Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 17.11.2005 1 Diskrete Wahrscheinlichkeitsmodelle Wahrscheinlichkeitsfunktion Poisson-Verteilung:

Vorlesung: Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin

17.11.20051

Diskrete Wahrscheinlichkeitsmodelle

)exp(!

)(

kkXP

k

Wahrscheinlichkeitsfunktion

• Poisson-Verteilung: Zählen seltener Ereignisse

Beispiele: Zahl der Fischvergiftungen pro Zeiteinheit

Zahl der Spontantumoren pro Zeiteinheit

historisch: Zahl der Todesfälle durch Hufschlag pro Jahr und Regiment


17.11.20052

Beispiel für Possion-Verteilung

Wahrscheinlichkeitsfunktion


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Lebensdauerverteilungen

Beispiel: Lebensdauern

• Exponentialverteilung


17.11.20054

Zusammenfassung: Verteilungen

• Wahrscheinlichkeitsmodelle dienen dazu, bestimmte (unsichere) Phänomene zu charakterisieren.

• Das Wahrscheinlichkeitsmodell ist abhängig von der zu charakterisierenden Größe. In der Literatur gibt es eine Vielzahl solcher Verteilungen.

• Man unterscheidet diskrete und stetige Verteilungen (Wahrscheinlichkeitsmodelle).

• Wichtige Kennzahlen von Verteilungen sind Erwartungswert und Varianz.

• Verteilungen haben meist Parameter, die durch das Problem gegeben sind, oder aus Daten geschätzt werden.


17.11.20055

Statistische Erhebungen

• Befragungen z.B. Befragung der Landwirte über das Verhalten der Tiere im Stall

• Experimente z.B. Versuch, welches Arzneimittel am besten zur Heilung führt

• Beobachtungen Auftreten einer Krankheit Erhebungen zu Tieren in einer Tierklinik

Bei der Erhebung von Daten unterscheidet man:


17.11.20056

Unterscheidungseinheiten / statistische Einheit / Merkmalsträger

• Einzelne Tiere

• Einzelne Herden

• Einzelne Landwirte

• Haushalte

Individuen, die einer Erhebung zugrunde liegen

Beispiele:


17.11.20057

Merkmale (Variablen)

Eigenschaften Untersuchungseinheiten z.B.

• Krankheitsstatus

• Blutparameter

• Geschlecht

• Anzahl der Kühe (bei Untersuchungseinheit Landwirt)

Merkmalsausprägungen

mögliche Werte des Merkmals

• Messergebnisse / positive Zahlen

• krank / gesund


17.11.20058

Charakterisierung von Merkmalen

quantitative Merkmale unterscheiden sich durch ihre Größe

• Alter, Gewicht, Milchleistung, Temperatur, Anzahl Keime, Schadstoffgehalt, …

qualitative Merkmale unterscheiden sich durch ihre Art

• Geschlecht, Namen, Rassen, Haltungsform


17.11.20059

Merkmalswerte

Die gemessenen, erfragten oder beobachteten Ausprägungendes Untersuchungsmerkmals sind die Merkmalswerte. Siestellen die Daten der Erhebung dar.

• Wiederkauverhalten: z.B. in Stunden pro Tag

• Arzneimittel: Dosis 1, Dosis 2, Dosis 0 (Placebo)

• Befund: gesund, fraglich, erkrankt

• Keimzahlen: Anzahl in 1000


17.11.200510

Skalen

Metrische Skala: Die Werte unterliegen einer Rangfolge und die

Abstände zwischen den Werten der Skala lassen sich interpretieren.

• Gewicht, Keimzahlen, Schadstoffmessung

Ordinalskala: Die Werte unterliegen einer Rangfolge, aber die Ab-

stände zwischen den Werten der Skala lassen sich nicht interpretieren.

• Bewertung (Noten), Gesundheitszustand

Nominalskala: Die Werte unterliegen keiner Rangfolge und sind nicht

Vergleichbar

• Geschlecht, Rasse, Haltungsform


17.11.200511

Deskriptive Statistik

Ziel: Beschreibung von Daten mit möglichst geringem

Informationsverlust

• Eigenschaften und Strukturen sichtbar machen• Graphisch und durch Kennwerte• Eindimensional und mehrdimensional• Zunächst keine Schlüsse auf die Grundgesamtheit


17.11.200512

Rohdaten und Datenmatrix

Die Daten liegen in der Regel als Datenmatrix vor:

• Zeilen entsprechen Untersuchungseinheiten• Spalten entsprechen Merkmalen• Elemente der Matrix sind die Merkmalsausprägungen• Fragen mit Mehrfachnennungen als Einzelne binäre Merkmale definieren

Hinweise zur Eingabe unter:www.stat.uni-muenchen.de/stablab/Excel.html

http://www.stat.uni-muenchen.de/stablab/Excel.html










17.11.200513

Beispiel: Daten zu Mastenten (Ausschnitt)

- Ändern -


17.11.200514

Eindimensionale Statistische Kennwerte

Lagemaßzahlen

• Wo liegt die Masse der Daten?• Wo liegt die Mehrzahl der Daten?• Wo liegt die Mitte der Daten?• Welche Mehrmalsausprägung ist typisch für die

Häufigkeitsverteilung?


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Statistische KennwerteStreumaßzahlen

• Über welchen Bereich erstrecken sich die Daten?

• Wie groß ist die Schwankung der Ausprägungen?


17.11.200516

Eindimensionale Häufigkeitsverteilung

Hämatokrit

3 2,5 3,8 3,8

7 5,8 8,8 12,5

3 2,5 3,8 16,3

9 7,5 11,3 27,5

16 13,3 20,0 47,5

18 15,0 22,5 70,0

12 10,0 15,0 85,0

5 4,2 6,3 91,3

6 5,0 7,5 98,8

1 ,8 1,3 100,0

80 66,7 100,0

40 33,3

120 100,0

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

Gesamt

Gültig

SystemFehlend

Gesamt

Häufigkeit ProzentGültige

ProzenteKumulierteProzente


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Der Modus

Eigenschaften:

• oft nicht eindeutig• nur bei gruppierten Daten oder bei Merkmalen mit wenigen

Ausprägungen sinnvoll• stabil bei allen eindeutigen Transformationen• geeignet für alle Skalenniveaus

Definition: Häufigster Wert


17.11.200518

Beispiel Modus

Modus = 4


17.11.200519

Der Median

50% der Daten sind kleiner oder gleich med

50% der Daten sind größer oder gleich med

Zahlganzen

kfallsxx

Zahlganzen

kfallsx

hk

k

2)(

2

12

1

)1()(

)(

)()1( nxx

med =

sind geordnete Werte

Definition: Wert für den gilt


17.11.200520

Eigenschaften des Median

• anschaulich• stabil gegenüber monotonen Transformationen• geeignet für ordinale Daten• stabil gegenüber Ausreißern


17.11.200521

Beispiel Median

Statistiken

Hämatokrit80

40

40,00

40

Gültig

Fehlend

N

Median

Modus

Hämatokrit

3 2,5 3,8 3,8

7 5,8 8,8 12,5

3 2,5 3,8 16,3

9 7,5 11,3 27,5

16 13,3 20,0 47,5

18 15,0 22,5 70,0

12 10,0 15,0 85,0

5 4,2 6,3 91,3

6 5,0 7,5 98,8

1 ,8 1,3 100,0

80 66,7 100,0

40 33,3

120 100,0

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

Gesamt

Gültig

SystemFehlend

Gesamt




17.11.200522

Das Quantil (Perzentil)

Anteil p der Daten sind kleiner oder gleich xp

Anteil 1-p der Daten sind größer oder gleich xp

Zahlganzenpkfallsxx

nphlkleinsteZakundZahlganzekeinenpfallsx

hk

k

)(2

1 )1()(

)(

Definition: Wert für den gilt


17.11.200523

Fünf-Punkte Zusammenfassung

Minimum, 25%-Quantil, Median,75%-Quantil,Maximum

Statistiken

Hämatokrit80

40

40,00

36,00

38,00

40,00

41,00

42,00

44,00

Gültig

Fehlend

N

Median

10

25

50

75

90

99

Perzentile

Hämatokrit

3 2,5 3,8 3,8

7 5,8 8,8 12,5

3 2,5 3,8 16,3

9 7,5 11,3 27,5

16 13,3 20,0 47,5

18 15,0 22,5 70,0

12 10,0 15,0 85,0

5 4,2 6,3 91,3

6 5,0 7,5 98,8

1 ,8 1,3 100,0

80 66,7 100,0

40 33,3

120 100,0

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

Gesamt

Gültig

SystemFehlend

Gesamt




17.11.200524

Der Mittelwert (arithmetisches Mittel)

n

inx

1

1

• bekanntestes Lagemaß

• instabil gegen extreme Werte • geeignet für Intervallskalierte Daten

ix


17.11.200525

Beispiel Mittelwert

Hämatokrit

3 2,5 3,8 3,8

7 5,8 8,8 12,5

3 2,5 3,8 16,3

9 7,5 11,3 27,5

16 13,3 20,0 47,5

18 15,0 22,5 70,0

12 10,0 15,0 85,0

5 4,2 6,3 91,3

6 5,0 7,5 98,8

1 ,8 1,3 100,0

80 66,7 100,0

40 33,3

120 100,0

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

Gesamt

Gültig

SystemFehlend

Gesamt



Deskriptive Statistik

80 35 44 39,48 2,093

80

Hämatokrit

Gültige Werte(Listenweise)

N Minimum Maximum MittelwertStandardabweichung


17.11.200526

Die Spannweite (Range)

minmax xxq Definition:

• „Bereich in dem die Daten liegen“ • Wichtig für Datenkontrolle


17.11.200527

Der Quartilsabstand

25,075,0 xxq Definition:

• „Größe des Bereichs in dem die mittlere Hälfte der Daten liegt“• Geeignet für ordinal skalierte Daten• Zentraler 50%-Bereich


17.11.200528

Standardabweichung

Definition:

2

22 )(1

1

SS

xxn

S i

• „Mittlere Abweichung vom Mittelwert“• Manchmal auch 1/n statt 1/(n-1)• Intervallskala Voraussetzung

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