Ubungsaufgaben zur Analysis

Serie 1

1. Multiplizieren Sie folgende Klammern aus:

A) (x + 3y)(2 + 4a + 4b)

B) (a2 − b2)(x + 3y − 4)

C) (3 + x)(7 + y) + (a + b)(3 + x)

Uberprufen Sie die Ergebnisse durch Einsetzen spezieller Zahlen fur die auftretenden Variablen!

2. Multiplizieren Sie folgende Klammern aus:

A) 6a(−3a + 5b − c)

B) (2x − 6y)(−x − 2y)

C) (x − y)(x + 2y)(a − b)

3. Berechnen Sie durch Ausmultiplizieren!

A) (a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b)

B) (a − b)3 = (a − b)(a − b)(a − b)

4. Berechnen Sie!

A)

2x3y

4a3b

B)a + b

c + d:a − bc − d C)

2xyxx2y2x

5. Berechnen Sie!

A)1

5+

1

9B)

1519

C)1

5·

1

9

D)13

+ 27

29

+ 53

E)25− 16

111· 215

:73

227

+ 415

6. Berechnen Sie in Form eines Bruchs!

A)x

2+y

3+z

aB)

a

x+

b

x − y C)

ab− xy

ab

+ xy

7. Bestimmen Sie alle reellen Zahlen x , fur die folgenden Ungleichungen gelten. Beachten Sie, dass

auftretende Nenner auch negativ sein konnen und die auftretenden Ausdrucke eventuell nicht

definiert sind.

A) − 3x + 2 < 4x − 9

B) ax − bx > Kx

C)3x − 1

2x + 2> 1

D)x − 1

x + 2≤ 4

1

8. Bestimmen Sie alle reellen Zahlen x , fur die folgenden Ungleichungen gelten.

A) x2 − 3x + 2 < 0

B) x2 − 2x + 1 ≤ 0.

9. Bestimmen Sie das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 4; 12; 26; 39 mit Hilfe der Zerle-

gung in Primzahlen.

Serie 2

1. Fassen Sie folgende Ausdrucke zu einem Bruch zusammen

A)1

u2x2−

2a

ux+

a

ux3

B)2

a10−

4

a6b4+

5

b8

C)1

r n−2−r 2 − 1

r n+1+

r

r n−1.

2. Vereinfachen Sie folgende Ausdrucke

A) a−4a2a−1

B) (x2 − y 4)3(x2 − y 4)−3

C) (x1−q)1+q

3. Der Bruchx2y−3z5

u−2v−1

soll so umgeformt werden, dass keine negativen Potenzen auftreten!

4. Der Doppelbrucha2b−4

c2:b−4a−3

a−1c−2

soll so umgeformt werden, dass gar kein Bruch mehr auftritt.

5. Berechnen Sie folgende Binomialkoeffizienten

A)(184

)B)(1013

)C)(496

)= Anzahl der moglichen Tipps beim Lotto

6. Berechnen Sie mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes

A) (x − y)5

B) (2u − 3v)4

7. (Zinsrechnung) Betragt der Zinssatz p%, so ist das Anfangskapital K0 nach einem Jahr auf

K1 = q ·K0 angewachsen, wobei q = 1 + p100

gesetzt wurde. Auf welchen Betrag wachsen

A) 6000 Euro bei einem Zinssatz von p% = 5% in 10 Jahren?

B) 150000 Euro bei einem Zinssatz von p% = 7, 3% in 25 Jahren?

C) 8000 Euro bei einem Zinssatz von p% = 413

% in 7 Jahren?

2

8. Auf welchen Betrag wurde 1 Cent bei einem Zinssatz von 2% in 1000 Jahren anwachsen?

9. In wieviel Jahren verdoppelt sich eine zu einem Zinssatz von 5% angelegtes Kapital?

10. Ein Stiftungskapital von 100 000 Euro soll 20 Jahre zu einem Zinssatz von 6, 25% angelegt

werden. Danach sollen die Zinsen zur Forderung von Studenten verwendet werden. Wie hoch

ist der jahrlich zur Verfugung stehende Forderbetrag, wenn der Zinssatz unveranderlich 6, 25%

betragt.

11. Berechnen Sie folgende Logarithmen durch Ruckfuhrung auf den dekadischen oder den naturli-

chen Logarithmus, indem Sie direkt die Definition des Logarithmus verwenden.

A) log3 7

B) log0,5 25

12. Berechnen Sie folgende Werte direkt mit dem Taschenrechner und mit Hilfe des naturlichen Lo-

garithmus und der Exponentialfunktion unter Verwendung des Taschenrechners: 1, 61,7; 2, 3−0,8;

0, 52,5; 0, 5−2,5.

Serie 3

1. Begrunden Sie, ob durch folgende Vorschriften f (x), x ∈ R reelle Funktionen definiert werden!

A)

f (x) =

{1− x2 fur |x | ≥ 1

x2 − 1 fur |x | < 1,

B)

f (x) =

1 wenn x

3ganzzahlig ist

0 wenn x2

ganzzahlig ist

−2 sonst

.

2. Bestimmen Sie den Definitionsbereich und den Wertebereich der Funktionen, die durch folgende

Ausdrucke gegeben sind.

A) f (x) = x2 − 4

B) f (x) = x3 − 4

C) f (x) = x4 − 4

D) f (x) =x2 + 3

x − 2

E) f (x) =

{x2−x−2x−2 wenn x 6= 2

2 wenn x = 2.

3. Gegeben sei die Funktion f (x) = x4 − 2x + 1. Entscheiden Sie, ob folgende Punkte (x, y)

(0, 0); (0, 1), (2, 13); (−1, 0)

auf dem Graphen der Funktion f liegen!

3

4. Es bezeichne I(a,b] die Indikatorfunktion des Intervalls (a, b], d.h.

I(a,b](x) =

{1 fur a < x ≤ b0 sonst

.

Die Indikatorfunktionen fur die anderen Intervalle [a, b), [a, b], (a, b) sind ahnlich definiert. Sei

f (x) = x · I(−∞,−1](x)− x2 · I(−1,0](x) + xI(0,10](x).

Berechnen Sie f (−5); f (−0, 5); f (1) und f (20). Skizzieren Sie den Verlauf der Funktion f ! Ist

diese Funktion nach oben beschrankt, nach unten beschrankt und beschrankt? Untersuchen Sie,

in welchen Bereichen diese Funktion monoton wachsend bzw. monoton fallend ist!

5. Es sei u(x) =√x ; v(x) = ex und w(x) = sin x. Untersuchen Sie, welche Verkettungen von je

zwei Funktionen bzw. von drei Funktionen moglich ist! Geben Sie die zugehorigen Definitions-

bereiche der so entstandenen Funktionen an!

6. Weisen Sie nach, dass die Verkettung der gebrochen linearen Funktionen

f1 =a1x + b1c1x + d1

und f2 =a2x + b2c2x + d2

wieder eine gebrochen lineare Funktion ist. Bestimmen Sie diese neue Funktion!

7. Bestimmen Sie die Definitionsbereiche der Funktionen f (x), die durch folgende Ausdrucke ge-

geben sind.

A) f (x) =1

x

B) f (x) =x + 3

x − 4

C) f (x) =x

x2 + 1

D) f (x) =x

x2 − 1

E) f (x) =x − 6

x2 − 3x + 2

8. Untersuchen Sie, in welchen Intervallen die folgenden Funktionen monoton wachsend bzw. mo-

noton fallend sind. Geben Sie zusatzlich den Definitionsbereich an. Begrunden Sie Ihre Aussagen

durch Untersuchung der zugehorigen Ungleichungen! Skizzieren Sie den Verlauf dieser Funktio-

nen!

A) f (x) = 2x + 4

B) f (x) = 5− 7x

C) f (x) = 5x2 + 11

D) f (x) = x2 − 5x + 6

9. Untersuchen Sie mit Hilfe einer Skizze, ob die folgenden Funktionen konvex sind!

A) f (x) = 5x2 + 1

B) f (x) = 6x3

C) f (x) = cos x

4

10. Weisen Sie nach, dass die Summe von zwei konvexen Funktionen wieder konvex ist!

11. [x ] sei die großte ganze Zahl, die kleiner oder gleich x ist. Es sei f (x) = g(x−[x ]) die periodische

Fortsetzung der im Intervall [0, 1] definierten Funktion g. Welche Bedingungen muss g erfullen,

damit f in jedem Punkt x stetig ist?

12. Wie mussen die Zahlen a und b gewahlt werden, damit die Funktion

f (x) = axI[0,2](x) + bI(2,4](x) + x2I(4,∞(x)

stetig ist?

13. Bestimmen Sie die eventuell vorliegenden Unstetigkeitstellen der folgenden Funktionen!

A) f (x) = I[2,7](x)

B) f (x) = (x − 2) · I[2,7](x)

C) f (x) = (x − 2)2 · I[2,7](x) + 25I(7,∞)(x)

D) f (x) = x2 · I[0,7)(x) + 49I(7,∞)(x)

E) f (x) =

{x2−1x−1 fur x 6= 1

2 fur x = 1

E) f (x) =

{x2−4x−2 fur x 6= 2

5 fur x = 2

14. Bestimmen Sie die Definitionsgebiete und die Monotonieintervalle der folgenden Funktionen und

bestimmen Sie dort die Umkehrfunktionen!

A) f (x) = 3x + 4

B) f (x) = (x − 2)(x + 3)

C) f (x) = 4ex − 35

D) f (x) = log4(x − 3)

E) f (x) =3√x2 − 1

15. Das Anfangskapital K0 wird angelegt und stetig verzinst mit einem Zinssatz von 8%. Nach

wieviel Jahren hat sich das Kapital verzehnfacht?

16. Unter der Halbwertszeit eines radioaktiven Materials versteht man die Zeit, bis zu der die Halfte

des Materials zerfallen ist. Ist M0 die Anfangsmenge, dann ist Mt = M0e−at die zum Zeitpunkt

t vorhandene Menge. Hierbei ist a > 0 eine vom Material abhangige positive Konstante. Die

Halbwertszeit sei 500 Jahre. Bestimmen Sie die Konstante a! Zu welchen Zeitpunkten sind noch

5% bzw. 1% des radioaktiven Materials vorhanden?

17. Losen Sie folgende Gleichungen nach x auf!

A)√x − 1 +

√x − 4 = 3

B)√x − 1 + 3 = x

C)3√

4 +√

2x + 5 = 3

18. Losen Sie folgende Gleichungen nach x auf!

5 · 1, 04x − 2(1, 04x − 1) = 6

2 · 32x−1 = 7 · 3x+1

3x2+1 = 4 · 22x+1

1 + log x = 2 log(x − 1)

5

Serie 4

1. Weisen Sie folgende Aussage nach. Ist f in x0 differenzierbar, so ist f auch stetig in x0.

2. Berechnen Sie die Ableitung von f (x) = x3 direkt mit Hilfe der Definition!

3. a > 0, a 6= 1 sei eine Konstante. Wie lauten die Ableitungen folgender Funktionen?

A) y = (f (x))a

B) y = (f (g(x)))a

C) y = ag(x)

D) y = af (g(x))

E) y = f (x)g(x)

4. Man bestimme fur

f (x) =

{x2 − ax + 9 fur x < 3x2−ax−2 fur x ≥ 3

,

die Zahl a so, dass f an der Stelle x0 = 3 differenzierbar ist.

5. Man bestimme die Ableitung folgender Funktionen:

A) f (x) = −2x2 + x + 5 G) f (x) = −2x2+x+53x3+7x+5

B) f (x) =√x · ex H) f (x) = (cos x)x

2+4

C) f (x) = x34√x3 I) f (x) = ecos(

√x)

D) f (x) = x2 ln x + 4x

J) f (x) =(x−1x+1

)1/x, |x | > 1

E) f (x) = 3x2 ln x · e−x K) f (x) = cos2(ax) + cos(ax)2

F ) f (x) = cos(−2x3)

Hinweis: In einigen Fallen ist es gunstig die Funktion f in der Form e ln f zu schreiben.

6. Stellen Sie die Gleichung fur die Tangente im Punkt x0 = 2 fur folgende Funktionen auf.

A) f (x) = ex

B) f (x) = 3x2 + 4x − 7

C) f (x) = x2 sin x.

7. Man beweise die Ungleichung

ex ≥ 1 + x

durch Betrachtung der Ableitungen von g(x) = ex − 1− x.

8. Man bestimme die lokalen Extrema folgender Funktionen.

A) f (x) = x2 + x − 6

B) f (x) = 2x3 − 3x2 − 12x + 6

C) f (x) = 4xe−2x

9. Wie muss ein zylindrische Konservendose mit 1 Liter (1000cm3) beschaffen sein, damit sie eine

minimale Oberflache hat?

Hinweis: Ist x der Radius und ist h die Hohe des Zylinders, so gilt fur das Volumen V = πx2 · hund fur die Oberflache O(x) = 2πx2 + 2πxh

6

10. Mit einem Zaun der Lange L soll ein rechteckiges Grundstuck eingezaunt werden. Wie sind die

Seitenlangen a und b zu wahlen, damit der Flacheninhalt maximal wird?

Serie 5

1. Entscheiden Sie in welchen Intervallen die folgenden Funktionen konvex oder konkav sind.

A) f (x) = x4 − 3x2 + 7

B) f (x) = ex

C) f (x) = xex

D) f (x) = sin x

B) f (x) = 0, 5x

2. Bestimmen Sie die Wendepunkte folgender Funktionen.

A) f (x) = 0, 1x3 − 3x2 + 75x + 1000

B) f (x) = 4xe−2x

C) f (x) = x4 − 10x2 + 9

3. Man untersuche die Funktion f (x) = xeax auf lokale Extrema! Skizzieren Sie den Verlauf dieser

Funktion. Machen Sie hierbei eine Fallunterscheidung fur a.

4. Fuhren Sie fur die Funktion f (x) = (x − 1)e−x2 die Kurvendiskussion mit den Punkten 1.

Definitionsbereich,..., 9. Graphische Darstellung durch.

5. Berechnen Sie die Stammfunktionen folgender Funktionen:

A) f (x) = x2 −2

x2+ 7

5√x2

B) f (x) = −4x3 + 6ex −5

x

C) f (x) = 3x2 −4

x3− ex +

27√x

6. Berechnen Sie folgende bestimmte Integrale:

A)

∫ 4−2

(−3x3 + 7x2 + 4x + 5)dx

B)

∫ 41

3√xdx

7. Man berechne die Gesamtflache zwischen der Kurve f (x) = x3 − x der x−Achse und den

Grenzen a = −2 und b = 2.

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