Zeitschrift fiir Physik, Bd. 132, S. 655--658 (1952).

Zur I n t e g r a t i o n d e r k o s m o l o g i s e h e n G l e i e h u n g e n . Von

P. JORDAZr Hamburg.

(Eingegangen am 9. fu l l 1952.)

Ausgehend yon der Erw~gung, dab die kosmische Expansion nach der neuerdings n6tig gewordenen Revision der HuBBLE-Konstanten wenig yon einer linearen Expansion abzuweichen scheint, werden die Gleichungen des yore Verfasser ellt-

wickelten koslnologischen Modells approximat iv integriert .

Die vom Verfasser zur Diskussion gestellte kosmologische Theorie 1 ergibt ftir den Krfimmungsradius R (t) des Kosmos folgende Gleichung:

= ~ [2c2 + ~ R + 2~2J ~ . j

Eine spezielle L6sung ergibt sich mit R = 0:

R = R0 c~ ; R0 = ] / ~ - 5

Bei Ausarbeitung meines Buches schien diese L6sung (,,lineare Ex- pansion") nur eine recht schlechte Approximation der wirklichen Ver- h~ltnisse zu gestatten. Inzwischen ist abet der w~hrend l~ngerer Zeit anerkannt gewesene Wert der HvB~LE-Konstanten sehr zweifelhaft ge- worden, und (2) kann jetzt als vielleicht recht gute Approximation an- gesehen werden: Das ffir den Fall der linearen Expansion aus der HwBL~- Konstanten folgende Weltalter kann sehr wohl 4" t0 9 Jahre betragen und dadurch mit anderen Daten in Obereinstimmung kommen.

Danach seheint es sinngem~B, (t) approximativ zu 16sen dureh den Ansatz

R(t) - R oct 4- P ( t ) , (3)

wo P, b, b gegen R (t) undc t so klein wird, dab die in P, _b _b quadra- tischen Glieder vernachl&ssigt werden k6nnen.

I Schwerkraft und Weltall. Grundlagen der theoretischen Kosmologie. :Braun-

schweig 1952. -- Vgl. dort Formel (27), w 30.

656 P. JORDAN:

Aus (3) wird dann offenbar, nach Division mit ~ R o c * :

(4) = 4 Et 5 t + 4 b~. Et + R. =] ;

also mit (2)'

6 ~ 6 t + 4 1 2 / 5 + ( ~ - - 2 ) ~ ] @ 2 ~ / 3 t @ 4 / 5 ] = 4 E t S t + 4 / 5 ] , (5)

oder /5 t~ + (~ _ 2) P = 0. (6)

Integr ier t gibt das mit zwei In tegra t ionskons tanten P0, to die Formel

9 t

Ftir zu kleine Wer te t darf (7) nicht angewandt werden, well dabei die Voraussetzung I P (t)] < [R (t)[ der Approximat ion nicht mehr er- fiillt ware.

Die Theorie ergibt weiterhin folgende Beziehungen [vgl. Formel (2t),

(23), w a. a. O.3:

B t t = 2 ~ - 3 " R ~ ; B = const ; (8)

O = - - ( 2 r t ~ c 2 �9 (9)

Nach (8) kann ~ (t) bei bekann tem R (t) durch Quadra tur ermit te l t werden. Dabei soil der Absolutwert yon ,~ bes t immt sein dutch

~( t ' ) - r /~,e~ (1o) 2 - 3 3

t '

Bei posi t ivem R (und B > 0) wird k stets negativ; ~ (t) ist stets posit iv und n immt monoton zu Null ab. Der Quotient k/z in (9) ist yon der Inte- gra t ionskonstanten B unabh~tngig.

Unter der Voraussetzung g >> t kann man die GL (t) auch derar t approximat iv behandeln, dab im Hinblick auf (2) und (7) folgende Gr6genordnungen angenommen werden:

" ~I/F (1t)

Danach kann man (t) vereinfachen zu:

R=- ~c 2 q- 2 R R @/~2~ = [2c 2 q-2~R -}- 2R2] ~ (t2) % t2

Zur In t eg ra t i on der kosmolog ischen Gle ichungem 657

Dies entspricht der G1. (32), w 30, die jedoch a. a. O. durch einen

Schreibfehler 2~ 2 start 2/~ ~ entstellt ist. Aus (t2) k6nnen schon ohne Integration einige Eigenschaften der

reellen L6sungskurven R (t) abgelesen werden; und es zeigt sich, dab diese G1. (12) sehr verntinftige, dem physikalischen Problem ange- messene Eigenschaften hat. Mit der Bezeichnung

D -- c 2 q- 2_~R +t)5 (13)

kannen wir (12) ja so sehreiben:

2~ t~ D = ~- [3 (c" +/}2) +DI2; (14)

daraus lesen wit ffir t 4 = 0 ab, dab D > 0, und ferner

~R~ 3 "c~+/~) (t5) ist.

Denken wir uns in der Ebene t, R die Mannigfaltigkeit der reellen L6sungskurven R (t) aufgezeichnet, so ist diese Mannigfaltigkeit offenbar symmetrisch sowohl zur R-Achse, als aueh zur t-Achse. Wir sehen aus (15), daft R (t) be i t @ 0 nicht verschwinden kann, und dab sogar stets, wenn wir an den positiven Quadranten der Ebene t, R denken,

> V 2 ~ �9 ct (16) R

ist: Durch Punkte R, t, welche (t6) nicht erftillen, gehen keine reellen L6sungskurven.

Dabei besagt (15) oder die schw~ichere Ungleichung

1/24 ~ - > '[R], (17)

dab/~ ffir t 4 = 0 stets endlich bleibt, womit gesichert ist, dab jedes R (t) eine eindeutige Funktion yon t i s t . Zeichnen wir im positiven Qua- dranten der Ebene t, R die Kurvenschar

y = const, tV ~- (t8) mit

5; = l, / . Zt ' (19)

so wird nach (17) im Schnittpunkt einer Kurve y (t) mit einer Kurve R (t)

stets R < ~; also gibt es zu jedem R(t) eine Kurve (t8) mit y(t) >R(t) fiir alle hinreichend groBen t. Also kann R (t) fiir endliche t nicht unend- lich werden.

zeitschrift f ~ Vh~sik. Bd. t32. 43

658 P. JORDAN: Zur Integration der kosmologischen Gleichungen.

Zusammenfassung: Jede reelle L~sung R (t), die/iir irgendeine Zeit t > 0 positivist, ist [i~r jede Zeit t > 0 endlich, ei~deutig und positiv, n~imlich gr6Ber als V~2~. ct. Auf Grund letzterer Tatsache ist auch die Existenz des Integrals (10) gesichert: Die Gravitationsinvafiante ist stets positiv und nimmt asymptotisch monoton zu Null ab.

Wahrscheinlich gelten fiir (1) ~hnliche Feststellungen, wie sie soeben ffir (t2) gemacht wurden, doch soll das nicht untersueht werden.

Obwohl nach Obigem enge Analogien des ,,Materiekosmos" mit dem a. a. O. betrachteten ,,Lichtkosmos" bestehen, so ergibt sich doch fol- gender Unterschied: Beim Lichtkosmos hat R (t) ftir jede reelle L6sung R (t) eine Nullstelle; beim obigen Matefiekosmos ist das dagegen nicht der Fall: Man kann (12) 16sen (etwa durch Potenzreihenansatz) fiir beliebig vorgegebene Anfangswerte R (0) # 0 und R (0).

Daher miissen in der approximativen L6sung (7) die Integrations- konstanten P0, to in bestimmter Weise aufeinander abgestimmt sein, wenn (7) eine solche L6sung darstellen soll, ffir welche R (0) = 0 ist. f iber die Gestalt der dabei eintretenden funktionalen Abh~ngigkeit zwischen P0, to gibt folgende Erw~gung teilweise AufschluB.

Wegen der Homogenitdt der GI. (1) bzw. (t2) ist zugleich mit einer Funktion R (t) -- / (t) aueh die Funktion

eine L6sung. Nennen wit eine L6sung R (t) mit R (0) = 0 kurz eine ,,er- laubte", so muB aus der Transformation (20) einer erlaubten Funktion

R(t) =Root + P~176 (V~-9- ln4 ~0t) (21)

wieder eine erlaubte hervorgehen:

R*(t) = R o c t + PoV ~ ' v Fc~ In c-~ .

Danach mug der f i r erlaubte L6sungen bestehende Zusammenhang zwischen Po, to so aussehen:

~~176 = eonst, c2; (23) to

doch diirfte die dabei auftretende Zahlkonstante nur durch numefische Integration zu bestimmen sein.

Hamburg 13, BundesstraBe 84.