Statistik - Homepage Server Uni-Tübingen · PDF fileEinführung Die Analyse und modellhafte Beschreibung von Zusammenhängen zwischen zwei oder mehreren Variablen spielt in den Geowissenschaften

Statistik
GrundlagenCharakterisierung von VerteilungenEinfhrung WahrscheinlichkeitsrechnungWahrscheinlichkeitsverteilungenSchtzen und TestenKorrelationRegression

Einfhrung
Die Analyse und modellhafte Beschreibung von Zusammenhngen zwischen zwei oder mehreren Variablen spielt in den Geowissenschaften eine sehr wichtige Rolle. Hat man einen statistisch signifikanten Zusammenhang zwischen zwei Zufallsvariablen X und Y gefunden, so ergibt sich zwangslufig die Frage nach einer kausalen Beziehung zwischen beiden. Solche kausalen Beziehungen knnen ganz unterschiedlicher Art sein.

Kausalitt
Einseitig gerichtete Relation: Mit zunehmender Hhe ber dem Meeresspiegel sinkt im allgemeinen die Lufttemperatur.
Wechselseitige Beziehung (Rckkopplung): Auf vegetationsbedeckten Oberflchen wird die Bodenerosion vermindert, andererseits fhrt eine geringere Bodenerosion auch zu einer Verdichtung der Pflanzendecke.
Kausal-Kette: Niederschlag fhrt zur Infiltration von Niederschlagswasser in den Boden, dies erhht den Bodenwassergehalt, was wiederum zu einer verstrktenPerkolation in das Grundwasser und damit zur Grundwasserneubildung fhrt.
Indirekte Relation, Scheinkorrelation: Die Hhenlage einer Messstation hat einen positiven Effekt auf die dort gemessene Niederschlagsmenge und zugleich einen negativen Effekt auf die Lufttemperatur; daraus resultiert eine indirekte (negative) Relation zwischen Niederschlag und Temperatur, die direkt (d.h. physikalisch) nicht vorhanden ist.

Grundbegriffe
Korrelationsanalyse: Sie dient nun dazu, Richtung und Strke eines Zusammenhanges zwischen zwei oder mehr Variablen festzustellen. Die Korrelation betrachtet dabei im Gegensatz zur Regressionsanalyse beide Variablen gleichberechtigt. Man kann jedoch nicht eine kausale Beziehung beweisen oder im Sinne von Ursache-Wirkung erklren.
Korrelationskoeffizient: Die Strke der linearen Assoziation der (kontinuierlichen) Variablen wird durch einen Korrelationskoeffizienten R festgestellt.
Dazu werden beide Variablen X und Y, die eventuell in unterschiedlichen Maeinheiten gemessen wurden, durch eine Z-Transformation standardisiert und vergleichbar gemacht.
Der Wertebereich des Korrelationskoeffizienten liegt im Intervall [-1;1] mit:
R = 0: es existiert kein linearer Zusammenhang.
R = -1: es existiert ein perfekter negativer linearer Zusammenhang, je grer X wird, desto kleiner wird Y und umgekehrt.
R = 1: es existiert ein perfekter positiver linearer Zusammenhang, je grer X wird, desto grer wird auch Y und umgekehrt.

Grundbegriffe
Eigenschaften:
Stehen beide Variablen allerdings in einem tatschlich zu beobachtenden nicht-linearen Zusammenhang, so ist es trotzdem mglich, dass der Korrelationskoeffizient gleich 0 ist.
Es ist ratsam, die Untersuchung der gemeinsamen Verteilung zweier stetiger Merkmale mit der Zeichnung einer Punktwolke (Scatterplot) zu beginnen, die Informationen auf einen Blick liefert.

Grundbegriffe
Eigenschaften:
Bei der Korrelationsanalyse ist die Skalierung der beteiligten Zufallsvariablen (ZV) von wesentlicher Bedeutung (etwa beide nominalskaliert oder verschieden skalierte ZV, z.B. X ist metrisch, Y ist ordinal).
Bei verschieden skalierten ZV kann man sich damit behelfen, die hherrangig skalierte ZV zunchst herab zu skalieren, um anschlieend einen Korrelationskoeffizienten fr die dann gleichartig skalierten ZV zu verwenden. Dadurch verliert man allerdings Informationen.
Deshalb sind spezielle Korrelationskoeffizienten fr verschieden skalierte ZV entwickelt worden.

Korrelationskoeffizienten
Produkt-Moment-Korrelationskoeffizient nach Pearson: Dieser Korrelationskoeffizient kann fr normalverteilte Variablen verwendet werden, die mindestens intervallskaliert sind. Er berechnet sich zu:
mit xi, yi Messwerte, x, y arithmetische Mittel, Sxy Kovarianz der Variablen X und Y.
Eigenschaften:
Die Kovarianz kann als Ma fr den Zusammenhang zwischen zwei Variablen benutzt werden. Da sie allerdings von der Grenordnung der Variablen X und Y abhngt, wird sie noch normiert.
Der Korrelationskoeffizient unterscheidet nicht zwischen abhngiger und unabhngiger Variable.
Der Korrelationskoeffizient ndert sich nicht, wenn jeweils alle Wert der Variablen X oder Y linear transformiert werden.
==
=
=
=n
i
n
i
n
i
yx
xy
yyn
xxin
yyixxinR
S
11
1
)(11)(
11
)()(11
i

Beispiel: Zwei Merkmale (etwa Lnge, Breite) eines Proxies.
y
x0
2
4
6
8
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8

Beispiel: Ein Merkmal (etwa Lnge) zweier Proxies.
0
2
4
6
8
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8
y
x

Bezeichnung des Zusammenhangs:
Bezeichnung Korrelationskoeffizient R
sehr starkstarkmittelschwach
0.87 R 0.990.71 R 0.860.50 R 0.70
R < 0.50

Beispiel: Zusammenhang zwischen Lnge und Breite.
R = 0.82 R = 0.82
R = -0.82

0
2
4
6
8
10
12
14
0 2 4 6 8
R = 1
0
2
4
6
8
10
12
14
0 2 4 6 8
R = 0.94
0
2
4
6
8
10
12
14
0 2 4 6 8
R = 0.79
0
2
4
6
8
10
12
14
0 2 4 6 80
2
4
6
8
10
12
14
0 2 4 6 8
R = -0.89 R = -1
0
2
4
6
8
10
12
14
0 2 4 6 8
R = 0.29

0
2
4
6
8
10
12
14
0 2 4 6 8
0
2
4
6
8
10
12
14
0 2 4 6 80
2
4
6
8
10
12
14
0 2 4 6 80
2
4
6
8
10
12
14
0 2 4 6 8
0
2
4
6
8
10
12
14
0 2 4 6 80
2
4
6
8
10
12
14
0 2 4 6 8
R = 0.13 R = 0.89
R = 0.08 R = 0.069

Bestimmtheitsma: Das Quadrat R2 des Korrelationskoeffizienten heit Bestimmtheitsma B. Es lsst sich interpretieren als der prozentuale Anteil der Streuung der einen Variable, die durch die andere Variable erklrt werden kann (und umgekehrt). Es ist also das Verhltnis von erklrter Varianz zur Gesamtvarianz.
Ist etwa R = 0.7, dann ist B = R2 = 0.49, d.h. 49 % der Streuung der Y-Werte werden durch die Streuung der X-Werte in einem linearen Zusammenhang erklrt.
Korrelationskoeffizient R Bestimmtheitsma B = R2
R = 0.87R = 0.71R = 0.50
B = 0.75B = 0.50B = 0.25

Eigenschaften:
Ausreier knnen die Korrelation und das Bestimmtheitsma stark beeintrchtigen.
Zusammengesetzte homogene Stichproben jeweils ohne nennenswerte Korrelation knnen eine Korrelation vortuschen.
Viele Variablen die in den Geowissenschaften untersucht werden, sind nicht voneinander unabhngig, daher ergeben sich oftmals hhere Korrelationskoeffizienten, etwa die Abnahme der Temperatur mit steigender Hhe. Daher besteht ein formaler Zusammenhang.
Die Aussagekraft der Korrelationskoeffizienten hngt auch von der Anzahl der betrachteten Werte ab. Bei einer groem Anzahl von Werten ist die Aussagekraft des Korrelationskoeffizienten auch grer.
Bei einem Signifikanztest wird ein anhand der Stichprobe berechneter Korrelationskoeffizienten mit einem theoretischen Wert verglichen und entschieden ob sich diese signifikant voneinander unterscheiden oder nicht.

Test des Produkt-Moment-Korrelationskoeffizient auf Signifikanz: wurde anhand der GG keine Korrelation zwischen den normalverteilten Variablen X und Y festgestellt, die STP zeigt allerdings eine messbare Korrelation R, so kann mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit geprft werden, ob R signifikant von 0 verschieden ist. Entsprechend werden die Hypothesen formuliert:
H0: Es besteht kein Unterschied zwischen R und 0.
HA: Es besteht ein signifikanter Unterschied zwischen R und 0.
Mit einem statistischen Testverfahren passend zur Fragestellung wird die Prfgre bestimmt. Zudem erhlt man aus der dazugehrenden Tabelle den Schwellenwert fr den Annahmebereich und den Ablehnungsbereich. Der Tabellenwert hngt dabei von der Irrtumswahrscheinlichkeit und den Freiheitsgraden n-2 ab.

Beispiel: Zusammenhang zwischen Temperatur und Niederschlag in einem globalen meridionalen Schnitt. Der Korrelationskoeffizientbetrgt hierbei R = 0.88 und das Bestimmtheitsma R2 = 0.77.
Station Temp. (C) Nied. (mm)
1 1,0 100
2 5,0 140
3 7,6 550
4 12,0 580
5 20,0 1330
6 18,0 1740
7 16,2 2500
8 25,0 3000

Beispiel: Zusammenhang zwischen Temperatur und Niederschlag in einem globalen meridionalen Schnitt.
0500
100015002000250030003500
0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 25,0 30,0Temp. (C)
Nie
d. (m
m)

Rang-Korrelationskoeffizient nach Spearman: Der Rangkorrelationskoeffizient S (Rho-S) nach Spearman ist eine statische Mazahl fr den Zusam

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