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[Jber geschlossene Extremalen und periodische Variations- probleme in der Ebene und im Raume.
V'oI1 C. CARATH]~O|)ORY1 in Miinchcn.
EINLEITUNG
1. DaN Problem der geschlossenen Extrematen in der Ebene ist von POIN-
CAR~ zuerst behandelt worden (% Spi~ter hat Herr HADAMARD die Poincar6-
schen Resultate mAt HAlle yon sehr einfachen Betrachtungen fiber die zweite
Variation yon neuem aufgestellt (~), und neuerdings Herr RADON eine mAt der
Hadamardschen verwandte Methode auf r~umliche Probleme angewandt (~). Herr RADON hat insbesondere eine quadratische Form aufgestellt, deren
Definitsein fiir daN Eintreten des Extremums beN geschlossenen Extremalen
charakterist isch int. Von einem rein formalen Standpunkte aus ist also dan
Problem endgfiltig gelOst. Trotzdem scheint mar die folgende Behaudlungs:
weise, beN der d i e geometrische Seite des ProbIems mehr hervortri t t , nicht tiberfltlssig zu sein.
2. WAr werden unsere Untersuchungen mat einer geometrischen Kon-
struk~io,l beginnen, die auf Sehr e lementarem Wege zu hinreichenden Bedin
gangen ffir dan Eintreten des Extremums ben geschlossenen Extremalen der
Ebene uud des Raumes ftihrt.
In der Ebene werden diese hinreichendeu Bedingungen auf die glfickiichste
Weise durch einen beriihmten Satz yon POINCAI¢~ erggnzt, ffir den ich in den §§ 16-21 eine einfache Beweisanordnung geben werde. Aus diesem Poiuca-
r6schen Satze hat man insbesondere die Folge gezogen, dass dan Fehlen yon
konjugierten Punkten auf eiaer geschlossenen Extremale in der Ebene for
dan Eintreten eines Extremums notwendig int. Diese letzte Bedingung ist abe t
(l) Les m~thodes no~t~'etles de la mdca~tiq~te cdleste~ T. l ] I , p. 283. (::) Lefons stir le calc~d des variations, p. 432. (3) Zur Bel, andluuq 9eschlossener Ext~'emalen i1~ dev Variatio.usrechuung. (Abhandl . aus
dem Mathem. S~minar d. Hamburge r Univer~.~ B~t. 1, S. 195).
Annal i di Matemattca, Serie IV, Tomo TI. .~
298 C. 0ARATHEODORY: Ueber geschlossene Extremalen
keineswegs hinreichend (') und es wird i m § 24 eine ganze Klasse von Pro-
blemen angegeben, bei denen sie erf0llt ist, ohne dass ein Minimum der
geschlossenen Extremale stattfindet.
3. Der zuletzt erwii, hnte Poincar6sche Satz schrhnkt die Mtiglichkeiten
so sehr ein, dass es nicht gauz leicht sein d0rfte ein konkretes Beispiel eines
ebenen Variationsproblems auzugebeiJ, bei welchem eine geschlossene Extre.
male ein Minimum liefert, ohne dass die geometrische Konstruktion, von der
im vorigen Paragraphen die Rede war, ausfOhrbar sei.
Im drei-dimensionalen Raume abeL" liegen die' Verhhltnisse anders. Herr
RADON hat schon bemerkt und wi t werden an speziellen Beisl)ielen erkennen,
dass der Poincar6sche Satz bier nicht mehr gilt.
Wir werden tlberdies zeigeu, dass, wenn man Vergleichskurven zul~sst,
die sich erst nach einem h fachen Umlaufe in der N~i~he der geschlossenen
Extremale schllessen, es sehr wohl vorkommen ka,m, dass die h-lath durchlau-
fene Extremale mit diesen Kurven verglichen, immer dann und uur daun ein
starkes Minimum liefert, ~venn k nicht duJ'ch eine vo~'geschriebene Zahl m teilbar ist.
4. Zuriickfi ihrung auf periodische Variationsprobleme. - - Es sei
f(t, xt,... , x,, ; x~,..., x,,) die Funktioll unter dem Integral eines Variations-
problems des (n-4-1)-dimensionalen Raumes, das eine geschlossene Extre-
male C aufweist. Wir bemerken zunhchst mit Herrn HADAMARD, dass man
eine Umgebung der geschlossenen Extremale C derart auf die Umgebung
der t-Achse abbilden kan~l, dass ersteus diese Achse das Bild der uuendlich oft durchlaufenen Extremale C darstellt, und zweitens die Abbildung perio-
disch ist. Die Periode, die man willktirlich w~thlen kann, werden wit' im
Folgenden stets gleich Eins setzen.
Indem wir das gegebene Problem mit Htilfe dieser Abbildung transfor-
mieren, sehen wit', dass das Problem der geschlossenen Extremalen vollstandig ~tquivalent ist mit tblgendem:
Gegeben sei ein pe~'iodisches Va~'iationsproblem, d. h. ein solches fii~" ~velches die positive Funkt ion f(t, x~, x~) unte~" dem Integ~'alzeichen de~" Relation
(1) / ( t - t - l , xi,... , xn; x,,..., x,,)-----fit, x,,. . . , x, ,; x,,. . . , x,,)
(t) Eine diesbeziigliche Bemerkung HADAMArDS, die RAYON wiederholt, ist, obschon im Grunde korrekt~ vielleicht doch irrefiihrend.
und periodische Variationsprobleme 299
geni~gt. Es sollen Bedingungen da/i~r aufgestellt werden , dass das Integ.~'al
5be~" f ldngs des Inter'vails O ~ t ~ 1 de~" t-Achse heinen g~'Osse~,en W e f t
besitze als das In tegral de~'selben Funht ion ldngs eine~" Ve~'gleichskurve,
die die Panh te mgt den Koordinate~:~ (0, x~) und (1, xi °) verbindet , und ganz
inne~'halb eines Gebietes I xii <'. M verlduf t .
,5. Ein System h inre iehender Bedingungen fiir das Minimum. --- Es ist
selbstversthndlich, dass ein Mit:imum unter den vorgeschr iebenen Bedin-
gungen nur dann stat tf inden kann, wean die t-Achse selbst eine Ex t remale
ist, lhugs we lche r die Weie r s t r a s s ' s c lm Bedingung erftillt ist. Ausserdem dar f
kein Punk t x i ~ 0 , t = t o dieser Achse einen kol l jugier ten Punk t x l ~ 0 ,
t = t~ besitzen, so dass ] t, - - t o I "~ 1 sei. Diese notwendigen Bedingungen sind abet , wie sich wei terhin ergeben
wird, ke ineswegs hinre icheud.
6. Wi r wollen nun zuu~tchst eineu Fal l bet rachten, der eine grosse Klasse
yon per iodischen Var ia t ionsproblemen umfitsst, and fiir welchen der Nachweis
des Minimums sich fast ohne Rechnungen ergeben wird.
Dazu be t rachten wit" ein Feld F 0 yon Ext remalen , das aus lauter Extre-
malenst t icken besteht, deren Endpunh te im Anfangspunkte 0 der Koordina ten
zusammeufal len . Wi~" nehmen an, dass man das Feld F o so w d h l e n kann,
dass, w e n n ein p u n h t P mi t den Koo~'dinaten (t, x~,..., x.) im lnne~'en yon F o
liegt, das Gleiche vom Punh te P-L mi t den Koordinaten ( t - 1, xL,... , x,)
gilt, and dass die Streche - l ~ t ~ 0 de~" t-Achse aus laute~" inne~'en
Punh t en des Feldes Fo besteht. Ausse~'dem soU die IVeie~'st~'ass'sche Berlin-
gang in j edem Punh te yon F o e~'fiillt sein. Diese letzte Bedingung hat zur Folge, dass, wemt man mit J~:: (l~s In-
tegral bezeichnet , das tiber eine Ver-
g le iehskurve ~' e r s t reck t ist , die zwei
Punkte P~ und P~ yon F o verbindet , und
selbst ganz im hm(.xen des Feldes ver-
lituft, and mit j o bzw. l ° die In tegra le 0 • l J j
tiber (lie Ex t rema len des Fe ldes bezei-
ehnet, die P~ mit 0 bzw. P~ mit 0 vet- .
binden, stets die Relation
1 o .<~ j e , + j o Fig. 1. (2) " 1 ' , = ,',
erfiiiit ist. Hierbei ist bekannt l ich das Gleichhei tszeichen nu t dam~ zu nehmen,
wenu 7 mit e inem Sttlcke eiHer ExtremaleH von Fo zusammenfi t l l t .
300 C. CARATHEODORY." Ueber geschlossene Extremolen
7. Die abgeschlossene Strecke - - 2 _ < t _ < - 1 der t-Achse besteht nach
Voraussetzung arts lauter iuneren Punkten uuseres Feldes F o. Man kann also eine positive Zahl M so klein whhlen, dass alle Punkte des abgeschlosseneu Gebietes
- - 2 ~ < t~< l, t x t [ < M
im Innereu von F 0 liegen, und uach den Voraussetzungen des vorigeu Para-
graphen gilt dann auch das Gleiche yon allen Punkten des abgeschlossenen Gebietes
(3) - - ~ < t < - - l , = t x , l "~-
Man kaun also jeden Punkt des Gebietes (3) mit 0 durch ein Extrema-
lensttick des Feldes F o w~rbinden, das allerdings das Goblet (3) eventuell auch verlassen kann.
8. Wegen der Periodizitht unse:'es Variationsproblems k6nnen wir das
Feld F,, parallel zur t-Achse um eine endliche Anzahl n yon Einheitsstrecken
nach rechts verschieben, und erhalten so ein Fold I~,, dessen Extremalen
im Punkte 0,, mit den Koordinateu t = n , xt ~ 0 zusammenlaufen.
Wit" betrachten jetzt das abgeschlossene Goblet, (lessen Punkte (lurch
die Relationen (4) 0 ~ __ - t < l , [ x , l < M
cimrakterisiert wet'den. Dieses Gebiet liegt im Im~eren eines jeden der Felder F,,
fth" n > 2. Jeder Punkt P des Gebietes (4) kann also ftir n ~ 2 mit 0,, dutch
eine Extremale e n verbunden werden, die eine Extremale des Feldes F , ist,
und in jedom der darauffolgendeu Extremalenfelder F,+~, Fn+2,-.. enthalteu ist.
Falls wit" jetzt e,, als Vergleichskurve des F e l d e s F,+~ betrachten, erhalteu
wir aus (2) die Relation
oder, falls wir
setzert,
(5)
0;)
10,~.~ ~ 10,~ ~0,~.~_t 1' 1 p "4- O ~
0 t I5 '+ ' = Io = f o D jr
O~ t I ° : + , < 1 I, -~- I o .
Wir ftihren .jetzt fth" alle n > 2 die Bezeichnung e in :
S,,(P)-= l ° , " - - n I o .
uud periodische Variationsprobleme 301
Dann kann man statt (5) schreiben :
(7) 6,,+,(P) ~ S,,( I ) ;
die Folge der Funktionen S~(P), S.~(P),... ist mithin monoton abnehmend.
9. Wir bezeichnen mit K die obere Grenze der Werte des Integrals
unseres Variationsproblems lhngs der geradlinigen Stl'ecken, die deu Punkt 0_~
(mit den Koordinaten t - - - - 1 , x ~ - - 0 ) mit dem Punkte P verbinden, fidls P das ganze Gebiet (4) durchlhuft.
Aus tier Relation (2) entnehmen wit jetzt
K-t- I°, ~ ~ (n q-- 1)/o,
uud ferner mit Htilfe yon (6)
8, (P) > 1 o - - K.
D~ die rechte Seite der letzten Ungleichheit weder yon P noch yon n
abhfi, ngt, sehen wit, dass die monotone Funktiouenfolge der S,,(P) uach unten
tfin beschrhnkt ist. Sie muss demmtch konvcrgieren und h~sbesoadere die Bedingung
(S) lira [S,(P) -- S,,+,(P)] = 0
erftillen.
10. Es sei )" eine Kurve, die innerhalb des Gebietes (4) verl~tuff, und die
einen Punkt Po mit den Koordinaten t----0, x ~ : x ~ mit einem Punkte P~,
der die Koordbmten t - - 1 , x, = x~ besitzt, verbindet. Bezeichneu wir mit J
den Wert uaseres Kurvenintegrals lhngs der Kuvve ":, so liefert die Relation (2)
auf das Feld Fn angewandt • O,, I ° " o < J A - , p , ;
nun ist aber naeh (6)
: - 8,,(t o) +
und -- weml man noch attsserdem die Periodizitht tmseres Variationsproblems berticksichtigt :
iop: = 1 l , 0-o,,_, = Sa-t(Po) -t- (n -- 1)/o
Aus dem Vergleich der letzten drei Relationen fblgt sodann:
J ~ Io -- [ S n - , ( P 0 ) - S,~(P0)]
802 0. CARATH:EODORY: Ueber geschlossene Extremal~n
und hieraus, wenn wir noch (8) ber~icksichtigen und
(9) J ~ Io,
d. h. die Relation, die wir beweisen wollten.
zur Grenze tibergehen,
11. Gibt es eine Kurve ~'o, die Po mit P~ verbindet, und ftir welche das
entsprechende Integral Jo ~ Io ist, so muss To notwendig eine Extremale sein.
Sonst k6nnte man -- im Widcrspruche m i t d e r Relation ( 9 ) - dutch Variation
yon 7o Vergleichskurven 1, mit denselben Endpunkten wie I"o konstruieren,
fill' welche J < I o w~tre. Es ist abet ein Leichtes dariiber hinaus noch zu
beweisen, dass To eine periodische Extremale darstellt.
Durch Verschiebung der Extremalen To parallel zur t-Achse um eine
Einheit nach rechts, erhalten wit namlich einen Extremalenbogen Y'o, der den
Punkt P~ mit einem Punkte P~ verbindet. Das Integral des Variationsproblems,
genommen lhngs der Kurve ~', die aus Yo und 1"o besteht und Po mit P2 ver-
binder, ist aber - - wegen der Periodizit~tt des Variationsproblems -- gleich 2Io. Andererseits kann mau aber, genau wie oben, beweisen, dass ftir jede Kurve ,~",
die Po mit P2 verbindet, das entsprechende Integral J' die Bedingung J'~2I~, erftillt. Letzteres k6nnte abet nicht der Fall sein, wenn "/o trod y'~ im gemein-
samen Punkte 1)~ eine Ecke bilden wiirden, da man in diesem Falle durch
Variation der Kurve "[ das [ntegral fiber diese Kurve noch verkleinern k6nnte.
IVi~" sehen also, dass unte~" den fib" das Feld F o gemachten Vo~'a~sset- z~tngen .]eden" Kurve .[, die die P~enhle Po mit P, ve~'bindet, ein Integ,~'al J entsp~'icht, fib" welches die Relation
• I ; > I o
besteht, ausse~' wenn ,la.~ VaJ'iationsp~'oble~,~;~ eine pe~'iodi.~che FxD'e~J~ale be.~itzt, die du t c h Po hindu~'c]~geht.
12. Man kann die obige Methode dazu verwenden, um die Existenz des
Minimums auch ftir den Fall eines sch~cachen Extremums nachzuweisen.
Dann gentigt es allerdings, dass auf der t-Achse nur das Lagend~'esche Kri-
terium erftillt sei. Abet unser Feld F o muss ill diesem Falle gewissen Zusatz-
bedingungen gentigen, die z. B. erf(illt sind, wenn jede Extremale des Feldes F,,,
deren AnSmgspunkt im Gebiete t ~ O, I xi[ ~ M liegt, ganz im hmeren dieses
Gebietes verlguft, trod we,.m die obere Grenze des Winkels, deu eine dieser
so besehritnkteu Extremalen in einem ihrer Ptmkte mit (ler t-Achse lllaellt, mit M gegen Null kouvergiert .
und periodiscbe Variationsprobleme 303
13. Die Bedingungeu ftir das Feld Fo, die wir im § 6 gefordert habelb
haben nattirlich zur Folge, dass kein Punkt der t-Achse einen konjugierten Punkt auf dieser Geraden besitzt. Hieraus folgt aber nicht, dass die Extre-
malen des Feldes Fo, wenn man sie hinreichend welt nach links verlangert,
die t-Achse nicht wieder treffen k6nnten.
Betrachten wi t z. B. in der t, x-Ebene das Variationsproblem, ftir welches
x-" f ( t , x ; x ) - - 1 - - x ~
ist. Dieses Problem ist periodisch, da f nicht von t abhhngt. Die Gleichung
fftr die Extremalen dos Feldes Fo lautet hier ill geschlossener Form
.~ = sill ~t .
Jede dieser Extremalen schneider unendlich off die t-Achse; und doch
bihlet die Gesamthcit dicser Extremalen, wenn man die Intervalle
7: - - - ~ t ~ 0 21 1- -
b e t r a c h t e t ell) Feld F,,, das dell An¢brderungen des § 6 genfigt.
14. Im zuletzt besprochenen Problem lautet die Eulersche Differential-
gleichung
(1 - x )x + x x = o
und die gacobische line~u'e Differentialgleichung, die der Extremalen x = 0
entspricht, besitzt die einfache Gestalt ~ = 0 . Dies ist gerade ein Fall, ill dem
die Betrachtung der zweiten Variation, wie sie z. B. dutch POI:NCAR~ gehand-
habt wird, nicht zum Ziele fiihbt. Allerdings fit~.det hier der Ausnahmefall
st~,tt, den HADAMARD ausdrticklich erwahut, und der darin besteht, dass eine Schar periodischer Extremalen (n~tmlich die Geraden x--=-const.) vorhanden ist.
Es ist aber leicht Beispiele zu konstruieren, bei denen die Betrachtung
der zweiten Variation ebenfalls nicht zum Ziele fiihrt, der letzte Umstand
aber nicht stattfindet. Wir hetrachten die Funktion
f(t , x ; x)-~-~/(1 A- x4)(1 + ~v-~).
Hier zeigt zwar schon sofort eine elementare Abschhtzung des Integrals
0.ber f, dass die /-Achse x = 0 eiu Mininmm ftir unser Problem liefert. Wir
304 C. CA ttAT~/ZOOORY: Ueber gesehlossene Extremalen
wollen dennoch zeigen, dass die Konstruktion des § 6 ebenihlls ausf(ihrbar ist.
Ein erstes Integral der Eulerschen Differentialgleichung lautet n~imlich hier
(10) 1 + x 2 - - ~ const. l - l - x ~
Das Feld F o wird durch Extremalen erzeugt, f(ir welche
( I1 ) 1 --I- x '~' __ 1 -+- ~d 1-q-x ~
ist. Hieraus folgt aber
dx i/ 1 + ~
und da die GrSsse I x l monoton mit x waehst, sieht man leicht ein, dass unsere Voraussetzungen ftlr das Feld F o erf0.11t sind.
Die Eulersche Differentialgleichung lautet in unserem F~dle
(i + x ' ) x = 2x~(1 + k ~)
und die Variation der Extremalen x =0 ffihrt wiederum auf die Jacobische
Differentialgleichung ~ - - 0.
15. Das zuletzt besproehene Problem kann als Schuibeispiel benutzt
werden, um den Unterschied zwischen der Hadamardschen, der Poincar6schen
und uuserer Feldkonstruktion zu beleuehten.
Herr HADAMARD und Herr RADON benutzen Extremalenstt tcke deren
Endpunkte gleiche Ordinaten haben und den Abscissenabstand Eins besitzen.
Fttr derartige Extremalen muss die Konstante in (10) kleiner als Eins sein
und diese Difierentialgleichung also lauten
1 + x - ' 1
1 q - . X ' - - 1 + ~i"
Die Extremalen unseres Feldes F o ftihren andererseits Jmch (11) zu Werten
der betreffenden Konst~nte, d}e die Einheit tibersehreiten.
Die Poinc~ir6sehe Methode endlieh benutzt aussehliesslieh die sogenamlteu
asymptotisehen Extrem~len, deren Differentialgleiehung in unserem Beispiele
l + X 2
1-+-X *
(oder x - - ~ x") lautet.
und periodische Variatio~sprobleme 305
Es ist nicht uninteressant zu konstatieren, dass diese drei Arten von Extre-
maleu, die in der Regel yon eimmdev verschieden sind, jede ftir sich zu einem und demselben Zweck benutzt werde~, k6nnen. Es k6unen allerdings,
wie im Beispiele des § 13 die asymptotischen Extremalen POI:~CAR~ZS und diejc- nigen, die HADAMARD henutzt hat, manchmal zusammenfaIlen.
16. Der Poinear~sehe Satz. ~ Die Theorie der geschlossenen Extremalen i~l der Ebene, oder was dasselbe ist, der ebenen periodischen Variationspro-
bleme m i t d e r Periode Eins wird durch eiuen Satz yon POINCAI¢~ beherrscht,
den man - - indem man ihn noch geh6rig prhzisiert -- folgendermassen aussprechen kam~ :
Bezeich~tet man ~oiede~'um mit I o das Integ~'al i~beJ" f(t, x, x) ti~ngs der t-Achse "Sbe~" das Inte~'oall O ~ t ~ 1, so ist fotgende Bedingung notwendig und hin~'eichend dafia', dass es VeJ'gleichshu~'ven 7o gebe, deren ES~dpunhte gleiche O~'di~mten und die Abscissendiffe~'enz Eins besitzen, fib' welche das Ku~'veninleg~'al einen Wef t
Jo ~ lo besilzt :
Es gibt mindenstens eine ganze Zaht n ~ i de~'a~'t, dass ge~c, isse Ve~'- gleichshu~'ven ~(, die den Anfangspunht 0 der Koo~'dinaten mit dem Pun- kte O~ ~e~'binden, dessen Koordinaten x ~ O , l-----n si~d, einem VVe~'te J des Va~'iationsinteg~'als entsp~'eehen, fib" welehen die Bedingung
J < nIo. besteht.
Man harm ausserdem vo~'aussetzen, dass 7o aus einem Polygon ohne Doppelpunkte besleht, alas die t-Achse ni~'ge~uls t~'ifft, ~md dass 7 ebenfalls ei~l. Polygon ohne Doppetpunhte ist, das im hleinsten St~'eifen liegt, de~" du tch die t-Achse und eine Paraltele zu diesel" Ge~'aden beg~'enzt win'd, und der To enthi~It.
17. Wir nehmen zun~tchst an, es gebe eine Kurve 7, deren Endpunkte C
m,d D irgendwo auf der !-Achse liegen und ftir welche das entsprechende Kur venin tegral
.7 <
ist; dabei soll C links yon D liegen und I~ das Integral lhngs der t-Achse
zwischen dell Pm~kten C und D bezeichnen.
,tnnali di Matamatica, Serie I V , Tomo l I , 3,q
306 C. CARATHI~ODORY: Ueber geschlossene Extremalen
Man kann nun zunhehst ,( din'oh ein Polygon y' mit denselben Endpun-
kten C und D derart approximieren, dass erstens das Integral J ' iiber das Polygon ,(' gmlommen die Bedingung
(12) . 1 ' < Ig
er{allt, und zweitens keine einzige Seite yon ":' (let" t-Aehse parallel sei.
Das Polygon ~,' begegnet dann der /-Aehse in hOchstens endlich vielen Punkten.
Wir bezeichnen mit A denjenigen dieser Sehnittpunkte, der am weitesten
links l iegt; dieser Punkt A kann natarlieh a u e h mit C zusammenfallen.
Dureh A wird auf ,:' ein Polygonzug ~,'~ bestimmt, der A mit D verbindet
und yon dem kein innerer Punkt mit A zusammenf~tllt. Wit" bezeiehnmt
mit B den Sehnittpunkt yon ~,', mit der t-Achse, der am weitesten reehts liegt, und der eventuell aueh mit D zusammenfallen kann. Dutch B wird
auf ~"~ ein Polygonzug ~"~ bestimmt, der in A beginnt, in B endet und
keinen inneren Punkt besitzt, der mit B zusammenf~tllt. Nun besteht flit den
Wef t J'2 unseres Kurvenintegrals aber 7'2, weil /~t, x, sb )> 0 ist, die Re-
lation J ' ~ o r ' ; dagegen ist I~>=I~ und wir haben also, wegen (12),
(la) .-_
Die Anzahl der Sehuittpunkte yon ~,'~ mit der /-Aehse ist nicht gr6sser
als die der ursprtinglichen Kurve ~" und wit haben jedenfalls gewonnen, dass
diese Sehnittpunkte alle auf der Strecke AB liegen.
Im Falle nun, dass ein innerer Punkt E yon ~"~ sich noeh atff der t-Aehse zwisehen A und B befindet, betraehten wi t die zwei Teilb6gen ?,':~ und ~,'~,
in die 7'~ dutch E zerlegt wird, mid yon denen der ersle A mit E, der zweite aber E mit B verbindet. ~,Venn inan mit J':~ bzw. J'4 die diesen
Teilb6gen entspreehenden Werte des Kurvenintegrals bezeiehnet, so folgt aus
t I ¢
in Verbindung mit (13), dass nicht gleichzeitig
! ! , I a = > [~ und . I ~ > I B~.
stattfinden kalm. Es ist also g. B.
1' < I ~ ; • 3
nun besitzt abe t das Polygon "('a sicher we~,iger Sehnittpunkte mit der
/-Achse als ],'. Wir nennen das Polygon ~(':,, das wit so konstruiert haben,
und periodische Variationsprobleme 307
y" und iterieren das ganze Verfahren. Schliesslich erhalten wir ein Polygon y(')
mit den Endpunkten L u n d M, das ke inen einzigen inneren Punkt besitzt,
der auf der t-Achse liegt, und ffir welches ebenfalls die Beziehung
gilt.
18. Wir verschieben nun ~,(~) um eine endliche Anzahl yon Perioden
nach rechts oder links, bis der P u , k t L in das Intervall 0 ~ t ~ 1 gebracht
wird. Wit bezeichnen mit y(*) das Po lygon in seiner neuen Lage, und mit P
und Q seine Endpuakte. Ferner sei 0,, eiu Puukt der /-Achse mit ganz-
zahliger Abscisse, der rechts yon O liegt. Wir k6nnen nun auf v (~) eiuen " t
inneren Punkt P~ so nahe an P und einen immren Punkt Q, so nahe an Q
whhlen, dass, wenn wit ,nit ~, dasjenige Polygon bezeichnen, das aus den
geradlinigen Streckell 01~ trod Q,O,, und ~tus demjenigen Tell von v (*) besteht, " i
der zwischen P, und Q~ liegt, und ferner mit y dasje,fige Polygon ohne
Doppelpunkte, das aus 7 durch ~usl6schen der noch m6glicherweise vorhan-
denen Schleifen gewonnen wird, das Kurveniategral J fiber y der Bedingung
(14) J ~ nlo
geniigt.
19. Es sei ~mn 7 ein Polygon ohne Doppelpunkte, das 0 mit 0,, vet-
bin(let, keinen inneren Punkt auf der t-Achse besitzt, uud ffir welches, bei mOglichst hleinem ~e~'te yon n, die Bediugung (14) besteht.
Ist n - - -1 , so sieht ,nan leicht ein, dass es Polygone ~,o gibt, deren End-
punkte gleiche Ordinaten besitzen, ffir welche Jo ~ [o ist und yon denen kein
einziger Punkt - - anch nicht ein Eudpunkt -- auf der t-Achse liegt. Wi t nehmen also al,, es sei n ~ 2 ; um ein bestimmtes Bild zu haben,
k6Hne, wir ferner voraussetzen, dass die Kurve ~" obevhalb der t-Achse ver-
lhuft. Wir bezeiclmen mit M delljenigen Punkt von ,[ ffir welchen die Ordi-
nate x am gr6sstea ist, oder -- fails es auf "( mehrere Punkte ,nit gleicher
Maximalordinate geben soIlte -- del~jenigen unter allen diesen Punkten
der die gr6sste Abscisse t besitzt. Es seien Y' und Y" die beiden Teilpolygone von y, von denen das erste 0
mit M, das zweite M mit 0~ verbiudet. Wit bezeichnen ferner mit G das
Gebiet, dessen Begrenzung erstens aus allen Punkten der / -Achse rechts von 0,,
besteht, zweitens aus y" und drittens aus einer Halbgeraden, die im Punkte M
begimlt und einen Winkel von 45 ° mit der positiven t-Achse einschliesst-
308 ~. CARATI{]~ODORY: Ueber geschlossene E x t r e m a l e n
Nun betraehten wir den Polygonzug ,('~, der entsteht, wenn wir y' um
eine Periode naeh reehts versehieben. Der Anfangspunkt 0~ yon "('~ liegt
ausserhalb, der Endpunkt M, dieses Kurvens taekes im Inneren yon G. Also
besitzt ~"~ mindesteus einen Punkt S~ auf der Begrenzung dieses 0ebietes,
und da "(', keinen Punk{ auf der /-Aehse reehts yon 0~ mid ebenfalls keinen
Punk{ mit grOsserer Ordinate als M besitzt, muss notwend~g N~ auf ~'" liegen.
Der Punkt S, ist abet' attf ~"~ das Bild eines Punktes N der auf ,(' liegt, und,
was sehr wiehtig ist~ S liegt auf i, zwisehen 0 und N,.
20. Dureh die beiden Punkte ~s' und S, werden auf .[ drei Teilpolygone
bestimmt, die wir der Reihe naeh mit 7~, Y2, ]'a bezeichnen. Die Integrale l~hlgs dieser Polygoim nemmn wi t .1,~ J.2, J a . Versehiebt
man mtn ":aum eine Periode nach links, so erhMt man ein neues Polygon T'a, das mit 'i'~, zusammen eine Vergleiehskurve darstellt, die 0 mit 0,, .~ vet-
bin(let und keine immreu Punkte auf der lAehse besitzt; dieser Kurve (die
fibrigens aueh Doppelptmkte besitzen kalm) entsprieht abe t der Integralwert
J, +.1:,. Jedenialls ist aber, wegen der Voraussetzungen am Anfang des § 19,
J~ -+- .I:, > (n -- 1)1,,.
Andererseits haben wir abet'
• I ~ .I, -t- J.e -F .I a ~ J~ I, ;
aus den beiden letzten Relationen lblgt also
Wir konstruieren nun das eindeutig bestimmte unendliehe Polygon I',
das dureh periodisehe Wederholung yon ~(e entsteht und bezeiehnen mit Y'o eilmn Tell dieses Polygons, dessen Endpunkte g'leiehe Ordinaten und die
Abseissen t = 0 bzw. t = 1 besitzeu; dabei soil 7'0 so gew~khlt werden, {lass
dureh per iodisehe Versehiebungen von Y'o wiederum P erzeugt wird. Endlieh
bezeiehnen wit' mit Yo dasjenige Polygon ohne Doppelpunkte, das arts Y'0
entsteht, wenn man die dutch die letzten Operationen mOglieherweise neu
entstandenen Sehleifen ausl(Jseht. Da nun, wenn man mit J'o und .lo {lie
Wer te unseres Kurvenintegrals tiber Y'o bzw. '(o bezeiehnet, die Relationen
.1' o = J~ und Jo ~ J ' o bestehen, hat man sehliesslieh J , , < Io, womit die eine
H~tlfte ties Poinear@ehen Satzes bewiesen is{.
21. Es sei umgekehrt "Teine beliebige Kurve, deren Endpunkte P,, u n d P ,
gleiche Ordinaten und {lie Abscissen I = 0 I)zw. I x 1 besitzen, uml f(ir
'und periodische Variationsprobleme 309
welche der entsprechende Wer t Jo des Kurvenintegrals der Bedingung
(15) Jo = lo - - z¢ (~ > 0)
g e n t i g t . Wit bezeiehnen mit y~ die Kurve, die aus Yo entsteht, wenn man Sie
um h Perioden nach rechts parallel zur t-Achse verschiebt, und mit Pk, Ph+, ihre Eudpunkte. Nun konstruieren wir eine Kurve ,(, die aus den gerad-
linigeu Strecken O_,P. und PmO,,+~ und aus den m aufeinanderfolgenden
Kurvenstt tcken Yo, ":~,..., 7m-~ besteht. Bezeictmet man mit J - d e n Wef t des
Km'venintegrals genommen t iberT, so ist wegen (15) bei hinreicheud grossem m
,1 ~__ 1%÷'. - - I
m
Die Kurve 7 besitzt also die Eigensehaffm b die wir von der gleichna-
migen Kurve i m § 17 vorausgesetzt haben. Unsere obigen Ausftillrungen er-
lauben uus ein Polygon ": und ein Polygon ":0 zu konstruieren, wie dies dutch
den Poincar6schen Satz des § 16 verlangt wird. Hiermit ist aber dieser Satz
in allen seinen Einzelheiten bewiesen.
22. hn Falle, dass eiu Punkt A auf der t-Achse einen konjugierten Punkt A* auf dieser Aehse besitzt, gibt es natth'lich in jedem Streifen, der
die /-Achse enthhlt, Kurven -:, die den Bedingungeu des § 17 gentlgen. Aus dem Poi .car~schen Theorem folgt demnach der Satz;
Fib' das Eintreten des Minimums ist es notwendig, dass hein Punht de~' t-Achse einen honjugierten P~tnht au f dieser Achse besitzt.
hn Gegensatz zum Satze, den wi t i m § 16 ausgesprochen haben, ist
diese letzte Bedi .gung aber nicht ]tinreichend. Sie kann sehr wohl erfttllt
sein, ohne dass ein Minimum stattfindet.
Betrachten wir z. B. das Variationsprobiem, das zu der Funktion
(16) f(t, x, x) ~/i +x" \ ! 1 -t- x *
geh6rt; mall sieht dureh Absehhtzung des II~tegrals sofort ein, (lass bei
diesem periodischen Variat ionsprobleme kein Minimum ill unserem Sinne
stattfindet. Ist nun 7' eine Vergleichskurve, die 0 mit 0 , verbindet und
deren gr6sster Abstand yon der t-Achse mit h bezeichnet sein m6ge, so ist die Ltiuge dieser Vergleichskurve nicht kleiner als y n ~ + 4 ] : . L~ings der
3 1 0 C. ( J A R A T H E O D O R ¥ : U~ber geschlossene Extremalen
ganzen Kurve ist abe t V1 -+- x 4 ~ V 1 A- h ~ ; wi t erhalten also, dureh Abseh~tt- zung des Kurvenintegrals
V ' : + - 4 h e n V 1 - ~ - 4 h ~
or'> V1 q - / P [~__l~:h.~
Andererseits ist
I 0,, __-- 77. ;
man hat also stets J~> 1 °", sobald h ~ " ist, woraus folgt, n
gierter Punkt zwisehen 0 und 0n liegen kann.
dass kein konju-
23. Um dieser Erseheinung, die noeh nieht bemerkt worden zu sein
scheint, auf den Grund zu gehen, untersuchen wit die Extremalen des letzten
Problems, die dutch Integration der Differentialgleichung
oder (1 + x*)(1 q- x °-) = t q-- ~'
d X / a ~ - - X 4
d t - - -I- ~' [ nt- ) ~ gewollnen werden.
Insbesondere werden die Extremalen, die dureh den Anfangspunkt der
Koordinaten gehen und in der oberen Halbebene liegen, dureh die Gleiehung
(17) ! i V l + x4 ----- d x • V a 4 - - X ~ u
oder, indem man x--~ :¢~t setzt, dutch die Gleiehung
x
l=fVlq-a~~dd~t aV1 - - u '
dargestellt. Diese Kurven haben ein Maximum im Punkte x----a, l = t ~ , wobei
1 1
j 1 f du & ---'-- ~- V1 - .~¢
0
ist. Man sieht also, dass
~ 0
und periodische Variationsprobleme 311
ist. Im Intervalle O < t < t ~ wird die Extremale direkt dutch die Gleichung (17)
dargestellt , und die Gesamtheit der so abgeschnit teaen Extremalen bildet ein Feld, das jeden Ptmkt der t-Achse in seinem Innereu enthhlt. Man sieht dies
am leichtesten ein, wenn man bemerkt, dass nach (17), solange a ~ > x ~ ist,
ffir feste Werte yon x und variables a die Abscisse t eine monotone Funktion you :¢ ist. Die Verlhngerung der Extremale fiber ihren Maximalpunkt hinaus
wird nun durch die Gleichung dargestet l t :
V 1 A - a 4 ~ ~ d~z
~¥I - - u 4
Hieraus eutnimmt man aber
~t x V l + x ' ( j j ~ ( 1 - - ~u4)du . ~ - ~ V ~ - - x ' t : + !'\~¥(1 -u~Xl-~-~') ' \,,
aus dieser letzten Gleichung folgt aber, dass ffir fest gegebene Wer te yon 0¢ < 1,
Wer te yon x zwischeu Null und a liegen, ffir welche 3t ~ verschwindet.
Diese Extremalen berfihren also ihre Enveloppe v o r ihrem zweiten Schuitt-
punkt mit der t-Aehse ; hieraus schliesst man, wenn man alles zusammenfasst,
(lass die t-Achse eine Asymptote dieser Enveloppe ist.
24. Man kann ~:uu ganz allgemein beweiseo, dass, wenn bet einem perio-
dischen Variationsproblem das Extremalenbfischel durch den Anfangspunkt
der Koordinaten eine die t-Achse nicht
treffende .Enveloppe besitzt, die diese
Achse zur Asymptote hat, ein Minimum
in uuserem Sinne nieht sta, ttfinden ka.nn.
Wir betrachten wie im § 6 das Bfischel der Extremalen, die ihren End-
puukt in 0 haben, und bezeichnen mit E ,
den Schnit tpunkt ihrer Enveloppe mit der
0_~.~, Q 0 Fig. 2.
Ordinate t = - - n (s. Fig. 2). Wir verbinden E,, mit einem Punkte C,, der
t-Achse durch eine geradlinige Strecke, die den yon n una, bh~tngigen Winkel
mit der t-Achse eiuschliesst, und bezeichnen mit K,, den Wer t unseres In-
312 0. 0ARATHI~]ODORY: Ueber geschlossene E x t r e m a l e n
tegrals lhugs diesel" Strecke. Danu ist, weil der Abstand zwisehen E,, und
der /-Achse mo'eo'-,,~., Null konvergiert,
lira K,, - - O.
Ferner betrachten wit" das Extremalenstttck, das den Punkt 0_,,_~ mit E,,
verbindet und bezeichnen mit H,, das Integral lhngs dieses Extremalensttickes; P ebenfalls bezeichnen wit mit I,, das Integral !gngs derjenigen Extremale des
Feldes, die En mit 0 verbindet. Ist dann der WinKel :~ hinreichend klein, so
ist nicht nut stets der Punkt C,, rechts yon 0_,,, sondern es gelten fO, r grosse n
die Gleichungen
c,, ( 0 < ~ , <~ 1) H . + ~ i K , , ~--- Io_ , , _ , _~ =
und
I,, = ~,2K,, + l ° (0 < ~.~ < 1). (fin
Durch Addition dieser beiden Gleichungen erhMt man daml:
O H,~ + I . - ~ I o . . . . ~ + (&~ -- ~,)K,,
--~(n + 1)I 0 -t- #K,, [v~[_< 1.
Nun set A ein fester Punkt der Enveloppe und B ein zweiter fester Punkt
dieser Enveloppe zwischen E , und A. Wir whhlen B so nahe ~n A, dass, wenn
man mit J~ das Integral lhngs der Enveloppe und mit I~ das Integral litngs
der Extremalen zwischen B und A bezeichnet,
J~ --=- I a + h h ~ 0
ist. Nun ist wegen des Euveloppensatzes, wmm man das Ii~tegral litngs der a
Enveloppe zwischen E,, und A mit .IE ~ und das Integral l~tngs der Feldextre-
malen zwischen A und 0 mit Ia bezeichnet,
A In = ,I~ + l a
B A - - - J K -4-. Ii~ + I a + h .
Wit" haben ~dso
B A H,,+, + JE,, + IB + Ia - - (n + 1)/o + &K,, - - h
und ftir hiureichend grosse Werte von n
j B A H,,+~ + . <, + l n + I a <~ (n + 1)10.
und periodiseh~ Va~'iation#probleme 313
Der Ausdvuck li~ks ist aber der Weft des Illtegrals fangs einer Vergleichs- kurve, die 0_~_~ mit 0 verbindet. Nach dem Poincardschen Satze dar f also hein Mi~dmum stattfimte~.
25. P e r i o d i s c h e P r o b l e m e i m d r e i - d i m e n s i o n a l e n R a u m e . - - Wit" werden im Folgenden Variationsprobleme im Raume der x, y, t behandeln, ftir welche die Funktion unter dem Iutegral die Gestalt
(18)
besitzt, l:Iierbei sell
! ° .
] / l + x 2 - ~ y ~
gesetzt werden, n'q0(~ '~) im Intervalle 0 ~ v ~ ~ 2 monoton mit v zunehmen, und ~¢(~'~) in diesem Intervalle beschrhnkt sein.
Um das Integral fiber (18) langs einer Vergleichskurve bequem abscha- tzen zu kOnnen, behandeln wir zUn~tchst folgendes elementargeometrische Problem.
Wir betrachten einen Rotationszylinder K yon der H6he h und dem Radius r und wahlen zwei feste Punkte A und B, die auf den Kreisen liegen, welche die Grundfl~chen des Zylinders K begrenzen. Ferner be- trachten wir einem konzentrischen unbegrenzten Zylinder K~ veto Radius (~'+ h), wobei h > 0 tst. Es soil die Lhnge des kttrzesten Weges .abgesch~ttzt werden, der A mit B verbindet und mindestens einen Punkt C des gr0sserel~ Zylinders K, enth~tlt.
Es ist fast evident, dass man unsere Frage folgendermassen beantworten kann: Wit" betrachten eine beliebige Tangentialebene des Zylinders K~, be- zeichnen mit A, den spiegelsymmetrischen Punkt yon A bezilglich dieser Tangentialebene und berechnen das Minimum der Strecke A~B, wenn die Tangentialebene variiert.
Bezeichnen wir mit B' die Projektion yon B auf die Basis des Zylinders K, so erhalt man:
A ,B ---- Vk' + (A,B')
und unsere Frage ist auf das ebene Problem zurtickgeffihrt, das darin besteht, das Minimum yon AtB' abzuschatzen.
Anuali di Mat~matica, S~l ' io r ' v , ' l 'o t t lo I I . 40
"314 C. CARATH]~ODORY: Ueber geschlosscne Extremaleu
26. W i r b e z e i c h n e n (s. F ig . 3) m i t :¢ deu g e g e b e n e n W i n k e l A O B ' und
m i t ~ deu v e r h n d e r l i c h e n W i n k e l A O P ; dam~ g e l t e n im D r e i e c k A , A B ' fol-
g e n d e R e l a t i o n e n :
. . . . . : . . , . . . . . ( ) • ' . . / ... i ".~ ! "
\ " -~ . . / \ lsl ~ .." / -'~:- . . . . . . . . . . . . '-'; W i t setzen z u r A b k i J r z u n g
d a n n w i r d
]~'ig. 3. COS A~AB' - - sin u
A A , --" 2 A M - - 2 [ ( r + h) - - r cos if]
A B ' = 2~' sin
A I A B ' ~ A N O
und d a s D r e i e c k A , A B ' l i e f e r t d ie R e l a t i o n :
1 [ ( a ) ] 2 _ t - (A ,B ' ) ~ = (~" + h) - - ~'cos ~ + u
I, (:)1 - - 2 r - t - h ) - - - r e o s + u r
0~ ~'~ sin" ,~
sin ,~ sin u.
D u r c h A u s r e c h n e n d i e s e s A u s d r u c k s f inde t m a n n u n :
( A , B ' ) ~ - - ( r + h) ~ + i .2 cos "~ u - - 2~( r + h ) c o s ~ cos u
-~ ( r + h) 2 sin ~ :¢ + ( r cos u - ( . + h) cos ,~ 2
(r -t- h) ~ sin 2 2"
F t i r d ie Li~nge l j e d e r K u r v e , d ie A m i t B v e r b i n d e t und d e r e n g rOss te r
A b s t a n d yon d e r t - A c h s e g l e i c h (1' A - h ) ist, h a b e n w i r d e m n a c h die R e l a t i o n :
V (19) l__~ k" -t- ( r -I- h)~ sin~- ~.
und periodische Variationsprobleme 315
27. Wir kehreu je tz t zu unserem Var ia t ionsproblem (18) zurt lck und
beze ichnen mit 7 eine beliebige Vergle ichskurve , deren Endpunk te A o und B 0
auf e inem Kre i szy l inder liegen, dessert Achse die t-Achse ist und der den
Radius ~'o besitzt. Bezeichnen wir je tz t mit h und a dieselben geometri-
schen Gr6ssen wie oben und mit ~-~ das Maximum der En t fe rnung deE"
K u r v e 7 yon der t-Achse, wobei auch ~'~ = % sein kann, wenn 7 ganz im
Inneren des be t rach te ten Zyli l lders bleibt, so ist die L&nge yon 7 mindes tens
gleich
2 " 2 0~ i k ~ A- 4 r i SEn ~ .
In j e d e m Punkte von 7 ist aber, wegen der Vorausse tzungen fiber ~(~'0-),
V I + r,~(~ ,) > VI + :~(:).
Der W e r t J unseres Kurven in tegra l s lhngs "( gentigt also der Rela t ion:
J ~
y 6¢ k ~ -4- 4~'~ s in s 2
V l ,2 2 + ~ :¢(ri)
W i t lassen je tz t bei kons tan t geha l tenen k und a die Gr6sse r o im Inter-
valle 0 < % =< ~ variier(~n und whhlen dabei die Kons tau ten h und a so, dass
far diese W e r k e von i'
(20) 4 Sill ~ _~Z
2
ist. Da,m ist f(ir alle unsere K u r v e n 7, solange r o < ~'~ =< ~ ist,
(21) J > k.
28. Nachdem wir dies vorausgeschickt haben, kons t ru ieren wir die perio-
dischen Varia~ionsprobleme, die w i t untersuchen wollen, fo lgendermassen : W i t
be t rach ten einen drei-dimensionalen Raum der x , , x . , t, der aus dem soeben
be t rach te ten Raume der x , y , t m i t Htilfe einer Schraubung lhngs der t-Achse
he rvorgeh t . Die Transformat ionsformeln lauten
i x - - x i cos I~t -4- x~ sin I_tt
(22) i y - - - - x~ sill l~t -4- X 2 COS ~tt.
316 C. CARATKI~ODORY: Ueber geschlossene Extremalen
Hieraus folgt dutch Differentiation
ob ' + y - = (oh, + g x , ) ' + ( x , - gx,) ' - ,
sodass unser Variationsproblem die endgttltige Gestalt annimmt:
I ] / 1 - + - ( x ~ A - I~X2)~q - ( x , , - I~X,) ~ f(x, , x 2 , x i , x = ) - ~ - V 1 -4- r = ~ ( r ~) (23)
In diesem Variationsproblem kommt die Variable t nicht vor, und wit
k0nnen daher annehmen, dass es periodisch ist und die Periode Eins hat.
29. Wir setzen in den letzteu Formeln
2 ~
wobei m eine ganze Zahl bedeutet, die nicht kleiner als 2 ist.
Betrachten wit nun im Rafime der x~, x~, t zwei Punkte A und B, die
um n Perioden voneinander verschieden siud, so entsprechen ihnen zwei
Punkte A uud B im Ramne der x, y, t, die auf der Mantelflgche eines
Kreiszylinders liegen, dessen Achse die t-Achse ist und far welche mit den
Bezeichnungen der §§ 25 u. 26
2nr= (24) h = n ~ - -
JJ~
gesetzt werden muss.
Dureh Spezialisierung der Funktion ~(.,'~) erhalten wir einen Einbliek tiber
die versehiedenen Verhgltnisse, die hier eintreten k0nnen.
3 0 . E r s t e s B e i s p i e l . - - Wit setzen
.und
(25)
~(r ') = c"
4 sin ~- ~ 'J~t
( m - - 1) '~ "
Bemerken wit" nun, dass ftir n = 1, 2,..., ( m - - 1 ) nach (24)
sin~ nr~ > sin' n h ~ ( m - 1) u n d s i n * ~ = m = ~;-~
und periodische Variationsprobleme 317
ist, so sehen wir, dass nach (25) die Bedingung (20) erftillt ist. Hieraus folgt,
dass ffir unser Problem die betreffenden Abschnitte der t-Achse gegent~ber
allen periodischen Vergleichskurven, ftir welctm die Periode l, 2,..., ( m - 1)
ist, ein starkes Minimum liefern. Fi'~r die pe~'iodischen Vergleichshurven mit der Periode m liefert abet das entsprechende Stitch der t-Achse hein Minimum.
In der Tat kann man jetzt als Vergleichskurve im Raume der (x~, x~, t)
das Bild einer Erzeugeaden des entsprechenden Zylinders im Raume der (x, y, t) wi~hlen, ftir welche das Integral stets kleiner als m ist.
Es ist selbstversti~ndlich (cf. § 21), dass der Poiacardsche Satz hier nieht
mehr gilt. Jeder Punkt der t-Achse besitzt sogar hier einen konjugierten
Punkt im Abstande e ' was sehr leicht auszurechnen ist.
31. Zwe i t e s Be i sp i e l . - - W i r s e t zen
c¢(r~i ~ r ~.
Ist dann n nicht durch m teilbar, und verlhuft eine periodische Vergleichs-
kurve mit der Periode n innerhaib eines Zylinders mit dem Radius
2 sin -
so folgt aus (20), dass das Kurvenintegral einen Wert J ~ n besitzt. Die
t-Achse liefert also ein starkes Minimum ftir hinreichend benachbarte perio-
(]ische Vergleichskurven mit der Periode n.
I,~t aber n : m oder gleich einem Vielfache~ yon m, so sieht man wie
oben, dass kein Minimum vorhanden sein kann.
32. Wir halten jetzt im letzten Beispiel all der Grundperiode Eins fest
und lassen m variieren. Dann {blgt aus unseren fri|heren Ueberlegungen, dass
ftir irrationale Werte von m allen periodischen Kurven mit der Periode n,
wean sie in einer gewisseu Nachbarschaft der l-Achse bleiben, eill Wert
, / ~ n des Kurvenintegrals entspricht. Ist dagegen ~J, rational, z. B. gleich p:q, so gibt es periodische Kurven mit der Periode p ftir welche J ~ p ist.
33. Herr RADON hat bemerkt, dass es im Raume periodische Variations-
probleme mit der Periode Eins gibt, f(ir welche allen periodischen Kurven
mit diesel" Periode eil~ Wer t J ~ I o des Kurvenintegrals el~tspricht, w;,Lhrend
318 C. CARhTHEODORY: Ueber geschlossene Ex t remalen
auf der t-Achse die au fe inande r fo lgenden kon jug ie r t en Punk te die k le ins te
noch e r l aub te E n t f e r n u n g Eins bes i tzen (cf. § 5).
Da das Beispiel, das er in d ieser Hius icht publ iz ier t ha t (~), den ges te l l ten
Anfo rde rungen nicht gentigt, hat er ein aude re s kons t ru ier t , das e r vor
K u r z e m im Bd. IV der H a m b u r g e r Abhaud lungen ver6ffent l icht hat. Man
erhhl t a b e r ein viel e in facheres und geomet r i s ch durchs ich t ige res Variat ions-
problem, wenn man den urspr t ingl ichen G e d a n k e n yon RADON, der dar in
besteht , eine n ich teukl id i sche Massbes t immung zu benu tzen , k o n se q u e n t
durchf t ihr t .
34. Die OberflO~che der E inhe i t skuge l
~"- + ~ + ~ + ~ ~ 1
im v ie rd imens iona len Raum der ~, ~, ~, z, kaml nhmlich mit Hilfe
P a r a m e t e r n x , y , t fo lgendermassen darges te l l t w e r d e n :
(26)
_ 1 - - x ~ - y ~ c o s u t 1 -~- x ~ -& y~
1 - - x 2 - - y~ sin ~:t - - l -I- x ~ + y"
2 x 1%- x ~ -4- y.z
2y 1 --~ x ~ + y"
Ftir x ~ + y ~ l und - - l < ~ t ~ l w e r d e n alle P u n k t e d ieser
A u s n a h m e der jenigen , die auf dem Kre i se ~ ~ ~ ----- 0, ~ -I- z ~ ----- 1
gestell t .
Aus (26) folgt ftir das L i n i e n e l e m e n t auf der Kuge l
(27) d~ 2 + d~ ~ + d~ "2 + dz ~ = r: ~ _~_ x~ + y . ] + 4
yon drei
Kugel mit
l iegen dar-
d x " + d y ~
(1 + x 2 -I- y~)~ "
Nun sind die geoda t i schen Linien auf der Kugel gegeben durch die grOssten
Kreise , de ren Gle ichungen gesehvieben w e rd e n k 6 n n e n :
= ~ + ~
(It t~. ~. O. p. 204
und periodische Variationsprobleme 319
t f i e rbe i b e d e u t e n
man h i e r a u f :
~, ~, y, ~ I n t e g r a t j o n s k o n s t a n t e n . Mit Ha l f e
2X I - - X " - - y ~
- - :¢ cos r~t --b ~ sin u t
x, on (26) fin(let
(28)
S e t z t m a ~
2y 1 - - x '~ - - y~ = 7 cos u t -b ~ sin r~t.
cos u t -I- ~ sin r:t = A
7 cos u t -t- 8 sin ~t = B
t - - x " - - y ~ - - - ) , ,
,so tblgt aus den v o r h e r g e h e n d e n G l e i c h u n g e n
und h i e r a u s
(29)
I 2 x = - ) , A , 2 y - - ) . B
I 4(1 - - ) . ) A~ B~
A B
I + V I + A , . , + B ~, Y - - 1 -4-V1 + A ~ + B ~"
W i r s e t z e n j e tz t , h h n l i c h wie im § 28
x~ = x cos ~t --t- y sin 7it, x 2 -- x sin 7:t - - y cos r:t
und e r h a l t e n aus (28) und (29) f a r die a l l g e m e i n e G l e i c h u n g de r E x t r e m a l e n
(3o)
1 (a -t- ~) %- (a - - ~) cos 2ut -+- (~ -4- 7) sin 27:t
t 2 2 cos 2z~tq.(a[~+7~) sin 2u t
1 (~ - - y) - - (~ + y) cos 2r~t + (~ - - ~) sin 27:t
l q - | / 1 - 4 - 2 ~ 2 cos 27:t+(a~+y~) sin 2r~t.
D ie
l a u t e t : F u n k t i o n u n t e r d e m I n t e g r a l des t r a n s f o r m i e r t e n V a r i a t i o n s p r o b l e m s
(31) f = 2 2 2 t V ~ ( 1 - x t - xe) + 4((x , ' + ~x , ) 2 -,- (x.2 - ~zx,) ~)
2 2 1 - b x t + x ~
Diese s V a r i a t i o n s p r o b l e m ha t n a c h (30) l a u t e r p e r i o d i s c h e E x t r e m a l e n mi t
de r P e r i o d e E ins und a u f j e d e r E x t r e m a l e n s ind die k o n j u g i e r t e n P u n k t e g e n a u
320 C. CARATH2EODOP.Y" Uebs*" geschloss,ne Exfrematen~ etc.
um eine Periode voneinander entfernt. Der Wer t des Integrals tangs einer
Extremalen zwische~l zwei aufeinanderfolgenden konjugierten Punkten ist be-
stitndig gleich =.
Das Variationsproblem
f* = (1 + (x~i + x~)')f
besitzt nun auf der t-Achse dieselbe Variationsgleichung wie (31); hier sind
also wieder die konjugierten Punkte um eine Peviode voneinander entferl~t.
FtIr jede periodische Vergleichskurve, die nicht mit der t-Achse zusammen-
fitllt, ist abet der Wer t J des Kurvemntegrals fiber eine Periode genommen
gr(isser als I o .
M'tinehell: dea 5 ~e'~ Febrtear 1925.
