TM1_Seilstatik_7_2_2

5/26/2018 TM1_Seilstatik_7_2_2

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Institut fr Angewandteund Experimentelle Mechanik

Technische Mechanik IKapitel 7: Seilstatik 1

7.2 Anwendung auf typische Belastungsflle

7.2.1 Seil unter Brckenlast (Hngebrcke)

Eigengewicht des Seils gegenber Brckenlast vernachlssigbar

x

y

f L

q0=const.

l

A B

Oft ist bei gegebenen

Gren q0, l, und Lder Durchhang f desSeils gesucht.

Seilkurve:

(5) : y(x) = 1

Hq(x) =

1

Hq0 y(x) = q0

Hx+C1

y(x) = q02H

x2 +C1x+C2 (9)

Randbedingungen: y(0) = 0 und y(l) = 0

y(0) (9)= C2

!= 0 C2= 0 (10)

y(l)

(9,10)

=

q0l2

2H +C1l

!

= 0 C1= q0l

2H (11)

(10), (11) in (9):

y(x) = q0l

2

2H

xl

2 x

l

(quadratische) Parabel (12)

Bestimmung von H:

(8) : L = l

0

1 +

q0

Hx l

2 =y(0)

2

dx

L =

l0

1 +

q0l

2H

2

x

l 1

2dx (13)


2/9



Substitution: q0l

2H

2

x

l 1

= sinh u

Lsung: L = H

2q0 [u+ sinh(u) cosh(u)]u(x=l)u(x=0) (14)

Transzendente Gleichung, aus der Hbei gegebenem Lnumerisch ermittelt werden kann.

Analytische Nherungslsung:

Annahme = flach gespanntes Seil mit |y| 1hier: |y|max = |y(0)| = |y(l)| = q0l2H 1

Mit der Reihenentwicklung

1 +u = 1 +

1

2u 1

8u2 +

1

16u3 . . . 1 +1

2u

folgt aus (13) nherungsweise

L =

l0

1 +1

2

q0l

2H

2

x

l 1

2dx

=

l0

1 +q0

2l2

8H2

4

x2

l2 4x

l + 1

dx

=

x+

q02l2

8H2

4

3

x3

l3 2x

2

l +x

0

l

L = l+q0

2l3

8H24

3 2 + 1

= 13

= l +

q02l3

24H2

H2 = q0

2l2

24

l

L

l

H = q0l2

6

1

Ll 1(15)

(15) in (12) ergbit die Seilkurve fr ein flach gespanntes Seil unter Brckenlast:

y(x) =

6l(L l)x

l

2x

l

(16)

Berechnung des Durchhangs f:

Aus der Symmetrie des vorliegenden Problems ist sofort ersichtlich, dass die maximale Auslenkungdes Seils bei x= a = l

2auftritt. Ansonsten ist aaus der Bedingung y(a) = 0 zu bestimmen.

Fr Seilkurve ohne Nherung:

f= y

l

2

(12)

= q0l2

2H

1

41

2

=

q0l2

8H mit Haus (14) (17)


3/9



Fr straff gespanntes Seil (Nherung):

f=

y l2 (16)= 6l(L l)1

41

2 = 3

8 (L

l)

l (18)

Zahlenbeispiel: l= 100m, L= 102m f (18)=

75m 8, 66m

Zusatz: Seikraft

(6) S(x) =H

1 +y2(x)

Fr flach gespanntes Seil unter Brckenlast (Nherung):

(16) y(x) =

6(L l)l

2

x

l 1

S(x) (15)= q0l

2

6

l

L l

1 +

6(L l)l

2

x

l 1

2S(x) =

q0l

2

l

6(L l)+

2x

l 1

2(19)

Die Seilkraft wir maximal an den Lagerungen, d.h. bei x= 0 und x= l.

S(0) =q0l

2

1 +

l

6(L l)=S(l) (19a)

Zahlenbeispiel von oben: S(0) 1, 53q0l = 1, 53 GBrcke

Bemerkung:

Aus (6) ist sofort ersichtlich, dass S(x) minimal ist fr x= a = l2

, woy(a) =y

l2

= 0 gilt.

S(a) =S l

2

= H, d.h. and der Durchhangstelle ist die Seilkraft nur gleich dem Horizontalzug H.

7.2.2 Seil unter Eigengewicht (Kettenlinie)

Streckenlast = Eigengewicht des Seils (homogen)gleichmig verteilt ber der (Bogen-) Lngskoordinate s des Seils q(s) = q0 = = g; 0 s L


4/9



dsq(s) =

dy

q(x)

dx

Es gilt, dass die Vertikalkrfte gleich sein mssen:

ds = q(x)dx (20)

Auerdem gilt:

ds2 = dx2 + dy2 (21)

aus (20) und (21):

q(x) =ds

dx =

1 +

dy

dx

2=

1 +y2 (22)

Einsetzen in die Differenatialgleichung der Seilkurve (5) ergibt:

y(x) =

H

1 +y2(x) (nichtlineare) DGL der Kettenlinie (23)

Lsung der (nichtlinearen) Differentialgleichung (23):

Substitution: y = u ; y = u = dudx

Trennung der Variablen

Integration

du

dx =

H

1 +u2

uu=u0

du1 + u2

=

H

xx=x0

dx

arsinh(u)|u

u0 =

H(x

x0)

arsinh(u) =

H(x x0) + arsinh(u0)

u = y =dy

dx = sinh

H

(x x0) + arsinh(y0)

yy0

dy =

xx0

sinh

H(x x0) + arsinh(y0)

dx

y(x) = y0 + H

cosh

H

(x x0) + arsinh(y0)

cosh (arsinh(y0)) =

1+y0

2 aus: cosh2 zsinh2 z=1

(24)


5/9



Wahl eines speziellen Koordinatensystems (Ursprungslage):

x

y

A

B

H

f

x0 = 0

y0 = H

y0 = 0

y(x) = H

+ H

cosh(

Hx) 1

y(x) = H

cosh(

Hx) Kettenlinie= Kurve des Seils unter Eigengewicht (25)

Bestimmung von H:

aus (8): L=

xBx=xA

1 +y2(x)dx (25)=xB

xA

1 + sinh2(Hx)dx=

xBxA

cosh(

Hx)dx=

H

sinh(

HxB) sinh(

HxA)

(26)

Transzendente Gleichung, aus der Hbei gegebenem Lnumerisch ermittelt werden kann.

Analytische Nherungslsung:

Annahme: straff gespanntes Seil (= flach durchhngende Kette) mit:

y(x) 1, d. h. sinh(H

x) H

x 1

Mit der Reihenentwicklung

cosh u = 1 + u2

2! +

u4

4! +

u6

6! . . . 1 + u

2

2!

folgt aus (25) nherungsweise:

y(x) = H

+

2Hx2 Kurve des straff gespannten Seiles unter Eigengewicht (27)

Das straff gespannte Seil hngt unter Eigengewicht nherungsweise parabelfrmig durch (vgl.konstantes q(x) unter 7.2.1).


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Mit (27) folgt aus (8), wie auch aus (26) unter Verwendung von sinh u u+ u33!

:

L= (xB

xA) + 2

6H2(xB

3

xA

3)

H= 6

xB3 x3AL(xB xA) (28)

Berechnung des Durchhangs f(von Aufhngung A aus):

f=y(xA) y(0) (siehe Bild) (29)

Fr die Kettenlinie (ohne Nherung):

(25) f= H

cosh(

HxA) 1

mit Haus (26) (30)

Fr das straff gespannte Seil (nherungsweise):

(27) f= 2H

xA2 mit Haus (28) (31)

Zusatz: Seilkraft

(6): S(x) =H

1 +y2(x)

Fr Kettenlinie:

S(x) (25)

= H

1 + sinh2(

Hx) =Hcosh(

Hx)

(25)= y(x) (32)

Smax = ymax,d.h. die grte Seilkraft tritt bei xA oder xB auf (Lager!) mit

ymax

= max{

yA

, yB}

Fr straff gespanntes Seil:

S(x) (27)

= H

1 +

2

H2x2 =

H2 +2x2

(28)=

xB3 xA3

6(L (xB xA))+x2 (33)

Smax tritt an den Rndern, d.h. in einem der Lager auf, also in xA oder xB.Fr ein symmetrisch aufgehngtes Seil mit

y(xA) =y(xB) und xB

xA=l, d.h. xA =

l2

und xB= l2

, folgt aus (33):

Smax= S( l2

) =S(l

2) =

l

2

1 +

l

6(L l) (vgl. (18)) (34)


7/9



Beispiel: Freileitung

x

y

A B

f

l

L

Geg.:

= 120 Nm

l = 100mL = 110m

Ges.: Durchhang f, maximale Seilkraft Smax (mit Nherung)

(31) f = 2H

x2A,B =

2H( l

2)2 =

l2

8H

(28) H = 6

( l2

)3 ( l2

3)

L

( l2

+ l2

) = l

2

6 l

L

l

f =

3

8l(L l) (vgl. (18))

f =

375m 19, 4 m

H 7746N 7, 7 kN

(34) Smax = l2

1 +

l

6(L l) 9788N 9, 8 kN

Bemerkung:

|ymax| =|y(l

2)|

H

l

2 0, 77

|ymax| 1 ist nicht sehr gut erfllt, dennoch ist die Nherung sehr brauchbar.


8/9



Hngende Kette. Gateway Arch, St. Louis, MO, USA.

7.2.3 Seil unter Einzelkraftbelastung

Einzelkrfte sind gro im Vergleich zur Gewichtskraft des Seils q(x) 0

x

yA B

f

l

L

F

Durchhang: Aus der Geometrie erhlt man fr das undehnbare Seil

f2 +

l

2

2=

L

2

2 f=1

2

L2 l2 (35)

Seilkurve:

(5) Hy(x) =q(x) = 0 y(x) = 0 y(x) =C1x+C2 (36)Fr das gewhlte Koordinatensystem gilt:

y(0) = 0 und y

l

2

= y

l

2

= f (37)

Aus (36) und (37) folgt mit (35):

y(x) = L2l2

1 |x| (38)

Die Seilkurve besteht also aus zwei Geraden ( bzw. aus mehreren Geraden im Falle mehrerer Einzel-krfte)


9/9



Seilkraft:

A B

f

F

L2

L2

S S

l

Krftegleichgewicht: 2Scos = F

Geometrie: cos = fL2

=2f

L

S = F l4f

(39)

(39) mit (35) : S= F

2

LL2

l2

=F

2

1

1 l2L2(40)

Fr l L : S Fr l = L : S = F

2

Zusatz: Fr den Horizontalzug H folgt aus der Geometrie:

H=Ssin ; sin = l

L H=S

l

L (41)

H= F2

lL2 l2 (42)

Bemerkung: (41) folgt auch aus (5) mit y2(x) = L2

l2 1 aus (38).

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