Uber Potenzreihen mit ganzen algebraischen Koeflizienten.

Von ft. P()LYA in Ziirich.

Ich schlie~e reich der gleichnamigen Arbeit yon Herrn PETERSSON an 1) und betraehte eine Potenzreihe ~)

(1) ao + Ofl ofn 7- 7 + " + . . . . f(z),

deren siimtliche Koeffizienten uo, al , as, �9 �9 �9 einem algebraischen Zahl- k6rper k vom Grade N angehOren. Die zu k konjugierten K(irper sollen k (1), k(2), . . . , k ~ST) heil~en, die in k m liegende Konjugierte yon a,, sei mit al~) bezeichnet, und unter der in k m liegenden, zu (1) konjugierten Reihe ist

"(o ~ aT an m (2) • + 7 + . . �9 + 7 ~ + . . . . ~ ( z )

zu verstehen. Diese Definition kann durch den folgenden Satz erli~utert werden:

I. Hat eb,e der _A T konjugierten Reihen j~ (z) die Eigenschafl, eine rationale Funktion darzustellen bzw. einer algebraischen Gleichung bzw. einer qlgebraischen Differentialgleichung (formal) zu geniigen, so haben auch die iibrigen N - - 1 konjugierten Reihen dieselbe Eigenschaft.

Den einfaehen Betrachtungen, mit welchen man verwandte Fragen fiir rationalzahlige Potenzreihen zu behandeln pflegt'), mu~ man, um Satz I zu erhalten, im wesentlichen nur die Tatsache hinzufiigen, da~ die Zahl 0 nur zu sich selbst konjugiert ist.

Die Reihe (1) soll als ganzzahlig b.ezeichnet werden, wenn ao, a~, a s , . . . ganze Zahlen yon k sind; alle N Konjugierten einer ganzzahligen Reihe. sind offenbar ebenfalls ganzzahlig. Einen yon Herrn 1)ETERSSON a.a.O. bewiesenen Satz kann man unter Hinzuziehung geeigneter funktionen- theoretischer Begriffe 4) zu der folgenden Aussage erweitern:

x) Diese Abhandlungen, Bd. 8 (1931), S. 315-322. 2) Die Anordnung nach abnehmenden (statt nach zunehmenden)Potenzen ist an

und fiir sich unwesentlich und wird hier nur herangezogen, um den nachfolgenden Satz II einfacher formulieren zu kSnnen.

3) Vgl. z. B. G. PdLYA und G. SzF.G6, Aufgaben und Lehrstttze aus der Analysis, Bd. 2, Nr. VIII 149--151, S. 141 und S. 355.

4) Vgl. G. PdLYA, Math. Annalen, Bd. 99 (1928), S. 687--706, wo auch Verweisc auf die,Arbeiten yon M. FEKETE U.a.

402 G. P61ya.

II. Die N konjugierten Reihen (2) seien ganzzahlig, keine unto" ihnen sei stets divergent, und es soll dia analytische Fortsetzung yon fi(z) reguldr und eindeutig sein auflerhalb tier abgeschlossenen Punktmenge ~I~, deren transfiniter Durchmesser vi sei. 1st

(3) ~1 v2 ~a "'" v N ~ 1,

so sind die Funktionen f i (z) sdmtlich rational Zum Beweis dieses Satzes kann nlan ganz analog verfahren, wie

Herr PETERSSON a. a. 0., nur mt~ man etwas weiterreichende, ebenfalls schon bekannte funktionentheoretische Mittel heranziehen. Man betrachtet das Produkt von N konjugierten rekurrenten Determinanten

a(s) ~0) . . . a(~) [ 0 --I n I ,,,(i) ,~(0 ,(4) (4) H - i -2 . . . . n+l .

i : 1 a(*~ a(i) . . . a (z)

n n + l 2n

Einerseits ist (4) die Norm einer algebraischen ganzen Zahl, Wenn der Betrag von (4) kleiner als I ausf~tlt, so verschwinden alle N Faktoren yon (4). Andererseits ist 5) die n~-te Wurzel aus dem Betrage von (4) kleiner als ~x v.~--, v~v~-e bei beliebig kleinem positiven e ffir geniigend grofies n; vgl. nun (3). Ferner folgt, nach KRONECKER, aus dem Ver- sehwinden des /-ten Faktors yon (4), daft ]~ (z) e ine rationale Funktion darstellt.

Beachtet man, daft der transfinite Durchmesser einer abz~hlbaren abgesehlossenen Punktmenge ~ 0 ist6), so erh~lt man aus Satz H das folgende Korollar:

III. Wenn keine zu der ganzzahligen, im Zahlk6rper k liegenden Reihe (1) konjugierte Reihe stets dive~yiert und die Reihe (l) keine ratio- nale Funktion darstellt, so besteht die Alternative:

Entweder ist die dutch f (z) da~yestellte Funktion mehrdeutig, oder sie hat nichtabziihlbar unendlich viele sing.uliire Punkte.

5) A. a. 0 . 9 , S. 689, Fo rme l (8). ~) A . a . 0. 4), S. 695;~ zum nachfo lgenden Sa tz I I I vgl . noch S. 704.