Skript Maturrepetition Tertia

Gymnasium Oberaargau Mathematik Isler

Maturvorbereitung Mathematik

Grundlagen und Funktionen (Tertia)

• Begriffe und Definitionen Die Stichwortlisten gelten für die schriftlichen und mündlichen Mathematik-prüfungen.

• Zusammenhänge, Verständnis An dieser Stelle folgt jeweils eine Sammlung von Fragestellungen, wie sie an der mündlichen Maturitätsprüfung vorkommen können. Keinerlei Hilfsmittel erlaubt!

• Aufgabensammlungen Hier handelt es sich um Aufgaben, wie sie an Matur-Vorbereitungsproben gestellt werden. Die Aufgaben decken nicht das ganze behandelte Gebiet ab.

Hinweise zur mündlichen Matur:

Die Maturandinnen und Maturanden sollen fähig sein, zu jedem aufgeführten Stichwort - ohne Hilfsmittel! - mathematisch korrekt formulierte Erläuterungen abzugeben. Definitionen und Sätze müssen nicht nur auswendig gelernt, sondern wirklich verstanden worden sein!

Tipps: - Zu zweit lernen, sich gegenseitig abfragen. - Karteikarten anlegen. Auf Vorderseite Stichwort, auf Rückseite Erläuterungen dazu. - Eine eigene Zusammenfassung schreiben.

Maturrepetition Seite 0


Inhaltsverzeichnis

G1 Grundlagen (Mengen, Relationen, Funktionen) 2 1 Begriffe, Definitionen 2 Zusammenhänge, Verständnis

F1 Abbildungen von Funktionsgraphen 3 Lineare, quadratische, Potenz-, Wurzel-, Polynomfunktionen

1 Begriffe, Definitionen 2 Zusammenhänge, Verständnis 3 Aufgabensammlung

F2 Trigonometrische Funktionen 4 1 Begriffe, Definitionen 2 Zusammenhänge, Verständnis 3 Aufgabensammlung

F3 Exponential- und Logarithmusfunktionen 6 1 Begriffe, Definitionen 2 Zusammenhänge, Verständnis 3 Aufgabensammlung

Lösungen der Aufgaben 8



G1 Mengen, Relationen, Funktionen

1. Begriffe, Definitionen

- Begriff der Menge, Teilmenge, Schnitt, Vereinigung, Differenz- und Komplementärmenge - Karthesisches Produkt, Relationen - Zahlenmengen: N,Z,Q,R, wichtigste Eigenschaften, Rechenregeln (siehe auch V1) - Definition der Funktion, Definitions- und Wertemenge, Umkehrbarkeit (Einschränkung des Definitionsbereichs)

2. Zusammenhänge, Verständnis

1. Wir betrachten alle Punkte der Ebene, welche die Gleichung x2 + y2 = 16 erfüllen a) Skizzieren Sie die Punktmenge. Weshalb handelt es sich nur um eine Relation und nicht um eine Funktion? b) Wie ist vorzugehen, damit aus dieser Relation doch eine Funktion wird? Wie lautet die Gleichung dieser Funktion? c) Ist die Funktion aus b) umkehrbar? - Falls nein: was ist zu tun, damit sie umkehrbar wird? - In jedem Fall: Bestimmen Sie die Gleichung der Umkehrfunktion. Was fällt dabei auf? 2. Erklären Sie die folgenden Begriffe kurz und erläutern Sie sie mittels eines geeigneten, einfachen Beispiels: Karthesisches Produkt – Relation – Umkehrbare Funktion 3. a) Erklären Sie die folgende Aussage: "Es gibt mehr als doppelt so viele ganze wie natürliche Zahlen, und dennoch sind es nur gleichviele". b) Man sagt, die rationalen Zahlen liegen "dicht" auf der Zahlengeraden. Was ist wohl damit gemeint?

4. Gegeben ist die Funktion . 2)4x(y −=

a) Skizziere den Funktionsgraph. b) Was ist zu tun, damit die Funktion umkehrbar wird?

c) Bestimme die Gleichung der Umkehrfunktion und skizziere den Funktionsgraph.

5. - Skizziere im Koordinatensystem die Graphen der folgenden Relationen! (Grundmengen: Reelle Zahlen) - Welche dieser Relationen sind als Funktionen y = f(x) darstellbar? - Falls es eine Funktion ist: Ist sie umkehrbar?

a) 2yx =

b) 1yx =⋅

c) 22 yx =



F1 Abbildungen von Funktionsgraphen Lineare, quadratische, Potenz-, Wurzel-, Polynomfunktionen


- Abbildungen von Kurven (Translationen, affine Streckungen, Spiegelungen) - Lineare Funktionen y=ax+b (Bedeutung und Bestimmung der Parameter a und b) - Lineare Gleichungssysteme: Lösungsmethoden (Siehe auch V2) - Quadratische Funktionen (Scheitelpunktsbestimmung, quadratisches Ergänzen) - Potenz- und Wurzelfunktionen, Rechenregeln. - Graphen bei natürlichen/negativen/gebrochenen Exponenten. - Polynome und Polynomfunktionen, Polynomdivision (Bestimmung von Nullstellen und Asymptoten)

2. Zusammenhänge, Verständnis 1. a) Wie muss der Definitionsbereich der Funktion f(x) = 2x2 – 6x + 4 eingeschränkt werden (nur so wenig wie nötig), damit die Funktion umkehrbar wird? b) Bestimmen Sie die Gleichung der Umkehrfunktion. 2. Skizzieren Sie die Graphen der Funktion y = xa in Abhängigkeit des Exponenten: natürliche – negative – gebrochene Exponenten. (Wobei noch zwischen geraden und ungeraden ganzzahligen Exponenten zu unterscheiden ist)

3. Aufgabensammlung

3. Die Gerade g enthält die Punkte A(2;7) und B(8;4).

Die Gerade h hat die Gleichung 3x31

y += .

a) Zeichnen Sie die Geraden in ein Koordinatensystem. b) Stellen Sie die Gerade g durch eine Gleichung dar. c) Berechnen Sie den Schnittpunkt von g und h. 4. Das durchhängende Kabel einer Hochspannungsleitung zwischen den Punkten A und B hat näherungsweise die Form einer quadratischen Parabel mit der Gleichung . cbxaxy 2 ++=

a) Berechnen Sie die Koeffizienten a, b und c aus den Daten der Figur.

b) Berechnen Sie die Koordinaten des tiefsten Punktes des Leitungsabschnittes zwischen den Punkten A und B.



5. Von einer Kurve mit der Gleichung y=f(x) ist folgendes bekannt: - Es ist eine Polynomfunktion dritten Grades - Sie besitzt genau zwei Nullstellen bei x=0 und x=2 - Sie verläuft durch den Punkt P = (-2;4) Wie viele Kurven mit diesen Eigenschaften gibt es? Bestimmen Sie die Gleichung von einer dieser Kurven.

6. a) Liegt der Punkt P(126,110) oberhalb oder unterhalb der Geraden 48x79

y −= ?

b) Wie lautet die Gleichung der Geraden h, welche durch P verläuft und senkrecht zu g steht? c) Bestimmen Sie den Schnittpunkt von g und h.

F2 Trigonometrische Funktionen


- Definition der trigonometrischen Funktionen für beliebige Winkel. - Anwendung auf rechtwinklige Dreiecke. - Die verschiedenen Winkelmasse. - Polar- und Karthesische Koordinaten.. - Beziehungen in Einheitskreis ablesen - Funktionsgraphen, Perioden, Symmetrien, Umkehrfunktionen. - Sinus- und Cosinussatz, Berechnungen in beliebigen Dreiecken. - Goniometrie: Wichtigste Beziehungen, einfache goniometrische Gleichungen

2. Zusammenhänge, Verständnis 1. a) Stellen Sie die Werte von sinx, cosx und tanx im Einheitskreis dar. b) Wie entstehen aus diesen Darstellungen im Einheitskreis die Funktionskurven? 2. Vereinfachen Sie den folgenden Ausdruck mit Hilfe des Einheitskreises:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ π+−

23

xcos

3. Vereinfachen Sie den Ausdruck )90sin( α+° mit Hilfe des Einheitskreises.

4. Wir betrachten den Graph der Gleichung ycosx = (Skizzieren Sie ihn).

a) Handelt es sich um eine Funktion oder nur eine Relation? b) Erläutern Sie das Vorgehen beim Definieren der Funktion xarccosy = . Skizze!

c) Lösen Sie die Ungleichung 21xarccos >




3. Aufgabensammlung 5. Bestimmen Sie die Gleichung der skizzierten Sinuskurve! 6. Eins Sinuskurve y=f(x) besitzt bei (2;1) ein Minimum und bei (4;5) das darauf folgende

Maximum. a) Welche Abbildungen sind nötig, um die Kurve y=sinx in die Kurve y=f(x) überzuführen, und wie lautet die Funktionsgleichung der Schlusskurve? b) Wie lautet die Funktionsgleichung, wenn cos statt sin vorkommen soll? 7. Bestimmen Sie die Lösungsmengen: a) tan(1-2x) = 2 c) tanx - sin(2x) = sinx 8. Die Seite b eines Dreiecks ist 150m lang, die Seite a ist 200m lang, und der Winkel γ beträgt 150°. Berechnen Sie:

a) die Länge der Seite c b) die Länge der Seitenhalbierenden sc 9. Die Punkte A und B sind durch folgende Angaben gegeben (Karthesische bzw. Polarkoordinaten): A: r = 6 α = 30° B: x = 8 β = - 50° Berechnen Sie den Abstand der beiden Punkte.

10. Gegeben ist die Funktion 41

))4x(2cos(21

)x(f −−= .

Gib eine möglichst kurze Folge von Abbildungen an, welche die Kurve xsiny =

in die Kurve überführen. )x(fy =

11. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung 21

))4x(2cos( . =−


F3 Exponential- und Logarithmusfunktionen, Ungleichungen

1. Begriffe, Definitionen - Exponential- und Logarithmusfunktionen: Mögliche Basen und ihre Auswirkung auf den Graphen, Definitions- und Wertemengen. - Die Zahl e (Definition, Bedeutung). - Basiswechsel, Rechnen mit Logarithmen. - Exponentielles Wachstum, exponentielle Dämpfung, Zinseszinsrechnung - Logarithmische Skalen - Ungleichungen mit 1 Variablen, insbesondere quadratische Ungleichungen - Ungleichungen mit zwei Variablen

2. Zusammenhänge, Verständnis

1. a) Welche reellen Werte für a sind bei Funktionen des Typs sinnvoll, und wie sehen die zugehörigen Funktionsgraphen aus?

xay =

b) Welche Abbildungen führen die Kurve in die Kurve x2y = ( )x161y = über?

2. a) Welche Basen a sind bei Funktionen des Typs xlogy a= möglich, und wie sehen die zugehörigen Graphen aus?

b) Welche Abbildungen führen die Kurve xlogy 8= in ( )x1

2logy = über?

3. Wir betrachten die Gleichung )yx(yx 222 +=+ . Ist die Gleichung allgemein richtig? - Falls ja: Beweisen Sie die allgemeine Gültigkeit.

- Falls nein: Für welche Paare (x,y) ist die Gleichung richtig? (allgemeine Bedingung und konkrete Lösungen angeben)

4. Vereinfachen Sie soweit wie möglich: 5

)a/1(log

a/1

32a

a1

log

−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ (Viel einfacher ist als es aussieht…)

5. a) Welche geometrische Beziehung besteht zwischen den zwei Kurven

und x2y =x

21

y ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−= ?

b) Gesucht ist eine Folge von geometrischen Abbildungen, welche die Kurve

in die Kurve x2y =1x

81

y+

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= überführen.

6. a) Was versteht man unter exponentiellem Wachstum und exponentieller Dämpfung? b) Nennen Sie konkrete Beispiele (aus dem Alltag, Finanzwesen, Physik…)



3. Aufgabensammlung

7. Jemand hat vor 20 Jahren einen gewissen Betrag auf ein Sparheft eingezahlt. Der Zinsfuss betrug konstant 3%. Als er das Geld abhebt, stellt er fest, dass er sich mit diesem Geld nur noch halb so viel leisten kann wie vor 20 Jahren.

Wie gross war die durchschnittliche jährliche Teuerung (in%) in diesen 20 Jahren?

8. Bestimmen Sie die Lösungsmenge: 2x1

lnxln3 =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

9. Gesucht ist eine Folge von geometrischen Abbildungen, die die Kurve

in die Kurve überführen.

)x2(logy 2 −=x4y =

10. Bestimmen Sie die Lösungsmenge: 4

242

x1x2x

−

=⋅

11. Die folgende Kurve ist aus einer Exponentialfunktion entstanden. Wie lautet ihre Funktionsgleichung, wenn die Basis muss eine rationale Zahl sein muss? 12. Die nebenstehende Kurve ist aus einer Logarithmus- funktion entstanden. Wie lautet die Funktionsgleichung? 13. Eine Initiative forderte kürzlich die Halbierung des Privatverkehrs innert weniger als 25 Jahren. Um wie viele % des Vorjahreswertes müsste die Anzahl der Autos jährlich abnehmen, damit wir in 24 Jahren nur noch halb so viele Autos hätten wie heute?

14. Zeichnen Sie die Lösungsmenge:

232

21

1x

22

xxy

2y

9yx

−−>

<

<++

15. Geben Sie ein Ungleichungssystem mit möglichst wenigen Ungleichungen an, welches die abgebildete Lösungsmenge besitzt:



Lösungen der Aufgaben

G1 Mengen, Relationen, Funktionen

1.

2.

3.



4. 5.

F1 Abbildungen von Funktionsgraphen Lineare, quadratische, Potenz-, Wurzel-, Polynomfunktionen 1. 2. (Siehe Theorieblätter)



3. 4. 5. 6.



F2 Trigonometrische Funktionen

1. (Siehe Theorieblätter) 2. 3. 4. 5.



6. 7.

8. 9.



10. 11.

F3 Exponential- und Logarithmusfunktionen, Ungleichungen 1. 2.



3. 4. 5. 6. (siehe Theorie) 7. 8. 9.



10.

11. 12. 13. 14. 15.


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