vektoren

5/9/2018 vektoren - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/vektoren 1/27

'^ä/ ianca - Gru ndla gen Math e - L ineare Algeb ra - 5 -1

5 V e k t o r e n

5.1 Einführung in die Lineare A lgeb ra

Eine nicht verbürgte Anekdote:Der arabische Gelehrte Al -Chwarismi verfasste im 9. Jahrhundert am Hofe des Kal i fen von

Bagdad mathematische Werke, darunter e ines mi t dem Ti te l H isab al -gabr wal -muqabala,

was so vie l wie »Rechenverfahren durch Ergänzen und Ausgleichen« bedeutet . Auf d iesen

Ti te l sol l angebl ich das Wort »Algebra« zurückgehen.

Algebra ist die Lehre der Gleichungen; l inear bedeutet, daß die Variablen nur in einfacher Potenz

(x-i, x2, x3 bzw. x, y, z und nicht als x 2, xy, z"3 etc. ) vorkomm en. Gegenstand des mathemat ischen

Teilgebietes „Lineare Algebra" sind also l ineare Strukturen, in erster Linie l ineare Gleichungen und

Ungle ichungen.

Solche l inearen Strukturen haben in der Ökonomie und damit auch in Ihrem Studium eine große

praktische Bedeutung. Nur ein paar Beispiele:

• Der Preis e ines Produktes wird in Marktmodel len a ls lineare Funkt ion von Ang ebot und N ach-

f rage beschr ieben.

• Durch l ineare Input-Output-Analysen kann man den Verb rauch an Produkt ionsm it te ln best im-

men und somit z .B. Kosten prognost iz ieren.

• L ineare Gle ichungs systeme beschreiben d ie Zusa mm enhä nge aufe inander aufbau ende r Pro-

dukt ionsprozesse.

• Durch l ineare Opt imierung können opt imale Problemlösun gen (z.B. h insicht lich der Produkt ion

oder des Transpor tweges) unter verschiedensten Restr ik t ionen berechnet werden.

Zentra le Begr i f fe a l l d ieser und wei terer Anw endu ngen s ind Skalare, Vektoren und M atr izen. Zur

Klärung der Begrif fe möchte ich von folgendem Beispiel ausgehen:

Eine Handelskette mit drei Fi l ialen hat versuchsweise vier neue, branchenfremde Produkte P-i bis

P 4 in ihr Sor t iment mit aufgenommen. Um den Er fo lg d ieses Exper imentes ver fo lgen zu können,

lässt sich der verantwort l iche Projekt leiter monatl ich die Verkaufszahlen dieser Produkte von denFi lia len gesonder t nenn en. Für März 2006 ste ll t er fo lgende Tabe l le zusa mm en:

Pro duk t P-, Prod ukt P 2 Produkt P 3 Produkt P 4

Filiale 1 300 180 70 110

Filiale 2 21 0 15 95 20

Filiale 3 97 39 10 28

Lässt man Kopfzei le und -spal te weg, kann man diese Verkaufszahlen bei Kenntnis der Bedeutung

von Zeile und Spalte auch als Matrix schreiben:

'300 180 70 110x

210 15 95 20

97 39 10 28

Verkau fszahlen im März 2006 : V =

Analog können auch a l le anderen ökonomischen Tabel len a ls Matr izen dargeste l l t werden.



5 - 2 - Sfiz/iaaca - Grund lagen Mathe - Lineare Alge bra

Eine Matrix wird durch e inen großen late in ischen Buchstaben symbol is ier t . Die Zahlen innerhalb

der Matr ix nennt man Elemente oder Komponenten oder Koeff iz ienten.

Betrachtet man nun nur den Verkauf von Produkt P 2 , besteht die Matr ix nur noch aus einer Spalte:

15 .E in solches Zahleng ebi lde nennt man Spal tenvektor oder Matr ix mit einer Spalte.

Interessieren andererseits nur die Verkaufszahlen der Fi l iale 3, erhält man einen Zei lenvektor

bzw. eine Matr ix mit nur einer Zeile:

f 3 = (97 , 39 , 10 , 28 )

Die Trennungszeichen zwischen den e inzelnen Elementen können geschr ieben werden, of t wer-

den s ie aber auch weggelassen.

Vektoren sind also speziel le Formen von Matr izen. Sie werden durch kleine lateinische Buchsta-

ben geke nnze ichnet , d ie, wie im Beispie l , ggf . durch hochgeste l lte Indizes näher be zeichnet wer-

den.

Einen Vektor mi t nur e inem Z eichen, a lso e ine x-bel iebige Zahl X bezeichnet man als Skalar. Dabeilässt man dann die Klammern weg.

Der Verdienst , d ie „Vektora la lgebra" er funden zu haben, gebühr t dem deutschen Mathemat iker

Herma nn Günther Grassm ann (1809 - 1877)

Mit Hi l fe von Vektoren und Matr izen lassen s ich auch größere Datenmengen, wie s ie in der Wir t -

schaft übl ich sind, sehr übersichtl ich und kompakt darstel len. Da durch diese Schreibweisen quali-

ta t ive und quant i ta t ive Abhä ngigke i ten verdeut l icht werd en könn en, er le ichtern s ie das Formul ieren

von l inearen Problemen und das Auf f inden von Lösungen. Auch für d ie Aufberei tung v ie ler Informa-

t ionen für d ie Weiterverarbei tung durch d ie EDV h aben s ich Matr izen a ls unentbehr l iche Hi l fsmit te l

e rwiesen.

Aufgrund der großen Bedeutung lege auch ich in d iesem Skr ipt den Schwerpunkt auf d ie Behand-

lung der l inearen Gle ichungssysteme, d ie e ine zentra le Problemstel lung der Wir tschaf tsmathemat ikdarste l len.

Da dafür jedoch Kenntnisse auf dem Gebiet der Vektor- und Matr izenrechnung notwendig s ind,

habe ich d iese Grundlagen vorangeste l l t .

Determinanten, Eigenwerte und Def in i thei t a ls charakter is t ische Kenngrößen werden anschl ießend

durchgesprochen.

Den Abschluss b i ldet d ie Lösung von l inearen Opt imierungsproblemen. In e inem ersten Schr i t t

werden Sie d ie graphische Lösung kennen lernen, bei der aber maximal zwei Var iablen vorkom-

men dür fen, um zweid imensional zeichnen zu können. Die anschl ießend gezeigte rechner ische

Lösun g - der sog. Simp lex-Algor i thmu s - er laubt bel iebig v ie le Var iablen. Diese Lösun gsme thode

wird neu ab dem WS 2006 / 2007 in den Kurseinhei ten behandel t . Und auch wenn diese rechner i -

sche Lösung im März 2007 wohl noch n icht k lausurre levant is t , werden Sie s ie aber z.B. in ABWL

wieder benöt igen.

Das Kapi te l 8 der a l ten Kurseinhei ten - „spezie l le Tei lmen gen des R n " - werden Sie in diesem

Skr ipt n icht wieder f inden, da dessen Klausurre levanz m.E. äußerst ger ing is t .



' rt t/ ianca - Gru ndlag en Ma the - Vektorbegr i f f - 5 -3

5.2 Der Ve ktorb egriff

5.2.1 Grundbegriffe der Vektorrechnung5.2.1.1 Skalare und Vek toren als phy sikal ische Größ en

Grundsätz l ich unterscheidet man zwei Arten von physikal ischen Größen: Die e inen haben einen

Betrag und eine Richtung und werden als Vektoren bezeichnet, die anderen, d.h. die Skalare, ha-

ben dagegen nur einen Betrag.

Die physikal ische Größe "Temperatur" ist ein Skalar . Die Temperatur hat näml ich e inen Betrag (z.B.

10°C) aber keine Richtung.

Dagegen ist d ie Windg eschw indigkei t beispie lsweise e in Vektor , da zur Angabe der Windgeschwin-

d igkei t der Betrag und d ie Richtung gehören. Zum Vektor Windgeschwindigkei t gehör t a lso erstens

der Betrag (z.B. 10m/s) und zweitens die Richtung in die der Wind bläst (z.B. nördl iche Richtung).

Da Vektoren neben einen Betrag auch e ine Richtung haben, benutzt man Pfeile zur anschaul ichenDarstel lung von Vektoren. Dabei zeigt der Pfei l in die Richtung, in die der Vektor wirkt. Den Betrag

des Vektors kann man an der Länge des V ektors erkenne n, d.h. e in Vektor m i t großem Betrag wird

durch e inen entsprechend langen Pfe i l gekennzeichnet .

Das nachfo lgende Bi ld zeigt e ine Kar te der Windgeschwindigkei ten, wie s ie jeden Abend im Wetter-

bericht zu sehen ist:

Im Fall der Windgeschwindigkeit zeigt der Pfei l in die Richtung, in die der Wind weht. Der Pfei l v1

stel l t eine ziemlich starke Windgeschwindigkeit dar, die genau nach Süden weht, der Pfei l v 2 stellt

eine kleinere Windstärke dar, die nach Südosten gerichtet ist.

Dem Bi ld entnehm en wir , dass z.B. d ie Windgesc hwindigkei t in Nordde utschland (v3) die gleiche ist

wie in Süddeutschland (v 3) , d.h. die Richtungen und die Beträge der beiden Vektoren st immen über-

ein. Natürl ich sind die beiden Windgeschwindigkeiten gleich, egal ob sie in Nord- oder in Süd-

deutschland auftreten. Man sagt daher, die beiden Pfei le sind Repräsentanten (Vertreter) ein und

desselben Vektors. Folgl ich gi l t die folgende verfeinerte Definit ion:

Unter einem Vektor versteht man die Menge al ler Pfei le mit gleicher Richtung und gleichem Betrag.



5 - 4 - S/ä/uzswa, - Grundlagen Mathe - Vektorbegriff

5.2.1.2 Gra phisc he Darstel lung von Ve ktoren

Und nun mathemat ischer:

In der Ebene R 2 können Vektoren, die man i.d.R. als Pfeile darstell t , durch zwei Zahlenwerte ge-

kennzeichnet werden (sog. Zweitupel oder 2-Tupel). Ein solches Tupel kann man aber auch als

Punkt in der typischen Xi - x 2 - Ebene interpretieren.

x2

Grundsätzl ich ist aber die Lage eines Vektors im Raum egal, einzig seine Länge und seine Richtung

sind entscheidend. Im folgenden Beispiel ist dreima l der gleiche Ve ktor (1 , 2)T gezeichnet:

-4 -3 -2 -1 1

Analoges gilt für den dreidimensionalen R 3 und den R n . Da das jedoc h sc hwierig zu zeichnen

ist, werden Sie auch in der Klausur nur mit der zweidimen sionalen Darstellung von Vektorenkonfrontiert . Trotzdem der Vollständigkeit halber nachfolgend eine Abbildung v on drei unter-

schiedlichen Vektoren im R 3 .



^ö / ia M ca - Grund lagen Mathe - Vektorbegr i f f - 5 -5

5.2.1.3 Vek torräum e ( lineare Räu me )

Im vorhergehenden Abschni t t haben Sie s ich mit dem Zeichnen von Vektoren beschäf t ig t . Das

möch te ich nutzen, um einen e lementaren - in der Mathem at ik-Theor ie eher schwier igen - Begr i f f

vere infacht e inzuführen: Vektor raum oder l inearer Raum.

• Al le Zah len - d.h. al le Skalare oder - noch anders gesagt - a l le Ve ktore n mit nur eine m E lem entkann man als Punkte im Zahlenstrahl e inzeichnen. Man sagt : Diese Skalare b i lden e inen e indi-

mensionalen Vektorraum oder e inen e indimensionalen l inearen Raum.

• Al le Vektoren mit 2 Kom ponenten ka nn man in e in Koordinatensystem, a lso in e ine Ebene bzw. in

eine zweid imensionale F läche a ls Punkte oder Pfe i le e inzeichnen. Man sagt : Diese Vektoren mit

zwei Elementen b i lden e inen zweid imensionalen Vektorraum oder e inen zweid imensionalen l ine-

aren Raum.

• Al le Vektoren mit dre i Kom ponenten kann man in e inen dre id imension alen R aum als Punkte oderPfei le e inzeichnen. Man sagt : Diese Vektoren mit dre i Komponenten b i lden e inen dre id imensio-

nalen Vektorraum oder e inen dre id imensionalen l inearen Raum.• Vektoren mit 4 Kompone nten kann man nicht meh r zeichnen - aber Sie können s ich vorste l len,

was der Mathemat iker sagt : Sie b i lden e inen v ierd imensionalen Vektorraum oder e inen v ierd i -

mensionalen l inearen Raum.

usw.

Al lgemeiner gesagt : Der l ineare Raum, der durch e ine Menge von Vektoren mit n Komponenten ge-

bi ldet wird, heißt n-dimensionaler Vektorraum. Oder als „Formel":

X : E l , 1 < i < n

v xnyMathemat iker knüpfen a l lerd ings noch e ine wei tere Bedingung an e inen Vektorraum: Die e inzelnen

Vektoren muss man addieren können und man muss s ie verv ie l fachen können, d.h. mi t e inem Ska-

lar mult ipl izieren können. Das ist aber immer gegeben, wie Sie bei der grundlegenden Vektorrech-

nung im nächsten Kapi te l kennen lernen werden.

Reduziert man die Dimension, so erhält man einen sog. Unterraum (oder Teilraum). So ist beispiels-weise e ine zweid imensionale Ebene (R 2) e in Unterraum des dre id imensionalen Raums (R 3).

z

m

iix : : ::: *,„

//y

Auf d iese Begr i f fe werde ich später noch zurückkommen.



5 - 6 - Sfiz/ianca - Grundlagen Mathe - Vektorbegri ff

5.2.1.4 Relation en bei Ve ktore n

Zwei Vektoren s ind gleichartig, wenn S ie den gleichen Aufbau haben (d.h. Spal tenvektoren oder

Zei lenvektoren s ind) und die gleiche Komponentenanzahl besi tzen.

Beispiel:

Gegeben s ind d ie Vek toren

v3y

b =

v6 y

c = (7 8 9) und10

11v 1 v

Dann gi l t :

• a und b s ind gleichart ig (beides Spal tenvektoren mi t jewe i ls 3 Elemen ten)

• a und c s ind nicht gleichart ig (zwar habe n beide Vekto ren je 3 Elemen te, aber die Form is t unter-

schiedl ich) - g leichart ig wären aber a T und c oder a und c T

• a und d s ind nicht gleichart ig (zwar s ind beides Spal tenvektoren , aber s ie haben eine unter-

sch ied l i che Komponentenanzahl )

Zwei Vek toren s ind gleich, wenn s ie gleichartig s ind und wenn d ie entsprechenden Elemente

gleich s ind.

Beispiel:

Gegeben s ind d ie Vek toren/ • i n r

a =

1

2

v 3 /

1

2

v 3 ,

c = (1 2 3 ) und d =

f\ \

3

v2 y

Dann gi l t :

• a und b sind gleich

• a und c sind nicht gleich (nicht gleichart ig)

• a und d s ind nicht gleich (die Elem ente entspreche n s ich nicht )

Analog kann man formul ieren:

• Ein Ve ktor a ist ungleich einem Vekto r b, wenn s ie nicht gleichart ig s ind und / oder wenn s ie nur

in einem Element nicht übereinst immen.

• Ein Ve ktor a ist kleiner als ein Vektor b, wenn a und b gleichart ig s ind und jedes Element von a

k leiner als das entsprechende Element von b is t .

• Ein Ve ktor a ist kleiner oder gleich als ein Vektor b, we nn a und b gleichart ig s ind und jede s E -

lement von a k leiner oder gleich als das entsprechende Element von b is t .

• Ein Ve ktor a ist größer als ein Vektor b, wenn a und b gleichart ig s ind und jedes Element von a

größer als das entsprechende Element von b is t .

• Ein Ve ktor a ist größer oder gleich als ein Vektor b, we nn a und b gleichart ig s ind un d jede s E -

lement von a größer oder gleich als das entsprechende Element von b is t .



^ ä / i as i c a - Grund lagen Mat he - Vektorbegr i f f - 5 -7

5.2.1.5 Spe zialfälle von Ve kto ren

erster Einhei tsvektor e1 = ( 1 , 0 ) b z w . e1 =v0 )

oder e1 -0

0

vOy

zwe iter Einh eitsvek tor e = (0, 1) bzw . e =v i

oder e 2 =

vierter Einh eitsve ktor im R e =0

0

v1 y

Nullvektor 0 = (0, 0) bzw. 0 =vOy

oder 0=

Einsvektor 1 = (1, 1) bzw. 1 =v1y

oder 1=

0

0

vOy

1

1

v1y

' 0 ^

1

0

vOy

Achtung: In den Kurseinhei ten werden nur Spal tenvektoren benutz t . Zukünft ig werde auch

ich i .d.R. nur noch den Spaltenvektor angeben!



5 - 8 - cfa/üinca - Grundlagen Mathe - Vektorbegr i f f

5.2.2 Aufgaben

5.2.2.1 Au fga be 1

Welcher Vektor is t in den folgenden Abbi ldungen dargestel l t?

5.2.2.2 Au fga be 2

Wie v iele Vektoren s ind in der fo lgenden Abbi ldung dargestel l t und wie lauten s ie?



- Grundlage n Mathe - Vektorbegr i f f - 5 -9

5.2.2.3 Au fgabe 3

In welcher der fo lgenden A bbi ldunge n is t der Vektor

a)

dargestel l t?

5.2.2.4 Au fgabe 4

Gegeben s ind d ie fo lgenden Vektoren:

a =

r2N

2I.q 3

l 3 , V 1 ,

: (2 3 4) d : 2

v3 y

= ( 1 2 3 ) f - v / l 6

Kreuzen Sie jewei ls an, ob d ie fo lgenden Au ssage n wahr oder fa lsch s ind!

a) a = b I | wa hr • falsch

b) a < b O wah r • falsch

c) a < c O wa hr • falsch

d) a < d wa h r • falsch

e) c > e ] wa hr • falsch

f ) c < f I I wa h r

•falsch

9) f = c I I wah r • falsch

h) d > a | | wa hr • falsch

i) a < d wa h r • falsch



5 -1 0 - !^ä/iasica - Grundlagen Mathe - Vektorbegriff

5.2.3 Lösungen

5.2.3.1 Au fgab e 1

a)vOy

b)

v -2/

c)

v i

d)

v - 1 /

5.2.3.2 Au fgab e 2

Obwohl 6 Pfeile zu sehen sind, sind nur 4 verschiedene Vektoren dargestellt, nämlich die Vektoren/ / - l \ / o \

- 1

v -2y(2x) , 1 (2x )

\ J

1

v3yund

0

5.2.3.3 Au fgab e 3

Den gesuchten Vektor f inden Sie in Abbildung c).

5.2.3.4 Au fgab e 4

a) falsch

b) falschc) falsch

d) wahr

e) wahr

f) falsch

g) wahr

h) wahr

i) falsch



' ^ä / ia s ic a , - Grund lagen Mathe - Vektor rechnung - 5-15

5.3 Rechn en mit Ve ktoren

5.3.1 Grundlagen5.3 .1 .1 Transpo nieren von Vek toren

Durch das Transposi t ionszeichen T kann ein Zei lenvektor in e inen Spal tenvektor t ransponier t wer-

den und umgekehr t .

Beispiele:

v x2y= ( X 1 ,X 2 ) (12,7)T =

12

v 7 y

Insbesondere gi l t dann

fM

TV

V

CM

CO l a 2 ,

und ((a, a 2 ) T ) T ~ ( a i a 2 ) -

Beachten Sie aber bitte:

Die Vektoren stel len inhalt l ich Zei len bzw. Spalten einer Tabel le dar, d.h. sie haben völ l ig un-

terschiedl iche Inhalte . Daher dürfen Sie n iemals „einfach nur so" einen Vek tor t ranspo nieren,

sondern nur dann, wenn das „T" als Rechenzeichen gegeben ist .



5 - 2 0 - ü f t z / i a n e t z Grund lagen Mathe - Vektor rechnung

5.3.1.2 Mu lt ipl ikat ion eines Vek tors mit einem Skalar

(Skalarmult ipl ikat ion)

Man mult ipl iziert einen Vektor mit einem Skalar X, indem man jede Komponente des Vektors mit dem

Skalar mult ipl iziert.

X»a=X» a2 = X»a 2

Beispiele:

' f 2»f 2 "

A

C

0,5«

f 1 ^'0,5>

f 3 'f 6n

' ~ 4 12

- 1 . f 3 '2 f 6n

3 ' ~ 4 12 1

- 1 . — •

3 14 28

, 3 ,

Fo lgende Spezial fäl le möchte ich noch hervorheben:• Ist X = 0, so ist X • a stets der Nullvektor.• Ist X, = 1, so ist X • a stets gleich a.• Ist X = -1, so is t X • a stets g le ich -a.

Graphisch ändert die Skalarmult ipl ikat ion mit einer posit iven Zahl nur die Länge des Pfei les, beiMult ipl ikat ion mit einer negativen Zahl ändert sich auch die Richtung.

Ist X > 1, wird der Pfei l länger (Streckung), bei X < 1 l iegt eine Stauchung vor, d.h. der Pfei l wird kür-

zer .

Für Interessier te:

Bei der Mul tip l ikat ion mit e inem S kalar gel ten fo lgende Reche ngesetze:

Sind a und bel iebige Vektoren sowie X und | i bel iebige Skalare, so gi l t :

• X • (|x • a) = (X • |j.) • a (Ass oziat ivitä tsges etz)

• X * ( a + b ) = X * a + X * b (D is t ri but ivgesetz 1 )

• (X + ( i ) * a = X * a + | i * a (D is t ri but ivgesetz 2 )



'^ä/ iasica, - Gru ndla gen Ma the - Vektor rechnung - 5-15

5.3.1.3 Ad dit ion und Sub trakt ion vo n Ve ktoren

Man addier t bzw. subtrahier t Vektoren, indem man jewei ls d ie e inzelnen Komponenten addier t bzw.

subtrahiert.

a + b V Vfa 1 +b 1

>

+ =v a2+ b 2>

a 2 ; CM

Xv a2+ b 2>

a - b

f a / fb O

f

31 M

a2 -

b2 = a2 - b 2m

-Q " b 3J

Beispiele:

f3'

f4>f

7'

r i >f3^

r -2^ r i> re >f

4' f

3^ f

2^ + 3 . f

2>+ — — = + — = + 3 . = =

11) CD C

U J [ 2 + 3 , I s J

Graphisch kann man die Vektoraddi t ion ausführen, indem man einen Pfe i l so verschiebt , dass des-

sen Schaf t mi t der Spi tze des anderen Pfe i les zusammenfäl l t . Die Summe der beiden Vektoren is t

dann der Pfei l vom Ursprung des ersten Pfei les zur Spitze des zweiten Pfei les.

Die Subtraktion kann auf d ie Addi t ion von a + ( -b ) (bzw. -b + a) zurückge führ t w erden.

Achtunq:

Die Addition und Subtraktion ist nur für gleichart

vektoren mi t g le icher Komponentenanzahl oder n

nentenanzahl .

/ o \Nicht definiert sind z.B. ^ oj 0 oder 3 (

V V

ge

ur

r r

2

l 3 J

Vektoren def

für Zei lenvekl

oder f 4 l +

U J

nie

o n

t

2

A

srt, d .h . nu rfü rS pa l te n-

än mi t g le icher Kom po-

Für Interessierte:

Bei der Addi t ion gel ten fo lgende Rechen gesetze:

Sind a, b und c beliebige Vektoren, so gi l t :

• a + b = b + a (Kom muta tivität der Ad dit ion)

• (a + b) + c = a + (b + c) (Assoziat ivität der Add it ion)



5 - 1 4 - - Grund lagen Mathe - Vektorrechnung

5.3.1.4 Ska larprodu kt ( inneres Produkt) zwe ier Vek toren

Mult ip l iz ier t man einen Zei lenvektor mi t e inem Spal tenvektor , werden d ie an g le icher Ste l le stehen-

den Komponenten mul t ip l iz ier t und anschl ießend werden d iese e inzelnen Produkte addier t . Das Er-

gebnis is t ke in Vektor s onde rn e ine reel le Zahl , a lso e in Ska lar .

'u \t>1

= ( a i • b 1 ) + (a 2 • b 2 ) + (a 3 • b 3 ) + (a 4 . b 4 )3

V b4,

( a 1 , a 2 , a 3 , a 4)<

Beispiel: In e inem Unternehmen gibt der Zei lenvektor a d ie Menge der verkauften Produkte ah a2 und

a3 an. Die Verkaufspreise der e inzelnen Produkte lassen s ich a ls Spal tenvektor b schreiben. Das Ska-

larprodukt g ibt dann den Umsatz an:

a = (10 0, 30 0 , 200) b =

a * b = (100 , 30 0 , 200)

10

v 1 5 y

20

10

v 1 5 y

= (100 • 20) + (300 • 10) + (200 • 15) = 2.00 0 + 3.000 + 3.000 = 8.000

Sonderfal l : Ergibt s ich e in Skalarprodukt von Nul l , s tehen d ie Vektoren senkrecht aufe inander

und heißen dann orthogonal .

f1'5] f 3

l f3

lBeispiel: k = 0 m = 17

lo-S

k T . m = ( 1, 5, 0 , - 9 ) . 17

,0 .5 ,

= 4 ,5 + 0 - 4 , 5 = 0

Ach tu n g :

Die Skalarmult ipl ikation ist nur definiert für einen Zei lenvektor mal einen Spaltenvektor mitg le icher Komponentenanzahl .

\

Nicht definiert sind z.B.( 1 2 ) .

' 3 " f 4 l T

4 o d er 5 • 2

k

Andere Formen der Matr izenmult ipl ikation lernen Sie später kennen.

Für Interessierte:

Bei der Skalarmul t ip l ikat ion gel ten fo lgende Rechengesetze:

Sind a, b und c bel iebige Spal tenvektoren und X ein bel iebiger Skalar, so gi l t :

• a T • b = bT • a (Kom mu tat iv i tä t)

• (X • a T ) • b = X • (a T • b) (Hom ogeni tät)

• (a T + b T) • c = a T • c + b T • c (Distr ibutivi tät)

orthogonal



'^ä/ iasica, - G rundla gen Math e - Vektor rechn ung - 5 -1 5

5.3.1.5 Länge eines Vek tors (= Betrag oder euk l idische N orm )

Die Länge eines Vektors, auch Betrag oder eukl id ische N orm (kurz: Norm) e ines Vektors genannt ,

iässt sich über den Satz von Pythagoras ermitteln. Er entspricht der Wurzel aus der Summe der ein-

zelnen Komponenten zum Quadrat .

a =

Va3j

l = V äi2 2

+ a , + a .

fr

Beispiel: x _2 x = J x ^ + x 2

2 + x32 = V f + 2 2 + 3 2 = Vi + 4 + 9 = V14 =3 ,7 4

Sonderfal l : Ein Vektor heißt normiert , wen n er d ie Länge 1 hat .

Beispiel: a = 0

0

|ja| = ^ ( - 1) 2 + 0 2 + 0 2 = V1 + 0 + 0 = VT = 1

Tip: Man kann jeden bel iebigen Vektor norm ieren, indem ma n ihn durch seine Länge , d .h .

seinen Betrag, tei l t .

Graphisch entspricht die Norm der Länge des Pfei les, der den Vektor repräsentiert.

Beispiel:

F ü r a = f3l s t |a| = V 32 + 4 2 = V 9 + 1 6 = V 2 5 = 5

n

W*

l s t |a| = V 32 + 4 2 = V 9 + 1 6 = V 2 5 = 5

n

4

5

/3

normiert



5-20 - üftz/ ianetz - Grun dlagen Mathe - Vektor rechnung

5.3.1 .6 W inkel zwisc hen zwei Vektoren

Um den Winkel a zwischen zwei Vektoren a und b best immen zu können, benöt igt man, wie d ie

nachfo lgende Zeichnung zeigt , den Cosinus a ls Gegenkathete durch Ankathete:

Den Cosinus zwischen zwei Vektoren kann man nach fo lgender Formel berechnen:

Um dann den e igent l ichen Winkel zu best immen, muss man für das Ergebnis noch cos"1

= arccosberechnen.

Diese Vorgehensweise wird s icher l ich anhand eines Beispie ls am ehesten anschaul ich:

Beispiel 1:

Berechnen Sie den Winke l zwischen den VektorenfA\ f

a -1

Oyund b =

1

vOy

Lösung:

1. Schri tt: Berechnen der Vektor längen:

a =Oy

= V f 7 f = v 2 1

vOy= V i2 + o 2 = VT = 1

2. Schri tt: Mult ip l ikat ion der Vektoren:

aT * b = (1 1)«

vOy

1 + 0 = 1

3. Schri tt: Einsetzen in d ie Formel:

x = cos (a , b) = „ a „ * „ b „ = -5L = 0,70710681 ' a « b V2

4. Schri tt: Wil l man nun den Winkel wissen, muss man cos - 1 bzw. arccos berechnen:

x = cos a = 0,7 07 <=> co s - 1 (0,707) = arccos (0,707) = a

Vergessen Sie dabei aber n icht , Ihren Taschenrechner auf Grad (DEG) e inzuste l len.Man erhält : a = 45°

Dieses Ergebnis kann man le icht überprüfen, wenn man die Vektoren zeichnet .

In der K lausur dürfen Sie - wie Sie wisse n - keinen Taschenrec hner b enutzen. Daher kom -

men zum einen immer „rundere" Ergebnisse heraus, zum anderen wird von Ihnen der letz te

Schr it t , d .h . d ie Bere chn ung des Winke ls, n icht ver langt .



'̂ ä/asca, - Grundlag en Mathe - Vektor rechnung - 5-15

Eine mögl iche Klausuraufgabe zeigt das nächste Beispiel .

Beispiel 2:

Berechnen Sie x _ c o s

(f>2\ f 3 ^

3

v v 6 j 1 - 2 , y

Lösung:

1. Schritt: Berechnen der Vektor längen:r2^

a =

v6y

= V2 2 + 3 2 + 6 2 = V 4 9 = 7

^ 3 ^

2

v - 2 y

: ^ 32

+ 22

+ ( - 2 )2

= V T 7

2. Schritt: Mult ipl ikat ion der Vektoren:

aT «b = (2 3 6)«

v-2,= 6 + 6 - 1 2 = 0

3. Schritt: Einsetzen in die Formel:

/ ^ a T , b 0x = cos I a , b) = = = = 0^ ' a • b 7 . V T 7

Noch ein Tipp: Soll ten Sie a ls cos einen Wert größe r a ls 1 oder k le iner a ls - 1 best imm en,

können Sie s icher sein, s ich verrechn et zu haben.



5-20 - üf tz/ ianetz - Grundlagen Mathe - Vektorrechnung

5.3.2 Aufgaben5.3.2.1 Au fgab e 1

Berechnen Sie - fa l ls mögl ich - mi t den gegebenen Vektoren

f 4 ' f 7 "3 , b = 0 , C = 8

, 2 j u ,

a =

d ie fo lgenden Ausdrücke:

a) x = a + b

b) x = a - d

c) x = a T - cT

d) x = (bT)T + c T

e) x = a - b + c

f) x = d T • a

und d -<!j

5.3.2.2 Au fgab e 2

Berechnen S ie mit den gegebe nen Vek toren

frf 0 > ' - f r 2 N - 3 N

f 0 "a = 2 , b = - 1 , c = 1 , u = - 7 > v = 0 und w = 5

o,die fo lgenden A usdrücke:

a) x = 2a + b - c

b) x = a + 2b + c

c) x = 5a - 3b + 2c

d ) x = 3 u - 4 v

e) x = 2u + 3v -5w

5.3.2 .3 Au fgabe 3

Stel len Sie folgende Ausdrücke in einem Koordinatensystem graphisch dar:

fr+ f und b ) 3 . ' 2 N

- 1 , , 0 , 5 ,

5.3.2.4 Au fga be 4

Gege ben s ind d ie Ve k toren

r i 2 >

a =A

und b =

Lösen Sie graphisch

a) a + b und b) a - b

in einer Zeichnung.



- Grund lagen Mathe - F lächenberechnung 4-167

5.3.2.5 Au fgab e 5

Welche der angegebenen Gleichungen is t in der fo lgenden Abbi ldung dargestel l t?

a) ' - f

3 ,v

^ r - i+v3 J

b) f-f f-3+

v 3 j

c)/ ! N

- 3f

- 3 1\ 10

CM ' - f e ) ' 1 N f l ' 1 > r - 3 ^

= — + e) + = — +u , , 3 , - 1

i 0 , 0 , V

5.3.2.6 A u f g a b e 6

Berechnen Sie

a ) x = ( - 3 ) < 4

v5y

b ) x = ( 4 - 6 ) < c ) x = 3 •

5 ^ r-2

- 3 - 6

11 , , 8

5.3.2.7 Au fgabe 7

Berechnen Sie - fa l ls mögl ich

a ) x = (2 3 4 ) .5 '6 b) * == (10 5 6)«

V)

4

c;v

c ) x == (7 , 1 , 0 ) .15 J

/

5.3.2.8 Au fgab e 8

Berechnen Sie x :



5 - 2 0 - üftz/ianetz - Grundlagen Mathe - Vektorrechnung

5.3.2.9 Au fgab e 9

Berechnen Sie x so, daß es Komponente eines normierten Vektors is t :

/ 2 N

a)' r

o

v x y

b) V l 4x

1

V t 4

c)

' V J P

V Ö 3

V ö 5 ,

d) « X 1

5.3.2.10 Aufgabe 10

Welche der Abbi ldungen s te l len normier te Vek toren dar?

a) 2

1.5

1

0.5

-2 -1.5 -1 -0.5

-0.5

-1

-1.5

- 2

0.5 1 1.5 2

b) 2

1.5

1

0.5

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2

-0.5

-1

-1.5

- 2

C)2

1.5

1

0.5

d) 2

1.5

1

0.5

-2 -1.5 -1 -0.5, 0.5 1 1.5 2

-0.5

-1

-1.5

- 2

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2

-0.5

-1

-1.5

- 2



' ^ä / ias ica , - Grund lagen Mathe - Vektor rech nung - 5 - 1 5

5.3.2.11 Aufgabe 11

Berechnen Sie

( 3a ) x == cos

v v 4 y

- 1 2 b) v == cos

f f

- 2

w 4 v

- 1 x == cos

rr 3\

wb

0

4

l 5 i

5.3.2.12 Aufgabe 12

Zeigen Sie, dass d ie Vektoren/4 S \ ( 2 ^

a =

v 2 ,

und b = - 8

senkrecht zueinander stehen. Berechnen Sie dafür

a) das Skalarprodukt a T • b und

b) den Winkel zwischen den Vektoren.

5.3.2.13 Aufgabe 13

a) Berechnen Sie x und y aus

fx] f 2 N

b) Berechnen Sie x und y aus

f4l f

2lx

A

c) Berec hnen Sie x und y aus

f f f f f 1 > f 2N

1 + y 1 + z 0 = - 3

J ;

5.3.2.14 Aufgabe 14

a) Es gilt

u = (1 k - 3 )

Berechnen Sie k.

b) Es gilt

u = (1 k - 2 - 3 )

Berechnen Sie k.

r

v = - 5

v 4 y

und u * v = 0

2

- 4

v 1 y

und u * v = 0



5 - 2 0 - ü f t z / i a n e t z Grundlagen Mathe - Vektorrechnung

5.3.3 Lösungen

5.3.3.1 Au fgab e 1

a ) x =

b) nicht def iniert

f4^

- 2 N

f2l

3 + 0 = 3

J ,

T

f7T

) x = 3 - 8

A= ( 4 3 2 ) - ( 7 8 - 9 ) = ( - 3 - 5 11)

d) nicht def iniert

f 7' CO

e ) x = 3 - 0 + 8 = 11

, 2 , 1 - 9 , 1 - 1 2 ,

f) nicht def iniert

5.3.3.2 Au fgab e 2

rr r- iN f3 > rr f o N -f

a ) x = 2 • 2 + - 1 - 1 = 2 b) x = 2 + 2« -1 + 1 = 1

k k u , " I k v 2 , u , J ,

riN

(T / -f 3 > ( 2Sf - 3' ( 18 N

c ) x = 5 • 2 - 3 . - 1 + 2 * 1 = 15 d ) x = 3 • - 7 - 4 * 0 = - 2 1

k 2 ; V. l4,

r 2\

f - 3 > '<r r - 5 N

e ) x = 2 . - 7 + 3 • 0 - 5 • 5 = - 3 9

u l4

A , - 2 6 ,

5.3.3.3 Au fgab e 3



- Grundlage n Mathe - F lächenberechnung 4-171

5.3.3.4 Au fgab e 4

5.3.3.5 Au fgab e 5

Am einfachsten is t es, wen n Sie versuchen , d ie angegebe nen V ektoren zu ident i fiz ieren. Sie erken-

nen dann, dass die Gleichung f) r icht ig ist.

5.3.3.6 Au fgab e 6

f3l

a ) x = ( - 3 ) • 4 = - 1 2

, 5 ;

b ) x = ( 4 - 6 ) <

c ) x = 3 *

f - 3NC I C

= - 2 « =

- 1 4

(5> f 7 N

'2V

- 3 - 6 = 3 • -9 = -2 7

J 1 , { 9 ,

5.3.3.7 Au fgab e 7/ c \

a ) x = (2 3 4 ) . : ( 2 « 5 ) + ( 3 » 6 ) + ( 4 » 7 ) = 5 6

b ) x = (10 5 6) -

10

v 5 ;

= (10 »10 ) + (5 • 4) + (6 • 5) = 150

c) Das Produ kt ist nicht definiert, da die Ko mp one ntena nza hl der beiden Ve ktore n u ntersch iedlichist.



5 - 2 4 - - Grund lagen Mathe - Vektorrechnung

5.3.3.8 Au fgab e 8

f-2"a ) x =

b) x =

1

v 2 y

3

- 5

v 1 y

= 2 ) 2 + f + 2 2 = > / 9 = 3

= ^ 2 2 + 32 + ( - 5 ) 2 +1 2 = V 3 9

Diese Lösung bi tte so stehen lassen - S ie haben in der K lausur keinen Taschenrec hner I

c ) x =

f 3 "

- 1 2) x =

f 3 "

- 1 2 = j 3 2 + ( - 1 2 ) 2 + ( - 4 ) 2 = V l 6 9 = 13

Die Quadratzahlen bis mindestens 20 2 und damit d ie entsprechenden Wurzeln sol l ten Sie

al lerdings auswendig können !

5.3.3.9 Au fgab e 9

ma

) 0 = 1 <=> V i2

+ o2

+ x2

= 1 <=> 1 + x2

= 1 » x2

= 0 => x = 0

b)714

x

1

>/l4

1 If 2 Y a r 1 yU J + x +

[ • v / 1 4 J

4 2 1 , 2 9= 1 « + x h = 1 <=> x =

14 14 14=> x =

n/14

Diese Lösung bi tte so stehen lassen - S ie haben in der K lausur keinen Taschenrec hner !

c)

' V S P

>/Ö3

V Ö 5 ,

= 1 « J ( V ^ ) 2 + ( V Ö 3 ) 2 + (0,5)2 = 1 <=> x + 0 ,8 = 1 => x = 0,2

d) x

V - 2 x ,= 1 <=> J x 2 + ( - 2 x) 2 = 1 <=> x 2 + 4 x 2 = 1 <=> 5x 2 = 1 => x



- Grund lagen Mathe - F lächenberechnung 4-173

5.3.3.10 Aufgabe 10

Normierte Vektoren sind in den Abbildungen b) und d) dargestel l t .

5 . 3 . 3 . 1 1 A u f g a b e n

Zur Berechnung benöt igt man die Formel

cos (a , b) =aT «b

lall-

a) a = 0

v 4 /

= n / 3 2 + 0 2 + 4 2 = 7 2 5 = 5

a T * b = (3 0 4 ) . - 1 2

v /

' 3 ^

- 1 2

v - 4 y

= ^ 3 2 + ( - 1 2 ) 2 + ( - 4 ) 2 = V l 6 9 = 1 3

= (3 • 3) + (0 • -1 2 ) + (4 • - 4 ) = - 7

x = — — = — — = - 0 , 1 0 7 65 - 1 3 6 5

b) - 2

v 4 y= > / l

2

+ ( - 2 )2

+ 42

= 7 2 1 - 1

v O y= J ( - 3 )

2

+ ( - I )2

+ O2

= 7 T O

a T « b = (1 - 2 4 )

- 1 - 1

- 1

v O y

= (1 • -3 ) + ( -2 • -1 ) + (4 • 0 ) = - 1

x =7 2 i * 7 T ö 7 2 1 0

-0,0690

c) 2

V1V

= 7 32

+ 22

+ 12

= 7 1 4

^0^

4

v5 y

: 7 O2

+ 42

+ 52

= 7 4 1

aT »b = (3 2 1)<

13

= (3 »0 ) + ( 2 * 4 ) + ( 1»5 ) = 13

v5y

13

7 1 4 . 7 4 1 7 5 7 4

0,5426

Diese Lösung können Sie so nur mi t e inem Taschenrechner best immen !



5 - 2 0 - üftz/ianetz - Grund lagen Mathe - Vektor rechnung

5.3.3.12 Aufgabe 12

/ 1 \

a ) a T * b = ( 4 2 2 ) . - 8

v

4

y

= 8 - 1 6 - 8 = 0

Da das Ska larprodukt der Vektoren Nul l is t, s tehen d ie Vektoren senk recht aufe inander .

b)

rA\

2

v2y

:-n/42 + 2 2 + 2 2 => /24

^ 2 ^

- 8

v 4 y

= ^ 2 2 + ( - 8 ) 2 + 4 2 = V 8 4

a T * b = (4 2 2)

0

v 4 y

= 8 - 1 6 + 8 = 0

x = = 0

V24 »>/84

Der Cosinus ist Null für einen Winkel von 90°. Also stehen die Vektoren senkrecht aufeinander.

Haben S ie nun den Zusammenhang durchschaut?

5.3.3.13 Aufgabe 13

a) Aus der Gle ichhei t der Vektore n fo lgt , dass d ie e inander entsprechen den Kom ponen ten g le ich

sind. Es gi l t also:

x = 2 und 3 = x + y

Setzt man x = 2 in die zweite Gleichung ein, so folgt y = 1

b) Zunächst muss man den Term berechnen:

f 4 ]f 2 ^ f 2 x lX * =O

Durch Gle ichsetzen der entsprechenden Komponenten erhäl t man

4 = 2x und y = 3x

Damit folgt: x = 2 und y = 6.

c) Zunä chst sol l te man mit den Skalaren x, y und z mul t ip liz ieren und dann die Vektore n addieren:

'1 Ny 'x + y + z^

f 2 "1 + y 1 + z 0 = X + y + 0 = x + y = - 3

k A ^ o j A

,

x

,l 4 ,

Das Gle ichsetzen der Komponenten erg ibtx + y + z = 2 , x + y = - 3 und x = 4

Setzt man die dr it te Gleichung in die zweite Gleichung ein, erhält man y = -7.

Setzt man nun x und y in d ie erste Gle ichung ein, kann man z = 5 best immen.

Diese Aufg abe ha t n icht nur Trans ferwiss en g efordert - s ie ist auch eine gute Vorb erei tung

für das Lösen von Gle ichungssystem en.



'̂ ä/iasica, - G ru nd la gen M ath e - Vektor rechnung - 5-15

5.3.3.14 Aufgabe 14

a) Zunächst sol l te man das Produkt u • v berechnen und das dann gleich Null setzen:

(1 k -3)«

v 4 /

= 2 - 5 k - 1 2 = - 1 0 - 5 k = 0

Durch Termumformungen erhäl t man -5k = 10 oder k = -2.

b) Die Lösung erfolgt analog zum Aufgabentei l a):f o \

(1 k -2 -3 )«

3

2

- 4

v 1 ;

= 3 + 2 k + 8 - 3 = 2k + 8 = 0 => k = - 4

Auch solche Aufgaben könnten in e iner K lausur abgefragt werden.

Documents

vektoren