V = V = 0 V - uni-marburg.de · Impuls und Drehimpuls Erhaltungsgr‡–en. Aufgeben wollen wir auch das Prinzip der st‡rungsfreien Messung. Ein ƒMindest-ma–⁄ an Wechselwirkung

PC-II-02 Seite 1 von 17 WiSe 09/10

Teilchen im 1-dimensionalen KastenAuffinden der Wellenfunktion

Die Wellenfunktion muss stetig (kein Sprung) und stetig differenzierbar (kein Knick)sein.

Es ergeben sich folgende Randbedingungen: 1 0 02

1 2

2 3

. ( ) ( ). ( ) ( )� ��

�

�L L

Weiter muss die Funktion normiert sein, d.h. � �*� �dV 1(Die Erl�uterung folgt sp�ter)

Als Ansatz zum Auffinden der Wellenfunktion w�hlen wir:� ( ) sin cosx A kx B kx� �

Aus der 1. Randbedingung ergibt sich: 0 0 0 0 0

01 2� � � � �

� �� ( ) ( ) sin cosA B BB

Aus der 2. Randbedingung ergibt sich: 0 03 2� � � �

� � �

� �

� �( ) ( ) sin

.

L L A kL

kL n bzw k nL

Durch die Einf�hrung der Randbedingungen wurde verursacht, dass nur f�r ganzbestimmte ganzzahlige n-fache von L�sungen gefunden werden �

L(� Quantisierung).

Nach Normierung ergeben sich die Wellenfunktionen als L�sung. � �n L

nL

x� ��

��

2 sin

Dabei ist �n� eine ganze Zahl mit n = 1, 2, ..., die sogenannte Quantenzahl.

0 L

V = 0 V = �V = �

�1 �2 �3


Das Teilchen wird durch seine Wellenfunktion repr�sentiert. In einem Kasten derL�nge L kann ein Teilchen durch mehrere Wellenfunktionen repr�sentiert werden.Das Teilchen kann bei einer Messung eine der Wellenfunktionen einnehmen.

Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens in Abh�ngigkeit vom Ort erh�lt manaus dem Quadrat der Wellenfunktion. F�r den untersten m�glichen Zustand (n = 1)erh�lt man die maximale Aufenthaltswahrscheinlichkeit in der Mitte des Kastens. Dien�chste m�gliche Aufenthaltswahrscheinlichkeit (n = 2) zeigt jedoch gerade in derMitte des Kastens �berhaupt keine Aufenthaltswahrscheinlichkeit. (Dies ist�klassisch� unsinnig bzw. unm�glich.)

Teilchen im Kasten

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0% 20% 40% 60% 80% 100%

X [% von L]

Wel

lenf

unkt

ion

n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5

Teilchen im Kasten

00,20,40,60,8

11,21,41,61,8

2

0% 20% 40% 60% 80% 100%

X [% von L]

Aufe

ntha

ltswa

hrsc

hein

lichk

eit

n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5


Mathematische Formulierung der Quantenmechanik

Einige Gr��en haben sich als Erhaltungsgr��en in der klassischen Mechanikherausgestellt. Es darf zu keinen widerspr�chlichen Interpretationen zwischenklassischer und quantenmechanischer Beschreibung kommen. Daher ist es nahe-liegend, dieselben Gr��en als Erhaltungsgr��en in der Quantenmechanik zupostulieren.

1. ErhaltungsgrÄÅen

Sowohl in der klassischen wie auch in der Quantenmechanik sind Energie, Masse,Impuls und Drehimpuls Erhaltungsgr��en.

Aufgeben wollen wir auch das Prinzip der st�rungsfreien Messung. Ein �Mindest-ma�� an Wechselwirkung ist n�tig, um eine Messung durchf�hren zu k�nnen. DerBegriff Wechselwirkung ist also von zentraler Bedeutung f�r eine Messung, aberauch generell.

2. Messung

Messung bedeutet Wechselwirkung zwischen einem messenden und einemgemessenen System. Ohne Wechselwirkung kein Me�ergebnis. Wechselwirkungbedeutet aber Reduktion auf einige wenige spezielle Zust�nde (Quantisierung) f�rdie �berhaupt eine Wechselwirkung zwischen beiden Systemen (messendes undgemessenes) existiert.

Wir k�nnen keinerlei Aussagen �ber ein System machen f�r �ber alle Zeitpunkte zudenen keine Messung durchgef�hrt wird. Nur zu den (diskreten) Messzeitpunktenerhalten wir ein Messergebnis. Dieses kann nur gewonnen werden, wenn die beiden(gleichberechtigten) Systeme, messendes und gemessenes, miteinander wechsel-wirken.

3. Messergebnis

Zu dem Zeitpunkt der Messung nimmt das gemessene System - verursacht durchdie Messung selbst - einen der m�glichen Zust�nde ein. Die diesen Zustandcharakterisierenden Werte f�r messbare Gr��en k�nnen als Messergebnis erhaltenwerden. Die m�glichen Messwerte nennt man Eigenwerte.

Zu allen Zeitpunkten an denen keine Messung durchgef�hrt wird, befindet sich dasSystem in einer �berlagerung aller m�glichen Zust�nde (Eigenzust�nde).Superpositionsprinzip (Schr�dinger�s Katze)

Um Messergebnisse vorherberechnen zu k�nnen, brauchen wir eine mathematischeRepr�sentation unserer Theorie(n).


4. Mathematische ReprÇsentation

Teilchen wie auch Wellen wollen wir einheitlich als Wellen mathematischbeschreiben.

Die Wellenfunktion enth�lt alle Informationen die �ber ein Teilchen/eine Welle�berhaupt m�glich sind.

Die Wellenfunktion selbst kann nicht beobachtet (gemessen) werden. In der�Regel ist die Wellenfunktion eine komplexe (dreidimensionale) Funktion.

Die Messung wird durch Anwendung eines Differentialoperators auf dieWellenfunktion dargestellt. Zu jeder m�glichen Messung gibt es einen�korrespondierenden Operator .��

Die m�glichen Messwerte, d.h. Eigenwerte , erh�lt man durch Anwendung des�Operators auf die Wellenfunktion . Eigenwerte sind die Ergebnisse, die die�� Wellenfunktion - bis auf einen Vorfaktor der keine Wellenfunktionsanteile mehrenth�lt - reproduzieren. Nur Eigenwerte sind m�gliche Me�ergebnisse.

Operatoren, als nichtlineare Funktionen, sind in der Regel nicht in der Reihenfolgevertauschbar. Es muss die Reihenfolge der Ausf�hrung strikt beachtet werden.

Zur �bertragung von Formeln aus der klassischen Mechanik ersetzen wir die Gr��edie gemessen werden soll durch den zugeh�rigen Operator. Sofern wir einenEigenwert erhalten, so ist dies einer der m�glichen Me�werte.

Der bekannteste Operator ist der Energie-Operator oder Hamilton-Operator .�H

�

��

��

� � � �� 1 2 2 1�

�H E� ��


Formulierung quantenmechanischer Gleichungen�bersetzung klassischer in quantenmechanische Gleichungen

Um eine klassische Gleichung in eine quantenmechanische Gleichung zu ��ber-setzen� f�hren wir die Operatoren ein und wenden diese auf die Wellenfunktion an:Beginnen wir einmal mit den Operatoren, die wir f�r die L�sung des �Teilchen-im-Kasten�-Problems ben�tigen.

Die Abk�rzung steht f�r .� � �h

2�

Der Operator wird Nabla-Operator genannt und ist ein vektorieller��

�

�

��

�

�

��

��

x

y

zOperator.

Meist wird einfach nur statt geschrieben. Der Operator wird Laplace-�� 2

Operator genannt und ist das Skalarprodukt des Nabla-Operators:

1 3

2 2

2 2

2

22

D D

Energie E E Em x

Vm

V

Impuls pi x i

Ort r x r

kin pot� � � � � � �

�

� �

� � � �

� �

��

��

� � � �22

2

2

2

2

2��

��

��x y z


Den Drehimpulsoperator k�nnen wir analog zu dem klassischen Drehimpulserrechnen:

� � �L r pxyz

ix

iy

iz

i

yz

zy

zx

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xy

yx

� � �

�

�

��

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��

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�

��

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��

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�

�

�

��

��

��

��

��

��

��

Fassen wir die uns nun bekannten Operatoren zusammen, so lauten diese:

� � �L r p� �

�

�

�

�

r r

Em

V

p i

L i r

�

� � � �

� � �

� � � �

�

�

��

��

22

2


Quantenmechanik des Teilchens im 1D-Kasten

Wie wir bereits gezeigt haben, sind die normierten Wellenfunktionen des Teilchensim Kasten:

Dabei ist n eine ganze Zahl mit n = 1, 2, ..., die sogenannte Quantenzahl.

Die Wellenfunktion hat keine physikalische Bedeutung bzw. ist nicht me�bar.

Das Teilchen wird durch seine m�glichen Wellenfunktionen repr�sentiert. In einemKasten der L�nge L kann ein Teilchen durch mehrere Wellenfunktionenrepr�sentiert werden. Das Teilchen wird bei einer Messung eine derWellenfunktionen einnehmen.

0 L

V = 0 V = �V = �

�1 �2 �3

� �n L

nL

x� ��

��

2 sin

Teilchen im Kasten

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0% 20% 40% 60% 80% 100%

X [% von L]

Wel

lenf

unkt

ion

n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5


Aufenthaltswahrscheinlichkeit

Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens in Abh�ngigkeit vom Ort erh�lt manaus dem Quadrat der Wellenfunktion.

F�r den untersten m�glichen Zustand (n = 1) (rote Kurve) erh�lt man die maximaleAufenthaltswahrscheinlichkeit in der Mitte des Kastens. F�r n = 2 (orange Kurve) istdiese jedoch gerade in der Mitte des Kastens Null. Dies ist �klassisch� unsinnig bzw.unm�glich.

A x x xn n n( ) ( ) ( )*� ��

Teilchen im Kasten

00,20,40,60,8

11,21,41,61,8

2

0% 20% 40% 60% 80% 100%

X [% von L]

Aufe

ntha

ltswa

hrsc

hein

lichk

eit

n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5


Erwartungswert des Ortes

Bei einer Vielzahl von Messungen des Ortes des Teilchens k�nnen wir �ber dasErgebnis einer einzelnen Messung keine Vorhersagen machen. Wenn jedoch einestatistisch gro�e Anzahl von Messungen durchgef�hrt wird, dann k�nnen wir vorher-sagen, welchen Wert wir erwarten im Mittel vorzufinden, den Erwartungswert.

Die zugeh�rige Stammfunktion findet man in Tabellenwerken oder unterhttp://integrals.wolfram.com/index.jsp

Damit ergibt sich als Erwartungswert des Ortes:

Der Erwartungswert f�r eine Ortsmessung ist also die Mitte des Kastens.

x x dx

LnL

x xL

nL

x dxL

x nL

x dx

n n

L L

�

� ��

��

��

��

� ��

��

�

� �

� �

� � �

*

sin sin sin2 2 2

0

2

0

x ax x x axa

axa

sin ( ) sin( ) cos( )22

242

42

8� � ��

xL

x x nL

x

nL

nL

x

nL

LL L n

LL

nL

nL

L

nL

nL

nL

nL

nL

L

� �

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��

��

��

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��

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��

� �

��

��

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��

��

��

� �

��

��

��

��

��

24

2

4

2

8

24

2

4

2

8

04

0 2 0

4

2 0

8

2

2

0

2

2

2

sin cos

sin cos sin cos

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

��

��

�

�

��

�

�

��

� ��

��

��

��

�

�

��

�

�

��

�

2

2

2 2

24

1

8

1

82L

LnL

nL

L� �


Eigenwerte der Energie

Um zu pr�fen, ob es Eigenwerte der Energie gibt, m�ssen wir die Schr�dinger-Gleichung f�r das Teilchen im Kasten l�sen.

Da wir annehmen (siehe oben), dass das Potential innerhalb des Kastens gleichNull und au�erhalb gleich unendlich ist, ist der einzige Energiebeitrag die kinetischeEnergie. Es ist also zu l�sen:

Setzen wir die ein, dann ergibt sich:� n

Das Teilchen im Kasten besitzt also Energieeigenwerte die au�er von der Massedes Teilchens vom Quadrat der L�nge des Kastens abh�ngen.

Da n = 1, 2, 3, .... ist, ist die niedrigste m�gliche Energie . Die Energie E hmL1

2

28�

E = 0 kann nicht vorkommen! Diese kleinste m�gliche Energie nennt manNullpunktsenergie. Eine derartige Energie ist in der klassischen Physik nichtbekannt. Wir werden noch sehen, dass diese Energie f�r sehr wichtige Effekte

H E� ��

� ��2 2

22m xE�

��

� � � ��

��

��

��

� � ��

��

��

��

� � ��

��

��

� ��

��

��

��

� � �

� �

�

�

�

2 2

2

2 2

2

2

2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 22

22

22

22

8

m x m x LnL

x

m L xnL

nL

x

m LnL

nL

x

mnL L

nL

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h nmL

n

n

n

��

� ��

�

��

� �

� �

� �

��

�

sin

cos

sin

sin

22

2

22

2

8

8

� � � �

�

hmL

E

mit E n hmL

n n n

n

� �


verantwortlich ist.

Anmerkung: Um den Term Nullpunktsenergie besser in der Formel abzubilden,findet man in manchen Quellen f�r die Energieniveaus des Teilchens im Kasten

auch die Formel mit n = 0, 1, 2, ... und .E n hmLn � �( )1

82

2

2 E hmL0

2

28�

Wie wir leicht sehen, ist eine Vergr��erung der Teilchenmasse m mit einerproportionalen Abnahme der Energieniveaus verbunden. Eine Vergr��erung derKastenl�nge L jedoch f�hrt zu einer �berproportionalen Abnahme (quadratisch) derEnergieniveaus.

Die Energieniveaus des Teilchens im Kastens k�nnen mittels spektroskopischerMethoden nicht direkt beobachtet werden. Die Aufnahme bzw. Abgabe vonPhotonen misst den Energieunterschied zwischen den erlaubten Niveaus.

Eigenwerte des Impulses

Wir pr�fen nun, ob der Impuls des Teilchens im Kasten Eigenwerte hat:

Der Impuls hat also keinen Eigenwert und l�sst sich nicht scharf messen.

(Frage: Wie sieht es aus, wenn wir unterteilen in Teilchen die nach �links� undTeilchen die nach �rechts� fliegen?)

m � 2m L � 2L

� ��E n nhmL

E h passendes PhotonEnergieniveaus

photon

� �

�

22

12

2

28� (' ' )

� sin cospi x i x L

nL

xi

nL L

nL

x p��

��

� � ��

��

��

��

��

� � �2 2


Die Eulersche IdentitÇt

Wir k�nnen Wellenfunktionen als trigonometrische Funktionen darstellen. Diesehaben aber recht �schwierige� Rechenregeln.

Praktischer ist es Wellenfunktionen als komplexe e-Funktionen darzustellen.

Dabei k�nnen folgende Umrechnungsformeln verwendet werden:

e kx i kx

e kx i kx

ikx

ikx

� �

� ��

cos sin

cos sin

bzw.

Addition e e kx

Subtraktion e e i kx

ikx ikx

ikx ikx

: cos

: sin

� �

� �

�

�

2

2

bzw.

cos ( )

sin ( )

kx e e

kxi

e e

ikx ikx

ikx ikx

� �

��

�

�

�

12

2


Der Tunneleffekt

Wir wollen eine Wellenfunktion konstruieren, die von -� bis +� definiert ist.

Als Testfunktionen wollen wir verwenden:

�

�

�

1 1 2

2 1 2

3 1 2

( )( )( )

' '

x A e A ex B e B ex C e C e

ikx ikx

k x k x

ikx ikx

� �

� �

� �

�

�

�

Es wird angenommen, dass au�erhalb der Barriere der Wellenvektor k ist und inner-halb der Barrier k�.

Die zu erf�llenden Randbedingungen sind:

1 0 02

3

4

1 2

2 3

10

20

2 3

. ( ) ( ). ( ) ( )

. ( ) ( )

. ( ) ( )

� ��

��

��

��

��

��

�

�

L L

xx

xx

xx

xx

L L

In den Testfunktionen sind insgesamt 6 Variablen zu bestimmen, wir haben aber erstvier Randbedingungen aus der Forderung nach Stetigkeit und Stetig-Differenzierbar-keit der Wellenfunktion.

Wir gehen davon aus, dass es bei nur eine auslaufende Welle (~ C1) aber keine� 3

r�cklaufende Welle gibt (d.h. C2 = 0).

Da wir immer noch eine Gleichung zu wenig haben, um das Gleichungssystemeindeutig zu l�sen, ziehen wir uns auf die Bestimmung des Verh�ltnisses zweierVariablen zur�ck, und zwar der Amplitude der einlaufenden Welle A1 und derAmplitude der auslaufenden Welle C1.

Physikalisch interpretierbar ist das Verh�ltnis des Quadrates der beiden Amplituden,denn es gibt an, wie wahrscheinlich ein Teilchen durch diese Barriere durchtritt. Diesbezeichnet man als Transmission T.

0 L

V = 0 V = V

�1 �2 �3

V = 0Einlaufende Welle ~ A

Reflektierte Welle ~ B

Transmittierte Welle ~ E


Damit ergibt sich:

1234

1 2 1 2

1 2 1

1 2 1 2

1 2 1

... ' '. ' '

' '

' '

A A B BB e B e C eikA ikA k B k Bk B e k B e ikC e

k L k L ikL

k L k L ikL

� � �

� ��

� �

�

�

Wir formen die Gleichungen 3 und 4 um, indem wir durch ik bzw. k� teilen.

Als n�chstes bilden wir (1)-(3) und (2)-(4) und (2)+(4):

Diese drei Gleichungen setzen wir in (1) ein.

A B B A

B B B Bkik

B B

B Bkik

B B

eikk

e eikk

e e C

kik

eikk

e eikk

e e C

k L k L k L k L ikL

k L k L k L k L ikL

1 1 2 2

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

1

1

12

12

12

12

12

12

12

12

12

� � �

� � � � � �

� � � �

� � � ��

��

� � � ��

��

�

� �

� �

( )'( )

( )'( )

' ''

' '

' ' ' '

' ' ' '

eikk

e eikk

ekik

e ekik

e e e C

e e ikk

e e kik

e e e ee C

k L k L k L k L k L k L k L k L ikL

k L k L k L k L k L k L k L k LikL

� � � �

� � � �

� � � � � � ��

��

��

��

��

��

��

��

' ' ' ' ' ' ' '

' ' ' ' ' ' ' '' '

' '

''

12

2 2 2 212

1

1

TCA

� 12

12

� �

12

3

4

1 2 1 2

1 2 1

1 2 1 2

1 2 1

..

. '

.'

' '

' '

A A B BB e B e C e

A A kik

B B

B e B e ikk

C e

k L k L ikL

k L k L ikL

� � �

� �

� � �

� �

�

�

( ) ( )'( )

( ) ( )'

( ) ( )'

'

'

1 312

2 412

1

2 412

1

2 1 2 1 2

1 1

2 1

� � � � ��

��

� � ��

��

� � ��

��

�

A B Bkik

B B

Bikk

e e C

Bikk

e e C

ikL k L

ikL k L


Wir verwenden nun die Hyperbelfunktionen cosh '

sinh '

' '

' '

k Le e

k Le e

k L k L

k L k L

��

��

�

�2

2

Damit folgt: A k L i kk

kk

k L e CikL1 12 1

2� � ��

��

��

��

cosh ''

' sinh '

Das Verh�ltnis der Intensit�ten der einlaufenden Welle und der auslaufenden Welle

erhalten wir aus:1 1

2

12

1 1

1 1

1

1

1

1TAC

A AC C

AC

AC

� � ��

��

��

*

*

*

Mit ergibt sich:cosh sinh . cosh sinh2 2 2 21 1x x bzw x x� � � �

Es folgt dann:

T k Lkk

kk

k L

k Lk k

k k

k Lk k k k k k

k k

k Lk k k

� � � ��

��

�

��

�

��

� � ��

��

��

�

��

�

��

�

��

�

��

� ��

��

��

�

��

�

��

� ��

�

�

�

114

114

4

114

4 2

114

2

22

2

1

22 2 2 1

22 2 4 2 2 4

2 2

1

24 2

sinh ''

'sinh '

sinh ''

'

sinh '' ' '

'

sinh ''2 4

2 2

1

22 2 2 1

22

1

114

114

��

��

�

��

�

��

��

��

�

��

�

��

� � ��

��

�

��

�

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� �

�

kk k

k Lk k

kk

kk

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k L

''

sinh ''

'

''

sinh '

A AC C

k L i kk

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k L e k L i kk

kk

k L e

k L i kk

kk

k L k L i kk

kk

k L k L

kk

kk

k

ikL ikL1 1

1 1

2

22

2 2

2 2

14

*

* cosh ''

' sinh ' cosh ''

' sinh '

cosh ''

' cosh ' sinh ''

' cosh ' sinh '

'' sinh

� � ��

��

��

��

� � ��

��

��

��

� � ��

��

� ��

��

� ��

��

�

'

sinh ''

' sinh '

L

k L kk

kk

k L� � � ��

��

1 14

22

2


F�r ein freies Teilchen (im Potential V = 0) gilt:

� � � � ��

�

2 2

2

2

22

220 2

m xE bzw

xk mit k mE�

��

�� .

F�r ein Teilchen im Potential V �o gilt:

� � � � � ��

�

2 2

2

2

2 222 0

m xE V bzw

xm E V�

��

��

� �( ) . ( )

Es sind nun zwei F�lle zu unterscheiden: E > V und E < V

E > V ist der Fall, bei dem auch klassisch das Teilchen die Barriere �berwindenkann. Dies ist auch das Ergebnis der quantenmechanischen Rechnung (die hiernicht durchgef�hrt wird).

Wir wollen hier den Fall E < V weiter untersuchen (= gebundenes Teilchen)

Damit ergibt sich:

��

� �

��

� �

2

2 2

2

2

22

2

1 2 0

0 2

xm V E

xk mit k m V E

� � ��

��

��

� � ��

( ) ( )

' ' ( )

�

�k� ist reellwertig.

Wir setzen ein: .k mE und k m V E� �

�2 22 2� �

' ( )

Damit folgt:

T mEm V E

m V EmE

m V E L

EV E

V EE

m V E L

EV E

EV E

V EE

V EE

m V E L

� ��

��

��

�

��

��

�

��

� ��

��

��

��

��

��

�

��

� ��

��

��

��

��

��

��

�

�

1 14

22

22

2

1 14

2

1 14

2 2

2

2

2

22

22

2

1

22

22

1

22

2

�

�

�

�

�

�

�

( )( ) sinh ( )

sinh ( )

sinh ( ) �

��

� ��

� � ��

��

��

��

�

��

� ��

��

��

��

��

�

��

� ��

��

��

��

��

�

��

�

�

�

�

1

22

21

2 2 22

2

2

1

22

2

2

1

1 14

2 1 2

1 14

2

1 14

2

EV E

VE

m V E L

E V VE VE EE V E

mL V E

VE V E

mL V E

sinh ( )

( )sinh ( )

( )sinh ( )

�

�

�


Wir f�hren folgende Abk�rzungen ein: � � ��

EV

und Dm V E

�2

2 ( )

Damit folgt: TEV

EV

LD

� ��

��

�

�

��

�

�

��

�

1 14

1

1

2

1

sinh

Mit sinh .

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Die Tunnelwahrscheinlichkeit T h�ngt also ab von der Energie E des Teilchens, derBarrierenh�he V und der Masse m des Teilchens.

http://www.almaden.ibm.com/vis/stm/gallery.htmlRohrer und Binning (1986)U.a. D.M. Eigler : STM rounds up electron waves at the QM corral. Physics Today 46 (1993) 17-19.

http://de.wikipedia.org/wiki/TunneleffektAuftreten und Anwendungen1 Kernfusion in der Sonne2 Biologische Evolution3 Alphazerfall4 Zwei-Elektroden-Tunneln5 Feldelektronen- / Feldionenmikroskop6 Tunneldiode7 Supraleitung8 Rastertunnelmikroskop9 Magnetischer Tunnelwiderstand10 Tunneleffekt (Lichttunnel durch Lichthaut)

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V = V = 0 V - uni-marburg.de · Impuls und Drehimpuls Erhaltungsgr‡–en. Aufgeben wollen wir auch das Prinzip der st‡rungsfreien Messung. Ein ƒMindest-ma–⁄ an Wechselwirkung