Des weiteren wurde die Phasenverschiebung in Sekunden gemessen und kann mit

Φ = 2π middot∆t middot f

umgerechnet werdenDer Fehler wird dabei mit den Formeln (22) und

(f plusmn u(f)) middot (∆tplusmn u(∆t)) = (f middot∆t)(

1plusmn(u(f)

f+u(∆t)

∆t

))aus [5] berechnetEs ist zu erkennen dass die Steigung um die Resonanzfrequenz (fResonanz = 0856 plusmn 0002Hz) amgroumlyumlten ist und nach rechts und links abnimmt Es scheint als gaumlbe es eine minimale und eine maximalePhasenverschiebung In einem Diagramm dargestellt ergibt sich Abbildung (10) Als Fitfuktion wurdefolgende Funktion verwendet

A2 + (A1minusA2)(1 + exp((xminus x0)dx))

Hierbei ist die Fitfunktion um die Resonanzfrequenz relativ ungenau da hier nur ein Messwert vorliegtDafuumlr ist der y-Achsenabschnitt umso genauer da hier mehrere Messwerte relativ nah bei einanderliegenBetrachtet man die Amplitude im Vergleich zur Frequenz so sieht man dass sie bei der Resonanz-frequenz ein Maximum aufweiyumlt Zudem nimmt die Steigung der Zunahme unterhalb der Resonanz-frequenz bis zu einem gewissen Punkt zu und dann wieder ab bis die Resonanzfrequenz erreicht istOberhalb dieser Frequenz nimmt die Abnahme erst zu und auch dann wieder ab Es ist des weiterenzu vermuten dass die Amplitude rechts und links der Resonanzfrequenz gegen einen Grenzwert laumluftIn Abbildung (11) ist dies graphisch dargestellt

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SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

Abbildung 10 ∆Phase Φ uumlber Erregerfrequenz mit Boltzmann-Fit

Abbildung 11 Doppelte Amplitude uumlber Erregerfrequenz mit Gauyuml-Fit

Da in Versuchsteil 2 ein Fehler unterlaufen ist koumlnnen wir die Eigenfrequenz ω0 nicht uumlber die Fitfunk-tion aus Abbildung (9 bestimmen Da aber zu Beginn des Versuches einige Schwingungen aufgezeichnet

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SBeinlich amp RGarreis Literatur

wurden und die alle die Periodendauer T0 = 1160plusmn 00005s hatten kann daraus die Eigenfrequenz

f0 =1

T0= 08621plusmn 000041s

berechnet werden(Fehlerrechnung mit GUM Workbench ein Protokoll bendet sich im Anhang)Diese ist minimal groumlyumler als die ermittelte Resonanzfrequenz von fResonanz = 0856plusmn0002 (Der Fehlerwurde abgeschaumltzt) Da die Schwingung in diesem Versuchsteil leicht gedaumlmpft wurde damit eineResonanzkatastrophe verhindert wird diese Daumlmpfung aber nicht miteinberechnet wurde erfuumlllt dieAbweichung nur die Erwartung

6 Fragen

1 Von welchen Materialeigenschaften haumlngt die Torsionskonstante D ab

Die Torsionskonstante D haumlngt von der Festigkeit bzw Elastizitaumlt des verwendeten Materials abwelche als der Widerstand deniert ist welche das Material einer plastischen Verformung oderTrennung entgegensetzt

2 Was geschieht bei sehr starker Daumlmpfung Wie heiyumlt hierzu der Fachbegri

Das Pendel kriecht in die Ruhelage zuruumlck weshalb dieser Fall Kriechfall genannt wird SieheGrundlagen (16) Es kommt houmlchstens ein Nulldurchgang zustande wenn das pendel entspre-chend angeschubst wird

3 Wie kann man ein schwingungsfaumlhiges System noch daumlmpfen

Anstelle der hier verwendeten Wirbelstrombremsen die eine zur Geschwindigkeit proportionaleReibungskraft erzeugen kann auch viskose Reibung auch Stokessche Reibung genannt wiezB in Autostoyumldaumlmpfern verwendet werden oder Luftreibung (wie zB beim Schall) wobei diesesich meist proportional zum Geschwindigkeitsquadrat verhaumllt

4 Warum beobachtet man Resonanz im daumlmpfungsfreien Fall gerade bei einer Phasenverscheibung

von 90Ist dies der Fall so ist die anregende Kraft gerade proportional zur Geschwindigkeit des PendelsDh dass die Geschwindigkeit immer weiter verstaumlrkt wird also immer groumlyumler wird (Resonanz-fall) Mathematisch kann die Phasenverschiebung aus Formel (21) berechnet werden Fuumlr den

Fall β = 0 ist ωR = ω0 und der Betrag von tanminus1(

2βωRω2

0minusω2R

=infin)gerade π2 also 90

5 Wieso ist die Berechnung von ∆Θ genauer als die von Θ0 Die Berechnung von ∆Θ ist genauerda hier bei der Berechnung acht verschiedene Messwerte gemittelt wurden Siehe dazu auchKapitel 51

7 Anhang

Literatur

[1] Rebekka Garreis und Simeon Beinlich AP - Praktikumsbericht Traumlgheitsmoment aus Dreh-schwingungen 2012

[2] Runge Bernd-Uwe Physikalisches Anfaumlngerpraktikum der Universitaumlt Konstanz Torsions-

Oszillator (fuumlr Studiengang Physik) httpsapphysikunikonstanzdeAP-public

AnleitungenTorsions-Oszillator_Phypdf entnommen am 19122012

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SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

letztes sollte noch die szligchwingungeumliner sehr hohen Daumlmpfung betrachtet werden Die genauen Mess-ergebnisse sind dem Messprotokoll zu entnehmen

43 Versuchsteil 3

Im letzten Versuchsteil wird der Torsions-Oszillator uumlber einen Sinusgenerator zu einer ErzwungenenSchwingung angeregt Dazu sollte die Daumlmpfung so eingestellt werden dass eine Schwingung zwargut moumlglich ist ein Resonanzkatastrophe aber ausgeschlossen Anschlieyumlend wurde zwischen 0 und2Hz nach der Resonanzfrequenz des Systems gesucht In 10 weiteren Messungen sollte fuumlr jeweils fuumlnfFrequenzen unter und und fuumlnf Frequenzen uumlber der Resonanzfrequenz die Amplitude der erzwungenenSchwingung und die Phasenverschiebung der Erregerschwingung und der erzwungenen Schwingungbestimmt werden

5 Auswertung

51 Versuchsteil 1

Zuerst soll das Traumlgheitsmoment Θ0 der Schwungscheibe berechnet werden Dieses setzt sich aus demTraumlgheitsmoment der Schwungscheibe und dem der Welle zusammen Bei beidem handelt es sich umeinen Hohlzylinder dessen Drehachse entlang der Haupttraumlgheitsachse laumluft Das Traumlgheitsmomentkann also jeweils mit der Formel ΘHZ = 1

2m middot (r2i + r2

a) (Siehe auch Gleichung (4)) berechnet werden

Kupferscheibe Welleriinm 001295 000485

rainm 00285 00127m in kg 0962 plusmn 0002 0283

Θ in kg middotm2 0001981 plusmn 0000004 0000026

Tabelle 1 Berechnung von ΘKupferscheibe und ΘWelle

Das Gesamttraumlgheitsmoment ergibt sich uumlber die Summe

Θ0 = ΘKupferscheibe + ΘWelle = 0002007plusmn 0000004 kg middotm2

Die Daten fuumlr die Radien und die Massen sind der Versuchsbeschreibung ([2]) entnommen Da allerdingsnur eine Messungenauigkeit angegeben war ist der tatsaumlchliche Fehler von Θ0 vermutlich groumlyumler Hierwurde fuumlr die Fehlerrechnung folgende Formel aus ([5]) verwendet

B middot (mplusmn u(m)) = (B middotm)plusmn (B middot u(m)) (22)

Legt man zusaumltzliche Massestuumlcke auf die Schwungscheibe so erhoumlht dies das Traumlgheitsmoment Dieaufgelegten Massestuumlcke ergeben einen Hohlzylinder sodass sich das Traumlgheitsmoment ∆Θ uumlber Formel(4)berechnet werden kann Die Gesamtmasse aller acht Zylinderstuumlcke wurde gemessen und betraumlgtmges = 17120plusmn 000005kg der Fehler kommt hierbei von der Anzeigegenauigkeit der Waage Darausergibt sich die gemittelte Masse eines Massestuumlckes mit m = 02140plusmn 625 middot 10minus6 (Fehlerrechnung uumlberFormel 22) Verwendet man die Daten aus dem Messprotokoll ergibt sich also∆Θ = 28950 middot 10minus6plusmn 560 middot 10minus9 kg lowastm2

Ein Protokoll zur Fehlerrechnung bendet sich im Anhang

8

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

n (T(2π))2 in s2

0 0034084plusmn 0000034

1 0038948plusmn 0000036

2 0042808plusmn 0000038

3 0047542plusmn 0000040

4 0053257plusmn 0000042

5 0057756plusmn 0000044

6 0062437plusmn 0000046

7 0066477plusmn 0000047

8 0071492plusmn 0000049

Tabelle 2 (T(2π))2 fuumlr die Anzahl der Zylinderstuumlcke

Unter der Annahme dass alle Massestuumlckchen gleich schwer sind und die gleichen Mayumle haben gilt fuumlrdas Traumlgheitsmoment des Gesamtsystems Θges = Θ0 + n middot∆Θ Dadurch ist n Proportional zu

(T2π

)2

was auch in Abbildung (5) zu sehen istDie Fehler wurden mit Formel (22) und

(T plusmn u(T ))2 = T 2 middot(

1 + 2 middot u(T )

T

)berechnet ([5]) Der urspruumlngliche Fehler von T ergab sich uumlber die Anzeigegenauigkeit des Oszilloskops

Abbildung 5 Gerade uumlber(T2π

)2in Abhaumlngigkeigt von n

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SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

Messung 1 Messung 2 Messung 3C in (Vrad) 1519plusmn 0003 15475plusmn 00016 minus04783plusmn 00014

β in sminus1 0272plusmn 0001 01894plusmn 00006 05766plusmn 00013

ωg in sminus1 541091plusmn 000010 54085plusmn 00005 53841plusmn 00012

α minus4730plusmn 0002 minus47321plusmn 00010 minus14203plusmn 0003

Tabelle 3 Werte der getteten Funktion uumlber die Messwerte

Mit Hilfe von QTI Plot wurde die Steigung a = 000471 plusmn 000007 und der y-Achsenabschnit mitb = 00340plusmn 00004 ermitteltAus

T = 2π middotradic

Θ0

˜Ddyn

(23)

folgt

a =∆Θ˜Ddyn

(24)

˜Ddyn =∆Θ

a(25)

= 00615plusmn 00010Nm

rad(26)

Des weiteren gilt

Θ0 =

(T

2π

)2

middot ˜Ddyn = b middot ˜Ddyn (27)

= 0002091plusmn 0000042 kg middotm2 (28)

Die Fehlerrechunung wurde jeweils mit GUM Workbench durchgefuumlhrt das Protokoll bendet sich imAnhangDer theoretisch errechnetete Wert von Θ0 unterscheidet sich um 0000084 von dem experimentellerrechneten Wert Diese Ungenauigkeit ist auf die Messungenauigkeit zuruumlckzufuumlhren Des weiterenist die Naumlherung dass alle Massestuumlcke exakt die selbe Masse und die selben Mayumle haben nicht miteinberechnet worden

52 Versuchsteil 2

Damit das logarithmische Dekrement bestimmt werden kann muumlssen zunaumlchst die Daumlmpfung β undω bestimmt werden Dazu fuumlrt man eine nichlineare Regression uumlber die ermittelten Messwerte durchDie Messwerte sind in ein einer zu ϕ(t) proportionalen Groumlyumle mit der Einheit 1V angegeben Es kannalso die Theoriefunktion

ϕlowast(t) = C middot eminusβt cos(ωgtminus α) +A

als Fitfunktion verwendet werden Allerdings beschreibt A die Verschiebung in y-Achsen-Richtungund damit gilt A = 0 da das Nullniveau des Oszillators zu Beginn des Versuchs dem Nullniveau desTorsions-Oszillators angepasst wurde Mittels QTIPlot ergeben sich die Werte in Tabelle (3)

10

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

Messung 1 Messung 2 Messung 3Λ 03158plusmn 00012 02200plusmn 00014 06729plusmn 00030

fg in Hz 08929plusmn 000005 08621plusmn 000005 08264plusmn 000005

Tabelle 4 Logarithmisches Dekrement und Frequenz

Dadurch laumlsst sich das logarithmische Dekrement wie folgt berechnen wobei p =(

2πωg

)eine Periode

der Schwingung beschreibt

Λ = ln

C middot eminusβt cos(ωgtminus α)

C middot eminusβ(t+ 2π

ωg

)cos(ωg

(t+ 2π

ωg

)minus α

) (29)

= ln

(eminusβt

eminusβ

(t+ 2π

ωg

))

(30)

= minusβt+ β

(2π

ωg

)(31)

= 2π middot βωg

(32)

Daruumlber ergibt sich Tabelle (4)(Der Fehler von Λ wurde mit Hilfe von GUM Workbench berechnetund ein Protokoll bendet sich im Anhang der Fehler von fg beruht auf der Anzeigegenauigkeit desOszilloskops)Die Diagramme (6) (7) und(8) zeigen die Messwerte und die geplotteten Funktionen fuumlr die unter-schiedlichen Messungen

Abbildung 6 Schwingfall mit Daumlmpfungdgrad 1

11

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

Abbildung 7 Schwingfall mit Daumlmpfungdgrad 2

Abbildung 8 Schwingfall mit Daumlmpfungdgrad 3

Durch die hohe Anzahl der Messwerte ist die gettete Theoriefunktion relativ genau dies Zeigt sichauch in den kleinen FehlernUm den Zusammenhang zwischen Λ und fg zu erkennen muss man die Funktion fg(Λ) herleiten Dazu

12

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

verwendet man Formel (32) und ωg =radicw2

0 minus β2

Λ = 2π middot βωg

(33)

= 2π middot

radicω2

0 minus ω2g

ωg(34)

= 2π middotradic

(2πf0)2 minus (2πfg)2

2πfg(35)

= 2π middot

radicf2

0 minus f2g

fg(36)

hArr fg =

radic4π2 middot f2

0

1 + Λ2(37)

Im folgenden Diagramm (9) sind die uumlber die Messung errechneten Werte von Λ und die dazu getteteFunktion (37) dargestellt

Abbildung 9 Zusammenhang zwischen Λ und fg

Auallend ist hierbei dass die Messwerte nicht sehr nahe an der getteten Funktion liegen Der Fehlerliegt vermutlich bei den Werten von Λ Vergleicht man die getteten ωg-Werte mit den Abbildungen(6) (7) und(8) so ist schnell zu sehen dass diese nicht uumlbereinstimmen koumlnnen Der Fehler liegt alsobei den getteten Funktionen insbesondere von Messung 1 und Messung 2 Dadurch stimmt auch daserechnete Λ nicht mehrBetrachtet man auyumlerdem das Messprotokoll faumlllt auf das auch hier etwas nicht stimmen kann daauch hier die vom Oszillator abgelesenen Werte nicht mit den Abbildungen uumlbereinstimmen kann dazwar die abgelesenen Maxima und Minima gleich sind aber auch hier die Frequenz abnimmt obwohlauch die Daumlmpfung abnimmt

13

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

Frequenz in Hz(plusmn0 0005) ∆Phase in rad

0700 2815plusmn 0025

0730 2844plusmn 0027

0765 2596plusmn 0028

0800 2463plusmn 0029

0830 2295plusmn 0030

0860 1567plusmn 0031

0890 0783plusmn 0032

0920 0578plusmn 0033

0950 0382plusmn 0034

0980 0345plusmn 0036

Tabelle 5 Erregerfrequenz und ∆Phase Φ

53 Versuchsteil 3

Die in Tabelle (5) dargestellten Werte wurden immer erst nach ca einer Minute nach veraumlndern derErregerfrequenz gemessen da erst da sicher davon ausgegangen werden kann dass fg = ferr = f undωg = ωerr = ω gilt Des weiteren wurde die Phasenverschiebung in Sekunden gemessen und kann mit

Φ = 2π middot∆t middot f

umgerechnet werdenDer Fehler wird dabei mit den Formeln (22) und

(f plusmn u(f)) middot (∆tplusmn u(∆t)) = (f middot∆t)(

1plusmn(u(f)

f+u(∆t)

∆t

))aus [5] berechnetEs ist zu erkennen dass die Steigung um die Resonanzfrequenz (fResonanz = 0856 plusmn 0002Hz) amgroumlyumlten ist und nach rechts und links abnimmt Es scheint als gaumlbe es eine minimale und eine maximalePhasenverschiebung In einem Diagramm dargestellt ergibt sich Abbildung (10) Als Fitfuktion wurdefolgende Funktion verwendet

A2 + (A1minusA2)(1 + exp((xminus x0)dx))

Hierbei ist die Fitfunktion um die Resonanzfrequenz relativ ungenau da hier nur ein Messwert vorliegtDafuumlr ist der y-Achsenabschnitt umso genauer da hier mehrere Messwerte relativ nah bei einanderliegenBetrachtet man die Amplitude im Vergleich zur Frequenz so sieht man dass sie bei der Resonanz-frequenz ein Maximum aufweiyumlt Zudem nimmt die Steigung der Zunahme unterhalb der Resonanz-frequenz bis zu einem gewissen Punkt zu und dann wieder ab bis die Resonanzfrequenz erreicht istOberhalb dieser Frequenz nimmt die Abnahme erst zu und auch dann wieder ab Es ist des weiterenzu vermuten dass die Amplitude rechts und links der Resonanzfrequenz gegen einen Grenzwert laumluftIn Abbildung (11) ist dies graphisch dargestellt

14

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

Abbildung 10 ∆Phase Φ uumlber Erregerfrequenz mit Boltzmann-Fit

Abbildung 11 Doppelte Amplitude uumlber Erregerfrequenz mit Gauyuml-Fit

Da in Versuchsteil 2 ein Fehler unterlaufen ist koumlnnen wir die Eigenfrequenz ω0 nicht uumlber die Fitfunk-tion aus Abbildung (9 bestimmen Da aber zu Beginn des Versuches einige Schwingungen aufgezeichnet

15

SBeinlich amp RGarreis Literatur

wurden und die alle die Periodendauer T0 = 1160plusmn 00005s hatten kann daraus die Eigenfrequenz

f0 =1

T0= 08621plusmn 000041s

berechnet werden(Fehlerrechnung mit GUM Workbench ein Protokoll bendet sich im Anhang)Diese ist minimal groumlyumler als die ermittelte Resonanzfrequenz von fResonanz = 0856plusmn0002 (Der Fehlerwurde abgeschaumltzt) Da die Schwingung in diesem Versuchsteil leicht gedaumlmpft wurde damit eineResonanzkatastrophe verhindert wird diese Daumlmpfung aber nicht miteinberechnet wurde erfuumlllt dieAbweichung nur die Erwartung

6 Fragen

1 Von welchen Materialeigenschaften haumlngt die Torsionskonstante D ab

Die Torsionskonstante D haumlngt von der Festigkeit bzw Elastizitaumlt des verwendeten Materials abwelche als der Widerstand deniert ist welche das Material einer plastischen Verformung oderTrennung entgegensetzt

2 Was geschieht bei sehr starker Daumlmpfung Wie heiyumlt hierzu der Fachbegri

Das Pendel kriecht in die Ruhelage zuruumlck weshalb dieser Fall Kriechfall genannt wird SieheGrundlagen (16) Es kommt houmlchstens ein Nulldurchgang zustande wenn das pendel entspre-chend angeschubst wird

3 Wie kann man ein schwingungsfaumlhiges System noch daumlmpfen

Anstelle der hier verwendeten Wirbelstrombremsen die eine zur Geschwindigkeit proportionaleReibungskraft erzeugen kann auch viskose Reibung auch Stokessche Reibung genannt wiezB in Autostoyumldaumlmpfern verwendet werden oder Luftreibung (wie zB beim Schall) wobei diesesich meist proportional zum Geschwindigkeitsquadrat verhaumllt

4 Warum beobachtet man Resonanz im daumlmpfungsfreien Fall gerade bei einer Phasenverscheibung

von 90Ist dies der Fall so ist die anregende Kraft gerade proportional zur Geschwindigkeit des PendelsDh dass die Geschwindigkeit immer weiter verstaumlrkt wird also immer groumlyumler wird (Resonanz-fall) Mathematisch kann die Phasenverschiebung aus Formel (21) berechnet werden Fuumlr den

Fall β = 0 ist ωR = ω0 und der Betrag von tanminus1(

2βωRω2

0minusω2R

=infin)gerade π2 also 90

5 Wieso ist die Berechnung von ∆Θ genauer als die von Θ0 Die Berechnung von ∆Θ ist genauerda hier bei der Berechnung acht verschiedene Messwerte gemittelt wurden Siehe dazu auchKapitel 51

7 Anhang

Literatur

[1] Rebekka Garreis und Simeon Beinlich AP - Praktikumsbericht Traumlgheitsmoment aus Dreh-schwingungen 2012

[2] Runge Bernd-Uwe Physikalisches Anfaumlngerpraktikum der Universitaumlt Konstanz Torsions-

Oszillator (fuumlr Studiengang Physik) httpsapphysikunikonstanzdeAP-public

AnleitungenTorsions-Oszillator_Phypdf entnommen am 19122012

16

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

n (T(2π))2 in s2

0 0034084plusmn 0000034

1 0038948plusmn 0000036

2 0042808plusmn 0000038

3 0047542plusmn 0000040

4 0053257plusmn 0000042

5 0057756plusmn 0000044

6 0062437plusmn 0000046

7 0066477plusmn 0000047

8 0071492plusmn 0000049

Tabelle 2 (T(2π))2 fuumlr die Anzahl der Zylinderstuumlcke

Unter der Annahme dass alle Massestuumlckchen gleich schwer sind und die gleichen Mayumle haben gilt fuumlrdas Traumlgheitsmoment des Gesamtsystems Θges = Θ0 + n middot∆Θ Dadurch ist n Proportional zu

(T2π

)2

was auch in Abbildung (5) zu sehen istDie Fehler wurden mit Formel (22) und

(T plusmn u(T ))2 = T 2 middot(

1 + 2 middot u(T )

T

)berechnet ([5]) Der urspruumlngliche Fehler von T ergab sich uumlber die Anzeigegenauigkeit des Oszilloskops

Abbildung 5 Gerade uumlber(T2π

)2in Abhaumlngigkeigt von n

9

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

Messung 1 Messung 2 Messung 3C in (Vrad) 1519plusmn 0003 15475plusmn 00016 minus04783plusmn 00014

β in sminus1 0272plusmn 0001 01894plusmn 00006 05766plusmn 00013

ωg in sminus1 541091plusmn 000010 54085plusmn 00005 53841plusmn 00012

α minus4730plusmn 0002 minus47321plusmn 00010 minus14203plusmn 0003

Tabelle 3 Werte der getteten Funktion uumlber die Messwerte

Mit Hilfe von QTI Plot wurde die Steigung a = 000471 plusmn 000007 und der y-Achsenabschnit mitb = 00340plusmn 00004 ermitteltAus

T = 2π middotradic

Θ0

˜Ddyn

(23)

folgt

a =∆Θ˜Ddyn

(24)

˜Ddyn =∆Θ

a(25)

= 00615plusmn 00010Nm

rad(26)

Des weiteren gilt

Θ0 =

(T

2π

)2

middot ˜Ddyn = b middot ˜Ddyn (27)

= 0002091plusmn 0000042 kg middotm2 (28)

Die Fehlerrechunung wurde jeweils mit GUM Workbench durchgefuumlhrt das Protokoll bendet sich imAnhangDer theoretisch errechnetete Wert von Θ0 unterscheidet sich um 0000084 von dem experimentellerrechneten Wert Diese Ungenauigkeit ist auf die Messungenauigkeit zuruumlckzufuumlhren Des weiterenist die Naumlherung dass alle Massestuumlcke exakt die selbe Masse und die selben Mayumle haben nicht miteinberechnet worden

52 Versuchsteil 2

Damit das logarithmische Dekrement bestimmt werden kann muumlssen zunaumlchst die Daumlmpfung β undω bestimmt werden Dazu fuumlrt man eine nichlineare Regression uumlber die ermittelten Messwerte durchDie Messwerte sind in ein einer zu ϕ(t) proportionalen Groumlyumle mit der Einheit 1V angegeben Es kannalso die Theoriefunktion

ϕlowast(t) = C middot eminusβt cos(ωgtminus α) +A

als Fitfunktion verwendet werden Allerdings beschreibt A die Verschiebung in y-Achsen-Richtungund damit gilt A = 0 da das Nullniveau des Oszillators zu Beginn des Versuchs dem Nullniveau desTorsions-Oszillators angepasst wurde Mittels QTIPlot ergeben sich die Werte in Tabelle (3)

10

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

Messung 1 Messung 2 Messung 3Λ 03158plusmn 00012 02200plusmn 00014 06729plusmn 00030

fg in Hz 08929plusmn 000005 08621plusmn 000005 08264plusmn 000005

Tabelle 4 Logarithmisches Dekrement und Frequenz

Dadurch laumlsst sich das logarithmische Dekrement wie folgt berechnen wobei p =(

2πωg

)eine Periode

der Schwingung beschreibt

Λ = ln

C middot eminusβt cos(ωgtminus α)

C middot eminusβ(t+ 2π

ωg

)cos(ωg

(t+ 2π

ωg

)minus α

) (29)

= ln

(eminusβt

eminusβ

(t+ 2π

ωg

))

(30)

= minusβt+ β

(2π

ωg

)(31)

= 2π middot βωg

(32)

Daruumlber ergibt sich Tabelle (4)(Der Fehler von Λ wurde mit Hilfe von GUM Workbench berechnetund ein Protokoll bendet sich im Anhang der Fehler von fg beruht auf der Anzeigegenauigkeit desOszilloskops)Die Diagramme (6) (7) und(8) zeigen die Messwerte und die geplotteten Funktionen fuumlr die unter-schiedlichen Messungen

Abbildung 6 Schwingfall mit Daumlmpfungdgrad 1

11

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

Abbildung 7 Schwingfall mit Daumlmpfungdgrad 2

Abbildung 8 Schwingfall mit Daumlmpfungdgrad 3

Durch die hohe Anzahl der Messwerte ist die gettete Theoriefunktion relativ genau dies Zeigt sichauch in den kleinen FehlernUm den Zusammenhang zwischen Λ und fg zu erkennen muss man die Funktion fg(Λ) herleiten Dazu

12

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

verwendet man Formel (32) und ωg =radicw2

0 minus β2

Λ = 2π middot βωg

(33)

= 2π middot

radicω2

0 minus ω2g

ωg(34)

= 2π middotradic

(2πf0)2 minus (2πfg)2

2πfg(35)

= 2π middot

radicf2

0 minus f2g

fg(36)

hArr fg =

radic4π2 middot f2

0

1 + Λ2(37)

Im folgenden Diagramm (9) sind die uumlber die Messung errechneten Werte von Λ und die dazu getteteFunktion (37) dargestellt

Abbildung 9 Zusammenhang zwischen Λ und fg

Auallend ist hierbei dass die Messwerte nicht sehr nahe an der getteten Funktion liegen Der Fehlerliegt vermutlich bei den Werten von Λ Vergleicht man die getteten ωg-Werte mit den Abbildungen(6) (7) und(8) so ist schnell zu sehen dass diese nicht uumlbereinstimmen koumlnnen Der Fehler liegt alsobei den getteten Funktionen insbesondere von Messung 1 und Messung 2 Dadurch stimmt auch daserechnete Λ nicht mehrBetrachtet man auyumlerdem das Messprotokoll faumlllt auf das auch hier etwas nicht stimmen kann daauch hier die vom Oszillator abgelesenen Werte nicht mit den Abbildungen uumlbereinstimmen kann dazwar die abgelesenen Maxima und Minima gleich sind aber auch hier die Frequenz abnimmt obwohlauch die Daumlmpfung abnimmt

13

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

Frequenz in Hz(plusmn0 0005) ∆Phase in rad

0700 2815plusmn 0025

0730 2844plusmn 0027

0765 2596plusmn 0028

0800 2463plusmn 0029

0830 2295plusmn 0030

0860 1567plusmn 0031

0890 0783plusmn 0032

0920 0578plusmn 0033

0950 0382plusmn 0034

0980 0345plusmn 0036

Tabelle 5 Erregerfrequenz und ∆Phase Φ

53 Versuchsteil 3

Die in Tabelle (5) dargestellten Werte wurden immer erst nach ca einer Minute nach veraumlndern derErregerfrequenz gemessen da erst da sicher davon ausgegangen werden kann dass fg = ferr = f undωg = ωerr = ω gilt Des weiteren wurde die Phasenverschiebung in Sekunden gemessen und kann mit

Φ = 2π middot∆t middot f

umgerechnet werdenDer Fehler wird dabei mit den Formeln (22) und

(f plusmn u(f)) middot (∆tplusmn u(∆t)) = (f middot∆t)(

1plusmn(u(f)

f+u(∆t)

∆t

))aus [5] berechnetEs ist zu erkennen dass die Steigung um die Resonanzfrequenz (fResonanz = 0856 plusmn 0002Hz) amgroumlyumlten ist und nach rechts und links abnimmt Es scheint als gaumlbe es eine minimale und eine maximalePhasenverschiebung In einem Diagramm dargestellt ergibt sich Abbildung (10) Als Fitfuktion wurdefolgende Funktion verwendet

A2 + (A1minusA2)(1 + exp((xminus x0)dx))

Hierbei ist die Fitfunktion um die Resonanzfrequenz relativ ungenau da hier nur ein Messwert vorliegtDafuumlr ist der y-Achsenabschnitt umso genauer da hier mehrere Messwerte relativ nah bei einanderliegenBetrachtet man die Amplitude im Vergleich zur Frequenz so sieht man dass sie bei der Resonanz-frequenz ein Maximum aufweiyumlt Zudem nimmt die Steigung der Zunahme unterhalb der Resonanz-frequenz bis zu einem gewissen Punkt zu und dann wieder ab bis die Resonanzfrequenz erreicht istOberhalb dieser Frequenz nimmt die Abnahme erst zu und auch dann wieder ab Es ist des weiterenzu vermuten dass die Amplitude rechts und links der Resonanzfrequenz gegen einen Grenzwert laumluftIn Abbildung (11) ist dies graphisch dargestellt

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SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

Abbildung 10 ∆Phase Φ uumlber Erregerfrequenz mit Boltzmann-Fit

Abbildung 11 Doppelte Amplitude uumlber Erregerfrequenz mit Gauyuml-Fit

Da in Versuchsteil 2 ein Fehler unterlaufen ist koumlnnen wir die Eigenfrequenz ω0 nicht uumlber die Fitfunk-tion aus Abbildung (9 bestimmen Da aber zu Beginn des Versuches einige Schwingungen aufgezeichnet

15

SBeinlich amp RGarreis Literatur

wurden und die alle die Periodendauer T0 = 1160plusmn 00005s hatten kann daraus die Eigenfrequenz

f0 =1

T0= 08621plusmn 000041s

berechnet werden(Fehlerrechnung mit GUM Workbench ein Protokoll bendet sich im Anhang)Diese ist minimal groumlyumler als die ermittelte Resonanzfrequenz von fResonanz = 0856plusmn0002 (Der Fehlerwurde abgeschaumltzt) Da die Schwingung in diesem Versuchsteil leicht gedaumlmpft wurde damit eineResonanzkatastrophe verhindert wird diese Daumlmpfung aber nicht miteinberechnet wurde erfuumlllt dieAbweichung nur die Erwartung

6 Fragen

1 Von welchen Materialeigenschaften haumlngt die Torsionskonstante D ab

Die Torsionskonstante D haumlngt von der Festigkeit bzw Elastizitaumlt des verwendeten Materials abwelche als der Widerstand deniert ist welche das Material einer plastischen Verformung oderTrennung entgegensetzt

2 Was geschieht bei sehr starker Daumlmpfung Wie heiyumlt hierzu der Fachbegri

Das Pendel kriecht in die Ruhelage zuruumlck weshalb dieser Fall Kriechfall genannt wird SieheGrundlagen (16) Es kommt houmlchstens ein Nulldurchgang zustande wenn das pendel entspre-chend angeschubst wird

3 Wie kann man ein schwingungsfaumlhiges System noch daumlmpfen

Anstelle der hier verwendeten Wirbelstrombremsen die eine zur Geschwindigkeit proportionaleReibungskraft erzeugen kann auch viskose Reibung auch Stokessche Reibung genannt wiezB in Autostoyumldaumlmpfern verwendet werden oder Luftreibung (wie zB beim Schall) wobei diesesich meist proportional zum Geschwindigkeitsquadrat verhaumllt

4 Warum beobachtet man Resonanz im daumlmpfungsfreien Fall gerade bei einer Phasenverscheibung

von 90Ist dies der Fall so ist die anregende Kraft gerade proportional zur Geschwindigkeit des PendelsDh dass die Geschwindigkeit immer weiter verstaumlrkt wird also immer groumlyumler wird (Resonanz-fall) Mathematisch kann die Phasenverschiebung aus Formel (21) berechnet werden Fuumlr den

Fall β = 0 ist ωR = ω0 und der Betrag von tanminus1(

2βωRω2

0minusω2R

=infin)gerade π2 also 90

5 Wieso ist die Berechnung von ∆Θ genauer als die von Θ0 Die Berechnung von ∆Θ ist genauerda hier bei der Berechnung acht verschiedene Messwerte gemittelt wurden Siehe dazu auchKapitel 51

7 Anhang

Literatur

[1] Rebekka Garreis und Simeon Beinlich AP - Praktikumsbericht Traumlgheitsmoment aus Dreh-schwingungen 2012

[2] Runge Bernd-Uwe Physikalisches Anfaumlngerpraktikum der Universitaumlt Konstanz Torsions-

Oszillator (fuumlr Studiengang Physik) httpsapphysikunikonstanzdeAP-public

AnleitungenTorsions-Oszillator_Phypdf entnommen am 19122012

16

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

Messung 1 Messung 2 Messung 3C in (Vrad) 1519plusmn 0003 15475plusmn 00016 minus04783plusmn 00014

β in sminus1 0272plusmn 0001 01894plusmn 00006 05766plusmn 00013

ωg in sminus1 541091plusmn 000010 54085plusmn 00005 53841plusmn 00012

α minus4730plusmn 0002 minus47321plusmn 00010 minus14203plusmn 0003

Tabelle 3 Werte der getteten Funktion uumlber die Messwerte

Mit Hilfe von QTI Plot wurde die Steigung a = 000471 plusmn 000007 und der y-Achsenabschnit mitb = 00340plusmn 00004 ermitteltAus

T = 2π middotradic

Θ0

˜Ddyn

(23)

folgt

a =∆Θ˜Ddyn

(24)

˜Ddyn =∆Θ

a(25)

= 00615plusmn 00010Nm

rad(26)

Des weiteren gilt

Θ0 =

(T

2π

)2

middot ˜Ddyn = b middot ˜Ddyn (27)

= 0002091plusmn 0000042 kg middotm2 (28)

Die Fehlerrechunung wurde jeweils mit GUM Workbench durchgefuumlhrt das Protokoll bendet sich imAnhangDer theoretisch errechnetete Wert von Θ0 unterscheidet sich um 0000084 von dem experimentellerrechneten Wert Diese Ungenauigkeit ist auf die Messungenauigkeit zuruumlckzufuumlhren Des weiterenist die Naumlherung dass alle Massestuumlcke exakt die selbe Masse und die selben Mayumle haben nicht miteinberechnet worden

52 Versuchsteil 2

Damit das logarithmische Dekrement bestimmt werden kann muumlssen zunaumlchst die Daumlmpfung β undω bestimmt werden Dazu fuumlrt man eine nichlineare Regression uumlber die ermittelten Messwerte durchDie Messwerte sind in ein einer zu ϕ(t) proportionalen Groumlyumle mit der Einheit 1V angegeben Es kannalso die Theoriefunktion

ϕlowast(t) = C middot eminusβt cos(ωgtminus α) +A

als Fitfunktion verwendet werden Allerdings beschreibt A die Verschiebung in y-Achsen-Richtungund damit gilt A = 0 da das Nullniveau des Oszillators zu Beginn des Versuchs dem Nullniveau desTorsions-Oszillators angepasst wurde Mittels QTIPlot ergeben sich die Werte in Tabelle (3)

10

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

Messung 1 Messung 2 Messung 3Λ 03158plusmn 00012 02200plusmn 00014 06729plusmn 00030

fg in Hz 08929plusmn 000005 08621plusmn 000005 08264plusmn 000005

Tabelle 4 Logarithmisches Dekrement und Frequenz

Dadurch laumlsst sich das logarithmische Dekrement wie folgt berechnen wobei p =(

2πωg

)eine Periode

der Schwingung beschreibt

Λ = ln

C middot eminusβt cos(ωgtminus α)

C middot eminusβ(t+ 2π

ωg

)cos(ωg

(t+ 2π

ωg

)minus α

) (29)

= ln

(eminusβt

eminusβ

(t+ 2π

ωg

))

(30)

= minusβt+ β

(2π

ωg

)(31)

= 2π middot βωg

(32)

Daruumlber ergibt sich Tabelle (4)(Der Fehler von Λ wurde mit Hilfe von GUM Workbench berechnetund ein Protokoll bendet sich im Anhang der Fehler von fg beruht auf der Anzeigegenauigkeit desOszilloskops)Die Diagramme (6) (7) und(8) zeigen die Messwerte und die geplotteten Funktionen fuumlr die unter-schiedlichen Messungen

Abbildung 6 Schwingfall mit Daumlmpfungdgrad 1

11

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

Abbildung 7 Schwingfall mit Daumlmpfungdgrad 2

Abbildung 8 Schwingfall mit Daumlmpfungdgrad 3

Durch die hohe Anzahl der Messwerte ist die gettete Theoriefunktion relativ genau dies Zeigt sichauch in den kleinen FehlernUm den Zusammenhang zwischen Λ und fg zu erkennen muss man die Funktion fg(Λ) herleiten Dazu

12

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

verwendet man Formel (32) und ωg =radicw2

0 minus β2

Λ = 2π middot βωg

(33)

= 2π middot

radicω2

0 minus ω2g

ωg(34)

= 2π middotradic

(2πf0)2 minus (2πfg)2

2πfg(35)

= 2π middot

radicf2

0 minus f2g

fg(36)

hArr fg =

radic4π2 middot f2

0

1 + Λ2(37)

Im folgenden Diagramm (9) sind die uumlber die Messung errechneten Werte von Λ und die dazu getteteFunktion (37) dargestellt

Abbildung 9 Zusammenhang zwischen Λ und fg

Auallend ist hierbei dass die Messwerte nicht sehr nahe an der getteten Funktion liegen Der Fehlerliegt vermutlich bei den Werten von Λ Vergleicht man die getteten ωg-Werte mit den Abbildungen(6) (7) und(8) so ist schnell zu sehen dass diese nicht uumlbereinstimmen koumlnnen Der Fehler liegt alsobei den getteten Funktionen insbesondere von Messung 1 und Messung 2 Dadurch stimmt auch daserechnete Λ nicht mehrBetrachtet man auyumlerdem das Messprotokoll faumlllt auf das auch hier etwas nicht stimmen kann daauch hier die vom Oszillator abgelesenen Werte nicht mit den Abbildungen uumlbereinstimmen kann dazwar die abgelesenen Maxima und Minima gleich sind aber auch hier die Frequenz abnimmt obwohlauch die Daumlmpfung abnimmt

13

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

Frequenz in Hz(plusmn0 0005) ∆Phase in rad

0700 2815plusmn 0025

0730 2844plusmn 0027

0765 2596plusmn 0028

0800 2463plusmn 0029

0830 2295plusmn 0030

0860 1567plusmn 0031

0890 0783plusmn 0032

0920 0578plusmn 0033

0950 0382plusmn 0034

0980 0345plusmn 0036

Tabelle 5 Erregerfrequenz und ∆Phase Φ

53 Versuchsteil 3

Die in Tabelle (5) dargestellten Werte wurden immer erst nach ca einer Minute nach veraumlndern derErregerfrequenz gemessen da erst da sicher davon ausgegangen werden kann dass fg = ferr = f undωg = ωerr = ω gilt Des weiteren wurde die Phasenverschiebung in Sekunden gemessen und kann mit

Φ = 2π middot∆t middot f

umgerechnet werdenDer Fehler wird dabei mit den Formeln (22) und

(f plusmn u(f)) middot (∆tplusmn u(∆t)) = (f middot∆t)(

1plusmn(u(f)

f+u(∆t)

∆t

))aus [5] berechnetEs ist zu erkennen dass die Steigung um die Resonanzfrequenz (fResonanz = 0856 plusmn 0002Hz) amgroumlyumlten ist und nach rechts und links abnimmt Es scheint als gaumlbe es eine minimale und eine maximalePhasenverschiebung In einem Diagramm dargestellt ergibt sich Abbildung (10) Als Fitfuktion wurdefolgende Funktion verwendet

A2 + (A1minusA2)(1 + exp((xminus x0)dx))

Hierbei ist die Fitfunktion um die Resonanzfrequenz relativ ungenau da hier nur ein Messwert vorliegtDafuumlr ist der y-Achsenabschnitt umso genauer da hier mehrere Messwerte relativ nah bei einanderliegenBetrachtet man die Amplitude im Vergleich zur Frequenz so sieht man dass sie bei der Resonanz-frequenz ein Maximum aufweiyumlt Zudem nimmt die Steigung der Zunahme unterhalb der Resonanz-frequenz bis zu einem gewissen Punkt zu und dann wieder ab bis die Resonanzfrequenz erreicht istOberhalb dieser Frequenz nimmt die Abnahme erst zu und auch dann wieder ab Es ist des weiterenzu vermuten dass die Amplitude rechts und links der Resonanzfrequenz gegen einen Grenzwert laumluftIn Abbildung (11) ist dies graphisch dargestellt

14

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

Abbildung 10 ∆Phase Φ uumlber Erregerfrequenz mit Boltzmann-Fit

Abbildung 11 Doppelte Amplitude uumlber Erregerfrequenz mit Gauyuml-Fit

Da in Versuchsteil 2 ein Fehler unterlaufen ist koumlnnen wir die Eigenfrequenz ω0 nicht uumlber die Fitfunk-tion aus Abbildung (9 bestimmen Da aber zu Beginn des Versuches einige Schwingungen aufgezeichnet

15

SBeinlich amp RGarreis Literatur

wurden und die alle die Periodendauer T0 = 1160plusmn 00005s hatten kann daraus die Eigenfrequenz

f0 =1

T0= 08621plusmn 000041s

berechnet werden(Fehlerrechnung mit GUM Workbench ein Protokoll bendet sich im Anhang)Diese ist minimal groumlyumler als die ermittelte Resonanzfrequenz von fResonanz = 0856plusmn0002 (Der Fehlerwurde abgeschaumltzt) Da die Schwingung in diesem Versuchsteil leicht gedaumlmpft wurde damit eineResonanzkatastrophe verhindert wird diese Daumlmpfung aber nicht miteinberechnet wurde erfuumlllt dieAbweichung nur die Erwartung

6 Fragen

1 Von welchen Materialeigenschaften haumlngt die Torsionskonstante D ab

Die Torsionskonstante D haumlngt von der Festigkeit bzw Elastizitaumlt des verwendeten Materials abwelche als der Widerstand deniert ist welche das Material einer plastischen Verformung oderTrennung entgegensetzt

2 Was geschieht bei sehr starker Daumlmpfung Wie heiyumlt hierzu der Fachbegri

Das Pendel kriecht in die Ruhelage zuruumlck weshalb dieser Fall Kriechfall genannt wird SieheGrundlagen (16) Es kommt houmlchstens ein Nulldurchgang zustande wenn das pendel entspre-chend angeschubst wird

3 Wie kann man ein schwingungsfaumlhiges System noch daumlmpfen

Anstelle der hier verwendeten Wirbelstrombremsen die eine zur Geschwindigkeit proportionaleReibungskraft erzeugen kann auch viskose Reibung auch Stokessche Reibung genannt wiezB in Autostoyumldaumlmpfern verwendet werden oder Luftreibung (wie zB beim Schall) wobei diesesich meist proportional zum Geschwindigkeitsquadrat verhaumllt

4 Warum beobachtet man Resonanz im daumlmpfungsfreien Fall gerade bei einer Phasenverscheibung

von 90Ist dies der Fall so ist die anregende Kraft gerade proportional zur Geschwindigkeit des PendelsDh dass die Geschwindigkeit immer weiter verstaumlrkt wird also immer groumlyumler wird (Resonanz-fall) Mathematisch kann die Phasenverschiebung aus Formel (21) berechnet werden Fuumlr den

Fall β = 0 ist ωR = ω0 und der Betrag von tanminus1(

2βωRω2

0minusω2R

=infin)gerade π2 also 90

5 Wieso ist die Berechnung von ∆Θ genauer als die von Θ0 Die Berechnung von ∆Θ ist genauerda hier bei der Berechnung acht verschiedene Messwerte gemittelt wurden Siehe dazu auchKapitel 51

7 Anhang

Literatur

[1] Rebekka Garreis und Simeon Beinlich AP - Praktikumsbericht Traumlgheitsmoment aus Dreh-schwingungen 2012

[2] Runge Bernd-Uwe Physikalisches Anfaumlngerpraktikum der Universitaumlt Konstanz Torsions-

Oszillator (fuumlr Studiengang Physik) httpsapphysikunikonstanzdeAP-public

AnleitungenTorsions-Oszillator_Phypdf entnommen am 19122012

16

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

Messung 1 Messung 2 Messung 3Λ 03158plusmn 00012 02200plusmn 00014 06729plusmn 00030

fg in Hz 08929plusmn 000005 08621plusmn 000005 08264plusmn 000005

Tabelle 4 Logarithmisches Dekrement und Frequenz

Dadurch laumlsst sich das logarithmische Dekrement wie folgt berechnen wobei p =(

2πωg

)eine Periode

der Schwingung beschreibt

Λ = ln

C middot eminusβt cos(ωgtminus α)

C middot eminusβ(t+ 2π

ωg

)cos(ωg

(t+ 2π

ωg

)minus α

) (29)

= ln

(eminusβt

eminusβ

(t+ 2π

ωg

))

(30)

= minusβt+ β

(2π

ωg

)(31)

= 2π middot βωg

(32)

Daruumlber ergibt sich Tabelle (4)(Der Fehler von Λ wurde mit Hilfe von GUM Workbench berechnetund ein Protokoll bendet sich im Anhang der Fehler von fg beruht auf der Anzeigegenauigkeit desOszilloskops)Die Diagramme (6) (7) und(8) zeigen die Messwerte und die geplotteten Funktionen fuumlr die unter-schiedlichen Messungen

Abbildung 6 Schwingfall mit Daumlmpfungdgrad 1

11

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

Abbildung 7 Schwingfall mit Daumlmpfungdgrad 2

Abbildung 8 Schwingfall mit Daumlmpfungdgrad 3

Durch die hohe Anzahl der Messwerte ist die gettete Theoriefunktion relativ genau dies Zeigt sichauch in den kleinen FehlernUm den Zusammenhang zwischen Λ und fg zu erkennen muss man die Funktion fg(Λ) herleiten Dazu

12

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

verwendet man Formel (32) und ωg =radicw2

0 minus β2

Λ = 2π middot βωg

(33)

= 2π middot

radicω2

0 minus ω2g

ωg(34)

= 2π middotradic

(2πf0)2 minus (2πfg)2

2πfg(35)

= 2π middot

radicf2

0 minus f2g

fg(36)

hArr fg =

radic4π2 middot f2

0

1 + Λ2(37)

Im folgenden Diagramm (9) sind die uumlber die Messung errechneten Werte von Λ und die dazu getteteFunktion (37) dargestellt

Abbildung 9 Zusammenhang zwischen Λ und fg

Auallend ist hierbei dass die Messwerte nicht sehr nahe an der getteten Funktion liegen Der Fehlerliegt vermutlich bei den Werten von Λ Vergleicht man die getteten ωg-Werte mit den Abbildungen(6) (7) und(8) so ist schnell zu sehen dass diese nicht uumlbereinstimmen koumlnnen Der Fehler liegt alsobei den getteten Funktionen insbesondere von Messung 1 und Messung 2 Dadurch stimmt auch daserechnete Λ nicht mehrBetrachtet man auyumlerdem das Messprotokoll faumlllt auf das auch hier etwas nicht stimmen kann daauch hier die vom Oszillator abgelesenen Werte nicht mit den Abbildungen uumlbereinstimmen kann dazwar die abgelesenen Maxima und Minima gleich sind aber auch hier die Frequenz abnimmt obwohlauch die Daumlmpfung abnimmt

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SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

Frequenz in Hz(plusmn0 0005) ∆Phase in rad

0700 2815plusmn 0025

0730 2844plusmn 0027

0765 2596plusmn 0028

0800 2463plusmn 0029

0830 2295plusmn 0030

0860 1567plusmn 0031

0890 0783plusmn 0032

0920 0578plusmn 0033

0950 0382plusmn 0034

0980 0345plusmn 0036

Tabelle 5 Erregerfrequenz und ∆Phase Φ

53 Versuchsteil 3

Die in Tabelle (5) dargestellten Werte wurden immer erst nach ca einer Minute nach veraumlndern derErregerfrequenz gemessen da erst da sicher davon ausgegangen werden kann dass fg = ferr = f undωg = ωerr = ω gilt Des weiteren wurde die Phasenverschiebung in Sekunden gemessen und kann mit

Φ = 2π middot∆t middot f

umgerechnet werdenDer Fehler wird dabei mit den Formeln (22) und

(f plusmn u(f)) middot (∆tplusmn u(∆t)) = (f middot∆t)(

1plusmn(u(f)

f+u(∆t)

∆t

))aus [5] berechnetEs ist zu erkennen dass die Steigung um die Resonanzfrequenz (fResonanz = 0856 plusmn 0002Hz) amgroumlyumlten ist und nach rechts und links abnimmt Es scheint als gaumlbe es eine minimale und eine maximalePhasenverschiebung In einem Diagramm dargestellt ergibt sich Abbildung (10) Als Fitfuktion wurdefolgende Funktion verwendet

A2 + (A1minusA2)(1 + exp((xminus x0)dx))

Hierbei ist die Fitfunktion um die Resonanzfrequenz relativ ungenau da hier nur ein Messwert vorliegtDafuumlr ist der y-Achsenabschnitt umso genauer da hier mehrere Messwerte relativ nah bei einanderliegenBetrachtet man die Amplitude im Vergleich zur Frequenz so sieht man dass sie bei der Resonanz-frequenz ein Maximum aufweiyumlt Zudem nimmt die Steigung der Zunahme unterhalb der Resonanz-frequenz bis zu einem gewissen Punkt zu und dann wieder ab bis die Resonanzfrequenz erreicht istOberhalb dieser Frequenz nimmt die Abnahme erst zu und auch dann wieder ab Es ist des weiterenzu vermuten dass die Amplitude rechts und links der Resonanzfrequenz gegen einen Grenzwert laumluftIn Abbildung (11) ist dies graphisch dargestellt

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SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

Abbildung 10 ∆Phase Φ uumlber Erregerfrequenz mit Boltzmann-Fit

Abbildung 11 Doppelte Amplitude uumlber Erregerfrequenz mit Gauyuml-Fit

Da in Versuchsteil 2 ein Fehler unterlaufen ist koumlnnen wir die Eigenfrequenz ω0 nicht uumlber die Fitfunk-tion aus Abbildung (9 bestimmen Da aber zu Beginn des Versuches einige Schwingungen aufgezeichnet

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SBeinlich amp RGarreis Literatur

wurden und die alle die Periodendauer T0 = 1160plusmn 00005s hatten kann daraus die Eigenfrequenz

f0 =1

T0= 08621plusmn 000041s

berechnet werden(Fehlerrechnung mit GUM Workbench ein Protokoll bendet sich im Anhang)Diese ist minimal groumlyumler als die ermittelte Resonanzfrequenz von fResonanz = 0856plusmn0002 (Der Fehlerwurde abgeschaumltzt) Da die Schwingung in diesem Versuchsteil leicht gedaumlmpft wurde damit eineResonanzkatastrophe verhindert wird diese Daumlmpfung aber nicht miteinberechnet wurde erfuumlllt dieAbweichung nur die Erwartung

6 Fragen

1 Von welchen Materialeigenschaften haumlngt die Torsionskonstante D ab

Die Torsionskonstante D haumlngt von der Festigkeit bzw Elastizitaumlt des verwendeten Materials abwelche als der Widerstand deniert ist welche das Material einer plastischen Verformung oderTrennung entgegensetzt

2 Was geschieht bei sehr starker Daumlmpfung Wie heiyumlt hierzu der Fachbegri

Das Pendel kriecht in die Ruhelage zuruumlck weshalb dieser Fall Kriechfall genannt wird SieheGrundlagen (16) Es kommt houmlchstens ein Nulldurchgang zustande wenn das pendel entspre-chend angeschubst wird

3 Wie kann man ein schwingungsfaumlhiges System noch daumlmpfen

Anstelle der hier verwendeten Wirbelstrombremsen die eine zur Geschwindigkeit proportionaleReibungskraft erzeugen kann auch viskose Reibung auch Stokessche Reibung genannt wiezB in Autostoyumldaumlmpfern verwendet werden oder Luftreibung (wie zB beim Schall) wobei diesesich meist proportional zum Geschwindigkeitsquadrat verhaumllt

4 Warum beobachtet man Resonanz im daumlmpfungsfreien Fall gerade bei einer Phasenverscheibung

von 90Ist dies der Fall so ist die anregende Kraft gerade proportional zur Geschwindigkeit des PendelsDh dass die Geschwindigkeit immer weiter verstaumlrkt wird also immer groumlyumler wird (Resonanz-fall) Mathematisch kann die Phasenverschiebung aus Formel (21) berechnet werden Fuumlr den

Fall β = 0 ist ωR = ω0 und der Betrag von tanminus1(

2βωRω2

0minusω2R

=infin)gerade π2 also 90

5 Wieso ist die Berechnung von ∆Θ genauer als die von Θ0 Die Berechnung von ∆Θ ist genauerda hier bei der Berechnung acht verschiedene Messwerte gemittelt wurden Siehe dazu auchKapitel 51

7 Anhang

Literatur

[1] Rebekka Garreis und Simeon Beinlich AP - Praktikumsbericht Traumlgheitsmoment aus Dreh-schwingungen 2012

[2] Runge Bernd-Uwe Physikalisches Anfaumlngerpraktikum der Universitaumlt Konstanz Torsions-

Oszillator (fuumlr Studiengang Physik) httpsapphysikunikonstanzdeAP-public

AnleitungenTorsions-Oszillator_Phypdf entnommen am 19122012

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SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

Abbildung 7 Schwingfall mit Daumlmpfungdgrad 2

Abbildung 8 Schwingfall mit Daumlmpfungdgrad 3

Durch die hohe Anzahl der Messwerte ist die gettete Theoriefunktion relativ genau dies Zeigt sichauch in den kleinen FehlernUm den Zusammenhang zwischen Λ und fg zu erkennen muss man die Funktion fg(Λ) herleiten Dazu

12

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

verwendet man Formel (32) und ωg =radicw2

0 minus β2

Λ = 2π middot βωg

(33)

= 2π middot

radicω2

0 minus ω2g

ωg(34)

= 2π middotradic

(2πf0)2 minus (2πfg)2

2πfg(35)

= 2π middot

radicf2

0 minus f2g

fg(36)

hArr fg =

radic4π2 middot f2

0

1 + Λ2(37)

Im folgenden Diagramm (9) sind die uumlber die Messung errechneten Werte von Λ und die dazu getteteFunktion (37) dargestellt

Abbildung 9 Zusammenhang zwischen Λ und fg

Auallend ist hierbei dass die Messwerte nicht sehr nahe an der getteten Funktion liegen Der Fehlerliegt vermutlich bei den Werten von Λ Vergleicht man die getteten ωg-Werte mit den Abbildungen(6) (7) und(8) so ist schnell zu sehen dass diese nicht uumlbereinstimmen koumlnnen Der Fehler liegt alsobei den getteten Funktionen insbesondere von Messung 1 und Messung 2 Dadurch stimmt auch daserechnete Λ nicht mehrBetrachtet man auyumlerdem das Messprotokoll faumlllt auf das auch hier etwas nicht stimmen kann daauch hier die vom Oszillator abgelesenen Werte nicht mit den Abbildungen uumlbereinstimmen kann dazwar die abgelesenen Maxima und Minima gleich sind aber auch hier die Frequenz abnimmt obwohlauch die Daumlmpfung abnimmt

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SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

Frequenz in Hz(plusmn0 0005) ∆Phase in rad

0700 2815plusmn 0025

0730 2844plusmn 0027

0765 2596plusmn 0028

0800 2463plusmn 0029

0830 2295plusmn 0030

0860 1567plusmn 0031

0890 0783plusmn 0032

0920 0578plusmn 0033

0950 0382plusmn 0034

0980 0345plusmn 0036

Tabelle 5 Erregerfrequenz und ∆Phase Φ

53 Versuchsteil 3

Die in Tabelle (5) dargestellten Werte wurden immer erst nach ca einer Minute nach veraumlndern derErregerfrequenz gemessen da erst da sicher davon ausgegangen werden kann dass fg = ferr = f undωg = ωerr = ω gilt Des weiteren wurde die Phasenverschiebung in Sekunden gemessen und kann mit

Φ = 2π middot∆t middot f

umgerechnet werdenDer Fehler wird dabei mit den Formeln (22) und

(f plusmn u(f)) middot (∆tplusmn u(∆t)) = (f middot∆t)(

1plusmn(u(f)

f+u(∆t)

∆t

))aus [5] berechnetEs ist zu erkennen dass die Steigung um die Resonanzfrequenz (fResonanz = 0856 plusmn 0002Hz) amgroumlyumlten ist und nach rechts und links abnimmt Es scheint als gaumlbe es eine minimale und eine maximalePhasenverschiebung In einem Diagramm dargestellt ergibt sich Abbildung (10) Als Fitfuktion wurdefolgende Funktion verwendet

A2 + (A1minusA2)(1 + exp((xminus x0)dx))

Hierbei ist die Fitfunktion um die Resonanzfrequenz relativ ungenau da hier nur ein Messwert vorliegtDafuumlr ist der y-Achsenabschnitt umso genauer da hier mehrere Messwerte relativ nah bei einanderliegenBetrachtet man die Amplitude im Vergleich zur Frequenz so sieht man dass sie bei der Resonanz-frequenz ein Maximum aufweiyumlt Zudem nimmt die Steigung der Zunahme unterhalb der Resonanz-frequenz bis zu einem gewissen Punkt zu und dann wieder ab bis die Resonanzfrequenz erreicht istOberhalb dieser Frequenz nimmt die Abnahme erst zu und auch dann wieder ab Es ist des weiterenzu vermuten dass die Amplitude rechts und links der Resonanzfrequenz gegen einen Grenzwert laumluftIn Abbildung (11) ist dies graphisch dargestellt

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SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

Abbildung 10 ∆Phase Φ uumlber Erregerfrequenz mit Boltzmann-Fit

Abbildung 11 Doppelte Amplitude uumlber Erregerfrequenz mit Gauyuml-Fit

Da in Versuchsteil 2 ein Fehler unterlaufen ist koumlnnen wir die Eigenfrequenz ω0 nicht uumlber die Fitfunk-tion aus Abbildung (9 bestimmen Da aber zu Beginn des Versuches einige Schwingungen aufgezeichnet

15

SBeinlich amp RGarreis Literatur

wurden und die alle die Periodendauer T0 = 1160plusmn 00005s hatten kann daraus die Eigenfrequenz

f0 =1

T0= 08621plusmn 000041s

berechnet werden(Fehlerrechnung mit GUM Workbench ein Protokoll bendet sich im Anhang)Diese ist minimal groumlyumler als die ermittelte Resonanzfrequenz von fResonanz = 0856plusmn0002 (Der Fehlerwurde abgeschaumltzt) Da die Schwingung in diesem Versuchsteil leicht gedaumlmpft wurde damit eineResonanzkatastrophe verhindert wird diese Daumlmpfung aber nicht miteinberechnet wurde erfuumlllt dieAbweichung nur die Erwartung

6 Fragen

1 Von welchen Materialeigenschaften haumlngt die Torsionskonstante D ab

Die Torsionskonstante D haumlngt von der Festigkeit bzw Elastizitaumlt des verwendeten Materials abwelche als der Widerstand deniert ist welche das Material einer plastischen Verformung oderTrennung entgegensetzt

2 Was geschieht bei sehr starker Daumlmpfung Wie heiyumlt hierzu der Fachbegri

Das Pendel kriecht in die Ruhelage zuruumlck weshalb dieser Fall Kriechfall genannt wird SieheGrundlagen (16) Es kommt houmlchstens ein Nulldurchgang zustande wenn das pendel entspre-chend angeschubst wird

3 Wie kann man ein schwingungsfaumlhiges System noch daumlmpfen

Anstelle der hier verwendeten Wirbelstrombremsen die eine zur Geschwindigkeit proportionaleReibungskraft erzeugen kann auch viskose Reibung auch Stokessche Reibung genannt wiezB in Autostoyumldaumlmpfern verwendet werden oder Luftreibung (wie zB beim Schall) wobei diesesich meist proportional zum Geschwindigkeitsquadrat verhaumllt

4 Warum beobachtet man Resonanz im daumlmpfungsfreien Fall gerade bei einer Phasenverscheibung

von 90Ist dies der Fall so ist die anregende Kraft gerade proportional zur Geschwindigkeit des PendelsDh dass die Geschwindigkeit immer weiter verstaumlrkt wird also immer groumlyumler wird (Resonanz-fall) Mathematisch kann die Phasenverschiebung aus Formel (21) berechnet werden Fuumlr den

Fall β = 0 ist ωR = ω0 und der Betrag von tanminus1(

2βωRω2

0minusω2R

=infin)gerade π2 also 90

5 Wieso ist die Berechnung von ∆Θ genauer als die von Θ0 Die Berechnung von ∆Θ ist genauerda hier bei der Berechnung acht verschiedene Messwerte gemittelt wurden Siehe dazu auchKapitel 51

7 Anhang

Literatur

[1] Rebekka Garreis und Simeon Beinlich AP - Praktikumsbericht Traumlgheitsmoment aus Dreh-schwingungen 2012

[2] Runge Bernd-Uwe Physikalisches Anfaumlngerpraktikum der Universitaumlt Konstanz Torsions-

Oszillator (fuumlr Studiengang Physik) httpsapphysikunikonstanzdeAP-public

AnleitungenTorsions-Oszillator_Phypdf entnommen am 19122012

16

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

verwendet man Formel (32) und ωg =radicw2

0 minus β2

Λ = 2π middot βωg

(33)

= 2π middot

radicω2

0 minus ω2g

ωg(34)

= 2π middotradic

(2πf0)2 minus (2πfg)2

2πfg(35)

= 2π middot

radicf2

0 minus f2g

fg(36)

hArr fg =

radic4π2 middot f2

0

1 + Λ2(37)

Im folgenden Diagramm (9) sind die uumlber die Messung errechneten Werte von Λ und die dazu getteteFunktion (37) dargestellt

Abbildung 9 Zusammenhang zwischen Λ und fg

Auallend ist hierbei dass die Messwerte nicht sehr nahe an der getteten Funktion liegen Der Fehlerliegt vermutlich bei den Werten von Λ Vergleicht man die getteten ωg-Werte mit den Abbildungen(6) (7) und(8) so ist schnell zu sehen dass diese nicht uumlbereinstimmen koumlnnen Der Fehler liegt alsobei den getteten Funktionen insbesondere von Messung 1 und Messung 2 Dadurch stimmt auch daserechnete Λ nicht mehrBetrachtet man auyumlerdem das Messprotokoll faumlllt auf das auch hier etwas nicht stimmen kann daauch hier die vom Oszillator abgelesenen Werte nicht mit den Abbildungen uumlbereinstimmen kann dazwar die abgelesenen Maxima und Minima gleich sind aber auch hier die Frequenz abnimmt obwohlauch die Daumlmpfung abnimmt

13

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

Frequenz in Hz(plusmn0 0005) ∆Phase in rad

0700 2815plusmn 0025

0730 2844plusmn 0027

0765 2596plusmn 0028

0800 2463plusmn 0029

0830 2295plusmn 0030

0860 1567plusmn 0031

0890 0783plusmn 0032

0920 0578plusmn 0033

0950 0382plusmn 0034

0980 0345plusmn 0036

Tabelle 5 Erregerfrequenz und ∆Phase Φ

53 Versuchsteil 3

Die in Tabelle (5) dargestellten Werte wurden immer erst nach ca einer Minute nach veraumlndern derErregerfrequenz gemessen da erst da sicher davon ausgegangen werden kann dass fg = ferr = f undωg = ωerr = ω gilt Des weiteren wurde die Phasenverschiebung in Sekunden gemessen und kann mit

Φ = 2π middot∆t middot f

umgerechnet werdenDer Fehler wird dabei mit den Formeln (22) und

(f plusmn u(f)) middot (∆tplusmn u(∆t)) = (f middot∆t)(

1plusmn(u(f)

f+u(∆t)

∆t

))aus [5] berechnetEs ist zu erkennen dass die Steigung um die Resonanzfrequenz (fResonanz = 0856 plusmn 0002Hz) amgroumlyumlten ist und nach rechts und links abnimmt Es scheint als gaumlbe es eine minimale und eine maximalePhasenverschiebung In einem Diagramm dargestellt ergibt sich Abbildung (10) Als Fitfuktion wurdefolgende Funktion verwendet

A2 + (A1minusA2)(1 + exp((xminus x0)dx))

Hierbei ist die Fitfunktion um die Resonanzfrequenz relativ ungenau da hier nur ein Messwert vorliegtDafuumlr ist der y-Achsenabschnitt umso genauer da hier mehrere Messwerte relativ nah bei einanderliegenBetrachtet man die Amplitude im Vergleich zur Frequenz so sieht man dass sie bei der Resonanz-frequenz ein Maximum aufweiyumlt Zudem nimmt die Steigung der Zunahme unterhalb der Resonanz-frequenz bis zu einem gewissen Punkt zu und dann wieder ab bis die Resonanzfrequenz erreicht istOberhalb dieser Frequenz nimmt die Abnahme erst zu und auch dann wieder ab Es ist des weiterenzu vermuten dass die Amplitude rechts und links der Resonanzfrequenz gegen einen Grenzwert laumluftIn Abbildung (11) ist dies graphisch dargestellt

14

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

Abbildung 10 ∆Phase Φ uumlber Erregerfrequenz mit Boltzmann-Fit

Abbildung 11 Doppelte Amplitude uumlber Erregerfrequenz mit Gauyuml-Fit

Da in Versuchsteil 2 ein Fehler unterlaufen ist koumlnnen wir die Eigenfrequenz ω0 nicht uumlber die Fitfunk-tion aus Abbildung (9 bestimmen Da aber zu Beginn des Versuches einige Schwingungen aufgezeichnet

15

SBeinlich amp RGarreis Literatur

wurden und die alle die Periodendauer T0 = 1160plusmn 00005s hatten kann daraus die Eigenfrequenz

f0 =1

T0= 08621plusmn 000041s

berechnet werden(Fehlerrechnung mit GUM Workbench ein Protokoll bendet sich im Anhang)Diese ist minimal groumlyumler als die ermittelte Resonanzfrequenz von fResonanz = 0856plusmn0002 (Der Fehlerwurde abgeschaumltzt) Da die Schwingung in diesem Versuchsteil leicht gedaumlmpft wurde damit eineResonanzkatastrophe verhindert wird diese Daumlmpfung aber nicht miteinberechnet wurde erfuumlllt dieAbweichung nur die Erwartung

6 Fragen

1 Von welchen Materialeigenschaften haumlngt die Torsionskonstante D ab

Die Torsionskonstante D haumlngt von der Festigkeit bzw Elastizitaumlt des verwendeten Materials abwelche als der Widerstand deniert ist welche das Material einer plastischen Verformung oderTrennung entgegensetzt

2 Was geschieht bei sehr starker Daumlmpfung Wie heiyumlt hierzu der Fachbegri

Das Pendel kriecht in die Ruhelage zuruumlck weshalb dieser Fall Kriechfall genannt wird SieheGrundlagen (16) Es kommt houmlchstens ein Nulldurchgang zustande wenn das pendel entspre-chend angeschubst wird

3 Wie kann man ein schwingungsfaumlhiges System noch daumlmpfen

Anstelle der hier verwendeten Wirbelstrombremsen die eine zur Geschwindigkeit proportionaleReibungskraft erzeugen kann auch viskose Reibung auch Stokessche Reibung genannt wiezB in Autostoyumldaumlmpfern verwendet werden oder Luftreibung (wie zB beim Schall) wobei diesesich meist proportional zum Geschwindigkeitsquadrat verhaumllt

4 Warum beobachtet man Resonanz im daumlmpfungsfreien Fall gerade bei einer Phasenverscheibung

von 90Ist dies der Fall so ist die anregende Kraft gerade proportional zur Geschwindigkeit des PendelsDh dass die Geschwindigkeit immer weiter verstaumlrkt wird also immer groumlyumler wird (Resonanz-fall) Mathematisch kann die Phasenverschiebung aus Formel (21) berechnet werden Fuumlr den

Fall β = 0 ist ωR = ω0 und der Betrag von tanminus1(

2βωRω2

0minusω2R

=infin)gerade π2 also 90

5 Wieso ist die Berechnung von ∆Θ genauer als die von Θ0 Die Berechnung von ∆Θ ist genauerda hier bei der Berechnung acht verschiedene Messwerte gemittelt wurden Siehe dazu auchKapitel 51

7 Anhang

Literatur

[1] Rebekka Garreis und Simeon Beinlich AP - Praktikumsbericht Traumlgheitsmoment aus Dreh-schwingungen 2012

[2] Runge Bernd-Uwe Physikalisches Anfaumlngerpraktikum der Universitaumlt Konstanz Torsions-

Oszillator (fuumlr Studiengang Physik) httpsapphysikunikonstanzdeAP-public

AnleitungenTorsions-Oszillator_Phypdf entnommen am 19122012

16

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

Frequenz in Hz(plusmn0 0005) ∆Phase in rad

0700 2815plusmn 0025

0730 2844plusmn 0027

0765 2596plusmn 0028

0800 2463plusmn 0029

0830 2295plusmn 0030

0860 1567plusmn 0031

0890 0783plusmn 0032

0920 0578plusmn 0033

0950 0382plusmn 0034

0980 0345plusmn 0036

Tabelle 5 Erregerfrequenz und ∆Phase Φ

53 Versuchsteil 3

Die in Tabelle (5) dargestellten Werte wurden immer erst nach ca einer Minute nach veraumlndern derErregerfrequenz gemessen da erst da sicher davon ausgegangen werden kann dass fg = ferr = f undωg = ωerr = ω gilt Des weiteren wurde die Phasenverschiebung in Sekunden gemessen und kann mit

Φ = 2π middot∆t middot f

umgerechnet werdenDer Fehler wird dabei mit den Formeln (22) und

(f plusmn u(f)) middot (∆tplusmn u(∆t)) = (f middot∆t)(

1plusmn(u(f)

f+u(∆t)

∆t

))aus [5] berechnetEs ist zu erkennen dass die Steigung um die Resonanzfrequenz (fResonanz = 0856 plusmn 0002Hz) amgroumlyumlten ist und nach rechts und links abnimmt Es scheint als gaumlbe es eine minimale und eine maximalePhasenverschiebung In einem Diagramm dargestellt ergibt sich Abbildung (10) Als Fitfuktion wurdefolgende Funktion verwendet

A2 + (A1minusA2)(1 + exp((xminus x0)dx))

Hierbei ist die Fitfunktion um die Resonanzfrequenz relativ ungenau da hier nur ein Messwert vorliegtDafuumlr ist der y-Achsenabschnitt umso genauer da hier mehrere Messwerte relativ nah bei einanderliegenBetrachtet man die Amplitude im Vergleich zur Frequenz so sieht man dass sie bei der Resonanz-frequenz ein Maximum aufweiyumlt Zudem nimmt die Steigung der Zunahme unterhalb der Resonanz-frequenz bis zu einem gewissen Punkt zu und dann wieder ab bis die Resonanzfrequenz erreicht istOberhalb dieser Frequenz nimmt die Abnahme erst zu und auch dann wieder ab Es ist des weiterenzu vermuten dass die Amplitude rechts und links der Resonanzfrequenz gegen einen Grenzwert laumluftIn Abbildung (11) ist dies graphisch dargestellt

14

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

Abbildung 10 ∆Phase Φ uumlber Erregerfrequenz mit Boltzmann-Fit

Abbildung 11 Doppelte Amplitude uumlber Erregerfrequenz mit Gauyuml-Fit

Da in Versuchsteil 2 ein Fehler unterlaufen ist koumlnnen wir die Eigenfrequenz ω0 nicht uumlber die Fitfunk-tion aus Abbildung (9 bestimmen Da aber zu Beginn des Versuches einige Schwingungen aufgezeichnet

15

SBeinlich amp RGarreis Literatur

wurden und die alle die Periodendauer T0 = 1160plusmn 00005s hatten kann daraus die Eigenfrequenz

f0 =1

T0= 08621plusmn 000041s

berechnet werden(Fehlerrechnung mit GUM Workbench ein Protokoll bendet sich im Anhang)Diese ist minimal groumlyumler als die ermittelte Resonanzfrequenz von fResonanz = 0856plusmn0002 (Der Fehlerwurde abgeschaumltzt) Da die Schwingung in diesem Versuchsteil leicht gedaumlmpft wurde damit eineResonanzkatastrophe verhindert wird diese Daumlmpfung aber nicht miteinberechnet wurde erfuumlllt dieAbweichung nur die Erwartung

6 Fragen

1 Von welchen Materialeigenschaften haumlngt die Torsionskonstante D ab

Die Torsionskonstante D haumlngt von der Festigkeit bzw Elastizitaumlt des verwendeten Materials abwelche als der Widerstand deniert ist welche das Material einer plastischen Verformung oderTrennung entgegensetzt

2 Was geschieht bei sehr starker Daumlmpfung Wie heiyumlt hierzu der Fachbegri

Das Pendel kriecht in die Ruhelage zuruumlck weshalb dieser Fall Kriechfall genannt wird SieheGrundlagen (16) Es kommt houmlchstens ein Nulldurchgang zustande wenn das pendel entspre-chend angeschubst wird

3 Wie kann man ein schwingungsfaumlhiges System noch daumlmpfen

Anstelle der hier verwendeten Wirbelstrombremsen die eine zur Geschwindigkeit proportionaleReibungskraft erzeugen kann auch viskose Reibung auch Stokessche Reibung genannt wiezB in Autostoyumldaumlmpfern verwendet werden oder Luftreibung (wie zB beim Schall) wobei diesesich meist proportional zum Geschwindigkeitsquadrat verhaumllt

4 Warum beobachtet man Resonanz im daumlmpfungsfreien Fall gerade bei einer Phasenverscheibung

von 90Ist dies der Fall so ist die anregende Kraft gerade proportional zur Geschwindigkeit des PendelsDh dass die Geschwindigkeit immer weiter verstaumlrkt wird also immer groumlyumler wird (Resonanz-fall) Mathematisch kann die Phasenverschiebung aus Formel (21) berechnet werden Fuumlr den

Fall β = 0 ist ωR = ω0 und der Betrag von tanminus1(

2βωRω2

0minusω2R

=infin)gerade π2 also 90

5 Wieso ist die Berechnung von ∆Θ genauer als die von Θ0 Die Berechnung von ∆Θ ist genauerda hier bei der Berechnung acht verschiedene Messwerte gemittelt wurden Siehe dazu auchKapitel 51

7 Anhang

Literatur

[1] Rebekka Garreis und Simeon Beinlich AP - Praktikumsbericht Traumlgheitsmoment aus Dreh-schwingungen 2012

[2] Runge Bernd-Uwe Physikalisches Anfaumlngerpraktikum der Universitaumlt Konstanz Torsions-

Oszillator (fuumlr Studiengang Physik) httpsapphysikunikonstanzdeAP-public

AnleitungenTorsions-Oszillator_Phypdf entnommen am 19122012

16

SBeinlich amp RGarreis 5 AUSWERTUNG

Abbildung 10 ∆Phase Φ uumlber Erregerfrequenz mit Boltzmann-Fit

Abbildung 11 Doppelte Amplitude uumlber Erregerfrequenz mit Gauyuml-Fit

Da in Versuchsteil 2 ein Fehler unterlaufen ist koumlnnen wir die Eigenfrequenz ω0 nicht uumlber die Fitfunk-tion aus Abbildung (9 bestimmen Da aber zu Beginn des Versuches einige Schwingungen aufgezeichnet

15

SBeinlich amp RGarreis Literatur

wurden und die alle die Periodendauer T0 = 1160plusmn 00005s hatten kann daraus die Eigenfrequenz

f0 =1

T0= 08621plusmn 000041s

berechnet werden(Fehlerrechnung mit GUM Workbench ein Protokoll bendet sich im Anhang)Diese ist minimal groumlyumler als die ermittelte Resonanzfrequenz von fResonanz = 0856plusmn0002 (Der Fehlerwurde abgeschaumltzt) Da die Schwingung in diesem Versuchsteil leicht gedaumlmpft wurde damit eineResonanzkatastrophe verhindert wird diese Daumlmpfung aber nicht miteinberechnet wurde erfuumlllt dieAbweichung nur die Erwartung

6 Fragen

1 Von welchen Materialeigenschaften haumlngt die Torsionskonstante D ab

Die Torsionskonstante D haumlngt von der Festigkeit bzw Elastizitaumlt des verwendeten Materials abwelche als der Widerstand deniert ist welche das Material einer plastischen Verformung oderTrennung entgegensetzt

2 Was geschieht bei sehr starker Daumlmpfung Wie heiyumlt hierzu der Fachbegri

Das Pendel kriecht in die Ruhelage zuruumlck weshalb dieser Fall Kriechfall genannt wird SieheGrundlagen (16) Es kommt houmlchstens ein Nulldurchgang zustande wenn das pendel entspre-chend angeschubst wird

3 Wie kann man ein schwingungsfaumlhiges System noch daumlmpfen

Anstelle der hier verwendeten Wirbelstrombremsen die eine zur Geschwindigkeit proportionaleReibungskraft erzeugen kann auch viskose Reibung auch Stokessche Reibung genannt wiezB in Autostoyumldaumlmpfern verwendet werden oder Luftreibung (wie zB beim Schall) wobei diesesich meist proportional zum Geschwindigkeitsquadrat verhaumllt

4 Warum beobachtet man Resonanz im daumlmpfungsfreien Fall gerade bei einer Phasenverscheibung

von 90Ist dies der Fall so ist die anregende Kraft gerade proportional zur Geschwindigkeit des PendelsDh dass die Geschwindigkeit immer weiter verstaumlrkt wird also immer groumlyumler wird (Resonanz-fall) Mathematisch kann die Phasenverschiebung aus Formel (21) berechnet werden Fuumlr den

Fall β = 0 ist ωR = ω0 und der Betrag von tanminus1(

2βωRω2

0minusω2R

=infin)gerade π2 also 90

5 Wieso ist die Berechnung von ∆Θ genauer als die von Θ0 Die Berechnung von ∆Θ ist genauerda hier bei der Berechnung acht verschiedene Messwerte gemittelt wurden Siehe dazu auchKapitel 51

7 Anhang

Literatur

[1] Rebekka Garreis und Simeon Beinlich AP - Praktikumsbericht Traumlgheitsmoment aus Dreh-schwingungen 2012

[2] Runge Bernd-Uwe Physikalisches Anfaumlngerpraktikum der Universitaumlt Konstanz Torsions-

Oszillator (fuumlr Studiengang Physik) httpsapphysikunikonstanzdeAP-public

AnleitungenTorsions-Oszillator_Phypdf entnommen am 19122012

16

SBeinlich amp RGarreis Literatur

wurden und die alle die Periodendauer T0 = 1160plusmn 00005s hatten kann daraus die Eigenfrequenz

f0 =1

T0= 08621plusmn 000041s

berechnet werden(Fehlerrechnung mit GUM Workbench ein Protokoll bendet sich im Anhang)Diese ist minimal groumlyumler als die ermittelte Resonanzfrequenz von fResonanz = 0856plusmn0002 (Der Fehlerwurde abgeschaumltzt) Da die Schwingung in diesem Versuchsteil leicht gedaumlmpft wurde damit eineResonanzkatastrophe verhindert wird diese Daumlmpfung aber nicht miteinberechnet wurde erfuumlllt dieAbweichung nur die Erwartung

6 Fragen

1 Von welchen Materialeigenschaften haumlngt die Torsionskonstante D ab

Die Torsionskonstante D haumlngt von der Festigkeit bzw Elastizitaumlt des verwendeten Materials abwelche als der Widerstand deniert ist welche das Material einer plastischen Verformung oderTrennung entgegensetzt

2 Was geschieht bei sehr starker Daumlmpfung Wie heiyumlt hierzu der Fachbegri

Das Pendel kriecht in die Ruhelage zuruumlck weshalb dieser Fall Kriechfall genannt wird SieheGrundlagen (16) Es kommt houmlchstens ein Nulldurchgang zustande wenn das pendel entspre-chend angeschubst wird

3 Wie kann man ein schwingungsfaumlhiges System noch daumlmpfen

Anstelle der hier verwendeten Wirbelstrombremsen die eine zur Geschwindigkeit proportionaleReibungskraft erzeugen kann auch viskose Reibung auch Stokessche Reibung genannt wiezB in Autostoyumldaumlmpfern verwendet werden oder Luftreibung (wie zB beim Schall) wobei diesesich meist proportional zum Geschwindigkeitsquadrat verhaumllt

4 Warum beobachtet man Resonanz im daumlmpfungsfreien Fall gerade bei einer Phasenverscheibung

von 90Ist dies der Fall so ist die anregende Kraft gerade proportional zur Geschwindigkeit des PendelsDh dass die Geschwindigkeit immer weiter verstaumlrkt wird also immer groumlyumler wird (Resonanz-fall) Mathematisch kann die Phasenverschiebung aus Formel (21) berechnet werden Fuumlr den

Fall β = 0 ist ωR = ω0 und der Betrag von tanminus1(

2βωRω2

0minusω2R

=infin)gerade π2 also 90

5 Wieso ist die Berechnung von ∆Θ genauer als die von Θ0 Die Berechnung von ∆Θ ist genauerda hier bei der Berechnung acht verschiedene Messwerte gemittelt wurden Siehe dazu auchKapitel 51

7 Anhang

Literatur

[1] Rebekka Garreis und Simeon Beinlich AP - Praktikumsbericht Traumlgheitsmoment aus Dreh-schwingungen 2012

[2] Runge Bernd-Uwe Physikalisches Anfaumlngerpraktikum der Universitaumlt Konstanz Torsions-

Oszillator (fuumlr Studiengang Physik) httpsapphysikunikonstanzdeAP-public

AnleitungenTorsions-Oszillator_Phypdf entnommen am 19122012

16

SBeinlich amp RGarreis Tabellenverzeichnis

[3] ChemgaPedia httpwwwchemgapediadevsenginevluvscdeph14epeinfuehrung

schwingungenerzwungenerzwungenvluPagevscdeph14epeinfuehrung

schwingungenerzwungenerz_zusammenfassungvscmlhtml entnommen am 13113

[4] Matheplanet httpsmatheplanetcommatheplanetnukehtmluploads34624_2Jpg ent-nommen am 13113

[5] Runge Bernd-Uwe Physikalisches Anfaumlngerpraktikum der Universitaumlt Konstanz Abschnitt C Feh-

lerrechnung httpsapphysikuni-konstanzdeAPpublic AnleitungenFehlerrechnungpdf ent-nommen am 19122012

1

Abbildungsverzeichnis

1 Schwingung 52 Amplitude 63 Phase 64 Aufbau des Torsions-Oszillators der Firma TeachSpin ([2]) 7

5 Gerade uumlber(T2π

)2in Abhaumlngigkeigt von n 9

6 Schwingfall mit Daumlmpfungdgrad 1 117 Schwingfall mit Daumlmpfungdgrad 2 128 Schwingfall mit Daumlmpfungdgrad 3 129 Zusammenhang zwischen Λ und fg 1310 ∆Phase Φ uumlber Erregerfrequenz mit Boltzmann-Fit 1511 Doppelte Amplitude uumlber Erregerfrequenz mit Gauyuml-Fit 15

Tabellenverzeichnis

1 Berechnung von ΘKupferscheibe und ΘWelle 82 (T(2π))2 fuumlr die Anzahl der Zylinderstuumlcke 93 Werte der getteten Funktion uumlber die Messwerte 104 Logarithmisches Dekrement und Frequenz 115 Erregerfrequenz und ∆Phase Φ 14

17

Generiert mit GUM Workbench Edu Version 241384

Seite 1 von 1Datum 22122012

Traumlgheitsmoment eines Massestuumlckes auf der Drehscheibe

Datei Versuchsteil1smu

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Traumlgheitsmoment eines Massestuumlckes auf der Drehsche ibe

ModellgleichungΘ = 05 m (ri^2+ra^2)

Liste der Groumlszligen

Groumlszlige Einheit Definition

Θ kgm2 Traumlgheitsmoment eines Hohlzylinders

m kg Masse

ri m Innenradius

ra m Auszligenradius

m Typ B RechteckverteilungWert 0214 kgHalbbreite der Grenzen 000000625 kg

Hier wurde die Rechteckverteilung gewaumlhlt da die Messungenauigkeit auf der Schrittweite der Waageberuht

r i Typ B NormalverteilungWert 002175 mErweiterte Messunsicherheit 0000025 mErweiterungsfaktor 1

Die Messunsicherheit wurde abgeschaumltzt

ra Typ B NormalverteilungWert 004725 mErweiterte Messunsicherheit 0000025 mErweiterungsfaktor 1

Die Messunsicherheit wurde abgeschaumltzt

Messunsicherheits-BudgetsΘΘΘΘ Traumlgheitsmoment eines Hohlzylinders

Groumlszlige Wert Std-Mess-unsicherheit

Verteilung Sensitivitaumlts-koeffizient

Unsicher-heitsbeitrag

Index

m 021400000 kg 361middot10-6 kg Rechteck 14middot10-3 49middot10-9 kgm2 00

ri 00217500 m 250middot10-6 m Normal 47middot10-3 120middot10-9 kgm2 175

ra 00472500 m 250middot10-6 m Normal 0010 250middot10-9 kgm2 825

Θ 289502middot10-6 kgm2 278middot10-9 kgm2

Ergebnisse

Groumlszlige Wert Erw-Mess-unsicherheit

Erweiter-ungsfaktor

Uumlberdeckungs-wahrscheinlichkeit

Θ 28950middot10-6 kgm2 560middot10-9 kgm2 200 95 (Normal)

Generiert mit GUM Workbench Edu Version 241384

Seite 1 von 1Datum 24122012

MessunsicherheitdynD

dynSMU_Datei D

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Ddyn Messunsicherheit

ModellgleichungD =∆Theta a

Liste der Groumlszligen

Groumlszlige Einheit Definition

D Nm rad Dynamische Traumlgheitskonstante

∆Theta kg m2

a Steigung

∆∆∆∆Theta Typ B NormalverteilungWert 000028950 kg m2

Erweiterte Messunsicherheit 0000000560 kg m2

Erweiterungsfaktor 1

Normalverteilung da es sich bereits um ein Zwischenergebnis handelt

a Typ B NormalverteilungWert 000471Erweiterte Messunsicherheit 000007Erweiterungsfaktor 1

Normalverteilung da es die gemittelte Steigung ist

Messunsicherheits-BudgetsD Dynamische Traumlgheitskonstante

Groumlszlige Wert Std-Mess-unsicherheit

Verteilung Sensitivitaumlts-koeffizient

Unsicher-heitsbeitrag

Index

∆Theta 289500middot10-6 kg m2

560middot10-9 kg m2

Normal 210 120middot10-6 Nm rad

17

a 47100middot10-3 700middot10-6 Normal -13 -910middot10-6 Nm rad

983

D 0061465 Nm rad 921middot10-6 Nm rad

Ergebnisse

Groumlszlige Wert Erw-Mess-unsicherheit

Erweiter-ungsfaktor

Uumlberdeckungs-wahrscheinlichkeit

D 00615 Nm rad 18middot10-3 Nm rad

200 95 (Normal)

Generiert mit GUM Workbench Edu Version 241384

Seite 1 von 1Datum 24122012

0ΘMessunsicherheit von

0SMU_Datei theta

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Messunsicherheit von ΘΘΘΘ0

ModellgleichungΘ0 = b Ddyn

Liste der Groumlszligen

Groumlszlige Einheit Definition

Θ0 kg m2 Traumlgehitsmoment des Oszillators ohne Gewichte

b s2 y-Achsenabschnitt

Ddyn Nm rad Torsionskonstante

b Typ B NormalverteilungWert 00340 s2

Erweiterte Messunsicherheit 00004 s2

Erweiterungsfaktor 1

Normalverteilung da uumlber eine genaumlherte Gerade ermittelt

Ddyn Typ B NormalverteilungWert 00615 Nm radErweiterte Messunsicherheit 00010 Nm radErweiterungsfaktor 1

Normalverteilung da es sich bereits um ein Zwischenergebnis handelt

Messunsicherheits-BudgetsΘΘΘΘ0 Traumlgehitsmoment des Oszillators ohne Gewichte

Groumlszlige Wert Std-Mess-unsicherheit

Verteilung Sensitivitaumlts-koeffizient

Unsicher-heitsbeitrag

Index

b 0034000 s2 400middot10-6 s2 Normal 0062 25middot10-6 kg m2 344

Ddyn 006150 Nm rad 100middot10-3 Nmrad

Normal 0034 34middot10-6 kg m2 656

Θ0 20910middot10-3 kg m2 420middot10-6 kg m2

Ergebnisse

Groumlszlige Wert Erw-Mess-unsicherheit

Erweiter-ungsfaktor

Uumlberdeckungs-wahrscheinlichkeit

Θ0 2091middot10-3 kg m2 84middot10-6 kg m2 200 95 (Normal)

Generiert mit GUM Workbench Edu Version 241384

Seite 1 von 1Datum 26122012

Logarithmisches Dekrement Messung 1

Datei 21smu

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Logarithmisches Dekrement Messung 1

ModellgleichungΛ = 2π (β ωg)

Liste der Groumlszligen

Groumlszlige Einheit Definition

Λ Logarithmisches Dekrement

π Konstante

β 1s Daumlmpfung

ωg 1s Winkelgeschwindigkeit

ππππ KonstanteWert 31415926535898

ββββ Typ B NormalverteilungWert 0272 1sErweiterte Messunsicherheit 0001 1sErweiterungsfaktor 1

Normalverteilung da bereits eine Zwishengroumlszlige

ωωωωg Typ B NormalverteilungWert 541091 1sErweiterte Messunsicherheit 000010 1sErweiterungsfaktor 1

Normalverteilung da bereits eine Zwishengroumlszlige

Messunsicherheits-BudgetsΛΛΛΛ Logarithmisches Dekrement

Groumlszlige Wert Std-Mess-unsicherheit

Verteilung Sensitivitaumlts-koeffizient

Unsicher-heitsbeitrag

Index

π 31415926535898

β 027200 1s 100middot10-3 1s Normal 12 12middot10-3 1000

ωg 5410910 1s 100middot10-6 1s Normal -0058 -58middot10-6 00

Λ 031585 116middot10-3

Ergebnisse

Groumlszlige Wert Erw-Mess-unsicherheit

Erweiter-ungsfaktor

Uumlberdeckungs-wahrscheinlichkeit

Λ 03158 23middot10-3 200 95 (Normal)

Generiert mit GUM Workbench Edu Version 241384

Seite 1 von 1Datum 26122012

Logarithmisches Dekrement Messung 2

Datei 22SMU

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Logarithmisches Dekrement Messung 2

ModellgleichungΛ = 2π (β ωg)

Liste der Groumlszligen

Groumlszlige Einheit Definition

Λ Logarithmisches Dekrement

π Konstante

β 1s Daumlmpfung

ωg 1s Winkelgeschwindigkeit

ππππ KonstanteWert 31415926535898

ββββ Typ B NormalverteilungWert 01894 1sErweiterte Messunsicherheit 00006 1sErweiterungsfaktor 1

Normalverteilung da bereits eine Zwishengroumlszlige

ωωωωg Typ B NormalverteilungWert 54085 1sErweiterte Messunsicherheit 00005 1sErweiterungsfaktor 1

Normalverteilung da bereits eine Zwishengroumlszlige

Messunsicherheits-BudgetsΛΛΛΛ Logarithmisches Dekrement

Groumlszlige Wert Std-Mess-unsicherheit

Verteilung Sensitivitaumlts-koeffizient

Unsicher-heitsbeitrag

Index

π 31415926535898

β 0189400 1s 600middot10-6 1s Normal 12 700middot10-6 999

ωg 5408500 1s 500middot10-6 1s Normal -0041 -20middot10-6 00

Λ 0220031 697middot10-6

Ergebnisse

Groumlszlige Wert Erw-Mess-unsicherheit

Erweiter-ungsfaktor

Uumlberdeckungs-wahrscheinlichkeit

Λ 02200 14middot10-3 200 95 (Normal)

Generiert mit GUM Workbench Edu Version 241384

Seite 1 von 1Datum 26122012

Logarithmisches Dekrement Messung 3

Datei 23SMU

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Logarithmisches Dekrement Messung 3

ModellgleichungΛ = 2π (β ωg)

Liste der Groumlszligen

Groumlszlige Einheit Definition

Λ Logarithmisches Dekrement

π Konstante

β 1s Daumlmpfung

ωg 1s Winkelgeschwindigkeit

ππππ KonstanteWert 31415926535898

ββββ Typ B NormalverteilungWert 05766 1sErweiterte Messunsicherheit 00013 1sErweiterungsfaktor 1

Normalverteilung da bereits eine Zwishengroumlszlige

ωωωωg Typ B NormalverteilungWert 53841 1sErweiterte Messunsicherheit 00012 1sErweiterungsfaktor 1

Normalverteilung da bereits eine Zwishengroumlszlige

Messunsicherheits-BudgetsΛΛΛΛ Logarithmisches Dekrement

Groumlszlige Wert Std-Mess-unsicherheit

Verteilung Sensitivitaumlts-koeffizient

Unsicher-heitsbeitrag

Index

π 31415926535898

β 057660 1s 130middot10-3 1s Normal 12 15middot10-3 990

ωg 538410 1s 120middot10-3 1s Normal -012 -150middot10-6 10

Λ 067289 152middot10-3

Ergebnisse

Groumlszlige Wert Erw-Mess-unsicherheit

Erweiter-ungsfaktor

Uumlberdeckungs-wahrscheinlichkeit

Λ 06729 30middot10-3 200 95 (Normal)

Generiert mit GUM Workbench Edu Version 241384

Seite 1 von 1Datum 28122012

Messunsicherheit der Eigenfrequenz

Datei eigenfrequenzsmu

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Messunsicherheit der Eigenfrequenz

Modellgleichungf= 1T

Liste der Groumlszligen

Groumlszlige Einheit Definition

f 1s Eigenfrequenz

T s Periodendauer der Eigenschwingung

T Typ B RechteckverteilungWert 1160 sHalbbreite der Grenzen 00005 s

Rechteckverteilung da Messunsicherheit auf Anzeigegenauigkeit des Oszillators basiert

Messunsicherheits-Budgetsf Eigenfrequenz

Groumlszlige Wert Std-Mess-unsicherheit

Verteilung Sensitivitaumlts-koeffizient

Unsicher-heitsbeitrag

Index

T 1160000 s 289middot10-6 s Rechteck -074 -210middot10-6 1s 1000

f 0862069 1s 215middot10-6 1s

Ergebnisse

Groumlszlige Wert Erw-Mess-unsicherheit

Erweiter-ungsfaktor

Uumlberdeckungs-wahrscheinlichkeit

f 086207 1s 430middot10-6 1s 200 95 (Normal)

Generiert mit GUM Workbench Edu Version 241384

Seite 1 von 1Datum 24122012

MessunsicherheitdynD

dynSMU_Datei D

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Ddyn Messunsicherheit

ModellgleichungD =∆Theta a

Liste der Groumlszligen

Groumlszlige Einheit Definition

D Nm rad Dynamische Traumlgheitskonstante

∆Theta kg m2

a Steigung

∆∆∆∆Theta Typ B NormalverteilungWert 000028950 kg m2

Erweiterte Messunsicherheit 0000000560 kg m2

Erweiterungsfaktor 1

Normalverteilung da es sich bereits um ein Zwischenergebnis handelt

a Typ B NormalverteilungWert 000471Erweiterte Messunsicherheit 000007Erweiterungsfaktor 1

Normalverteilung da es die gemittelte Steigung ist

Messunsicherheits-BudgetsD Dynamische Traumlgheitskonstante

Groumlszlige Wert Std-Mess-unsicherheit

Verteilung Sensitivitaumlts-koeffizient

Unsicher-heitsbeitrag

Index

∆Theta 289500middot10-6 kg m2

560middot10-9 kg m2

Normal 210 120middot10-6 Nm rad

17

a 47100middot10-3 700middot10-6 Normal -13 -910middot10-6 Nm rad

983

D 0061465 Nm rad 921middot10-6 Nm rad

Ergebnisse

Groumlszlige Wert Erw-Mess-unsicherheit

Erweiter-ungsfaktor

Uumlberdeckungs-wahrscheinlichkeit

D 00615 Nm rad 18middot10-3 Nm rad

200 95 (Normal)

Generiert mit GUM Workbench Edu Version 241384

Seite 1 von 1Datum 24122012

0ΘMessunsicherheit von

0SMU_Datei theta

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Messunsicherheit von ΘΘΘΘ0

ModellgleichungΘ0 = b Ddyn

Liste der Groumlszligen

Groumlszlige Einheit Definition

Θ0 kg m2 Traumlgehitsmoment des Oszillators ohne Gewichte

b s2 y-Achsenabschnitt

Ddyn Nm rad Torsionskonstante

b Typ B NormalverteilungWert 00340 s2

Erweiterte Messunsicherheit 00004 s2

Erweiterungsfaktor 1

Normalverteilung da uumlber eine genaumlherte Gerade ermittelt

Ddyn Typ B NormalverteilungWert 00615 Nm radErweiterte Messunsicherheit 00010 Nm radErweiterungsfaktor 1

Normalverteilung da es sich bereits um ein Zwischenergebnis handelt

Messunsicherheits-BudgetsΘΘΘΘ0 Traumlgehitsmoment des Oszillators ohne Gewichte

Groumlszlige Wert Std-Mess-unsicherheit

Verteilung Sensitivitaumlts-koeffizient

Unsicher-heitsbeitrag

Index

b 0034000 s2 400middot10-6 s2 Normal 0062 25middot10-6 kg m2 344

Ddyn 006150 Nm rad 100middot10-3 Nmrad

Normal 0034 34middot10-6 kg m2 656

Θ0 20910middot10-3 kg m2 420middot10-6 kg m2

Ergebnisse

Groumlszlige Wert Erw-Mess-unsicherheit

Erweiter-ungsfaktor

Uumlberdeckungs-wahrscheinlichkeit

Θ0 2091middot10-3 kg m2 84middot10-6 kg m2 200 95 (Normal)

Generiert mit GUM Workbench Edu Version 241384

Seite 1 von 1Datum 26122012

Logarithmisches Dekrement Messung 1

Datei 21smu

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Logarithmisches Dekrement Messung 1

ModellgleichungΛ = 2π (β ωg)

Liste der Groumlszligen

Groumlszlige Einheit Definition

Λ Logarithmisches Dekrement

π Konstante

β 1s Daumlmpfung

ωg 1s Winkelgeschwindigkeit

ππππ KonstanteWert 31415926535898

ββββ Typ B NormalverteilungWert 0272 1sErweiterte Messunsicherheit 0001 1sErweiterungsfaktor 1

Normalverteilung da bereits eine Zwishengroumlszlige

ωωωωg Typ B NormalverteilungWert 541091 1sErweiterte Messunsicherheit 000010 1sErweiterungsfaktor 1

Normalverteilung da bereits eine Zwishengroumlszlige

Messunsicherheits-BudgetsΛΛΛΛ Logarithmisches Dekrement

Groumlszlige Wert Std-Mess-unsicherheit

Verteilung Sensitivitaumlts-koeffizient

Unsicher-heitsbeitrag

Index

π 31415926535898

β 027200 1s 100middot10-3 1s Normal 12 12middot10-3 1000

ωg 5410910 1s 100middot10-6 1s Normal -0058 -58middot10-6 00

Λ 031585 116middot10-3

Ergebnisse

Groumlszlige Wert Erw-Mess-unsicherheit

Erweiter-ungsfaktor

Uumlberdeckungs-wahrscheinlichkeit

Λ 03158 23middot10-3 200 95 (Normal)

Generiert mit GUM Workbench Edu Version 241384

Seite 1 von 1Datum 26122012

Logarithmisches Dekrement Messung 2

Datei 22SMU

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Logarithmisches Dekrement Messung 2

ModellgleichungΛ = 2π (β ωg)

Liste der Groumlszligen

Groumlszlige Einheit Definition

Λ Logarithmisches Dekrement

π Konstante

β 1s Daumlmpfung

ωg 1s Winkelgeschwindigkeit

ππππ KonstanteWert 31415926535898

ββββ Typ B NormalverteilungWert 01894 1sErweiterte Messunsicherheit 00006 1sErweiterungsfaktor 1

Normalverteilung da bereits eine Zwishengroumlszlige

ωωωωg Typ B NormalverteilungWert 54085 1sErweiterte Messunsicherheit 00005 1sErweiterungsfaktor 1

Normalverteilung da bereits eine Zwishengroumlszlige

Messunsicherheits-BudgetsΛΛΛΛ Logarithmisches Dekrement

Groumlszlige Wert Std-Mess-unsicherheit

Verteilung Sensitivitaumlts-koeffizient

Unsicher-heitsbeitrag

Index

π 31415926535898

β 0189400 1s 600middot10-6 1s Normal 12 700middot10-6 999

ωg 5408500 1s 500middot10-6 1s Normal -0041 -20middot10-6 00

Λ 0220031 697middot10-6

Ergebnisse

Groumlszlige Wert Erw-Mess-unsicherheit

Erweiter-ungsfaktor

Uumlberdeckungs-wahrscheinlichkeit

Λ 02200 14middot10-3 200 95 (Normal)

Generiert mit GUM Workbench Edu Version 241384

Seite 1 von 1Datum 26122012

Logarithmisches Dekrement Messung 3

Datei 23SMU

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Logarithmisches Dekrement Messung 3

ModellgleichungΛ = 2π (β ωg)

Liste der Groumlszligen

Groumlszlige Einheit Definition

Λ Logarithmisches Dekrement

π Konstante

β 1s Daumlmpfung

ωg 1s Winkelgeschwindigkeit

ππππ KonstanteWert 31415926535898

ββββ Typ B NormalverteilungWert 05766 1sErweiterte Messunsicherheit 00013 1sErweiterungsfaktor 1

Normalverteilung da bereits eine Zwishengroumlszlige

ωωωωg Typ B NormalverteilungWert 53841 1sErweiterte Messunsicherheit 00012 1sErweiterungsfaktor 1

Normalverteilung da bereits eine Zwishengroumlszlige

Messunsicherheits-BudgetsΛΛΛΛ Logarithmisches Dekrement

Groumlszlige Wert Std-Mess-unsicherheit

Verteilung Sensitivitaumlts-koeffizient

Unsicher-heitsbeitrag

Index

π 31415926535898

β 057660 1s 130middot10-3 1s Normal 12 15middot10-3 990

ωg 538410 1s 120middot10-3 1s Normal -012 -150middot10-6 10

Λ 067289 152middot10-3

Ergebnisse

Groumlszlige Wert Erw-Mess-unsicherheit

Erweiter-ungsfaktor

Uumlberdeckungs-wahrscheinlichkeit

Λ 06729 30middot10-3 200 95 (Normal)

Generiert mit GUM Workbench Edu Version 241384

Seite 1 von 1Datum 28122012

Messunsicherheit der Eigenfrequenz

Datei eigenfrequenzsmu

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Messunsicherheit der Eigenfrequenz

Modellgleichungf= 1T

Liste der Groumlszligen

Groumlszlige Einheit Definition

f 1s Eigenfrequenz

T s Periodendauer der Eigenschwingung

T Typ B RechteckverteilungWert 1160 sHalbbreite der Grenzen 00005 s

Rechteckverteilung da Messunsicherheit auf Anzeigegenauigkeit des Oszillators basiert

Messunsicherheits-Budgetsf Eigenfrequenz

Groumlszlige Wert Std-Mess-unsicherheit

Verteilung Sensitivitaumlts-koeffizient

Unsicher-heitsbeitrag

Index

T 1160000 s 289middot10-6 s Rechteck -074 -210middot10-6 1s 1000

f 0862069 1s 215middot10-6 1s

Ergebnisse

Groumlszlige Wert Erw-Mess-unsicherheit

Erweiter-ungsfaktor

Uumlberdeckungs-wahrscheinlichkeit

f 086207 1s 430middot10-6 1s 200 95 (Normal)

Generiert mit GUM Workbench Edu Version 241384

Seite 1 von 1Datum 24122012

0ΘMessunsicherheit von

0SMU_Datei theta

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Messunsicherheit von ΘΘΘΘ0

ModellgleichungΘ0 = b Ddyn

Liste der Groumlszligen

Groumlszlige Einheit Definition

Θ0 kg m2 Traumlgehitsmoment des Oszillators ohne Gewichte

b s2 y-Achsenabschnitt

Ddyn Nm rad Torsionskonstante

b Typ B NormalverteilungWert 00340 s2

Erweiterte Messunsicherheit 00004 s2

Erweiterungsfaktor 1

Normalverteilung da uumlber eine genaumlherte Gerade ermittelt

Ddyn Typ B NormalverteilungWert 00615 Nm radErweiterte Messunsicherheit 00010 Nm radErweiterungsfaktor 1

Normalverteilung da es sich bereits um ein Zwischenergebnis handelt

Messunsicherheits-BudgetsΘΘΘΘ0 Traumlgehitsmoment des Oszillators ohne Gewichte

Groumlszlige Wert Std-Mess-unsicherheit

Verteilung Sensitivitaumlts-koeffizient

Unsicher-heitsbeitrag

Index

b 0034000 s2 400middot10-6 s2 Normal 0062 25middot10-6 kg m2 344

Ddyn 006150 Nm rad 100middot10-3 Nmrad

Normal 0034 34middot10-6 kg m2 656

Θ0 20910middot10-3 kg m2 420middot10-6 kg m2

Ergebnisse

Groumlszlige Wert Erw-Mess-unsicherheit

Erweiter-ungsfaktor

Uumlberdeckungs-wahrscheinlichkeit

Θ0 2091middot10-3 kg m2 84middot10-6 kg m2 200 95 (Normal)

Generiert mit GUM Workbench Edu Version 241384

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Logarithmisches Dekrement Messung 1

Datei 21smu

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Logarithmisches Dekrement Messung 1

ModellgleichungΛ = 2π (β ωg)

Liste der Groumlszligen

Groumlszlige Einheit Definition

Λ Logarithmisches Dekrement

π Konstante

β 1s Daumlmpfung

ωg 1s Winkelgeschwindigkeit

ππππ KonstanteWert 31415926535898

ββββ Typ B NormalverteilungWert 0272 1sErweiterte Messunsicherheit 0001 1sErweiterungsfaktor 1

Normalverteilung da bereits eine Zwishengroumlszlige

ωωωωg Typ B NormalverteilungWert 541091 1sErweiterte Messunsicherheit 000010 1sErweiterungsfaktor 1

Normalverteilung da bereits eine Zwishengroumlszlige

Messunsicherheits-BudgetsΛΛΛΛ Logarithmisches Dekrement

Groumlszlige Wert Std-Mess-unsicherheit

Verteilung Sensitivitaumlts-koeffizient

Unsicher-heitsbeitrag

Index

π 31415926535898

β 027200 1s 100middot10-3 1s Normal 12 12middot10-3 1000

ωg 5410910 1s 100middot10-6 1s Normal -0058 -58middot10-6 00

Λ 031585 116middot10-3

Ergebnisse

Groumlszlige Wert Erw-Mess-unsicherheit

Erweiter-ungsfaktor

Uumlberdeckungs-wahrscheinlichkeit

Λ 03158 23middot10-3 200 95 (Normal)

Generiert mit GUM Workbench Edu Version 241384

Seite 1 von 1Datum 26122012

Logarithmisches Dekrement Messung 2

Datei 22SMU

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Logarithmisches Dekrement Messung 2

ModellgleichungΛ = 2π (β ωg)

Liste der Groumlszligen

Groumlszlige Einheit Definition

Λ Logarithmisches Dekrement

π Konstante

β 1s Daumlmpfung

ωg 1s Winkelgeschwindigkeit

ππππ KonstanteWert 31415926535898

ββββ Typ B NormalverteilungWert 01894 1sErweiterte Messunsicherheit 00006 1sErweiterungsfaktor 1

Normalverteilung da bereits eine Zwishengroumlszlige

ωωωωg Typ B NormalverteilungWert 54085 1sErweiterte Messunsicherheit 00005 1sErweiterungsfaktor 1

Normalverteilung da bereits eine Zwishengroumlszlige

Messunsicherheits-BudgetsΛΛΛΛ Logarithmisches Dekrement

Groumlszlige Wert Std-Mess-unsicherheit

Verteilung Sensitivitaumlts-koeffizient

Unsicher-heitsbeitrag

Index

π 31415926535898

β 0189400 1s 600middot10-6 1s Normal 12 700middot10-6 999

ωg 5408500 1s 500middot10-6 1s Normal -0041 -20middot10-6 00

Λ 0220031 697middot10-6

Ergebnisse

Groumlszlige Wert Erw-Mess-unsicherheit

Erweiter-ungsfaktor

Uumlberdeckungs-wahrscheinlichkeit

Λ 02200 14middot10-3 200 95 (Normal)

Generiert mit GUM Workbench Edu Version 241384

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Logarithmisches Dekrement Messung 3

Datei 23SMU

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Logarithmisches Dekrement Messung 3

ModellgleichungΛ = 2π (β ωg)

Liste der Groumlszligen

Groumlszlige Einheit Definition

Λ Logarithmisches Dekrement

π Konstante

β 1s Daumlmpfung

ωg 1s Winkelgeschwindigkeit

ππππ KonstanteWert 31415926535898

ββββ Typ B NormalverteilungWert 05766 1sErweiterte Messunsicherheit 00013 1sErweiterungsfaktor 1

Normalverteilung da bereits eine Zwishengroumlszlige

ωωωωg Typ B NormalverteilungWert 53841 1sErweiterte Messunsicherheit 00012 1sErweiterungsfaktor 1

Normalverteilung da bereits eine Zwishengroumlszlige

Messunsicherheits-BudgetsΛΛΛΛ Logarithmisches Dekrement

Groumlszlige Wert Std-Mess-unsicherheit

Verteilung Sensitivitaumlts-koeffizient

Unsicher-heitsbeitrag

Index

π 31415926535898

β 057660 1s 130middot10-3 1s Normal 12 15middot10-3 990

ωg 538410 1s 120middot10-3 1s Normal -012 -150middot10-6 10

Λ 067289 152middot10-3

Ergebnisse

Groumlszlige Wert Erw-Mess-unsicherheit

Erweiter-ungsfaktor

Uumlberdeckungs-wahrscheinlichkeit

Λ 06729 30middot10-3 200 95 (Normal)

Generiert mit GUM Workbench Edu Version 241384

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Messunsicherheit der Eigenfrequenz

Datei eigenfrequenzsmu

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Messunsicherheit der Eigenfrequenz

Modellgleichungf= 1T

Liste der Groumlszligen

Groumlszlige Einheit Definition

f 1s Eigenfrequenz

T s Periodendauer der Eigenschwingung

T Typ B RechteckverteilungWert 1160 sHalbbreite der Grenzen 00005 s

Rechteckverteilung da Messunsicherheit auf Anzeigegenauigkeit des Oszillators basiert

Messunsicherheits-Budgetsf Eigenfrequenz

Groumlszlige Wert Std-Mess-unsicherheit

Verteilung Sensitivitaumlts-koeffizient

Unsicher-heitsbeitrag

Index

T 1160000 s 289middot10-6 s Rechteck -074 -210middot10-6 1s 1000

f 0862069 1s 215middot10-6 1s

Ergebnisse

Groumlszlige Wert Erw-Mess-unsicherheit

Erweiter-ungsfaktor

Uumlberdeckungs-wahrscheinlichkeit

f 086207 1s 430middot10-6 1s 200 95 (Normal)

Generiert mit GUM Workbench Edu Version 241384

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Logarithmisches Dekrement Messung 1

Datei 21smu

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Logarithmisches Dekrement Messung 1

ModellgleichungΛ = 2π (β ωg)

Liste der Groumlszligen

Groumlszlige Einheit Definition

Λ Logarithmisches Dekrement

π Konstante

β 1s Daumlmpfung

ωg 1s Winkelgeschwindigkeit

ππππ KonstanteWert 31415926535898

ββββ Typ B NormalverteilungWert 0272 1sErweiterte Messunsicherheit 0001 1sErweiterungsfaktor 1

Normalverteilung da bereits eine Zwishengroumlszlige

ωωωωg Typ B NormalverteilungWert 541091 1sErweiterte Messunsicherheit 000010 1sErweiterungsfaktor 1

Normalverteilung da bereits eine Zwishengroumlszlige

Messunsicherheits-BudgetsΛΛΛΛ Logarithmisches Dekrement

Groumlszlige Wert Std-Mess-unsicherheit

Verteilung Sensitivitaumlts-koeffizient

Unsicher-heitsbeitrag

Index

π 31415926535898

β 027200 1s 100middot10-3 1s Normal 12 12middot10-3 1000

ωg 5410910 1s 100middot10-6 1s Normal -0058 -58middot10-6 00

Λ 031585 116middot10-3

Ergebnisse

Groumlszlige Wert Erw-Mess-unsicherheit

Erweiter-ungsfaktor

Uumlberdeckungs-wahrscheinlichkeit

Λ 03158 23middot10-3 200 95 (Normal)

Generiert mit GUM Workbench Edu Version 241384

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Logarithmisches Dekrement Messung 2

Datei 22SMU

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Logarithmisches Dekrement Messung 2

ModellgleichungΛ = 2π (β ωg)

Liste der Groumlszligen

Groumlszlige Einheit Definition

Λ Logarithmisches Dekrement

π Konstante

β 1s Daumlmpfung

ωg 1s Winkelgeschwindigkeit

ππππ KonstanteWert 31415926535898

ββββ Typ B NormalverteilungWert 01894 1sErweiterte Messunsicherheit 00006 1sErweiterungsfaktor 1

Normalverteilung da bereits eine Zwishengroumlszlige

ωωωωg Typ B NormalverteilungWert 54085 1sErweiterte Messunsicherheit 00005 1sErweiterungsfaktor 1

Normalverteilung da bereits eine Zwishengroumlszlige

Messunsicherheits-BudgetsΛΛΛΛ Logarithmisches Dekrement

Groumlszlige Wert Std-Mess-unsicherheit

Verteilung Sensitivitaumlts-koeffizient

Unsicher-heitsbeitrag

Index

π 31415926535898

β 0189400 1s 600middot10-6 1s Normal 12 700middot10-6 999

ωg 5408500 1s 500middot10-6 1s Normal -0041 -20middot10-6 00

Λ 0220031 697middot10-6

Ergebnisse

Groumlszlige Wert Erw-Mess-unsicherheit

Erweiter-ungsfaktor

Uumlberdeckungs-wahrscheinlichkeit

Λ 02200 14middot10-3 200 95 (Normal)

Generiert mit GUM Workbench Edu Version 241384

Seite 1 von 1Datum 26122012

Logarithmisches Dekrement Messung 3

Datei 23SMU

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Logarithmisches Dekrement Messung 3

ModellgleichungΛ = 2π (β ωg)

Liste der Groumlszligen

Groumlszlige Einheit Definition

Λ Logarithmisches Dekrement

π Konstante

β 1s Daumlmpfung

ωg 1s Winkelgeschwindigkeit

ππππ KonstanteWert 31415926535898

ββββ Typ B NormalverteilungWert 05766 1sErweiterte Messunsicherheit 00013 1sErweiterungsfaktor 1

Normalverteilung da bereits eine Zwishengroumlszlige

ωωωωg Typ B NormalverteilungWert 53841 1sErweiterte Messunsicherheit 00012 1sErweiterungsfaktor 1

Normalverteilung da bereits eine Zwishengroumlszlige

Messunsicherheits-BudgetsΛΛΛΛ Logarithmisches Dekrement

Groumlszlige Wert Std-Mess-unsicherheit

Verteilung Sensitivitaumlts-koeffizient

Unsicher-heitsbeitrag

Index

π 31415926535898

β 057660 1s 130middot10-3 1s Normal 12 15middot10-3 990

ωg 538410 1s 120middot10-3 1s Normal -012 -150middot10-6 10

Λ 067289 152middot10-3

Ergebnisse

Groumlszlige Wert Erw-Mess-unsicherheit

Erweiter-ungsfaktor

Uumlberdeckungs-wahrscheinlichkeit

Λ 06729 30middot10-3 200 95 (Normal)

Generiert mit GUM Workbench Edu Version 241384

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Messunsicherheit der Eigenfrequenz

Datei eigenfrequenzsmu

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Messunsicherheit der Eigenfrequenz

Modellgleichungf= 1T

Liste der Groumlszligen

Groumlszlige Einheit Definition

f 1s Eigenfrequenz

T s Periodendauer der Eigenschwingung

T Typ B RechteckverteilungWert 1160 sHalbbreite der Grenzen 00005 s

Rechteckverteilung da Messunsicherheit auf Anzeigegenauigkeit des Oszillators basiert

Messunsicherheits-Budgetsf Eigenfrequenz

Groumlszlige Wert Std-Mess-unsicherheit

Verteilung Sensitivitaumlts-koeffizient

Unsicher-heitsbeitrag

Index

T 1160000 s 289middot10-6 s Rechteck -074 -210middot10-6 1s 1000

f 0862069 1s 215middot10-6 1s

Ergebnisse

Groumlszlige Wert Erw-Mess-unsicherheit

Erweiter-ungsfaktor

Uumlberdeckungs-wahrscheinlichkeit

f 086207 1s 430middot10-6 1s 200 95 (Normal)

Generiert mit GUM Workbench Edu Version 241384

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Logarithmisches Dekrement Messung 2

Datei 22SMU

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Logarithmisches Dekrement Messung 2

ModellgleichungΛ = 2π (β ωg)

Liste der Groumlszligen

Groumlszlige Einheit Definition

Λ Logarithmisches Dekrement

π Konstante

β 1s Daumlmpfung

ωg 1s Winkelgeschwindigkeit

ππππ KonstanteWert 31415926535898

ββββ Typ B NormalverteilungWert 01894 1sErweiterte Messunsicherheit 00006 1sErweiterungsfaktor 1

Normalverteilung da bereits eine Zwishengroumlszlige

ωωωωg Typ B NormalverteilungWert 54085 1sErweiterte Messunsicherheit 00005 1sErweiterungsfaktor 1

Normalverteilung da bereits eine Zwishengroumlszlige

Messunsicherheits-BudgetsΛΛΛΛ Logarithmisches Dekrement

Groumlszlige Wert Std-Mess-unsicherheit

Verteilung Sensitivitaumlts-koeffizient

Unsicher-heitsbeitrag

Index

π 31415926535898

β 0189400 1s 600middot10-6 1s Normal 12 700middot10-6 999

ωg 5408500 1s 500middot10-6 1s Normal -0041 -20middot10-6 00

Λ 0220031 697middot10-6

Ergebnisse

Groumlszlige Wert Erw-Mess-unsicherheit

Erweiter-ungsfaktor

Uumlberdeckungs-wahrscheinlichkeit

Λ 02200 14middot10-3 200 95 (Normal)

Generiert mit GUM Workbench Edu Version 241384

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Logarithmisches Dekrement Messung 3

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Logarithmisches Dekrement Messung 3

ModellgleichungΛ = 2π (β ωg)

Liste der Groumlszligen

Groumlszlige Einheit Definition

Λ Logarithmisches Dekrement

π Konstante

β 1s Daumlmpfung

ωg 1s Winkelgeschwindigkeit

ππππ KonstanteWert 31415926535898

ββββ Typ B NormalverteilungWert 05766 1sErweiterte Messunsicherheit 00013 1sErweiterungsfaktor 1

Normalverteilung da bereits eine Zwishengroumlszlige

ωωωωg Typ B NormalverteilungWert 53841 1sErweiterte Messunsicherheit 00012 1sErweiterungsfaktor 1

Normalverteilung da bereits eine Zwishengroumlszlige

Messunsicherheits-BudgetsΛΛΛΛ Logarithmisches Dekrement

Groumlszlige Wert Std-Mess-unsicherheit

Verteilung Sensitivitaumlts-koeffizient

Unsicher-heitsbeitrag

Index

π 31415926535898

β 057660 1s 130middot10-3 1s Normal 12 15middot10-3 990

ωg 538410 1s 120middot10-3 1s Normal -012 -150middot10-6 10

Λ 067289 152middot10-3

Ergebnisse

Groumlszlige Wert Erw-Mess-unsicherheit

Erweiter-ungsfaktor

Uumlberdeckungs-wahrscheinlichkeit

Λ 06729 30middot10-3 200 95 (Normal)

Generiert mit GUM Workbench Edu Version 241384

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Messunsicherheit der Eigenfrequenz

Datei eigenfrequenzsmu

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Messunsicherheit der Eigenfrequenz

Modellgleichungf= 1T

Liste der Groumlszligen

Groumlszlige Einheit Definition

f 1s Eigenfrequenz

T s Periodendauer der Eigenschwingung

T Typ B RechteckverteilungWert 1160 sHalbbreite der Grenzen 00005 s

Rechteckverteilung da Messunsicherheit auf Anzeigegenauigkeit des Oszillators basiert

Messunsicherheits-Budgetsf Eigenfrequenz

Groumlszlige Wert Std-Mess-unsicherheit

Verteilung Sensitivitaumlts-koeffizient

Unsicher-heitsbeitrag

Index

T 1160000 s 289middot10-6 s Rechteck -074 -210middot10-6 1s 1000

f 0862069 1s 215middot10-6 1s

Ergebnisse

Groumlszlige Wert Erw-Mess-unsicherheit

Erweiter-ungsfaktor

Uumlberdeckungs-wahrscheinlichkeit

f 086207 1s 430middot10-6 1s 200 95 (Normal)

Generiert mit GUM Workbench Edu Version 241384

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Logarithmisches Dekrement Messung 3

Datei 23SMU

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Logarithmisches Dekrement Messung 3

ModellgleichungΛ = 2π (β ωg)

Liste der Groumlszligen

Groumlszlige Einheit Definition

Λ Logarithmisches Dekrement

π Konstante

β 1s Daumlmpfung

ωg 1s Winkelgeschwindigkeit

ππππ KonstanteWert 31415926535898

ββββ Typ B NormalverteilungWert 05766 1sErweiterte Messunsicherheit 00013 1sErweiterungsfaktor 1

Normalverteilung da bereits eine Zwishengroumlszlige

ωωωωg Typ B NormalverteilungWert 53841 1sErweiterte Messunsicherheit 00012 1sErweiterungsfaktor 1

Normalverteilung da bereits eine Zwishengroumlszlige

Messunsicherheits-BudgetsΛΛΛΛ Logarithmisches Dekrement

Groumlszlige Wert Std-Mess-unsicherheit

Verteilung Sensitivitaumlts-koeffizient

Unsicher-heitsbeitrag

Index

π 31415926535898

β 057660 1s 130middot10-3 1s Normal 12 15middot10-3 990

ωg 538410 1s 120middot10-3 1s Normal -012 -150middot10-6 10

Λ 067289 152middot10-3

Ergebnisse

Groumlszlige Wert Erw-Mess-unsicherheit

Erweiter-ungsfaktor

Uumlberdeckungs-wahrscheinlichkeit

Λ 06729 30middot10-3 200 95 (Normal)

Generiert mit GUM Workbench Edu Version 241384

Seite 1 von 1Datum 28122012

Messunsicherheit der Eigenfrequenz

Datei eigenfrequenzsmu

Educational version for training usage only

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Messunsicherheit der Eigenfrequenz

Modellgleichungf= 1T

Liste der Groumlszligen

Groumlszlige Einheit Definition

f 1s Eigenfrequenz

T s Periodendauer der Eigenschwingung

T Typ B RechteckverteilungWert 1160 sHalbbreite der Grenzen 00005 s

Rechteckverteilung da Messunsicherheit auf Anzeigegenauigkeit des Oszillators basiert

Messunsicherheits-Budgetsf Eigenfrequenz

Groumlszlige Wert Std-Mess-unsicherheit

Verteilung Sensitivitaumlts-koeffizient

Unsicher-heitsbeitrag

Index

T 1160000 s 289middot10-6 s Rechteck -074 -210middot10-6 1s 1000

f 0862069 1s 215middot10-6 1s

Ergebnisse

Groumlszlige Wert Erw-Mess-unsicherheit

Erweiter-ungsfaktor

Uumlberdeckungs-wahrscheinlichkeit

f 086207 1s 430middot10-6 1s 200 95 (Normal)

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Messunsicherheit der Eigenfrequenz

Datei eigenfrequenzsmu

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Messunsicherheit der Eigenfrequenz

Modellgleichungf= 1T

Liste der Groumlszligen

Groumlszlige Einheit Definition

f 1s Eigenfrequenz

T s Periodendauer der Eigenschwingung

T Typ B RechteckverteilungWert 1160 sHalbbreite der Grenzen 00005 s

Rechteckverteilung da Messunsicherheit auf Anzeigegenauigkeit des Oszillators basiert

Messunsicherheits-Budgetsf Eigenfrequenz

Groumlszlige Wert Std-Mess-unsicherheit

Verteilung Sensitivitaumlts-koeffizient

Unsicher-heitsbeitrag

Index

T 1160000 s 289middot10-6 s Rechteck -074 -210middot10-6 1s 1000

f 0862069 1s 215middot10-6 1s

Ergebnisse

Groumlszlige Wert Erw-Mess-unsicherheit

Erweiter-ungsfaktor

Uumlberdeckungs-wahrscheinlichkeit

f 086207 1s 430middot10-6 1s 200 95 (Normal)