Zur Messung physikalischer GroBen mit Hilfe der Farben T'on, H a n s I t 'o l ter

Mit 3 Abbildungen

Inhaltsii bersich t, Damit innerhalb eines dreidimensionalen Systems von Norrnalfarben iin

Sinne des Artikels Ann. Physik (6) 8, 11 (1950) eine jede Normalfarbe durch ihre Komponenten nach einer Basis (Basisfunktionen des Auges, des Farb- films usw.) eindeutig gemessen wird, genugt nicht die lineare Unabhangigkeit der Basisfunktionen. Eine hierfiir notwendige und hinreichende Bedingung, der die Basisfunktionen zu unterwerfen sind, wird aufgewiesen. Beschrieben wird ferner die Auswirkung der unmittelbaren MeBfehler an den Kompo- nenten auf die drei Daten (,,Farbton", ,,Sattigung", ,,Mittelwert der Inten- sitat"), die eine Normalfarbe charakterisieren. Zur Messung dieser Daten brauchen die Basisfunktionen nicht explizit bekannt zu sein; es geniigt viel- mehr, die Komponenten bekannter Normalfarben nach der Basis zu messen ; aus ihnen lassen sich alle fur die Normalfarbenmessung erforderlichen charak- teristischen Zahlen der Basis berechnen.

1. Grundlegende Definitionen Moderne Formen der Schlieren-, Phasenkontrast-, Interferenz- und Po-

larisationsverfahren erlauben die Messung der Brechungsindizes, Absorp- tionskoeffizienten und der Polarisationseigenschaften makroskopischer oder mikroskopischer Objekte und mittelbar aueh dadurch die Messung von Konzentrationen, Drucken, Temperaturen und anderen physikalischen GroBen. Wenn aber die zu messeiide Mannigfaltigkeit selbst mehr als eine Dimension hat, genugt die eindimensionale Qrauskala nicht zur eineindeutigen Kenn- zeichnung der zu messenden QroSen in den verschiedenen Teilen des Bildes eines Objekts. Freilich kann man die verschiedenen interessierenden GroBen oft nacheinander messen ; doch versagt das Verfahren bei veranderlichen Ob- jekten. Zur gleichzeitigen Kennzeichnung mehrdimensionaler Mannig- faltigkeiten sind die Farben (und zur ,,Registrierung" der Farbfilm) die ent- scheidenden Hilfsmittel, und zwar grundsatzlich auch iiber die Dimensions- zahl 3 hinaus, wenn man einen hinreichend allgemeinen Farbbegriff zu- grunde legt und. entsprechende allgemeine Nachweis- und MeSverfahren (insbesondere auch entsprechende Farbfilme) entwickelt. Da wir die Farben als Hilfsmittel, als ,,Zwischenregistrierungen" in der physikalischen MeS- technik benotigen und uns hier nicht fur die Farben als Ausdruek einer Fahig- keit des menschlichen Auges interessieren, benotigen wir einen objektiveren, nicht so stark antropomorphen Farbbegriff wie die biophysikalische Farben- lehre. Deshalb wird der Begriff Farbe nach dem friiheren Vorschlag des

Ann. Physik. 6. Folge, Ed. 17 22

330 Annalen der Physik. 6 . Folge. Band 17. 1956

l 'erfasser~~), uin die Unabhangigkeit vom Nachweismittel und von der Be- leuchtung zu sicliern, so definiert, da13 er eine Eigenschaft des Korpers schlecht- hin erfa13t - ohne jeden Bezug auf eine spezielle Beleuchtung, ein spezielles Nachweismittel, z. B. das Auge. Fallt eine beliebige Strahlungsintensitat der spektralen Verteilung B (v) auf einen Korper und wandelt diessr die spektrale Verteilung in eine neue Funktion

B' (v) = F 13 ( Y ) (1.1) um, so bezeichnen wir den Operator F , der jedes ,,einfallende" R (v) in das von dem Korper ,,ausfallende" B' ( Y ) uberfiihrt, als den Farboperator des K6rpers2). Dieser Farboperator ist nur von dem Korper, nicht von der ein- fallenden Strahlung oder anderen Dingen abhangig. Er gibt dem Ausdruck ,.Dieser Korper hat eine ihni selbst zukornmende Farbe" seinen quantitativen Sinn.

Earboperatoren lassen sich in1 Linearitatsbereich wie andere lineare Ope- ratoren durch Integralkerne oder durch Matrizen darstellen. Fur fluores- zierende und auch fur gewohnliche Farbstoffe wird Herr Bige lmayer deni- nachst solche Matrizen numerisch mitteilen.

Spielt Fluoreszenz nicht herein, hat man also ,,gewohnliche Farben" vor sich, so ist der Zusanirnenhang zwischen einfallender und ausfallender spektraler Intensitatsverteilung einfach durch

B' (v) = f ( Y ) . B ( Y ) (1.3) beschrieben mit der Funktion f (v), die nur von den1 Korper abhangt und alle Farbeigenschaften des Korpers erfaBt. f ( Y ) , also der Quotient der ausfallenden iind der einfallenden Strahlung, wurde daher in der fruheren Arbeit 3,

dilechthin die , ,Farbe des Iiorpers" genannt. Der Operator gewohnlicher Farben ist also einfach die Vorschrift ,,Multipliziere mit der Funktion f ( Y ) !".

3. Dimensionsfragen Die Menge aller ,,gewohnlichen" Farben in dieseni Sinne ist also die Menge

sller Funktionen f (v) niit 0 5 f ( Y ) 2 1, und die Menge aller Farben uber- haupt hat die Machtigkeit einer Operatorennienge.

Unser Auge und der nach ihm orientierte einfachste Farbfilm freilich lronnen nicht alle diese Farben unterscheiden. 8ie verwenden drei ,,Basis- funktionen" bl (v), b, (v), b3 (v) und benutzen von einer Farbe f ( Y ) niir ihre drei Komponenten

xk = J f (1') b, ( Y ) dv fur k = 1, 3, 3. (3.1)

Aber mit n Integralphotonietern und n Filtern, die jeweils eine Basisfunktion 6, ( Y ) . . . b, ( Y ) definieren, lLBt sich eine .n-dimensionale Mannigfaltigkeit ron Komponenten messen. Nennt. man Farben, deren Komponenten nacah einer Basis b, ( Y ) . . . . h,, (v) gleich sind, aquivalent bez. dieser Basis, so kann inan die Menge aller Farben nach dieser Bquivalenzrelation in Bquiva- lenzlrlassen einteilen ; diese bilden ein n-dimensionales Kontinuum.

I) GBttinger Vortrag ,,Ziele und Wege der Farboperatorenlehre" 1951. *) v = v (A) sei eine beliebig grwahlte eigentlich monotone Funktion der Wellenl5ngc

und heint ,,Grundvariable". H. l l 'o l te r , Ann. Physilr (6) 8, 11 (1950).

H . Wolter: Zur Messung physikalischer Gropen mit H i v e der Farben 331

Die Bquivalenzklassen nach der Basis unseres Auges bilden erfahrungs- gemalj ein dreidimensionales Kontinuum. Nur durch diese physiologische Eigenschaft unseres Auges, eine dreidimensionale Basis zu verwenden, ist die Dimensionszahl 3 bevorzugt. Wer mit Farben im Sinne der oben gege- benen, objektiven und nicht anthropomorphen Definition physikalische Mannig- faltigkeiten kennzeichnen und rnittelbar messen will, ist dabei grundsatzlich nicht auf die Dimensionszahl 3 beschrankt.

Da am Auge aber auch der zur Zeit existierende Farbfilm, der sich fur die mittelbare Messung physikalischer GroBen vermittels der Farben als das zur Zeit zweckmafiigste Hilfsmittel anbietet, am menschlichen Auge orientiert ist, sei zunachst hier eine dreidimensionale hfannigfaltigkeit Gegen- stand der weiter ins einzelne gehenden Betrachtung.

3. Normalfarben Zur eindeutigen s tetigen Kennzeichnung einer dreidimensionaleii hlannig-

faltigkeit physikalischer GroBen genugt das dquivalenzklassensystem des Auges oder das des Farbfilms. Da die Aquivalenzklassen eines Farbfilms von Emulsion zu Emulsion nnd die des rnenschlichen Auges von Beobachter zu Beobachter sich andern, ist zur Sicherstellung einer objektiven Messung nicht jede Mannigfaltigkeit von Farben als Reprasentantenmenge der dqui- valenzklassen geeignet. Die Messung geschieht z. B. durch Farbvergleich zwischen der das Objekt kennzeichnenden Farbe und der Farbe eines Test- objektes. Fur die objektive Messung ist dabei erforderlich, dalj in den Farben des Testobjekts zu jeder zu vergleichenden Farbe des Objekts die identische - nicht nur aquivalente (man sagt ,,bedingt gleiche") - zum Vergleich ange- boten wird.

Da bei vielen Verfahren wie mehrdimensionalen Farbschlieren- und Phasenkontrastverfahren rein additive Farbmischungen geschehen, stellt sich folgendes grundsatzliche Problem: G i b t es e ine dre id imens iona le Menge von F a r b e n f (v) so, da l j j ede a d d i t i v e Mischung a u s ihnen wieder e iner F a r b e d e r Menge s t r e n g g le ich t - n ich t n u r bezugl ich e iner Bas is , z. B. e ines Auges oder e ines F i lms , a q u i v a l e n t i s t ?

In der zitierten Arbeit wurde gezeigt, daB die ,,Normasfarben.' und nur diese das Problem losen. Die Funktionen

bilden ein System von Normalfarben zur Grundvariablen at und Zuni Grund- interval1 l / a . J heifit ,,Mittelwert", B heifit ,,Sattigung" und p ,,Farbton" in naheliegender Anlehnung an den ublichen Sprachgebrauch. Da a eine be- liebig gewahlte Konstante und v = v (A) irgendeine beliebig gewahlte eigent- lich monotone Funktion der Wellenlange ist, gibt es eine grolje Zahl von Normalfarbensystemen. Manche sind realisierbar z. B. durch Rotations- dispersion zeigende Platten ( Quarz senkrecht zur optischen dchse geschnitten oder dergleichen) zwischen drehbaren Polarisatoren ; die Sattigung B kann von 1 kontinuierlich auf Null gebracht werden, wenn der Polarisationsgrad herabgesetzt wird oder doppelbrechende Kristallplatten zur Erzeugung einer Elliptizitat mit eingefiigt und passend gedreht werden.

22*

332 Annalen der Physik. 6 . Folge. Band 17. 1956

Die Normalfarben nach (3.1) fur ein gewahltes Y (A) und ein fest gewahltes a bilden ein dreidimensionales Kontinuum en tsprechend den drei kontinuier- lichen Variablen J , B, p.

4. Die Bedingung fiir eine ausreichende Basis Aber nicht nur die fur die Messung benutzten Farben, also die Reprasen-

tanten in den Ayuivalenzklassen, sind Bedingungen zu unterwerfen, wenn man objektive oder eindeutige Messungen wiinscht. Auch die Basis selbst ist nicht willkiirlich. Wiinscht man zu entscheiden, welche Farbe aus einer z. B. dreidimensionalen Farbmenge in einem Farbschlierenbilde eines Objekts oder dergleichen vorliegt, so geschieht das bei den meisten praktischen Ver- fahren so, da13 die Komponenten der Farbe nach einer Basis genommen werdeii und unter den Farben von Testobjekten diejenige gesucht wird, die gleiche Komponenten hat. Das geschieht bei dem Farbvergleich mit dem Auge, rnit dem Farbfilm oder bei der Integralphotometrie mit Filterzusatz, und diese Verfahren unterscheiden sich wesentlich nur durch die jeweils benutzte Basis voneinander. Auch bei Normalfarben, bei denen man grundsatzlirh unmittelbarer vorgehen konnte*), ist dies der am schnellsten zum Ziel fiihrende Weg.

Eine Basis bl (Y) . . . b, (Y) sol1 nun ,,fur die dreidimensionale Farbmenge ausreichend", knrz ,,ausreichend" heifien, wenn aus den Komponenten

zL = J 6, (Y) f (Y) dv; li = 1, . . , n der Farben nach der Basis eindeutig auf die Farbe f ( v ) innerhalb der vor- gegebenen Farbmenge selbst geschlossen werden kann. Der Forderung, da13 die Kornponenten sich aus der Farbe eindeutig ergeben, geniigt trivialerweise jede Basis. Da13 unigekehrt die Farbe innerhalb der dreidimensionalen Menge ein- deutig aus den Komponenten bestimmbar ist, ist z. B. dann sicher nicht er- fiillt, wenn eine Basis aus drei Funktionen bl (Y), b, (Y), b, (Y) besteht, die linear abhangig sind. Denn dann gibt es drei Zahlen cl, cz, c,, die nicht alle ver- schwinden, so daB

(4.1) fiir alle $1 ist. 1st z. H. c3 =# 0, so kann

~ 1 4 (Y) + ~2 b, (13 4- c3 b3 (1') = 0

x3 = J f ( I ! ) b, (Y) dv = - 2 j- f ( I ! ) 6, (Y) dv - '"I f ( I ) ) b, (Y) dv

- _ - - x x l - ~ x z c3 c3

c1

c3 cs

ebenso gut aus den beiden Komponenten x,, x2 berechnet wie gemessen werden. Effektiv sind dann nur zwei GroBen gemessen, und daraus konnen nur zwei, nicht die drei charakteristischen Daten einer Farbe aus einer drei- diniensionalen Mannigfaltigkeit (z. €3. die Daten J, B , p einer Normalfarbe) berechnet werden.

Die lineare Unabhangigkeit ist aber nur eine notwendige, nicht hinreichende Bedingung. Die notwendige und hinreichende Bedingung, die fur jede Farben- menge anders lautet, ist fur die besonders wichtigen Normalfarben in folgendem Satz ausgesprochen :

(4.3)

*) Ann. Physilr (6) 8, 11 (1950).

H. Wolter: Zur Messung physikalischer GroPen nii t H i v e der Farben 333

S a t z iiber ausre ichende Ba.sis: Eine Basis b, (v), . . . b,, (v) ist zur eindeutigen Bestinmung einer Normal-

farbe aus der dreidimensionalen Normalfarbeninenge

f J , u , , (v) = 3 J ---- ~~ + B . cos2(z a (v -,LA)),; 1 (a fest) { l i B (4.3)

susreichend - d. h. diirch die Komponent.en

x, = J b, (v) f ~ . ~ , , , (Y) dv fur k = 1, . . ., n (4.4) sind die drei Daten J (,,hfittelwert"), B (,,Sattigung") und ,LA (,,Farbton") ein- deutig bestimmt - dann und nur dam, n-enn die n komplexen Zahlen

I, = J b, (v) . e e n i a v dv : J 6, (v) dv (4.5) (genannt charakteristische Zahlen der - Basis) in der GauBschen Zahlenebenc eine Flache niit von Null verschiedenein Flacheninhalt aufspannen (Abb. l), mit

alle in einer Geraden liegen. (Die Gro13e der aufgespannten ist bei 3 ~ ~ ~ i ~ - funktionen zugleich ein Ma13 fur die Me8- und der genauigkeit .) Flacheninhalt

*5

anderen Worten, wenn die Punkte 3, nicht 12

Abb. 1. Die charalrteristisdieri Zahlen zrc in der Gaunschen Zahlenebene

ihnen aufgespannte

5. Beweis des Satzes Zunachst sei die Dimensioriszahl n = 3. Nach Gln. (4.3) und (4.4) ist dann

' b 1 - H x, = j" b, (v) . (-i-- - -+ B cos2 (z n (v - p ) ) ) dv . 2 . I , (5.1)

(6.3)

(5 .3)

d. h. ~7~ = J 0, (v) { 1 - B + U (1 + vos 2 7t u (V - /A)); dv . .I K, = J J b; (Y) dv + J B cos 2 TC a p J b, (v) cos 2 z a v dv + J B sin 3 z a p J b7( (v) sin 2 z a v dv

(5 .4)

mit den transformierten Daten 4,

5 = S (5,5) (5.61 (5.7)

(6.11) konnen wir durchweg auf 1 nonniert denken ohne wesentlichc Beschrankung der Allge- meinheit, solange die Basis als bekannt gelten kann. Die Basis heifit dann eine ,,nor- mierte Basis". Da wir in Ziffer 9 aber Farbmessungen an h'orinalfarben anch mit unbe- kannter Basis vornchmen wollen, sei iiber q,c nielit speziell verfugt.

334

iws denen sich J , B, ,LL ebenfalls eindeutig nach

Annalen der Physik. 6. Folge. Band 17. 1956

J = E?

1 %ex1 $ma, n = 1 % & Z , $mz2

1 \3ie XQ $mx,

(5.8)

$;o (5.12)

(5.10)

den Rang 3 hat, also mindestens eine dreizeilige Unterdeterminante

(5.13)

(5.14)

ist, d. 21. mindestens 3 Punkte xk in der Gaufischen Zahlenebene nicht in einer Gernden liegen, d. h. nicht alle Punkte xk in einer Geraden liegen, w.z.b.m.

6. Ein Beispiel fur eine ausreichonde Basis Da zwei Punkte stets in einer Geraden liegen, mu13 eine ausreichende Basis

mindestens aus 3 Basisfunktionen bestehen.

5) Fur linear abhlngigc Funktionen erftillen offrnbar die zk eine Gleichung clzl + c, z, + cj z3 = 0; triyialerweise ist dann D = 0.

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iws denen sich J , B, ,LL ebenfalls eindeutig nach

Annalen der Physik. 6. Folge. Band 17. 1956

(5.10)

berechiien lassen. Die Quadrantenbestiinmixng zu 01. (5.10) geschieht un- mittelbar nach (5.6) und (5.7).

Die 3 Gleichungen (5.4) sind genau dann eindeutig nach E , q , 5 und wegen (5.8) bis (5.10) daher auch nach J , B , p aufliisbar, wenn die Determinante

(5.12)

ist. Diese Determinante5) ist aber in der analytischen Geometrie der Ebene der doppelte Flacheninhalt eines Dreiecks mit Eckpunkten, deren Abszissen die Zahlen %e xl, n ie z2 bzw. %e x, und deren Ordinaten Sm zl, S m z2 bzw. Sm z, sind. Nach der ublichen Veranschaulichung von Realteil und Imaginar- teil einer komplexen Zahl in der GauBschen Zahlenebene ist 0 1 2 damit der Inhalt des von den 3 Punkten zl, z2, 2, in der Gaufischen Zahlenebene auf- gespannten Dreiecks.

Das ist fur n = 3 der Inhalt des zu beweisenden Satzes. Die Verallge- meinerung auf n 2 1 ergibt sich so. Fur beliebiges n unifa13t (5.4) n Glei- chungen. Diese sind nach einern bekannten Satz der Algebra genau dann nach [, ?I, [ eindeutig auflijsbar, wenn die Matrix

(5.13)

den Rang 3 hat, also mindestens eine dreizeilige Unterdeterminante

(5.14)

ist, d. 21. mindestens 3 Punkte zk in der Gaufischen Zahlenebene nicht in einer Gernden liegen, d. h. nicht alle Punkte xk in einer Geraden liegen, w.z.b.m.

6. Ein Beispiel fur eine ausreichonde Basis Da zwei Punkte stets in einer Geraden liegen, mu13 eine ausreichende Basis

mindestens a m 3 Basisfunktionen bestehen.

5) Fur linear abhlngigc Funktionen erftillen offrnbar die zk eine Gleichung clzl + c, z, + cj z3 = 0; triyialerweise ist dann D = 0.

H . Wolter: Zur Messung pkysikalischer Gropen mit Hilfe der Farbaa 335

Die prinzipiell einfachste dreidimensionale Basis ist die ,,Dreipunkt- basis", bei der die Werte f (v) lediglich an drei Wellenlangen des Spektrums gemessen werden, an v = yl, y,, y,. Die Basis ist dann

b, (Y) = s (v -y,); k = 1, 2, 3; (6.1) b bezeichne die Som me r f e ldsche Zackenfunktion (meist ,,D i r a csche Deltafunktion" genannt). Dann ist

(6.2) Alle 2, sind also Punkte des Einheitskreises. Um den Flacheninhalt des von ihnen aufgespannten Dreiecks moglichst grolj zu machen, wird man die Punkte gleichabstandig wahlen nach

1 a y, - a y2 = a yz - a y1 = a /Al - upa = - 3 mid die Punkte zk also auf die Ecken eines gleichseitigen Dreiecks legen (Abb. 2). Der grolje Flaeheninhalt

zk = j' ($7 - p,) e z T i a v dv = $ . z i a m ,

(6.3)

1 3 I -

2 -ID, = - I 3 ;uv 1,3

sichert grol3e MeBgenauigkeit (Ziffer 8). DaB dieser Flacheninhalt der groljte niit 3 Basisfunktionen erreichbare ist, wird in Ziffer 9 gezeigt.

Fur Normalfarben mit einem a, das zum sichtbaren Spektrum zweck- miil3ig gewahlt ist (d. h. bei einer Realisierung mit Quarzplatte sol1 die Dicke etwa 4 bis 6 mm betragen), stellt die Konig-Diterici-Basis (naturlich dann auch die J B K-Basis) und die Basis der Agfa-Color-Farbfilme je eine aus- reichende Basis dar. Naheres hierzu wird von einem Mitarbeiter des Ver- fassers veroffentlicht.

2. L6=1.3 4

Abb. 2. Die charakteristischen Zahlen einer gleichabstiindigen Dreipunktbasis

Abh. 3. Beispiel einer nicht ausreichenden Basis nach Gln. (7.1)

7. Ein Beispiel fur eine linear unabhhgige, aber nicht ausreichende Basis Wir betrachten die Basis nach Abb. 3

b, (v) = 2 u cos2 (nu v),

b, (v) = 2 a cos2 (2 n a v + c)

jl: b, (Y) = 2 a cos2 (n a v - -) , (7.1) 2

1 1 a - 2 fur -- < a ' < und b, (v) = b, (v) = 6, (v) = 0 sonst.

336 Annalen der Physik. 6 . Folge. Band 17. 1956

1 E = ~

c sei eine beliebig wahlbare lionstante, z. B. 0. Die drei Bssisfunktionen sind offenbar linear unabhangig, da bekanntlich lineares Zusammensetzen von Schwingungen (bl und b,) derselben Frequenz nicht zii einer Schwingung doppelter Frequenz (b3) fuhren kann.

Die zk ergeben sich zu 1

~~

zl = 3 a cos2 (n a v) e z n i a v dv 2 - I I

= a j ( I + cos 3 n n 1') e " n f n v dv = a J cos 2 n a y e z n i ( t v dv

X1

!zl

q 2

!l3

- %exl S m z l 3rn(f,~,)+:~13rn(f,z,)+~~rnt (i,q

(8.1) 1)* ___-__________ Q1

I1 5 s e a , sm:, =

5 %ez3 s"m:3

x2 = 2 a j cos2 (n a - 2. $ " i n v d,,

= a J cos (n - 2 n a v) e z z z n v dv. 2

1 z2 = - a j ~ 0 s 3 j z a $1 $ z i n v & = - . - i

z3 = 3 a J cos2 (3 n a v + c) c 2 n i n v dv,

z3 = 0 ; (7.4)

(7.3) - - -. a e i r j c ~ n n i a v dv + T e - i c S e 2 n i u v d,,

2 2

also liegen die z,c in einer Geraden. Die Basis (7.1) ist nicht ausreichend. Ein Rezept, wie man weitere linear unabhangige Funktionen konstruieren

kann, die dennoch als Basis nicht ausreichen, entnimmt man unniittelbar der Forniel (4.5), die ja die zk als erste ,,Fourierkoeffizienten" der Bnsis- funktion definierte). Hat man einmal ein System linear abhangiger Funk- tionen, wie bl und b, nach (7.1) mit der Konstanten a als dritter Funktion es bilden, so bleiben die zk und daniit D = 0 unberuhrt, wenn einer der Funk- tionen (hier der Konstanten 1/2) nur ,,hohere Four i e rglieder" (hier die Funk- tion cos (4 z a v + c)) hinzugefiigt w id .

H. Wolter: Zur Messung physikalischer Gropen nait Hilfe der Farben

mit

Da hiernach und der Definition von yl bzw. 5 gilt

1 c i i = J B $ Z i a @ = - (Sm L! - i 9le Q ) ,

J B e2nia la = 2. so folgt

ill und schlieSlich

J . B = l $ / i t

2 z a p = arc- - --. Q r r D 2

Diese Gleichungeii zusaniinen niit [ = J und U1. (8.1) lasseii J , B und p aus den gemessenen Koniponenten und den charakteristischen GroBen zI, z2, z3 der Basis berechnen. Wesentlich an diesem Ergebnis ist vor alleq, da13 sich die Daten der Normalhrbe allein aus ihren Komponenten nach der Basis und den charakteristischen Zahlen zk und den Normierungszahlen qk berech- nen lassen, aber sonst von der Basis nichts bekannt zu sein braucht.

Uber die Auswirkung der an den Komponenten vorliegenden MeBfehler dxk anf die Fehler d [ , dy, d( des Resultats geben dann die vollstandigen Dif- ferentiale der 5, 71, nach GI. (8.1) bis (8.8) Auskunft. Es ist

(8.10)

338

Daher folgt

Annalen der Phyaik. 6 . Folge. Band 17. 1956

d r 3 i (8.13) d.r Snt ( F 3 zl) -2 i- Sm dt -Ire\. dx, b - n ,om (52 23) z2) -

(13 93 J +

1 D=, 1 % e z , i sm;?, 1 %ez2 1 % e z , i s m a ,

9. Auswertung bei einer regelmagigen Dreipunktbasis Speziell bei einer ,,regelmafiigen Dreipunktbasis" nach den Gln. (6.1)

und (6.3) mit . k - 1

2 x 2 zk = e fur k = 1, 2, 3

ist nach GI. (8.15)

+ e

= 3 . sin 120" = - 3 e 3,6 I : y'-

i n ubereinstimmung mit 8. 335. Ferner ist nach G1. (e.1)

(9.1)

(9.2)

Der Mittelwert J der Nornialfarbe ist also gleich dem blittelwert der Kom- ponenten bezuglich der Dreipunktbasis. Da

3 i I - 31 " " - z 2 = , - - - - 2 z2 - z3 = i 13; 2, - z1 = - _- - __ 1 3 ; f 11'3 , (9.4)

so folgt

(9.5)

H. Wolter: Zur Messung physikalischer Gropen mit H i v e der Farben

und schliel3lich nach (8.2) und (8.3)

Daraus erhalt man den Betrag 2 3 vF+p- = J R = 7- vx? + xg + x: - xl x2 - x2 x3- x3xl ;

also ist nach G1. (9.3) die Sattigung

d . h.

Der Farbton errechnet sich nach G1. (5.10) zu

339

19.6)

(9.7)

(9.8)

(9.9)

(9.10)

(9.11)

Die Zweideutigkeit des arc tan fuhrt auf zwei Losungen. Wegen G1. (9.7) ist diejenige von beiden richtig, fiir die sin ( 2 z a p) dasselbe Vorzeichen wie xz - x3 hat.

10. Eine obere Schranke fur die charakteristischen Zahlen und den Flachen- 1 inhalt D bei nirgends negativen Basisfunktionen

1st die Basisfunktion b, (Y) reell und nirgends negativ - so ist es rneist in der Praxis -, dann gilt fur die zugehorige charakteristische Zahl .zJn.

(10.1)

~ Ikl 5 1. (10.2)

Der Determinantenbetrag I L) I ist daher hochstens gleich dem doppelten Flacheninhalt eines dem Einheitskreise einbeschriebenen gleichseitigen Dreiecks; d. h.

(10.3) 1 D 1 5 -5 13 hv 2,6.

Optimale Meljgenauigkeit gibt also bei drei Basisfunktionen die in Ziffer 6 behandelte Dreipunktbasis, bei der die Werte der zu messenden Normalfarben einfach an drei ,,gut verteilten" (d. h. nach G1. (6.3) verteilten) Wellenlangen des Spektrums gemessen werden.

3

11. Messung der charakteristischen Zahlen xk und der Determinante D bei unbekannter Basis

Oft ist die Basis nicht bekannt, und ihre explizite Messung ist schwierig. Deshalb ist es sehr angenehm, dal3 die fur alle Messungen mit Normalfarben

340 Annalen der Physik. 6. Folge. Band 17. 1956

inafigebenden Charakteristika xk der Basis und daher B ohne explizite Kenntnis der Basisfunktionen b, (v) niit bekannten Normalfarben gemessen werden kijnnen.

Sind zwei Normalfarben aus ihrer Herstellung oder nach dein in der frii- heren Arbeit angegebenen spektroskopischen Verfahren bekannt, d. h. sind ihre Daten J1, Bl,,ul bzw. Jz, Bz,,u2 und danii nach (5.5), (5.6) und (5.7) auch ihre transformierten Daten tl, 7ll, 11, tzr q2, c2 bekannt, so gibt eine Messung der Koinponenten lxk fur die erste Normalfarbe, und der Kornpo- nenten zxk fur die zweite Normalfarbe nach Gl. (5.4) die 6 Gleichimgen

(11.1) - 1% = E l + q L . !Re xlC + CL $m x, (fur I = 1, 2 und k = I, 2, 3). q k

Dieses Gleichungssystem kann nach den Unbekannten

%e zl, !Re xz, %e z3, S m xi, $tn z2, S m z3

aufgeliist werden, wenn die Hauptdeterminante

nicht verschwindet. Um das zu erreichen, wiihlt man 2 Normalfarben so, da13 ihre Mittelwerte J1 und J , und ihre Sattigungen Bl und B, von 0 verschieden und ihre Farbtone ,ul und ,uz weder gleich noch komplementar (komplementar heil3t 7t 2 a (,up - pl) = n) sind. Dann konnen aus einer Messung ihrer Koni- ponenten nach der Basis ihre charakteristischen Zahlen z, berechnet werden. Die Berechnung selbst ist einfach, da das System in 3 Systenie a m je zwei Gleichungen rnit 2 Unbekannten zerspaltet

t1 = ill %e zk + tl S m z k , (11,3) 1 2 -

9ic

(rk 2 'k - Ez = 1lz %e zk + t, $rn zTC; (IG = 1, 2, 3 ) . (11.4)

Die IJiisung ist

z7r = - (11.5)

H. Folter: Zur Messung physikalischer Gropen mit Hilfe der Farben 341

A, =

(11.7)

1% 71 (1 I ,zk ri, [, = lx, J , B, J 3 B3 sin 2 7t a ( p 3 - ,uz) (11.14) + 2Xk J3 B3 J1 B1 sin 2 a - p3) 3Xk 'y/3 5'3 + 3xk J1 '1 J 2 B2 sin a (PZ -

( I 1.8)

(1 1.10)

Hamit ist das Problem riahezu gelost. Jedoch ist noch die Messung des Norrriierungsintegrals q, = J b, (v) dv erforderlich, eine bei unbekannter Basis nicht triviale Maonahme. Dazu wird z. H. mit einer variablen Normalfarbe ron bekanntem konstantem Mittelwert J der Farbton p einmal urn den ganzen Farbenkreis herumgefahren (bei Drehpolarisationsfarben also der Polisator um 180" kontinuierlich gedreht) und iiber die gemessenen Kom- ponenten xlc (p) integriert. Da nach G1. (5.3)

1 2-. xic (p) = qk + 13. cos 2 z apGf b, (v) cos 2n av dv + B sin 2 z a p J b, (v) sin 2 z a v dv (11.11)

( 1 1.1 2)

ist, folgt nimlich: da die 1,ange dcs Integrationsintervalls l/a ist,

+ J' s (PI dp = qK.

Eine solche Integration ist zur Gewinnung des Normierungsintegrals nicht unbedingt erforderlich. Vielmehr genugt es, drei Normalfarben (z. B. gleich- abstandige gesattigte Normalfarben mit p1 - ,u2 = pz - p3 = ,u3 - pl) als Test-Normalfarben heranzuziehen ; denn analog G1. (11.3) hat man dann die 9 Gleichungen

Dieses System spaltet in drei Systeme auf fur jeweils festes k ; die Ha.upt- determinate des k-ten Systems ist

342 Annalen der Physik. 6. Folge. Band 17. 1956

1 %e zk = -- -3,

Fur gleichabstandige Farben der Sattigung 3, = 1 und gleicheii Mittelwerts J folgt

lXk 61 cl

2xk t2 C2 (11.21) 3'1~ 5 3 ;3

v

3, = J 2 . (lxk + 2xk + 3xk) . sin 120'.

Lost man (11.13) nach l/qk auf, so erhalt man

1 3m 3, = - - . 1 k

Bei drei gleichabstandigen Normalfarben folgt also

1% 971 51

Zxk 772 i"2

3'k '13 63

Benutzt man speziell Sattigungen 1, so mird einfach

( 1 1.16)

(1 1.17)

( 1 1. 18)

( 1 1. 19)

Fur Bk = 1 und J1 = J2 = J3 = J folgt

(11.22)

Benutzung der- Definitionen (5.5)

(1 1.33)

(11.24)

( I 1.25)

H . Wolter: Zur Xessung physikalischer Groben mit Hilfe der Farben 343

d. h.

zk = % J 2 ( ( 2 z k - 3 k x ) e 2 . 2 i a / l i + k - l k x ) e 2 r r i u ~ ~ ~ + Gxk- 2 z k ) e 2 n i a P s ) . (11.26)

Eine dritte Moglichkeit zur Bestimniung der Normierungsintegrale qr beruht darauf, daB zu zwei Test-Normalfarben als dritte die Farbe ,,WeiB" (B = 0) hinzugenommen wird und ihre Komponenten oxk gemessen werden. Fur sie gilt nach den Gln. (5.6) und (5 .7) f = Jo; q = 5 = 0; daher folgt aus (5.4)

(11.27) q - - . - Jo

Auf mannigfache Weise ist also das oben gesteckte Ziel, die charakteri- stischen Zahlen xk und die Normierungsintegrale qk beliebiger Basisfunktionen allein durch Komponentenmessung von Normalfarben experimentell zu ge- winnen, erreicht.

Die Basisfunktionen des Farbfilms z. B. selbst brauchen ilso fur Farb- messungen mit Normalfarben nicht bekannt zu sein. Fur das einfache Er- satzverfahren mit einer alle Normalfarben enthaltenden Testplatte ist das ohnehin evident; aber der Vorteil des im letzten Abschnitt dieser Arbeit be- schriebenen Verfahrens liegt vor allem darin, daB man mit drei Test-Normal- farben oder auf jeden Fall doch mit einem Farbenkreise auskommen kann.

i

Oxk

Zusammenfassung Eine Basis von Funktionen (Verallgemeinerung der ,,IBK-Kurven") ist

zur eindeutigen Messung und zum eindeutigen Vergleich von Normalfarben ausreichend, wenn ihre charakteristischen Zahlen [GI. (4.5)] in der GauBschen Zahlenebene nicht in einer Geraden liegen (S. 333). Je grol3er der ,,aufge- spannte Flacheninhalt" (Abb. 1) ist, desto weniger wirken sich die MeBfehler auf das Resultat aus. Lineare Unabhangigkeit der Basisfunktionen ist not- wendig, aber nicht hinreichend. Denkbar groBten Flacheninhalt bei drei Basiselementen hat die ,,Dreipunktbasis", bei der die Werte der Normal- farben an drei Wellenlangen geeigneten Abstands vermessen werden (S. 339). Die chrakteristischen Zahlen einer Basis lassen sich durch einfache Kompo- netenmessungen mit Normalfarben auch bei unbekannter Basis messen. Piir die gesamten Messungen mit Normalfarben ist die explizite Kenntnis der Basisfunktionen nicht erforderlich, da in diese Messungen nur die charakteri- stischen Zahlen und die Normierungsintegrale eingehen, die sich aus reinen Komponentenmessungen an drei geeigneten Test-Normalfarben leicht gewinnen lassen.

Mar burg , Institut fiir angewandte Physik der Universitat.

Bei der Redaktion eingegangen an1 18. Februar 1966.