Skript_VernetzteStrukturen_1209

Lehrstuhl für Bauprozessmanagement und Immobilienentwicklung Univ.-Prof. Dr.-Ing. Josef Zimmermann

Prozessorientierung und Vernetzte Strukturen

Univ.-Prof. Dr.-Ing. Josef Zimmermann

iAusgabe 12/2009 – Prozessorientierung und Vernetzte Strukturen

Inhaltsverzeichnis

Prozessorientierung und Vernetzte Strukturen

Kapitel 1 Kybernetik der Planungsprozesse - Retrospektive

Kapitel 2 Vom Vernetzten Denken zur Prozessorientierung

Kapitel 3 Vernetzungsanalyse

Kapitel 4 Optimierung in komplexen Zusammenhängen

Kapitel 5 Graphentheorie und fundamentale Strukturen

Kapitel 6 Optimierung in diskreten Entscheidungssystemen

Kapitel 7 Kapazität von Transportnetzen

Kapitel 8 Grundlagen der Monte-Carlo-Simulation

Kapitel 9 Grundlagen der Warteschlangentheorie

Kapitel 10 Produktionsprozessplanung

Literaturverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis

XAusgabe 12/2009 – Retrospektive


Kapitel 1: Kybernetik der Planungsprozesse - Retrospektive Inhaltsverzeichnis

1 Retrospektive 1

1.1 Aufgabenstellung 1

1.2 Organisationsplanung 2 1.2.1 Prozesse 2 1.2.2 Akteure 2 1.2.3 Abhängigkeiten 2

1.3 Organisationsbetrieb 3 1.3.1 Steuerungsprozesse 3 1.3.2 Kybernetische Aspekte 3

1Ausgabe 12/2009 – Retrospektive


1 Retrospektive „Vernetzte Strukturen und Prozessorientierung“ beinhaltet eine Vielfalt grundlegender Verfahren und Methoden um mit den in Entwicklung, Planung und Ausführung von Bauvorhaben stets auftre-tenden vielfachen Abhängigkeiten umgehen zu können. Im folgenden Teil sollen als Einstieg die verschiedenen Aspekte der „Kybernetik der Planungsprozesse“ noch einmal in den unmittelbaren Zusammenhang gestellt werden:

1.1 Aufgabenstellung

Ein Unternehmen stellt sich mit der Übernahme eines Projektes generell der Aufgabe, ein Unikat in optimaler Weise herzustellen, zum Beispiel der Bau eines Bürogebäudes oder eines Tunnels, aber auch die Entwicklung einer Immobilie. Die Projekt-Aufgabe ist zum Zeitpunkt ihrer Beauftragung oder der Angebotserstellung im Allge-meinen noch in keiner Weise spezifiziert. Oft ist lediglich das Ergebnis definiert, das im operativen Bauen wie auch in der Projektentwicklung durch das Eruieren und Betreiben des optimalen We-ges erreicht werden soll. Die Aufgabe hat eine Vielzahl von völlig unterschiedlichen und vielfach unabhängigen, aber auch vernetzten Dimensionen, in denen sich das Projekt bewegen und entwickeln kann (z.B. Raum, Zeit, Finanzmittel, Gesetze, Ressourcen etc.). Für die optimale Ausführung des vorliegenden Projekts ist die Entwicklung und Durchführung ei-ner geeigneten Organisation notwendig, die zeitlich in zwei Schritten gegliedert ist: Der erste Schritt ist die Organisationsplanung, entsprechend der Entwicklung und Festschreibung der Organisation im Vorfeld des Projektablaufes. Im zweiten Schritt wird das Projekt entsprechend der Organisation ausgeführt. Dabei ist eine stete Kontrolle und Reaktion der Organisation auf die Realität des Projektalltages notwendig. Dieser Schritt wird als Organisationsbetrieb bezeichnet und führt das Projekt auf optimalem Weg zum Projektergebnis. Anmerkung: Nachdem die Organisationsplanung bereits als Teil des Projektes betrachtet werden muss, ist eine gewisse Rekursivität gegeben: Mit der unmittelbaren Festlegung der ersten Ele-mente der Organisation muss diese bereits zu arbeiten beginnen um weitere Festlegungen zu treffen. Insofern gehen Organisationsplanung und Organisationsbetrieb fließend ineinander über. Die beiden Aspekte der Organisation lassen sich durch die acht Steuerungsprozesse abbilden: Die Organisationsplanung entspricht auf der obersten Ebene der Koordination aller Aspekte im Vorfeld und übernimmt die Funktionen:

• Einholen von Informationen • Erkennen und Beseitigen von Widersprüchen • Erkennen und Beseitigen von Informationslücken

Im Zuge des Organisationsbetriebs sind dann die Schritte der weiteren Steuerungsprozesse „Ver-anlassen“, „Überwachen“, „Entscheiden“, „Gegensteuern“ und „Feststellen“ auf der obersten Ebe-ne auszuführen.



1.2 Organisationsplanung

Die Organisationsplanung hat zur Aufgabe die Aufgabenstellung „zu organisieren“. Dies findet zunächst auf der Grundlage der Systemtheorie in abstrakter Weise statt. Das System wird nach systemischen und systematischen Gesichtspunkten in immer kleinere Strukturen und deren Be-ziehungen zueinander zerlegt. Mit zunehmender Detaillierung werden die immanenten Zusam-menhänge sichtbar und verstehbar. Der Rahmen für das Gesamtsystem ist stets durch überge-ordnete Institutionen gegeben. Die Definition von Substrukturen ist nicht anderes als die Festle-gung von untergeordneten Institutionen bis hin zum kleinsten nicht weiter sinnvoll unterteilbaren Element. Eine in dieser Hinsicht definierte Detailaufgabe ist dann ebenfalls eine Institution auf unterster Ebene. Durch die endgültige Zerlegung der Aufgabe werden darüber hinaus die Gren-zen des zu betrachtenden Systems ausgelotet und beschrieben. Betrachtet man die soweit detaillierten Systeme, so sind wohlbekannte Elemente zu finden:

1.2.1 Prozesse

Eine wesentliche Gruppe sind Prozesse und Teilprozesse. Diese bilden alle zur Zielerreichung notwendigen Aktivitäten ab und spiegeln die Arbeitsteilung der Gesamtaufgabe wider. Zugleich mit der Zunahme des Systemverständnisses durch die Detaillierung werden die Vorteile einer wirtschaftlich und technisch sinnvollen Diskretisierung des Projektes in Anspruch genommen. Konkret werden also an dieser Stelle die produktiven Leistungsprozesse in allen Details definiert. Darüber hinaus sind in gleicher Weise die Steuerungsprozesse zu modellieren, die wie Leistungs-prozesse ebenfalls auf den Einsatz von entsprechenden Ressourcen angewiesen sind, aus einem Input einen zugehörigen Output generieren und wohl definierten Terminvorgaben unterliegen.

1.2.2 Akteure

Als zweite Gruppe sind die Akteure im Rahmen des Projektes (z.B. Individuen, Betriebe, Unter-nehmen, der Staat oder die Gesellschaft) zu nennen. Typische Aspekte der Akteure sind etwa:

• Zugeordnete Aufgaben, etwa Leistungsprozesse (Arbeitspakete) • Verantwortung für Aufgaben • Motivation für die Tätigkeit

Der Rahmen der Handlungsfreiheit der Akteure wird durch die Strukturen der Institutionentheorie, die zugestandenen Verfügungsrechte (Property-Rights-Theorie) und die Wechselwirkungen aus der zumeist vertikalen Anordnung der Handelnden (Principal-Agent-Theorie) bestimmt.

1.2.3 Abhängigkeiten

Zwischen den Systemelementen finden Wechselwirkungen statt, die durch die Abhängigkeiten der Prozesse, die beteiligten Akteure und die Beziehungen zwischen den Prozessen und den zuge-ordneten Akteuren festgelegt sind. Beispielhaft sind etwa zeitliche Abhängigkeiten, kausale Not-wendigkeiten, Abhängigkeiten über gemeinsam genutzte Ressourcen etc.



All diesen Beziehungen liegen naturgemäße Schnittstellen zugrunde, die über Transaktionen be-dient werden, entsprechend sind diese mit den Merkmalen der Transaktionskostentheorie zu mo-dellieren und zu bewerten.

1.3 Organisationsbetrieb

Nach Ausarbeitung der Organisation in der Organisationsplanung geht das Projekt bezüglich der Organisation in die Betriebsphase über. Grundsätzlich könnte man annehmen, dass die entwickelte Organisation in der Lage ist, die Leis-tungsprozesse des Projektes - von selbst - optimal ablaufen zu lassen. Vor dem Hintergrund der vielen unvermeidbaren Unwägbarkeiten bei der Erstellung von Unikaten unter stark variierenden Randbedingungen ist das jedoch im Allgemeinen nicht zu erwarten. Aus diesem Grund werden im Rahmen der Organisationsplanung über die Leistungsprozesse hinaus zu jedem Leistungspro-zess die entsprechenden Steuerungsprozesse installiert. Damit ist die kontinuierliche Steuerung der Leistungsprozesse projektbegleitend aktiv wahrzunehmen möglich.

1.3.1 Steuerungsprozesse

Die zuvor übergeordnet wirksamen Steuerungsprozesse finden im Betrieb gleichermaßen laufend statt, jedoch nicht nur übergeordnet, sondern in Wechselwirkung mit jedem einzelnen Leistungs-prozess, indem sie ihn „veranlassen“, „überwachen“, über Maßnahmen “entscheiden“, ggf. „ge-gensteuern“ und schließlich das Ergebnis „feststellen“. Darüber hinaus ist eine einwandfreie Do-kumentation und Information zu führen. Auch die Koordination ist aufgrund wechselnder Umstän-de nicht endgültig, es ist kontinuierlich im Sinne eines Änderungsmanagements „nach zu koordinieren“. Um die Erreichung der Ziele und damit von Qualität sicherzustellen, laufen die bekannten Steue-rungszyklen über einen kontinuierlichen Soll-Ist-Vergleich für jeden Prozess ab.

1.3.2 Kybernetische Aspekte

Nachdem der Organisationsbetrieb ein dynamisches System ist, erhält die Frage der Reaktionsfä-higkeit der zugrunde liegenden Organisation auf Änderungen eine enorme Bedeutung. Über neue Anforderungen seitens des Auftraggebers oder geänderte Randbedingungen des Projektumfeldes sind Modifikationen inhärenter Bestandteil eines jeden Projektes. Entsprechend ist eine hohe Sta-bilität das Kennzeichen einer gut ausgeführten Organisationsplanung. Schon in dem stark vernetzten System der Aufgabenstellung sind eine Vielzahl von rückwirkenden Regelkreisen verborgen, deren Charakteristika die Reaktion des Projektes auf Änderungen bestimmen. Die Steuerungsprozesse ihrerseits sind so einzuführen, dass sie Regelkreise mit sta-bilisierendem Charakter bilden, die die Einflüsse von außen oder auch aus dem System selbst ausgleichen. Diese Aspekte werden von der Kybernetik behandelt. Insgesamt ist im Sinne der Grundaufgabe nur über eine im Betrieb stabile und schnelle Organisa-tion die optimale Lösung der Aufgabenstellung hinsichtlich Dauer, Kosten und Qualität vor dem Hintergrund einer Optimierung der Prozesse, der Beteiligten und der Interaktionen möglich, si-cherzustellen und nachweisbar.

iAusgabe 12/2009 – Vom Vernetzten Denken zur Prozessorientierung

Prozessorientierung und vernetzte Strukturen

Kapitel 2: Prozessorientierung und Vernetzte Strukturen Inhaltsverzeichnis

2 Vom vernetzten Denken zur Prozessorientierung 2-1

2.1 Planen und Steuern 2-1 2.1.1 Planung 2-2 2.1.2 Assoziatives Denken 2-2 2.1.3 Planung komplexer Abläufe und Zusammenhänge 2-3 2.1.4 Aspekt „Delegieren“ 2-4 2.1.5 Aspekt „Kommunizieren“ 2-4 2.1.6 Aspekt „Dokumentieren“ 2-5 2.1.7 Exkurs: Simulation 2-5 2.1.8 Angebote der Technik 2-5

2.2 Werkzeuge des vernetzten Denkens 2-6 2.2.1 Brainstorming 2-6 2.2.2 Mindmap / Assoziogramm 2-6 2.2.3 Ishikawa-Diagramm 2-7 2.2.4 Kognitive Karte / Fuzzy Cognitive Map 2-8 2.2.5 SWOT-Analyse 2-10 2.2.6 Balanced Scorecard 2-11 2.2.7 Entity Relationship Modell 2-15

2.3 Formale Formulierungen von Aufgaben 2-17 2.3.1 Imperative oder Prozedurale Formulierung 2-18 2.3.2 Deskriptive Planung 2-21 2.3.3 Objektorientierte Formulierungen 2-26 2.3.4 Prozessorientierte Planung 2-30

2.4 Planungszyklen 2-32 2.4.1 Iterative Planung 2-32 2.4.2 Rekursive Planung 2-33

2.5 Aufgabe 2-33

Abbildungsverzeichnis 2-1

2-1Ausgabe 1/2009 –Vom Vernetzten Denken zur Prozessorientierung


2 Vom vernetzten Denken zur Prozessorientierung

2.1 Planen und Steuern

Planen ist nichts anderes als die geistige Vorwegnahme zukünftiger Ereignisse durch Verteilung und Kanalisation von Information. Norbert Wiener formulierte 1948: "Information ist Information, weder Materie noch Energie". Somit spezifizierte er die Information als eine unabhängige Grund-größe der Naturwissenschaft.1 Das Programmieren von Maschinen von der Zeit der Jacquard-Webstühle bis heute ist eine forma-lisierte Art der Planung, die Handlungswege zur Erzielung eines Ergebnisses, noch ohne dass konkrete Werte zur Berechnung vorliegen, vorgibt. Dabei wird vielfach im Sinne eines Soll-Ist-Vergleiches je nach konkreter Situation durch formalisierte Verzweigungen eine Reaktion auf die aktuelle Situation ausgelöst, die den Zustand kontrollierbar hält. Wiederholung und Exkurs: Die Ansätze von Fredmund Malik, einer der führenden Köpfe des kybernetischen Managements, wurden bereits in der Kybernetik der Planungsprozesse diskutiert. Er propagiert die Gestaltung und Lenkung eines Unternehmens auf der Grundlage seiner natürlichen Kräfte durch den minima-len Eingriff einer Veränderung der Informationslage im System. Aus Sicht der Managementkybernetik2 stellt sich die zentrale Frage, wie ein Unternehmen gestal-tet sein muss, damit es mit den zwangsläufigen Unwägbarkeiten (etwa Kernkompetenz: Risikoma-nagement) des Geschäftes umgehen kann. Weiter werden Kompetenzen definiert und beschrie-ben, die generell zur Managementfähigkeit eines Unternehmens beitragen, wie Anpassungsfähig-keit, Flexibilität, Lernfähigkeit, Selbstorganisation und Evolution. Hinsichtlich des Zusammenwirkens der Beteiligten einer Planung spielen beide Aspekte eine we-sentliche Rolle Im systemisch-evolutionären (auch synergetischen) Ansatz (nach Malik) findet die Zerlegung des Gesamtsystems in Teilsysteme statt, z.B. Investor (Rechtsanspruch, Objektbetrieb, Wert), Gestal-tungsplanung (z.B. Tragwerksplanung), Objektplanung (etwa durch ein Architekturbüro), Funkti-onsbetrieb (Nutzervertreter), Stakeholder (Anlieger) etc. (oder auch Vorgänge, Ressourcen, Ar-beitskräfte, Finanzmittel, etc.) und erlaubt die Untersuchung der freien Interaktionen. Der konstruktivistisch-technomorphe (auch technokratische) Ansatz (nach Malik) dient zur primä-ren Vorgabe von Strukturen, in denen sich die Wechselwirkungen kontrolliert entfalten können, z.B. durch eine festgelegte Kompetenzhierarchie der freien Entfaltung des Systems durch feste Kommunikationsvorgaben entgegenwirken In jedem Fall beginnt Planung mit unvollständigen oder sogar ganz ohne planerische Vorgaben. Strukturen sind zu entwickeln, wo noch keine Strukturen existieren. Interaktionen zwischen Betei-ligten und Informationsflüsse können erst festgelegt werden, wenn erste Strukturen vorliegen. Aus diesem Grund ist es unabdingbar notwendig, die Grundzüge systematischen Denkens der Pla-nung voranzustellen. Wie jeder Entwurf beginnt eine kreative Planung mit einem leeren, weißen Blatt Papier.

1 Wiener 1963, S. 192 2 Fredmund Malik, Systemisches Management, Evolution, Selbstorganisation

2-2Ausgabe 12/2009 – Vom Vernetzten Denken zur Prozessorientierung


2.1.1 Planung

Planung findet zunächst im Kopf statt und beinhaltet das „Durchdenken“ eines Ablaufes oder einer Struktur. Dabei erfolgen eine kontinuierliche gedankliche Überprüfung aller Zusammenhänge so-wie das Vorstellen von Abweichungen mit den entsprechenden Gegenreaktionen. Unter Umstän-den wird die Gedankenkette abgebrochen, wenn die Abweichung als irrelevant oder wenn die Ab-weichung als unvorstellbar oder unwahrscheinlich beurteilt wird. Alternativ werden rückführende Maßnahmen und deren Auswirkung vorgestellt.

Abb. 2-1. Planung

Beispiel: Planung einer Baugrube.

Abb. 2-2. Planung Baugrube

Im Zuge des strukturellen „Durchdenkens“ des Ablaufs zum Erstellen einer Baugrube (Bauplatz, Baustelleneinrichtung, Verfügbarkeit Baumaschinen und Personal, Bodengutachten, Abtransport oder Wiederverwertbarkeit, Bodenaushub, Grundwasser, etc.), stößt der Planer letztlich gedank-lich auf mögliche Zusammenhänge (zeitliche und strukturelle Abhängigkeiten). In der Vorstellung von auftretenden Problemen werden sämtliche sinnvollen und möglichen Szenarien durchgespielt (Eventualitäten, Abweichungen, Havarien nach dem Motto: „Was wäre, wenn…?“ (örtliche oder bürokratische Widrigkeiten, Einfluss Wetter, Grundwasserspiegel, Streik, kontaminierter Boden, Ausfall Maschinen, u.v.m.). Erweisen sich die Abweichungen von der ursprünglichen Gedanken-kette als irrelevant, unvorstellbar oder unwahrscheinlich kann sie möglicherweise abgebrochen werden, alternativ werden rückführende Maßnahmen und deren Auswirkung vorgestellt (z.B. Grundwassereinbruch in die Baugrube durch Starkregen, Sichern der Baugrubenwände, Abpum-pen des Wassers, Unterwasserbeton, Sicherheit Personal, Maschinenschäden, Bauverzögerung, etc).

2.1.2 Assoziatives Denken

Menschliches Denken ist im Wesentlichen „assoziativ“ (lat. ‚associare’: „beigesellen, vereinigen, verbinden“). Kausale Zusammenhänge wachsen durch gegenständliches Erleben und Denken. Assoziative Denkvorgänge resultieren aus der abstrakten Kausalität vieler und vielfältiger Erfah-rungen. Vom aktuellen Standpunkt aus kann Assoziatives Denken nur eine gewisse Reichweite,



den Assoziationsradius, haben. Alle darüber hinaus gehenden Systeme müssen in anderer Art durchdacht werden. So kann beispielsweise ein geübter Schachspieler die Züge des Gegners und damit ebenso seine eigenen um ein gewisses Maß entsprechend seines Assoziationsradius „voraus denken“. Das assoziative Erdenken des Assoziationsradius, etwa rund um einen unplanmäßigen Gewinn und dessen Verwendung im privaten Bereich, kann zu erheblich weiter gefassten Gedankenketten füh-ren und erlaubt damit grundsätzlich kreative Ansätze. Nachteilig ist die fehlende Stringenz, die in keinem Fall erlaubt, diesen Gedankengängen Vollständigkeit zu attestieren. Alternativ kann eine stringente Herangehensweise, etwa bei der Verwendung eines unplanmäßigen Überschusses in einer Aktiengesellschaft, nur festen, vorgedachten Strukturen folgen, diese aber zuverlässig aus-füllen. Damit kann die Vollständigkeit von Gedankenketten sichergestellt werden, jedoch muss weitgehend auf kreative Elemente verzichtet werden.

Abb. 2-3. Stringentes Denken - Assoziationsradius

„Stringentes“ Denken erfordert grundsätzlich einen gewissen Aufwand und ist nur begrenzt mög-lich. Dabei können auch Hilfsmittel aller Art, wie Strukturen, Listen oder auch Software, a priori nur stringent sein.

2.1.3 Planung komplexer Abläufe und Zusammenhänge

Ein einfaches, lineares Projekt, bei dem stets ein Element das nächste unmittelbar zur Folge hat, kann ohne weiteres verfolgt und geplant werden: Der jeweils nächste Schritt ist direkt sichtbar, mit Überraschungen ist nicht zu rechnen.

Abb. 2-4. Einfache und komplexe Projekte

Als Beispiel für ein verhältnismäßig einfaches Projekt sei der Bau der Eisenbahnlinie Anfang des 19. Jahrhunderts quer durch die Vereinigten Staaten angeführt. Vom Grundprinzip wurde die Linie im Eingleis- bzw. Zweigleissystem nahezu geradlinig Elementweise aufgebaut. Stieß man auf ei-nen Berg, wurde ein Tunnel gebaut, versperrte ein Fluss den Weg, baute man eine Brücke. Heutzutage sind Bahnlinien immer noch linear, aber dennoch greifen hier mehrere parallele Ge-dankenketten immer wieder ineinander. Parallel zur Trassierung und dem Ausbau des eigentlichen Transportweges sind die Elemente der Infrastruktur (Straßenführungen, Unterführungen, Brücken,



Stromnetze, Wasserstraßen, Tunnelbauwerke bis hin zu einer veränderten Infrastruktursituation in den Städten) zu bauen und bewirken ein weit komplexeres zu durchdenkendes Projekt. Vielfach vernetzte Planungsaufgaben finden sich etwa im Schlüsselfertigen Hochbau, z.B. im Pächter-/Mieterausbau in einem Shopping Center. Hier treffen Schwierigkeiten in der Organisati-onsplanung auf die individuellen Belange der einzelnen Pacht-/Mietparteien und Kundeninteressen aufeinander und wollen ideal bedient werden.

Abb. 2-5. komplexe Planungsaufgabe: Sanierung Shopping Center

Hilfsweise ordnet man in diesen Fällen die Aufgabe, z.B. entlang der Zeitachse oder in Strukturen, die es erlauben, überschaubare (= innerhalb des Assoziationsradius liegende) Arbeitspakete un-abhängig von anderen zu bearbeiten. Das Einführen von solchen Ordnungssystemen, also Strukturen, die erlauben, den eigenen Asso-ziationsradius zu überschreiten, hat erhebliche Konsequenzen. Das Speichern und Abrufen sowie das Weitergeben von Zuständen der Planung (Informieren) wird erforderlich. Damit gewinnen As-pekte wie Delegation, Kommunikation und Dokumentation Bedeutung, die letztlich systematisch zu den Steuerungsprozessen führen.

2.1.4 Aspekt „Delegieren“

Delegieren ist ein wichtiger Aspekt der Planung und beinhaltet die Weitergabe von Teilaufgaben von einem etwa vorgesetzten Planer an seine Mitarbeiter. Dazu müssen Aufgaben zunächst struk-turiert werden, ohne diese auszuführen, also ist etwa im Zuge der Organisationsplanung die Pro-jektstruktur zu erstellen. Darüber hinaus sind die Schnittstellen (bspw. technischen Daten) zu defi-nieren und Übergabe- “bilder“, etwa Pläne zu erarbeiten. Schließlich sind Übernahmegrenzwerte festzulegen, d.h. etwa ein Zeit- oder Kostenrahmen oder das Bauinhaltssoll.

2.1.5 Aspekt „Kommunizieren“

Kommunizieren dient dem Austausch von Informationen. Neben dem Inhalt der Kommunikation ist der zentrale Aspekt die Festlegung von Fristen (Wann? Wie lange?), z.B. für Teilaufgaben die vom Unternehmen an Subunternehmer vergeben werden. In diesen Zusammenhang spielt auch der Aufmerksamkeitsaspekt eine wesentliche Rolle: Wer ist verantwortlich für die Steuerungsprozesse



wie das Überwachen, ggf. über die Entscheidung hinsichtlich Gegenmaßnahmen bei Abweichun-gen vom Soll. Darüber hinaus gilt es in der Kommunikation, die Informationen je nach Partner ge-eignet und korrekt zu verdichten, etwa bei Berichten an den Verantwortlichen innerhalb der Orga-nisationsstruktur. Weiterhin ist zu klären, wer die Verantwortung für die Informationsübertragung trägt (Bring-/Holschuld). Gerade aufgrund der Dynamik der Planung sind laufend konsequent alle Stände der kommunizierten Planung festzuhalten (Dokumentarischer Aspekt).

2.1.6 Aspekt „Dokumentieren“

Es genügt nicht, einfach nur alle anfallenden Unterlagen aufzuheben und zu dokumentieren. Zu klären ist zunächst, was zu dokumentieren ist, wie die Dokumentation strukturiert wird und wie lange etwas aufgehoben werden soll. Dabei sind zusätzlich die rechtlichen Aspekte, wie bei-spielsweise der Datenschutz und darüber hinaus die Datensicherheit zu berücksichtigen.

2.1.7 Exkurs: Simulation

Oft bietet sich als Planungsinstrument die Simulation als ein dem menschlichen Denken nächstes Werkzeug an. Dazu werden Modelle, z.B. reell im Maßstab 1:100, gebaut oder auch abstrakt in einem Rechner modelliert. Ein solches Vorgehen erlaubt hervorragende Analysen, wenn die Pa-rameter zutreffend gewählt werden, ist allerdings mit großem Aufwand verbunden. Das Hauptprob-lem ist jedoch, dass eine Simulation auch stets nur „gedachte“ und damit bewusst implementierte Zusammenhänge widerspiegelt. Ein nicht „gedachtes Problem“ bleibt unsichtbar. Eine automati-sche Durchrechnung aller theoretisch möglichen Fälle ist in den meisten Fällen aufgrund der e-normen Vielzahl aufgrund begrenzter Rechenkapazität nicht realisierbar.

2.1.8 Angebote der Technik

Die Technik bietet heutzutage eine Vielfalt von Tools zur technischen Unterstützung von Struktu-rierungs- und Planungsaufgaben und ist dabei schnell und sicher. Das heutzutage gängigste Me-dium im Daten- und Informationsaustausch ist Internet und Emailverkehr. Problematisch ist dabei die Versuchung, wohldurchdachte und ausgeformte Strukturen gerade wegen der unkomplizierten Kommunikation zu verlassen. Dabei wird leicht übersehen, dass die oben genannten Aspekte nur gerade durch entsprechende Strukturen und nicht durch technische Hilfsmittel abgesichert werden können. In dieser Hinsicht sind technische Hilfsmittel oft zu schnell und vermeintlich zu sicher. Die Frage ist, wie hochkomplexe Strukturen, Unternehmen, Projekte oder auch nur Prozesse, möglichst einfach strukturiert werden können. Schulungen sollten entsprechend nicht auf spezifi-scher Software, sondern auf Systemen, Strukturen und Prozessen basieren. Es besteht generell die Gefahr der Unvollständigkeit der Modellierung und damit das Risiko der Unzuverlässigkeit der Ergebnisse. An dieser Tatsache ändert der Einsatz von Softwaretools im Wesentlichen nichts. In den vergangenen Jahrzehnten wurden mehrfach Versuche unternommen um die Probleme konventioneller Planung durch Einsatz „intelligenter“ Planungstools zu reduzieren. Darunter fallen Expertensysteme, Künstliche Intelligenz, PERT-Planung mit Betaverteilung, Fuzzylogic und OOP/OOD, letztlich ohne großen Erfolg. Das Problem dabei bestand darin, dass der Versuch un-ternommen wurde den planenden Genius zu ersetzen, nicht ihn zu unterstützen. (Das setzt aller-dings grundsätzlich voraus, dass ein Genius existiert)



2.2 Werkzeuge des vernetzten Denkens

Im Sinne der zuvor ausgeführten Überlegungen sollen im Folgenden einige Methoden der Struktu-rierung als Bewältigung vernetzter Aufgabenstellungen als „klassische Werkzeuge für vernetztes Denken“ beispielhaft aufgeführt werden:

2.2.1 Brainstorming

„Brainstorming“ wurde 1953 von Alex F. Osborn in den USA entwickelt als Methode der assoziativen Ideenfindung innerhalb eines Teams. Dabei sollen spontan und in freier Rede innerhalb eines bestimmten Zeitraums möglichst viele Ideen zur Lösung eines vorgegebenen Problems gefunden werden. Bei dieser Methode ist die Problemorientierung wichtiger als die Lösungsorientie-rung. Dabei ist nur ein geringer Konsens erforderlich und die Bewertung der einzelnen Punkte erfolgt im Nachgang. Zunächst wird keine Hierarchie und keine Struktur der einzelnen Elemente gesucht. Die Quantität ist in diesem Fall zunächst wichtiger als die Qualität und die einzelnen Punkte unterliegen keiner Kritik. Zentraler Aspekt dieses Vorgehens ist der gewollt strukturfreie Raum, der Kreativität und unkon-ventionellen Ideen Raum lässt. Im Umfeld der Planung haben solche Methoden Bedeutung, wenn Sondervorschläge zur Lösung einer Bauaufgabe oder der Abwicklung einer solchen in sehr frühen Phasen der Planung (Gestaltungsplanung oder auch Organisationsplanung) bzw. der Immobilien-entwicklung gesucht werden.

2.2.2 Mindmap / Assoziogramm

Tony Buzan (*1942), ein britischer Wirtschaftsjournalist, entwickelte die Mindmap – Methode. Mindmapping ist eine umfassende Notiz- und Ideenfin-dungsmethode. Das Grundkonzept besteht daraus, dass Assoziationen von einem Element zum nächsten führen. Somit wird sprachlich-logisches Denken mit intuitiv-bildhaftem Denken verbunden. Der Fortschritt gegenüber dem Brainstorming ist dir Zugrundelegung einer Struktur, die aber nicht notwendig die richtige Struktur ist. Sie ist weitgehend nur eine Hilfestellung zur Leitung der Assoziationen.

Abb. 2-6. Beispiel: Mindmap



Problem

TechnikMensch

ManagementMethode

NebenursacheHauptursache 1

Nebenursache



Nebenursache Nebenursache

Mindmaps finden ebenfalls überall da Anwendung, wo Kreativität und Sondervorschläge im Vor-dergrund stehen, etwa in Fragen des Designs einer Entwicklung. Darüber hinaus spielt dieser An-satz eine wesentliche Rolle, wenn gerade die Sinnhaftigkeit von Strukturen in Frage gestellt und überprüft werden soll, also z.B. im Zusammenhang mit der Untersuch von Unternehmensberatern oder im Bereich eines Qualitätsmanagement-Audits. Auch im Zusammenhang mit Untersuchun-gen des Umfeldes einer Investition, also einer Stakeholderanalyse kann ein derartiges Vorgehen hilfreich sein. Als reales Beispiel könnte etwa die Auswirkung einer Umbaus des Zentrums des Münchner Stadtteils Pasing durch eine Nordumgehung hinsichtlich Stadtentwicklung und betroffe-ner Investitionen, z.B. des mfi-Shoppingcenters Pasing Arcaden angeführt werden.

Abb. 2-7. Modell der Pasing Arcaden

2.2.3 Ishikawa-Diagramm

In anderen Zusammenhängen ist eine Struktur nicht nur Hilfsmittel sondern essentieller Leitfaden, etwa wenn zu einem Problem die möglichen Ursa-chen untersucht werden sollen. Nachdem zwischen Ursache und Wirkung ein kausaler Zusammenhang zu erwarten ist, kann auch entlang einer Ver-zweigungsstruktur gesucht werden. Das Ishikawa-Diagramm wird auch Ur-sache-Wirkungs-Diagramm oder Fishbone-Diagramm bzw. Fischgrät-Diagramm genannt. Es ist ein einfaches Hilfsmittel in Form einer Fischgräte, zur systematischen Ermittlung von Problemursachen.

Abb. 2-8. Ishikawa-Diagramm



Das Ursache-Wirkungs-Diagramm wurde Anfang der 1950er Jahre von dem japanischen Wissen-schaftler Kaoru Ishikawa entwickelt und nach ihm benannt. Diese Technik wurde ursprünglich im Rahmen des Qualitätsmanagements zur Analyse von Qualitätsproblemen und deren Ursachen angewendet. Heute lässt sich diese Technik auch auf andere Problemfelder übertragen und hat eine weltweite Verbreitung gefunden. Die möglichen Ursachen, die eine bestimmte Wirkung auslösen, werden in Haupt- und Nebenur-sachen zerlegt. Anschließend folgt eine grafische Strukturierung der Ursachen, um eine übersicht-liche Gesamtbetrachtung zu ermöglichen. Beispielsweise könnte die Untersuchung von überhöhten Mängelbeseitigungskosten, die nicht durch Rücklagen gedeckt sind nach dieser Methode vorgenommen werden. Dabei werden konse-quent alle denkbaren Bereiche und Ursachen sowie deren „Unter-“ursachen geprüft und somit mit hoher Wahrscheinlichkeit die relevanten Gründe und letztlich die zugehörigen Gegenmaßnahmen eruiert.

2.2.4 Kognitive Karte / Fuzzy Cognitive Map

Im Vergleich zum Ishikawa-Diagramm ist die Kognitive Karte wesentlich mathematischer und in ihrer Struktur freier aufgebaut. Planungsele-mente oder Beteiligte werden durch ihre Bezie-hungen und Wechselwirkungen quantitativ mo-delliert. Damit stehen nicht nur Beziehungen, sondern auch deren Richtung, Vorzeichen und Größe zur Verfügung.

Abb. 2-9. Kognitive Karte

In „Kybernetik der Planungsprozesse“ wurden Kognitive Karten bereits verwendet um an einem einfachen Beispiel die relevanten kybernetischen Regelkreise zu identifizieren, ohne jedoch auf die Hintergründe der Modellierung einzugehen. Beispiel: Human Ressource Management 1. Zunehmende Einstellungen erhöhen Personalstand 2. Erhöhter Personalstand erfordert weitere Einstellungen 3. Kündigungen senken den Personalstand 4. Erhöhter Personalstand hat auch mehr Kündigungen zur Folge

Globale Strategie

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PolitikGlobale Strategie

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Politik



5. Projektzuweisungen erhöhen den Personalstand in Projekten 6. Projekte werden durch Akquisition generiert 7. Wenn die Projekte abnehmen, gibt es mehr Kündigungen 8. Das Personal muss notwendigerweise Projekten zugewiesen werden 9. Mit erhöhtem Personalstand wachsen Probleme des Betriebsklimas 10. Mit Verschlechterung des Betriebsklimas nehmen Kündigungen zu 11. Verschlechterung des Betriebsklimas reduziert die Bereitschaft zur Akquisition 12. Kommunikation verringert Probleme des Betriebsklimas 13. Je schlechter das Betriebsklima desto mehr wird Kommunikation gefördert 14. Wenn die Projekte zunehmen, werden mehr Einstellungen getätigt 15. Ein Imageschaden reduziert die Anzahl der Einstellungen 16. Umstrukturierungsmaßnahmen reduzieren den Verwaltungsaufwand

Abb. 2-10. Beispiel Kognitive Karte: Human Ressource Management

Eine solche, beispielhafte „Landkarte von Beziehungen“ kann allerdings nur unter einer solchen Erweiterung der Begrifflichkeiten von Zusammenhängen niedergelegt werden.

Der Entwickler der Kognitiven Karten, L. A. Zadeh, begann seine Forschung auf dem Gebiet der Systemtheorie. 1965 stellte er in einer Arbeit erstmals das Konzept der Fuzzy-Logik - Logik der Unschärfe - dar. Die Idee dahinter war, ein System mathematisch so zu beschreiben, dass es einer linguisti-schen - unscharfen - Beschreibung eines Menschen ähnelt.

Kommunikation

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Projekte

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Projektzuweisungen

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Eine scharfe Aussage, etwa „_steigert_Umsatz_um_17%_“ kann nur wahr oder falsch sein. Zur Analyse von Beziehung ist diese Präzision weder nötig noch hilfreich. Unter Zugrundelegung eines gewissen Maßes an Unschärfe würden bei abweichenden Umsätzen folgende Begriffe zutreffen: 50% Ganz falsch 40% ziemlich falsch 30% nicht wirklich richtig 20% stimmt ziemlich 17% stimmt genau Abb. 2-11. „Cognitive Map“ mit unscharfen Kausalbeziehungen; Unscharfe Aussage mit Fuzzy Logic

Eine Analyse mit kognitiven Karten erlaubt die Formulierung von Aussagen und Beziehungen in einer solch unscharfen Weise. Mit einer darauf aufbauenden erweiterten Logik mit an diese Form der Variablen angepassten Rechenvorschriften können auch aus einer Kombination von solch unscharfen Aussagen Schlüsse gezogen werden. Damit ist z.B. die Identifikation von relevanten Beziehungen und Regelkreisen möglich ohne dass etwa minimale Widersprüche oder sachlich richtige Zirkelschlüsse eine korrekte, präzise Aussage verhindern.

2.2.5 SWOT-Analyse

Die SWOT-Analyse ist eigentlich ein Werkzeug der strategischen Unternehmensführung. dabei werden zur Entwicklung von Strategischen Optionen aus Visionen einfache Systemtheoretische Strukturierungsmaßnahmen eingesetzt. Die Abkürzung SWOT steht für die Begriffe Strength (Stärken), Weakness (Schwächen), Opportu-nities (Chancen) und Threats (Gefahren), hinsichtlich derer zunächst die Situation untersucht wird. Als Untergliederung werden Opportunities und Threats der Betrachtung von Umweltaspekten zu-geordnet, Strengths und Weakness als Perspektive des Unternehmens in die Analyse einbezogen.

Markt & Kunde & Wettbewerb

Personal & Prozesse & Leistungen

Threats

S trength

Opportunities

Weakness

Markt & Kunde & Wettbewerb

Personal & Prozesse & Leistungen

Threats

S trength

Opportunities

Weakness

Abb. 2-12. SWOT-Analyse

Aufgrund von Kombinationen der vier Elemente werden entsprechende Optionen entwickelt und aufeinander abgestimmt. Die Kombination SO Stärke/Chancen beantwortet Fragen wie „Welche Stärken passen zu welchen Chancen? Wie können Stärken genutzt werden, so dass sich die Chancenrealisierung erhöht?“. Bei der ST Stärke/Gefahren-Kombination werden Fragen wie „Welchen Gefahren können wir mit welchen Stärken begegnen? Wie können vorhandene Stärken eingesetzt werden um den Eintritt

Umweltanalyse: Chancen und Risiken

Vision/ Ziele

Unternehmensanalyse: Stärken und Schwächen

Strategische Optionen

SW

OT

17% 50%Umsatzsteigerung

Wahr

Falsch

17% 50%Umsatzsteigerung

Wahr

Falsch



bestimmter Gefahren abzuwenden?“ formuliert. Die WO Schwäche/Chancen-Kombination be-schäftigt sich mit Fragen wie „Wo können aus Schwächen Chancen entstehen? Wie können Schwächen zu Stärken entwickelt werden?“. Die WT Schwäche/Gefahren-Kombination klärt wo sich die Schwächen befinden und wie sich das Unternehmen vor Schaden schützen kann. Beispiel: Shopping Center Für den Betreiber und Investor von Shopping Centern könnte etwa gelten: Opportunities Der Markt bietet ein hohes Nachfragepotential Threats Konkurrenz bedroht einen avisierten Standort Strength Gut gefüllte Kasse, hohe Liquidität, attraktiver Branchenmix Weakness Probleme mit dem Betriebsrat, hoher Werbeaufwand

Aus den Kombinationen können denkbare Szenarien abgeleitet werden: Aus Opportunities und Threats könnte als Option die Akquisition bestimmter neuer Projekte

folgen Aus Strenghts und Threats bietet sich an, etwa Übernahmeangebote anzugehen Aus Weakness und Opportunities wäre zu überlegen, ob vor diesem Hintergrund die Personal-

politik geändert werden kann. Aus Weakness und Threats folgen sicher Maßnahmen zur Verhinderung der Abwanderung

eigenen Personals oder auch der Pächter. Als Systemmodell kann die SWOT-Analyse entsprechend wie folgt dargestellt werden.

Vision

S

OT

W

SOST

WT WO

SO-ST-WO-WT Optionen Abb. 2-13. Systemmodell SWOT-Analyse

2.2.6 Balanced Scorecard

Die Balanced Scorecard wurde von Robert S. Kaplan und David P. Norton von 1992 – 1996 entwi-ckelt. Sie dient in diesem Zusammenhang gleichermaßen als Beispiel für ein strukturiertes Vorge-hen, in diesem Fall mit dem Ziel, theoretische Strategieansätze in die Praxis umzusetzen ("Trans-lating strategy into action"). Ihre Anwendung ist sie wie die SWOT Analyse bei der strategischen Unternehmensführung ange-siedelt. Das prinzipielle Vorgehen kann jedoch verallgemeinert werden und in vielen Bereichen zur Sortierung von Zusammenhängen nützlich sein.



Strategie

Managementmethoden

Organisation

Instrumente

Systeme

Führungskräfte / Mitarbeiter

Qualifizierung

Anreize

Ziele Kennzahlen/Messgrößen Maßnahmen Verantwortung

Balanced Scorecard

Management by Objectives

Management by Delegation

Management by Exception

Abb. 2-14. Balanced Scorecard, Strategieumsetzung

Bei der Entwicklung der Balanced-Score-Card werden zunächst Ziele in vier wesentlichen Per-spektiven herausgearbeitet. Die Betrachtung erfolgt im Hinblick auf die Finanzperspektive, die Kundenperspektive, die Prozessperspektive sowie die Mitarbeiterperspektive:

• Investoren: Was erwarten die Investoren von unserem Unternehmen? • Kunden: Was versprechen sich die Kunden von unseren Leistungen? • Interne Prozesse: Bei welchen Prozessen müssen wir Hervorragendes leisten? • Lernen und Entwicklung: Wie können wir neue Potenziale in Bezug auf Humankapital,

Leistungen und Produkte erschließen?

RentabilitätEigenkapital

MarktpositionKundenkapital

Prozesse / KernkompetenzenStrukturelles Kapital

Lern- und VeränderungsfähigkeitHumankapital

RentabilitätEigenkapital

MarktpositionKundenkapital

Prozesse / KernkompetenzenStrukturelles Kapital

Lern- und VeränderungsfähigkeitHumankapital

Finanz-perspektive

Finanz-perspektive

Kunden-perspektive

Kunden-perspektive

Prozess-perspektive

Prozess-perspektive

Mitarbeiter-perspektiveMitarbeiter-perspektive

Abb. 2-15. Balanced Scorecard, Betrachtungsperspektiven

Die ausgewählten Perspektiven sind nicht für jedes Unternehmen gleichermaßen bedeutend, sie sind vielmehr abhängig von den Erwartungen der Interessenparteien und müssen deshalb unter-



nehmensindividuell gestaltet werden. Die Umsetzung erfolgt dann für jede Perspektive getrennt nach folgender Maßgabe:

Zunächst erfolgt die konkrete Formulierung von Zielen. Dabei ist zu festzusetzen, welche Erfolgsfaktoren zur Erreichung der Ziele eine Rolle spielen. Weiter ist zu definieren, wie sich die Erreichung eines Ziels messen lässt sowie die Festlegung, ab welchem Wert das Ziel als erreicht gilt. Schließlich müssen Maßnahmen definiert werden, mit deren Hilfe das Ziel erreicht werden soll.

Abb. 2-16. Strategieumsetzung

Ein Regelkreis schließt sich bezüglich Maßnahme und Messung bis zur Feststellung des Ergeb-nisses. (Auch in diesem Zusammenhang ist die unmittelbare Anwendung der bekannten Steue-rungsprozesse evident.) Am Beispiel einer Hochschule wird im Folgenden die Betrachtungsweise mittels einer Balanced Scorecard aufgezeigt. Zunächst werden die Perspektiven analysiert: Perspektive Erfolgsfaktoren Messgrößen Maßnahmen Perspektive des Arbeitsmarkts bzw. der Studierenden

Hohe Akzeptanz der Ausbildung in der Bau-wirtschaft Alleinstellungsmerkmal der Universität

Abbrecherquote Übernahmequote Rankingposition

Enge Zusammenarbeit mit der Wirtschaft

Prozess-Perspektive

Effiziente Ausbildung Geeignete Auswahl der Studenten

Studiendauer Abbrecherquote

Einführung von Softskill- und Motivationsveranstaltungen in frühen Studienphasen

Perspektive des Personals (Res-sourcen)

Pädagogische Ausbil-dung des Personals Intensive Betreuung der Studenten

In Anspruch genommene Weiterbil-dungsangebote Verhältnis Dozent zu Studenten Berufserfahrung außer-halb der Hochschule Projekte der Bauwirt-schaft

Gezielte Auswahl des Lehr-körpers Qualifizierte Weiterbildungs-angebote Erhöhung der Dozentenzahl Erhöhung der Tutorenzahl

Abb. 2-17. Balanced Score Card am Beispiel einer Hochschule

Die Finanzperspektive wurde aufgrund der Finanzierung durch den Öffentlichen Haushalt einer Hochschule zunächst nicht betrachtet.

Perspektive

Erfolgsfaktor

Kenngröße/Messgröße

Maßnahme



Im Anschluss daran wird die Analyse in der Festschreibung einzelner Kernprozesse etwa im fol-genden Beispiel des Teilprozesses „Lehrveranstaltungen“ hinsichtlich Erfolgsfaktoren, Messgrö-ßen und Maßnahmen sehr konkret:

Inhalte/Bedeutung Lehrveranstaltungen sind in die Teilprozesse Vorlesungen, Praktika, Se-minare, Übungen, Projektstudium und Exkursionen zu trennen. Unter Ü-bungen sind ferner Assistentenübungen, Tutorübungen, Hausarbeiten, Studienarbeiten und Projektarbeiten zu verstehen. Die Lehrveranstaltun-gen sind das zentrale Element der Lehre im Verbund mit den Themen der Persönlichkeitskompetenz.

Erfolgsfaktoren Optimale Vermittlung der Lehrziele

Strat. Maßnahmen Pädagogische Weiterbildung des Lehrpersonals

Verkleinerung der Lehrgruppen und Lerngruppen

Top-Down Strukturierung der Lehreinheiten mit angepasster Gruppengröße

Messgrößen Akzeptanz in der Bauwirtschaft: Vermittlungsquote

Quote der wechselseitigen Beteiligung der Bauwirtschaft (Referenten, Exkursionsziele, Praktika, Projektarbeiten, Studienarbeiten etc.)

Studiendauer

Notwendigkeit von Wiederholungsdurchläufen durch eine Lehrveran-staltung

Abb. 2-18. Balanced Score Card für Kernprozesse

In der folgenden Darstellung findet sich die Balanced-Score-Card in der Verallgemeinerung als Systemmodell Abb. 2-19. Systemmodell Balanced Score-Card

Unternehmens-strategie

Mess-/Kenngrößen

Ziele Erfolgsfaktoren

Maßnahmen

Perspektiven Mess-/Kenngrößen

Ziele Erfolgsfaktoren

Maßnahmen

Mess-/Kenngrößen

ZieleErfolgsfaktoren

Maßnahmen

Mess-/Kenngrößen


Maßnahmen

Mess-/Kenngrößen


Maßnahmen

Mess-/Kenngrößen


Maßnahmen



2.2.7 Entity Relationship Modell

Definition Entity Relationship Model Das Entity Relationship Model (ERM) ist eine graphische Sprache für die semantische Daten-modellierung eines Systems, typischerweise des Zusammenwirkens vieler Beteiligte an einem gemeinsamen Projekt, d.h. der Einsatzzweck des ERM liegt in der konzeptuellen Darstellung der Datensicht auf einen bestimmten Realitätsausschnitt. Die zentralen Modellierungskonstrukte sind die Entität, die Beziehung und das Attribut3.

Das ER-Modell findet überall dort Einsatz, wo eine Abbildung der Beteiligten und der Interaktions-prozesse in einem Unternehmen, einer Abteilung oder einem Projekt notwendig ist. Ihren Ursprung haben ER-Modelle in der Theorie der Datenbanken als Lösung des grundlegenden Problems der durchsystematisierten Formulierung von realen Zusammenhängen und Interaktionen.

Abb. 2-20. ER-Modell

Im Folgenden soll das Entity Relationship Modell am Beispiel eines Just-In-Time-Lieferanten für Werkzeuge und Kleinteile für Baustellen erläutert werden. Für diesen haben eine Vielfalt von Ele-menten Bedeutung, eine Auswahl ist in der folgenden Grafik gezeigt.

Bestellung

Konfektionierer

Fahrer

Anrufer

Preis

Bestandteile

Fahrzeuge

Abb. 2-21. Elemente eines Just- in Time Liferanten

2.2.7.1 Klassifizierung

Zur Klassifizierung sind zunächst Elemente zu suchen, die sich als Entitäten (Verwendung als Ta-belle) eignen. Für die Angestellten und Fahrer sind für die Firma z.B. nur Adresse, Telefonnummer und Gehalt wichtig. Sie lassen sich in einer Entität Angestellter zusammenfassen. Die Begriffe Preis und Inhalte könnten als Charakterisierung einer Lieferung dienen, gehören also als Eigen-schaften zur Entität „Bestellung“.

3 Nach Enzyklopädie der Wirtschaftsinformatik



Angestellter Auftragkonfek-tioniert

Lieferung Kundewird geliefert

an

Fahrer Lieferwagenfährt1 1

Abb. 2-22. Entitäten

Entitäten werden durch Rechtecke symbolisiert, zugehörige Attribute durch Ellipsen. Man sucht also zentrale Begriffe (Entitäten) und Eigenschaften, durch die sie charakterisiert werden (Attribu-te).

2.2.7.2 Die Rolle von Beziehungen in Modellen

Zusätzlich zu den Entitäten werden im ER-Modell die Beziehungen (Relationship) der Entitäten zueinander erfasst. Dies wird durch Rauten im Diagramm dargestellt

Abb. 2-23. Beziehungen im ER-Modell (Relationships)

Es kann zwischen drei verschiedene Arten, wie Objekte zueinander in Beziehung stehen, unter-schieden werden, der so genannten Kardinalität. • 1:1 Beziehung: Jedem Objekt A ist genau ein Objekt B zugeordnet.

Beispiel: Jeder Fahrer hat sein eigenes Fahrzeug.

Abb. 2-24. Kardinalität 1:1 Beziehung

"Jeder Fahrer fährt höchstens ein Auto und jedes Auto wird von höchstens einem Fahrer ge-fahren."

• 1:N Beziehung: Jedem Objekt A können mehrere Objekte B zugeordnet sein. Beispiel: Jeder Fahrer fährt mehrere Lieferungen aus.

Abb. 2-25. Kardinalität 1:N Beziehung

BestellungPreis

Name

Inhalt

BestellungPreis

Name

InhaltAngestellter

Gehalt

Telefon

AdresseName

Fahrer Lieferungliefert1 N



Angestellter Auftragkonfek-tioniert

M N

"Jeder Fahrer fährt mehrere Lieferungen aus, jede Lieferung wird von höchstens einem Fahrer ausgefahren."

• N : M Beziehung: Jedem Objekt A können mehrere Objekte B zugeordnet und jedem Objekt B

können aber auch mehrere Objekte A zugeordnet sein. Beispiel: Angestellter konfektioniert einen Auftrag.

Abb. 2-26. Kardinalität N:M Beziehung

"Jeder Angestellte konfektioniert einen oder mehrere Aufträge, jeder Auftrag wird von einem oder mehreren Angestellten konfektioniert."

Die folgende Grafik stellt die gesamte Modellierung des ERM für den Lieferanten dar.

Bestellung Kundegibt abN 1

Angestellter Lieferungkonfek-tioniert

N M

fährt1 N

enthält1 Nnimmt

auf

1

N

erhält

1

NAdresse

Telefon

Gehalt

Name

Name

Preis

Inhalt

Telefon Name AdresseUhrzeitDatum

Abb. 2-27. Gesamte Modellierung

2.3 Formale Formulierungen von Aufgaben

Durch Planung (stets Gestaltungsplanung wie auch Organisationsplanung) wird in jedem Baupro-jekt beschrieben, was zu tun ist (in gleicher Weise wann, wo, wie und von wem), um das erwartete Ergebnis zu erreichen. Das kann auf verschiedenste Art und Weise erfolgen, die als Formulierung von Aufgabenstellungen im Folgenden betrachtet werden sollen. Dabei können letztlich vier Typen der Formulierung unterschieden werden: Die Imperative oder Prozedurale Planung Die Deskriptive Planung Die Objektorientierte Planung Die Prozessorientierte Planung



Bemerkung: An dieser Stelle sind viele Parallelen zu Familien von Programmiersprachen für Rechner zu finden. Das hat seine Ursache darin, dass gerade für Rechner, die zwar durch „Fleiß“, aber auch durch „Fehlende Intelligenz“ gekennzeichnet sind, jegliche Aufgaben vollständig, korrekt und erschöpfend zu beschreiben sind. Diese Problematik sowie deren Lösungsansätze weisen in vielerlei Hinsicht Parallelen zu den Formulierungen von Planung auf.

2.3.1 Imperative oder Prozedurale Formulierung

Definition Imperative oder Prozedurale Planung Imperative oder Prozedurale Planung ist eine Folge von konkreten Anweisungen, wie aus ein-zelnen oder mehreren Elementen neue zu bestimmen sind, um mit Sicherheit ein bestimmtes Ergebnis zu erzielen. Die Aufgabe besteht in der korrekten Ausführung der Anweisungen“

Sie findet sich im Bereich der Gestaltungsplanung wie für Organisationsplanung, für die Planung von Leistungsprozessen sowie von Steuerungsprozessen. Bei Imperativen oder Prozeduralen Formulierungen werden Anweisungen nach Strukturen konse-quent abgearbeitet.4 Beispiel aus der Mathematik: Lineare Optimierung unter Randbedingungen - Simplexalgorithmus: Eine Prozedur wird angegeben, wie man durch Veränderung der Variablen zu einem Ergebnis kommt. Es ist nicht nötig, zur Optimierung einer Aufgabenstellung die Richtigkeit des Algorithmus erneut zu beweisen, es genügt den einmalig bewiesenen Prozeduren präzise zu folgen.

x1

x2

x3 x4

x5

x6

Isooptimalitätslinien

Richtung optimalOptimale Stellung

Optimale Ecke/Optimum

x1

x2

x3 x4

x5

x6

Isooptimalitätslinien

Richtung optimalOptimale Stellung

Optimale Ecke/Optimum

opt. b

R1 1 0 0

R2 0 1 0

Z 0 0 -1 0

1x 2x 3x 4x

11a 21a 1b

2b22a12a

1c 2c

opt. b

R1 1 0 0

R2 0 1 0

Z 0 0 -1 0

1x 2x 3x 4x

11a 21a 1b

2b22a12a

1c 2c

Abb. 2-28. Simplexalgorithmus als Beispiel

Zur Ermittlung der Fakultät einer Zahl kann als Flussdiagramm eine Folge von Anweisungen in abstrakter Form, d.h. ohne den konkreten Inhalt der Variablen zu kennen, angegeben werden, wie Variablen zu verbinden sind, um das gewünschte Ergebnis zu erzielen. Den Eigenschaften der konkreten Zahl wird durch Abfragen Rechnung getragen, die von einem Satz Prozeduren auf ei-nen alternativen Satz ggf. umschalten.

4N. Wirth, Algorithmen und Datenstrukturen (1975)



Start

Eingaben

Resultat: = n

n ≤ 1 ?

n: = n - 1

R: = R • n

Ausgabe R

Stop

Nein Ja

Start

Eingaben

Resultat: = n

n ≤ 1 ?

n: = n - 1

R: = R • n

Ausgabe R

Stop

Nein Ja

Abb. 2-29. Flussdiagramm Berechnung der Fakultät einer Zahl

Prozesse des Bauens können prozedural angegeben werden, im Folgenden etwa die Vorgehens-weise zur Planung der Produktion. Insbesondere legen diese Prozeduren das Vorgehen abstrakt und für alle denkbaren Projekte und Fälle fest, wie zu verfahren ist, ohne sich im speziellen auf das konkrete Projekt zu beziehen.

VerantwortungDokumentation

GL

AV

AV

XX.XY.123

XX.XY.123

XX.XY.123

XX.XY.123

Teilprozess Produktionsplanung

XX.XY.123

Benennung des Prozessverantwortlichen

Festlegen des Verfahrens

Geräteplanung

Personalplanung

Produktionsplan

Evtl.

Iter

atio

nen

Einholen von Leistungsdaten:

• Stoffe• Geräte• Schalung/Rüstung• Nachunternehmer

Vorgang

• Leistung• Mengen

Produktions-prozessplanung

Evtl. Iterationen

Evtl. Iterationen

AV

AV

VerantwortungDokumentation

GL

AV

AV

XX.XY.123

XX.XY.123

XX.XY.123

XX.XY.123

Teilprozess Produktionsplanung Teilprozess Produktionsplanung

XX.XY.123

Benennung des Prozessverantwortlichen

Festlegen des Verfahrens

Geräteplanung

Personalplanung

ProduktionsplanProduktionsplan

Evtl.

Iter

atio

nen

Einholen von Leistungsdaten:

• Stoffe• Geräte• Schalung/Rüstung• Nachunternehmer

Vorgang

• Leistung• Mengen

Produktions-prozessplanung

Evtl. Iterationen

Evtl. Iterationen

AV

AV

Abb. 2-30. Prozedurale Formulierung der Produktionsplanung

In gleicher Weise wird zum Beispiel das baustofftechnisch korrekte Vorgehen bei der Betonher-stellung festgeschrieben. Ohne nähere Kenntnis des konkreten Bauteils legen Prozeduren fest, wie zu mischen ist, wie Randbedingungen (etwa die Feuchte des Zuschlags) zu prüfen und einzu-halten sind und letztlich nach welcher Zeit ausgeschalt werden kann, bzw. wann die Nennfestigkeit erreicht ist. Projektbezogene Eigenheiten, wie die lokale Umgebungstemperatur werden ggf. durch prozedurale Abfragen eingebunden.



99

171717 161616

141415151010

1111 1212 1313

444

555

666

888

777

333

111

222

1818191919

Abb. 2-31. Beispiel: Prozedurale Festlegungen zur Erreichung von Betoneigenschaften

(Quelle: Heidelbergcement)

Ein weiteres Beispiel für prozedurales Vorgehen ist das Abarbeiten (Befolgen der Organisations-planung) der Schalungspläne. Jedes Schalungselement (z.B. Deckentisch) wird nach einer vorher bestimmten Reihenfolge versetzt. Um das gewünschte Ergebnis zu erreichen ist die festgelegte Reihenfolge, d.h. die festgeschrieben Prozeduren strengstens befolgen.

Abb. 2-32. Beispiel: Schalungsplan mit Versetzungsprozeduren

Typisch für prozedurale Formulierung ist, dass sich jemand mit einer Problemstellung befasst und das Problem durch Herleiten oder Ausprobieren gelöst. Das Ergebnis ist ein „Rezept“ – eine Pro-



zedur. In der Prozedur steht nicht das Wesen eines Zusammenhangs. Die Dokumentation des Wesens einer Prozedur ist prinzipiell problematisch. Durch Angabe einer Prozedur ergibt sich ein Folgezustand eindeutig aus einem vorigen Zustand. Daraus folgt als Voraussetzung die Annahme der Existenz und Bekanntheit einer Reihenfolge bzw. Hierarchie. Beispiel: Prozedurale Dimensionierung eines Ladebetriebs Zunächst werde die Festlegung des Laders als „Leitbetrieb“ angenommen, definiert durch z.B.: Theoretische Leistung des Gerätes, abhängig von Typ und lokalen Gegebenheiten Effektive Leistung, z.B. Berücksichtigung der Reduktion durch Platzbedarf und Auflockerungs-

faktor des Ladegutes. Aus dem damit anfallenden Schuttervolumen ergibt sich die Anzahl der notwendigen Transportge-räte, die als „Folgebetriebe“ berechnet werden, ebenfalls definiert durch ihre Eigenschaften: Theoretische Leistung der LKWs, abhängig von Typ und lokalen Gegebenheiten, wie etwa

Ladevolumen, Geschwindigkeit und Baustraßenführung. Effektive Leistung, z.B. Berücksichtigung der Reduktion durch Warteschlangen etc.

Aushub

Deponie

Abb. 2-33. Erdbaubetrieb

In dieser Situation wird angenommen, dass aus der fixen Festlegung des Ladebetriebs auch die Dimensionierung des Transportbetriebs zwingend folgt. In komplexeren Zusammenhängen ist die-se Auswahl möglicherweise schlecht, z.B. wenn nicht direkte Variablen zu optimieren sind (Leis-tung des einzelnen Betriebs), sondern mehrere Betriebe gekoppelt sind und die Gesamtleistungs-fähigkeit unter Berücksichtigung der Kosten optimiert werden soll.

2.3.2 Deskriptive Planung

Wie zuvor festgestellt, geht prozedurale Planung davon aus, dass einerseits sich aus einem Zu-stand eindeutig durch eine Prozedur ein gewollter Folgezustand entwickeln lässt und zum ande-ren, dass jemand diesen Zusammenhang erarbeitet hat, dann formuliert und schließlich seine All-gemeingültigkeit nachgewiesen hat. Hier geht es um die Frage, wie solche Prozeduren entwickelt werden können. Dazu ist eine möglichst vollständige Suche von Lösungen in einem Lösungsraum, definiert durch einen Satz von Kausalzusammenhängen nötig. Diese stehen a priori nur deskriptiv zur Verfügung.



Der Mensch kann dabei logisch, ggf. auch kreativ schließen. Die Fakten, aus denen er schließen kann sind bekannt. Darüber hinaus sind Regeln bekannt, nach denen Fakten verknüpft sind (auch „Fakten“, hier „Regeln“ genannt). Allgemeine (etwas abstrakte) Formulierung:

• Es gibt Fakten (Objekte / Elemente: Variablen, Konstanten) • Es gibt Beziehungen (sog. „Prädikate“), die Fakten verknüpfen • Es gibt Regeln, die aus Fakten neue Fakten schaffen

Definition Deskriptive oder deklarative Planung Deskriptive oder auch deklarative Planung ist eine Beschreibung eines gewünschten Ergebnis-ses durch Fakten, Prädikate und Regeln. Die Aufgabe besteht darin, die deskriptive Planung durch einen allgemeingültigen Satz von Fakten, Prädikaten und Regeln zu ergänzen und dann durch systematisches Absuchen aller Möglichkeiten („Backtracking“) die unbekannten (=freien) Variablen zu belegen, mithin die Prozeduren zu finden.

Sie wird ebenfalls in der Gestaltungsplanung wie in der Organisationsplanung, für die Planung von Leistungsprozessen sowie von Steuerungsprozessen eingesetzt. Beispiele: Fakten: Plan, Arbeiter, Person (allgem.), LKW, dieser LKW (speziell) Mann, Frau, Mayer, Huber, grün, blau, nass, quadratisch Prädikate: hat_Farbe (Fassade, blau), ist_grün (Baum) Arbeitet_für (Maurerkolonne, Kurt Müller) Regeln: Betonieren_zulässig (X) IF NOT Temperaturen_unter_5° in (Stadt) AND Baustelle_in (Stadt, X) Ein System wird durch einen vollständigen Satz von Fakten, Prädikaten und Regeln modelliert. Lösungen sind dann alle Fakten, die den vorgegebenen Fakten unter Einhaltung aller Regeln ent-sprechen. Im Allgemeinen muss dazu der Beschreibung des vorgegebenen Systems zur Vervoll-ständigung noch eine weiterer Satz allgemeingültiger Fakten, Prädikaten und Regeln hinzugefügt werden, der über das spezifische Projekts hinaus etwa das gültige Allgemeinwissen (etwa einzu-haltende Normen, Stand der Technik etc.) beschreibt. Exkurs: Das technische Verfahren zur systematischen Erfassung aller Lösung wird „Backtracking“ genannt und lediglich in Rechnern als so genannte „Inferenz-Maschine“ implementiert. Das Verfahren basiert auf den ungeordneten Fakten aus der spezifischen Problemstellung, sowie ebenfalls ungeordneten Fakten des Allgemeinwissens, jeweils zusammen mit den jeweiligen Be-ziehungen (Prädikaten) und den Regeln. Der Lösungsraum ist als unbelegte Variablen (ebenfalls Fakten) modelliert. Systematischerweise beginnt das Verfahren vorne, vergleicht alle gefundenen Fakten und belegt sukzessive die freien Variablen. Ist ein gültiges Faktum, d.h. verträglich mit al-len vorliegenden Fakten, Prädikaten und Regeln gefunden, so wird es als mögliche, zulässige Lö-sung ausgegeben. Nach jeder Ausgabe wird zum letzten Verzweigungspunkt zurückgegangen und erneut bis zu einer weiteren Ausgabe geprüft. Auf diese Weise wird der gesamte Lösungsraum systematisch („rekursiv“) abgesucht und mit Sicherheit jede zulässige Lösung gefunden



Fakt

en /

Reg

eln

x o o x x

Match

Match

Match Regel

Match

Fertig

Ausgabe 1

Ausgabe 2

x x x o o x x x o

Ausgabe 3

Fakt

en /

Reg

eln

x o o x x

Match

Match

Match Regel

Match

Fertig

Ausgabe 1

Ausgabe 2

x x x o o x x x o

Ausgabe 3

(Backtracking)

Abb. 2-34. Backtracking als systematisches Lösungsverfahren

Projekt-fakten Wissen / Erfahrung

Fragen AntwortInferenz-maschine

Projekt-fakten Wissen / Erfahrung

Fragen AntwortInferenz-maschine

Abb. 2-35. Inferenzmaschine

Alle schließbaren Kombinationen der vorliegenden Informationen mit den möglichen Informationen der offenen Variablen, also der „deskriptiven“ Beschreibung mit den Optionen, werden überprüft und alle richtigen, also zulässigen Resultate werden ausgegeben. Dabei führt eine allerdings jede Unvollständigkeit der Basisdaten zu prinzipiellen Fehlern. In der Realität des operativen Bauens hat diese abstrakte Vorgehensweise eine außerordentlich konkrete Entsprechung: Ein Gestaltungsplan (ggf. aber auch eine funktionale Ausschreibung) ent-hält als deskriptive Darstellung eine Vielzahl von Fakten wie beispielsweise Mauern, Fenster, Far-ben, Bewehrung, Start-, End- und Zwischentermine, Kosten sowie ggf. als „Prädikate“ Zuweisun-gen von verschiedenen Eigenschaften. Es fehlen aber in dieser Beschreibung der Bauaufgabe viele Informationen (ebenfalls Fakten und Prädikate), die zum Erstellen des Bauwerks von erhebli-cher Bedeutung sind: Etwa fehlen alle Angaben zu Herstellprozeduren, wie Stahl zu biegen, ein Dachstuhl aufzustellen oder eine Schalung zu montieren ist, welche Abbindezeit beim Betonieren einzuhalten ist etc. Ein Großteil dieser Fakten wird als Stand der Technik oder Bestandteil von Normen als bekannt vorausgesetzt, ein weiterer Satz von Fakten ist offen und wird als Gegenstand der Bauaufgabe bzw. deren Organisation erwartet:



99

171717 161616

141415151010

1111 1212 1313

444

555

666

888

777

333

111

222

1818191919

• Dimensionierung des Krans zum Heben der Fertigteile?

• Wann wird der Kran benötigt?

• Wie lange dauert das Projekt?

• Wo wird der Kran positioniert?

• Wann ist die Anlieferung des Dachstuhls vorzusehen?

• Wann ist eine Abschlagszahlung fällig?

• Wie groß muss die Zwischendeponie sein?

• Wo soll die Deponie positioniert werden?

• Schalung? Gerüst? Abbindezeit?

• Abläufe: Was folgt in welcher Reihenfolge?

Diese „Fakten“ sind aus zusätzlichen Informationsquellen, der Erfahrung und letztlich dem Zu-sammenhang beizutragen. Ein Beispiel für eine explizite deskriptive Aufgabenstellungen dafür ist die Erarbeitung der im Rahmen des Prozeduralen Planens ausgeführten Schalungspläne. Die geometrische und techni-sche Situation ist gegeben, darüber hinaus stehen die Informationen über die einzusetzenden Schalungssysteme zur Verfügung. Die eigentliche Aufgabe, nämlich das Erarbeiten einer optima-len Versetzungslösung der Elemente kann nur deskriptiv beschrieben und im Prinzip durch Durch-denken aller Möglichkeiten gefunden und optimiert werden.

Abb. 2-36. Beispiel: Definition der Versetzungsprozeduren für einen Schalungsplan

Als vergleichbares Beispiel kann eine Planungsaufgabe bei der Erstellung der bereits öfters als Beispiel herangezogenen Dreifeldbrücke dienen. Etwa sollen die Überbauten als Fertigteile mit Hilfe eines Mobilkranes montiert werden. Um den Anlieferungs- und Aufbauaufwand gering zu halten, soll die Montage so geplant werden, dass mit einem einmaligen Einsatz des Schwerlast-



Pfähle

B

B

Achse 1 Achse 2 Achse 4Achse 3

Bachlauf FundamentFundament

Pfeiler P2 Pfeiler P3

Widerlager W3Widerlager W2

1 2 3

1 3 2

2 1 3

2 3 1

3 2 1

3 1 2

kranes alle Überbau-Elemente im Anschluss aneinander gesetzt werden können. Zur Optimierung des gesamten Ablaufes steht eine Vielzahl von Möglichkeiten gleichberechtigt nebeneinander und müssen optimal unter Einhaltung ggf. weiterer Randbedingungen terminiert werden

Abb. 2-37. Beispiel: Dreifeldbrücke: Reihenfolge der Montage

Auch die Feststellung von Mängeln ist nur als deskriptive Aufgabe zu formulieren. Eine Begehung findet etwa anhand eines Raumbuches, also strukturiert in einer Systematik der Geschosse und Räume statt. Das Bau-Soll liegt als Plan, d.h. als Fakten vor, das Bau-Ist kann ebenfalls als Fak-ten eingesehen werden. Dann erfolgt die vollständige Feststellung von a priori unbekannten Män-geln als systematische Überprüfung aller denkbaren Mängel und Abweichungen.

Auch die Identifizierung von möglichen Risiken folgt diesem Prinzip. Die deskriptive Aufgabe lau-tet, etwa mit Hilfe von Strukturen und Checklisten a priori unbekannte Risiken aufzuspüren und zu bewerten. Auch dafür kann nur systematisch die existierende Situation, bzw. der geplante Bauab-lauf, die Organisation oder das Umfeld auf „freie Variablen“ hin untersucht werden um den gesam-ten Lösungsraum, also die relevanten Risiken aufzudecken.

Abb. 2-38. Beispielhafte Risikocheckliste



2.3.3 Objektorientierte Formulierungen

Deskriptive bzw. Deklarative Ansätze erfordert einen enormen Aufwand aufgrund der Notwendig-keit alle Kombinationen und Beziehungen zu untersuchen, wobei die meisten „Versuche“ ins Leere laufen. Sinnvoller wäre es, nur die relevanten Verknüpfungen zu betrachten. Diese können als unmittelbare Wechselwirkungen zwischen zwei Beteiligten oder Planungselementen im Allgemei-nen sehr einfach und übersichtlich modelliert werden. Dann erfolgt das Erarbeiten des Lösungs-raums durch systematisches Abarbeiten von Beziehungen. Dazu müssen zunächst die relevanten Beziehungen in einer Struktur identifiziert werden. Definition Objektorientierte Planung

„Objektorientierte Planung leitet sich aus der deskriptiven Planung ab. Anstelle einer externen übergreifenden Suche über alle Möglichkeiten werden kleinste überschaubare Prozeduren (=Methoden) bei den Entitäten modelliert. Die Aufgabe beschränkt sich auf die korrekte und vollständige Modellierung, daraus können dann alle Informationen unmittelbar abgerufen wer-den“

Ein objektorientiertes Modell dient der Analyse existierender oder vorgesehener Interaktionsstruk-turen wie Ablaufplänen, Organigrammen, Kostenstrukturen und Prozessen. Eine Objektorientierte Formulierung kann sehr einfach am Beispiel einer produktorientierten Struk-tur erläutert werden: Relevante Strukturelemente könnten etwa Fundamente, Decken, Stützen, Wände oder Kerne sein. Die Eigenschaften der Elemente, etwa Material, Farbe, Produktionszeitraum, Produktions-dauer etc. werden – im Gegensatz zur deklarativen Formulierung unmittelbar beim Objekt nieder-gelegt. Die Beziehungen zwischen den Objekten wären auf die unmittelbare mechanische Positio-nierung beschränkt. Entsprechend hat eine Stütze nur eine Beziehung zu dem Bauteil, auf der sie steht und zu dem Bauteil, das sie trägt. Abstrakt werden diese Beziehungen durch Pfeile, als „Zei-ger“ von einem Element zum anderen dargestellt. Auch diese Beziehungen werden bei den Objek-ten gelagert, so dass diese die kompakte, vollständige Informationseinheit sind.

Fundament Decken Stützen Aussteifungswände / Kern

Abb. 2-39. Beispiel: Elemente einer objektorientierten Produktmodellierung



Speicher Stütze 1

Beton

Bewehrung

Bezug zu DeckeBezug zu Boden

Decke 1 Abschnitt a

Beton

Farbe

Bezug zu Stütze UBezug zu Stütze O

Bezug zu Decke 1b

Stütze 1

Beton

Bewehrung

Bezug zu DeckeBezug zu Boden

Decke 1 Abschnitt a

Beton

Farbe

Bezug zu Stütze UBezug zu Stütze O

Bezug zu Decke 1b

“Pointer“

Fundament

Wände

DeckeStütze

Decke

Stütze

Decke

Fundament

Wände

DeckeStütze

Decke

Stütze

Decke

• Beziehungen beim Objekt lagern • Eigenschaften beim Objekt lagern Kapselung

Beziehungen

Eigenschaften

Abb. 2-40. Objektorientierte Formulierung: Beziehungen und Eigenschaften direkt beim Objekt ablegen

Soweit dient die objektorientierte Darstellung nur der Formulierung eines Zustandes. Für die dekla-rative Formulierung war als Aufgabe festgesetzt, quasi von außerhalb des Modells, eine Suche über alle Lösungsmöglichkeiten, die mit allen Voraussetzungen vereinbar sind, durchzuführen. Nahe liegender weise wird bei Objektorientierung auch die Aufgabe in die Objekte selbst verlegt. Das ist zunächst leicht verständlich, solange es sich um Aufgaben handelt, die vollständig inner-halb des Objektes abgewickelt werden können: Eine Anfrage an ein Element bezüglich einer Eigenschaft, also etwa nach den physischen Maßen Höhe und Querschnitt der Stütze kann vom Element ohne weiteres durch Weitergabe der entspre-chenden Eigenschaft beantwortet werden. Die Frage nach dem Volumen sollte so nicht angege-ben werden, da sie sich bei Angabe als Eigenschaft im Element redundant befindet. Entsprechen werden „Prozeduren“ eingeführt, die bei Objekten stets „Methoden“ genannt werden, die innerhalb des Objektes gelagert aus vorliegenden Eigenschaften die gewünschte Information berechnen, also etwa das Volumen aus Querschnitt und Höhe nach der entsprechenden Formel.

Kapselung

Speicher Beginn, Adresse, Identität

Eigenschaften (Felder)

Beziehungen (Pointer)

Methoden (Code)

HöheQuerschnitt

Vol

HöheQuerschnittMethode Vol

= h • q

Abb. 2-41. Methoden als interne Prozeduren



Konsequenterweise können durch solche überschaubaren Methoden über die vorliegenden Be-ziehungen vom Element auch Information berechnet werden, die über das spezifische Element hinausgehen. Ein Anfrage nach der Last, bzw. Belastung eines Elements ist durch die interne Me-thode der Berechnung des Eigengewichts aus internen Eigenschaften zu begegnen und darüber hinaus durch eine Anfrage über alle oberhalb liegenden Elemente nach deren Gewicht. Diese würden in gleicher Weise das Gewicht der auflastenden Elemente kumulieren und letztlich – über alle relevanten Beziehungen - die korrekte Auflast zurückgeben, eine Eigenschaft, die sich nur aus dem Gesamtnetz ergeben kann.

Stütze 1

Stütze 2

Stütze 3

Decke

Decke

DeckeAnfrage

Decke

DimensionVerkehrslast

Stütze 1 - 28Fassadenteil

MethodeEigengewicht

Methode Auflast

bis hin zur Rekursion!

Stütze 1

Stütze 2

Stütze 3

Decke

Decke

DeckeAnfrage

Decke

DimensionVerkehrslast

Stütze 1 - 28Fassadenteil

MethodeEigengewicht

Methode Auflast

bis hin zur Rekursion!

Abb. 2-42. Methoden, die über das Element hinausgehen

Als ähnliches Beispiel könnte eine Anfrage nach der Position eines Elementes innerhalb der Struk-tur des Bauwerks dienen, die etwa relativ zu bezogenen anderen Elementen angegeben ist:

Fundament

Wände

Decke

Stütze

Decke

Stütze

Decke

Fundament

Wände

Decke

Stütze

Decke

Stütze

Decke

Anfrage Position

Abb. 2-43. Position eines Elementes innerhalb der Bauwerksstruktur

Als weiteres Beispiel werde hier das Raumbuch angeführt: In dieser Struktur wird das Bauwerk nicht nach physischen Gesichtspunkten sondern nutzungs- bzw. funktionsorientiert nach Räumen strukturiert. Wird dann jedem Gebäude, Geschoß, Raum oder Teilraum eine Ausstattung mit Men-



gen und Kosten als Eigenschaften zugewiesen, so kann eine Kostenanfrage an ein Element die eigenen Kosten wiedergeben, aber genauso die Kumulation der eigenen Kosten verbunden mit der Anfrage an alle unterliegenden Elemente bis zur untersten Ebene der Struktur. Auf diese Wei-se werden ebenfalls Eigenschaften des Netzwerkes – modelliert durch einfachste Methoden der einzelnen Elemente – über das gesamte System ermittelt.

Gebäude

Geschoss Geschoss Geschoss Geschoss Geschoss

Raum Raum Raum Raum

Teilraum Teilraum Teilraum

Gebäude

Los

• Schätzwert• BRI• BGF• Ausstattung







Gebäude


Raum Raum Raum Raum


Gebäude

Los








Anfrage Kostenschätzung

Abb. 2-44. Kosten aus dem Raumbuch

RaumbuchStruktur nach Räumen

KostenermittlungStruktur nach Bauelementen

LeistungsverzeichnisStruktur nach Leistungspositionen

Abb. 2-45. Mehrfache Strukturen

Nachdem alle Beziehungen und Methoden strukturspezifisch formuliert werden können, ist es in dieser Formulierung ohne weiteres möglich, Objekte gleichzeitig in mehreren völlig unterschiedli-chen Strukturen zu halten und über Methoden Informationen zu eruieren, die nur strukturübergrei-fend ermittelt werden können. Beispielsweise können Bauteile wie eine Sanitäreinrichtung (z.B. eine Badewanne) sowohl in einer Bauteileorientierten Struktur unter Sanitärbauelemente, in einer



Raumbuchstruktur unter dem betroffenen Badezimmer, als auch in einem Leistungsverzeichnis bei der Leistung „TGA - Technische Gebäudeausrüstung, Liefern und Einbauen“ gleichzeitig angeord-net werden. Die Terminierung der Lieferung einer Charge Bewehrungsstahl hängt u. a. ab vom vorgesehenen Einbauzeitpunkt, der Dauer der Lieferung, der Frage, ob die benötigte Lagerfläche frei ist, und bestimmt sich aus einer Vielzahl von Strukturen, in denen diese Informationen verfüg-bar sind.

2.3.4 Prozessorientierte Planung

Definition Prozessorientierte Planung Prozessorientierte Planung leitet sich aus der Objektorientierten Planung ab, wobei Entitäten jedoch auf ausschließlich Prozesse reduziert werden.

Die prozessorientierte Planung dient zur Analyse und Vermessung existierender oder vorgesehe-ner Interaktionsstrukturen wie Leistungsprozesse und Steuerungsprozesse.

2.3.4.1 Prozesskostenrechnung

Prozessorientierte Betrachtungen haben ihren historischen Ursprung in der Prozesskostenrech-nung, die den Übergang von reinen Herstellungsaktivitäten zu Produktionsprozessen vorgenom-men hat: Die direkten Kosten zur Herstellung eines Produktes können bei Kenntnis von Produktivität (Lohn) und Stoffkosten ermittelt werden. Offen bleiben etwa die Verwaltungskosten im Zusammenhang mit der Abwicklung eines Auftrages oder auch z.B. die Kosten einer Mängelbeseitigung. Auch die Materialbeschaffungskosten und die Frage, ob die internen Verrechnungssätze verursachungsge-recht sind, sind nicht ohne weiteres erfasst. Das Wertschöpfungspotential sowie die Optimie-rungspotentiale der Betrieblichen Prozesse bleiben offen. Zur Lösung dieser Fragen werden sämt-liche Tätigkeiten eines Unternehmens einer Analyse unterzogen und – soweit sie zum gleichen Teilprodukt führen – in Teilprozessen zusammengefasst. Mit Ermittlung der verfügbaren Kapazitä-ten werden die Kosten auf die Teilprozesse umgelegt und diese in Hauptprozesse gebündelt, wo-bei insbesondere auf eine Identifikation und Zuordnung von Kostentreibern geachtet wird. Das Ziel ist die vollständige Erfassung aller Kosten, gebündelt auf Wert schöpfende Einheiten.

Hauptprozesse

Teilprozesse

Tätigkeiten

Hauptprozesse

Teilprozesse

Tätigkeiten Abb. 2-46. Prozesskostenrechnung: Hauptprozess – Teilprozess – Tätigkeiten

2.3.4.2 Prozesse im Bauprozessmanagement

Definition Prozess (nach DIN EN ISO 9000) (Wiederholung aus Kybernetik der Planungsprozesse) „Satz von in Wechselbeziehung oder Wechselwirkung stehenden Tätigkeiten, der Eingaben in Ergebnisse umwandelt.“



Jeder Prozess benötigt einen Input, um die Objekte bearbeiten zu können. Input können Personal, Technische Ressourcen, Stoffe, Werkzeuge, Geräte, Regelwerke oder auch Informationen sein. Weiterhin können die Ergebnisse vor gelagerter Prozesse wiederum Input für nach gelagerte Pro-zesse sein.

Input

Messgrößen

Prozessverantwortlicher

Kunden-Anforderung

Kunden-Ergebnis

Leistungserstellung

InputInput

Messgrößen

Prozessverantwortlicher

Kunden-Anforderung

Kunden-Ergebnis

Leistungserstellung

Abb. 2-47. Prozesse im Bauprozessmanagement

Prozessorientierte Planung konzentriert sich also auf Prozesse und Teilprozesse als Objekte. Die-se können sowohl Leistungsprozesse als auch Steuerungsprozesse sein. Die Beziehungen be-schränken sich entsprechend auf Wechselwirkungen mit anderen Prozessen. Dies sind insbeson-dere: Beziehungen zu Steuerprozessen: • Zeitliche und kausale Initiierung des Prozesses • Zeitliche und kausale Beendigung des Prozesses • Ausgabe von Performanceindikatoren, die eine Überprüfung der Ausführung erlauben • Einwirkung von Steuerungsinformationen, die die Ausführung verändern Beziehung zu Steuerungs- oder Leistungsprozessen: • Übernahme von Informationen, Temporären Ressourcen und Konsumressourcen • Übergabe von Informationen, Temporären Ressourcen • Übergabe der Produktion

Prozess

PerformanceIndikatoren

ControllingParameter

• Informationen• Produktion• Temporäre Ressourcen

Trigger-Event• zeitbestimmt• ext. konditioniert

Executive Event• zeitbestimmt• intern konditioniert• extern konditioniert

Executive Event• zeitbestimmt• intern konditioniert• extern konditioniert

INPUT• Information• Konsumressourcen• Temporäre Ressourcen

Abb. 2-48. Beziehung von Prozessen



Anmerkung: Der Unikatscharakter von Bauprojekten findet sich im Wesentlichen in der Gestaltung der Beziehungen von standardisierten Prozessen, nur sehr wenige einzelne Prozesse haben inno-vativen Charakter.

Prozess

Prozess

Prozess

Prozess

Prozess

Prozess Prozess

Prozess

Prozess

Abb. 2-49. Prozessorientierung

2.4 Planungszyklen

Allen Formulierungs- und Planungstypen liegen zwei grundsätzliche Vorgehensweisen zugrunde, die Iterative Planung und die rekursive Planung:

2.4.1 Iterative Planung

Definition Iterative Planung: Zur Planung eines Vernetzten Systems wird ein erster Ansatz willkürlich festgelegt. Nach Aus-arbeitung aller Zusammenhänge steht als Ergebnis lediglich ein verbesserter Planungsansatz zur Verfügung. Es wird erwartet, dass durch eine endliche Anzahl von Wiederholungen (Iterati-on) dieses Vorgehens ein optimaler Ansatz erreicht wird. Dazu ist es notwendig, ein Kriterium für das Erreichen des Optimums festzulegen.

Ein klassisches Beispiel für iteratives Vorgehen ist der bekannte Steuerungszyklus: Zur Erreichung eines Ziels wird eine geeignete Planung vorgenommen, von der erwartet wird, dass sie das Ziel realisiert. Dennoch steht zu erwarten, dass Veränderungen der Umstände auch ein abweichendes Ergebnis zur Folge haben können. Entsprechend sind kontinuierliche Überprü-fungen vorzusehen, die auf der Basis der aktuellen Zustände Planungsänderungen initiieren, die letztlich die Zielerreichung sicherstellen.

Info

Soll-Ist-Vergleich

InfoInfo

Soll-Ist-Vergleich

Soll-Ist-Vergleich

Info

Planen

Ausführen

InfoInfo

PlanenPlanen

AusführenAusführen

Info

Zielüberprüfung

InfoInfo

ZielüberprüfungZielüberprüfungZiel:Ziel:

Entscheiden

Steuern

Info

Entscheiden

Steuern

InfoInfo

Abb. 2-50. Iteratives Planen



Eine vergleichbare Vorgehensweise findet sich bei der Projektentwicklung in frühen Phasen: Erst-entwürfe führen zu ersten Ergebnissen bezüglich Kosten, Dauer und Machbarkeit und werden ent-sprechend mehrfach revidiert, bis sie ein endgültiges, der Vorstellungen in jeder Hinsicht ange-messenes Projekt darstellen

2.4.2 Rekursive Planung

Definition Rekursive Planung: Bei jeder Festlegung oder Änderung eines Planungsdetails werden alle Konsequenzen bis ins letzte Detail durchdacht und diese ihrerseits wieder mit allen Konsequenzen überprüft“

Dieser Ansatz entspricht weitgehend nicht dem menschlichen Denkvermögen und findet sich ent-sprechend vor allem mechanistisch implementiert in der Terminierung von Vorgängen oder Kumu-lation von Kosten, insbesondere im Bereich der Softwaretools. Im Änderungsmanagement ist re-kursives Vorgehen jedoch auch planerisch notwendig und muss mit höchster Sorgfalt vorgenom-men werden. Beispiel Änderungsmanagement: Eine Änderung der Belüftungsanforderung hat den Einsatz von deutlich größeren Lüftungskanälen zur Folge. Diese sind unter den Unterzügen nicht mehr durchführbar. Die Deckenhöhe reicht nicht aus, daher werden Öffnungen in den Unterzügen nötig. Diese machen wiederum eine höhere An-zahl Unterzüge erforderlich. Weitere Konsequenzen hinsichtlich Material, Statik und Bauabläufen, folgen etc. Ggf. wirkt eine Änderung sogar (rekursiv) zurück auf den Änderungspfad: Eine zeitliche Verschiebung des Einbaus der Reinraumtechnik in ein Laborgebäude eines Unter-nehmens der Halbleitertechnologie um 5 Tage aufgrund von geänderten Voraussetzungen (Er-schütterungsfreier Bau) hat verschiedentlich weitere Verschiebungen zur Folge, die schließlich bewirken, dass die Reinraumtechnik im Einvernehmen mit dem Bauherrn in einen späteren Bau-abschnitt verlegt werden muss.

2.5 Aufgabe

In der folgenden Darstellung ist ein klassischer Ausschnitt eines Planprüflaufes zwischen Haus-technik, Architektur und Tragwerksplanung sowie Prüfingenieur und schließlich Ausführung abge-bildet. Prozess:

Gewerk 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.Pläne des AGVertragHaustechnikArchitekturTragwerksplanungPrüfingenieurBaustelle

WochenPlanungskoordination

rohbaurelevant

Bewehr.-Plan fertig

geprüft

Bewehr. best.

AusführungSchalpläne fertig

Schalpl. v. A

rch. gepr.

Beispiel: Bewehrungsplan

Abb. 2-51. Planprüflauf



Zunächst entwickeln Haustechnik, Architektur und Tragwerksplanung nach dem Vertragsschluss unabhängig voneinander ihre Entwürfe, koordinieren diese dann in der dargestellten Reihenfolge und stimmen Änderungen ab bis schließlich die Prüfung erfolgt, letzte Änderungen eingearbeitet werden und dann Beschaffung und Ausführung anschließt. Als Aufgabe ist diese Situation als ER-Diagramm, prozedural, deskriptiv, objektorientiert und schließlich prozessorientiert zu skizzieren.

2-1Ausgabe 1/2009 –Vom Vernetzten Denken zur Prozessorientierung


Abbildungsverzeichnis

Abb. 2-1. Planung 2-2 Abb. 2-2. Planung Baugrube 2-2 Abb. 2-3. Stringentes Denken - Assoziationsradius 2-3 Abb. 2-4. Einfache und komplexe Projekte 2-3 Abb. 2-5. komplexe Planungsaufgabe: Sanierung Shopping Center 2-4 Abb. 2-6. Beispiel: Mindmap 2-6 Abb. 2-7. Modell der Pasing Arcaden 2-7 Abb. 2-8. Ishikawa-Diagramm 2-7 Abb. 2-9. Kognitive Karte 2-8 Abb. 2-10. Beispiel Kognitive Karte: Human Ressource Management 2-9 Abb. 2-11. „Cognitive Map“ mit unscharfen Kausalbeziehungen; Unscharfe Aussage mit Fuzzy Logic 2-10 Abb. 2-12. SWOT-Analyse 2-10 Abb. 2-13. Systemmodell SWOT-Analyse 2-11 Abb. 2-14. Balanced Scorecard, Strategieumsetzung 2-12 Abb. 2-15. Balanced Scorecard, Betrachtungsperspektiven 2-12 Abb. 2-16. Strategieumsetzung 2-13 Abb. 2-17. Balanced Score Card am Beispiel einer Hochschule 2-13 Abb. 2-18. Balanced Score Card für Kernprozesse 2-14 Abb. 2-19. Systemmodell Balanced Score-Card 2-14 Abb. 2-20. ER-Modell 2-15 Abb. 2-21. Elemente eines Just- in Time Liferanten 2-15 Abb. 2-22. Entitäten 2-16 Abb. 2-23. Beziehungen im ER-Modell (Relationships) 2-16 Abb. 2-24. Kardinalität 1:1 Beziehung 2-16 Abb. 2-25. Kardinalität 1:N Beziehung 2-16 Abb. 2-26. Kardinalität N:M Beziehung 2-17 Abb. 2-27. Gesamte Modellierung 2-17 Abb. 2-28. Simplexalgorithmus als Beispiel 2-18 Abb. 2-29. Flussdiagramm Berechnung der Fakultät einer Zahl 2-19 Abb. 2-30. Prozedurale Formulierung der Produktionsplanung 2-19 Abb. 2-31. Beispiel: Prozedurale Festlegungen zur Erreichung von Betoneigenschaften 2-20 Abb. 2-32. Beispiel: Schalungsplan mit Versetzungsprozeduren 2-20 Abb. 2-33. Erdbaubetrieb 2-21 Abb. 2-34. Backtracking als systematisches Lösungsverfahren 2-23 Abb. 2-35. Inferenzmaschine 2-23 Abb. 2-36. Beispiel: Definition der Versetzungsprozeduren für einen Schalungsplan 2-24 Abb. 2-37. Beispiel: Dreifeldbrücke: Reihenfolge der Montage 2-25 Abb. 2-38. Beispielhafte Risikocheckliste 2-25 Abb. 2-39. Beispiel: Elemente einer objektorientierten Produktmodellierung 2-26 Abb. 2-40. Objektorientierte Formulierung: Beziehungen und Eigenschaften direkt beim Objekt ablegen 2-27 Abb. 2-41. Methoden als interne Prozeduren 2-27 Abb. 2-42. Methoden, die über das Element hinausgehen 2-28 Abb. 2-43. Position eines Elementes innerhalb der Bauwerksstruktur 2-28 Abb. 2-44. Kosten aus dem Raumbuch 2-29 Abb. 2-45. Mehrfache Strukturen 2-29 Abb. 2-46. Prozesskostenrechnung: Hauptprozess – Teilprozess – Tätigkeiten 2-30 Abb. 2-47. Prozesse im Bauprozessmanagement 2-31 Abb. 2-48. Beziehung von Prozessen 2-31 Abb. 2-49. Prozessorientierung 2-32 Abb. 2-50. Iteratives Planen 2-32 Abb. 2-51. Planprüflauf 2-33

II


Kapitel 3: Vernetzungsanalyse Inhaltsverzeichnis

3 Vernetzungsanalyse 3-3

3.1 Stakeholderanalyse als beispielhafte Aufgabenstellung 3-3 3.1.1 Projekt und Stakeholder 3-3 3.1.2 Stakeholderanalyse 3-4

3.2 Vernetzungsanalyse nach F. Vester 3-5 3.2.1 Selektion der Variablen 3-6 3.2.2 Vernetzungsanalyse: Kriterienmatrix 3-8 3.2.3 Einflussmatrix 3-8 3.2.4 Einflussstärken 3-10 3.2.5 Einflussindizes Q und P 3-11 3.2.6 Rollenallokation 3-12

3.3 Beispiel Shoppingcenter „Pasing Arcaden“ 3-13 3.3.1 Problemstellung 3-13 3.3.2 Stakeholderanalyse 3-14

3.4 Aufgabe zur Vernetzungsanalyse 3-18 3.4.1 Sanierungspakete 3-18 3.4.2 Skizzen des Vorhabens 3-18 3.4.3 Aspekte der Analyse 3-20

3-3

Ausgabe 12/2009 – Vernetzungsanalyse


3 Vernetzungsanalyse Nach einer Untersuchung der BCG (Boston Consulting Group) liegt bei der Bewertung von wesentlichen Eigenschaften für Führungspersonal das „Strategische/Vernetzte Denken“ an oberster Stelle, noch vor Ergebnisorientierung und Leistungswille.

Abbildung 3-1: Relevanz von vernetztem Denken

In den folgenden Abschnitten soll ein allgemeiner, aber bereits quantifizierender Ansatz zur Evaluation von vernetzten Systemen diskutiert werden.

3.1 Stakeholderanalyse als beispielhafte Aufgabenstellung

3.1.1 Projekt und Stakeholder

Wesentliches erstes Element eines jeden Projektes, sei es aus der Bau- und Immobilienwirtschaft oder aus anderen Bereichen, ist eine Stakeholderanalyse, also die Untersuchung derer, die direkten oder indirekten Einfluss auf das System ein konkrete Bauprojekt nehmen oder direkt bzw. indirekt dadurch beeinflusst werden. Definition Stakeholder

Stakeholder sind Personen oder Personengruppen „…die am Projekt beteiligt, am Projektablauf interessiert oder von den Auswirkungen des Projekts betroffen sind. Sie haben ein begründetes Interesse am Projekterfolg und am Nutzen für das Projektumfeld.” 1

Stakeholder können nach dieser Definition je nach Projekt Kunden, Besucher, Entscheider, Mitarbeiter, Betriebsrat, Anteilseigner, Assistenten usw. sein. Der Vorgang, die vom System tangierten Personen oder Personengruppen zu identifizieren, wird als Stakeholderanalyse bezeichnet. 1 Nach IPMA (International Project Management Association) ICB International Competence Baseline

3-4



Definition: Laut ICB2 ist das Projektumfeld die Umgebung, in der das Projekt formuliert, bewertet und durch-geführt wird und die das Projekt direkt oder indirekt beeinflusst und/oder von dessen Auswirkungen betroffen ist. Diese äußeren Einflüsse können physische, ökologische, gesell-schaftliche, psychologische, kulturelle, politische, wirtschaftliche, finanzielle, juristische, ver-tragliche, organisatorische, technologische und ästhetische Faktoren sein. Die Interessen können also in unterschiedlichsten Bereichen außerordentlich vielfältig gestaltet sein. Ein Bau- oder Immobilienprojekt etwa spielt sich in dem engen Rahmen von vielerlei Aspekten ab, in dem die unterschiedlichen Stakeholder agieren.

ArchitektionischeAnforderungen

Technische Anforderungen

Soziologische Aspekte

Stadtplanung

Rechtliche AspekteUmweltgesetze

Wirtschaftliche Aspekte

Handlungsspielraum

Abbildung 3-2: Handlungsspielraum

3.1.2 Stakeholderanalyse

Beispielsweise wird das Subzentrum Pasing im Rahmen einer grundlegenden Umgestaltung durch eine Umgehungsstraße entlastet und damit als Fußgängerzone aufgewertet. Ein dort geplantes Einkaufszentrum berührt eine Vielzahl von Interessen, welche für die Funktionalität von extremer Bedeutung sind.

Abbildung 3-3: Beispielhaftes Projekt: Shoppingcenter Pasing Arcaden

2 Nach IPMA (International Project Management Association) ICB International Competence Baseline

3-5



Möglicher Stakeholder bei einem solchen innerstädtischen Bauprojekt wären zum Beispiel (nicht abschließend)

• Die Stadtverwaltung (Stadtplanung) • Der künftige Betreiber • Beteiligte Firmen (Auftragnehmer) • Der Projektleiter und sein Team • Institutionen, die Finanzierungsbeiträge leisten (Banken) • Behörden für die technische Prüfung • Denkmalschutz- und Naturschutzbehörden • Betroffene Anlieger • Potentielle Nutzer (Mieter) sowie die entsprechenden Unternehmen • Umweltschützer und Bürgerinitiativen

Die folgende Matrix stellt dann eine Möglichkeit der Visualisierung des Ergebnisses einer Stakeholderanalyse dar. Hier wird deutlich, welche Gruppen von Stakeholdern besonders zu beachten sind und welche eher wenig Einfluss auf das Projekt haben.

Abbildung 3-4: Beispielhaftes Ergebnis einer Stakeholderanalyse3

Die Durchführung ist in jeder Hinsicht eine Aufgabe des vernetzten Denkens: Es sind unterschiedliche Personenkreise mit unterschiedlichen Interessen, unterschiedlichen Einflüssen auf das Projekt, unterschiedlichen Einflüssen aufeinander und mit unterschiedlichen Wechselwirkungen ihrer Ziele gegeneinander abzuwägen (Wie bekannt als System aufzufassen und zu analysieren). Vor Erarbeitung der Vorgehensweise, die hier gar nicht Gegenstand der Betrachtung sein soll, sind zunächst die Elemente des Systems auf ihre Wirksamkeit innerhalb des Netzwerkes zu untersuchen.

3.2 Vernetzungsanalyse nach F. Vester

Passend zur Aufgabenstellung, aber auch weit darüber hinausgehend hat Frederic Vester (Betriebswirtschaftslehre, St. Gallen) basierend auf kybernetischen Konzepten einen Ansatz zur Vernetzungsanalyse4 etabliert. Dabei wird ein System hinsichtlich bestimmter Faktoren untersucht, die die relevanten Variablen eines Systems in ihrer Wirkung erweitern oder reduzieren, sodass schließlich Feed-back Regelkreise identifiziert werden können.

3 Schelle, Heinz et. All.: Projekt Manager, Deutsche Gesellschaft für Projektmanagement e.V., 2. Auflage, Nürnberg, 2007, S. 41ff. 4 Vester, Frederic: Die Kunst vernetzt zu denken, Deutscher Taschenbuch Verlag, 6. Auflage, München, 2007

3-6



Letztlich sollen die Einflussgrößen des Systems - hier Variablen genannt - hinsichtlich ihrer Wirkung und damit hinsichtlich ihre Bedeutung und daraus folgenden Behandlung klassifiziert werden in:

• stabilisierend • kritisch • puffernd • sensitiv

Die konkreten Methoden und Voraussetzungen, um ein Teilsystem derart einzustufen werden später behandelt.

3.2.1 Selektion der Variablen

Wie schon ausgeführt, ist dieser Ansatz sehr allgemeiner Natur. Entsprechend sei hier ein systematischer Zugang zur Ermittlung eines möglichst vollständigen Variablensatzes nach Vester eingefügt. Er ist in keiner Weise bauspezifisch, jedoch möglicherweise gerade hilfreich, wichtige Randbezirke eines Unternehmens aufzuspüren und dann in ihrer Wirkung zu untersuchen. Um alle relevanten Größen für die Systembetrachtung zu erhalten ist es daher oft sinnvoll, sämtliche Einflussbereiche nach möglichen Variablen zu durchleuchten. Definition Variablen sind in diesem Sinn veränderliche Größen, welche die Knotenpunkte eines Systems darstellen. Aus den Wechselwirkungen der Variablen wird bei der Sensitivitätsanalyse die Kybernetik des Systems ermittelt. Zu jeder Variable gehört neben der Bezeichnung mit einem Kurzbegriff eine Beschreibung der Indikatoren, mit denen sie näher bestimmt wird und die beim Arbeiten mit ihr immer im Gedächtnis behalten werden sollten, um den Gesamtcharakter der Variablen nicht zu vernachlässigen. Die folgende Auflistung ist im Wesentlichen dazu gedacht, sinnvolle Assoziationen anzustoßen. Kreativer Ansatz zur Ermittlung der Variablen Stakeholder (z.B. Kunden, Besucher, Entscheider, Mitarbeiter, Betriebsrat, Anteilseigner,

Assistenten…) Handlungen (z.B. Umsatz, Ertrag, Stellen, Serviceangebot, Einkauf und Verkauf, Produktion,

Investition…) Raum (z.B. Verteilung und Größe eines Arbeitsplatzes, Lagerhaltung, Entfernungen…)

Gefühl (z.B. Motivation, Identifikation, Wettbewerb, Ideen, Kreativität, Krankheitstage…)

Beziehung zur Umgebung (z.B. Machtgebrauch, Ressourcen, Wasser, Recycling, Abfall,

Verschmutzung…) Innere Prozeduren (z.B. Transport, Orte, Kommunikation, Information…)

Innere Regeln (z.B. Management, Hierarchische Strukturen, Unternehmensart, Hausregeln,

Gehalt, Verträge…)

3-7



Äußere Regeln (z.B. Gesetze, Regierung, Verträge …) Physikalische Kriterien Materie: Darunter fallen Variablen, die vorwiegend materiellen Charaktere haben, wie z.B.

Gebäude, Ressourcen, Leute, Tiere, Pflanzen, Fahrzeuge. Energie: Hier finden sich Variablen die vorwiegend Energiecharakter haben, so z.B. Energie,

Arbeitskräfte, Energiequellen, Finanzielle Ressourcen, Entscheidungsgewalt. Information/Kommunikation: Variablen die vorwiegend Informations- und

Kommunikationscharakter haben, sind unter diesem Stichpunkt ein zu ordnen. Beispiele hierfür sind Medien, Entscheidungen, Austausch der Informationen, Befehl, Wahrnehmung, Attraktivität, Akzeptanz.

Dynamische Kriterien Flussgrößen: Variablen, die vorwiegend Materie-, Energie-, oder Informationsflüsse innerhalb

des Systems ausdrücken, so z.B. Informationsfluss oder für den Materialfluss: Verkehr Strukturgrößen: Variablen, die mehr struktur- als flussbestimmend sind. Beispiele hierfür sind

Korridore, Verkehrsnetzwerk, Diversität, zentrale/dezentrale Verteilung, Hierarchie. Zeitdynamik: Variablen, die sich am gleichen Standort zu gegebener Zeit verändern oder

denen eine zeitliche Dynamik innewohnt, z.B. Steuerprüfung, Netzplanthemen, saisonale Arbeiten

Raumdynamik: Variablen, die zu gegebener Zeit von Standort zu Standort verschieden sind

wie das Verkehrsaufkommen, Schmutzwasser, strukturelle Entwicklung. Systeminteraktionen Input von Außen: z.B. Regen, Import, Tourismus, politische Entscheidungen, Subventionen

Externe Kontrolle: z.B. Gesichtspunkte betreffend die Abhängigkeit des Systems

Output von Innen: z.B. Drainage, Exporte, Nationale Steuern, Image, Werbung

Interne Kontrolle: z.B. Gesichtspunkte betreffend die Unabhängigkeit des Systems, Autarkie

Lebensbereiche Wirtschaft

Bevölkerung

Landnutzung

Humanökologie

Ökologie, natürliches Gleichgewicht

Infrastruktur

Soziale Aspekte, Gemeinschaft

3-8



3.2.2 Vernetzungsanalyse: Kriterienmatrix

Zur Erfassung des Systems kann es wesentlich sein die zuvor genannten Kriterien (Lebensbereiche, Physikalische Kriterien, Dynamische Kriterien, Systembeziehung) in einer sinnvollen Gewichtung zu berücksichtigen. Durch die systematische Auflistung der ermittelten Variablen wird sichergestellt, dass kein wesentlicher Einfluss unbeachtet bleibt, gleichzeitig ermöglicht es ggf. eine Reduktion der Variablen falls sich einzelne Variablen als irrelevant erweisen. Durch Kennzeichnung der Relevanz einer Variablen in der Kriterienmatrix in der entsprechenden Spalte kann die Gewichtung der Spalten über das gesamte System wie auch der Zeilen durch Angabe einer Spalten- oder Zeilensumme überprüft und ggf. korrigiert werden.

econ

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lKriterium

9,0161198,511138,5116,5154,59,55,0774,05,5Summe

10 Besucher und Gäste

9 Arbeitsplätze

8 Intakte Landschaft

7 Autofreundliche Straßen

6 Einwohnerzahl

5 Freizeit u. Kulturangebot

4 Image des Ortes

2 Wirtschaftskraft d. Ortes

zutreffendTeilweise zutreffend

9,0161198,511138,5116,5154,59,55,0774,05,5

3 Öffentlicher Nahverkehr

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1 Lebensqualität

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1 Lebensqualität

Lebensbereiche Physik. Kat. Dynam. Kat. Systembeziehung

Abbildung 3-5: Kriterienmatrix (Auszug)

3.2.3 Einflussmatrix

Im nächsten Schritt sollen die Wirkungen der Variablen aufeinander im Systemzusammenhang analysiert werden. Die Rolle der einzelnen Variablen lässt sich nicht aus sich selbst erkennen, sondern nur aus der Gesamtheit ihrer Wechselwirkungen mit allen übrigen Komponenten und wiederum deren Wechselwirkungen untereinander. Der erste Schritt zur Beschreibung der Rolle jeder einzelnen Variablen besteht in einer Abschätzung der Einflüsse jeder Variablen auf jede andere. Diese Abschätzung geschieht in Form einer Einflussmatrix.

3-9



In der Matrix werden die Variablen von oben nach untern und in der gleichen Reihenfolge noch einmal von links nach rechts angetragen. Das Maß für den Einfluss ,i jE einer Variablen auf eine andere wird quantitativ durch eine Abschätzung in den Werten 0 (kein Einfluss), 1 (wenig Einfluss), 2 (spürbarer Einfluss) und 3 (starker Einfluss) repräsentiert. Da sich die Variablen selbst nicht direkt beeinflussen können, werden alle Kreuzungselemente ,i iE der Matrix, in denen eine Variable auf sich selbst trifft, aus der Wertung genommen und mit 0 belegt.

Abbildung 3-6: Einflussmatrix (Auszug)

Im Anschluss wird die Einflussmatrix in die Konsensmatrix überführt, indem die einzelnen Spaltenwerte horizontal (Aktivsumme) und vertikal (Passivsumme) aufsummiert werden. Die Einflussmatrix erweitert sich so um eine Spalte für die Aktivsummen und eine Zeile für die Passivsummen.

,:j i ji

AS E= ∑

Die Aktivsumme (AS) einer Variablen gibt Auskunft darüber, wie stark sie auf den Rest des Systems wirkt.

,:i i jj

PS E= ∑

Die Passivsumme (PS) hingegen lässt ableiten, wie stark der Rest des Systems auf die einzelne Variable wirkt. Festzuhalten ist außerdem, dass unabhängig vom System die maximale Summenzahl für die Aktivsumme wie auch für die Passivsumme stets das 3-fache der Anzahl an Variablen ist.

( ) ( ) 3Max PS Max AS n= = Diese Maximalsumme resultiert aus der Festlegung des Maßes (0 – 3) und ändert sich entsprechend der Anzahl m an zu vergebenden Einflussstärken, sodass allgemein gilt:

( ) ( )Max PS Max AS m n= = ⋅

3-10



Abbildung 3-7: Konsensmatrix (Auszug)

3.2.4 Einflussstärken

Aus den Aktiv- und Passivsummen der Einflussmatrix lässt sich zur Visualisierung eine Tabelle der Einflussstärken erstellen. In dieser sind links die Passivsummen und rechts die Aktivsummen der einzelnen Variablen durch entsprechende Balken dargestellt. Deutlich treten hier die sich am stärksten auf das System auswirkenden Variablen hervor. Beispiel: Münchner Großviehschlachtung

Abbildung 3-8: Einflussstärken

Variablenliste1 Umfang Großviehschlachtung2 Existenzsicherung Schlachthof3 Existenzsicherung Viehhof4 Weiterexistenz benachb. SH5 Vorteile der Stadtnähe6 Wirtschaftlichkeit GVS f. Stadt7 Wirtschkt GVS für Gewerbe8 Unzufriedenheit Politik9 Einfluss der Großkonzerne10 Beziehung zu den Bauern11 Assoziiertes Gewerbe12 Erfüllung kommunaler Aufgabe13 Fleischqualität14 Tierschutzniveau15 Alternativnutzung des Geländes16 Ressourcen / Entsorgung17 Lebensqualität im Stadtviertel18 Image der Stadt München19 Effizientes Marketing20 Akzeptanz Fleischnahrung

AktivsummePassivsumme29

2125

26

1930

251717

2313

149

1210

1514

2013

1940

174

206

2311

2227

188

204

1312

1616

2013

3-11



Interessant für die Systembetrachtung sind die besonders herausragenden Größen wie beispielsweise die Existenzsicherung oder die Wirtschaftlichkeit der Großviehschlachtung. Diese Variablen unterliegen dem Einfluss des Systems besonders, beeinflussen aber ihrerseits das System ebenfalls stark. Eine geringe Wirkung auf das System hingegen haben die Variablen mit geringen Werten z.B. die Weiterexistenz benachbarter Schlachthöfe oder das Tierschutzniveau. Diese Variablen haben selbst kaum Einfluss auf das restliche System und werden seitens des Systems wenig beeinflusst.

3.2.5 Einflussindizes Q und P

Um die Rolle der einzelnen Variablen hinsichtlich der Wechselwirkung mit dem System bzw. den anderen Variablen konkreter auszudrücken, werden anschließend die Einflussindizes Q (Quotient) und P (Produkt) berechnet:

/i i i

i i i

Q AS PSP AS PS

=

= ⋅

Der Wert Q liefert demnach eine Aussage über den aktiven/reaktiven Charakter einer Variablen, der Wert P stellt eine Kennzahl für den kritischen/puffernden Charakter der Variablen dar. Allgemein lassen sich folgende Tendenzen erkennen: P: groß für AS und PS groß: Starker Einfluss und stark beeinflusst → kritisch P: klein für AS und PS klein: Wenig Einfluss und wenig beeinflusst → puffernd Q: groß für AS groß und PS klein: Starker Einfluss und wenig beeinflusst → aktiv Q: klein für AS klein und PS groß: Wenig Einfluss und stark beeinflusst → reaktiv

Abbildung 3-9: Einflussindizes (Auszug)

Die Wertebereiche von P und Q lassen sich wie folgt ableiten:

( )2( ) 0; ( ) 3( ) 0; ( )

Min P Max P nMin Q Max Q

= =

= = ∞

3-12



3.2.6 Rollenallokation

Um die Rolle der einzelnen Variablen hinsichtlich des Systemverhaltens grafisch darzustellen, eignet sich ein zweidimensionales Koordinatensystem, in welchem einer Achse die Passivsumme und der anderen Achse die Aktivsumme zugeordnet wird. Jede Variable wird durch einen Punkt in diesem System dargestellt, dessen Position mit der Rolle der Variablen korreliert. Linien konstanter Q-Indizes sind Nullpunktsgeraden. Zwei Geraden g1 und g2, welche den Quadranten gerade dritteln, entsprechen den Werten(=Steigungen) Q1 = tan30°=0.577 bzw. Q2 = tan60°=1.73. Diese beiden Zahlenwerte unterteilen die Q-Werte in sinnvolle Bereiche. Linien konstanter P-Indizes sind Hyperbeln. Um auch hier eine sinnvolle Unterteilung, also Drittelung des Bereiches vornehmen zu können, sind zwei Hyperbeln h1 und h2 zu ermitteln mit:

max1

P1h (PS) = 3 PS

( 33%-Linie von Pmax) bzw. max2

P2h (PS) = 3 PS

( 66%-Linie von Pmax)

AktivKritisch

Reakti

vPuffernd

Neutrale Zone zwischen aktiv,

reaktiv, puffernd, kritisch.

1 2

3

4

7

6 5

AS

PS

AktivKritisch

Reakti

vPuffernd

Neutrale Zone zwischen aktiv,

reaktiv, puffernd, kritisch.

1 2

3

4

7

6 5

AS

PS Abbildung 3-10: Rolleninterpretation der Variablen

Den einzelnen Bereichen 1 - 7 können jeweils folgende Interpretationen zugeordnet werden:

1 Effektive Hebel um das System zu stabilisieren

2 Beschleuniger und Katalysator um das Projekt zu starten (mit Vorsicht verwenden)

3 Riskante Positionen (zwischen „Reaktiv“ und „Kritisch“)

4 Nur “Kosmetische” Korrekturen

5 Lethargische Indikatoren, gut für Experimente

6 Unnütze Kontrollen

7 Geringer Hebel mit geringen sekundären Effekten

g1

g2 h2

h1

3-13



Als alternative Darstellung können weiter die Variablen unter Beachtung der Grenzwerte für Q und P als tabellarische Liste dargestellt werden, welche die Variablen anhand ihrer P- bzw. Q- Werte zu Gruppen zusammenfasst.

Aktiv KritischReaktiv PufferndQ-Wert P-Wert

HOCH AKTIV1 Vorteile der Stadtnähe 3,33

AKTIV12 Erfüllung kommunaler Aufgabe 2,084 Weiterexistenz benachb. SH 2,002 Existenzsicherung Schlachthof 1,9015 Alternativnutzung des Geländes 1,67

LEICHT AKTIV20 Akzeptanz Fleischnahrung 1,549 Einfluss der Großkonzerne 1,35

NEUTRAL13 Fleischqualität 1,2911 Assoziiertes Gewerbe 0,9614 Tierschutzniveau 0,8917 Lebensqualität im Stadtviertel 0,8718 Image der Stadt München 0,8619 Effizientes Marketing 0,80

LEICHT REAKTIV6 Wirtschaftlichkeit GVS f. Stadt 0,74

HOCH KRITISCH-

KRITISCH2 Existenzsicherung Schlachthof 840

LEICHT KRITISCH7 Wirschkt GVS für Gewerbe 6001 Umfang Großviehschlachtung 55111 Assoziiertes Gewerbe 506

NEUTRAL3 Existenzsicherung Viehhof 4259 Einfluss der Großkonzerne 39112 Erfüllung kommunaler Aufgabe 35119 Effizientes Marketing 320

SCHWACH PUFFERND6 Wirtschaftlichkeit GVS f. Stadt 26620 Akzeptanz Fleischnahrung 26013 Fleischqualität 25215 Alternativnutzung des Geländes 24017 Lebensqualität im Stadtviertel 195

Abbildung 3-11: Einflussindex

3.3 Beispiel Shoppingcenter „Pasing Arcaden“

3.3.1 Problemstellung

Im Herzen von Pasing soll ein neuer Baukomplex mit ca. 14.000 m² Verkaufsfläche, ca. 3.000 m² für Gastronomie und Dienstleistungen und ca. 10.000 m² Wohnfläche entstehen. Es ist zu erwarten, dass verschiedenste Themen von Bau- und Betrieb dieses Projekts tangiert werden und in wechselseitigem Einfluss wirken.

Abbildung 3-12: „Pasing Arcaden“

3-14



3.3.2 Stakeholderanalyse

Zunächst werden zuvor angeführten Bereiche auf Stakeholder und deren Themen durchsucht. Die Beteiligten Wer ist das alles?

Anwohner, Öffentliche Hand, Mieter, Betreiber, Investoren,…

Die Tätigkeiten Was machen die?

Konsument, Mieter, Genehmigung, Kapital, Steuereinnahmen, …

Der Raum Was passiert wo?

Flächennutzung, Bebauung, Brache, Siedlungsstruktur, …

Das Befinden Wie fühlen die sich dabei?

Sozialstruktur, Lebensqualität, Standortattraktivität, Kaufkraft, …

Die Umweltbeziehung Wie funktioniert der Ressourcenhaushalt?

Naturhaushalt, Rohstoff-, Energie- und Wasserverbrauch, Bodenversiegelung

Die inneren Abläufe Welche Kommunikationswege bestehen?

Infrastruktur, Transport und Zufahrtswege, Telekommunikation, Verkehr und Versorgung

Die innere Ordnung Wie ist das geregelt?

Gemeinwesen, Steuern, Maßnahmen, Verordnungen und Gesetze, Planungsverfahren

Abbildung 3-13: Kriterienmatrix

Aus dieser Kriterienmatrix lassen sich nun potentielle Variablen ermitteln, welche dann in der Bereichsgewichtung innerhalb der Kriterienmatrix auf die tatsächliche Relevanz für das Projekt überprüft werden.

Abbildung 3-14: Mögliche Stakeholderinteressen

Kaufkraftabfluß

Weiterexistenz benachbarter

Einzelhandel

Betreiber

Mieter

Öffentliche Hand

Investoren

Ankermieter Anwohner

Infrastruktur

Image des Standortes

Nutzungsmischung

…

…

Wirtschaftlichkeit Städtebaul. Ziele

3-15



Beispielsweise lassen sich folgenden für das System relevante Variablen ableiten: Wirtschaftskraft des Ortes Wir Image des Ortes Im Öffentlicher Nahverkehr ÖNV Weiterexistenz benachbarter Einzelhandel Exist Kaufkraftabfluss KKA Freizeit u. Kulturangebot FKA Einwohnerzahl EWZ Arbeitsplätze APL Besucher und Gäste B&G Verkehrsbelästigung VBE Zuk. Orientierte Gemeindepolitik ZOG Finanzmittel der Stadt FSt Ausreichend Infrastruktur Infr Erfüllung kommunaler Aufgaben komA Größe Shopping Center Größe Standortvorteile Standv Lebensqualität im Stadtviertel LQ Attraktivität für Betreiber Attr

Nachdem die systemrelevanten Variablen identifiziert sind, werden in der Einfluss- bzw. Konsensmatrix die Beziehungen zwischen den Variablen ,i jE aufgezeigt.

Abbildung 3-15: Konsensmatrix

3-16



Die Aktiv- und Passivsummen ergeben ein erstes Bild der Einflussstärken:

Abbildung 3-16: Einflussstärken

Es werden die P- und Q-Indizes für die einzelnen Variablen gebildet und unter Berücksichtigung der Grenzwerte in die entsprechenden Kategorien eingeordnet.

Abbildung 3-17: Einflussindizes

3-17



Schließlich kann die Lage und damit die Rolle jeder einzelnen Variablen durch ihre Position im Koordinatensystem ermittelt werden.

Abbildung 3-18: Rollenallokation

Die grafische Auftragung erleichtert die sich anschließende (beispielhafte) Interpretation der Ergebnisse: • Als Katalysatoren wirken die Attraktivität des Ortes für die Betreiber und die vorhandene

Infrastruktur. Diese beiden Komponenten stehen natürlich in starker Wechselwirkung und bedingen sich gegenseitig.

• Als lethargische Indikator sind die Elemente Image des Ortes und Verkehrsbelästigung

einzustufen. Denkbar wäre hier z.B. ein In-Kaufnehmen der vermehrten Verkehrsbelästigung bei der Bevölkerung, wenn zugleich durch die Ansiedlung des Shoppingcenters auch das Image des Ortes steigt.

• Der Kaufkraftabfluss und die Wirtschaftskraft des Ortes werden bei diesem Projekt markante

Einflussfaktoren darstellen. Die letztendliche Entscheidung über den Anstoß oder die Verwerfung des Projektes wird in Kombination mit den katalytischen und lethargischen Komponenten des Projektes abgewogen.

• Neutral wirken sich Einflüsse wie die Einwohnerzahl des Ortes, die Zukunftsorientierte

Gemeindepolitik, Besucher und Gäste usw. auf das Projekt aus.

3-18



3.4 Aufgabe zur Vernetzungsanalyse

Im Folgenden soll als Aufgabe die Sanierung eines Geschäftshauses in Innenstadtlage unter laufendem Betrieb untersucht werden. Es ist dabei keine Planung vorzunehmen, sondern lediglich mit Hilfe der Vernetzungsanalyse die Brennpunkte des Vorhabens ermittelt werden. Einer sich dann anschließenden Planung des Umbaus stehen damit die Gewichte und zentralen Elemente bereits zur Verfügung, so dass sich eine unnötige Anzahl von Iteration vermeiden lassen.

3.4.1 Sanierungspakete

Der Umbau soll in kürzester Bauzeit unter laufendem Betrieb abgewickelt werden. Für die Ausführung sind dazu die Wechselwirkungen folgender Arbeitspakete auf Systemrelevanz zu untersuchen:

• 3. und 4.OG Mediamarkt • 2. OG Einzelhandel und Arztpraxis • 1. OG neu große Pizzeria (bisher: Quelle-Shop) • EG Einzelhandel • TG Tiefgarage mit eigener Zufahrt • U-Bahnhof (nur Betrieb, kein Umbau) • Fassade • Foyer 2. OG • Foyer EG • Treppenturm 1 • Treppenturm 2

3.4.2 Skizzen des Vorhabens

Um einen Eindruck von der Örtlichkeit und dem betreffenden Gebäude zu bekommen, sind die nachstehenden Skizzen heran zu ziehen.

Abbildung 3-19: Vertikalschnitt

3-19



Abbildung 3-20: Grundriss Tiefgarage

Abbildung 3-21: Grundriss Erdgeschoss

Abbildung 3-22: Grundriss 1. Obergeschoss

3-20



Abbildung 3-23: Grundriss 2. Obergeschoss

Abbildung 3-24: Grundriss 3. und 4. Obergeschoss

3.4.3 Aspekte der Analyse

Die vorzunehmende Analyse soll im Wesentlichen die Auswirkungen des Umbaus einzelner Bereiche auf andere Bereiche und die Auswirkung des Betriebs auf den Umbau bewerten. Insbesondere soll betrachtet werden: Einflüsse auf den Betrieb

• Ver-/Entsorgung des Betriebes • Zum Betrieb nötige Kundenströme

Einflüsse aus dem Umbau

• Sortiment Leeren/Liefern • Ver-/Entsorgung Bau • Sperrung von Kundenströmen • Lärm/Erschütterung/Optik

3-21



Abbildungsverzeichnis: Abbildung 3-1: Relevanz von vernetztem Denken ........................................................................................ 3-3 Abbildung 3-2: Handlungsspielraum ............................................................................................................. 3-4 Abbildung 3-3: Beispielhaftes Projekt: Shoppingcenter Pasing Arcaden...................................................... 3-4 Abbildung 3-4: Beispielhaftes Ergebnis einer Stakeholderanalyse............................................................... 3-5 Abbildung 3-5: Kriterienmatrix (Auszug)........................................................................................................ 3-8 Abbildung 3-6: Einflussmatrix (Auszug) ........................................................................................................ 3-9 Abbildung 3-7: Konsensmatrix (Auszug) ..................................................................................................... 3-10 Abbildung 3-8: Einflussstärken.................................................................................................................... 3-10 Abbildung 3-9: Einflussindizes (Auszug) ..................................................................................................... 3-11 Abbildung 3-10: Rolleninterpretation der Variablen .................................................................................... 3-12 Abbildung 3-11: Einflussindex ..................................................................................................................... 3-13 Abbildung 3-12: „Pasing Arcaden“ .............................................................................................................. 3-13 Abbildung 3-13: Kriterienmatrix ................................................................................................................... 3-14 Abbildung 3-14: Mögliche Stakeholderinteressen....................................................................................... 3-14 Abbildung 3-15: Konsensmatrix .................................................................................................................. 3-15 Abbildung 3-16: Einflussstärken.................................................................................................................. 3-16 Abbildung 3-17: Einflussindizes .................................................................................................................. 3-16 Abbildung 3-18: Rollenallokation................................................................................................................. 3-17 Abbildung 3-19: Vertikalschnitt .................................................................................................................... 3-18 Abbildung 3-20: Grundriss Tiefgarage ........................................................................................................ 3-19 Abbildung 3-21: Grundriss Erdgeschoss..................................................................................................... 3-19 Abbildung 3-22: Grundriss 1. Obergeschoss .............................................................................................. 3-19 Abbildung 3-23: Grundriss 2. Obergeschoss .............................................................................................. 3-20 Abbildung 3-24: Grundriss 3. und 4. Obergeschoss ................................................................................... 3-20

4-1

Ausgabe 12/2009 Optimierung in komplexen Zusammenhängen


Kapitel 4: Optimierung in komplexen Zusammenhängen Inhaltsverzeichnis

4 Optimierung in komplexen Zusammenhängen 4-2

4.1 Formulierung 4-2 4.1.1 Systemvariablen 4-2 4.1.2 Wechselwirkungen 4-2 4.1.3 Zielfunktion 4-3 4.1.4 Randbedingungen 4-4

4.2 Optimierung durch Differentiation 4-6 4.2.1 Differentialverfahren eine Variable 4-6 4.2.2 Differentialverfahren mehrerer Variablen 4-6 4.2.3 Beispiel: Die Klassische Losgrößenformel 4-7

4.3 Beispielrechnungen 4-12 4.3.1 Beispiel Verkehrsdichte 4-12 4.3.2 Marktgleichgewicht 4-14 4.3.3 Principal Agent - Hidden Action 4-16 4.3.4 Transaktionskostentheorie 4-20

4-2



4 Optimierung in komplexen Zusammenhängen

4.1 Formulierung

Ein Projekt besteht aus vielen, sehr unterschiedlichen Komponenten. Beispielsweise beeinflussen ein Projekt die Aspekte Ressourcen, Budget, Transport, Umwelt, Personal, Verträge, Strategie und die Wirtschaft. Die folgenden Überlegungen dienen einer sinnvollen mathematischen Formulierung im Hinblick auf die Optimierung eines Projektes (System) hinsichtlich vorliegender Präferenzen.

Abb. 4-1. Formulierung eines Systems zur Optimierung

4.1.1 Systemvariablen

Die Einzelentscheidungen (x, y, z) sind „Systemvariablen”. Diese Systemvariablen sind die beeinflussbaren „Stellschrauben“ des Projekts.

ZielfunktionZielfunktion

Abb. 4-2. Systemvariablen

Beispiele für Systemvariablen sind etwa ein angesetzter Verkaufspreis einer Wohneinheit, eine in der Planung einer Autobahn angesetzte Anzahl der Fahrspuren, die Zahl der Bushalteplätze in einem Zentralen Busbahnhof, die Anzahl der eingesetzten Erdbaubetriebe auf einer Kanalbaustelle, die Wahl der Zuschläge auf die Herstellkosten, die dann zum Einheitspreis führen, aber auch eine prinzipielle Entscheidung, ob ein Projekt realisiert werden soll oder nicht. Solche Systemvariablen können kontinuierlich oder diskret sein, begrenzt oder unendlich oder reduziert auf binäre Entscheidungswerte.

4.1.2 Wechselwirkungen

Über die Systemvariablen hinaus sind deren gegenseitige Abhängigkeiten und Wechselwirkungen zu modellieren. Manche der einzelnen Systemvariablen stehen in engem Zusammenhang miteinander bis zur Ersetzbarkeit, etwa der Preis einer Bauleistung und der Preis der Leistung mit Mehrwertsteuer, andere hängen weniger oder gar nicht zusammen, etwa die Variablen Zahl der Bagger und der Zeitpunkt eines Projektstarts. Weiter gibt es Variablen, die sich möglicherweise gegenseitig ausschließen (Projektstart A im Widerspruch zu Projektstart B). Schließlich gibt es Variablen, die sich gegenseitig verstärken wie die Zahl der eingesetzten Lader im Zusammenhang

4-3



mit der Leistung der Erdbaubetriebe oder Variablen, die sich gegenseitig reduzieren, wie etwa der Einsatz von begrenzt verfügbaren Ressourcen. Solche Zusammenhänge lassen sich dann stets als Funktionen der Variablen ausdrücken:

vv f (x, y,z,...)=

ZielfunktionZielfunktion

Abb. 4-3. Wechselwirkungen

4.1.3 Zielfunktion

Auf dieser Basis ist schließlich zur Optimierung eine einzige einheitliche Zielfunktion zu formulieren:

G(x, y,z,...) Max / Min Wichtig ist, den Einfluss aller Systemvariablen „auf einen Nenner“ zu bringen, d.h. sich auf eine einzige Größe festzulegen, die optimiert werden soll und die Auswirkung jeder einzelnen Variablen auf diese Größe mathematisch zu beschreiben. Beispiele für zu optimierende Ziele können der Unternehmensgewinn, die Bauzeit, die Baukosten oder auch die Durchflußrate einer Straße als Infrastrukturmaßnahme sein. Dabei sind zunächst die Präferenzen zu klären, als was eigentlich gewünscht wird sowie im Anschluss daran, welche Systemvariablen in welchem Maße positiv oder negativ wirken. Dabei sind einige Beiträge wie beispielsweise ein Preis, Mietkosten eines Geräts oder die Dauer einer Aktivität und deren Konsequenzen auf die Zielfunktion direkt berechenbar. Andere Einflüsse sind ungleich schwieriger zu erfassen und zu bewerten. Beispielsweise ist bei der Planung einer Infrastrukturmaßnahme eine typische Variable die Zahl der Fahrsuren, die sich zusammen mit anderen Parametern auf die Leistungsfähigkeit der Straße auswirkt. Zum Optimieren stellt sich daher die Frage, welches Maß an Verkehrsstau noch tolerabel ist. Derartige Präferenzen müssen mit geeigneter Parametrisierung in einen konkreten Einfluss auf die Zielfunktion umgerechnet werden, etwa durch einen Berechnung virtueller „Kosten“, etwa aus volkswirtschaftlichem Schaden. In gleicher Weise wären etwa die Konsequenzen aus Terminüberschreitungen eines Bauvorhabens zu bewerten. Eine vertraglich festgelegte Pönale würde einen direkten Kosteneinfluss berechenbar machen, darüber hinausgehende Konsequenzen, die unter Umständen erheblich wichtiger sind, wie Schadensersatzforderungen, die Gefährdung von Folgeaufträgen oder der Ruf des Unternehmens müssen in ähnlicher Weise als virtuelle Kosten formuliert werden.

4-4



Zielfunktion

Abb. 4-4. Zielfunktion

4.1.4 Randbedingungen

In Abwandlung der Wechselwirkungen müssen die Randbedingungen der Optimierung definiert werden. Diese könnten beispielsweise die begrenzte Verfügbarkeit von Ressourcen (Personal) oder die Leistung eines Gerätes (Ankerbohrgerät) sein. Auch technische (Tragfähigkeit einer Konstruktion) oder rechtliche Grenzen (Baurecht auf einem Grundstück) können Randbedingungen sein. Die einfachste Form begrenzt einzelne Systemvariablen:

Zielfunktion

Abb. 4-5. Randbedingung

Beispiel: Durch eine begrenzte sinnvolle Zahl von Ladebetrieben in einer Baugrube kann die Funktion der Leistung komplizierter werden. Der Baufortschritt je Zeiteinheit steigt etwa linear mit der Anzahl der Lader. Dann könnte ab einer bestimmten Zahl von Ladern ein Knick entsteht und jeder zusätzliche Lader keinen weiteren Baufortschritt nach sich ziehen, da sie sich gegenseitig behindern.

Baufortschritt

Zahl der Lader

Knick , aber denkbar

Abb. 4-6. Baufortschritt in Abhängigkeit der Zahl der Lader

Schwieriger wird es, wenn ein Bezug der Randbedingung auf Kombination von mehreren Systemvariablen vorliegt. Ein Beispiel hierfür wäre der Platzbedarf zweier Betriebe, z.B. Aushub und Verankerung in einer Baugrube. Auch die Kapazitätsbindung zweier Aufträge stellt solch eine Kombination von Randbedingungen auf mehrere Systemvariablen dar.

4-5



Zielfunktion

Abb. 4-7. Systemvariablen

Schließlich sind Randbedingungen vorstellbar, die Begrenzungen für alle Systemvariablen in unterschiedlicher Art darstellen, wie beispielsweise ein übergreifend verfügbares Budget.

Zielfunktion

Abb. 4-8. Begrenzung für alle Variablen

Allen Randbedingungen k ist gemeinsam, dass sie sich stets in der Form

kF (x, y,z,...) 0≤

schreiben lassen. Weiter kann die Formulierung der Wechselwirkung ohne weiteres in die Darstellung der Randbedingungen integriert werden. Damit kann die gesamte Systemstruktur entsprechend den vorangegangenen Überlegungen wie folgt dargestellt werden:

Zielfunktion RB1 RB2

G(x,y,z) = max/min F1(x,y,z,…) <= 0 …

x y z

Zielfunktion RB1 RB2

G(x,y,z) = max/minG(x,y,z) = max/min F1(x,y,z,…) <= 0 …

x y z

Abb. 4-9. Formulierung Zielfunktion und Randbedingungen

4-6



4.2 Optimierung durch Differentiation

4.2.1 Differentialverfahren eine Variable

Ist die Zielfunktion und alle Randbedingungen eine differenzierbare Funktion der Systemvariablen, so steht zur Bestimmung der Optima die Differentialrechnung zur Verfügung. Zunächst sei die Zielfunktion nur von einer Variablen abhängig, dann sind die Extrempunkte bekanntlich durch Nullsetzen der ersten Ableitung zu erhalten. Die Frage, ob ein Minimum oder Maximum vorliegt, läßt sich durch Berechnen der zweiten Ableitung an diesem Punkt bestimmen. Ist sie kleiner als null, so folgen eine negative Krümmung, also eine konkave Funktion und damit ein Maximum. Entsprechend beschreibt eine positive Krümmung ein Minimum (konvexe Funktion).

x 'df (x) d²f (x)f (x) Max! 0 0

dx dx²= = <

f(x)

x

Maximum!Minimum!

konkav f’’ < 0 konvex f’’ > 0 Abb. 4-10. Direkte Extrema

4.2.2 Differentialverfahren mehrerer Variablen

Hängt die Zielfunktion von mehreren Variablen ab ist prinzipiell gleich zu verfahren. Durch Gleichsetzung des Gradienten der Funktion mit dem Nullvektor wird das Extremum bestimmt durch Untersuchung der Hessematrix auf Definität kann festgestellt werden, ob Minimum, Maximum oder - im Mehrdimensionalen möglich - eine Kombination (Sattelfläche) daraus vorliegt.

i

ii i

fi, j

i j

f (x ) Max!fdf x 0x²fH pos / neg _ definit

x x

=∂

= ∂ =∂∂

=∂ ∂

∑

4-7



f(x,y,..)

x

Maximum! Sattelfläche!

Abb. 4-11. Direkte Extrema

Exkurs zur Hessematrix:

Die Frage nach der Art des Extremwerts, also ob ein Minimum oder ein Maximum vorliegt, wird durch die zweite Ableitung geprüft. Bei n Variablen existieren n² zweite Nebenbedingungen, nämlich aller gemischter Ableitungen. Diese werden in einer quadratischen Matrix, der Hesse-Matrix, zusammengefasst. Ein Maximum liegt vor, wenn die Hesse-Matrix negativ definit ist, ein Minimum, wenn sie positiv definit ist und keines von beiden, wenn sie indefinit ist. Zur Überprüfung wird die Hessematrix z.B. diagonalisiert. Sind dann die Diagonalelemente alle positiv, alle negativ oder gemischt, so ist die Matrix positiv bzw. negativ definit oder indefinit. Alternativ ist eine Matrix positiv/negativ definit, wenn die Determinanten aller Hauptuntermatrizen positiv bzw. negativ sind.

4.2.3 Beispiel: Die Klassische Losgrößenformel

Die klassische Losgrößenformel optimiert eine Einkaufsmenge über einen kontinuierlichen Bedarf, hier am Beispiel einer Malerfirma illustriert. Pro Jahr werden m = 500 Eimer einer bestimmten Spachtelmasse gleichmäßig verbraucht. Der Großhändler ist 200 km entfernt, die Fahrt kostet also bei 0.50 €/km E=100 €. Wegen dieser Kosten soll so selten wie möglich eingekauft werden. Andererseits fallen Lagerkosten an, bzw. ist gelagerte Kapital gebunden, s = 20€/Eimer, es könnte z.B. mit p = 4 % verzinst werden. Das würde eher dafür sprechen, öfters einzukaufen. Das Optimum (Maximum) x der Einkaufsmenge pro Fahrt läßt sich durch Differenzieren ermitteln. Die jährlichen Kosten sind

m p s xK E m sx 100 2

⋅= ⋅ + ⋅ + ⋅

(Einkaufskosten - Farbkosten- Zinskosten) Dabei wurden berücksichtigt: Die Einkaufshäufigkeit m/ x , und der mittlere Lagerbestand bei linearem Verbrauch x / 2 , sowie dessen Zinsverluste p s /100⋅ Differenziert ergibt sich

p s E m 200 E mK ' 0 x 354200 x² p s

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= − = =

⋅

4-8



Die zweite Ableitung ergibt

E mK '' 02 x³

⋅= >

⋅

also ein Minimum, wie erwartet. Dieses Ergebnis stellt die klassische Bestellmengenformel (Losgrößenformel) dar, der ein linearer Verbrauch zugrunde liegt:

Abb. 4-12. Beispiel Losgrößenformel

4.2.3.1 Extrema unter einfachen Randbedingungen

Einfache Randbedingungen werden durch Operatoren wie MIN(), bzw. MAX() eingeführt. Das Fahrzeug fasst nur 400 Eimer, oder das Lagervermögen ist auf 200 Eimer beschränkt, so ist das optimale Ergebnis eben MIN(790, 400, 200) und folgt zu x = 200. Unter Umständen kann durch eine Randbedingung auch eine Variable eliminiert werden: Ist eine Zielfunktion ( )f x, y gegeben, deren Optimum auf einer Linie ( )g x, y 0= gefunden

werden soll, so ist durch die umgeformte Nebenbedingung y g '(x)= eine Variable aus der Zielfunktion zu eliminieren.

4.2.3.2 Lagrangemultiplikatoren

Sind komplexere Probleme mit nichtlinearen Randbedingungen zu behandeln, so können diese mit Lagrangemultiplikatoren formuliert werden: Ist eine differenzierbare Zielfunktion ( )iZ Z ...x ...= der n Variablen ix , sowie eine Anzahl k

differenzierbarer Randbedingungen ( )j ig ...x ... vorgegeben, so kann eine modifizierte

Zielfunktion angegeben werden, die alle Randbedingungen beinhaltet:

( ) ( )i j j ij

Z Z ...x ... g ...x ...′ = − λ∑

Die Parameter jλ nennt man Lagrangemultiplikatoren. Jetzt kann die neue Zielfunktion sowohl

nach allen jλ als auch nach allen ix partiell differenziert werden. Damit ergeben sich insgesamt

1 Jahr

E: 100

m

4-9



n + k Gleichungen für die Unbekannten jλ und ix . Dieses Gleichungssystem ist eindeutig

bestimmt und kann im Prinzip gelöst werden.

++--

oder1 2f (x ,x ) min/ max=1 2g(x ,x ) 0=

1 2f (x ,x ) 4=

1 2f (x ,x ) 3=

1 2f (x ,x ) 2=

1 2f (x ,x ) 1=

grad g

grad f

Abb. 4-13. Lagrange-Multiplikatoren

Eine Zielfunktion sei z.B. durch ( )f x, y gegeben und durch ihre Höhenlinien dargestellt. Der

Gradient steht dann senkrecht auf den Höhenlinien. Die Randbedingung ( )g x, y 0= wird

ebenfalls durch ihre einzige Höhenlinie repräsentiert. Das Extremum von ( )f x, y ist dann

charakterisiert durch die parallelen Gradienten von ( )f x, y und ( )g x, y . Damit gilt: grad f grad g

0a agrad f grad g= λ

0a agrad f grad g 0− λ =

[ ]0 agrad f g 0− λ =

0Z' : f g= − λ

4.2.3.3 Beispiel: Losgrößenformel unter Nebenbedingungen

In einer Firma werden diverse Produkte unterschiedlicher Preise eingekauft. Zusätzlich wird das insgesamt gebundene Kapital C beschränkt. Das hat selbstverständlich nur Bedeutung, wenn die Einschränkung so eklatant ist, daß die sonst optimalen Bestellmengen nicht realisiert werden können. Dann sind diese so zu reduzieren, daß möglichst nur Positionen vermindert werden, die zum einen erheblich Kapital binden, und zum anderen nicht sehr empfindlich auf Änderungen der Bestellmenge reagieren (z.B. geringe Einkaufskosten). Mit der Formulierung der Lagrangemultiplikatoren lässt sich diese Fragestellung einfach lösen.

4-10



Die Zielfunktion lautet zunächst

j j j jj j j

j j

m p s xK E m s

x 100 2⎛ ⎞⋅

= ⋅ + ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

Die Nebenbedingung kann formuliert werden als

j j

j

s xC

2= ∑

Dann sieht die modifizierte Zielfunktion aus, wie folgt:

j j j jj j j j j

j jj

m p s x 1K ' E m s C s xx 100 2 2

⎛ ⎞⋅ ⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ + ⋅ − λ ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

∑ ∑

Die ersten partiellen Ableitungen nach den Koordinaten ergeben:

j j jj j2

j j

m p sdK ' 1E sdx x 200 2

⋅= − ⋅ + + λ

Damit liegt das Extremum bei:

( )j j j j jopt

j2j j j j

2 E m p 200 E mx

s x 100 p 100 s⋅ ⋅ ⋅ ⋅

λ = − + =+ ⋅ λ ⋅

Die Hessematrix für zwei Dimensionen lautet:

111

21

11

1 21

200' ssp

xmE

dxdK λ+

⋅+⋅−= 3

1

11

11

2'²xmE

xdxKd

⋅= 0'²

21

=xdxKd

222

22

22

2 21

200' ssp

xmE

dxdK λ+

⋅+⋅−= 3

2

22

22

2'²xmE

xdxKd

⋅= 0'²

12

=xdx

Kd

Kriterium Determinante der Hauptuntermatrizen > = 0:

1 1 131

2 2 232

1 2

2E m s0x 2

2E m sH 0x 2

s s 02 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 131

2E m 0x

≥

1 1 2 23 31 2

2E m 2E m 0 0 0x x

⋅ − ⋅ ≥

2 21 1 2 2 2 1

3 31 2

E m s E m s 02x 2x

− − ≥

4-11



Anmerkung: Obwohl durch den Lagrangeparameter eine dreidimensionale Hessematrix vorliegt ist zur Bestimmung der Krümmung dieser nicht einzubeziehen, dass bezüglich dieses keine Aussage „Min/Max“ notwendig oder zulässig ist. Die Kriterien sind stets erfüllt, solange: 1 2x 0, x 0≥ ≥ , also ist ein Kostenminimum zu erhalten. Durch Auflösung nach jx können die optimalen Bestellmengen jx erhalten werden durch

( )j jopt

jj j

200 E mx

p 100 s⋅ ⋅

=+ ⋅λ ⋅

Der zusätzliche Term 100 λ kann als eine Art fiktiver Zins verstanden werden, der das begrenzt verfügbare Kapital belastet. Einsetzen in die Nebenbedingung ergibt:

j j j

j j

200 E m s1C2 p 100

⋅ ⋅ ⋅=

+ ⋅λ∑

Allerdings ist diese Formel nicht nach λ auflösbar und damit nur numerisch lösbar. Im Sonderfall „alle jp identisch“ wäre eine Auflösung möglich. Da aber in diesem Wert nicht nur

reelle Zinsen, sondern auch Lagerkosten oder Risikozuschläge verborgen sind, ist dieser Ausgang nicht sehr wahrscheinlich. Dennoch sei er hier kurz berechnet:

2

j j j2j

1 p50 E m s100 C 100

⎛ ⎞λ = ⋅ ⋅ ⋅ −⎜ ⎟⋅ ⎝ ⎠

∑

Ein konkretes Beispiel wurde hier numerisch gelöst für C= 7500€: Prod. Bestell- Jahres- Stück- Lager- Optimale Optimale Red.

kosten bedarf preis zins Bestellm. Bestellm.Ej mj sj pj xj bei λ=0 xj bei λ=1.03

1 120,00 € 10000 3,00 € 18% 2110 810 2,602 40,00 € 30000 2,00 € 12% 3160 1020 3,103 100,00 € 100000 1,00 € 10% 14140 4210 3,364 40,00 € 70000 5,00 € 14% 2830 980 2,895 50,00 € 20000 1,00 € 20% 3160 1280 2,47

Abb. 4-14. Beispiel für Losgrößenformel

Hierbei ergibt ein Näherungsverfahren einen Faktor λ =1.03, welcher das Kapital von € 7500.- gerade bindet. Dies bedeutet, daß ein zusätzlicher Lagerzinssatz von 103 % erst die Bestellmengen auf ein Maß drückt, welches der Kapitalbindung entspricht.

4-12



4.3 Beispielrechnungen

4.3.1 Beispiel Verkehrsdichte

Ein völlig anderes Beispiel zur Optimierung durch Differentiation ist die Berechnung der planmäßigen Geschwindigkeit auf einer einspurigen Straße zur Optimierung (Maximierung) des Durchflusses. Die zu optimierende Durchflußrate ist R v /s= , wobei v die Geschwindigkeit, und s der aktuelle mittlere Abstand der Fahrzeuge ist. Einfacher zu optimieren ist der mittlere Zeitabstand

R v / s= T s / v 1/ R= = Als Sicherheitsabstand können verschiedene Verfahren diskutiert werden. Der empfohlene Abstand „halber Tacho“ entspricht einem Wert von [ ]s 1.8 s v= ⋅ Eine vollständigere Berechnung sollte folgendes beinhalten:

• Fahrzeuglänge s0 (z.B. 5m)

• Reaktionszeit s1 = 1[s] · v (z.B. 1 sek.)

• Sicherheitsabstand s2 (z.B. 2m)

• Bremsweg:s3 = v² / 2 · a, wobei a die Verzögerung (etwa 2.5m/s2)

Gegebenenfalls kann der Bremsweg des vorausfahrenden Fahrzeuges gegengerechnet werden, dann ist die Bremswegdifferenz zu betrachten. Dabei muß allerdings beachtet werden, dass Ungewissheit darüber besteht, ob die Bremse des Vordermannes wirklich schlechter ist als die eigene und nicht umgekehrt. Die Zusammenfassung ergibt für den empfohlenen Abstand:

s 1.8 vT 1.8v v

⋅= = =

und für eine einigermaßen vollständige Berechnung: 2 2

0 2 Rs s t v v vTv v v v 2 a v 2 a

⋅= + + + −

′⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Die Ableitung dieser Terme lautet:

0 22

s sdT 1 1 1dv v 2 a a

+ ⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟′⎝ ⎠

Aufgelöst folgt damit:

( )0 22 s sv 1 1

a a

⋅ +=

−′

Für Beispielswerte 2

R 0 2t 1s, s 5m, s 2m, a 2.5m / s , a′= = = = = ∞ folgt damit eine optimale Geschwindigkeit von 5,9 m/s, entsprechend etwa lediglich 21 km/h. Das entspricht der Sicherheit der einkalkulierten Vollbremsung. Nimmt man an, daß es nur um das vorausfahrende

4-13



Fahrzeug geht, und dieses nur doppelt so gute Bremsen hat (5m/s²) so ergibt sich eine Geschwindigkeit von 8,3 m/s , d.h. etwa 30 km/h. Erst unter der Annahme , dass alle Bremsen sich nur um 20 % so folgt erst ein optimales Tempo von 16,7 m/s, entsprechend 60 km/h. In der folgenden Abbildung sind diese Zusammenhänge dargestellt. Interessant ist, daß die Empfehlung „Halber Tacho“ sehr optimistische Kapazitäten liefert.

Optimaler Verkehrsfluß

0,00000

0,10000

0,20000

0,30000

0,40000

0,50000

0,60000

0,00

7,20

14,4

0

21,6

0

28,8

0

36,0

0

43,2

0

50,4

0

57,6

0

64,8

0

72,0

0

79,2

0

86,4

0

93,6

0

100,

80

108,

00

115,

20

122,

40

R(v/2)

R(si+100%)

R(Si+50%)

R(Si+20%)

Abb. 4-15. Optimaler Verkehrsfluß

Über Lagrangeparameter lässt sich erproben, welche Konsequenzen die Zielgeschwindigkeit von 100 km/h (= 27,8m/s) hat. Dann lautet die neue Zielfunktion:

( )0 2R

s s v 1 1T t v 27,8m /sv 2 a a+ ⎛ ⎞= + + − − λ ⋅ −⎜ ⎟′⎝ ⎠

Die Ableitung nach v ergibt sich dann zu

0 22

s sdT 1 1 1dv v 2 a a

+ ⎛ ⎞= − + − − λ⎜ ⎟′⎝ ⎠

Das Optimierungsergebnis entsprechend zu

( )0 22 s sv 1 1 2

a a

⋅ +=

− − λ′

Auch hier kann dem Multiplikator λ eine Bedeutung zugewiesen werden. Ganz offensichtlich dient er der mutwilligen Erhöhung der eigenen Verzögerungswerte, bzw. der Verschlechterung derer des vorausfahrenden Fahrzeugs.

4-14



Die zweite nötige Gleichung ergibt sich aus der Ableitung der Zielfunktion nach λ und ergibt wieder die Nebenbedingung. Mit dieser wird v = 27,8m/s eingesetzt und ergibt ein λ:

0 22

s s 1 1 1 0.0159v 2 a a+ ⎛ ⎞λ = − + − =⎜ ⎟′⎝ ⎠

Das bedeutet, die Verzögerung des betrachteten Fahrzeugs sollte dafür statt 4m/s², mit

bisher neu

1 12a a

− λ =

besser 4.6m/s² betragen. Das vorausfahrende Fahrzeug bremst mit 5m/s². Das bedeutet aber eine erzwungene Bremssynchronität von besser als 8 %.

4.3.2 Marktgleichgewicht

In der Kybernetik der Planungsprozesse wurde u. a. das Gleichgewicht des freien Marktes etwa anhand des Beispiels „Wohnungsmarkt in einer Großstadt“ diskutiert:

Preis/Einheit

Grenzerlöse

Grenzkosten

Durchschnitts-kosten

Wettbewerb

Output/Menge

Preis/Einheit

Angebot

Nachfrage

OG

PG

Output/Menge

PG

OG Abb. 4-16. Preisbildung bei vollständigem Wettbewerb

Mit zunehmend verfügbarer Menge wird nur zu einem geringeren Preis nachgefragt. Bei knapper Menge wird zu einem höheren Preis nachgefragt. Mit steigenden Marktpreisen bieten Produzenten höhere Stückzahlen an. Bei sinkenden Preisen wird das Angebot ebenfalls zurückgenommen, da die Attraktivität des Geschäfts nachlässt. Im Gleichgewicht d.h. nach hinreichender Anpassungszeit wird exakt die Menge OG auf dem Markt angeboten, die auch zum Preis PG abgenommen wird.

In diesem Zusammenhang wurde auch die Wechselwirkung zwischen Durchschnittskosten und Grenzkosten betrachtet und ohne Beweis festgestellt, dass die Grenzkosten die Durchschnittskosten in deren Minimum schneiden. Mittels Optimierung differenzierbarer Funktionen kann der dafür nötige Nachweis nachgeholt werden:

4-15



Output/Menge

Kosten/Erlös

Kostenfunktion

QM

PM

Erlösfunktion

Fixkosten

Konkaver Bereich: Gewinnzone

MaximalgewinnBreak Even Point

Kapazitätsgrenze

Grenzkostenkurve

Grenzerlöskurve

Durchschnittskosten

Abb. 4-17. Wettbewerbs- und Angebotspreise

Die Produktionskosten in Abhängigkeit des Output n sind

K f (n)= Dann sind die Grenzkosten G definiert als die Kosten der letzten produzierten Einheit, also der Ableitung:

G f (n)n∂

=∂

und die Durchschnittskosten entsprechend zu beziehen auf die produzierte Stückzahl:

f (n)Dn

=

Damit gilt allgemein, dass die Grenzkosten die Durchschnittskosten in deren Minimum schneiden: Das Minimum der Durchschnittskosten berechnet sich zu:

D(n) f (n) 1 1 1 10 f (n) f (n) f (n) f (n)n n n n n n² n n n

∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= = − = −⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

Damit folgt

( )10 G(n) D(n)n

= −

und somit die Behauptung.

4-16



4.3.3 Principal Agent - Hidden Action

Nach der Prinzipal - Agent -Theorie müssen Verträge so gestaltet sein, dass die Optimierung des Gesamtnutzens auf beide Vertragspartner verteilt wird. Beispiele hierfür sind vereinbarte Bodengutachten um die Informationsunsicherheit aus dem Boden zu vermeiden, Abrechnungen die per Volumen vereinbart werden, Prämien bzw. Pönalen bei Einhaltung bzw. Verzug von Terminen oder auch die Vereinbarung einer Ergebnisbeteiligung.

asymmetrische Informationen

leistet

beauftragt

NutzenmaximierungNutzenmaximierung

PrinzipalAuftraggeber

AgentAuftragnehmer

asymmetrische Informationen

leistet

beauftragt

NutzenmaximierungNutzenmaximierung

PrinzipalAuftraggeber

AgentAuftragnehmer

Abb. 4-18. Principal-Agent-Theorie

Ein anreizkompatibler Vertrag bietet dem Auftragnehmer einen Nutzen, bzw. einen Anteil am möglichen Gewinn. Die damit verbunden Kosten erhöhen die Gesamtkosten des Projekts gegenüber einer symmetrischen optimalen „First Best“ -Lösung. Die zusätzlichen „Agency-Kosten“ führen nur zu einer „Second Best“ Lösung.

4.3.3.1 Rechnung LEN - Modell

Eine mathematische Modellierung dieses Sachverhaltes ist das so genannte LEN - Modell. Es basiert auf folgenden Entscheidungsvariablen und Parametern: x: Ergebnis, Output ρ: absoluter Risikoaversionskoeffizient des Prinzipals G(x): Nutzenfunktion des Prinzipals a: Aktion des Agenten (Arbeitseinsatz, Entscheidung) θ: unsicherer Umweltzustand s(x): Entlohnung an den Agenten in Abhängigkeit von x s0: fixer Entlohnungsbestandteil s1: variabler Entlohnungsanteil r: absoluter Risikoaversionskoeffizient des Agenten H(s, a): Nutzenfunktion des Agenten V(a): Disnutzen des Agenten (Arbeitsleid) H0: Reservationsnutzen des Agenten (Mindestnutzen)

Folgende Annahmen liegen dem LEN-Modell zu Grunde: Lineares Entlohnungsschema (Buchstabe L)

0 1s(x) s s x= + mit x x(a, )= ϑ

4-17



s0

x

s(x)

s1 s0 = Fixum

s1= Anteil am Ergebnis

Abb. 4-19. Lineares Entlohnungsschema

Exponentielle Nutzenfunktionen (Buchstabe E)

Prinzipal: (x s(x))G(x) e−ρ −= − Agent (Mitarbeiter): r(s V(a))H(s,a) e− −= −

G(x)H(s) H

x,s Abb. 4-20. Exponentielle Nutzenfunktion

Normalverteilung der Umweltzustände ϑ (Buchstabe N) und additive Produktionsfunktion

x x(a, ) a= ϑ = + ϑ wobei ϑ normal verteilt ist gemäß N (0,σ²) Rechentechnische Vereinfachungen

Risikoneutraler Principal: G(x) x s(x)= − Disnutzen („Arbeitsleid“) des Agenten: 2V(a) a=

V(a) Disnutzen des Agenten

a Abb. 4-21. Disnutzen des Agenten

Die exponentielle Nutzenfunktion des Agenten impliziert mit dem Arbeitsaufwand zunehmende Unzufriedenheit des Agenten.

NB: Taylorentwicklung px1 e x−− ≈ für kleine Exponenten, Konstanten entfallen

Sicherheitsäquivalent

4-18



Struktur des LEN - Modells Zielfunktion des Prinzipal: Die Zielfunktion beschreibt die Suche nach dem optimalen

Arbeitsvertrag für den Agenten. Dabei ist der Erwartungswert E des Gewinns zu maximieren.

0 1

0 1 1

1 0 1

1 0

MaxE(G) E(x s(x))E(x (s s x))E(a s s a s )E(a(1 s ) s (s 1) )a (1 s ) s

= −= − + ⋅= + ϑ − − − ϑ= − − − + ϑ= ⋅ − −

(da ϑ symmetrisch um 0)

Nebenbedingungen

Als Teilnahmebedingung des Agenten muss zumindest der Reservationsnutzen erhalten werden:

r (s(x) a ²)0E(H(s,a)) E( e ) H− −= − ≥ = Reservationsnutzen

Der Reservationsnutzen bedeutet, dass der Agent bzw. Mitarbeiter mindestens so viel verdient, wie er bei einem anderen Unternehmen verdienen würde.

Vereinfachung der Partizipationsbedingung des Agenten durch Verwendung des Sicherheitsäquivalents: 0)( HwSÄ ≥ , welches dem Erwartungswert eines Vorteils für das Risiko, diesen nicht zu erreichen einen Aufschlag, die Risikoprämie zufügt. Dabei gilt - hier ohne nähere Erläuterung - das Wissen, dass sich das Sicherheitsäquivalent für eine exponentielle Nutzenfunktion und normalverteilte Umweltzustände berechnet zu:

0 1Var(w) rSÄ(w) E(w) , wobei w s(x) a² s s x a²

2⋅

= − = − = + ⋅ −

Damit folgt durch Einsetzen für die Partizipationsbedingung:

0 10 1

0 10 1

10 1 0

Var(s s x a²)E(s s x a²) r2

Var(s s (a ) a²)E(s s (a ) a²) r2

s ² ² rs s a a² H2

+ ⋅ −+ ⋅ − − ⋅ =

+ ⋅ + ϑ −+ ⋅ + ϑ − − ⋅ =

⋅ σ ⋅= + ⋅ − − ≥

Bezahlung Disnutzen aus Arbeit

Risikopr ämie

4-19



Lösung des LEN - Modells

Die Nutzenmaximierung des Agenten liefert den optimalen Arbeitseinsatz aopt

0 1 1

1opt

r(s s a ' a '² s ² ² ) 0a ' 2

sa2

∂+ ⋅ − − ⋅σ ⋅

∂

=

Einsetzen in Partizipationsbedingung. Dabei wird der Agent auf seinen Mindestnutzen gedrückt. Damit ist das Sicherheitsäquivalent gleich dem Reservationsnutzen.

0 1 opt opt 1 0

1 10 1 0

1

0 0

rs s a a ² s ² ² H2

s s ² rs s ² ² H2 4 2

1s ²( ² r)2s H

2

+ − − ⋅ σ ⋅ =

+ − − − σ ⋅ =

− σ ⋅+ =

Auflösen nach der Fixvergütung liefert als erste Teillösung

0 0 11s H s ² ² r / 22

⎛ ⎞= − − σ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

Dann ist eine zweite Teillösung durch Einsetzen in die Zielfunktion des Prinzipals und Maximieren nach der Entscheidungsvariablen des Prinzipals zu erhalten.

[ ] [ ]1 0 1 1 0 1

opt opt opt 21 1 0 1

1

opt1

opt1

opt1

1MaxE G Max a(1 s ) s Max s (1 s ) / 2 H s ²( ² r) / 22

1s (1 s ) / 2 H / 2 s ( ² r) / 2 0s 2

12s ( ² r)1 2s 02 2

1s1 2 ² r

⎡ ⎤⎛ ⎞= − − = − − + − σ ⋅⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦∂ ⎡ ⎤− − − − σ ⋅ =⎢ ⎥∂ ⎣ ⎦

− σ ⋅− + =

=+ σ ⋅

Schließlich liefert die Auflösung nach dem Anreizparameter:

opt1

1s1 2 ² r

=+ σ ⋅

Somit ist s1, also der optimale Beteiligungsparameter, abhängig von σ ² und der Risikoeinstellung. Hieraus ergibt sich für den optimalen Arbeitseinsatz und die Fixvergütung:

4-20



1opt

s 1a2 2 4 ² r

= =+ σ ⋅

und

2 21

0 0 0

0 0

1 1s ( ² r) ² r12 2s H H2 1 2 ² r 2

1 2 ² rs H4(1 2 ² r)²

− σ ⋅ − σ ⋅⎛ ⎞= − = − ⎜ ⎟+ σ ⋅⎝ ⎠− σ ⋅

= −+ σ ⋅

Grundaussagen des LEN - Modells Angewandt etwa auf eine Situation der Entwicklung eines Subunternehmerauftrages können aus dem LEN-Modelle folgende Kernaussagen entnommen werden: Die Höhe der Fixvergütung s0 hat keinen Einfluss auf den Parameter s1 für die variable

Entlohnung (das liegt an der Annahme der exponentiellen Risikonutzenfunktion) Risikoverteilung: Trotz Risikoaversion des Subunternehmers und Risikoneutralität des

Generalunternehmers wird dem Subunternehmer ein Risiko aufgebürdet Die Notwendigkeit, Anreize zu setzen, da der Arbeitseinsatz des Subunternehmers nicht

vollständig beobachtbar ist, erfordert eine eigentlich ineffiziente Risikoaufteilung. Wäre der Arbeitseinsatz beobachtbar („first best“), würde der Subunternehmer mit fixem Gehalt vergütet.

Je größer die Risikoaversion des Subunternehmers, desto geringer wird der optimale

Arbeitseinsatz Je größer die Varianz der Umwelt, desto geringer der optimale Arbeitseinsatz (Einfluss des

Arbeitseinsatzes gering relativ zu Umwelteinflüssen)

4.3.4 Transaktionskostentheorie

Im Rahmen der Transaktionskostentheorie wird als grundlegende Untersuchungseinheit zunächst die Transaktion betrachtet. Dabei versteht man unter einer Transaktion die Übertragung von Property Rights. Die dabei anfallenden Kosten werden als Transaktionskosten bezeichnet und umfassen Kosten der Anbahnung, Vereinbarung, Abwicklung, Kontrolle und Anpassung. Dabei hängt die Höhe der Transaktionskosten einerseits von den Eigenschaften der zu erbringenden Leistung und andererseits von der gewählten Einbindungs- bzw. Organisationsform ab. Das Ziel der Transaktionskostenanalyse ist es, die Organisationsform bzw. Arbeitsteilungstiefe zu finden, die bei gegebenen Produktionskosten und -leistungen sowie gegebenen Eigenschaften der Transaktion (Koordination) die Transaktionskosten minimiert.

4-21



Kosten

(qualitative Darstellung)

Arbeitsteilung

Reduktion der Kosten durch Spezialisierung)

Anstieg der Kosten durch Koordinationsbedarf

Kumulierte Kosten

Abb. 4-22. Transaktionskosten

4.3.4.1 Zerlegung des Produktionsprozesses und Koordinationskosten

Für eine erste überschlägige quantitative Analyse der Koordinationskosten erfolgt eine systematische Zerlegung eines Bauprojektes im Sinne der Systemtheorie als kontinuierliches System in n Teilsysteme, also Teilaufgaben. Dabei wird die Annahme zugrunde gelegt, dass die Koordinationskosten (=Transaktionskosten) einerseits aus einem Anteil proportional zum Transaktionsvolumen bestehen und darüber hinaus eine volumenunabhängige Konstante beinhalten.

n

VVn

=Teilvolumen

Volumen V n Teilsysteme

Abb. 4-23. Zerlegung in n Teilsysteme

Dann fallen als Koordinationskosten für die vergebende Organisationseinheit die Kosten T1 an, für die n annehmenden Organisationseinheiten die Kosten T2

CnVnVnCVnT

CVT

n ⋅+⋅=⋅⋅=+⋅⋅=

+⋅=

ηηη

η

)(2

1

Dabei steht η für den Bruchteil des Produktionsvolumens, der für Koordination aufgewendet werden muss, C für den konstanten Anteil. Können die Teilaufgaben nicht als vollkommen unabhängig angesehen werden, so sind darüber hinaus Koordinationskosten T3 aus der Betrachtung der Wechselwirkungen der Teilaufgaben fällig. Je nach Vielzahl der Wechselwirkungen von keinen über eine lineare Kette, in der jedes Element mit einem rechten und einem linken Nachbarn zusammenhängt bis zu einem System in dem jede Teilaufgabe mit jeder anderen Teilaufgabe Wechselwirkungen unterliegt, wird T3

variieren. Ein Parameter α, im Bereich von [0..1] spiegelt gerade diese Bandbreite wieder und erlaubt, die Modellierung der Kosten T3.

4-22



m-1 m m+1

m

n+1

Keine WW

Lineare Kette

Jeder mit jedem

Abb. 4-24. Wechselwirkungen der Teilsysteme

[ ]1...0)1()1(3

∈⋅−+⋅⋅−=

αη αα CnnVnT

Unter Umständen müssen darüber hinaus Mehrfachwechselwirkungen in Betracht gezogen werden, etwa hat jede Kommunikation weitere Wechselwirkungen zur Folge.

Abb. 4-25. Mehrfachwechselwirkungen

Ein Faktor b im Bereich [0..1] modelliert den Lawineneffekt von Wechselwirkung, der sich jedoch als Geometrische Reihe sehr einfach darstellt:

[ ]1...01

)1(1

)1(...²)1()1()1(

3

10

∈−

−+

−−

=→

+⋅−+⋅−+⋅−=

βββ

η

βββαα

ααα

cnnVnT

nnnW

Zusammengefasst können die Koordinationskosten also modelliert werden:

cvVTcnnnVnTcnnVnT

cnVTcVT

''1

)1(11

)1(111

)1(1

)1(3

2

1

+=→⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−++=→

−−

+−−

=

⋅+⋅=+⋅=

μβ

ηβββ

η

ηη

αααα

4-23



Zur weiteren Vereinfachung darf angenommen werden, dass bei nicht zu komplizierten Strukturen nur eine einfache Verzweigung in n Zweige, kein Baum mit mehreren Ebenen vorliegt. Dann gilt n=z, wobei z die Anzahl der Zerlegungen widerspiegelt. Es folgt ein volumenbezogener Anteil 'μ

TT VzV ⋅−

−=

βμ

α

11'

und ein konstanter Anteil ν’ C

CzzzCv ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−−

=+

β

α

1'

1

Tatsächlich stellt sich heraus, dass der volumenbezogene Anteil vergleichsweise um zwei Größenordnungen kleiner als der konstante Anteil ist und daher in dieser Betrachtung vernachlässigt werden darf. In den folgenden Graphen wird der Verlauf beider Anteile über die Zerlegung z für mehrere Vernetzungsgrade dargestellt.

11

α −μ = ⋅

− βT T

z'V V

1

1

α+ −ν = +

− βz z'C ( z)C

Volumenanteil μ‘(x100)

Konstanter Anteil ν ‘(x1)

Abb. 4-26. Vereinfachte Transaktionskosten (β=0, α=0.5)

11

α −μ = ⋅

− βT T

z'V V

1

1

α+ −ν = +

− βz z'C ( z)C


Konstanter Anteil ν‘(x1)


4-24



11

α −μ = ⋅

− βT T

z' V V

1

1

α+ −ν = +

− βz z'C ( z)C


Konstanter Anteil ν‘(x1)


Der konstante Anteil der Koordinationskosten zeigt einen konkaven Verlauf, wie erwartet. Eine Betrachtung iterative Vernetzung (β>0) wird in diesem Zusammenhang nicht vorgenommen. Interessant ist, dass α=0 lediglich einen linearen Anstieg der Koordinationskosten zur Folge hat, der im weiteren kein Minimum erwarten lässt.

4.3.4.2 Reduktion des Produktionsaufwandes durch Arbeitsteilung

Bei der Optimierung des Produktionsprozesses durch Arbeitsteilung wird die Annahme getroffen, dass jedes (Teil-)Volumen intern durch den Aufwand P abgearbeitet wird. Bei externer Vergabe ist zu erwarten, dass die Spezialisierung des Anbieters eine Optimierung um den Faktor κ erlaubt. Entsprechend ist mit einem verminderten Aufwand κP zu rechnen. Weiter wird angenommen, dass jedem Arbeitspaket bei interner Abarbeitung eine Umrüst- und Einarbeitungszeit Q vorausgeht, die bei spezialisierter Abarbeitung entfällt. Q ist im Mittel über alle Teilaufgaben als konstant anzunehmen, da die Teilvolumina im Mittel gleich groß vorausgesetzt werden. Zusammengefasst wird diese lineare Verminderung im Faktor γ je Vergabeeinheit. Dieser Ansatz ist als wesentliche Vereinfachung der realen Verhältnisse aufzufassen. In realitätsnäheren Ansätzen muss eine Abhängigkeit der Faktoren κ und damit γ vom Spezialisierungsgrad und damit der Größe bzw. Anzahl der Teilaufgaben angenommen werden, was zu einer nichtlinearen Beziehung führt. Im vorliegenden Rahmen soll jedoch zum Verständnis der vereinfachte lineare Zusammenhang genügen. Damit berechnet sich die Optimierung durch Arbeitsteilung insgesamt zu ( )0K(z) P 1 z= − γ , wobei γ die lineare Kostenreduktion je Element z darstellt.

j Vollst. ATz von j teilw. AT

KPP Produktionskosten

-γ P verm. Produktionskosten

Abb. 4-29. Optimierung insgesamt

4-25



4.3.4.3 Minimierung der Gesamtkosten der Produktion durch Arbeitsteilung

Kombiniert lässt sich das erreichbare Minimum der Gesamtkosten bestimmen: Aus ( )0K(z) P 1 z= − γ und CzzT 1)( += α , wobei α die Vernetzung und C die konstanten Kosten je Transaktion z bildet, berechnen sich die Gesamtkosten A(z), die sich im Weiteren minimieren lassen:

10

e 10 opt opt 0 opt

1/

0opt

A(z) P (1 z) z C

0 (P (1 z ) z C) P z C( 1)z

PzC( 1)

α+

+ α

α

= − γ +

∂− γ + = γ α +

∂

⎛ ⎞γ= ⎜ ⎟α +⎝ ⎠

Die Kostenreduktion, bezogen auf die Produktion ohne Arbeitsteilung, berechnet sich dann wie folgt:

10 0

1/ 1/

0 0 00 0 0

0 opt

0 0

A(z) P P z z C

P P PP P P CP A(z ) C( 1) C( 1) C( 1)

P P

α+

α α

= − γ +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞γ γ γ− + γ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− α + α + α +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠=

1/ 1/

0 0opt

1/

0opt opt

P Pa(z )C( 1) (a 1) C( 1)

Pa(z ) z( 1) C( 1) ( 1)

α α

α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞γ γγ= γ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟α + + α +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞γγ γα= γ − =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟α + α + α +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

Für einige realistische Parameter ergibt sich etwa folgendes Bild: P0 100 Produktionskosten γ 0,03 3 % je Aufteilung a 0,3 geringe Vernetzung C 1 Kosten je Transaktion b 0 Entwicklungsfaktor

4-26



84

86

88

90

92

94

96

98

100

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33

Aufteilung in 16 Elemente

Reduktion um 11%

Abb. 4-30. Reduktion

Interessanterweise stellt sich heraus, dass sich ein eindeutiges Minimum nur für ein sehr schmales Parameterfenster ergibt. Stellt man sich nun die Frage, welche Bedeutung ein so schmales Parameterfenster für das Outsourcing hat muss man zumindest zwei Regelungsmechanismen des Marktes betrachten: Jeder Anbieter versucht sich soweit zu optimieren, dass er genau in das Fenster fällt

(Spezialisierung, Transaktionskosten). Wenn die Transaktionskosten prinzipiell zu hoch sind, entwickelt sich kein Zuliefermarkt.

4-27



Abbildungsverzeichnis: Abb. 4-1. Formulierung eines Systems zur Optimierung 4-2 Abb. 4-2. Systemvariablen 4-2 Abb. 4-3. Wechselwirkungen 4-3 Abb. 4-4. Zielfunktion 4-4 Abb. 4-5. Randbedingung 4-4 Abb. 4-6. Baufortschritt in Abhängigkeit der Zahl der Lader 4-4 Abb. 4-7. Systemvariablen 4-5 Abb. 4-8. Begrenzung für alle Variablen 4-5 Abb. 4-9. Formulierung Zielfunktion und Randbedingungen 4-5 Abb. 4-10. Direkte Extrema 4-6 Abb. 4-11. Direkte Extrema 4-7 Abb. 4-12. Beispiel Losgrößenformel 4-8 Abb. 4-13. Lagrange-Multiplikatoren 4-9 Abb. 4-14. Beispiel für Losgrößenformel 4-11 Abb. 4-15. Optimaler Verkehrsfluß 4-13 Abb. 4-16. Preisbildung bei vollständigem Wettbewerb 4-14 Abb. 4-17. Wettbewerbs- und Angebotspreise 4-15 Abb. 4-19. Principal-Agent-Theorie 4-16 Abb. 4-21. Lineares Entlohnungsschema 4-17 Abb. 4-22. Exponentielle Nutzenfunktion 4-17 Abb. 4-24. Disnutzen des Agenten 4-17 Abb. 4-25. Transaktionskosten 4-21 Abb. 4-26. Zerlegung in n Teilsysteme 4-21 Abb. 4-27. Wechselwirkungen der Teilsysteme 4-22 Abb. 4-28. Mehrfachwechselwirkungen 4-22 Abb. 4-29. Vereinfachte Transaktionskosten (β=0, α=0.5) 4-23 Abb. 4-30. Vereinfachte Transaktionskosten (β=0, α=0.2) 4-23 Abb. 4-31. Vereinfachte Transaktionskosten (β=0, α=0.0) 4-24 Abb. 4-32. Optimierung insgesamt 4-24 Abb. 4-33. Reduktion 4-26

iAusgabe 12/2009 – Graphentheorie und fundamentale Strukturen


Kapitel 5: Graphentheorie und fundamentale Strukturen Inhaltsverzeichnis

5 Graphentheorie und fundamentale Strukturen 5-1

5.1 Zerlegung von Systemen 5-1

5.2 Grundlagen der Graphentheorie 5-4 5.2.1 Elemente 5-4 5.2.2 Beziehungen 5-4 5.2.3 Strukturen 5-5 5.2.4 Bild eines Graphen 5-5

5.3 Modellierung von Systemen 5-7 5.3.1 Mikroskopische Strukturen 5-7 5.3.2 Makroskopische Strukturen 5-8

5.4 Lokalität und Emergenz 5-11 5.4.1 Lokalität 5-11 5.4.2 Emergente Variablen 5-13 5.4.3 Lokalität und Emergenz konkret 5-13

5.5 Beispiele für Graphen: Interaktionen 5-14

Abbildungsverzeichnis 5-1

5-1Ausgabe 12/2009 – Graphentheorie und fundamentale Strukturen


5 Graphentheorie und fundamentale Strukturen

5.1 Zerlegung von Systemen

Wie bereits vielfach ausgeführt werden als Ansatz zur Beherrschung von Komplexität Probleme in immer kleinere Teile zerlegt, bis diese Teilprobleme eine überschaubare Größe annehmen. Dazu ist zunächst die Frage zu stellen, auf welcher Grundlage die Zerlegung von Systemen bei der Ab-schätzung einer Systemgröße zu höherer Genauigkeit verhilft. Eine einfache quantitative Ab-schätzung ist dazu hilfreich: Der zugrunde liegende Gedanke ist, dass bei einer Systemzerlegung Beziehungen zwischen den Teilsystemen bzw. Elementen definiert werden und damit anzunehmen ist, dass diese Beziehun-gen vollständig bekannt sind. Auch die Festlegung nicht existierender Beziehungen ist eine gültige und sinnvolle Entscheidung. Beispiel: Abschätzung der Bauzeit (Projektdauer). Ein beliebiges Bauprojekt kann als Ganzes nur sehr ungenau terminiert werden. Durch die Zerlegung des Projekts in Teilaufgaben, Prozesse und Vorgänge mit Teildauern und die Definition der Beziehungen der einzelnen Elemente zueinander wird die Abschätzung der Projektdauer erheblich genauer.

Abb. 5-1. Zerlegung von Systemen zur Abschätzung der Bauzeit

Die direkte Abschätzung einer Systemgröße führt zu einer Genauigkeit +/- ε. Die Zerlegung des Systems in Teilsysteme und deren Beziehungen führt zu keiner Verbesserung der Genauigkeit der Abschätzung der Systemgröße bezüglich der Einzelelemente, jedoch wird ein vollständiges Verständnis der Beziehungen (oder Nicht-Beziehungen) angenommen. Wichtet man eine Bezie-hung etwa gleich einem Teilsystem, so ergibt sich folgendes Bild:

Abb. 5-2. Zerlegung in Teilsysteme und Beziehungen

Bei Zerlegung in n Teilsysteme ist die Anzahl der bekannten Beziehungen n(n-1)/2. Das Gesamt-volumen des Systems beträgt demnach n+n (n-1)/2 Einheiten. Die Genauigkeit der Abschätzung

„2 - 5 Jahre!!!??“

Zeit



der n Teilsysteme liegt bei +/-ε. Die kumulierte Genauigkeit der Abschätzung E lässt sich dann wie folgt beschreiben: Beispiel: Angenommen, eine Systemgröße, etwa Kosten sei auf +/-10% abschätzbar. Die Zerle-gung des Systems in 10 Teilsysteme und deren Beziehungen führt dann zu einer erhöhten Ge-nauigkeit der Abschätzung: Die Anzahl der bekannten Beziehungen beträgt n(n-1)/2 = 10 (10-1) / 2 = 45 Das Gesamtvolumen des Systems beträgt n + n (n-1)/2 = 10 + 10 (10-1) / 2 = 55 Einheiten Somit gilt für die kumulierte Genauigkeit der Abschätzung: Mit zunehmendem Zerlegungsgrad kann also für jede Abschätzung eine beliebig hohe Genauig-keit erreicht werden. Der Grund, warum man nicht eine unendlich feine Zerlegung wählt, ist, dass die Anzahl der Beziehungen quadratisch steigt. Folgende Abbildung zeigt die quantitative Entwick-lung.

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Abb. 5-3. Zerlegung in Teilsysteme und Beziehungen

Wenn die Beziehungsmatrix nicht nur schwach besetzt ist, ist die Vollständigkeit des Wissens über alle Beziehungen in Frage zu stellen. Also steigt mit zunehmendem Zerlegungsgrad ein bis-her nicht betrachteter Fehler. In der Planung von zeitlichen Abläufen, etwa im Bauwesen sind aber vergleichsweise nur wenige Beziehungen zu erwarten, etwa nVorgänge = nBeziehungen. Darüber hinaus steigen bei höherer Zerlegung die Fehler bei gleichartigen Mikroelementen durch Kumulation. Beispielsweise führt eine Abschätzung für jeden Handgriff beim Mauern zu einer Fehleineinschät-zung, die sich über die Vielzahl gleicher Handgriffe addiert. Beispiel für Zerlegung: Einbau einer automatischen Parkanlage (wie Hochlagerregal) in ein Roh-baugebäude

n 2 2n n(n 1) / 2 2 (n 1) n 1

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+ − + − +

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Abb. 5-4. Zerlegung einer Aufgabe in Teilaufgaben und letztlich Aktivitäten und deren Beziehungen

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5.2 Grundlagen der Graphentheorie

Die Graphentheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik welches sich mit Beziehungen zwischen Elemente beschäftigt. Es erlaubt Beziehungsgeflechte mathematisch zu formulieren und in abs-trakter Weise Methoden zur Berechnung übergreifender Eigenschaften des Geflechts anzugeben. Es ist nahe liegend, zur Modellierung und Berechnung der vernetzten Strukturen des Planens und Bauens auf diese Grundlage zurückzugreifen.

5.2.1 Elemente

Knoten Ein Knoten ist ein abstraktes Objekt, zunächst ohne Inhalt. Im vorliegenden Zusammenhang kann es stets mit Teilsystemen wie Akteuren, Aufgaben, Ressourcen, Prozessen, aber auch Kosten-stellen, Gebäuden, Räumen oder Ausbauelementen identifiziert werden.

Bögen, Kanten Mit Bögen oder Kanten werden Knoten verbunden (nicht unbedingt vollständig). Sie stellen wie auch immer geartete Beziehungen zwischen den Knoten dar. Sie sind gekennzeichnet durch ei-nen Anfangsknoten und durch einen Endknoten. Sie stehen für die bereits vielfach zitierten Bezie-hungen zwischen den Elementen, können also kausale Abhängigkeiten, zeitliche Beziehungen, Verantwortungsbeziehungen oder auch Vertragsverhältnisse sein.

Pfeile/Gerichtete Kanten Haben die Bögen eine eindeutige Richtung, so bezeichnet man sie auch als Pfeile, bzw. gerichte-te Kanten. Oft werden ungerichtete Kanten durch ein antiparalleles Paar gerichteter Kanten mo-delliert.

5.2.2 Beziehungen

Vorgänger Ein (unmittelbarer) Vorgänger eines Knotens i ist jeder Knoten, der durch eine gerichtete Kante, welche auf den Knoten i zeigt, mit dem Knoten i verbunden ist.

Nachfolger In gleicher Weise ist (unmittelbarer) Nachfolger eines Knotens, wer durch eine wegführende ge-richtete Kante mit dem Knoten verbunden ist.

Schlinge Eine Schlinge ist eine Kante, deren Vorgänger und Nachfolger identisch sind.

Quellen Eine Quelle ist ein Knoten, der keine Vorgänger hat.

Senken Eine Senke ist ein Knoten, der keinen Nachfolger hat.

Gerichteter Graph In einem gerichteten Graphen gibt es ausschließlich gerichtete Kanten. Ist eine solche „bidirektio-nal“, so wird sie durch zwei antiparallele gerichtete Kanten dargestellt, s.o.



5.2.3 Strukturen

Weg/Pfad

Eine Folge von gerichteten Kanten heißt Weg oder Pfad. Dabei müssen nicht notwendig die Rich-tungen der Kanten gleich sein.

Kreis Ein Kreis ist ein Weg, bei dem Anfangs- und Endknoten zusammenfallen. Eine Schlinge ist ein spezieller Kreis, der nur ein Element hat.

Gerichteter Baum Ein Graph, mit genau einer Quelle, und genau einem Weg zwischen Quelle und jedem Knoten, ist ein gerichteter Baum.

Netzplan Ein gerichteter, kreisfreier Graph mit genau einer Quelle und einer Senke heißt (geschlossener) Netzplan

Bewerteter Graph Ist jeder Kante eines Graphs ein n-tupel (x, y, z… ) zugeordnet, so heißt der Graph „bewertet“. In Praxis bedeutet das nicht anderes, als dass die Kanten nicht nur Ja/Nein-Beziehungen verkör-pern, sondern in irgendeiner Form tieferen Inhalt tragen: • Wahrscheinlichkeit eines Übergangs • Wegstrecke zwischen zwei Orten, • Kosten einer Veränderungsmaßnahme • Zeitbedarf zwischen zwei Ereignissen

5.2.4 Bild eines Graphen

Veranschaulichung als Bild Alle bisherigen Diskussionen der abstrakten Strukturen und Eigenschaften von Graphen wurde bereits mit Bildern von Graphen anschaulich gemacht. Ausgaben und Eingaben in Rechnern wer-den oft über ähnliche Darstellungen vorgenommen. Das ist jedoch nur eine Darstellungsform, die das topologische Wesen eines Graphen nicht wiedergibt.

Quelle Q

A

D

F

E

CB

Senke SQuelle Q

A

D

F

E

CB

Senke S

Abb. 5-5. Darstellung eines Graphen



Planare Graphen Zeichnet man das Bild eines Graphen und kann dabei eine Darstellung ohne Überschneidungen finden, so heißt der Graph „planar“. Diese Eigenschaft hat eigentlich nur topologische Bedeutung und wird hier nur der Vollständigkeit halber aufgeführt.

Knoten- bzw. Kantenliste Die einfachste Form einer - auch rechnergeeigneten - Darstellung eines Graphen ist die der Kno-tenliste. Dabei werden alle Knoten in beliebiger Reihenfolge unter Benennung ihrer jeweiligen Vorgänger aufgelistet. Ggf. werden dabei zusätzlich die Eigenschaften der Beziehungen („Bewer-tung“) genannt. Nützlich ist diese Darstellung vor allem bei wenigen Kanten und vielen Knoten. Alternativ kann die selbe Darstellung als Kantenliste notiert werden.

Darstellung als Matrix Speziell bei sehr vielen Verknüpfungen weniger Knoten ist die Darstellung als Matrix geeigneter: Dazu werden in quadratischer Form alle Knoten sowohl als Zeile, wie auch als Spalte angeordnet, und jeweils im Kreuzungspunkt eine 1 für eine existierende Kante eingetragen. Bei bewerteten Graphen kann z.B. auch der „Wert“ der Kante gleich notiert werden. Insbesondere kann bei einer Darstellung als Matrizen für Theoretische Überlegungen ein Matrizenkalkül Einsatz finden. Damit lassen sich Veränderungen des Graphen und entsprechend Algorithmen sehr elegant als Matrix-operationen formulieren. Knoten VorgängerQA QB Q EC BD C EE AF CS F D E

KnotenQ A B C D E F S

Q 1 1 1AB 1C 1 1

Vorgänger D 1E 1 1 1F 1S

Abb. 5-6. Darstellung eines Graphen: Knotenliste und Matrixdarstellung

Anwendung Die Graphentheorie finden beim Entwurf und Betrieb von Netzwerken aller Art Anwendung. Die Lösung abstrakter Grundaufgaben wie die Ermittlung „kürzester“ und „längster“ Wege durch einen Graphen oder maximaler Flüsse durch ein kapaiztätsbeschränktes Netzwerk lassen sich in vielfäl-tiger Weise auf konkrete Situationen anwenden. Beispiele sind die Bestimmung real kürzester oder schnellster Wege in Transportnetzwerken (Baulogistik) aber auch abstrakt die Ermittlung optimaler Organisationsstrukturen und Informations-Wege. Der typische Fall für die Berechnung des längsten Weges wird für die Terminierung von Ablaufplänen von Bedeutung sein. Darüber hinaus ist die Graphentheorie hilfreich bei Aufgaben wie der Bestimmung von Transportplänen für die Belieferung von Nachfragern (Händler) durch Anbieter (Lager, Produktionsstandorte). bis zur Optimalen Anordnung von Bohrlöchern. Beispiele für die Anwendung von Algorithmen zur Be-stimmung des maximalen Flusses sind die Entsorgung von Bauschutt auf einer innerstädtischen Baustelle oder auch etwas abstrakter eine Aufgabenverteilung etwa auf mehrere Zulieferer.



5.3 Modellierung von Systemen

5.3.1 Mikroskopische Strukturen

Eine einfachste in der Graphentheorie modellierbare Struktur ist die kausale Sequenz, also die Wirkung eines Elements unmittelbar auf ein Folgeelement, bspw. eine Entscheidung eines Ver-antwortlichen, eine Budgetüberschreitung, eine Planfreigabe, eine Abnahme. Oft ist kausale Se-quenz weitgehend identisch mit einer Zeitorientierung, aber nicht immer. Parallele Konsequenzen wie das Errichten mehrerer Wände auf einer Bodenplatte und deren Fertigstellung als Auslöser für das Errichten der Wand sind nur kausal eindeutig, nicht hinsichtlich der Zeit.

Aushub Fundament Bodenplatte Wände Decke …

Parallelbetrieb Abb. 5-7. Kausale Sequenz

Insbesondere die Steuerungsprozesse „Veranlassen“ und etwa „Gegensteuern“ stellen Beispiele für kausale Sequenzen dar.

Bauinhalts-IST, Bauumstände-IST

Bauinhalts-SOLL, Bauumstände-SOLL

Koordinieren

Veranlassen

Überwachen Entscheiden Gegen-steuern

Feststellen

Informieren

Dokumentieren



Koordinieren

Veranlassen


Feststellen

Informieren

Dokumentieren



Koordinieren

Veranlassen


Feststellen

Informieren

Dokumentieren Abb. 5-8. Beispiel Steuerungsprozesse

Eine weitere typische Mikrostruktur ist die zirkuläre Sequenz. Sie spiegelt etwa den Weg von einer Idee über den Plan und die Ausführung des Planes mit der Zielüberprüfung wieder. Über den Ge-danken einer Optimierung kann eine solche Schleife vielfach durchlaufen werden, generell muss jedoch ein Ausstieg mit einem Optimalitätskriterium definiert werden.

Idee Plan

Test Ausführung

Optimierung

Abb. 5-9. Zirkuläre Sequenz



Darüber hinaus ist zu klären, was im Fehlerfall in einer solchen Schleife geschieht. Typische Bei-spiele sind ebenfalls aus den Steuerungsprozessen bekannt: Kontinuierlich führt das Überwachen eines Leistungsprozesse zur Erarbeitung von Entscheidungsszenarien die letztendlich in Gegen-steuerungsmaßnahmen münden. Dieser Zyklus ist kontinuierlich bis zur Zielereichung zu wieder-holen.



Koordinieren

Veranlassen


Feststellen

Informieren

Dokumentieren Abb. 5-10. Beispiel: Zirkuläre Sequenz - Steuerungsprozess

Ziel:

Info

Soll-Ist-Vergleich

Info

Planen

Ausführen

Info

Zielüberprüfung

Entscheiden

Info

Gegensteuern

Ziel:

Info

Soll-Ist-Vergleich

InfoInfo

Soll-Ist-VergleichSoll-Ist-

Vergleich

Info

Planen

Ausführen

InfoInfo

PlanenPlanen


Info

Zielüberprüfung

InfoInfo

ZielüberprüfungZielüberprüfung

Entscheiden

InfoInfo

Gegensteuern

Abb. 5-11. Zirkuläre Sequenz

5.3.2 Makroskopische Strukturen

5.3.2.1 Baumstruktur

Die Baumstruktur wurde schon zuvor definiert. Als makroskopische Struktur ist sie weniger als Teilsystem geeignet sondern eher als Grundform einer umfassenden Darstellung eines Gesamt-systems (Siehe auch Systematische Strukturen - Kybernetik der Planungsprozess).

Abb. 5-12. Baumstruktur



Problematisch ist dabei, dass eben gerade der Vorteil der stringenten Baumstruktur auch eine solche erzwingt, die im Regelfall nicht der natürlichen Anordnung entspricht - oder zumindest nicht jeder denkbaren. Dem Baum liegt in der Regel ein Strukturprinzip zugrunde, das nicht ohne weite-res gegen ein anderes ausgetauscht werden kann. Etwa kann eine Ansammlung von notwendigen Tätigkeiten nur ausschließlich nach konstruktiven Gesichtspunkten, nach Raumstrukturen, nach Verantwortlichkeiten, nach Kostenträgern, nach Funktionen oder nach Abteilungen baumförmig angeordnet werden. Dann wird es ggf. schwierig eine Tätigkeit genau einem Ast zuzuordnen, Mehrfachzuordnungen sind nicht zulässig (Etwa eine Wand muss einem der angrenzenden Räu-me zugeordnet werden, nicht beiden).

Abb. 5-13. Raumbuch

Ein weiteres Beispiel für eine Baumstruktur ist der in der folgenden Abbildung dargestellte Pro-jektstrukturplan für eine Dreifeldbrücke. Jedes Arbeitspaket kann nur genau einer Teilaufgabe, jede Teilaufgabe genau einer übergeordneten Teilaufgabe zugeordnet sein. Projektstrukturplan

Projekt

Det

aillie

rung

sgra

d

Teilaufgaben

Arbeitspakete Abb. 5-14. Projektstrukturplan

In einer Gliederung einer Bauaufgabe nach Leistungen können sämtliche Tätigkeiten als Baum-struktur dargestellt werden. Ein Leistungsverzeichnis wird streng hierarchisch aufgebaut. Entspre-chend findet sich eine bestimmte Leistung eben nur in einem Ast. Dies verschafft Übersicht, aller-dings ohne vollständige Beziehungen darzustellen, etwa eine zusätzliche Zuordnung nach der Lage der Leistung (z.B. welches Stockwerk) ist nicht möglich.

Gebäude


Raum Raum Raum Raum


Gebäude

Los



Abb. 5-15. Gliederung nach Leistungen

Die Baumstruktur bietet sich beispielsweise auch für die Kalkulation von Kosten nach Leistungen an. Dabei manifestiert sich allerdings auch das grundsätzliche Problem von Bäumen: Alle Elemen-te, die nicht dem Strukturprinzip entsprechen, lassen sich prinzipiell nicht einordnen. Etwa können Gemeinkosten des Projektes, die zwar Leistungen darstellen, aber sich nicht den Leistungspro-zessen zuordnen lassen zwar ihrerseits als Baum geordnet werden, liegen aber „neben“ dem ei-gentlichen Kostenbaum. Kosten über das Projekt hinaus, wie etwa „Marketingkosten“, die so ge-nannten Geschäftskosten, können ebenfalls nicht in der Baumstruktur der Leistungsprozesse ein-gearbeitet werden. Derartige „Nebenbäume“ müssen über die so genannte Umlage auf die unters-te Ebene der Leistungsprozesse z.B. prozentual aufgeschlagen werden.

AnforderungGeschäfts-kosten

Gemein-kosten

Abb. 5-16. Baumstruktur für Kostenkalkulation

Den Baumstrukturen ist gemeinsam, dass Sie aufgrund ihrer strikten Form eine Verdichtung von Informationen nach oben zulassen. Entsprechend können die Kosten einer Leistung durch Kumu-lation der darunter liegenden Teilleistungen abgefragt werden. Das Baumprinzip stellt dabei si-cher, dass jedes Element der Kosten genau einmal and der richtigen Stelle summiert wird. Eins solche Gliederung bietet aufgrund ihrer Stringenz eine hohe Sicherheit der Vollständigkeit, soweit eben das Strukturprinzip tatsächlich alle vorkommenden Elemente abdeckt. Jedes Element außerhalb des Baumes unterliegt der Gefahr, vergessen zu werden. Aus diesem Grund ist es manchmal hilfreich, für ein System mehrere Bäume mit unterschiedlichen Strukturprinzipien auf-zustellen (Etwa: nach Leistungen, nach Kostenstellen, nach Gewerken, nach Räumen, nach Funktionen)



5.3.2.2 Netzplan

Zur Darstellung mancher Zusammenhänge in der Graphentheorie ist es notwendig von der star-ken Stringenz eines Baumes abzuweichen und insbesondere vorgenommene Verzeigungen wie-der zusammen zu führen. Dann spricht man von einem Netzplan - wie oben eingeführt. Er erlaubt eine weitgehend beliebige Verknüpfung von Elementen, verbietet aber Zirkelschlüsse. Im Zuge weiterer Überlegung wird diese Einschränkung von erheblicher Bedeutung sein. Dadurch aber werden endliche Algorithmen auch auf diesem sehr universellen Graphen möglich. Ein typisches Beispiel dafür ist die Vernetzung von Aktivitäten aufgrund von Zusammenhängen kausaler Art. Problematisch ist dabei allerdings immer die unüberschaubare Struktur, die ihrerseits das Risiko der Unvollständigkeit sowohl hinsichtlich der Elemente wie auch der Vernetzung birgt.

Abb. 5-17. Netzplan der Graphentheorie

Abb. 5-18. Netzplandarstellung von Aktivitäten und ihren Abhängigkeiten

Ohne die Einschränkung auf Netzpläne ohne Zirkelschlüsse entspricht dieser Ansatz der Systemi-schen Darstellung nach „Kybernetik der Planungsprozesse“.

5.4 Lokalität und Emergenz

Die Begriffe Lokalität und Emergenz wurden in der Kybernetik der Planungsprozesse bereits ein-geführt. Hier sollen sie vor dem Hintergrund der Graphentheorie nochmals beleuchtet werden.

5.4.1 Lokalität

Schon bei der Betrachtung menschlicher Denkstrukturen ist die begrenzte Reichweite der Assozi-ation aufgefallen. In der Graphentheorie als mathematischer Ansatz steht mangels Assoziation auch keinerlei Radius zur Verfügung. Eine strikte mathematische Theorie kann sich nur auf kon-krete Informationen stützen, in diesem Fall auf die ausschließliche Betrachtung der unmittelbaren Wechselwirkungen, die ein bestimmtes Element betreffen. Lokalität bedeutet, dass eine Wech-selwirkung grundsätzlich nur zwischen unmittelbaren, d.h. durch Pfeile verbundenen Nachbarn



stattfindet. Dabei werden alle mittelbaren Wechselwirkungen zunächst ignoriert. Es wird erwartet, dass sich diese über eine iterative oder rekursive Organisation der Betrachtung „von selbst erge-ben“ Diese Modellierung entspricht in hohem Maße der Wirklichkeit. Viele hochkomplexe Systeme be-stehen nur aus Elementen die gerade mit ihrem nächsten Nachbarn kommunizieren. Ein Beispiel für das Prinzip der Lokalität stellt etwa der Preis eines benötigten Stoffes, z.B. Bau-stahl, dar. Eine unmittelbare Anfrage liefert einen aktuellen Preis. Dieser aber ist von vielen Fakto-ren bestimmt, die aber in die Anfrage nicht weiter eingehen. Eine Einflussgröße auf den Preis, also z.B. von anderen Markteilnehmern, wie auch anderen Projekten oder auch nur anderen Po-sitionen desselben Projektes abgenommenen Mengen verändern ihrerseits den Preis, ohne Be-zug zur Preisanfrage zu haben. Jede Beziehung ist lokal, dennoch „ergibt“ sich aus der Vielzahl der Einflussgrößen ein lokaler Wert, abhängig von der Gesamtsituation.

Position/Biegeform

Verfahren

Position/Menge

Weitere Positionen/Menge

Weitere Projekte

Weitere Positionen/Form

Zeitpunkt/MarktStahlpreis

Abb. 5-19. Beispiel: Stahlpreise

Ein weiteres Beispiel wäre der Einsatz von Erdbaubetrieben auf einer Großbaustelle. Die Leis-tungsfähigkeit des Erdbaus auf einer Kanalbaustelle hängt von vielen vernetzten Faktoren ab. Beeinflussende Faktoren sind die Anzahl der Lader, die Anzahl der Dumper, die Auslegung der Transportstrecken, die Qualität der Transportstrecken sowie die Qualität des Personals und der einzelnen Geräte. Eine bezüglich der Gesamtkosten sinnvolle Entscheidung für eine bestimmte Auslegung eines Ladegerätes wird durch die Vielzahl ebendieser Faktoren beeinflusst. Eine lokale Modellierung betrachtet eben nicht die Gesamtzusammenhänge, sondern ermittelt die Kosten je Leistung konkret als die eines bestimmten LKWs auf einer bestimmten Strecke, mit ei-nem definierten Fahrer und einer aus dem Ladebetrieb ermittelten Ladezeit und Füllung.

Abb. 5-20. Lokalität

Die Konsequenz der Lokalität ist einerseits überhaupt die Modellierbarkeit des Systems, anders wäre eine Modellbildung nicht möglich. Auf der anderen Seite hat sie zunächst den Verlust der Modellierung der mittelbaren Wechselwirkungen und darüber hinaus den Verlust der Modellierung aller Regelkreise zur Folge. Mit der Modellierung des Gesamtsystems stehen aber eben durch Iteration oder durch Rekursion die Mittel zur Verfügung, auch diesen Bereich abzubilden.



5.4.2 Emergente Variablen

Der Begriff „Emergenz“ wird auf das lateinische Verb emergere („auftauchen“, „sich herausarbeiten“) zurückgeführt. Man versteht demzufolge unter Emergenz das Auftauchen von Systemgrößen, die nicht durch die lokalen Eigenschaften der beteiligten Systemelemente erklärt werden können. Emergente Größen folgen also nicht aus einzelnen Parametern eines Sys-tems sondern aus der Gesamtheit aller Parameter einschließlich Ihrer Vernetzung. Eine typische emergente Variable in einem Netz von miteinander verknüpften Aktivitäten ist die Projektdauer. Sie definiert sich nicht aus den Dauern der einzelnen Aktivitäten, sondern vor allem durch deren Abhängigkeiten. Betrachtet man nur eine einzelne Aktivität, lässt sich daraus noch nicht die gesamte Projektdauer ableiten. Werden aber die Aktivitäten und ihre Abhängigkeiten näher betrachtet kann die Projektdauer daraus abgeleitet werden. In gleicher Weise bestimmt sich ein logistischer Transportplan (- Netzplan) nicht aus den Fahrzei-ten einzelner Strecken und Fahrzeuge, sondern durch die Vernetzung derselben auf einem Stre-ckennetz oder durch vergleichbare Abhängigkeiten. Emergente Variablen sind irreduzibel und unvorhersagbar. Bei Reduktion des Systems können sich emergente Eigenschaften verändern, da sie sich aus dem Zusammenwirken einer vollständi-gen Vielzahl von Elemente ergeben (Irreduzibilität). Welche Elemente an der Festlegung einer emergenten Variablen in welchem Maße beteiligt sind ist nicht a priori feststellbar. Gegebenenfalls ist ein System bezüglich einzelner emergenter Eigenschaften reduzibel, nicht jedoch gegenüber dem vollständigen Satz. Manche Systeme setzen sich aus vergleichbaren Elementen zusammen. Dann ist ggf. das System auf eine Mindestzahl reduzibel, ohne dass eine emergente Variable verschwindet. Der Wert der Variable wird in jedem Fall beeinflusst. Das Einfügen neuer Elemente führt zu prinzipiell nicht vorhersehbaren Änderungen an emergenten Variablen.

5.4.3 Lokalität und Emergenz konkret

LeistungsprozesseSteuerungsprozesse

Bau - IST

Bauinhalts- IST Bauumstände- IST

Bau - SOLL

Bauinhalts- SOLL Bauumstände- SOLL Abb. 5-21. Lokale Wirkung und emergente Größen

Lokalität im Rahmen der Planungsprozesse bedeutet, dass ein Steuerungsprozess nie direkt auf das IST, sondern stets auf den Leistungsprozess wirkt. Das Bau-IST ist eine emergente Größe und folgt aus einer Vielzahl von Wirkungen. Folgende Abbildung zeigt den Zusammenhang zwi-schen emergenten Größen die durch das Ausführen erzeugt werden und lokalen Steuerungspro-zessen wie das „Entscheiden“.



Ziel:

InfoSoll-Ist-

Vergleich

Info

Planen

Ausführen

Info

Zielüberprüfung

Entscheiden

Info

Gegensteuern

Ziel:

InfoSoll-Ist-

VergleichInfoInfoSoll-Ist-

VergleichSoll-Ist-

Vergleich

Info

Planen

Ausführen

InfoInfo

PlanenPlanen


Info

Zielüberprüfung

InfoInfo

ZielüberprüfungZielüberprüfung

Entscheiden

InfoInfo

Gegensteuern

Emergente Größe

Lokale Wirkung

Abb. 5-22. Lokale Wirkung und emergente Größen

Die mathematische Beschreibung von Lokalität und Emergenz lässt sich einfach in Baumstruktur und Netzplan deutlich machen: Wird etwa für die Kostenberechnung eine Baum-Struktur verwendet, so gilt für die kumulierten Kosten eines Knotens lokal: Die Kosten eines Elements sind emergent und setzen sich aus den Kosten des betrachteten Kno-tens und der Summer der unterliegenden Knoten zusammen. Es genügt, die lokalen Wechselwir-kungen zu betrachten (sofern diese Berechnung iterativ oder rekursiv erfolgt). Jede Änderung eines einzelnen Wertes hat Auswirkung auf die Folgewerte. Nachdem aber die Beziehungen sowohl in Struktur wie in Berechnung in der Regel linear ist, bleiben die Auswirkung der Änderung einer Größe überschaubar. Eine Kostenerhöhung eines Elements hat also nur eine identische Kostenerhöhung aller übergeordneten Knoten um den gleichen Wert zur Folge. Für den Ablaufplan kann ein Netzplan verwendet werden, dessen Kanten die Beziehungen zwi-schen den Aktivitäten widerspiegelt. Dann berechnet sich der Termin einer Aktivität einfach lokal aus den Terminen der unmittelbaren Vorgänger. (sofern diese Berechnung iterativ oder rekursiv erfolgt). In diesem Fall sind die Termine emergente Größen. Die Berechnung ist in hohem Maße nicht li-near; eine Änderung eines einzelnen Wertes kann unkalkulierbare Auswirkung auf die Folgewerte haben

5.5 Beispiele für Graphen: Interaktionen

Im Folgenden sollen zur Illustration in einem Graphen einige Aspekte der Abwicklung von Baupro-jekte dargestellt werden: Zunächst bildet die Vielfalt der Leistungsprozesse eine Netzplanstruktur, die die zeitlichen Abhängigkeiten widerspiegelt. An jeden Leistungsprozess sind darüber hinaus die notwendigen Ressourcen gekoppelt, die zur Abwicklung erforderlich sind.

i i0 jj

K K K= +∑

i j j j VorgängerknotenT Min(T D )

== +



Abb. 5-23. Netzstruktur in der Ablaufplanung von Ressourcen

Diese lassen sich in Verbrauchsressourcen und temporäre Ressourcen einteilen. Die Ver-brauchsgüter sind beispielsweise das Material oder die Betriebsmittel; diese müssen für einen Leistungsprozess rechtzeitig und in der erforderlichen Qualität zur Verfügung stehen. Unter tem-porären Ressourcen versteht man notwendige Elemente, die nach dem Einsatz wieder für einen erneuten Einsatz verfügbar sind, etwa die Arbeitskräfte oder Hilfsmaterial. Auch abstrakte Res-source lassen sich in dieses Schema einordnen: z.B. Baupläne oder Kapital können als Ver-brauchsressourcen verstanden werden, der physische Raum, den ein Betrieb einnimmt oder die notwendige Infrastruktur als temporäre Ressourcen. Bauplatz und die Infrastruktur. Unabhängig von Ihrer Zuordnung zur Netzplanstruktur der Aktivitäten können diese Ressourcen einerseits in Bäumen strukturiert werden, etwa nach Gerätetyp, Gewerk, Personal etc., anderer-seits auch darüber hinaus in eine baumartige Kostenstruktur

Abb. 5-24. Kostenstruktur

Zusätzlich wird diese Mehrfachzuordnung dadurch noch komplizierter, dass eine Vielzahl der Zu-ordnungen von Ressourcen zu Leistungsprozessen nicht vollständig bzw. mit unterschiedlichen Zuordnungseigenschaften erfolgt. Folgende Abbildungen zeigen die einige Abhängigkeiten der Ressourcen auf.

Vorgang

Zeit

Beginn Endelin. Verlauf

Vorgang

Fertigstellungsgrad

62%

Plan

Abb. 5-25. Einfache Abhängigkeiten der Ressourcen

Verbrauchs-güter

Temporäre Güter „Mehrweg“„Einweg“

Kostenstruktur

Kostenverdichtung

Vorgang

Zeit


Vorgang

Fertigstellungsgrad

62%

Schalungsarbeiten



Vorgang


Vorgang

Fertigstellungsgrad

62%

100%

60%Turmkran

Zeit

Abb. 5-26. Komplexe Abhängigkeiten der Ressourcen

Um diesen komplexen Zusammenhängen zu begegnen setzt man, wie bereits deutlich gemacht wurde, eine Vielzahl von Strukturen ein, die nach Möglichkeit nur über die Elemente gekoppelt sind und jeweils ein Strukturprinzip widerspiegeln.

Abb. 5-27. Mehrfachstrukturen mit Koppelungen

Auf diese Weise können Information, z.B. über kumulierte Kosten, die sich aus de Ressourcen-struktur ergeben auf der Zeitachse aufgetragen werden obwohl diese Informationen in keiner der Strukturen direkt verfügbar war und lediglich über die Koppelung von drei Strukturprinzipien entwi-ckelt werden konnten.

Abb. 5-28. Einschätzung und Bewertung der Ressourcen

Kostenstruktur

Ablaufplanung

Kostenstruktur

Ablaufplanung

Ressourcen

Kumulierte Kosten

Verfügbarkeit

Zeit

Nachfrage

Finanzmittel

Vorgang


Vorgang

Fertigstellungsgrad

62%

Beton

Kapital

Zeit

Kostenstruktur

Ablaufplanung

Ressourcen



Abbildungsverzeichnis

Abb. 5-1. Zerlegung von Systemen zur Abschätzung der Bauzeit 5-1 Abb. 5-2. Zerlegung in Teilsysteme und Beziehungen 5-1 Abb. 5-3. Zerlegung in Teilsysteme und Beziehungen 5-2 Abb. 5-4. Zerlegung einer Aufgabe in Teilaufgaben und letztlich Aktivitäten und deren Beziehungen 5-3 Abb. 5-5. Darstellung eines Graphen 5-5 Abb. 5-6. Darstellung eines Graphen: Knotenliste und Matrixdarstellung 5-6 Abb. 5-7. Kausale Sequenz 5-7 Abb. 5-8. Beispiel Steuerungsprozesse 5-7 Abb. 5-9. Zirkuläre Sequenz 5-7 Abb. 5-10. Beispiel: Zirkuläre Sequenz - Steuerungsprozess 5-8 Abb. 5-11. Zirkuläre Sequenz 5-8 Abb. 5-12. Baumstruktur 5-8 Abb. 5-13. Raumbuch 5-9 Abb. 5-14. Projektstrukturplan 5-9 Abb. 5-15. Gliederung nach Leistungen 5-10 Abb. 5-16. Baumstruktur für Kostenkalkulation 5-10 Abb. 5-17. Netzplan der Graphentheorie 5-11 Abb. 5-18. Netzplandarstellung von Aktivitäten und ihren Abhängigkeiten 5-11 Abb. 5-19. Beispiel: Stahlpreise 5-12 Abb. 5-20. Lokalität 5-12 Abb. 5-21. Lokale Wirkung und emergente Größen 5-13 Abb. 5-22. Lokale Wirkung und emergente Größen 5-14 Abb. 5-23. Netzstruktur in der Ablaufplanung von Ressourcen 5-15 Abb. 5-24. Kostenstruktur 5-15 Abb. 5-25. Einfache Abhängigkeiten der Ressourcen 5-15 Abb. 5-26. Komplexe Abhängigkeiten der Ressourcen 5-16 Abb. 5-27. Mehrfachstrukturen mit Koppelungen 5-16 Abb. 5-28. Einschätzung und Bewertung der Ressourcen 5-16

7-1

Ausgabe 12/2009 Kapazität von Transportnetzen


Kapitel 7: Kapazität von Transportnetzen Inhaltsverzeichnis

7 Kapazität von Transportnetzen 7-2

7.1 Stationäre Flüsse in Netzwerken 7-2 7.1.1 Einführung 7-2 7.1.2 Begriffe 7-2

7.2 Algorithmus von Ford - Fulkerson 7-4 7.2.1 Abstraktion 7-5 7.2.2 Startflüsse und Verbesserungen 7-5 7.2.3 Algorithmus zum Auffinden von Verbesserungen 7-7

7.3 Beispielhafte Berechnung 7-10

7.4 Aufgabe „Kapazitätsuntersuchung“ 7-12

7-2



7 Kapazität von Transportnetzen

7.1 Stationäre Flüsse in Netzwerken

7.1.1 Einführung

Eine klassische Aufgabe der Baulogistik ist die Bestimmung von Kapazitäten in Transportnetzwerken. Das betrifft konkrete Netzwerke wie etwa Straßennetze und Flugrouten in gleicher Weise wie abstraktere Systeme wie Ver- und Entsorgungsleitungen und Informations- und Entscheidungsflüsse oder Flüsse von Kapital, Arbeitskraft oder auch Steuerungsleistung. Weitere Beispiele der Anwendung wären etwa Materialflüsse in einer Fabrik oder auch die Modellierung von Maschinenkapazitäten im Erdbau. Die Graphentheorie stellt für derartige Aufgaben den Algorithmus von Ford-Fulkerson zur Verfügung. Das Netz wird als gerichteter Graph dargestellt, jede Kante wird mit einer maximalen Kapazität als Konstante und einem Fluss als Variable versehen. Ggf. werden bidirektionale Kanten doppelt antiparallel modelliert Der gesamte Fluss, der durch das Netz von einem Quellknoten zu einem Senkenknoten maximal fließen kann ist eine emergente Größe, die sich nur aus der Gesamtheit aller Kanten und deren lokalen Eigenschaften der jeweiligen Kapazität bestimmt.

Fluss FKapazität C

Kapazität CFluss FFluss F

Kapazität C

Kapazität CFluss F

Kapazität CFluss F

Abbildung 7-1: Flüsse und Kapazitäten in einem Graphen

7.1.2 Begriffe

7.1.2.1 Kantenfluss

Jeder (gerichteten) Kante des Graphen wird eine reelle Zahl zugeordnet, welche ein Maß für den Fluss durch die Kante in der festgelegten Richtung darstellt. In einen Knoten einlaufenden Flüssen wird dabei negatives und abgehenden Flüsse positives Vorzeichen zugeordnet. Die Summe aller Flüsse, die über einen Knoten laufen ist in der Regel Null.

- +++

- +

Abbildung 7-2: Einlaufende und ausgehende Flüsse

Eine Ausnahme dieser Regel stellen Quellen und Senken, hier in erweiterter Definition der Graphentheorie, dar.

7-3



7.1.2.2 Quellen und Senken

Eine Quelle hat eine positive Summe Eine Senke hat eine negative Summe aller ein- und auslaufenden Flüsse. aller ein- und auslaufenden Flüsse.

Abbildung 7-3: Quellen und Senken

7.1.2.3 Stationärer Fluss

Eine Zuordnung von Kantenflüssen [ ]f p pi j, zu jeder Kante [ ]p pi j, , so dass gilt:

( ), , ( )

0

i

i j j i ij j

w für p q Quellef p p f p p w für p s Senke

sonst

=⎧⎪⎡ ⎤ ⎡ ⎤− = − =⎨⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪⎩

∑ ∑

mit ,i jj

f p p⎡ ⎤⎣ ⎦∑ als auslaufender Kantenfluss und ,j ij

f p p⎡ ⎤⎣ ⎦∑ als einlaufender Kantenfluss,

heißt „Stationärer Fluss“. Dieses Gleichgewicht impliziert, dass es keine dynamischen Quellen oder Senken geben kann (etwa als Reservoir), d.h. Q liefert und S benötigt einen zeitlich konstanten Fluss.

7.1.2.4 Kapazität

Jeder Kante kann eine natürliche Zahl C zugeordnet werden, welche die Kapazität dieser Kante repräsentiert und den Kantenfluss begrenzt. Der Kantenfluss heißt „zulässig“, wenn er kleiner oder gleich der Kapazität der Kante ist.

7.1.2.5 Maximalfluss

Ein Stationärer Fluss durch einen Weg oder eine Vielzahl von Wegen durch einen Graphen, der nicht erhöht werden kann ohne eine der Kapazitätsbeschränkungen Ci der Kanten i zu verletzen, heißt Maximalfluss.

WegiMax CMinf =

Q SC = 7 C = 9C = 8

Abbildung 7-4: Kapazitätsbeschränkung, Maximalfluss

7-4



7.1.2.6 Vereinheitlichung

Hat ein Graph mehrere Quellen oder Senken, so kann er dadurch vereinheitlicht werden, dass gegebenenfalls eine virtuelle Quelle bzw. Senke eingeführt wird. Diese virtuelle Quelle bzw. Senke wird mit allen Quellen bzw. Senken durch Kanten unbeschränkter Kapazität verbunden. Eine etwaige Kapazität einer Quelle oder Senke kann entsprechend über diese Kanten auch konsistent als Kantenkapazität modelliert werden.

Abbildung 7-5: Virtuelle Quelle und Senke

7.1.2.7 Schnitt

Ein Schnitt durch einen Graphen ist eine Trennung der Menge der Knoten in zwei Teilmengen. Dabei laufen diverse Kanten durch die Trennungslinie. Die Menge dieser Kanten heißt Schnitt. Die Kapazität des Schnittes ist die Summe der Kapazitäten der beteiligten Kanten. Als Minimaler Schnitt wird der Schnitt bezeichnet, der Quelle und Senke trennt und dessen Kapazität minimal ist. Die Kapazität Cs des minimalen Schnittes stellt zugleich den maximalen Fluss durch den Graphen dar.

Abbildung 7-6: Schnitt durch den Graphen

7.2 Algorithmus von Ford - Fulkerson

Der Algorithmus von Ford und Fulkerson erlaubt, auf systematische Weise auch in großen komplexen Netzwerken, den maximalen Fluss von der Quelle zur Senke zu ermitteln, bzw. damit auch die Verteilung der Teilflüsse auf die beteiligten Kanten. Mit diesen Informationen sind die einschränkenden Engpässe lokalisierbar und eine Optimierung der Flussverteilung kann iterativ vorgenommen werden.

7-5



7.2.1 Abstraktion

Beispiel: Bei einer innerstädtischen Großbaustelle wird zur Zeit des Aushubes eine erhebliche Anzahl von Erdtransporten von der Baustelle auf eine außerhalb liegende Deponie erwartet. Es stellt sich die Frage, inwieweit das bestehende Verkehrsnetz einschließlich des regulären Straßenverkehrs dieser zusätzlichen Belastung gewachsen ist. Nachdem der Transport keinesfalls nur über einzelne Wege, sondern über ein vernetztes Straßensystem erfolgt, die Belastung aber an der Baustelle selbst konzentriert ist, müssen die dies betreffenden Engstellen lokalisiert und ggf. beseitigt werden. Mit dieser Information können dann z.B. Entscheidungen über die Position und Anzahl der Baustellenausfahrten, damit auch Rampen in der Baugrube etc. getroffen werden. Gegeben sei also innerstädtisches Straßennetz mit bekannten Straßenkapazitäten. Als Quellen werden die Baustellenausfahrten und als Senke die Entsorgungsstelle oder die Straßen an der Systemgrenze, an der die Verkehrsdichte vernachlässigbar wird, modelliert werden. Anhand der Angaben lässt sich dann der gerichtete Graphen des Straßennetzes z.B. wie folgt darstellen. Dabei sind Knoten A-F Verkehrskreuzungen, Quelle Q, Senke S, Bezeichnung [Fluss Fz/min, Kapazität Fz/min]:

Q

B

A

C F

E

D S

[0,2]

[0,4]

[0,8]

[0,7] [0,9]

[0,11]

[0,2]

[0,6]

[0,7]

[0,5]

[0,3]

Baustelle Innenstadt

Deponie SchuttergutInnenstadtverkehr

Innerstädtisches Straßennetz

Abbildung 7-7: Beispiel gerichteter, kapazitätsbeschränkter Graph

7.2.2 Startflüsse und Verbesserungen

Zunächst wird nach Ford-Fulkerson eine grundsätzlich zulässige Flussverteilung 0=if mit einem Gesamtfluss 0=f angeben. Dann wird iterativ geprüft, ob dieser Fluss bereits der Optimale ist oder ob etwa auf einem Weg von der Quelle zur Senke, der noch Restkapazitäten auf seiner gesamten Länge aufweist, eine Verbesserung der Flussverteilung gefunden werden kann. Dazu werden einzelne Wege auf ihre Kapazität untersucht. Generell stehen eine Vielzahl von Wegen zur Verfügung, sie können sich als Wege nur mit „Vorwärtskanten“ erweisen, oder auch „Rückwärtskanten“ aufweisen.

7-6



Bei Vorwärtskanten weisen alle Kanten in Richtung des Weges, ein Beispiel ist im Folgenden angegeben:

Abbildung 7-8: Restkapazitäten auf einem Weg (nur Vorwärtskanten)

Auf dem gestrichelt gekennzeichneten Pfad kann eindeutig ein höherer Fluss fließen. Dieser ergibt sich aus dem Minimum der Restkapazitäten aller am Weg beteiligten Kanten. In diesem Beispiel beträgt die mögliche Flussverbesserung durch den gefundenen Weg

(8,7,11,4,2,5) 2Min = . Entsprechend können die um 2 Einheiten verbesserten Flüsse eingetragen, und die verbleibenden Restkapazitäten auf dem betroffenen Weg berechnet und notiert werden.

Abbildung 7-9: Eingetragener Fluss des verbessernden Weges (Vorwärtskanten)

In diesem Beispiel enthält der Weg nur Vorwärtskanten, die stets in Richtung der Kantenfolge zeigen. Diese enthalten einsichtig eine Flussverbesserung. Alternativ können jedoch auch Rückwärtskanten, deren Richtung entgegen der betrachteten Kantenfolge zeigt, zu einer Verbesserung des Gesamtflusses beitragen, obwohl negative Flüsse nicht möglich sind. Allerdings ist ein negativer Fluss zulässig, solange er als Verringerung eines existierenden positiven Flusses auftritt. Daher können Rückwärtskanten nicht mit ihrer Restkapazität, sondern mit ihrem bereits eingetragen Fluss zu einer Verbesserung des Gesamtflusses beitragen.

Abbildung 7-10: Restkapazitäten auf Rückwärtskanten

7-7



Auch auf einem solchen Weg lassen sich Flussverbesserungen erzielen, indem man den Fluss [ ],Q B und [ ],E S um zwei Einheiten erhöht, und in der Rückwärtskante [ ]BE um zwei Einheiten verringert. Die verfügbare Flussverbesserung ist also Min[2, 2, 9] = 2

Abbildung 7-11: Eingetragener Fluss der Kanten

Die allgemeine Flussverbesserung eines beliebigen Weges ist also einerseits durch das Minimum der Restkapazitäten der Vorwärtskanten bestimmt, andererseits durch das Minimum der bereits vorhandene Flüsse in den Rückwärtskanten, damit keine negativen Flüsse auftreten. Auf diese Weise kann durch systematische Untersuchung von flussverbessernden Wegen der Gesamtfluss erhöht und dabei die Restkapazitäten der einzelnen Kanten abgebaut werden. Kann kein weiterer verbessernder Weg zur Senke gefunden werden, dann sind der optimale Gesamtfluss und eine dazugehörige Verteilung der Kantenflüsse gefunden. Diese Verteilung ist nicht notwendigerweise eindeutig.

7.2.3 Algorithmus zum Auffinden von Verbesserungen

Um zuverlässig alle möglichen Wege zu überprüfen, ist eine Systematik erforderlich, welche alle möglichen Wege erzeugt. Dies kann auf einfache Weise dadurch geschehen, dass man ausgehend von der Quelle Q stets alle angrenzenden Kanten (Start oder Endpunkt markiert) mit Restkapazität (vorwärts) oder Flüssen ≠ 0 (rückwärts) betrachtet und jeweils alle Folgeknoten mit der mindestens bis hierher erreichbaren Flusserhöhung markiert. Zusätzlich sind alle Knoten mit einer Kennzeichnung des Vorgängers zu versehen, von dem der aktuelle mindeste Restkapazitätsweg stammt. Auf diese Weise wird die Senke durch einem Weg mit der momentan maximalen Flusserhöhung erreicht. Damit ist ein verbessernder Weg gefunden und die neuen Flüsse und Restkapazitäten können berechnet werden. Kann die Senke dann durch keinen weiteren Weg erreicht werden, weil alle möglichen Wege aus kapazitiven Gründen verbaut sind, so ist das Optimum erreicht und der Algorithmus kann abgebrochen werden. Der Algorithmus in Kurzform:

• Setzen der Startflüsse = 0 • Systematisches Finden eines flussverbessernden Weg

o Markieren des Startknotens o Berechnen der Mindest-Flüsse für alle an Markierung grenzende Knoten o Wählen bei mehreren Ergebnissen für einen Knoten den günstigeren Weg o Markieren aller auf diese Weise berechneten Knoten o Streichen evtl. Kanten, die Wege aus Kapazitätsgründen sperren.

[2,0]

[0,11

[2,7]

7-8



o Fortfahren, bis der Senkenknoten erreicht ist o Ermitteln der Restkapazität des flussverbessernden Weges o Einarbeitung des gefundenen Weges, addieren seiner Zusatzflüsse und reduzieren

der entsprechenden Restkapazitäten oder eingetragenen Flüssen • Wiederholen der Suche nach Flussverbesserungen in dieser Weise, bis keine weiteren

Wege mehr gefunden werden können.

Start

Flüsse := 0

Finde verbessernden

Wegkorrigiere

Flüsse

Fertig?

Ende

Markiere Start

Berechne Flüsse für Nachbarkanten

(Wähle Vorgänger)Markiere berechn. KnotenStreiche belegte Kanten

Ziel erreicht?

Start

Flüsse := 0

Finde verbessernden

Wegkorrigiere

Flüsse

Fertig?

Ende

Markiere Start

Berechne Flüsse für Nachbarkanten

(Wähle Vorgänger)Markiere berechn. KnotenStreiche belegte Kanten

Ziel erreicht?

Abbildung 7-12: Ford-Fulkerson Algorithmus

Im folgenden Beispiel sind für den gegebenen Graphen die Startflüsse auf 0 gesetzt, ein flussverbessernder Weg soll systematisch ermittelt werden. Jetzt werden ausgehend von der Quelle Q alle angrenzenden Kanten betrachtet:

Abbildung 7-13: Systematische Suche nach flussverbessernden Wegen

7-9



An jedem weiteren Knoten werden die jeweils maximalen Flussverbesserungen (Minimum aus bisheriger Kapazität und der Kapazität/Fluss der betrachteten Kante) ermittelt und zusammen mit der Kennzeichnung des Vorgängers notiert.

Q

B

A

C F

E

D S

[0,2]

[0,4]

[0,8]

[0,7] [0,9]

[0,11]

[0,2]

[0,6]

[0,7]

[0,5]

[0,3]

Min(^,2)=Vorg. Q

Min(^,8)=8Vorg. Q

Min(∞,8)=8Vorg. Q

Min(∞,2)=2Vorg. Q

Min(2,4)=2Vorg. B

Min(8,7)=7Vorg. A

Min(2,0)=0Vorg. B

besser A

oder

Rückwärtskante! Abbildung 7-14: Verbesserungsentscheidung bei Knoten E: Vorgänger A

Q

B

A

C F

E

D S

[0,2]

[0,4]

[0,8]

[0,7] [0,9]

[0,11]

[0,2]

[0,6]

[0,7]

[0,5]

Min(^,2)=Vorg. Q

Min(^,8)=8Vorg. Q

Min(∞,8)=8Vorg. Q

Min(∞,2)=2Vorg. Q

Min(2,4)=2Vorg. B

Min(8,7)=7Vorg. A

Min(2,6)=2Vorg. C

besser E

oder Min(7,3)=3Vorg. E

Min(7,9)=7Vorg. E

Min(2,2)=2Vorg. C

[0,3]

Verbesserung um 7 Einheiten

Abbildung 7-15: Verbesserungsentscheidung bei Knoten D: Vorgänger E

Nachdem die Senke erreicht ist, ist ein verbessernder Weg gefunden. Über eine einfache Rückwärtsverfolgung der jeweils angegebenen Vorgänger wird der Weg identifiziert, dann die verbessernden Flüsse auf diesem Weg eingetragen und die Restkapazitäten berechnet.

7-10



Q

B

A

C F

E

D S

[0,2]

[0,4]

[7,1]

[7,0] [7,2]

[0,11]

[0,2]

[0,6]

[0,7]

[0,5]

Min(^,2)=Vorg. Q

Min(^,8)=8Vorg. Q

Min(∞,8)=8Vorg. Q

Min(∞,2)=2Vorg. Q

Min(2,4)=2Vorg. B

Min(8,7)=7Vorg. A

Min(7,9)=7Vorg. E

Min(7,3)=3Vorg. E

Min(2,2)=2Vorg. C

[0,3]

Abbildung 7-16: Optimaler Vorgänger durch Rückwärtsverfolgung, Restkapazität

Anschließend wird das Verfahren iterativ wiederholt, bis kein Weg zur Senke mit geeigneten Restkapazitäten mehr gefunden werden kann. Dann ist der Algorithmus beendet, die optimale Flussverteilung gefunden.

7.3 Beispielhafte Berechnung

Im Folgenden wird der vorgenannte Graph nach Ford-Fulkerson beispielhaft bis zum Ende berechnet:

Abbildung 7-17: Beispielhafter Berechnung 1. Schritt

Abbildung 7-18: Beispielhafter Berechnung 2. Schritt

7-11



Abbildung 7-19: Beispielhafter Fertigberechnung 3. Schritt

Abbildung 7-20: Beispielhafter Fertigberechnung 4. Schritt

Kann schließlich kein flussverbessernder Pfad mehr gefunden werden, so ist der Minimalschnitt festzustellen. Der Fluss durch den Minimalen Schnitt muss mit dem Quell Fluss und dem Samenfluss übereinstimmen.

Q

B

A

C F

E

D S

[2,0]

[2,2]

[7,1]

[7,0] [7,2]

[0,11]

[2,0]

[0,6]

[0,7]

[2,3]

[0,3]

Abbildung 7-21: Schnitte an Quelle und Senke sowie Minimalschnitt Durch die Bestimmung des Minimalschnittes sind die Engpässe des Netzes im Graphen erkennbar (Flaschenhals). Hier setzt schließlich die Optimierung durch die Untersuchung Kapazitätssteigerungen und ihren Folgen für das Gesamtnetz an. Anmerkung: Nachdem die Flussverteilung außerhalb des Minimalen Schnittes nicht eindeutig ist, kann sie dort nach anderen Kriterien, wie etwa Kosten, umgesteuert werden.

Minimalschnitt

7-12



7.4 Aufgabe „Kapazitätsuntersuchung“

Bei einer Sanierungsbaustelle in Pasing fällt Schuttergut an, welches über LKWs von der Baustelle abtransportiert werden soll.

Abbildung 7-22: Entsorgungssituation in Pasing

Im Rahmen der Organisationsplanung der Baulogistik liegt eine Begrenzung des zulässigen zusätzlichen Straßenbelastung (LKW pro Stunde) vor. Bestimmt werden sollen die maximale Transportkapazität, die Engpässe und die verbleibenden Freiheitsgrade.

q

1

2

s

9 Fz/h

27 Fz/h

10 Fz/h11 Fz/h

19 Fz/h

Abbildung 7-23: Entsorgungsnetz zur Kapazitätsuntersuchung

7-13



Abbildungsverzeichnis: Abbildung 7-1: Flüsse und Kapazitäten in einem Graphen........................................................................... 7-2 Abbildung 7-2: Einlaufende und ausgehende Flüsse.................................................................................... 7-2 Abbildung 7-3: Quellen und Senken.............................................................................................................. 7-3 Abbildung 7-4: Kapazitätsbeschränkung, Maximalfluss................................................................................ 7-3 Abbildung 7-5: Virtuelle Quelle und Senke.................................................................................................... 7-4 Abbildung 7-6: Schnitt durch den Graphen ................................................................................................... 7-4 Abbildung 7-7: Beispiel gerichteter, kapazitätsbeschränkter Graph ............................................................. 7-5 Abbildung 7-8: Restkapazitäten auf einem Weg (nur Vorwärtskanten) ........................................................ 7-6 Abbildung 7-9: Eingetragener Fluss des verbessernden Weges (Vorwärtskanten) ..................................... 7-6 Abbildung 7-10: Restkapazitäten auf Rückwärtskanten................................................................................ 7-6 Abbildung 7-11: Eingetragener Fluss der Kanten ......................................................................................... 7-7 Abbildung 7-12: Ford-Fulkerson Algorithmus................................................................................................ 7-8 Abbildung 7-13: Systematische Suche nach flussverbessernden Wegen.................................................... 7-8 Abbildung 7-14: Verbesserungsentscheidung bei Knoten E: Vorgänger A .................................................. 7-9 Abbildung 7-15: Verbesserungsentscheidung bei Knoten D: Vorgänger E .................................................. 7-9 Abbildung 7-16: Optimaler Vorgänger durch Rückwärtsverfolgung, Restkapazität .................................... 7-10 Abbildung 7-17: Beispielhafter Berechnung 1. Schritt................................................................................. 7-10 Abbildung 7-18: Beispielhafter Berechnung 2. Schritt................................................................................. 7-10 Abbildung 7-19: Beispielhafter Fertigberechnung 3. Schritt........................................................................ 7-11 Abbildung 7-20: Beispielhafter Fertigberechnung 4. Schritt........................................................................ 7-11 Abbildung 7-21: Schnitte an Quelle und Senke sowie Minimalschnitt ........................................................ 7-11 Abbildung 7-22: Entsorgungssituation in Pasing......................................................................................... 7-12 Abbildung 7-22: Entsorgungsnetz zur Kapazitätsuntersuchung ................................................................. 7-12

IAusgabe 12/2009 – Grundlagen Monte Carlo Verfahren


Kapitel 8: Monte Carlo Simulationsverfahren Inhaltsverzeichnis

8 Monte Carlo Simulationsverfahren 8-1

8.1 Statistische Lösung eines Integrals 8-1

8.2 Stochastische Simulation 8-2 8.2.1 Optimierung mit Wahrscheinlichkeiten 8-2 8.2.2 Risiko und Wahrscheinlichkeiten 8-3 8.2.3 Wichtige Kennwerte von Verteilungen 8-5

8.3 Grundlagen der Monte Carlo Simulation MCS 8-6 8.3.1 Beispielhafte Monte-Carlo-Modellierung 8-6 8.3.2 Generieren von verteilten Zufallswerten 8-8

8.4 Beispiel MCS Shoppingcenter 8-9 8.4.1 Problemstellung: Lage 8-10 8.4.2 Modellierung (Graphentheorie) 8-11 8.4.3 Erkenntnisse aus der Simulation 8-13

8.5 München Hauptbahnhof 8-13 8.5.1 Verkehrsbelastung durch Baumaßnahmen (Erdbau) 8-14 8.5.2 Versorgungs- und Entsorgungslogistik 8-14 8.5.2.1 Geometrische Randbedingungen 8-15 8.5.2.2 Geographische Randbedingungen 8-15 8.5.2.3 Zeitliche Randbedingungen 8-16 8.5.3 Simulation ExtendSim 8-16 8.5.3.1 Elemente der Simulation 8-17 8.5.3.2 Messungen aus der Simulation 8-19 8.5.3.3 Ergebnisse der Simulation 8-21

8-1Ausgabe 12/2009 – Grundlagen Monte Carlo Verfahren


( ) ( )2sin cosf x x x= ⋅

8 Monte Carlo Simulationsverfahren

8.1 Statistische Lösung eines Integrals

Wie aus der Analysis bekannt ist die Lösung eines Integrals einer reellen Funktion einer Variablen im zweidimensionalen Koordinatensystem als die Flächenbilanz zwischen dem Graphen der Funktion und der x-Achse zu verstehen. In vielen Fällen ist es wesentlich, die Lösung analytische zu bestimmen um tiefer gehende Schlüssen ziehen zu können. Immer wieder jedoch stößt man auf nicht analytisch lösbare Integrale und ist doch an konkreten Werten interessiert. Ein einfacher Ansatz bietet eine numerische Lösung hoher Genauigkeit selbst für außerordentlich sperrige In-tegrale und dient zugleich als einführendes Beispiel für die Vorgehensweise der Monte Carlo-Methoden. Die folgende Abbildung zeigt eine anschauliche Darstellung des Integrals als Flächeninhalt unter einer Kurve der Funktion f im Integrationsbereich von 1 bis 5/2.

Abbildung 8.1: Funktionsgraph und Lösung des Flächenintegrals

Die stochastische Lösung des bestimmten Integrals ergibt sich durch eine Vielzahl von Versuchen bei denen jeweils überprüft wird ob ein zufällig gewählter Punkt oberhalb oder unterhalb der Funk-tion liegt. Wird die Anzahl der erfolgreichen Versuche unterhalb der Funktion zur Gesamtzahl der Versuche ins Verhältnis gesetzt, so ergibt sich die Näherung des Integrals als Flächenanteil. Ver-suche, die undefinierte Aspekte des Integranden treffen werden einfach ignoriert.

Abbildung 8.2: Statistische Lösung des Integrals

Die analytische Lösung F(x) stimmt mit der stochastisch in fünf Serien ermittelten Lösung (siehe Bild) sehr gut überein.

0,5792

0,5948

0,5895

0,5951

0,5888

( ) 0,5879216150F x =

( ) ( )52

2

1

sin cosF x x x dx= ⋅∫



8.2 Stochastische Simulation

8.2.1 Optimierung mit Wahrscheinlichkeiten Die Stochastik fasst als Oberbegriff die Gebiete Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik zusam-men. Mathematische Stochastik beschäftigt sich mit der Beschreibung und Untersuchung zufälli-ger Ereignisse und ihrer Modellierung. Definition: Stochastik (altgr. στόχαστικὴ τέχνη, (stochastike techne), lat. ars coniectandi):

Kunst des Vermutens, „Ratekunst“ Ausgangspunkt der Wahrscheinlichkeitstheorie sind Ereignisse, denen Wahrscheinlichkeiten zwi-schen 0 und 1 zugeordnet sind. Die Betrachtung von zufälligen Ereignissen neben determinierten Tatsachen im Zuge der Ent-scheidungstheorie eröffnet einen weiten Raum der Untersuchung, schränkt aber auch die Inter-pretation der Resultate ein. Zur Entscheidungsfindung gilt es, durch Optimierung eine möglichst gute Lösung für ein Problem zu finden, d.h. die Extremwerte der Zielfunktion. Dabei sind folgende Aspekte zu unterscheiden:

• Optimierung unter Sicherheit • Optimierung unter Risiko • Optimierung unter Unsicherheit

Abbildung 8.3: Aspekte der Optimierung

Sind alle Systemvariablen wohl determiniert, so spricht man von Optimierung unter Sicherheit, weil das Optimum in jedem Fall prinzipiell existiert. Das schließt nicht aus, dass es mehrer Optima geben kann, ggf. auch keines oder dass die Berechnung schwierig oder gar unmöglich ist. Liegt auch nur für eine Systemvariable kein determinierter Wert, sondern nur eine Wahrschein-lichkeitsverteilung vor, so wird auch die Lösung nur eine Wahrscheinlichkeitsverteilung darstellen, ggf. eine sehr schmale, falls die Abhängigkeit der Zielfunktion von der entsprechenden Variable nur gering ist. Damit kann das Optimum für einen Einzelfall - wie er bei Bauprojekten im Allgemei-

determiniert

Black Box

Nichts 0

Optimierung unter Sicherheit(berechenbares Ergebnis)

Optimierung unter Risiko (berechenbare Verteilung)

Optimierung unter Unsicherheit (ermittelbar nach Output)

Verteilungen

Input Optimierung Ergebnis



nen vorliegt - nicht generell angegeben werden sondern nur mit der zugehörigen Wahrscheinlich-keitsdichte. In diesem Fall spricht man von Optimierung unter Risiko. Als dritte Möglichkeit kann es vorkommen, dass Eingangswerte nicht einmal als Verteilung, son-dern überhaupt nicht vorliegen. Dennoch können auch in diesem Fall Optimierungsergebnisse ermittelt werden, die sich jedoch auf die einzig verfügbaren Informationen, nämlich die Konse-quenzen von Entscheidungen stützen. Solche Optimierung unter Unsicherheit hat ihren Schwer-punkt der Spieltheorie, die z.B. im Angebotswesen in der Wirtschaft eine wesentliche Rolle spielt. Nachdem für Bauprojekte als Unikate jedoch keine sinnvolle Wahrscheinlichkeitsbetrachtung vor-genommen werden kann, sollen diese Aspekte hier nicht weiter untersucht werden.

8.2.2 Risiko und Wahrscheinlichkeiten Im Folgenden sollen in Kürze die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsbetrachtungen zusammen-gefasst werden: Liegt für eine Systemvariable ein determinierter Wert vor, so bedeutet das, dass n Messungen dieser Angabe in 100% aller Versuche zum gleichen Wert führen. Beispiel: Dauer eines LKW-Transports auf einer festgelegten Strecke vom Schutterplatz bis zur Deponie:

Transportzeit

Rel. Häufigkeit

0

1

Abbildung 8.4: LKW-Transportzeit deterministisch

In der Realität dagegen führen n Messungen zu unterschiedlichen Ergebnissen: • Es gibt eine Vielzahl von Einfluss nehmenden Parameter mit nur geringer Auswirkung. Diese

heben sich zum großen Teil auf weil sie unabhängig voneinander variieren, manchmal kumu-lieren sie aber auch und wirken sich dadurch sehr stark aus: z.B. Fahrerzustand, Steigung der Strecke, Wahl des individuellen Fahrzeugs, Zustand der Reifen, Zeitpunkt der einzelnen Fahrt. Solche Parameter wären im Prinzip berechenbar, würden aber die Problemstellung unnötig erweitern.

• Darüber hinaus gibt es generell unkontrollierbare Parameter, die die Fahrtdauer beeinflussen,

wie etwa den Zustand von Ampeln, Eisenbahnübergängen o. ä. Diese liegen a priori nicht vor. Es ergibt sich somit eine Verteilung der Transportzeiten über viele Messungen. Zur Erfassung dieser kumulierten Variation werden die Messungen vorgenommen und analysiert in der Vorstel-lung, ihre Aussagen verallgemeinern und damit zukünftige Fahrten prognostizieren zu können.



Zur Messung wird als relative Häufigkeit festgehalten wie viel Prozent der Messergebnisse in den Zeitraum [ ],t t t+ Δ fallen.

[t, t+Δt].

Transportzeit

Rel. Häufigkeit im Zeitintervall

0

[t, t+Δt].

Transportzeit

Rel. Häufigkeit im Zeitintervall

0

Abbildung 8.5: Relative Häufigkeit –LKW-Transportdauer

Nach die Messung der Fahrtdauer des LKW in jedem Fall zu irgendeinem Wert führen muss, ist das Intergral über die Häufigkeitsverteilung gleich 1. Ein Übergang Δt gegen 0 führt dann unmit-telbar zur Häufigkeitsdichte. Wird nun aufgrund vergleichbarer Umstände aus der Häufigkeitsverteilung dieser Fahrt auf die Häufigkeitsverteilung zukünftiger Fahren geschlossen, so nennt man diese Wahrscheinlichkeits-verteilung. Bei kleinen Intervallen ergibt sich die Intervallwahrscheinlichkeit aus dem Produkt von Wahr-scheinlichkeitsdichte und Intervalllänge, bei größeren Intervallen ist diese Näherung nicht zulässig und die Wahrscheinlichkeit muss als Integral über die Verteilung über das betrachtete Intervall berechnet werden.

Transportzeit

Wahrscheinlichkeitsdichte

0

Abbildung 8.6: Integral über Wahrscheinlichkeitsdichte



8.2.3 Wichtige Kennwerte von Verteilungen Um nicht mit gemessenen Häufigkeitsverteilungen arbeiten zu müssen bzw. bereits in der Analyse derselben ist man bestrebt, deren charakteristischen Eigenschaften zu ermitteln. Diese werden als die zentralen Momente der Verteilung bezeichnet:

• Normierung ( )0

1P t dt∞

′ ′ =∫

• Mittelwert ( )0

P t P t dt∞

′ ′ ′= ⋅∫ (Erwartungswert)

• Varianz ( ) ( )22

0

t P P t dtσ∞

′ ′= −∫

„Breite der Verteilung“

• Schiefe Drittes Moment: Asymmetrie • Wölbung Viertes Moment

Abbildung 8.7: Kennwerte von Verteilungen

Mit diesen Kennwerten können Verteilungen nicht nur charakterisiert werden, sie erlauben auch in Prognoserechnung zunehmend den Verteilungscharakter zu integrieren. Beispielsweise wird oft anstelle der Verteilung lediglich mit Mittelwerten gerechnet. Diese Näherung birgt allerdings erhebliche Risiken: • Mittelwerte als determinierte „Fakten“ führen zu determinierten Ergebnissen welche entspre-

chend eine Situation vortäuschen, die nicht der Realität entspricht. • Jegliche Information über die Verteilung geht bei dieser Behandlung verloren, hat jedoch etwa

bei Projektdauern eine erhebliche Bedeutung • Unrichtige Ergebnisse sind bei diversen Verteilungen zu erwarten, die etwa unter Randbedin-

gungen nachfolgend asymmetrisch werden

Transportzeit

Wahrscheinlichkeitsdichte

0

Randbedingung

Abbildung 8.8: Mittelwerte verzerren die Situation unter Randbedingungen



Anmerkungen zum Umgang mit Verteilungen und Wahrscheinlichkeiten im Projektgeschäft: Wahrscheinlichkeiten sagen nichts über den Einzelfall aus, „alles ist möglich“ Der Einsatz von Verteilungen ist immer dann angebracht, wenn keine besseren Informationen

vorliegen, dann mit der entsprechenden Vorsicht zu handhaben oder wenn eine Vielzahl von Vorgängen einer Art vorliegt, die den statistischen Ausgleich erlaubt, z.B. eine große Anzahl von Abschlägen im Tunnelbau.

In der Organisation von Bauvorhaben ist es notwendig, dass Vorgaben, wie etwa eine Pro-jektdauer oder Kostenn konkret vorliegen.

8.3 Grundlagen der Monte Carlo Simulation MCS

Die Monte-Carlo-Simulation ist ein Verfahren aus der Stochastik, die auf der Grundlage häufig durchgeführter Zufallsexperimente und deren Ergebnissen versucht, analytisch nicht oder nur aufwendig lösbare Probleme im mathematischen Kontext numerisch zu lösen. Die Zufallsexperi-mente können sowohl real (bsp. Würfeln) oder durch Erzeugen von Zufallszahlen mit Computeral-gorithmen durchgeführt werden. Allgemeines Vorgehen: Deterministisches Modell erstellen: Deterministische Eingangsdaten (vorhandene Informatio-

nen), Modell (Abhängigkeit zwischen Eingangsdaten und Ergebnis) und Ergebnis

Deterministisches Modell in stochastisches Modell überführen: Bestimmung, welche Ein-gangsdaten stochastisch sind. Bestimmung der Dichtefunktionen für die stochastischen Ein-gangsdaten. Bestimmung der Ergebnisvariablen, für die die Dichtefunktionen protokolliert wer-den sollen.

Monte Carlo Simulation durchführen: Das Modell wird n mal durchgespielt (simuliert). In jeder

Simulation wird für jede stochastische Eingangsgröße auf der Basis der spezifischen Vertei-lung eine Zufallszahl gezogen. Mit dem Modell wird jedes mal die Ergebnisgröße berechnet und protokolliert

Ergebnis analysieren: Das Ergebnis der Monte Carlo Simulation ist die Dichtefunktion der Er-gebnisgröße. Die Analyse findet statt durch Bestimmung der Verteilungsfunktion sowie die sta-tistischen Kennwerte.

8.3.1 Beispielhafte Monte-Carlo-Modellierung Ein komplexes System, etwa wieder der Transport einer Ladung durch einen LKW auf einer Stre-cke, wird durch eine Vielzahl unmittelbarer (lokaler) und damit überschaubarer Zusammenhänge modelliert. Zum Beispiel ist die Modellierung der Wechselwirkung des Fahrzeugs mit einer Ampel sehr einfach: Ist die Ampel rot, so bleibt das Fahrzeug stehen, ansonsten fährt es weiter. Die stochastischen Variablen einer Fahrt, z.B. die aktuelle Geschwindigkeit des LKW, werden den jeweiligen Verteilungen zufällig entnommen. In gleicher Weise wird statistisch ein gültiger Zustand der Ampel bestimmt. Entsprechend bleibt der LKW an der Ampel eine determinierte Zeit stehen, bevor er weiterfahren kann. Nach Abwicklung der individuellen Fahrt wird die aktuelle Fahrtdauer gemessen und festgehalten.



Eine Vielzahl derartiger Fahrten wird mit jeweils neu aus den Verteilungen ermittelten Werten durchgeführt und die Dauern aufgezeichnet. Die Vielzahl der Ergebnisse wird als Häufigkeitsverteilung analysiert und für vergleichbare zukünf-tige Fälle als Wahrscheinlichkeitsverteilung eingesetzt. Die komplexe Wechselwirkung einer Fahrtdauer mit voneinander unabhängigen Ampelsituationen könnte auch durch Faltung der Wahrscheinlichkeiten ermittelt werden. Allerdings versagt diese Methode, wenn darüber hinaus Koppelungen, etwa durch Schaltung einer grünen Welle vorliegen. Die Monte-Carlo -Rechnung modelliert auch diese Zusammenhänge und macht Sie in der Analyse verfügbar.

Abbildung 8.9: Zustände eines LKW während der Fahrt

Beispielhafte Ereignisse, an denen unmittelbare lokale Interaktionen modelliert werden könnten:

• LKW fährt ab • LKW trifft auf Gegenverkehr • Ampelschaltung schaltet auf rot • Vortrieb bleibt stehen • Schutterwagen ist voll

Ein LKW kommt an der Ladestelle an (Ereignis). Nach einer stochastisch bestimmten Ladezeit fährt der LKW ab (Ereignis), der nächste LKW der Warteschlange rückt nach. Nach einer eben-falls stochastisch bestimmten Umlaufzeit steht der LKW wieder leer zur Verfügung und stellt sich am Ende der Warteschlange an. Über eine Simulation lässt sich die Länge der Warteschlange bestimmen(=messen).

v

A B tA = v

tw

A B

v

•v tW tA =

tw1 tw2

A B

v

Grüne Welle für v = 60 km/h

• tW2 v • tW1 tA =



Abbildung 8.10: Koppelungen von Einzelverteilungen zu einer messbare Endverteilung

8.3.2 Generieren von verteilten Zufallswerten Ein wesentliches Kernelement der Monte-Carlo- Simulation ist die Erzeugung von nicht nur gelich verteilten Zufallszahlen, sondern auch entsprechend vorgelegten Verteilungen: Als Zufallsgenerator wird ein Verfahren bezeichnet, das eine Folge von Zufallszahlen erzeugt. Der Bereich, aus dem die Zufallszahlen erzeugt werden, hängt von dem einzelnen Zugfallsgenerator ab. In der Regel werden zunächst gleich verteilte Werte aus einem bestimmten Bereich er-wünscht. Grundsätzlich wird zwischen nicht-deterministischen und deterministischen Zufallsgeneratoren unterschieden. Schon begrifflich ist eine echte Zufallszahl nichtdeterministisch, entsprechend lie-fern nicht-deterministische Zufallsgeneratoren bei gleichen Ausgangsbedingungen stets unter-schiedliche Werte. Ein praktisches Beispiel für das Erzeugen von Zufallszahlen wäre etwa das klassische „Würfeln“ oder die Verwendung einer Ziffernreihenfolge wie bspw. die Nachkommastellen der Ziffer π, die soweit aktuell bekannt, recht gut gleich verteilte Werte liefern. π: 3. 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6 4 3 3 8 3 2 7 9 5 0 2 8 8 4 1 9 7 1 6 9 3 9 9 3 7 5 1 0 5 8 2 0 9 7 4 9 4 4 5 9 2 3 0 7 8 1 6 4 0 6 2 8 6 2 0 8 9 9 8 6 2 8 0 3 4 8 2 5 3 4 2 1 1 7 0 6 7 9 8 2 1 4 8 0 8 6 5 1 3 2 8 2 3 0 6 6 4 7 0 9 3 8 4 4 6 0 9 5 5 0 5 8 2 2 3 1 7 2 5 3 5 9 4 0 8 1 2 8 4 8 1 1 1 7 4 5 0 2 8 4 1 0 2 7 0 1 9 3 8 5 2 1 1 0 5 5 5 9 6 4 4 6 2 2 9 4 8 9 5 4 9 3 0 3 8 1 9 6 4 4 2 Leichter zu erzeugen und in den meisten Fällen hinreichend sind deterministische Generatoren, die bei gleichen Ausgangsbedingungen immer die gleiche Folge von Zahlen liefern. Die einzelnen Werte sind gut gleich verteilt zufällig, lediglich die Folge ist wiederholbar. Entsprechend werden die Werte als Pseudozufallszahlen beschrieben. Eine klassische Methode zur Erzeugung ist die Methode der linearen Kongruenz:

i 1 i mod mx (ax b)+ = +

Die Ergebnisse hängen ab von einem Startwert x0 sind gleich verteilt in [0, m-1] und periodisch. Die Beispielwerte x0 = 27, a = 17, b = 43, m = 100 liefert eine gute Reihe gleich verteilter Zufalls-zahlen zwischen 0 und 99. Nachdem im Allgemeinen nicht gleich verteilte Zufallszahlen benötigt werden, sondern Zahlen, die einer bestimmten Verteilung folgen, sind diese in geeigneter Weise umzurechnen. Dafür eignet sich folgendes Verfahren:



Liegt eine Verteilung p(x) vor, dann ist F die Verteilungsfunktion und ein Satz Werte yi, berechnet aus einem gleich verteilten Satz Werte xi verteilt nach p(x)

x

0

F p(x ')dx '= ∫ und 1i iy F (x )−=

Begründung:

0p const=

( ) ( )F x p xx∂

=∂

( ) ( )F xy p x

x x∂Δ

= =Δ ∂

0p y x p∗⋅ Δ = Δ ⋅

( )0 0yp p p x px

∗ Δ= = ⋅

Δ

Abbildung 8.11: Verteilungsfunktion

8.4 Beispiel MCS Shoppingcenter

Ein typisches Beispiel für den Einsatz von Monte-Carlo Simulationen im Zusammenhang mit Fra-gen der Investition ist die Auslegung von Shopping Centern. Unabhängig von Fragen der Markt-forschung, die hier nicht betrachtet werden, ist über die Verteilung von Mietern nachzudenken und die Positionierung der einzelnen Geschäfte im Sinne einer Mikrolage zu optimieren. Dies ge-schieht auf der Grundlage der Kundenströme, die so zu steuern sind, dass die jeweiligen Lagen der Branchen optimal bedient werden. Frequenzarme Bereiche sind durch Frequenzbringer auf-zuwerten, „Anker“-Mieter so zu positionieren, dass das gesamte Center von Ihnen profitiert. Insbesondere beim Umbau solcher Immobilien werden unmittelbar baubetriebliche Fragestellun-gen relevant, soweit nämlich Sperrungen oder sonstige Beeinträchtigungen der Kundenströme durch die Baumaßnahmen erfolgen und mit minimalen Eingriffen abgewickelt werden müssen.

0pyΔ

xΔ)(xp

∫=x

dxxpxF0

')'()(

dxxpdP )(=

)(xFx∂

∂

y

x*p



Abbildung 8.12: Positionierung von Ankermietern

Abbildung 8.13: Branchenmixplan

8.4.1 Problemstellung: Lage Geschäftstypen stehen in sehr unterschiedlicher Beziehung zueinander. Sie können paarweise oder in Gruppierungen angeordnet sein, wobei die Ankermieter weitgehend unabhängig vonein-ander sind. Aus diesen Anordnungsbeziehungen ergeben sich positive oder auch negative Wechselwirkun-gen. Dabei gilt es folgende Fragestellungen zu diskutieren: Gibt es eine absolute Positionierung? Existiert ein Bezug zu Ankermietern oder der Ankermieter untereinander? Ist ein Bezug in die Topologie gegeben oder besteht eine relative Positionierung? Sind Mehrfachverknüpfungen vorhanden?

Geschäftstypen definieren Personenströme, Personenströme definieren Lagen und Lagen definie-ren sinnvolle Positionen für Geschäftstypen. Jedes Einzelgeschäft trägt zum lokalen Personenstrom bei und hängt zugleich vom lokalen Per-sonenstrom ab. Der Globale Personenstrom setzt sich aus allen lokalen Beiträgen zusammen.

Ebene 1 Ebene 2



Erst der Globale Personenstrom definiert die Qualität der Lage.

Mikrolage definert

Personen-ströme

Anordnungs-beziehungen

definieren Personen-

ströme

Personen-ströme

definieren Mikrolage

Optimierungder

Mikrolage

Makrolage definiert

Branchenmix

Abbildung 8.14: Rekursive Definition Lage

8.4.2 Modellierung (Graphentheorie) Zunächst ist die Situation mit den Elementen der Graphentheorie durch Knoten und Kanten zu modellieren. Ein Knoten kann etwa ein Geschäft (Eingang), einen Verkehrsknoten und auch ein Centerein-/-ausgang sein. Die Kanten stellen z.B. die Personenströme dar. Eigenschaften eines (Geschäfts)-Knotens wären dann etwa, Identität, Namen, Geschäftsart, Charakterisierung, Zielgruppe, Ange-bot, Konsumart, Bedarf, Befriedigungsart, Frequenz, Mittlere Verweildauer, etc. Die Beziehungen des Knotens sind im Wesentlichen die räumlichen Nachbarknoten, ggf. mit einer Gewichtung durch den physischen Abstand oder etwa ein „Beschwerlichkeits-Maß“ für Treppe, Rolltreppe oder Lift. Zur dynamischen Modellierung sind weiter Eigenschaften notwendig, die den Personenfluss durch den Knoten steuern, etwa: Personenfluss, Verzweigungskriterien, Geschwindigkeiten, Ka-pazität, Aufenthaltsdauer oder Richtungen

Abbildung 8.15: Modellierung als Graph



Im Zuge der Simulation werden nun eine Vielzahl von Personen zufallsgesteuert an den Eingän-gen generiert. An jedem Knoten entscheidet im Monte-Carlo-Modell nach vorliegenden Verteilun-gen ein Generator über den nächsten Schritt jeder einzelnen Person als Entscheidungsbaum, welcher über parametrisierte Verteilungen gewichtet wird.

Abbildung 8.16: Modellierung der Entscheidungsfindung an einem Knoten

Diese Entscheidung hängt wesentlich ab von: • der aktuellen Position der Person, die überhaupt die zulässigen Entscheidungen definiert • Eigenschaften der betroffenen Person wie Präferenzen, Bedürfnisse, Affinität zu bestimmten

Geschäften oder Situationen, etwa auch der Wunsch, überfüllte Räume zu meiden • den Angeboten, die an den erreichbaren Knoten zur Verfügung stehen.

Zeit

Affinität

Zeit

Affinität

Zeit

Affinität

Zeit

Affinität

Abbildung 8.17: Modellierung der Wechselwirkungen, Personenstrategien

In diesem Sinne haben die Eigenschaften der Personen wie der auch der Geschäftsknoten Ein-fluss auf die Entscheidungen. In gleicher Weise aber werden auch Eigenschaften der Personen wie der Geschäftsknoten durch die Personen verändert. Etwa kann durch den Besuch eines Ge-schäftes der Bedarf der Person gedeckt werden und damit die Präferenz in diese Richtung aufge-hoben sein. Genauso ändern sich Geschäftssituationen durch die Personenströme, wie z.B. die Überfüllung eines Zugangs, der durch Baumassnahmen zeitweise verengt ist. Die Strategie einer Person könnte etwa im Sinne der Abbildung 7.17 ein mit der Zeit zunehmender Bedarf sein, der durch ein Geschäft gedeckt werden kann und damit wieder abnimmt, anschließend langsam wie-der steigt. Alternativ könnte ein Bedarf einer Transportleistung modelliert werden, etwa, an einem Bahnhof einen Zug zu erreichen, der mit zunehmender Zeit immer dringlicher wird. Nach einer Vielzahl von Durchläufen eines solchen Monte-Carlo-Modells sollte sich ein stabiler Zustand eingestellt haben, der durch laufende Messungen etwa der simulierten Personenströme



zu bestätigen ist. Durch detaillierte Messungen und insbesondere Sensitivitätsanalysen können in diesem Modell die Auswirkungen von einzelnen Maßnahmen, wie Umbauvorhaben, Sperrungen, Eröffnungen etc. studiert und prognostiziert werden.

8.4.3 Erkenntnisse aus der Simulation Aus den einzelnen Simulationen der Personenströme, Knoten- und Kanteneigenschaften lassen sich nun die Erkenntnisse aus Personenströme und –dichte, Beziehungen zwischen Geschäften, Beziehungen zwischen Personen und Auswirkungen von Veränderungen zu einer Lösung einer optimalen Lage des einzelnen Geschäftes zusammenfassen. Solche Ergebnisse sind stets an realen Situationen zu eichen, können dann aber auf dieser Basis zur Prognose von geplanten Shopping-Centern herangezogen werden.

Abbildung 8.18: Anwendung der Erkenntnisse aus der Simulation

8.5 München Hauptbahnhof

Im Zuge von verkehrs- und stadtplanerischen Überlegungen soll in absehbarer Zeit der Münchner Hauptbahnhof grundlegend umgebaut werden. Insgesamt werden dabei eine Vielzahl von Ver-kehrsanbindungen gleichzeitig realisiert, darunter München 21, eine durchgehende Fernbahnver-bindung zum Ostbahnhof und die zweite S-Bahnstammstrecke. Eine der sieht die Reduzierung des Kopfbahnhof auf eine vergrößerte Haupthalle (16 Gleise, je 420 m Bahnsteiglänge) sowie für den Durchgangsverkehr (sechs Bahngleise) mittig unterhalb der Halle in einer Tiefe von ca. 18 m vor. Der Durchgangsverkehr aus Richtung Ostbahnhof soll durch einen Tunnel geleitet werden und zugleich unterhalb des Sendlinger Tors (in Stadtmitte) ein Regi-onalbahnhof mit Anschluss an die Nord-Süd-U-Bahnlinien U3/U6 entstehen. Über den Tiefbahn-hof München 21 sollen die Gleise in Laim wieder an die Oberfläche kommen. Insgesamt ist ein gigantisches unterirdisches Bauwerk bis in eine Tiefe von 42m vorgesehen. Im Folgenden soll die



Auswirkung dieser Innenstadtbaustelle auf das umliegende Verkehrsnetz beispielhaft durch eine Monte-Carlo –Simulation abgeschätzt werden.

8.5.1 Verkehrsbelastung durch Baumaßnahmen (Erdbau) Nach den Übersichtsplänen wurde seitens der DB die vorliegenden Verkehrsbelastungen (Auszug und nur beispielhaft) berechnet:

S-Bahn HauptbahnhofEmpfangsgebäude

U4 / U5

Magnetschnellbahn 2. S-Bahn StammstreckeMünchen 21

Abbildung 8.19: Baumaßnahme München Hbf

0

50

100

150

200

250

04.1

1.20

0704

.12.

2007

03.0

1.20

0802

.02.

2008

03.0

3.20

0802

.04.

2008

02.0

5.20

0801

.06.

2008

01.0

7.20

0831

.07.

2008

30.0

8.20

0829

.09.

2008

29.1

0.20

0828

.11.

2008

28.1

2.20

0827

.01.

2009

26.0

2.20

0928

.03.

2009

27.0

4.20

0927

.05.

2009

26.0

6.20

0926

.07.

2009

25.0

8.20

0924

.09.

2009

24.1

0.20

0923

.11.

2009

23.1

2.20

0922

.01.

2010

21.0

2.20

1023

.03.

2010

22.0

4.20

1022

.05.

2010

21.0

6.20

1021

.07.

2010

20.0

8.20

1019

.09.

2010

19.1

0.20

1018

.11.

2010

18.1

2.20

1017

.01.

2011

16.0

2.20

1118

.03.

2011

17.0

4.20

1117

.05.

2011

16.0

6.20

1116

.07.

2011

15.0

8.20

1114

.09.

2011

14.1

0.20

1113

.11.

2011

13.1

2.20

1112

.01.

2012

11.0

2.20

1212

.03.

2012

11.0

4.20

1211

.05.

2012

10.0

6.20

1210

.07.

2012

09.0

8.20

1208

.09.

2012

08.1

0.20

1207

.11.

2012

07.1

2.20

1206

.01.

2013

05.0

2.20

1307

.03.

2013

06.0

4.20

1306

.05.

2013

05.0

6.20

1305

.07.

2013

04.0

8.20

13

Zeitachse

Lkw/t gerin

BA 1 PrimärpfähleBA 1Aushub -1 aussen

Abbildung 8.20: Verkehrsbelastung durch Baumaßnahmen München Hbf

8.5.2 Versorgungs- und Entsorgungslogistik Zu den Randbedingungen der Baustellenentsorgung gehören folgende Aspekte:



• Geometrische Randbedingungen: Möglichkeiten der Lagerung, Anzahl der Baustellen- zufahrten und Anordnung des Baustellenverkehrs

• Geographische Randbedingungen: Verkehrsanbindung, Unmittelbare Umgebung • Zeitliche Randbedingungen: Dauer der Baumaßnahmen

8.5.2.1 Geometrische Randbedingungen Die geometrischen Randbedingungen der Baustellenentsorgung werden bestimmt von Kenngrö-ßen wie Baugrubengröße, Volumen, Ladekapazität LKW bezogen auf Leistung und Dauer, Anzahl der eingesetzten Fahrzeuge und der verfügbaren Infrastruktur Für die Baugrube werden zur Abschätzung folgende Maße angenommen: Tiefe t = - 47,00 m Breite b = 90,00 m Länge l = 150,00 m An Fahrzeugen werden folgende Typen eingesetzt Muldenkipper TEREX TA25: Radlader ATLAS AR 95 Super: Kapazität gestrichen: 10 m³ Schaufelinhalt: 1,60 m³ Max. Nutzlast: 23 t Dienstgewicht: 8100 kg Bruttoleistung: 209 kW/280PS Bruttoleistung: 92 kW/125 PS Das geschätzte Erdvolumen umfasst 634.500 m³. Bei einer Kapazität des Muldenkippers von 10 m³ ergeben sich somit 63.450 Touren für den Abtransport. Sind 4 Radlader und Muldenkipper zeitgleich im Einsatz, so fährt bei zeitversetztem Beladen alle 1,25 Minuten ein beladener Mulden-kipper von der Baustelle. Bei einem durchschnittlichen 8-std. Arbeitstag (Randbedingung, etwa Nachtruhe) entspricht das einer Anzahl von 384 Muldenkipper/Tag. Daraus ergibt sich eine Dauer von 165 Tagen für den Abtransport

8.5.2.2 Geographische Randbedingungen Die Straßenverkehrsanbindung in unmittelbarer Baustellenumgebung ist in Hinblick auf die Stra-ßenkapazität für LKW-Verkehr und den Verkehrsfluss als Graph zu modellieren.

Abbildung 8.21: relevante Straßenverkehrsanbindung unmittelbarer Baustellenumgebung



Die Auswahl der zu vernetzenden Straßen erfolgt nach zuvor sinnvoll festgelegten Kriterien: Straßenkapazität: 1-/2-spurig, Länge d. Straße, Kreuzungen; Richtungs- oder andere Be-

schränkungen (Brückenbelastung, Durchfahrtshöhen, etc.) Verkehrsfluss: Verkehrsbelastung, Berufsverkehr Abbildung 8.22: Verkehrsnetz – LKW Routen

Die Abbildung 8.22 gibt den ersten Überblick des zu simulierenden Straßennetzes. Modellie-rungsgrundlage sind Straßenzüge und Straßenkreuzungen. Die hellgrau unterlegten Straßen kennzeichnen für die Simulation gegenläufig befahrbare Straßen, d.h., dass die Anfangs-, bzw. Endkreuzungen sowohl als Eingangs- als auch als Ausgangsknoten zu modellieren sind. An den dunkelgrau hinterlegten Knoten (Straßenkreuzung) muss jeweils eine Entscheidung für eine wei-terführende Route getroffen werden. In der Simulation wird wieder nach vorliegenden Verteilun-gen eine zufällige Wahl getroffen. In diesem einfachen Fall soll eine Gleichverteilung vorliegen und lediglich die Überfüllung einer Straße ihrerseits Einfluss auf die Entscheidung nehmen, näm-lich die betreffende Route aus der Auswahl nehmen.

8.5.2.3 Zeitliche Randbedingungen Die Dauer des Projektes bzw. der einzelnen Maßnahmen bemessen sich nach einer Vielzahl von detaillierten Randbedingungen und Abhängigkeiten, die hier nicht weiter betrachtet werden sollen. In diesem Zusammenhang wird ein kontinuierlicher Aushub angenommen

8.5.3 Simulation ExtendSim ExtendSim ist eine gängige Simulations-Software für die Anwendung in Bereichen aus Wirtschaft, Ingenieurwesen, Wissenschaft, Produktion, etc. Das Simulationsmodell wird wie in einem Fluss-diagramm aus Blöcken zusammengestellt, die über Anschlüsse für Input, Output und Steuerungs-parameter verfügen und darüber vernetzt werden. Mit ExtendSim können Prozesse aller Art mo-delliert, analysiert, und damit Schwachstellen lokalisiert und entsprechend Systeme optimiert wer-den.



Möglich sind sowohl stetige als auch diskrete Simulationen. Bei stetigen Simulationen werden kontinuierliche "Flüsse" (z.B. Finanzmittel, Cashflow, Information, Wasser, Gas, Populationsgrö-ßen etc.), bei diskreten Simulationen diskrete "items" mit Eigenschaften (z.B. konkret Reisende in einem Verkehrsmittel, Fahrzeuge im Straßennetz, Produkte in der Fertigung, aber auch abstrakt Entscheidungen, Pläne, Verantwortlichkeiten, Vorgänge, Termine etc.) modelliert. Blöcke entsprechen Knoten der Graphentheorie, die Verbindungen den Kanten. Über Kanten werden die Flüsse transportiert, in Blöcken werden Veränderungen vorgenommen. (Typische Blö-cke sind etwa Generatoren, Aktivitäten, Speicherelemente Warteschlangen und darüber hinaus Verzweigungen, Informations“haltestellen“, und Steuerelemente. Zusätzlich können in vorgefertig-ten Blocks Mathematische Elemente wie Gleichungen, Verteilungsgeneratoren, logische und a-rithmetische Verknüpfungen etc modelliert werden.

8.5.3.1 Elemente der Simulation Für die Entwicklung des Modells „Verkehrsnetz zum Abtransport des Erdaushubs Münchner Hbf“ sind im Wesentlichen folgende Punkte zu modellieren:

Die Baustellenausfahrt wird durch einen „Create“-Block dargestellt, der mit entsprechender Pa-rameterbelegung die Anzahl und zeitliche Verteilung der vom Aushub abgehenden LKWs ent-sprechend einer Verteilung oder einer Kombination von geplantem Bauablauf und stochastischen Elemente LKWs zu bestimmten Zeiten generiert und auf den Weg schickt. Im Bild ist z.B. eine Exponentialverteilung mit einem mittleren zeitlichen Abstand von 700 s eingesetzt.

Abbildung 8.23: Simulation ExtendSim – Create („Zufallsgenerator für LKW-Input“)

Kreuzungspunkte von Straßen werden als Kombination aus einem Block „Item In“ entsprechend der Anzahl eingehender Straßen und angefügtem Block „Item Out“ mit Anzahl der abgehenden Wegrichtungen dargestellt. In „Item In“ werden die eintreffenden Fahrzeuge in dieser einfachen Version zusammengefasst und nach einer frei wählbaren Verteilung auf eine der in Frage kom-menden Wege weitergeschickt. Belegte Straßen werden dabei von der Verteilung ausgenommen.



In erster Näherung werden die Verteilwege als gleich wahrscheinlich angenommen, in differen-zierteren Analysen können die Verteilungen der Wirklichkeit angepasst werden.

Abbildung 8.24: Simulation ExtendSim – Kreuzung Bayer-/Sonnenstr. (Item In - Item Out )

An den Endpunkten des zu betrachtenden Umkreises/Verkehrsnetzes (Systemgrenze) werden „Exit“-Blocks platziert, die die Items/LKWs in einen nicht weiter untersuchten Umkreis entlassen. An diesen Punkten kann etwa zu Kontrollzwecken die Fahrzeugdichte gemessen werden um si-cherzustellen, dass das Umfeld jenseits der Systemgrenze tatsächlich nicht mehr relevant beein-flusst wird.

Abbildung 8.25: Simulation ExtendSim – Exit („Endknoten“ des Verkehrsnetzes)

Die Straßen selbst( Kanten) verbinden die Kreuzungspunkte in eine Richtung, quasi als Einbahn-straße; jede Richtung wird separat angelegt. Um die Eigenschaften der Straße, hier speziell die Kapazität und die Länge zu modellierten wird eine Element „Activity“ eingesetzt. Die Verzöge-rungszeit wird zunächst mit der durchschnittlichen Geschwindigkeit der Fahrzeuge und eine Er-lang-Verteilung angegeben, die Kapazität der Straße mit der maximalen Anzahl LKWs, die sich zeitgleich in der Straße befinden können.



Abbildung 8.26: Simulation ExtendSim – Item Activity („Zeitverzögerung durch Befahren der Straße“)

8.5.3.2 Messungen aus der Simulation

Wird nun eine Vielzahl von LKWs durch dieses simulierte Straßennetz geschickt, so wird für jdee einzelne Interaktion eines Fahrzeugs mit einer Kreuzung oder Straße, die Konsequenz ermittelt und das Fahrzeug weitergeschleust bis es das Simulationsumfeld verlässt. Der Generator be-stimmt dabei das Einspeisen der Fahrzeuge nach Zeit und Dichte, die Zustände der Straßen (De-lays) legen die einzelnen Routen und damit die Belastungen der Strassen fest.

Abbildung 8.27: Blockmodell Verkehrsnetz



Die Simulation als solche ergibt zunächst keine Ergebnisse. Sie dient lediglich der Modellierung des gegebenen Baustellenumfeldes. Wesentlich ist, das Simulationen auszumessen sind und die Ergebnisse entsprechend interpretiert werden müssen. Eine Vielzahl von Messinstrumenten von einfachen Zahlenangaben wie lokalen Verkehrsdichten bis zu Histogrammen über der Zeitachse steht zur Verfügung und kann in eine graphische Darstellung der Situation eingearbeitet werden. Das Blockmodell rückt dabei zwar optisch in den Hintergrund (links oben versteckt), bildet aber nach wie vor die Grundlage jeder Reaktion des Modells.

Abbildung 8.28: Darstellung des Verkehrsnetzes mit lokalen Dichten

Weiter gilt es, die einzelnen Simulationsdaten auszuwerten, ins besondere im Sinne von Sensitivi-tätsanalysen Randbedingungen und Werte zu verändern und die aus der neuen Simulation ge-wonnenen Daten auszuwerten und zu vergleichen. Etwa ist zur Analyse der Engpässe zunächst die Quelle zu variieren oder durch Sperren einzelner Abschnitte der Fluss in geeigneter Weise umzuleiten. Mittels Verändern der Ausfahrtwahrscheinlichkeiten an den Kreuzungspunkten (sprich durch Zuweisung von Routen an die LKW-Fahrer, optionale Zweispurigkeit mittels Aufstellen von temporären Parkverbotszonen oder ähnlichen Maßnahmen) kann die Verteilung auf bestimmte Straßen und Routen beeinflusst und können Engstellen entschärft werden. Ggf. müssen ausge-wählte Straßen neu vernetzt, gestrichen oder durch zusätzliche mögliche Routen erweitert wer-den. Das Ergebnis ist stets eine statistisch vermessbare Situation auf der Basis des Modells und der aktuellen Eingangsdaten. Entsprechend muss im Auge behalten werden, inwieweit die Situation überhaupt eine statistische Aussage sinnvoll erscheinen lässt, also das Gesetz der großen Zahlen noch Gültigkeit besitzt.



Querschnittsbelastung Q1 hinZeitraum 03.2008-03.2013

0

50

100

150

200

250

04.1

1.20

0704

.12.

2007

03.0

1.20

0802

.02.

2008

03.0

3.20

0802

.04.

2008

02.0

5.20

0801

.06.

2008

01.0

7.20

0831

.07.

2008

30.0

8.20

0829

.09.

2008

29.1

0.20

0828

.11.

2008

28.1

2.20

0827

.01.

2009

26.0

2.20

0928

.03.

2009

27.0

4.20

0927

.05.

2009

26.0

6.20

0926

.07.

2009

25.0

8.20

0924

.09.

2009

24.1

0.20

0923

.11.

2009

23.1

2.20

0922

.01.

2010

21.0

2.20

1023

.03.

2010

22.0

4.20

1022

.05.

2010

21.0

6.20

1021

.07.

2010

20.0

8.20

1019

.09.

2010

19.1

0.20

1018

.11.

2010

18.1

2.20

1017

.01.

2011

16.0

2.20

1118

.03.

2011

17.0

4.20

1117

.05.

2011

16.0

6.20

1116

.07.

2011

15.0

8.20

1114

.09.

2011

14.1

0.20

1113

.11.

2011

13.1

2.20

1112

.01.

2012

11.0

2.20

1212

.03.

2012

11.0

4.20

1211

.05.

2012

10.0

6.20

1210

.07.

2012

09.0

8.20

1208

.09.

2012

08.1

0.20

1207

.11.

2012

07.1

2.20

1206

.01.

2013

05.0

2.20

1307

.03.

2013

06.0

4.20

1306

.05.

2013

05.0

6.20

1305

.07.

2013

04.0

8.20

13

Zeitachse

Lkw/t

gesamtgering+vorhandengering

gerin

g; 2

19vo

rhan

den;

11

groß

; 8

0

50

100

150

200

250

AufteilungMaximum

BA 1 PrimärpfähleBA 1Aushub -1 aussen

Abbildung 8.29: Histogramme zur Auswertung der Modellsituation

8.5.3.3 Ergebnisse der Simulation Im Falle der vorliegenden Aufgabenstellung konnte aus der Simulation ermittelt werden, dass ein Abtransport des Schuttergutes per LKW über die Straße aufgrund der vorliegenden Straßenver-hältnisse, der Vielzahl von Kreuzungspunkten, der jeweiligen Straßenkapazität und der Verkehrs-bedingten Verzögerungen grundsätzlich ungeeignet ist! Die Ausgangszahlen an den Endknoten des Verkehrsnetzes machen deutlich, dass einige wenige Straßenrouten überproportional stark frequentiert werden, andere hingegen eine deutliche gerin-gere LKW Belastung aufweisen. So werden für den Abtransport die Routen östlich weit stärker belastet als stadtauswärts nach Westen; in Richtung Süd-West (Endknoten Paul-Heyse-Str.) kommen gar keine Lkw an. Daraus ergeben sich gerade im östlichen Bereich in unmittelbarer Umgebung des Hauptbahnhofes etliche Engpässe, bei denen aufgrund der Straßenverhältnisse -einspurig, geringe Straßenlänge, hohe Straßenbelastung - Lkws Stoßstange an Stoßstange ste-hen würden. Daher wäre in der Realität als generelle Alternative der Abtransport über die Schiene vorzuziehen.



Abbildungsverzeichnis Abbildung 8.1: Funktionsgraph und Lösung des Flächenintegrals 8-1 Abbildung 8.2: Statistische Lösung des Integrals 8-1 Abbildung 8.3: Aspekte der Optimierung 8-2 Abbildung 8.4: LKW-Transportzeit deterministisch 8-3 Abbildung 8.5: Relative Häufigkeit –LKW-Transportdauer 8-4 Abbildung 8.6: Integral über Wahrscheinlichkeitsdichte 8-4 Abbildung 8.7: Kennwerte von Verteilungen 8-5 Abbildung 8.8: Mittelwerte verzerren die Situation unter Randbedingungen 8-5 Abbildung 8.9: Zustände eines LKW während der Fahrt 8-7 Abbildung 8.9: Koppelungen von Einzelverteilungen zu einer messbare Endverteilung 8-8 Abbildung 8.11: Verteilungsfunktion 8-9 Abbildung 8.12: Positionierung von Ankermietern 8-10 Abbildung 8.13: Branchenmixplan 8-10 Abbildung 8.14: Rekursive Definition Lage 8-11 Abbildung 8.15: Modellierung als Graph 8-11 Abbildung 8.16: Modellierung der Entscheidungsfindung an einem Knoten 8-12 Abbildung 8.17: Modellierung der Wechselwirkungen, Personenstrategien 8-12 Abbildung 8.18: Anwendung der Erkenntnisse aus der Simulation 8-13 Abbildung 8.29: Baumaßnahme München Hbf 8-14 Abbildung 8.29: Verkehrsbelastung durch Baumaßnahmen München Hbf 8-14 Abbildung 8.21: relevante Straßenverkehrsanbindung unmittelbarer Baustellenumgebung 8-15 Abbildung 8.22: Verkehrsnetz – LKW Routen 8-16 Abbildung 8.23: Simulation ExtendSim – Create („Zufallsgenerator für LKW-Input“) 8-17 Abbildung 8.24: Simulation ExtendSim – Kreuzung Bayer-/Sonnenstr. (Item In - Item Out ) 8-18 Abbildung 8.25: Simulation ExtendSim – Exit („Endknoten“ des Verkehrsnetzes) 8-18 Abbildung 8.26: Simulation ExtendSim – Item Activity („Zeitverzögerung durch Befahren der Straße“) 8-19 Abbildung 8.27: Blockmodell Verkehrsnetz 8-19 Abbildung 8.28: Darstellung des Verkehrsnetzes mit lokalen Dichten 8-20 Abbildung 8.29: Histogramme zur Auswertung der Modellsituation 8-21

IAusgabe 12/2009 – Warteschlangentheorie


Kapitel 9: Warteschlangentheorie Inhaltsverzeichnis

9. Warteschlangentheorie 9-1

9.1 Baustellenbelieferung: Versorgungs- und Entsorgungslogistik 9-1

9.2 Grundstruktur der Warteschlangen 9-3 9.2.1 Strukturen 9-3 9.2.2 Kennwerte 9-3 9.2.3 Gleichgewicht 9-4

9.3 Wesentliche Verteilungen 9-4 9.3.1 Exponentialverteilung 9-4 9.3.2 Poissonverteilung 9-5 9.3.3 Erlang-Verteilung 9-7

9.4 Berechnungsmethodik für Warteschlangenprobleme 9-8

9.5 Resultate für konkrete Situationen 9-10 9.5.1 Nomenklatur 9-10 9.5.2 Ein Kanal, Ankunft und Bedienung exponentiell 9-10 9.5.3 Ein Kanal, Ankunft und Bedienung exponentiell, begrenzt 9-10 9.5.4 n-Kanäle, Ankunft und Bedienung exponentiell 9-11 9.5.5 Ein Kanal, Ankunft exponentiell, Bedienung verteilt nach Erlang 9-11

9.6 Rechenbeispiel 9-12 9.6.1 Rechnung mit Mittelwerten: 9-12 9.6.2 Berechnung nach Warteschlangentheorie: 9-12 9.6.3 Monte-Carlo-Simulation 9-13

9-1Ausgabe 12/2009 – Warteschlangentheorie


9. Warteschlangentheorie Wie in den vorigen Kapiteln mehrfach angesprochen, können nur unabhängige Teilsysteme auch unabhängig voneinander bestimmt werden. Sobald Koppelungen (Vernetzungen) vorliegen, wer-den diese für das Verhalten des Systems relevant. Eine typische Situation liegt bei der Bildung von Warteschlangen vor, wie sie im baubetrieblichen Umfeld laufend vorkommen. Eine determi-nistische oder stochastische Behandlung der einzelnen Transportfahrzeuge ignoriert die Vernet-zung der einzelnen Fahrzeuge, etwa an der einzigen Entladestelle eines Hochbaus oder an Kreu-zungspunkten wie der Reifenwaschanlage an der Ausfahrt einer Erdbaustelle. Als wesentlicher Zweig der Logistik wurden einige grundlegende analytische Lösungen für typische Situationen ausgearbeitet, die im Folgenden vorgestellt werden sollen.

9.1 Baustellenbelieferung: Versorgungs- und Entsorgungslogistik Die Untersuchung von Warteschlangen hat sich generell zu einem wichtigen Gebiet bei der Opti-mierung von Abläufen in Produktionsbetrieben entwickelt. Beispiele der Anwendung gibt es in den Bereichen Erdbau und Abtransport, Lagerhaltung oder Deponiestrukturen. Das zentrale Beispiel für den Einsatz der Warteschlangentheorie im Baubereich ist die Ver- und Entsorgungslogistik von Baustellen.

Abbildung 9.1: Baustellenlogistik

Darüber hinaus gelten diese Überlegungen selbstverständlich in gleicher Weise, nur etwas abs-trakter, für alle Prozesse und Aktivitäten die auf sequentielle Zulieferung angewiesen sind und begrenzte Verarbeitungskapazitäten aufweisen. Daher können eine Vielzahl von organisatori-schen Situationen in gleicher Weise analysiert werden. Beispiele: Anstehende Entscheidungen mit Informationsbedarf Informationslogistik (Gestaltungsplanung, Organisationsplanung) Leistungsprozesse (=Produktionsprozesse) mit Bedarf an Ressourcen Steuerungsprozesse Ressourcen (Arbeitskräfte oder auch Geräte in der Abwicklung von Aufgaben)



Jede Modellierung und Optimierung von Unternehmen in Prozessen muss zwangsläufig entweder die Wartezeiten von Prozessen auf Ressourcen oder die Wartezeiten von bereitgestellten Res-sourcen auf den verarbeitenden Prozess in irgendeiner Weise gestalten. Die Warteschlangenthe-orie modelliert dabei das Zusammenwirken von Ressourcen und Prozessen analytisch auf der Basis von Verteilungen.

Abbildung 9.2: Prozesse mit vorgelagerten Prozessen und angekoppelten Ressourcen

Konkret kann das Thema der Versorgungs- und Entsorgungslogistik am Beispiel der Baustelle Lenbachgärten in Nähe des Münchener Hauptbahnhofes näher betrachtet werden. Unten abge-bildet ist die lokale Situation bzw. das Straßennetz sowie ein Vorschlag für einen Baustellenein-richtungsplan. Dort ist zu erkennen, dass die Thematik der Warteschlangen insbesondere bei der Anlieferung aufgrund des hohen Anliefervolumens und des geringen verfügbaren Anfahrtsraumes eine hohe Relevanz für die Baustellenlogistik hat.

Abbildung 9.3: Beispiel Baustellenbelieferung Lenbachgärten



9.2 Grundstruktur der Warteschlangen Das grundlegende Modell aller Warteschlangen wird durch folgende Definitionen von Strukturen, zentralen Kennwerten und Gleichgewicht beschrieben:

9.2.1 Strukturen Zunächst werden die wartenden Elemente (Ressourcen) stets als „Kunden“ bezeichnet, die verar-beitenden Prozesse als Stationen. Die Warteschlangendisziplin sieht vor, dass ein Kunde stets am Ende der Warteschlange ankommt und die Reihenfolge eingehalten wird. Ein FIFO (first in, first out) System entspricht der klassischen Form bei der die Bedienreihenfolge „vorwärts“ abge-wickelt wird, LIFO (last in, first out) dreht die Bedienreihenfolge um. Ein System kann aus mehreren Kanälen bestehen, die die Anzahl der Stationen beschreibt. Ggf. sind auch mehrfache Warteschlangen möglich. Eine Warteschlange kann in ihrer Länge begrenzt sein, so dass Kunden abgewiesen werden müssen. Zur Untersuchung sind die Systemgrenzen festzulegen, außerhalb derer die Warteschlange keine Auswirkungen mehr hat. Komplexe System werden in dieser Hinsicht auf Separierbarkeit unter-sucht, also auf Trennbarkeit in kleinere, einfachere unabhängige Teilsysteme. Systeme sind nach Maßgabe der Systemtheorie entweder offen oder geschlossen, ggf. zyklisch, wenn Ausgangsin-formationen wieder auf Eingänge rückwirken.

WarteschlangenAnkunft Kanäle AbfertigungWarteschlangenAnkunft Kanäle Abfertigung

Abbildung 9.4: Warteschlangenstrukturen

9.2.2 Kennwerte Im einfachsten Fall der Betrachtung reiner Mittelwerte definieren folgende Kennwerte das Verhal-ten des Systems: Die Kanalzahl n steht für die Anzahl der Bedienstationen im System. Weiter beschreibt die An-kunftsrate λ die Anzahl der eintreffenden Kunden pro Zeiteinheit, also den reziproken mittleren zeitlichen Abstand zwischen der Ankunft zweier Kunden. Die Abfertigungsrate μ ist eine reziproke mittlere Bedienungszeit im Kanal und gibt die Anzahl der abgefertigten Kunden je Zeiteinheit wie-der. Schließlich bestimmt die Verkehrsdichte ρ =λ /μ als das Verhältnis zwischen Ankunftsrate und Abfertigungsrate das Verhalten der Warteschlange.



9.2.3 Gleichgewicht Ist die Verkehrsdichte größer als die Kanalzahl, so wächst die Warteschlange bis ins Unendliche. In einem Gleichgewichtszustand muss eigentlich stets ρ=n gelten. Meist wird jedoch ρ<n voraus-gesetzt um in der Warteschlange nur die statistischen Differenzen aufzunehmen. Andernfalls bau-en sich aber lediglich negative Wartezeiten auf, d.h. der Kanal muss auf Abfertigung warten.

9.3 Wesentliche Verteilungen

9.3.1 Exponentialverteilung Kommen an einer Warteschlange Kunden zu jedem Zeitpunkt mit der gleichen Wahrscheinlich-keitsdichte p0 an, so berechnen sich die Abstände nach der Exponentialverteilung. Die Exponenti-alverteilung hat folgende Dichtefunktion:

( )P tt

ett=

−1

0

0

Die Normierung ist korrekt: P t dtt

e dtt

t ett

tt

tt( )′ ′ = = −

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

= +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

∞ −′∞ −

′ ∞

∫ ∫0 00 0

0

0

0

0

1 1 0 10 0

Der Mittelwert der Exponentialverteilung ist:

P t P t dt tt

e dtt

et

t

t

t

t

ttt

tt= ′ ′ ′ = ′ =

− −

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

= −−

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

=∞ −

′∞ −′

∞

∫ ∫( )0 00 0

0

0

2

0

0

0

2 01 1

1 1

10 1 1

10 0

Dabei ist x e dx e axa

ax ax∫ =−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

12

Die Varianz der Exponentialverteilung berechnet sich zu:

σ 20

2

0

2

00

00

2

0

2= − ′ ′ = ′ ′ − ′ ′ + ′ ′∞ ∞ ∞ ∞

∫ ∫ ∫ ∫( ) ( ) ( ) ( ) ( )t t P t dt t P t dt tt P t dt t P t dt

σ 2 2

00 0 0

20 0 0 0

22 2= ′ ′ − + = − +∞

∫ t P t dt t t t A t t t t( ) /

( )A t tt

dt tt

tt

tt t

tt

t t t t t= −′⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ′ = −

′⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

′−

+′

+−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = −

′⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ − ′ + ′ −

∞ ∞∞

∫ 2

0 0 0

2

0 02

03

0 00

20

20

301

21

21

2 2exp exp exp

( )A t t= − − =2 203

03

σ 20

20

20

20

22 2= − + =t t t t

Dabei ist x e dx e xa

xa a

ax ax22

2 32 2

∫ = + +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Der Grund für die exponentielle Verteilung liegt in folgender Überlegung:



Die Wahrscheinlichkeit einer Ankunft zwischen t und t + dt nach dem Start (Letzter Ankunft) ist konstant: 0p dt Damit ist die Wahrscheinlichkeit einer Ankunft zwischen t und dt:

( ) ( ) ( ) 01 ( )dP P t dt P t P t p dt= + − = − Sie stellt sich dar als Kombination der Wahrscheinlichkeit, nicht vor t einzutreffen ( )1 ( )P t− und im

Intervall zwischen t und t + dt, nämlich 0p dt .

Durch Umstellen folgt die Differentialgleichung: ( ) 01 ( )dP P t pdt

= −

Der Ansatz 0( ) 1 p tP t e−= − löst die Differentialgleichung mit:

0 0 00 0 0 0(1 ( )) 1 (1 )p t p t p tdP p e P t p e p p e

dt− − −⎡ ⎤= = − = − − =⎣ ⎦

und beweist die Sinnhaftigkeit einer Exponentiellen Verteilung.

0

0,10,2

0,30,4

0,5

0,60,7

0,80,9

1

0,000 2,000 4,000 6,000 8,000 10,000

Exp-Verteilung

Abbildung 9.5: Exponentialverteilung

9.3.2 Poissonverteilung Meistens ist es bei solchen Prozessen sinnvoller über die Zahl der Kunden pro Zeiteinheit nach-zudenken, anstatt über die Verteilung der zeitlichen Abstände. Das obige Beispiel führt dann zur Poissonverteilung. Diese ergibt sich als Grenzfall der Bernoulliverteilung bei einer großen Anzahl von Tests mit geringen Wahrscheinlichkeiten p (dann k = n · p = konst). Aus diesem Grund wird die Poissonverteilung auch als Verteilung seltener Ereignisse bezeichnet. Sie ist insbesondere anwendbar bei kleinen p-Werten und großen n-Werten. Beispielsweise kann die Anzahl der pro Zeiteinheit an einer Autobahntankstelle tankenden PKW, der Sechser pro Ausspielung Zahlenlotto oder der pro Zeiteinheit von einer Versicherung zu regulierenden Schadensfälle als Poissonverteilt angenommen werden.

( )P x kx

kx

( )!

exp= −

Hierbei gibt P(x) die Wahrscheinlichkeit an, genau x Kunden oder Ereignisse in der Zeiteinheit zu treffen.



Die Normierung ergibt sich mit

( ) ( ) ( ) ( )P x kx

k k kx

k kx

x

x

x

x

( )!

exp exp!

exp exp= − = − = − ==

∞

=

∞

=

∞

∑ ∑ ∑0 0 0

1

Der Mittelwert kann durch Substitution berechnet werden:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x P xx kx

k k kx

kk kx

kk ky

k k k kx

x

x

x

x

x y

yx

( )!

exp exp( )!

exp( )!

exp!

exp exp= − = −−

= −−

= − = − − ==

∞

=

∞

=

∞ −

=

∞

=

∞

∑ ∑ ∑ ∑∑0 1 1

1

011 1

Die Varianz berechnet sich zu

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x k P x x kx k P x x P x kk k k x P x k Ax x x x

− = − − =⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

− + = − + = − +=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

∑ ∑ ∑ ∑2

0

2 2

0

2

0

2 2 2

0

22 2

A x P x ex k

xe k

x kx

e ky k

ye k

ky

y kyx

kx

x

kx

x

ky

y

ky

y

y

y

= = =−

=+

= +⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =

=

∞−

=

∞−

−

=

∞−

=

∞−

=

∞

=

∞

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑2

0

2

0

1

1 0 0 011

( )! ( )!

( )! ! !

A e k e e k e k k kk k k k= + = +− − 2 σ 2 2 2= − + + =k k k k

Poissonverteilung

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

Poisson

Abbildung 9.6: Poissonverteilung



9.3.3 Erlang-Verteilung Die Erlangverteilung trägt dem Gedanken Rechnung, daß Exponentialverteilungen oft die Realität nur sehr unvollkommen widerspiegeln. In der Praxis sind meist die kürzesten Zeiten nicht die häu-figsten, eher die eines Mittelwertes. Betrachtet man als Aktion eines Kanals eine Sequenz von Aktionen, deren Zeitbedarf jeweils exponentiell verteilt ist, so erhält man die sogenannte Erlang-Verteilung (nach A. K. Erlang, dänischer Telefoningenieur):

( )( )

( ) ( )P tr

rt r t

rr( )

!exp=

−−−λ

λ1

1

Der Mittelwert t0

1=

λ , die Varianz σ

λ2

21

=r

, die Normierung ist gewährleistet.

Der Parameter r kennzeichnet die Zahl der subsumierten Einzelprozesse. Für r = 1 erhält man die bekannte Exponentialverteilung, für r = ∞ eine scharfe „Verteilung“ auf eine Singularität.

Erlang-Verteilungen

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,000

1,333

2,667

4,000

5,333

6,667

8,000

9,333

10,66

7

12,00

0

13,33

3

14,66

7

16,00

0

17,33

3

18,66

7

r=1r=2r=3r=4

Abbildung 9.7: Erlang-Verteilung



9.4 Berechnungsmethodik für Warteschlangenprobleme Um von Eingangsverteilungen zu konkreten Ergebnissen zu kommen, bedient man sich i.a. der Strukturierung von Abläufen in Zustände und betrachtet deren Übergangswahrscheinlichkei-ten. (Siehe auch Graphentheorie) Zustandsdiagramm am Beispiel einer Verkehrsampel Der Systemzustand ist zunächst dadurch bestimmt, dass alle Variablen festgelegt sind. Im Über-gang müssen alle Variablen neu definiert werden. Es gibt einen Startzustand und einen Endzu-stand. Weiter sind der Übergangsgrund, Events und ggf. die Wahrscheinlichkeiten eines Über-gangs zu betrachten.

Rot

GelbRot/Gelb

Grün

Systemzustand

Übergang Abbildung 9.8: Zustandsdiagramm Übergänge für eine Verkehrsampel

Hier sei ein einfaches Beispiel einer Reparaturwerkstatt betrachtet: Der Einlauf der zu reparieren-den Maschinen sei nach Poisson verteilt, die Reparaturzeit exponentiell. Man kann sich folgende Zustände und Übergänge überlegen: Zu berechnen ist die Wahrscheinlichkeit ( )π n t dass das System im Zeitraum [t, t+Δt] genau n Kun-den enthält (in der Warteschlange, wie in der Bedienung). Ein Zustand des Systems sei also, dass er genau n Kunden enthalte. Dann kann dieser Zustand durch folgende Übergänge erreicht wer-den: • Ein Kunde ist zugegangen aus dem Zustand mit n-1 Kunden im System • Ein Kunde ist abgegangen aus dem Zustand mit n+1 Kunden im System • Kein Kunde ist zugegangen, keiner ist abgegangen aus dem Zustand mit n Kunden • Je ein Kunde ist zu, ein anderer ist abgegangen aus den Zustand mit n Kunden. Die Wahrscheinlichkeit, dass im Zeitraum Δt ein Kunde zugeht, ist λΔt, entsprechend, dass kein Kunde in diesem Zeitraum zugeht (1-λΔt) (für hinreichend kleines Δt). In gleicher Weise ist die Wahrscheinlichkeit, dass im Zeitraum Δt ein Kunde abgeht, gerade μΔt, entsprechend, dass kein Kunde in diesem Zeitraum abgeht (1-μΔt). (für hinreichend kleines Δt).



n-1

n+1

n

n

n

p=λΔt (1-μΔt)

p=μΔt (1-λΔt)

p=(1-λΔt)(1-μΔt)

p=λΔt μΔt

Abbildung 9.9: Zustandsdiagramm Übergänge für eine Warteschlange

Damit ergibt sich folgende Gesamt-Übergangswahrscheinlichkeit:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )π π λ μ π μ λ π μ λ π μ λn n n n nt t t t t t t t t t t t t t t+ = ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − + ⋅ − ⋅ − + ⋅ ⋅ +− +Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ1 11 1 1 1 . . . Diese lässt sich zu einem Differentialquotienten umformen, der die Veränderung im Zeitraum Δt beschreibt:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )π π

λπ μπ λ μ πn nn n n

t tt

t t t+ −

= + − + +− +ΔΔ 1 1 . . .

Nun interessiert im Folgenden der stationäre Zustand, so dass diese Ableitung gegen Null gehen muss. Damit folgen rekursive Gleichungen wie

( )λπ μπ λ μ πn n n n− ++ − + = >1 1 0 0, μπ λ π1 0 0 0− = =, n (Sonderfall ohne den Übergang „Zugang eines Kunden“) Damit lassen sich nun Verteilungen π(n) berechnen:

πλμ

πn

n

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ 0

Aus den Verteilungen kann man im Weiteren verhältnismäßig leicht Mittelwerte für Kundenzahlen, Warteschlangenlängen, Wartezeiten etc. berechnen.



9.5 Resultate für konkrete Situationen

9.5.1 Nomenklatur Im Folgenden werden die Rechenergebnisse für bestimmte interessante Parameter von Warte-schlangensystemen angegeben. Insbesondere sind dies: • L = mittlere Länge der Warteschlange bezogen auf alle Kunden (Warteschlange und Kanal)

• L1= mittlere Länge der nichtleeren Warteschlange (Nur Warteschlange)

• N = mittlere Anzahl der Kunden im System

• T = Mittlere Wartezeit eines Kunden, bezogen auf alle Kunden (Warteschlange und Kanal)

• T1=mittlere Wartezeit, bezogen auf die wartenden Kunden (Nur Warteschlange)

• V = mittlere Verweilzeit eines Kunden im System

• pn= Wahrscheinlichkeit, genau n Kunden im System zu haben

• Pn= Wahrscheinlichkeit, nicht mehr als n Kunden im System zu haben.

Dabei gilt nach wie vor: • 1/λ = Mittlere Ankunftszeit

• 1/μ = Mittlere Bedienzeit

• ρ=λ/μ Verkehrsdichte

9.5.2 Ein Kanal, Ankunft und Bedienung exponentiell Ist die Warteschlange für die Ankunft und die Bedienung exponentiell, so gelten folgende Ergeb-nisse:

( )

L =−

λμ μ λ

2

L1 =−μ

μ λ

N =−λ

μ λ

( )

T =−

λμ μ λ

T11

=−μ λ

V T=−

= +1 1

μ λ μ

p0 1= − ρ ( )pm

m= −ρ ρ1

( )Pmm= − +1 1ρ

9.5.3 Ein Kanal, Ankunft und Bedienung exponentiell, begrenzt Ist die Warteschlange auf maximal M Kunden begrenzt, so gelten folgende Ergebnisse:



• ( )( )( )

LM MM M

M=

− + +

− −

+

+

1 1

1 1

1

1

ρ ρ

ρ ρρ

• PM MM=

−− +

11 1

ρρ

ρ , entspricht auch der Wahrscheinlichkeit, dass ein ankommender Kunde kei-

nen Platz mehr in der Warteschlange hat.

9.5.4 n-Kanäle, Ankunft und Bedienung exponentiell Eine Warteschlange ist für n Stationen vorgesehen. Wird eine Station frei, so wird der nächste Kunde bedient.

1 1 1

0 0

1

p k nn

nk

k

nn=

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ +

−=

−

∑ ! !ρ ρ

ρ

Sind m Kanäle gerade belegt ( )0 1≤ ≤ −m n , d.h. nicht voll belegt gilt:

pm

pmm=

10!

ρ

ansonsten für ( )m n≥ : pn n

pn

pm m nm

k

n= = ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟−

10!

ρρ

• ( ) ( )

Lp

n n

n

=− −

+ρ

ρ

10

21 !

• N L= + ρ

• ( ) ( )

Tp

n n

n

=− −

ρ

μ ρ0

21 !

• V T= +1μ

9.5.5 Ein Kanal, Ankunft exponentiell, Bedienung verteilt nach Erlang Eine realistischere Situation ergibt sich durch eine erlangverteilte Bedienung

• ( )

L rr

=+

−1

2

2λμ μ λ

• N L= + ρ

• ( )

T rr

=+

−1

2λ

μ μ λ

• V T= +1μ

Diese Ergebnisse gehen für r = 1 in die Resultate der exponentiell verteilten Bedienungszeiten über. Der dort nicht mögliche Übergang für r unendlich führt hier auf Ergebnisse mit scharfer Bedienzeit.

• ( )

L =−

λμ μ λ

2

2 und

( )T =

−λ

μ μ λ2



9.6 Rechenbeispiel Im Folgenden sei als Beispiel eine Reparaturwerkstätte für Baufahrzeuge in einem Bauhof eines Baulogistik-Zulieferers betrachtet. Zunächst ist anzunehmen, dass die Defektwahrscheinlichkeiten für Fahrzeuge gleich verteilt sind, im Mittel 10 Fahrzeuge/Tag. Daher können wir von einer Exponentialverteilung für die Ankunftsin-tervalle ausgehen. Diese Annahme ist sicher zulässig, da die Defekte voneinander unabhängig sind. Weitergehende Zusammenhänge wie z.B. Montag (Wochenende) o. ä. sollen hier nicht be-trachtet werden, haben aber enorme Bedeutung. Als Reparaturzeit wird ebenfalls eine Exponentialverteilung angenommen. Dies sei zunächst da-mit begründet, dass sehr häufig Kleinstreparaturen anfallen, größere selten (Nicht sehr vernünf-tig). Die mittlere Reparaturdauer betrage z.B. 100 min.

9.6.1 Rechnung mit Mittelwerten: Das mittlere Ankunftsintervall beträgt 24 60

10144

⋅=

minmin , die mittlere Reparaturdauer 100 Minu-

ten. Entsprechend kann man davon ausgehen, dass die Werkstatt zu ca. 30% unbeschäftigt ist, und im Wesentlichen jedes defekte Fahrzeug sofort repariert werden kann und die Werkstatt nach 100 Minuten verlässt.

9.6.2 Berechnung nach Warteschlangentheorie:

Ankunftsrate: λ = =1

1440 00694

min.

Abfertigungsrate: μ = =1

1000 01

min.

Verkehrsdichte: ρλμ

= = 0 694.

Stabilität: ρ ≤ n stabil für einen Kanal

• 57,1)(

²=

−=

λμμλL mittlere Warteschlangenlänge bezogen auf alle Fahrzeuge im System

• L1 3 26=−

=μ

μ λ. mittlere Warteschlangenlänge, bezogen auf Warteschlange

• ( )

T h=−

= =λ

μ μ λ227 3 7min . mittlere Wartezeit

• V T h=−

= + = =1 1 326 5

μ λ μmin .4 mittlere Verweildauer

• p0 1 0 306= − =ρ . Wahrscheinlichkeit, gerade frei zu sein (Auslastung ca. 30% s.o.) Einführung einer Begrenzung der Warteschlange auf max. 5 bzw. 2 Fahrzeuge (Etwa aus Platznot!). Dann interessiert die Wahrscheinlichkeit, ein Fahrzeug abweisen zu müssen (Fremdre-paratur, Transport)

• M PM MM= = =

−−

= ⋅ = =+5 0 6941

10 3060 888

0 161 0 0554 5%1, . , ..

. .ρρ

ρρ



• M PM MM= = =

−−

= ⋅ = =+2 0 6941

10 3060 666

0 0 22 22%1, . , ..

.482 .ρρ

ρρ

Zuletzt sei als realere Alternative eine Erlangverteilte Bedienung betrachtet: Nötig seien z.B. 3 Stufen (r = 3), die jeweils als exponentiell verteilt angenommen werden sollen: Untersuchen - Testen - Reparieren Hier ergibt sich eine modifizierte Wartezeit von:

( )T r

rh h=

+−

= ⋅ =1

23 7 4

62 47λ

μ μ λ, ,

Es ist deutlich zu sehen, dass durch die Verschärfung der Bedienzeit, sich die mittlere Wartezeit verkürzt. Ingesamt kann diese aber bis zu einem scharfen Wert (r = unendlich) verändert werden, der dann auch nicht mehr real ist. Der Mittelwert wäre dann

( )′ =

+−

⎯ →⎯⎯ =→∞T rr

h hrlim , .12

12

3 7 185λμ μ λ

9.6.3 Monte-Carlo-Simulation Zuletzt soll mit einer Extend-Simulation nach den bekannten Monte-Carlo-Verfahren eine einfache Warteschlange dargestellt werden um die Ergebnisse des theoretischen Überlegungen zu verifi-zieren. Mittlere Warteschlangenlänge

57,1)(

²=

−=

λμμλL

Mittlere Wartezeit

hT 7,3min227)(

==−

=λμμ

λ

Wahrscheinlichkeit, frei zu sein

306.010 =−= ρp Ein „Create“ Block erzeugt die „Kunden“ nach einer entsprechend konfigurierten Exponentialver-teilung. Anschließend nimmt eine „Queue“ die Items auf bis sie in der „Reparatur-Activity“ ange-nommen werden können, d.h. diese nicht gerade besetzt ist. Nach der Wartezeit der Activity, e-benfalls modelliert durch eine Erlangverteilung werden die Items in den „Exit“- Block entlassen.



Abbildung 9.10: Monte Carlo Simulation

Die Resultate nach einer statistisch hinreichenden Anzahl von Durchläufen entsprechen mit hoher Genauigkeit den theoretischen Vorhersagen: Die Warteschlangenlänge liegt bei 1.581772 im Vergleich zur Vorhersage 1.57 während der Aus-lastungsgrad der Reparaturstation mit 0.6908 gerade einem ρ = 1 - 0.306 = 0.694 gegenübersteht.



Abbildungsverzeichnis Abbildung 9.1: Baustellenlogistik 9-1 Abbildung 9.2: Prozesse mit vorgelagerten Prozessen und angekoppelten Ressourcen 9-2 Abbildung 9.3: Beispiel Baustellenbelieferung Lenbachgärten 9-2 Abbildung 9.4: Warteschlangenstrukturen 9-3 Abbildung 9.5: Exponentialverteilung 9-5 Abbildung 9.6: Poissonverteilung 9-6 Abbildung 9.7: Erlang-Verteilung 9-7 Abbildung 9.8: Zustandsdiagramm Übergänge für eine Verkehrsampel 9-8 Abbildung 9.9: Zustandsdiagramm Übergänge für eine Warteschlange 9-9 Abbildung 9.10: Monte Carlo Simulation 9-14

IIIAusgabe 12/2009 – Produktionsprozessplanung


Kapitel 10: Produktionsprozessplanung Inhaltsverzeichnis

10. Produktionsprozessplanung 10-1

10.1 Produktionsprozessplanung 10-1 10.1.1 Terminplanung 10-1 10.1.2 Ablaufplanung 10-2

10.2 Ablauf – und Terminplanung 10-3 10.2.1 Projektstrukturplan 10-3 10.2.2 Übersicht Vorgehensweise 10-4

10.3 Die Produktionsfunktion 10-5

10.4 Darstellungsformen 10-6 10.4.1 Balkendiagramme 10-6 10.4.2 Weg-Zeit-Diagramm 10-9 10.4.3 Volumen-Zeit-Diagramm 10-12 10.4.4 Netzpläne 10-13

10.5 Modellierung von Ablauf und Terminplänen 10-13 10.5.1 Ereignisknoten-Netzplan (EKN) 10-14 10.5.2 Vorgangspfeil-Netzplan (VPN) 10-14 10.5.3 Vorgangsknoten-Netzplan (VKN) 10-14 10.5.4 Anordnungsbeziehungen 10-15 10.5.5 Zeitabstände 10-16 10.5.6 Mehrfache Beziehungen zwischen Vorgänger und Nachfolger 10-17

10.6 Terminieren von Netzplänen 10-18 10.6.1 Algorithmus des längsten Weges 10-18 10.6.2 Rangbestimmung (kausale Abfolge) 10-19 10.6.3 Graphische Rangbestimmung (Ford) 10-20 10.6.4 Beispiel: Tunnel Farchant 10-20 10.6.5 Listenorientierte Rangbestimmung 10-23 10.6.6 Terminierung von rangsortierten Netzplänen 10-25 10.6.7 Vorwärtsrechnung 10-27 10.6.8 Rückwärtsrechnung 10-28 10.6.9 Puffer und Reserven 10-31 10.6.10 Terminierung eine Vorgangspfeilnetzes 10-36

10-1Ausgabe 12/2009 – Produktionsprozessplanung


10. Produktionsprozessplanung

10.1 Produktionsprozessplanung

Produktionsplanung Terminplanung

Festlegung desProduktionsverfahrens

Personalplanung

Geräteplanung

Ablaufplanung

Vorgangsdauern

Planung des Bauablaufes Planung der Ereignisse und Meilensteine

Vertragliche Vorgaben des Kunden

Produktionsprozessplanung

Abbildung 10-1: Übersicht

Die Produktionsplanung1 beinhaltet das Festlegen des Verfahrens, die Geräteplanung und die Personalplanung. Dazu sind Leistungsdaten von Geräten, Schalung und Rüstung und Nachunternehmern einzuholen. Das Ergebnis der Produktionsplanung wird in einem Produktionsplan zusammengefasst. Eine detaillierte Produktionsplanung ist die Grundlage für die Ermittlung der Produktionsansätze und damit für die Kalkulation und die Produktionsprozessplanung. Insbesondere kann eine Optimierung der Prozesse ebenfalls nur auf der Grundlage einer detaillierten Produktionsplanung stattfinden. Definition Produktionsprozessplanung

„Die Produktionsprozessplanung beinhaltet die Termin- und Ablaufplanung, die in gegenseitiger Abstimmung entwickelt werden“

10.1.1 Terminplanung

Definition Terminplanung: „Die Terminplanung ist die Planung der Ereignisse und Meilensteine in einem Projekt“

Diese sind z.B. die Baugenehmigung, die Abnahmen durch die Genehmigungsbehörden oder die vertraglichen Vorgaben des Auftraggebers.

(Definition Kybernetik der Planungsprozesse)

1 Siehe Grundkurs Bauprozessmanagement 4. Semester



Projektanstoß

Standort- und Marktanalyse

Nutzungskonzeption

ProjektzieldefinitionObjektkonkretisierung

Realisierungsentscheidung

Ausschr./ Vergabe der Planung

Planung

Behördenverfahren

Baugenehmigung

Ausschr./ Vergabe Bauleistung

Ausführung Bau

Abnahme

Betrieb

Verwertung

Ggf. Änderung der Bauleitplanung

Investitions-entscheidung

Klärung der Vertragsform

Projektabwicklung

evt. Klärung der Vertragsform

PE

Projektprofil

Objektbetrieb

Stakeholderanalyse

Abbildung 10-2: Terminplanung

10.1.2 Ablaufplanung

Die Ablaufplanung ist die chronologische Planung der Bauabläufe. Basierend auf der Projektstruktur werden Vorgänge eingeführt und durch Meilensteine und Ereignisse vervollständigt. Zunächst wird die Dauer der Vorgänge berechnet, dann die kausalen Anordnungsbeziehungen zwischen den Vorgängen festgelegt, die sich aus technischen Gründen zwingend ergeben. Danach werden kapazitive Anordnungsbeziehungen angegeben, die sich aus einem sinnvollen Einsatz der Ressourcen ergeben. Nach Überprüfung der Verfügbarkeiten und eventuellen Iterationen zur Optimierung des Ablaufes wird der Ablaufplan schließlich genehmigt. Nach DIN 69900 sind folgende Elemente der Ablaufplanung definiert: Definition Vorgang:

„Ein Vorgang ist ein Element, das ein bestimmtes Geschehen beschreibt, wobei Anfang und Ende wohl bestimmt sind. Die Dauer des Vorgangs ist positiv D > 0“

Beispielsweise hat der Vorgang „Schalung aufbauen“ eine Dauer D= 2 d

Definition Ereignis:

„Ein Ereignis ist ein Element, das das Eintreten eines bestimmten Zustands beschreibt. Die Dauer eines Ereignisses ist Null: D = 0“

Beispiele für Ereignisse sind etwa der Vertragsschluss oder die Erteilung der Baugenehmigung

Definition Anordnungsbeziehung: „Eine Anordnungsbeziehung ist eine Quantifizierbare Abhängigkeit zwischen Ereignissen und Vorgängen. Sie bezieht sich jeweils ausschließlich auf der Start oder das Ende der beteiligten Vorgänge oder Ereignisse“.



Damit sind vier grundlegende Typen möglich: Ende – Start (ES) Start – Start (SS) Ende – Ende (EE) Start – Ende (SE) Abbildung 10-3: Anordnungsbeziehungen

10.2 Ablauf – und Terminplanung

Die Zerlegung eines komplexen Projekts in Teilaufgaben und Arbeitspakete ist Voraussetzung für die Ablauf- und Terminplanung. Sie liefert Transparenz beispielsweise hinsichtlich der funktionalen, organisatorischen oder technisch-sachlichen Gliederung eines Projekts. Alle Aufgaben werden ersichtlich, jedoch erfolgt keine Auskunft über die Reihenfolge, in der das Projektteam die Arbeitspakete bearbeitet, die Schnittstellen zwischen Teilprojekten/ Teilaufgaben und Arbeitspaketen sowie die genaue zeitliche Abfolge und Durchführungszeitpunkte.

10.2.1 Projektstrukturplan

Das Projekt ist anhand eines Projektstrukturplans (siehe Kybernetik der Planungsprozesse) in verschiedene Arbeitspakete und diese ggf. in einzelne Vorgänge aufzuteilen. Der Grad der Detaillierung des Projektstrukturplans und der Arbeitspakete bzw. Vorgänge ist nach der Detaillierung im angestrebten Netzplan zu wählen. Dabei ist der Grundsatz zu berücksichtigen, dass eine möglichst genaue Aufgliederung eine Optimierung in der Projektbearbeitung bedeutet, jedoch eine unnötige Verfeinerung das Projekt unübersichtlich macht und den Aufwand erhöht.

Projekt

Det

ailli

erun

gsgr

ad

Teilaufgaben

Arbeitspakete Abbildung 10-4: Darstellung eines Projektstrukturplan

Pfähle

B

B





ES

SS SE

EE



Abbildung 10-5: Beispiel Dreifeldbrücke

Abbildung 10-6: Beispiel Projektstrukturplan Dreifeldbrücke

Arbeitspakete werden schließlich in Vorgänge zerlegt. Erst auf dieser Ebene wird die strikte Baumstruktur des Projektstrukturplanes verlassen und die Verbindung der Vorgänge über Anordnungsbeziehungen hergestellt.

Arbeitspaket YArbeitspaket X

Teilprojektebene

Teilaufgaben

Arbeitspakete

ProjektebeneGesamtaufgabe

A TerminanfangE TerminendeTA TeilaufgabeAP Arbeitspaket

Projekt

AP TA TA TA

AP AP TA

AP X

AP Y

AP Z

A E

A E

A E

A E

Term

inve

rdic

htun

gK

oste

nver

dich

tung A E A E

Vorgänge

Abbildung 10-7: Arbeitspakete in Vorgänge detailliert

10.2.2 Übersicht Vorgehensweise

Zur Erarbeitung der Ablauf- und Terminplanung wird schrittweise vorgegangen: 1. Schritt: Arbeitpakete detaillieren Um den Projektablauf planen, überwachen und steuern zu können werden die einzelnen Arbeitspakete in Vorgänge zerlegt. 2. Schritt: Abläufe festlegen und Ablaufplan erstellen Im zweiten Schritt sind die Vorgänge sachlogisch miteinander zu verknüpfen. Dies geschieht in der Regel zunächst ohne Rücksicht auf die Ressourcen. Damit entsteht ein Ablaufplan in dem

Dreifeldbrücke

Seitendämme Fahrbahn Brückenkonstruktion

ÜberbautenPfeilerFundamente Gerüste Widerlager



eindeutig festgelegt wird, welche Abhängigkeiten zwischen den Ressourcen bestehen, welche Vorgänge nacheinander, parallel oder unabhängig voneinander ablaufen können und welche Zeitabstände zwischen einzelnen Vorgängen notwendig sind. Somit werden frühzeitig Abläufe und Schnittstellen identifiziert. 3. Schritt: Ablaufplan terminieren Im nächsten Schritt erfolgt die Festlegung der Durchführungsdauern der einzelnen Vorgänge( aus der Produktionsplanung). Damit können früheste und späteste Lagen berechnet und zeitkritische Vorgänge sowie zeitliche Spielräume (Puffer) ermittelt und visualisiert werden. 4. Schritt: Optimierung von Ablaufplan und Terminplan Anschließend beginnt der iterative Prozess der Optimierung. Dabei kann beispielsweise die Ablaufstruktur bezüglich der kapazitiven Anordnungsbeziehungen modifiziert werden, der Einsatz von Ressourcen erhöht und damit die Ausführungszeiten reduziert. Auch alternative Reihenfolgen sind zu erwägen. 5. Schritt: Ablauf- und Terminplan verabschieden Durch die Verabschiedung des Ablauf- und Terminplans werden die Abläufe und Termine als Soll festgelegt. Dieses bildet die Grundlage für jegliche Steuerungsprozesse und ist verbindlich für alle Beteiligten. 6. Schritt: Controlling/Steuerung (Steuerungsprozesse im Organisationsbetrieb) Zunächst werden laufend die aktuellen Ist- und Solldaten ermittelt. Durch konsequente Soll/Ist Vergleiche können Abweichungen vom geplanten Ablauf aufgezeigt und analysiert werden. Auf Basis der Analyseergebnisse lassen sich die Auswirkungen von Abweichungen auf Teilbereiche des Projekts oder auf das Projektende sehr konkret prognostizieren. Geeignete Maßnahmen zur Gegensteuerung sind zu finden und ihrerseits in ihrer Auswirkung zu untersuchen.

10.3 Die Produktionsfunktion

Die Dauer der einzelnen Vorgänge bemisst sich nach der Produktionsplanung (Siehe im Weiteren Grundkurs BPM) und wird in Abhängigkeit von Verfahren, eingesetzten Ressourcen und Geräte- wie Arbeitsleistung ermittelt. In diesem Zusammenhang soll sie als wohlüberlegt und berechnet vorausgesetzt werden. Bedeutsam ist jedoch die Tatsache dass die zu Grunde liegende Produktionsfunktion linear ist. Sie verknüpft die Ausführungsmenge, Ressourcen und Dauer mit einem Faktor w, der im Wesentlichen den Aufwand des Verfahrens widerspiegelt:

dd TQW

TQwVD

⋅=

⋅⋅

=

W Aufwand Ah, Bh V Volumen, Produktionsmenge t, m3, m2, € wA, B spezifischer Aufwand Ah/VE, Bh/VE QA, B Menge Resourcen A, B D Dauer der Aktivität in Zeiteinheiten h, d, w, m T Arbeitszeit pro Zeiteinheit h/tu Td Tägliche Arbeitszeit h/d TW Wöchentliche Arbeitszeit h/We TM Monatliche Arbeitszeit h/Mo



10.4 Darstellungsformen

Alle Berechnungen und Überlegungen zu Ablauf- und Terminplänen münden in eine übersichtliche Darstellung. In Abhängigkeit vom Projekt und von der der aktuellen Aufgabe sind einsprechend geeignete Visualisierungsformen zu wählen:

• Balkendiagramme

• Weg-Zeit-Diagramme

• Volumen-Zeit-Diagramme

• Netzwerk-Diagramme

10.4.1 Balkendiagramme

Im Balkenplan sind die einzelnen Vorgänge in je einer Zeile als Balken dargestellt. Die Länge und horizontale Position der Balken stellen auf einer Zeitachse Dauer und Anfangs- und Endtermin des Vorgangs dar. Anordnungsbeziehungen zwischen den Vorgängen werden als Pfeile zwischen Anfang und Ende der Balken angezeigt. Die Ordinate kann zur Strukturierung der Vorgänge, etwa gewerkeweise oder nach Leistung gegliedert werden. Der Balkenplan oder auch das Gantt-Diagramm ist aufgrund seiner Übersichtlichkeit das meistgenutzte Darstellungswerkzeug in der Produktionsprozessplanung.

Zeit

Struktur

GewerkRaumSubunternehmer…

Dauer

Abbildung 10-8: Balkendiagramm

In Balkenplänen werden nicht nur konkrete Vorgänge, sondern in gleicher Weise abstraktere Inhalte, die auf der Zeitachse stattfinden visualisiert. Sie lassen sich jedoch ohne weiteres in die Kategorisierung von Vorgängen und Ereignissen wie deren Verknüpfung durch Anordnungsbeziehungen einordnen. Im folgenden Beispiel sind die Vorgänge beim Bau der bereits vielfach vorgestellten Dreifeldbrücke dargestellt:



Nr. Vorgangsname Dauer Anfang Ende

1 Projektbeginn 0 Tage 14.04.08 14.04.08

2 Baustelle einrichten 14 Tage 14.04.08 07.05.08

3 Aushub Achse 1 0,5 Tage 07.05.08 08.05.08




7 Fundament Achse 1 2,5 Tage 08.05.08 13.05.08




11 Bohrpfähle Achse 3 4 Tage 08.05.08 13.05.08

12 Widerlager Achse 1 18 Tage 26.05.08 26.06.08

13 Pfeiler Achse 2 3 Tage 26.06.08 01.07.08

14 Pfeiler Achse 3 3 Tage 01.07.08 07.07.08

15 Widerlager Achse 4 18 Tage 07.07.08 07.08.08

16 Überbauten Achse 1-2 13 Tage 07.08.08 29.08.08



19 Baustellenräumung 4 Tage 14.10.08 21.10.08

20 Projektende 0 Tage 21.10.08 21.10.08

14.04.

Bohrgerät

21.10.

17.03. 07.04. 28.04. 19.05. 09.06. 30.06. 21.07. 11.08. 01.09. 22.09. 13.10.rz 21 April 11 Juni 01 August 21 September

Abbildung 10-9: Vorgänge beim Bau der Dreifeldbrücke

Darüber hinaus sind Ereignisse einzutragen wie beispielsweise die Übergabe eines Plans, eine Vertragsunterzeichnung oder die Erteilung einer Baugenehmigung. Im folgenden Beispiel sind etwa die Bestelldaten zu finden, die mit einem bestimmten Vorlauf den Ausführungen vorausgehen.

Nr. Vorgangsname Dauer Anfang Ende Vorgänger

1 Submission 0 Tage Mi 21.05.0 Mi 21.05.0

2

3 1. Verhandlungsprotokoll 0 Tage Mi 11.06.0 Mi 11.06.0

4 Vorlage Ausführung Trägerverbau 0 Tage Di 01.07.0 Di 01.07.0

5

6 Werkvertrag Unterzeichnung AN 0 Tage Do 24.07.0 Do 24.07.03

7

8 Teilbaugenehmigung Erdaushub unVerbau

1 Tag? Mi 11.06.0 Mi 11.06.0

9 Baugenehmigung 1 Tag Mi 20.08.0 Mi 20.08.0

10

11

12 Verbau herstellen 66 Tage Mo 21.07.0 Mi 22.10.013 Verbauträger Bohren 8 Tage Mo 21.07.0 Mi 30.07.0

14 IST (Verbauträger Bohren) 20 Tage Di 29.07.0 Di 26.08.0

15 1. Ankerlage 3 Tage Do 31.07.0 Mo 04.08.0 25EE+1 Tag

16 2. Ankerlage 3 Tage Mi 06.08.0 Fr 08.08.03 26EE+1 Tag

17 3. Ankerlage 3 Tage Di 12.08.0 Fr 15.08.03 27EE+1 Tag

18 IST (Ankerlage und Holzbohlen 45 Tage Mi 20.08.0 Mi 22.10.0

19

20

21 Erarbeiten 94 Tage Mo 21.07.0 Mo 01.12.022 Erdarbeiten Unterbau und

Eingangsbereich13 Tage Mo 21.07.0 Mi 06.08.0

23 IST (Erdarbeiten Unterbau und 81 Tage Mo 21.07.0 Mi 12.11.0

24 Gebäude 64 Tage Di 29.07.03 Di 28.10.0325 bis 1. Ankerlage 4 Tage Di 29.07.0 Fr 01.08.03 13EE+2 Tage

26 bis 2. Ankerlage 4 Tage Mo 04.08.0 Do 07.08.03 15AA+2 Tage

27 bis 3. Ankerlage 4 Tage Fr 08.08.03 Mi 13.08.0 16AA+2 Tage

28 bis Sohle 4 Tage Do 14.08.0 Mi 20.08.0 17AA+2 Tage

29 Restaushub 19 Tage Di 19.08.0 Fr 12.09.03 28AA+2 Tage

30 IST (Gebäude) 48 Tage Do 21.08.0 Di 28.10.0

31

32

33 Parkgarage 25 Tage Mo 11.08.0 Mo 15.09.0

34 (IST Parkgarage) 76 Tage Mo 21.07.0 Mi 05.11.0

35 IST (Restaushub Parkgarage) 18 Tage Do 06.11.0 Mo 01.12.0

36 Erschließungsmaßnahmen 15 Tage Mo 04.08.0 Mo 25.08.0

37 IST (Erschließungsmaßnahmen 13 Tage Mo 08.09.0 Mi 24.09.0

.

11.06.

01.07.

24.07.

11.06.

20.08.

21.07. 30.07.

29.07. 26.08.

31.07. 04.08.

06.08. 08.08.

12.08. 15.08.

20.08. 22.10.

21.07. 06.08.

21.07. 12.11.

29.07. 01.08.

04.08. 07.08.

08.08. 13.08.

14.08. 20.08.

19.08. 12.09.

21.08. 28.10.

11.08. 15.09.21.07. 05.11.

06.11. 01.12.

04.08. 25.08.

08.09. 24.09.

02. 09. 16. 23. 30. 07. 14. 21. 28. 04. 11. 18. 25. 01. 08. 15. 22. 29. 06. 13. 20. 27. 03. 10. 17. 24. 01. 08. 15. 22. 29. 05. 12. 19. 26.Jun '03 Jul '03 Aug '03 Sep '03 Okt '03 Nov '03 Dez '03 Jan '04

Abbildung 10-10: Bestelltermine

In gleicher Weise können auch im Rahmen des Soll-Ist-Vergleiches die Solltermine den Ist-Terminen im Balkenplan gegenübergestellt werden:




1 Submission 0 Tage Mi 21.05.0 Mi 21.05.0

2

3 1. Verhandlungsprotokol l 0 Tage Mi 11.06.0 Mi 11.06.0

4 Vorlage Ausführung Trägerverbau 0 Tage Di 01.07.0 Di 01.07.0

5

6 Werkvertrag Unterzeichnung AN 0 Tage Do 24.07.0 Do 24.07.0

7

8 Teilbaugenehmigung Erdaushub uVerbau

0 Tage Mi 11.06.0 Mi 11.06.0

9 Baugenehmigung 0 Tage Mi 20.08.0 Mi 20.08.0

10 Abnahme 0 Tage Fr 27.08.04 Fr 27.08.04

11

12

13

14 Verbau und Erdarbeiten Sol l 43 Tage Mo 21.07.0 Do 18.09.0

15 Verbau und Erdarbeiten Ist 94 Tage Mo 21.07.0 Mo 01.12.0

16 Verzug Beginn 0 Tage Mo 21.07.0 Mo 21.07.0

17 Verzug Ende 51 Tage Fr 19.09.03 Mo 01.12.0

18

19 Rohbau Casino Sol l 93 Tage Mo 15.09.0 Fr 06.02.04

20 Rohbau Casino Ist 161 Tage Mi 29.10.0 Do 01.07.04

21 Verzug Beginn 31 Tage Mo 15.09.0 Di 28.10.0

22 Verzug Ende 105 Tage Mo 09.02.0 Fr 09.07.04

23

24 Rohbau Parkgarage Sol l 60 Tage Mo 13.10.0 Mo 19.01.0

25 Rohbau Parkgarage Ist 141 Tage Di 02.12.0 Mi 07.07.0

26 Verzug Beginn 36 Tage Mo 13.10.0 Mo 01.12.0

27 Verzug Ende 117 Tage Di 20.01.04 Mi 07.07.0

21.05.

11.06.

01.07.

24.07.

11.06.

20.08.

27.08.

21.07. 18.09.

21.07. 01.12.

21.07.

19.09. 01.12.

15.09. 06.02.

29.10. 01.07.

15.09. 28.10.

09.02. 09.07.

13.10. 19.01.

02.12. 07.07.

13.10. 01.12.

20.01. 07.07.

Apr Mai Jun Jul Aug Sep Okt Nov Dez Jan Feb Mrz Apr Mai Jun Jul Aug Sep2. Qtl , 2003 3. Qtl , 2003 4. Qtl , 2003 1. Qtl , 2004 2. Qtl , 2004 3. Qtl , 2004

Abbildung 10-11: Soll-Ist-Vergleich

Auch die Ausgabe von neuen Planindizes gilt als Ereignisse, die im Balkenplan darzustellen sind.


12 Rohbau Gebäude herstellen 210 Tage Mi 20.08.0 Do 01.07.0413 SB-S-003 - Index a 0 Tage Mi 20.08.0 Mi 20.08.0

14 SB-S-003 - Index b 0 Tage Mi 03.09.0 Mi 03.09.0

15 SB-S-003 - Index c 0 Tage Do 09.10.0 Do 09.10.03

16 SB-S-003 - Index d 0 Tage Do 27.11.0 Do 27.11.03

17 SB-B-010 - Index a 0 Tage Mi 20.08.0 Mi 20.08.0

18 SB-B-010 - Index b 0 Tage Mi 03.09.0 Mi 03.09.0

19 SB-B-010 - Index c 0 Tage Do 27.11.0 Do 27.11.03

20 SB-B-010 - Index d 0 Tage Fr 05.12.03 Fr 05.12.03

21 Bodenplatte / Fundamente 58 Tage Mi 29.10.0 Mo 02.02.0

22 SB-B-020 - Index a 0 Tage Fr 19.09.03 Fr 19.09.03

23 Wände UG 36 Tage Do 13.11.0 Fr 16.01.04

24 SB-S-021 - Index a 0 Tage Mo 15.09.0 Mo 15.09.0

25 SB-S-021 - Index c 0 Tage Do 09.10.0 Do 09.10.03

26 SB-S-021 - Index d 0 Tage Mi 19.11.0 Mi 19.11.0

27 SB-B-037 - Index a 0 Tage Mo 29.09.0 Mo 29.09.0

28 SB-B-037 - Index b 0 Tage Fr 31.10.03 Fr 31.10.03

29 Decke UG 36 Tage Do 13.11.0 Fr 16.01.04

30 SB-B-106 - Index a 0 Tage Do 16.10.0 Do 16.10.03

31 SB-B-106 - Index b 0 Tage Di 25.11.0 Di 25.11.0

32 Wände und Stützen Ebene 1 22 Tage Mo 19.01.0 Di 17.02.04

33 SB-B-109 - Index a 0 Tage Mo 20.10.0 Mo 20.10.0


35 Decke Ebene 1 22 Tage Mo 19.01.0 Di 17.02.04

36 SB-B-206 - Index a 0 Tage Di 04.11.0 Di 04.11.0


38 SB-B-206 - Index c 0 Tage Di 09.12.0 Di 09.12.0

39 SB-B-206 - Index d 0 Tage Fr 20.02.04 Fr 20.02.04

40 Wände Ebene 2 58 Tage Mo 19.01.0 Mi 07.04.0




44 SB-B-209 - Index d 0 Tage Do 04.03.04 Do 04.03.04

45 Decke Ebene 2 58 Tage Mo 19.01.0 Mi 07.04.0


47 Wände und Stützen Ebene 3 19 Tage Mo 05.04.0 Mo 03.05.0


49 Decke Ebene 3 19 Tage Mo 05.04.0 Mo 03.05.0


51 SB-B-403 - Index b 0 Tage Mi 24.03.0 Mi 24.03.0


53 Wände, Stützen und Unterzüge Ebene 4 32 Tage Di 23.03.04 Fr 07.05.04


55 SB-B-409 - Index b 0 Tage Do 22.04.04 Do 22.04.04

56 Decke Ebene 4 32 Tage Di 23.03.04 Fr 07.05.04

57 SB-S-033 - Index a 0 Tage Mo 20.10.0 Mo 20.10.0



60 Treppe Ebene 1-3 22 Tage Di 01.06.04 Do 01.07.04

20.08.

03.09.09.10.

27.11.

20.08.

03.09.

27.11.

05.12.

29.10. 02.02.

19.09.

13.11. 16.01.

15.09.

09.10.

19.11.

29.09.

31.10.13.11. 16.01.

16.10.

25.11.

19.01. 17.02.

20.10.

04.11.

19.01. 17.02.

04.11.

18.11.

09.12.

20.02.

19.01. 07.04.

18.11.

09.12.

18.12.04.03.

19.01. 07.04.

18.12.

05.04. 03.05.

18.12.

05.04. 03.05.

20.01.

24.03.

22.04.

23.03. 07.05.

20.01.

22.04.

23.03. 07.05.

20.10.09.12.

09.12.

01.06. 01.07.

10. 28. 16. 03. 21. 09. 27. 14. 01. 19. 07. 25. 12. 30. 18. 05. 23. 10. 28. 17. 04. 22. 10. 28. 15. 03. 21. 08.z '03 28. Apr '03 09. Jun '03 21. Jul '03 01. Sep '03 13. Okt '03 24. Nov '03 05. Jan '04 16. Feb '04 29. Mrz '04 10. Mai '04 21. Jun '04 02. Aug

Abbildung 10-12: Ausgabe von Planindizes im Balkendiagramm



10.4.2 Weg-Zeit-Diagramm

Ein Ablaufplan kann auch als Weg-Zeit-Diagramm dargestellt werden. Weg-Zeit-Diagramme sind vor allem geeignet für Linienbaustellen, die einen gut definierten „Weg“ verfolgen (z. B. Straßen, Brücken, Tunnel). Dabei wird auf der Abszisse der Ort angetragen, auf der Ordinate nach unten weisend die Zeit. Eine Darstellung der Vorgänge entsprechend ihrer Struktur, also etwa gewerkeweise geordnete, ist nicht mehr möglich. Die Vorgänge werden im Weg-Zeit-Diagramm als Geraden dargestellt, wobei unmittelbar die Produktionsgeschwindigkeit aus der Steigung der einzelnen Linien abgelesen werden kann. Alle Leistungsangaben werden mit Bezug auf die Einheit „Weg“ umgerechnet. Örtliche Gegebenheiten oder räumlich konzentrierte Aktivitäten werden als senkrechte Balken dargestellt. Vertikale Abschnitte der Vorgänge stehen für zeitliche Stillstände im Ablauf, während horizontale Abschnitte räumliche Ausnehmungen bzw. Aussparungen anzeigen. Aufgrund der guten Darstellbarkeit der vielfältigen räumlichen und zeitlichen Zusammenhänge bieten sich Weg-Zeit-Diagramme zur effizienten Ablaufplanung an.

Zeit

Weg/ Volumen

Dauer

Weg

1/Geschwindigkeit

Dauer

Weg

1/Geschwindigkeit

Dauer

Weg

1/GeschwindigkeitAnordnungsbeziehungAnordnungsbeziehung

Abbildung 10-13: Weg-Zeit-Diagramm

Beispiel: Ein Tiefbauunternehmen hat den Auftrag den Bau eines 1000m langen Tunnels auszuführen.

Path

1.000m

Portal 2

Portal 1

Abbildung 10-14: Beispiel Weg-Zeit-Diagramm im Tunnelbau



Kalotte

Sohle

Innenschale

Abbildung 10-15: Aufteilung des Ausbruchsquerschnittes

Der Ausbruch wird zunächst vorlaufend nur in der Kalotte vorgenommen, dann mit einigem Abstand durch den Ausbruch der Strosse vervollständigt. Im Nachgang wird die Innenschale des Tunnels betoniert. Der Ablauf beim einseitigen Vortrieb sieht wie folgt aus:

• Baustelleneinrichtung an den Portalen (1 Monat)

• Geschwindigkeit des Kalottenvortriebs 100m/Monat

• Geschwindigkeit des Strossen-/Sohlvortrieb 150m/Monat

• Geschwindigkeit der Fertigung der Innenschale 200m/Monat

• Bau eines Portals 1 Monat

Außerdem ist der Mindestabstand von Kalottenvortrieb zu Sohlvortrieb von 100m zu beachten, darüber hinaus der Mindestabstand von Sohlvortrieb zu Innenschale von 200m um die gegenseitige Beeinflussung der Arbeiten zu vermeiden. Die Dauer des Aufbaus des Schalwagens beträgt 1 Monat. Der Aufbau kann direkt nach der Abschluss der Baustelleneinrichtung erfolgen, da am Portal keine sonstigen Arbeiten zu verrichten sind. Als Gesamtdauer des Projekts ist bei dieser Ausführung eine Zeit von insgesamt 14 Monaten vorsehen.

Portal 1Portal 2

Zeit

Weg

1.000m

BaustelleneinrichtungPortal 1 Portal 2

Innenschale 5 Mo

Kalottenvortrieb

Strossenvortrieb

Mindestabstand 100m

AufbauSchalwagen

Innenschale

Mindestabstand 200m

Gesamtdauer 14 Mo

Abbildung 10-16: Beispiel Weg-Zeit-Diagramm im Tunnelbau – einseitiger Vortrieb



Bei einem beidseitigen Vortrieb unter den gleichen Anforderungen und Rahmenbedingungen beträgt die Gesamtdauer des Projekts nur 12 Monate.

Portal 1Portal 2

Portal 1 Portal 2

Beidseitiger Ausbruch

Zeit

WegBaustelleneinrichtung

KalottenvortriebStrossenvortrieb

AufbauSchal-wagen

Innenschale

Gesamtdauer ≈ 12 Mo

Abbildung 10-17: Beispiel Weg-Zeit-Diagramm im Tunnelbau – beidseitiger Vortrieb

Ändert sich die Geologie, in diesem Fall reduziert sich die Geschwindigkeit der Kalotten- und Strossen-/Sohlvortriebe auf jeweils 50m/Monat, so beträgt die Gesamtdauer beim beidseitigen Aushub 14 Monate.

Portal 1Portal 2

Änderung der Geologie: Kalotten- und Strossen-/Sohlvortrieb reduziert auf 50m/Mo

Portal 1 Portal 2

Gesamtdauer 14 Mo

Zeit

WegBaustelleneinrichtung

KalottenvortriebStrossenvortrieb

Innenschale

InstallationSchalungs-wagen



Abbildung 10-18: Beispiel Weg-Zeit-Diagramm im Tunnelbau – Änderung der Geologie

10.4.3 Volumen-Zeit-Diagramm

Volumen-Zeit-Diagramme stellen den Zusammenhang zwischen herzustellendem Volumen (Menge) über die benötigte Zeit dar. Ähnlich dem Weg-Zeit-Diagramm bezieht sich diese Darstellung allerdings auf ein abstrakteres Produktionsvolumen. Damit werden die Vorteile auch für Projekte nutzbar, die sich nicht auf einen Weg beziehen. Typisch sind solche Darstellungen etwa für Erdbaustellen (z.B. Kanalbau, große Baugruben, Bau von Kraftwerkskavernen) oder auch Projekte mit sehr großen Betonvolumina, bei den sich das transportierte bzw. betonierte Volumen als ortsunabhängige übergreifende Einheit anbietet. Vielfach dienen Volumen-Zeit-Diagramme weniger der Planung selbst als der Auswertung einer Planung. Die Produktionsgeschwindigkeit, also die Steigung der Geraden, wird durch das nach der Zeit abgeleitete Volumen angegeben: v = ∂V/∂t und stellt damit unmittelbar die Auswirkungen der Produktionsfunktion dar. Beispiel: Arbeiten im Stahlbetonbau

Volumen

Zeit

Vorg

ang

A

Vorgan

g B

Vorg

ang

C

SchalungBeton Bewehrung

Abbildung 10-19: Volumen-Zeit-Diagramm für Arbeiten im Stahlbetonbau

Ein typisches Beispiel stellt etwa der Bau des Staudammes Zillergründl in Österreich dar. Dabei waren für die 186m hohe Staumauer ca. 550.000m³ Material abzutragen, ca. 650.000m³ Fels auszubrechen und ca. 1,400.000m³ Beton zu verarbeiten.

Abbildung 10-20: Staudamm Zillergründl (A)



10.4.4 Netzpläne

Die Darstellung als Netzplan betont die Zusammenhänge und Strukturen eines Ablaufplanes. Vorgänge werden als 3x3 Matrizen notiert und mit Pfeilen entsprechend der Beziehungen verbunden. Netzpläne verdeutlichen daher vor allem die unterschiedlichen kapazitiven und kausalen Anordnungsbeziehungen. Sie dienen in erster Linie der (manuellen) Berechnung der zeitlichen Lage von Vorgängen und Ereignissen vor dem Hintergrund der Beziehungen und haben zur Anschauung verhältnismäßig wenig Bedeutung. Allerdings bilden sie als Graphen die Grundlage für die Simulation von komplexen Systemen. Sie spielt daher bei einer zukunftsorientierten Betrachtung eine gewisse Rolle und können systematisch eine große Anzahl von Informationen beinhalten.

Anf

ang

End

e

100

201

202

203

204 604

603

602 702

703

704

701601

302

303 503

502

401 411

414404

0

0

9

9 6

6

215

15 2

228

17 2

419

30 4

32 4

434

1616

16 16

16 16

1618

32 12

1232

44 16

1644

34 4

432

648

53 6

36 9

938

59 4

459

45 26

2647

13

13

9

9

9

9Anf

ang

End

e

100

201

202

203

204 604

603

602 702

703

704

701601

302

303 503

502

401 411

414404

0

0

9

9 6

6

215

15 2

228

17 2

419

30 4

32 4

434

1616

16 16

16 16

1618

32 12

1232

44 16

1644

34 4

432

648

53 6

36 9

938

59 4

459

45 26

2647

13

13

9

9

9

9

7575

E = 3

E = 3

E = 3 E = 1

E = 1

A = 1

A = 1

A =

0

A = 0E = 3

E = 3

E = 3 E = 1

E = 1

A = 1

A = 1

A =

0

A = 0

33

38

15

15

45

68

4

4

154

72 1

62 2

273

75 2

2 77

77

63

63

64

75

0

0

77

77

000 0

0 00 0

0 00 00 0

0 0

0 0

60

44

44

32

32

17

17

19

30

36

38

48

53

54

59

71

73

45

47

77

77

0 0

60

76

0

23

34

36

38

2 2

63

63

72

49

76

15

15

55

73

11 11

2 22 2

32

34

2 2 2 2 5 5 23 23

11 11

11 11

18 185 5

GP

SA D

DFA

J

FE

FP

SE

E = 3 E = 1

800

kapazitive AOBkausale AOB

Abbildung 10-21: Netzwerkdiagramm

10.5 Modellierung von Ablauf und Terminplänen

Definition Netzplantechnik nach DIN 69900-1 „Alle Verfahren zur Analyse, Beschreibung, Planung, Steuerung, Überwachung von Abläufen auf der Basis der Graphentheorie, wobei Zeit, Kosten, Einsatzmittel und weitere Einflussgrößen berücksichtigt werden können.“

Die Netzplantechnik basiert auf den mathematischen Methoden der Graphentheorie. Die Modellierbarkeit auf dieser Basis steht schon intuitiv außer Frage. Bekanntlich stehen jedoch in der Graphentheorie lediglich zwei Elemente, nämlich (Gerichtete-) Kanten und Knoten zur Verfügung, während in der Netzplantechnik die Modellierung von Vorgängen, Ereignissen und Anordnungsbeziehungen nötig ist. Entsprechend haben sich verschiedene Ansätze der Abbildung entwickelt, die im Prinzip äquivalent sind, aber jeweils je nach Anforderung unterschiedlich nützlich sein können. Es werden folgende Ansätze unterschieden:

Ereignisknoten – Netzplan, Vorgangspfeil –Netzplan und Vorgangsknoten – Netzplan.

Die im Bauwesen am weitesten verbreitete Darstellung ist die Vorgangsknotenmodellierung, teilweise auch die Vorgangspfeil-Darstellung.



10.5.1 Ereignisknoten-Netzplan (EKN)

Der Ereignisknoten-Netzplan enthält nur Ereignisse und Anordnungsbeziehungen. Dabei beschreiben Knoten Ereignisse. Pfeile beschreiben Anordnungsbeziehungen. Die bekannteste Netzplan-Methode ist die PERT Methode („Program Evaluation und Review Technique“, entwickelt von der US-Navy 1958 in Kooperation mit Lockheed). Zwischen den Ereignissen kann ein Zeitabstand definiert werden

Ereignisbeschreibung

Ereignisnummer

Darstellung

Zeitabstand

Frühester Eintritts-zeitpunkt

Spätester Eintritts-zeitpunkt

10

Start Fundament

1Start

Fundament

1

Beispiel

10

Start Kranmontage

2

Start Schalung Stütze

3

Start Kranmontage

2

Start Schalung Stütze

3

Abbildung 10-22: Ereignisknotennetzplan

10.5.2 Vorgangspfeil-Netzplan (VPN)

Der Vorgangspfeil-Netzplan ist ein vorgangsorientierter Ablaufplan. Dabei stellen Knoten Ereignisse dar, Pfeile beschreiben Vorgänge und Anordnungsbeziehungen. Die Vorgangsdauer steht unter dem Pfeil. Die bekannteste Methode ist die CPM-Methode („Critical Path Method“, entwickelt von Du Pont de Nemours in 1956/57 in Kooperation mit Sperry Rand Corporation).

Ereignisnummer

Darstellung

Vorgangsbeschreibung

DauerFrühester Eintritts-zeitpunkt

Spätester Eintritts-zeitpunkt

1

Beispiel

Fundament

10

2Kranmontage

3

Stütze schalen

15

3

4

Abbildung 10-23: Vorgangspfeil-Netzplan

10.5.3 Vorgangsknoten-Netzplan (VKN)

Der Vorgangsknoten-Netzplan ist eine vorgangsorientierte Ablaufplanung. Vorgänge werden durch Knoten beschrieben, Anordnungsbeziehungen werden durch Pfeile beschrieben. Er stellt auch Ereignisse dar (Meilensteine). Die bekannteste Methode ist die MPM-Methode („Metra Potential Methode“, entwickelt von SEMA in 1958 in Frankreich).



Vorgangs-bezeichnung

Darstellung

FAZSAZ

AnordnungsbeziehungGP FEZFP SEZ

V.Nr V D

V.NR VorgangsnummerV VerantwortlicherD DauerFAZ frühester AnfangszeitpunktFEZ frühester EndzeitpunktSAZ spätester AnfangszeitpunktSEZ spätester EndzeitpunktGP GesamtpufferFP Freier Puffer

Fundament

Beispiel1.10 V1 10

Kranmontage

1.20 V1 3

Stütze schalen

2.20 V1 15

Abbildung 10-24: Vorgangsknoten-Netzplan

10.5.4 Anordnungsbeziehungen

Im Folgenden sind nun die bisher nur prinzipiell eingeführten Anordnungsbeziehungen konkret spezifiziert werden. Wie bereits beschrieben sind sie als quantifizierbare Abhängigkeiten zwischen Ereignissen oder Vorgängen in DIN 69 900 genormt. Es gibt folgende vier grundlegenden Typen von Anordnungsbeziehungen: Definition Normalfolge:

„Die Normalfolge ist eine Anordnungsbeziehung vom Ende eines Vorgangs zum Anfang seines Nachfolgers“.

Ein Beispiel für eine Normalfolge ist das Bewehren einer Stahlbetondecke mit daran anschließendem Betonieren. Normalfolge NF: E(I) – A(J)

Abbildung 10-25: Normalfolge Definition Anfangsfolge:

„Die Anfangsfolge ist eine Anordnungsbeziehung vom Anfang eines Vorgangs zum Anfang seines Nachfolgers“.

Ein Beispiel für eine Anfangsfolge ist die Anordnungsbeziehung zwischen Beginn der Baustelleneinrichtung und Beginn der Erdarbeiten. Anfangsfolge AF: A(I) – A(J)

Abbildung 10-26: Anfangsfolge

Definition Endfolge:

„Die Endfolge ist eine Anordnungsbeziehung vom Ende eines Vorgangs zum Ende seines Nachfolgers.“

BewehrenI

min Z

BetonierenJ

NF

BewehrenI

min Z

BetonierenJ

NF

SchalenI

min ZBewehren

JAF

SchalenI

min ZBewehren

JAF



Ein Beispiel für eine Endfolge ist die Anordnungsbeziehung zwischen Betoniervorgang und dem anschließenden Glätten des Betons. Endfolge EF: E(I) – E(J)

Abbildung 10-27: Endfolge Definition Sprungfolge:

„Die Sprungfolge ist eine Anordnungsbeziehung vom Anfang eines Vorgangs zum Ende seines Nachfolgers“.

Beispiel für eine Sprungfolge ist die Anordnungsbeziehung zwischen dem Beginn des Einrichtens einer Baustelle und dem Ende des Räumens der Baustelleneinrichtung. Durch den Beginn Einrichten einer Baustelle und dem Ende Räumen der Baustelleneinrichtung ist die Projektdauer bestimmt. Sprungfolge SP: A(I) – E(J)

Abbildung 10-28: Sprungfolge

10.5.5 Zeitabstände

Die Anordnungsbeziehungen zwischen zwei Vorgängen können mit einem Zeitabstand belegt sein, der die Beziehung näher festlegt. Dies kann ein Mindestzeitabstand min Z sein, um z. B. das Aushärten des Betons vor dem Ausschalen sicherzustellen oder auch ein maximal zulässiger Zeitabstand max Z, der z. B. das Glätten einer Betonoberfläche rechtzeitig erzwingt. Der tatsächliche Zeitabstand Z liegt entsprechend zwischen den Grenzen min Z und max Z:

min Z ≤ Z ≤ max Z

I

J

NF

Z

I

J

NF

min Z

I

J

max Z

NF

I

J

NF

Z

I

J

NF

min Z

I

J

max Z

NF

Abbildung 10-29: Zeitabstände zwischen Vorgängen

I

J

min Z

Z

max Z

BetonierenI

min Z

GlättenJ

EF

BetonierenI

min Z

GlättenJ

EF

ProjektanfangI

min Z

Projektende

JSF

ProjektanfangI

min Z

Projektende

JSF



Der Zeitabstand Z ist in Abbildung 10-29 dargestellt. Im ersten Fall ist der Vorgang J entsprechend den Randbedingungen unter Berücksichtigung von min Z auf der Zeitachse in Richtung auf den Projektbeginn verschoben worden. Die zweite Darstellung zeigt den Vorgang J verschoben in Richtung auf das Projektende unter Berücksichtigung von max Z. Die tatsächlich vorliegende Zeitdifferenz Z wird dann in der dritten Darstellung aufgezeigt.

10.5.6 Mehrfache Beziehungen zwischen Vorgänger und Nachfolger

Komplexere Beziehungen zwischen Vorgängen werden Kombination von Anordnungs-beziehungen modelliert. Etwa könnte ein minimaler Zeitabstand und ein maximaler Zeitabstand auch durch eine Kombination von zwei ansonsten unabhängigen Anordnungsbeziehungen dargestellt werden. Ein Beispiel für eine solche Kombination ist das Glätten von Betonoberflächen. Zuerst erfolgt das Betonieren, anschließend das Glätten der Betonoberfläche, wobei Beton weder zu frisch noch bereits abgebunden sein darf. Dafür wird ein bestimmter minimaler und maximaler Zeitabstand festgelegt, in dem der Nachfolger durchgeführt werden kann.

I

Jmax Z (zu hart)

min Z (zu flüssig)Betonieren

Glätten

Abbildung 10-30: Kombination zweier Normalfolgen

Eine weitere häufig vorkommende Beziehung wird Annäherung genannt: Definition Annäherung:

„Die Annäherung ist eine Kombination aus Anfangsfolge und Endfolge zwischen zwei Vorgängen. Es sind jeweils der Beginn der beiden Vorgänge und das Ende der beiden Vorgänge durch eine Anordnungsbeziehung verbunden“.

Beispiel für eine Annäherung ist die Verlegung der Rohrleitung in der Innenstadt. Zuerst erfolgt der Grabenaushub mit anschließendem Einbringen des Sandbetts und Verlegen der Rohre. Abschließend wird der Graben wieder verfüllt. Zwischen allen Vorgängen ist jeweils ein räumlicher und damit auch zeitlicher Mindestabstand einzuhalten, um sich gegenseitig nicht zu behindern. Wird der Vorgang J zu langsam, so wird die Anfangsfolge relevant, wird er im Vergleich zum Vorgang I zu schnell, so greift die Endfolge.

I

JAF maßgebend

min Z

min ZRohre verlegen

Graben verfüllen

I

JAF maßgebend

min Z

min ZRohre verlegen

Graben verfüllen

Abbildung 10-31: Annäherung – AF maßgebend



I

JEF maßgebend

min Z

min ZRohre verlegen

Graben verfüllen

I

JEF maßgebend

min Z

min ZRohre verlegen

Graben verfüllen

Abbildung 10-32: Annäherung – EF maßgebend

10.6 Terminieren von Netzplänen

Auf der Basis der Beschreibung und Modellierung von Ablauf- und Terminplänen durch Netzpläne sind die zentralen Fragen der Terminierung der einzelnen Vorgänge und Ereignis vor dem Hintergrund der Gesamtheit der Anordnungsbeziehungen zu beantworten. Die Modellierung selbst ist durch lokale Festlegung der Interaktionen erfolgt, die wesentlichen Fragen, etwa nach der Dauer des Projekts, der Abfolge von Terminen, der Puffer zwischen einzelnen Vorgängen oder dem kritischen Pfad sind aber emergenter Natur. Konkret sind zu deren Beantwortung die folgenden Schritte nötig, die dann anschließend im Einzelnen detailliert dargestellt werden:

Definieren der Darstellungsweise des Netzplanes Zusammenstellen der Arbeitspakete aus der Projektstruktur Entwickeln einer Vorgangsliste (nach kausalen und kapazitiven Randbedingungen) Feststellen der Dauer der Vorgänge Beschreiben der Anordnungsbeziehungen nach Typ und ggf. Quantifizierung Entwickeln einer kausalen Rangordnung Vorwärtsrechnung Rückwärtsrechnung Bestimmen von Pufferzeiten Optimieren des Netzplanes nach Zeit und Kosten

10.6.1 Algorithmus des längsten Weges

Die Graphentheorie erlaubt die direkte Berechnung der Terminierung eines Netzplanes etwa unter der Bezeichnung „Algorithmus nach Ford zur Berechnung des Längsten Weges durch einen Graphen“ Dieser findet mit dem längsten Weg stets die Kette von Vorgängen, die die maximale Zeit dauert. Daher kann das Projekt nicht in einer kürzeren Zeit ausgeführt werden, wenn alle Vorgänge berücksichtigt werden sollen. In gleicher Weise kann mit dem Algorithmus von Ford die entsprechende Vorgangskette für jeden einzelnen Vorgang gefunden werden, die dann den frühesten Termin dieses Vorgangs bestimmt. Die Definitionen dazu werden am Ende des Kapitels formuliert, wenn die Voraussetzungen dafür vorliegen. Es ist einsichtig, dass zur Terminierung eines Vorgangs lediglich die Termine der Vorgänger bekannt sein müssen. Daher steht als erste Aufgabe an, eine rein kausale Ordnung der Vorgänge zu beschreiben, die lediglich feststellt, welche Vorgänge zu einem bestimmten Vorgang Vorgänger, also Voraussetzung zur Berechnung der Termine sind. Diese kausale Ordnung wird als „Rang“ bezeichnet. Ein Rang ist nichts anderes als der längste Weg vom Startknoten zum betreffenden Knoten, wenn als Länge der Kante der Wert 1 angesetzt wird



Definition Rang nach DIN 69900-1 „Der Rang eines Knotens ist die größte Anzahl der Pfeile auf dem Weg zwischen Startknoten und dem betrachteten Knoten.“

Der Rang eines Vorgangs beschreibt formal die größte Anzahl von Pfeilen eines Weges zwischen dem Startknoten und dem betrachteten Knoten. Die Anzahl der Pfeile gibt im Netzplan die Anzahl der technischen bzw. ressourcenbezogenen Vorgänger wieder. Notiert man die Knoten des Netzplanes nach Rängen, so erhält man einen „Rangsortierten Netzplan“:

Abbildung 10-33: Rangsortierter Netzplan

In einem solchen „Rangsortierten Netzplan“ zeigen alle Pfeile nach rechts. Das heißt, eine Betrachtung der einzelnen Knoten von links nach rechts behandelt jeden Vorgang erst dann, wenn alle kausal zugrunde liegenden Vorgänge bereits abgewickelt sind. Entsprechend kann jeder Vorgang direkt terminiert werden, wenn diese Reihenfolge eingehalten wird. Ein weiterer wesentlicher Vorteil der Berücksichtigung von Rängen ist das Auffinden von Zyklen, d.h. von Verbindungen, die – von einem Knoten ausgehend – über weitere Vorgänge wieder auf diesen Ausgangsknoten zurückführen. Zyklen sind nicht zulässig, da sie zu keiner Lösung führen

10.6.2 Rangbestimmung (kausale Abfolge)

Die zentrale Aufgabe der Netzplantechnik besteht also zunächst in der Ordnung und daraus folgend der Terminierung der Ereignisse und Vorgänge. Zur Bestimmung der Ränge stehen verschieden Algorithmen zur Verfügung. Schon bei kleinen Projekten versagt die intuitive Festlegung der Ränge und der Einsatz eines Algorithmus - also eine klaren Folge von Anweisungen - wird notwendig. Die Abwicklung eines solchen Algorithmus kann manuell oder im Rechner erfolgen. Im Folgenden werden zwei äquivalente Methoden der Rangbestimmung gezeigt. Zur Illustration der Vielfalt unterscheiden sie sich einmal in der Handhabung – listenorientiert und graphisch - , zum Anderen beziehen sie sich auf unterschiedliche Darstellungen, nämlich ein Vorgangsknotennetz und ein Vorgangspfeilnetz. Darüber hinaus ist der erste Ansatz rekursiv aufgebaut, der zweite iterativ. In beiden Fällen werden die Beziehungen lokal modelliert durch die Rechenvorschrift:

1

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 14

15

16 17 18

2

1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 122 14Rang

13

Sta

rt

End

e

1

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 14

15

16 17 18

2

1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 122 14Rang

13

Sta

rt

End

e

Rang

0



R (J) = max { R(Ii) + 1 } i = alle Vorgänger von J

Vorgang Vorgang

i jAnordnungsbeziehung

Vorgänger Nachfolger

Vorgang Vorgang

i jAnordnungsbeziehung

Vorgänger Nachfolger

10.6.3 Graphische Rangbestimmung (Ford)

Der Algorithmus nach Ford setzt keinerlei Sortierung voraus. Vorgänge werden als Pfeile notiert, die durch Knoten als Anordnungsbeziehung verbunden sind. Zur Vereinfachung werden hier zunächst Normalfolgen vorausgesetzt. In der Grafik wird zunächst jeder Knoten mit einem vorläufigen Rang 0 versehen, der aber definitiv die Rechenvorschrift verletzt. Im Zuge der Berechnung werden alle Knoten in beliebiger Reihenfolge bezüglich der Rechenvorschrift { }max 1J iR R= + wobei i alleVorgänger von j= korrigiert, wobei aber nur die direkten Vorgänger des Knotens betrachtet werden. Mit einem solchen Durchlauf werden die Ränge verbessert, jedoch u. U. nicht endgültig. Daher wird dieser Zyklus iterativ wiederholt bis sich keine Änderungen mehr ergeben. Dann sind die Ränge stabil und geben das Endergebnis wieder.

A

I

E

G

C

F

B

StartpunktEndpunkt

0/1/1/1/1/1

0/1/2/3/3/30/1/2/2/2/2

0/1/1/1/1/1

0/1/1/1/1/1

0/0/0/0/0/0

0/1/2/3/4/4

Abbildung 10-34: Graphische Methode der Rangberechnung

10.6.4 Beispiel: Tunnel Farchant

Der Tunnel Farchant (bei Garmisch) besteht aus zwei Röhren, welche über zwei Querschläge miteinander verbunden sind. Der Querschnitt wird getrennt in Kalotten und nachlaufenden Strossenvortrieb ausgebrochen. Die Schutterung des Kalottenvortriebs müsste im Wesentlichen



über den Strossenvortrieb laufen und würden diesen erheblich behindern. Aus diesem Grund wird in dieser vereinfachten Beispiel-Situation die Schutterung über die Querschläge durchgeführt.

Kalotte

Sohle

Innenschale

Kalotte

Sohle

Innenschale

2/Quer, 30m

1/Quer, 20m

2/West, 350m

3/West, 400m

3/Ost, 400m

2/Ost, 350m

1/West, 250m

1/Ost, 250m

Abbildung 10-35: Beispiel Tunnel Farchant: Situation

Zunächst wird mit dem Ausbruch der Kalotte in beiden Kanälen begonnen. Sobald der erste Querschlag erreicht ist kann die Schutterung beider Vortriebe über den Abschnitt West 1 erfolgen und der Strossenvortrieb in Ost 1 kann beginnen.

1/Ost

2/Quer

1/Quer

2/West

3/West

3/Ost

2/Ost1/West

1/Ost

2/Quer

1/Quer2/West

3/West

3/Ost

2/Ost

1/West

1/Ost

2/Quer

1/Quer2/West

3/West

3/Ost

2/Ost

1/West

Abbildung 10-36: Beispiel Tunnel Farchant: Phase 1 und 2

Sobald der zweite Querschlag hergestellt ist steht zur Schutterung dien Abschnitte West 2 und Ost 1 zur Verfügung. Damit kann der Strossenausbruch in Ost 2 und West 1 beginnen.

1/Ost

2/Quer

1/Quer2/West

3/West

3/Ost

2/Ost

1/West

1/Ost

2/Quer

1/Quer2/West

3/West

3/Ost

2/Ost

1/West

1/Ost

2/Quer

1/Quer

2/West

3/West

3/Ost

2/Ost1/West

1/Ost

2/Quer

1/Quer

2/West

3/West

3/Ost

2/Ost1/West

Abbildung 10-37: Beispiel Tunnel Farchant: Phase 3 und 4



Exkurs: Virtuelle Vorgänge Im Vorgangspfeilnetz ist zur Abbildung von Anordnungsbeziehungen oft ein Vorgang ohne eigentliche Tätigkeit mit Dauer Null einzuführen, ein so genannter „Virtueller Vorgang“. Ggf. sind in gleicher Weise auch virtuelle Knoten zu verwenden, die lediglich der Modellierung von AOBs dienen. Beispiel 1: Die Vorgänge A und B führen von Knoten 3 zu Knoten 4.

A

B

CD

VirtuellerVorgang, Dauer d=0

A

B

CD

Beispiel 2: Die Vorgänge A und B sind Voraussetzung für C, aber nur B ist eine Voraussetzung für den Vorgang D.

A

B

C

D

A

B

C

D

Virtueller Vorgang, Dauer d=0

Damit kann folgender Netzplan (VPN) für die Situation Tunnel Farchant angegeben werden.

1/Ost

2/Ost

1/Ost

2/West

3/Ost2/Quer2/Ost

3/West2/West

1/West

1/Quer

3/Ost

1/West 3/West

Ende

Start

Hau

ptau

sbru

chvo

r Que

rsto

llen

Hau

ptau

sruc

hvo

r Que

rsto

llen

Verfügbar durch Querstollen 1 und 2

Keine Verfügbarkeit in 3/Ost

Verfügbar 3Ost/3WestDurch Querstollen 2 und 2Ost

Muss erledigt werden


Hau

ptau

sbru

chvo

r Que

rsto

llen

Hau

ptau

sruc

hvo

r Que

rsto

llen

Verfügbar durch Querstollen 1 und 2

Keine Verfügbarkeit in 3/Ost

Verfügbar 3Ost/3WestDurch Querstollen 2 und 2Ost



Abbildung 10-38: Beispiel Tunnel Farchant

Die Rangberechnung sieht dann aus, wie folgt:



1/Ost

2/Ost

1/Ost

2/West

3/Ost2/Quer2/Ost

3/West2/West

1/West

1/Quer

3/Ost

1/West 3/West

Ende

Start0/0/0/0

0/1/1/10/2/2/2 0/3/3/3

0/3/3/3

0/1/1/1

0/2/2/20/4/4/4

0/3/5/5

0/5/5/5

0/5/7/70/6/8/8

0/6/6/6

0/7/9/9

0/0/0/0

0/1/1/10/2/2/2 0/3/3/3

0/3/3/3

0/1/1/1

0/2/2/20/4/4/4

0/3/5/5

0/5/5/5

0/5/7/70/6/8/8

0/6/6/6

0/7/9/9

0

1

1

5

2

2

5

4 3

7

3

8

9

6

0

1

1

5

2

2

5

4 3

7

3

8

9

6

Abbildung 10-39: Beispiel Tunnel Farchant - Rangberechnung

10.6.5 Listenorientierte Rangbestimmung

Alternativ können Ränge auch listenorientiert bestimmt werden. Dazu sei angenommen, dass die Vorgänge als Knoten (VKN) modelliert sind und die Anordnungsbeziehungen (AOB) als Kanten. Dann kann wie folgt vorgegangen werden: 1. Sortierung aller AOB nach dem Nachfolger 2. Der Projektanfang (PA) erhält den Rang „0“ 3. Suche eines Nachfolgers (J), dessen sämtliche Vorgänger (Ik) (k = Index über alle Vorgänger

von J) bereits einen Rang erhalten haben 4. Bestimmen des Rangs von (J) mit R (J) = Max (R(Ik)) + 1 5. Eintragung von R (J) in alle AOBs ein, in denen J als Vorgänger auftritt 6. Durchlaufen von Punkt 3 – 6 solange, bis alle Vorgänge einen Rang haben Die in der Vorgangsliste Abbildung 10-33 vorliegenden „Vorgänger-Nachfolger-Beziehungen“ liegen zunächst ungeordnet nacheinander vor. Im ersten Schritt werden diese so sortiert, dass die Beziehung, bei der der Nachfolger J die kleinste Vorgangsnummer besitzt, als nächstes in die sortierte Liste aufgenommen wird. Die sortierte Liste ist also fortschreitend mit zunehmender Vorgangsnummer bezogen auf den Nachfolger. Im nächsten Schritt werden den Vorgängen beginnend mit dem Projektanfang die Ränge zugeordnet. Der Projektanfang erhält den Rang „0“. Anschließend werden alle Vorgänge untersucht, deren Vorgänger bereits einen Rang erhalten haben. Liegen bezogen auf den betrachteten Vorgang mehrere Vorgänger vor, so ist der mit dem größten Rang maßgebend. Der Rang des betrachteten Vorgangs ergibt sich aus dem maximalen Rang aller direkten Vorgänger zzgl. dem Wert „1“ nach der Rechenvorschrift: { }max 1J iR R= + wobei i alleVorgänger von j=



Der nun ermittelte Rang des Nachfolgers J wird auf alle Vorgänger I übertragen, die die gleiche Vorgangsnummer wie der Nachfolger J haben. Nun wird erneut mit dem Bestimmen des Ranges aller Nachfolger begonnen, deren Vorgänger bereits einen Rang erhalten haben. Dieser Prozess wird so lange durchgeführt, bis alle Vorgänge einen Rang erhalten haben. Beispielhaft wird hier wieder die Dreifeldbrücke angeführt. Der Einfachkeit halber werden ebenfalls nur Normalfolgen eingesetzt, was aber zur Rangberechnung ohne weitere Bedeutung ist.

Pfähle

B

B





Vorgang Bezeichnung Dauer in Tagen Vorgänger / AOB

1 Baustelleneinrichtung und Oberbodenabtrag 14,0 Start2 Aushub Achse 1 0,5 1 / NF3 Aushub Achse 2 0,5 2 / NF4 Aushub Achse 3 0,5 10 / NF5 Aushub Achse 4 0,5 3 / NF6 Fundament Achse 1 2,5 2 / NF7 Fundament Achse 2 2,5 3 / NF, 6 / NF8 Fundament Achse 3 2,5 4 / NF, 9 / NF9 Fundament Achse 4 2,5 5 / NF, 7 / NF

10 Pfähle Achse 3 4,0 1 / NF11 Widerlager Achse 1 18,0 6 / NF, 8 / NF12 Pfeiler Achse 2 3,0 7 / NF, 11 / NF13 Pfeiler Achse 3 3,0 8 / NF, 12 / NF14 Widerlager Achse 4 18,0 9 / NF, 13 / NF15 Überbauten Achse 1-2 13,0 11 / NF, 12 / NF, 14 / NF16 Überbauten Achse 2-3 13,0 12 / NF, 13 / NF, 15 / NF17 Überbauten Achse 3-4 13,0 13 / NF, 14 / NF, 16 / NF18 Baustellenräumung und Oberbodenandeckung 4,0 15 / NF, 16 / NF, 17 / NF

Abbildung 10-40: Vorgangsliste mit AOB

Die Anordnungsbeziehungen der linken Spalten der folgenden Darstellung sind ungeordnet und werden in die Spalten Vorgang der rechten Liste sortiert eingetragen. Dann werden die Spalten Rang der rechten Liste ausgehend von Rang 0 des Projektstartes konsekutiv ausgefüllt, bis alle Ränge bestimmt sind.



Ungeordnete Anordnungsbeziehungen

i j1 211 1210 43 515 163 74 85 91 1016 178 112 62 312 1313 1414 1515 1816 1817 1811 1514 1713 177 126 116 77 99 148 1312 1613 1612 159 8

Activity

Geordnete Anordnungsbeziehungen

Alle Beziehungen nach dem Nachfolger ordnen

Projektanfang (PA) hat den Rang 0

Algorithmus:

R(PA) = 0Rj = Max (Ri)+1

i j i j1 2 1 22 3 2 310 4 2 33 5 3 42 6 2 33 7 3 46 7 3 44 8 3 69 8 5 65 9 4 57 9 4 51 10 1 26 11 3 78 11 6 77 12 4 811 12 7 88 13 6 912 13 8 99 14 5 1013 14 9 1011 15 7 1112 15 8 1114 15 10 1112 16 8 1213 16 9 1215 16 11 1213 17 9 1314 17 10 1316 17 12 1315 18 11 1416 18 12 1417 18 13 14

Vorgang Rang

Abbildung 10-41: Listenorientierte Methode der Rangberechnung

Die in Abbildung 10.41 angegebene Rangsortierung ist auf diese Weise entstanden und kann so validiert werden.

10.6.6 Terminierung von rangsortierten Netzplänen

Wie schon beschrieben, können rangsortierte Netzpläne unmittelbar mit Terminen versehen sehen werden, wenn in der kausalen Reihenfolge der Ränge vorgegangen wird. Der Übersicht halber wird der Netzplan an dieser Stelle nochmals rangsortiert dargestellt: Die einzelnen Vorgänge sind jeweils in die Spalte ihres Ranges eingeordnet. Die Knoten erhalten zu diesem Zeitpunkt bereits die Informationen über Vorgangsnummer, Vorgangsbezeichnung und die Dauer des Vorgangs. Zusätzlich zu den Knoten werden die AOB durch gerichtete Pfeile mit der Angabe der entsprechenden AOB hinsichtlich Typ und Quantifizierung berücksichtigt. Abbildung 10-42 zeigt einen rangsortierten Netzplan (Bezogen auf das Beispiel Dreifeldbrücke) vor der Berechnung.



1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Bau

st.R

äum

ung

1,5

18 1,5

BE 14 1 14

Aush

ub A

2

0,5 3 0,5

Fund

amen

t A1

2,5 6 2,5

Fund

amen

t A2

2,5 7 2,5

Fund

amen

t A4

2,5 9 2,5

Fund

amen

t A3

2,5 8 2,5

Wid

erla

ger A

1

18 11 18

Pfei

ler A

2

3 12 3

Pfei

ler A

3

3 13 3

Wid

erla

ger A

4

18 14 18

Übe

rbau

ten

1-2

13 15 13

Übe

rbau

ten

2-3

13 16 13

Übe

rbau

ten

3-4

13 17 13

Aush

ub A

1

0,5 2 0,5

Pfä

hle

A3

4 10 4

Aush

ub A

4

0,5 5 0,5

Aus

hub

A3

0,5 4 0,5

0Ran

g

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Bau

st.R

äum

ung

1,5

18 1,5

BE 14 1 14

Aush

ub A

2

0,5 3 0,5

Fund

amen

t A1

2,5 6 2,5

Fund

amen

t A2

2,5 7 2,5

Fund

amen

t A4

2,5 9 2,5

Fund

amen

t A3

2,5 8 2,5

Wid

erla

ger A

1

18 11 18

Pfei

ler A

2

3 12 3

Pfei

ler A

3

3 13 3

Wid

erla

ger A

4

18 14 18

Übe

rbau

ten

1-2

13 15 13

Übe

rbau

ten

2-3

13 16 13

Übe

rbau

ten

3-4

13 17 13

Aush

ub A

1

0,5 2 0,5

Pfä

hle

A3

4 10 4

Aush

ub A

4

0,5 5 0,5

Aus

hub

A3

0,5 4 0,5

0Ran

g

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Bau

st.R

äum

ung

1,5

18 1,5

BE 14 1 14

Aush

ub A

2

0,5 3 0,5

Fund

amen

t A1

2,5 6 2,5

Fund

amen

t A2

2,5 7 2,5

Fund

amen

t A4

2,5 9 2,5

Fund

amen

t A3

2,5 8 2,5

Wid

erla

ger A

1

18 11 18

Pfei

ler A

2

3 12 3

Pfei

ler A

3

3 13 3

Wid

erla

ger A

4

18 14 18

Übe

rbau

ten

1-2

13 15 13

Übe

rbau

ten

2-3

13 16 13

Übe

rbau

ten

3-4

13 17 13

Aush

ub A

1

0,5 2 0,5

Pfä

hle

A3

4 10 4

Aush

ub A

4

0,5 5 0,5

Aus

hub

A3

0,5 4 0,5

0Ran

g

Bau

st.R

äum

ung

1,5

18 1,5

Bau

st.R

äum

ung

1,5

18 1,5

BE 14 1 14

Aush

ub A

2

0,5 3 0,5

Fund

amen

t A1

2,5 6 2,5

Fund

amen

t A2

2,5 7 2,5

Fund

amen

t A4

2,5 9 2,5

Fund

amen

t A3

2,5 8 2,5

Wid

erla

ger A

1

18 11 18

Pfei

ler A

2

3 12 3

Pfei

ler A

3

3 13 3

Wid

erla

ger A

4

18 14 18

Übe

rbau

ten

1-2

13 15 13

Übe

rbau

ten

2-3

13 16 13

Übe

rbau

ten

3-4

13 17 13

Aush

ub A

1

0,5 2 0,5

Pfä

hle

A3

4 10 4

Aush

ub A

4

0,5 5 0,5

Aus

hub

A3

0,5 4 0,5

0Ran

g

BE 14 1 14BE 14 1 14

Aush

ub A

2

0,5 3 0,5

Aush

ub A

2

0,5 3 0,5

Fund

amen

t A1

2,5 6 2,5

Fund

amen

t A1

2,5 6 2,5

Fund

amen

t A2

2,5 7 2,5

Fund

amen

t A2

2,5 7 2,5

Fund

amen

t A4

2,5 9 2,5

Fund

amen

t A4

2,5 9 2,5

Fund

amen

t A3

2,5 8 2,5

Fund

amen

t A3

2,5 8 2,5

Wid

erla

ger A

1

18 11 18

Wid

erla

ger A

1

18 11 18

Pfei

ler A

2

3 12 3

Pfei

ler A

2

3 12 3

Pfei

ler A

3

3 13 3

Pfei

ler A

3

3 13 3

Wid

erla

ger A

4

18 14 18

Wid

erla

ger A

4

18 14 18

Übe

rbau

ten

1-2

13 15 13

Übe

rbau

ten

1-2

13 15 13

Übe

rbau

ten

2-3

13 16 13

Übe

rbau

ten

2-3

13 16 13

Übe

rbau

ten

3-4

13 17 13

Übe

rbau

ten

3-4

13 17 13

Aush

ub A

1

0,5 2 0,5

Aush

ub A

1

0,5 2 0,5

Pfä

hle

A3

4 10 4

Pfä

hle

A3

4 10 4

Aush

ub A

4

0,5 5 0,5

Aush

ub A

4

0,5 5 0,5

Aus

hub

A3

0,5 4 0,5

Aus

hub

A3

0,5 4 0,5

0Ran

g

Abbildung 10-42: Rangsortierter Netzplan vor der Brechnung

Hinweis: Sollten für AOBs weitere Angaben für max Z oder min Z vorliegen, so wird min Z oberhalb des Pfeils, max Z unterhalb des Pfeils angegeben. In diesem Beispiel gibt es als Anordnungsbeziehungen nur Normalfolgen. Diese werden als Pfeil ohne Beschriftung dargestellt.



In der Vorgangsknoten-Darstellung beschreibt jeder einzelne Knoten einen Vorgang mit den entsprechenden Informationen und zeigt seine Vernetzung im gesamten Netzwerk.

FA

Name

GP

SA

D

Nr

D

FE

FP

SE

Nr Prozess NummerFA Frühester AnfangFE Frühestes EndeSA Spätester AnfangSE Spätestes EndeGP Gesamt PufferFP Freier Puffer

KostenResourcen Zusätzliche Information

Abbildung 10-43: Knoten

Hat ein Vorgang I zwei oder mehr Nachfolger Jk, wird er als Quellknoten bezeichnet! Hat ein Vorgang J zwei oder mehr Vorgänger Ik, wird er als Schließknoten bezeichnet!

Quellknoten

FAName

D FEGP Nr FPSA D SE

FAName

D FEGP Nr FPSA D SE

FAName

D FEGP Nr FPSA D SE

FAName

D FEGP Nr FPSA D SE

FAName

D FEGP Nr FPSA D SE

FAName

D FEGP Nr FPSA D SE

FAName

D FEGP Nr FPSA D SE

FAName

D FEGP Nr FPSA D SE

FAName

D FEGP Nr FPSA D SE

FAName

D FEGP Nr FPSA D SE

FAName

D FEGP Nr FPSA D SE

FAName

D FEGP Nr FPSA D SE Schließknoten

Abbildung 10-44: Quell- und Schließknoten

Die kausale Abfolge ist durch die Rangfolge gegeben.

10.6.7 Vorwärtsrechnung

Um den frühesten Zeitpunkt eines Vorgangs sowie das Projektende zu bestimmen, wird die Vorwärtsrechnung (im Sinne der kausalen Anordnung, d.h. in Rangfolge) beginnend vom Projektbeginn durchgeführt. Dabei werden jeweils der früheste Anfang (FA) und das früheste Ende (FE) jedes Vorgangs bestimmt. Die Berechnung wird jeweils für alle Vorgänge eines Ranges durchgeführt, bevor die Werte für die Vorgänge eines nachfolgenden Ranges bestimmt werden. Dadurch können unnötige Iterationsschleifen ausgeschlossen werden, die den Rechenaufwand erhöhen würden. Durch die Verwendung von min Z (minimaler Zeitabstand) erhält man die kürzeste Projektdauer. FEJ = Maximum (FEi + ε)



Daraus folgt für den frühesten Anfang (FA) eines Vorganges J: FAJ = FEJ - DJ Die in der Vorwärtsrechnung maßgebenden Rechenvorschriften sind abhängig von der Art der AOB und dem Zeitabstand Z: Normalfolge: (10-1) FA (J) = FE (I) + min Z

(10-2) FE (J) = FA (J) + D

Anfangsfolge: (10-3) FA (J) = FA (I) + min Z

(10-4) FE (J) = FA (J) + D

Endfolge: (10-5) FE (J) = FE (I) + min Z

(10-6) FA (J) = FE (J) – D

Sprungfolge: (10-7) FE (J) = FA (I) + min Z

(10-8) FA (J) = FE (J) – D

10.6.8 Rückwärtsrechnung

Neben der frühesten Lage aus der Vorwärtsrechnung ist die späteste Lage der Vorgänge mit Hilfe der Rückwärtsrechnung zu bestimmen, ohne dabei das Projektende nach hinten zu verschieben. Die Berechnung wird dem Namen nach vom Projektende in Richtung auf den Projektanfang - jeweils für alle Vorgänge eines Ranges - durchgeführt. Auch hier sind entsprechend den AOB unterschiedliche Rechenvorschriften zu berücksichtigen. Die Rückwärtsrechnung liefert die späteste Lage eines Vorganges oder Ereignisses (spätester Anfang SA und spätestes Ende SE).

I

0 14 14

1

14

J

14 0,5 14,5

2

0,5

„Rechenweg“

I

0 14 14

1

14

J

14 0,5 14,5

2

0,5

„Rechenweg“

AF+14

I

0 14 14

1

14

J

14 0,5 14,5

2

0,5

EF+0,5

I

0 14 14

1

14

J

14 0,5 14,5

2

0,5

„Rechenweg“

SF+14,5

„Rechenweg“



SEi = Minimum (SEJ - ε)

Daraus folgt für den spätesten Anfang (SA) eines Vorganges i: SAI = SEI - DI Normalfolge: (10-9) SE (I) = SA (J) – min Z

(10-10) SA (I) = SE (I) – D

Anfangsfolge: (10-11) SA (I) = SA (J) – min Z

(10-12) SE (I) = SA (I) + D

Endfolge: (10-13) SE (I) = SE (J) – min Z

(10-14) SA (I) = SE (I) - D

Sprungfolge: (10-15) SA (I) = SE (J) – min Z

(10-16) SE (I) = SA (I) + D

Das Ergebnis der Vorwärts- wie der Rückwärtsrechnung ist in Abbildung 10-45 dargestellt.

BE

0 14 14

1

2,5 14 16,5

Aushub A1

14 0,5 14,5

2

16,5 0,5 17 „Rechenweg“

BE

0 14 14

1

2,5 14 16,5

Aushub A1

14 0,5 14,5

2

16,5 0,5 17

„Rechenweg“

AF+14

BE

0 14 14

1

2,5 14 16,5

Aushub A1

14 0,5 14,5

2

16,5 0,5 17

„Rechenweg“

EF+0,5

BE

0 14 14

1

2,5 14 16,5

Aushub A1

14 0,5 14,5

2

16,5 0,5 17

„Rechenweg“

SF+14,5



1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

BE

014

14

1 14

Aus

hub

A2

14,5

0,5

15

3 0,5

Fund

amen

t A1

14,5

2,5

17

6 2,5

Fund

amen

t A2

172,

519

,5

7 2,5

Fund

amen

t A4

19,5

2,5

22

9 2,5

Fund

amen

t A3

222,

524

,5

8 2,5

Wid

erla

ger A

1

24,5

1842

,5

11 18

Pfei

ler A

2

42,5

345

,5

12 3

Pfe

iler A

3

45,5

348

,5

13 3

Wid

erla

ger A

4

48,5

1866

,5

14 18

Übe

rbau

ten

1-2

66,5

1379

,5

15 13

Übe

rbau

ten

2-3

79,5

1392

,5

16 13

Übe

rbau

ten

3-4

92,5

1310

5,5

17 13

Bau

st.R

äum

ung

105,

51,

510

7

18 1,5

Aus

hub

A1

140,

514

,5

2 0,5

Pfä

hle

A3

144

18

10 4

Aush

ub A

4

150,

515

,5

5 0,5

Aus

hub

A3

180,

518

,5

4 0,5

0Ran

g

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

BE

014

14

1 14BE

014

14

1 14

Aus

hub

A2

14,5

0,5

15

3 0,5

Aus

hub

A2

14,5

0,5

15

3 0,5

Fund

amen

t A1

14,5

2,5

17

6 2,5

Fund

amen

t A1

14,5

2,5

17

6 2,5

Fund

amen

t A2

172,

519

,5

7 2,5

Fund

amen

t A2

172,

519

,5

7 2,5

Fund

amen

t A4

19,5

2,5

22

9 2,5

Fund

amen

t A4

19,5

2,5

22

9 2,5

Fund

amen

t A3

222,

524

,5

8 2,5

Fund

amen

t A3

222,

524

,5

8 2,5

Wid

erla

ger A

1

24,5

1842

,5

11 18

Wid

erla

ger A

1

24,5

1842

,5

11 18

Pfei

ler A

2

42,5

345

,5

12 3

Pfei

ler A

2

42,5

345

,5

12 3

Pfe

iler A

3

45,5

348

,5

13 3

Pfe

iler A

3

45,5

348

,5

13 3

Wid

erla

ger A

4

48,5

1866

,5

14 18

Wid

erla

ger A

4

48,5

1866

,5

14 18

Übe

rbau

ten

1-2

66,5

1379

,5

15 13

Übe

rbau

ten

1-2

66,5

1379

,5

15 13

Übe

rbau

ten

2-3

79,5

1392

,5

16 13

Übe

rbau

ten

2-3

79,5

1392

,5

16 13

Übe

rbau

ten

3-4

92,5

1310

5,5

17 13

Übe

rbau

ten

3-4

92,5

1310

5,5

17 13

Bau

st.R

äum

ung

105,

51,

510

7

18 1,5

Bau

st.R

äum

ung

105,

51,

510

7

18 1,5

Aus

hub

A1

140,

514

,5

2 0,5

Aus

hub

A1

140,

514

,5

2 0,5

Pfä

hle

A3

144

18

10 4

Pfä

hle

A3

144

18

10 4

Aush

ub A

4

150,

515

,5

5 0,5

Aush

ub A

4

150,

515

,5

5 0,5

Aus

hub

A3

180,

518

,5

4 0,5

Aus

hub

A3

180,

518

,5

4 0,5

0Ran

g

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

BE

014

14

1

014

14

Aus

hub

A2

14,5

0,5

15

3

16,5

0,5

17

Fund

amen

t A1

14,5

2,5

17

6

14,5

2,5

17

Fund

amen

t A2

172,

519

,5

7

172,

519

,5

Fund

amen

t A4

19,5

2,5

22

9

19,5

2,5

22

Fund

amen

t A3

222,

524

,5

8

222,

524

,5

Wid

erla

ger A

1

24,5

1842

,5

11

24,5

1842

,5

Pfe

iler A

2

42,5

345

,5

12

42,5

345

,5

Pfe

iler A

3

45,5

348

,5

13

45,5

348

,5

Wid

erla

ger A

4

48,5

1866

,5

14

48,5

1866

,5

Übe

rbau

ten

1-2

66,5

1379

,5

15

66,5

1379

,5

Übe

rbau

ten

2-3

79,5

1392

,5

16

79,5

1392

,5

Übe

rbau

ten

3-4

92,5

1310

5,5

17

92,5

1310

5,5

Bau

st.R

äum

ung

105,

51,

510

7

18

105,

51,

510

7

Aus

hub

A1

140,

514

,5

2

140,

514

,5

Pfäh

le A

3

144

18

10

17,5

421

,5

Aus

hub

A4

150,

515

,5

5

190,

519

,5

Aus

hub

A3

180,

518

,5

4

21,5

0,5

22

0Ran

g1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

0

11

12

13

14

BE

014

14

1

014

14

BE

014

14

1

014

14

Aus

hub

A2

14,5

0,5

15

3

16,5

0,5

17

Aus

hub

A2

14,5

0,5

15

3

16,5

0,5

17

Fund

amen

t A1

14,5

2,5

17

6

14,5

2,5

17

Fund

amen

t A1

14,5

2,5

17

6

14,5

2,5

17

Fund

amen

t A2

172,

519

,5

7

172,

519

,5

Fund

amen

t A2

172,

519

,5

7

172,

519

,5

Fund

amen

t A4

19,5

2,5

22

9

19,5

2,5

22

Fund

amen

t A4

19,5

2,5

22

9

19,5

2,5

22

Fund

amen

t A3

222,

524

,5

8

222,

524

,5

Fund

amen

t A3

222,

524

,5

8

222,

524

,5

Wid

erla

ger A

1

24,5

1842

,5

11

24,5

1842

,5

Wid

erla

ger A

1

24,5

1842

,5

11

24,5

1842

,5

Pfe

iler A

2

42,5

345

,5

12

42,5

345

,5

Pfe

iler A

2

42,5

345

,5

12

42,5

345

,5

Pfe

iler A

3

45,5

348

,5

13

45,5

348

,5

Pfe

iler A

3

45,5

348

,5

13

45,5

348

,5

Wid

erla

ger A

4

48,5

1866

,5

14

48,5

1866

,5

Wid

erla

ger A

4

48,5

1866

,5

14

48,5

1866

,5

Übe

rbau

ten

1-2

66,5

1379

,5

15

66,5

1379

,5

Übe

rbau

ten

1-2

66,5

1379

,5

15

66,5

1379

,5

Übe

rbau

ten

2-3

79,5

1392

,5

16

79,5

1392

,5

Übe

rbau

ten

2-3

79,5

1392

,5

16

79,5

1392

,5

Übe

rbau

ten

3-4

92,5

1310

5,5

17

92,5

1310

5,5

Übe

rbau

ten

3-4

92,5

1310

5,5

17

92,5

1310

5,5

Bau

st.R

äum

ung

105,

51,

510

7

18

105,

51,

510

7

Bau

st.R

äum

ung

105,

51,

510

7

18

105,

51,

510

7

Aus

hub

A1

140,

514

,5

2

140,

514

,5

Aus

hub

A1

140,

514

,5

2

140,

514

,5

Pfäh

le A

3

144

18

10

17,5

421

,5

Pfäh

le A

3

144

18

10

17,5

421

,5

Aus

hub

A4

150,

515

,5

5

190,

519

,5

Aus

hub

A4

150,

515

,5

5

190,

519

,5

Aus

hub

A3

180,

518

,5

4

21,5

0,5

22

Aus

hub

A3

180,

518

,5

4

21,5

0,5

22

0Ran

g

Abbildung 10-45: Netzplan nach Vorwärts- und Rückwärtsrechnung (mit jeweiligen „Rechenwegen“)



10.6.9 Puffer und Reserven

Definitionen Puffer und Reserven: „Reserven sind bewusst eingeplante Ausgleichzeiten um Unwägbarkeiten zu begegnen. Sie werden durch virtuelle Vorgänge modelliert“. „Puffer sind Zeitabstände, die sich aus der notwendigen oder sinnvollen Anordnung der Vorgänge auf der Zeitachse ergeben“.

Aus dem Wissen der jeweiligen frühsten und spätesten Termine können Pufferzeiten abgeleitet werden. Sie definieren die verschiedenen Möglichkeiten Vorgänge entlang der Zeitachse zu verschieben ohne dass dies eine Auswirkung auf das Projektende hat. Es wird zwischen folgenden Freiheitsgraden unterschieden:

Spezifischer Puffer (SP)

Freier Puffer (FP)

Gesamtpuffer (GP)

Sie werden quantitativ immer nur für die früheste Lage aller Vorgänge bestimmt.

Der Spezifische Puffer Definition Spezifischer Puffer

„Der spezifische Puffer (SP) eines Vorgangs bezüglich seines Nachfolgers ist die Differenz des tatsächlichen Zeitintervalls Z und des minimalen Zeitintervalls Min Z“.

Ein spezifischer Puffer SP > 0 findet sich nur vor einem Schließknoten.

SP = 0

SP = 4

2Name

7 93

7 7 14

2Name

3 54

11 3 14

5Name

3 89

15 3 18

9Name

2 117

14 2 16

Schließknoten (mehr als ein Vorgänger)

Quellknoten (Mehr als ein Nachfolger)

SP = 0

Abbildung 10-46: Spezifischer Puffer

Der spezifische Puffer SP (I) eines Vorgangs I ermittelt sich allgemein aus:



SP (I/J) = Z – min Z (Formel 3-18)

FA

Name

GP

SA

D

Nr

D

FE

FP

SE

KostenRessourcen

FA

Name

GP

SA

D

Nr

D

FE

FP

SE

KostenRessourcen

2 7 93

7 7 14

Name2 7 9

37 7 14

Name

2 3 54

10 3 13

Name2 3 5

410 3 13

Name

9 2 117

14 2 16

Name9 2 11

714 2 16

Name

5 3 89

13 3 16

Name5 3 8

913 3 16

Name

SP (3/7) = FA (7) – FE (3) = 0

SP (4/7) = FA (7) – FE (4) = 4

SP (4/9) = FA (9) – FE (4) = 0AOB: NF 0

„Rechenweg“

Abbildung 10-47: Spezifischer Puffer

Der Freie Puffer Definition Freier Puffer

„Der freie Puffer (FP) eines Vorgangs ist der zeitliche Spielraum um den der Vorgang in Richtung Projektende verschoben werden kann, ohne dass dabei der Beginn eines anderen Prozesses verändert wird.“

Er leitet sich aus dem minimalen spezifischen Puffer ab, unter Berücksichtigung aller Nachfolger.

2Name

7 93

7 7 14

2Name

3 54

11 3 14

9Name

2 117

14 2 16

SP = 0

SP = 4

SP = 0

0

0

Schließknoten (mehr als ein Vorgänger)

Quellknoten (Mehr als ein Nachfolger)

7Name

3 89

15 3 18

Abbildung 10-48: Freier Puffer

Je nach vorliegenden Anordnungsbeziehungen berechnet sich der freie Puffer wie folgt:



Vorgangi

Vorgangj

NF 0 FPi = FAj - FEiNF 0 FPi = FAj - FEi

Vorgangi

Vorgangj

NF + min Z FPi = FAj - FEi – min Z

Vorgangi

Vorgangj

AF + min Z FPi = FAj – FAi – min Z

Vorgangi

Vorgangj

EF + min Z FPi = FEj – FEi – min Z

Vorgangi

Vorgangj

SF + min Z FPi = FEj – FAi – min Z

Formel (3-20)

Formel (3-21)

Formel (3-22)

Formel (3-23)

Freier Puffer = kleinster Spezifischer Puffer

Der freie Puffer FP (I) eines Vorgangs I ermittelt sich allgemein aus:

2 7 93

7 7 14

Name2 7 9

37 7 14

Name

2 3 54

10 3 13

Name2 3 5

410 3 13

Name

9 2 117

14 2 16

Name9 2 11

714 2 16

Name

5 3 89

13 3 16

Name5 3 8

913 3 16

Name

SP (3/7) = FA (7) – FE (3) = 0

SP (4/7) = FA (7) – FE (4) = 4

SP (4/9) = FA (9) – FE (4) = 011 2 13

1116 2 18

Name11 2 13

1116 2 18

Name

SP (7/11) = 0

SP (8/11) = 3

0

0 3

0

FA

Name

GP

SA

D

Nr

D

FE

FP

SE

KostenRessourcen

FA

Name

GP

SA

D

Nr

D

FE

FP

SE

KostenRessourcen

FP(I) = min { SP(I/Jk) }wobei gilt: Jk = alle Nachfolger von I

AOB: NF 0„Rechenweg“

Abbildung 10-49: Ermittlung freier Puffer



Name212

Name212

Name424

Name424

Name10610

Name10610

Name484

Name484

Name737

Name737

Name343

Name343

Name393

Name393

Name262

Name262

Name272

Name272

Name2102

Name2102

Name2113

Name2113

Star

t 0Name

2 21 0

0 2 2

2Name

4 62 0

2 4 6

6Name

10 166 0

6 10 16

16Name

4 208 0

16 4 20

2Name

7 93 0

7 7 14

2Name

3 54 0

12 3 15

5Name

3 89 0

15 3 18

6Name

2 85 1

12 2 14

9Name

2 117 5

14 2 16

8Name

2 1010 10

18 2 20

20Name

3 2311 0

20 3 23

AOB: NF 0

1 2 3 4 5 6Rang0

FAName

D FEGP Nr FPSA D SE

Abbildung 10-50: Freie Puffer, eingetragen im Netzplan

Gesamtpuffer Definition Gesamtpuffer

„Der Gesamtpuffer berechnet sich als Differenz zwischen frühester und spätester Lage eines Vorgangs.“

Für den freien Puffer wird nur der Puffer des direkten Nachfolgers genutzt. Ein Puffer, welcher die Puffer aller direkten Nachfolger nutzt, und damit reduziert oder aufbraucht, wird Gesamtpuffer (GP) genannt.

2 7 93

7 7 14

Name2 7 9

37 7 14

Name

2 3 54

10 3 13

Name2 3 5

410 3 13

Name

9 2 117

14 2 16

Name9 2 11

714 2 16

Name

5 3 89

13 3 16

Name5 3 8

913 3 16

Name11 2 13

1116 2 18

Name11 2 13

1116 2 18

Name

0

0 3

0

GP (I) = SA (I) - FA (I) = SE (I) – FE (I)FA

Name

GP

SA

D

Nr

D

FE

FP

SE

KostenRessourcen

FA

Name

GP

SA

D

Nr

D

FE

FP

SE

KostenRessourcen

5

8 8

5

5 AOB: NF 0„Rechenweg“

--

Abbildung 10-51: Ermittlung Gesamtpuffer



Name212

Name212

Name424

Name424

Name10610

Name10610

Name484

Name484

Name737

Name737

Name343

Name343

Name393

Name393

Name262

Name262

Name272

Name272

Name2102

Name2102

Name2113

Name2113

Star

t 0Name

2 20 1 00 2 2

2Name

4 60 2 02 4 6

6Name

10 160 6 06 10 16

16Name

4 200 8 0

16 4 20

2Name

7 95 3 07 7 14

2Name

3 510 4 012 3 15

5Name

3 810 9 015 3 18

6Name

2 86 5 1

12 2 14

9Name

2 115 7 514 2 16

8Name

2 1010 10 1018 2 20

20Name

3 230 11 020 3 23

1 2 3 4 5 6Rang

Liefert uns:Puffer

FAName

D FEGP Nr FPSA D SE

AOB: NF 0

0 Abbildung 10-52: Gesamtpuffer, eingetragen im Netzplan

Kritischer Weg Die Anordnung eines Vorgangs ist durch eine frühste und späteste Lage bestimmt. Die Vorgänge, für welche die frühste und späteste Lage identisch sind, können nicht verschoben werden. Diese Vorgänge werden kritische Vorgänge genannt und formen den kritischen Weg. Definition Kritischer Weg bzw. Kritischer Pfad

„Der kritische Weg setzt sich aus den Vorgängen zwischen Projektanfang und Projektende zusammen, deren Verlängerung oder Verschiebung eine unmittelbare Verlängerung der Projektdauer zur Folge haben. Alle Vorgänge, die auf dem Kritischen Weg liegen, haben weder freien Puffer noch einen Gesamtpuffer“.

Name212

Name212

Name424

Name424

Name10610

Name10610

Name484

Name484

Name737

Name737

Name343

Name343

Name393

Name393

Name262

Name262

Name272

Name272

Name2102

Name2102

Name2113

Name2113

Star

t 0Name

2 20 1 00 2 2

2Name

4 60 2 02 4 6

6Name

10 160 6 06 10 16

16Name

4 200 8 016 4 20

2Name

7 95 3 07 7 14

2Name

3 510 4 012 3 15

5Name

3 810 9 015 3 18

6Name

2 86 5 112 2 14

9Name

2 115 7 514 2 16

8Name

2 1010 10 1018 2 20

20Name

3 230 11 020 3 23

1 2 3 4 5 6Rang

Liefert uns:Kritischen Weg

FAName

D FEGP Nr FPSA D SE

AOB: NF 0

0 Abbildung 10-53: Kritischer Weg im Netzplan



Abbildung 10-54: Kritischer Weg, Visualisierung der Frühesten Lage im Balkendiagramm

Abbildung 10-55: Kritischer Weg, Visualisierung der Spätesten Lage im Balkendiagramm

10.6.10 Terminierung eine Vorgangspfeilnetzes

Am Beispiel Tunnel Farchant sollen diese Abläufe schließlich noch für ein alternatives Vorgangspfeilnetz gezeigt werden. Definitionen und Procedere sind völlig mit dem genannten identisch, lediglich die Notierung unterscheidet sich. Zur Vorwärtsrechnung wird im Vorgangspfeilnetz zuerst der Startpunkt (Rang 0) mit einem vorgegebenen Termin versehen, dann in Rangfolge für jeden Knoten, also den Anfang jeden Vorgangs der entsprechenden Termin aus dem Vorgängertermin plus der Vorgangsdauer berechnet. Gibt es mehrere Vorgänger (Quellknoten), so wird der früheste mögliche Termin, also der späteste Vorgängertermin angetragen. Eine Markierung hält dabei fest, welcher Vorgänger in diesem Fall relevant war. Sich für die anderen Vorgänger ergebende Freiräume (Freie Puffer) können dabei gleich mit notiert werden. Der Kritische Weg ergibt sich durch Rückverfolgung der als „Relevant“ markierten Vorgänge vom Endknoten aus.



1/Ost

2/Ost

1/Ost

2/West

3/Ost2/Quer2/Ost

3/West2/West

1/West

1/Quer

3/Ost

1/West3/West

Ende

Start

31

31

43

43

31

50

50

50

43

43

31

31

3

3

0

1

1

5

2

2

5

4 3

7

3

8

9

6

31

31

34

74 124

77 81 131

81 131

(124)P=7

131 (112)P=19

174

(124)P=50

224

(181)P=43

(74)P=57

(74)P=7 (31)P=3

(65)P=16

Blau: Ausbruch KalotteRot: Ausbruch Strosse/SohleGrau: Virtuelle Vorgänge

Abbildung 10-56: Graphische Terminierung am Beispiel Tunnel Farchant



Abbildungsverzeichnis: Abbildung 10-1: Übersicht ........................................................................................................................... 10-1 Abbildung 10-2: Terminplanung .................................................................................................................. 10-2 Abbildung 10-3: Anordnungsbeziehungen .................................................................................................. 10-3 Abbildung 10-4: Darstellung eines Projektstrukturplan ............................................................................... 10-3 Abbildung 10-5: Beispiel Dreifeldbrücke ..................................................................................................... 10-4 Abbildung 10-6: Beispiel Projektstrukturplan Dreifeldbrücke ...................................................................... 10-4 Abbildung 10-7: Arbeitspakete in Vorgänge detailliert ................................................................................ 10-4 Abbildung 10-8: Balkendiagramm ............................................................................................................... 10-6 Abbildung 10-9: Vorgänge beim Bau der Dreifeldbrücke............................................................................ 10-7 Abbildung 10-10: Bestelltermine ................................................................................................................. 10-7 Abbildung 10-11: Soll-Ist-Vergleich ............................................................................................................. 10-8 Abbildung 10-12: Ausgabe von Planindizes im Balkendiagramm............................................................... 10-8 Abbildung 10-13: Weg-Zeit-Diagramm........................................................................................................ 10-9 Abbildung 10-14: Beispiel Weg-Zeit-Diagramm im Tunnelbau ................................................................... 10-9 Abbildung 10-15: Aufteilung des Ausbruchsquerschnittes........................................................................ 10-10 Abbildung 10-16: Beispiel Weg-Zeit-Diagramm im Tunnelbau – einseitiger Vortrieb............................... 10-10 Abbildung 10-17: Beispiel Weg-Zeit-Diagramm im Tunnelbau – beidseitiger Vortrieb............................. 10-11 Abbildung 10-18: Beispiel Weg-Zeit-Diagramm im Tunnelbau – Änderung der Geologie........................ 10-12 Abbildung 10-19: Volumen-Zeit-Diagramm für Arbeiten im Stahlbetonbau .............................................. 10-12 Abbildung 10-20: Staudamm Zillergründl (A) ............................................................................................ 10-12 Abbildung 10-21: Netzwerkdiagramm ....................................................................................................... 10-13 Abbildung 10-22: Ereignisknotennetzplan................................................................................................. 10-14 Abbildung 10-23: Vorgangspfeil-Netzplan................................................................................................. 10-14 Abbildung 10-24: Vorgangsknoten-Netzplan............................................................................................. 10-15 Abbildung 10-25: Normalfolge................................................................................................................... 10-15 Abbildung 10-26: Anfangsfolge ................................................................................................................. 10-15 Abbildung 10-27: Endfolge ........................................................................................................................ 10-16 Abbildung 10-28: Sprungfolge................................................................................................................... 10-16 Abbildung 10-29: Zeitabstände zwischen Vorgängen............................................................................... 10-16 Abbildung 10-30: Kombination zweier Normalfolgen ................................................................................ 10-17 Abbildung 10-31: Annäherung – AF maßgebend...................................................................................... 10-17 Abbildung 10-32: Annäherung – EF maßgebend...................................................................................... 10-18 Abbildung 10-33: Rangsortierter Netzplan ................................................................................................ 10-19 Abbildung 10-34: Graphische Methode der Rangberechnung.................................................................. 10-20 Abbildung 10-35: Beispiel Tunnel Farchant: Situation .............................................................................. 10-21 Abbildung 10-36: Beispiel Tunnel Farchant: Phase 1 und 2 ..................................................................... 10-21 Abbildung 10-37: Beispiel Tunnel Farchant: Phase 3 und 4 ..................................................................... 10-21 Abbildung 10-38: Beispiel Tunnel Farchant .............................................................................................. 10-22 Abbildung 10-39: Beispiel Tunnel Farchant - Rangberechnung ............................................................... 10-23 Abbildung 10-40: Vorgangsliste mit AOB.................................................................................................. 10-24 Abbildung 10-41: Listenorientierte Methode der Rangberechnung .......................................................... 10-25 Abbildung 10-42: Rangsortierter Netzplan vor der Brechnung ................................................................. 10-26 Abbildung 10-43: Knoten........................................................................................................................... 10-27 Abbildung 10-44: Quell- und Schließknoten.............................................................................................. 10-27 Abbildung 10-45: Netzplan nach Vorwärts- und Rückwärtsrechnung (mit jeweiligen „Rechenwegen“) ... 10-30 Abbildung 10-46: Spezifischer Puffer ........................................................................................................ 10-31 Abbildung 10-47: Spezifischer Puffer ........................................................................................................ 10-32 Abbildung 10-48: Freier Puffer .................................................................................................................. 10-32 Abbildung 10-49: Ermittlung freier Puffer .................................................................................................. 10-33 Abbildung 10-50: Freie Puffer, eingetragen im Netzplan .......................................................................... 10-34 Abbildung 10-51: Ermittlung Gesamtpuffer ............................................................................................... 10-34 Abbildung 10-52: Gesamtpuffer, eingetragen im Netzplan ....................................................................... 10-35 Abbildung 10-53: Kritischer Weg im Netzplan........................................................................................... 10-35 Abbildung 10-54: Kritischer Weg, Visualisierung der Frühesten Lage im Balkendiagramm..................... 10-36 Abbildung 10-55: Kritischer Weg, Visualisierung der Spätesten Lage im Balkendiagramm..................... 10-36 Abbildung 10-56: Graphische Terminierung am Beispiel Tunnel Farchant .............................................. 10-37

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