Anhang

Lösungen der mit * versehenen Übungsaufgaben

1 ) I 7 . · a --+-1

5 5 b) 0,181534 - 0,085073 i c) 12,756981 + 0,121194 i

2 ) I ( lt .. lt) · a J2 cos 4 +lsm4 b) nlt .. nlt cos-+Ism-

2 2 ) lt .. lt

C cos- + I sm-6 6

d) cos ; + i sin ; e) (a2 + b2 ) (cosO + i sinO)

7. a) ± _1_(1 + i) b) ± ..;r{cos~ + i sin~) J2 ~ 2 2

c) )2 - (I + }z)i, -~ - (I - ~)i.

I .J-8. a) 1'2(-1 ± 3i) b) - i, ~ (±.J3 + i) c) ± I ± i.

10. Kein x für b2 - 4ac < O. Sonst alle x mit 21a (- b - .Jbz - 4ac) ~

~ x ~ ~Ia (- b + .JP - 4ac).

14. Die Polynomdivision liefert:

x 2 + I 2 x 2 I 2 a) --=x+ I +-- b) ---= 1---

x-I x - I x 2 + 1 x 2 + 1

x 3 - x2 - x I c) x + 1 (x - 1)2 - X + I

15. x 3 = X _ 2A + (4A 2 - B)x + 2 A B x2+2Ax+B x2+2Ax+B

16 ax2+bx+c _ (b-2aA)~ +c-aB-A(b-2aA) • - a + --'c.----:::-----'--".;-

x2+2Ax+B e+B-A2 e+B-A2 mit~=x+A.

23. 0,23 ... =~ f 100-k=~ ._1_= 23 100 k=O 100 I __ I 99

100

27. Die Folgen a), cl, d), 1), g) konvergieren gegen I, V273. 0,1, O. Die Folgen b) und e) divergieren gegen + Xl.

30 ~ 1 .. M' · 4..J (k _ 1)2 Ist eme aJorante. 31. Von einer Stelle an ist lak I> l.

356 Anhang

a 32. a) 3 b) 2 c) - 00 d) 1 e) cos 1

33. a) - 2 b) -

37. a) I - 2x2

Jl=-?

c) - d) I

3 x2+-xJX

b) 2 (x + JX)2

I t) 1. e) -

2

d)_I-cos2 x

e) n cosx . (sinx)"-l t) n sinJi ( "')0-1 -- cosv x 2JX

g) 2x cos(x2) eShi(x2) h) 2 i) Inx ') cosx 1-".? J sinx

2

38. Die maximale Höhe 19~2 + bcm wird nach 9:1 s erreicht.

39. p(t) = 2370e'l,2290t. Die Werte l(f; lOS; l<f werden in den Zeitpunkten t = 6,2868; 16,3416;'26,3964 erreicht. p (30) = 2,2824 . l<f.

4 43. Tfi 44. rr.ab

45. a)~ b) rr. c) 0 d) I e) I t) + In 3.

46. a) 2x sinx + (2 - x2) cosx b) (x3 - 6x) sinx + (3x2 - 6) cosx

I x 2 c) -T(2+sin2 x)cosx d) 4(2Inx-l)

I e) T(1nx)2 t) x(lnx)2 - 2x Inx + 2x

) cos(a-b)x cos(a+b)x (a2-fb2) g - 2(a - b) - 2(a + b)

h) sin(a - b)x

2(a - b)

sin(a + b)x 2(a + b)

i) sin(a-b)x + sin(a+b)x (a2-f~) j) 23 xJX(lnx- 32 ) 2(a-b) 2(a+b)

b) I -x2 --e .2

c) In(1 + sinx)

e) ! (y2Jf=7 - arccosy2) f) 2(.fY -l)eJY

d) ~(l + eY)3 /2 3

48. a) 2.JT+Y - 2 In (I +.JT+Y) b) - y - 4JY - 41n (I - JY)

1 SO. c1 =1 C2=-, 2e

b) _1_

JX f) 0.

c) ~sin(r) x

d) e- xl <f e- t2 dtr 1

o

Lösungen 357

51. F(y) = ~erf(Y - m). Für m = 0, u = 1 ist F(I) = 0,8556; F(2) = 1,1963; 2 J2u

F(4) = 1,2532; F(0,6744) = 1f 52. Substitution u = - x - t

x I 4312111 53. a) 5 In 1 _ x - X + 1 - x + "2 (I - x't + 3" (l - x)3 +"4 (l - xt

b) (~+ ~)J? - x + 1 3 + ~ ~(~ - ~) J xl - X + 1 + 4 24 16 ~ 2 4

+ ! In (x - ~ + J xl - X + i)) c)~· sinx +~ln I+sinx d) ~ e) n! f) i!.. +

2 cos2 X 2 cosx 16 n5

+ (- It! «n1t)4 - 12 (n1t)2 + 24). n

54. a) 5,16625 b) 5,1975 55. 3,0836

ur (x-~r 57. a) 1- 2! + 4!

b) (x - I) - ; (x - 1)2 + I; (x - 1)3 - ~~ (x - It

1 " 2 17 c) - L (k + l)(k + 2)xk d) 1 + x2 + J"x4 + 45 x6

2 k=O

" k e) L (I - (- 1)k) ~ f) 2 - x + x 2 - x3

k=1 k g) -I + 31(x- 2) + 56 (x - 2)2 + 36 (x - 2)3

h) e(l- 2x+ 3x2 _ l~ x 3)

i) e(-1+2(X+I)- ~(X+l)2+ ~(X+l)3) . I 2 1 4 J) l--x -~x 3 45

358 Anhang

58. 1 00 (1 ) 2 ~ 3k+l -1 (X+2)k für Ix+21< 1 co

LX2k für Ixl<1 k=O l-x2 =

~Z(4Ll-2kl+1)(-I)k(X-3)k für Ix-31<2

60. fhat Pole in x = ± i I

61. a) Je (2 - x) I x x

b) 2(1 + x) c) 1 - 2 d) 1 + 2 e) 0

f) x g) x 1

h) In (2 +.J3) + .j3(x - 2).

62. a) 3 b) 00 c) 0 d) J2. 63. a) + b) -~ c) 0

65. cp(h) = a + _1 - 1 mit a:= h1 (Jf+7i - I). cp(h) ~ ~~ für kleines h. 4a 32

67. Tk = 1; Berührungspunkt( V, P) = (l, 1).

68. Für 2 ß2 < n2 tritt ein Maximum an der Stelle w = .J n2 - 2 ß2 auf.

Sein Wert ist 1 . 2ß.Jn1 - ß2

69. Größte Reaktionsgeschwindigkeit im Zeitpunkt t = k 1 k . In k2

2 - 1 k1

70. 1,16556

71. a) (x-I-iJ"Z)(x-l+iJI) b) (X-l)(X+~ -~i)(X+ ~ +~i)

c) (x+ l)(x - iJ2) (x + iJ2)

d) (x - a - i a) (x - a + i a) (x + a - i a) (x + a + i a) mit a = ~

e) (X-I)(X+1)(X- ; -4i) (x- ; +~L) (x+; -l}i)' .(x+ ~+~i)

73.a)lund2 b)-lund-2 c)-lund-2 d)2und3.

74. Einzige reelle Wurzel: x = - 0,6369. Für alle Wurzeln XE C gilt I x I :s; 3.

75 2 _ ~x + 237 2 _ ~ 3

• 60 60 x 30 x

Lösungen 359

77. Für die Einwohnerzahl zur Zeit 1950 + x lautet das Interpolationspolynom: 827000 - 4633,3 x + 3670x2 - 194,667 x3 + 2,8x4. Stärkstes Wachstum im Jahr 1959. Im Jahr 1961 wurde die Millionengrenze überschritten.

78. a) ~_1_+ - 8+ 7Pi . __ 1 -=- 8+7pi I _

11 x - 3 88 x + P i 88 x- pi

1 b) (x + 1)3

2 +_1_ (x+l)2 x+l

1111 i li 1 c) ---+-------+-----::-

2 x + i 2 x-i 4 (x + i)2 4 (x - i)2

2 1 79. R(x) = 1 - (x _ 1)2 + X + 2

80. a) x2 - x + I b) 3 c) x + 1 d) ° 81. 19,8130; 2,6651; 584,0578; 0,6235; 4714,8545; 34,1932 . 106.

b)1 2 2 1 4 --x +-x 5 75

c) 1-~+~x2-Qx3+ 131 x4 d) 2+1n2'x4 2 8 16 128

e) 1 - ~X2 + _1_x4 f) 1 + ~X2 - 3x3 + .!!x4 12 1440 2 8

84. a) lL '(x-l) b) l+xlna c) bC (I+:cX)

1 ~1+T~-Mx ~1+~-~x

86. x(t) = 1000 eO,0261' 87. y = 5,36 X-O,73 88. (t) = 0,0350 Y 1 + 0,13 t

90. a) r=AqJ b) r=e(1/2A)'P c) r= IAI·.Jcos2qJ

95. a) xarcsinx+~ 1

b) x arctanx - Tln(x2 + 1)

c) x arcoshx -.,;xr=1 1 d) x arcoth,,\' + Tin (x2 - 1)

96. a) x+ 1 v'x2 + 2x - ~arcosh (x + 1) 22'

b) /2 2 1 . 2x + 1 -y -x-x -Tarcsm-3-

c) -~x2+~x-~ln(l-x-2x2)-23In l+x Ll<X<~). 4 4 16 48 1 - 2x' \ 2

360 Anhang

d) 2sinx sinx + cosx - 1

99. a) cosa cosx - sina sinx 1 cos 2 sin 2 .

b) - + --cos2x - --sm2x 2 2 2

) 3. 1. 3 c 4smx-4sm x

1 1 d) g - gcos4x

101. a) J..- - 2 i: sin2nkx 2 k~l k

2 4 ~ (- Itcos2kx b) -; - -; 6 (2k - 1) (2k+ 1)

1 ~ ( 2 ( krt) 1 ( 2· kn) . k ) c) -8 + L. 22 I-cos- coskx+-k 1- -sm- sm x k ~ 1 7t k 2 7t 7tk 2

102. 12 ( . sin2x + sin3x sin4x + ... ) smx--- ----- -23 33 43

103. ( I 1 00 2 ) A· - + - sin B t + L 2 COS 2 k B t

7t 2 k~ 1 7t (1 - 4k )

104. ~-(~- 2)sinx

105. a) Konvergenz in x = 1t, Divergenz in x = 0

b) K . 7t D' . 7t onvergenz m x = 4' Ivergenz m x = 2'

106. a) Periode 1t b) Periode 7t c) nicht periodisch

d) Periode 2 e) Periode 231t f) nicht periodisch

g) nicht periodisch h) Periode 21t, g = größter gemeinsamer Teiler von m g

undn.

11l.a)J2f b) V2-j3=O,5176 c)JI4f+16t+IO,kleinsterAbstand:

~ =2,3299.

112. a) f- 1 1 ~). (J..-cosm J..- sinm J..- + ft). (1 + t 0 3 + t) , " 2 ' 4 ..,-, 4 ..,-, 2 4' 2 " 2

b) (- J..- 2 lQ). (_Lcosm J..- sinrn 2 + l.1). (2t + I - ~ 2 +~) 3' 3' 3 '6 "" 6 "t" 3 6' 3' 3 ' 3

113. a), b), d). 114. Nein.

115. Kreiskegel, dessen Achse durch 0 geht und die Richtung von a hat.

Lösungen 36 [

119. Ikl = mJ6 gcm S-2, ~vl = J2cm S-I

ax ( ax) 121. x = Q2a -.- x- lal2a

122. [- I 0 3] a) I - I 0

o I 0 b) [~ :]

I -I ro - I I]

c) I 0 _ I d) [:;]

124. a) 180°-Drehung um die xI-Achse. b) 120°-Drehung um die durch (0,0,0) und (I, I, I) gehende Achse. c) 30°-Drehung um die x3~Achse. d) Projek-

tion 'ur d;, mm V,klO< m "nkrecht< Ebon< du«h O.

126. [:: !~ ~~] 128. c) a = c = 0 d) A = [~-7 ac ~ ;] a 3 b3 C3 0 0 I

131. A3 = A4 = ... = Nullmatrix.

( 17 3) 132. a) 22' 22 b) (0,0) c) nicht lösbar d) (I.} - ~ I), IE R. 134. a) 6 b) 0 c) abc d) 0 e) - 36

135. a) und b): all an a33" . a.. 136. det B = c· det A

138. a) (178.232, -40) b) (_ 5;:, ~:' ~~, ~!)

139. a) (0,0,0) b) (o.~ I.}IER c) (3s-21,S,I);S,IER.

140. a) [f l ~-I ~_I ~ ]rallsabCdfO b) [~ ~_I! iJfüraf O

o 0 0 d- I a- I 0 0 0

c) [~ - ~ _a~] d) [~ ~ ~] o 0 I I 0 0

142. Ja. Drehungen von 0°, 120°,240° um die durch (0,0,0) und (1,1,1) gehende Achse.

143 I . /3 d I . .J3 . - + I~ un - - I -2 2 2 2

144. ac f O. Eine endliche Gruppe erzeugt jede der Matrizen

[ - 1 0) [I b] [- I b] o - I , 0 _ I, 0 I mit bE R

362 Anhang

145. a) und c) sind orthogonale Matrizen

147. Lösungfürc): [~ ;! ~], [! i ; ~], [~~; ~J. [!; i ~], [I 2 3 4] [I 2 3 4] . . 3 I 4 2 ' 2 4 I 3 . Antwort auf dIe letzte Frage: Nem.

148. d, d b mit 0 ::;:;; i::;:;; 4

150. a) Die Gruppe enthält die Einheit e, zwei Spiegelungen a, b und eine 180c-Dre­hungab. b) Die Gruppe wird von allen Drehungen um die Molekülachse A, einer 180c -

Drehung um eine zu A senkrechte Achse und einer Spiegelung an einer zu A senkrechten Ebene erzeugt.

c) Die Gruppe wird von allen Drehungen um die Molekülachse A und einer Spie­gelung an einer A enthaltenden Ebene erzeugt.

d) Die Gruppe enthält 6 Elemente. Sie ist zyklisch und wird von einer Dreh­spiegelung erzeugt.

e) Die Gruppe enthält 6 Elemente. Sie wird erzeugt von einer 120c -Drehung a und einer Spiegelung b an einer die Drehachse enthaltenden Ebene. ba = a2 b. f) Die Gruppe enthält 12 Elemente ai lJi c", 0::;:;; i::;:;; 2, O::;:;;j::;:;; I, 0::;:;; k ::;:;; l. a ist eine 120c-Drehung, b eine Spiegelung an einer zur Molekülebene senkrechten Ebene, c die Spiegelung an der Molekülebene. ba = a2 b, ca = ac, cb = bc.

I x 153. a) -'-2

y y

i) sin x cos x . (1 + sin2 x - cos yf 1 12, ~ siny (1 + sin2 x - cos yf 1 12

J.) 0 -y­, 1+ y2

k) 2 -li> -x 2 1 -3/2 -x2 - xy e ,- -zy e

155. a) Fx = f', Fy = g', Fxx = f", Fxy = Fyx = 0, Fyy = g" b) Fx = f'g, Fy = fg', Fxx = f"g, Fxy = Fyx = f'g', Fyy = fg"

156. Kombination b) - d): F'(t) = - 5 t4sin(ts), F" (t) = - 20 r3 sin(tS) -- 25 f! cos (tS ).

157. Ergebnis für die Kombination c)-d): Fx = 2(2x + y) (l + x2 + xy), Fy = 2x(l + x2 + xy), Fxx = 4(1 + x 2 + xy) + 2(2x + y)2, Fxy = Fyx =

= 2(1 + x2 + xy) + 2x(2x + y), Fyy = 2x2.

Lösungen 363

160.a)x-y-i-z=1 b)z=y c)z=ax-i-by d)4x-2y+z+3=0

161. a) 2x + y b) x + Y + z - 2 c) x d) 0

164. 6% 165. 0,35%

166. a) Globales Maximum in (0,0) b) kein Extremwert

c) globales Minimum in (0,0) d) kein Extremwert e) kein Extremwert

f) globales Minimum in allen Punkten der Geraden y = x

g) lokales Minimum in (I, - I) h) lokales Maximum in (0,0)

i) globales Minimum in (I, - I) und (- I, I).

167. Der Punkt (~, ~, ~ J2) 169. Y = - 0,34420 x + 2,45783; Korrelationskoeffizient r = - 0,998.

c) xy d) ~ e)­y

171. a) j b) - (2 c) 0 d) + sin I + e - 1.

172. a) In 2, In 2 b) 2 (I - In 2), ~ - ; + In 2

173. a) 0 b) 0 c) 0 d) - 1t.

174. Q = (12 - TI)Rln V2 175. F(T, v) = Tv x - I VI

f) -

177. a) - x - y - z (Ebenen) b)~ (x2 + y2 + Z2) (Kugelflächen)

c) x 2 + y2 (Kreiszylinder) d) z - x 2 (parabolischeZylinder).

178. b) ist ein Gradientenfeld mit der Stammfunktion x y z - y2 z.

179. Arbeit = JJ?:".j c~ 2 1+ x 2 + x 3

180. Für stärkste Zunahme: a)[_~] b) [_~] c) [-:] d) [~] e) [~] 181. a) 74,50c b) 36,34° c) 48,W.

182. a) (-I, - I, I) b) (0,3z2 - 2xz,y2) c) (0,0,0)

184. a) 170 b) I~ (36.J6 - 9J3 - 31) c) 13,2078

d) 15 - 4J15 + In (4 + JTI) = 1,5715

364 Anhang

1 185. a) -12 5 b) 21n2--

4

186.a)y=~x b)y=ab c)y=±.J?-at+b2fürb~O. a x

d) y = ±.J a2 + b2 - x2 für b ~ O.

189. a) y = cearctanx b) y = -ln (e-< - ~ x4)

c) X = ~ - ~ .Jl - 4F(y) mit F(y):= ! (6y + sin2y - 6c - sin2c)

190. a)y=cx~-l b)y=x2 -2x+2+(c-l)e1 - X

c) y = ~+~ (~- x) + ~Inx d) y= ~2 (f e-,l dt+ ce-I) x 4 x 2 1

192. Die Funktion y t->.JYist in y = 0 nicht differenzierbar.

193. a) y2 -Inx = c, x = e'l..c

Vc - 1ny c) x 2 y + Iny = c, x = ± y

194. a) -x2 und y-4/3 1 1 1

b) ?" und (1 + y)'l 195. Integrierender FaktorvRlco=v"-

dy y " 2K, -~ " --!, ~ 196. y'=Tt=K7 ,y(t)=ue' e 2,' ,y(t)_ue2• lÜTt-OO.

197. a) y= -sinx+Ax+B b) y=xlnx-x+Ax+B c) y = A erf(x) + B (vgl. (273»

981 198. x(t) = Xo + vot - Tf. Erreichte Höhe: 2188,7cm.

200. a) y = ~~+l - -.L e- x- 1 b) y = 1 + (1 + x)e1- x 2 2

c) y= - ~ cos2x- ~ sin2x+ ~ d) y=2e-xsin~ -2.

101. Allgemeine Lösung: y = 1~ t?x + (A cosx + B sin x) e- X

102. Gesuchte Lösung:y=~cos2x - ~sin2x +~t?x 13 13 13

103. Lösungen sind y = x2 und y = X-I 13 Gesuchte Lösung: y = ~ x2 + ~ x-1/3

Lösungen 365

204. Q = {(i,j); 1 5: i 5: 6, 1 5: j 5: 6}

a)!.! b) 25 c) 1 d) 2- e) i 36 36 6 18 9

206. Es ist die Binomialverteilung mit n = 10 und p = 0,7 heranzuziehen. a) 0,103 b) 0,028 c) 0,047 d) 0,700

207. a) e- I ~ 0,368 b) 0,184 c) 0,019 d) 96.

208. A. = -ln 11~ ~ 1,772,

a) 0,471 b) 0,158 c) 0,034

In2 209. 't = T ~ 0,6931/A.

212 a) b = 0,67411, 1,96011 und 2,57611.

b) 0,6827,0,9545, 0,9973

215. n = 5: 1,15 4,35 11,07

n = 10: 3,94 9,34 18,31

n = 15: 7;26 14,34 25,00

219. a) Q = {T, MT, MMT, MMMT, ... }

b) P(X = k) = p(1- pt-I, kE N; E(X) = 1; V(X) = 1 -/ . p p

226. a) Q={A,ZA,ZZA, ... }. b) P(X=k)=rk,kEN,E(X)=2. oc

c) Y = 2x - 1 d) I (2 k - 1)2- k konvergiert nicht. k=1

e) G == 1 folgt aus cl.

221. f(x) = 2~ rur xE(O,a) und f(x) = 0 rur xlj:(O,a). a

2 F(x) = \ rur xE(O,a), F(x) = 0 rur x 5: 0 und

a

2 a2 F(x) = 1 rur x ~ a. E(X) = 3a ; V(X) = 18'

221 c = 6. P(X 5: x) = x 2 (3 - 2x) rur xE(O,I).

E(X) =~, V(X) = ;0' x-a . a+b 1 2

224. P(X 5: x) = b _ a fur xE(a,b); E(X) = -2-' V(X) = 12 (b - a) .

366 Anhang

226. g(x) = 2x für 0:$ x :$ 1 und = ° sonst.

231. a) P11 = 0,6 PI2 = 0,4 P2j = 0,7 P22 = 0,3.

b) Es müßte gelten: P(X j = i, X2 = j) = PliP2j, i,j = 1,2.

2 7 3 7 232 p(B1IA I ) = 3 + 10 = P(B1), P(B1IA2) = 4 + 10 = P(BjL

1 3 1 3 p(B2IA j) = 3 + 10 = P(B2L P(B2IA2) = 4 + 10 = P(B2)·

236. a) 0,0752 b) 0,0109 c) 0,0011

237. G = Menge aller reifen Maiskolben auf dem Feld, M = Gewicht, Q = Menge aller möglichen Gewichte; X ordnet jedem Gewicht seine Maßzahl, Z.B. in Gramm, zu.

238. Nur b) und d) ergeben eine unabhängige Zufalls stichprobe.

239. Nein.

240. Weil nicht jeder Haushalt ein Telefon hat.

242 E(Y) = n~1 f E((Xk - /1)2) = n-! f V(Xk ) = V(X). k=! k=!

243. a) u = 22,39; w = 24,02 b) u = 20,76; w = 25,64

c) u = 22,62; w = 23,78 d) u = 21,47; w = 24,93.

244. a) n = 16 b) n = 62.

245. a) u=0,134; w=0,179 b) u=0,174; w=0,224

c) u = 0,278; w = 0,335 d) u = 0,503; w = 0,565.

246. u = - 1,234; w = - 1,161.

247. u = - 0,095; w = 0,835.

248. a) r j JIO(x - 25) = 1,581< C = 1,645. Keine Bestätigung der Firmenangabe.

b) w = 0,32.

249. z = - 2,16< - c = - 2,14, also Entscheidung ftir H j : E(X) + 27. Die Angabe über a kann nicht angezweifelt werden, denn Realisierung von T = 17,98 < c = 23,68.

250. c = -1,645 bzw. - 2,326. Wegen z = - 2,45< c ist die Behauptung des Her­stellers in beiden Fällen zurückzuweisen.

251. w = 1 - <P (c ~ b)- (a) w = 0,11 (b) w = 0,26.

252 Da z = 1,459 < c = 1,645, kann Ho nicht abgelehnt werden.

Lösungen 367

251 w = 1/>(0,163) = 0,56.

254. z = 1,800, c = 1,960. Wegen - c ~ z ~ c ist die Unechtheit nicht gesichert.

255. Ja.

256. (a) c = 1,35 (b) c = 1,77 (c) c = 2,65. t = 1,55. (a): A besser als B. (b) und (c): Kein Unterschied zwischen A und B.

257. t = 0,131/0,045 = 2,91. (a) c = 2,80, Antwort: ja. (b) c = 4,39, Antwort: nein.

258. X6 = 13,25. (a) c = ll,07; der Würfel ist nicht echt. (b) c = 15,09; die Echtheit kann nicht angezweifelt werden.

259. X6 = 10,41. (a) c = 9,24, also Ho ablehnen. (b) c = ll,07, also keine Ablehnung von Ho.

260. X6 = 3,89 (nach (ll95)). (a) c = 3,84, also besteht eine Abhängigkeit. (b) c = 6,64, also keine Abhängigkeit.

Symbolverzeichnis

C N Q R Z Rn an argz detA DGI(n) cm g

e

Menge der komplexen Zahlen Menge der natürlichen Zahlen Menge der rationalen Zahlen Menge der reellen Zahlen Menge der ganzen Zahlen Menge der reellen n-tupel kartesisches Produkt (1076) Argument von z, S. 16 Determinante von A, S. 203 Differentialgleichung( en) Zentimeter Gramm Sekunde =2,71828 ... oder: Einheit einer Gruppe, S. 216

7t =3,14159 ... exp Exponentialfunktion, S. 48 Ig Zehnerlogarithmus, S. 136 In natürlicher Logarithmus, S. 63 {x; ... } Menge der x mit der Eigenschaft .. . {x,y,z, ... } Menge mit den Elementen x,y, z, .. . {an} Zahlenfolge, S. 37 x E A x ist Element der Menge A x Ei' A x liegt nicht in A A s; B A ist Teilmenge von B AcB A ist echte Teilmenge von B A\B Menge der Elemente von A,

die nicht in B liegen a : = b a wird durch b definiert;

a ist eine Bezeichnung rur b a = : b b wird durch a definiert;

a::::,b

afb a<b a~b

a>b a~b

b ist eine Bezeichnung rur a a ist annähernd gleich b a und b sind verschieden a ist kleiner als b a ist kleiner als b oder gleich b a ist größer als b a ist größer als b oder gleich b

<a> von a erzeugte zyklische Gruppe, S.220

<a,b> abgeschlossenes Intervall, S. 19 (a,b) offenes Intervall, S. 19 oder:

Zahlenpaar x ~f(x) Zuordnung bei Funktionen oder

Abbildungen, S. 25 ...... umkehrbar eindeutige Zuordnung <0> äquivalent an ......... a an konvergiert gegen a, S. 38 x-+oo x strebt nach unendlich, S. 50 lim an Grenzwert von an rur n-+oo, S. 38 n~OO

lxi Betrag von xER oder XEC, S. 19 lxi Länge des Vektors x, S. 175

lAI Anzahl der Elemente von A

PQ gerichtete Strecke, Vektor, S. 171 au Produkt der Zahl a mit dem

Vektor u uv Skalarprodukt, S. 177 uxv Vektorprodukt, S. 179 n! 1 . 2' 3' .... n (lies: n Fakultät)

(~) a(a - 1) .. ·(a - n + 1)

n!

f. at a1 + a2 + a3 + ... + an t=l

a11>a12' ... Doppelindizes (lies: a eins eins, a eins zwei, ... )

fog Verkettungvonfuridg, S. 28

y' =' ~~ Ableitung der Funktion x ..... y (x)

[lk) k-te Ableitung vonf

lXi = k~ partielle Ableitung vonfnach Xi'

S.233

G(x)l~ G(b) - G(a)

Literatur

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Sachverzeichnis

Abbildung 187 -, identische 192 -, lineare 189 -, lineare homogene 190 -, orthogonale 223, 229 abelsch 216 Abkühlung eines heißen Körpers 285 Ableitung 53 - der Umkehrfunktion 60 - einer Potenzreihe 10 I - - verketteten Funktion 58 - eines Produkts 56 - - Quotienten 56 Ableitungsregeln 56 Abspaltung eines Linearfaktors 122 Abstand zweier Punkte 183 Abweichungsquadrate, Summe der 112,248 Additionstheoreme für sin und cos 35, 66 - für tan und cot 143 Adiabate 282 Anfangslbedingung 275,278, 289 - geschwindigkeit 289 -lage 289 Anordnung 14 aperiodischer Grenzfall 293 Approximation 98, 239 Äquipotentialftäche 264 Arbeit 176, 263 Arcusfunktionen 144 Areafunktionen 149 Argument einer komplexen Zahl 16 assoziatives Gesetz 174, 180, 216 Asymptote 127 asymptotisch gleich 130 Ausdehnungsarbeit 78, 260 Ausgleichen von Meßfehlern 112,247

Bereichsintegral 265 Bemoullische Ungleichung 22 Beschleunigung 53 Betafunktion 307, 309 Bewegung 222 Beweis, indirekter 15 Binomiallkoeffizient 49 - reihe 134 - verteilung 298

binomische Formel 49 binomischer Lehrsatz 134 Bogenmaß 16 Bolzano und Weierstraß, Satz von 41 Boyle-Mariottesches Gesetz 78 Brechungsgesetz 246

Cauchysches Produkt 46 Chi-Quadrat-ITest 352 - Verteilung 305, 352, 353 Corioliskraft 180 cosinus 33, 65 - hyperbolicus 146 Cosinussatz 178 cotangens 142 - hyperbolicus 146 Cramersche Regel 203, 211

Dampfdruckkurve 279 Dämpfung 293 Definitionsbereich 25 Determinante 200, 203, 206 Dezimalbruch, abbrechender 13 -, nichtabbrechender 13 -, periodischer 13 Dezimalzahl 13 Dichte(funktion) 303, 312, 326 Differential 259 -form 255 - -, exakte 255 Differentialgleichung 68, 252, 271 -, allgemeine Lösung 291 -, gewöhnliche 271 - I. Ordnung, exakte 280 - -, lineare 277 - -, - homogene 277 - -, mit getrennten Variablen 273 - 2. Ordnung, lineare 288 - -, mit konstanten Koeffizienten 290 Differenzenquotient 53 differenzierbar 53 Distributivgesetz 17, 177, 179 divergent 39 Division mit Rest 127 - von Polynomen 123 Dreh I impuls 180

-moment 178 - spiegelung 187, 189,223 -zahl 172 Drehung 191,223 Dreiecksungleichung 20, 178

Ebenengleichung 177, 184 Einheit einer Gruppe 216 Einheitslmatrix 192 -vektor 181, 185 Einschließungssatz 122 Einschwingungsvorgang 294 Elementarereignis 297 Elimination 212 Ellipse 91, 155 Entropie 261 Ereignis 297 Ergebnisraum 296 Erwartungswert 314, 327 erzeugendes Element 220 Eulersche Formel 65, 146 Existenzsatz 273 Exponentialansatz 290 Exponentialfunktion 48, 61 -, allgemeine 136 -, Basiszahl der 43 - verteilung 303 Extremum 244 Extremwert 111

Fehler, absoluter 241 Fehlerl1.Art 343

2.Art 343 -, relativer 243 - abschätzung 242 - funktion 91, 103 - quadrate, Methode der kleinsten 247 - rechnung 241 Fixpunkt 190 Flächeninhalt 68, 73 - eines Dreiecks 184, 186 FourierlkOeffizient 160 - reihe 160 Frequenz 36, 157 Fundamentalsatz der Algebra 20 Funktion 22,25 -, beschränkte 31 -, ganzrationale 29 -, gerade 34 -, konstante 28

Sachverzeichnis 371

-, lineare 28,189 -, quadratische 29 -, rationale 29, 126,231 -,ungerade 32,34 - von mehreren Veränderlichen 230 F-Test 351 F-Verteilung 307, 351

Gammafunktion 305, 308 Gaußsche Elimination 212 - Zahlenebene 15, 170 geometrische Reihe 44 - Summenformel 42, 49 Geradengleichung 176 Gleichung, Lösungsformel für quadratische

15 Gleichung n-ten Grades 21 Gleichungssystem, lineares 199,202,210 - - homogenes 211 gliedweise ausmultiplizieren 46 - Differentiation 65, 101, 162 - Integration 101, 162 Gradient 255, 264 Grenzschicht 140 Grenzwert einer Funktion 50 - - komplexen Zahlenfolge 65 - - reellen Zahlenfolge 38 -, einseitiger 51,55 - bestimmung 108 Grenzwertsatz, zentraler 341 Grundgesamtheit 296,331 Grundintegrale 150 Gruppe 215 -, abelsche (= kommutative) 216 - der Bewegungen 222 -, Einheit einer 216 -, orthogonale 223 -, zyklische, endliche 220 -, - unendliche 220

Hagen-Poiseuillesches Gesetz 25, 285 Halbwertszeit 140 harmonische Analyse 167 - Reihe 45 - Schwingungen 293 - Wellen 36 harmonischer Analysator 168 Hauptkriterium rur monotone Folgen 41 Hauptsatz der Differential- und Integral-

rechnung 76

372 Sachverzeichnis

Höhenlformel, barometrische 139,284 - linie 232, 264 Homerschema 123 -, fortgesetztes 124 Hyperbel 30, 155 - funktionen 146 Hypothese 342

Imaginärteil 15 Integral, bestimmtes 70,71 -, unbestimmtes 75 -, uneigentliches 79 -kurve 273 integrierender Faktor 282 Interpolation 125 -,lineare 35, 126 -, quadratische 126 Interpolationslformel von Lagrange 125 -polynom 125 Intervall, abgeschlossenes 19 -, offenes 19 inverses Element 216 Irrtumswahrscheinlichkeit 344 Isokline 287

kalorisch ideale Gase 262 kartesisches Koordinatensystem 181 - Produkt 323 Keplersche Faßregel 89 Kettenliinie 155 - regel 58, 236 Koeffizientenimatrix 201 - vergleich 108 kommutatives Gesetz 174,117,216 kommutierter Sinusstrom 165 komplexe Zahl, Betrag einer 16 Konfidenzlintervall 336 - niveau 336 Konvergenz 38 -, absolute 46 - intervall 104 - kriterien 41,45 -radius 104 Koordinatentransformation 237 Korrelationskoeffizient 250 Kraftfeld 262 Kreisprozeß 269 Kurve 235 Kurvenintegral 256

Längenmessung 12 Langevinsche Funktion 149 Laplace-Verteilung 298 Linearisierung 119 Linienintegral 255 Logarithmentafel 137 logarithmische Skala 138 logarithmisches Papier 139 Logarithmus, allgemeiner 136 -, natürlicher 63

Majorante 47 mathematisches Pendel 241 Matrix 192 -, inverse 199,208 -, orthogonale 223 -, symmetrische 192 -, transponierte 206 Matrizen 192 - produkt 194 Maximum, globales (= absolutes) 110,244 -,lokales 110, 244 Maxwellsche Relationen 253 Maxwellsches Verteilungsgesetz 319 Meßfehler 112,247 Michaeliskonstante 276 Minimum, globales (= absolutes) 110, 244 -,lokales 110,244 Mittel I punkt einer Strecke 176 -wert 74 - - satz der Differentialrechnung 96,239 - - - der Integralrechnung 74 Molekül 224 monoton fallend 26,40, 109 - wachsend 26,40,109

n-dimensional 231 Newtonsches Abkühlungsgesetz 285 - Grundgesetz der Mechanik 288 Newton-Verfahren 115 Normalverteilung 304 n-tupel 231 Nullifolge 40 -matrix 192 -stelle 115 -vektor 175

Obersumme 70, 71, 266 Orthogonalitätsrelationen 159

Parabel 29, 155 Paraboloid 240 Parallelflach 214 Parallelogrammkonstruktion 17, 174 partielle Ableitung 232, 234 - Differentialgleichung 252,271 - Integration 82 periodische Funktion 156 Permutation 217 Phasengeschwindigkeit 36, 157 Plancksches Strahlungsgesetz 112 Poisson-Verteilung 299,300 Pol 30,126 Polarkoordinaten 16,237 Polynom 21,29, 121,231 - gleichung 21, 121 Potential 263 Potenz 131 - funktion, allgemeine 132 - gesetze 132 - reihe 100 Produkt, äußeres 178 -, inneres 176 Projektion 177,191 Prüfgröße 343 Punktladung, Feld einer 263

Quader 230, 255 quadratische Gleichung 14, 15 Quantil 337,339 Quotientenkriterium 47

radioaktiver Zerfall 284 Randverteilung 324 Rauminhalt 266 Reaktion erster Ordnung 275 - zweiter Ordnung 275 Reaktionslgeschwindigkeit 53 - gleichung von Michaelis und Menten

276 Realisierung eines Zufallsvektors 332' Realteil 15 Rechenschieber 137 Rechtssystem 179 reelle Zahl, Betrag einer 19 Regressionsgerade 249 Reibung 292 Reihe, unendliche 44 Resonanzkurve 120 Restglied 95, 118

Reynoldszahl 140 Richtungsfeld 273 Rohrströmung 140 Rotation 265

Satellit 23 Sattelpunkt 251 Schätzfunktion 334

Sachverzeichnis 373

-, erwartungstreue 334 -, konsistente 335 Schallgeschwindigkeit 22 Schaubild 23 Schiebung 28, 172 Schwerefeld 262 Schwingungen 292 -, erzwungene 293 -, freie 292 Schwingungsldauer 241 - knoten 37 - kreis 292 Sehnentrapezregel 89 Simpsonregel 90 sinus 33,65 - hyperbolicus 146 Sinussatz 187 Skalarprodukt 176, 182 Spaltenmatrix 196 Spatprodukt 181, 214 Spiegelung 190,223 Sprunglfunktion 163 - stelle 55, 161 Stammfunktion 75, 254, 280 Standardlabweichung 316 - -Normalverteilung 303 Steigungswinkel 270 stetig 54, 231 Stichprobe 331 -, Mittelwert einer 334 - mit Zurücklegen 332 Stichprobenraum 332 Strecke, gerichtete 171 streng monoton 26 Strömungsgeschwindigkeit von Blut 140 stückweise glatt 161 Substitutionsregel 82 Symmetrie 224 - gruppe 217,224

tangens 142 - hyperbolicus 146

374 Sachverzeichnis

Tangentensteigung 53 Tangentialebene 240 Taylorlentwicklung 95 - formel 95, 239 - polynom 95 - reihe 100 Teillbruchzerlegung 127 - folge 39 - summen 44 Test 343 - größe 343 - niveau 344 - schärfe 344 -, einseitiger 345 -, zweiseitiger 347 Thermodynamik 259 thermodynamische Relationen 253 Translation 28, 172, 187, 189 Trefferwahrscheinlichkeit 300, 339 Trennung der Veränderlichen 275 Treppenfunktion 311 trigonometrische Funktionen 142 trigonometrisches Polynom 158 triviale Lösung 211 I-Test 347 I-Verteilung 306,338,347,351

Umkehr labbildung 217,224 - funktion 24, 26 umkehrbar 26 Umlaufzeit 23 Umrechnungsformel zwischen Ig und In 137 Unabhängigkeit 301, 324, 330 Unabhängigkeitstest 353 Ungleichung 18 unstetig 55 Unterlgruppe 219 - summe 70,71,266

van der Waalssche Zustandsgleichung 36 Variable, abhängige 23 -, unabhängige 23 Varianz 316 -, empirische 334 Variation der Konstanten 278 Vektor 171 -, inverser 175 - addition 173, 182 -feld 262 -, Koordinatendarstellung 182

-, Länge eines 183 - produkt 178,182 Vektoren, Subtraktion von 174, 182 Veränderliche, abhängige 23 Veränderliche, unabhängige 23 Vergleichskriterium 47 Verketten 27 Verknüpfung 215 Verteilungs!dichte 303 - funktion 310 - -, gemeinsame 324 Vierfeldertafel 354 vollständige Induktion 20 vollständiges Differential 255 Volumen 266

Wachstum einer Population 271, 27~ Wachstumsgeschwindigkeit 53, 63 Wahrscheinlichkeit 295, 296 -, bedingte 330 Wahrscheinlichkeits!maß 297,303 - raum 297 - verteilung, diskrete 297 - -, stetige 303 Wegunabhängigkeit 256 Wellenlänge 37, 157 Wellen, stehende 37 Wendepunkt 112 Wertebereich 25 Wiensches Verschiebungsgesetz 113 Winkel zwischen Vektoren 183 - geschwindigkeit 172,180 wirbel frei 265 Wurzel I funktion \31 - kriterium 47

Zahlen, ganze II -, imaginäre 15 -, irrationale 13 -, komplexe 14 -, natürliche II -, rationale II -, reelle 11, 13 - folge 37 - -, beschränkte 40 - -,divergente 39 - -, konvergente 38 - -, monotone 40 - gerade 12, 170 - paar 170,230

- tripel 170, 230 Zehnerlogarithmus 136 Zeilenmatrix 196 Zentrifugalkraft 180 Zufallsgröße, diskrete 309 -, stetige 312 Zufalls I stichprobe 332

Sachverzeichnis 375

- vektor, diskreter 326 - -, stetiger 326 Zustands I gleichung 36, 260 - größe 261 Zweistichprobenproblem 350 Zwischenwertsatz 56

Leitfäden der angewandten Informatik 6auknechl I Zehnder: GrundzUge der Datenverarbeitung Melhoden und Konzepte für die Anwendungen 3. Aufl. 293 Seiten. DM 32,-6eth I HeB I Wirl: Kryptographie 205 Seiten. Kar!. DM 24,80 Craemer: Mathematlichel Modemeren dynamllcher Vorginge 288 Seiten. Kar!. DM 36,-Frever!: Echtzelt-Praxll mit PEARL 216 Seiten. Kar!. DM 28,-GornyNiereck: Interaktive graflIehe Datenverarbeitung 256 Seiten. Geb. DM 52,-Hofmann: BetrlebllYlteme: Grundkonzepte und MOdellvorltellungen 253 Seiten. Kar!. DM 34,-Hultzsch: ProzeBdatenverarbeltung 216 Seiten. Kar!. DM 22,80 Käslner: Architektur und Organllatlon digitaler Rechenanlagen 224 Seiten. Kar!. DM 23,80 Mresse: Information Retrleval - Eine ElnfUhrung 280 Seiten. Karl. DM 36,­Müller:·t!ntlcheldunglunterltUtzende Endbenutzersysteme 253 Seilen. Kar!. DM 26,80 MuBtopf I Winter: Mlkroprozenor-Systeme Trends In Hardware und Software 302 Seilen. Kar!. DM 29,80 Nebel: CAD-Entwurl.kontrolle In der Mikroelektronik 211 Seilen. Kar!. DM 32,-Rettl el al.: Artlflclal Intelllgence - Eine ElnfUhrung X, 214 Seilen. Kar!. DM 32,-Schicker: DatenUbertragung und Rechnemetze 222 Seilen. Karl. DM 28,80 Schmidl el al.: Dlgltallchaltungen mit Mlkroprozeuoren 2. Aull. 208 Seilen. Kar!. DM 23,80 Schmidl el al.: MIkroprogrammierbare SchnittiteIlen 223 Seilen. Kar!. DM 32,-Schneider: Problemorientierte Progrsmmlersprachen 226 Seilen. Kar!. DM 23,80 Schreiner: SYltemprogrammlerungln UNIX Teil 1: Werkzeuge. 315 Seilen. Kar!. DM 48,­Singer: Programmieren In der Praxla 2. Aull. 176 Seilen. Kar!. DM 26,-Spechi: APL-Praxla 192 Seilen. Kar!. DM 22,80 Vetter: Aufbau betrieblicher InformaUonnyateme mlttela konzeptioneller Datenmodemerung 2. Aull. 317 Seilen. Karl. DM 34,-Weck: Datenllcherhelt 326 Seilen. Geb. DM 42,-Winger!: Medizinische Informatik 272 Seilen. Kar!. DM 23.80 WiBkirchen el al.: Informatlonatechnlk und BUroayateme 255 Seilen. Kar!. DM 26,80 Zehnder: Informatlonssyateme und Datenbanken 255 Seilen. Kar!. DM 32,-

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