Ausgewählte Schwingungs-untersuchung am Instrument Geige

ZfP-Sonderpreis der DGZfP beim Landeswettbewerb Jugend forscht

RHEINLAND-PFALZ

DEUTSCHEGESELLSCHAFT FÜRZERSTÖRUNGSFREIEPRÜFUNG E.V.

Jugend forscht 2009

Simon Hoffmann

Schule:

Theodor-Heuss-GymnasiumFreyastr. 1067059 Ludwigshafen

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Ausgewählte Schwingungsuntersuchungen an

dem Instrument Geige

Simon Hoffmann

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Ausgewählte Schwingungsuntersuchungen an

dem Instrument Geige

Darstellung einer Transversalschwingung, erzeugen von Schallholog-rammen und Interferogrammen und eine Frequenzspektrumsanalyse

Simon Hoffmann MSS 13

Mai 2008

Theodor-Heuss-Gymnasium Ludwigshafen am Rhein

Begleitende Lehrkraft: Herr Klaus Nenninger

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Inhaltsverzeichnis

Seite

1. Einleitung 4

2. Grundbegriffe der Akustik

2.1 Schwingungen Definition 4 2.1.1 Die verschiedenen Schwingungsarten der Geige a) Transversalschwingung 5 b) Longitudinalschwingung 5 c) Torsionsschwingung 5 d) Oktavschwingung 5 2.1.2 Die Oberschwingung 6 2.1.3 Weitere Begriffsdefinitionen 6 2.2 Das Frequenzspektrum der Geige 7

3. Praxisteil

3.1 Aufnahme einer Transversalschwingung 7

3.2 Erzeugen von Schallhologrammen und Interferogrammen 3.2.1 Erläuterung der Messtechnik 8 3.2.2 Der spezielle Versuch 10 3.2.3 Betrachtung der Interferenzbilder und 10

Schallhologramme

3.3 Frequenzspektrumsanalyse 12 3.4 Frequenzspektrumsvergleich mit veränderten Parametern 16

4. Schlusswort 17

5. Anhänge Anhang 1: Versuchsaufbau der Frequenzspektrumsanalyse 18 Diagramme Anhang 2: Literaturverzeichnis 24

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1. Einleitung Ein spannendes Teilgebiet der Physik in der Oberstufe ist die Akustik. Leider kann im Rahmen des Unterrichts nicht konkreter auf die komplexere Tonerzeugung eingegangen werden. Mit der Schwingungs- und Wellenlehre werden jedoch die Grundlagen gelegt, welche das Auseinandersetzen mit diesem Thema erleichtern. Was ist ein Ton? Fragt man einen Musiker, so erhält man zur Antwort, „ein Ton ist eine Schwingung“. Die An-nahme, dass man einen Ton einer Schwingung gleich setzen kann, ist leider falsch. Der Musiker bringt Ursache und Wirkung durcheinander. Die Schwingung, die er mit seinen Augen oder seinen Fingern wahrnehmen kann, wenn eine Saite angezupft wird und er sie schwingen sieht oder wenn er die angezupfte Saite berührt und er die Bewegung spürt, ist eine Ursache für den Ton. Man muss ihn in seine Bestandteile zerlegen um genauer Betrach-tungen anstellen zu können. An dieser Stelle sei gesagt, dass der Ton keine objektive Erscheinung ist, die auf jeden Menschen gleich wirkt. Es ist ein ausschließlich subjektives Hörempfinden, das den Ton des Zuhörers ausmacht. Aus diesem Grund werde ich nur einen Teil der Tonerzeugung beleuchten. Die in der heutigen Sichtweise klare Trennung ist den Menschen noch nicht all zu lange bekannt. Im 19 Jahr-hundert schrieb Hermann von Helmholz ein Buch mit dem Titel „Die Lehre von der Tonempfindung“. Er behan-delt in diesem Buch physikalische Erscheinungen, die er als Tonempfindung, also subjektives Hörempfinden betitelt. In der folgenden Ausarbeitung soll herausgearbeitet werden, welch eine Vielfalt von Schwingungen bei der Erzeugung eines Geigentones anfallen und wie vielschichtig und komplex dieser Ton und die Schwingungen aufgebaut sind, der durch Aneinanderreihung von vielen Tönen und Zusammenstellung mehrerer tonerzeugender Instrumente ein wahrer Klangschmaus sein kann. Da die Ursache eines Tones eine Schwingung ist, wird zu-nächst erläutert werden wie die physikalische Definition einer solchen lautet. Interessant ist es nun zu sehen, dass die Saite der Geige, das Instrument, das diese Arbeit so zu sagen ins Leben gerufen hat, mehrere Schwin-gungsarten zugleich ausführt. Durch die Begriffe Mittönen und Schwebung wird kurz erklärt wie zwei schwin-gungsfähige Systeme zusammen hängen können. Alle Streichinstrumente haben ein sie empirisch verbindendes Merkmal. Die Klangfarbe, sie wechselt von Ton zu Ton. Einem Klangspektrum kann nun entnommen, werden bei welcher Frequenz welcher Teil der Geige angesprochen wird und einen Ton abgibt. Zunächst soll die Aufnahme von Schallhologrammen die Bewegung des Geigenbodens aufzeigen. An dieser beispielhaften Aufnahme soll gezeigt werden, dass die Festkörperschwingungen an einer Geige sehr komplex und nicht nur einfach gestrickt sind. Um nun ein besseres Bild von der Schwingung direkt am Instrument zu bekommen wird im Folgenden der Ver-such unternommen, eine solche Schwingung mittels einer einfachen Digitalkamera fest zu halten. Weshalb dies an einem E-Bass geschieht und nicht an der Geige wird man später erfahren. Es wäre sicher noch interessant zu erfahren wie ein an der Geige erzeugter Ton zu dem Hörempfinden wird, das wir als Klang eines Instrumentes wahrnehmen. Leider werde ich nicht auf Raumakustik, Umwandlung der Schwingung in Wellen und zu letzt auf die Biologie des Ohres eingehen können. Verfasst wurde diese Arbeit mit Microsoft Word 2003. Die Bilder wurden bearbeitet mit Microsoft Paint und Picture Manager, wie auch Photo Pos Pro. Die Frequenzspektrumsaufnahmen wurden durch ein kostenfreies Programm der freien Uni Berlin ermöglicht. Die Interferenzbilder und Schallhologramme konnten mit freundli-cher Unterstützung von Herrn Dr.-Ing. Werner-Wilhelm Kraft aufgenommen werden. Alle Bilder, Interferog-ramme, Schallhologramme und Frequenzspektrumsaufnahmen sind nochmals auf einer CD beigelegt. 2. Grundbegriffe der Akustik

2.1 Schwingungen Definition Die Schwingung Def.: Eine Schwingung ist ein physikalischer Vorgang bei dem sich physikalische Zustände zeitlich periodisch um eine Nulllage ändern. Eine Schallschwingung ist die Ursache für einen Ton, den zum Beispiel ein Instrument erzeugen kann. Hierbei wird zunächst ein Medium (Saite bei Streichinstrumenten) zu einer Schwingung angeregt. Wird die Anregung nun stetig weitergeführt und dem schwingenden System so Energie zugeführt, liegt eine ungedämpfte Schwin-

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gung vor. Der gehörte Ton ist keine reine Sinusschwingung, sondern eine Überlagerung mehrerer Schwingun-gen. Diese Überlagerung findet weder am oder im Instrument selbst noch in der Luft, dem Schall leitenden Me-dium, statt, sondern direkt im Ohr des Hörers. 2.1.1 Die verschiedenen Saitenschwingungsarten der Geige: a) Die bekannteste der vier Schwingungsarten, die eine Geige vorweisen kann, ist die Transversalschwin-

gung. Diese Schwingung findet an der Saite direkt statt und kann mit bloßem Auge erkannt werden. Der Zustand des Schwingens wird durch das Mitziehen der Saite durch den Bogen und das Zurückschnellen her-gestellt. Bis dies zu einem stabilen Schwingzustand führt, dauert es einige Millisekunden. Zwischen den beiden festen Punkten, dem Steg und dem Sattel beziehungsweise dem greifenden Finger der linken Hand des Spielers entsteht die Grundschwingung mit je einem Knoten bei den festen Auflagepunkten und einem Bauch in der Mitte der Saite. In den beiden unteren Teilbildern sind so genannte Oberschwingungen darges-tellt (siehe Punkt 2.1.2).

1

b) Die Längsschwingung der Saite nennt man Longitudinalschwingung. Sie entsteht, wenn der Spieler den Bogen nicht genau im rechten Winkel zur Saite streicht. So werden Kräfte vom Bogen in Längsrichtung der Saite ausgeübt, die diese Schwingung anregen.

A BA B2

c) Eine der weniger bekannten Schwingungen, die bei der Tonerzeugung an der Geige entsteht, ist die Torsi-

onsschwingung. Diese Schwingung entsteht durch das Streichen der Saite, die nicht nur senkrecht zu sich schwingt, sondern auch etwas verdreht wird.

1 Die Violine, Hansjörg Brugger: Qualitätskriterien und historischer Wandel. http://www.8ung.at/hansjoergbrugger/violine.htm#top (Abbildung 2) 2Die Violine, Hansjörg Brugger: Qualitätskriterien und historischer Wandel. http://www.8ung.at/hansjoergbrugger/violine.htm#top (Abbildung 2)

= Bewegung

-------------- = gegenläufige Bewegung

= Knoten

6

A BA B

2

d) Der Steg der Geige ist nur idealisiert ein Festpunkt, real ist er ein Auflagepunkt. Ist die Saite nicht in

Schwingung, so steht der Steg senkrecht. Wird die Saite zu dem Maximum m1 ausgelenkt, so erhöht sich die Spannung der Saite und zwingt den Steg zu einer Kippbewegung in Richtung Griffbrett (Punkt C). So-bald sich die Saite zu ihrer Ruhelage begibt, schwenkt der Steg ebenfalls zurück zum senkrechten Zustand. Simultan findet die Kippbewegung statt, lenkt die Saite in Richtung m2 aus. Die beschriebene Kippbewe-gung wird doppelt so schnell ausgeführt, wie die Schwingung der Saite, da sie nach Rechts nicht über ihre Nulllage schwingen kann. Diese besondere Schwingungsart heißt Oktavschwingung, da eine Vordopplung einer zu einem Ton gehörigen Frequenz dazu führt, dass der eine Oktave höhere Ton erklingt.

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2.1.2 Die Oberschwingung

Die Oberschwingung wurde schon im Zusammenhang mit der Transversalschwingung erwähnt. Sie wird in musikalischen Kreisen eher als Oberton bezeichnet. Grundsätzlich ist es bei einer Saite möglich, dass sie zu ihrer Grundschwingung, wie sie im ersten Teil der Abb. bei Punkt 2.2.1 a) zu sehen ist, parallel auch eine Teilung der Saite in mehrere Teile erfolgt. Die Aufteilung findet ganzzahlig statt, wobei die Saite immer in gleich große Teile eingeteilt wird (siehe Abb. Punkt 2.2.1 Mitte und Unten). Die Frequenzen der durch die Teilung erzeugten schwingenden Teile, verhalten sich gleich zur Teilung der Saite. Sie betragen das 2, 3, 4 usw. Fache der Grund-frequenz, wenn sich die Saite in 2, 3, 4 usw. Teile teilt. Die Grundfrequenz muss nicht mit der der Saite über-einstimmen. Es kann auch diejenige sein, die der Spieler durch Abdrücken der Saite festlegt. Der erste Oberton oder Partialton beträgt die doppelte Frequenz der Grundfrequenz, der zweite Oberton die dreifache, usw. 2.1.3 Weitere Begriffsdefinitionen a) Erzwungene Schwingung

Eine erzwungene Schwingung ist eine Schwingung, der stetig Energie zugeführt wird, sodass ihre Amplitu-de konstant bleibt.

b) Intervall „Intervalle sind Tonabstände. Der ganz- und halbtonstufige Abstand bestimmt ihren Namen.“3

c) Mittönen Durch das Einwirken eines schwingenden Systems auf ein Zweites schwingt dieses mit. Es handelt sich um erzwungene Schwingungen, die das zweite System zum Mittönen anregt. Umso näher die Schwingung an der Resonanzfrequenz des zweiten Systems liegt, desto mehr schwingt/ tönt dieses mit.

d) Oktave „Teilt man die Hälfte einer schwingenden Saite ab oder bildet man in der Saitenmitte einen Knoten, so wird l = λ ; das Schwingungsverhältnis beträgt dann 2:1, die Frequenz verdoppelt sich, es erklingt die Oktave.“4

3 dtv-Atlas Musik, Ulrich Michels: Systematischer Teil Musikgeschichte von den Anfängen bis zur Gegenwart. 2. Auflage. DeutscherTaschenbuch Verlag: München 2005. (Seite 85, rechter Abschnitt, Zeile 3-5) 4 dtv-Atlas Musik, Ulrich Michels: Systematischer Teil Musikgeschichte von den Anfängen bis zur Gegenwart. 2. Auflage. DeutscherTaschenbuch Verlag: München 2005. (Seite 15, rechte Abschnitt, Zeile 37-42)

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e) Peak Scheitelpunkt, Spitze, Höhepunkt, höchster Stand

f) Piezospiegel „Bei bestimmten Kristallen,…bilden sich bei Druckbelastung auf der Oberfläche elektrische Ladungen. Die-ses Phänomen wird mit dem griechischen Wort für Druck bezeichnet: Piezo. Der Piezo-Effekt, dass bei Druck auf einen Quarzkristall Ladungen erzeugt werden, wurde Ende des 19. Jahrhunderts von den Gebrü-dern Curie, Jacques und Pierre, entdeckt. Der Piezo-Effekt kann auch als inverser Piezo-Effekt umgekehrt werden, indem man durch Anlegen einer Spannung an einen Kristall diesen verbiegt.“5 Verwendet wird der inverse Piezo-Effekt, um den Laserstrahl aufzuweiten.

g) Schwebung Eine Schwebung liegt vor, wenn zwei Schwingungen mit geringem Frequenzabstand aufeinander einwirken, sodass das Ohr die beiden Frequenzen nicht mehr trennen kann und einen Ton wahrnimmt. Dieser schwankt regelmäßig in seiner Stärke.

2.2 Das Frequenzspektrum der Geige Für die Klangfarbe, welche den Geigenton ausmacht, spielen die vier verschiedenen Schwingungsarten eine wichtige Rolle und ergeben zusammen mit den restlichen Teilen des Geigenkörpers ein kompliziertes Frequenz-spektrum. Jedes Bauteil mit seiner eigenen Resonanzfrequenz, die hilft, die Partialtöne in der Nähe dieser Reso-nanzfrequenz zu verstärken. Die verschiedenen Grundtöne mit ihren Obertönen werden je nach Lage auf der Geige verschieden verstärkt. Der rechte Stegfuß zum Beispiel liegt mit 880 Hz auf der Frequenz des ersten Ober-tons der A-Saite. In der untenstehenden Grafik ist der Zusammenhang zwischen Bauteil der Geige und zugehöriger Resonanzfre-quenz zu sehen.

DD

f in

Intensität

DD

f in

DD

f in

Intensität

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3. Praxisteil

3.1 Transversalschwingung Wie in Punkt 2.2.1 a) schon erwähnt wurde, entsteht durch die Anregung der Saite auch eine Transversalschwin-gung und Oberschwingungen auf. 5 ITWissen: Das große Online-Lexikon für Informationstechnologie http://www.itwissen.info/definition/lexikon/Piezo-Effekt-piezoelectric-efect.html (15.Mai.2008 20:00) 6 Die Violine, Hansjörg Brugger: Qualitätskriterien und historischer Wandel. http://www.8ung.at/hansjoergbrugger/violine.htm#top (Abbildung 2)

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Da die Schwingung der Geigensaite allerdings zu gering ausfällt, wird für diesen Versuch ein E-Bass benutzt, dessen Saite dieselben Schwingungseigenschaften wie eine Geige besitzt. Der Bass wird in eine Halterung ge-stellt und angezupft. Diese Spieltechnik wird verwendet, weil sie die vorrangige Spieltechnik bei dem Instrument ist, und eine große Amplitude der Saite erreicht werden kann, um eine sichtbarere Schwingung zu bekommen. Damit der Photoapparat nicht nur eine Momentaufnahme der Elongation macht, muss seine Belichtungszeit erhöht werden. Die Helligkeit, Farbsättigung und der Kontrast werden so verändert, dass der Bereich der schwingenden Saite deutlicher wird. In dem bearbeiteten Bild sind die Amplituden mit weißen Linien gekenn-zeichnet worden.

1. Photo unbearbeitet 2. Photo bearbeitet

3.2 Erzeugen von Schallhologrammen:

3.2.1 Das Messverfahren Ein Schallhologramm soll bildlich darstellen, wie ein System oder Objekt schwingt und welche Art von Verfor-mung oder Bewegung es durch eine erregte Schwingung ausübt. Zur Messung und Darstellung der Schwingung des festen Teiles der Geige gibt es verschiedene Methoden. Zum einen das berührende Messverfahren. Bei diesem findet eine punktweise Abtastung relativ zu einem Bezugsni-veau mit Hilfe z.B. einer Diamantnadel statt. Die Berechnung der Form des Objektes schließt sich aus den Koor-dinaten der Rasterpunkte und den zugehörigen Abtastwerten. Bei „Berührenden Messverfahren“ besteht der Nachteil, dass das Objekt direkt beansprucht wird und das Messgerät sehr nahe am Objekt liegen muss. Aus diesem Grund habe ich mich für ein „Optisches Messverfahren“ entschieden. Die optischen Verfahren haben ihre Grenzen der Aufnahmemöglichkeiten bei zum Beispiel steilen Flanken, optisch transparenten Materialien oder großer Oberflächenrauheit (Speckle-Effekt). Das zuletzt genannte Problem des Speckle - Effekts wird heut zu Tage als Messverfahren bei der Speckle-Interferometrie verwendet. Für diese Messung von Interferenzen auf der Hinterseite des Geigenkorpus wird ein ESI, ein elektrisches- Speckle- Interferometer benutzt.

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7Skizze

Die Speckle-Interferometrie basiert auf wellen-optischen Phänomenen und erfordert den Einsatz eines Lasers als kohärente Strahlquelle. Die Reflexion des Laserlichts vom Objekt wird mit einer elektronischen Kamera aufge-nommen. Das Laserlicht wird mittels eines Strahlteilers in zwei Bündel aufgeteilt. Eines der Bündel beleuchtet das Objekt, während das Andere über einen Lichtleiter direkt auf den CCD- Chip geleitet wird. Auf diesem kommt es nun zu einer Überlagerung nach dem Superpositionsprinzip der Referenzwelle und der Objektwelle. Zunächst wird eine Überlagerung der beiden Strahlbündel auf dem Chip gemessen bei der keine Anregung des Objektes stattfindet. Aus der Differenz mit der zweiten Aufnahme bei Anregung und der Ruhenden können Interferenzmuster festgemacht werden.

Diese Interferenzstrukturen überlagern sich dem Bild des Objekts. Dieses Bild heißt Specklebild. Wird die Oberfläche des Werkstücks nun verschoben oder lokal deformiert, so ändert sich die Wegstrecke des Lichts vom Strahlteiler über das Werkstück zum Bildsensor und damit die lokale Helligkeit auf dem Bildsensor. Aus der Änderung der Interferenzmuster kann die lokale Verschiebung von Oberflächenelementen berechnet werden. Bei 7 Im Anhang befindet sich auf ein Bild dieses Aufbaus

CCD--Chip

Kamera

Objekt

Laser beam

Objektwelle

Referenzwelle

Strahlteiler

Laser

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der verwendeten Out-of-plane Anordnung werden mindestens drei Messungen zu verschiedenen Zeitpunkten vorgenommen. Aus den verschiedenen Messungen werden die maximalen Deformationen entnommen und im Schallhologramm angegeben. Die Höhenangaben auf dem Schallhologramm entstehen aus dem Gangunter-schied. Der Abstand zwischen Kamera und Objekt kann je nach Objektiv zwischen 1 und 2 m liegen.

3.2.2 Der spezielle Versuch Bei dem speziellen Versuch, ein Schallhologramm einer Geige zu erzeugen, treten Probleme auf, die bei ge-wöhnlichen Werkstücken nicht ins Gewicht fallen. So ist der Geigenkörper darauf ausgelegt, zu einer erregten Schwingung ein Bauteil zu haben, das seine Resonanz genau in diesem Bereich hat, was eine große Bewegung des Objektes mit sich bringt. Bei folgenden Messungen werden aus diesem Grund nicht auf den Resonanzfre-quenzen von Tönen, sondern leicht über oder unter diesen Aufnahmen gemacht, da anderen Falles die Eigenbe-wegung des Objektes für die Messinstrumente zu groß wäre. Die Messinstrumente müssen auf diesen Fall ge-sondert ausgerichtet werden, um ein aussagekräftiges Ergebnis erzielen zu können. Bei dem Messverfahren mit Hilfe eines Speckle-Interferometers ist die Oberflächenrauheit von großer Wichtigkeit. Hierzu muss der Korpus der Geige mit einer dünnen Schicht Kreide besprüht werden, die die nötige Rauheit erzeugt. Für die Auswahl des Ortes, an dem die Interferenzmessung vorgenommen werden soll, spielt dies eine wichtige Rolle, da das Instru-ment nach dem Versuch keine bleibenden Spuren oder Schäden von der Kreide tragen soll. Wesentlich aus die-sem Grund habe ich mich dazu entschieden die Aufnahmen auf die Korpusrückseite zu beschränken. Des Weite-ren schien mir die Größe des effektiv messbaren Bereichs günstiger zu sein. Um eine Dämpfung durch die Be-festigung möglichst gering zu halten, wurde die Geige am Geigenhals, zwischen Korpus und Wirbelkasten mög-lichst fest eingespannt, sodass von einer Schwingung des gesamten Korpus durch ein zu leichtes Feststellen abgesehen werden kann. Um ein Schallhologramm aufnehmen zu können, ist es unbedingt notwendig, dass sich das Objekt während der Aufnahmen, die aus mehreren einzelnen Aufnahmen zusammengefügt wird, in einem Schwingungszustand be-findet. Eine gleich bleibende Erregung kann allerdings weder durch das Streichen mit einem Geigenbogen, da ein Mensch beim Streichen nicht durchgehend genau dieselbe Kraft auf den Bogen bringen kann wie an der Abbildung oder Frequenzspektrumsanalyse zu sehen ist, noch durch das Anzupfen der Saite, das ein rasches Abschwellen der Schwingung mit sich bringt, gewährleistet werden. Abhilfe wird dem Problem mit einem „Shaker“ geschaffen, dessen Frequenz und Amplitude sich elektronisch regeln lassen. Im Inneren des Shakers befindet sich ein elektromagnetisches Feld, das einen Metallstab zu einer Bewegung längs seiner Achse anregt. Dieser Stab wird an das unterste Ende der Geige, den Knopf, angelegt. Der Knopf wurde ausgewählt, da er bei der Tonerzeugung keine Rolle spielt – er keine Resonanz besitzt, welche das Frequenzspektrum der Geige stark beeinträchtigen würde – und bei der Anregung durch den Shaker keine Gefahr besteh die Geige zu sehr in eine Schwingung zu versetzen, wie es der Fall am Steg wäre.

3.2.3 Betrachtung der Interferenzbilder und Schallhologramme Die Interferenzen auf dem Geigenkorpus beschreiben die Überlagerung der beiden kohärenten Laserlichtstrah-len. Diese Überlagerung findet je nach angeregter Frequenz anders statt und erzeugt im Bild helle und dunkle Ringe auf dem Objekt. Helle Bereiche stehen für Minima und dunkle für Maxima der Überlagerung. Werden nun drei dieser Interferenzbilder mit der oben erwähnten Phasenverschiebung aufgenommen, kann mit Hilfe eines speziellen Algorithmus und dem Gangunterschied (Abstand zweier Maxima zueinander) mehrerer Bilder ein Schallhologramm erzeugt werden. Durch das Verarbeiten der Bilder wird eine Skala in Form von Farben über das Objekt gelegt. Diese Skala gibt zum Einen an, wie weit das Bauteil an der eingefärbten Stelle im Bezug zum Ruhezustand schwingt und zum Zweiten zeigt das Vorzeichen der jeweiligen Farbe an, welches Verhältnis zwischen den schwingenden Teilen besteht, ob sie in Phase oder gegenphasig zueinander schwingen. Angezeigt wird die maximale Auslenkung. Um die Aufnahmen musikalisch zu erfüllen, werde ich die Aufnahmen von 968 Hz und 1026 Hz gegenüberstel-len, da diese Aufnahmen in etwa im Halbtonabstand zueinander stehen. 968 Hz entspricht nicht ganz dem h², da es mit 987 Hz 19 Hz darüber liegt, wie 1026 Hz 19 Hz unter dem c³, liegt. Durch diese geringe Abweichung beider Frequenzen kann man sie als gleich im Bezug auf Nähe zu den Tönen und denselben Abstand zueinander ansehen. Beim Vergleich der Interferenzbilder werde ich mich auf mehrere Bereiche beziehen.

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Alle Bereiche sind im ersten Bild Minima der Überlagerung des Laserlichts. Der erste Bereich verändert sich durch das Erhöhen der Frequenz, sodass er zu einem Maximum wird, um das sich mehr Interferenzen des Laser-lichts formieren, was ein Maximum der Bewegung des schwingenden Bodens anzeigt. Örtlich gesehen verändert er seine Position nicht, im Gegensatz zum zweiten Bereich, der bei der Aufnahme von 968 Hz weiter oben liegt, als nach der Veränderung. Er scheint an Intensität seiner Bewegung abzunehmen. Um den dritten Bereich häu-fen sich am meisten Maxima und Minima. Dieses Bild konnte man bei der zweiten Aufnahme des ersten Berei-ches beobachten und so muss die Folgerung lauten, dass an dieser Stelle ebenfalls ein Schwingungsmaximum des Bodens vorliegt. Die Figuren des vierten Beobachtungsbereichs sind nach der Veränderung allerdings nicht mehr zu erkennen. An dessen Stelle treten Ausläufer des zweiten und vierten Bereiches. Laut der abgebildeten Interferenzen verändert sich Bereich vier in seiner Intensität nur leicht. Das erste Maximum nach dem Minimum von Bereich vier zieht sich zusammen, sodass eine geringere Änderung der Höhe zu verzeichnen ist. Während dieser Veränderung rückt das Gebiet um Vier weiter in Richtung des nicht mehr vorhandenen dritten Bereichs. Die Maxima und Minima werden breiter. Um weiter auf die Höhenänderungen eingehen zu können, betrachtet man nun die Schallhologramme zu den oben genannten Frequenzen (siehe untere Abbildung). Die Orientierungsbereiche bleiben bestehen.

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Bei der Aufnahme von 968 Hz schwingen die Bereiche eins und drei, wie zwei und vier jeweils in Phase. Das zweite Bereichspaar schwingt mit derselben Intensität und bewegt sich um 0,64μm . Die Bereiche eins und drei, wie ein kleiner Teil am rechten unteren Rand des Geigenbodens, schwingen entgegengesetzt zu diesen. Jeweils bei den Übergängen von dunkelblau zu pink befinden sich die Ringe in Ruhe. In einer einfacheren Transversal-schwingung gesprochen würde es bedeuten, dass sich dort ein Schwingungsknoten befinde. Im Vergleich schwingt Bereich drei viermal so weit wie Bereich eins. Nach der Halbtonveränderung befindet sich der erste Bereich im eben genannten Schwingungszustand des nicht mehr vorhandenen dritten Bereichs. Nur dieser Bereich bewegt sich entgegengesetzt der Gebiete zwei und fünf, der nun neu aufgetreten ist, und in seiner Intensität ein wenig mehr Energie in die Schwingung umsetzt, als das Zweite. Das Maximum Vier verringert seine Schwingung bis fast zum Ruhepunkt in seiner Mitte. Die Beobachtung der Veränderung der schwingenden Bereiche zeigt, dass die Geige trotz ihrer Form im Grunde ein Körper ist, für den sich seine Schwingungseigenschaften berechnen ließe. Auf Grund der Anregung am Knopf der Geige tritt bei manchen Schallhologrammen, wie bei 968Hz, am unteren Rand des Bildes eine Art Verkräuselung, Vermischung der Strukturen auf. Ebenfalls durch die Erregung an diesem Ort tritt eine leichte Verschiebung der Interferenzen hin zur Mitte des Geigenbodens auf.

3.3 Frequenzspektrumsanalyse Um sichtbar zu machen, dass ein gehörter Geigenton tatsächlich aus mehreren Partialtönen zusammengesetzt ist, wird nun eine Frequenzspektrumsanalyse durchgeführt.

Aufnahmeteil 1

Die Aufnahme wird von dem Ton a1, also dem Kammerton gemacht, der auf 440 Hz gestimmt wird. Nachdem durch das Anhören der Aufnahme eine klare Stelle ohne z.B. Quietschen durch das Streichen der Saite herausge-filtert wird nimmt man aus dem Aufnahmeteil 1, der die komplette Aufnahme auf eine Zeit-Amplituden-Achsen darstellt, diesen gehörten Teil heraus und markiert ihn. Günstig ist auch der Teil der mit dem höchsten Peak, wenn er nicht durch den Spieler durch zu festes auf den Bogen Drücken beim Spielen oder andere spieltechni-sche Begebenheiten unsauber ist. Im oberen Teil der ersten Aufnahme ist nun der zu untersuchende Teil des Tones markiert. Im unteren Teil ist die resultierende Schwingung zu sehen, die sich für den markierten Teil ergibt.

Zeit

Amplitu

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Abbildung 2

Die beiden weißen Linien 1. und 2. verlaufen durch die maximalen Ausschläge der Sinusschwingung - aufge-nommen mittels den 440 Hz, die ein Stimmgerät erzeugt, - und durch die veränderte Schwingung. Es zeigt sich, dass der Geigenton seine maximalen Ausschläge fast gleichzeitig mit der Sinusschwingung hat, die Minima allerdings durch die Überlagerung der Schwingungen etwas früher und weniger stark auftreten. Zur Bestimmung der Frequenz der Partialtöne dient ein Diagramm, das auf seiner rechten Skala die Frequenz, auf der Linken das Intervall zum Grundton und in der Breite der Striche die Intensität des jeweiligen Tones dar-stellt. So sind auf diesem Diagramm (siehe Anhang Abbildung.3) folgende zehn Partialtöne zu erkennen.

Maximum Minimum

1. 2.

Zeitachse

Zeitachse

14

Frequenz in Hz

Bezeichnung im Tonsystem

Intervall zum vorhe-rigen Ton

441

882

1323

1754

2195

2636

3077

3519

3960

4390

a1

a²

e³

a³

cis4

e4

fis4

a4

h4

c5

Grundton

Oktave

Quinte

Quarte

gr. Terz

kl. Terz

kl. Terz

kl. Terz

gr. Sekunde

gr. Sekunde

Abbildung 4

Sortiert man die Töne in ein Notensystem ein so lässt sich ein A-Dur Akkord herausfiltern. Dies ist ein harmo-nisch und fröhlich klingender Akkord. Die Reihung von Tönen, die ein Akkord darstellt, ist sehr wichtig für den Aufbau von Instrumentalstücken. Das heißt der Klang der Geige unterstützt einen harmonisch klingenden Ton und die Komposition an sich durch seine Klangfarbe. Ob das Klangspektrum der Instrumente zu den Tonarten oder die Tonarten zu der Ausbildung der Bauart der Instrumente zur Erzeugung dieser vielschichtigen Töne führte, lässt sich heute nicht mehr nachvollziehen. Bei Abbildung 3 wurden die Peaks der Partialtöne schon angesprochen, die allerdings unzureichend dargestellt waren. Hierzu wird Abbildung 5 verwendet, bei der auf der x-Achse die Frequenz und auf der y-Achse die Amp-litude aufgetragen sind. Die genaue Skalierung der Amplitude ist wegen den verschiedenen Verstärkungen des Tones zu vernachlässigen und nur auf die Proportionen zu achten. Allerdings wird die Skalierung zur besseren Vergleichbarkeit in der untenstehenden Tabelle verwendet. Um die Stärke der Peaks zu ermitteln, wird mit dem Mauszeiger auf den Peak geklickt, wodurch die Intensität in XdB + 100 angezeigt wird und umgerechnet werden muss.

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Frequenz in Hz Intensität in Skalierung in dB

441

882

1323

1754

2195

2636

3077

3519

3960

4390

4831

5274

5704

6121

6620

7505

74,5

64,9

35,9

57,1

64,1

58,5

63,1

45,2

46,5

47,4

32,6

34

37,7

30

26,2

20 Durch diese Aufnahmemethode lässt sich erkennen, dass der angespielte Ton a1 vierzehn Partialtöne erzeugt. Man könnte nun vermuten, dass die angeregte Frequenz jeweils ihre Obertöne am stärksten anregt. Dies bestätigt der Versuch nur bedingt, der zweite Peak ist der erste Oberton von den 441 Hz mit 882 Hz, also genau der dop-pelten Frequenz. Dieser Oberton kann als Oktavschwingung gesehen werden. Dieser konnte allerdings nicht messtechnisch nachgewiesen, da sich diese in einem Oktavabstand befindliche Schwingung durch die Bewegung des Stegs ergibt. Darauf folgen allerdings das cis4 bei 2195 Hz und das fis4 bei 3077 Hz. Diese sind erzwungene Schwingungen, die mittönen.

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Nimmt man das in Punkt 2.2.1 dargestellte „Frequenzspektrum der Geige“ zur Hand und bringt die gemessenen Werte aus der zweiten Tabelle mit den Angaben in der Darstellung in Zusammenhang, so lässt sich erkennen, welche Bauteile mitschwingen. Die angeregte Frequenz von 440 Hz bzw. 441 Hz, was vernachlässigbar nahe beieinander liegt, beschreibt den Grundton und die Schwingung der A-Saite. Das Doppelte dieser Frequenz 880 Hz ist die Resonanzfrequenz des rechten Stegfußes. Die Frequenzen zwischen 1400 - 2100 Hz regen den Steg an. Zwischen 1600 - 3500 Hz befindet sich die Saite zusätzlich zu ihrer Transversal- und Torsionsschwingung ebenfalls in der Longitudinalschwingung, in diesem Bereich liegen fünf Frequenzen vor. Die fünfte dieser Schwingungen bei 3519 Hz ist wieder eine Oberschwingung der A-Saite. Die Longitudinalschwingung des Bo-dens und der Decke sind nur bedingt zu verzeichnen, sollten allerdings auf Grund der erzeugten Frequenzen von 6620 Hz und 7505 Hz, welche sehr dicht an der maximalen Longitudinalschwingung dieser Bauteile liegt, erwähnt werden. Durch Kopplung der Bauteile miteinander schwingen auch nicht aufgeführte Teile, die hier vernachlässigt werden. Die Abbildung 6 (siehe Anhang) besitzt drei Achsen: längs die Zeit, quer die Frequenz und in die Höhe die Amplitude. Anhand dieses Sonogramms lässt sich die Veränderung der Intensität der einzelnen Frequenzen im Bezug zur Zeit sehr gut erkennen. Hierdurch kann zum einen ermittelt werden, welcher Bereich der Aufnahme am günstigsten zu untersuchen ist, und zum anderen zeigt sich, dass die verschiedenen Schwingungen im Bezug auf die Amplitude der erregten Frequenz abnehmen oder zu schwingen aufhören.

3.4 Frequenzspektrumsvergleich mit veränderten Parametern Der Vergleich der Frequenzspektren des Tones a mit einer goldenen und einer Kunststoff e – Saite In einem zweiten Versuch wird mit verschiedenen Parametern, die in diesem Fall verschiedene Spielarten sind, soll zei-gen, untersucht, wie sich die Klangfarbe des resultierenden Tones verändert. Die Vergleiche werden aus den Daten der Fourier – Transformation, welche das Programm „sounds“ liefert – diese Möglichkeit wurde erst im Verlauf dieser Arbeit entdeckt und deswegen nicht bei der Frequenzspektrumsanalyse verwendet-, mittels Diag-rammen in einem Frequenzbereich von 0 Hz bis 10.000 Hz (Im Folgenden Diagramm 1) und Diagrammen, ers-tellt aus den Daten der Maxima +,- ein Messwert, ermittelt (Im Folgenden Diagramm2). I) Spektrum bei gestrichener a-Saite mit goldener e-Saite Kunststoff e-Saite Die Auswahl der Saitenbauart ist für den Spieler aus mehreren Gründen wichtig und soll nun quantitativ unter-legt werde, die goldene e-Saite hat einen Metallkern und eine Goldummantelung, einen Kunststoffkern und eine Metallummantelung hat die Kunststoff e-Saite. Bekannte Probleme beim Spielen auf goldenen e-Saiten sind, dass sie anfällig sind für kratzende Geräusche und bei zu leichtem Druck für ein Quietschen sorgen. Betrachtung der Diagramme: Das erste Maximum auf 440 - 441 Hz zeigt, dass die Grundschwingung der normalen Saite (a-Saite mit Kunststoff e-Saite) schwächer ist. Darauf folgt in dieser Kurve ein Minimum auf der Frequenz der e-Saite, während das Minimum der g-e-Saite (goldene e-Saite) höher liegt und eine Spitzere Form aufweißt. Der erste Oberton der beiden Schwingungen erreicht trotz der unterschiedlichen Intensität der Grund-schwingung nahezu den Selben Peak. Jeweils bei einem Vielfachen der Frequenz dieses Peaks ist die Intensität der normalen Saite fast gleich der g-e-Saite, obwohl die übrigen Schwingungsintensitäten unter denen der g-e-Saite liegen. Bei der Differenzbetrachtung der Intensitäten der Maxima ist auffällig, dass die Maxima direkt also nicht +,- eine Messung den kleinsten Intensitätsunterschied aufweisen. Meine Vermutung ist, dass durch den Höheren Spanndruck, den die Kunststoffsaite benötigt um die Selbe Frequenz wie die goldene Saite zu errei-chen, die Schwingungseigenschaften des Steges und somit der a-Saite verändert werden. Dies wäre zu überprü-fen mit zum Beispiel einem berührenden Messverfahren am Steg. II) Vergleich a-Saite normal und am Steg gestrichen Der Vergleich der beiden Stellen des Streichens ergibt, dass die am Steg gestrichene Saite in höheren Frequen-zen eine höhere Intensität als die normal gestrichene Saite aufweist und in den Tälern zu den Minima hin eine geradlinigere Struktur aufweist. Diese Veränderung in der Struktur des Frequenzspektrums hängt mit der Kraft-übertragung auf die verschiedenen schwingenden Systeme in der Geige zusammen. Anscheinend werden je nach Ort des Anspielens der Saite die Bauteile zu stärkerem oder schwächerem Mittönen angeregt. Das Differenzdiagramm, welches vergleiche zwischen den Maxima zulässt, zeigt, legt man eine Art Ausgleichs-kurve über die Werte, dass die Intensität der normal gespielten Saite beim 1,5,7,10,11, 12 fachen und darüber hinaus durchsetzen kann. Dies ist ein Indiz dafür, dass die normal angespielte Saite zum Einen in der Grundfre-quenz und zum Andren im hochfrequenten Bereich ihre Akzente setzt. Streicht der Spieler also weiter am Steg, als an dem normalen Streichpunkt so betont er Frequenzen in den Bereichen 1 – 2 kHz und 3,4 – 4,2 kHz stärker.

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III) Vergleich a-Saite normal und am Griffbrett gestrichen Bei der ersten Betrachtung des Diagramms ist zu sehen, dass die Saite am Griffbrett nicht in einen festen Schwingungszustand gebracht werden konnte, welcher einen wohltuenden Klang erzeugt hat. Der zu sehende Ton hört sich kratzig an. Der Bereich, der durch das Spielen am Griffbrett hervorgerufen wurde, ab 1,5 kHz weißt große Intensitätsdifferenzen zwischen auf, während die normal gestrichene Saite fließendere Übergänge aufweist, was zu einem sanfteren Ton ohne Dissonanzen für das Hörempfinden führt. Im Vergleich mit dem Verlauf der am Steg angespielten Saite ist die am Griffbrett gespielte Saite in ihrem Frequenzbild weiter vom normal gestrichenen entfernt. Die Differenz der Maxima ergibt einen eindeutig lauteren Ton mit fast allen Facet-ten in den Höhen bei der normal gestrichenen Saite. IV) Vergleich der a-Saite normal und im 45° Winkel gestrichen Die im 45° Winkle zur Saite angestrichene Saite weißt ein dem Versuch III) ähnliches Frequenzspektrum auf. Bis zu 1 kHz gibt es nur geringe Differenzen. Ab dieser Frequenz beginnen die Maxima der abnorm gestriche-nen Saite sich knapp in tieferen Frequenzen als die der normal gestrichenen Saite zu befinden und es sind eine Art wilde Ausschläge zu sehen. Wie dieses Bild eine unklare Struktur in sich verbirgt ist der Ton unsauber, nichtschön an zu hören und er hat einen hang dazu den ersten Oberton bei 880 Hz oft stark anzuregen.

4. Schlusswort Das Ziel dieser Arbeit wurde in der Einleitung wie folgt formuliert: In der folgenden Ausarbeitung soll heraus-gearbeitet werden, welch eine Vielfalt an Schwingungen bei der Erzeugung eines Geigentones anfallen und wie vielschichtig und komplex dieser Ton und die Schwingungen aufgebaut sind. Das Ziel, eine kurze Übersicht über die Schwingungen der Geige zu geben, wurde an den Saitenschwingungen begonnen, über die Festkörperschwingung mit Hilfe der Schallhologramme weiter ausgeführt und bildlich bei einer Transversalschwingung festgehalten. Über die Begriffe des Mittönens und der Schwebung wurde kurz angerissen, wie zwei schwingungsfähige Systeme zueinander stehen können und wie Schwingungen zwischen den einzelnen Bauteilen übertragen werden können. Die Frequenzspektrumsanalyse hat nun gezeigt wie viele Bauteile der Geige zum Mittönen angeregt wurden, was die einzigartige Klangfarbe der Geige sichtbar macht. In wie weit der kurze Überblick über die Schwingungen der Geige gegeben wurde, muss der Leser letztendlich selbst entscheiden. Sicher wäre es noch faszinierend eine Untersuchung durchzuführen, inwieweit man die Schwingung von der Saite ausgehend, sich über den gesamten Geigenkörper fortpflanzend verfolgen kann. Diese ersten Untersuchun-gen, die im Rahmen dieser Arbeit durchgeführt wurden, bieten eine Vielzahl an denkbaren Anwendungsmög-lichkeiten. Eine Frequenzspektrumsanalyse kann den Raumakustikern wichtige Informationen zum Bau eines Konzertsaales liefern oder für die Entwicklung neuer Saiten für Streichinstrumente nützlich sein. Anhand von Schallhologrammen können die Hersteller von Schulterstützen für Geigen erkennen, wie sie diese Objekte kons-truieren müssen, sodass sie die Schwingung des Geigenbodens nicht zu sehr beeinträchtigen. Diese kleine Aus-wahl soll zum Ende dieser Arbeit noch aufzeigen, welches Potential aus Messungen, wie sie durchgeführt wur-den, zu schöpfen ist.

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5. Anhang 1: Versuchsaufbau der Frequenzspektrumsanalyse Der Ton der Geige wird über ein Instrumentenmikrofons, das auf den Boden der Geige angesaugt wird, abge-nommen. Da die Verstärkung innerhalb des PCs nicht ausreichend ist, wird ein „Bass V-AMP“ zwischenge-schaltet. Dieser dient normalerweise zur Vorverstärkung eines E-Bass und zur Klangmodulation. In diesem spe-ziellen Fall wird ein „clean“ Kanal eingerichtet, sodass nur die Frequenzen, die von der Geige erzeugt werden verstärkt und nicht verändert werden. Über ein Klinkenkabel wird das Signal von dem Effektgerät in den PC geführt. Innerhalb des PC` s greift die reguläre Mikrofonverstärkung mittels „MIC Boost“. Aufgenommen und bearbeitet wird der erzeugte Ton mittels eines Programms mit Namen „Sounds“, von der Freien Universität Berlin, Deutschland kostenlos zur Verfügung gestellt. Bild des ESI- Aufbaues

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Abbildung 3: Notenbild

Abbildung 6:

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Diagramme: I) Vergleich goldene e-Saite Kunststoff e-Saite

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II) Vergleich a-Saite normal und am Steg gestrichen

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III) Vergleich a-Saite normal und am Griffbrett gestrichen

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Anhang 2: Literaturverzeichnis 1. Physik, Frank Bostel: Repetitorium Schwingungen und Wellen. Herausgeber: Friedrich

Bergmann und Heinz Schröder. 1.Auflage. Diesterweg: Frankfurt am Main, Berlin, Mün-chen 1975

2. Akustik für Musiker, René Brüderlin: Eine Einführung. Gustav Bosse Verlag: Regens-

burg 1978 3. Einführung in die Akustik, Wilhelm Stauder. Herausgeber: Richard Schaal. Heinrich-

shofen´s Verlag: Wilhelmshaven 1976 4. Zur flächenhaften zerstörungsfreien Prüfung mit Hilfe optischer Feldmesstechnik,

R. Tutsch, R. Ritter, M. Petz. Institut für Produktionsmesstechnik. TU Braunschweig. http://www.ndt.net/article/dgzfp01/papers/v24/v24.htm (05.April.2008 18:00)

5. Die Violine, Hansjörg Brugger: Qualitätskriterien und historischer Wandel.

http://www.8ung.at/hansjoergbrugger/violine.htm#top (20.Dezember.2007 21:30)